Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии"

Транскрипт

1 Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого курса физического факультета Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии г.ростов-на-дону 00г.

2 Содержание стр.. Введение.. Решение систем линейных уравнений (СЛУ). Определители -го и -го порядков. Формулы Крамера. Метод Гаусса..4. Прямая линия на плоскости Линии второго порядка Векторная алгебра. Аналитическая геометрия в пространстве Приложение Приложение Литература 9

3 Введение В данном пособии содержатся методические указания и решения базовых задач по некоторым разделам алгебры и аналитической геометрии. В конце каждого параграфа предлагаются задачи для самостоятельного решения. В завершающей части методических указаний приведены образцы экзаменационных заданий. Пособие предназначено для студентов первого курса физического факультета. Оно может быть полезно также преподавателям, ведущим практические занятия.

4 Решение систем линейных уравнений (СЛУ). Определители -го и -го порядков. Формулы Крамера. Метод Гаусса. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет вид: 4 a x+b y = c a x+b y = c (. ) Если определитель системы не равен нулю: a b = a b -a b 0 a b То система (.) имеет единственное решение, которое находится по формулам: c b c b a c a c x = a b ; y = a b ; a b a b (. ) Эти формулы называют формулами Крамера. Для решения систем линейных уравнений используют также метод Гаусса, который ещё называют методом исключения неизвестных. Для вычисления определителя третьего порядка используют его разложение по строке (столбцу): a b c a b c a b c b c a c a b = a b c - b a c + c a b (. ) Методика решения задач.. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса: x -y = 5 x +y = x -y = 5 (-) x +y = Решение: Сначала умножим первое уравнение системы на два, а второе на три, и сложим эти новые уравнения. Получим: x = x = Затем умножим первое уравнение системы на минус три, а второе на два и сложим эти новые уравнения. Получим: y = - y = - Ответ: x =, y = -.

5 5. Решить систему линейных уравнений, используя формулы Крамера: x - y = 5 x + y = Вычисляем определитель системы: Решение: - = 0 Определитель системы отличен от нуля, следовательно система допускает единственное решение. Неизвестные x и y найдутся по формулам (.): x = = = ; y = = = - ; - - Ответ: x =, y = -.. Вычислить определитель Решение: Используя соотношение (.), имеем: = = 9 (-) + (-) = = = 5; Ответ: 5. Геометрические приложения. Для решения ряда геометрических задач по данной теме будут использоваться следующие формулы :. Расстояние d между точками A(x, y ) и B (x, y ) плоскости определяется по формуле d = (x - x ) + (y - y ) (.4). Для определения площади S треугольника по координатам его вершин нужно использовать формулу: S = mod x y x y x y (.5). Условие, при котором три точки A (x,y), A (x,y ), A (x,y ) являются коллинеарными можно записать так: x y x y = 0 (.6) x y

6 6 Методика решения задач.. Найти вершины треугольника и его площадь, если уравнения сторон треугольника имеют вид: AB: 4x y = 5; BC: - x + 6y =6; AC: x + 5y = -. Решение: Для определения трех вершин треугольника нужно решить три системы линейных уравнений с двумя неизвестными. Первая система для нахождения вершины A имеет вид: 4x - y = 5 x +5y = - Решаем её методом Гаусса: 4x - y = 5 5 (-) x +5y = - 4 находим x A =, y A = -. Для вершины B имеем : 4x - y = 5 6 -x + 6y = 6 4 получим x B =, y B =. Аналогично для вершины С: -x + 6y = 6 (-5) x + 5y = - 6 находим x C = -4, y C =. Воспользуемся формулой (.5)для определения площади треугольника по координатам его вершин, в которой нужно взять x =; x =; x = -4; y = -; y =; y =. Подставляя эти значения в формулу, получим: - S = mod = mod -(-) + = = mod =.5 Ответ: A (,-); B(,); C(-4,); S =.5. Определить центр и радиус круга, описанного около треугольника с вершинами: A(4,); B(-,), C(,-6) Решение:

7 7 Обозначим неизвестные нам координаты центра O круга через (a,b), затем соединим вершины треугольника с центром О описанного круга, получим, что AO = BO = CO=R, как радиусы этого круга. Используя формулу(.4) для вычисления расстояния между двумя точками, будем иметь: AO =BO, (a 4) + (b -) = (a + ) +(b ) CO =BO, (a - ) + (b +6) = (a + ) +(b ) Таким образом, для нахождения координат (a,b) центра O описанного круга, получим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Возводя в квадрат оба уравнения и раскрывая скобки, получим: a 8a +6 +b 6b +9 = a +6a +9 +b -4b+4, a a + +b +b +6 =a +6a +9 +b -4b+4, Приведя подобные слагаемые, получим: 4a + b =, 8a 6b =4, 7a + b = 6 4 (-) a 4b =6 7 Решая эту систему методом Гаусса, найдём координаты центра О: 0a = 0, -0b =0, a =, b =-, Радиус описанного круга находим по формуле (.4) : R = AO = (a-4) + (b-) = (-4) + (- -) = 5 = 5; Ответ: О(,-); R =5.. Даны четыре точки: A (-,), A (,-), A (, -4), A 4 (5,-7). Определить являются ли они коллинеарными? Решение: Для того, чтобы узнать коллинеарны ли данные четыре точки сначала нужно проверить условие (.6) для первых трех точек A, A, A, полагая: x= -, x =, x = ; y =, y = -, y = = = = Получим, что точки A, A, A являются коллинеарными. Теперь достаточно взять первые две точки A, A и четвертую точку A 4, и уже для них проверить требование (.6), полагая: x = -, x =, x = 5; y =, y = -, y = -7; = = =0 Итак, получим, что точки A, A, A 4 являются коллинеарными, а поскольку точка A является коллинеарной с точками A, A, то все данные четыре точки A, A, A, A 4 будут коллинеарными. Ответ: да. Задачи для самостоятельного решения:

8 8. Найти вершины треугольника и его площадь, если уравнения сторон треугольника имеют вид: AB: x 7y = 7; BC: x + y = 4; AC: x y = 9. Ответ: A(4,); B(-,); C(,-6); S = 0... Найти вершины треугольника и его площадь, если уравнения сторон треугольника имеют вид: AB: x +y = 4; BC: x - y = 0; AC: x y = 8. Ответ: A(5,-); B(,); C(-,-); S = 6.. Найти вершины треугольника и его площадь, если уравнения сторон треугольника имеют вид: AB: 4x +y = ; BC: x + y = 4; AC: x + y = 7. Ответ: A(0,7); B(6,-); C(,); S = Найти вершины треугольника и его площадь, если уравнения сторон треугольника имеют вид: AB: x 4y = 6; BC: x - y = 6; AC: 4x + y =-8. Ответ: A(-,0); B(6,6); C(,-4); S = Найти вершины треугольника и его площадь, если уравнения сторон треугольника имеют вид: AB: x y = ; BC: x + y =4; AC: 7x y =8. Ответ: A(,-); B(6,4); C(,6); S =5. 6.Определить центр и радиус круга,описанного около треугольника с вершинами A(-.-); B(5,);C(6,-4). Ответ: O(,-);R=5. 7.Определить центр и радиус круга,описанного около треугольника с вершинами A(-.); B(0,);C(,-). Ответ: O(-4,-);R=5. 8.Определить центр и радиус круга,описанного около треугольника с вершинами A(.-); B(0,-);C(-,0). Ответ: O(-,-5);R=5. 9.Определить центр и радиус круга,описанного около треугольника с вершинами A(.7); B(-4,5);C(0,). Ответ: O(,-);R=0. 0.Определить центр и радиус круга,описанного около треугольника с вершинами A(.); B(8,9);C(0,5). Ответ: O(5,5);R=5.. Определить вид треугольника, если координаты его вершин известны: A(0,0); B(4,);C(-,4). Ответ: треугольник прямоугольный.. Определить вид треугольника, если координаты его вершин известны: A(-4,); B(0,);C(,). Ответ: треугольник прямоугольный.. Определить вид треугольника, если координаты его вершин известны: A(-,-); B(0,-);C(-,5). Ответ: треугольник прямоугольный. 4. Определить вид треугольника, если координаты его вершин известны: A(,4); B(4,);C(-,). Ответ: треугольник прямоугольный. 5. Определить вид треугольника, если координаты его вершин известны: A(,-5); B(-7,-4); C(-,6). Ответ: треугольник остроугольный. 6. Даны четыре точки: A (,-), A (-,-), A (-6,-), A 4 (6,-4).Определить являются ли они коллинеарными? Ответ: да. 7. Даны четыре точки: A (-, -), A (,-), A (5,-4), A 4 (8,-5).Определить являются ли они коллинеарными? Ответ: да.

9 9 8. Даны четыре точки: A (-,), A (,), A (4,5), A 4 (-,7). Определить являются ли они коллинеарными? Ответ: нет. 9. Даны пять точек: A (,), A (,-), A (0,7), A 4 (,-5), A 5 (4,-9),.Определить являются ли они коллинеарными? Ответ: да. 0. Даны пять точек: A (-,-), A (,0), A (5,), A 4 (9,), A 5 (-7,-4).Определить являются ли они коллинеарными? Ответ: нет. Прямая линия на плоскости. Прямая на плоскости задаётся различными уравнениями :. Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y = kx + b, где k - угловой коэффициент. Общее уравнение прямой : Ax+By+C=0. Уравнение прямой в отрезках на осях: где a и b величины отрезков отсекаемых прямой на осях Ox и Oy. 4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку A(x,y ) в данном направлении, определямом угловым коэффициентом k: y - y = k (x - x ) Это уравнение определяет прямые, не параллельные оси Oy, проходящие через точку A(x,y ). 5. Уравнение прямой, проходящей через две точки A(x,y ) и B(x,y ), записывается так: y - y y - y = x - x x - x где угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по формуле: m k = = n 6. Параметрические уравнения прямой : 7. Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом: y = k x + b, y = k x + b, то угол между ними α определиться по формуле: tg α = 8. Условие параллельности двух прямых: k = k 9. Условие перпендикулярности двух прямых: x a y + =, b y - y m y - y x - x x = x + nt, y = y + mt, = x - x n k - k + k k (. ) (. ) (. ) (.4 ) (.5 ) (.6 ) (.7.8 ) (.8 ) k k = - или k = - (.9 ) k 0. Расстояние d от данной точки A (x,y ) до данной прямой Ax + By + C = 0 вычисляется по

10 формуле: d = 0 Методика решения задач.. Найти координаты точки A, симметричной точке A(5,7) относительно прямой x + y 4 = 0. Решение: Для того, чтобы найти координаты т. A, симметричной т.a, мы опустим перпендикуляр из т.a(5,7) на данную прямую x + y 4 =0, и обозначим основание перпендикуляра через точку B(x,y). Угловой коэффициент перпендикуляра AB мы найдем из условия (.9), то есть он должен быть обратен по абсолютной величине и противоположен по знаку угловому коэффициенту данной прямой. Угловой коэффициент данной прямой x + y 4 = 0: k = - Ax + By + C A + B (.0 ) тогда угловой коэффициент прямой, ей перпендикулярной k =. Подставив в уравнение (.4) k =, а вместо x и y координаты данной точки A(5,7), найдем y 7 = (x 5) или x y = 0 уравнение перпендикуляра AB. Решив его совместно с уравнением данной прямой, найдем точку B, которая есть середина отрезка AA. x + y 4 = 0 (-), x y = 0, 5x = 0, -5y = -5, x =, y =, Теперь, зная координаты точки B середины перпендикуляра AA и координаты одного из его концов A(5,7), по формулам для вычисления координат середины отрезка: x x = + x y, y = + y (. ), легко определим искомые координаты симметричной точки A. В этих формулах надо положить x = ; y = ; x = 5; y = 7. Искомыми будут xa, ya - координаты точки A. В результате получаем : 5 + xa = ; 5 + xa = 4; xa = -; 7 + ya = ; 7 + ya = ; ya = -5; Ответ: A (-; -5). Найти расстояние между двумя параллельными прямыми: x + 4y = 0 x + 4y + = 0 Решение: Искомое расстояние мы найдем, как расстояние от произвольной точки первой прямой до второй прямой. Возьмем на первой прямой произвольную точку, например, точку с абсциссой x = 0. Её ордината будет y =. Итак, на первой прямой выбрана точка A(0,). Найдем теперь расстояние от этой точки до второй прямой по формуле (.0), подставив в неё координаты точки A: d = = =

11 Ответ: d = 5.. В треугольнике с вершинами A(0,7); B(6,-); C(,) найти : ) углы, ) точку S точку пересечения медиан, ) точку T - точку пересечения высот, 4) длину высоты BD. Решение: )Для нахождения углов в треугольнике ABC нужно воспользоваться формулой (.6), но для этого надо ещё определить угловые коэффициенты всех трех сторон треугольника. По формуле (.6) находим угловый коэффициент стороны AB: x y - 0 y 6 x - 0 x = или k AB = = - ; Аналогично для BC : - (-) - 6 = - или k BC = - ; 4 Угловый коэффициент стороны AC равен : = или k AC = - ; - 0 Теперь по следующим формулам находим: 4 k tg A = AB k AC - = =, + k AB k AC k tg B = BC k - + AB = =, + k AB k BC + k tg C = AC k BC - + = = -, + k BC k AC + Ответ: tg A = ; tg B = ; tg C = -. Замечание: Если при решении задачи указанным способом, окажется, что два тангенса любых двух углов треугольника будут отрицательными, то следует все три знака искомых тангенсов поменять на противоположные. )Для ответа на второй вопрос задачи нужно найти уравнения хотя бы двух медиан, а затем найдём координаты точки пересечения, решив систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: Найдем середины сторон BC и AC, обозначив их соответственно M и N. По формулам (.) имеем: (-) x M = = 4 ; y M = = 0; x N = = ; y N = = 4; Уравнение медианы AM имеет вид: x y - 7 = или 7x+4y-8=0; 0-7 x y - (-) 4 - (-)

12 Уравнение медианы BN: = или x + y - 5=0. Точку S - точку пересечения медиан найдём, решая систему,составленную из уравнений медиан AM и BN: 7x + 4y -8 = 0 (- ), x + y - 5 = 0 4 (-7) 8 Получим: -x = -8, x =, -y = -7, 7 y =, 8 7 Ответ: S(, ). )Аналогично, для нахождения точки пересечения высот треугольника, достаточно найти уравнения двух высот, а затем решить систему из этих уравнений. Найдем высоту BD. Для этого найдём её угловой коэффициент из условия ортогональности (.9) : - - k BD = = =, k AC (-) подставляя k BD = в уравнение (.4), в котором положим x = 6, y = -, получим: y - (-) = (x - 6) или x - y - 9 = 0. Аналогично для высоты AE найдем k AE = - = и её k уравнение: y 7 = (x - 0) или x y + 7 = 0. BC Координаты точки пересечения высот BD и AE находим, решая систему: x - y - 9 = 0 (-), x - y + 7 = 0 (-), -5x = 0, x = - 6, 5y = -5, y = - 5, Ответ: T ( - 6, - 5). 4)Длину высоты BD находим по формуле (.0), полагая в ней x = 6, y = - и используя уравнение стороны AC : x + y 7 = 0, получим: 6 + (-) 7 0 BD = == = Ответ: BD = Найти уравнения биссектрис углов между прямыми x + 9y 7 = 0 и x + 4y + = 0. Решение: Из элементарной геометрии известно, что биссектриса угла между двумя прямыми есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла. Расстояния от точки биссектрисы до сторон угла обозначим через d и d. По формуле (.0), в которой (x,y ) будут текущими координатами точки на биссектрисе, получим x d = + 9y - 7 x ; d = + 4y Используя указанное выше свойство биссектрисы, имеем : d = d, то есть x + 9y x == + + 4y + x и + 9y - 7 = x + 4y + 5 Окончательно уравнения биссектрис получаем в виде : x +y +6=0 ; x -y -50=0. Ответ: x +y +6=0 ; x -y -50=0.

13 5.Написать уравнения пучка прямых, составляющих с прямой x 5y 8=0 угол, равный 45. проходящих через точку (,-) и Решение : Уравнение пучка прямых (.4), проходящих через точку (,-),имеет вид : y+=k(x-), x =0 Так как по условию искомые прямые составляют угол 45 с прямой x-5y-8=0,то воспользовавшись соотношением (.7), найдём k угловой коэффициент искомых прямых. Угловой коэффициент прямой x-5y-8=0 : k = 5, а tg 45 =.Подставляя эти значения в (.7), имеем: k - = 5 + k 5 или k - - = + k и k - = - ( + k ) Получим, что k = ; k = и k = - ; k = Таким образом, искомые прямые имеют вид : y+= (x-) и y+= - (x-) 7 или 7x y 4=0 и x + 7y =0. Ответ: 7x y 4=0 и x + 7y =0. Задачи для самостоятельного решения:. Найти координаты точки A, симметричной точке A(-,) относительно прямой x - 5y+5 = 0. Ответ: A (- 7 6 ; - ) 7 7. Найти координаты точки A, симметричной точке A(,5) относительно прямой x y + 7 = Ответ: A ( 5 ; 5 ). Найти координаты точки A, симметричной точке A(,-) относительно прямой x y+ = 0. 7 Ответ: A (- ; ) Найти координаты точки A, симметричной точке A(,-) относительно прямой x y 6=0. 4 Ответ: A ( ; - ) Найти координаты точки A, симметричной точке A(,7) относительно прямой x y = Ответ: A ( ; ) Найти расстояние между двумя параллельными прямыми: 4x + y + = 0 4x + y - 4 = 0 Ответ: d =. 7. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми: 8x - 5y 6 = 0

14 4 8x - 5y + = 0 Ответ: d =. 8. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми: 4x + y + = 0 4x + y + 6 = 0 Ответ: d =. 9. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми: x - 4y + 8 = 0 x - 4y + = 0 Ответ: d =. 0. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми: 6x + 8y = 0 6x + 8y - 4 = 0 Ответ: d =.. В треугольнике с вершинами A(,); B(-,-); C(5,-) найти углы, точку S точку пересечения медиан, точку T - точку пересечения высот и длину высоты BD Ответ: tg A = ; tg B = ; tg C = ; S(, ); T ( -6, -5); BD =4. В треугольнике с вершинами A(-,0); B(7,6); C(,4) найти углы, точку S точку пересечения медиан, точку T - точку пересечения высот и длину высоты BD. 5 0 Ответ: tg A= ; tg B = 9 ; tg C = - ; S(, ); T ( -,4) ; BD = 4. В треугольнике с вершинами A(,); B(-,-); C(7,-7) найти углы, точку S точку пересечения медиан, точку T - точку пересечения высот и длину высоты BD. 5 Ответ: tg A = ; tg B = 5 ; tg C = 5; S(, - ); T(, - ); BD = В треугольнике с вершинами A(-,); B(4,); C(6,-5) найти углы, точку S точку пересечения медиан, точку T - точку пересечения высот и длину высоты BD. 4 8 Ответ: tg A = ; tg B = - ; tg C = ; S(, - ); T( 0, 7 ); BD = 5. В треугольнике с вершинами A(,-); B(0,); C(4,-) найти углы, точку S точку пересечения медиан, точку T - точку пересечения высот и длину высоты BD Ответ: tg A = - ; tg B = ; tg C = ; S(, - ); T( -,- 4 ); BD = Найти уравнения биссектрис углов между прямыми x + y = 0 и x +y = 0 Ответ: x y = 0 ; 5x + 5y 4 = Найти уравнения биссектрис углов между прямыми 4x + y +7 = 0 и x 4y +5 = 0 Ответ: x + y 4 = 0 ; x y + = Найти уравнения биссектрис углов между прямыми 7x 4y = 0 и 8x y 5 = 0 Ответ: x y 5 = Найти уравнения биссектрис углов между прямыми x + y + = 0 и x + y = 0 Ответ: x y 4 = 0 ; x + y = Найти уравнения биссектрис углов между прямыми x 4y + = 0 и 4x y + = 0 Ответ: x + y = 0 ; 7x 7y + = 0.. Написать уравнения пучка прямых, проходящих через точку (,-) и составляющих с прямой x + 5y 4 = 0 угол, равный 45. Ответ: x 4y 5 = 0 и 4x + y = 0. 5

15 5. Написать уравнения пучка прямых, проходящих через точку (-,) и составляющих с прямой 4x + y 7 = 0 угол, равный 45. Ответ: x + y 5 = 0 и x y + 5 = 0.. Написать уравнения пучка прямых, проходящих через точку (,0) и составляющих с прямой x y + 6 = 0 угол, равный 45. Ответ: x + y 9 = 0 и x y = Написать уравнения пучка прямых, проходящих через точку (-,) и составляющих с прямой x y + = 0 угол, равный 45. Ответ: 5x + y + 9 = 0 и x 5y + 7 = Написать уравнения пучка прямых, проходящих через точку (4,-) и составляющих с прямой 6x y + = 0 угол, равный 45. Ответ: x + y 7 = 0 и x y 6 = 0. Линии второго порядка.. Эллипс. Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек,для которых сумма расстояний до двух данных фиксированных точек(фокусов) есть для всех точек эллипса одна и та же постоянная величина(эта постоянная величина должна быть больше,чем расстояние между фокусами). (. ) x a) Каноническое уравнение эллипса: y + =, (. ) a b если a > b, то a большая полуось эллипса, b малая полуось эллипса. б) Если с расстояние между фокусами, то между a,b и c (если a>b) существует соотношение: a b = c. (. ) в) Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой полуоси. c (.4 ) e =, a у эллипса эксцентриситет e < (так как c < a ), а его фокусы лежат на большой оси.. Гипербола. Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных фиксированных точек (фокусов) гиперболы есть величина постоянная. Предполагается, что эта постоянная величина не равна нулю и меньше, чем расстояние между фокусами. (.5 ) a) Каноническое уравнение гиперболы: x - y = (.6 ) a b Здесь a действительная полуось гиперболы, b мнимая полуось гиперболы, б) Если c расстояние между фокусами гиперболы, то между a,b и c существует соотношение: a + b = c, (.7 ) в) Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к длине её действительной оси: c e = >. a г)асимптоты гиперболы две прямые, определяемые уравнениями: (.8 ) y = y = - b a b a x x (.9 )

16 6.Парабола. Определение. Параболой называется геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от заданной фиксированной точки и от заданной фиксированной прямой. Точка, о которой идёт речь в определении называется фокусом параболы, а прямая её директрисой. (.0 ) а) Каноническое уравнение параболы : y = px (. ) Входящая в это уравнение величина p называется параметром параболы. Параметр параболы равен расстоянию от директрисы параболы до её фокуса. Координаты F - фокуса параболы (.) F ( p, 0 ) p б)уравнение директрисы параболы (.) : x = - (. ) в) Эксцентриситет параболы e =. 4.Директрисы и касательные к линиям второго порядка. а) Директрисами эллипса (.) и гиперболы (.6) называются прямые, параллельные оси Oy и отстоящие от неё на расстоянии a, e эксцентриситет линии. e a Уравнения директрис : x = ± (. ) e б) Уравнения касательной xx к эллипсу (.) : 0 yy + 0 =, a b (.4 ) xx к гиперболе (.6) : 0 yy - 0 =, a b к параболе (.) : yy 0 = p(x + x 0 ), где (x 0 ;y 0 ) точка касания. в)признак касания прямой Ax + By + C = 0 (.5 ) к эллипсу (.) : A a + B b = C к гиперболе (.6) : A a - B b = C (.6 ) к параболе (.) : (.7 ) pb = AC Методика решения задач..найти общее уравнение эллипса, если известны его фокусы F (,0) ; F (0,) и большая полуось a =. Решение: Для решения этой задачи нужно использовать определение (.).Обозначая текущие координаты некоторой точки эллипса через M(x, y),находя расстояния от этой точки M до фокусов F,F по формуле (.4), наконец, воспользуемся определением (.) : F M + F M = a. Подставляя в это соотношение данные из условия задачи, получим : (x ) + y + x + (y - ) = Перенесём второе слагаемое из левой части вправо и возведём обе части полученного уравнения в квадрат : (x ) + y =6-8 x + (y - ) + x + (y ) Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые: x x + + y = 6 8 x + (y - ) + x + y y + 8 x + (y - ) = x y + 6 Ещё раз возводим в квадрат обе части : 64x + 64(y - ) = (x y) + (x y) x + 64y 8y + 64 = 4x 8xy + 4y + 64x 64y + 56 Приводим подобные слагаемые, в результате получаем : 60x + 8xy 64x + 60y 64y 9 = 0

17 7 Ответ : 60x + 8xy 64x + 60y 64y 9 = 0. Эллипс, симметричный относительно осей координат проходит через точки A(, ) и B(0,). Написать его каноническое уравнение. Решение: Точки A и B из условия задачи принадлежат искомому уравнению эллипса, которое имеет вид (.). Очевидно, что координаты данных точек A(, ) и B(0,) будут удовлетворять формуле (.); то есть, подставляя координаты точки A в (.), будем иметь: ( ) + = ; a b Аналогично, для точки B: = ; a b Решим совместно, полученные уравнения: 4 + = ; Для удобства обозначим: = u; 4u + v = ; a b a = ; = v; 4v = ; b b Решая её, получим: u = ; = 6 a 6 ; a = 6; v = ; = 4 b 4 ; b = 4; В результате, каноническое уравнение (.) примет вид: x 6 y + = ; 4 Ответ: + = Написать каноническое уравнение эллипса, директрисами которого служат прямые x = ± и большая полуось которого равна двум. Решение: a Предварительно сделаем некоторые преобразования с уравнениями директрис (.) : x = ±, c e по определению эксцентриситета (.4): e =.Подставим (.4) в знаменатель правой части a (.), получим: a x = ± = ± e a c a x Теперь используем данные из условия задачи, подставляя их в только что полученное соотношение, имеем : a 4 x = ± = ±, c = ± y a c

18 8 a 4 (.8 ) то есть = c По условию большая полуось эллипса: a =. Подставим a = в (.8), найдем: 4 =, следовательно: c = ; c Таким образом, зная a =, c =, пользуясь соотношением (.): a c = b, найдем, что b = 4 = ; a = 4; Уравнение эллипса запишется в виде: x 4 y + =; x y Ответ: 4 + =. 4. Найти уравнения касательных к эллипсу: + =, проведённых из точки (5,). 7 Решение: Для составления уравнений касательных, проходящих через данную точку (5,) будем использовать уравнение (.4), т.е.: y = k (x - 5); Раскрывая скобки и перенося всё вправо, получим: kx y + ( 5k) = 0; Поскольку искомые прямые являются касательными, то нужно использовать признак (.5): A a + B b = C ; Подставим сюда a = 7; b = ; A = k; B = -; C = ( 5k) и получим, что 7k + ( ) = ( - 5k) 7k + + 0k 5k = 0 k + 0k + = 0 k + 5k + 6 = 0; Из полученного уравнения находим: k = -, k = -; Уравнения касательных будут: y = -(x - 5) и y = - (x - 5) или x + y = 0 и x + y 6 = 0; Ответ: x + y = 0, x + y 6 = 0. 5.Написать уравнения прямых, касательных к эллипсу: = и параллельных к прямой x y 4 = 0. Решение: По условию искомые прямые параллельны данной прямой : x y 4 = 0, следовательно их угловые коэффициенты равны, исходя из соотношения (.8).Поэтому уравнения касательных нужно искать в виде : x y + C = 0.Но с другой стороны искомые прямые являются касательными к эллипсу, тогда применим признак (.5): A a + B b = C ; Подставим в эту формулу a = 9 ; b = 4 ; A = ; B = -, неизвестным здесь остаётся только C. Для его определения получаем уравнение : 9 + (- ) 4 = C, отсюда C = 7, то есть C = ± 7 или C = 6 и C = - 6. Искомые уравнения касательных запишутся в виде : x y + 6 = 0 и x y 6 = 0. Ответ: x y + 6 = 0, x y 6 = 0. x y x y

19 9 Замечание : Если в условии задачи точка M(x, y) является точкой касания, то для нахождения касательной можно сразу применить её уравнение, используя формулу (.4). Это же уравнение получится и при решении задачи указанным выше способом. 6. Найти общее уравнение гиперболы, если известны её фокусы F (-, 0) ; F (0,) и действительная ось a =. Решение: Для решения этой задачи нужно использовать определение (.5).Обозначая текущие координаты некоторой точки гиперболы через M(x, y),находя расстояния от этой точки M до фокусов F,F по формуле (.4), наконец, воспользуемся определением (.5) : F M F M = a. Подставляя в это соотношение данные из условия задачи, получим : (x + ) + y x + (y ) = (x + ) + y = x + (y ) + x + (y ) x + x + + y = x + (y ) + x + y y + x + y 4 = 4 x + (y ) Разделим обе части уравнения на два и вновь возведём в квадрат: ( x + y ) = ( x + (y ) ) x + xy 4x + y 4y + 4 = 4 (x + (y ) ) x + xy 4x + y 4y + 4 = 4x + 4y 8y + 4 Приводим подобные слагаемые, в результате получаем : x xy + 4x + y 4y = 0. Ответ : x xy + 4x + y 4y = Гипербола, симметричная относительно осей координат проходит через точки A(4, ) и B(4,0).Написать её каноническое уравнение. Решение: Аналогично, как и в задаче подставим координаты точек A и B гиперболы в её уравнение (.6) и обозначим = u a = v b Тогда получим систему : u = (4 ) u v = u 9v = 4 0 =, 6u =, v = 6 9 Отсюда заключаем, что a = 6, b = 9.Подставляя найденные значения a, b в (.6),получим, что искомое уравнение имеет вид : x 6 y = 9 x y Ответ: = Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что её директрисами служат прямые x = ± 5, а действительная ось a = 5. Решение : Аналогично, как и в задаче сделав преобразования в формуле (.) и подставив в неё x = ± 5, получим

20 0 a a 5 x = ± = = ± e c 5 5 Зная, что a = 5, имеем : =, откуда получим c =. c Теперь пользуясь соотношением (.7) : c a = b, найдём, что b = 69 5 = 44 ; a = 5. Уравнение будет x y = 5 44 Ответ : = Найти уравнения касательных к гиперболе : =, проведённых из точки (,). 0 9 Решение : Уравнения касательных, проходящих через точку (,) имеют вид : y = k(x - ) или kx y + ( k) = 0.Из условия касания (.6) следует, что 0k 9( - ) = ( k), 0k 9 = 4k + 4k, 6k + 4k 0 = 0, k + k 5 = 0 5 k =, k = 5 В результате получим : y = x и y = (x ) или x y = 0 и 5x + y = 0. Ответ : x y = 0 и 5x + y = Найти уравнения касательных к гиперболе : x y = и перпендикулярных к прямой x + y + = 0. 8 Решение : По условию искомые прямые перпендикулярны данной прямой : x + y + = 0, следовательно из соотношения (.9) получим, что угловой коэффициент касательных равен трём.поэтому их уравнения нужно искать в виде : x y + C = 0.Но с другой стороны искомые прямые являются касательными к гиперболе, тогда применим признак (.6): A a B b = C, имеем () 8 (- ) = C или C = 08 8 = 00, то есть C = ± 0 Отсюда заключаем, что искомые касательные примут вид : x y + 0 = 0 и x y 0 = 0 Ответ : x y + 0 = 0 и x y 0 = 0.. Написать общее уравнение параболы, если прямая x + y + = 0 является её директрисой, а фокус находится в точке F (, - ). Решение : Пусть точка M(x, y) принадлежит искомой параболе. По определению (.0) расстояния от точки M до прямой x + y + = 0 и до точки F(, -) между собою равны. Расстояние d от точки M(x, y) до прямой x + y + = 0 найдём по формуле (.0), получим : d = x x + y + + y Расстояние от точки M(x, y) до фокуса F (, - ) определим из (.4) : FM = (x ) + (y + ) Подставляя эти выражения в (.0), получим : x + y + + = ( x ) + (y + ) Возводя обе части этого уравнения в квадрат, освобождаясь от дробей, имеем : (x + y + ) = 5((x ) + (y + ) ) Раскрывая скобки, приводя подобные слагаемые и перенося все члены уравнения в его правую часть, получим окончательно : x 4xy 4x + 8y + 4y + 4 = 0. Ответ : x 4xy 4x + 8y + 4y + 4 = 0. x y

21 .Составить каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Ox и проходящей через точку A(,6). Решение : Так как парабола проходит через точку A(,6) и её осью служит ось Ox, то уравнение параболы следует искать в виде (.) : y = px. Подставляя в это уравнение координаты точки A, будем иметь : 6 = 6p, p = 6, p =. Искомым уравнением будет y = x. Ответ : y = x..найти уравнения касательных к параболе y = - x, проведенных из точки M(,). Решение : Уравнения касательных, проходящих через точку M(,) имеют вид : y = k(x ) или kx y + ( k) = 0. Теперь воспользуемся признаком (.7) : pb = AC, то есть - 6 (-) = k( k), в результате получим уравнение : k k = 0, из которого найдём k =, k = -. Подставляя k =, k = - в искомые уравнения, в заключении имеем : x y = 0 и x + y = 0. Ответ : x y = 0 и x + y = Найти уравнение касательной к параболе y = 6x, параллельной прямой x + y + = 0. Решение : По условию искомая прямая параллельна данной прямой : x + y + = 0, следовательно по соотношению (.7) их угловые коэффициенты равны.поэтому уравнения касательных нужно искать в виде : x + y + C = 0.Но с другой стороны искомая прямая является касательной к параболе, тогда применим признак (.7) : 4 = C, C =, C = 6.Таким образом получим уравнение касательной : x + y + 6 = 0. Ответ : x + y + 6 = 0. Задачи для самостоятельного решения:. Найти общее уравнение эллипса, если известны его фокусы F ( -,0) ; F (0,) и большая полуось a =. Ответ : 60x 8xy + 64x + 60y 64y 9 = 0.. Найти общее уравнение эллипса, если известны его фокусы F (,) ; F (4,5) и большая полуось a = 5. Ответ : 4x xy + 4y 6x 86y + = 0.. Эллипс, симметричный относительно осей координат проходит через точки A ( 7, - ) и B(, 5 ).Написать его каноническое уравнение. x y Ответ: + =. / 4. Эллипс, симметричный относительно осей координат проходит через точки A(, 6 ) и B(6, 0). Написать его каноническое уравнение. x y Ответ: + = Написать каноническое уравнение эллипса, директрисами которого служат прямые x = ± 5 и большая полуось которого равна пяти. x y Ответ: + = Написать каноническое уравнение эллипса, директрисами которого служат прямые x = ± 9 и большая полуось которого равна трём. x y Ответ: + = Найти уравнения касательных к эллипсу: x + y = 8, проведённых из точки (0, 6). Ответ: x + y 6 = 0, x y + 6 = 0.

22 8. Найти уравнения касательных к эллипсу: + =, проведённых из точки (-, ). Ответ: x y + 7 = 0, x 4y + = Написать уравнения прямых, касательных к эллипсу: x + 4y = 0 и параллельных к прямой x y = 0. Ответ: x y + 5 = 0, x y 5 = 0. x y 0. Написать уравнения прямых, касательных к эллипсу: 6 + = и параллельных к 4 прямой x + 4y = 0. Ответ: x + 4y + 0 = 0, x + 4y 0 = 0.. Найти общее уравнение гиперболы, если известны её фокусы F (0, - ) ; F (, 0) и действительная ось a =. Ответ : x xy 4x + y + 4y = 0.. Найти общее уравнение гиперболы, если известны её фокусы F (, 0) ; F (0, - ) и действительная ось a =. Ответ : 80x + 6xy + 04x + 68y + 80y + = 0.. Гипербола, симметричная относительно осей координат проходит через точки A(4, ) и B(4, 6 ).Написать её каноническое уравнение. x y Ответ: = Гипербола, симметричная относительно осей координат проходит через точки A(, 5 ) 5 и B( - 5, ).Написать её каноническое уравнение. x y Ответ: = Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что её директрисами служат прямые x = ± 0, а действительная ось a = 5. x y Ответ: =. 0 6 x 6. Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что её директрисами служат прямые x = ±, а действительная ось a = 8. 5 x y Ответ: = Найти уравнения касательных к гиперболе : x 4y = 6, проведённых из точки (0, - ). Ответ : x y 4 = 0 и x + y + 4 = Найти уравнения касательных к гиперболе : x y =, проведённых из точки (,). Ответ : x 4y + 5 = 0 и x + y = Найти уравнения касательных к гиперболе : 4x 9y = 6 и перпендикулярных к прямой x + y = 0. Ответ : x y + 4 = 0 и x y 4 = Найти уравнения касательных к гиперболе : x y = и перпендикулярных к прямой x + 5y = Ответ : 5x y 8 = 0 и 5x y + 8 = 0.. Написать общее уравнение параболы, если прямая x + y = 0 является её директрисой, а фокус находится в точке F (, - ). Ответ : x xy + y + 8y = 0.. Написать общее уравнение параболы, если прямая x + 4y 5 = 0 является её директрисой, а фокус находится в точке F (, ). Ответ : 6x 4xy 70x 0y + 9y + 00 = 0. y

23 . Составить каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Ox и проходящей через точку A(,). Ответ : y = 4x. 4. Составить каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Ox и проходящей через точку A(5, - 0). Ответ : y = 0x. 5. Найти уравнения касательных к параболе y = 6x, проведенных из точки M( -,). Ответ : x y + 4 = 0 и 4x + y + = Найти уравнения касательных к параболе y = x, проведенных из точки M( -, ). Ответ : x y + = 0 и x + y + = Найти уравнение касательной к параболе y = 8x, параллельной прямой x + y = 0. Ответ : x + y + = Найти уравнение касательной к параболе y = 4x, параллельной прямой 4x 6y 5 = 0. Ответ : 4x 6y + 9 = 0. 4 Векторная алгебра. Аналитическая геометрия в пространстве..если для вектора известны координаты его начала A(x, y, z ) и координаты его конца B(x, y, z ), то он имеет координаты AB = (x x, y y, z z ). (4.) Скалярным произведением двух векторов a и b называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними. Обозначая угол между векторами a и b через ϕ, будем иметь : a b = a b cos ϕ (4.) Модуль или длина вектора AB определится по формуле : AB = (x x ) + (y y ) + (z z ) (4.) Очевидно, что по формуле (4.) следует вычислять и расстояние между точками A и B..Если векторы a и b заданы координатами a (x, y, z ) и b (x, y, z ), то их скалярное произведение : a b = x x + y y +z z (4.4) Угол между векторами : a b x x + y y +z z cos ϕ = = x + y + z x + y + z (4.5) a b a = a a = x + y + z (4.6) На практике скалярное произведение используется для нахождения длины вектора, а также для вычисления углов ; определения ортогональности двух векторов : если векторы a и b перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.. Векторным произведением вектора a на вектор b называется такой третий вектор c, который : ) имеет модуль, численно равный площади параллелограмма, построенного на векторах a и b ; ) перпендикулярен к плоскости параллелограмма ; ) направлен в такую сторону, с которой кратчайшее вращение от a к b рассматривается совершающимся против часовой стрелки. Такое расположение векторов a, b и c называется правой тройкой. Модуль векторного произведения определяется следующим образом :

24 4 c = [ a, b ] = a b sin ϕ (4.7) 4. Если векторы a и b заданы координатами a (x, y, z ) и b (x, y, z ), то их векторное произведение : c = i j k y z x z x y x y z = i y z j x z + k x y (4.8) x y z Векторное произведение служит для отыскания вектора, перпендикулярного данным двум ; вычисления площадей параллелограмма и треугольника. 5. Смешанным произведением векторов a, b и c называется выражение вида [ a, b ] c. Если векторы a, b и c заданы своими координатами a (x, y, z ), b (x, y, z ) и c (x, y, z ), то [ a, b ] c = x y z x y z (4.9) x y z Смешанное произведение используется для нахождения объёма параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c : +, при правой тройке, V = ± a b c, при левой тройке. А также для вычисления объёма пирамиды : V пир = ± a b c. 6 Для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю. 6. Уравнение плоскости, проходящей через точку M (x, y, z ) и перпендикулярной к вектору N(A, B, C), если M(x, y, z) произвольная точка плоскости, то A(x x ) + B(y y ) + C(z z ) = 0 (4.0) Вектор N(A, B, C) называется нормальным вектором к плоскости. 7. Общее уравнение плоскости : Ax + By + Cz + D = 0 (4.) 8. Угол ϕ между двумя плоскостями A x + B y + C z + D = 0 и A x + B y + C z + D = 0 определяется по формуле : A A + B B + C C cos ϕ = (4.) A + B + C A + B + C 9. Уравнение плоскости в отрезках на осях x a y z + + =, b c где a, b и c величины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях. 0.Условие параллельности двух плоскостей : A B C A = = (4.) B C. Условие перпендикулярности двух плоскостей : A A + B B + C C = 0 (4.4). Расстояние от точки M 0 (x 0, y 0, z 0 ) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 определяется по формуле : Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D d = A + B + C (4.5). Уравнение плоскости, проходящей через три данных точки A(x, y, z ), B(x, y, z ),

25 C(x, y, z ) имеет вид : 5 x - x y - y z z x - x y - y z - z x - x y - y z - z = 0 (4.6) 4. Канонические уравнения прямой линии, проходящей через точку A(x 0, y 0, z 0 ) и параллельной вектору P (m, n, p). Пусть M (x, y, z) произвольная точка прямой, тогда имеем : x x 0 m y y = 0 z z 0 = (4.7) n p Вектор P (m, n, p) называется направляющим вектором прямой. 5. Параметрические уравнения прямой получим, приравнивая каждое из отношений (4.7) параметру t : x = mt + x 0, y = nt + y 0, (4.8) z = pt + z 0 6. Уравнение прямой, проходящей через две точки A(x, y, z ) и B(x, y, z ) : x x x x y y z z = = (4.9) y y z z 7. Условие параллельности двух прямых в пространстве : и x x m y y = = n z z p x x m m m y y = = n n n z z p p p имеет вид : = = (4.0) Условие перпендикулярности двух прямых : m m + n n + p p = 0 (4.) 8. Угол ϕ между двумя прямыми определяется по формуле : m m + n n + p p cos ϕ = (4.) m + n + p m + n + p 9. Угол между прямой x x 0 = y y 0 z z = 0 и плоскостью m n p Ax + By + Cz + D = 0 определяется следующим образом : Am + Bn + Cp sin ϕ = A + B + C m + n + p (4.) 0. Условие их параллельности : Am + Bn + Cp = 0 (4.4). Условие их перпендикулярности : A B C m = n = p (4.5) Методика решения задач.

26 6 I. Задачи на вектора.. Даны три последовательные вершины параллелограмма A(, -, ) ; B(,, ) ; C(6, 4, 4). Найти его четвёртую вершину D. Решение : Для определения координат точки D(x, y, z) четвёртой вершины параллелограмма нужно воспользоваться тем, что его противоположные стороны равны, то есть : AD = BC Применяя к этому равенству формулу (4.), получим x = 6 x = 4 y (-) = 4 y = 0 z = 4 z = 6 Ответ : D ( 4, 0, 6 ).. Определить координаты и длину вектора c, делящего угол между векторами a (, -, -) и b (-8, 4, ) пополам. Решение : ) Найдём единичные векторы a 0 и b 0, коллинеарные и сонаправленные векторам a и b. ) Проведём нормировку для введённых ортов, это означает, что a 0 и b 0 будут иметь вид : a 0 a = b 0 b a = b (4.6) Эти действия называются нормированием векторов. По формуле (4.6) найдём длины векторов a и b : a = + (-) + (-) = ; b = (-8) = 9 ; Подставим значения длин и координат векторов a и b в выражения (4.6) для a 0 и b 0, получим a = ( ; ; ) и b 0 = ( -8 ; 4 ; ) )Вектор c будет являться диагональю ромба, построенного на векторах a 0 и b 0, тогда c = a 0 + b 0. Координаты вектора c : ( ; + ; ) или - -5 c = ( ; ; ) ) c = + + = Ответ : c = ( ; ; ); c = Замечание : Сумма двух векторов не делит угол между ними пополам, так как в общем случае результирующий вектор суммы этих векторов является диагональю параллелограмма, которая не делит угол пополам. II. Скалярное произведение и его приложения.. В треугольнике ABC с вершинами A(0,, -) ; B(4,, ) ; C(, 0, -4) найти : ) длины сторон ; ) углы ; ) площадь ; 4) координаты направляющего вектора медианы AM ; 5) координаты направляющего вектора биссектрисы AN. Решение : ) Найдём длины векторов AB, BC, AC по формуле (4.), то есть AB = (4-0) + (-) + (-(-)) ; BC = (-4) + (0-) + (-4-) ; AC = (-0) + (0-) + (-4+) Итак, AB = 5, BC = 0, AC =

27 7 Ответ : AB = 5 ; BC = 0 ; AC =. ) Для нахождения углов в треугольнике ABC нужно знать координаты векторов AB, BC, AC, которые найдём из соотношения (4.) : AB (4,0,), BC (-,-,-5), AC (-,,). Теперь, зная длины и координаты сторон треугольника, применим формулу (4.5) : AB AC 4 (-) cos A = AB AC = 5 = - 5 ; AB BC 4 (-) + 0 (-) + (-5) cos B = = = - ; AB BC AC BC (-) (-) + (-) + (-5) 7 cos C = = = - ; AC BC Ответ : cos A = - 5 ; cos B = - ; cos C = ) Площадь треугольника ABC найдём по формуле : S = AB AC sin A, но прежде определим sin A = cos A = = и подставим в формулу для площади, 5 5 получим : S = 5 = 5 Ответ : S =. 4)Определим координаты точки M середины вектора BC по известным координатам его концов B(4,, ) и C(, 0, -4), используя следующие равенства : x + x y + y z + z x = ; y = ; z = (4.7) Итак, M(, -, ). Вектор медианы AM найдём по формуле (4.) : AM (, -, ). Ответ : AM (, -, ). 5) Для определения направляющего вектора биссектриссы AN будем использовать формулы (4.6), с помощью которых пронормируем вектора AB и AC : a 0 = AB 4 = (, 0, ) ; b 0 = AC = ( -,, ) AB 5 5 AC Теперь найдём координаты направляющего вектора биссектриссы AN : AN = a 0 + b 0 вектор AN имеет следующие координаты : 9 AN (,, ) Ответ : AN (,, ). 5 5 III. Векторное произведение.. Найти векторное произведение двух векторов a (, -, ) и b(-,, ) и вычислить его модуль.

28 Решение : 8 i j k - - c = [ a, b ] = - = i j - + k - = ( -9, 5, ) - Модуль векторного произведения найдём по формуле (4.6) : c = (-9) = 0 Ответ : c (-9, 5, ) ; c = 0. IV. Базовые задачи.. Найти координаты точки A, симметричной точке A(,,) относительно плоскости x y + 5z 68 = 0. Решение : Запишем уравнения прямой, проходящей через данную точку A(,,) в параметрическом виде (4.8) : x = mt + y = nt + z = pt + На основании формул (4.5) числа m, n и p пропорциональны A, B и C из уравнения плоскости, а потому, заменяя в последних уравнениях m, n и p соответственно числами, - и 5, получим : x = t + y = -t + (4.8) z = 5t + Для того, чтобы определить координаты точки A нужно прежде всего найти точку пересечения прямой и плоскости, которая будет являться серединой перпендикуляра AA. Так как координаты точки пересечения прямой и плоскости должны удовлетворять уравнениям прямой и уравнению плоскости, то подставив значения x, y и z из (4.8) в уравнение плоскости, будем иметь : (t + ) (-t + ) + 5(5t + ) 68 = 0. Из него следует, что t =. Это значение t подставим в уравнения прямой (4.8) и получим : 5 x = 4, y = -, z =. Итак, теперь, зная координаты середины перпендикуляра AA и координаты одного из его концов, подставим их в соотношения (4.7), чтобы найти координаты A : xa + ya + za + = 4 xa = 7 5 = - ya = - 7 = za = 8 Ответ : A ( 7, -7, 8 ).. Найти координаты точки M, симметричной точке M(,, ) относительно прямой x 8 y z 4 = =. - Решение : Для нахождения точки M построим прежде плоскость, проходящую через точку M и

29 9 перпендикулярную данной прямой.уравнение плоскости, проходящей через точку M(,, ), напишем на основании уравнения (4.0) в виде : A(x - ) + B(y - ) + C(z - ) = 0, затем пользуясь условием (4.5) перпендикулярности прямой и плоскости заменив в последнем уравнении величины A, B и C им пропорциональными величинами m, n и p из уравнений прямой, то есть числами,, -, и получим (x - ) + (y - ) (z - ) = 0 или x + y z 4 = 0 Аналогично, как и в задаче, записывая уравнения данной прямой в параметрическом виде и подставляя их в уравнение плоскости, будем иметь t ( t + ) (-t + 4) 4 = 0, откуда t = -, теперь опять также, как в задаче подставим t в параметрические уравнения прямой и найдём, что точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты (5,, 7). Наконец, зная координаты середины перендикуляра MM и координаты одного из его концов, искомые координаты точки M определим по формулам (4.7) : xm + ym + zm + = 5 xm = 9 = ym = = 7 zm = Ответ : M ( 9,, ).. В треугольнике ABC с вершинами A(,-, 8) ; B(0, 0, 4) ; C(6,, 0) найти : ) вектор нормали плоскости (ABC) ; ) уравнение плоскости (ABC) ; ) площадь треугольника ABC ; 4) уравнение высоты AH. Решение : ) Вектор нормали плоскости (ABC) найдём как вектор n = [AB, AC] Применяя формулу (4.), получим, что AB и AC имеют координаты AB(-,, -4), AC(5, 4, -8) и, следовательно, i j k n = [AB, AC] = - -4 = (0,, -4) Ответ : n (0,, -4). )Теперь,зная вектор нормали плоскости (ABC) и взяв любую из точек плоскости треугольника, например точку A, по формуле (4.0) запишем уравнение самой плоскости (ABC) : 0 (x - ) + (y (-)) 4 (z - 8) = 0 или y 4z + 6 = 0. Ответ : y 4z + 6 = 0. )Площадь треугольника ABC найдём по формуле : S = [AB, AC] = = (-4) = 40 = 85 Ответ : S = 85. 4)Для того, чтобы найти уравнение высоты AH, нужно определить координаты направляющего вектора высоты. Его найдём как векторное произведение векторов BC и n, то есть i j k AH = [ BC, n ] = 6-4 = (0, 84, 7) 0-4 И, наконец, воспользовавшись уравнением (4.7), получим искомое :

30 0 x y + z 8 = = x y + z 8 Ответ : = = x y z + 4. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую = = и точку M (, 4, 0). Решение : Рассмотрим произвольную точку данной прямой, например, точку M 0 (,, -) Запишем координаты вектора M 0 M по формуле (4.) : M 0 M(,, ), а теперь для того, чтобы написать уравнение плоскости, найдём вектор N - вектор её нормали, как векторное произведение вектора M 0 M(,, ) и вектора a (,, ) - направляющего вектора прямой x y z + = = ; i j k то есть по формуле (4.8) N = [ M 0 M, a ] = = (, -, ) Итак, зная вектор N (, -, ) и точку M (, 4, 0), запишем искомое уравнение плоскости в виде (4.0) : (x - ) + (-) (y - 4) + (z - 0) = 0 или x y + z + 5 = 0. Ответ : x y + z + 5 = 0. 5.Найти точку пересечения прямых x y z + = = - и x y z + = = - 0 и уравнение плоскости, в которой они расположены. Решение : Уравнения данных прямых запишем в параметрическом виде, приравнивая канонические уравнения первой прямой параметру t, а второй прямой параметру s, в результате получим : x = t + x = s y = t y = - s + (4.9) z = - t z = - Для того, чтобы найти точку пересечения этих прямых, приравняем их параметрические уравнения : t + = s t = - s + - t = - Решая эту систему, найдём s =, t = 0, подставляя s или t в любую из систем (4.9), получим, что точка пересечения прямых имеет следующие координаты (, 0, - ). Чтобы найти уравнение плоскости, в которой расположены данные прямые, нужно прежде определить координаты вектора N вектора нормали искомой плоскости, которые найдём с помощью векторного произведения векторов a (,, -) и b (, -, 0) направляющих векторов прямых x = y z + = и x y = = - - i j k Итак, N = [ a, b ] = - = ( -, -, -) - 0 z + 0

31 На основании формулы (4.0) и найденного вектора нормали, запишем искомое уравнение плоскости, проходящей через точку пересечения данных прямых : - (x ) + (-) (y 0) + (-) (z (-)) = 0 или x + y + z + = 0. Ответ : (, 0, -) ; x + y + z + = 0. x y + z 6. Найти проекцию прямой = = на плоскость x + y z 4 = Решение : I способ. Найдём две точки, принадлежащие проекции данной прямой. Первую точку найдём как точку пересечения x y + z прямой = = и плоскости x + y z 4 = Для этого запишем канонические уравнения прямой в параметрическом виде и подставим их в уравнение плоскости x + y z 4 = 0, получим : (t + ) + (-t - ) (5t + ) 4 = 0 Откуда находим, что t = -. Это значение t есть значение параметра точки пересечения прямой и плоскости. Подставим это значение в параметрические уравнения прямой и получим : x = -, y = 0, z = -. Итак, координаты точки пересечения данных прямой и плоскости будут (-, 0, -). Координаты второй точки искомой прямой определим с помощью проекции любой точки данной прямой на данную плоскость, то есть опустим перпендикуляр из этой любой точки на плоскость и найдём координаты основания этого перпендикуляра. Например, рассмотрим точку (, -, ), принадлежащую данной прямой, и напишем сразу уравнения прямой, проходящей через эту точку, в параметрическом виде : x = mt + y = nt z = pt + На основании формул (4.5) условия перпендикулярности прямой и плоскости заменим в последних уравнениях m, n и p соответственно числами,, - из уравнения данной плоскости, получим : x = t + y = t z = - t + Подставляя эти значения x, y и z в уравнение плоскости x + y z 4 = 0, будем иметь t + + t (-t +) 4 = 0 4 Из него следует, что t =. Подставим найденное значение в параметрические уравнения 7 прямой и получим : x =, y =, z = -. Итак, координаты второй точки нужной 7 нам проекции данной прямой на данную плоскость имеют вид : (,, - ). Наконец, воспользовавшись уравнением (4.9), получим уравнение проекции, проходящей через найденные две точки :

32 7 x (-) Умножив знаменатели уравнений на, найдём нужное : x + y = = z + 7 II способ. Этот способ решения заключается в следующем : прежде всего найдём плоскость, перпендикулярную данной плоскости и проходящей через данную прямую, а затем запишем уравнение искомой проекции в виде системы двух линейных уравнений. Чтобы найти плоскость, перпендикулярную плоскости x + y z 4 = 0 x y + z и проходящей через прямую = =, - 5 нужно определить координаты вектора N вектора нормали этой плоскости, которые найдём как векторное произведение вектора N (,, -) вектора нормали данной плоскости и вектора a (, -, 5) направляющего вектора данной прямой, то есть i j k N = [ N, a ] = - = (, -, - 4) - 5 Так как искомая плоскость проходит через прямую x y + z = =, а значит и - 5 через любую точку этой прямой, например, возьмём точку (, -, ) и найденные координаты N и подставим в уравнение (4.0), получим (x ) (y (-)) 4(z ) = 0 x y 4z 6 = 0. Запишем систему : x + y z 4 = 0 x y 4z 6 = 0. Это и есть уравнение проекции, записанное в общем виде. x + y z 4 = 0 x + y z + Ответ : = = или 7 x y 4z 6 = Написать уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые x (-) y 0 z (-) = = 0 - (-) y z x + y = = и = = Решение : На первой прямой рассмотрим точку M(, 0, ), а на второй прямой точку M 0 (-,, 0), тогда вектор M 0 M будет иметь координаты (4, -, ). Чтобы найти искомое уравнение плоскости, проходящей через данные две параллельные прямые, найдём прежде её вектор нормали N, как векторное произведение вектора M 0 M (4, -, ) и вектора a (,, ) направляющего вектора данных параллельных прямых, то есть N = [ M 0 M, a ] = (-, -6, 6). Искомая плоскость проходит через данные параллельные прямые, а значит и через любую точку этих прямых, например, точку M(, 0, ). Подставляя координаты вектора нормали N и точки M в уравнение (4.0), получим : -(x ) 6(y 0) + 6(z ) = 0 z

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова Е. В. Мартынова, И. П. Мурзина, Т. М. Степанюк,

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 3. Аналитическая геометрия на плоскости 1. Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(4; 1) a) параллельно прямой

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Задача. Уравнение одной из сторон квадрата x + 3y 5 = 0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если (-,0) точки пересечения его диагоналей.

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий)

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи Глава 8 Прямые и плоскости 8.1 Прямая на плоскости 8.1.1 Аффинные задачи В этом разделе система координат аффинная. 1. Указать хотя бы один направляющий вектор прямой, заданной уравнением: 1) y = kx+b;

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Учебно-методическое пособие

Учебно-методическое пособие САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИОРИТЕТНЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ "ОБРАЗОВАНИЕ" Проект «Инновационная образовательная среда в классическом университете» Пилотный проект «Разработка и внедрение

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ НС Анофрикова, ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7 Уравнения прямой в пространстве Лекция 7 1 Параметрические уравнения прямой Перейдём в векторном уравнении прямой в пространстве к координатной форме r ( x; y; z), r ( x ; y ; z ), a ( m; n; p) r r t a

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C( 1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Консультация 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ ЗАДАЧА 1. Через точку M = (4, 3) провести прямую так чтобы площадь треугольника, образованного этой прямой и осями координат, была равна 3.

Подробнее

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ООО «Резольвента», wwwesolventau, esolventa@listu, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю)

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения Кафедра Математики, физики и информационных технологий Направление подготовки Педагогическое

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 9 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 1. Каноническое уравнение эллипса Определение 1. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, сумма расстояний от каждой

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1. Кривые второго порядка

Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1. Кривые второго порядка Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1 Кривые второго порядка Задача 1 Докажите, что произведение расстояний от фокусов эллипса до любой касательной к нему есть величина

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных ВАРИАНТ 11 1 Точка M() является основанием перпендикуляра опущенного из точки N(1-1) на прямую l Написать уравнение прямой l; найти расстояние от точки N до прямой l Составить уравнения прямых проходящих

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАЗДЕЛ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть I Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии на плоскости Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Казань 008 0 Казанский государственный университет Кафедра общей математики Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Подробнее

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n.

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b

Подробнее

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой.

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой. ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически x = + t ; найти угловой коэффициент этой прямой y = 4 t Даны две вершины A (, ) и B (5, 7) треугольника ABC и точка пересечения его высот

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики С. И. Яблокова Кривые второго порядка Часть Практикум

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Аналитическая геометрия Прямые и плоскости. Линейная алгебра (лекция 10) / 30

Аналитическая геометрия Прямые и плоскости. Линейная алгебра (лекция 10) / 30 Аналитическая геометрия Прямые и плоскости Линейная алгебра (лекция 10) 17.11.2012 2 / 30 Линейная алгебра (лекция 10) 17.11.2012 3 / 30 Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1 ) и M 2 (x 2, y 2 )

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 0. План лекции Лекция Эллипс, Гипербола и Парабола. 1. Эллипс. 1.1. Определение эллипса; 1.2. Определение канонической системы координат; 1.3. Вывод уравнения

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

. Найдите произведение. ; B) 2. Найти матрицы n - ой степени : B n ; B) 3.Решите уравнение: 0. x C) x D) x ; B) A) 5 B)9 C)4 D)2

. Найдите произведение. ; B) 2. Найти матрицы n - ой степени : B n ; B) 3.Решите уравнение: 0. x C) x D) x ; B) A) 5 B)9 C)4 D)2 и Найдите произведение A) 8 8 ; B) 8 C) 8 8 D) 8 8 Найти матрицы n - ой степени : α α α α B cos sin sin cos ; A) n n n n B n cos sin sin cos ; B) n n n n B n cos sin sin cos C) n n n n B n cos sin sin

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ МИИГАиК) ОВИсакова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Пусть ABCD параллелограмм, O точка пересечения его диагоналей, точка K середина его стороны АВ, точка L середина его стороны ВС. Тогда: 1. векторы АВ

Подробнее

Е.А. Гонжа. векторная алгебра и аналитическая геометрия

Е.А. Гонжа. векторная алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) ЕА Гонжа векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее