Министерство образования и науки Российской Федерации Архангельский государственный технический университет СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Министерство образования и науки Российской Федерации Архангельский государственный технический университет СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Архангельский государственный технический университет СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Методические указания к выполнению самостоятельной работы Архангельск 2010

2 Рассмотрены и рекомендованы к изданию методической комиссией строительного факультета Архангельского государственного технического университета 20 ноября 2009 г. Составители: Е.А. Кримнус, ассистент; Н.А. Шиловская, ст. преподаватель Рецензент Т.А. Бородкина, ст. преподаватель УДК Случайные события: метод, указания к выполнению самостоят, работы / сост. Е.А. Кримнус, Н.А. Шиловская. - Архангельск: Арханг. гос. техн. ун-т, с. Подготовлены кафедрой математики АГТУ. Содержат теоретический материал, описание методов решения задач, задания для самостоятельной работы, справочные материалы. Предназначены для студентов технических и экономических специальностей заочной формы обучения. Ил. 9. Табл. 3. Библиогр. 20 назв. Архангельский государственный технический университет, 2010

3 ВВЕДЕНИЕ Знания современного человека об окружающем мире постоянно углубляются и уточняются, но в природе и обществе часто встречаются события и явления, исход которых заранее не определен. Закономерности, определяющие состояние большинства природных и социальных объектов, - статистические. Математические модели экспериментов, результаты которых неоднозначно определяются условиями опыта, являются предметом изучения теории вероятностей. Задача теории вероятностей - установление закономерностей, которым подчиняются результаты массовых случайных экспериментов. Важнейшие сферы приложения теории вероятностей - техника и экономика. Сегодня невозможно представить себе исследование, а затем и прогнозирование физических и социально-экономических явлений без использования стохастического моделирования. Теория вероятностей является основой таких дисциплин, как математическая статистика, теория случайных процессов, теория массового обслуживания, теория информации и т.п. Все это предопределяет необходимость овладения методами теории вероятностей и математической статистики в качестве инструмента статистического анализа и прогнозирования. Традиционно изучение теории вероятностей начинают с классических разделов, например случайных событий. В предлагаемом пособии рассматриваются базовые понятия теории вероятностей и основные методы решения задач. з

4 1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ Раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих заданному множеству, называется комбинаторикой. Правило суммы: если некоторый объект А можно выбрать т способами, а объект В -к способами (не такими, как А), то объект «либо А, либо В» можно выбрать т + к способами; п - т + к. Правило произведений: если некоторый объект А можно выбрать т способами, а после каждого такого выбора другой объект В можно выбрать (независимо от выбора объекта А) к способами, то пары объектов «А и В» можно выбрать тк способами: п = тк. Генеральной совокупностью без повторений называется набор некоторого конечного числа различных элементов: а Л,а 2,...,а п. Генеральная совокупность с повторениями - это набор элементов п различных классов, когда все элементы, принадлежащие одному классу, считаются одинаковыми: а, а, а\ b, Ь, Ъ\...; /, /, /, где а- элементы 1-го класса, Ь элементы 2-го класса, / - элементы и-го класса. Выборкой объема т {т <п) называется произвольная группа из т элементов данной генеральной совокупности. Размещения - это комбинации, формируемые из п различимых элементов по т элементов в каждой и отличающиеся одна от другой либо составом, либо порядком следования элементов, размещенных в виде последовательностей. Перестановки - это последовательности, каждая из которых состоит из п различимых элементов и отличается одна от другой только порядком следования элементов, т.е. это размещения из п элементов по п. Сочетания это комбинации, формируемые из п различимых элементов по т в каждой и отличающиеся одна от другой только составом элементов. 4

5 Формулы для подсчета количества размещений, перестановок и сочетаний элементов приведены в табл. 1. Таблица 1 Вид комбинации элементов Размещения без повторений я' [п - т)!' Вид выборки с повторениями (из элементов п различных классов) Л; = п т Перестановки Рн = п\ Р - К ] k l' h к " к у\ к 2\... к J Сочетания /"107 я' ml [л - т}. где А- = к { + к к п * ~ (т + п- 1)! т\(п-[). * к количество элементов в выборке (перестановке), причем к: элементов выборки извлечены из /-го класса (/' = 1, п). Примеры решения задач Задача 1. Комиссия состоит из председателя, его заместителя и еще пяти человек. Сколькими способами члены комиссии могут распределить между собой обязанности председателя и заместителя? Решение: поскольку функции председателя и его заместителя в группе различны, порядок следования элементов в выборке существенен, для подсчета числа комбинаций следует использовать формулу числа размещений без повторений, = 42. Задача 2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5,6? Решение: поскольку цифры в числе могут повторяться (цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6 выбираются из 6 различных классов, содержащих множество элементов), а порядок расположения цифр в числе важен, применим для подсчета числа комбинаций формулу числа размещений с повторениями, =216. 5

6 Задача 3. Сколькими способами можно выбрать 3 дежурных из группы в 20 человек? Решение: поскольку функции дежурных в группе одинаковы, порядок следования элементов в выборке несущественен, для подсчета числа комбинаций следует использовать формулу числа сочетаний без повторений, О> 0 = Задача 4. В кондитерском магазине продаются 3 сорта пирожных. Сколькими способами можно купить 9? Решение: порядок расположения элементов в выборке не имеет значения, элементы в выборке могут повторяться (они выбираются из 3 классов, в каждом из которых множество элементов), поэтому для подсчета числа комбинаций применим формулу числа сочетаний с повторениями, С? = 55. Задача 5. Составить различные размещения по два элемента из элементов множества {1, 2, 3} и подсчитать их число: а) без повторений; б) с повторениями. Решение: а) из трех элементов по два можно составить следующие размещения без повторений: (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), 3' (3, 2). Итого 6. Или по формуле А$ = ^- = 6; (3 2)1 б) при составлении размещений с повторениями к перечисленным выше парам добавятся еще несколько: (1, 1), (2, 2) и (3, 3). Итого 9. Или по формуле А* = З 2 = 9. Задача 6. В вазе стоят 9 красных и 7 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из нее: а) 3 гвоздики; б) 6 гвоздик одного цвета; в) 4 красных и 3 розовых гвоздики? Решение: а) так как цвет гвоздик не имеет значения, то нужно выбрать 3 цветка из 16, причем порядок неважен, следовательно, это п, 16! можно сделать С,, = -. г- = = 560 спосооами; 3!(16-3)!

7 б) выбрать 6 гвоздик красного цвета можно С% = 84 способами, а розового - С ( -, =1 способами, следовательно, 6 гвоздик одного цвета (красных или розовых) можно выбрать = 91 способом; в) выбрать 4 красные гвоздики из 9 имеющихся можно С* = 126 способами, а 3 розовых из 7 - С] =35 способами. Тогда букет из 4 красных и 3 розовых гвоздик можно составить = 4410 способами. Задача 7. В почтовом отделении продаются открытки 6 видов. Сколькими способами можно приобрести в нем: а) 4 открытки; б) 4 одинаковые открытки; в) 4 разные открытки? Решение: а) так как не запрещается покупать одинаковые открытки и, кроме того, подразумевается, что открыток всех видов имеется в достаточном количестве, а порядок совершения покупок не имеет значения, то, используя формулу для подсчета количества со- ~ 4 ( )! Л1>, четании с повторениями, получим С ь = ^ ^ -yj- = 126 способов; б) 4 одинаковые открытки могут быть открытками любого вида. Интуитивно ясно, что 4 одинаковые открытки первого вида можно приобрести одним единственным способом. Такой же результат по- ( ) f лучим при расчете по формуле С 1 = - ^ т - 1 > = т а к к а к 0! = 1. Аналогично 4 открытки второго вида также можно приобрести только одним способом и т.д. Тогда 4 одинаковые открытки любого вида можно купить = 6 способами; в) 4 разные открытки можно купить, выбирая их из 6 видов открыток без повторений, т.е. Cg = 15 способов. Задача 8. Сколько четырехзначных чисел, составленных из цифр 0, 1,2, 3,4, 5, содержат цифру 3 (цифры в числах не повторяются)? Решение: так как речь идет о числах, то порядок расположения цифр имеет значение. Цифра 3 может стоять на первом, втором, третьем или четвертом месте в записи числа. 7

8 1. Допустим, цифра 3 стоит на первом месте. Тогда на втором, третьем и четвертом местах будут стоять любые три цифры из оставшихся пяти (по условию цифры не повторяются). Таких вариантов может быть А1 = Допустим, цифра 3 стоит на втором месте. Тогда на первом, третьем и четвертом будут стоять любые три цифры из оставшихся пяти. Таких вариантов снова может быть А$ = 60. Однако, если на первое место попадет 0, то данное число уже не будет считаться четырехзначным, поэтому такие варианты в количестве А] =12 необходимо вычесть. Таким образом, получаем = 48 вариантов. 3. Очевидно, что случаи, когда 3 располагается на третьем или четвертом месте, аналогичны предыдущему и включают по 48 различных вариантов. Итого = 204. Можно решить задачу и другим способом: {А$-А1)-{А$-А\) =204. Задача 9. В розыгрыше первенства по футболу участвуют десять команд, лучшие из которых занимают первое, второе и третье места. Две команды, занявшие последние места, не будут участвовать в следующем таком первенстве. Сколько разных вариантов результата первенства может быть, если учитывать только положение первых трех и последних двух команд? Решение: первые три места могут быть распределены А* 0 = 720 способами. В результате остается 7 команд, две из которых выбывают из первенства. Так как порядок выбывших команд неважен, то возможен Сj =21 различный вариант. Тогда по правилу умножения получим, что число различных результатов первенства = Задача 10. Четыре мальчика и четыре девочки садятся на восемь расположенных подряд стульев. Сколькими способами можно это сделать? А если мальчики садятся на места с четными номерами, а девочки - с нечетными? 8

9 Решение: если 8 человек рассаживаются произвольным образом на 8 стульев, то этот процесс можно представить как перестановки из 8 элементов, а количество таких перестановок найти по формуле Р$ = 8!. Если мальчики садятся только на места с четными номерами, а таких мест 4, то это опять перестановки, только из 4 элементов; количество перестановок - 4!. Аналогично и девочки могут сесть на 4 стула с нечетными номерами 4! способами. Тогда по правилу умножения возможны 4!- 4! = 576 способов посадить детей на стулья в нужном порядке. Задачи для самостоятельного решения Задача 1. Сколькими способами можно расставить 9 различных книг на полке, чтобы определенные четыре книги стояли рядом? Ответ: Задача 2. Сколькими способами можно группу из 12 человек разбить на 2 подгруппы, в одной из которых должно быть не более 5, а во второй - не более 9 человек? Ответ: Задача 3. У одного студента 5 книг, у другого - 9. Все книги различны. Сколькими способами студенты могут произвести обмен одной книги на одну книгу? двух книг на две книги? Ответ: 45; 360. Задача 4. В течение четырех недель студенты сдают четыре экзамена, в том числе два экзамена по математике. Сколькими способами можно распределить экзамены по неделям так, чтобы экзамены по математике не следовали один за другим? Ответ: 12. Задача 5. Составить различные сочетания по три элемента из элементов множества {0, 1, 2, 3} и подсчитать их число: а) без повторений; б) с повторениями. 9

10 Задача 6. В вазе стоят 3 белых, 5 красных и 7 желтых роз. Сколькими способами можно выбрать: а) 1 розу; б) 3 розы одного цвета; в) 5 роз одного цвета; г) 3 розы разного цвета; д) букет из 1 белой, 2 красных и 2 желтых роз; ё) букет из 3 желтых и равного количества белых и красных роз? Ответы: а) 15; б) 46; в) 22; г) 105; д) 630; е) Задача 7. В магазине продается 7 сортов конфет. Сколькими способами можно купить: а) по коробке конфет в подарок для 10 девочек; б) выбирая для всех одинаковые сорта; в) выбирая для всех разные сорта? Ответы: а) Т; б) 7; в) 0. Задача 8. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1,2, 3, 4, 5, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр? Ответ: 108. Задача 9. В газете 10 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить 3 фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница не должна содержать более одной фотографии? более двух? Ответ: 720; ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ИСЧИСЛЕНИЕ СОБЫТИЙ Понятие, с которого в теории вероятностей начинают построение вероятностного пространства - это случайный эксперимент. Вероятностный (случайный) эксперимент можно провести сколько угодно раз при неизменных условиях. Полного совпадения всех условий для каждого испытания добиться невозможно, и поэтому можно говорить лишь о некотором приближенном равенстве условий испытаний. Результат 10

11 каждого отдельного эксперимента заранее неизвестен, но при точном воспроизведении какого-либо комплекса условий наблюдается свойство устойчивости частоты случайного события: с увеличением числа повторений опыта значение частоты появления случайного события стабилизируется около некоторого случайного числа. В результате случайного эксперимента могут реализовываться простые и сложные исходы. Сложные исходы включают в себя несколько элементарных исходов. Элементарные исходы неразложимы на составные части. Элементарные события w являются взаимоисключающими, в результате опыта одно из них обязательно происходит. Совокупность всех элементарных событий в опыте образует множество элементарных исходов О.. Случайным событием называется любое подмножество множества элементарных исходов П. Обычно события обозначают заглавными буквами латинского алфавита. Пример. Рассмотрим случайный эксперимент подбрасывание симметричной монеты один раз. Возможными исходами в таком опыте будут выпадение герба {г} или выпадение решки {р}. При описании этого опыта предполагается, что О = {г, Р}. Случайному событию А = {выпадение герба при однократном выбрасывании правильной монеты! соответствует множество элементарных исходов, состоящее из единственного элемента {г}. Определение случайного события включает в себя определения событий трех видов: достоверные, невозможные и случайные. Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет в результате испытания. Множество исходов, соответствующее такому событию, совпадает с Q. Например, достоверно выпадение числа очков меньше 10 при однократном выбрасывании игральной кости. Невозможный называется событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность определенных условий. Множество исходов, соответствующее такому событию, - пустое (0). Например, невозможно выпадение отрицательного числа при однократном выбрасывании игральной кости. п

12 Событие называется случайным, если в результате опыта при осуществлении совокупности условий, оно может произойти либо не произойти. Каждое случайное событие, в частности {выпадение герба }, есть следствие действия очень многих случайных причин (в примере с однократным выбрасыванием правильной монеты - это сила, с которой брошена монета, форма монеты и другие). Невозможно учесть влияние на результат всех причин, поскольку число их очень велико и законы их действия неизвестны. Поэтому теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет, - она просто не в силах это сделать. События А и В называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же испытании. Пример. Один раз подбрасывается правильная монета. Появление решки исключает появление герба, и наоборот, поэтому события (выпала решка} и {выпал герб} - несовместные события. События А и В называются совместными, если появление одного из них в результате данного испытания, не исключает появление другого. Пример. В аудиторию вошел человек. События А = {в аудиторию вошел человек старше 30 лет} и В - (в аудиторию вошел мужчина} - совместные, поскольку в аудиторию может войти мужчина старше 30 лет. Два события А и А называются противоположными или взаимно дополнительными, если непоявление одного из них в результате данного испытания влечет появление другого (А читается как «не А»). События А и А несовместны. Пример. Если при проверке качества оказалось, что изделие имеет дефекты, то это изделие не может быть стандартным, и наоборот, поэтому события {изделие бракованное} и {изделие стандартное} - противоположные. Событие А называется благоприятствующим событию В, если появление события А влечет за собой появление события В. 12

13 Если группа событий такова, что в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них и любые два из них несовместны, то эта группа событий называется полной группой событий. Пример. Стрелок произвел выстрел по цели. Обязательно произойдет одно из следующих двух событий: (попадание), {промах}. Эти два несовместных события образуют полную группу. Два несовместных события, образующие полную группу, являются противоположными: если в результате опыта не произойдет одно из событий, то обязательно произойдет другое, так как по определению полной группы одно из них обязательно должно произойти. События являются равновозможными, если по условию испытания нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое. Пример 1. Появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости - равновозможные события. Это возможно, если игральная кость изготовлена из однородного материала, имеет форму правильного многогранника и наличие очков не оказывает влияния на выпадение любой грани. Пример 2. События {появление герба} и (появление надписи} при бросании монеты - равновозможные события. Предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму, и наличие чеканки не оказывает влияния на выпадение той или иной стороны монеты. Над случайными событиями можно выполнять действия. Суммой нескольких случайных событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания. Если имеются два совместных события А и В, то сумма А + В означает, что наступило событие А или событие В, или оба события вместе. Если же события несовместны, то событие А + В заключается в том, что наступило событие А или событие 5, так как совместное наступление событий А и В невозможно. В этом случае знак «+» заменяет союз «или». Про событие А + В + С можно сказать, что оно состоит в наступлении одного из событий А, В, С или в совместном 13

14 наступлении пар событий А и В, А и С, В и С, или в совместном наступлении всех трех событий А, В и С. Пример. В урне находятся красные, белые и черные шары. Вынимается один шар. Возможны следующие события: А = {извлечен красный шар}, В = = {извлечен белый шар}, С = (извлечен черный шар}. Событие А + В означает, что произошло событие (вынут не черный шар), а событие В + С - {вынут не красный шар}. Произведением нескольких случайных событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания. Знак заменяет союз «и». Если произошло событие А В С, то это означает, что наступило событие {Ли В и С\. Пример. Пусть имеются следующие события: А = {из колоды карт извлечена «дама»}, В = {из колоды карт извлечена карта пиковой масти}. Очевидно, что событием - это событие {извлечена «дама пик»}. Разностью двух случайных событий называется событие, состоящее в том, что одно из событий произойдет в результате испытания, а другое нет. Если имеются два случайных события А и 5, то разность А \ В означает, что событие А наступило, а событие В не наступило. Пример. Пусть имеются следующие события: А = (из колоды карт извлечена «дама»}, В = {из колоды карт извлечена карта пиковой масти}. Очевидно, что событие А \ В - это событие {из колоды карт извлечена «дама», но эта «дама» не пиковой масти}. Определениям действий над случайными событиями можно проиллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера-Венна (табл. 2). Таблица 2 Действия над множествами Множество элементарных исходов, соответствующее сумме событий А и В, является объединением множеств исходов, соответствующих событиям А и В А и К Диаграммы Эйлера-Венна 1 а 14

15 Действия над множествами Множество элементарных исходов, соответствующее произведению событий А и В, является пересечением множеств исходов, соответствующих событиям Aw В Множество элементарных исходов, соответствующее разности событий А и В, является разностью множеств исходов, соответствующих событиям А и В Множество элементарных исходов, соответствующее событию Л, является дополнением множества исходов, соответствующих событию А до fl Продолжение табл. 2 Диаграммы Эйлера-Венна Аг^В О а / А\В А=П\А су \ 3. ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Основное свойство любого случайного события, независимо от его природы, - вероятность его осуществления. Под вероятностью реального события понимается мера его объективной возможности. Дадим классическое определение вероятности. Если элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу, то вероятностью события А называется отношение количества элементарных исходов из множества Г2, благоприятствующих этому событию (исход со из множества Q, который приводит к наступлению события А (т.е. А : со с А), называется благоприятствующим событию А), к общему числу всех исходов испытания, составляющих Q: 15

16 Для вычисления числа благоприятствующих рассматриваемому событию исходов и общего числа исходов широко используются формулы комбинаторики. Легко заметить, что вероятность любого события удовлетворяет неравенствам: 1) вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей: О < Р(А) < 1; 2) вероятность невозможного события равна нулю: /><0) = * = = 0; п п 3) вероятность достоверного события равна единице: р(п) = : i = = 1; п п 4) вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий (т.е. если АВ = 0): Р(А + В) = Р(А) + Р{В). Пример 1. В урне находятся 12 белых и 8 черных шаров. Какова вероятность того, что наудачу извлеченный шар будет белым? Решение: пусть А= {извлечен белый шар}. Ясно, что число всех равновозможных исходов опыта п = = 20. Число случаев, благоприятствующих событию А, равно 12, следовательно, П А ) = >» У 0,6. п 20 Пример 2. В ящике находится 10 деталей, среди которых 7 окрашенных. Наудачу достали 4 детали. Найти вероятность того, что все извлеченные детали окрашены. Решение: число всех равновозможньтх исходов опыта равно числу сочетаний из п по т (т.е. числу способов выбрать т предметов из п): 16

17 m{{n m)\ По условию задачи общее число исходов 4 _ 10! _ = ~ 4!(Ю-4)! ~ Число исходов, благоприятствующих наступлению события А извлеченные детали окрашены}, (все Г4 = 7! = ~ 4!(7-4)! ~ = 35. Окончательно получим: Р(А) = = - = 0, Пример 3. Среди 20 одинаковых деталей 5 содержат скрытый дефект. Наудачу выбирают 6 деталей. Какова вероятность того, что среди выбранных деталей 2 имеют скрытый дефект. Решение: элементами множества Q являются цепочки из 6 чисел вида «110011», «100010», «010101» и т.д. (где 1 соответствует качественная деталь, 0 - деталь со скрытым дефектом). Все эти исходы равновозможны. Общее количество исходов составит «-r _6!(20-6)! = Число исходов, благоприятствующих событию А, равно произведению т = С^С'^ = (2 детали с дефектом выбраны из 5, 4 качественные детали выбраны из 15). Рассуждения иллюстрируются схемой на рис. 1). По формуле классической вероятности получаем: С 2 С 4 ( = 0, Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число воз- Рис. 1 17

18 можных исходов которых бесконечно. В таких случаях классическое определение неприменимо. По этой причине наряду с классическим определением вероятности используют и другие определения, в частности статистическое. Статистической вероятностью события А называется число, около которого колеблется относительная частота W(A) А при достаточно большом числе испытаний (опытов). Согласно данному определению, события P{A) = W(A) =. п Если в результате достаточно большого числа испытаний оказалось, что относительная частота W(A) близка к числу 0,4, то это число можно принять за статистическую вероятность события. Статистической вероятности приписываются свойства относительной частоты. Рассмотрим геометрическое определение вероятности. Пусть Q - это некоторая область в пространстве R" и в результате испытания в этой области П появляется точка со. Вероятность Р(А) того, что со е А, где А - область, принадлежащая Q (А а П), называется геометрической вероятностью и определяется как Р(А) = т(а) где т(а), m(q) - меры областей А и Q. Под мерой понимается длина, площадь, объем в одно-, двух- и трехмерном пространстве. Пример I. Найти вероятность того, что сумма выбранных наугад положительных чисел, каждое из которых не больше 1, не превзойдет 1, а их произведение будет не больше -. 9 Решение: пусть взяты числа.г и v. По условию задачи 18

19 О < х < 1; О < v < I; х + v < 1; 2 л- у<-. Область всех возможных значений офаничена квадратом OA ВС (рис. 2), площадь которого S = 1. Область значений, благоприятствующих событию D = {сумма чисел х и v не превзойдет 1, а их произведение будет не больше }, 9 ограничена заштрихованной областью, а ее площадь равна сумме площадей: 1 2 з з 2 S 1 + S 2 + S, = J (l - x) dx + J <& J <iv + J (l - л-) dx = 2/(9x) -I h 1 i f f 2\ ] 2 X - Л* + - ln.r + X = 9 1 \ V 2j ) 3 3 Пример 2. Два друга X и Y договорились встретиться в период с 13 до 14 часов дня. Тот, кто приходит первым, ждет второго 15 минут и уходит. Какова вероятность их встречи, если приход каждого в течение часа случаен, а моменты прихода независимы? Решение: событие А = {встреча состоялась}, х и у - моменты прихода к месту встречи X и Y, причем 0 < х < 1, 0 < у < 1. Пары (.г, у) представляют собой все возможные моменты прихода XwY. Чтобы встреча состоялась, необходимо соблюдение условия \х - И < 4 (15 минут составляют часа). Область G (множество всех возможных исхо- 4 19

20 V 1/4 3/4 дов) - это квадрат площадью S = 1. Область ^ (заштрихована на рис. 3) - область исходов, благоприятствующих событию А. Вероятность события А равна отношению площади заштрихованной фигуры к площади квадрата: О Р(А) = т(а) 7 1/4 3/4 х /н(п) 6 Рис. 3 Аксиоматическое определение вероятности случайного события создано в 1933 г. академиком Андреем Николаевичем Колмогоровым. Аксиомы теории вероятностей вводятся таким образом, чтобы вероятность события обладала основными свойствами статистической вероятности, характеризующей ее практический смысл. В этом случае теория хорошо согласуется с практикой. Пусть Q - множество всех возможных исходов некоторого опыта (эксперимента), S - алгебра событий. Совокупность подмножеств S множества Г2 называется алгеброй (о-алгеброй), если выполнены следующие условия: - S содержит невозможное и достоверное события; - в случае, когда события Д, А 2, А У,... (конечное или счетное множество) принадлежат S, S также принадлежат сумма, произведение и дополнение (т.е. противоположное для A I) этих событий. Вероятностью называется функция Р(А), определенная на алгебре событий S, принимающая действительные значения и удовлетворяющая следующим аксиомам. Аксиома неотрицательности, вероятность любого события А е S неотрицательна, то есть Р(А) > 0. Аксиома нормированности. вероятность достоверного события равна единице, т.е P(Cl) = 1. 20

21 Аксиома аддитивности: вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е. если AiAi = О (/' ± Д то Г( А) = \к=] ) /с=1 ±Р(А\ Из аксиом теории вероятностей выводятся очевидные свойства вероятности. 1. Вероятность невозможного события равна нулю: Р{0) = 0. Поскольку А = А + 0 и А0 = 0, то, согласно аксиоме аддитивности, имеем Р(А)= Р(А)+ Р(0\ следовательно 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: Р(А) + Р{А)= 1. Поскольку 2 = А + А, то Р(А + А)= ^(П), а так как А А = 0, то в силу аксиом нормированности и аддитивности получаем Р(А)+ Р{А) = 1, или Р(А) = 1 - Р(А). Пример. Из колоды, содержащей 36 карт, наудачу вынимают 3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна «дама». Решение: пусть А = [среди извлеченных 3 карт имеется хотя бы одна «дама»}, А] = {среди извлеченных 3 карт имеется одна «дама» }, А2 = {«среди извлеченных 3 карт имеются 2 «дамы»}, АЪ = {среди извлеченных 3 карт имеются 3 «дамы»]. Тогда А = АХ + А2 + АУ, причем события А{, А*,, А, - несовместные. Поэтому Р(А)= Р(А1)+ Р(А2)+ 1 (А%). Число всевозможных 3 случаев выбора 3 карт из 36 С?6; число случаев, благоприятствующих событиям А{, А2, А?, соответственно т{ = С\(%, т2 = ClC\2, Щ = C4Y'"2. Таким образом, Р(А) = (( V: : + С]С\2 + С^2 )/Г, 6«0,31. 3 Задача решается проще, если воспользоваться свойством 2. Находим Р{А), где событие А = {среди извлеченных карт нет ни одной «дамы»}. Ясно, что 32 карты из 36 - это не «дамы», из этих 32 карт наудачу извлекаются 3. Количество способов, которыми можно это сделать, т = С\2). Тогда Р[А) = = Сп I С* = 0,69. Значит, 1\А) = 1-0,69 = 0,31. 21

22 3. Вероятность любого события не превосходит единицы: Р(А) < 1. Из свойства Р(А)+Р(А)=\ вытекает, что Р(А)=\-Р{А), с учетом аксиомы неотрицательности получаем: Р(А) < Если A <z 5, т.е. событие А влечет за собой событие В, то Р(А)< Р(В). Так как В = (В - А) + А при /1с5 и {В - А) А = 0, то, согласно аксиоме аддитивности, получаем Р(в) = Р(В - А)+ Р(А). Но Р(В - А)>0 (аксиома неотрицательности). Значит, Р(А)< Р(В). 5. Если события Д, А 2, А-,, А Н образуют полную группу не совместных событии, т.е. ^P(AI) = Q и AFA.=0 (i~ф у), то /=i 6. Если события совместны, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей без вероятности их произведения: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ). Представим события А + В и В в виде суммы двух несовместных событий: А + В = А + ВА, В = АВ + В А. Справедливость утверждений иллюстрируется рис. 4. Тогда, согласно аксиоме аддитивности, Р(А + В) = Р(А) + р(в А) и Р(В)= Р(АВ)+ Р{В~А). Отсюда следует, что Р(А + В) = Р(А) + Р(в) - - Р(АВ). Рис. 4 Можно получить формулу вероятности суммы трех и большего числа совместных событий: Р(А + В + С) = Р(А)+ Р(В)+ Р(С)- Р(АВ)- Р(АС)- Р(ВС)+ Р(АВС); 22 Р{А, + л+...+л) = 2 Ж ) - L4iA) + к=\ \<к [<к 2<п + 2Жлл)-"- -(- i)">u А... л). ]<А'! <А' 2 <Л-<я

23 Пример. Выбрасываются две игральные кости. Какова вероятность появления хотя бы одной шестерки? Решение: введем события: А = {появление шестерки на первой кости}, В = {появление шестерки на второй кости}. Тогда событие А + В = {появление хотя бы одной шестерки при выбрасывании двух костей}. События А и В совместные. Согласно свойству 6, ЫА»\ Р[А + В) = --\ = = v ' События А и В называются зависимыми, если появление одного из них изменяет вероятность появления другого. события Пусть А и В- зависимые события. Условной вероятностью А при условии В называется вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В произошло. Эту вероятность можно найти по формуле Р В(А) = Р(А\В)=^, Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них па условную вероятность второго: Р(АВ) = Р(А) Р А{В) = Р(В) Р В(А). Два события А я В называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого, т.е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности: (событие А не зависит от события В) Р А(В)= Р(В). Если событие В не зависит от события А, то событие А не зависит от события В; это означает, что свойство независимости событий взаимно. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, т.е. при Р Л(В) = Р(В) и Р В(А) = Р(А) Р(АВ) = Р{А) Р(В). 23

24 Верно также и обратное утверждение. На практике вывод о независимости событий делают по смыслу задачи. Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события {первое орудие поразило цель} и {второе орудие поразило цель) независимы. Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Например, события А, В, С попарно независимы, если независимы события А и В, А и С, В и С. Несколько событий называют независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Если несколько событий независимы попарно, то отсюда еще не следует их независимость в совокупности. В этом смысле требование независимости событий в совокупности сильнее требования их попарной независимости. Примеры решения задач Задача /. По мишени стреляют три стрелка. Вероятности попадания соответственно равны 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что попадут в мишень все три стрелка. Решение: пусть событие А = {в мишень попал первый стрелок}, В = {в мишень попал второй стрелок} и С = {в мишень попал третий стрелок}. Эти события независимые. Применяя теорему умножения вероятностей независимых событий, получим вероятность совместного появления всех трех событий Р(АВС ) = Р(А)Р(В)Р(С) = = 0,7 0,8 0,9 = 0,504. Задача 2. В урне находятся 3 белых, 2 черных и 4 синих шара. Какова вероятность того, что первым будет вынут белый шар, вторым - синий, третьим - черный? Шары не возвращаются. Решение: пусть события: А = (извлечен белый шар), В = {извлечен синий шар}, С = {извлечен черный шар}. Вероятность того, что первым будет извлечен белый шар, 24

25 3 3 1 Р(А) = = - = Событие В происходит после события А, при этом условия изменились - общее количество шаров уменьшилось и стало равно 8, поэтому события А и В- зависимые и речь идет об условной вероятности события В: Р А(в) = = 0,5. Событие С происходит после со- 8 бытии А и В, поэтому вероятность ето тоже условная: Р 4И (С) = ^. Вероятность совместного появления событий Р(АВС ) = Р(А) РЛ (В) РЛВ (С) = i i I = Jj- = 0,048. Можно сформулировать условие задачи несколько иначе: в урне находятся 3 белых, 2 черных и 4 синих шара. Какова вероятность того, что первым будет вынут белый шар, вторым - синий, третьим - черный, если шары возвращаются в урну после каждого испытания? В новых условиях решение изменится. Результат каждого испытания не будет зависеть от того, какое событие ему предшествовало, следовательно, 4 4??4 Р(АВС) = Р{А) Р(В) Р(С) =±.±.± = ^- = 0,033. Задача 3. Найти вероятность совместного появления герба при однократном выбрасывании двух правильных монет. Решение: вероятность появления герба на первой монете (событие А) Р(А) = ^; на второй монете (событие В) - Р(в) = i. События А и В - независимые, поэтому искомая вероятность по теореме умножения Р(АВ) = Р{А)Р(В)Л^-Л. 25

26 Задача 4. Имеется 3 ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8 стандартных деталей, во втором - 7 и в третьем - 9. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все 3 вынутые детали окажутся стандартными. Решение: вероятность того, что стандартная деталь вынута из: первого ящика (событие А) Р(А) = = 0,8; второго ящика (событие В) - Р(в) = = 0,7; третьего ящика (событие С) - Р(с) = = 0,9. Так как события А, В и С - независимые в совокупности, то искомая вероятность (по теореме умножения для независимых событий) Р(АВС) = Р(А)Р(В) Р(С) = 0,8 0,7 0,9 = 0,504. Задача 5. У кассы в очереди стоят 2л человек; п человек имеют денежные знаки только пятирублевого достоинства, а остальные п - только десятирублевого достоинства. В начале продажи в кассе денег нет. Каждый покупатель берет по одному билету стоимостью 5 рублей. Чему равна вероятность того, что ни один из покупателей не будет ждать сдачу? Решение: все возможные расположения покупателей в очереди равновозможны, поэтому для решения задачи можно применить формулу классической вероятности. Чтобы определить общее число элементарных исходов в множестве Q. и число исходов, соответствующих событию А = (ни один из покупателей не будет ждать сдачу}, используем геометрический прием. Покупателей изобразим точками на оси Ох с координатами 1, 2,...,2л в порядке занимаемой ими очереди. За начало координат примем кассу. Каждому покупателю, имеющему десятки, припишем ординату +1, а каждому, имеющему пятерки, -1. Одна из возможных траекторий представлена на рис

27 Траекторией называют полученную соединением соседних точек ломаную линию. Рис. 5 Затем просуммируем слева направо определенные в целочисленных точках ординаты и отложим в каждой из них получившуюся сумму. Легко заметить, что в точке с абсциссой 2п эта сумма равна О (суммируются п слагаемых+1 и п слагаемых-1). Общее число различных возможных траекторий равно числу всевозможных размещений п подъемов среди 2 п спусков и подъемов. Благоприятствуют искомому событию те траектории, которые не поднимаются над осью абсцисс (иначе к кассе хотя бы 1 раз подойдет покупатель с десяткой, когда там нет сдачи). Чтобы вычислить число траекторий, хотя бы 1 раз достигающих или пересекающих прямую у = 1, построим фиктивную траекторию, которая до первого соприкосновения с у = 1 совпадает со старой, а от точки соприкосновения является зеркальным отражением старой траектории относительно у = 1. По-новому траекторию определим только для траекторий, хотя бы 1 раз достигающих прямую у = 1. Для остальных траекторий, благоприятствующих искомому событию, она совпадает со старой. Новая траектория начинается в точке (0,0), заканчивается в точке (2/7,2) и имеет на 2 единичных подъема больше, 27

28 чем спусков, т.е. общее число новых траекторий С'^1 (это число способов расположения /7 + 1 подъемов среди 2п подъемов и спусков). Таким образом, число благоприятствующих случаев равно СЛ п - С"^, а искомая вероятность составит -> - С, _ п 1 С1, /7 + 1 /7 + 1 Задача 6. В коробке 5 синих, 4 красных и 3 зеленых карандаша. Наудачу вынимают 3 карандаша. Какова вероятность, что: а) все они одного цвета; б) среди них 2 синих и 1 зеленый карандаш; в) все они разных цветов. Решение: а) событие А = {все 3 карандаша одного цвета\. Будем искать вероятность этого события по формуле /77 Р(А) = -. л Общее число всех единственно возможных и равновозможных исходов испытания, состоящего в том, что из двенадцати карандашей, находящихся в коробке, случайным образом вынимают три - п. При ответе на вопрос, сколькими различными способами можно это сделать, необходимо обратиться к формулам комбинаторики, а именно к /7' формуле Q" = г-, так как порядок в данном случае не имеет т\ (п - т). значения. Итак, достать 3 карандаша из 12 имеющихся можно,з 12! С,\ = - = 220 способами. T2 3!-9! Число исходов, благоприятствующих событию А, т.е. число исходов из 220 возможных, когда все 3 карандаша будут одного цвета - т. Очевидно, что есть возможность С$ =10 раз вытащить все 3 карандаша синего цвета, Q' = 4 раза красного и С, = 1 раз зеленого. Итого, /77 = =

29 Тогда вероятность события А б) событие В = {среди извлеченных карандашей 2 синих и 1 зеленый}. Р(А) Т 1 5 л 220 Так как опыт остался тем же самым - извлечь 3 карандаша из 12, то п = 220, т - число исходов, благоприятствующих событию В, т.е. число исходов из 220 возможных, когда 2 карандаша будут синего цвета, а 1 - зеленого. По правилу умножения найдем т = С]С\ = = 10-3 = 30. Тогда вероятность события В Р(В) = = -; л 220 в) для события С = (все 3 карандаша разного цвета} п равно также 220, а т определим по правилу умножения: т = С\с\с\ = = = 60. Тогда вероятность события С п 220 Задача 7. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что: а) сумма очков не превосходит 7; б) на обеих костях выпадет одинаковое число очков; в) произведение выпавших очков делится на 4; г) хотя бы на одной кости выпадет 6 очков. Решение: множество элементарных исходов данного опыта (бросания двух игральных костей) можно представить следующим образом : П = {(1, 1), (1, 2), (1, 3),..., (1, 6), (2, 6),..., (6, 6)} = = ((',./): 1</<6,1<у<6}, где / количество очков, выпавших на первой кости; /' количество очков, выпавших на второй кости. 29

30 Количество элементов в множестве О есть я, т.е. п = 36. Чтобы найти т для каждого из случаев, надо подсчитать количество пар, удовлетворяющих заданным условиям, например, для события {сумма очков не превосходит 7}: (1, 1), (1, 2) и т.д. Ответ: а) ; о) :в) ; г) Задача 8. Восемь друзей распределяют места за круглым столом по жребию. Какова вероятность того, что два из них (А и В) будут сидеть рядом? Решение: событие С = {друзья сидят рядом}. Представим, что А садился первым и сел на любое место за столом, тогда В может выбрать себе место из оставшихся семи. Рядом с А он может сесть только справа и слева от него. Таким образом, п = 7, а т = 2. Тогда вероятность события С п 1 Задача 9. Двое друзей (А и В) стоят в очереди из 8 человек. Найти вероятность того, что: а) А к В стоят рядом; б) между А и В стоят 2 человека. Решение: а) очередь из 8 человек может иметь 8! различных составов. Чтобы посчитать количество вариантов, при которых А и В будут стоять рядом (т.е. друг за другом), представим их как одного человека, тогда очередь будет состоять из 7 человек. У такой очереди уже 7! различных составов. Если же учесть, что в ней все же 8 человек и возможны два варианта: А стоит впереди В w В стоит впереди А, то получим 2-7! различных составов очереди, где А и В стоят друг за другом, неважно в каком порядке. Итак, п = 8!, т = 2-7!, п 8! 4 б) чтобы подсчитать количество вариантов, при которых между А и В в очереди стоят 2 человека, придется всех четверых временно 30

31 считать за одного человека. Тогда в очереди останется только 5 человек: 4 обычных и 1 «объединенный». Количество составов очереди из 5 человек - 5!. Теперь учтем, во-первых, что неважно, кто (А или В) стоит впереди, а во-вторых, что состав «середины объединенного человека» может меняться - в него могут входить любые 2 из 6 человек, 6! стоящих в очереди помимо А и. В. Получим: 2 5! А 6 = 2 5! = 10 6! различных составов очереди, при которых между А и В стоят 2 любых человека. Итак, /7 = 8!, т= 10-6!, Р(А) = = ^ ^ =. п 8! 28 Задача 10. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что на первой кости выпало 2 очка, при условии, что сумма очков, выпавших на двух костях, меньше 6. Решение: пусть событие^ = {на первой кости выпало 2 очка}, а событие В = {сумма очков на двух костях меньше 6 }. 1. Найдем Р(в). Множество элементарных исходов П будет, очевидно, состоять из 36 элементов вида (/,7), где i,j - количество очков, выпавших на первой и второй костях, 1 < / < 6,1 < j < 6. Множество исходов, благоприятствующих наступлению события 5, будет состоять из 10 элементарных исходов: (1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (1, 4), (4, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2). Таким образом, Р(в) = ^ Найдем Р(АВ). Событие АВ состоит в том, что сумма очков меньше 6 и на первой кости выпало 2 очка. Исходы, благоприятствующие этому событию: (2, 1), (2, 2) и (2, 3). Таким образом, Р(АВ) = 3. Тогда 36 В У ' Р{В) Ю Ю 36 31

32 К такому же результату можно прийти, используя классическое определение вероятности. Раз событие В уже произошло, т.е. сумма меньше 6 очков, то /7 = 10. Среди этих 10 исходов ровно 3 благоприятствуют событию А, т = 3, Р В(А) = =. п 10 Задача П. Четыре поздравительные открытки случайно разложены по четырем конвертам с адресами. Найти вероятность того, что хотя бы одна открытка попала в свой конверт. Решение: множество элементарных исходов D (рис. 6) состоит из всех возможных расположений открыток по конвертам. Количество элементов в 2 составляет 4! = 24. Событие А = {хотя бы одна открытка попала в свой конверт), можно представить в виде А = АХ + А2 + А3 + А4, где Ап i = 1, 2, 3, 4, событие {/-я открытка попала в свой конверт}. По классическому определению вероятности Ф 1 ) = - = 1, Фл) = - =, jy s v 17 4! 4" v 1 ' 4! 4-3 Рис. 6 Р(АА0АЛ=Р(АА,А,А,) = - =. При любых попарно различных /, j, к Р(А,) = ± Н и ) = -!-, Р{МА) = ± По формуле Р{А } + А А Я) = Р{А К) - Л,) + 1<А- <к-,<п + I Л А У А Л П )- (- О"" 1 Ф1 Л - Л) найдем 32

33 " Задача 12. В урне находится 4 шара: красный, синий, черный и трехцветный (красно-сине-черный) шар. Извлекается один шар. Исследовать на независимость события: К = {извлеченный шар имеет красный цвет}, С = {извлеченный шар имеет синий цвет} и Ч = {извлеченный шар имеет черный цвет}. Решение: А и В независимы, если Р(АВ) = Р(А) Р(В). Множество всевозможных исходов Q = {К, С, Ч, КСЧ}. Тогда а Р{К) = Р(С)=Р{Ч)= 2 =^, 4 2 Таким образом, Р{КС)=Р{КЧ) = Р(ЧС) =-. 4 Р(КС) = Р(К)Р(С) = 1-\ = \, т.е. события К и С независимы. Аналогично и для других пар. Однако Р(КСЧ) = I Ф Р(К) р(с) Р^) = \, т.е. события независимы только попарно, но не являются независимыми в совокупности. Задача 13. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках соответственно равны 0,6, 0,7 и 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится: а) во всех трех справочниках; б) только в одном; в) хотя бы в одном. Решение: пусть события А- = (формула содержится в i-м справочнике}, А = {формула содержится во всех трех справочниках}, 33

34 В = {формула содержится только в одном справочнике), С = {формула содержится хотя бы в одном справочнике}; а) выразим событие А через AL,A2,A3 : А = А ХА 2А 3. Так как А1,А2,А3 по условию задачи независимы, то по теореме умножения событий Р{А) = Р(А{)Р(А2) Р(А3) = 0,6 0,7 0,8 = 0,336; б) выразим событие В через Д, А 2, А 3 : В = А хагаъ + А\А 2Аъ + + AiAiA,. Каждое из слагаемых является произведением трех независимых событий, а сами слагаемые несовместны. Тогда по теоремам сложения и умножения Р(В) = Р(А{ ) Р(А2 ) Р(Ъ ) + P(AI ) Р(А2 ) Р(А, ) + P(AI ) Р(А2 ) Р(АЬ ) = = 0,6 0,3 0,2 + 0,4 0,7 0,2 + 0,4 0,3 0,8 = 0,188; в) рассмотрим событие С = {формула не содержится ни в одном из справочников}: Р(С) = 1 - Р(С), С = ALA.,A3. Тогда Р(С) = I - Р{А,) Р(А 2) Р{А?) = 1-0,4 0,3 0,2 = 0,976. Задача 14. Из цифр 1,2, 3, 4, 5 выбирается одна, а из оставшихся - вторая. Найти вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра: а) первый раз; б) только во второй раз; в) оба раза. Решение: пусть события Ч = {выбрана четная цифра}, Н = {выбрана нечетная цифра}; 3 а) очевидно, Р(И) = = 0,6; б) событие А = {только во второй раз выбрана нечетная цифра} подразумевает, что в первый раз была выбрана четная, т.е. А = ЧН. Эти события являются зависимыми, так как Р(Н) Ф Л Т(Н), поэтому Р{А) =Р(ЧН) = Р{ч) РЧ(Н) = = 0,3; в) Р(НН) = Р(Н)Р Н(Н) = ^4= 0 ' 3-34

35 Задача 15. Студент Петров выучил к зачету 20 вопросов из 30, а Сидоров - только 15. Для получения зачета достаточно ответить на один вопрос. Какова вероятность, что хотя бы один из них получит зачет? Решение: пусть А = {хотя бы один из студентов получит зачет}, П = {Петров получит зачет}, С = {Сидоров получит зачет}. По определению суммы событий А = П + С. События П и С являются совместными, поэтому PW - р ( п + о - Р ( п) + РЮ - Р(по - g + -1 f o - f. Можно решить задачу иначе. Рассмотрим события А = {ни один из студентов не получит зачет), П = (Петров не получит зачет) и С = (Сидоров не получит зачет}. Тогда искомая вероятность р(а)=^-ал)=\-р(й)р{с)=\---- = Задача 16. Петров разыскивает нужный ему телефон в двух справочниках. Вероятность найти нужный телефон в первом справочнике - 0,6; во втором - 0,7. Какова вероятность обнаружить нужный телефон: а) в одном справочнике; б) хотя бы в одном справочнике; в) в двух справочниках? Решение: обозначим р { = 0,6, q x = 1 - р { = 0,4, р 2 = 0,7, q 1 = 1 - р 2 = 0,3. В табл. 3 представлены события, составляющие множество Q, и их вероятности, а также вероятности событий: А () = = {ни в одном справочнике телефон не найден), А х = (телефон найден в одном справочнике), А 2 = (телефон найден в двух справочниках). Множество О 4 Pi = РМ, ЦР, =1 /=1 Событие A / = 0, 1, 2 Таблица 3 P{At) со. 0,0 с Шг =0,4-0,3 =0,12 Л 0,12 ю2 1,0 p,q 2 =0,6-0,3 =0,18 0,1 qlpz = OA 0,7 = 0,28 4 0,46 ю4 U plpl = 0,6 0,7 = 0,42 A, 0,42 35

36 По табл. 3 легко определить, что вероятность найти нужный телефон в одном справочнике равна 0,46, хотя бы в одном справочнике (либо в одном, либо в двух - это событие противоположно событию (телефон не найден ни в одном из справочников}) - 1-0,12 = 0,88, в двух справочниках - 0,42. Вопросы и упражнения 1. Случайные события А и В, удовлетворяющие условиям: Р(А) = 0,3; Р(В) = 0,4; Р(АВ) = 0,2, являются: а) совместными в) несовместными и независимыми; и независимыми; б) совместными г) несовместными и зависимыми; и зависимыми. 2. Произведением случайного и невозможного события является событие: а) невозможное; в) случайное; б) достоверное; г) противоположное. 3. Какую вероятность имеет событие А, являющееся произведением случайного и достоверного события: а) 1; в)ф); б) 0; г) Р{2). 4. Если событие А является случайным, а событие В невозможным, то их сумма будет событием: а) невозможным; в) случайным; б) достоверным; г) противоположным. 5. Какую вероятность имеет событие А, являющееся суммой случайного и достоверного события: а) 1; в) Р{А)- б) 0; г) Р(2). 36

37 6. В каком случае безусловные вероятности событий, образующих полную группу, и условные вероятности этих событий, рассчитанные по формуле Байеса, совпадают? 7. Несовместные события А, В и С не образуют полную группу, если их вероятности равны: 8. Приведите пример совместных и независимых случайных событий. а) Р(А) = б) Р(А) = 1 3' в) Р(А) = 6 1 г) Р{А) = О 2 1 4' 1 1 3' Р(С) = з ; 6' Р(С) = 2 з ; 3' Р(С) = 1 2' 9. Приведите пример несовместных зависимых событий. 10. Известно, что Р(А) = 0,3, Р А(в) = 0,3 и Р(АВ)= 0,06, тогда вероятность Р(в) равна: а) 0,2; в) 0,02; б) 0,3; г) 0,6. Задачи для самостоятельного решения Задача 1. Брошены три игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) на каждой из выпавших граней появится 5 очков; б) на всех выпавших гранях появится одинаковое число очков. Ответы: а) ' ; б) Задача 2. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает ее наудачу. Найдите вероятность того, что ему придется сделать не более чем 2 неудачные попытки. Ответ: 0,3. 37

Предмет теории вероятностей

Предмет теории вероятностей Предмет теории вероятностей В различных разделах науки и техники нередко возникают ситуации, когда результат каждого из многих проводимых опытов заранее предугадать невозможно, однако можно исследовать

Подробнее

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА Кафедра математики и информатики Математика Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 6 Элементы теории вероятностей и математической статистики

Подробнее

Теория вероятностей. Случайные события. Параграф 1: Общие понятия.

Теория вероятностей. Случайные события. Параграф 1: Общие понятия. Параграф : Общие понятия Теория вероятностей Случайные события Определение : Теория вероятностей математическая наука, изучающая количественные закономерности в случайных явлениях Теория вероятностей не

Подробнее

. Число случаев, когда среди этих двух шаров будут два белых, равно

. Число случаев, когда среди этих двух шаров будут два белых, равно 1.1. Классическое определение вероятности Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может

Подробнее

ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ

ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ Аксиомы Колмогорова В 1933 г. А. Н. Колмогоров в книге «Основные понятия теории вероятностей» дал аксиоматическое обоснование теории вероятностей. «Это означает, что, после

Подробнее

Основные положения теории вероятностей

Основные положения теории вероятностей Основные положения теории вероятностей Случайным относительно некоторых условий называется событие, которое при осуществлении этих условий может либо произойти, либо не произойти. Теория вероятностей имеет

Подробнее

{ определения - случайное событие - операции над событиями вероятность на дискретном пространстве элементарных исходов классическое определение

{ определения - случайное событие - операции над событиями вероятность на дискретном пространстве элементарных исходов классическое определение { определения - случайное событие - операции над событиями вероятность на дискретном пространстве элементарных исходов классическое определение вероятности пример гипергеометрическое распределение пример

Подробнее

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 3. Методы определения вероятностей

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 3. Методы определения вероятностей МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 3 Методы определения вероятностей 0 Классическое определение вероятностей Любой из возможных результатов опыта назовем элементарным

Подробнее

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при осуществлении определенной совокупности условий. Обозначение: Ω (истина).

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при осуществлении определенной совокупности условий. Обозначение: Ω (истина). Достоверное событие. Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при осуществлении определенной совокупности условий. Обозначение: Ω (истина). Невозможное событие. Событие, которое

Подробнее

ТЕМА 3. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ТЕМА 3. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Операции над случайными событиями. Алгебра событий. Понятие совместности событий. Полная группа событий. Зависимость и независимость случайных событий. Условная

Подробнее

{ σ-алгебра - поле случайных событий - первая группа аксиом Колмогорова - вторая группа аксиом Колмогорова - основные формулы теории вероятностей -

{ σ-алгебра - поле случайных событий - первая группа аксиом Колмогорова - вторая группа аксиом Колмогорова - основные формулы теории вероятностей - { σ-алгебра - поле случайных событий - первая группа аксиом Колмогорова - вторая группа аксиом Колмогорова - основные формулы теории вероятностей - теорема сложения вероятностей - условная вероятность

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Теория вероятностей - раздел математики, изучающий закономерности, возникающие в случайных испытаниях. Исход испытания - случайный по отношению к испытанию, если в ходе этого

Подробнее

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 5: ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 5: ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ

Подробнее

Задачи, рассмотренные в данном разделе, обобщают сведения комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Основные формулы комбинаторики.

Задачи, рассмотренные в данном разделе, обобщают сведения комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Основные формулы комбинаторики. Тема 53 «Комбинированные задачи». Задачи, рассмотренные в данном разделе, обобщают сведения комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Основные формулы комбинаторики. Без повторений С повторениями

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ ЛЕКЦИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ Вероятность события относится к основным понятиям теории вероятностей и выражает меру объективной возможности появления события Для практической деятельности важно

Подробнее

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 4: ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 4: ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ

Подробнее

m раз. Тогда m называется частотой, а отношение f = - относительной

m раз. Тогда m называется частотой, а отношение f = - относительной Лекция Теория вероятностей Основные понятия Эксперимент Частота Вероятность Теория вероятностей раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений Случайные события это события, которые при

Подробнее

Перейти на страницу с полной версией»

Перейти на страницу с полной версией» ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «Челябинская государственная академия культуры и искусства» Кафедра информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

Определение. Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут. 6 Перестановки

Определение. Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут. 6 Перестановки 1 Основные понятия комбинаторики 1 Приложение Определение Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут Пример Вычислить 4! 3! n! 1 3 n 4!-3!= 1 3 4 1 3 4 18

Подробнее

ТЕМА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КЛАССИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТИ

ТЕМА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КЛАССИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТИ ТЕМА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КЛАССИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТИ Предмет теории вероятностей. Понятие случайного события. Пространство элементарных событий. Классическое и геометрическое

Подробнее

Лекция 2 Тема: АЛГЕБРА СОБЫТИЙ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ВЕРОЯТНОСТИ

Лекция 2 Тема: АЛГЕБРА СОБЫТИЙ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ВЕРОЯТНОСТИ Лекция Тема: АЛГЕБРА СОБЫТИЙ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ВЕРОЯТНОСТИ Алгебра событий Суммой событий и называется событие S = +, которое состоит в наступлении хотя бы одного из них Произведением событий и называется

Подробнее

Элементы теории вероятностей. План.

Элементы теории вероятностей. План. Элементы теории вероятностей. План. 1. События, виды событий. 2. Вероятность события а) Классическая вероятность события. б) Статистическая вероятность события. 3. Алгебра событий а) Сумма событий. Вероятность

Подробнее

С k n = n! / (k! (n k)!)

С k n = n! / (k! (n k)!) ПРКТИКУМ Основные формулы комбинаторики Виды событий Действия над событиями Классическая вероятность Геометрическая вероятность Основные формулы комбинаторики Комбинаторика изучает количества комбинаций,

Подробнее

ЗАДАЧИ. Пример2( 93): Сколькими способами 10 человек могут встать в очередь друг за другом? Решение: 10!=

ЗАДАЧИ. Пример2( 93): Сколькими способами 10 человек могут встать в очередь друг за другом? Решение: 10!= ЗАДАЧИ На правила суммы и произведения Пример1(пр.10): На книжной полке стоят 20 книг по алгебре, 12 по теории вероятностей, 7 по мат. анализу и 25 по литературе. Сколькими способами можно выбрать книгу

Подробнее

2) если случайные события образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство P(A 1 + A A k )= P(A 1 )+ P(A 2 )+ + P(A k )=1

2) если случайные события образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство P(A 1 + A A k )= P(A 1 )+ P(A 2 )+ + P(A k )=1 13 Сложение и умножение вероятностей Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В Записывается: События А и В называются равными, если каждое из них является частным

Подробнее

Кафедра высшей математики. Лекции по теории вероятностей и математической статистике

Кафедра высшей математики. Лекции по теории вероятностей и математической статистике Кафедра высшей математики Лекции по теории вероятностей и математической статистике Раздел. Теория вероятностей Предмет теории вероятностей изучение специфических закономерностей в массовых однородных

Подробнее

Предмет теории вероятностей. Историческая справка

Предмет теории вероятностей. Историческая справка Лекция 1. Тема: ОСНОВНЫЕ ПОДХОДЫ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ВЕРОЯТНОСТИ Предмет теории вероятностей. Историческая справка Предметом теории вероятностей является изучение закономерностей, возникающих при массовых, однородных

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 5. Тема: Комбинаторика, введение в теорию вероятностей 1 Тема: Комбинаторика Комбинаторика это раздел математики, изучающий

Подробнее

Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей

Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей Лекция 3 Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей Содержание темы Алгебра событий. Теоремы сложения вероятностей. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей. Формула полной вероятности.

Подробнее

ГЛАВА 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ГЛАВА 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ГЛАВА 5 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 5 Аксиомы теории вероятностей Различные события можно классифицировать следующим образом: ) Невозможное событие событие, которое не может произойти ) Достоверное событие

Подробнее

4. Теория вероятностей

4. Теория вероятностей 4. Теория вероятностей В контрольную работу по этой теме входят четыре задания. Приведем основные понятия теории вероятностей, необходимые для их выполнения. Для решения задач 50 50 необходимо знание темы

Подробнее

Н. Г. ТАКТАРОВ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: КРАТКИЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И РЕШЕНИЯМИ. Текст исправлен и дополнен

Н. Г. ТАКТАРОВ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: КРАТКИЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И РЕШЕНИЯМИ. Текст исправлен и дополнен Н. Г. ТАКТАРОВ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: КРАТКИЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И РЕШЕНИЯМИ Текст исправлен и дополнен АННОТАЦИЯ Книга является учебным пособием в котором кратко просто и доступно

Подробнее

X и значения k и c, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (a/2, b/2). Построить график функции распределения.

X и значения k и c, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (a/2, b/2). Построить график функции распределения. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1 Варианты контрольной работы

Подробнее

Комбинаторные формулы

Комбинаторные формулы Комбинаторные формулы Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Обозначим его U n. Перестановкой из n элементов называется заданный порядок во множестве U n. Примеры перестановок: 1)распределение

Подробнее

ТЕМА 1. Комбинаторика. Вычисление вероятностей = 4080.

ТЕМА 1. Комбинаторика. Вычисление вероятностей = 4080. ТЕМА 1 Комбинаторика Вычисление вероятностей Задача 1Б В розыгрыше кубка страны по футболу берут участие 17 команд Сколько существует способов распределить золотую, серебряную и бронзовую медали? Поскольку

Подробнее

Формула полной вероятности.

Формула полной вероятности. Формула полной вероятности. Пусть имеется группа событий H 1, H 2,..., H n, обладающая следующими свойствами: 1) Все события попарно несовместны: H i H j =; i, j=1,2,...,n; ij 2) Их объединение образует

Подробнее

Примеры контрольных и самостоятельных работ по теории вероятностей для учащихся 8 классов. 8 класс

Примеры контрольных и самостоятельных работ по теории вероятностей для учащихся 8 классов. 8 класс 8 класс Данные контрольные и самостоятельные работы рассчитаны для планирования курса теории вероятностей и статистики в количестве 34 часов в год по учебнику [1]. Планирование курса предложено в методическом

Подробнее

2. Действия над событиями

2. Действия над событиями Ответы 1.10. 14 17 = 238. 1.11. A 5 12 = 95040. 1.12. A3 7 = 7 3 = 343. 1.13. 6. 1.14. 4536. 1.15. 1120. 1.16. 720. 1.17. 125. 1.18. 165. 1.19. а) 126; б) 15. 1.20. P(4, 5, 6) = 630630. 1.21. а) P 4 =

Подробнее

Вероятность. Что это? Теория вероятностей случайного события Как решать задачи: классическая вероятность Вероятностью события

Вероятность. Что это? Теория вероятностей случайного события Как решать задачи: классическая вероятность Вероятностью события Вероятность. Что это? Теория вероятностей, как следует из названия, имеет дело с вероятностями. Нас окружают множество вещей и явлений, о которых, как бы ни была развита наука, нельзя сделать точных прогнозов.

Подробнее

ЧАСТЬ 1 ВВЕДЕНИЕ. Лекция 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЧАСТЬ 1 ВВЕДЕНИЕ. Лекция 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ЧАСТЬ 1 ВВЕДЕНИЕ Лекция 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить предмет курса; ввести понятия опыта, случайного явления, случайного события, а также вероятности и частоты события;

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Комбинаторика, правила произведения и суммы. Виды соединений

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Комбинаторика, правила произведения и суммы. Виды соединений ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Комбинаторика, правила произведения и суммы Комбинаторика как наука Комбинаторика это раздел математики, в котором изучаются соединения подмножества элементов, извлекаемые из конечных

Подробнее

вероятность того, что произведение очков не превзойдет в) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов: , в) p 5

вероятность того, что произведение очков не превзойдет в) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов: , в) p 5 ) Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит N ; б) произведение числа очков не превосходит N ; в) произведение числа очков делится на N. Решение:

Подробнее

Решение задач из сборника Чудесенко Теория вероятностей Задачи Вариант 6

Решение задач из сборника Чудесенко Теория вероятностей Задачи Вариант 6 Решение задач из сборника Чудесенко Теория вероятностей Задачи -0. Вариант 6 Задача. Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит N; б) произведение

Подробнее

Вероятность. достоверные. случайные

Вероятность. достоверные. случайные 1 Вероятность Обработка экспериментальных данных происходит с помощью различных методов. Обычно исследователь, получив данные эксперимента на одной или нескольких группах испытуемых и определив по ним

Подробнее

3. Классическое определение вероятности

3. Классическое определение вероятности чив через S событие, состоящее в том, что система незамкнута, можно записать: S = A 1 A 2 +B = (A 1 + A 2 )+B. 2.18. Аналогично решению задач 2.5, 2.6 получаем S = A(B 1 +B 2 ) C D; S = A + B 1 B 2 + C

Подробнее

ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1 ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ГЛАВА 1. 1. Элементы комбинаторики Определение 1. Примеры: Определение. -факториал это число, обозначаемое!, при этом! = 1** * для всех натуральных чисел 1,, ; кроме того,

Подробнее

игральных костях): C6 C6 а) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов:

игральных костях): C6 C6 а) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов: Задачник Чудесенко, теория вероятностей, вариант Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а сумма числа очков не превосходит N ; б произведение числа очков не превосходит N ; в

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 1 СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ЗАНЯТИЕ 1 СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ЗАНЯТИЕ 1 СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Основным понятием естествознания является понятие эксперимента, независимо от него, осуществляет этот эксперимент природа или исследователь Условно будем считать, что эксперимент

Подробнее

Составитель: доцент кафедры медицинской и биологической физики Романова Н.Ю. Теория вероятностей. 1 лекция

Составитель: доцент кафедры медицинской и биологической физики Романова Н.Ю. Теория вероятностей. 1 лекция Составитель: доцент кафедры медицинской и биологической физики Романова Н.Ю. Теория вероятностей 1 лекция Введение. Теория вероятностей это математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.

Подробнее

Тема 49 «Формулы числа сочетаний. Бином Ньютона». Основные формулы комбинаторики.

Тема 49 «Формулы числа сочетаний. Бином Ньютона». Основные формулы комбинаторики. Тема 49 «Формулы числа сочетаний. Бином Ньютона». Основные формулы комбинаторики. Без повторений С повторениями A = n! n k! A = n Порядок важен P = A = n! P = A = n Pk, k,, k = (k + k + + k )! k! k! k!

Подробнее

Теория вероятностей. (введение) Часть 1. Методические указания

Теория вероятностей. (введение) Часть 1. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ Теория вероятностей (введение) Часть 1 Методические

Подробнее

Теория вероятностей и элементы математической статистики: Учебное пособие / Пермский филиал ГУ ВШЭ; В.В. Морозенко. Пермь, с.

Теория вероятностей и элементы математической статистики: Учебное пособие / Пермский филиал ГУ ВШЭ; В.В. Морозенко. Пермь, с. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МИНИСТЕРСТВА ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУВПО «Пермский государственный университет» Доц. В.В. Морозенко УДК 59. (075.8) Кафедра высшей математики Теория

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГБОУ ВПО АМУРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МЕДИЦИНСКАЯ АКАДЕМИЯ Н.В.НИГЕЙ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ г. Благовещенск

Подробнее

М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ИВАНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Составитель:

Подробнее

Лекция 10. Теоремы сложения и умножения вероятностей Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих

Лекция 10. Теоремы сложения и умножения вероятностей Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих Лекция 10. Теоремы сложения и умножения вероятностей Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: Р( А+

Подробнее

АКСИАМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 2

АКСИАМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 2 ЧАСТЬ АКСИАМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Лекция ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННАЯ ТРАКТОВКА ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ИХ СЛЕДСТВИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: познакомить с

Подробнее

There are different algorithms of solutions of basic likelihood sums. These algorithms are illustrated by simple and clear examples.

There are different algorithms of solutions of basic likelihood sums. These algorithms are illustrated by simple and clear examples. Н.Н. Двоерядкина, Н.А. Чалкина АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ЗАДАЧ There are different algorithms of solutions of basic likelihood sums. These algorithms are illustrated by simple and clear examples.

Подробнее

Теория вероятностей. Методические указания к выполнению РГР. Для студентов ФТКиТ

Теория вероятностей. Методические указания к выполнению РГР. Для студентов ФТКиТ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. К. Э. ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н. Д. ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

1. Формула классического определения вероятн

1. Формула классического определения вероятн ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ЗАДАЧИ. Оглавление (по темам) 1. Формула классического определения вероятности. Элементы комбинаторики. Геометрическая вероятность 4. Операции над событиями. Теоремы сложения и умножения

Подробнее

Лекция 1. Тема: «Элементы комбинаторики»

Лекция 1. Тема: «Элементы комбинаторики» Лекция 1. Тема: «Элементы комбинаторики» Определение. Комбинаторика - это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить

Подробнее

ТЕМА III. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ...

ТЕМА III. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ... С О Д Е Р Ж А Н И Е ТЕМА III. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ... 2 1. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ... 2 1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ... 2 1.2. ДЕЙСТВИЯ НАД СЛУЧАЙНЫМИ СОБЫТИЯМИ... 4 1.3. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Подробнее

Лекция 3. Тема. Содержание темы. Основные категории. Основные теоремы и формулы теории вероятностей

Лекция 3. Тема. Содержание темы. Основные категории. Основные теоремы и формулы теории вероятностей Лекция 3 Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей Содержание темы Алгебра событий. Теоремы сложения вероятностей. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей. Основные категории алгебра

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

ЗАНЯТИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ЗАНЯТИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ МИСИС 2013 УТВЕРЖДАЮ: Д.Е. Капуткин Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования гор.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Теория вероятностей это наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

ЛЕКЦИЯ 1 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Теория вероятностей это наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. ЛЕКЦИЯ 1 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Теория вероятностей это наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Случайное явление это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же

Подробнее

Контрольная работа по прикладной математике для студентов 2 курса заочной формы обучения ВИШ направление подготовки

Контрольная работа по прикладной математике для студентов 2 курса заочной формы обучения ВИШ направление подготовки Контрольная работа по прикладной математике для студентов 2 курса заочной формы обучения ВИШ направление подготовки 08.03.01 строительство Вариант 1 1) Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее

Подробнее

Определить значение константы a, функцию распределения

Определить значение константы a, функцию распределения Вариант 1. 1. Из полного набора костей домино наугад выбирается кость затем она возвращается обратно и извлекается еще одна кость. Опpеделить веpоятность того что сумма цифp на каждой из костей меньше

Подробнее

Случайные события. Лекция 1

Случайные события. Лекция 1 Лекция Случайные события Определение. Элементарным исходом (или элементарным событием) называют любой простейший (т.е. неделимый в рамках данного опыта) исход опыта. Множество всех элементарных исходов

Подробнее

Практическая работа 3 Алгебра событий. Сложение и умножение вероятностей

Практическая работа 3 Алгебра событий. Сложение и умножение вероятностей Практическая работа 3 Алгебра событий. Сложение и умножение вероятностей Цель работы: освоить вычисление вероятностей совместных событий, определение вероятности по формулам суммы и произведения. Оборудование

Подробнее

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ. 3.1. Случайные события. Каждая наука при изучении явлений материального мира оперирует теми или иными понятиями, среди которых обязательно имеются основополагающие;

Подробнее

Практикум по теме 1 "Случайные события и операции над ними. Вероятность события"

Практикум по теме 1 Случайные события и операции над ними. Вероятность события Практикум по теме 1 "Случайные события и операции над ними. Вероятность события" Методические указания по выполнению практикума Целью практикума является более глубокое усвоение материала контента темы

Подробнее

Е. В. Морозова. Теория вероятностей

Е. В. Морозова. Теория вероятностей Е. В. Морозова Теория вероятностей 0 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

A первый взятый шар белого цвета; 24. Раздел 1. Случайные события. Литература. [4], гл. I; [5], гл 1 4.

A первый взятый шар белого цвета; 24. Раздел 1. Случайные события. Литература. [4], гл. I; [5], гл 1 4. Тема 2. Элементы теории вероятностей и математической статистики Раздел. Случайные события Литература. [4], гл. I; [5], гл 4. Основные вопросы.. Испытания и события, виды случайных событий, классическое

Подробнее

КРАТКИЙ КУРС ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

КРАТКИЙ КУРС ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ С.Н. ОВСЯННИКОВА КРАТКИЙ КУРС ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Учебное пособие Для студентов -го курса экономических специальностей Первый триместр Москва 0 С.Н. ОВСЯННИКОВА КРАТКИЙ КУРС

Подробнее

Практикум по решению задач по теории вероятностей и математической статистике

Практикум по решению задач по теории вероятностей и математической статистике Воробьев В.В. «Лицей» г.калачинска Омской области Практикум по решению задач по теории вероятностей и математической статистике Большую роль при изучении тем по теории вероятностей и статистики играют

Подробнее

появлений события к числу n всех произведенных опытов: A

появлений события к числу n всех произведенных опытов: A Практическая работа 16 Определение вероятности. Геометрическая вероятность. Сложение и умножение вероятностей Цель работы: вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятности

Подробнее

Распределение числа успехов (появлений события A) носит название биномиального распределения.

Распределение числа успехов (появлений события A) носит название биномиального распределения. 1.6. Независимые испытания. Формула Бернулли При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и то же испытание повторяется многократно и исход каждого испытания

Подробнее

Классическое определение вероятности. Решение Решение Решение

Классическое определение вероятности. Решение Решение Решение 1 Классическое определение вероятности 1 Колода из 3-х карт тщательно перетасована Найти вероятность того, что все четыре туза лежат в колоде один за другим, не перемежаясь другими картами Решение Число

Подробнее

Теория вероятностей План лекции П. 1. О т ео р и и в е ро я тн о с т е й к ак н ау ке Теорию вероятности Задача теории вероятностей

Теория вероятностей План лекции П. 1. О т ео р и и в е ро я тн о с т е й к ак н ау ке Теорию вероятности Задача теории вероятностей Теория вероятностей План лекции П О теории вероятностей как науке П Основные определения теории вероятностей П Частота случайного события Определение вероятности П 4 Применение комбинаторики к подсчету

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Подробнее

9 Событие называется случайным, если в результате испытания оно. 10 Событие называется достоверным, если в результате испытания оно

9 Событие называется случайным, если в результате испытания оно. 10 Событие называется достоверным, если в результате испытания оно Теория вероятностей и математическая статистика _рус_3кр_зим_ибрагимова С.А._ССМ(2.4.очное) 1. Метаданные теста Автор теста: Ибрагимова С.А. (для студентов преподавателя Елшибаева) Название курса: Теория

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ В.

Подробнее

Решение задач по теории вероятностей. Тема 1: «Вероятность случайного события».

Решение задач по теории вероятностей. Тема 1: «Вероятность случайного события». Задание Решение задач по теории вероятностей Тема : «Вероятность случайного события». Задача. Монета подбрасывается три раза подряд. Под исходом опыта будем понимать последовательность X X X. где каждый

Подробнее

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС. Предназначено для студентов специальности: ИС, ВТиПО 2к. 4г.о., ИС 1к. 2г.о., 1к. 3г.о.

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС. Предназначено для студентов специальности: ИС, ВТиПО 2к. 4г.о., ИС 1к. 2г.о., 1к. 3г.о. Автор теста: Искакова АМ Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС, ВТиПО 2к 4го, ИС 1к 2го, 1к 3го Текст вопроса/варианты ответа 1 2 События А и В называются противоположными,

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 4 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

ЗАНЯТИЕ 4 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ЗАНЯТИЕ 4 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ МИСИС 2013 УТВЕРЖДАЮ: Д.Е. Капуткин Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом

Подробнее

Лекция 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Лекция 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса. МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 4 Теоремы сложения и умножения вероятностей Формула полной вероятности Формула Байеса Пусть и B - несовместные события и вероятности

Подробнее

Контрольная работа по теории вероятностей. Задание 1

Контрольная работа по теории вероятностей. Задание 1 Контрольная работа по теории вероятностей Задание Задание Бросают три монеты Какова вероятность того, что выпадет хотя бы один «орел», и при этом первым будет «орел»? Решение При бросании «первой» монеты

Подробнее

Лекция 10 ТЕМА. Основы теории вероятности (часть 2).

Лекция 10 ТЕМА. Основы теории вероятности (часть 2). Лекция 10 ТЕМА Основы теории вероятности (часть 2). Автор: Максим Игоревич Писаревский, Преподаватель центра довузовской подготовки НИЯУ МИФИ. Москва, 2017 Определения и свойства Основные определения теории

Подробнее

Тема 3 Повторение опытов (схема Бернулли). C p q C

Тема 3 Повторение опытов (схема Бернулли). C p q C Практическая работа 2 Тема 2 Формула полной вероятности и формула Байеса Повторение опытов (схема Бернулли). Будем говорить, что события H 1, H 2, H n образуют полную группу, если в результате эксперимента:

Подробнее

Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Теоремы сложения и умножения вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей. 1. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар черный или синий. 2. Три стрелка независимо

Подробнее

I. Определение вероятности и основные правила ее вычисления 1.1 Вероятностный эксперимент. Предмет теории вероятностей Результаты эксперимента

I. Определение вероятности и основные правила ее вычисления 1.1 Вероятностный эксперимент. Предмет теории вероятностей Результаты эксперимента I Определение вероятности и основные правила ее вычисления Вероятностный эксперимент Предмет теории вероятностей Результаты эксперимента зависят в той или иной степени от комплекса условий, при которых

Подробнее

Элементы теории вероятности

Элементы теории вероятности Элементы теории вероятности Случайные события Детерминированные процессы В науке и технике рассматриваются процессы, исход которых с уверенностью можно предсказать: Если к концам проводника приложить разность

Подробнее

Вопросы по Теории Вероятностей

Вопросы по Теории Вероятностей Вопросы по Теории Вероятностей 1. Понятия испытания и случайного события. 2. Понятие статистической устойчивости. 3. Относительная частота появления случайного события. Статистическое определение вероятности.

Подробнее

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Экономический факультет ПРАКТИКУМ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ ЧАСТЬ 1

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Экономический факультет ПРАКТИКУМ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ ЧАСТЬ 1 ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Экономический факультет ПРАКТИКУМ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ ЧАСТЬ Томск 06 ОДОБРЕНО кафедрой математических методов и информационных

Подробнее

Тест 02. Б2.Б.1.3 Теория вероятности и математическая статистика шифр и наименование дисциплины по учебному плану направления подготовки

Тест 02. Б2.Б.1.3 Теория вероятности и математическая статистика шифр и наименование дисциплины по учебному плану направления подготовки Тест 01 1. Случайные события и их классификация. 2. Математическое ожидание случайной величины. 3. В ящике находятся 15 красных, 9 голубых и 6 зеленых шаров. Наудачу вынимают 6 шаров. Какова вероятность

Подробнее

Интернет-экзамен в сфере профессионального образования

Интернет-экзамен в сфере профессионального образования Интернет-экзамен в сфере профессионального образования Специальность: 230201.65 Информационные системы и технологии Дисциплина: Математика (ТВ и МС) Время выполнения теста: 20 минут Количество заданий:

Подробнее

Тестовые задания по теории вероятностей и математической статистике

Тестовые задания по теории вероятностей и математической статистике ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет С. Г. Валеев С. В. Куркина Тестовые

Подробнее

Теория вероятностей Предметом теории вероятностей Классическое определение вероятности исходами, благоприятствующими

Теория вероятностей Предметом теории вероятностей Классическое определение вероятности исходами, благоприятствующими Лекция 9. Классическое определение вероятности Теория вероятностей математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо

Подробнее

Лекция 4 Тема. Содержание темы. Основные категории. Введение в случайные величины

Лекция 4 Тема. Содержание темы. Основные категории. Введение в случайные величины Лекция 4 Тема Введение в случайные величины Содержание темы Случайная величина. Понятия дискретной и непрерывной случайной величины. Ряд распределения дискретной случайной величины. Функция распределения,

Подробнее

Случайные события. Предмет теории вероятностей

Случайные события. Предмет теории вероятностей Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее