Математика 8 класс Многочлены

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Математика 8 класс Многочлены"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск

2 Многочлены Рациональными называются выражения, составленные из чисел и переменных с помощью знаков арифметических действий (сложения, вычитания, умножения, деления) Рациональное выражение называется целым, если оно не содержит деления на выражение с переменными Примерами целых рациональных выражений являются одночлены и многочлены Одночленами называют числа, произведения чисел, произведения чисел и натуральных степеней переменных Для приведения одночлена к стандартному виду перемножают все входящие в одночлен числовые множители, а произведения одинаковых переменных заменяют степенью этой переменной Числовой множитель называют коэффициентом одночлена, а сумму показателей степеней переменных степенью одночлена Многочленом называют алгебраическую сумму одночленов Говорят, что многочлен приведен к стандартному виду, если каждый его член является одночленом стандартного вида и приведены все подобные члены Степенью многочлена называют наибольшую из степеней одночленов, составляющих многочлен после приведения его к стандартному виду Например, стандартным видом многочлена y y является многочлен y, его степень равна Сумма разность и произведение многочленов так же являются многочленами Основной задачей теории многочленов является разложение многочлена на множители Преобразование многочлена в произведение двух или нескольких многочленов (среди которых могут быть и одночлены) называется разложением многочлена на множители

3 Задача разложения на множители считается решенной до конца, если ни один из сомножителей, полученных в результате преобразования, не допускает дальнейшего разложения Способы разложения многочлена на множители Вынесение общего множителя за скобки Использование формул сокращенного умножения Способ группировки Комбинирование методов разложения на множители Рассмотрим подробно каждый из этих способов Вынесение общего множителя за скобки(вом) Этот способ заключается в том, что каждый член многочлена представляют в виде произведения, в котором один из множителей является общим(одинаковым для всех одночленов) Именно его и выносят за скобки на основе распределительного закона умножения: c bc c( b) Приведем примеры Задача Разложить на множители: 5 а) b c 5 b c 5 bc ; б) ( y ) ( y ) ( y ) ( y ) ( y ) ( y) ( y ) ( y ) Решение 5 а) b c 5 b c 5 bc 5 bc (b c 9b c) ; б) Нетрудно заметить, что все произведения, входящие в сумму, содержат общий множитель ( y ) Вынесем этот общий двучлен и выполним преобразования: ( y ) ( y ) ( y ) ( y ) ( y ) ( y) ( y ) ( y ) ( y )(( y ) ( y ) ( y ) ( y )) ( y )( y y y y ) ( y ) ( y ) Ответ: а) 5 bc (b c 9b c) ; б) ( y )

4 Вынесение общего множителя за скобки зачастую облегчает поиск рационального способа решения многих задач Приведем пример Задача Найдите значение выражения при 998 Решение Если начать с подстановки, то дальнейшие вычисления ( ) являются трудоемким процессом Если же начать с вынесения общего множителя за скобки, то получим «красивое» решение: ( ) 998(998 ) Ответ: 998 Формулы сокращенного умножения (ФСУ) Для того, чтобы применять ФСУ к разложению многочленов на множители, надо уметь читать эти формулы не только слева направо, но и справа налево Например: если ( b) b b, то и b b ( b) Напомним ФСУ(записанные справа налево): ) b b ( b), ) ) ) b b ( b), b b b ( b), b b b ( b), 5) b ( b)( b), ) b ( b)( b b ), 7) b ( b)( b b ) Доказательство этих формул не представляет особого труда (достаточно раскрыть скобки в правой части данных равенств) Прежде чем разложить многочлен на множители, его пытаются преобразовать так, чтобы можно было использовать одну из этих формул Рассмотрим подробно тождественное преобразование, которое называется выделением квадрата суммы (разности)

5 Задача В многочлене 9 y y выделить: а)квадрат разности, содержащий первый и третий одночлены б)квадрат суммы, содержащий первый и второй одночлены Решение а)очевидно, что 9 () - квадрат первого члена в искомом квадрате разности, а y (y) - квадрат второго члена Недостающим слагаемым является удвоенное произведение этих членов, те y y Отнимем его и прибавим в исходном многочлене и «свернем» квадрат разности по формуле: 9 y y (9 y y ) y y ( y) y б) Ясно, что одночлен y выступает в роли удвоенного произведения, значит, нашу проблему в задаче можно обозначить так: 9 y y (() m m ) m y y y Найдем m Так как y m, то m Прибавим и отнимем недостающий в многочлене квадрат второго члена и упростим выражение Получим: y y y 9 y y () y y y 9 Ответ: а) ( y) y ; б) y y 9 Задача Выделить квадрат суммы в многочлене: 8 8 5

6 Решение 8 8 Ответ: Задача 5 Разложите на множители многочлен: а) ; б) ; Решение а) б) ) ( ) ( Ответ: а) ; б) Выделение полного куба суммы (разности) осуществляется аналогично, но немного сложнее Разберем это преобразование на конкретном примере Задача Выделить куб суммы в многочлене: 8 8 y y y Решение В данном многочлене есть слагаемые, которые являются кубами: куб первого члена -, куб второго члена - 8 y y

7 Тогда для полного куба суммы необходимо иметь два утроенных произведения (утроенное произведение квадрата первого члена на второй и утроенное произведение первого члена на квадрат второго): y и (y), те y и y Прибавим и отнимем в данном многочлене недостающие утроенные произведения, после чего «свернем» куб суммы по формуле и приведем подобные слагаемые за скобками Получим: 8 y y 8y ( 8y ) 8 y y ( y y 8y ) y y 8 y y ( y y) y 8 Ответ: ( y y) y 8 Выделение других ФСУ особого труда не представляет Способ группировки Суть этого способа заключается в следующем: в данном многочлене надо объединить в группы(сгруппировать) те члены, которые имеют общие множители, и вынести за скобки общий множитель каждой группы; если после этого у всех получившихся групп окажется общий множитель в виде многочлена, то его выносят за скобки Рассмотрим это преобразование на конкретных примерах Задача 7 Разложите на множители многочлен: а) 5 b b 5 b ; б) y yc c yc c y ; в) y y Решение ) Объединим первый и третий члены в одну группу, а остальные в другую Выполняем преобразования так: 5b b 5 b (5b 5 ) ( b b) 5 ( b ) b( b ) ( b )(5 b) 7

8 После вынесения общих множителей ( 5 из первой группы и b из второй), обнаруживаем общий множитель ( b ), вынесение за скобки которого и завершает разложение б) способ Объединим попарно слагаемые в три группы и применим способ группировки: y yc c yc c y ( y yc) (c yc) ( c y) y(y c) c(y c) (y c) ( y c)(y c ) способ Разложение можно выполнить этим же способом группировки, но сгруппировать члены по другому: разбить данный шестичлен на две группы по три слагаемых (для отбора слагаемых в группы в качестве подсказки выступают коэффициенты) y yc c yc c y ( y yc y) ( yc c c) y(y c ) c(c c ) ( y c )(y c) в) Очевидно, что сразу применить способ группировки невозможно хотя бы потому, что количество слагаемых нечетно Попробуем преобразовать этот многочлен так, чтобы получить четырехчлен Оказывается, что это можно сделать далеко не единственным способом: способ (распишем y в виде y y ) y y y y y ( y ) ( y y ) ( y)( y) y( y) ( y)( y) способ (используем метод «прибавить - вычесть»: y ) y y y y y y ( y) ( y y ) ( y) y( y) ( y)( y) способ ( y ) 8

9 y y y y y y ( y ) ( y y ) ( y)( y) y( y) ( y)( y y) ( y)( y) способ ( ) y y y y ( y ) ( y)( y) ( y) ( y)( y) Ответ: а) ( b )(5 b) ; б) ( y c )(y c) ; в) ( y)( y) ( y) Комбинирование методов разложения на множители В более сложных случаях разложение многочлена на множители приходится осуществлять в несколько приемов Общего алгоритма разложения на множители нет, однако можно рекомендовать придерживаться того же порядка, в котором было построено наше объяснение Приведем несколько примеров Задача 8 Разложите на множители многочлен: а) ; б) 8bc b c 5 b b c ; в) 5 Решение а) Разложение можно выполнить другим способом: ( ) ( )( ) Замечание После применения формулы разности кубов исходный многочлен уже разложен на множители: Однако разложение нельзя считать законченным, тк раскладывается на множители, что мы и сделали Следовательно, любой многочлен выше первой степени надо попытаться разложить на множители 9

10 б) 8bc b c 5 b b c b (8c bc 5 b bc ) b((8c b (8c ( c bc 5b) ) (bc b( c b ( c 5b)(8c b) ; 5 b 5b)) в) () 5 5 Ответ: а) ; б) b ( c 5b)(8c b) ; в) 5 5 Многочлен n ой степени и его корни Многочленом степени n от переменной называется выражение n n n вида n n n (), где,,, - некоторые числа, называемые коэффициентами многочлена, а n - переменная, причем Запись вида () называется канонической В ней приведены подобные среди одночленов и все одночлены расположены в порядке убывания степеней переменной Коэффициент n в выражении () называется свободным n членом Слагаемое называется старшим членом многочлена Для сокращения записи часто используют функциональную символику для обозначения многочленов, например, многочлен () обозначим символом f (): n n n f ( ) n n n Очевидно, что при многочлен () принимает значение, равное n, те f ( ) n Таким образом, значение произвольного многочлена при равно свободному члену этого многочлена При многочлен () принимает значение f ( ) n n n Таким образом, значение произвольного многочлена при равно сумме всех ))

11 коэффициентов этого многочлена Эти два замечания часто используются при решении задач Многочленами называются не только выражения вида (), но и выражения, приводимые к этому виду с помощью раскрытия скобок, приведения подобных членов, перестановки слагаемых Например, алгебраическое выражение ( )( 5) есть многочлен После выполнения тождественных преобразований он легко приводится к виду 7 или к канонической форме записи: 7 Рассмотрим операцию деления многочленов Определение Разделить многочлен f () на многочлен g () с остатком означает, найти такие многочлены p () и r (), что f ( ) g( ) p( ) r( ), где r () либо равен нулю, либо имеет меньшую степень, чем многочлен g () f () называется делимым, g () - делителем, p () - неполным частным и r () - остатком от деления f () на g () В курсе математики доказывается теорема о том, что деление многочлена f () на многочлен g () с остатком всегда выполнимо (при g () ), причем многочлены p () и r () определяются однозначно В данной теме мы будем рассматривать деление без остатка Итак, если r (), то f ( ) g( ) p( ) и тогда говорят, что f () делится на g () Например, равенство ( )( ) показывает, что многочлен f ( ) делится на многочлен g ( ) и в частном получается многочлен p ( ) Запись f ( ) g( ) p( ) означает, что многочлен разложен на множители Деление многочлена на многочлен можно выполнять «уголком»(аналогично делению чисел) Покажем это на примере деления многочлена 7 на многочлен 8 Делим старший член делимого на старший член делителя, те на, получаем и записываем в начале частного Затем умножаем его на делитель и записываем результат

12 по степеням под делимым Вычитаем и результат записываем под горизонтальной чертой (Обратите внимание: 7 ( ) ) Далее приписываем(сносим) следующий одночлен делимого, те, и продолжаем деление Делим на, получаем Значит, в строку для частного приписываем, затем соответственно умножаем многочлен 8 на и продолжаем преобразование аналогично В результате получаем Разложение многочлена f () на множители позволяет понизить степень уравнения, те уравнение большой степени свести к одному или нескольким уравнениям меньшей степени Для разложения многочлена n -й степени на множители и для нахождения целых корней алгебраических уравнений n -й степени полезно использовать следующие теоремы Теорема Безу Остаток от деления многочлена f () на равен значению этого многочлена при, те f () Следствие из теоремы Безу Если - корень многочлена f (), то этот многочлен делится на

13 Доказательство Произведем деление с остатком многочлена f () на, получим f () ( ) g( ) r( ), где r () - многочлен, степень которого меньше степени делителя, те степень r () равна Поэтому r ( ) r - число Значит, f () ( ) g( ) r () Так как является корнем f (), то f () И поэтому из () получаем ( ) g( ) r Отсюда r, а это и означает, что многочлен f () делится на без остатка Теорема доказана Теорема Если все коэффициенты многочлена n n n f ( ) n n n являются целыми числами, то всякий целый корень этого многочлена является делителем свободного члена n Доказательство Пусть c - целый корень многочлена f (), те n n n f ( c) c c c n c n c n n n n Тогда n c( c c c n c n ) Так как число, стоящее в скобках, является целым (ибо все коэффициенты,,, n так же как и число c, - целые), то n делится на c Теорема доказана Последние две теоремы значительно облегчают отыскание целых корней многочленов с целыми коэффициентами Для этого необходимо взять свободный член многочлена f () и выписать все его делители (как положительные, так и отрицательные) После этого надо найти один из корней многочлена f () (подставить поочередно эти делители в данный многочлен и выяснить, какой из них обращает многочлен в нуль) Согласно следствию из теоремы Безу многочлен f () делим на двучлен, где - найденный корень, получаем f ( ) ( ) g( ) Ясно, что степень многочлена g () на единицу меньше степени многочлена f () Затем аналогично находим один из корней

14 многочлена g () - и делим его на соответствующий двучлен и тд Продолжаем эту операцию до тех пор, пока не получим квадратный трехчлен, корни которого найдем по известной формуле Применение разложения на множители Итак, с помощью описанного способа можно решать многие задачи разложение многочлена n -й степени на множители; сокращение дробей; задачи на делимость; нахождение целых корней алгебраических уравнений n -й степени Проиллюстрируем это на конкретных примерах Задача 9 Разложите на множители многочлен 7 Решение Обозначим данный многочлен - f () Целые корни многочлена следует искать среди делителей свободного члена :,,, Легко заметить, что f (), значит, является корнем многочлена и поэтому f () делится на

15 Тогда f ( ) ( )( 9 7 ) Разложим на множители многочлен g ( ) 9 7 Свободный член - имеет делители:,,, Подставляем эти числа в многочлен g () поочередно g () 9 7, g ( ) 9 7, g () 9 7, g ( ) ( ) 9 ( ) 7 ( ) Итак, один корень найден Делим многочлен g () на двучлен Имеем: g ( ) ( )( 5 ) Для разложения квадратного трехчлена на множители решаем соответствующее квадратное уравнение 5 Получаем корни, И тогда разложение принимает вид : 5 ( )( ) ( )( ) Итак, данный многочлен разложен на множители: 7 ( )( )( )( ) Ответ: ( )( )( )( ) Задача Решите уравнение 5 () 5

16 Решение Целые корни данного уравнения нужно искать среди делителей свободного члена 5:,, 5, 5 Легко заметить, что является одним из его корней(сумма коэффициентов многочлена, стоящего в левой части уравнения, равна нулю) Значит, многочлен, стоящий в левой части уравнения () делится на двучлен ( ) Получаем уравнение 5, равносильное уравнению () Для нахождения остальных корней исходного уравнения нужно решить уравнение третьей степени 5 (), аналогично подбирая один из его корней среди делителей свободного члена (-5) Подстановкой находим корень Делим «уголком» многочлен 5 на двучлен ( ) 5

17 Значит, для нахождения оставшихся корней нужно решить квадратное уравнение 5 Это дает два корня и 5 Таким образом, исходное уравнение четвертой степени имеет четыре корня: 5 ; ;; Ответ: 5 ; ;; Задача Решите уравнение () Решение способ Решим данное уравнение(), разложив многочлен, стоящий в его левой части, на множители способом группировки 5 В итоге получили уравнение, равносильное данному 5 Отсюда или или 5 Так как многочлен 5 принимает только положительные значения при любом, то уравнение 5 корней не имеет Следовательно, корнями исходного уравнения() являются числа: и - 5 7

18 способ Целые корни уравнения нужно искать среди делителей свободного члена (-):,,, 5,, Легко проверить, что, является одним из корней данного уравнения() Делим многочлен, стоящий в левой части уравнения, на двучлен Заметим, что делимое удобнее представить в каноническом виде: Аналогично подбором среди делителей свободного члена многочлена 5 находим корень Делим многочлен 5 на двучлен Итак, разложением левой части на множители, получили уравнение, равносильное данному (): 5, корни которого уже найдены Ответ: 8

19 Задача 5 5 Сократите дробь Решение Разложим на множители числитель и знаменатель дроби отдельно 5 5 5( ) 5( )( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Сокращаем дробь: 5 5 5( ( 5( ) Ответ: ( ) )( )( ) ) 5( ( ( ) ) ) ( ) Задача 5 Сократите дробь: 5 7 Решение способ Разложим на множители числитель и знаменатель дроби отдельно 5 ( 8) ( 5 8) ( ( )( )( ) ( 9) 9)( 9 ) ( )( ) Квадратный трехчлен на множители не раскладывается ( D <) 5 7 ( ) (5 7 ) ( )( ) Сокращаем дробь: (5 ( ( )( )( )( ) ( ) ) )( )

20 способ Разложим многочлен, стоящий в числителе, 5 () на множители Найдем один из корней многочлена среди делителей его свободного члена :,,, Подбором выясняем, что является корнем многочлена Делим многочлен() на двучлен Итак, получаем разложение числителя дроби на множители 5 ( )( ) Квадратный трехчлен разложить на множители невозможно( D <) Выполняем аналогичные действия с многочленом, стоящим в знаменателе данной дроби 5 7 () Легко видеть, что, является корнем многочлена 5 7 (сумма его коэффициентов равна ) Делим многочлен () на двучлен Получили разложение многочлена () на множители: 5 7 ( )( )

21 Сокращаем дробь: Ответ: ( ( )( )( ) ) Задача Докажите, что при любом нечетном n значение многочлена n n n кратно 8 Решение Разложим многочлен на множители способом группировки: n n n n n n n n n n n Тк n нечетное число, то n k, где k Подставив вместо n выражение k в полученное произведение, имеем: n n n k k k 8 k k k 8k k k Произведение k k k есть произведение трех последовательных целых чисел, значит оно кратно и, и, следовательно, оно кратно Поэтому 8k k k кратно 8 Задачи для самостоятельного решения Разложите на множители многочлен: 9 а) ; б) y ; в) 9 ; г) ; д) 9 b c ; 5 е) y y

22 Докажите, что при любом нечетном n значение многочлена n n делится на Докажите, что выражение 8 b b b тождественно равно кубу двучлена В многочлене 5 y y y выделите полный квадрат суммы, содержащий: а) первый и второй одночлены; б) первый и третий одночлены; в) второй и третий одночлены 5 Разложите на множители многочлен способом группировки: а) 5 5y y ; б) 8 b 5b b ; в) b b b Докажите, что значение многочлена n 5 5n n при любом натуральном n делится на 7 Докажите, что для любых чисел m и n верно неравенство 5 m mn n 8 Известно, что при некоторых значениях и y значение разности y равно 9 Найдите при тех же значениях и y значение выражения y y y y y 9 Докажите, что произведение четырех последовательных целых чисел, увеличенное на, является квадратом целого числа Разложите на множители многочлен: а) 9 5 ; б) 9 5 Решите уравнение: а) 9 ; б) c c c c 5 c Сократите дробь: а) б) n 9n n n n n ; 9n n

23 Докажите, что алгебраическое выражение 8 тождественно равно одночлену Решите уравнение 5 5 двумя способами 5 Применяя способы разложения на множители, найдите значение выражения: Разложите на множители выражение: ( b) ( ) b ( b ) Специализированный учебно-научный центр НГУ,

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Пензенский государственный университет Физико-математический факультет «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение уравнений. Треугольники Задание 1 для

Подробнее

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Тождественные преобразования алгебраических выражений Тождественные преобразования алгебраических выражений Алгебраические выражения выражения, содержащие числа и буквы, связанные алгебраическими действиями: сложением, вычитанием, умножением, делением и возведением

Подробнее

Алгебраические уравнения

Алгебраические уравнения Алгебраические уравнения где Определение. Алгебраическим называется уравнение вида 0, P () 0,,, некоторые действительные числа. 0 0 При этом переменная величина называется неизвестным, а числа 0,,, коэффициентами

Подробнее

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ Указания, решения, ответы УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. Уравнение с одной неизвестной.. Решение. Подставим в уравнение. Получим равенство ( 4a b 4) (a b 8) 0. Равенство A B 0, где А и В целые, выполняется,

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ АГЕНТСТВО ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ КРАСНОЯРСКОГО КРАЯ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЗАОЧНАЯ ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНАЯ ШКОЛА при КрасГУ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение

Подробнее

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений».

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений». Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений» Многочленом степени n называется многочлен вида P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, где a 0, a 1,, a n-1, a n заданные числа, a 0,

Подробнее

Вопросы для повторения I

Вопросы для повторения I 4 Вопросы для повторения I. Натуральные числа. Натуральный ряд.. Числа и цифры. Десятичная система счисления. 3. Разряды и классы. Представление числа в виде суммы разрядных слагаемых. 4. Сравнение натуральных

Подробнее

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x http://vk.ucoz.et/ Операции над многочленами k a k Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида a, где переменная, a - числовые коэффициенты (=,.k), и. Любое ненулевое число можно рассматривать

Подробнее

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6).

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6). 3.. Методы решения рациональных неравенств 3..1. Числовые неравенства Сначала определим, что мы понимаем под утверждением a > b. Определение 3..1. Число a больше числа b, если разность между ними положительна.

Подробнее

Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения. Метод прямого перебора Пример. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 8 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение.

Подробнее

Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА. Экспериментальный учебник. Часть 1 МОСКВА 2016

Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА. Экспериментальный учебник. Часть 1 МОСКВА 2016 Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА 8 Экспериментальный учебник Часть 1 МОСКВА 2016 СОДЕРЖАНИЕ 1. Делимость. 2. Чёт нечет 3. Множества. 4. Забавные задачи. 5. Комбинаторика

Подробнее

Рабочий лист 1. Арифметические действия на множестве рациональных чисел.

Рабочий лист 1. Арифметические действия на множестве рациональных чисел. Рабочий лист 1 Арифметические действия на множестве рациональных чисел Напомним важные правила, которые нужно соблюдать, проводя арифметические вычисления Порядок действий в арифметических вычислениях

Подробнее

Класс 7.3, 7.5 Учебник: Алгебра (Макарычев Н.В.) Тема модуля «Уравнения. Разложение многочленов на множители. Формулы

Класс 7.3, 7.5 Учебник: Алгебра (Макарычев Н.В.) Тема модуля «Уравнения. Разложение многочленов на множители. Формулы Класс 7.3, 7.5 Учебник: Алгебра (Макарычев Н.В.) Тема модуля «Уравнения. Разложение многочленов на множители. Формулы сокращенного умножения» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического

Подробнее

Ответ. Вопрос. Что такое классы и разряды в записи чисел? Как называют числа при сложении?

Ответ. Вопрос. Что такое классы и разряды в записи чисел? Как называют числа при сложении? Вопрос Какие числа называют натуральными? Ответ Натуральными называют числа, которые используют при счете Что такое классы и разряды в записи чисел? Как называют числа при сложении? Сформулируйте сочетательный

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Многочлены. Простейшие уравнения и неравенства с модулем. Задание 3 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Многочлены. Простейшие уравнения и неравенства с модулем. Задание 3 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Многочлены. Простейшие уравнения и

Подробнее

Примеры и комментарии

Примеры и комментарии 72 Глава2 Многочлены Примеры и комментарии Алгоритмы А-01 Запись многочлена в стандартном виде А-02 Действия над многочленами А-03 Устные преобразования А-04 Формулы сокращенного умножения А-05 Бином Ньютона

Подробнее

5. Решение алгебраических уравнений выше второй степени Задание Возвратные уравнения второго рода Задание 1...

5. Решение алгебраических уравнений выше второй степени Задание Возвратные уравнения второго рода Задание 1... АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СТАРШИХ СТЕПЕНЕЙ Оглавление АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СТАРШИХ СТЕПЕНЕЙ алгебраических уравнений выше второй степени Многочлены и их корни Деление многочленов Схема деления углом

Подробнее

Повторение Алгебра 7 8. Вопросы. 1. Раскрытие скобок 2. Умножение многочленов. 3. График линейной функции. 4. Разложение многочлена на множители. 5.

Повторение Алгебра 7 8. Вопросы. 1. Раскрытие скобок 2. Умножение многочленов. 3. График линейной функции. 4. Разложение многочлена на множители. 5. Повторение Алгебра 7 8. Вопросы.. Раскрытие скобок. Умножение многочленов.. График линейной функции. 4. Разложение многочлена на множители. 5. Свойство степени с натуральным показателем. 6. Формулы сокращенного

Подробнее

Тема 1-10: Корни многочленов. Неприводимые многочлены над полями C, R и Q. Разложение рациональных дробей на простейшие

Тема 1-10: Корни многочленов. Неприводимые многочлены над полями C, R и Q. Разложение рациональных дробей на простейшие Тема 1-10: Корни многочленов. Неприводимые многочлены над полями C, R и Q. Разложение рациональных дробей на простейшие А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных

Подробнее

2 Многочлены. Глава. Тестовые задания. Сложение многочленов

2 Многочлены. Глава. Тестовые задания. Сложение многочленов Глава Многочлены 37 Тестовые задания Т-3 Сложение многочленов Т-4 Умножение многочленов Т-5 Многочлены с одной буквой Т-6 Квадрат суммы и разности Т-7 Куб суммы и разности Т-8 Разность квадратов Т-9 Сумма

Подробнее

Уравнения высших порядков

Уравнения высших порядков И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Уравнения высших порядков 1 Непосредственная группировка............................. 1 2 Подбор корня........................................

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Задание 1 для 9-х классов учебный год

МАТЕМАТИКА. Задание 1 для 9-х классов учебный год МАТЕМАТИКА Рациональные уравнения Системы уравнений Уравнения, содержащие модуль Задание для 9- классов 0-04 учебный год Составитель: кпн, доцент Марина ЕВ Пенза, 0 Введение Вспомним некоторые понятия

Подробнее

СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ. 5 9 классы

СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ. 5 9 классы СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ 5 9 классы МОСКВА «ВАКО» 201 УДК 32.851 ББК 4.262.22 С4 6+ Издание допущено к использованию в образовательном процессе на основании приказа Министерства образования и науки РФ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N11. Методы интегрирования.

ЛЕКЦИЯ N11. Методы интегрирования. ЛЕКЦИЯ. Методы интегрирования..интегрирование по частям..рациональные дроби. Разложение правильной дроби на простейшие...интегрирование рациональных дробей..интегрирование по частям. Пусть u и v две непрерывные

Подробнее

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ"

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ" В. В. Гарбарук, В. И. Родин, И. М. Соловьева, М. А. Шварц МАТЕМАТИКА

Подробнее

8 класс Алгебра. Тема "Рациональные дроби"

8 класс Алгебра. Тема Рациональные дроби 8 класс Алгебра Тема "Рациональные дроби" 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Понятие алгебраической дроби знакомо вам из курса алгебры 7-го класса, где мы довольно много внимания уделили сокращению алгебраических дробей.

Подробнее

КРАТКИЙ КУРС МАТЕМАТИКИ

КРАТКИЙ КУРС МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЛВ Лобанок, ЖИ Покляк УДК 5(7) ББК я7 К 78 Рекомендовано

Подробнее

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Лекция ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование рациональных дробей Рациональные

Подробнее

Планируемые результаты освоения алгебры в 7 классе Алгебраические выражения. Уравнения

Планируемые результаты освоения алгебры в 7 классе Алгебраические выражения. Уравнения Программа по алгебре для 7 класса общеобразовательного учреждения. Пояснительная записка Структура программы Программа включает три раздела: 1.Планируемые результаты усвоения алгебры в 7 классе 2.Содержание

Подробнее

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1 Глава 1 Основы алгебры Числовые множества Рассмотрим основные числовые множества. Множество натуральных чисел N включает числа вида 1, 2, 3 и т. д., которые используются для счета предметов. Множество

Подробнее

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений.

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Линейные уравнения с одной переменной Введение Никита Саруханов 7й класс Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько

Подробнее

Методы интегрирования

Методы интегрирования Методы интегрирования Методы интегрирования. Интегралы, содержащие квадратный трехчлен в знаменателе. Понятия о рациональных функциях и их свойствах. Интегрирование простейших рациональных дробей. Теорема

Подробнее

Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА

Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА 8 Экспериментальный учебник Часть МОСКВА 06 Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА 8 Экспериментальный

Подробнее

Математика 7 класс Задачи на делимость

Математика 7 класс Задачи на делимость МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика класс Задачи на делимость Новосибирск Определение и свойства

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАШИНОСТРОЕНИЯ ИИ Поспелов,

Подробнее

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции»

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции» МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Подробнее

Содержание. Неравенства... 20

Содержание. Неравенства... 20 Содержание Уравнение............................................ Целые выражения..................................... Выражения со степенями............................. 3 Одночлен.............................................

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Методические рекомендации по суммативному оцениванию. Алгебра. 7 класс

Методические рекомендации по суммативному оцениванию. Алгебра. 7 класс Методические рекомендации по суммативному оцениванию Алгебра 7 класс Методические рекомендации составлены в помощь учителю при планировании, организации и проведении суммативного оценивания по предмету

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

Математика 6 класс. Тема 1. Делимость чисел.

Математика 6 класс. Тема 1. Делимость чисел. Математика 6 класс Тема. Делимость чисел. Основные понятия. Делитель натурального числа а натуральное число, на которое а делится без остатка. Например, ; 2; 5; 0 делители числа 0. Число 3 является делителем

Подробнее

вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел. Найти произведение оставшихся множителей.

вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел. Найти произведение оставшихся множителей. Тест по теме «НОД и НОК» Фамилия, Имя. Натуральные числа называются взаимно простыми, если: а) у них более двух делителей; б) их НОД равен ; в) у них один делитель.. Наибольшим общим делителем чисел а

Подробнее

1. Делимость целых чисел. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики

1. Делимость целых чисел. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики 009-010 уч. год. 6, 9 кл. Математика. Элементы теории чисел. Натуральные и целые числа знакомы вам с младших классов, но полезно и поучительно подойти к ним, владея аппаратом алгебры. Задачи о делимости

Подробнее

ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА. В результате изучения курса ученик должен

ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА. В результате изучения курса ученик должен ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА В результате изучения курса ученик должен знать/понимать как используются математические формулы, уравнения и неравенства; примеры их применения для решения

Подробнее

Календарно-тематическое планирование по алгебре 7 класс (3 часа в неделю, 102 часа в год) По учебнику А.Г. Мордковича, Л.А. Александровой и др.

Календарно-тематическое планирование по алгебре 7 класс (3 часа в неделю, 102 часа в год) По учебнику А.Г. Мордковича, Л.А. Александровой и др. Урок а Наименование разделов и тем Календарно-тематическое планирование по алгебре 7 класс (3 часа в неделю, 102 часа в год) По учебнику А.Г. Мордковича, Л.А. Александровой и др. Характеристика основных

Подробнее

Рабочая программа учебного курса по алгебре для 7 А класса

Рабочая программа учебного курса по алгебре для 7 А класса Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Республики Хакасия «Хакасская национальная гимназия интернат им. Н.Ф.Катанова» «СОГЛАСОВАНО» на заседании кафедры математики и информатики Протокол

Подробнее

по учебному курсу «Алгебра» 8 класс Базовый уровень

по учебному курсу «Алгебра» 8 класс Базовый уровень Муниципальное общеобразовательное учреждение Семеновская средняя общеобразовательная школа РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПЕДАГОГА ТИХОНОВОЙ ВЕРЫ ЯКОВЛЕВНЫ по учебному курсу «Алгебра» 8 класс Базовый уровень / Ю.Н.

Подробнее

Учебное издание Муравин Георгий Константинович Муравин Константин Соломонович Муравина Ольга Викторовна. АЛГЕБРА. 8 класс. Учебник

Учебное издание Муравин Георгий Константинович Муравин Константин Соломонович Муравина Ольга Викторовна. АЛГЕБРА. 8 класс. Учебник УДК 7.67.:5 ББК.я7 М9 М9 Муравин, Г. К. Алгебра. 8 кл. : учебник / Г. К. Муравин, К. С. Муравин, О. В. Муравина. 5-е изд., стереотип. М. : Дрофа, 08. 55, [] с. ISBN 978-5-58-9706-0 Учебник является частью

Подробнее

Квадратные уравнения. Беседа 8 Как решали квадратные уравнения в древности. Вавилон

Квадратные уравнения. Беседа 8 Как решали квадратные уравнения в древности. Вавилон Глава 7 Квадратные уравнения Беседа 8 Как решали квадратные уравнения в древности. На самом деле вавилонский метод дает решение системы + y =, представляющей собой запись задачи нахождения y = q, сторон

Подробнее

Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва

Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва УДК 7.8:[ + 7] ББК 7.6. А Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва А Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 0 класс : углубл. уровень / [М. И. Шабунин,

Подробнее

3x x 2 + x = 0.

3x x 2 + x = 0. 4.. Метод замены переменной при решении алгебраических уравнений. В предыдущем пункте метод замены переменной был использован для разложения многочлена на множители. Данный метод широко применяется для

Подробнее

P x x Qx ( ) + r или

P x x Qx ( ) + r или Лекция Разложение рациональной дроби на простейшие Аннотация: Доказывается, что из неправильной дроби можно выделить целую часть, а правильную дробь разложить на простейшие Рациональной дробью (рациональной

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный университет» А А Г О Л У Б Е В, Т А С П А С С К А Я ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 2

Иррациональные уравнения и неравенства 2 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление Иррациональные уравнения Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень Задание Задание Задание Замена иррационального уравнения смешанной

Подробнее

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Квадратные уравнения В данной статье мы разберём основные вопросы, связанные с квадратным уравнением: выведем формулу корней, докажем теорему Виета и научимся

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО АЛГЕБРЕ ДЛЯ 7 класса

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО АЛГЕБРЕ ДЛЯ 7 класса РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО АЛГЕБРЕ ДЛЯ 7 класса Пояснительная записка Рабочая программа учебного курса по алгебре для 7 класса разна на основе Примерной программы основного общего образования (базовый уровень)

Подробнее

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) 10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида и найдите его

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

Камчатский государственный технический университет. Л.И. Страх МАТЕМАТИКА

Камчатский государственный технический университет. Л.И. Страх МАТЕМАТИКА Камчатский государственный технический университет Л.И. Страх МАТЕМАТИКА Методические рекомендации к контрольным работам для слушателей заочных подготовительных курсов Петропавловск-Камчатский 7 УДК ББК.

Подробнее

А. Н. РУРУКИН ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО АЛГЕБРЕ. к учебнику Ю.Н. Макарычева и др. (М.: Просвещение) НОВОЕ ИЗДАНИЕ. 8 класс

А. Н. РУРУКИН ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО АЛГЕБРЕ. к учебнику Ю.Н. Макарычева и др. (М.: Просвещение) НОВОЕ ИЗДАНИЕ. 8 класс А. Н. РУРУКИН ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО АЛГЕБРЕ к учебнику Ю.Н. Макарычева и др. (М.: Просвещение) НОВОЕ ИЗДАНИЕ 8 класс МОСКВА «ВАКО» 015 УДК 7:167.1:51 ББК 74.6.1 Р87 Р87 Рурукин А.Н. Поурочные разработки

Подробнее

Знаки линейной функции

Знаки линейной функции И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Метод интервалов Метод интервалов это метод решения так называемых рациональных неравенств. Общее понятие рационального неравенства мы обсудим позже, а сейчас

Подробнее

Тема 1. Действительные числа и действия над ними

Тема 1. Действительные числа и действия над ними Тема 1 Действительные числа и действия над ними 4 часа 11 Развитие понятия о числе 1 Первоначально под числами понимали лишь натуральные числа, которых достаточно для счета отдельных предметов Множество

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

Делимость натуральных чисел в задачах С6 единого государственного экзамена по математике.

Делимость натуральных чисел в задачах С6 единого государственного экзамена по математике. ВВ Мирошин, Гимназия 5 (Москва), e-mail: vmiroshin@gmailcom Делимость натуральных чисел в задачах С6 единого государственного экзамена по математике В статье рассматриваются задачи группы С6, предлагаемые

Подробнее

4 Разложите рациональную дробь на простейшие дроби

4 Разложите рациональную дробь на простейшие дроби Разложите рациональную дробь на простейшие дроби Выполните упражнение согласно выбранным вариантам. Сравните результат с ОТВЕТОМ. Протокол работы поместите в отчет. Рациональная дробь 7 6 67 87 7 ) ( )

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С6. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ (от учебных задач до олимпиадных задач)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С6. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ (от учебных задач до олимпиадных задач) МАТЕМАТИКА ЕГЭ 00 Корянов А.Г. Задания С г. Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: akoryanov@mail.ru УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ (от учебных задач до олимпиадных задач) Линейные

Подробнее

Алгоритм решения квадратных неравенств

Алгоритм решения квадратных неравенств Алгоритм решения квадратных неравенств 1) Привести неравенство к стандартному виду : 2) Решить квадратное уравнение (т.е. найти точки пересечения параболы с осью Ох):,, если D > 0, то (две точки пересечения

Подробнее

Календарно- тематическое планирование. тема дата

Календарно- тематическое планирование. тема дата 6 класс, 1 час в неделю, всего 36 часов Календарно- тематическое планирование тема дата п 1. Делимость чисел 3 1. Делители и кратные. Признаки делимости. 1. 2. Простые и составные числа. Разложение 2.

Подробнее

Уравнения высших порядков

Уравнения высших порядков И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Уравнения высших порядков 1 Непосредственная группировка............................. 1 2 Подбор корня........................................

Подробнее

КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ по математике 8 класс

КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ по математике 8 класс КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ по математике 8 класс урока Тема урока 1 Повторение. Действия с обыкновенными и десятичными дробями. Колво часов Элементы содержания Тема 1. Рациональные дроби и их

Подробнее

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М В ЛОМОНОСОВА МАЛЫЙ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Методическая разработка для учащихся 8 и 9 классов заочного отделения МОСКВА

Подробнее

Дополнительные материалы по курсу математики 6-го класса.

Дополнительные материалы по курсу математики 6-го класса. Дополнительные материалы по курсу математики 6-го класса. Дистанционное обучение проводит учитель гимназии Акаёмова Ольга Тимофеевна. Цель обучения расширение и углубление знаний учеников по математике.

Подробнее

71 Тригонометрические уравнения и неравенства

71 Тригонометрические уравнения и неравенства 7 Тригонометрические уравнения и неравенства Комментарий Устойчивым является заблуждение абитуриентов о том что при решении тригонометрических уравнений не нужна проверка Это так далеко не всегда При решении

Подробнее

Рабочая программа по алгебре 8 А класса

Рабочая программа по алгебре 8 А класса Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Республики Хакасия «Хакасская национальная гимназия интернат им. Н.Ф.Катанова» «СОГЛАСОВАНО» на заседании кафедры математики и информатики Протокол

Подробнее

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x)

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x) ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P Q, где P и Q многочлены Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P ниже степени

Подробнее

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН... Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена

Подробнее

Программа по математике

Программа по математике Программа по математике На экзамене по математике поступающие должны показать: 1. Четкое знание математических определений и теорем, основных формул алгебры и геометрии, умение доказывать теоремы и выводить

Подробнее

Глава 6. Неопределенный интеграл

Глава 6. Неопределенный интеграл Глава Неопределенный интеграл Непосредственное интегрирование Функцию F() называют первообразной для функции f(), если выполняется равенство F'() f() Совокупность всех первообразных данной функции f()

Подробнее

Интегрирование рациональных функций (продолжение)

Интегрирование рациональных функций (продолжение) Занятие 4 Интегрирование рациональных функций (продолжение) Рациональной функцией (или, по-просту, дробью) называется отношение двух многочленов, то есть функция вида R() = f() g() = a 0 m + a m +...+

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ГС ЛУКЬЯНОВА АИНОВИКОВ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Рязань Министерство

Подробнее

Календарно-тематический план по алгебре (7 класс)

Календарно-тематический план по алгебре (7 класс) п/п Тема урока (кол-во часов) Код элемента содержания (КЭС) Календарно-тематический план по алгебре (7 класс) Элемент содержания Раздел 1: Математический язык. Математическая модель (14 ч) 1 Числовые выражения

Подробнее

Рабочая программа предмета «Алгебра» для 7 а, 7г классов на учебный год

Рабочая программа предмета «Алгебра» для 7 а, 7г классов на учебный год Рабочая программа предмета «Алгебра» для 7 а, 7г классов на 2016-2017 учебный год Программа рассмотрена на ШМО учителей математики и информатики 15 июня 2016 года Составитель: С.С..Костикова, учитель математики

Подробнее

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта: СПРАВОЧНИК Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:,,,,, Натуральные числа образуют множество, называемое множеством натуральных чисел Множество

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

Рабочая программа по алгебре 7 класс на 2013 / 2014 учебный год

Рабочая программа по алгебре 7 класс на 2013 / 2014 учебный год Рабочая программа по алгебре 7 класс на 2013 / 2014 учебный год Пояснительная записка Рабочая программа учебного курса по алгебре для 7 класса разработана на основе примерной программы основного общего

Подробнее

+ представляется в виде произведения линейных множителей следующим образом:

+ представляется в виде произведения линейных множителей следующим образом: Лекция. Элементы теории многочленов. Многочлен (некоторые сведения справочного характера) Функция вида: 1 P ( x) a0x a1x... a 1x a = + + + + (1) где натуральное число a i ( i = 01... ) постоянные коэффициенты

Подробнее

В тесте проверяются теоретическая и практическая части.

В тесте проверяются теоретическая и практическая части. 8. класс, Математика (учебник Макарычев) 07-08 уч.год Тема модуля «Квадратный корень. Степень с целым показателем» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь Знать определение

Подробнее

. Тематическое планирование уроков алгебры в 8 классе Тема урока Количество

. Тематическое планирование уроков алгебры в 8 классе Тема урока Количество Рабочая программа учебного курса по алгебре для 8 класса разработана на основе Федерального компонента государственного образовательного стандарта начального общего, основного общего и среднего (полного)

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО АЛГЕБРЕ ДЛЯ 7 КЛАССА НА 2016/2017 УЧЕБНЫЙ ГОД

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО АЛГЕБРЕ ДЛЯ 7 КЛАССА НА 2016/2017 УЧЕБНЫЙ ГОД Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа 15» РАССМОТРЕНО на заседании ШМО МБОУ «СОШ 15» Руководитель ШМО /Асланова С. Ш./ Протокол 1от 2016 г СОГЛАСОВАНО

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. алгебра (наименование учебного курса, предмета, дисциплины, модуля) ДЛЯ _7 «А»_КЛАССА НА 2014/2015 УЧЕБНЫЙ ГОД. 2014г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. алгебра (наименование учебного курса, предмета, дисциплины, модуля) ДЛЯ _7 «А»_КЛАССА НА 2014/2015 УЧЕБНЫЙ ГОД. 2014г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА алгебра (наименование учебного курса, предмета, дисциплины, модуля) ДЛЯ _7 «А»_КЛАССА НА 014/015 УЧЕБНЫЙ ГОД Составитель программы Фирсова О.В. (Ф.И.О. учителя-составителя программы,

Подробнее

Календарно-тематическое планирование. Алгебра 7 класс 3 часа в неделю, 105 часа в год. Освоение предметных знаний

Календарно-тематическое планирование. Алгебра 7 класс 3 часа в неделю, 105 часа в год. Освоение предметных знаний Приложение 1 Календарно-тематическое планирование. Алгебра 7 класс 3 часа в неделю, 105 часа в год. п/п Тема урока Планируемые результаты обучения Дата проведения Освоение предметных знаний 1 Введение

Подробнее

Рабочая учебная программа по алгебре в 8 А классе

Рабочая учебная программа по алгебре в 8 А классе Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа 29» города Чебоксары Рассмотрено на заседании ШМО Протокол от 28 августа 204 г. Руководитель ШМО «Утверждаю» Директор

Подробнее

Рабочая программа по алгебре, 7 класс по учебнику: А.Г. Мордкович «Алгебра 7»

Рабочая программа по алгебре, 7 класс по учебнику: А.Г. Мордкович «Алгебра 7» Рабочая программа по алгебре, 7 класс по учебнику: А.Г. Мордкович «Алгебра 7» п\п Темы учебных занятий. Практическая работа Знания и умения по теме Глава. Математический язык. Математические модели. 3.

Подробнее

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число АРИФМЕТИКА Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. Порядок действий ) Если нет скобок, то сначала выполняются действия -й степени (возведение в натуральную степень), затем -й степени (умножение

Подробнее

Учебные задания. Глава3 Рациональная дробь 77

Учебные задания. Глава3 Рациональная дробь 77 Глава Рациональная дробь 77 Учебные задания Алгоритмы А-0 Конструирование рациональных выражений А-0 Допустимые значения букв А-0 Сокращение дробей А-04 Умножение и деление дробей А-05 Сложение и вычитание

Подробнее