Проблема изоморфизма графов: Алгоритмические аспекты (записки к лекциям)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Проблема изоморфизма графов: Алгоритмические аспекты (записки к лекциям)"

Транскрипт

1 Проблема изоморфизма графов: Алгоритмические аспекты (записки к лекциям) И.Н. Пономаренко Санкт-Петербургское отделение Mатематического института им. В.А.Стеклова октябрь-декабрь, 2010 Содержание 1 Проблема изоморфизма и родственные ей проблемы Проблема изоморфизма простых графов Изоморфно полные классы графов Проблема изоморфизма для категорий Проблемы, эквивалентные проблеме изоморфизма Комбинаторные алгоритмы проверки изоморфизма Построение канонической формы почти всех графов Распознавание изоморфизма деревьев Распознавание изоморфизма групп Алгоритмы для работы с группами перестановок Базовые алгоритмы для групп перестановок Алгоритм Симса Вычисление cтабилизатора множества Групповые алгоритмы проверки изоморфизма Распознавание изоморфизма графов ограниченной степени Графы с ограниченными цветными валентностями и трюк Земляченко Дальнейшие результаты по проблеме изоморфизма Проблема изоморфизма и когерентные конфигурации Алгоритм Вейсфейлера-Лемана и когерентные конфигурации Алгебраические леса Неэффективность комбинаторных алгоритмов

2 1 Проблема изоморфизма и родственные ей проблемы 1.1 Проблема изоморфизма простых графов. Пусть V конечное множество и E подмножество множества его двухэлементных подмножеств. Тогда пара G = (V, E) называется (простым) графом c множеством вершин V и множеством ребер E. Будем говорить, что вершины u и v графа G смежны, если последний содержит ребро (u, v) := {u, v}; в этом случае говорим также, что вершины u и v инцидентны этому ребру. Степенью вершины u называется число d G (u) = N G (v), где N G (v) = {v V : (u, v) E} множество соседей или окрестность этой вершины. Граф G называется регулярным (степени d), если d G (u) = d степени для всех u V. Приведем несколько примеров: Полный граф с n вершинами содержит все n(n 1)/2 ребер; он регулярен степени n 1. Пустой граф не содержит ни одного ребра; он регулярен степени 0. Цепь длины n 0 имеет n+1 вершину v 0,..., v n и n рёбер вида (v i, v i+1 ), где i = 0,..., n 1. Цикл длины n 3 имеет n вершин v 1,..., v n, n рёбер вида (v i, v i+1 ), где i = 1,..., n 1, и ребро (v n, v 1 ); это регулярный граф степени 2. Будем говорить, что вершины u 0,..., u m V, где m 0, образуют цепь графа G если (v i, v i+1 ) E при i = 0,..., m 1; в этом случае вершины u 0 и u m называются концами цепи, а число m 1 её длиной. Цепь называется простой, если все её вершины различны. Отношение на множестве V "быть концами цепи в G" является отношением эквивалентности. Для каждого класса этой эквивалентности индуцированный им подграф называются компонентой связности графа G. 1 Граф называется связным, если он сам является связной компонентой, что эквивалентно тому, что в нём любые две вершины являются концами некоторой цепи. Графы G 1 = (V 1, E 1 ) и G 2 = (V 2, E 2 ) называются изоморфными, G 1 = G2, если существует биекция γ : V 1 V 2, сохраняющая рёбра, т.е. для любых вершин u 1, v 1 V 1 имеет место эквивалентность (u γ 1, v γ 1 ) E 2 (u 1, v 1 ) E 1, (1) где u γ 1 и v γ 1 образы вершин u 1 и v 1 относительно биекции γ. Последняя называется изоморфизмом графа G 1 на граф G 2. Множество всех таких изоморфизмов обозначается через Iso(G 1, G 2 ). Таким образом, G 1 = G2 Iso(G 1, G 2 ). Легко видеть, что изоморфные графы имеют одинаковое число вершин и одинаковое число рёбер. Более того, поскольку, очевидно, изоморфизмы сохраняют степени вершин, то граф, изоморфный регулярному, сам регулярен и имеет ту же степень. 1 Граф G U = (U, E U ), где U V и E U = {(u, v) E : u, v U}, называется подграфом графа G, индуцированным множеством U. 2

3 Каждый изоморфизм графа G = (V, E) является перестановкой множества V и называется автоморфизмом этого графа. Множество всех его автоморфизмов обозначается через Aut(G). Таким образом, Aut(G) = Iso(G, G). (2) Если γ и δ автоморфизмы графа G, то их композиция γδ, которая определяется формулой u γδ = (u γ ) δ, u V, также является автоморфизмом этого графа. Легко видеть, что множество Aut(G) содержит тождественную перестановку id V : u u, и перестановку γ 1, обратную к произвольной перестановке γ Aut(G) (по определению γγ 1 = id V ). Таким образом, множество Aut(G) является группой; она называется группой автоморфизмов графа G. Эта группа подгруппа симметрической группы Sym(V ), состоящей из всех перестановок множества V, Aut(G) Sym(V ). Отметим, что если G полный или пустой граф, то Aut(G) = Sym(V ) и граф имеет n! автоморфизмов. Оставляем в качестве упражнения доказать, что Aut(G) = 2, если G цепь длины 2, и Aut(G) = 2n, если G цикл длины n. Мы предполагаем известными понятия алгоритма и его сложности. Алгоритмические проблемы, рассматриваемые ниже, описываются входом, обычно состоящим из нескольких графов (или перестановок) того или иного типа, и выходом, который описывается предикатом (для проблем распознавания) или несколькими графами или перестановками. Для заданного входа алгоритм совершает некоторое количество элементарных операций и завершает работу, создавая выход предписанного типа. Количество элементарных операций в худшем случае именуется далее сложностью алгоритма. Вход и выход имеют длину которая, грубо говоря, равна размеру памяти, в которой он может быть записан. Поэтому сложность алгоритма есть функция длины входа. Алгоритм имеет полиномиальную сложность (работает полиномиальное время), если существует полином f(x) такой, что сложность алгоритма на входе длины n не превосходит f(n); в этом случае также говорят, что сложность алгоритма есть n O(1). Граф G = (V, E) на входе алгоритма может быть задан с помощью списка рёбер и тогда вклад в длину входа равен длине этого списка 2 E = O(n 2 ), где n = V. Другой способ состоит в задании матрицы смежности A = A(G) графа G, т.е. квадратной n n матрицы, определяемой следующим образом: { 1, если (u, v) E, A uv = 0, если (u, v) E. В этом случае вклад в длину входа равен n 2. Произвольная биекция γ : V 1 V 2 задаётся множеством пар (u, u γ ); её вклад в длину входа считается равным 2 V 1. Проблема изоморфизма графов состоит в нахождении наиболее эффективного алгоритма, распознающего, являются ли два заданных графа изоморфными; более точно, мы интересуемся вычислительной сложностью следующей задачи: 3

4 ISO(G 1, G 2 ): для графов G 1 и G 2 определить верно ли, что G 1 = G2. Не умаляя общности мы всегда будем предполагать, что оба графа имеют одинаковое число вершин n. Поэтому легко проверить, принадлежит ли данная биекции γ : V 1 V 2 множеству Iso(G 1, G 2 ): проверка условия (1) эквивалентна проверке n 2 равенств (A 1 ) uv = (A 2 ) u γ v γ, u, v V 1, где A 1 = A(G 1 ) и A 2 = A(G 2 ). Поэтому проблема изоморфизма принадлежит классу NP. Однако, до настоящего времени неизвестно, принадлежит ли она классу P проблем, для которых существует алгоритм полиномиальной сложности; неизвестно также, является ли она NP-полной проблемой. Иногда, говоря о проблеме изоморфизма графов, имеют в виду проблему существования такого алгоритма. Предложение 1.1 Изоморфизм n вершинных графов распознаваем за время exp(o(n log n)). Доказательство. Достаточно для каждой биекций γ между множествами вершин входных графов G 1 и G 2 проверить верно ли, что γ Iso(G 1, G 2 ). Каждая проверка имеет сложность O(n 2 ) и количество проверок равно n!. Так что общее число шагов такого алгоритма не превышает n 2 n! exp(o(n log n)). По-видимому, первый анализ проблемы изоморфизма графов возникает в статье Р. Рида и Д. Корнейла (1977), с примечательным названием "Graph isomorphism disease" [33]. Приведенная в ней библиография из 36 работ и последующая библиография из ещё 32 работ [21] содержат ссылки на большое число алгоритмов, которые по предположению их авторов, распознают изоморфизм произвольных графов за полиномиальное время. Однако, все эти предположения оказались несостоятельными. Наилучший результат к настоящему времени получен Л. Бабаи, Ю. Лаксом и В. Кантором (1983) и опирается на классификацию конечных простых групп [9]. Теорема 1.2 Изоморфизм n вершинных графов распознаваем за время exp(o( n log n)). Наилучший алгоритм, не использующий теорию групп, был построен М. Годбергом (1983) и имеет сложность exp O(n) [22]. Упомянем здесь также, что наиболее быстрый с практической точки зрения алгоритм проверки изоморфизма графов принадлежит Б. Маккею и его реализация доступна на его домашней странице. 1.2 Изоморфно полные классы графов. Под классом графов будем понимать произвольное множество графов, инвариантное относительно изоморфизмов. Таким образом, вместе с каждым графом класс содержит также любой изоморфный ему граф. Под проблемой изоморфизма графов из класса K мы понимаем следующую проблему. ISO K (G 1, G 2 ): для графов G 1, G 2 K определить верно ли, что G 1 = G2. Для некоторых классов K указанная проблема может быть решена за полиномиальное время, например, легко проверить, что это так, когда K состоит лишь из полных или пустых 4

5 графов, из цепей или циклов произвольной длины. С другой стороны, как показал Ю. Лакс (1982), сложность проверки изоморфизма в классе n-вершинных регулярных графов фиксированной степени m не превосходит n O(m) (см. [25] и п. 4.1), однако проверить изоморфизм в классе всех регулярных графов ничуть не легче, чем в классе всех графов. Для формализации последней ситуации введём несколько определений. Будем говорить, что проблема P 1 полиномиально сводится к проблеме P 2, если существование алгоритма полиномиальной сложности для проблемы P 2 влечёт существование алгоритма полиномиальной сложности для проблемы P 1 ; в этом случае используется запись P 1 p P 2. Таким образом, для произвольного класса графов K имеем: ISO K p ISO. (3) Две проблемы называются полиномиально эквивалентными, если любая из них полиномиальна сводится к другой. Класс графов K является изоморфно-полным, если проблемы ISO K и ISO являются полиномиально эквивалентными. Упражнение. Цепь графа длины 3, у которой концы равны называется циклом этого графа. Если каждый цикл имеет чётную длину, то граф называется двудольным. Доказать, что граф является двудольным тогда и только тогда, когда множество его вершин можно разбить на два непересекающихся подмножества, каждое из которых индуцирует пустой подграф. Теорема 1.3 Следующие классы графов являются изоморфно-полными: класс связных графов, класс двудольных графов, класс регулярных графов. Доказательство. Предположим, что имеется алгоритм A полиномиальной сложности, распознающий изоморфизм любых двух связных графов. Тогда следующий алгоритм, решает проблему ISO(G 1, G 2 ): (1) найдём число n i компонент связности графа G i, i = 1, 2; (2) если n 1 n 2, то графы G 1 и G 2 неизоморфны; (3) если n 1 = 1, то положим H 1 = G 1 и H 2 = G 2 ; в противном случае перейдём к дополнениям H 1 = G 1 и H 2 = G 2 ; 2 (4) положим ISO(G 1, G 2 ) := A(H 1, H 2 ). Корректность алгоритма является следствием следующих очевидных утверждений: изоморфные графы имеют одно и то же число компонент связности, дополнение несвязного графа является связным, графы изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны их дополнения. Время работы приведенного алгоритма складывается из времени работы на шагах 1 3 и времени работы алгоритма A. Первое, очевидно, ограничено полиномом от размера входных графов. Поэтому ISO p ISO K, где K класс связных графов. Так что требуемое утверждение для K следует из формулы (3). 2 Граф G = (V, E), где E = {(u, v) : (u, v) E}, называется дополнением графа G. 5

6 Предположим, что имеется алгоритм A полиномиальной сложности, распознающий изоморфизм любых двух двудольных графов. Для произвольного графа G = (V, E) определим два новых непересекающихся множества V 1 = {w} и V 2 = {w e : e E} и положим E 1 = {(w e, u) : u e, e E}, E 2 = {(w, w e ) : e E}. Построим новый граф G = (V, E ), в котором V = V V 1 V 2 и E = E 1 E 2. Тогда G K. Действительно, по построению каждое ребро графа G инцидентно точно одной вершине из множества V V 1 и точно одной вершине из множества V 2. Более того, в предположении, что E > 3 и d G (u) < E для всех u V, имеет место эквивалентность: G = H G = H. (4) Действительно, импликация очевидна. Обратно, положим n = V и m = E и предположим, что G = H. Из построения графа G следует, что для всех u V и e E выполнены следующие соотношения: d G (u) = d G (u), d G (w) = m, d G (w e ) = 3. По предположению d G (u) < m, и потому любой изоморфизм γ Iso(G, H ) переводит вершину w в соответствующую вершину графа H. Поскольку w смежна только с вершинами из V 2, образ этого множества относительно γ совпадает с множеством U 2, где U множество вершин графа H. Следовательно, V γ = U и потому ограничение γ биекции γ на множество V также является биекцией. Далее, пусть u, v V. Тогда e = (u, v) является ребром графа G тогда и только тогда, когда существует вершина w e V 2, для которой множество смежных с ней вершин из V совпадает с {u, v}. Аналогично, f = (u γ, v γ ) является ребром графа H тогда и только тогда, когда существует вершина w f U 2, для которой множество смежных с ней вершин из U совпадает с {u γ, v γ }. Таким образом, e ребро графа G тогда и только тогда f ребро графа H. Следовательно, f Iso(G, H), и потому G = H. Эквивалентность (4) доказана. Таким образом, следующий алгоритм, решает проблему ISO(G 1, G 2 ): (1) не умаляя общности будем считать, что V 1 = V 2 =: n и E 1 = E 2 =: m, где V i и E i множества вершин и ребер связного графа G i, i = 1, 2; (2) если d G1 (u) = m для некоторой u V 1, то ISO(G 1, G 2 ) тогда и только тогда, когда d G2 (v) = m для некоторой v V 2 ; (3) если m 3, то n 4 и изоморфизм графов G 1 и G 2 устанавливается перебором всех возможных биекций из V 1 на V 2 ; (4) положим ISO(G 1, G 2 ) := A(G 1, G 2). 6

7 Корректность алгоритма следует из эквивалентности (4). Далее, поскольку граф G i имеет n = n+2m+1 = O(n 2 ) вершин и легко строится из графа G i за время O((n ) 2 ), мы заключаем, что ISO p ISO K, где K класс всех двудольных графов, и требуемое утверждение следует из формулы (3). Для доказательства теоремы для класса всех регулярных графов обозначим его через K и введём вспомогательный класс L, который состоит из всех связных графов, у которых каждая вершина содержится в треугольнике, т.е. множестве трёх попарно смежных вершин. Тогда этот класс является изоморфно-полным. Действительно, как и раньше, достаточно указать эффективную конструкцию, которая по произвольному графу G = (V, E) строит граф G = (V, E ) из класса L, и для которой справедливо утверждение (4). С этой целью возьмём две вершинно непересекающиеся копии G 1 = (V 1, E 1 ) и G 2 = (V 2, E 2 ) графа G. Возьмем произвольное двухэлементное множество X = {x, y}, непересекающееся c V 1 V 2 и положим V = V 1 V 2 X и E = E 1 E 2 E X {(x, y)}, где E X состоит из всех пар (z, u), где z X и u V 1 V 2. Легко видеть, что G L и что d G (z) = 2n + 1 > (n 1) + 2 d G (u) для всех z и u как выше. Поэтому каждый изоморфизм G на другой граф H переводит множество X в соответствующее ему подмножество графа H. Как и раньше, это позволяет построить изоморфизм графа G на граф H. Для завершения доказательства приведём конструкцию, которая по произвольному связному графу G = (V, E) из класса L строит регулярный граф G = (V, E ). Утверждение (4) будет легко следовать из построения; остальная часть доказательства аналогична доказательствам в двух предыдущих случаях и остаётся в качестве упражнения. Возьмём n = V непересекающихся по вершинам копий графа G; пусть G i = (V i, E i ) копия с номером i = 1,..., n. Пусть далее v вершина графа G и X v множество мощности n d G (v). Будем считать, что множества X v, v V, попарно не пересекаются. Положим E v = {(x, v i ) : x X v, i = 1,..., n}, где v i вершина графа G i, соответствующая вершине v. Определим граф G = (V, E ) следующим образом: n n V = X v и E = E v. i=1 V i v V i=1 E i v V Множество вершин, смежных с вершиной v i V i, состоит из d G (v) вершин множества V i и X v = n d G (v) вершин множества X v. С другой стороны, вершина из x X v смежна в точности с вершинами {v 1,..., v n }. Таким образом, G регулярный граф степени n. Далее, легко видеть, что каждая вершина из множества V i содержится в некотором треугольнике с вершинами из этого множества, в то время как ни одна вершина из множества X v не содержится ни в каком треугольнике. Поэтому любой изоморфизм графов G и H индуцирует изоморфизм графов G и H. 7

8 В заключение отметим открытую проблему: является ли изоморфно-полным классом класс всех графов с тривиальной группой автоморфизмов. Легко видеть, что проблемы распознавания и изоморфизма для этого класса являются полиномиально эквивалентными. 1.3 Проблема изоморфизма для категорий. Класс всех графов является примером категории; для наших целей достаточно понимать категорию как класс конечных объектов (комбинаторных, алгебраических или геометрических), в котором определено понятие изоморфизма и группы автоморфизмов. Проблема изоморфизма ISO K естественным образом расширяется на случай, когда K является категорией, в которой для каждого объекта можно определить его задание и размер последнего. Будем говорить, что категория K изоморфнополная, если проблемы ISO и ISO K полиномиально эквивалентны. Приведем несколько примеров. Пусть G = (V, E) граф и c произвольная сюръективная функция из V в начальный отрезок натурального ряда I = {1,..., m}, где m 1. Будем интерпретировать эту функцию как раскраску вершин в цвета из множества I; таким образом, вершина v V имеет в этой раскраске цвет c(v). Множество c 1 (i) V называется цветным классом, отвечающим цвету i I. Под раскрашенным графом будем понимать пару (G, c) (опуская в некоторых случаях c для сокращения записи). Под изоморфизмом раскрашенного графа (G 1, c 1 ) на раскрашенный граф (G 2, c 2 ) будем понимать изоморфизм γ Iso(G 1, G 2 ), который сохраняет цвета, т.е. c 2 (v γ ) = c 1 (v), v V 1, где V 1 множество вершин графа G 1. Такой изоморфизм иногда называют цветным изоморфизмом. Два раскрашенных графа G 1 и G 2 называются изоморфными, G 1 = G2, если найдётся цветной изоморфизм первого графа на второй. Множество всех цветных изоморфизмов раскрашенного графа G 1 на раскрашенный граф G 2 также обозначается через Iso(G 1, G 2 ). Группа Aut(G) цветных автоморфизмов раскрашенного графа G определяется формулой (2). Наконец, раскрашенный граф G с n вершинами может быть задан с помощью матрицы смежности A = A(G), т.е. n n матрицы вида 1, если (u, v) E, A uv = 0, если (u, v) E и u v, c(u), если u = v. В этом случае вклад в длину входа не превосходит O(n 2 log m), где m число цветов раскраски c. Множитель log m появляется, поскольку длина записи каждого числа из множества I = {1,..., m} в двоичной системе требует не более log m битов. Теорема 1.4 Категория раскрашенных графов является изоморфно-полной. Доказательство. Пусть G = (V, E) простой граф. Обозначим через c функцию, раскрашивающую его вершины в один и тот же цвет 1. Тогда G = (G, c) раскрашенный граф и каждый изоморфизм графа G на простой граф H является также цветным изоморфизмом 8

9 раскрашенного графа G на раскрашенный граф H. Поэтому, ISO p ISO K, где K категория всех раскрашенных графов. Для доказательства того, что ISO K p ISO, пусть (G, c) раскрашенный граф. Положим n = V и m = I, где I множество цветов раскраски c. Для каждой вершины v V выберем множество X v мощности n+2c(v) и зафиксируем в нём произвольный элемент w v. Не умаляя общности будем считать, что множества X v попарно не пересекаются и не содержат элементов из V. Положим V = V v V X v и E = E {(v, w v ) : v V } v V E v, где E v множество всех двухэлементных подмножеств множества X v. Таким образом, граф G = (V, E ) имеет n + v X v n + n 2n = O(n 2 ) вершин и может быть построен из раскрашенного графа G за полиномиальное время от его размера. Более того, G = H G = H. (5) Импликация очевидна. Для доказательства импликации заметим, что из построения следует, что степени вершин графа G определяются следующей формулой d G (v) + 1, если v = v V, d G (v ) = n + 2i, если v = w v и c(v) = i, n + 2i 1, если v X v, v w v и c(v) = i. Поскольку d G (v) n 1 для всех v V, из приведенной формулы следует, что каждый изоморфизм γ графа G на граф H, где H граф с множеством вершин U, переводит множество V в множество U. Тогда ограничение γ изоморфизма γ на множество V является изоморфизмом раскрашенного графа G на раскрашенный граф H. Действительно, все рёбра графа G являются рёбрами и в G. Поэтому достаточно проверить лишь, что γ сохраняет цвета вершин. Однако, из определения биекции γ следует, что (w v ) γ = w v γ для всех v V. Поскольку также c(v) = (d G (w v ) n)/2 и d G (w v ) = d H ((w v ) γ ), мы получаем, что c(v) = (d G (w v ) n)/2 = (d H ((w v ) γ n)/2 = (d H (w v γ) n)/2 = c(v γ ) для всех v V, что завершает доказательство требуемого утверждения. Приведём три других категории, в которых проблема изоморфизма сводится к проблеме изоморфизма графов. Пусть V конечное множество и R произвольное бинарное отношение на V, т.е. R V V. Тогда пара G = (V, R) называется ориентированным графом с множеством вершин V и множеством дуг R. Множество ориентированных графов образует категорию относительно естественным образом определяемых изоморфизмов. Следствие 1.5 Категория ориентированных графов является изоморфно-полной. 9

10 Доказательство. Каждому простому графу G отвечает ориентированный граф G, в котором ребру {u, v} соответствует пара дуг (u, v) и (v, u). Легко видеть, что при этом G = H тогда и только тогда, когда G = H. Поэтому ISO p ISO K, где K категория раскрашенных графов. Обратно, пусть G = (V, R) ориентированный граф. Возьмём три непересекающиеся копии V 1, V 2 и V 3 множества V и положим E = {{u 1, v 2 } : (u, v) R} {{v 1, v 3 }, {v 2, v 3 } : v V }, где u i и v j элементы множеств V i и V j, соответствующие вершинам u и v ориентированного графа G. Определим раскраску c вершин простого графа (V 1 V 2 V 3, E) в три цвета так, что V i множество всех вершин цвета i = 1, 2, 3. Полученный цветной граф обозначим через G. Тогда легко видеть, что G = H тогда и только тогда, когда G = H. Поэтому ISO K p ISO L, где L категория раскрашенных графов. Для завершения доказательства остается заметить, что ISO L p ISO по теореме (1.4), и потому ISO K p ISO. Упражнение. Обозначим через K категорию всех пар (V, R), где V конечное множество порядка n и R упорядоченное множество из n O(1) бинарных отношений на V. Изоморфизмами в этой категории считаем биекции, сохраняющие отношения из R. Доказать, что категория K изоморфно-полная. Пусть P конечное множество, и L совокупность некоторых его подмножеств. Будем называть элементы из P и элементы из L точками и прямыми. Предположим, что а) две различных точки содержатся в единственной общей прямой, б) две различных прямых пересекаются в единственной точке, в) существуют четыре точки, никакие три из которых не принадлежат одной прямой. Тогда пара (P, L) называется конечной проективной плоскостью. Совокупность всех конечных проективных плоскостей образует категорию, в которой изоморфизмами являются биекции, переводящая точки (соотв. прямые) одной плоскости в точки (соотв. прямые) другой плоскости, и сохраняющие отношение инцидентности. Можно показать, что для каждой конечной проективной плоскости (P, L) существует натуральное число n, называемое её порядком, и такое, что каждая прямая содержит n + 1 точку, каждая точка принадлежит в точности n + 1 прямым и P = L = n 2 + n + 1. Для каждой степени простого числа n 8 имеется точно одна (с точностью до изоморфизма) проективная плоскость порядка n (наименьшая из них плоскость Фано порядка 2 имеет 7 точек и 7 прямых, каждая размера 3). До настоящего времени открыт вопрос о существовании конечных проективных плоскостей, порядок которых не является степенью простого. С другой стороны, для бесконечного множества степеней простых n имеется экспоненциально много неизоморфных конечных проективных проективных плоскостей порядка n. Следствие 1.6 Пусть K категория конечных проективных плоскостей. Тогда ISO K ISO. Доказательство. Пусть (P, L) конечная проективная плоскость. Образуем простой граф с множеством вершин P L, в котором рёбрами являются пары {p, l} такие, что p P, 10

11 l L и p l. Определим раскраску c вершин этого графа в два цвета так, что c 1 (1) = P и c 1 (2) = L. Полученный таким образом раскрашенный граф обозначим через G(P, L). Тогда легко видеть, что проективные плоскости (P 1, L 1 ) и (P 2, L 2 ) изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны раскрашенные графы G(P 1, L 1 ) и G(P 2, L 2 ). Поэтому ISO K p ISO L, где L категория раскрашенных графов. Для завершения доказательства остается заметить, что ISO L p ISO по теореме (1.4), и потому ISO K p ISO. Отметим, что имеется алгоритм распознавания изоморфизма конечных проективных плоскостей порядка n за время n O(log log n). Поэтому сводимость в следствии 1.6 трудно обратить. Следствие 1.7 Пусть K категория конечных групп. Тогда ISO K ISO. Доказательство. Пусть K конечная группа, заданная таблицей умножения. Обозначим через V дизъюнктное объединение трёх копий K 1, K 2, K 3 множества K и множества K 4 размера n 2, где n = K. При i = 1, 2, 3 будем обозначать через k i элемент множества K i, отвечающий элементу k K; элементы из K 4 будем обозначать v kl, где k, l K. Положим E = {{k 1, k 2 }, {k 2, k 3 }, {k 1, k 3 }} {{k 1, v km }, {l 2, v km }, {(km) 3, v km }}. k K k,m K Определим раскраску c простого графа (V, E) в четыре цвета так, чтобы c 1 (i) = K i при i = 1, 2, 3, 4. Полученный раскрашенный граф с n 2 + 3n вершинами обозначим через G(K). Ясно, что у изоморфных групп K и K раскрашенные графы G(K) и G(K ) также изоморфны. Обратно, пусть γ цветной изоморфизм раскрашенного графа G(K) на раскрашенный граф G(K ). Тогда ограничение γ на K 1 K 2 K 3 является изоморфизмом соответствующих индуцированных подграфов графов G(K) и G(L). 3 Поскольку компоненты связности последних однозначно соответствуют элементам групп K и K, это ограничение индуцирует биекцию γ : K K, для которой (k i ) γ = (k γ ) i, k K, i = 1, 2, 3. (6) Пусть k, m K. Тогда (v km ) γ = v k m для некоторых k, m K. Заметим, что вершина v km смежна в графе G(K) с единственной вершиной из каждого множества K 1, K 2 и K 3, и эти вершины совпадают с k 1, m 2 и (km) 3. Аналогично, вершина v k m смежна в графе G(K ) с единственной вершиной из каждого множества K 1, K 2 и K 3, и эти вершины совпадают с k 1, m 2 и (k m ) 3. Поэтому (k 1 ) γ = (k ) 1, (m 2 ) γ = (m ) 2, ((km) 3 ) γ = (k m ) 3. В силу (6) отсюда следует, что (k γ ) 1 = k 1, (m γ ) 2 = m 1 и ((km) γ ) 3 = (k m ) 3. Таким образом, k γ = k, m γ = m и (km) γ = k m = k γ m γ. Следовательно, γ изоморфизм группы K на группу K. Тем самым мы доказали, что ISO K p ISO L, где L категория раскрашенных графов. Для завершения доказательства остается заметить, что ISO L p ISO по теореме (1.4), и потому ISO K p ISO. В последующих параграфах мы построим алгоритм распознавания изоморфизма конечных групп порядка n за время n O(log n). Поэтому сводимость в следствии 1.7 трудно обратить. 3 В случае раскрашенных графов индуцированный подграф наследует раскраску исходного графа. 11

12 1.4 Проблемы, эквивалентные проблеме изоморфизма. Рассмотрим несколько проблем, полиномиально эквивалентных проблеме изоморфизма графов. Изложение следует статье Р. Матона (1979) [26]. IMAP(G 1, G 2 ): для графов G 1 и G 2 найти биекцию γ Iso(G 1, G 2 ) или установить, что последнее множество пусто. Выходом алгоритма для проблемы считается множество, которое либо пусто (и тогда входные графы неизоморфны), либо состоит из некоторого изоморфизма графа G 1 на граф G 2. Таким образом графы G 1 и G 2 изоморфны тогда и только тогда, когда IMAP(G 1, G 2 ). Это доказывает, что ISO p IMAP. Для доказательства обратного включения будем использовать следующую конструкцию индивидуализации вершины раскрашенного графа: для раскрашенного графа (G, c) и его вершины u V пусть (G, c u ) раскрашенный граф, в котором цвет всех вершин v u не меняется, и c u (u) = m + 1, где m число цветов раскраски c. (Если цветной класс графа G, содержащий вершину u, состоит только из неё самой, то полагаем c u = c.) Теорема 1.8 Проблемы ISO и IMAP полиномиально эквивалентны. Доказательство. В силу сказанного выше достаточно проверить, что IMAP p ISO. По теореме 1.4 достаточно доказать, что проблема IMAP полиномиально сводится к проблеме ISO K, где K категория раскрашенных графов. Предположим далее, что нам дан алгоритм для решения проблемы ISO K. Тогда следующий алгоритм решает проблему IMAP(G 1, G 2 ) для раскрашенных графов G 1 и G 2 : (1) пусть c i раскраска графа G i в m i 1 цветов, i = 1, 2. Не умаляя общности будем считать, что m 1 = m 2 =: m и что c 1 1 (i) = c 1 2 (i) для i = 1,..., m; в противном случае положим IMAP(G 1, G 2 ) :=. (2) если c 1 1 (i) = 1 для всех i, то обозначим через γ единственную биекцию из V 1 на V 2, сохраняющую цвета вершин. Положим IMAP(G 1, G 2 ) = {γ}, если γ Iso(G 1, G 2 ); в противном случае IMAP(G 1, G 2 ) :=. (3) выберем произвольную вершину u 1 V 1, для которой c 1 1 (i) > 1, где i = c 1 (u 1 ). Найдём вершину u 2 c 1 2 (i), для которой ISO K (H 1, H 2 ), где H i = (G i, (c i ) ui ) для i = 1, 2. Если такой вершины нет, то положим IMAP(G 1, G 2 ) :=. (4) положим IMAP(G 1, G 2 ) := IMAP(H 1, H 2 ). Для доказательства корректности достаточно заметить, что корректен выход алгоритма на шаге 2 (конец рекурсии) и в начале шага 4 всегда имеет место равенство IMAP(G 1, G 2 ) IMAP(H 1, H 2 ). Поскольку, на каждом шаге рекурсии число цветных классов рассматриваемых графов строго возрастает, то глубина рекурсии не превосходит числа вершин n этих графов. Поэтому общее 12

13 число обращений к алгоритму для проблемы ISO K не превосходит n 2 (не более n на каждом шаге рекурсии). Таким образом, IMAP p ISO K. Рассмотрим следующую простую конструкцию. Пусть G 1 = (V 1, E 1 ) и G 2 = (V 2, E 2 ) два простых графа с непересекающимися множествами вершин одного и того же размера n. Положим V 12 = V 1 V 2 {x 1, x 2 } и E 12 = E 1 E 2 {(x 1, x 2 )} {(x i, v) : i = 1, 2, v V 1 V 2 }, (7) где x 1 и x 2 различные элементы, не принадлежащие множеству V 1 V 2. Тогда G 12 = (V 12, E 12 ) простой граф с 2n + 2 вершинами, в котором степени вершин x 1 и x 2, равные n + 1, больше степеней всех других вершин (которые n). Отсюда легко следует, что каждый автоморфизм γ графа G 12 либо фиксирует вершины x 1 и x 2, либо меняет их местами. В первом случае, ограничение его на множество V i индуцирует автоморфизм γ i графа G i, i = 1, 2; обратно, по любым двум таким автоморфизмам строится единственный автоморфизм графа G 12, ограничение которого на V i совпадает с γ i. Во втором случае, (V i ) γ = V 3 i и ограничение γ на V i является изоморфизмом графа G i на граф G 3 i ; обратно любые два таких изоморфизма индуцируют автоморфизм графа G 12, меняющий местами x 1 и x 2. Приведенное рассуждение показывает, что Aut(G 12 ) = Aut(G 1 ) Aut(G 2 ) + Iso(G 1, G 2 ) 2. Поскольку, по определению также Aut(G) = Iso(G, G) для любого графа G, описанная выше конструкция устанавливает полиномиальную эквивалентность двух следующих проблем. ICOUNT(G 1, G 2 ): для графов G 1 и G 2 найти число Iso(G 1, G 2 ). ACOUNT(G): для графа G найти число Aut(G). Заметим, что число изоморфизмов между двумя n-вершинными графами не превосходит числа n! всех возможных биекций между их множествами вершин. Поэтому длина выхода в обеих проблемах не превосходит log n! = O(n log n). Теорема 1.9 Проблемы ISO, ICOUNT и ACOUNT полиномиально эквивалентны. Доказательство. Ясно, что G 1 = G2 если и только если ICOUNT(G 1, G 2 ) > 0. Поэтому ISO p ICOUNT. Для доказательства обратной сводимости (с учётом установленной выше полиномиальной эквивалентности проблем ICOUNT и ACOUNT) достаточно доказать по теореме 1.4, что ICOUNT p ISO K, где K категория раскрашенных графов. Предположим далее, что нам дан алгоритм для решения проблемы ISO K. Тогда следующий алгоритм, решает проблему ICOUNT(G 1, G 2 ) для раскрашенных (а потому и для простых) графов G 1 и G 2 : (1) пусть c i раскраска графа G i в m i 1 цветов, i = 1, 2. Не умаляя общности будем считать, что m 1 = m 2 =: m и что c 1 1 (i) = c 1 2 (i) для i = 1,..., m; в противном случае положим ICOUNT(G 1, G 2 ) := 0. 13

14 (2) если c 1 1 (i) = 1 для всех i, и единственная биекция из V 1 на V 2, сохраняющая цвета вершин, принадлежит множеству Iso(G 1, G 2 ), то ICOUNT(G 1, G 2 ) = 1; в противном случае ICOUNT(G 1, G 2 ) := 0. (3) выберем цвет i, для которого цветной класс c 1 1 (i) содержит более чем одну вершину и пусть c 1 (u 1 ) = i. Положим X = {u 2 V 2 : c 2 (u 2 ) = i и ISO K (H 1, H 2 ) }, где H 1 = (G 1, (c 1 ) u1 ) и H 2 = (G 2, (c 2 ) u2 ). Если X =, то положим ICOUNT(G 1, G 2 ) := 0. (4) Выберем произвольно u 2 X и положим ICOUNT(G 1, G 2 ) := X ICOUNT(H 1, H 2 ). Доказательство корректности в случаях, когда ICOUNT(G 1, G 2 ) равно 0 или 1 (шаги 1, 2, 3) очевидно. На шаге 4 образы вершины u 1 относительно произвольного изоморфизма имеют цвет c(u 1 ) = i, и образуют множество X, определенное на шаге 4. Поэтому Iso(G 1, G 2 ) = Iso(H 1, H 2 ). (8) u 2 X С другой стороны, для любых двух элементов γ, δ из правой части перестановка γδ 1, очевидно, принадлежит группе Iso(H 1, H 1 ) = Aut(H 1 ). Поэтому Iso(H 1, H 2 ) = Aut(H 1 ) для всех u 2 X. Таким образом, из равенства (8) следует, что Iso(G 1, G 2 ) = X Iso(H 1, H 2 ). Корректность алгоритма доказана. Тот факт, что время работы является полиномиальным от числа вершин входных графов и времени работы алгоритма для проблемы ISO K проверяется также, как и в теореме 1.8. Глубокая связь проблемы изоморфизма графов с теорией групп перестановок устанавливается в теореме 1.10, которую мы докажем ниже. Для формулировки этой теоремы напомним, что любое множество Λ Sym(V ) перестановок множества V определяет подгруппу Λ группы Sym(V ), состоящую из всевозможных произведений перестановок множества Λ. Эта группа совпадает с пересечением всех подгрупп симметрической группы, которые содержат Λ: Λ = Γ. Λ Γ Sym(V ) Говорят, что группа Γ Sym(V ) порождается множеством Λ Sym(V ), если Γ = Λ ; в этом случае Λ называется множеством образующих группы Γ. Разумеется, группа может иметь разные множества образующих (например, таковым является она сама). Упражнение. Перестановка γ Sym(V ) называется циклом длины m, если найдётся mподмножество {v 1,..., v m } множества V такое, что ( ) v1 v γ = 2 v m 1 v m y 1 y n m. v 2 v 3 v m v 1 y 1 y n m 14

15 В этом случае используется запись γ = (v 1,..., v m ) (множество V обычно ясно из контекста). Два цикла (v 1,..., v m ) и (u 1,..., u k ) независимы, если v i u j для всех i, j. Доказать, что каждая перестановка является произведением независимых циклов и что группа Sym(V ) порождается всеми циклами длины 2. В следующей проблеме требуется найти произвольное множество образующих группы автоморфизмов графа. AGEN(G): для графа G найти множество образующих группы Aut(G). Теорема 1.10 Проблемы ISO и AGEN полиномиально эквиваленты. Доказательство. Докажем сначала, что ISO p AGEN. С этой целью, пусть G 1 и G 2 графы с одинаковым числом вершин и G 12 граф, определённый сразу же за формулами (7). Из свойств этого графа, приведённых там, следует, что два графа G 1 и G 2 изоморфны в том и только в том случае, когда множество когда найдётся такой автоморфизм γ Aut(G 12 ), что x 2 = (x 1 ) γ. Однако, легко видеть, что последнее утверждение эквивалентно тому, что каждое множество образующих группы Aut(G 12 ) содержит такой автоморфизм. Отсюда следует, что ISO p AGEN. Обратно, алгоритм теоремы 1.8 показывает, что IMAP K p ISO K, где K категория раскрашенных графов и IMAP K проблема, аналогичная IMAP, но в категории K. Поэтому в силу теоремы 1.4 достаточно доказать, что AGEN p IMAP K. Следующий алгоритм вычисляет множество AGEN(G) для раскрашенного в m цветов графа G с множеством вершин V и раскраской c. (1) если c 1 1 (i) = 1 для всех i = 1,..., m, то AGEN(G) := {id V }. (2) найдём цветной класс X раскраски c, содержащий по крайней мере 2 вершины. (3) AGEN(G) := AGEN(G x ) y X IMAP K(G x, G y ), где G x = (G, c x ) и G y = (G, c y ). Для доказательства корректности заметим, что для каждой вершины x X группа Aut(G x ) состоит из всех перестановок γ Aut(G), для которых x γ = x. Более того, для остальных перестановок γ мы имеем x γ X (поскольку автоморфизмы графа G должны сохранять цвета). Наконец, множество Aut(G x )γ Aut(G) является правым классом смежности группы Aut(G) по подгруппе Aut(G x ) и x δγ = x γ для всех δ Aut(G x ). Поэтому Aut(G) = Aut(G x )γ y = Aut(G x ) Aut(G x )γ y, y X y X {x} где γ y любой элемент из Aut(G), переводящий вершину x в вершину y (если для некоторого y X не существует ни одного элемента γ y, множество Aut(G x )γ y считается пустым). Поэтому любой элемент из Aut(G) является произведением некоторого элемента из Aut(G x ) и одного из элементов γ y, где y X {x}. Так что множество, найденное на шаге 3 действительно является множеством образующих группы Aut(G). Корректность алгоритма доказана. 15

16 Время работы складывается из проверки размеров цветных классов, построения графов вида G y, и не более чем n 2 обращений к алгоритму IMAP K (G x, G y ). Так что, AGEN p IMAP K. Ещё одна проблема, эквивалентная проблеме изоморфизма графов, использует понятие автоморфного разбиения, определяемого следующим образом. Пусть G простой граф с множеством вершин V. Определим бинарное отношение на последнем множестве, полагая u v в том и только в том случае, если v = u γ для некоторого автоморфизма γ Aut(G). Легко видеть, что является отношением эквивалентности и его классы образуют разбиение множества V. Это разбиение и называется автоморфным разбиением графа G. (В действительности оно есть ничто иное, как разбиение множества V на орбиты группы Aut(G), см. 3.1). APART(G): найти автоморфное разбиение графа G. Из свойств графа G 12, определённого сразу же за формулами (7), следует, что два графа G 1 и G 2 изоморфны в том и только в том случае, когда множество {x 1, x 2 } V 12 является классом автоморфного разбиения графа G 12. Поэтому ISO p APART. С другой стороны, как мы увидим в 3.1, автоморфное разбиение графа G полиномиально вычислимо по любому множеству образующих группы Aut(G). Следовательно, APART p AGEN, и по теореме 1.10 мы заключаем, что APART p ISO. Таким образом, имеет место следующее утверждение. Теорема 1.11 Проблемы ISO и APART полиномиально эквивалентны. 16

17 2 Комбинаторные алгоритмы проверки изоморфизма 2.1 Построение канонической формы почти всех графов. Пусть G = (V, E) граф и σ биекция из множества V на некоторое множество V. Положим G σ = (V, E ), где E = {(u σ, v σ ) : (u, v) E} граф с множеством вершин V. Ясно, что σ Iso(G, G σ ) и, в частности, G = G σ. Если V = {1,..., n}, то биекция σ называется пометкой графа G, а число v σ меткой вершины v. Для произвольного класса графов K будем обозначать через K * совокупность всех графов вида G σ, где G K и σ пометка графа G. Каждому графу G K * сопоставим строку, состоящую из нулей и единиц и определяемую следующим образом a(g) = (A 11,..., A 1n, A 21,..., A 2n,..., A n1,..., A nn ), (9) где n число вершин графа G и A = A(G) его матрица смежности. Это задаёт линейный порядок в K *, в котором неравенство G 1 < G 2 означает, что либо V 1 < V 2, либо V 1 = V 2 и a(g 1 ) < a(g 2 ), т.е. что строка a(g 1 ) лексикографически меньше строки a(g 2 ). Произвольное отображение CF : K K * называется каноническим, если выполнены следующие два условия: (1) для всех G K имеем: CF(G) = G, (2) для всех G, H K имеем: CF(G) = CF(H) G = H. Заметим, что первое из этих условий влечёт, что CF(G) = G σ для некоторой пометки σ графа G, и потому для любой пометки вида γσ, где γ Aut(G). Граф CF(G) и любая из этих пометок называются канонической формой и канонической пометкой графа G. Отметим, что, вообще говоря, имеется много канонических отображений, одним из которых, например, является следующее: CF(G) = max{g σ : σ пометка графа G}. Проблема состоит в том, что обычно каноническую форму трудно найти. С другой стороны, в силу условия (2) проблема изоморфизма графов в классе K, полиномиально сводится к следующей проблеме. CANON K (G): найти каноническую пометку графа G K. Здесь имеется в виду, что решением этой проблемы является алгоритм, который по заданному графу G строит некоторую его пометку σ так, что отображение G G σ является каноническим. До настоящего времени неизвестно, верно ли что CANON K p ISO K. Рассмотрим следующий алгоритм, предложенный L.Babai, P.Erdös и S.Selkow (1980), который по заданному n-вершинному графу G и натуральному числу r n строит множество C r (G), которое либо состоит из единственной пометки этого графа, либо пусто. Ниже предполагается, что граф G имеет вершины v 1,..., v n и w(v i ) = r j=1 A ij2 j, где A ij = A vi v j. 17

18 (1) упорядочим множество {v 1,..., v n } так, чтобы d G (v 1 ) d G (v n ). (2) если d G (v i ) = d G (v i+1 ) для некоторого i = 1,... r, то C r (G) :=. (3) упорядочим множество {v r+1,..., v n } так, чтобы w(v r+1 ) w(v n ). (4) если w(v i ) = w(v i+1 ) для некоторого i = r + 1,... n 1, то положим C r (G) =. (5) положим C r (G) = {σ}, где σ : v i i пометка графа G. Обозначим через K n,r класс всех графов G с множеством вершин {1,..., n}, для которых C r (G). Предположим, что G и H графы из этого класса. Тогда C r (G) = {σ} и C r (H) = {δ} для некоторых пометок σ и δ. Если G σ = H δ, то G σδ 1 = H. Поэтому σδ 1 Iso(G, H) и, следовательно, G = H. Обратно, предположим, что λ Iso(G, H). Тогда, поскольку d G (v i ) = d H ((v i ) λ ) для всех i = 1,..., n, и после шага 2 выполнены неравенства d G (v 1 ) > > d G (v r ) > d G (v i ) и d H (u 1 ) > > d H (u r ) > d H (u i ) при i = r+1,..., n, где u 1,..., u n вершины графа H, мы заключаем, что (v i ) λ = u i для i r. Далее, обозначим через X i (соотв. Y i ) множество всех вершин с индексами r, смежных с v i (соотв. u i ). Тогда X i состоит из всех v j, для которых j-ая позиция в двоичном разложении числа w(v i ) равна единице, и аналогичное утверждение верно и для Y i. Поскольку (v i ) λ = u i при i r, упорядочение вершин с номерами r + 1 на шаге 3 вместе с условием шага 4 показывают, что (v i ) λ = u i и для i > r. Так что, (v i ) λ = u i, i = 1,..., n. По определению пометки на шаге 5 получаем, что (v i ) σ = i = (u i ) δ для всех i. Поэтому G σ = H δ. Таким образом, доказано следующее утверждение. Лемма 2.1 В классе K r = n K n,r отображение G G σ, где пометка σ определяется условием C r (G) = {σ}, является каноническим и вычисляется за время O(n 2 ). Можно показать, что при r = 3 log n/ log 2, класс K r состоит из почти всех графов в том смысле, что отношение K n,r / K n стремится к единице при n, где K n класс всех 2 (n 2) графов с n вершинами. Из этого результата и леммы 2.1 получается следующая теорема. Теорема 2.2 Для почти-всех графов с n вершинами проблема изоморфизма разрешима за время O(n 2 ). 18

19 2.2 Распознавание изоморфизма деревьев. Простой граф называется деревом, если он связный и не содержит циклов. Очевидно, что цепь любой длины является деревом, и что каждое дерево является двудольным графом. Следующее утверждение устанавливает основные свойства деревьев. Теорема 2.3 Пусть G дерево с n вершинами. Тогда (1) если n 2, то G содержит по крайней мере один лист, т.е. вершину степени 1, (2) G содержит в точности n 1 ребер, (3) любые две вершин в G являются концами точно одной простой цепи. Доказательство. Для доказательства утверждения (1) предположим, что любая вершина смежна с по крайней мере двумя другими. Рассмотрим цепь v = v 0, v 1,..., v m = u графа G, в которой все вершины различны и число m максимальное из возможных. Тогда m 2. Более того, поскольку d G (u) 2, вершина u смежна с некоторой вершиной w, отличной от v m 1. Из максимальности m следует, что w = v i для некоторого i {0,..., m 2}. Однако, в этом случае вершины w = v i, v i+1,..., v m образуют цикл в графе G. Противоречие. Утверждение (2) легко следует из утверждения (1) индукцией по числу вершин. Наконец, для доказательства утверждение (3) достаточно заметить, что если две вершины являются концами двух различных цепей P 1 и P 2, то в графе, индуцированном множеством P 1 P 2 найдётся цикл графа G. Дерево с выделенной вершиной v называется корневым деревом с корнем v. Корневое дерево естественно рассматривать как раскрашенный граф с двумя цветными классами, один из которых состоит в точности из корня. Таким образом, изоморфизм двух корневых деревьев это любой изоморфизм между ними, который переводит корень одного в корень другого. Лемма 2.4 Проблема изоморфизма деревьев полиномиально эквивалентна проблеме изоморфизма корневых деревьев. Доказательство. Пусть K и L классы всех деревьев и корневых деревьев соответственно. Имея алгоритм для проблемы ISO L и два дерева G и H, применим первый к парам корневых деревьев G v и H x, где v вершина дерева G, а x пробегает все вершины дерева H. Очевидно, G = H тогда и только тогда, когда G v = Hx для некоторой вершины x. Поэтому ISO K p ISO L. Обратно, для корневого дерева G = (V, E) с n вершинами и корнем v обозначим через G дерево, полученное из G добавлением n + 1 новой вершины v 0,..., v n, и n + 1 новых рёбер: (v 0, v i ), i = 1,..., n, и (v 0, v). Не умаляя общности можно считать, что n > 1. Тогда по построению имеем: d G (v) + 1, если u = v, d G (u), если u v вершина G, d G (u) = n + 1, если u = v 0, 1, если u = v i, i 0. 19

20 Поскольку степень любой вершины в G не превосходит n 1 и n 2, v 0 единственная вершина максимальной степени в G, а вершина v единственная вершина смежная с v, которая имеет степень 2. Поэтому при любой изоморфизме из G на H вершины v 0 и v перейдут в соответствующие вершины H. Отсюда легко следует, что ограничение этого изоморфизма на множество вершин дерева G является изоморфизмом из G на H, сохраняющий корни. Таким образом, Iso L p Iso K. Пусть G = (V, E) корневое дерево с корнем v. Обозначим через m максимальную длину цепи, соединяющей v с вершиной графа G. Уровнем вершины u V назовём число L(u) = m m u,v, где m u,v длина единственной цепи, соединяющей u и v (утверждение (3) теоремы 2.3). Ясно, что множество V разбивается в объединение множеств V i = {u V : L(u) = i}, i = 0,..., m. Таким образом, V 0 состоит из листьев дерева G (не всех!), т.е. тех вершин, которые находятся на расстоянии m от v, и V m = {v}. Сыновьями вершины u называются вершины уровня L(u) 1, смежные с u; таким образом, у листьев дерева сыновей нет, и каждый нелист имеет по крайней мере одного сына. Рассмотрим следующий алгоритм, который распознаёт изоморфизм корневых деревьев G и G (с корнями v и v ). В процессе алгоритма строятся раскраски c и c вершин обоих деревьев так, что G = G тогда и только тогда, когда c(v) = c (v ). 4 (1) Положим c(u) = c (u ) = 0 для всех листьев u V и u V. (2) Для каждого i = 1,..., m определим раскраску c на V i и раскраску c на V i шаги 3 5. выполняя (3) Для каждого нелиста u V i найдём строку s(u) = (c(u 1 ),..., c(u t )), состоящую из цветов её сыновей u 1,...,u t, упорядоченных так, что c(u i ) c(u j ) i j. Используя c вместо c аналогично определим s(u ) для всех нелистьев u V i. (4) Пусть w 1,..., w a все нелистья из V i, упорядоченные так, что i j строка s(w i ) лексикографически не больше строки s(w j ). Аналогично упорядочим все нелистья w 1,..., w b из V i. (5) если a b или s(w i ) s(w i) для некоторого i, то корневые деревья G и G неизоморфны. В противном случае, положим c(w i ) = c (w i) = i, i = 1,..., a. Приведённый алгоритм, очевидно, имеет полиномиальную сложность от числа вершин дерева G. В следующей лемме описываются свойства этого алгоритма. Ниже для вершины u дерева G через G(u) обозначается подграф графа G, индуцированный множеством потомков, т.е. таких вершин w, единственная цепь из которых в v содержит вершину u. Будем рассматривать, G(u) как корневое дерево с корнем u. Ясно, что любой изоморфизм γ корневого дерева G на корневое дерево G индуцирует изоморфизм корневого дерева G(u) на корневое дерево G (u ), где u = u γ. Отметим также, что G(v) = G, поскольку потомками корня, конечно, являются все вершины графа G. 4 Здесь будем считать, что минимальный цвет раскраски равен 0. 20

21 Лемма 2.5 Пусть G и G корневые деревья и c и c раскраски их вершин, построенные приведенным выше алгоритмом. Тогда для любой пары вершин u V и u V таких, что L(u) = L(u ) корневые деревья G(u) и G (u ) изоморфны тогда и только тогда, когда c(u) = c (u ). Доказательство. Необходимость нашего утверждения очевидна. Для доказательства достаточности используем индукцию по уровню L(u) = L(u ). Если u лист, то c(u) = 0 и потому c (u ) = 0. В этом случае G(u) и G (u ) одновершинные деревья и наше утверждение очевидно. В противном случае, пусть u 1,..., u t сыновья u. Поскольку c(u) = c (u ), мы имеем s(u) = s(u ) и, следовательно, u также имеет t сыновей, скажем u 1,..., u t. Более того, в силу равенства s(u) = s(u ) можно также считать, что c(u i ) = c (u i) для всех i = 1,..., t. По индукции отсюда следует, что корневые деревья G(u i ) и G (u i) изоморфны. Однако, в этом случае, как легко видеть, изоморфны и корневые деревья G(u) и G (u ). Теорема 2.6 Каноническая пометка корневого дерева с n вершинами строится за время n O(1). 5 Доказательство. Отметим, что алгоритм проверки изоморфизма корневых деревьев индуцирует некоторую раскраску такого дерева: достаточно применить его при G = G. Используя такую раскраску c определим новую раскраску c корневого дерева G следующим образом: (1) для каждой вершины u V найдём единственную цепь u = u 0, u 1,..., u k = v, соединяющую её с корнем, и положим s(u) = (c(u 0 ),..., c(u k )). (2) определим c так, чтобы c(u) = c(u ) s(u) = s(v), и чтобы c(u) > c(u ) s(u) > s(u ). Ясно, что c(u) = c(u ) влечёт c(u) = c(u ) для всех u, u, и что для всех i < j цвет любой вершины множества V i меньше цвета любой вершины множества V j. Более того, справедливо следующее утверждение. Лемма 2.7 Классы автоморфного разбиения вершин дерева G совпадают с цветными классами раскраски c. Если H корневое дерево и его раскраска d получается описанной выше процедурой, то Iso(G, H) = Iso(G, H ), где G = (G, c) и H = (H, d). Доказательство. Пусть u и u вершины дерева G. Предположим, что c(u) = c(u ) и покажем, что u γ = u для некоторого γ Aut(G). В силу равенства цветов вершин u и u единственные цепи u = u 0, u 1,..., u k = v и u = u 0, u 1,..., u k = v имеют одну и ту же длину k = k и c(u i ) = c(u i) для i = 0,..., k. Поскольку, более того, корневые деревья G(u i ) и G(u i) изоморфны для всех i (лемма 2.5), индукцией по i = k, k 1,..., 0 можно найти γ Aut(G), для которого (u i ) γ = u i. Для завершения доказательства первого утверждения, достаточно заметить, что если c(u) c(u ), то L(u) = L(u ) и c(u) c(u ). По лемме 2.5 получаем, что G(u) = G(u ), а потому u и u принадлежат различным классам автоморфного разбиения. 5 Можно доказать, что такая пометка может быть построена за линейное время. 21

Лекция 11: Раскраска графа

Лекция 11: Раскраска графа Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Происхождение понятия раскраски графа В приложениях теории графов нередко возникают задачи,

Подробнее

Глава II. Теория графов.

Глава II. Теория графов. Глава II. Теория графов.. Из истории теории графов Родоначальником теории графов является Леонард Эйлер (707 782). В 736 году Эйлер решил задачу о Кенигсбергских мостах. Задача состояла в следующем: «Найти

Подробнее

Занятие 3. deg u = 2 E.

Занятие 3. deg u = 2 E. Занятие 3 Граф 1 G = (V, E) представляет собой конечную непустую совокупность вершин V, некоторые из которых соединенны ребрами. Совокупность ребер обозначается E. Мы пишем uv E, если вершины u и v соединены

Подробнее

Элементы теории графов. Теория Графов. Alexander Lazarev. Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences учебный год

Элементы теории графов. Теория Графов. Alexander Lazarev. Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences учебный год Теория Графов Alexander Lazarev Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences 2009-2010 учебный год Outline 1 Элементы теории графов Степени вершин О машинном представлении графов Поиск

Подробнее

Элементы теории графов

Элементы теории графов Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Элементы теории графов Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и доп.

Подробнее

Занятие G связен и, если в G удалить любое ребро, получится граф ровно с двумя компонентами связности;

Занятие G связен и, если в G удалить любое ребро, получится граф ровно с двумя компонентами связности; Занятие 4 Деревом называется связный граф без простых циклов длины более двух. Теорема 1 (Эквивалентные определения дерева). Для любого графа G, имеющего ровно n вершин и m ребер, следующие условия эквивалентны:

Подробнее

Логика и Алгоритмы. Факультет математики ВШЭ, 1-й курс, осень 2012 г. Л.Д. Беклемишев. 1 Вполне упорядоченные множества и аксиома выбора

Логика и Алгоритмы. Факультет математики ВШЭ, 1-й курс, осень 2012 г. Л.Д. Беклемишев. 1 Вполне упорядоченные множества и аксиома выбора Логика и Алгоритмы Факультет математики ВШЭ, 1-й курс, осень 2012 г. Л.Д. Беклемишев 1 Вполне упорядоченные множества и аксиома выбора 1.1 Упорядоченные множества Строгим частичным порядком на множестве

Подробнее

1 Графы. Простейшие свойства графов.

1 Графы. Простейшие свойства графов. Магистратура факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова Лекции по курсу «Дискретные модели». Лектор доцент Селезнева Светлана Николаевна 1 Графы. Простейшие свойства графов. Графом G называется пара множеств

Подробнее

Лекция 8: Алгоритмы для задач о паросочетаниях

Лекция 8: Алгоритмы для задач о паросочетаниях Лекция 8: Алгоритмы для задач о паросочетаниях Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Задача о назначениях В этой лекции мы

Подробнее

Лекция 12: Верхние оценки хроматического числа

Лекция 12: Верхние оценки хроматического числа Лекция 12: Верхние оценки хроматического числа Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Алгоритм последовательной раскраски В

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Элементы теории графов Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп.

Подробнее

Лекция 7: графы. Дискретная математика, ВШЭ, факультет компьютерных наук. (Осень 2014 весна 2015)

Лекция 7: графы. Дискретная математика, ВШЭ, факультет компьютерных наук. (Осень 2014 весна 2015) Лекция 7: графы Дискретная математика, ВШЭ, факультет компьютерных наук (Осень 2014 весна 2015) 1 Какие бывают графы Неформально граф это набор точек и линий, соединяющих эти точки. Формальных определений

Подробнее

} пространства R и множества E = { e i

} пространства R и множества E = { e i 3 Задание: Дан неориентированный граф G, где V(G) - множество вершин; Е(G) - множество ребер Изобразить его графически Определить степени его вершин Указать висячие/изолированные вершины Является ли граф

Подробнее

Приложения теоремы Жордана. Плоские графы

Приложения теоремы Жордана. Плоские графы Глава 4 Приложения теоремы Жордана. Плоские графы План. Лемма о четырех точках на замкнутой ломаной, геометрический граф в топологическом пространстве, геометрический граф без самопересечений, комбинаторный

Подробнее

Лекция 6: Деревья. Б.М.Верников, А.М.Шур

Лекция 6: Деревья. Б.М.Верников, А.М.Шур Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение и примеры Определение Деревом называется связный граф без циклов. Примеры

Подробнее

Лекция 3: Маршруты и связность

Лекция 3: Маршруты и связность Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определения маршрута, цепи, цикла Определение Маршрутом в графе называется последовательность

Подробнее

Теория графов. Краткий курс. Глава 1. Основные понятия. Dc/u press, All rights ignored.

Теория графов. Краткий курс. Глава 1. Основные понятия. Dc/u press, All rights ignored. Теория графов. Краткий курс. Глава. Основные понятия. Dc/u prss, 00. All rights ignord. Доброго времени суток, неизвестный друг! Перед вами краткий курс теории графов. Порождение всемогущего и многоликого

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ К ЛЕКЦИЯМ НА ТЕМУ ПРЕДИСЛОВИЕ.

МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ К ЛЕКЦИЯМ НА ТЕМУ ПРЕДИСЛОВИЕ. МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ К ЛЕКЦИЯМ НА ТЕМУ "ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ" ПРЕДИСЛОВИЕ. В курсе лекций по высшей математике, читаемом студентам инженерных специальностей, предусматривается знакомство с основами

Подробнее

Лекция 14: Орграфы. Б.М.Верников, А.М.Шур

Лекция 14: Орграфы. Б.М.Верников, А.М.Шур Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Если мы захотим изобразить схему дорожного движения в городе

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ

ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА 2012 Прикладная теория графов 1(15) ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ УДК 519.17 ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ГРАФОВ С ЗАДАННЫМ ЧИСЛОМ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ РЕБЕР МИНИМАЛЬНОГО ВЕРШИННОГО 1-РАСШИРЕНИЯ

Подробнее

Лектор доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте Факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  Факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция: Графы и сети. Оценка числа псевдографов с q ребрами. Оценка числа деревьев с q ребрами. Планарные графы. Формула Эйлера для планарных графов. Наибольшее число ребер в планарных графах. Непланарность

Подробнее

Глава II. ТЕОРИЯ ГРАФОВ

Глава II. ТЕОРИЯ ГРАФОВ Глава II. ТЕОРИЯ ГРАФОВ Графом G называется пара множеств V и E (G =(V, E)), где V - непустое множество, а Е некоторое множество пар элементов множества V (E = {(v i, v j )}, i= 1, 2, 3,, n; j = 1, 2,

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Подгруппы, смежные классы, индекс подгруппы в группе. Теорема Лагранжа о порядке подгруппы конечной группы. Орбита и стабилизатор элемента, теорема о порядке стабилизатора элемента. Лемма Бернсайда.

Подробнее

Раздел 2. Бинарные отношения

Раздел 2. Бинарные отношения Раздел. Бинарные отношения В математике часто рассматриваются отношения между двумя элементами множества. Например, на множестве натуральных чисел есть отношение равенства (двух элементов), делимости,

Подробнее

Дискретная математика. Домашнее задание 22 (повторение), решения

Дискретная математика. Домашнее задание 22 (повторение), решения Дискретная математика Домашнее задание 22 (повторение), решения 1 Найдите максимальное количество рёбер в таких ориентированных графах на n вершинах, которые не имеют ориентированных циклов Решение Между

Подробнее

Ф. Г. Кораблёв, В. В. Кораблёва. Дискретная математика: комбинаторика

Ф. Г. Кораблёв, В. В. Кораблёва. Дискретная математика: комбинаторика Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» Ф.

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

После промежуточного финиша.

После промежуточного финиша. CIS-ГРАФЫ Напомним основные определения. Пусть дан граф G. Подграфом графа G на вершинах v 1, v 2,...,v n (где v 1, v 2,...,v n часть вершин графа G) называется граф, вершинами которого являются вершины

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция 10. Подгруппы, смежные классы, индекс подгруппы в группе. Теорема Лагранжа о порядке конечной группы. Нормальные подгруппы, фактор-группа. Орбита и стабилизатор элемента, теорема о порядке стабилизатора

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал В. Г. Визинг, Дистрибутивная раскраска вершин графа, Дискретн. анализ и исслед. опер., 1995, том 2, номер 4, 3 12 Использование Общероссийского математического

Подробнее

ТЕОРИЯ ГРАФОВ. Тема 7. Jaan Penjam, Дискретная математика II: Теория графов 1 / 47

ТЕОРИЯ ГРАФОВ. Тема 7. Jaan Penjam,   Дискретная математика II: Теория графов 1 / 47 ТЕОРИЯ ГРАФОВ Тема 7 Jaan Penjam, email: jaan@s.io.ee Дискретная математика II: Теория графов 1 / 47 План лекции 1 Определение и свойства графа 2 Пути, циклы и связность 3 Эйлеровы графы 4 Гамильтоновы

Подробнее

Лекция 10: Критерии планарности

Лекция 10: Критерии планарности Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Теорема Эйлера о плоских графах На этой лекции мы продолжаем изучение свойств плоских

Подробнее

лекции 2 4 Лекция. Матроиды

лекции 2 4 Лекция. Матроиды Матроиды пересечение матроидов лекции 2 4 1 Системой подмножеств S = ( E, I) называется пара конечное множество E вместе с семейством I подмножеств множества E, замкнутым относительно включения, т.е. если

Подробнее

Элементы теории графов. Деревья, плоские графы, раскраски графов

Элементы теории графов. Деревья, плоские графы, раскраски графов Элементы теории графов Деревья, плоские графы, раскраски графов Дерево Деревом называется неориентированный связный граф, не содержащий циклов. В дереве существует один и только соединяющий каждую пару

Подробнее

Занятие 17. принципу индукции, мы уменьшаем число нужных «аксиом».

Занятие 17. принципу индукции, мы уменьшаем число нужных «аксиом». Занятие 17 Заметим сразу, что приводимые нами далее доказательства утверждений из Лекций особенно, в леммах 7, 9 и теореме 21 не требуется (но и не возбраняется) заучивать и «сдавать». Эти рассуждения

Подробнее

Перестановки. Е. А. Максименко 23 ноября 2007 г. Содержание

Перестановки. Е. А. Максименко 23 ноября 2007 г. Содержание Перестановки Е А Максименко 23 ноября 2007 г В этом учебном тексте перечислены элементарные свойства перестановок (преобразований конечного множества) в форме простых упражнений Содержание 1 Определение

Подробнее

Глава 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ NP -ПОЛНОТЫ

Глава 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ NP -ПОЛНОТЫ Глава 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ NP -ПОЛНОТЫ Определим класс задач распознавания свойств как множество проблем, решением которых является ответ «Да» или «Нет». Приведем пример. Простой цикл, содержащий

Подробнее

Введение в математическую логику

Введение в математическую логику Введение в математическую логику Лекция 11 В следующем разделе мы будем рассуждать в терминах содержательной теории множеств, а не в терминах формальной теории ZF. Полный порядок (содержательная теория

Подробнее

Лекция 2: Элементарная алгебра графов

Лекция 2: Элементарная алгебра графов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Алгебраическое определение графа В большинстве случаев, определение графа как геометрической

Подробнее

БЫСТРЫЙ АЛГОРИТМ ФИЛЬТРАЦИИ ИЗОМОРФНЫХ XSD-СХЕМ

БЫСТРЫЙ АЛГОРИТМ ФИЛЬТРАЦИИ ИЗОМОРФНЫХ XSD-СХЕМ БЫСТРЫЙ АЛГОРИТМ ФИЛЬТРАЦИИ ИЗОМОРФНЫХ XSD-СХЕМ А.П. Сергеев Компьютерное издательство ООО «Диалектика», ул. Тверская, д. 6, офис 303, Киев, Украина a_p_sergeyev@mail.ru Резюме. Предлагается быстрый алгоритм

Подробнее

22. Связность; полнота

22. Связность; полнота 22. Связность; полнота Эта лекция посвящена двум слабо связанным между собой темам из «абстрактной топологии» (по возможности, с конкретными приложениями). 22.1. Связность Предложение-определение 22.1.

Подробнее

Практическая работа 3 Графы. Способы задания графов. Степени вершин.

Практическая работа 3 Графы. Способы задания графов. Степени вершин. Практическая работа 3 Графы. Способы задания графов. Степени вершин. Цель работы: задание графа, вычисление степеней вершин. Содержание работы: Основные понятия. Граф G - совокупность двух множеств: вершин

Подробнее

23. Базис векторного пространства

23. Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная

Подробнее

Вычислительная сложность логики ALC

Вычислительная сложность логики ALC Глава 5 Вычислительная сложность логики ALC 5.1 Верхняя оценка сложности логики ALC Обычно длиной какого-либо синтаксического объекта (концепта, TBox, ABox и т.п.) называют число символов, использованных

Подробнее

Верхняя оценка сложности параллельного мультиплексора в классе схем из функциональных элементов

Верхняя оценка сложности параллельного мультиплексора в классе схем из функциональных элементов Верхняя оценка сложности параллельного мультиплексора в классе схем из функциональных элементов Основные определения и обозначения Рассматриваются схемы из функциональных элементов в некотором полном базисе.

Подробнее

Алгоритм восстановления изображения по его коду

Алгоритм восстановления изображения по его коду Алгоритм восстановления изображения по его коду П.Г. Агниашвили В рамках дискретно-геометрического подхода к распознаванию образов представлен алгоритм, вычисляющий по коду все классы а -эквивалентных

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1 ОБХОДЫ ГРАФОВ

ЛЕКЦИЯ 1 ОБХОДЫ ГРАФОВ ЛЕКЦИЯ 1 ОБХОДЫ ГРАФОВ Существуют два классических понятия, связанных с обходами графов: эйлеров цикл и гамильтонов цикл. Определение 1: Эйлеров цикл (в графе) цикл, который содержит все ребра этого графа.

Подробнее

Тема 1-2: Элементы комбинаторики

Тема 1-2: Элементы комбинаторики Тема 1-2: Элементы комбинаторики А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1

Подробнее

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ. G.1. Направленные графы. G.2. Ненаправленные графы. Степень вершины. Лемма о рукопожатиях

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ. G.1. Направленные графы. G.2. Ненаправленные графы. Степень вершины. Лемма о рукопожатиях G.. Направленные графы Различают направленные и ненаправленные графы. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА G. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ Направленным графом G называется пара G = < V, E >, где V = { v i i {,, n}} есть непустое

Подробнее

Лекция 5: упорядоченные множества

Лекция 5: упорядоченные множества Лекция 5: упорядоченные множества Дискретная математика, ВШЭ, факультет компьютерных наук (Осень 2014 весна 2015) 1 Отношения порядка Отношения порядка возникают, когда мы хотим сравнивать элементы множеств.

Подробнее

Лекция: Наследственные свойства графов. Экстремальные графы. Числа Рамсея.

Лекция: Наследственные свойства графов. Экстремальные графы. Числа Рамсея. Лекция: Наследственные свойства графов. Экстремальные графы. Числа Рамсея. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна факультет ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова Лекции на сайте http://mk.cs.msu.su Наследственное

Подробнее

Лекция 2. Абелевы группы. Действие группы на множестве

Лекция 2. Абелевы группы. Действие группы на множестве кафедра Проблемы теор. физики, II курс, 2016г. Введение в теорию групп Комментарий к задаче 3 лекции 1. Задача 1. Поставим каждой перестановке σ в соответствие матрицу n n R(σ), так что R(σ) ij = 1 если

Подробнее

О СООТНОШЕНИИ КОММУТАТИВНОСТИ В СИММЕТРИЧЕСКОЙ ПОЛУГРУППЕ В. А. Колмыков

О СООТНОШЕНИИ КОММУТАТИВНОСТИ В СИММЕТРИЧЕСКОЙ ПОЛУГРУППЕ В. А. Колмыков Сибирский математический журнал Сентябрь октябрь, 2004. Том 45, 5 УДК 512.534.2+510.227 О СООТНОШЕНИИ КОММУТАТИВНОСТИ В СИММЕТРИЧЕСКОЙ ПОЛУГРУППЕ В. А. Колмыков Аннотация: Вычисляется мощность централизатора

Подробнее

Команда 41-1 Задача 10 «Локальная схожесть графов»

Команда 41-1 Задача 10 «Локальная схожесть графов» XVIII Республиканский Турнир Юных Математиков Минск, 2016 Команда 41-1 Задача 10 «Локальная схожесть графов» Автор: Василевский Алексей, 11 класс, Гимназия 41 имени Серебряного В.Х. Аннотация: Решены пункты

Подробнее

Лектор д.ф.-м.н. Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по «Дискретным моделям». Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор д.ф.-м.н. Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по «Дискретным моделям». Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 6. Графы. Наследственные свойства графов. Оценка числа ребер в графах с наследственным свойством. Экстремальные графы. Наибольшее число ребер в планарных графах и графах без треугольников с заданным

Подробнее

2. Множества. смысле строится именно из него. 1 Хотя оно и пустое, но при формальном построении теории множеств все в некотором

2. Множества. смысле строится именно из него. 1 Хотя оно и пустое, но при формальном построении теории множеств все в некотором 2. Множества Эта и следующая лекция будут посвящены теоретико-множественному языку, которым пользуются все математики. Множество «начальное» математическое понятие, и потому этому понятию невозможно дать

Подробнее

И.З. Батчаев, З.Ю. Батчаев

И.З. Батчаев, З.Ю. Батчаев И.З. Батчаев, З.Ю. Батчаев Один из методов покрытия предфрактальных графов звездами ранговых типов Звезда K 1, s это полный двудольный граф, доли которого состоят из одной вершины (центра звезды) и совокупности

Подробнее

Ведение в теорию графов Лекция по материалам сайта «ГрафоMann»

Ведение в теорию графов Лекция по материалам сайта «ГрафоMann» Ведение в теорию графов Лекция по материалам сайта «ГрафоMann» Определение. Графом называется простейшая модель связанной системы, т. е. некоторая выделенная совокупность объектов, между каждой парой элементов

Подробнее

Лекция 11. Булевы схемы.

Лекция 11. Булевы схемы. Лекция 11. Булевы схемы. Дискретная математика, ВШЭ, факультет компьютерных наук (Осень 2014 весна 2015) Булевой схемой от переменных x 1,..., x n мы будем называть последовательность булевых функций g

Подробнее

Выпуклые множества и функции

Выпуклые множества и функции Выпуклые множества и функции R n множество наборов из n вещественных чисел. Далее это множество будем называть пространством, его элементы точками, точку с координатами (x 1,..., x n ) будем обозначать

Подробнее

ЛЕММА БЕРНСАЙДА И ЗАДАЧИ О РАСКРАСКАХ

ЛЕММА БЕРНСАЙДА И ЗАДАЧИ О РАСКРАСКАХ ЛЕММА БЕРНСАЙДА И ЗАДАЧИ О РАСКРАСКАХ А.В.СТЕПАНОВ Предисловие Комбинаторные задачи о количестве объектов, не совмещаемых друг с другом определенными преобразованиями, которые решаются с помощью Леммы

Подробнее

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ЛЕКЦИЯ 10 ОБЪЕМ n-мерного ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Объем параллелепипеда. Ничто не мешает сейчас ввести общее понятие определителя,

Подробнее

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 1. Графы. Основные определения. Простейшие свойства графов. Пути и цепи в графах. Связность, k-связность. Деревья, корневые деревья. Остовные деревья. Лектор Селезнева Светлана Николаевна selezn@cs.msu.su

Подробнее

Теорема Жордана. Глава Теорема Жордана

Теорема Жордана. Глава Теорема Жордана Глава 3 Теорема Жордана План. Замкнутая кривая, незамкнутая кривая, незамкнутая кривая без самопересечений, замкнутая кривая без самопересечений, теорема Жордана о кривой без самопересечений, лежащей на

Подробнее

Лекция 9: Плоские и планарные графы

Лекция 9: Плоские и планарные графы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Происхождение понятий плоского и планарного графа Все задачи о графах, рассмотренные

Подробнее

Лекция 7: Двудольные графы

Лекция 7: Двудольные графы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение и пример Определение Граф G = V,E называется двудольным, если существуют

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

Задача 10. (локальная схожесть графов) Сборная Лицея БГУ-10 и гимназии 1 г. Минска

Задача 10. (локальная схожесть графов) Сборная Лицея БГУ-10 и гимназии 1 г. Минска Задача 10. (локальная схожесть графов) Сборная Лицея БГУ-10 и гимназии 1 г. Минска Автор: Шатило Анатолий, Лицей БГУ. Резюме. В задаче полностью решены пункты 0.0-2.0, 4 (кроме двух H графов); в пункте

Подробнее

В. А. Васильев Дополнительные главы топологии

В. А. Васильев Дополнительные главы топологии В. А. Васильев Дополнительные главы топологии Весенний семестр 2011 г. Лекция 2. Дополнительные сведения по гомотопической топологии Сегодня мы пройдем несколько новых теорем из гомотопической топологии,

Подробнее

Элементы теории графов

Элементы теории графов Глава 1 Элементы теории графов План. Общее определение графов, вершины, ребра, граничное отображение или отображение инцидентности, инцидентные вершины и ребра, вершины, соединенные ребром, смежные вершины,

Подробнее

Лекция 7. Действие группы на множестве. Орбита и стабилизатор элемента, теорема о порядке стабилизатора элемента. Лемма Бернсайда.

Лекция 7. Действие группы на множестве. Орбита и стабилизатор элемента, теорема о порядке стабилизатора элемента. Лемма Бернсайда. Лекция 7. Действие группы на множестве. Орбита и стабилизатор элемента, теорема о порядке стабилизатора элемента. Лемма Бернсайда. Лектор Селезнева Светлана Николаевна selezn@cs.msu.su факультет ВМК МГУ

Подробнее

Соотношение удаление-стягивание и теорема Татта

Соотношение удаление-стягивание и теорема Татта Глава 8 Соотношение удаление-стягивание и теорема Татта Графы простейшие топологические объекты. Их простота определяется тем, что их топологическая размерность 1 первая содержательная размерность. Однако

Подробнее

Глава 5. МЕТОДЫ НЕЯВНОГО ПЕРЕБОРА. Рассмотрим общую постановку задачи дискретной оптимизации

Глава 5. МЕТОДЫ НЕЯВНОГО ПЕРЕБОРА. Рассмотрим общую постановку задачи дискретной оптимизации Глава 5. МЕТОДЫ НЕЯВНОГО ПЕРЕБОРА Рассмотрим общую постановку задачи дискретной оптимизации mi f ( x), (5.) x D в которой -мерный искомый вектор x принадлежит конечному множеству допустимых решений D.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 21 ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА

ЛЕКЦИЯ 21 ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА ЛЕКЦИЯ 21 ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА 1 ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ Пусть K поле, G группа. Рассмотрим множество K[G] всевозможных формальных сумм α, α K. По определению α = β α = β G. Введем операции над

Подробнее

,

, Занятие 5 Ориентированный граф (или, орграф) G = (V, A) состоит из некоторого непустого множества V вершин и множества A соединяющих эти вершины ориентированных ребер (или, дуг или, стрелок). Мы пишем

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А.М. Горького» ИОНЦ «Информационная безопасность»

Подробнее

{ изоморфизм графов - подграф - планарный и плоский графы - укладка плоских графов - маршруты, связность и компоненты - метрические характеристики -

{ изоморфизм графов - подграф - планарный и плоский графы - укладка плоских графов - маршруты, связность и компоненты - метрические характеристики - { изоморфизм графов - подграф - планарный и плоский графы - укладка плоских графов - маршруты, связность и компоненты - метрические характеристики - Эйлеровы графы - Эйлеровы пути и циклы - Эйлеров путь

Подробнее

Рекомендуемая форма библиографической ссылки: Мошков М. Ю. Оценки сложности и алгоритмы

Рекомендуемая форма библиографической ссылки: Мошков М. Ю. Оценки сложности и алгоритмы ИПМ им. М.В. Келдыша РАН Электронная библиотека Математические вопросы кибернетики Выпуск 16 М. Ю. Мошков Оценки сложности и алгоритмы построения детерминированных условных тестов Рекомендуемая форма библиографической

Подробнее

Расширения логики ALC

Расширения логики ALC Глава 6 Расширения логики ALC Существуют многочисленные расширения логики ALC путем добавления новых конструкторов для построения составных концептов и ролей, либо добавления новых видов аксиом. Они будут

Подробнее

Лекция 5: Определители

Лекция 5: Определители Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии уже говорилось об определителях

Подробнее

ПОДГРУППЫ СВОБОДНОЙ АБЕЛЕВОЙ ГРУППЫ ДЕЙСТВИЯ ГРУПП НА МНОЖЕСТВАХ

ПОДГРУППЫ СВОБОДНОЙ АБЕЛЕВОЙ ГРУППЫ ДЕЙСТВИЯ ГРУПП НА МНОЖЕСТВАХ ЛЕКЦИЯ 7 ПОДГРУППЫ СВОБОДНОЙ АБЕЛЕВОЙ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БАЗИСА ДЕЙСТВИЯ ГРУПП НА МНОЖЕСТВАХ ОРБИТЫ, СТАБИЛИЗАТОРЫ ПРИМЕРЫ ДЕЙСТВИЙ 1 ПОДГРУППЫ СВОБОДНЫХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП Рассмотрим подгруппы свободной

Подробнее

Кочетов Юрий Андреевич. Лекция 1

Кочетов Юрий Андреевич. Лекция 1 Дискретная математика Часть 2 Кочетов Юрий Андреевич http://www.math.nsc.ru/lbrt/k5/dm.html Лекция 1 Алгоритмы, сортировки, AVL деревья 1 Алгоритмы и их сложность Компьютеры выполняют (пока) лишь корректно

Подробнее

ГЛАВА 1. Проективная геометрия

ГЛАВА 1. Проективная геометрия ГЛАВА 1. Проективная геометрия 1.1. Проективное пространство Пусть дано (n + 1)-мерное векторное пространство V ( 6.1, часть I) и непустое множество P произвольной природы. Говорят, что множество P наделено

Подробнее

Неформально. Граф -- это множество вершин (точек) и множество ребер (линии), соединяющих между собой все или часть этих точек.

Неформально. Граф -- это множество вершин (точек) и множество ребер (линии), соединяющих между собой все или часть этих точек. Основные понятия теории графов. Граф, или неориентированный граф G = (V, E) -- это упорядоченная пара G = (V, E), где V это непустое множество вершин, а E множество пар (в случае неориентированного графа

Подробнее

Тема 2-20: Аффинные пространства

Тема 2-20: Аффинные пространства Тема 2-20: Аффинные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ СИММЕТРИИ МНОГОГРАННИКА ПАРОСОЧЕТАНИЙИ АВТОМОРФИЗМЫ ГРАФА

ЛИНЕЙНЫЕ СИММЕТРИИ МНОГОГРАННИКА ПАРОСОЧЕТАНИЙИ АВТОМОРФИЗМЫ ГРАФА Page 1 of 5 Вестник ОмГУ Выпуск Тематика Литература Вестник Омского университета, 1996, Вып. 1. С. 18-20. Омский государственный университет, 1996 УДК 519.1 ЛИНЕЙНЫЕ СИММЕТРИИ МНОГОГРАННИКА ПАРОСОЧЕТАНИЙИ

Подробнее

Теорема Жордана. Глава Теорема Жордана

Теорема Жордана. Глава Теорема Жордана Глава 3 Теорема Жордана План. Замкнутая кривая, незамкнутая кривая, незамкнутая кривая без самопересечений, замкнутая кривая без самопересечений, теорема Жордана о кривой без самопересечений, лежащей на

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ В пособии не излагается теория чисел а дан минимальный инструментарий из этой теории который в дальнейшем потребуется для изучения криптографических систем используемых

Подробнее

1. ГРАФЫ. мы обычно будем говорить просто «окрестность» (например, для интервала на прямой).

1. ГРАФЫ. мы обычно будем говорить просто «окрестность» (например, для интервала на прямой). 1. ГРАФЫ Графы можно рассматривать как простейшие геометрические объекты. Принято считать, что начало теории графов положил Л. Эйлер, предложив строгое решение широко известной в то время задачи о семи

Подробнее

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 11 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 1 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ Определение 1. Определитель матрицы,

Подробнее

Список задач к экзамену по курсу «Введение в топологию» 1 (осень 2016, 2 курс, 2 поток; лектор проф. А. А. Гайфуллин)

Список задач к экзамену по курсу «Введение в топологию» 1 (осень 2016, 2 курс, 2 поток; лектор проф. А. А. Гайфуллин) Список задач к экзамену по курсу «Введение в топологию» 1 (осень 2016, 2 курс, 2 поток; лектор проф. А. А. Гайфуллин) 1. Перечислите все наборы подмножеств трёхэлементного множества такие, что существуют

Подробнее

Эквивалентные множества

Эквивалентные множества Эквивалентные множества Теоретические вопросы. Множества конечные и бесконечные.. Сравнение множеств.. Счетные множества..4 Свойства счетных множеств..5 Эквивалентные множества..6 Несчетные множества..7

Подробнее

9. Кривые с самопересечениями

9. Кривые с самопересечениями 9. Кривые с самопересечениями На прошлой лекции мы выяснили, что существуют негиперэллиптические римановы поверхности рода g 3, если только g является треугольным числом. Сейчас мы установим, что тоже

Подробнее

Лекция 10. Разрешающие деревья.

Лекция 10. Разрешающие деревья. Лекция 10. Разрешающие деревья. Дискретная математика, ВШЭ, факультет компьютерных наук (Осень 2014 весна 2015) Мы переходим к более алгоритмической части курса. Рассказ о ней мы начнем с вычислительной

Подробнее

АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ЧИСЛА РЁБЕР В СВЯЗНЫХ ГРАФАХ НА ТРУДОЁМКОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О НЕЗАВИСИМОМ МНОЖЕСТВЕ ) Д. С. Малышев

АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ЧИСЛА РЁБЕР В СВЯЗНЫХ ГРАФАХ НА ТРУДОЁМКОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О НЕЗАВИСИМОМ МНОЖЕСТВЕ ) Д. С. Малышев ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ Май июнь 2011. Том 18, 3. C. 83 87 УДК 519.178 АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ЧИСЛА РЁБЕР В СВЯЗНЫХ ГРАФАХ НА ТРУДОЁМКОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О НЕЗАВИСИМОМ МНОЖЕСТВЕ ) Д. С. Малышев

Подробнее

Конспект к лекции 4. (Санкт-Петербург, 9 апреля

Конспект к лекции 4. (Санкт-Петербург, 9 апреля Конспект к лекции 4. (Санкт-Петербург, 9 апреля 2017 г.) 9 Матрица графа. Граф c n вершинами описывается матрицей смежности M размерности n ˆ n, в которой элемент m ij равно числу рёбер, соединяющих i-ую

Подробнее

Лекция 4. Метрические пространства и их свойства

Лекция 4. Метрические пространства и их свойства Лекция 4. Метрические пространства и их свойства Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 21 сентября 2011 г. Определение метрического пространства

Подробнее

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 1. Понятие множества Мы не будем здесь формулировать аксиомы теории множеств. Интересующие могут обратиться, например, к 1 тому курса «Математический анализ» В.

Подробнее