Задание С5 единого ГЭ 2005 года.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Задание С5 единого ГЭ 2005 года."

Транскрипт

1 Даны два уравнения: Задание С5 единого ГЭ 2005 года. 2 (6p 70)x + 5p 42 = p 1 4x и (1 + 2 p 11 p 15 ) x = 28 3x. Значение параметра p 15 выбирается так, что при умножении числа различных корней первого уравнения на число различных корней второго уравнения получается число 0,25(p 7). Решите второе уравнение при каждом значении параметра, выбранном таким образом. Решение. При первом прочтении этого задания возникает желание его не решать. Сдержав эмоции, прочитаем ещё раз, пытаясь понять, что нужно делать и куда стремиться. Сначала следует понять, сколько решений может иметь каждое из уравнений. Первое уравнение есть обычное иррациональное уравнение, сводящееся к квадратному. Поэтому оно может иметь два, один или ни одного корня. Со вторым уравнением сложнее. Оно трансцендентное. Общих методов решения таких уравнений нет. Однако, если проанализировать данное уравнение, станет ясно, что оно имеет, причём единственный, корень. Действительно, если посмотреть на функцию ) y = (1 + 2 p 11 x p 15, то нетрудно заметить, что основание показательной функции больше единицы. Поэтому эта функция возрастает на множестве всех вещественных (действительных) чисел. Функция y = 28 3x убывает на множестве всех вещественных (действительных) чисел. У графиков таких функций или нет, или одна точка пересечения. Нарисовав, даже не очень аккуратно, убеждаемся, что имеется одна точка пересечения. Поэтому второе уравнение имеет ровно одно решение. Тогда число 0,25(p 7) может равняться либо нулю (когда первое уравнение не имеет решений), одному (когда первое уравнение имеет одно решение) или двум (когда первое уравнение имеет два решения). Рассмотрим эти три случая. 0). Если первое уравнение не имеет корней, то по условию 0,25(p 7) = 0. После не очень длинных преобразований приходим к тому, что p = 7. Подстановка этого значения во второе уравнение приводит к виду ( 1 + 2) x = 28 3x. Глядя на это уравнение, становится грустно. Оно имеет один корень, как мы выяснили выше. Найти его можно приближённо (если интересно, то x 3, ), например, графически. А нам нужно иметь точное значение. Что-то здесь не так. Посмотрим на первое уравнение. Оно принимает вид 2 28x 7 = 6 4x 28x 7 = 3 2x. 1

2 Стандартным образом решая, получаем, что это уравнение равносильно системе { 28x 7 = (3 2x) 2, 3 2x 0. Первое уравнение системы после преобразований принимает следующий вид: 28x 7 = 4x 2 12x + 9 4x x + 16 = 0. Последнее уравнение имеет единственный корень x = 2. Подстановкой убеждаемся, что он удовлетворяет неравенству системы. Таким образом, первое уравнение задания при p = 7 имеет один корень. Но это противоречит выбору числа p. 1). Если 0,25(p 7) = 1, то p = 11. В этом случае уравнения задания принимают вид 2 4x + 13 = 10 4x и 2 x = 28 3x. Пока не ясно, сколько корней у первого уравнения. Опять стандартным путём имеем, что оно равносильно системе { 4x + 13 = (5 2x) 2, 5 2x 0. Первое уравнение имеет корни x 1 = 1, x 2 = 3. Первый из этих корней удовлетворяет неравенству системы, а второй нет. Значит, система имеет единственное решение. Тогда и первое уравнение имеет столько же корней. Всё в этом случае получается, как требуется по условию для выбора параметра. Осталось найти корни второго уравнения. Более точное построение графиков даёт нам информацию о том, что корень уравнения близок к четырём. 2

3 Подстановка числа 4 в уравнение приводит нас в полный восторг. Это корень! Других корней нет. Всё! 2). Если 0,25(p 7) = 2, то p = 15. А этот случай исключён из рассмотрения по условию. Ответ: 4. Задание С3 единого ГЭ 2008 года. Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство a (3 sin x 1 1) (3 x x 4) a 0 не имеет решений. Я приведу два решения, одно алгебраическое, другое геометрическое. На мой взгляд нужно знать оба способа и уметь их использовать. Ведь нет универсальных методов решения, универсальна лишь скорбь. Конечно, при составлении заданий с параметром очень часто авторами используются геометрические соображения. Это неплохо помнить (правда почему-то всё время забывается (и я грешен)) и использовать при решении этих заданий. Алгебраическое решение. Можно использовать тот факт, что область значений функции y = 3 sin x 1 1 при x 1 занимает целиком интервал [ 4; 2]. Тогда числитель дроби положителен при a > 2, отрицателен при a < 4. Заметим, что при 4 a 2 числитель обращается в ноль в бесконечном числе точек, уходящих в бесконечность. Теперь посмотрим на знаменатель. После замены t = 3 x он примет вид t 2 (4 + a)t t при t 3. При больших t он обязательно примет положительные значения по свойствам квадратного трёхчлена. Поэтому при больших t и при a < 4 дробь, стоящая слева в исходном неравенстве, будет отрицательна. Это значит, что у неравенства найдутся решения. Поэтому эти значения параметра не будем помещать в ответ ни за какие коврижки. При 4 a 2 числитель обращается в ноль в некоторых точках. Этих точек бесконечно много. Знаменатель обращается в ноль самое большее в двух точках. Поэтому при этих значениях параметра неравенство имеет решения. Таким образом, в ответе пока ничего нет. Осталось рассмотреть случай a > 2. Вспомним, что при этих значениях параметра числитель исходного неравенства положителен. Неравенство не будет иметь решений, если знаменатель неотрицателен. Это будет, если t 2 (4 + a)t при t 3. Конечно, нужно рассмотреть, когда дискриминант неположителен: D = (4 + a) a 2 + 8a Последнее неравенство решит любой, умеющий его решать. Корни квадратного трёхчлена a 1,2 = 4 ±

4 дают решение неравенства a Кроме того, нужно рассмотреть случай, когда вершина параболы, являющейся графиком квадратного трёхчлена t 2 (4 + a)t находится левее (неверно! нужно не правее!) точки t = 3 и правая ветвь параболы не проходит ниже точки (3; 0). Абсцисса вершины параболы равна (4 + a)/2. Тогда (4 + a)/2 3. Отсюда a 2, а мы рассматриваем случай a > 2. Поэтому такой вариант не реализуется. Остаётся a и a > 2. В ответ идёт 2 < a Заметим, что при решении мы не использовали элементов математического анализа. Думаю, что министр образования А. Фурсенко был бы рад этому. Ведь в школе, как он сказал при встрече с ректором МГУ, не нужна высшая математика. Геометрическое решение. Запишем неравенство в виде a (3 sin x 1 1) (3 x x 4) a 0 f(x) a g(x) a 0, где f(x) = 3 sin x 1 1, g(x) = 3 x x 4. График функции y = f(x) a получается сдвигом по вертикали на a графика функции y = f(x) (вверх-вниз в зависимости от знака), график функции y = g(x) a получается сдвигом по вертикали графика функции y = g(x) на столько же и в том же направлении. Таким образом, графики смещаются как одно целое. Корней у неравенства нет тогда, когда графики для каждого x располагаются по разные стороны от оси абсцисс, при этом знаменатель может обращаться в ноль. Таким образом, нужно построить графики функций. Непростое дело. Функция f(x) получается, если вместо аргумента в функцию sin x 1 подставить x 1. Последняя функция является возрастающей на всей области определения. Значит, после подстановки интервалы возрастания и убывания не исчезнут, а лишь преобразуются так, как указывает функция x 1. Получим вот что: 4

5 Самое главное в том, что область значений совпадает с [ 4; 2]. Построить график другой функции тоже непросто. Но, если положить t = 3 x, то всё сводится к построению графика функции y = t t 1 4 при t 3. Такой график уже построить нетрудно, проводя стандартное исследование с помощью производной. Получим, где наименьшее значение функции y = t+3 10t 1 4 равно при некотором t > 3 (его легко найти, но мне уже лень). Так как t = 3 x является возрастающей функцией, то g(x) будет иметь такое же наименьшее значение. Теперь видим, первый график располагается ниже второго. Двигая синхронно вверх-вниз видим, что графики будут располагаться по разные стороны от оси абсцисс при 2 < a < , а при a = функция знаменателя неотрицательна. Получаем тот же ответ. P.S. Решение неравенства a g(x) f(x) a 0, предложенное автором задания для эксп ертов, предполагает, что g(x) < f(x) для всех аргументов из общей части областей определения. Это неравенство справедливо в данном случае. Но когда-нибудь тот же автор придумает новый пример с параметром, где это неравенство не имеет места. Например, если нужно найти все значения параметра a, при которых неравенство a tg(x) a sin(2x) > 0 не имеет корней, мы сразу заметим, что область значений тангенса совпадает с множеством всех действительных (вещественных) чисел. Правда решение этой задачи очевидно. Можно придумать и более сложное задание. Например, функции заданы следующими равенствами 2 x 5, x 0; 1 u(x) =, 0 < x < 2; sin πx 2 3 log 1/2 x, x 2; 5

6 3 x, x < 0; v(x) = x 2 2x 2, 0 x 2; x + 2, x > 2. Выясним, при каких значениях параметра a неравенство v(x) a u(x) a 0, не имеет решений. Функция y = u(x) имеет сколь угодно большие по модулю значения, положительные и отрицательные, поэтому не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значения. Функция y = v(x) хоть и имеет наименьшее значение, равное 3 при x = 1, но для этих функций не выполняется неравенство, необходимое для применения метода, предложенного автором задания. Здесь на помощь и приходит графический способ решения. Построим графики функций. Здесь это совсем не сложно. Красным цветом нарисуем график функции y = u(x), зелёным график функции y = v(x): Графики синхронно перемещаются вверх-вниз изменением параметра a. Разные знаки будут при 2 < a < 1. Кроме того, знаменатель обращается в ноль при a = 1 в точке x = 1, а при остальных аргументах знаки у функций разные. Таким образом, записываем 2 < a 1. Да нет, скажете вы. Нужно быть более внимательным. При таких a решениями неравенства будут x = 0 и x = 2. Действительно, значения обеих функций (даже сдвинутых на a) в этих точках отрицательны. Таким образом, этот ответ неверен. А верно то, что при любом a неравенство имеет хотя бы одно решение. 6

7 Если для этой же задачи рассмотреть следующие функции: 2 x 5, x 0; 1 u(x) =, 0 < x < 2; sin πx 2 3 log 1/2 x, x 2; то получим следующие графики: 3 x, x 0; v(x) = x 2 2x 2, 0 < x < 2; x + 2, x 2, Теперь уже легко видим, что для этих функций в ответ нужно записать 2 a 1. P.S. Я отдаю себе отчёт, что моё решение не удовлетворяет всем требованиям экзаменационной ЕГЭ комиссии. Конечно, сообщение о том, что такое решение заслуживает максимум один балл, огорашивает. Но мне хотелось показать рождение решения задачи. Во время обсуждения я понял, что от меня также требуется показать как оформлять решение. А я это не очень умею и не хочу уметь. Прошу меня извинить. В заключение хочется пожелать всем слушателям, кроме здоровья, ещё и отклика в головах школьников. Ведь возникновение, движение и развитие мысли в их мозгах то единственное, что интересно в преподавании математики. Кряквин В.Д. Адрес моей страницы, где могут появляться новые материалы 7


МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

Тема 41 «Задания с параметром»

Тема 41 «Задания с параметром» Тема 41 «Задания с параметром» Основные формулировки заданий с параметром: 1) Найти все значения параметра, при каждом из которых выполняется определенное условие. ) Решить уравнение или неравенство с

Подробнее

РАЗДЕЛ 14. ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

РАЗДЕЛ 14. ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ РАЗДЕЛ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ Комментарий Задачи с параметрами традиционно являются сложными заданиями в структуре ЕГЭ, требующими от абитуриента не только владения всеми методами и приемам решения различных

Подробнее

Иррациональные неравенства

Иррациональные неравенства Иррациональные неравенства Неравенства, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного

Подробнее

Критерии оценки заданий 18

Критерии оценки заданий 18 Задание 18 Критерии оценки заданий 18 Содержание критерия Балл ы Обоснованно получен правильный ответ. 4 С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом

Подробнее

Симметрия в задачах с параметрами

Симметрия в задачах с параметрами И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Симметрия в задачах с параметрами Симметрия одно из ключевых понятий математики и физики. Вы знакомы с геометрической симметрией фигур и вообще различных

Подробнее

4. Решение и исследование квадратных уравнений

4. Решение и исследование квадратных уравнений КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Подробнее

Знаки линейной функции

Знаки линейной функции И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Метод интервалов Метод интервалов это метод решения так называемых рациональных неравенств. Общее понятие рационального неравенства мы обсудим позже, а сейчас

Подробнее

Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Логарифмические уравнения и неравенства Логарифмические уравнения и неравенства это уравнения и неравенства, в которых переменная величина находится под знаком

Подробнее

Вокруг заданий 18 из ЕГЭ 2017

Вокруг заданий 18 из ЕГЭ 2017 Вокруг заданий 18 из ЕГЭ 2017 А.В. Шевкин, avshevkin@mail.ru Аннотация: В статье разобраны различные способы решения ряда заданий с параметром. Ключевые слова: уравнение, неравенство, параметр, функция,

Подробнее

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 1

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 1 Мы приступаем к изучению уравнений вида ax + bx + c = 0. (1) Если a 0, то уравнение (1) является квадратным.

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Иррациональные уравнения и неравенства Мы называем уравнение или неравенство иррациональным, если оно содержит переменную под радикалами, то есть под знаками

Подробнее

Параметры и квадратный трёхчлен. 1

Параметры и квадратный трёхчлен. 1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Параметры и квадратный трёхчлен. 1 Мы начинаем с рассмотрения уравнений вида ax + bx + c = 0. 1 Если a 0, то уравнение 1 является квадратным. Не забываем,

Подробнее

Ребята, мы с вами изучили линейные и квадратные неравенства, научились решать задачи на эти темы. Теперь давайте перейдем к новому понятию в

Ребята, мы с вами изучили линейные и квадратные неравенства, научились решать задачи на эти темы. Теперь давайте перейдем к новому понятию в Ребята, мы с вами изучили линейные и квадратные неравенства, научились решать задачи на эти темы. Теперь давайте перейдем к новому понятию в математике система неравенств. Система неравенств похожа на

Подробнее

Параметры и квадратный трёхчлен. 3

Параметры и квадратный трёхчлен. 3 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Параметры и квадратный трёхчлен. В данной статье мы рассматриваем задачи с параметрами, так или иначе сводящиеся к исследованию квадратных уравнений и неравенств.

Подробнее

Уравнения и неравенства с модулем

Уравнения и неравенства с модулем И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Уравнения и неравенства с модулем В данной статье мы рассмотрим алгебраические уравнения и неравенства с модулем и изучим основные приёмы избавления от модуля

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН Учебно-методическое пособие

Подробнее

Неравенства с параметром на едином государственном экзамене В.В. Сильвестров

Неравенства с параметром на едином государственном экзамене В.В. Сильвестров Неравенства с параметром на едином государственном экзамене ВВ Сильвестров Задания единого государственного экзамена (ЕГЭ) непременно содержат задачи с параметрами Планом экзаменационной работы 008 года

Подробнее

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6).

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6). 3.. Методы решения рациональных неравенств 3..1. Числовые неравенства Сначала определим, что мы понимаем под утверждением a > b. Определение 3..1. Число a больше числа b, если разность между ними положительна.

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Кандидат физико-математических наук, доцент С. С. САМАРОВА РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ Учебно-методическое

Подробнее

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Глава ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Логарифм действительного числа Пусть даны положительные действительные числа и N Требуется найти такое

Подробнее

Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем».

Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем». Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем». Модуль действительного числа это абсолютная величина этого числа. Проще говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак. Обозначается a. Например,

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Показательные уравнения и неравенства Показательные уравнения и неравенства это уравнения и неравенства, в которых переменная величина входит в аргумент

Подробнее

Применение производной для решения сложных задач вступительных экзаменов в МГУ

Применение производной для решения сложных задач вступительных экзаменов в МГУ Применение производной для решения сложных задач вступительных экзаменов в МГУ Г.И. Фалин д.ф.м.н., профессор кафедра теории вероятностей механико-математический факультет МГУ им.м.в.ломоносова А.И. Фалин

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П.КОРОЛЕВА

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 3

Иррациональные уравнения и неравенства 3 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление 4 Метод исключения радикалов в иррациональном уравнении умножением на сопряженный множитель Задание 7 4 5 Выделение полного квадрата (квадрата двучлена)

Подробнее

Уравнения и неравенства с модулем

Уравнения и неравенства с модулем И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Статья написана в соавторстве с А Г Малковой Уравнения и неравенства с модулем Данная статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих

Подробнее

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение. План решения задач с параметром графическим методом

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение. План решения задач с параметром графическим методом Задачи с параметром (графический прием решения) Введение Применение графиков при исследовании задач с параметрами необычайно эффективно. В зависимости от способа их применения выделяют два основных подхода.

Подробнее

Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач.

Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач. Московский физико-технический институт Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач. Методическое пособие по подготовке к олимпиадам.

Подробнее

Экзаменационный билет 2

Экзаменационный билет 2 Экзаменационный билет 1 1. Преобразование обычных дробей в десятичные и наоборот. Действия с дробями. 2. Определение функции. Способы задания, область определения, область значений функции. 2 x 1 x x 1

Подробнее

Область определения левой части этих формул может быть шире области определения

Область определения левой части этих формул может быть шире области определения 7 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Комментарий При решении логарифмических уравнений также как в случае иррациональных уравнений возможно появление посторонних корней Причина их появления

Подробнее

ПРОГРАММЫ СРЕДНЕГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

ПРОГРАММЫ СРЕДНЕГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ ГОУ ДПО «ДОНЕЦКИЙ РЕСПУБЛИКАНСКИЙ ИНСТИТУТ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ» ПРОГРАММЫ СРЕДНЕГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРА И НАЧАЛА

Подробнее

Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями

Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями Сайт автора Его блог Рассылка I. Задачи Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями I.1. Решите уравнение 3 m + 4 n = 5 k в натуральных числах. [Ответ] [Решение] I.2. При каких значениях х оба числа и целые?

Подробнее

Тригонометрические уравнения. 2

Тригонометрические уравнения. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические уравнения. В статье «Тригонометрические уравнения. 1» мы рассмотрели стандартные методы решения весьма простых тригонометрических уравнений.

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ВОЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ КАДЕТСКИЙ КОРПУС Дисциплина: «Математика, основы информатики и вычислительной техники» МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ для кадет Тема: Уравнения и неравенства с параметрами. Преподаватель: Молоткова

Подробнее

Решение квадратных неравенств графическим способом.

Решение квадратных неравенств графическим способом. Учитель математики Семёнова Елена Юрьевна МБОУ СОШ 5-«Школа здоровья и развития» градужный Решение квадратных неравенств графическим способом Пример 1 х 4х 5 1 Рассмотрим функцию у х 4х 5 графиком которой

Подробнее

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5)

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5) Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ (типовые задания С5) Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Корянов АГ, г Брянск,

Подробнее

1 Корни и их количество

1 Корни и их количество 1 Функции, их графики и связанные с ними доказательства Оглавление 1 Корни и их количество...1 1.1 Корни уравнения...1 1.1.a Корни уравнения...1 1. Число корней... 1. Число корней... 1.4 Функциональное

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

Уравнения с модулем задачи типа заданий С 5

Уравнения с модулем задачи типа заданий С 5 Общие сведения Задачи с параметрами Уравнения с модулем задачи типа заданий С 5 1 Подготовка к ЕГЭ Дихтярь М.Б. 1. Абсолютной величиной, или модулём числа х, называется само число х, если х 0; число x,

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения. Кафедра Математики и математических методов в экономике. Направление подготовки 05000

Подробнее

Параметры и квадратный трёхчлен. 2

Параметры и квадратный трёхчлен. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Параметры и квадратный трёхчлен. 2 Данная статья посвящена вопросам расположения корней квадратного трёхчлена в зависимости от параметра. Вычисление корней

Подробнее

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений Различные подходы к решению задач С С С5 ЕГЭ 9- года Подготовка к ЕГЭ (материал для лекции для учителей ) Прокофьев АА aaprokof@yaderu Задачи С Пример (ЕГЭ С) Решите систему уравнений y si ( si )(7 y )

Подробнее

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 2

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. Данная статья посвящена вопросам расположения корней квадратного трёхчлена в зависимости от параметра.

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ I Рациональные алгебраические уравнения Равносильность уравнений Равносильность уравнений на множестве Равносильность

Подробнее

ax 4 9x a. (1) Решение. Приведем уравнение (1) к простейшему виду: 45x 5a ax +4 = 0; (45 a)x = 5a 4. (2) Тема 17 «Задания с параметром»

ax 4 9x a. (1) Решение. Приведем уравнение (1) к простейшему виду: 45x 5a ax +4 = 0; (45 a)x = 5a 4. (2) Тема 17 «Задания с параметром» Тема 17 «Задания с параметром» Основные формулировки заданий с параметром: 1) Найти все значения параметра, при каждом из которых выполняется определенное условие. ) Решить уравнение или неравенство с

Подробнее

Ускользающая парабола

Ускользающая парабола Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Ускользающая парабола или задачи, сводящиеся к квадратичным Учебно-методическое пособие Ханты-Мансийск 7 В.П. Чуваков Ускользающая парабола или задачи,

Подробнее

Исследование тригонометрических функций

Исследование тригонометрических функций И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Исследование тригонометрических функций Напомним, что функция fx) называется периодической, если существует такое число T 0, что для любого x из области определения

Подробнее

4.6. Иррациональные уравнения

4.6. Иррациональные уравнения 4.6. Иррациональные уравнения Иррациональным уравнением называют уравнение, содержащее под знаком радикала переменную, относительно которой оно решается. Областью допустимых значений уравнения являются

Подробнее

1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ. Действия со степенями. Степени чисел имеют следующие основные свойства:

1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ. Действия со степенями. Степени чисел имеют следующие основные свойства: ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ Действия со степенями Степени чисел имеют следующие основные свойства: y + y y y a a = a ; ( a b) = a b ; ( a ) = a ; y y a a = a a = a ; 5 y = a a

Подробнее

1. Найдите число решений системы. 2. Найдите число решений системы. 3. Найдите число решений системы. 4. Найдите число решений системы

1. Найдите число решений системы. 2. Найдите число решений системы. 3. Найдите число решений системы. 4. Найдите число решений системы 1 Количество решений системы уравнений Графический динамический метод Для нахождения количества решений системы уравнений, содержащих параметр, полезен следующий приём Строим графики каждого из уравнений

Подробнее

Задание Постройте график функции. строенный график в трѐх точках. Решение. Построим график функции (см. рисунок).

Задание Постройте график функции. строенный график в трѐх точках. Решение. Построим график функции (см. рисунок). Задание 23 314690. Постройте график функции будет пересекать по- и определите, при каких значениях прямая строенный график в трѐх точках. Построим график функции (см. рисунок). Из графика видно, что прямая

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5) Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений МАТЕМАТИКА ЕГЭ (типовые задания С5) Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Корянов А Г, г Брянск, korynov@milru

Подробнее

5 Построение графиков функций y = f (x) + b и y = f (x + a)

5 Построение графиков функций y = f (x) + b и y = f (x + a) 4.6. Постройте график функции: ) = []; ) = { }. 4.7. Постройте график функции: ) = ; ) = {}. Упражнения для повторения 4.8. Решите уравнение 3 = 3. 4.9. Постройте график уравнения + =. + 4.. Упростите

Подробнее

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции»

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции» МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Подробнее

Методы решения задач с параметром

Методы решения задач с параметром Научно-исследовательская работа «Старт в науке» Тема работы: Методы решения задач с параметром Выполнил: Власов Никита Денисович учащийся 11 класса МБОУ «СОШ 5 с углубленным изучением отдельных предметов»

Подробнее

Задачи с параметрами. (10 11 классы) Параметры это те же числа, просто заранее не известные. 1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами

Задачи с параметрами. (10 11 классы) Параметры это те же числа, просто заранее не известные. 1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами Задачи с параметрами (10 11 классы) Параметры это те же числа, просто заранее не известные 1 Линейные уравнения и неравенства с параметрами Линейная функция: - уравнение прямой с угловым коэффициентом

Подробнее

УВК школа-лицей 2. Уравнение с модулем. Творческая работа по алгебре Работу выполнила: ученица 8-Б класса Воропай Милена

УВК школа-лицей 2. Уравнение с модулем. Творческая работа по алгебре Работу выполнила: ученица 8-Б класса Воропай Милена УВК школа-лицей 2 Уравнение с модулем Творческая работа по алгебре Работу выполнила: ученица 8-Б класса Воропай Милена Армянск 2012 с Глава I Тема: Решение уравнений, содержащие модуль Цель работы: показать

Подробнее

ГЛАВА II. Квадратный трехчлен

ГЛАВА II. Квадратный трехчлен ГЛАВА II. Квадратный трехчлен Справочный материал Квадратным трехчленом называют выражение a + b + c, где abc,, и a 0. График квадратного трехчлена парабола. Прямая b = ее ось симметрии. Точка ( в; в)

Подробнее

Свойства и график функции y=sinx. Свойства и график функции y=cosx

Свойства и график функции y=sinx. Свойства и график функции y=cosx Свойства и график функции y=sinx 1. Область определения - х R, область значений - у [- 1; 1] 2. Период - 2 ; sin(x+2π)=sinx для всех х R 3. Наименьшее значение у=-1 при х= - 2 +2 k, k Z; наибольшее - у=1

Подробнее

71 Тригонометрические уравнения и неравенства

71 Тригонометрические уравнения и неравенства 7 Тригонометрические уравнения и неравенства Комментарий Устойчивым является заблуждение абитуриентов о том что при решении тригонометрических уравнений не нужна проверка Это так далеко не всегда При решении

Подробнее

Параметры. Линейные уравнения и неравенства

Параметры. Линейные уравнения и неравенства И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Параметры. Линейные уравнения и неравенства Среди всего многообразия задач с параметрами наиболее простыми являются линейные уравнения и неравенства. Поэтому

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» К. Л. САМАРОВ, С.С. САМАРОВА ТРИГОНОМЕТРИЯ В ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Учебно-методическое пособие для подготовки

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

Линейные уравнения и неравенства с параметрами и сводящиеся к ним

Линейные уравнения и неравенства с параметрами и сводящиеся к ним = n Задания к программе учебного курса «Задачи с параметрами» для учащихся класса социально-экономического профиля Учитель Тихонова АВ, школа 7 Линейные уравнения и неравенства с параметрами и сводящиеся

Подробнее

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Квадратные уравнения 1 Неполные квадратные уравнения............................ 1 2 Выделение полного квадрата...............................

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

11.1. Функции Базовый уровень.

11.1. Функции Базовый уровень. 111 Функции Базовый уровень Оглавление 11101 Системы координат 1110 Понятие функции 7 1110 Область определения функции 10 11104 Область (множество) значений функции 1 11105 Возрастание и убывание функции

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Решение задач с параметрами. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Решение задач с параметрами. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Решение задач с параметрами (01 015

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 2

Иррациональные уравнения и неравенства 2 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление Иррациональные уравнения Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень Задание Задание Задание Замена иррационального уравнения смешанной

Подробнее

Ягубов.РФ. неравенства классы. Начало см. в 1,2/2015

Ягубов.РФ. неравенства классы. Начало см. в 1,2/2015 С. шестаков, isser@ynde.ru, г. Москва 9 классы. Начало см. в,/05 Решаем неравенства п о в ы ш е н и е к в а л и ф и к а ц и и / л е к т о р и й.. Метод введения новой переменной Метод введения новой переменной

Подробнее

Ускользающая парабола

Ускользающая парабола Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Ускользающая парабола или задачи, сводящиеся к квадратичным Учебно-методическое пособие Ханты-Мансийск 4 В.П. Чуваков Ускользающая парабола или задачи,

Подробнее

Доклад по теме: Решение задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике

Доклад по теме: Решение задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике Доклад по теме: задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике Выполнила Яценко Ирина Алексеевна Учитель математики МОУ СОШ 16 г. Щелково Щелково 2011 г. Содержание Знакомство с параметрами...

Подробнее

Уравнение при условиях и имеет при, решение. Ответ: при решений нет, при ;

Уравнение при условиях и имеет при, решение. Ответ: при решений нет, при ; C5 При каждом значении а решите систему Пары дающие решение системы, должны удовлетворять условиям Из второго уравнения системы находим Осталось заметить, что тогда Уравнение при условиях и имеет при,

Подробнее

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом 9 Математика. 9 класс Вариант - Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом x y= 8 Решите систему уравнений x y + =. x = Ответ: ( ; 6); другие возможные формы ответа: ; х =, у = 6. y = 6 Решение.

Подробнее

2015 года (профильный уровень).

2015 года (профильный уровень). Разбор заданий демонстрационного варианта ЕГЭ по математике 2015 года (профильный уровень). Обсуждаются некоторые задания из той части варианта, которая предполагает развернутое решение задач, проверяемое

Подробнее

Первые шаги в решении уравнений и неравенств с параметром

Первые шаги в решении уравнений и неравенств с параметром КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ. Н.И.ЛОБАЧЕВСКОГО Кафедра теории и технологий преподавания математики и информатики Фалилеева М.В. Первые шаги в решении уравнений и

Подробнее

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,...

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,... Предел функции. Предел числовой последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто числовой последовательностью называется функция f f (, определенная на множестве всех

Подробнее

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число АРИФМЕТИКА Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. Порядок действий ) Если нет скобок, то сначала выполняются действия -й степени (возведение в натуральную степень), затем -й степени (умножение

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Уравнения и неравенства с модулем. Графики функций. Задание 3 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Уравнения и неравенства с модулем. Графики функций. Задание 3 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Уравнения и неравенства с модулем.

Подробнее

Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА

Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА 8 Экспериментальный учебник Часть МОСКВА 06 Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА 8 Экспериментальный

Подробнее

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН... Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Уравнения с модулем

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Уравнения с модулем И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Содержание Уравнения с модулем 1 Определение модуля 1 Замена переменной 3 Перебор промежутков Равносильные переходы 5 5 Задачи 6 В данной статье мы изучаем

Подробнее

Билет 3. , поэтому x 2 x 1 = a. Применяя эту формулу четыре раза, получаем

Билет 3. , поэтому x 2 x 1 = a. Применяя эту формулу четыре раза, получаем Билеты 3 4. Решения Билет 3. Даны квадратные трёхчлены f (x) = x 2 2ax + 3, f 2 (x) = x 2 + x + b, f 3 (x) = 3x 2 + ( 4a)x + 6 + b и f 4 (x) = 3x 2 + (2 2a)x + 3 + 2b. Пусть разности их корней равны соответственно

Подробнее

Исследование тригонометрических функций

Исследование тригонометрических функций И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Исследование тригонометрических функций Напомним, что функция fx называется периодической, если существует такое число T 0, что для любого x из области определения

Подробнее

3. Представьте в виде степени с рациональным показателем. Ответ: 5. Найдите сумму корней квадратного трехчлена. Ответ:

3. Представьте в виде степени с рациональным показателем. Ответ: 5. Найдите сумму корней квадратного трехчлена. Ответ: Контрольные работы по алгебре в 9 классах за І полугодие, для тех, кто обучается по учебнику авторов: Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова. Предлагаются задания в 20 вариантах. Каждый вариант

Подробнее

2) Найти повторяющиеся значения: x, выражение в скобках или даже два выражения в скобках. 3) Вынести повторяющееся значение за скобку

2) Найти повторяющиеся значения: x, выражение в скобках или даже два выражения в скобках. 3) Вынести повторяющееся значение за скобку УРАВНЕНИЯ При решении уравнений обычно нужно: 1) Перенести все значения в левую часть уравнения 2) Найти повторяющиеся значения: x, выражение в скобках или даже два выражения в скобках Корни квадратного

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Уравнения и неравенства с модулем. Графики функций

МАТЕМАТИКА. Уравнения и неравенства с модулем. Графики функций Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Уравнения и неравенства с модулем.

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Минимаксные задачи. 2 cos x + 1 = 3.

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Минимаксные задачи. 2 cos x + 1 = 3. И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Минимаксные задачи Начнём с примера. Пусть требуется решить уравнение 3 x +1 = cos x + 1. 1) Одновременное присутствие показательной и тригонометрической

Подробнее

квадрат обеих частей уравнения и последующей проверкой. Задача 1 (ИМБО, 2004) Решить уравнение

квадрат обеих частей уравнения и последующей проверкой. Задача 1 (ИМБО, 2004) Решить уравнение Основные методы решения смешанных уравнений Преподаватели математики: Белов А.И. Фадеичева Т.П.. Стандартные методы В вариантах ЕГЭ довольно часто встречаются стандартные иррациональные уравнения f g,

Подробнее

Национальный фонд подготовки кадров (НФПК) Проект «Информатизация системы образования» (ИСО)

Национальный фонд подготовки кадров (НФПК) Проект «Информатизация системы образования» (ИСО) Национальный фонд подготовки кадров (НФПК) Проект «Информатизация системы образования» (ИСО) Конкурс на разработку информационных источников сложной структуры (ИИСС) Методика работы с ИИСС «Среда верификации

Подробнее

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ"

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ" В. В. Гарбарук, В. И. Родин, И. М. Соловьева, М. А. Шварц МАТЕМАТИКА

Подробнее