Ш87(03) Береславский Э. Н., Далингер Я. М., Павлов В. Д., Соловьева Т. В. Численные методы. Учебное пособие/университет ГА. С.-Петербург, 2014.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Ш87(03) Береславский Э. Н., Далингер Я. М., Павлов В. Д., Соловьева Т. В. Численные методы. Учебное пособие/университет ГА. С.-Петербург, 2014."

Транскрипт

1 Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» Э. Н. Береславский Я. М. Далингер В. Д. Павлов Т. В. Соловьева ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Учебное пособие Санкт-Петербург 4

2 Ш87() Береславский Э. Н. Далингер Я. М. Павлов В. Д. Соловьева Т. В. Численные методы. Учебное пособие/университет ГА. С.-Петербург 4. Содержит краткий теоретический материал основных разделов учебной дисциплины «Численные методы»: интерполирование эмпирические формулы решение нелинейных уравнений численное интегрирование решение обыкновенных дифференциальных уравнений решение дифференциальных уравнений в частных производных. Приводятся примеры вычислений с использованием прикладного математического пакета Mtcd. Предназначено для студентов ВУЗов обучающихся по направлениям «Аэронавигация» и «Эксплуатация воздушного транспорта» изучающих дисциплины «Математика» и «Моделирование» а также для студентов ВУЗов обучающихся по направлению «Прикладная математика» (специализация «Математическое моделирование процессов управления на транспорте») изучающих дисциплину «Численные методы». Может использоваться для самостоятельного изучения дисциплины «Численные методы». Ил. 6. Библ. 9 назв. Прил.. Рецензенты: П. В. Герасименко заслуженный деятель науки РФ доктор технических наук профессор кафедры математики и моделирования ПГУПС. С.А.Исаев доктор физико-математических наук профессор кафедры механики СПбГУГА. Университет гражданской авиации 4

3 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение Интерполирование... 6 Интерполяционная формула Лагранжа... 7 Схема Эйткена... 8 Интерполяционная формула Ньютона... 9 Задача.... Задача... 6 Задача.... Эмпирические формулы... 5 Метод наименьших квадратов... 5 Задача Решение нелинейных уравнений... Метод простой итерации... Метод Ньютона (метод касательных)... 5 Метод хорд... 6 Комбинированный метод касательных и хорд... 7 Задача Численное интегрирование Понятие о квадратурной формуле Простейшие квадратурные формулы Формулы прямоугольников Формулы трапеций Формулы Симпсона Задача Решение обыкновенных дифференциальных уравнений... 5 Метод Эйлера Методы Эйлера-Коши и Рунге-Кутта Задача

4 4 Задача Решение дифференциальных уравнений в частных производных Метод сеток для решения смешанной задачи для уравнения параболического типа (уравнения теплопроводности) Задача ЛИТЕРАТУРА Основная литература Дополнительная литература Литература по применению Mtcd Приложение. Требования к оформлению курсовой работы Приложение. Встроенные функции Mtcd 4/5 для реализации численных методов... 8 Вставка встроенных функций в документ Mtcd... 8 Функции решения уравнений... 8 Функции решения дифференциальных уравнений... 8 Функции аппроксимации Функции сглаживания и прогнозирования Функции анализа данных... 89

5 5 Введение Современная вычислительная техника требует от инженеров знаний основ вычислительной математики и численных методов а также применения этих знаний и навыков к решению различных задач народного хозяйства. Дисциплина «Численные методы» занимает большое место в учебных планах университетов готовящих специалистов для работы c вычислительной техникой. Настоящее учебное пособие представляет собой руководство к выполнению лабораторно-практических занятий и курсовой работы по дисциплине «Численные методы». Учебное пособие составлено в соответствии с учебной программой для специалистов и бакалавров обучающихся по специальности «Прикладная математика» но может быть использовано для подготовки специалистов и бакалавров других специальностей содержащих в своих учебных планах изучение численных методов и вычислительной математики. Учебное пособие состоит из 6 разделов и в достаточно полной мере иллюстрирует содержание курса «Численные методы». Здесь рассмотрены: интерполирование (формулы Ньютона и Лагранжа схема Эйткена); эмпирические формулы (метод наименьших квадратов); решение нелинейных уравнений (методы итераций хорд и касательных комбинированный метод); численное интегрирование (малые и большие формулы прямоугольников трапеций и Симпсона); решение обыкновенных дифференциальных уравнений (методы Эйлера-Коши и Рунге-Кутта); решение уравнений в частных производных методом сеток для уравнений параболического типа; Учебное пособие разбито на разделы которые начинаются с рассмотрения теоретического материала где приводятся все соотношения и формулы необходимые для вычислений выражения для остаточных членов и

6 6 даются их оценки. Далее приводится набор индивидуальных заданий по каждому изучаемому разделу рассчитанный на вариантов. После вариантов заданий выполняется разбор типового примера с иллюстрацией его решения с применением ППП Mtcd. В приложениях приводятся требования к оформлению курсовой работы по дисциплине «Численные методы» а также справочные сведения по встроенным функциям ППП Mtcd применяемым для реализации численных методов. Особенностью учебного пособия является тесное переплетение вопросов численных методов и вычислительной математики и математического анализа. Все задания включенные в учебное пособие отработаны авторами в течение последних 5 лет. В заключение учебного пособия приводится достаточно полная библиография содержащая наименования основных учебников учебных пособий и книг по численным методам и работе с ППП Mtcd.. Интерполирование Рассмотрим функцию =f() определяемую таблицей: Значения аргумента будем называть узловыми а точки оси соответствующие этим значениям узлами. Интерполированием функции =f() называется нахождение ее значений при любых значениях аргумента не совпадающих с его узловыми значениями. Экстраполированием функции =f() называется нахождение ее значений при значениях аргумента не принадлежащих.

7 7 Обе задачи в общем случае могут быть решены только приближенно: вместо данной функции берется функция определенного вида называемая интерполяционной функцией значения которой в узлах совпадают со значениями данной функции. Рассмотрим параболическое интерполирование когда интерполяционная функция представляет собой полином -й степени т.е. P( )= (= ). Существует ряд интерполяционных полиномов (Лагранжа Ньютона Гаусса Стирлинга Бесселя и др.) отличающихся друг от друга только видом но тождественно равных друг другу. Однако при использовании этих полиномов могут получаться различающиеся между собой результаты из-за неточности вычислений обусловленной их видом. Рассмотрим два интерполяционных полинома: Лагранжа (при любых узлах) и Ньютона (при равноотстоящих узлах). Интерполяционная формула Лагранжа Интерполяционной формулой Лагранжа называется формула представляющая многочлен где L ( ) P P - многочлен степени значения которого равны единице в узле и нулю в остальных узлах ( ) (= ). Он имеет вид P Погрешность интерполяции полиномом Лагранжа оценивается по формуле: M R!

8 8 где M f m.... Схема Эйткена Значения интерполяционного полинома Лагранжа можно определить численно без нахождения самого многочлена. Для нахождения алгоритма таких вычислений рассмотрим выражение L. Оно будет полиномом первой степени обращающимся в и при и. Аналогично L будет полиномом первой степени обращающимся в и при и. Далее получим что выражение L будет полиномом второй степени обращающимся в и при и. L L

9 9 Аналогично L L L будет полиномом второй степени обращающимся в и при и. Продолжая процесс построения многочленов далее найдем что L L L будет полиномом -й степени обращающимся в при. Интерполяционная формула Ньютона Пусть отрезок [] разбит на равных частей точками узлами интерполяции число которых равно +: cost Определим разности между значениями функции в соседних узлах интерполяции называемые конечными разностями: конечные разности первого порядка : ; конечные разности второго порядка :..

10 ; конечные разности третьего порядка : ; ; Конечные разности до -го порядка... при заданной последовательности значений функции... вычисляются по формулам j j j j C где!!! j j C j. Вычисление конечных разностей представлено в следующей таблице: Значения функции в узлах интерполяции можно выразить через значение функции и конечные разности: ; ;

11 ; ; C или j j j...!!. () Будем искать полином P ( ) принимающий в узлах интерполяции значения в виде P ( ) (... ) ( ( )( )( )( ) )...( ( ) )( )( )... () где... - некоторые постоянные. Эти постоянные определим из условия совпадения интерполяционного полинома с заданной функцией в узлах аргумента. Полагая в () последовательно и приравнивая полученные результаты соответствующим значениям определяемым из соотношения () найдем P ( ; ) ; P ( ). P ( ) Продолжая этот процесс получим!.

12 Подставляя найденные значения в выражение () получим интерполяционный полином Ньютона: ). )...( )( )( (! ) )( )( (! ) )( (! ) (! ) ( P () Формулу () можно представить в иной форме положив t. Тогда получим окончательный вид интерполяционной формулы Ньютона:.! ) )...( (......! ) )( (! ) ( ) ( t t t t t t t t t t P (4) Погрешность интерполяции оценивается по формуле: t t t t M R...!. (5) Формула (4) называется первой интерполяционной формулой Ньютона. Данная формула применяется для интерполирования в начале отрезка когда t мало по абсолютной величине. В случае когда значение аргумента находится ближе к концу отрезка интерполяции используется вторая интерполяционная формула Ньютона которая получается если отыскивать интерполяционный полином в виде:. ) )...( )( ( ) )( ( ) ( ) ( P (5) Коэффициенты в этом случае вычисляются следующим образом:!. (6)

13 Подставив (6) в (5) и перейдя к переменной t окончательный вид второй интерполяционной формулы Ньютона: получим P ( t )... t t ( t )! t ( t )...( t )!. t ( t )( t! Погрешность интерполяции оценивается формулой: )... (7) R M! t t t... t Для решения задач интерполирования в среде MtCAD существует встроенная функция lterp (v v ). Эта функция использует векторы данных v и v для того чтобы возвратить линейно интерполируемое значение соответствующее третьему аргументу. Аргументы v и v должны быть векторами одинаковой длины при этом вектор v должен содержать вещественные значения расположенные в порядке возрастания.. Задача. Задание. Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа если функция задана в неравноотстоящих узлах таблицы. Построить график полученной функции и точечный график табличных значений. Для проверки результата решить задачу с помощью встроенной функции lterp. Таблица Таблица вариант вариант

14 4 Таблица Таблица 4 вариант вариант Таблица 5 Таблица 6 вариант вариант Пример. Функция задана в виде таблицы Найти приближенное значение функции при 4 и 6 с помощью интерполяционной формулы Лагранжа. Построить график полученной функции и точечный график табличных значений. помощью интерполяционного многочлена Лагранжа. Построить график полученной функции и точечный график табличных значений. Для проверки результата решить задачу с помощью встроенной функции lterp.

15 5 Решение. Одним из вариантов решения данного примера с применением ППП Mtcd может быть такой: ЗАДАЧА. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ПО ЛАГРАНЖ У Íà àëüíûé èíäåêñ ìàññèâîâ â äîêóìåíòå çàäàåì ðàâíûì íóëþ ORIGIN Çàäàåì èñõîäíûå äàííûå. Èìåíà â åêòîðîâ çàïèñûâàåì ïðîïèñíûìè áóêâàìè. X 5 7 Y Âû èñëÿåì ñòåïåíü èíòåðïîëÿöèîííîãî ïîëèíîìà legt ( X) 4 Ïðîãðàììèðóåì èíòåðïîëÿöèîíóþ ôîðìóëó Ëàãðàíæà ôóíêöèåé Mtcd èñïîëüçóþùåé äàííûå îïðåäåëåííûå âûøå L ( ) Y j f j X j X X j Ïðîâåðÿåì ïðàâèëüíîñòü ôîðìóëû Ëàãðàíæà èíòåðïîëÿöèåé ôóíêöèè â óçëàõ L ( ) L ( ) 4 L ( 5) 5 L ( 7) 49 L ( ) 95 Интерполируем значения функции в искомых точках по формуле Лагранжа L ( 4) 5.97 L ( 6) 6.9 Интерполируем значения функции в искомых точках функцией линейной интерполяции lterp в строенной в Mtcd lterp ( X Y 4) 8 lterp ( X Y 6) 7

16 Интерполируем значения функции в искомых точках по формуле Лагранжа 6 L ( 4) 5.97 L ( 6) 6.9 Интерполируем значения функции в искомых точках функцией линейной интерполяции lterp в строенной в Mtcd lterp ( X Y 4) 8 lterp ( X Y 6) 7 Ñòðîèì ãðàôèê òàáëè íûõ è èíòåðïîëèðóåìûõ çíà åíèé ôóíêöèè t. 8 6 Y L ( t) X t Задача Задание. Используя схему Эйткена вычислить приближенное значение функции заданной таблично при данном значении аргумента. Выбрать из таблицы несколько значений так чтобы данное значение аргумента было расположено между двумя средними значениями и вычислить значение функции от данного значения аргумента по схеме описанной выше.

17 7 Таблица 7 Таблица 8 вариант вариант Таблица 9 Таблица вариант вариант Таблица Таблица вариант вариант

18 8 Пример. Функция задана в виде таблицы Найти приближенное значение функции при 4 и 6 с помощью схемы Эйткена. Построить график полученной функции и точечный график табличных значений. Решение. Одним из вариантов решения данного примера с применением ППП Mtcd может быть такой: ÇÀÄÀ À. ÈÍÒÅÐÏÎËßÖÈß ÏÎ ÝÉÒÊÅÍÓ Íà àëüíûé èíäåêñ ìàññèâîâ â äîêóìåíòå çàäàåì ðàâíûì íóëþ ORIGIN Çàäàåì èñõîäíûå äàííûå. Èìåíà â åêòîðîâ çàïèñûâàåì ïðîïèñíûìè áóêâàìè. X 5 7 Y Ïðîãðàììèðóåì ñõåìó Ýéòêåíà êàê ðåêóðñèâíóþ ïðîãðàììíóþ ôóíêöèþ Mtcd èñïîëüçóþùóþ äàíûå îïðåäåëåííûå âûøå L( ) Y Y X X X X f L( ) X

19 95 Ïðîãðàììèðóåì ñõåìó Ýéòêåíà êàê ðåêóðñèâíóþ ïðîãðàììíóþ ôóíêöèþ Mtcd L( ) L( ) 9 èñïîëüçóþùóþ äàíûå îïðåäåëåííûå âûøå Y X Y X Y X Y X f = X X f X X L( ) X L( ) X L( ) X L( ) X oterwse X X oterwse X X Ïðîãðàììèðóåì ôóíêöèþ çàïóñêà ñõåìû Ýéòêåíà E( ) L( lst ( X ) ) Ïðîâåðÿåì ïðàâèëüíîñòü èíòåðïîëÿöèåé ôóíêöèè â óçëàõ E( ) E( ) 4 E( 5) 5 E( 7) 49 E( ) 95 Интерполируем значения функции в искомых точках E( 4) 5.97 E( 6) 6.9 Ñòðîèì ãðàôèê òàáëè íûõ è èíòåðïîëèðóåìûõ çíà åíèé ôóíêöèè t. 8 Y E( t) X t

20 Задача Задание: Используя интерполяционную формулу Ньютона вычислить значения функции заданной таблично при данных значениях аргумента. варианта Таблица Значения аргумента варианта Таблица 4 Значения аргумента варианта Таблица 5 Значения аргумента варианта Таблица 6 Значения аргумента

21 варианта Таблица 7 Значения аргумента варианта Таблица 8 Значения аргумента варианта Таблица 9 Значения аргумента варианта Таблица Значения аргумента

22 варианта Таблица Значения аргумента варианта Таблица Значения аргумента Пример. Функция задана в виде таблицы Найти приближенное значение функции при 4 и 6 с помощью интерполяционной формулы Ньютона. Построить график полученной функции и точечный график табличных значений. Решение. Одним из вариантов решения данного примера с применением ППП Mtcd может быть такой: ÇÀÄÀ À. ÈÍÒÅÐÏÎËßÖÈß ÏÎ ÍÜÞÒÎÍÓ Íà àëüíûé èíäåêñ ìàññèâîâ â äîêóìåíòå çàäàåì ðàâíûì íóëþ ORIGIN X 5 7 Y Çàäàåì èñõîäíûå äàííûå. Èìåíà â åêòîðîâ çàïèñûâàåì ïðîïèñíûìè áóêâàìè. Çíà åíèÿ âåêòîðà Õ

23 ÇÀÄÀ À. ÈÍÒÅÐÏÎËßÖÈß ÏÎ ÍÜÞÒÎÍÓ Íà àëüíûé èíäåêñ ìàññèâîâ â äîêóìåíòå çàäàåì ðàâíûì íóëþ ORIGIN X Y Çàäàåì èñõîäíûå äàííûå. Èìåíà â ïðîïèñíûìè áóêâàìè. Çíà åíèÿ âåêòîðà Õ åêòîðîâ çàïèñûâàåì ðàâíîîòñòîÿùèå ñ èíòåðâàëîì lst ( X) 4 Âû èñëÿåì ñòåïåíü èíòåðïîëÿöèîííîãî ïîëèíîìà Âû èñëÿåì ìàòðèöó íèñõîäÿùèõ ðàçíîñòåé ïîðÿäîê óçåë ïðîãðàììíûì áëîêîì Mtcd èñïîëüçóþùèì äàííûå îïðåäåëåííûå âûøå. -é ñòîëáåö - çíà åíèÿ Y. -é ñòîëáåö - ðàçíîñòè ïîðÿäêà. -é ñòîëáåö - ðàçíîñòè ïîðÿäêà for for R R for Y j j R j R j R j Ïðîãðàììèðóåì èíòåðïîëÿöèîíóþ ôîðìóëó Íüþòîíà (4) êàê ôóíêöèþ Mtcd èñïîëüçóþùóþ äàííûå îïðåäåëåííûå âûøå. P ( ) Y X Ïðîâåðÿåì ïðàâèëüíîñòü ôîðìóëû èíòåðïîëÿöèåé Y â óçëàõ P ( ) P ( ) 4 P ( 5) 5 P ( 7) 49 P ( 9) 95 Интерполируем значения функции в искомых точках P ( 4).984 P ( 6) 6.4

24 P ( ) Y 4 X Ïðîâåðÿåì ïðàâèëüíîñòü ôîðìóëû èíòåðïîëÿöèåé Y â óçëàõ P ( ) P ( ) 4 P ( 5) 5 P ( 7) 49 P ( 9) 95 Интерполируем значения функции в искомых точках P ( 4).984 P ( 6) 6.4 Ñòðîèì ãðàôèê òàáëè íûõ è èíòåðïîëèðóåìûõ çíà åíèé ôóíêöèè t. 8 6 Y P ( t) X t

25 5. Эмпирические формулы Пусть в результате некоторого эксперимента получена таблица значений переменных и : Таблица Требуется найти формулу выражающую эту зависимость аналитически. График искомой функции должен изменяться плавно и не слишком отклоняться от экспериментальных точек. Поиск такой функциональной зависимости называется «сглаживанием» экспериментальных данных а сама зависимость эмпирической формулой. При построении эмпирической формулы выбирается вид функции m f... (линейные степенные дробно-линейные показательные логарифмические и др.) а также метод определяющий критерий наименьшего уклонения эмпирической функции от экспериментальных данных и позволяющий определять неизвестные числовые параметры... m (метод средних метод наименьших квадратов). Метод наименьших квадратов Пусть приближающая функция f... (8) m в точках... имеет значения:....

26 6 Мы должны найти такие значения параметров... m при которых совокупность чисел... была бы ближе всего к совокупности чисел.... За меру близости примем число... равное расстоянию между точками M... и M... которое называется квадратичным уклонением совокупности чисел... от совокупности чисел.... Если квадратичное уклонение имеет наименьшее значение то и сумма квадратов уклонений будет наименьшей. S (9)... Суть метода состоит в следующем: для функции таблицей найти функцию f... m f заданной определенного вида так чтобы сумма квадратов (9) была наименьшей. Это означает нахождение параметров... m при которых функция достигает минимума. f S (... m )... Пользуясь необходимыми условиями экстремума функции нескольких переменных получаем систему уравнений для определения неизвестных параметров: m S S... S m. () Найдем эмпирическую формулу в виде квадратного трехчлена: f ( c) c.

27 7 В этом случае сумма квадратов уклонений примет вид:. ) ( c c S Составляем систему вида (): c c c S c c S c c S. Окончательный вид этой системы: 4 M c M M M c M M M M c M M M где M 4 4 M M M M M M. Задача 4 Задание: Для табличных данных подобрать эмпирическую формулу в виде многочлена второй степени c используя метод

28 8 наименьших квадратов. Построить графики получившейся зависимости и табличных значений аргументов и функции. Таблица

29

30 Пример. Задана табличная зависимость величины от в виде двух векторов значений X и Y. Аппроксимировать эту формулой c. Вычислить коэффициенты c используя метод наименьших квадратов. Построить графики получившейся зависимости и табличных значений аргументов и функции. Решение. Одним из вариантов решения данного примера с применением ППП Mtcd может быть такой: ÇÀÄÀ À 4. ÌÅÒÎÄ ÍÀÈÌÅÍÜØÈÕ ÊÂÀÄÐÀÒÎÂ Íà àëüíûé èíäåêñ ìàññèâîâ â äîêóìåíòå çàäàåì ðàâíûì íóëþ ORIGIN Çàäàíà òàáëè íàÿ çàâèñèìîñòü îò : X Y À ïðîêñèìèðîâàòü ýòó çàâèñèìîñòü ôóíêöèåé ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ c

31 À ïðîêñèìèðîâàòü ýòó çàâèñèìîñòü ôóíêöèåé ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ c Ôîðìèðóåì ôóíêöèþ S s ( c ) lst ( X) Y X c X Ìèíèìèçèðóåì S ôóíêöèåé Mtcd Mmze (â Mtcd ýòà ôóíêöèÿ ìîæåò íå ðàáîòàòü) c c Mmze ( s c ) c. Íà àëüíûå ïðèáëèæåíèÿ Ìèíèìèçàöèÿ s ïî c Ðåçóëüòàò ìèíèìèçàöèè Ôîðìèðóåì àïïðîêñèìèðóþùóþ ôóíêöèþ. ( ) c Ñòðîèì ãðàôèêè òàáëè íîé è àïïððîêñèìèðóþùåé çàâèñèìîñòåé t Y ( t) X t

32 . Решение нелинейных уравнений Пусть f ( ) () некоторое уравнение. Число называется корнем (решением) данного уравнения если оно будучи подставлено в уравнение обращает его в тождество т.е. f ( ). Число называют также нулем функции f ( ). Нахождение действительных корней с определенной точностью можно разбить на два этапа: -отделение корней т. е. установление промежутков в каждом из которых содержится один корень уравнения; -вычисление корня принадлежащего выбранному промежутку с заданной точностью. отрезка Известно что если функция f ( ) непрерывна и принимает на концах значения разных знаков т.е. f f промежутка найдется по крайней мере один нуль функции. то внутри этого В большинстве случаев отделение корней уравнения f ( ) можно провести графически следующими способами: - построить график функции f ( ) на некотором промежутке изменения. Абсцисса точки пересечения графика с осью О нуль функции т.е. f ( ) ; - уравнение ( ) графики функций f заменить равносильным и точек пересечения этих графиков.. Построить. Искомые корни являются абсциссами

33 Метод простой итерации Пусть требуется решить уравнение представленное в виде g () где правая часть уравнения непрерывная на отрезке функция. Суть метода итераций состоит в следующем. Начиная с произвольной точки принадлежащей отрезку и подставляя в правую часть уравнения () получаем g - первое приближение. Подставляя затем в правую часть уравнения () находим g - второе приближение.. g - (+)-е приближение Последовательность () называется последовательностью итераций для уравнения () с начальной точкой. Если все точки () принадлежат отрезку и существует предел lm то перейдя к пределу в равенстве g (= ) получим lm lm g т.е. g. Таким образом если существует предел последовательности итераций () то он является корнем уравнения ().

34 Достаточные условия сходимости последовательности итераций. Пусть функция и выполнены два условия: Значения функции. 4 g имеет на отрезке g q при непрерывную производную. g принадлежат отрезку для любого Тогда при любом выборе начального приближения процесс итераций сходится к единственному корню уравнения () на отрезке. виду Оценка погрешности -го приближения к корню : q где q m g. q Рассмотрим один из способов преобразования уравнения f ( ) к g допускающему применение метода итераций который сходится к решению данного уравнения. Уравнение g где g ) f ( при равносильно уравнению (). Предположим что производная f и непрерывна на. Пусть M m f m f m ; положим M q m и рассмотрим функцию M g f. M Для этой функции выполняются достаточные условия сходимости метода итераций. В частности первое из них следует из неравенств m f M

35 5 m M M g f q. Замечание. Если окажется что производная f на отрезке то уравнение () можно заменить на равносильное уравнение f ( ) и использовать указанное преобразование. Замечание. Если вычисление точного значения числа M затруднительно то можно заменить его произвольным числом M M Однако при большем M число q m ближе к единице и процесс итераций сходится медленнее. M Замечание. При нахождении корня уравнения () с заданной точностью или при оценке погрешности -го приближения можно не вычисляя точного значения числа q m g ограничиться следующим: при при q ; q. Метод Ньютона (метод касательных) Численный метод решения уравнения () называется методом Ньютона (методом касательных) если приведенное к методу итераций уравнение представляется в виде где f. (4) f Последовательность итераций сходящаяся к корню уравнения определяется формулой f ( ). f ( )

36 Достаточные условия сходимости последовательности итераций. 6 Процесс итераций (5) сходится к единственному корню уравнения f ( ) на отрезке если выполнены следующие условия: - на концах отрезка функция имеет разные знаки т.е. f - первая f и вторая f знакопостоянны на отрезке ; f ; производные функции существуют и - за начальное приближение следует выбирать тот конец отрезка в котором знаки функции и второй производной совпадают т.е. f f. Оценка погрешности -го приближения к корню :. (5) При заданной точности вычисления надо вести до тех пор пока не окажется выполненным неравенство. Метод хорд Метод хорд (метод секущих) является одной из модификаций метода Ньютона. Его можно рассматривать как метод простой итерации с итерационной функцией c f f c f (6) где с - фиксированная точка расположенная в окрестности корня. Последовательность итераций сходящаяся к корню уравнения определяется формулой c f ( ). (7) f c f ( )

37 7 Достаточные условия сходимости последовательности итераций. Процесс итераций (7) сходится к единственному корню уравнения f ( ) на отрезке если выполнены следующие условия: - на концах отрезка функция имеет разные знаки т.е. f f гарантирует существование корня уравнения на отрезке ; - первая f и вторая f знакопостоянны на отрезке ; что производные функции существуют и - неподвижной точкой с является тот конец отрезка для которого знак функции совпадает со знаком ее второй производной т.е. c f c f. Если c т.е. неподвижен конец то за начальное приближение следует выбирать конец отрезка. Если же начальным приближением следует считать конец. c то где m Оценка погрешности определяется формулой (5) при условии m f M M m m f. Комбинированный метод касательных и хорд Методы касательных и хорд дают приближение корня с разных сторон. Поэтому их часто применяют в сочетании друг с другом. В результате уточнение корня происходит быстрее. Метод хорд дает приближения с недостатком а метод касательных с избытком. Истинное значение корня заключено между приближенными значениями корней полученных методом касательных и хорд:. Если f f то за начальное приближение для метода хорд надо взять конец отрезка а для метода касательных конец. Тогда:

38 8 f f f f f. (8) Если f f то за начальное приближение для метода хорд надо взять конец отрезка а для метода касательных конец. Тогда: f f f f f. (9) Погрешность вычислений определяется формулой. Приближенное значение корня: где и - приближенные значения корня с недостатком и избытком. Задача 5 Задание: отделить корни уравнения графически и уточнить один из них с точностью до : ) методом итераций; ) методом хорд; ) методом касательных; 4) комбинированным методом хорд и касательных. В каждом случае проверить правильность решения с помощью встроенной в MtCAD функции root: - корень уравнения f : root f. т.е.

39 9 Таблица 5 вар 4 l х s tg cos(.87 ) 6 4 cos tg cos lg l 5 tg l cos e lg e tg.5. 4 s..5 4 s 9 5 ctg lg 7 tg l lg e.8 s ctg tg s 8 s 9 lg s ctg 4 tg.47. l( ) s 4 4 lg 5 ctg..5.4 cos 5 lg s 5 tg

40 4 5 lg( ) 5 4 cos s( 5 ) 5 6 lg( ) 7 ) ctg 4 4 s..4 lg( tg s( 6) lg lg( ) 5 ctg 5 cos lg Пример. Численно решить нелинейное уравнение итерационным методом деления отрезка пополам 4 ( ) e =. Алгоритм итерационных вычислений адаптированный для программирования в среде Mtcd : Начало. Инициализация начального приближения. Цикл пока не достигнута точность. Вычислить следующее приближение. Конец цикла. Собрать в матрицу возвращаемые данные. Вернуть матрицу как результат. Конец.

41 4 Математическая модель метода деления отрезка пополам С точностью найти корень уравнения ) ( f локализованный в интервале [ ; ]. Начальные значения: граница Правая граница Левая Функция ) ( Корень f Итерационные соотношения: Правая граница иначе ) ( ) ( Левая граница иначе ) ( ) ( Функция ) ( Корень f f f f f Правая граница иначе ) ( ) ( Левая граница иначе ) ( ) ( Функция ) ( Корень f f f f f Критерий окончания: или.

42 4 Решение. Одним из вариантов решения данного примера с применением ППП Mtcd может быть такой: ÇÀÄÀ À 5. ÈÑËÅÍÍÎÅ ÐÅØÅÍÈÅ ÍÅËÈÍÅÉÍÎÃÎ ÓÐÀÂÍÅÍÈß Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ìåòîäîì äåëåíèÿ îòðåçêà ïîïîëàì Ô ó í ê ö è ÿ ïîèñêà êîðíÿ f()= â èíòåðâàëå [A;B] ñ òî íîñòüþ ìåòîäîì äåëåíèÿ îòðåçêà ïîïîëàì sol ( f A B ) A f ( A ) Íà àëüíûå A çíà åíèÿ B wle f f f f f Öèêë ïîêà íå äîñòèãíóòà òî íîñòü Èòåðàöèÿ Ïîäñ åò èòåðàöèé ugmet Ðåøàåìîå ó ðàâíåíèå f ( ) 4 Êîìïîíîâêà ðåçóëüòàòîâ â ìàòðèöó e Ëîêàëèçàöèÿ êîðíÿ óðàâíåíèÿ íà ãðàôèêå ôóíêöèè f().99 f ( )

43 ugmet 4 Ðåøàåìîå ó ðàâíåíèå f ( ) 4 Êîìïîíîâêà ðåçóëüòàòîâ â ìàòðèöó e Ëîêàëèçàöèÿ êîðíÿ óðàâíåíèÿ íà ãðàôèêå ôóíêöèè f().99 f ( ) Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ çàïðîãðàììèðîâàííîé ôóíêöèåé sol ìåòîäîì äåëåíèÿ îòðåçêà ïîïîëàì â èíòåðâàëå [;] ñ òî íîñòüþ. R sol ( f. ) Ð å ç ó ë ü ò à ò û R Êîëè åñòâî èòåðàöèé m lst R m 6 X R Ðåøåíèå m X.7 E R 4 Òî íîñòü m E 7.85 Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ âñòðîåííîé ôóíêöèåé Mtcd root ( f ( ) ).74957

44 44 4. Численное интегрирование. Понятие о квадратурной формуле Вычисление определенного интеграла с помощью основной формулы интегрального исчисления d F ( ) F ( ) f где f ( ) скажем непрерывная на [ ] и F ( ) ее первообразная затруднено тем что фактическое нахождение значений F ( ) возможно лишь в редких случаях. По этой причине большое значение имеют формулы для приближенного вычисления интегралов. Многие формулы для приближенного вычисления определенных интегралов имеют вид f d A ( ) ( ) f ( ). () и называются квадратурными формулами. Сумма в правой части последнего равенства называется квадратурной суммой. Числа ( ) принадлежат промежутку [ ] и называются узлами квадратурной формулы а числа ( ) A коэффициентами квадратурной формулы. Узлы квадратурной формулы всегда будем считать занумерованными в порядке возрастания: ( ) ( ) ( ) ( ). Равенство () является приближенным. Разность между интегралом слева и квадратурной суммой R f d A ( ) f ( ( ) )

45 45 называется остаточным членом квадратурной формулы (). Остаточный член представляет ошибку возникающую при замене интеграла квадратурной суммой. Простейшие квадратурные формулы В дальнейшем будем иметь в виду геометрическую трактовку определенного интеграла как площади криволинейной трапеции ограниченной осью двумя вертикальными прямыми Формулы прямоугольников и и кривой f ( ). Начнем с формул прямоугольников в которых берется единственный узел некоторая точка c из промежутка [ ]. Формула квадратур тогда имеет вид d ( ) f ( c) f. () Таким образом площадь под графиком кривой f ( ) приближенно заменяется площадью прямоугольника с высотой равной значению функции f ( ) при c поэтому формула () называется формулой прямоугольников. Отметим важные частные случаи формулы (). Если узел c совпадает с левым концом промежутка интегрирования [ ] : c формула () называется формулой левых прямоугольников. Если узел c совпадает с правым концом промежутка интегрирования: c то формула () называется формулой правых прямоугольников. Наконец если узел c совпадает с серединой промежутка интегрирования: c то формула () называется формулой средних прямоугольников.

46 46 Представления остаточных членов формул левых правых и средних треугольников имеют соответственно вид ( ) ( ) R f ( ) R f ( ) ( ) R f ( ) где. 4 Если промежуток интегрирования [ ] велик то формулы прямоугольников дают малую точность. Разделим промежуток [ ] на частичных промежутков длины ( ) точками деления. К интегралу по каждому частичному промежутку [ ] применим формулу прямоугольников (): f d f ( ) где некоторая точка из промежутка ] [ ]. Суммируя правую [ часть последней формулы по от до получим: f d f ( ). () Формула () называется «большой» формулой прямоугольников в отличие от «малой» формулы (). В частных случаях и формула () называется большой формулой соответственно левых правых и средних прямоугольников. Формула средних прямоугольников которая наиболее часто применяется при вычислении определенных интегралов в развернутом виде записывается следующим образом: I f ( ) d ( ) () где f ) f ) ( (.

47 47 Представления остаточных членов больших формул левых правых и средних прямоугольников имеют соответственно вид ( ) ( ) R f ( ) R f ( ) ( ) R f ( ) где. 4 Формулы трапеций Можно повысить точность вычисления определенного интеграла если функцию f ( ) на промежутке [ ] заменить отрезком прямой проходящей через две точки с координатами ( f ( )) и ( f ( )). Тогда квадратурная формула () запишется так: f ( ) d [ f ( ) f ( )] (4) Формула (4) называется «малой» формулой трапеций. Название «формула трапеций» объясняется тем что при ее использовании упомянутая выше криволинейная трапеция приближенно заменяется прямолинейной. Представление остаточного члена формуы трапеций имеет вид ( ) R ( ) f ( ). Если к интегралу по каждому частичному промежутку ] [ применить формулу трапеций заменяя на промежутке функцию f ( ) отрезком прямой проходящей через точки с координатами ) и ) где f ) то получим «большую» ( формулу трапеций: ( ( I f ) ( ) d (. (5)

48 48 Остаточный член формулы (5) записывается в виде R ( ) f ( ). Формулы Симпсона Более высокую степень вычисления интегралов можно получить если функцию f ( ) на промежутке [ ] заменить параболой проходящей через три точки с координатами ( f ( )) (( ) / f (( ) / )) и ( f ( )). Тогда квадратурная формула () примет вид d ( ) / [ f ( ) 4 f (( ) / ) f ( )] f. (6) Формула (6) называется «малой» формулой Симпсона или формулой парабол. Оценка остаточного члена формулы Симпсона дается формулой 5 ( ) ( 4 ) R f ( ). 88 Применяя к интегралу по каждому частичному промежутку ] [ ( ) / формулу Симпсона (6) получим «большую» формулу Симпсона: I f ( ) d [ 4( ) (7) ( 4 ) ]. Остаточный член большой формулы Симпсона имеет вид 5 ( ) ( 4 ) R f ( ). 4 8 К формуле (7) можно придти исходя из иных соображений.

49 49 Рассмотрим отрезок ] [. Заменяя на нем функцию ) ( f таким образом чтобы парабола проходила через точки с координатами ) ( ) ( ) ( построим интерполяционный многочлен Лагранжа второго порядка на отрезке ] [ (см. п.. Интерполирование):. 4 L (8) Введем переменную t с помощью равенства t тогда: t t t (9) t t. Значениям t равным соответствуют значения равные. Выразим многочлен (8) через переменную t :. 4 4 ~ t t t t t t t t t t t t t L L ()

50 5 Воспользовавшись тем что 6 dt t t dt t t dt t t вновь приходим к формуле Симпсона: ~ dt t L d L d f () Погрешность вычислений при условии что подынтегральная функция имеет непрерывную производную четвертого порядка оценивается формулой: ) ( m 88 5 ) ( m f f R IV IV. Задача 6 Задание. Вычислить приближенное значение интеграла: по формуле прямоугольников; по формуле трапеций; по формуле Симпсона. Оценить погрешность каждого метода сравнив полученные результаты с точным значением вычисленным с помощью встроенного оператора интегрирования Mtcd.

51 вариант вариант вариант 5 Таблица 6 d 4.6 s..4 d d.. s.5.6 d 4 d.6.8 d 5 d 4 d d 4 5 d l 5 e d 5 d 5 cos d 6 l d. 6. d.5 6 tg d d 7 l d. 7.6 l d. 8 4 l cos. d 8.4 d e d 9 l d 9 4 d d 9 4 lg s cos d 4 d d

52 5 Пример. Вычислить приближенное значение интеграла по квадратурной формуле Ньютона («правило трех восьмых»). Решение. Одним из вариантов решения данного примера с применением ППП Mtcd может быть такой: ÇÀÄÀ À 6. ÈÑËÅÍÍÎÅ ÈÍÒÅÃÐÈÐÎÂÀÍÈÅ Численное интегрирование по квадратурной формуле Ньютона ("правило трех восьмых") d где - интервал между точками 8 И сходные данные задачи ( ) s ( ) Интегрируемая функция Пределы интегрирования Количество отрезков интегрирования d Длина отрезка интегрирования d Интервал между точками внутри отрезка интегрирования Формула расчета интеграла по прав илу трех в осьмых использующая данные определенные выше It 8 ( ( d ) ( d ) ( d ) ( d ) ) Решение задачи It Результат численного интегрирования Проверка решения задачи ( ) d.5459 Результат численного интегрирования встроенным оператором Mtcd Результат в зятия опре-

53 Решение задачи It Результат численного интегрирования Проверка решения задачи ( ) d.5459 Результат численного интегрирования встроенным оператором Mtcd ( ) d cos ( ) flot.546 Результат в зятия определенного интеграла симв ольным процессором Mtcd и точное численное значение интеграла 5. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение первого порядка разрешенное относительно производной имеет вид: f. () Решением дифференциального уравнения () называется функция подстановка которой в уравнение обращает его в тождество: f. График решения называется интегральной кривой. Задача Коши для дифференциального уравнения () заключается в том чтобы найти решение уравнения () удовлетворяющее начальному условию. () Решение задача Коши называется частным решением уравнения () при условии (). Частному решению соответствует одна из интегральных кривых проходящая через точку. решение Численное решение задачи Коши состоит в том чтобы получить искомое в виде таблицы его приближенных значений для заданных значений аргумента на некотором отрезке :.... (4)

54 54 Точки (4) называют узловыми точками а множество этих точек называют сеткой на отрезке. Выберем равномерную сетку с шагом : или.... Приближенные значения численного решения задачи Коши в узловых точках обозначим через. Эти значения зависят от шага разбиения :.... Погрешность численного метода решения задачи Коши на сетке отрезка оценивается величиной d m которую называют расстоянием между значениями приближенного решения и точного решения на сетке. Метод Эйлера Метод Эйлера является простейшим численным методом решения задачи Коши. Он основан на графическом построении решения дифференциального уравнения. Угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке P есть f. Найдем ординату касательной соответствующей абсциссе. Так как уравнение касательной к кривой в точке P имеет вид то приращение ординаты приближенного решения на шаге будет f и тогда.

55 55 Угловой коэффициент в точке P также находится из данного дифференциального уравнения: f новую точку P причем. На следующем шаге получаем. f Продолжая вычисления получим формулу Эйлера для приближенных значений решения задачи Коши с начальными данными на сетке отрезка с шагом :... f.(5) Графической иллюстрацией приближенного решения является ломаная (рис. ) соединяющая последовательно точки называют ломаной Эйлера. P... P P P которую С помощью рис. можно оценить погрешность метода Эйлера. Определив погрешность на каждом шаге как разность между точным значением функции и соответствующим значением касательной и применив разложение точного решения по формуле Тейлора получим: d f f... f.!! Рис.

56 56 Суммарную погрешность можно оценить неравенством d m m Это означает что метод Эйлера имеет первый порядок точности по. В частности при уменьшении шага в раз погрешность уменьшится примерно в раз. Известны различные уточнения метода Эйлера.. Методы Эйлера-Коши и Рунге-Кутта Численные методы решения задачи Коши на равномерной сетке отрезка с шагом исходных данных называются методами Рунге-Кутта если начиная с решение ведется по следующим формулам: p j d j j j j j... f c c. j (6) Метод называется методом Рунге-Кутта порядка p если он имеет p -й порядок точности по шагу на сетке. Порядок точности достигается с помощью формул (6) при определенных значениях коэффициентов j... p при этом всегда c. c j и Если p c d то в этом частном случае формулы (6) преобразуются в соотношения (5) метод Эйлера который можно назвать методом Рунге-Кутта первого порядка: d f т.е. f.... d j

57 57 Метод Рунге-Кутта второго порядка называют методом Эйлера-Коши если d d c c p. Согласно формулам (6) алгоритм его выглядит следующим образом:.... f f Наиболее употребительным является метод Рунге-Кутта второго порядка когда. d d c c p Формула (6) примет вид:.... f f Метод Рунге-Кутта четвертого порядка называют классическим методом Рунге-Кутта если d d d d c c c c p Из формул (6) получаем алгоритм: f f f f

58 58 Задача 7 Задание: используя метод Эйлера-Коши вычислить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения f удовлетворяющего начальным условиям на отрезке ; шаг. Сравнить результат с решением полученным ППП Mtcd с помощью функции Odesolve в блоке решения Gve cos 5 cos cos cos 7 cos cos ; ; ; ; ;7 4 4;4 e cos 8 4 cos cos 5 s s cos 4 5 4;4 8;8 ; ; 8;8 6;6 Таблица 6

59 s 6 8 s s 7 5 s 4 8 e s 8 s 5 s 6 s ;6 5;5 7;7 4;4 s 4 5 4;4 s 5 s 8 s 5 6 s 4 7 cos cos 9 5 cos 8 8;8 ; 6;6 5;5 ; ; 5;5 ; 4;4 ; ;

60 6 9 cos 7 cos ;7 9;9 Задача 8 Задание: используя метод Рунге-Кутта второго порядка вычислить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения f на отрезке удовлетворяющего начальным условиям ; шаг. Сравнить результат с решением полученным ППП Mtcd с помощью функции Odesolve в блоке решения Gve. s cos 5 Таблица 7 cos 5 4 cos s 5 6 cos 5 7 cos 5 8 s 9 cos 5 cos 5 s( )

61 6 cos 5 8 s 4 cos s 6 cos ( ) s ( ) 8 (8 ) cos 9 s 5 cos 75 5 s 5 cos s cos 5 5 s( 5 ) 5 ( ) 6 7 s 5 5 ( ) s ( ) 75 8 s cos( ) 5 cos 5

62 6 Пример. Вычислить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения первого порядка классическим методом Рунге- Кутта четвертого порядка. Сравнить результат с решением полученным ППП Mtcd с помощью функции Odesolve в блоке решения Gve. Решение. Одним из вариантов решения данного примера с применением ППП Mtcd может быть такой: ÇÀÄÀ À 7-8. ÈÑËÅÍÍÎÅ ÐÅØÅÍÈÅ Î Ä Ó ÏÅÐÂÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÀ èñëåííîå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà d ( ) d s [ ( ) ] äëÿ = =.5 = êëàññè åñêèì ìåòîäîì Ðóíãå-Êóòòà åòâåðòîãî ïîðÿäêà è ñðàâíåíèå âû èñëåííîãî ðåøåíèÿ ñ òî íûì ðåøåíèåì ñðåäñòâàìè Mtcd Ïðîãðàììèðîâàíèå ðåøåíèÿ çàäà è Çàïðîãðàììèðóåì ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîé ñòåïåíè ìåòîäîì Ðóíãå-Êóòòà åòâåðòîãî ïîðÿäêà ïî ôîðìóëàì ïðèâåäåííûì â äàííîì ó åáíîì ïîñîáèè. Ôîðìóëû ñîäåðæàò èòåðàöèîíûå çàâèñèìîñòè ïîýòîìó çàïèñàòü èõ òîëüêî ôîðìóëàìè Mtcd (êàê â ïðèìåðå 6) î åíü ñëîæíî. Ïðîùå çàïðîãðàììèðîâàòü àëãîðèòì ðàñ åòà îïåðàòîðàìè öèêëà âñòðîåííîãî ÿçûêà ïðîãðàììèðîâàíèÿ Mtcd. Ïðîãðàììà îôîðìëåíà êàê ïðîãðàììíàÿ ôóíêöèè Mtcd ñ èìåíåì SolveRK4. ORIGIN Äëÿ ïðàâèëüíîé ðàáîòû àëãîðèòìà íà àëüíûé èíäåêñ ìàññèâîâ äîëæåí áûòü ðàâåí íóëþ SolveRK4 ( f ) for

63 ORIGIN Äëÿ ïðàâèëüíîé ðàáîòû àëãîðèòìà íà àëüíûé èíäåêñ ìàññèâîâ äîëæåí áûòü ðàâåí íóëþ 6 SolveRK4 ( f ) for f f f 4 f 6 4 Ïàðàìåòðû ôóíêöèè SolveRK4: f - èìÿ ôóíêöèè ïðàâîé àñòè äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ - íà àëüíûåóñëîâèÿ - êîíå íàÿ òî êà èíòåðâàëà èíòåãðèðîâàíèÿ [ ; ] - êîëè åñòâî îòðåçêî â èíòåðâàëå èíòåãðèðîâàíèÿ Ôóíêöèÿ âîçâðàùàåò ñîñòàâíîé âåêòîð èç ýëåìåíòîâ: ýëåìåíò ñ èíäåêñîì - âåêòîð çíà åíèé ýëåìåíò ñèíäåêñîì - âåêòîð çíà åíèé. Âû èñëåíèå ðåøåíèÿ çàäà è çàïðîãðàììèðîâàííûì ìåòîäîì f ( ) s [ ( ) ] Ïðàâàÿ àñòü óðàâíåíèÿ. Îôîðìëÿåòñÿ êàê ôóíêöèÿ Mtcd..5 5 Íà àëüíûå óñëîâèÿ Конец интервала интегрирования Êîëè åñòâî îòðåçêîâ â èíòåðâàëå èíòåãðèðîâàíèÿ X SolveRK4 ( f ) Ðåøåíèå çàïðîãðàììèðîâàííîé âûøå ôóíêöèåé

64 Ôóíêöèÿ âîçâðàùàåò ñîñòàâíîé âåêòîð èç ýëåìåíòîâ: ýëåìåíò ñ èíäåêñîì - âåêòîð çíà åíèé ýëåìåíò ñèíäåêñîì - âåêòîð çíà åíèé. 64 Âû èñëåíèå ðåøåíèÿ çàäà è çàïðîãðàììèðîâàíûì ìåòîäîì f ( ) s [ ( ) ] Ïðàâàÿ àñòü óðàâíåíèÿ. Îôîðìëÿåòñÿ êàê ôóíêöèÿ Mtcd..5 5 Íà àëüíûå óñëîâèÿ Конец интервала интегрирования Êîëè åñòâî îòðåçêîâ â èíòåðâàëå èíòåãðèðîâàíèÿ X Y SolveRK4 ( f ) Ðåøåíèå çàïðîãðàììèðîâàííîé âûøå ôóíêöèåé Âûâîä âû èñëåííîãî ðåøåíèÿ â òàáëèöó: -é ñòîëáåö - X -é ñòîëáåö - Y M X M Y M Ãðàôèê âû èñëåííîãî ðåøåíèÿ Y(X).5

65 Ãðàôèê âû èñëåííîãî ðåøåíèÿ Y(X).5 Y.5.5 X Пров ерка р ешения задачи. Ðåøåíèå çàäà è âñòðîåííûìè ñðåäñòâàìè Mtcd ôóíêöèåé Odesolve â áëîêå ðåøåíèÿ Gve. Gve f ( ) s [ ( ) ] Ïðàâàÿ àñòü óðàâíåíèÿ. Íà àëî áëîêà ðåøåíèÿ Îôîðìëÿåòñÿ êàê ôóíêöèÿ Mtcd. ' ( ) f ( ( ) ) Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå. Ïðîèçâîäíàÿ îáîçíà àåòñÿ ñèìâîëîì ' Äëÿ ââîäà ýòîãî ñèìâîëà íàæàòü Ctrl + F7. Çíàê ëîãè åñêîãî ðàâåíñòâà ââîäèòñÿ íàæàòèåì Ctrl + = ( ) Íà àëüíûå óñëîâèÿ. Odesolve ( ) Ðåçóëüòàò ðåøåíèÿ - ôóíêöèÿ () â äèàïàçîíå àðãóìåíòà îò äî Ãðàôèêè âû èñëåííîãî ðåøåíèÿ Y(X) è âñòðîåííîãî ðåøåíèÿ ().5

66 Odesolve ( ) Ðåçóëüòàò ðåøåíèÿ - ôóíêöèÿ () 66 â äèàïàçîíå àðãóìåíòà îò äî Ãðàôèêè âû èñëåííîãî ðåøåíèÿ Y(X) è âñòðîåííîãî ðåøåíèÿ ().5 Y ( ).5.5 X Äëÿ ïîâûøåíèÿ òî íîñòè âû èñëåíèÿ ðåøåíèÿ çàïðîãðàììèðîâàííûì ìåòîäîì Ðóíãå-Êóòòà íåîáõîäèìî çàäàòü áîëüøåå êîëè åñòâî îòðåçêîâ èíòåãðèðîâàíèÿ. Ïðè = ðåøåíèå ìåòîäîì Ðóíãå-Êóòòà ñîâïàäåò ñ ðåøåíèåì ïî Odesolve.

67 67 6. Решение дифференциальных уравнений в частных производных Дифференциальными уравнениями в частных производных (УЧП) называются дифференциальные уравнения содержащие частные производные. В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) в которых неизвестная функция зависит только от одной переменной в УЧП неизвестная функция зависит от нескольких переменных. УЧП классифицируются:. По порядку уравнения (порядком УЧП называют наивысший порядок частных производных входящих в уравнение): u u (уравнение первого порядка); t t u u (уравнение второго порядка); u t uu s (уравнение третьего порядка).. По числу независимых переменных: u u (уравнение с двумя переменными); t u u rr u r u (уравнение с тремя переменными r r t r t ).. По критерию «линейное/нелинейное». 4. По критерию «однородное/неоднородное». 5. По виду коэффициентов. Основные типы линейных уравнений: Параболический (например Гиперболический (например u u ). t tt u u ). Эллиптический (например u u ).

68 решения. 68 Для каждого класса и типа УЧП существует своя общая теория и методы Метод сеток для решения смешанной задачи для уравнения параболического типа (уравнения теплопроводности) Уравнение теплопроводности имеет вид u u t. (7) Смешанная задача заключается в нахождении искомой функции u t удовлетворяющей заданному уравнению в частных производных краевым а так же начальным условиям. Рассмотрим смешанную задачу для уравнения теплопроводности (7) с начальным условием u ( ) f ( ) (8) и краевыми условиями u ( t ) ( t ); u ( t ) ( t ). (9) Физически эту задачу можно представить как задачу о распространении тепла в однородном стержне на концах которого поддерживается требуемый температурный режим заданный условиями (9). Построим в области равномерную сетку с шагом по оси и шагом по t (рис. ). Обозначим... j t j... j u t j u j. Заменим в каждом внутреннем узле t производную j u разностным отношением u u j u j u j а производную u t одним из двух разностных отношений

69 69 u t u t j j u u j j u u j j. Рис. Тогда для уравнений (7) получаем два типа конечно-разностных уравнений: u u j uj u j j u j u j u j u u j j u j (4). (4) Обозначив приводим уравнения к виду где u t u t j j j j. u u u u j j j j (4) u u u u j j j j (4)

70 7 Для составления уравнения (4) использована схема узлов данная на рис. (явная схема) для уравнения (4) схема узлов данная на рис. 4 (неявная схема). Рис. Рис. 4 При выборе в уравнениях следует учитывать два обстоятельства: ) погрешность замены дифференциального уравнения разностным должна быть наименьшей; ) разностное уравнение должно быть устойчивым. Доказано что уравнение (4) будет устойчиво при а уравнение (4) при любом. Наиболее удобный вид уравнение (4) имеет при : и при : 6 u j u j u j (44). (45) 6 u j u j 4uj u j Задача 9 Задание. Используя явную схему метода сеток составить решение смешанной задачи для дифференциального уравнения параболического типа

71 u t u 7 (уравнение теплопроводности) при заданных начальных условиях u ( ) f ( ) u ( t) ( t) u (.6 t) ( t) при. для. t считая 6. где.6. Решение найти Таблица 8 u( ) cos u( t) -6t u(. 6t). 64 u( ) ( ) u( t) u(. 6t) t. 96 u( ). lg (. 4 ) u( t). 8 t u(. 6t). 4 u( ) s u( t) t u(. 6t). 9 5 u( ) ( -) u( t) u(. 6t) t. 5 6 u( ) - lg (. 4 ) u( t). 4 u(. 6t) t 7 u( ) s (. 55. ) u( t) t. u(. 6t) u( ) ( -). u( t). u(. 6t) t u( ) s. 8 u( t). 8 t u(. 6t) u( ) cos (. 9 ) u( t). 9 u(. 6t). 798 u( ) (. ). 4 u( t) t. 4 u(. 6t). 6 u( ) lg (. 6 ) u( t). 45 t u(. 6t). 945 u( ) s (. 45 ) u( t). 45 -t u(. 6t) u( ). (. 4 ) u( t). u(. 6t) 6t. 9 5 u( ) (-. )( ). u( t) 6t u(. 6t) u( ) (. ) u( t) u(. 6t) 6t. 9 7 u( ) s (. 48 ) u( t). 468 u(. 6t) t u( ) s (. ) u( t) t. u(. 6t) u( ) cos (. 48 ) u( t) 6t. 887 u(. 6t). 47 u( ) lg (. 6 -) u( t) (. 4 -t) u(. 6t). 75 u( ). 5-( -) u( t) (. 5-t) u(. 6t). 6 u( ) cos (. 48 ) u( t) 6(t. ) u(. 6t). 5 u( ) lg (. 4 ) u( t). 88 u(. 6t) 6(. 8 -t) 4 u( ). 6 (. 8-) u( t). 6 u(. 6t) (. 4 t) 5 u( ) cos (. 66 ) u( t) t. 79 u(. 6t). 58

Рассмотрим в качестве функциональной зависимости многочлен., тогда

Рассмотрим в качестве функциональной зависимости многочлен., тогда Лекция 5. Аппроксимация функций по методу наименьших квадратов. В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично

Подробнее

М е т о д и ч е ские указания для п р о в едения семинарских занятий

М е т о д и ч е ские указания для п р о в едения семинарских занятий МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика»

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика» Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники ТУСУР Кафедра

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

Численные методы интегрирования и решения дифференциальных уравнений

Численные методы интегрирования и решения дифференциальных уравнений Краевой конкурс учебно-исследовательских и проектных работ учащихся «Прикладные вопросы математики» Математический анализ Численные методы интегрирования и решения дифференциальных уравнений Новопоселенких

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ГОРНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ. Математические модели и численные методы

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ГОРНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ. Математические модели и численные методы ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ГОРНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ Математические модели и численные методы Математические модели содержат соотношения, составленные на основе теоретического анализа изучаемых процессов или полученные

Подробнее

3.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ задано множество несовпадающих точек. (интерполяционных узлов), в которых известны значения функции

3.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ задано множество несовпадающих точек. (интерполяционных узлов), в которых известны значения функции ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЧИСЛЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ В настоящем разделе рассмотрены задачи приближения функций с помощью многочленов Лагранжа и Ньютона с использованием сплайн интерполяции

Подробнее

2 Тестовые задания Тест предназначен для проверки общей подготовки студента по вычислительной математике

2 Тестовые задания Тест предназначен для проверки общей подготовки студента по вычислительной математике Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1 Расчетные задания Варианты

Подробнее

Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений Постановка задачи Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение сокращенно ОДУ первого порядка f,, [,b ] 6 с начальным условием

Подробнее

«Численные методы» КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ. Направление Прикладная информатика Профиль Прикладная информатика в образовании.

«Численные методы» КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ. Направление Прикладная информатика Профиль Прикладная информатика в образовании. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра информатики и методики

Подробнее

Интерполирование функций

Интерполирование функций Постановка задачи, основные понятия Конечные разности и их свойства Интерполяционные многочлены Оценка остаточного члена интерполяционных многочленов Постановка задачи, основные понятия Пусть, то есть

Подробнее

4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений . Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.. Решение задачи Коши... Задача Коши для одного обыкновенного дифференциального уравнения. Рассматривается задача Коши для одного дифференциального

Подробнее

Институт радиоэлектроники и информационных технологий

Институт радиоэлектроники и информационных технологий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Р.

Подробнее

МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Кафедра прикладной математики М.В. Лукина МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Подробнее

Вычислительная математика

Вычислительная математика Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Ухтинский государственный технический университет Вычислительная математика Методические указания и контрольные работы УХТА 6 УДК.6 7. ББК. я 7

Подробнее

Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования

Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Владимирский авиамеханический колледж» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине ЧИСЛЕННЫЕ

Подробнее

Приложение А. Комплект оценочных средств (контролирующих материалов) по дисциплине

Приложение А. Комплект оценочных средств (контролирующих материалов) по дисциплине Приложение А. Комплект оценочных средств (контролирующих материалов) по дисциплине Приложение А-1. Тесты текущего контроля СТО БТИ АлтГТУ 15.62.2.0008-2014 Вопросы к модулям (разделам) курса «Вычислительная

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

Задания на практические занятия по дисциплине «Вычислительная математика» Практическое занятие по теме Теория погрешностей

Задания на практические занятия по дисциплине «Вычислительная математика» Практическое занятие по теме Теория погрешностей Задания на практические занятия по дисциплине «Вычислительная математика» Практическое занятие по теме Теория погрешностей Контрольные вопросы Дайте определение вычислительного эксперимента Нарисуйте схему

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ УДК 596(075) ББК В9я7- Ч67 Издательство ТГТУ Р е ц е н з е н т ЗАВЕДУЮЩИЙ КАФЕДРОЙ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ ТГТУ ДОКТОР ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК СМ ДЗЮБА

Подробнее

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n)

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n) Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( ( ) ) - обыкновенное (зависимость только от ) Общий интеграл - зависимость между независимой переменной зависимой

Подробнее

Квадратурные и кубатурные формулы

Квадратурные и кубатурные формулы ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет» Квадратурные и кубатурные формулы Методические

Подробнее

2. Решение нелинейных уравнений.

2. Решение нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений Не всегда алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть решены точно Понятие точности решения подразумевает: ) возможность написания «точной формулы», а точнее говоря

Подробнее

Численные методы решения прикладных задач. Учебно-методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу Информатика.

Численные методы решения прикладных задач. Учебно-методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу Информатика. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Фонд оценочных средств

Фонд оценочных средств ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е. АЛЕКСЕЕВА» ИНСТИТУТ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3. Методы обработки экспериментальных данных

ЛЕКЦИЯ 3. Методы обработки экспериментальных данных ЛЕКЦИЯ 3 Методы обработки экспериментальных данных Интерполирование В инженерных расчетах часто требуется установить функцию f(x) для всех значений х отрезка [a,b], если известны ее значения в некотором

Подробнее

1. Многочлен Лагранжа. Пусть из эксперимента получены значения неизвестной функции

1. Многочлен Лагранжа. Пусть из эксперимента получены значения неизвестной функции 1 Многочлен Лагранжа Пусть из эксперимента получены значения неизвестной функции ( x i = 01 x [ a b] i i i Возникает задача приближенного восстановления неизвестной функции ( x в произвольной точке x Для

Подробнее

Квадратурные формулы прямоугольников. Пусть требуется найти значение интеграла I Римана. I f ( x )dx для некоторой заданной на отрезке [ a,b ] функции

Квадратурные формулы прямоугольников. Пусть требуется найти значение интеграла I Римана. I f ( x )dx для некоторой заданной на отрезке [ a,b ] функции Численное интегрирование Квадратурные формулы прямоугольников Пусть требуется найти значение интеграла I Римана I d для некоторой заданной на отрезке, функции а Хорошо известно, что для функций, допускающих

Подробнее

Вычислительные системы и технологии (наименование кафедры)

Вычислительные системы и технологии (наименование кафедры) Кафедра Вычислительные системы и технологии (наименование кафедры) УТВЕРЖДЁН на заседании кафедры "4" марта 2016 г. протокол 6 Заведующий кафедрой Кондратьев В. В. (подпись) Фонд оценочных средств по учебной

Подробнее

Министерство образования и науки РФ Алтайский государственный университет Рубцовский институт (филиал) ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ.

Министерство образования и науки РФ Алтайский государственный университет Рубцовский институт (филиал) ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ. Министерство образования и науки РФ Алтайский государственный университет Рубцовский институт (филиал) ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Учебное пособие Барнаул Рубцовск Барнаул Издательство Алтайского государственного

Подробнее

Численные методы Тема 2. Интерполяция

Численные методы Тема 2. Интерполяция Численные методы Тема 2 Интерполяция В И Великодный 2011 2012 уч год 1 Понятие интерполяции Интерполяция это способ приближенного или точного нахождения какой-либо величины по известным отдельным значениям

Подробнее

1. Цели и задачи дисциплины. 2. Место дисциплины в структуре ООП 3. Требования к результатам освоения курса 3.1. ПК-4 ПК-8 ПК Знать: З.

1. Цели и задачи дисциплины. 2. Место дисциплины в структуре ООП 3. Требования к результатам освоения курса 3.1. ПК-4 ПК-8 ПК Знать: З. 1. Цели и задачи дисциплины. Цель дисциплины: изучение методов построения численных алгоритмов и исследование численных методов решения математических задач, моделирующих различные физические процессы.

Подробнее

Численные методы математического анализа

Численные методы математического анализа МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет» (ПГУ) Численные методы

Подробнее

для выполнения лабораторной работы 4

для выполнения лабораторной работы 4 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРИБЛИЖЕННОЕ

Подробнее

Численное интегрирование

Численное интегрирование Численное интегрирование - - Численное интегрирование. Постановка задачи Задача вычисления интегралов возникает во многих областях прикладной математики. Требуется вычислить определенный интеграл I d.

Подробнее

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4.0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных

Подробнее

Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по Введению. Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по разделу 1

Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по Введению. Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по разделу 1 1. Оценочные средства текущего контроля. Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по Введению -Назовите виды погрешности. - Как рассчитывается абсолютная погрешность? - Как рассчитывается относительная

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет» ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Методические указания к выполнению

Подробнее

Лекция 9 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Лекция 9 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Лекция 9 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Пусть дано нелинейное уравнение ( 0, (3.1 где ( функция, определенная и непрерывная на некотором промежутке. В некоторых случаях

Подробнее

Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. 6-е изд. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, с. : ил.

Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. 6-е изд. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, с. : ил. Печатается по решению Ученого совета Московского университета Бахвалов Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. 6-е изд. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. 636 с. : ил.

Подробнее

4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ... Задача Коши для одного обыкновенного дифференциального уравнения. Рассматривается задача Коши

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных) уравнений f = ) заключается в нахождении значений,

Подробнее

( ) ( ) Контрольная работа по численным методам с решением. f (2) f ''(2) = > 0, значит, метод Ньютона сходится. x x ε = 2 1.

( ) ( ) Контрольная работа по численным методам с решением. f (2) f ''(2) = > 0, значит, метод Ньютона сходится. x x ε = 2 1. Контрольная работа по численным методам с решением Задание На отрезке [;] методом Ньютона найти корень уравнения + = с точностью, График функции Условие сходимости метода Ньютона: f f ''(, ( > где = начальное

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 9.5.4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Вариант на отрезке [ ; ] с шагом методом Эйлера модифицированным методом Эйлера и методом Рунге-Кутта. Найти точное решение и

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Владимирский государственный университет Кафедра автоматических и мехатронных систем

Министерство образования Российской Федерации Владимирский государственный университет Кафедра автоматических и мехатронных систем Министерство образования Российской Федерации Владимирский государственный университет Кафедра автоматических и мехатронных систем ПРОГРАММИРОВАНИЕ И ОСНОВЫ АЛГОРИТМИЗАЦИИ Практикум Часть Составитель:

Подробнее

Лектор Ст. преподаватель Купо А.Н.

Лектор Ст. преподаватель Купо А.Н. Лекция 2 Решение линейных и нелинейных уравнений в средах MS Excel и Mthcd Лектор Ст. преподаватель Купо А.Н. 1.Решение уравнений с одним неизвестным. Дихотомия. 2.Метод хорд. Метод касательных. Метод

Подробнее

Пирумов У. Г. Численные методы: Учеб. пособие для студ. втузов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Дрофа, с.: ил.

Пирумов У. Г. Численные методы: Учеб. пособие для студ. втузов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Дрофа, с.: ил. Рецензенты: проф., д. ф.-м. н. В. Б. Миносцев (зав. каф. общей и прикладной математики Московского государственного индустриального университета); проф., д. ф.-м. н., действ, чл. РАЕН Ю. И. Яламов Пирумов

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ И ПРОЦЕССОВ ММСП

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ И ПРОЦЕССОВ ММСП МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ И ПРОЦЕССОВ ММСП 1 Содержание Введение. 3 1. Приближение табличных данных конкретной системой базисных функций по методу наименьших квадратов. 4. Численное решение задачи

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 9 по курсу: «Высшая математика»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 9 по курсу: «Высшая математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Факультет дистанционных форм обучения Заочное отделение ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНАЯ

Подробнее

Тема7. «Численное интегрирование.»

Тема7. «Численное интегрирование.» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема7. «Численное интегрирование.» Кафедра теоретичской и прикладной математики. разработана доц.

Подробнее

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЭКОНОМИКЕ

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЭКОНОМИКЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А.М. Горького» ИОНЦ «Бизнес - информатика»

Подробнее

Лабораторная работа по теме «Тема 1.2. Методы решения нелинейных уравнений»

Лабораторная работа по теме «Тема 1.2. Методы решения нелинейных уравнений» Лабораторная работа по теме «Тема.. Методы решения нелинейных уравнений» Перейти к Теме. Теме. Огл.... Вопросы, подлежащие изучению. Постановка задачи численного решения нелинейных уравнений.. Этапы численного

Подробнее

Численные методы и моделирование на ЭВМ

Численные методы и моделирование на ЭВМ Министерство образования и науки, молодежи и спорта Донбасская государственная машиностроительная академия Составитель Костиков А.А. Численные методы и моделирование на ЭВМ Методические указания к выполнению

Подробнее

Корень Итераций Корень Итераций. -- вывод о качестве методов после их сравнения по количеству выполненных итераций для достижения заданной точности.

Корень Итераций Корень Итераций. -- вывод о качестве методов после их сравнения по количеству выполненных итераций для достижения заданной точности. Methods.doc Методы приближенных вычислений Стр.1 из 6 Общее условие задачи: Двумя заданными численными методами вычислить приближенное значение корня 1 функционального уравнения вида f()=0 для N значений

Подробнее

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЭКОНОМИКЕ

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЭКОНОМИКЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А.М. Горького» ИОНЦ «Бизнес - информатика»

Подробнее

2 Численные методы решения уравнений.

2 Численные методы решения уравнений. 2 Численные методы решения уравнений. 2.1 Классификация уравнений, их систем и методов решения. Уравнения и системы уравнений делятся на: 1) алгебраические: уравнение называется алгебраическим, если над

Подробнее

8 Методы численного интегрирования.

8 Методы численного интегрирования. интеграла. 8 Методы численного интегрирования. В данной главе будут рассмотрены методы вычисления определенного Методы численного интегрирования находят широкое применение при автоматизации решения научных

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Информатика» семестр 3

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Информатика» семестр 3 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Информатика» семестр 3 НОВОСИБИРСК 008 Министерство науки и образования РФ Новосибирский технологический институт Московского государственного

Подробнее

8. Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка

8. Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка Варианты задания 8. Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения -го порядка 8.. Постановка задачи Рассмотрим задачу Коши для обыкновеннго дифференциального уравнения y =

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Рыбинская государственная авиационная технологическая академия имени П.А.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Рыбинская государственная авиационная технологическая академия имени П.А. Министерство образования и науки Российской Федерации Рыбинская государственная авиационная технологическая академия имени П.А. Соловьева Кафедра МПО ЭВС РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УТВЕРЖДАЮ Декан факультета РЭИ

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра «Высшая математика 3» МАТЕМАТИКА

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра «Высшая математика 3» МАТЕМАТИКА Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИКА Лабораторные работы для студентов строительных специальностей В 4 частях

Подробнее

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Инженеру часто приходится иметь дело с техническими системами и технологическими процессами, характеристики которых непрерывно меняются со временем t Эти

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГОУ ВПО «УЛЬЯНОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ» ИНЖЕНЕРНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГОУ ВПО «УЛЬЯНОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ» ИНЖЕНЕРНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГОУ ВПО «УЛЬЯНОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ» ИНЖЕНЕРНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра «Высшая математика» РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по учебной

Подробнее

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Подробнее

«НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Р.Е. АЛЕКСЕЕВА» (НГТУ)

«НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Р.Е. АЛЕКСЕЕВА» (НГТУ) Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГОУ ВПО «УЛЬЯНОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ» ИНЖЕНЕРНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГОУ ВПО «УЛЬЯНОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ» ИНЖЕНЕРНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГОУ ВПО «УЛЬЯНОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ» ИНЖЕНЕРНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра «Высшая математика» РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по учебной

Подробнее

Численное решение нелинейных уравнений

Численное решение нелинейных уравнений Постановка задачи Метод половинного деления Метод хорд (метод пропорциональных частей 4 Метод Ньютона (метод касательных 5 Метод итераций (метод последовательных приближений Постановка задачи Пусть дано

Подробнее

Практическое занятие 6 Численное интегрирование Продолжительность работы- 2 часа Цель работы: закрепление знаний о численном интегрировании по

Практическое занятие 6 Численное интегрирование Продолжительность работы- 2 часа Цель работы: закрепление знаний о численном интегрировании по 46 Практическое занятие 6 Численное интегрирование Продолжительность работы- 2 часа Цель работы: закрепление знаний о численном интегрировании по обобщенным формулам средних прямоугольников, трапеций,

Подробнее

x i Определение. Задача нахождения значения интерполяционной функции F x в точке не совпадающей ни с одной абсциссой интерполяционных узлов x,

x i Определение. Задача нахождения значения интерполяционной функции F x в точке не совпадающей ни с одной абсциссой интерполяционных узлов x, ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Дано: точки наблюдения y (их количество + ) a b ; ; y y y y y Найти функцию : F F : y Определение Точки y называются узлами интерполяции Графическая интерпретация

Подробнее

функции. многочленов на ошибку степени многочлена степени ростом ошибку? таблицы?

функции. многочленов на ошибку степени многочлена степени ростом ошибку? таблицы? Разработчик методических указаний для выполнения лабораторных работ доцент, к.ф.-м.н. Ласуков В. В. Интерполяция с помощью многочленов Задание 1. С помощью интерполяционных многочленов Лагранжа (илии Ньютона)

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Факультет автоматики и вычислительной техники

Подробнее

2. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения. Геометрический смысл теоремы.

2. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения. Геометрический смысл теоремы. 1 1. Определение дифференциального уравнения первого порядка. Его общее и частное решение, частный и общий интеграл. Запись уравнения в нормальной форме. 2. Задача Коши для дифференциального уравнения

Подробнее

А. П. ИВАНОВ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

А. П. ИВАНОВ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Методические указания Санкт-Петербург 2013 ГЛАВА 1. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ

Подробнее

Направление Компьютерные и информационные науки. Профиль «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА»

Направление Компьютерные и информационные науки. Профиль «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА» Направление 02.06.01 Компьютерные и информационные науки Профиль 01.01.07 «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА» 1. Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной функции. Первообразная непрерывной функции. 2.

Подробнее

Численные методы линейной и нелинейной алгебры

Численные методы линейной и нелинейной алгебры ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского» А.И. Зинина В.И. Копнина Численные методы линейной и нелинейной алгебры Учебное пособие Саратов

Подробнее

Лекция ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Лекция ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Лекция 4 8 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматривается проблема решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка связывающих

Подробнее

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ И ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ И ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

I = b I = f(x) dx I = f(x) dx = f(x) dx I T = 0, 5(f n + f n+1 )h. = h(0, 5f 0 + f 1 + f f N 1 + 0, 5f N ), (2.1) N 1. n=0

I = b I = f(x) dx I = f(x) dx = f(x) dx I T = 0, 5(f n + f n+1 )h. = h(0, 5f 0 + f 1 + f f N 1 + 0, 5f N ), (2.1) N 1. n=0 Глава Вычисление определенных интегралов! " #%$&' %(" # )* +,- "#' dx. В общем виде задача решается путем аппроксимации функции другой функцией, для которой интеграл вычисляется аналитически. При этом

Подробнее

Билеты по курсу «Введение в численные методы» (2 ой поток) (2013)

Билеты по курсу «Введение в численные методы» (2 ой поток) (2013) Билеты по курсу «Введение в численные методы» (2 ой поток) (2013) Билет 1. Прямые методы решения СЛАУ. Метод Гаусса. Билет 2. Трехдиагональные системы линейных алгебраических уравнений. Метод прогонки.

Подробнее

7. Алгоритмы Рунге-Кутты

7. Алгоритмы Рунге-Кутты 7. Алгоритмы Рунге-Кутты 1 7. Алгоритмы Рунге-Кутты Наиболее эффективным и часто использующемся методом решения ОДУ остается метод Рунге-Кутты. Большинство расчетов задач Коши для ОДУ, которые не являются

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Тема 3. Численные методы решения задачи аппроксимации

Тема 3. Численные методы решения задачи аппроксимации Тема. Численные методы решения задачи аппроксимации Будем считать, что является функцией аргумента. Это означает, что любому значению из области определения поставлено в соответствие значение. На практике

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Ф И Л И А Л «С Е В М А Ш В Т У З» Г О С У Д А Р С Т В Е Н Н О Г О О Б Р А З О В А Т Е Л Ь Н О Г О У Ч Р Е Ж Д Е Н И Я В Ы С Ш Е Г О П Р О Ф Е С С И О Н А Л Ь Н О Г

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И.Б. Болотин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть Федеральное агентство по образованию Смоленский государственный университет И.Б. Болотин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Практические занятия для студентов курса специальности

Подробнее

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных).

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных). Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных. Зададим некоторое начальное приближение [,b] и линеаризуем функцию f( в окрестности с помощью отрезка ряда Тейлора f( = f( + f '( ( -. (5 Вместо уравнения ( решим

Подробнее

Практикум по курсу «Численные методы»

Практикум по курсу «Численные методы» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Мастяева ИН Семенихина ОН Практикум по курсу «Численные методы» Москва УДК 596 ББК

Подробнее

1. Цель, задачи и требования к усвоению дисциплины

1. Цель, задачи и требования к усвоению дисциплины 1. Цель, задачи и требования к усвоению дисциплины Дисциплина "Численные методы математического моделирования" является одной из дисциплин по выбору при подготовке дипломированных специалистов по специальности

Подробнее

Математическое моделирование объектов теплоэнергетики

Математическое моделирование объектов теплоэнергетики Математическое моделирование объектов теплоэнергетики Лекция 1 Нелинейные алгебраические и трансцендентные уравнения. Термины и понятия 2 Моделирование это исследование объекта или системы объектов путем

Подробнее

Кафедра Электроэнергетика, электроснабжение и силовая электроника. Составители: Флаксман Е.А., Гребенщиков В.И. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА

Кафедра Электроэнергетика, электроснабжение и силовая электроника. Составители: Флаксман Е.А., Гребенщиков В.И. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е.

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Факультет информационных технологий Кафедра Математики ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Федеральное агентство по образованию. Факультет информационных технологий Кафедра Математики ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский государственный университет» (НГУ) Факультет информационных технологий

Подробнее

А. П. Иванов. Методические указания. Тема 5: Интерполирование функций. факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г.

А. П. Иванов. Методические указания. Тема 5: Интерполирование функций. факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г. А. П. Иванов Методические указания Тема 5: Интерполирование функций факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г. Оглавление 1. Алгебраическое интерполирование. Полином Лагранжа............. 2 1.1. Погрешность метода.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА)

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Постановка задачи. Рассматривается задача о вычислении однократного интеграла J(F ) = F (x) dx. ()

Подробнее