Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие."

Транскрипт

1 КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики УДК 57 Рецензенты: д-р физ-мат наук, профессор ТМ Иманалиев, канд физ-мат наук, доцент КИ Ишмахаметов ЖР Джаналиева, СБ Доулбекова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебно-методическое пособие Рекомендовано к изданию решением кафедры высшей математики КРСУ Джаналиева ЖР, Доулбекова С Б Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие Бишкек: Изд-во КРСУ, с Данное учебно-методическое пособие содержит краткий теоретический материал по «Аналитической геометрии» курса «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Включает основные темы, изучаемые по данным разделам Решение задач вызывает определенные трудности у студентов, поэтому в пособии даны методические рекомендации по использованию этого материала В конце каждого параграфа приведены примеры задач с кратким объяснением их решения Для самостоятельной работы студентов учебно-методическое пособие содержит 0 вариантов заданий, каждый вариант состоит из 0 задач Студентам предлагается из четырех вариантов ответа с учетом проведенного ими решения выбрать только один верный ответ На основе данного пособия составлена компьютерная контрольнообучающая программа тестирования знаний студентов, позволяющая активизировать самостоятельную работу студентов Учебно-методическое пособие предназначено для студентов всех факультетов дневной и заочной форм обучения Бишкек 00 КРСУ, 00

2 Глава ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Общее уравнение прямой на плоскости Неполные уравнения Общее уравнение прямой на плоскости Рассмотрим на плоскости Оху произвольную прямую Пусть дана некоторая ее точка М (х 0 ; у 0 ) и вектор n = (A; B), перпендикулярный рассматриваемой прямой, который называется нормальным вектором прямой Пусть М (х, у) произвольная точка прямой По условию, вектор n перпендикулярен вектору М М, поэтому скалярное произ- n ведение (, М М ) = 0 Получаем уравнение прямой, проходящей через заданную точку М (х 0 ; у 0 ) перпендикулярно заданному вектору n = (A; B): А (х х 0 ) + В (у у 0 ) = 0 Произведем преобразования: Ах + Ву + ( Ах 0 Ву 0 ) = 0 Так как А и В числовые коэффициенты, а х 0 и у 0 координаты точки, то в скобках у нас постоянное число Если это число обозначить через С, то получится общее уравнение прямой на плоскости Ах + Ву + С = 0, где А и В одновременно не равны нулю Неполные уравнения прямой Общее уравнение, в котором один или два из трёх коэффициентов (включая и свободный член) общего уравнения Ax + By + C = 0 обращаются в нуль, называется неполным Рассмотрим, как располагается прямая относительно системы координат в зависимости от значений А, В, С в общем уравнении прямой Возможны следующие случаи: ) Пусть С = 0 Уравнение имеет вид Ах + By = 0 и прямая проходит через начало координат перпендикулярно нормальному вектору n = (А; В) ) Пусть А = 0 (B 0) Уравнение имеет вид By + С = 0, нормальный вектор имеет координаты n = (0; В) Вектор с такими координатами перпендикулярен оси Ох, значит, прямая параллельна оси Ox 3) Пусть B = 0 (A 0) Уравнение имеет вид Ах + С = 0, нормальный вектор с координатами n = (А; 0) перпендикулярен оси Оу Следовательно, прямая проходит параллельна оси Оу 4) Пусть А = 0, С = 0 (B 0) Уравнение может быть записано в виде у = 0 и определяет ось абсцисс 5) Пусть B = 0, С = 0 (A 0) Уравнение может быть записано в виде х = 0 и определяет ось ординат Примеры ) Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (; 4) перпендикулярно вектору n = (; 5) 3 4

3 Решение Воспользуемся формулой Преобразуем это уравнение: А (х х 0 ) + В (у у 0 ) = 0 Ву = Ах С Учитывая, что координаты вектора n = (А; В), имеем Разделим обе части уравнения на В Получаем (х ) + 5 (у + 4) = 0 A С у = х Или окончательно B B х + 5у + 8 = 0 Введем обозначения: ) Определить, при каких значениях т и п прямая A С k =, b = (т + п 0) х + (5т 3n + ) y + 3m 8 = 0 B B параллельна оси абсцисс и отсекает на оси ординат отрезок, равный Получили уравнением пря- 4 (считая от начала координат) Напишите уравнение этой мой с угловым коэффициентом прямой у = kx + b, Решение Прямая параллельна оси абсцисс, если коэффициент х равен нулю Значит, т + п 0 = 0 С другой стороны, прямая отсекает на оси ординат отрезок, равный 4, если свободный член 3m 8 = 4 Получаем систему уравнений m + n 0 = 0 3m - 8 = 4 Решаем систему и находим: m = 4, n =, 5y + 4 = 0 где k угловой коэффициент, численно равный тангенсу угла наклона α прямой к положительному направлению оси Ох: k = tg α, свободный член b ордината точки пересечения графика и оси Оу, численно равная отрезку, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат 0 Если α = 0, то k = 0, прямая параллельна оси Ох Если α = 90 0, то k не существует, прямая перпендикулярна оси Ох Уравнение прямой в отрезках на осях Рассмотрим прямую Ах + Ву + С = 0, Различные виды уравнений прямой на плоскости пересекающую координатные оси и Уравнение прямой с угловым коэффициентом не проходящую через начало координат Если ни один из коэффициентов общего уравнения не равен Пусть задана прямая, пересекающая ось Оу в точке (0; b) и образующая угол α с положительным направлением оси Ох, в нулю, то его можно преобразовать: виде Ax + By = С Ах + Ву + С = 0 5 6

4 Поделим обе части полученного равенства на С: где р длина перпендикуляра, опущенного на прямую из начала x y координат, + = С С θ угол (измеренный в положительном направлении) между положительным направлением оси Ох и направлением этого A B C C Тогда, обозначив a = и b =, приходим к уравнению перпендикуляра, A B cos θ и sin θ направляющие косинусы положительной нормали прямой в отрезках на осях: прямой, те перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую x y + =, a b Если р = 0, то прямая проходит через начало координат, а где а, b величины отрезков, которые отсекает прямая на координатных осях ось Ох в точке (а; 0), ось Оу в точке (0; b) π угол θ = ϕ + 3 Нормальное уравнение прямой задает угол наклона прямой Пусть дано общее уравнение прямой Во избежание неопределенности знак перед радикалом выбирается Ах + Ву + С = 0 так, чтобы соблюдалось условие p > 0 Приведем его к но рмальному виду Для этого нужно все Если C = 0, то прямая проходит через начало координат и члены этого уравнения умножить на нормирующий множитель выбор положительного направления произволен µ, определяемый формулой µ = ± A + B знак которого выбирается противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения cosθ = ± A Ах + B + ± Введем обозначение: ± А А + В А Ву + В, sin θ = ± Получаем нормальное А + В ±, + В C уравнение прямой x cos θ + y sin θ p = 0, А + В, p = = 0 ± А C + В 4 Каноническое уравнение прямой Пусть на прямой дана фиксированная точка М 0 (х 0 ; у 0 ) Рассмотрим на этой прямой любую другую точку М (х; у) Не равный нулю вектор а = (l; m), коллинеарный данной прямой, называется направляющим вектором прямой Найдем уравнение прямой, проходящей через точку М 0 (x 0 ; y 0 ) параллельно вектору а Так как вектор а коллинеарен любому вектору, лежащему на данной прямой, в том числе и вектору М 0 М = (x х 0 ; y у 0 ), а коллинеарность векторов означает пропорциональность координат, то получаем каноническое уравнение прямой: 7 8

5 x 0 0 x l y y = m 5 Уравнение прямой, проходящей через две данные точкипусть на прямой даны две точки M (x ; y ) и M (x ; y ) Пусть также вектор а = М М направляющий вектор этой прямой Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M (x ; y ) параллельно вектору а = (l; m), имеет вид x x y y = l m Подставив в это уравнение координаты вектора а = М М = (х х ; у у ), получим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M и M : x x x x y y = y y 6 Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении Найдем уравнение прямой, проходящей через точку M (x ; y ) в заданном направлении Для этого преобразуем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, к виду у у = у у х х (х х ) Выше мы отмечали, что угловой коэффициент численно равен тангенсу угла наклона α прямой к положительному направлению оси Ох: k = tg α Геометрически тангенс угла это отношение противолежащего катета (у у ) к прилежащему катету (х х ) Поэтому у у k = tg α = х х Таким образом, если известен угловой коэффициент k, то уравнение прямой, проходящей через точку M (x ; y ) в заданном направлении, имеет вид у у = k (х х ) 7 Параметрические уравнения прямой Пусть дано каноническое уравнение x x0 y y0 = l m прямой, проходящей через точку M (x 0 ; y 0 ) параллельно вектору а = (l; m) Приравняем каждое из отношений произвольному параметру t, выразим х и у Получим параметрические уравнения прямой: x = х0 + lt, y = y0 + mt где x 0, y 0 координаты точки на прямой; l, m координаты направляющего вектора а данной прямой Обратно, из параметрических уравнений можно получить каноническое уравнение прямой Для этого необходимо выразить параметр t: x x = l t 0 y y0, t = m 9 0

6 Так как в этих двух соотношениях параметр t имеет одно и то же значение, то получаем каноническое уравнение прямой x x0 y y0 = l m Так как в этих двух соотношениях параметр t имеет одно и то же значение, то получаем каноническое уравнение прямой x y + = 3 4) Приведите уравнение прямой 3х 4у + 0 = 0 к нормальному виду Решение Умножим обе части уравнения на нормирующий x x0 y y = 0 множитель µ = Знак нормирующего множителя l m ± A + B Примеры ) Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М = ( 7; 3) параллельно вектору а = ( ; 9) Решение Из условия х = 7, у = 3, l =, m = 9 Получаем искомое уравнение выбирается противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения Так как С = 0 > 0, то Получаем µ = = = 3 + ( 4) x 7 y + 3 3x 4y = + = ) Определить угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый на оси Оу, для прямой щей через М = (3; 8) параллельно вектору а = (; ) 5) Составить параметрические уравнения прямой, проходя- 4х + у 5 = 0 Решение Из условия х 0 = 3, у 0 = 8, l =, m = Решение Найдем угловой коэффициент k и b по формулам Получаем искомые уравнения A k =, b = С B B x = 3 + t y = 8 + t Подставим значения А = 4, В =, С = 5 Получаем k =, b = 5 3) Дана прямая 3 Взаимное расположение двух прямых на плоскости 4x + 6у = 0 Расстояние от точки до прямой Составить для нее уравнение «в отрезках на осях» Решение Запишем уравнение в виде Пусть дана прямая 4x + 6у = Ах + Ву + С = 0 Разделим обе части уравнения на число Получаем искомое уравнение

7 и точка М 0 (х 0 ; у 0 ) Найдем расстояние от этой точки до заданной прямой Возьмем на прямой произвольную точку М (х ; у ) Расстояние от точки М 0 (х 0 ; у 0 ) до прямой равно модулю проекции вектора ММ 0 Следовательно, Рассмотрим векторы М М и ММ Имеем: М М = (х х ; у у ), те М М = (х х ) i + ( у у ) j и на направление нормального вектора n = (А; В) ММ = (х х; у у), те ММ = (х х) i + ( у у) j Точка М делит отрезок М М в M M 0 n δ = n отношении λ, если М М = λ ММ или Отсюда (х х ) i + ( у у ) j = λ (х х) i + λ ( у у) j ( x0 x ) A + ( y0 y) B Ax0 + By0 Ax By δ = = Учитывая, что равные векторы имеют равные координаты, получаем A + B A + B Так как точка М (х ; у ) принадлежит заданной прямой, то х х = λ х λ х и у у = λ у λ у выполняется равенство Итак, координаты точки М(х; у), которая делит отрезок Ах + Ву + С = 0, те С = А х В у M M Отсюда получаем формулу нахождения расстояния от точки М 0 (х 0 ; у 0 ) до прямой Ах + Ву + С = М М в отношении λ =, находятся по формулам MM 0: δ = x + λx y + λy Ах 0 + Ву0 + С x =, y =, + λ + λ ± А + В Если точка М является серединой отрезка M M, то λ = MM = и координаты точки М определяются по формулам MM где знак перед радикалом противоположен знаку C Расстояние δ будет положительным, если точка и начало координат лежат по разные стороны от прямой, и отрицательно, если по одну сторону Деление отрезка в данном отношении x + x y + y x =, y = Пусть требуется разделить отрезок М М, соединяющий точки М (х, y ) и М (х ; у ) в заданном отношении λ > 0, те найти координаты точки М(х; у) отрезка М М такой, что λ = M M MM 3 Пересечение двух прямых Пусть даны две прямые, заданные уравнениями в общем виде А х + В у + С = 0, А х + В у + С = 0 3 4

8 Для того, чтобы найти координаты точки их пересечения М, необходимо составить систему уравнений A x + B y + C = 0 A x + B y + C = 0 и решить ее Получаем, что две прямые пересекаются в точке, координаты которой находятся по формулам х = ВС ВС CА СА, у = А В А В А В А В Пусть даны две прямые, заданные уравнениями с угловым коэффициентом у = k х + b, у = k х + b Составим и решим систему уравнений у = kx + b y = kx + b Получаем формулы нахождения координат точки М пересечения двух прямых b b х =, у = k k kb k kb k 4 Угол между двумя прямыми Пусть заданы две пересекающиеся прямые в виде А х + В у + С = 0, А х + В у + С = 0 с нормальными векторами = (A; B ), n = (A ; B ) Известна n формула нахождения скалярного произведения этих векторов: ( n n ) = n n cos ϕ Откуда ( n ) n cos ϕ = n n Таким образом, угол ϕ между двумя прямыми находится как угол между их нормальными векторами n = (A ; B ), n = (A ; B ) Запишем правую часть формулы в координатной форме и получим А А + ВВ cos ϕ = А + В А + В Также угол ϕ между двумя прямыми можно найти по формуле tg ϕ = А В А А + А В В В Пусть две пересекающиеся прямые заданы уравнением с угловым коэффициентом у = k х + b, у = k х + b По теореме о внешнем угле треугольника имеем α = φ + α или φ = α α π Если φ, то по формуле тангенса разности двух аргументов имеем: Известно, что tgα tgα tg φ = tg (α α ) = + tgα tgα tg α = k, tg α = k Поэтому угол ϕ между двумя прямыми находится по формуле tg ϕ = k k + k k 5 6

9 5 Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых Пусть даны две прямые А х + В у + С = 0, А х + В у + С = 0 Тогда условием их параллельности является условие коллинеарности их векторов-нормалей = (А; В ), n = (А ; В ), те пропорциональность их координат A A B = B C C n или A В А В = 0 Условием перпендикулярности двух прямых является условие перпендикулярности их нормальных векторов n = (А ; В ), n = (А ; В ), те Если Если A A A A B B B B n n = 0 или A А + В В = 0, то две прямые имеют одну общую точку C C = =, то две прямые совпадают, то есть оба уравнения определяют одну и ту же прямую Пусть две прямые заданы в виде у = k х + b, у = k х + b Они параллельны, если tg ϕ = 0 Из формулы нахождения угла ϕ между двумя прямыми следует k k = 0 Откуда получаем условие параллельности двух прямых: k = k Две прямые перпендикулярны, если угол ϕ между ними равен 90 0 Значит, + k k k k сtg ϕ = = 0 Получили условие перпендикулярности двух прямых: + k k =0 или k = k Примеры ) При каком значении a прямые х + 3у + 6 = 0 и 4х ау + = 0 параллельны? Решение Известно условие параллельности двух прямых A A B = B C C Значит, должно выполняться условие 3 = 4 а Получили а = 6 ) Найти угол между прямыми 4х + 3у = 0, х у 7 = 0 Решение По условию известны координаты нормальных векторов n = (4; 3), n = (; ) Подставим их в формулу нахождения угла между двумя прямыми и получим: cosϕ = ( ) ( ) = 5 = = 8 0 3) При каком значении a прямые х + 3у + 6 = 0 и 4х ау + =

10 перпендикулярны? Решение Используем условие перпендикулярности двух прямых Подставим свои значения и получим: ( а) = 0 или 3а = 8 Расстояние между фокусами эллипса называют фокальным расстоянием Каноническое уравнение эллипса с фокусами на оси абсцисс, симметричного относительно начала координат, имеет вид 8 Отсюда а = x y =, 3 a b 4) Даны вершины треугольника М (3; 4), М (; ) и где b = a c, a > b M 3 (5; 6) Найти координаты середин его сторон Если фокусы эллипса лежат на оси ординат, то каноническое уравнение имеет вид Решение Найдем координаты середины отрезка М М : x = =, y = = x y + = b a Получаем точку (; ) Аналогично для второй точки середины отрезка М М 3 : Точки А', А, В' и В вершины эллипса Отрезок x = = 3, y = = 4 или (3; 4) ОА = а называют большой Для третьей точки середины отрезка М полуосью эллипса, отрезок М 3 : ОВ = b малой полуосью x = = 4, y = = или (4; ) Отношение половины фокусного расстояния к большой полуоси эллипса называется эксцентриситетом эллипса Итак, получаем координаты середин треугольника М М c M 3 : (; ), (3; 4), (4; ) ε = < a Директриса это прямая, проходящая параллельно малой оси и находящаяся на расстоянии d от нее Эллипс имеет две директрисы Глава КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Если a > b, то уравнения директрис имеют вид Эллипс a a x =, x = Эллипс это геометрическое место точек, для которых сумма ε ε расстояний до двух фиксированных точек плоскости F ( с; 0) и Если b > а, то директрисы определяются уравнениями F (с; 0), называемых фокусами, есть постоянная величина, равная а и большая, чем расстояние между фокусами По опреде- = b, y = b ε ε y лению эллипса а > с или а > с + 9 0

11 Окружность где b = c a Окружность это множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром Если фокусы гиперболы лежат на оси ординат, то каноническое уравнение имеет вид Если в уравнении эллипса у х x y x y = а b или = b a + = a b Точки A (a; 0) и А ( a; 0) называются вершинами гиперболы большая и малая полуоси равны между собой, те Отрезок AА действительная а = b, с = 0, то уравнение определяет окружность, рассматриваемую как частный случай эллипса (при ε = 0): ось гиперболы, его длина равна a Расстояние от вершины гиперболы до асимптоты x y + = a а вдоль направления, параллельного Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение принимает вид х + у = R оси ординат, называется мнимой полуосью гиперболы b Отношение половины фокусного расстояния к действительной Уравнение окружности с центром в точке С (a; b) и радиусом R имеет вид полуоси гиперболы называется эксцентриситетом гипер- болы (х а) + (у b) = R c ε = > a 3 Гипербола Прямые, к которым ветви гиперболы неограниченно при- Гипербола это геометрическое место точек, для которых абсолютная величина разности расстояний от двух фиксированных точек плоскости F (с; 0) и F ( с; 0), называемых фокусами, есть постоянная величина, равная а По определению гиперболы а < с или а < с Каноническое уравнение гиперболы с фокусами на оси абсцисс, расположенной симметрично относительно начала координат, имеет вид x a y b =, ближаются при удалении в бесконечность, называются асимптотами гиперболы Их уравнения имеют вид b b y = x, y = x, a a Гипербола, у которой действительная и мнимая полуоси равны между собой (а = b), называется равносторонней или равнобочной Каноническое уравнение такой гиперболы имеет вид х у = а или у х = а Асимптотами равносторонней гиперболы явля ются прямые у = х и у = х

12 Директриса это прямая, проходящая параллельно мнимой оси и находящаяся на расстоянии d от нее Гипербола имеет две директрисы Если фокусы гиперболы лежат на оси Ох, то уравнения директрис имеют вид a a x =, x = ε ε Если фокусы лежат на оси Оу, то директрисы определяются уравнениями b b y =, у = ε ε 4 Парабола Парабола это множество точек, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным параметром р параболы Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат и фокусом на оси абсцисс, ветви которой направлены вправо (вся парабола лежит в правой полуплоскости), имеет вид у = рх Парабола имеет одну директрису Уравнение директрисы для данной параболы имеет вид р х = Парабола имеет ось симметрии, с которой она пересекается в единственной точке её вершине Если осью параболы является ось Ох, начало координат является ее вершиной, но парабола лежит в левой полуплоскости, то её уравнение будет иметь вид y = рx р Уравнение директрисы: х = В случае, когда начало координат находится в вершине, а осью симметрии является ось ординат, парабола будет иметь уравнение x = ру, если она лежит в верхней полуплоскости Если парабола лежит в нижней полуплоскости, то х = ру Уравнения директрис данных парабол соответственно равны р р у = и у = Каноническое уравнение параболы с вершиной в точке А (а; b), ось симметрии которой параллельна оси Ох, ветви направлены вправо, имеет вид (у b) = р (х a) Если ветви параболы направлены влево, то (у b) = р (х a) 3 4

13 Если вершина параболы находится в точке А (а; b), ось симметрии параллельна оси Оу, ветви направлены вверх, то уравнение имеет вид (х a) = р (у b) Если ветви параболы направлены вниз, то (х a) = р (у b) a b 4 = a 3 + b = 00 4 Подставляя b = a во второе уравнение системы, получаем 3 6 a а + = 00, 9 Примеры откуда а = 36 ) Установить, какая линия определяется уравнением Находим b = 64 и получаем искомое уравнение гиперболы 3 y = 4 x x y = Решение Возведем в квадрат и умножим на 4 обе части 3) Какая кривая второго порядка задана уравнением уравнения Имеем у у 0х + = 0? 4у = 9 (4 х ) Привести ее к каноническому виду, найти координаты вершины, Преобразуем и получим уравнение эллипса фокальный параметр и уравнение директрисы x y + = Решение Преобразуем уравнение и выделим полный квадрат: 4 9 В условии в правой части стоит знак плюс, поэтому все значения у > 0 Значит, данным уравнением определяется половина эллипса, расположенная в верхней полуплоскости ) Даны фокусы гиперболы F (0; 0) и F ( 0; 0) и ее асимптота 4х + 3у = 0 Написать уравнение гиперболы Решение Запишем уравнение асимптоты в виде 4 b 4 y = х, находим = 3 a 3 Из условия следует, что с = 0 Поэтому а + b = 00 Получили систему уравнений у у = 0х, (у ) =0 (х ) Получили каноническое уравнение параболы с вершиной в точке А (; ), с осью симметрии, параллельной оси Ох, ветви которой расположены вправо Найдем фокальный параметр р Так как коэффициент правой части уравнения равен р = 0, то р = 5 Известно, что расстояние от директрисы до вершины равно р р В нашем случае =,5 Вершина параболы находится в точке с координатами х =, у = Поэтому получаем уравнение директрисы: х =,5 =,5 5 6

14 Глава 3 ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ Общее уравнение плоскости Неполные уравнения Общее уравнение плоскости Любое уравнение первой степени относительно декартовых координат x, y, z представляет собой уравнение некоторой плоскости Рассмотрим в пространстве произвольную плоскость Её положение определяется заданием вектора n = (А; В; С), перпендикулярного этой плоскости, и некоторой фиксированной точки М 0 (х 0 ; у 0 ; z 0 ), лежащей в плоскости Всякий (не равный нулю) вектор n = (А; В; С), перпендикулярный к данной плоскости, называется её нормальным вектором Получим уравнение плоскости, проходящей через данную точку М 0 и имеющей нормальный вектор n Для этого возьмём на плоскости произвольную точку M (x; y; z) и рассмотрим вектор М 0 М Для любой точки M вектор М 0 М n перпендикулярен вектору Поэтому их скалярное произведение равно нулю, те ( М М, ) = 0 0 n Это равенство условие того, что точка M принадлежит плоскости Оно справедливо для всех точек этой плоскости и нарушается, как только точка M окажется вне плоскости Так как М М 0 = (х х 0 ; у у 0 ; z z 0 ), n = (А; В; С), получаем А(х x о ) + В(у y о ) + С(z z 0 ) = 0 Это уравнение плоскости, проходящей через данную точку М 0 (х 0 ; у 0 ; z 0 ) перпендикулярно вектору n Преобразуем его Ах + Ву + Сz + ( Аx о Вy о Сz 0 )= 0 Так как А, В и С числовые коэффициенты, а х 0, у 0 и z 0 координаты точки, то в скобках у нас постоянное число Если это число обозначить через D, то получится общее уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0 Неполные уравнения плоскости Если один или несколько коэффициентов общего уравнения Ax + By + Cz + D = 0 равны нулю, то уравнение называется неполным Рассмотрим, как располагается плоскость относительно системы координат, если один или несколько коэффициентов общего уравнения обращаются в нуль Возможны следующие случаи: ) Пусть D = 0 Уравнение имеет вид Ax + Cy + Bz = 0 и плоскость проходит через начало координат перпендикулярно нормальному вектору n = (А; В; С) ) Пусть A = 0 Уравнение имеет вид By + Cz + D = 0, нормальный вектор имеет координаты n = (0; В; С) Вектор с такими координатами перпендикулярен оси Ох, следовательно, плоскость параллельна оси Ox 7 8

15 Аналогично, если B = 0, то плоскость Ax + Cz + D = 0 параллельна оси Oy и если C = 0, то плоскость Ax + By + D = 0 параллельна оси Oz 3) Пусть A = D = 0 Уравнение имеет вид By + Cz = 0, нормальный вектор с координатами n = (0; 0; С) перпендикулярен плоскости Оху Поэтому уравнению соответствует плоскость, проходящая через ось Ox Аналогично, при B = D = 0 плоскость Ax + Cz = 0 проходит через ось Oy При C = D = 0 плоскость Ах + Ву = 0 проходит через ось Oz 4) Пусть A = B = 0 Плоскость можно записать в виде Cz + D = 0, нормальный вектор имеет координаты n = (0; 0; С) Вектор с такими координатами перпендикулярен плоскости Оху Значит, плоскость проходит параллельно осям Ox и Oy, или параллельно координатной плоскости Oxy Плоскость будет проходить через точку с координатой (0; 0; z) Аналогично, уравнениям A x + D = 0 и B y + D = 0 соответствуют плоскости, параллельные координатным плоскостям Oуz и Oхz 5) Пусть A = B = D = 0 Уравнение плоскости имеет вид C z = 0 или z = 0 Эта плоскость проходит через начало координат и параллельна осям Ox и Oy, то есть уравнение определяет координатную плоскость Oхy Аналогично, x = 0 уравнение координатной плоскости Oуz и y = 0 уравнение координатной плоскости Oхz Примеры ) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (; ; 3) перпендикулярно вектору n = (; 0; 4) Решение Используя уравнение А (х x о ) + В (у y о ) + С (z z 0 ) = 0, получим (x ) + 0 (y + ) + 4 (z 3) = 0 или x + z 7 = 0 ) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (; 3; 4) параллельно плоскости Oуz (перпендикулярно оси Ox) Решение Так как искомая плоскость α параллельна плоскости Oуz, то уравнение плоскости будет иметь вид Ax + D = 0 С другой стороны, точка M принадлежит плоскости α, поэтому A + D = 0, D = A Поэтому плоскость имеет уравнение х = 0 3) Построить плоскость x + 5z 0 = 0 Решение Это неполное уравнение плоскости, параллельной оси Oy Найдём точки ее пересечения с осями Ox и Oz При х = 0 находим: z = 9 30

16 При z = 0 получаем: х = 5 Отметим на координатной плоскости точки с координатами (5; 0; 0) и (0; 0; ) Построим искомую плоскость 4) Построить плоскость z + 5 = 0 Решение Данная плоскость проходит параллельно плоскости Оху Выразим из уравнения переменную z Получаем: z = 5 Отметим на координатной плоскости точку с координатами (0; 0; 5 )0 и строим плоскость D D D a =, b =, c =, A B C приходим к уравнению плоскости в отрезках x y z + + =, a b c где а, b, с величины отрезков, которые отсекает плоскость на координатных осях Нормальное уравнение плоскости Пусть дано общее уравнение плоскости Ах + Ву + Cz + D = 0 Приведем его к нормальному виду Для этого все члены этого уравнения умножим на нормирующий множитель µ, определяемый формулой Различные виды уравнений плоскости в пространстве µ = ± A + B + C Уравнение плоскости в отрезках Получаем Рассмотрим плоскость, которая пересекает все три координатные оси и не проходит через начало координат Пусть плос- А В х + ± А + В + С ± А + В кость задана уравнением в общем виде С D Ax + By + Cz + D = 0, + z + ± А + В + С ± А + В где ни один из коэффициентов не равен нулю Преобразуем это Обозначим: уравнение: Ax + By + Cz = D D p =, Поделим полученное равенство ± А + В + C на D: А x y z + + = D D D A B C Обозначив + С cos α =, ± А + В + C В cos β =, ± А + В + C + С у + = 0 3 3

17 С cos γ = ± А + В + C Смешанное произведение трех векторов равно определителю третьего порядка, в строках которого стоят координаты век- Знак нормирующего множителя µ выбирается противоположным торов М М, ММ, М М 3 Именно эту формулу смешанного знаку свободного члена D нормируемого уравнения произведения векторов и представляет собой левая часть нашего Получаем нормальное уравнение плоскости уравнения плоскости, проходящей через три известные точки x cos α + y cos β + z cos γ p = 0, М, М, М 3 : где cos α, cos β, cos γ направляющие косинусы нормали плоскости, x x y y z z = 0 р расстояние до плоскости от начала координат x x y y z z x3 x y3 y z3 z Если р = 0, то плоскость проходит через начало координат Во избежание неопределённости знак перед радикалом выбирается так, чтобы соблюдалось условие p > 0 Примеры ) Найти отрезки, отсекаемые плоскостью 3 Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки Пусть на плоскости имеются три точки М (х ; у ; z ), М (х ; у ; z ), М 3 (х 3 ; у 3 ; z 3 ), не лежащие на одной прямой Рассмотрим произвольную точку плоскости М (х; у; z) Все эти четыре точки лежат в одной плоскости Составим векторы М М = (х х ; у у ; z z ), М М = (х х ; у у ; z z ), М М 3 = (х 3 х ; у 3 у ; z 3 z ), которые тоже лежат в той же самой плоскости Если три вектора лежат в одной плоскости, то они компланарны, а по условию компланарности, их смешанное произведение должно быть равно нулю Получаем ( М М М М М М 3 ) = 0 x + 3y + 6z 6 = 0 на координатных осях и построить плоскость Решение Приведём это уравнение к уравнению плоскости в отрезках Для этого запишем x + 3y + 6z = 6 Разделим обе части уравнения на число 6 Получаем x y z + + = 3 Значит, а = 3, b =, с = Отмечаем эти отрезки на координатных осях и получаем плоскость ) Привести уравнение плоскости х + у z + 9 = 0 к нормальному виду Решение Умножим обе части уравнения на нормирующий множитель µ = ± A + B + С Знак нормирующего множите

18 3 Взаимное расположение двух плоскостей ля должен быть противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения Таким образом, так как D = 9 > 0, то Угол между двумя плоскостями µ = = = + ( ) Пусть даны две плоскости + А х + В у + С z + D = 0, А х + В у + С z + D = 0 Получаем искомое уравнение с нормальными векторами n = (A n ; B ; С ), = (A ; B ; С ) x y z + 3 = Известна формула нахождения скалярного произведения двух векторов: 3) Из точки М (; 3; 5) на координатные плоскости опущены перпендикуляры Найти уравнение плоскости, проходя- ( n n ) = n n cos ϕ Откуда щей через их основания ( ) Решение Основаниями перпендикуляров, опущенных на n n cos ϕ = координатные плоскости, будут следующие точки: М (; 3; 0), n n М (; 0; 5), М 3 (0; 3; 5) Запишем уравнение плоскости, проходящей через точки М, М, М 3 Для этого воспользуемся уравнением нормальными векторами n = (А ; В ; С ), n = (А ; В ; С ) За- Итак, угол между двумя плоскостями равен углу между их x x y y z z пишем правую часть формулы в координатной форме и получим x x y y z z = 0 А А + ВВ + СС cosϕ = x x y y z z А + В + С А + В + С или Находим 3 3 х у 3 z 5 = (х ) ( 0) (у 3) + ( 6) z = 0 Отсюда получаем уравнение искомой плоскости 5х + 0у 6z 60 = 0 Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей Для того, чтобы две плоскости А х + В у + С z + D = 0, А х + В у + С z + D = 0 были перпендикулярны, необходимо, чтобы были перпендикулярны их нормальные векторы n = (А ; В ; С ), n = (А ; В ; С ), те n n = 0 или А А + В В + С С = 0 Для того, чтобы две плоскости 35 36

19 А х + В у + С z + D = 0, А х + В у + С z + D = 0 были параллельны, необходимо, чтобы выполнялось условие коллинеарности их векторов-нормалей, те условие пропорциональности их координат А А = = В В Невыполнение хотя бы одного из этих условий означает, что плоскости не параллельны, те пересекаются Если A A С С B C D = B = C = D то плоскости совпадают, то есть оба уравнения определяют одну и ту же плоскость 3 Расстояние между двумя плоскостями Пусть даны две параллельные плоскости в общем виде Aх + By + Cz + D = 0, A х + B y + Cz + D = 0 Расстояние между ними находится по формуле: δ = ± D D А + В + C Если знак перед радикалом противоположен D, то d будет положительным, когда вторая прямая и начало координат лежат по разные стороны от первой прямой 4 Расстояние от точки до плоскости Пусть задана точка М 0 (х 0 ; у 0 ; z 0 ) и плоскость вида Aх + By + Cz + D = 0 Найдем расстояние от этой точки до заданной плоскости Возьмем в пространстве произвольную точку М (х ; у ; z ) Расстояние от точки М 0 (х 0 ; у 0 ; z 0 ) до плоскости равно модулю про-, ( x + екции вектора М М 0 на направление нормального вектора n = (А; В; С) Следовательно, d = Отсюда 0 x ) A ( y0 y) B ( z0 z) A + B Преобразуем правую часть: + С + M M n d = Ax0 + By0 + Сz0 Ax By Cz d = A + B + С C 0 n Так как точка М (х ; у ; z ) принадлежит заданной плоскости, то выполняется равенство А х + В у + С z = 0, то есть D = А х В у С z Отсюда получаем, что расстояние от этой точки до плоскости находится по формуле: Ах + Ву d = А + В + Сz + C + D Если точка М 0 и начало координат лежат по разные стороны от данной плоскости, то расстояние d > 0 Если они лежат по одну сторону от данной плоскости, то d < 0 Если М 0 лежит на самой плоскости, то d =

20 Примеры ) Определить, при каких значениях l и m уравнения lx 3y + z = 0, x + my z = 0 будут определять параллельные плоскости Решение Так как две плоскости параллельны, то по условию параллельности имеем l - 3 = =, m - отсюда следует, что l =, m = 3 ) Найти расстояние от точки М ( 5; 4; 8) до плоскости х + 4у 8z 88 = 0 Решение Подставим координаты точки М (х 0 ; у 0 ; z 0 ) и коэффициенты общего уравнения в формулу и получим или ( 5) + 4 ( 4) d = ( 8) d = = = ) Найти угол между плоскостями 6х + у 4z + 9 = 0, 9х + 3у 6z 4 = 0 Решение По условию нормальные векторы n и n имеют координаты: n = (6; ; 4), n = (9; 3; 6) Подставим их в формулу нахождения угла и получим: cosϕ = ( 4) ( 6) + + ( 4) ( 6), или φ = arccos = 0 Глава 4 ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Различные виды уравнений прямой в пространстве Общие уравнения прямой в пространстве Прямая в пространстве может быть определена как линия пересечения двух непараллельных плоскостей Рассмотрим систему уравнений A x + B y + Cz + D = 0 A x + B y + Cz + D = 0 Каждое из уравнений этой системы определяет плоскость Если плоскости не параллельны, то координаты нормальных векторов n = (А ; В ; С ), n = (А ; В ; С ) не пропорциональны Значит, эта система определяет прямую как геометрическое место точек пространства, координаты которых удовлетворяют каждому из уравнений системы Эти уравнения называют общими уравнениями прямой Канонические уравнения прямой Пусть на прямой дана фиксированная точка М 0 (х 0 ; у 0 ; z 0 ) Рассмотрим на этой прямой еще любую текущую точку М (х; у; z) Тогда не равный нулю вектор а = (l; m; n), лежащий на данной прямой, называется направляющим вектором прямой Он коллинеарен любому вектору, лежащему на ней, в том числе и вектору М 0 М = (x х 0 ; y у 0 ; z z 0 ) Это означает пропорциональность координат Получаем канонические уравнения прямой y0 z z0 cos ϕ = = = = x x = y = l m n 39 40

21 Из общих уравнений A x + B y + Cz + D = 0 A x + B y + Cz + D = 0 можно получить канонические уравнения, если найти какую-либо точку М 0 этой прямой и ее направляющий вектор а Координаты точки М 0 (х 0 ; у 0 ; z 0 ) найдем, приравнивая одну из координат нулю Так как прямая перпендикулярна нормальным векторам n = (А ; В ; С ), n = (А; В ; С ), то за направляющий вектор а прямой можно принять векторное произведение n n : а = n n = А В С А3 В3 С3 Отсюда координаты направляющего вектора находятся из общих уравнений прямой по следующим формулам: В l = В С С i С А А В, m =, n = С А А В 3 Параметрические уравнения прямой Пусть даны канонические уравнения x x0 y y0 z z0 = = l m n прямой, проходящей через точку M (x 0 ; у 0 ; z 0 ) параллельно вектору а = (l; m; n) Приравняем каждое из отношений произвольному параметру t, выразим х, у и z Получаем параметрические уравнения прямой: j k = x0 + l t y = y0 + m t, z = z0 + n t где t произвольно изменяющийся параметр, х, у, z функции от t; при изменении t величины х, у, z меняются так, что точка М (х; у; z) движется по данной прямой Обратно, из параметрических уравнений можно получить канонические уравнения прямой Для этого необходимо выразить параметр t: x x0 y y0 z z0 t =, t =, t = l m n Так как во всех трех соотношениях параметр t имеет одно и то же значение, то получаем канонические уравнения прямой а x x0 y y0 z z0 l = m 4 Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки Пусть на прямой даны две точки M (x ; y ; z ) и M (x ; y ; z ), вектор а = М М направляющий вектор этой прямой Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M (x ; y ; z ) параллельно вектору а = (l; m; n), имеет вид x x y y z z = = l m n Подставив в это уравнение координаты вектора а = М М = (х х ; у у ; z z ), получим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M и M : x x y y z z = = x x y y z z = n 4 4

22 Примеры ) Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку М (; ; 5) параллельно вектору а = (; ; 0) Решение Из условия х 0 =, у 0 =, z 0 = 5 Координаты направляющего вектора l =, m =, n = 0 Деление отрезка в данном отношении Расстояние между двумя точками Пусть требуется разделить отрезок М М, соединяющий точки M (x ; y ; z ) и M (x ; y ; z ), в заданном отношении λ > 0, те найти координаты точки М (х; у; z) отрезка М М такой, что Получаем искомые уравнения MM λ = x y z + 5 MM = = 0 Рассмотрим векторы М М и ММ Имеем: ) Определить, при каком значении D прямая М М = (х х ; у у ; z z ), те + y 4z + D = 0 x 3у + 4z 6 = 0 М М = (х х ) i + ( у у ) j + ( z z ) k и пересекает ось Оу ММ = (х х; у у; z z), Решение Прямая пересекает ось Оу, если х = 0 и z = 0 Получаем: те ММ = (х х) i + ( у у) j + ( z z) k Точка М делит отрезок М М в отношении λ, если 0 + y D = 0 или 0 3у = 0 М М = λ ММ или (х х ) i + ( у у ) j + ( z z ) k = y + D = 0 = λ (х х) i + λ ( у у) j + λ ( z z) k 3у 6 = 0 Учитывая, что равные векторы имеют равные координаты, Отсюда D = получаем 3) Найти какую-нибудь точку М на прямой х х = λ х λ х, у у = λ у λ у и z z =λ z λ z 3x y + z + 4 = 0 Итак, координаты точки М (х; у; z), которая делит отрезок x + y z + = 0 M M Решение Положим z = 4 Получим систему М М в отношении λ =, находятся по формулам MM 3x y = 0 x + λx y + λy z + λz x + y + 9 = 0 x =, y =, z = + λ + λ + λ Решая ее, находим х = 5, у = 675 Итак, мы нашли В частности, если М середина отрезка M M, то λ = и координаты находятся по координаты точки М ( 5; 675; 4) формулам: 43 44

23 x + x x y = + y z y = + z,, z = Пусть даны две точки M (x ; y ; z ) и M (x ; y ; z ) Расстояние d между ними в пространстве определяется как длина вектора Получаем точку (3; 4; 0) Аналогично для второй точки середины отрезка М М 3 : x = =, y = = 3, z = = 3 или (; 3; 3) Для третьей точки М М = (х х ; у у ; z z ) и находится по формуле x = =, y = =, z = = или (; ; ) d = ( x x ) + ( y y) + ( z z) Итак, искомые координаты (3; 4; 0), (; 3; 3), (; ; ) Примеры ) Найти координаты точки А (х; 0; 0), равноудаленной от точек В (; ; 5) и С (; 3; 4) Решение Используем формулу расстояния d между двумя точками M (x ; у ; z ) и M (x ; y ; z ): 3 Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве Взаимное расположение прямых и плоскостей Рассмотрим прямую d = ( x x) + ( y y) + ( z z) x x0 y y0 z z0 = =, AB = ( x) = x x + 30, l m n AC = ( x) + + ( 4) = x 4x + 4 проходящую через точку M (x 0 ; у 0 ; z 0 ) параллельно вектору а = (l; m; n), и плоскость По условию АВ = АС, поэтому Ах + Ву + Сz + D = 0 x x + 30 = x 4x + 4 или с нормальным вектором n = (А; В; С) х х + 30 = х 4х + 4 Решим это уравнение: х = 6, х = 3 Отсюда точка А имеет координаты А ( 3; 0; 0) ) Даны вершины треугольника М (4; 3; ), М (; 5; ) и M 3 (0; ; 4) Найти координаты середин его сторон Решение Найдем координаты середины отрезка М М : Угол между прямой и плоскостью это любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость Обозначим через ϕ угол между прямой и плоскостью, через ψ n x = = 3, y = = 4, z = = 0 угол между векторами а и Очевидно, что косинус угла между ними находится по формуле 45 46

24 cos ψ = a n ( a n) Пусть даны две прямые в каноническом виде прямая x x l y y = m π а Найдем синус угла ϕ, считая ϕ с направляющим вектором = (l ; m ; n ), проходящая через точку M (x ; y ; z ), и прямая π sin ϕ = sin ( ψ) = cos ψ x x y y z z = = l m n Так как sin ϕ 0, получаем с направляющим вектором а = (l ; m ; n, ), проходящая через а n sinϕ = точку M (x ; y ; z ) a n Найдем угол между двумя прямыми, те угол между их направляющими векторами Известна формула нахождения ска- Если известны координаты направляющего вектора прямой а = (l; m; n) и нормального вектора плоскости n = (А; В; С), то лярного произведения двух векторов: синус угла между прямой и плоскостью находится по формуле ( а а ) = а а cos ϕ sinϕ = A + B Al + Bm + Cn + C l + m + n Если прямая параллельна плоскости, то векторы а и n перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю, те n а = 0 Поэтому условием параллельности прямой и плоскости является условие Аl + Вm + Сn = 0 Если прямая перпендикулярна плоскости, то векторы а и n параллельны Поэтому равенство A B C = = l m n является условием перпендикулярности прямой и плоскости Взаимное расположение двух прямых Откуда z z = n ( a a ) cosϕ = a a Запишем правую часть в координатной форме и получим формулу нахождения угла между двумя прямыми cosϕ = а а l + m l l + m m + n n + n l + m + n Две прямые параллельны, если их направляющие векторы = (l ; m ; n ), = (l ; m ; n ) коллинеарны, те их координаты пропорциональны Следовательно, должно выполняться условие l l m n = = m n Две прямые перпендикулярны, если их направляющие векторы перпендикулярны, те l l + m m + n n =

25 x y + z + 5 = = 3 Пересечение прямой и плоскости 4 Пусть заданы прямая принадлежит плоскости Сх + у + D = 0? Решение Прямая лежит на плоскости, если она параллельна x x0 y y0 z z0 = =, плоскости и хотя бы одна ее точка принадлежит плоскости те l m n выполняются следующие равенства проходящая а через точку M (x 0 ; у 0 ; z 0 ) параллельно вектору = (l; m; n), и плоскость С + 4 = 0 С + D = 0 Ах + Ву + Сz + D = 0 с нормальным вектором n = (А; В; С) Уравнение прямой эквивалентно системе прямая принадлежит Решив эту систему, получим, что при С = 4 и D = 7 данная плоскости = x + l t = 3 + 4t 0 y = y0 + m t ) При каких значениях А и D прямая y = 4t z = z0 + n t z = 3 + t Подставим х, у, z из этой системы в уравнение плоскости: лежит в плоскости Ах + у 3z + D = 0? t (Al + Bm + Cn) = (x 0 + y 0 + z 0 + D) Решение Из условия х 0 =, у 0 = 4, z 0 =, l = 3, m = 6, n = Если Al + Bm + Cn = 0, Аx 0 + Вy 0 + Сz 0 + D = 0, Получаем то прямая лежит на плоскости, и, следовательно, имеет бесконечное множество решений А D = 0 А = 0 Если Al + Bm + Cn = 0, Аx 0 + Вy 0 + Сz 0 + D 0, Решаем систему и находим А = 3, D = то прямая параллельна плоскости и не лежит на ней, значит, 3) Найти точку пересечения прямой решений нет x Если Al + Bm + Cn + y + 3 = = z 0, то x0 + y0 + z0 + D t = и плоскости х + 4у 3z = 0 Al + Bm + Cn Решение Параметрическое уравнение прямой имеет вид и существует одна точка пересечения, те имеется единственное решение = t y = t + z = t 3 Примеры Подставим в уравнение плоскости вместо переменных х, у, z ) При каком значении С и D прямая их выражения: 49 50

26 ( t ) + 4 (t + ) 3 (t 3) = 0 t 4 + 4t + 4 6t + 9 = 0 4t + 8 = 0, t = Таким образом, координаты искомой точки ( 4; 3; ) 4) Определить, при каком значении m пара уравнений = + t y = 4 + mt, z = 3 + 3t = 6t y = + 4t z = + 9t будет определять параллельные прямые Решение Направляющие векторы прямых имеют координаты а = (; m; 3), а = (6; 4; 9) Подставим их в условие параллельности прямых: Отсюда m = m 3 = = Глава 5 ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Уравнением данной поверхности (в выбранной системе координат) называется такое уравнение с тремя переменными Р (х; у; z) = 0, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой поверхности, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней Цилиндрические поверхности Пусть заданы вектор а и некоторая кривая, лежащая на плоскости Ес- ли через каждую точку этой кривой провести прямую параллельно данному вектору а, то получим поверхность, называемую цилиндрической поверхностью или цилиндром Прямые, параллельные вектору а и принадлежащие цилиндрической поверхности, называются образующими этой поверхности, а кривая называется направляющей цилиндрической поверхности Уравнение цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны оси Ох, имеет вид F (у; z) = 0 Если образующие параллельны оси Оу, то уравнение цилиндрической поверхности имеет вид F (х; z) = 0 Если образующие параллельны оси Оz, то уравнение цилиндрической поверхности имеет вид F (х; у) = 0 Название цилиндрической поверхности определяется названием ее направляющей Пусть в пространстве Охуz направляющая параллельна оси Оz, а образующая лежит в плоскости Оху Если направляющей является эллипс с уравнением x a y + b = в плоскости Оху, то соответствующая цилиндрическая поверхность называется эллиптическим цилиндром Частным случаем эллиптического цилиндра при а = b = R является круговой цилиндр, его уравнение х + у = R Если направляющей является гипербола с уравнением x a y b =, 5 5

27 то она определяет в пространстве гиперболический цилиндр Если направляющей является парабола с уравнением у = рх, то она определяет в пространстве параболический цилиндр Все эти поверхности называются цилиндрами второго порядка, так как их уравнения это уравнения второй степени относительно текущих координат х, у, z Сфера Сфера это множество точек пространства, равноудаленных от заданной точки, называемой центром Каноническое уравнение сферы с центром в точке С (a; b; c) и радиусом r определяется уравнением (х a) + (у b) + (z c) = r Уравнение сферы радиуса r, центр которой находится в начале координат, имеет вид х + y + z = r 3 Эллипсоид Эллипсоид это поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется каноническим уравнением x y a + z + = b c Величины а, b, с полуоси эллипсоида Если все они различны, эллипсоид называется трёхосным В случае, когда какие-нибудь две из них одинаковы, эллипсоид является поверхностью вращения Если а = b, то осью вращения будет Оz При а = b < с эллипсоид вращения называется вытянутым, при а = b > с сжатым В случае, когда а = b = с, эллипсоид представляет собой сферу 4 Гиперболоид Гиперболоид это поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется каноническими уравнениями Гиперболоид, определяемый уравнением + x y z =, a b c называется однополостным Гиперболоид, определяемый уравнением x a + y b z c =, называется двуполостным Величины а, b, с называются полуосями гиперболоида Данные гиперболоиды при а = b являются поверхностями вращения 5 Параболоид 53 54

28 называется эллиптическим Уравнение гиперболического параболоида имеет вид Параболоид это поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется каноническими уравнениями Параболоид, определяемый уравнением x y z = +, a b x y z = a b Величины a и b полуоси параболоида При а = b эллиптический параболоид является поверхностью вращения (вокруг оси Оz) 6 Уравнения линии Пересечение трёх поверхностей Линия в пространстве определяется совместным заданием двух уравнений F (x, y,z, ) = 0 Ф (x, y,z) = 0 как пересечение двух поверхностей F (х, у, z) = 0 и Ф (x, у, z) = 0 Если F (x, у, z) = 0, Ф (х, у, z) = 0, Ψ (х, у, z) = 0 уравнения трёх поверхностей, то для разыскания точек их пересечения нужно совместно решить систему F (x, y,z) = 0 Ф (x, y,z) = 0 Каждое реше- Ψ (x, y,z) = 0 ние х, у, z этой системы представляет собой координаты одной из точек пересечения данных поверхностей Примеры ) Определить координаты центра С и радиус r сферы, заданной уравнением х + у + z 6х + 8z = 0 Решение Преобразуем условие (х 6х) + у + (z + 8z) = 0 Выделим полный квадрат в скобках и получим уравнение сферы (х 3) + у + ( z + 4) = 36 с центром в точке С (3; 0; 4) и радиусом r = 6 ) Установить, какая линия определяется уравнениями х + у + z у = 0 Решение: Первое уравнение = 6 х + у + z = 6 определяет уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом, равным 4 Второе уравнение у = 0 определяет координатную плоскость Oxz Запись двух уравнений в систему означает их пересечение Поэтому искомой линией является окружность, лежащая на плоскости Oxz с центром в начале координат и радиусом, равным 4 3) Какую поверхность определяет в пространстве уравнение х = 4у? Решение Уравнение х = 4у определяет параболический цилиндр с образующими, параллельными оси Оz Направляющей цилиндрической поверхности является парабола х = 4у, z =

29 ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ Вариант ) Составить общее уравнение прямой x + y = 3 и указать координаты нормального вектора ) x y 5 = 0; n = (; ) ) 5x y + 5 = 0; n = (5; ) 3) x + 3y 6 = 0; n = (; 3) 4) x + y 3 = 0, n = ( ; ) ) Определить, при каком значении а прямая (а + ) x + (а 9) y + 3а 8а + 5 = 0 параллельна оси абсцисс Напишите уравнение этой прямой ) а =, 5у 33 = 0; ) a = 3, х = 0; 3) a = 3, 5x + 8 = 0; 4) a = 3 5, 3x 6у = 0 3) Определить взаимное расположение прямых x + 5y 8 = 0, 4x + 5у 7 = 0 ) пересекаются; ) параллельны; 3) перпендикулярны; 4) совпадают 4) Установить, какая линия определяется уравнением y = + 9 х ) полуокружность, расположенная в верхней полуплоскости; ) полуокружность, расположенная в нижней полуплоскости; 3) половина эллипса, расположенная в верхней полуплоскости; 4) половина эллипса, расположенная в нижней полуплоскости 57 58

30 5) Определить, при каких значениях l и m следующие пары x y z + 3 x = = y z 3 3) ; 4) = = + уравнений будут определять параллельные плоскости: х 8 у + lz 9 = 0, 3х + mу + z 3 = 0 0) Составить уравнение линии пересечения плоскости Oxz и сферы с центром в начале координат и радиусом, равным 3 ) l = 3, m = 4; ) l =, m = 4; 3) l = 4, m = ; 4) l = 4, m = 4 x + y + z = 3 + y + z = 9 6) Привести уравнение плоскости ) ; ) ; y = 0 x = 0 х у + z 8 = 0 к нормальному виду + y + z = 9 + y + z = 9 3) ; 4) y = 0 z = ) х у + z 6 = 0, ) х + у z = 0; Вариант 3 6 3) х у z = 0; 4) х у z = 0 ) Написать параметрическое уравнение прямой x 3y 6 = 0 7) Вычислить расстояние d от точки М ( ; 4; 3) до плоскости = 3 + 5t = 4t х у + z + 3 = 0 ) ; ) ; y = 0 x = 3t ) d = 5; ) d = 3; 3) d = ; 4) d = 8 = 3 + 3t x = t 3) ; 4) 8) При каком значении т прямая y = t z = t x + y z + 3 ) Определить, при каких значениях т и п две прямые = = 3 m тх + 8у + n = 0, х + ту = 0 перпендикулярна плоскости перпендикулярны 9х Зу 6z + 5 = 0? ) m =, n = ; ) m =, n = 5; ) m = ; ) m = ; 3) m = ; 4) m = 4 3) m = 0, n любое; 4) m = 6, n любое 9) Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М (; 0; 3) параллельно вектору а = (; 3; 5) 3) Определить, какое из следующих уравнений является уравнением в отрезках на осях для прямой х + у 5 = 0 x y z + 3 x y z + 3 х ) = = ; ) = = ; х у у а) = ; б) + = ;

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАЗДЕЛ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть I Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии на плоскости Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия 5.. Прямая на плоскости Различные способы задания прямой на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Расположение прямой относительно системы координат. Геометрический смысл

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L. Лекция 7. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости задана декартова система

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве Лекция Глава Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве OXYZ даны точка ) и ненулевой

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики НЛ Воронцова АВ Маргулян НК Орехова ЕС Филимонова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим.

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим. Кривые второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Практическое занятие 14 Тема: Парабола

Практическое занятие 14 Тема: Парабола Практическое занятие 14 Тема: Парабола План 1. Определение и каноническое уравнение параболы.. Геометрические свойства параболы. Взаимное расположение параболы и прямой, проходящей через ее центр. Основные

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия Кафедра высшей математики ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

3. Гипербола и её свойства

3. Гипербола и её свойства 3. Гипербола и её свойства Определение 3.. Гиперболой называется кривая определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением 0. (3.) а Равенство (3.) называется каноническим уравнением

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания к решению задач по теме «Аналитическая

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АКАДЕМИЯ АРХИТЕКТУРЫ И ИСКУССТВ В.В. ТРОФИМОВ, С.П.

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ООО «Резольвента», wwwesolventau, esolventa@listu, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

~ 1 ~ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Уравнения линии и поверхности.

~ 1 ~ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Уравнения линии и поверхности. ~ ~ АНАЛИТИЧЕКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Уравнения линии и поверхности. Определение: Уравнение f, называется уравнением линии на плоскости, если координата любой точки этой линии удовлетворяет данному уравнению. Определение:

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ НС Анофрикова, ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

Аналитическая геометрия в пространстве. Содержание. 1 Общие сведения 1

Аналитическая геометрия в пространстве. Содержание. 1 Общие сведения 1 Аналитическая геометрия в пространстве Содержание 1 Общие сведения 1 2 Плоскость в пространстве 2 2.1 Уравнение в отрезках................ 3 2.2 Нормальное уравнение плоскости......... 4 2.3 Расстояние

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Уравнения кривых второго порядка Окружность Определение Окружность это геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности, на расстоянии r

Подробнее

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка»

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАФЕДРА Математика и финансовые приложения Е.С. Волкова Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» Москва 00 Аннотация Курс лекций содержит

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения»

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Государственное образовательное учреждение Среднего профессионального образования «Котовский индустриальный техникум» МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Котовск, 4 г. Учебное

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

1. Поверхности второго порядка

1. Поверхности второго порядка 1 1. Поверхности второго порядка Здесь мы познакомимся с некоторыми вопросами теории поверхностей второго порядка, уравнения которых будут иметь вид A + B + Cz 2 + Dxy + Eyz + F yz + Gx + Hy + Kz + L =

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс МОДУЛЬ ЭЛЛИПС ГИПЕРБОЛА ПАРАБОЛА Практическое занятие Тема: Эллипс План Определение и каноническое уравнение эллипса Геометрические свойства эллипса Эксцентриситет Зависимость формы эллипса от эксцентриситета

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

Лекция 11 M L G K M C

Лекция 11 M L G K M C Лекция 11 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей этого конуса. При различных значениях угла α при вершине в осевом

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка

Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка 1 Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка Аннотация: Из определений выводятся канонические уравнения кривых: эллипса, гиперболы и параболы. Даются параметрические уравнения эллипса и гиперболы.

Подробнее

Лекция 6 Поверхности второго порядка. Эллиптический тип

Лекция 6 Поверхности второго порядка. Эллиптический тип Лекция 6 Поверхности второго порядка Пространственным аналогом кривых второго порядка являются поверхности второго порядка, имеющие уравнение вида F(x,y,z) =, где F(x,y,z) многочлен второй степени от x,y,z.

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Министерство образования РФ Уральский государственный технический университет УПИ Нижнетагильский технологический институт С.Е.Демин, Е.Л.Демина ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ (конспект лекций) г. Нижний

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

Лекция 9 M L G K M C. AL 2 = r 2 + x 2 + y 2. Отложим на прямой AC отрезок AM = AL.

Лекция 9 M L G K M C. AL 2 = r 2 + x 2 + y 2. Отложим на прямой AC отрезок AM = AL. Лекция 9 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей этого конуса. При различных значениях угла α при вершине в осевом

Подробнее

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова Е. В. Мартынова, И. П. Мурзина, Т. М. Степанюк,

Подробнее

Лекция 13. Эллиптический тип

Лекция 13. Эллиптический тип Лекция 13 Поверхности второго порядка Пространственным аналогом кривых второго порядка являются поверхности второго порядка, имеющие уравнение вида F(x,y,z) =, где F(x,y,z) многочлен второй степени от,y,z.

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 0. План лекции Лекция Эллипс, Гипербола и Парабола. 1. Эллипс. 1.1. Определение эллипса; 1.2. Определение канонической системы координат; 1.3. Вывод уравнения

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ МИИГАиК) ОВИсакова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

Абдулаева Халисат Саидовна. Кафедра математики. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (практикум)

Абдулаева Халисат Саидовна. Кафедра математики. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (практикум) ГАОУ ВПО Дагестанский государственный институт народного хозяйства Абдулаева Халисат Саидовна Кафедра математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (практикум) Махачкала 0 УДК 5(075)

Подробнее

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость»,

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», «Кривые и поверхности второго порядка». Под индивидуальными

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Рожкова С.В. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность. 2.Эллипс. 1.Окружность Эллипс Гипербола Парабола... 4

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность. 2.Эллипс. 1.Окружность Эллипс Гипербола Парабола... 4 ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность... 1.Эллипс... 1 3.Гипербола.... 4.Парабола.... 4 1.Окружность Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики С. И. Яблокова Кривые второго порядка Часть Практикум

Подробнее

Глава 7 Плоскость в пространстве

Глава 7 Плоскость в пространстве Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны

Подробнее

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против ЛЕКЦИЯ 9 Уравнение прямой на плоскости угол Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть дана некоторая прямая L Углом наклона прямой L к оси O называется α, отсчитываемый от положительного направления

Подробнее

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7 Уравнения прямой в пространстве Лекция 7 1 Параметрические уравнения прямой Перейдём в векторном уравнении прямой в пространстве к координатной форме r ( x; y; z), r ( x ; y ; z ), a ( m; n; p) r r t a

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C( 1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н.Ельцина»

Подробнее

12 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ.

12 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОЕТРИЯ ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. ОПР Плоскостью будем называть поверхность обладающую тем свойством что если две точки прямой принадлежат плоскости то и все точки прямой принадлежат данной

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Лекция 6. Прямая на плоскости

Лекция 6. Прямая на плоскости Лекция 6 Прямая на плоскости Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющей заданный вектор нормали l O b y На плоскости, где введена прямоугольная система координат, рассмотрим прямую l.

Подробнее

ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Методические указания и задания по аналитической геометрии для студентов 1-го курса Агапова Елена Григорьевна Битехтина Екатерина Андреевна 3 Введение

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 9 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 1. Каноническое уравнение эллипса Определение 1. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, сумма расстояний от каждой

Подробнее

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 8 Тема: Прямая на плоскости План Способы задания и уравнения прямой Общее уравнение прямой Особенности расположения прямой в АСК 3 Аналитическое задание полуплоскости 4 Взаимное расположение

Подробнее

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических

Подробнее

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a.

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a. Занятие 12 Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек F 1 и F 2, называемых

Подробнее

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 1. Найдите уравнения касательных к окружности (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4, параллельных прямой 5x 12y + 1 = 0. 2. Напишите уравнение касательной

Подробнее