Задание С5 единого ГЭ 2005 года.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Задание С5 единого ГЭ 2005 года."

Транскрипт

1 Даны два уравнения: Задание С5 единого ГЭ 2005 года. 2 (6p 70)x + 5p 42 = p 1 4x и (1 + 2 p 11 p 15 ) x = 28 3x. Значение параметра p 15 выбирается так, что при умножении числа различных корней первого уравнения на число различных корней второго уравнения получается число 0,25(p 7). Решите второе уравнение при каждом значении параметра, выбранном таким образом. Решение. При первом прочтении этого задания возникает желание его не решать. Сдержав эмоции, прочитаем ещё раз, пытаясь понять, что нужно делать и куда стремиться. Сначала следует понять, сколько решений может иметь каждое из уравнений. Первое уравнение есть обычное иррациональное уравнение, сводящееся к квадратному. Поэтому оно может иметь два, один или ни одного корня. Со вторым уравнением сложнее. Оно трансцендентное. Общих методов решения таких уравнений нет. Однако, если проанализировать данное уравнение, станет ясно, что оно имеет, причём единственный, корень. Действительно, если посмотреть на функцию ) y = (1 + 2 p 11 x p 15, то нетрудно заметить, что основание показательной функции больше единицы. Поэтому эта функция возрастает на множестве всех вещественных (действительных) чисел. Функция y = 28 3x убывает на множестве всех вещественных (действительных) чисел. У графиков таких функций или нет, или одна точка пересечения. Нарисовав, даже не очень аккуратно, убеждаемся, что имеется одна точка пересечения. Поэтому второе уравнение имеет ровно одно решение. Тогда число 0,25(p 7) может равняться либо нулю (когда первое уравнение не имеет решений), одному (когда первое уравнение имеет одно решение) или двум (когда первое уравнение имеет два решения). Рассмотрим эти три случая. 0). Если первое уравнение не имеет корней, то по условию 0,25(p 7) = 0. После не очень длинных преобразований приходим к тому, что p = 7. Подстановка этого значения во второе уравнение приводит к виду ( 1 + 2) x = 28 3x. Глядя на это уравнение, становится грустно. Оно имеет один корень, как мы выяснили выше. Найти его можно приближённо (если интересно, то x 3, ), например, графически. А нам нужно иметь точное значение. Что-то здесь не так. Посмотрим на первое уравнение. Оно принимает вид 2 28x 7 = 6 4x 28x 7 = 3 2x. 1

2 Стандартным образом решая, получаем, что это уравнение равносильно системе { 28x 7 = (3 2x) 2, 3 2x 0. Первое уравнение системы после преобразований принимает следующий вид: 28x 7 = 4x 2 12x + 9 4x x + 16 = 0. Последнее уравнение имеет единственный корень x = 2. Подстановкой убеждаемся, что он удовлетворяет неравенству системы. Таким образом, первое уравнение задания при p = 7 имеет один корень. Но это противоречит выбору числа p. 1). Если 0,25(p 7) = 1, то p = 11. В этом случае уравнения задания принимают вид 2 4x + 13 = 10 4x и 2 x = 28 3x. Пока не ясно, сколько корней у первого уравнения. Опять стандартным путём имеем, что оно равносильно системе { 4x + 13 = (5 2x) 2, 5 2x 0. Первое уравнение имеет корни x 1 = 1, x 2 = 3. Первый из этих корней удовлетворяет неравенству системы, а второй нет. Значит, система имеет единственное решение. Тогда и первое уравнение имеет столько же корней. Всё в этом случае получается, как требуется по условию для выбора параметра. Осталось найти корни второго уравнения. Более точное построение графиков даёт нам информацию о том, что корень уравнения близок к четырём. 2

3 Подстановка числа 4 в уравнение приводит нас в полный восторг. Это корень! Других корней нет. Всё! 2). Если 0,25(p 7) = 2, то p = 15. А этот случай исключён из рассмотрения по условию. Ответ: 4. Задание С3 единого ГЭ 2008 года. Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство a (3 sin x 1 1) (3 x x 4) a 0 не имеет решений. Я приведу два решения, одно алгебраическое, другое геометрическое. На мой взгляд нужно знать оба способа и уметь их использовать. Ведь нет универсальных методов решения, универсальна лишь скорбь. Конечно, при составлении заданий с параметром очень часто авторами используются геометрические соображения. Это неплохо помнить (правда почему-то всё время забывается (и я грешен)) и использовать при решении этих заданий. Алгебраическое решение. Можно использовать тот факт, что область значений функции y = 3 sin x 1 1 при x 1 занимает целиком интервал [ 4; 2]. Тогда числитель дроби положителен при a > 2, отрицателен при a < 4. Заметим, что при 4 a 2 числитель обращается в ноль в бесконечном числе точек, уходящих в бесконечность. Теперь посмотрим на знаменатель. После замены t = 3 x он примет вид t 2 (4 + a)t t при t 3. При больших t он обязательно примет положительные значения по свойствам квадратного трёхчлена. Поэтому при больших t и при a < 4 дробь, стоящая слева в исходном неравенстве, будет отрицательна. Это значит, что у неравенства найдутся решения. Поэтому эти значения параметра не будем помещать в ответ ни за какие коврижки. При 4 a 2 числитель обращается в ноль в некоторых точках. Этих точек бесконечно много. Знаменатель обращается в ноль самое большее в двух точках. Поэтому при этих значениях параметра неравенство имеет решения. Таким образом, в ответе пока ничего нет. Осталось рассмотреть случай a > 2. Вспомним, что при этих значениях параметра числитель исходного неравенства положителен. Неравенство не будет иметь решений, если знаменатель неотрицателен. Это будет, если t 2 (4 + a)t при t 3. Конечно, нужно рассмотреть, когда дискриминант неположителен: D = (4 + a) a 2 + 8a Последнее неравенство решит любой, умеющий его решать. Корни квадратного трёхчлена a 1,2 = 4 ±

4 дают решение неравенства a Кроме того, нужно рассмотреть случай, когда вершина параболы, являющейся графиком квадратного трёхчлена t 2 (4 + a)t находится левее (неверно! нужно не правее!) точки t = 3 и правая ветвь параболы не проходит ниже точки (3; 0). Абсцисса вершины параболы равна (4 + a)/2. Тогда (4 + a)/2 3. Отсюда a 2, а мы рассматриваем случай a > 2. Поэтому такой вариант не реализуется. Остаётся a и a > 2. В ответ идёт 2 < a Заметим, что при решении мы не использовали элементов математического анализа. Думаю, что министр образования А. Фурсенко был бы рад этому. Ведь в школе, как он сказал при встрече с ректором МГУ, не нужна высшая математика. Геометрическое решение. Запишем неравенство в виде a (3 sin x 1 1) (3 x x 4) a 0 f(x) a g(x) a 0, где f(x) = 3 sin x 1 1, g(x) = 3 x x 4. График функции y = f(x) a получается сдвигом по вертикали на a графика функции y = f(x) (вверх-вниз в зависимости от знака), график функции y = g(x) a получается сдвигом по вертикали графика функции y = g(x) на столько же и в том же направлении. Таким образом, графики смещаются как одно целое. Корней у неравенства нет тогда, когда графики для каждого x располагаются по разные стороны от оси абсцисс, при этом знаменатель может обращаться в ноль. Таким образом, нужно построить графики функций. Непростое дело. Функция f(x) получается, если вместо аргумента в функцию sin x 1 подставить x 1. Последняя функция является возрастающей на всей области определения. Значит, после подстановки интервалы возрастания и убывания не исчезнут, а лишь преобразуются так, как указывает функция x 1. Получим вот что: 4

5 Самое главное в том, что область значений совпадает с [ 4; 2]. Построить график другой функции тоже непросто. Но, если положить t = 3 x, то всё сводится к построению графика функции y = t t 1 4 при t 3. Такой график уже построить нетрудно, проводя стандартное исследование с помощью производной. Получим, где наименьшее значение функции y = t+3 10t 1 4 равно при некотором t > 3 (его легко найти, но мне уже лень). Так как t = 3 x является возрастающей функцией, то g(x) будет иметь такое же наименьшее значение. Теперь видим, первый график располагается ниже второго. Двигая синхронно вверх-вниз видим, что графики будут располагаться по разные стороны от оси абсцисс при 2 < a < , а при a = функция знаменателя неотрицательна. Получаем тот же ответ. P.S. Решение неравенства a g(x) f(x) a 0, предложенное автором задания для эксп ертов, предполагает, что g(x) < f(x) для всех аргументов из общей части областей определения. Это неравенство справедливо в данном случае. Но когда-нибудь тот же автор придумает новый пример с параметром, где это неравенство не имеет места. Например, если нужно найти все значения параметра a, при которых неравенство a tg(x) a sin(2x) > 0 не имеет корней, мы сразу заметим, что область значений тангенса совпадает с множеством всех действительных (вещественных) чисел. Правда решение этой задачи очевидно. Можно придумать и более сложное задание. Например, функции заданы следующими равенствами 2 x 5, x 0; 1 u(x) =, 0 < x < 2; sin πx 2 3 log 1/2 x, x 2; 5

6 3 x, x < 0; v(x) = x 2 2x 2, 0 x 2; x + 2, x > 2. Выясним, при каких значениях параметра a неравенство v(x) a u(x) a 0, не имеет решений. Функция y = u(x) имеет сколь угодно большие по модулю значения, положительные и отрицательные, поэтому не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значения. Функция y = v(x) хоть и имеет наименьшее значение, равное 3 при x = 1, но для этих функций не выполняется неравенство, необходимое для применения метода, предложенного автором задания. Здесь на помощь и приходит графический способ решения. Построим графики функций. Здесь это совсем не сложно. Красным цветом нарисуем график функции y = u(x), зелёным график функции y = v(x): Графики синхронно перемещаются вверх-вниз изменением параметра a. Разные знаки будут при 2 < a < 1. Кроме того, знаменатель обращается в ноль при a = 1 в точке x = 1, а при остальных аргументах знаки у функций разные. Таким образом, записываем 2 < a 1. Да нет, скажете вы. Нужно быть более внимательным. При таких a решениями неравенства будут x = 0 и x = 2. Действительно, значения обеих функций (даже сдвинутых на a) в этих точках отрицательны. Таким образом, этот ответ неверен. А верно то, что при любом a неравенство имеет хотя бы одно решение. 6

7 Если для этой же задачи рассмотреть следующие функции: 2 x 5, x 0; 1 u(x) =, 0 < x < 2; sin πx 2 3 log 1/2 x, x 2; то получим следующие графики: 3 x, x 0; v(x) = x 2 2x 2, 0 < x < 2; x + 2, x 2, Теперь уже легко видим, что для этих функций в ответ нужно записать 2 a 1. P.S. Я отдаю себе отчёт, что моё решение не удовлетворяет всем требованиям экзаменационной ЕГЭ комиссии. Конечно, сообщение о том, что такое решение заслуживает максимум один балл, огорашивает. Но мне хотелось показать рождение решения задачи. Во время обсуждения я понял, что от меня также требуется показать как оформлять решение. А я это не очень умею и не хочу уметь. Прошу меня извинить. В заключение хочется пожелать всем слушателям, кроме здоровья, ещё и отклика в головах школьников. Ведь возникновение, движение и развитие мысли в их мозгах то единственное, что интересно в преподавании математики. Кряквин В.Д. Адрес моей страницы, где могут появляться новые материалы 7

Тема 41 «Задания с параметром»

Тема 41 «Задания с параметром» Тема 41 «Задания с параметром» Основные формулировки заданий с параметром: 1) Найти все значения параметра, при каждом из которых выполняется определенное условие. ) Решить уравнение или неравенство с

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

4. Решение и исследование квадратных уравнений

4. Решение и исследование квадратных уравнений КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Подробнее

Ребята, мы с вами изучили линейные и квадратные неравенства, научились решать задачи на эти темы. Теперь давайте перейдем к новому понятию в

Ребята, мы с вами изучили линейные и квадратные неравенства, научились решать задачи на эти темы. Теперь давайте перейдем к новому понятию в Ребята, мы с вами изучили линейные и квадратные неравенства, научились решать задачи на эти темы. Теперь давайте перейдем к новому понятию в математике система неравенств. Система неравенств похожа на

Подробнее

Симметрия в задачах с параметрами

Симметрия в задачах с параметрами И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Симметрия в задачах с параметрами Симметрия одно из ключевых понятий математики и физики. Вы знакомы с геометрической симметрией фигур и вообще различных

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН Учебно-методическое пособие

Подробнее

Знаки линейной функции

Знаки линейной функции И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Метод интервалов Метод интервалов это метод решения так называемых рациональных неравенств. Общее понятие рационального неравенства мы обсудим позже, а сейчас

Подробнее

Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Логарифмические уравнения и неравенства Логарифмические уравнения и неравенства это уравнения и неравенства, в которых переменная величина находится под знаком

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Кандидат физико-математических наук, доцент С. С. САМАРОВА РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ Учебно-методическое

Подробнее

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 1

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 1 Мы приступаем к изучению уравнений вида ax + bx + c = 0. (1) Если a 0, то уравнение (1) является квадратным.

Подробнее

1.1 Определение и основные свойства функций

1.1 Определение и основные свойства функций 1 Функции и графики 1.1 Определение и основные свойства функций Определение 1.1 Будем говорить, что задана однозначная функция y = f() в данной области изменения переменной X = {}, если каждому значению

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Иррациональные уравнения и неравенства Мы называем уравнение или неравенство иррациональным, если оно содержит переменную под радикалами, то есть под знаками

Подробнее

Неравенства с параметром на едином государственном экзамене В.В. Сильвестров

Неравенства с параметром на едином государственном экзамене В.В. Сильвестров Неравенства с параметром на едином государственном экзамене ВВ Сильвестров Задания единого государственного экзамена (ЕГЭ) непременно содержат задачи с параметрами Планом экзаменационной работы 008 года

Подробнее

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6).

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6). 3.. Методы решения рациональных неравенств 3..1. Числовые неравенства Сначала определим, что мы понимаем под утверждением a > b. Определение 3..1. Число a больше числа b, если разность между ними положительна.

Подробнее

Параметры и квадратный трёхчлен. 1

Параметры и квадратный трёхчлен. 1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Параметры и квадратный трёхчлен. 1 Мы начинаем с рассмотрения уравнений вида ax + bx + c = 0. 1 Если a 0, то уравнение 1 является квадратным. Не забываем,

Подробнее

Уравнения и неравенства с модулем

Уравнения и неравенства с модулем И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Уравнения и неравенства с модулем В данной статье мы рассмотрим алгебраические уравнения и неравенства с модулем и изучим основные приёмы избавления от модуля

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Показательные уравнения и неравенства Показательные уравнения и неравенства это уравнения и неравенства, в которых переменная величина входит в аргумент

Подробнее

Экзаменационный билет 2

Экзаменационный билет 2 Экзаменационный билет 1 1. Преобразование обычных дробей в десятичные и наоборот. Действия с дробями. 2. Определение функции. Способы задания, область определения, область значений функции. 2 x 1 x x 1

Подробнее

71 Тригонометрические уравнения и неравенства

71 Тригонометрические уравнения и неравенства 7 Тригонометрические уравнения и неравенства Комментарий Устойчивым является заблуждение абитуриентов о том что при решении тригонометрических уравнений не нужна проверка Это так далеко не всегда При решении

Подробнее

Решение квадратных неравенств графическим способом.

Решение квадратных неравенств графическим способом. Учитель математики Семёнова Елена Юрьевна МБОУ СОШ 5-«Школа здоровья и развития» градужный Решение квадратных неравенств графическим способом Пример 1 х 4х 5 1 Рассмотрим функцию у х 4х 5 графиком которой

Подробнее

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П.КОРОЛЕВА

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 3

Иррациональные уравнения и неравенства 3 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление 4 Метод исключения радикалов в иррациональном уравнении умножением на сопряженный множитель Задание 7 4 5 Выделение полного квадрата (квадрата двучлена)

Подробнее

Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач.

Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач. Московский физико-технический институт Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач. Методическое пособие по подготовке к олимпиадам.

Подробнее

Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем».

Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем». Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем». Модуль действительного числа это абсолютная величина этого числа. Проще говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак. Обозначается a. Например,

Подробнее

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5)

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5) Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ (типовые задания С5) Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Корянов АГ, г Брянск,

Подробнее

Область определения левой части этих формул может быть шире области определения

Область определения левой части этих формул может быть шире области определения 7 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Комментарий При решении логарифмических уравнений также как в случае иррациональных уравнений возможно появление посторонних корней Причина их появления

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции»

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции» МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5) Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений МАТЕМАТИКА ЕГЭ (типовые задания С5) Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Корянов А Г, г Брянск, korynov@milru

Подробнее

Применение производной для решения сложных задач вступительных экзаменов в МГУ

Применение производной для решения сложных задач вступительных экзаменов в МГУ Применение производной для решения сложных задач вступительных экзаменов в МГУ Г.И. Фалин д.ф.м.н., профессор кафедра теории вероятностей механико-математический факультет МГУ им.м.в.ломоносова А.И. Фалин

Подробнее

Исследование тригонометрических функций

Исследование тригонометрических функций И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Исследование тригонометрических функций Напомним, что функция fx) называется периодической, если существует такое число T 0, что для любого x из области определения

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

Тригонометрические уравнения. 2

Тригонометрические уравнения. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические уравнения. В статье «Тригонометрические уравнения. 1» мы рассмотрели стандартные методы решения весьма простых тригонометрических уравнений.

Подробнее

5 Построение графиков функций y = f (x) + b и y = f (x + a)

5 Построение графиков функций y = f (x) + b и y = f (x + a) 4.6. Постройте график функции: ) = []; ) = { }. 4.7. Постройте график функции: ) = ; ) = {}. Упражнения для повторения 4.8. Решите уравнение 3 = 3. 4.9. Постройте график уравнения + =. + 4.. Упростите

Подробнее

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений Различные подходы к решению задач С С С5 ЕГЭ 9- года Подготовка к ЕГЭ (материал для лекции для учителей ) Прокофьев АА aaprokof@yaderu Задачи С Пример (ЕГЭ С) Решите систему уравнений y si ( si )(7 y )

Подробнее

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение. План решения задач с параметром графическим методом

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение. План решения задач с параметром графическим методом Задачи с параметром (графический прием решения) Введение Применение графиков при исследовании задач с параметрами необычайно эффективно. В зависимости от способа их применения выделяют два основных подхода.

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Решение задач с параметрами. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Решение задач с параметрами. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Решение задач с параметрами (01 015

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения. Кафедра Математики и математических методов в экономике. Направление подготовки 05000

Подробнее

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН... Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена

Подробнее

Уравнения и неравенства с модулем

Уравнения и неравенства с модулем И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Статья написана в соавторстве с А Г Малковой Уравнения и неравенства с модулем Данная статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих

Подробнее

1 Корни и их количество

1 Корни и их количество 1 Функции, их графики и связанные с ними доказательства Оглавление 1 Корни и их количество...1 1.1 Корни уравнения...1 1.1.a Корни уравнения...1 1. Число корней... 1. Число корней... 1.4 Функциональное

Подробнее

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом 9 Математика. 9 класс Вариант - Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом x y= 8 Решите систему уравнений x y + =. x = Ответ: ( ; 6); другие возможные формы ответа: ; х =, у = 6. y = 6 Решение.

Подробнее

Первые шаги в решении уравнений и неравенств с параметром

Первые шаги в решении уравнений и неравенств с параметром КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ. Н.И.ЛОБАЧЕВСКОГО Кафедра теории и технологий преподавания математики и информатики Фалилеева М.В. Первые шаги в решении уравнений и

Подробнее

Методы решения задач с параметром

Методы решения задач с параметром Научно-исследовательская работа «Старт в науке» Тема работы: Методы решения задач с параметром Выполнил: Власов Никита Денисович учащийся 11 класса МБОУ «СОШ 5 с углубленным изучением отдельных предметов»

Подробнее

УДК 51(075.8) ББК 22.1 ISBN

УДК 51(075.8) ББК 22.1 ISBN Министерство образования Республики Беларусь УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ» Ю.Ю. Гнездовский, В. Н. Горбузов, П.Ф. Проневич ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ

Подробнее

Ускользающая парабола

Ускользающая парабола Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Ускользающая парабола или задачи, сводящиеся к квадратичным Учебно-методическое пособие Ханты-Мансийск 4 В.П. Чуваков Ускользающая парабола или задачи,

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» К. Л. САМАРОВ, С.С. САМАРОВА ТРИГОНОМЕТРИЯ В ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Учебно-методическое пособие для подготовки

Подробнее

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число АРИФМЕТИКА Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. Порядок действий ) Если нет скобок, то сначала выполняются действия -й степени (возведение в натуральную степень), затем -й степени (умножение

Подробнее

2015 года (профильный уровень).

2015 года (профильный уровень). Разбор заданий демонстрационного варианта ЕГЭ по математике 2015 года (профильный уровень). Обсуждаются некоторые задания из той части варианта, которая предполагает развернутое решение задач, проверяемое

Подробнее

Исследование тригонометрических функций

Исследование тригонометрических функций И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Исследование тригонометрических функций Напомним, что функция fx называется периодической, если существует такое число T 0, что для любого x из области определения

Подробнее

Уравнение при условиях и имеет при, решение. Ответ: при решений нет, при ;

Уравнение при условиях и имеет при, решение. Ответ: при решений нет, при ; C5 При каждом значении а решите систему Пары дающие решение системы, должны удовлетворять условиям Из второго уравнения системы находим Осталось заметить, что тогда Уравнение при условиях и имеет при,

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

1. Найдите число решений системы. 2. Найдите число решений системы. 3. Найдите число решений системы. 4. Найдите число решений системы

1. Найдите число решений системы. 2. Найдите число решений системы. 3. Найдите число решений системы. 4. Найдите число решений системы 1 Количество решений системы уравнений Графический динамический метод Для нахождения количества решений системы уравнений, содержащих параметр, полезен следующий приём Строим графики каждого из уравнений

Подробнее

Задания для самостоятельного решения. 5. Напишите уравнение касательной к графику функции f ( x) x 3 1в точках с абсциссами x 0 =-1 и x 0 =2

Задания для самостоятельного решения. 5. Напишите уравнение касательной к графику функции f ( x) x 3 1в точках с абсциссами x 0 =-1 и x 0 =2 Задания для самостоятельного решения. Найдите область определения функции 6x. Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проходящей через точку М (;) графика функции. Найдите тангенс угла

Подробнее

Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями

Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями Сайт автора Его блог Рассылка I. Задачи Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями I.1. Решите уравнение 3 m + 4 n = 5 k в натуральных числах. [Ответ] [Решение] I.2. При каких значениях х оба числа и целые?

Подробнее

Вопросы по теории для экзамена по алгебре 8 класс профиль

Вопросы по теории для экзамена по алгебре 8 класс профиль Вопросы по теории для экзамена по алгебре 8 класс профиль. Многочлен, определение. Деление многочлена с остатком. Теорема Безу.. Иррациональные числа. Доказательство существования иррационального числа.

Подробнее

УВК школа-лицей 2. Уравнение с модулем. Творческая работа по алгебре Работу выполнила: ученица 8-Б класса Воропай Милена

УВК школа-лицей 2. Уравнение с модулем. Творческая работа по алгебре Работу выполнила: ученица 8-Б класса Воропай Милена УВК школа-лицей 2 Уравнение с модулем Творческая работа по алгебре Работу выполнила: ученица 8-Б класса Воропай Милена Армянск 2012 с Глава I Тема: Решение уравнений, содержащие модуль Цель работы: показать

Подробнее

Содержание курса Алгебраические дроби

Содержание курса Алгебраические дроби ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Данная рабочая программа по алгебре для 8 класса составлена в соответствии с федеральным компонентом государственного образовательного стандарта основного общего образования и на

Подробнее

Задачи с параметром в ЕГЭ

Задачи с параметром в ЕГЭ Л.А. Штраус, И.В. Баринова Задачи с параметром в ЕГЭ Методические рекомендации y=-x 0 -a- -a х -5 Ульяновск 05 Штраус Л.А. Задачи с параметром в ЕГЭ [Текст]: методические рекомендации / Л.А. Штраус, И.В.

Подробнее

Национальный фонд подготовки кадров (НФПК) Проект «Информатизация системы образования» (ИСО)

Национальный фонд подготовки кадров (НФПК) Проект «Информатизация системы образования» (ИСО) Национальный фонд подготовки кадров (НФПК) Проект «Информатизация системы образования» (ИСО) Конкурс на разработку информационных источников сложной структуры (ИИСС) Методика работы с ИИСС «Среда верификации

Подробнее

Логарифмическим уравнением, называется уравнение вот такого вида:

Логарифмическим уравнением, называется уравнение вот такого вида: Ребята, мы продолжаем изучать большую тему логарифмов, сегодня мы с вами посмотрим, как решать различные уравнения, в которых есть логарифмы. Логарифмическим уравнением, называется уравнение вот такого

Подробнее

Тема 1. Действительные числа и действия над ними

Тема 1. Действительные числа и действия над ними Тема 1 Действительные числа и действия над ними 4 часа 11 Развитие понятия о числе 1 Первоначально под числами понимали лишь натуральные числа, которых достаточно для счета отдельных предметов Множество

Подробнее

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Действия с дробями: Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Домашнее задание. «Преобразования степенны и иррациональны выражений. Вычисление значений числовы выражений» Формулы

Подробнее

Уравнения с модулем задачи типа заданий С 5

Уравнения с модулем задачи типа заданий С 5 Общие сведения Задачи с параметрами Уравнения с модулем задачи типа заданий С 5 1 Подготовка к ЕГЭ Дихтярь М.Б. 1. Абсолютной величиной, или модулём числа х, называется само число х, если х 0; число x,

Подробнее

Доклад по теме: Решение задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике

Доклад по теме: Решение задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике Доклад по теме: задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике Выполнила Яценко Ирина Алексеевна Учитель математики МОУ СОШ 16 г. Щелково Щелково 2011 г. Содержание Знакомство с параметрами...

Подробнее

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними Глава 8 Функции и графики Переменные и зависимости между ними. Две величины и называются прямо пропорциональными, если их отношение постоянно, т. е. если =, где постоянное число, не меняющееся с изменением

Подробнее

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ"

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ" В. В. Гарбарук, В. И. Родин, И. М. Соловьева, М. А. Шварц МАТЕМАТИКА

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Минимаксные задачи. 2 cos x + 1 = 3.

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Минимаксные задачи. 2 cos x + 1 = 3. И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Минимаксные задачи Начнём с примера. Пусть требуется решить уравнение 3 x +1 = cos x + 1. 1) Одновременное присутствие показательной и тригонометрической

Подробнее

( 3) log 3 ( 125) = ( 5 3 ) = x=53. = log 5 = 3

( 3) log 3 ( 125) = ( 5 3 ) = x=53. = log 5 = 3 Решение некоторых заданий одного из вариантов досрочного экзамена ЭГЭ по математике в 2012 году, полученное с помощью программы UMS B5 x+28 =9 Отметим ОДЗ. x+28 0 x+28 =9 Воспользуемся свойством радикалов.

Подробнее

Параметры. Линейные уравнения и неравенства

Параметры. Линейные уравнения и неравенства И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Параметры. Линейные уравнения и неравенства Среди всего многообразия задач с параметрами наиболее простыми являются линейные уравнения и неравенства. Поэтому

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратный трёхчлен. Иррациональные

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Квадратные уравнения 1 Неполные квадратные уравнения............................ 1 2 Выделение полного квадрата...............................

Подробнее

3. Представьте в виде степени с рациональным показателем. Ответ: 5. Найдите сумму корней квадратного трехчлена. Ответ:

3. Представьте в виде степени с рациональным показателем. Ответ: 5. Найдите сумму корней квадратного трехчлена. Ответ: Контрольные работы по алгебре в 9 классах за І полугодие, для тех, кто обучается по учебнику авторов: Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова. Предлагаются задания в 20 вариантах. Каждый вариант

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Методическое пособие по математике для студентов 1-2 курсов по теме «Степенная, показательная и логарифмическая функции»

Методическое пособие по математике для студентов 1-2 курсов по теме «Степенная, показательная и логарифмическая функции» КОМИТЕТ ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ЛЕНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ЛЕНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ «ВОЛХОВСКИЙ АЛЮМИНИЕВЫЙ КОЛЛЕДЖ» Методическое

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Алгебраические уравнения и неравенства. Задание 1 для 10-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Алгебраические уравнения и неравенства. Задание 1 для 10-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Задание 1 для 10-х классов (014 015

Подробнее

Теоретический материал.

Теоретический материал. 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Показательные уравнения. Методы решения. Дубова Мария Игоревна

Показательные уравнения. Методы решения. Дубова Мария Игоревна Показательные уравнения. Методы решения. Дубова Мария Игоревна 7 78-57 Показательным называется уравнение, содержащее переменную только в показателе степени. Рассмотрим несколько типов показательных уравнений,

Подробнее

Обобщённый метод интервалов при решении неравенств

Обобщённый метод интервалов при решении неравенств Обобщённый метод интервалов при решении неравенств. Метод интервалов для целых неравенств Преподаватели ГОУ СОШ 5 Белов А.И. Фадеичева Т.П. При решении многих задач, в том числе и задач Единого Государственного

Подробнее

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 2

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. Данная статья посвящена вопросам расположения корней квадратного трёхчлена в зависимости от параметра.

Подробнее

г. Классная работа.

г. Классная работа. 5.0. 014 г. Классная работа. Уравнения и системы уравнений с параметрами. Опыт вступительных экзаменов в вузы показывает, что решение уравнений и неравенств, содержащих параметры, вызывает большие затруднения

Подробнее

А. И. Козко В. Г. Чирский. Задачи с параметром и другие сложные задачи

А. И. Козко В. Г. Чирский. Задачи с параметром и другие сложные задачи А. И. Козко В. Г. Чирский Задачи с параметром и другие сложные задачи Москва Издательство МЦНМО 2007 УДК 512 ББК 22.141 К59 К59 Козко А. И., Чирский В. Г. Задачи с параметром и другие сложные задачи. М.:

Подробнее

Мусин Хасан Эльдарович, учитель математики Школа «Ретро». Персональная карточка Найдите длину промежутка возрастания убывания функции:

Мусин Хасан Эльдарович, учитель математики Школа «Ретро». Персональная карточка Найдите длину промежутка возрастания убывания функции: Урок обобщающего повторения по теме "Производная. Геометрический смысл производной. Задачи с использованием графика производной" (11-й класс, 2 часа) Мусин Хасан Эльдарович, учитель математики Школа «Ретро».

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Подготовка к ЕГЭ по математике

Подготовка к ЕГЭ по математике 2014 Подготовка к ЕГЭ по математике Теория для решения задач В15 Александр и Наталья Крутицких www.matematikalegko.ru 01.01.2014 А.С. Крутицких и Н.С. Крутицких. Подготовка к ЕГЭ по математике. http://matematikalegko.ru

Подробнее

Календарно тематическое планирование по алгебре 8 класс. За год 136 часов, в неделю 4 часа. КПУ (коды проверяемых умений)

Календарно тематическое планирование по алгебре 8 класс. За год 136 часов, в неделю 4 часа. КПУ (коды проверяемых умений) п/п Тема урока 1 Числовые выражения. Проценты. Дата 8А 8Б КЭС (Код элемента содержания) 1.3.6 1.5.4 Элемент содержания Числовые выражения, порядок действий в них, использование скобок. Законы арифметических

Подробнее

1 Степень с целым показателем

1 Степень с целым показателем Глава 9 Степени Степень с целым показателем. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0 ; > >.. >. Если четно, то ( ) < ( ). Например, ( ) 0 = 0 < 0 = = ( ) 0. Если нечетно, то ( ) > ( ). Например, ( ) = > = = ( ), так

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств

МАТЕМАТИКА. Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный университет им. А.М. Горького Специализированный учебно-научный центр.

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный университет им. А.М. Горького Специализированный учебно-научный центр. Федеральное агентство по образованию Уральский государственный университет им. А.М. Горького Специализированный учебно-научный центр Математика Алгебра Задания 1 4 для заочного класса (2005 2006 учебный

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 2

Иррациональные уравнения и неравенства 2 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление Иррациональные уравнения Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень Задание Задание Задание Замена иррационального уравнения смешанной

Подробнее

ПРИМЕРНЫЕ ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ, СВЯЗАННЫХ С ЕГЭ

ПРИМЕРНЫЕ ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ, СВЯЗАННЫХ С ЕГЭ 7 г Труды ФОРА ПРИМЕРНЫЕ ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ, СВЯЗАННЫХ С ЕГЭ КС Мамий Адыгейский государственный университет, г Майкоп В работе излагаются примерные образцы решения ряда алгебраически

Подробнее

В зависимости от значений параметра k решить уравнение. lg(x + 1) = 2 (1) x + 1 > 0, Тогда исходное уравнение равносильно следующему:

В зависимости от значений параметра k решить уравнение. lg(x + 1) = 2 (1) x + 1 > 0, Тогда исходное уравнение равносильно следующему: В зависимости от значений параметра k решить уравнение lg(kx) lg(x + 1) = (1) О.Д.З.: kx > 0, x + 1 > 0, x + 1 1. Тогда исходное уравнение равносильно следующему: lg(kx) = lg(x + 1) kx = (x + 1) Определим

Подробнее

Параметры и квадратный трёхчлен. 2

Параметры и квадратный трёхчлен. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Параметры и квадратный трёхчлен. 2 Данная статья посвящена вопросам расположения корней квадратного трёхчлена в зависимости от параметра. Вычисление корней

Подробнее

А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru. Степенная функция

А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru. Степенная функция А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru Степенная функция Степенн ыми называют функции вида x α, где α может быть целым, дробным, положительным или отрицательным. К

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-10 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ Учебно-методическое

Подробнее

Математика. Собрание заданий (14 апреля 2013).

Математика. Собрание заданий (14 апреля 2013). Математика. Собрание заданий (14 апреля 01). Задачи с параметром-. Задача 1. При каких значениях параметра aсуществует единственное решение уравнения 4 + 1 = + a ax x x x a Задача. Найти все действительные

Подробнее

Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА

Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА 8 Экспериментальный учебник Часть МОСКВА 06 Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА 8 Экспериментальный

Подробнее