ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН"

Транскрипт

1 Т А Матвеева В Б Светличная С А Зотова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

2 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) ТА Матвеева В Б Светличная С А Зотова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Учебное пособие РПК Политехник Волгоград 6

3 УДК 59 Рецензенты: канд техн наук доцент Просвиров А Э канд физ-мат наук профессор Меркулова Н И Матвеева ТА Светличная В Б Зотова С А Теория вероятностей: системы случайных величин и функции случайных величин: Учеб пособие / ВолгГТУ Волгоград 6 65 с ISBN Содержит необходимый теоретический материал и примеры иллюстрирующие основные понятия по учебной дисциплине Теория вероятностей Разработаны варианты контрольных (семестровых) работ Рассчитано на студентов дневной и вечерней форм обучения высших технических заведений всех специальностей и направлений Библиогр: 7 названий Печатается по решению редакционно-издательского совета Волгоградского государственного технического университета ISBN Волгоградский государственный технический университет 6

4 СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Двумерная случайная величина Пусть на вероятностном пространстве Ω заданы две случайные величины (СВ): ( ω ) ( ω) ω Ω Каждому элементарному событию ω ставится в соответствие упорядоченная пара значений ( СВ Упорядоченную пару ( ) двух одномерных случайных величин называют двумерной случайной величиной Двумерную СВ называют также случайным двумерным вектором случайной двумерной точкой системой двух случайных величин СВ называются компонентами случайного вектора ( ) Функцией распределения (интегральной функцией) ( СВ ( ) называется вероятность произведения событий ( < ) ( < вещественных определенная для любых : F ( Р{ < < } Геометрический смысл данного равенства: интегральная функция ( F есть вероятность того F двумерной что случайная точка ( ) попадет в бесконечный квадрат с вершиной в точке ( ; точка ( ) ( будет левее и ниже этой вершины Свойства двумерной функции распределения F F ( F ( ) F ( + + ) ( ) P{ < } F ( ) F + ; ( P{ < } F ( F 4 ( + () F неубывающая функция по каждому из своих аргументов при фиксированном другом аргументе Формулы () означают что из функции распределения двумерной СВ можно получить функции распределения ее одномерных компонент

5 Используя функцию распределения можно найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник { a < b c < d } P ; : { a < b; c < d } [ F( b d ) F( a d )] [ F( b c) F( a c) ] Дискретная двумерная случайная величина Двумерная случайная величина ( ) называется дискретной если множество ее значений ( конечное или счетное Закон распределения вероятностей двумерной дискретной СВ ( ) можно задать формулой P{ } p ( m; k ) где m могут принимать бесконечные значения k k События ( ) ( m; k ) k группу событий поэтому сумма всех вероятностей m k образуют полную p k p k равна то есть В случае конечности чисел m и закон распределения можно оформить в виде таблицы распределения: p p p p p p p p m p m p m p m p m q q q По теореме сложения получаем k m P P { } p p P{ } k k m k m ; { k } pk q k P{ k } k Если известен закон распределения двумерной СВ ( ) законы распределения компонент : то можно найти 4

6 m P { } p p p p m k { k } qk P k q k k q q Функция распределения дискретной СВ ( ) записывается в виде ( F p < < где суммирование распространяется на те значения и k для которых выполняются неравенства < k < Условным законом распределения дискретной СВ при k называется множество значений P{ } P{ } P { } при k k m k { } P{ } k k k k ( m ) и условных вероятностей вычисленных по формулам: { k } p P{ k } qk P P k m Аналогично строится условный закон распределения дискретной СВ где условные вероятности ( ) по формулам: P { k } { } k P k ( k ) вычисляются { k } p P{ } p P P Сумма вероятностей условного распределения равна единице k k Условным математическим ожиданием дискретной СВ при называется M [ k ] P{ k } m Аналогично определяется M [ ] k P{ k } k k 5

7 Непрерывная двумерная случайная величина Двумерная СВ называется ( ) непрерывной если существует такая неотрицательная функция ( f называемая двумерной плотностью вероятности (дифференциальной функцией) которая представляет собой предел отношения вероятности попадания случайной точки ( ) в элементарный прямоугольник со сторонами прямоугольника когда оба размера его стремятся к нулю: f ( и к площади { < < + < < + } F( P lm График функции z f ( называют поверхностью распределения Из определения плотности получаем что вероятность попадания случайной величины ( ) в область D равна двойному интегралу от плотности по этой области: P{ ( ) D } f ( d d Геометрически вероятность попадания в область D D изображается объемом цилиндрического тела ограниченного поверхностью распределения и опирающегося на область D Из этого равенства следует формула для нахождения функции распределения двумерного непрерывного случайного вектора по известной плотности распределения: ( F ( P{ < < < < } f ( dd Свойства двумерной плотности вероятности f неотрицательная функция определенная на всей плоскости O ( d d f основное свойство плотности 6

8 f ( ) F ( ) f ( d ; f ( F ( f ( d Данные формулы означают что из плотности распределения двумерной СВ можно получить ( ) f ( f плотности распределения СВ и Функции распределения F ( ) и ( 7 F одномерных компонент случайного вектора можно получить из определения двумерной функции распределения которые в непрерывном случае примут вид: ( ) F( + ) f( ) d d f ( d F ( F( + f( d d f ( d F Условной плотностью распределения компоненты при заданном значении называют отношение плотности совместного распределения случайной величины к плотности распределения СВ : f ( f f ( ( f f ( ( Аналогично определяется условная плотность распределения компоненты : f ( ) f ( f ( ) f f ( ( Как и любая плотность распределения условные плотности обладают следующими свойствами: f ( f ( d и f ( ) ( ) d d d f Используя полученные равенства имеем теорему умножения законов распределения

9 ( f ( ) f ( ) f ( f ( f Эта формула в схеме СВ аналогична правилу умножения вероятностей для случайных событий Наиболее важной характеристикой описания условных законов распределения является условное математическое ожидание Условным математическим ожиданием непрерывной случайной величины при называется M [ ] f ( d 4 Зависимость и независимость двух случайных величин Случайные величины называются независимыми если независимыми являются события < и < для любых вещественных В противном случае величины называются зависимыми где Общее необходимое и достаточное условие независимости двух СВ: ( F ( ) F ( F любые вещественные числа Необходимое и достаточное условие независимости двух непрерывных СВ и : f ( ( ) f ( f где любые вещественные числа Если условные плотности распределения случайных величин и равны их безусловным плотностям то такие величины независимы Необходимое и достаточное условие независимости двух дискретных СВ и : pk p q для ( k) k где m ; k Если условные законы распределения СВ и совпадают с их безусловными законами распределения то такие величины независимы 8

10 5 Числовые характеристики системы двух СВ Средние значения (математические ожидания) M [ ] a M [ ] b определяют точку ( a b) называемую центром совместного распределения вероятностей или центром рассеивания Математическое ожидание компонент случайного вектора можно вычислить по формулам с помощью соответствующей одномерной плотности или двумерной плотности распределения системы СВ Например для СВ они имеют вид M [ ] f ( ) d или M [ ] f ( d d Дисперсии СВ : [ ] D[ ] D характеризуют рассеивание случайного вектора в направление координатных осей O O Особую роль при исследовании системы двух случайных величин играет корреляционный момент который характеризует связь между случайными величинами Корреляционным моментом K иначе ковариацией двух СВ называется математическое ожидание произведения отклонений этих случайных величин от их математических ожиданий: K [( m ) ( m )] M Формулы для вычисления корреляционного момента K : K ( m ) ( m ) f ( d d для непрерывных случайных величин; K ( m ) ( m ) p m k k k для дискретных случайных величин 9

11 Для оценки степени взаимного влияния СВ обычно используют не сам корреляционный момент а коэффициент корреляции Коэффициентом корреляции r двух случайных величин называется отношение их корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений: Если K ( ) r K σ σ r то СВ называются некоррелированными В частности если СВ независимые то они являются некоррелированными СВ ( K ) Обратное неверно: из некоррелированности не следует независимость СВ Из определения корреляционного момента следуют соотношения: D [ ] K [ ] K D Свойства корреляционного момента и коэффициента корреляции K M m m [ ] r Если независимые СВ некоррелированны ( K ) Обратное неверно: существуют зависимые некоррелированные СВ 4 Для СВ и связанных линейной зависимостью a + b справедливо r при при a > ; a < D + D + D + K 5 [ ] [ ] [ ] Величина [ ] M входящая в формулу вычисления K определяется по формулам: M [ ] f ( d d M [ ] m k в непрерывном случае; k p k в дискретном случае

12 6 Двумерные непрерывные распределения Двумерное равномерное распределение в области D определяется плотностью вероятности: ( S f D при при ( ( D D где S D площадь области D то есть плотность совместного распределения вероятностей сохраняет постоянное значение в области D которой принадлежат все возможные значения случайного вектора ( ) Это означает что с вероятностью случайная точка попадет в область D причем все положения в области D для этой точки в некотором смысле равноправны Основное свойство равномерного распределения состоит в том что для него применим геометрический способ определения вероятности Так если область d содержится в области D то {( ) d} области d Sd P где S d площадь S Двумерное нормальное распределение случайного вектора ( ) определяется плотностью вероятности ( f где σ σ r ep ( r ) ( a) σ D ( a) ( b) ( b) r + σ σ σ a b математические ожидания компонент ; σ σ средние квадратические отклонения компонент корреляции между компонентами двумерной СВ ( ) ; r r коэффициент

13 N Компоненты ( a σ ) N( b σ ) распределены соответственно нормально по законам Из равенства r следует что плотность двумерного вектора ( ) есть произведение двух плотностей нормального распределения СВ условием независимости компонент двумерного вектора примет вид: ( f ( ) f ( f Это является необходимым и достаточным ep ( a) σ σ В этом случае плотность ep 7 - мерная случайная величина ( b) σ σ - мерной случайной величиной называется система одномерных СВ ( ) При этом предполагается что определена вероятность произведения событий ( < )( < ) для любых вещественных - мерную случайную величину называют также - мерной случайной точкой - мерным случайным вектором системой случайных величин - мерной функцией распределения называется вероятность произведения событий ( < )( < ) : для любых вещественных ( ) P{ < } F < - мерная СВ называется дискретной если множество ее значений конечное или счетное - мерная случайная величина называется непрерывной если существует такая неотрицательная функция f ( ) называемая плотностью вероятности что вероятность попадания случайной точки

14 ( ) в - мерную область D равна - кратному интегралу от плотности по области D : {( ) D } f ( ) d d P D Из данного равенства следует формула для функции распределения - мерной непрерывной случайной величины F ( ) f ( t t ) dt dt Плотность вероятности во всех точках непрерывности плотности выражается через функцию распределения по формуле: f ( ) ( ) F Для дифференциальной функции f ( ) свойство плотности СВ справедливо основное ( ) d f d называются взаимно-независимыми (независимыми в совокупности) если взаимно независимыми являются события ( < )( < ) для любых вещественных Необходимое и достаточное условие взаимной независимости СВ где : F ( ) F ( ) F ( ) F ( ) любые вещественные числа; ( ) F k функция распределения случайной величины k k Необходимое и достаточное условие взаимной независимости непрерывных случайных величин:

15 где ( ) f ( ) f( ) f ( ) f любые вещественные числа k ( k ) вероятности случайной величины k k f плотность 8 Числовые характеристики системы СВ математических ожиданий [ k ] mk - мерного случайного вектора ( ) распределения ( m m ) m - мерной случайной величины M k компонент образуют его центр около которого группируются значения дисперсий компонент - мерной СВ ( ) D [ ] D M ( m ) : [ ] k k k k k характеризуют ее рассеивание в направление координатных осей Корреляционные моменты всевозможных пар связь между компонентами - мерной случайной величины: матрицы K j характеризуют [( m ) ( m )] j j K M j j Все корреляционные моменты и дисперсии удобно записать в виде ( K ) j K K K которая называется корреляционной По ее главной диагонали стоят дисперсии компонент так как K D D[ ] K K K j K K K матрица является симметрической матрицей так как Корреляционная K K j j j 4

16 9 Примеры Пример Из урны содержащей 6 белых 4 черных шаров наудачу извлекают шара без возвращения Случайные величины число белых шаров число черных шаров в выборке Описать закон распределения случайного вектора ( ) Определить а) безусловные законы распределения компонент системы СВ ( ); б) зависимость или независимость СВ ; в) центр рассеивания: точку M ( m m ); г) коэффициент корреляции r ; д) { } P Составим закон распределения дискретного случайного вектора ( ) P p для этого вычислим вероятности { j} j СВ могут принимать два значения: или Заметим что значения + j поэтому события ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) невозможными то есть их вероятность равна нулю 4 P { } P{ ( ч ч) } ; P { } P{ ( б б) } ; 9 P { } P{ ( б ч) или ( ч б) } являются C 9 5 / P { } p { j } q j P

17 а) СВ принимает значения: вероятности которых находим суммированием вероятностей соответственно в первой второй и 8 третьей строках таблицы: p + + p p Суммируя вероятности в первом втором и третьем столбцах таблицы находим вероятности соответствующих значений СВ Таким образом безусловные законы распределения компонент случайного вектора имеют вид j p q j б) Если дискретные СВ независимы то ( j) выполняется равенство p j p q В нашем случае СВ зависимы так как например j p { } P{ } P{ } p q P в) По одномерным законам распределения СВ вычисляем их математические ожидания 8 6 m p + + ; m jq j Таким образом центром рассеивания является точка ( 6 5; 4 5) j M г) По безусловным законам распределения СВ вычисляем их дисперсии D [ ] ( m ) M [ ] ( m ) D M и соответственно находим средние квадратические отклонения ; σ D 5 4 σ D 5 6

18 M m m Для вычисления корреляционного момента [ ] найдем M [ ] Одним из способов нахождения M [ ] является непосредственное составление закона распределения СВ ( ) Возможные значения этой случайной величины: и 4 Найдем соответствующие вероятности P + 5 { } P{ ( ); ( ) ;( ) ( ) } 8 P { } P{ ( ) } ; { } P{ ( ); ( )} 5 { 4 } P{ ( ) } P 7 5 ; K P ; ( ) k 4 p k По таблице находим [ ] M Другой способ вычисления M [ ] по определению M [ ] j pj j Следовательно K Коэффициент корреляции вычисляем по формуле r K σ σ ( 4 5 ) ( 4 5 ) д) P{ } P ( ) ; ( ); ( ) ; ( ); ( ) ; ( ) 8 { } или P{ } P{ < } P{ ( ) ; ( ) ; ( ) }

19 Пример случайной величины ( ) Определить Задана таблица распределения дискретной двумерной / а) законы распределения случайных величин ; б) функцию распределения F ( системы СВ ( ) в) P { } { + } P ; г) условный закон распределения СВ при д) зависимость или независимость СВ и ; и [ / ] M ; а) Суммируя вероятности в первой второй строке находим вероятности соответствующих значений СВ : Суммируя вероятности в первом втором третьем столбцах находим вероятности соответствующих значений СВ : Безусловные законы СВ имеют вид j p 8 q j 5 45 б) В соответствии с формулой ( если или то F ( событий { < } и { } если < и < если < и если < и > если > и < F p получаем: < j < < является невозможным; то ( P{ ( ) } 5 j так как в этом случае хотя бы одно из F ; < то ( P{ ( ) ;( )} F ; то ( P{ ( ) ;( ); ( )} F ; то ( P{ ( ); ( ) } если > и F ; { } < то F ( P ( ) ;( );( ) ;( ) 8

20 если > и > ; { } то F ( P ( ) ;( );( );( ) ;( ) ; ( ) Таким образом функция распределения ( дискретных случайных величин имеет вид P F данной системы / < < > < > 55 в) { } P{ ( ) } + P{ ( ) } P { + } P{ < + } P{ ( )} 5 65 г) Условные вероятности значений СВ при найдем с помощью Р{ j} Р j / P{ } 5 P то Р { / } ; 8 6 формулы { } Так как { } 8 8 Р { / } ; { / } Р 8 6 Таким образом условный закон распределения СВ при имеет вид j / 6 { } Р j Используя составленный условный закон найдем M [ / ] д) Так как безусловный и условный законы распределения СВ не совпадают то СВ и зависимы В этом можно было бы убедиться и другим способом: P{ } 5 5 P{ } P{ } Пример Случайный вектор ( ) равномерно распределен в прямоугольнике D {( : a b}

21 Определить а) плотность распределения системы СВ ( ); б) плотности распределения отдельных компонент ; в) зависимость или независимость случайных величин ; г) центр рассеивания коэффициент корреляции r а) Так как двумерная случайная величина ( ) распределена равномерно в области D то плотность распределения имеет вид: В нашем случае S D f ( SD ( ( D D a b площадь прямоугольника D следовательно плотность распределения системы имеет вид f ( ab б) Найдем одномерную плотность распределения СВ : f ( ) f ( d ( ) ab ab a и f ( ) при [ a] b d + d + d b b ( ( [ a] D D Одномерная плотность распределения СВ вычисляется по формуле f ( f ( d ( ) ab ab b и f ( при [ b] a d + d + d a a [ b] Таким образом плотности компонент случайного вектора ( ) имеют вид [ а] f ( ) а и f ( [ а] ; b то есть СВ распределены равномерно на [ a] и [ b] в) Так как f ( f ( ) f ( ( [ b] [ b] соответственно то СВ независимы

22 г) Так как СВ имеют равномерное распределение то для вычисления их характеристик воспользуемся формулами: если Z распределена равномерно на [ a b] то Следовательно m m a a D и Z ( b a) a + b DZ m b b D Таким образом центром рассевания случайного вектора является точка ( a ; b ) М Так как СВ независимы то эти величины некоррелированы то есть K и r Пример 4 Плотность распределения вероятностей случайного вектора ( ) имеет следующий вид f ( C где область D {( : ; } а) коэффициент C ; ( + ( ( Определить D D б) плотности распределения отдельных компонент ; в) зависимость или независимость случайных величин ; г) вероятность попадания случайной точки ( ) в области D {( : ; 5} и {( : + } д) двумерную функцию распределения ( D ; < F ; е) центр рассеивания корреляционный момент а) Коэффициент C найдем из основного свойства двумерной плотности: ( d d f ( ) ( ) f dd f d d d C ( + d С d + D C + d C C + C + б) Найдем плотность распределения СВ : C

23 + f ( ) f ( d ( + d + если [ ] f ( ) если [ ] то есть + [ ] f ( ) Из симметрии области D и плотности f ( [ ] относительно переменных + [ ] следует что f ( [ ] в) Если непрерывные случайные величины независимы то выполняется равенство f ( f ( ) f ( ( f ( f ( ) f ( ( D Как видим в нашем случае Следовательно СВ зависимы г) Для нахождения вероятности попадания случайной точки ( ) в область P D воспользуемся формулой P{ ( ) D } f ( d d {( ) D } d ( + d d d Аналогично P{ ( ) D} d ( + d d + ( ) + d D ( ) + d

24 д) Для нахождения двумерной функции распределения воспользуемся формулой F( f ( dd где любые вещественные числа Рассмотрим возможные положения значения точки ( на плоскости: ) если точка ( расположена во II III или в IV четвертях ( или там всюду ( f ; ) то F ( так как ) если точка ( расположена в I четверти то она находится либо: F F F а) внутри области D ; б) в области B {( : > } ; в) в области B {( : } ; г) в {( : > } В случае а) имеем ( d ( + d В случае б) получаем ( d ( + d В случае в) имеем ( d ( + > d + d B > d d + + F P < < P Ω и в случае г) имеем ( ) { } { } Таким образом функция распределения ( F ( + + ( + или ( > ; ; > ; D > > ( + ( + ( + ) F имеет вид

25 е) Найдем математическое ожидание СВ : [ ] f ( ) d M 7 + d Из условия равноправности вхождения переменных 4 в выражение плотности распределения f ( и области D получаем M [ ] Таким образом центром рассеивания является точка M M [ ] f ( d d d ( + d d + Корреляционный момент M [ ] + d K m m 44 Пример 4 Двумерная случайная величина ( ) распределена равномерно в области D где + 4 Определить D половина круга а) двумерную плотность вероятности ( f ; б) одномерные плотности вероятностей СВ ( ) f ( f ; в) зависимость или независимость случайных величин ; г) центр рассеивания; средние квадратические отклонения σ σ ; д) коэффициент корреляции r ; е) корреляционную матрицу а) Так как двумерная случайная величина ( ) распределена равномерно в области D то плотность распределения имеет вид 6 + 6

26 f ( SD ( ( D D В нашем случае S D R площадь области D следовательно плотность ( f ( ( D D б) Найдем одномерную плотность распределения СВ : f ( ) f ( d 4 4 d + d + d 4 и f ( ) при [ ] 4 4 при [ ] Одномерная плотность распределения СВ вычисляется по формуле f ( f ( d 4 d+ d + d 4 4 [ ] и f ( при [ ] Таким образом плотности компонент случайного вектора ( ) имеют вид 4 [ ] f( ) и ( [ ] в) Так как f ( f ( ) f ( ( D f 4 [ ] [ ] то СВ зависимы г) Найдем математические ожидания СВ : 5

27 4 t 4 M [ ] f ( ) d 4 d t dt dt d 8 t ; 4 t 4 M [ ] f( d 4 d t dt dt d Заметим что [ ] M можно было установить из геометрических соображений: так как область D и плотность ( f симметрично 8 относительно Таким образом точка M центр рассеивания Для нахождения средних квадратических отклонений предварительно вычислим соответствующие дисперсии: [ ] ( ) D M f ( ) d ( ) m 8 s t 4 d d cost dt ( s t ) cost cost dt s ( t ) ( t) 4 dt cos 64 s t 64 dt t 9 9 s t m ; 9 D f( d ( m ) 4 d d cost dt cos ( t) ( s t) cost cost dt s t dt t Следовательно средние квадратические отклонения равны s ( t) dt σ D и σ D 9 6

28 д) Коэффициент корреляции вычисляем по формуле Предварительно найдем M [ ] и K M [ ] m m r K σ σ M [ ] f ( d d dd D d 4 d 4 d d Получаем корреляционный момент [ ] то есть СВ являются некоррелированными K 8 M m m Установить что K можно было и из геометрических соображений: так как по определению K M [( m ) ( m )] область D и плотность ( прямых m m и поэтому если f симметрично хотя бы относительно одной из то K В данном случае область D и плотность ( относительно и [ ] M Таким образом коэффициент корреляции равен r K σ σ е) Корреляционная матрица имеет вид K D K [ ] K σ σ 64 9 [ ] D f симметрично Пример 5 Известна двумерная функция распределения случайного вектора ( ) F( arctg + arctg + Определить а) двумерную плотность распределения ( f ; ( R R

29 б) одномерные функции распределения ( ) F ( F ; в) зависимость или независимость случайных величин ; г) коррелированны ли СВ ; д) { } P > а) Двумерная плотность распределения вычисляется по формуле f ( F ( где ( ); ( ) arctg + ( + ) ( + ) ( + ) б) найдем одномерную функцию распределения СВ по формуле ( ) f( ) d d f ( F / d + d + d + d ( arctg d + arctg + ( ) arctg ( ) Аналогично находим одномерную интегральную функцию СВ : ( f( d d f ( F d arctg ( ) в) Так как выполняется необходимое и достаточное условие независимости двух СВ: ( F ( ) F ( ( R R независимы F то СВ г) Из независимости СВ следует и некоррелированность этих случайных величин то есть K д) P{ < } d f ( d + d ( + ) d 8

30 ( arctg + d arctg + d + + d arctg arctg d 4 4 ( arctg ) + ( arctg ) Пример 6 Непрерывная СВ распределена равномерно на [ 4] а непрерывная СВ нормально с параметрами N ( ) коэффициент корреляции r 5 Найти M [ ] Известно что Так как непрерывная СВ распределена равномерно на [ a b] то a + b + 4 M [ ] [ ] ( b a) ( 4 + ) D D[ ] σ По условию СВ распределена нормально с параметрами a σ то есть [ ] a r M σ Из формулы коэффициента корреляции r выразим [ ] M : K M [ ] M [ ] M [ ] M [ ] r σ + m m σ σ σ σ Подставляя полученные данные находим что [ ] 5 + ( ) M σ 9

31 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В практических задачах часто необходимо находить законы распределения СВ представляющие собой функции некоторых других СВ имеющих известные законы распределения Функция одного случайного аргумента Если существует правило (закон) по которому каждому возможному значению СВ ставится в соответствие единственное возможное значение СВ то называют функцией случайного аргумента : ϕ ( ) ) Если ДСВ заданная рядом распределения p p p p где p P{ } ( ) то СВ ϕ ( ) СВ с рядом распределения: также является дискретной ϕ ) ϕ ) ϕ ) ( ( p p p p Если все значения ( ) Если же есть одинаковые значения среди ( различны то P { } P{ } p то каждой группе одинаковых значений нужно отвести в таблице один столбец а соответствующие вероятности сложить ) Если НСВ заданная плотностью распределения f () то найдем плотность распределения СВ ϕ ( ) Возможны случаи: а) функция ϕ () монотонная непрерывная дифференцируемая на некотором промежутке ( α ; β ) Тогда существует функция ψ ( обратная функции ϕ ()

32 Зададим на оси O интервал ( + ; и отобразим его с помощью функции ψ ( на ось O получим интервал ( + ) События ( < < + ) ( < < + ) эквивалентны Следовательно P { < + } P{ < < + } < Если функция ϕ() строго возрастает (строго убывает) то при > и > ( < ) Плотность распределения СВ по определению: { < < + } P{ < < + } P g( lm lm Таким образом получаем плотность СВ ( ψ ( ) ψ ( ) g( f ; ( ψ ( ) ψ ( ) f ( ) ( f б) функция ϕ() немонотонная в интервале ( α ; β ) Для нахождения g ( следует разбить интервал на участки монотонности функции ϕ (); найти обратную функцию на каждом из них и воспользоваться формулой k ( ( ) g( f ψ ψ ( где k количество участков монотонности функции ϕ() Замечание Для определения числовых характеристик функции случайных величин ϕ ( ) как в дискретном так и непрерывном случае необязательно находить закон её распределения достаточно знать закон распределения случайной величины

33 Закон распределения системы двух СВ Пусть система двух СВ ( U V ) является результатом функционального преобразования системы СВ ( ) заданного функциями U U ( ) V V ( ) Пусть известно также обратное преобразование ( U V ) ( U V ) Рассмотрим тот случай когда преобразования являются взаимно однозначными и все рассматриваемые функции непрерывны и дифференцируемы Примерами таких функциональных преобразований систем СВ являются преобразования прямоугольных координат в полярные и обратно Задача состоит в нахождении плотности g ( v) системы СВ ( U V ) если известна плотность распределения f ( системы ( ) В силу сделанных предположений каждой точке Q ( элементарной области ε O отвечает единственная точка Q ( ) соответствующей элементарной области ε UOV v Таким образом {( ) ε} P{ ( U V ) ε } P По определению плотности распределения для системы двух СВ ( U V ) имеем g( v) lm ε P {( U V ) ε } ε lm ε ( ε ) P( ) ε ε ε ε f ( lm ε ε ε

34 Из курса математического анализа известно что lm J ( v) где J ( v) ε ε ε v ( v) якобиан преобразования ( v) v Таким образом двумерная плотность системы СВ ( U V ) имеет вид ( ( v); ( v) ) J( v) в точке Q g ( v) f () Рассмотрим преобразование прямоугольных координат заключающееся в повороте осей координат на угол α В таком случае прямое преобразование задается формулами U cosα + sα V sα + cosα Из системы находим обратное преобразование U cosα V sα U sα + V cosα Якобиан преобразования прямоугольных координат равен единице: v cosα sα J ( v) sα cosα Следовательно плотность распределения вероятностей v ( cosα sα; s α cosα ) g ( v) f Закон распределения функции нескольких СВ Z Рассмотрим наиболее простой случай функции двух переменных ϕ ( ) Пусть известна f ( плотность распределения системы случайных величин ( ) Найдем g ( плотность распределения СВ Введем в рассмотрение систему СВ U V Z или U V ϕ ( )

35 4 Будем полагать что эта система однозначно разрешима относительно то есть ) ( V U U ψ и удовлетворяет условиям дифференцируемости Для определения плотности вероятности ) ( v g системы СВ ( V U ) применим формулу () в которой якобиан преобразования имеет вид ( ) v v v v v v J ) ( ψ Поэтому ( ) ( ) ) ( ) ( v v v f v g ψ ψ Заменяя z v получим ( ) ( ) ) ( ) ( z z z f z g ψ ψ Восстановим одномерную плотность СВ Z по двумерной плотности ) ( z g проинтегрируя ее выражение по аргументу в бесконечных пределах Таким образом получим плотность распределения СВ Z ( ) d z z z f d z g z g ) ( ) ( ) ( ) ( ψ ψ Замечание Рассмотренный метод легко обобщается для случая когда СВ T является функцией трех и большего числа СВ Так например для функции трех СВ ) ( Z T ϕ плотность распределения вероятности вычисляется по формуле ( ) ( ) d d t t t f t g ) ( ) ( ψ ψ где ( ) z f плотность вероятности случайного вектора ) ( Z T ϕ ; ) ( t z ψ обратная функция к функции ) ( z t ϕ

36 Частные случаи плотности ( z) g функции Z ϕ ( ) Плотность вероятности g (z) Z Закон ϕ ( ) общий случай ( f плотность системы СВ ( ) независимые СВ ( f ( ) f ( f ( ) f ( f плотности СВ Z + g( f ( z f ( z )d d g( z) f ( f ( ) f f ( z d ( z ) d Z g( f ( z + d f ( z)d g( f ( f ( ) f f ( z + d ( z) d Z g( f z f z d d g( f ( ) f f ( f z z d d Z g( f f z z ( z d d g( f ( ) f ( f z z f ( z d d На практике часто встречаются случаи когда нет необходимости определять закон распределения функции СВ а достаточно только указать её числовые характеристики 5

37 4 Числовые характеристики функции СВ функция СВ для дискретных СВ для непрерывных СВ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ M [ ] ϕ ( ) p [ ] ϕ ( ) M ϕ ( ) f ( ) d Z ϕ( ) M [ Z ] ( ) ϕ j p M [ Z ] ( f ( dd j ϕ j ϕ( ) [ ] M ϕ( k k k p k k k k ) [ ] M f ( ϕ( ) d d d ) ДИСПЕРСИЯ ϕ( ) [ ] ( ϕ ( ) m ) p D[ ] ( ϕ( ) m ) D ϕ ( ) p ( m ) ϕ ( ) f ( ) d ( m ) f ( ) d Z ϕ( ) j j D [ Z] ( ϕ ( ) m ) j ϕ ( j ) p j Z p m j Z D [ Z ] ( ϕ( ) mz ) f ( ϕ ( f ( dd ) d d ( m ) Z ϕ ( ) ( ( ) m ) ϕ k k ( ) k k ϕ( ) m p kk k f ( ) d d 6

38 В таблице использованы обозначения: ) ϕ( ) ДСВ то p Р{ } плотность СВ ) Z ϕ( ) Если НСВ то f () Для ДСВ: p P{ } плотность распределения системы СВ ( ) ) ϕ ) ( j ; Для НСВ: f ( Для ДСВ: p P{ ;; } k j k k k Для НСВ: f ) плотность распределения системы ) ( ( Свойства математического ожидания функции СВ ) Математическое ожидание суммы как зависимых так и независимых СВ равно сумме математических ожиданий этих величин M M [ ] ) Математическое ожидание линейной функции СВ равно той же линейной функции от математических ожиданий этих величин где M a + b am + a b неслучайные величины [ ] b ) Математическое ожидание двух СВ равно произведению их математических ожиданий плюс корреляционный момент [ ] M [ ] M [ ] K M + 4) Математическое ожидание произведения независимых СВ (достаточно некоррелированных) равно произведению математических ожиданий этих величин M M [ ] 7

39 Свойства дисперсии функции СВ ) Дисперсия суммы СВ равна сумме дисперсий этих величин плюс удвоенная сумма корреляционных моментов каждой из слагаемых величин со всеми последующими D D [ ] + ) Дисперсия суммы независимых СВ (достаточно некоррелированных) равна сумме дисперсий слагаемых D < j [ ] K j ) Дисперсия линейной функции СВ выражается формулой где a b D a + b неслучайные величины [ ] + a D < j a a j K j 4) Дисперсия произведения двух независимых СВ вычисляется по формуле [ ] D[ ] D[ ] + M [ ] D[ ] + M [ ] D[ ] D Корреляционный момент и коэффициент корреляции функций СВ Рассмотрим две функции ϕ ( ) ϕ ( ) Согласно определению корреляционного момента двух СВ и M K [( [ ]) ( [ ])] [ ] [ ] [ ] M M M M M M [ ϕ ) ϕ ( )] M [ ϕ ( )] M [ ϕ ( )] ( Аналогично определяется корреляционный момент функций СВ r K σ σ 8

40 5 Примеры Пример ДСВ распределена по закону Найти: а) M [ ] D[ ] если ; б) M [ Z] D[ Z] если Z cos + ; в) K Z а) Так как является ДСВ то и ДСВ которая принимает значения ( ) ( p ); ( p ); ( p 5) Следовательно M [ ] p + ( ) + 5 8; M[ ] p + ( ) + Тогда дисперсия D[ ] M[ ] M [ ] 66 (8) Заметим что для нахождения числовых характеристик СВ мы не составляли ее ряда распределения б) Составим закон распределения СВ Z cos + z() cos + ( p ) ; z( ) z() cos + поэтому { Z } P{ } + P{ } P Таким образом СВ Z имеет следующий закон распределения z p 7 По таблице находим математическое ожидание M [ Z] и Z дисперсию D[ Z] M[ Z ] ( m ) 7 (4) K Z в) Для вычисления корреляционного момента воспользуемся формулой [ ] M [ ] M [ Z] M Z Математические ожидания СВ и Z найдены выше поэтому осталось вычислить M [ Z] M [ ( )] ϕ ( ) p + p 5 ϕ 9

41 4 где ( ) ( ) ( ) ( ) Z cos ϕ Таким образом [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) cos cos cos Z M Следовательно [ ] [ ] [ ] Z M M M Z K Z Пример ДСВ распределена по закону определяемому таблицей p /6 / / Найти коэффициент корреляции между СВ и Для вычисления коэффициента корреляции применим формулу K r σ σ Вначале найдем корреляционный момент ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ M M M M M M K ( ) ( ) Средние квадратические отклонения вычисляем по формулам [ ] ; 5 8 ] [ m M D σ [ ] [ ] ] [ 4 + M M D σ Окончательно коэффициент корреляции r

42 Пример На вход измерительного прибора поступает случайный вектор ( ) со следующими характеристиками: m σ σ r 5 На выходе прибора измеряется величина Определить M [Z] m Z ( + 5) Для вычисления M [Z] воспользуемся свойствами математического ожидания СВ M [ Z] M [( + 5) ] M[ ( )] 4M[ ] + 9M[ ] + 5 M[ ] + m m D K [ ] M [ ] ( m ) M [ ] D[ ] + ( m ) r M K σ σ используем формулы [ ] m m M [ ] K + m m ; K r σ σ ; ( D + m ) + 9( D + m ) + 5 ( K + m m ) + m m ( σ + m ) + 9( σ + m ) + 5 ( rσ σ + m m ) + m m ( + ( ) ) + 9( + ) + 5 ( 5 + ( ) ) + ( ) В нашем случае математическое ожидание M [Z] можно было вычислить и другим способом Применим формулу уже использованную в этом примере [ T ] D[ T ] ( m ) T M Z] M [( + 5) ] D ( + 5) M + и свойства дисперсии математического ожидания СВ [ ] + ( M [( + 5) ]) [ ( m m + 5) 4 D + 9D K + + ( m m + 5) 4σ + 9σ r σ σ ( + 5)

43 Пример 4 Случайная точка ( ; ) характеризуется центром рассевания и ковариационной матрицей 4 ( ) Найти [ Z] D[ Z] M если СВ Z 4 + Так как центром рассеивания является точка координаты которой есть математические ожидания СВ ; то m m Из вида ковариационной матрицы заключаем что D D 4 K По свойствам математического ожидания СВ находим [ 4 + ] m 4 m M [ Z] M По формуле для дисперсии линейной функции СВ получаем D[ Z] 4 D + 6 D + ( 4) K ( 4) ( ) 8 Пример 5 В прямоугольник с вершинами (;) (;) (;) и (;) наудачу ставится точка ( ; ) случайные координаты этой точки Найти: а) M [ ± ] D[ ± ] закон распределения + ; б) M [ + ]; в) M[ ] D[ ] закон распределения Случайный вектор ( ) по условию задачи равномерно распределен в прямоугольнике {( : } D Следовательно двумерная плотность этого случайного вектора имеет вид ( S f D ( ( D D При этом каждая СВ и равномерно распределены на отрезках [ ] и [ ] соответственно и независимые СВ Одномерные плотности компонент имеют вид 4

44 f ( ) [ ] ; ( [ ] f Так как СВ имеют равномерное распределение на [ a b] то ( b a) a + b m D Следовательно ( ) D [ ] ( ) D [ ] Из независимости СВ следует что K + + M [ ] M[ ] а) Применяем свойства математического ожидания и дисперсии: M[ D[ + ] m + m + ± ] D[ ] + D[ ] ± K Обозначим ; + M[ 5 ] m m U + По таблице для частных случаев плотности функции U ϕ ( ) для независимых СВ имеем ( ) f ( ) f( d g ) ; В нашем случае получаем g ( ) f ( ) d Функция под знаком интеграла отлична от нуля лишь в случае Возможны случаи: то есть Решение системы зависит от значения ) Если то система несовместна; отрезки [ ;] и [ z ; z] не пересекаются Следовательно g ( ) ) Если то система эквивалентна неравенству < 4

45 44 Поэтому ( ] ) ( d g ) Если < то система эквивалентна неравенству < ( ) ] ( ) ( + d g 4) Если < то < Поэтому ] ( ) ( d g 5) Если > то система несовместна Значит ( ) + ) ( g Окончательно получаем < < < > ) ( или g б) + + ] [ ] [ ] [ M M M d d

46 Этот результат можно получить другим способом ( D + m ) + ( D + m ) M [ + ] M[ ] + M[ ] в) M [ ] M[ ] M[ ] + K + Так как независимые СВ то D[ ] D[ ] D[ ] + m D[ ] + m D[ ] Пусть Z По таблице частных случаев плотности z g ( z) f( ) f d z то есть g ( z) f d Подынтегральная функция отлична от z нуля если f что равносильно системе z Рассмотрим решение последней системы в различных случаях: а) если z или z то система несовместна; б) если < z < то решение системы z < или < z z Тогда g ( z) d ( l l z) l z ( ) z Окончательно получаем g l z ( z) z z ( ( ) ] [ ) Пример 6 Случайный вектор ( ) дискретного типа распределен по закону определяемому таблицей /

47 Описать закон распределения СВ Z и найти M [ Z ] Для каждой пары возможных значений ) вычислим соответствующее значение СВ Z : { Z z( j )} P{ j } pj z( ) j j ( j P Результат оформим в виде таблицы ( j ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z ( j ) р j Из анализа таблицы заключаем что множеством возможных значений СВ Z является { } Вероятности реализаций соответствующих значений получаем по правилу сложения вероятностей Например P { Z } P{ } + P{ } Окончательно имеем закон распределения СВ Z z k p k Для вычисления M [ Z ] воспользуемся составленным законом распределения этой СВ [ Z ] Пример 7 Заданы две независимые ДСВ M z k p k 5 k законами распределения 4 j p 5 q j

48 Описать закон распределения СВ Z 5 + и найти числовые характеристики СВ Z Для каждой пары возможных значений ) вычислим ( j соответствующее значение СВ Z : z ( ) 5 + P j j { Z z( j )} P{ j} P{ } P{ j} p q j так как независимые СВ Результат оформим в виде таблицы ) ( ) ( j ( ) ( ) ( ) ( 4 ) ( 4 ) z ( j ) р q j Из анализа таблицы заключаем что множеством возможных значений СВ Z является { } и все значения различны Окончательно имеем закон распределения СВ Z z k { Z } P 8 8 z k Для вычисления числовых характеристик СВ Z воспользуемся составленным законом распределения этой СВ [ Z ] M z k p k ; D k [ Z] M [ Z ] mz Следовательно σ D Z Z Пример 8 Случайная величина подчинена закону распределения Коши F( ) arctg ( + ) 47

49 Найти плотности распределения вероятностей следующих СВ: а) ; б) Z ; в) U arctg ; г) V 4 По формуле f ( ) F ( ) определяем плотность распределения Коши: f ( ) + R а) Функция монотонна при R причем множество значений этой функции ( + ) существует и также монотонна при Поэтому обратная ей функция R Используя формулу g( f ( ( ) ψ ( ψ получаем: ψ ( + g ( + + б) Функция ( + ) z монотонна при R этой функции ( + ) z ( + ) множество значений z Строим обратную функцию ψ ( z) + которая также является монотонной Следовательно z g Z ( z) + z z + + z в) Функция arctg монотонна при этой функции учитывая что ; ψ ( ) + 4z + z R R Множеством значений < arctg < является промежуток обратная функция Заметим что F() где F ( ) является функцией распределения СВ По теореме о производной 48

50 обратной функции имеем ψ ( ) Таким образом плотность F ( ) распределения СВ U при Следовательно g U g U ; примет вид ( ) f ( ψ ( ) ) ψ ( ) F ( ) F ( ) ; ( ) г) В интервале ( ; ) функция интервал на два интервала ( ; ) и ( ;) v 4 немонотонна Разобьем в которых v 4 монотонна и определим обратную к ней функцию на каждом интервале монотонности ψ ( v) v на ( ; ) ( v) v g V Так как ψ на ( ;) v 4 R то v поэтому g ( v) при v < Для нахождения плотности распределения при v используем формулу ( ψ ( v) ) ψ ( v) + f ( ψ ( v) ) ψ ( ) ( v) f v ψ ( v) ( v) v) ( v ) 4 v ψ ( ψ ( v) 4 v Получаем плотность распределения СВ V g ( v) + V v v v v v Окончательно g V ( v) v ( 4 + v) Пример 9 закону с параметром λ ( 4 v) ψ ( v) 4 v если v v ; v < Случайная величина распределена по показательному Найти плотности распределения вероятностей случайных величин: а) б) Z e 49

51 Так как СВ распределена по показательному закону то плотность λ λ имеет вид f ( ) e а) Функция при является монотонной Множеством значений этой функции на данном интервале является интервал [ + ) поэтому g ( при < При строим обратную функцию ψ ( Для нахождения плотности распределения при используем формулу λ λ λ g( f ( ψ ( ) ψ ( λ e ( ) e Окончательно имеем g ( λ e λ ; < б) Функция функции при [ ) z e является монотонной Множеством значений этой есть интервал [ + ) z + Строим обратную функцию ψ ( z) l z Следовательно g Z ( z) при Находим плотность распределения вероятностей при z : g λ l z Z ( z) λ e λ+ l z λ λ ( l z) λ ( e ) λ z z z z λ Таким образом g Z λ λ+ ( z) z z ; z < Пример СВ равномерно распределена на Найти плотности распределения вероятностей СВ: а) s( ) б) Z cos( ) 5

52 Так как СВ равномерно распределена на [ a b] то плотность имеет вид f ( ) b a если а) Функция s при является монотонной Множеством значений этой функции на данном интервале является интервал [ ] поэтому ( g [ ] Строим обратную функцию ψ ( arcs Плотность распределения вероятностей СВ при [ ] g ( ( arcs б) Функция z cos при то есть g ( разбиваем на интервалы монотонности функции каждом интервале строим обратную функцию примет вид [ ] [ ] ; не является монотонной Поэтому и На ψ ( z) arccos z ; ψ ( z) arccos z Множеством значений данной функции при является интервал [ ] поэтому ( z) Плотность распределения СВ Z при [ ] g Z при [ ] z примет вид z g Z ( z) ( arccos z) + ( arccos z) z + z z Окончательно получаем g Z ( z) z [ ] z ; [ ] z 5

53 ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ Задание Задана таблица распределения дискретной двумерной случайной величины ( ) Определить: а) безусловные законы распределения СВ ; б) функцию распределения F ( системы СВ ( ) в) { + } P ; г) условный закон распределения СВ при ; д) зависимость или независимость компоненты ; е) центр рассеивания: точку M ( m m ); ж) коэффициент корреляции r и [ ] M / ; \ ? \ 5 5? 45 \ 5 5 5? 4 \? \ 4 5 5? 6 \ 5? \ 5 5? 5 8 \ 5 7 5? \ ? \ 5?

54 \ 4 5 5? 5 \ ? \ 4 5? 5 4 \ 4 4? \ 5? \ ? 7 \ 4 5 5? \ 5 7 4? \ 5 4? 5 5 \ ? \ \ 4 5 5? 5 \ 4 6? \ ? 5 \ ? \ ? 5 Задание 5

55 Двумерная СВ ( ) распределена равномерно в области D D треугольник с вершинами O() A() B() Определить: ) двумерную плотность вероятности f ( ; ) одномерные плотности f ( ) f ( ; ) зависимы или нет СВ ; 4) центр рассеивания ( m m ); 5) дисперсии D D ; 6) коэффициент корреляции r Дана плотность вероятности f ( двумерной СВ ( ) C ( ) ( + ) ; f востальных случаях Определить: ) параметр C; ) одномерные плотности f ( ) f ( ; ) зависимы или нет СВ ; 4) центр рассеивания ( m m ); 5) дисперсии D D ; 6) коэффициент корреляции r Двумерная СВ ( ) распределена равномерно в области D D четверть эллипса ; ; Определить: ) двумерную плотность вероятности f ( ; ) одномерные плотности f ( ) f ( ; ) зависимы или нет СВ ; 4) центр рассеивания ( m m ); 5) дисперсии D D ; 6) коэффициент корреляции r 4 Дана плотность вероятности f ( двумерной СВ ( ) C при ; f ( востальных случаях Определить: ) параметр C; ) одномерные плотности f ( ) f ( ; ) зависимы или нет СВ ; 4) центр рассеивания ( m m ); 5) дисперсии D D ; 6) коэффициент корреляции r 5 Дана плотность вероятности f ( двумерной СВ ( ) C ( ) ( + ; f востальных случаях Определить: ) параметр C; ) одномерные плотности f ( ) f ( ; ) зависимы или нет СВ ; 4) центр рассеивания ( m m ); 5) дисперсии D D ; 6) коэффициент корреляции r 6 Двумерная СВ ( ) распределена равномерно в области D D треугольник с вершинами А() В() С() 54

56 Определить: ) двумерную плотность вероятности ( ) одномерные плотности f ( ) ( f ; f ; ) зависимы или нет СВ ; 4) центр рассеивания ( m m ); 5) дисперсии D D ; 6) коэффициент корреляции r 7 Дана плотность вероятности f ( двумерной СВ ( ) C( + ( )( ; f ( востальных случаях Определить: ) параметр C; ) одномерные плотности ( ) ( m f f ; ) зависимы или нет СВ ; 4) центр рассеивания ( m ); 5) дисперсии D D ; 6) коэффициент корреляции r 8 Двумерная СВ ( ) распределена равномерно в области D D треугольник с вершинами А( ) О() В( ) Определить: ) двумерную плотность вероятности ( ) одномерные плотности f ( ) ( f ; f ; ) зависимы или нет СВ ; 4) центр рассеивания ( m m ); 5) дисперсии D D ; 6) коэффициент корреляции r 9 Дана плотность вероятности f ( двумерной СВ ( ) f ( C ; востальных случаях Определить: ) параметр C; ) одномерные плотности ( ) ( m f f ; ) зависимы или нет СВ ; 4) центр рассеивания ( m ); 5) дисперсии D D ; 6) коэффициент корреляции r Дана плотность вероятности f ( двумерной СВ ( ) C( + ; f ( востальных случаях Определить: ) параметр C; ) одномерные плотности ( ) ( m f f ; ) зависимы или нет СВ ; 4) центр рассеивания ( m ); 5) дисперсии D D ; 6) коэффициент корреляции r Двумерная СВ ( ) распределена равномерно в области D D полукруг + Определить: ) двумерную плотность вероятности f ( ; 55

57 f ; ) зависимы или нет СВ ; 4) центр рассеивания ( m m ); 5) дисперсии D D ; 6) коэффициент корреляции r ) одномерные плотности f ( ) ( Двумерная СВ ( ) распределена равномерно в области D D круг + Определить: ) двумерную плотность вероятности ( ) одномерные плотности f ( ) ( f ; f ; ) зависимы или нет СВ ; 4) центр рассеивания ( m m ); 5) дисперсии D D ; 6) коэффициент корреляции r Дана плотность вероятности f ( двумерной СВ ( ) C ( ) ( при ; f востальных 56 случаях Определить: ) параметр C; ) одномерные плотности ( ) ( m f f ; ) зависимы или нет СВ ; 4) центр рассеивания ( m ); 5) дисперсии D D ; 6) коэффициент корреляции r 4 Двумерная СВ ( ) распределена равномерно в области D D полукруг + Определить: ) двумерную плотность вероятности ( ) одномерные плотности f ( ) ( f ; f ; ) зависимы или нет СВ ; 4) центр рассеивания ( m m ); 5) дисперсии D D ; 6) коэффициент корреляции r 5 Дана плотность вероятности f ( двумерной СВ ( ) f 4 4 C( + ) ( при востальных ; случаях Определить: ) параметр C; ) одномерные плотности ( ) ( m f f ; ) зависимы или нет СВ ; 4) центр рассеивания ( m ); 5) дисперсии D D ; 6) коэффициент корреляции r 6 Двумерная СВ ( ) распределена равномерно в области D D треугольник с вершинами А( ) В() С() Определить: ) двумерную плотность вероятности ( ) одномерные плотности f ( ) ( f ; f ; ) зависимы или нет СВ ; 4) центр рассеивания ( m m ); 5) дисперсии D D ;

58 6) коэффициент корреляции r 7 Дана плотность вероятности f ( двумерной СВ ( ) C( ; f ( востальных 57 случаях Определить: ) параметр C; ) одномерные плотности ( ) ( m f f ; ) зависимы или нет СВ ; 4) центр рассеивания ( m ); 5) дисперсии D D ; 6) коэффициент корреляции r 8 Двумерная СВ ( ) распределена равномерно в области D D криволинейный треугольник ограниченный линиями Определить: ) двумерную плотность вероятности ( ) одномерные плотности f ( ) ( f ; f ; ) зависимы или нет СВ ; 4) центр рассеивания ( m m ); 5) дисперсии D D ; 6) коэффициент корреляции r 9 Дана плотность вероятности f ( двумерной СВ ( ) f C ( ) ( ) ; востальных случаях Определить: ) параметр C; ) одномерные плотности ( ) ( m f f ; ) зависимы или нет СВ ; 4) центр рассеивания ( m ); 5) дисперсии D D ; 6) коэффициент корреляции r Дана плотность вероятности f ( двумерной СВ ( ) C ( + ; f ( востальных случаях Определить: ) параметр C; ) одномерные плотности ( ) ( m f f ; ) зависимы или нет СВ ; 4) центр рассеивания ( m ); 5) дисперсии D D ; 6) коэффициент корреляции r Двумерная СВ ( ) распределена равномерно в области D ограниченной линиями Определить: ) двумерную плотность вероятности f ( ; ) одномерные плотности f ( ) f ( ; ) зависимы или нет СВ ; 4) центр рассеивания ( m m ); 5) дисперсии D D ; 6) коэффициент корреляции r Дана плотность вероятности f ( ) двумерной СВ ( )

59 4 5 6 C ( ) ( + ) ; f востальных случаях Определить: ) параметр C; ) одномерные плотности f ( ) f ( ; ) зависимы или нет СВ ; 4) центр рассеивания ( m m ); 5) дисперсии D D ; 6) коэффициент корреляции r распределена равномерно в области D Двумерная СВ ( ) ограниченной линиями Определить: ) двумерную плотность вероятности f ( ; ) одномерные плотности f ( ) f ( ; ) зависимы или нет СВ ; 4) центр рассеивания ( m m ); 5) дисперсии D D ; 6) коэффициент корреляции r распределена равномерно в области D Двумерная СВ ( ) D криволинейная область ограниченная линиями Определить: ) двумерную плотность вероятности f ( ; ) одномерные плотности f ( ) f ( ; ) зависимы или нет СВ ; 4) центр рассеивания ( m m ); 5) дисперсии D D ; 6) коэффициент корреляции r распределена равномерно в области D Двумерная СВ ( ) ограниченной линиями Определить: ) двумерную плотность вероятности f ( ; ) одномерные плотности f ( ) f ( ; ) зависимы или нет СВ ; 4) центр рассеивания ( m m ); 5) дисперсии D D ; 6) коэффициент корреляции r распределена равномерно в области D Двумерная СВ ( ) ограниченной линиями Определить: ) двумерную вероятности плотность f ( ; ) одномерные плотности f ( ) f ( ; ) зависимы или нет СВ ; 4) центр рассеивания ( m m ); 5) дисперсии D D ; 6) коэффициент корреляции r Задание ДСВ задана рядом распределения ( 8) p 7 4 Найти: M [ ] D [ ] где СВ s + 58

60 Корреляционный момент СВ и Z + 7 Корреляционную матрицу случайной точки ( ; T ) где cos ( ) + T 4 Коэффициент корреляции между СВ и 5 Дисперсию СВ + 6 Коэффициент корреляции СВ U + 7 и V s 7 Корреляционную матрицу случайной точки ( ) 8 Коэффициент корреляции СВ U + и V ДСВ задана рядом распределения ( 9 5) Найти: p 9 Дисперсию СВ Z 5 + Числовые характеристики СВ T где + 7 Коэффициент корреляции СВ U + и V 4 Корреляционную матрицу для случайной точки ( ) Корреляционный момент между и где 6 4 Числовые характеристики СВ Z + 5 Коэффициент корреляции СВ U и V Корреляционный момент K если известно что m D и СВ связаны соотношением 4 Числовые характеристики СВ Z если система двух СВ ( ) характеризуется центром рассеивания ( ) дисперсиями D D и корреляционным моментом K Математическое ожидание СВ Z + 5 если СВ и имеют числовые характеристики: m m и D 4 D 9 59

61 9 Математическое ожидание СВ + если СВ равномерно распределена на интервале [ ] Дисперсию СВ + 5 если СВ равномерно распределена на интервале [ ] D[ ] и M [ + ] если СВ независимы СВ по нормальному закону N () распределена равномерно на [ ] M [Z] и D [Z] где Z + если СВ распределена по нормальному закону N () а независимая от нее СВ по показательному закону с параметром λ 5 Дисперсию СВ Z + считая и независимыми СВ если случайная точка ( ) характеризуется центром рассеивания ( ;) и ковариационной матрицей 4 Числовые характеристики СВ s равномерно на интервале [ ] если НСВ распределена 5 M[ ] если СВ независимы и распределены по нормальным законам распределения: по закону N () N () соответственно 6 Числовые характеристики СВ Z если СВ и соответственно независимы СВ распределены равномерно на интервалах [ ] и [ ] Задание 4 Найти g ( плотность распределения вероятностей СВ ϕ ( ) 6 СВ распределена по показательному закону с параметром λ l ( +) e

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. С.Е. Демин, Е.Л. Демина. В трех частях. Часть 3. СИСТЕМЫ И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. С.Е. Демин, Е.Л. Демина. В трех частях. Часть 3. СИСТЕМЫ И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ Министерство образования и науки Российской Федерации С.Е. Демин, Е.Л. Демина ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В трех частях Часть 3. СИСТЕМЫ И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ Электронное текстовое издание

Подробнее

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11 ЧАСТЬ 6 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие функции случайной величины и провести классификацию возникающих

Подробнее

6.4. Системы случайных величин

6.4. Системы случайных величин Лекция 4.9. Системы случайных величин. Функция распределения системы двух случайных величин (СДСВ). Свойства функции 6.4. Системы случайных величин В практике часто встречаются задачи которые описываются

Подробнее

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН -МЕРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить числовые характеристики системы двух случайных величин: начальные и центральные моменты ковариацию

Подробнее

Математика (Статистика, корреляция и регрессия)

Математика (Статистика, корреляция и регрессия) Федеральное агентство воздушного транспорта Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

Подробнее

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева Е.Г. Основные определения и

Подробнее

ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Понятие непрерывной случайной величины. Функция распределения, плотность распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Подробнее

2.6. Эксцесс и асимметрия

2.6. Эксцесс и асимметрия Лекция 9 План лекции.5.6. Распределение Симпсона (треугольное распределение)..6 Эксцесс и асимметрия.7 Теорема Ляпунова и её следствия 3. Системы случайных величин (случайные векторы) 3.1 Закон распределения

Подробнее

Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения

Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения 53 Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины. 4.. Равномерный закон распределения Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на промежутке

Подробнее

)? (Вероятность попадания непрерывной СВ

)? (Вероятность попадания непрерывной СВ Случайные величины. Определение СВ ( Случайной называется величина, которая в результате испытания может принимать то или иное значение, заранее не известное).. Какие бывают СВ? ( Дискретные и непрерывные.

Подробнее

СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 9

СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 9 ЧАСТЬ 5 СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция 9 ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие системы случайных величин и закона распределения систем двух случайных величин;

Подробнее

(, ) (, ) ( ) x y. F x y = P X Y D

(, ) (, ) ( ) x y. F x y = P X Y D 4 СИСТЕМА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ Многомерной случайной величиной (векторной случайной величиной, случайным вектором или случайной точкой) называют упорядоченный набор нескольких случайных

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Г. М. Бездудный, В. А. Знаменский,

Подробнее

Лекция 12. Понятие о системе случайных величин. Законы распределения системы случайных величин

Лекция 12. Понятие о системе случайных величин. Законы распределения системы случайных величин МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция Понятие о системе случайных величин Законы распределения системы случайных величин Часто возникают ситуации когда каждому элементарному

Подробнее

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления УДК 6-5 Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления К.А. Рыбаков В статье вводится понятие спектральных характеристик линейных

Подробнее

Системы случайных величин

Системы случайных величин Corght ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Министерство образования и науки Российской Федерации Ивановский государственный химико-технологический университет Системы случайных величин Методические

Подробнее

ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ

ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ .. Скалярные гиперслучайные величины 4 ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГЛАВА ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ВЕЛИЧИНЫ Введены понятия гиперслучайного события и гиперслучайной величины. Предложен ряд характеристик и параметров

Подробнее

1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Функции распределения вероятностей случайных величин

1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Функции распределения вероятностей случайных величин СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Случайные величины Функции распределения вероятностей случайных величин Простейшая модель физического эксперимента последовательность независимых опытов (испытаний

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности.

ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности. 1 ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности. Помимо дискретных случайных величин на практике приходятся иметь дело со случайными величинами, значения которых сплошь заполняет некоторые

Подробнее

ГЛАВА 3 (продолжение). Функции случайных величин. Характеристическая функция.

ГЛАВА 3 (продолжение). Функции случайных величин. Характеристическая функция. Оглавление ГЛАВА 3 продолжение. Функции случайных величин. Характеристическая функция... Функция одного случайного аргумента.... Основные числовые характеристики функции случайного аргумента.... Плотность

Подробнее

МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 1 Многомерная случайная величина X = (X 1,X 2,,X n ) это совокупность случайных величин X i (i =1,2,,n), заданных на одном и том же вероятностном пространстве Ω. Закон распределения

Подробнее

1.4. СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

1.4. СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ ЛЕКЦИЯ Сообщения, сигналы, помехи как случайные явления Случайные величины, вектора и процессы 4 СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ Как уже отмечалось выше основная проблематика теории РТС это

Подробнее

Формулы по теории вероятностей

Формулы по теории вероятностей Формулы по теории вероятностей I. Случайные события. Основные формулы комбинаторики а) перестановки P =! = 3...( ). б) размещения A m = ( )...( m + ). A! в) сочетания C = =. P ( )!!. Классическое определение

Подробнее

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин Лекция ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: построить метод линеаризации функций случайных величин; ввести понятие комплексной случайной величины и получить ее числовые характеристики; определить характеристическую

Подробнее

Понятие случайной величины и её закона распределения. Одномерные дискретные случайные величины. Случайной величиной (СВ) называется функция ξ (ω)

Понятие случайной величины и её закона распределения. Одномерные дискретные случайные величины. Случайной величиной (СВ) называется функция ξ (ω) Понятие и её закона Одномерные дискретные случайные Определение случайной Случайной величиной (СВ) называется функция (ω), определённая на пространстве элементарных событий Ω, со значениями в одномерном

Подробнее

Домашнее задание 2. Обработка результатов наблюдений двухмерного случайного вектора

Домашнее задание 2. Обработка результатов наблюдений двухмерного случайного вектора Домашнее задание. Обработка результатов наблюдений двухмерного случайного вектора.1. Содержание и порядок выполнения работы Дана парная выборка (x i ; y i ) объема 50 из двумерного нормально распределенного

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЗАНЯТИЕ 4 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Понятие случайной величины одно из важнейших понятий теории вероятностей. Под случайной величиной понимается величина,

Подробнее

Определение двойного интеграла и его свойства. Как задача вычисления площади криволинейной трапеции. так аналогичная задача вычисления объема тела

Определение двойного интеграла и его свойства. Как задача вычисления площади криволинейной трапеции. так аналогичная задача вычисления объема тела Двойной интеграл Определение двойного интеграла и его свойства Как задача вычисления площади криволинейной трапеции приводит к определенному интегралу от функции одной переменной, так аналогичная задача

Подробнее

СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Саратовский государственный технический университет СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Методические указания к практическим

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

Глава 3. Непрерывные случайные величины

Глава 3. Непрерывные случайные величины Глава 3. Непрерывные случайные величины. Функция распределения. Если множество значений случайной величины X не конечно и не счетно, то такая случайная величина не может характеризоваться вероятностью

Подробнее

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций 2009 М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций Выполнил студент группы 712 ФАВТ А. В. Димент СПбГУКиТ Случайное событие всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти, и

Подробнее

Практическая работа 7 Функция, плотность распределения и числовые характеристики непрерывной случайной величины

Практическая работа 7 Функция, плотность распределения и числовые характеристики непрерывной случайной величины Практическая работа 7 Функция плотность распределения и числовые характеристики непрерывной случайной величины Цель работы: Нахождение функции и плотности распределения числовых характеристик непрерывной

Подробнее

М.П. Харламов Конспект

М.П. Харламов  Конспект М.П. Харламов http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Конспект Теория вероятностей и математическая статистика Краткий конспект первого раздела (вопросы и ответы) Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов

Подробнее

ГЛАВА 3. СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Биномиальное распределение

ГЛАВА 3. СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Биномиальное распределение ГЛАВА СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Биномиальное распределение Пусть эксперимент проводится по схеме Бернулли Определение Дискретная случайная величина имеет биномиальное распределение с параметрами

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

3. Используемые методы обучения

3. Используемые методы обучения 3.2 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯМ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ Семестр I Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Практическое занятие 1 1. Цель: Рассмотреть задачи на вычисление определителей второго

Подробнее

Глава 9. Регрессионный анализ 9.1. Задачи регрессионного анализа

Глава 9. Регрессионный анализ 9.1. Задачи регрессионного анализа 46 Глава 9. Регрессионный анализ 9.. Задачи регрессионного анализа Во время статистических наблюдений как правило получают значения нескольких признаков. Для простоты будем рассматривать в дальнейшем двумерные

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

1. Случайные события. Операции над событиями. Вопросы

1. Случайные события. Операции над событиями. Вопросы ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» /009г ИУ-5,7 курс, 4 семестр 1. Случайные события. Операции над событиями. Определения случайного

Подробнее

Методические указания к выполнению курсовой работы

Методические указания к выполнению курсовой работы Методические указания к выполнению курсовой работы "СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРЫ" для студентов специальности 655Д «Роботы и робототехнические системы» Кафедра математики г Описание работы Курсовой проект предполагает

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А 8 Методические рекомендации по выполнению контрольны работ, курсовы работ К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А Д и с ц и п л и н а «М а т е м а т и к а» ) Решить систему линейны уравнений методом Гаусса 7

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N47. Криволинейные интегралы первого и второго рода.

ЛЕКЦИЯ N47. Криволинейные интегралы первого и второго рода. ЛЕКЦИЯ N47. Криволинейные интегралы первого и второго рода. d A(P) T B.Интеграл по длине линии.... τ(p).свойства, вычисление криволинейного интеграла I рода.... P 3.Криволинейный интеграл по координатам....

Подробнее

Тестовые задания по математике для студентов 1 2 курсов СГГА

Тестовые задания по математике для студентов 1 2 курсов СГГА Тестовые задания по математике для студентов курсов СГГА Пояснение к выполнению тестового задания. Прочитайте внимательно текст задания.. Если в ответах указан символ «Ο» то нужно выбрать единственный

Подробнее

Глава III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ 3.1. Двойные интегралы

Глава III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ 3.1. Двойные интегралы Глава III ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ Двойные интегралы ЛИТЕРАТУРА: [], гл; [], глii; [9], гл XII, 6 Для решения задач по этой теме необходимо,

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 1. Задача, приводящая к двойному интегралу.

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 1. Задача, приводящая к двойному интегралу. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Задача, приводящая к двойному интегралу. Найти цилиндрического тела, основанием которого является часть координатной плоскости O, которую будем называть областью. Сверху тело ограниченно

Подробнее

1. Срединная формула прямоугольников

1. Срединная формула прямоугольников Срединная формула прямоугольников Введем обозначение I d Пусть -непрерывны на [ ] Разделим отрезок [ ] равных частичных отрезков [ ] где на Введем обозначения ( ) ( ) ( ) интеграл I в виде Представим где

Подробнее

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1 Тройной интеграл Волченко Ю.М. Содержание лекции Понятие тройного интеграла. Условия его существования. Теорема о среднем. Вычисление тройного интеграла в декартовых и криволинейных координатах. Тройной

Подробнее

~ 1 ~ Кратные интегралы. Понятие двойного интеграла и его свойства. Задача нахождения объѐма тел.

~ 1 ~ Кратные интегралы. Понятие двойного интеграла и его свойства. Задача нахождения объѐма тел. ~ ~ Кратные интегралы Понятие двойного интеграла и его свойства. Задача нахождения объѐма тел. Дано: цилиндрическое тело: верхнее основание поверхность : нижнее основание плоскость Прхоу боковая поверхность

Подробнее

Математическое ожидание

Математическое ожидание Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X px ( ) xp( x) dx.

Подробнее

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Числовые характеристики непрерывных случайных величин Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X + = px ( ) xp( x)

Подробнее

Лекция 8 Тема. Содержание темы. Основные категории. Сравнение случайных величин или признаков.

Лекция 8 Тема. Содержание темы. Основные категории. Сравнение случайных величин или признаков. Лекция 8 Тема Сравнение случайных величин или признаков. Содержание темы Аналогия дискретных СВ и выборок Виды зависимостей двух случайных величин (выборок) Функциональная зависимость. Линии регрессии.

Подробнее

Лекция 5 Тема. Содержание темы. Основные категории. Непрерывные случайные величины (НСВ)

Лекция 5 Тема. Содержание темы. Основные категории. Непрерывные случайные величины (НСВ) Лекция 5 Тема Непрерывные случайные величины (НСВ) Содержание темы Способы задания: интегральный закон распределения, плотность распределения. Связь между ними. Свойства плотности распределения. Применение

Подробнее

Глава 3. Случайные величины (продолжение).

Глава 3. Случайные величины (продолжение). Глава 3 Случайные величины (продолжение) Основные распределения случайных величин Основные распределения дискретных случайных величин Биномиальный закон распределения Ряд распределения Функция распределения

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =.

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =. ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) Определение векторного поля Определение векторной линии Задача о работе силового поля Полем называется множество, элементы которого удовлетворяют

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к зачету по дисциплине «Математика» I семестр

2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к зачету по дисциплине «Математика» I семестр 2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к зачету по дисциплине «Математика» I семестр I Элементы линейной алгебры 1. Понятие определителей 2-го и 3-го порядка, их вычисление и

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Зав. кафедрой математики, физики и медицинской информатики, доцент. /Авачева Т.Г./ «22» сентября 2017г.

Зав. кафедрой математики, физики и медицинской информатики, доцент. /Авачева Т.Г./ «22» сентября 2017г. Перечень Основных контрольных вопросов для зачета (экзамена) по дисциплине Физика, математика, модуль М атематика, для студентов 1 курса медикопрофилактического факультета 1. Понятие функции. Способы задания

Подробнее

Лекция 1. Выборочное пространство

Лекция 1. Выборочное пространство Лекция 1. Выборочное пространство Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, 2013 1 / 35 Cодержание Содержание 1 Выборка.

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1. Кафедра. Направление подготовки. Дисциплина (модуль) Математики, физики и информационных

Подробнее

ГЛАВА 5. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. 1. Случайный анализ

ГЛАВА 5. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. 1. Случайный анализ ГЛАВА 5. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. Случайный анализ Часто при исследовании различных явлений природы, экономических и технических процессов приходится иметь дело со случайными величинами, изменяющимися во времени.

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство. 79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x)

Подробнее

Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 41 ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ СТИЛТЬЕСА Для спектральных разложений случайных функций пользуется интеграл Стилтьеса Поэтому приведем определение и некоторые свойства

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОГЛАВЛЕНИЕ Вычисление двойных и тройных

Подробнее

Найти х из уравнений:

Найти х из уравнений: Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля) Планы практических занятий Матрицы и определители, системы линейных уравнений Матрицы Операции над матрицами Обратная матрица Элементарные

Подробнее

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

Подробнее

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Учебная дисциплина Б.2.1 - Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент Тематика

Подробнее

Тема: Криволинейный интеграл II рода

Тема: Криволинейный интеграл II рода Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Криволинейный интеграл II рода Лектор Пахомова Е.Г. 2013 г. 10 10. Криволинейный Криволинейный интеграл интеграл II II рода рода по по координатам

Подробнее

ВОПРОСЫ ТЕСТА ЛЕКЦИЯ 1

ВОПРОСЫ ТЕСТА ЛЕКЦИЯ 1 ВОПРОСЫ ТЕСТА ЛЕКЦИЯ. Теория вероятностей изучает явления: сложные Б) детерминированные В) случайные Г) простые. Количественная мера объективной возможности это : опыт Б) вероятность В) событие Г) явление

Подробнее

В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru

В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru 3. Случайные сигналы и помехи в радиотехнических системах 3.1. Случайные процессы и их основные характеристики Помехой называют стороннее колебание, затрудняющее приѐм и обработку сигнала. Помехи могут

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ. ВВЕДЕНИЕ.. 5 Тема 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 1. Пространство R..

СОДЕРЖАНИЕ. ВВЕДЕНИЕ.. 5 Тема 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 1. Пространство R.. СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 5 Тема ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция Пространство R 6 Лекция Предел и непрерывность функции нескольких переменных 5 Лекция 3 Функции многих переменных

Подробнее

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок Векторная система

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить функции плотности и числовые характеристики случайных величин имеющих равномерное показательное нормальное и гамма-распределение

Подробнее

такая, что ' - ее функцией плотности. Свойства функции плотности

такая, что ' - ее функцией плотности. Свойства функции плотности Демидова ОА, Ратникова ТА Сборник задач по эконометрике- Повторение теории вероятностей Случайные величины Определение Случайными величинами называют числовые функции, определенные на множестве элементарных

Подробнее

Непрерывная случайная величина

Непрерывная случайная величина Непрерывная случайная величина Непрерывная случайная величина принимает бесконечное количество значений из определенного интервала числовой прямой. 0 6 месяцев Срок службы лампочки 2 Пример. Рост человека

Подробнее

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные П л а н 1. Понятие функции двух и нескольких переменных.. Предел и непрерывность

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Основные понятия и теоремы 1. Интегральные суммы и определенный интеграл. Пусть функция f(x) определена на промежутке [a, b] (где a < b). Произвольное

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Часть III. Двумерные случайные величины

Часть III. Двумерные случайные величины Geneated b Fot PDF Ceato Fot Softwa htt://wwwfotsoftwaecom Fo evaluaton on Предисловие Настоящее издание представляет собой продолжение пособия «Теория вероятностей» того же автора и сохраняет ту же структуру:

Подробнее

УДК СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина. ОБСУЖДЕНО на заседании кафедры высшей математики

УДК СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина. ОБСУЖДЕНО на заседании кафедры высшей математики УДК 57. Теория вероятностей: программа учебной дисциплины и методические указания к выполнению контрольной работы / Сост. Л.В. Березина; РГАТУ имени П. А. Соловьева. Рыбинск, 0. 4 с. (Заочная форма обучения/

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2007

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2007 - - Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 7 к интегралам в пространствах меньшей размерности. ТЕМА. Сведение интеграла в R Потепун А.В. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ интегралы по мере Лебега

Подробнее

4. Теория вероятностей

4. Теория вероятностей 4. Теория вероятностей В контрольную работу по этой теме входят четыре задания. Приведем основные понятия теории вероятностей, необходимые для их выполнения. Для решения задач 50 50 необходимо знание темы

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

X и значения k и c, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (a/2, b/2). Построить график функции распределения.

X и значения k и c, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (a/2, b/2). Построить график функции распределения. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1 Варианты контрольной работы

Подробнее

, (3.4.3) ( x) lim lim

, (3.4.3) ( x) lim lim 3.4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫБОРОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПРОГНОЗНЫХ МОДЕЛЕЙ До сих пор мы рассматривали способы построения прогнозных моделей стационарных процессов, не учитывая одной весьма важной особенности.

Подробнее

( ) ( t) ( ) 2. ( x) ( ) ( ) ( ( )) Глава 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2.1. Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные

( ) ( t) ( ) 2. ( x) ( ) ( ) ( ( )) Глава 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2.1. Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные Глава КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные интегралы по длине) Вычисление криволинейных интегралов первого рода Вычисление криволинейного интеграла

Подробнее

Лекция 6 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Лекция 6 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция 6 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить числовые характеристики положения и моменты непрерывных и дискретных случайных величин Числовые характеристики положения Закон

Подробнее