МАТЕМАТИКА. Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МАТЕМАТИКА. Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического института (государственного университета)» МАТЕМАТИКА Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств Задание 1 для 11-х классов ( учебный год) г. Долгопрудный, 013

2 уч. год, 1, 11 кл. Математика. Составитель: С.И. Колесникова, старший преподаватель кафедры высшей математики МФТИ. Математика: задание 1 для 11-х классов ( учебный год), 013, 3 с. Дата отправления заданий по физике и математике 8 сентября 013 г. Составитель: Колесникова София Ильинична Подписано Формат /16. Бумага типографская. Печать офсетная. Усл. печ. л.,00. Уч.-изд. л. 1,77. Тираж 100. Заказ -а. Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического института (государственного университета) ООО «Печатный салон ШАНС» Институтский пер., 9, г. Долгопрудный, Москов. обл., ЗФТШ, тел./факс (495) заочное отделение, тел./факс (498) очно-заочное отделение, тел. (499) очное отделение. Наш сайт: ЗФТШ, , ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична

3 уч. год, 1, 11 кл. Математика. Цель нашего задания вспомнить основные правила и приемы решения алгебраических неравенств и систем уравнений. Многие из них вам хорошо известны, некоторые покажутся новыми и, с первого взгляда, даже лишними, но не спешите их отбросить сразу решите известную вам задачу разными способами и выберите сами тот способ, который вам больше нравится. 1. Равносильность уравнений и неравенств В нашем задании большую роль будет играть понятие равносильности. Два неравенства f1 x g1 x и fx gx (1) или два уравнения f1 x g1 x и fx gx () называются равносильными на множестве X, если каждое решение первого неравенства (уравнения), принадлежащее множеству X, является решением второго и, наоборот, каждое решение второго, принадлежащее X, является решением первого, или, если, ни одно из неравенств (уравнений) на X не имеет решений. Т. е. два неравенства (уравнения) равносильны, по определению, если множества решений этих неравенств (уравнений) на X совпадают. Отсюда следует, что вместо того, чтобы решать данное неравенство (уравнение), можно решать любое другое, равносильное данному. Замену одного неравенства (уравнения) другим, равносильным данному на X, называют равносильным переходом на X. Равносильный переход обозначают двойной стрелкой. Если уравнение f x 0 (или неравенство f x 0 ) равносильно уравнению x 0 g (или неравенству gx 0 ), то это мы будем обозначать так: f x 0 gx 0 (или f x g x 0 0). Пример 1. x 4 1 x sin x 0, т. к. ни то, ни другое не имеет решения. Важно понимать, что для доказательства неравносильности двух неравенств (уравнений) нет необходимости решать каждое из неравенств (уравнений), а затем убеждаться в том, что множества их решений не совпадают достаточно указать одно решение одного из неравенств (уравнений), которое не является решением другого неравенства (уравнения). 013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична 3

4 уч. год, 1, 11 кл. Математика. Пример. При каких значениях параметра a системы 4 ax 3y 6a 4, x y 6x 8 0, и x y a x y a 4 x a a 0 равносильны? Решим сначала первую, более простую систему ax 3y 6a 4, y a x, x y a ax 3a x 6a 4 xa 3 4 a 3, 4 x, a 3 4 a 6a4 y a ; a3 a3 a 3, 0 x 4. Подставим a 3 во вторую систему 4 x y x 6 8 0, a 3: x y 10x 8 0 x 5 y 3 0, При a 3 системы равносильны, т. к. при этом значении параметра обе системы не имеют решений. При a 3 первая система имеет единственное решение. Заметим, что во второй системе y входит только в четной степени, значит, если решением является пара x0, y 0, то пара x0, y0 тоже будет решением. При этом если y0 y0 y0 0, то решений будет два. Следовательно, единственным решением может быть только пара x,0 0. Посмотрим, при каких a такое решение у системы есть. Подставим эту пару в систему 013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична 4

5 уч. год, 1, 11 кл. Математика. x0, 0, a a 0 a x0 6x0 8 0 x0 3 1, 1; x0 a 4 x0 a a 0 x0 4,, a 3a 0 a 1. Итак, таких a три: 0, 1,. Но при этих a вторая система может иметь и другие решения, а если у неѐ других решений нет, то еѐ единственное решение может не совпадать с решением первой системы, и тогда такое a не удовлетворяет условию задачи. Проверим эти значения параметра a 0: Первая система имеет решение: x и y 0. Следовательно, системы не равносильны, т. к. решения систем не совпада- 3 3 ют (у второй y 0 ).. a 1: Вторая система имеет вид 4 x y 6x 8 0, y 0, x y 6x 8 0 x 3 1 4;. Следовательно, системы не равносильны, т. к. вторая имеет два решения. ax 3y 6a 4, x 4, 3. a : x y a y 0 4 x y 6x 8 0, и x y a 4 x a a 0 4 x y 6x 8 0, x 4, x 4, x 4 y 0 y 0. y 0 Следовательно, системы при этом значении a равносильны они имеют единственное решение 4;0. Ответ: ; 3. При решении неравенств и уравнений часто используются следующие равносильные переходы. 013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична 5

6 уч. год, 1, 11 кл. Математика. 1. Если функции,, f x g x h x определены на множестве X, то на этом множестве а) f x g x f x hx g x hx. (УР 1) б) f x g x f x hx g x hx. (УР ). Если hx 0 на X, то на X f x g x f xhx g xhx, (УР 3) т. е. умножение неравенства на положительную функцию приводит к равносильному неравенству с тем же знаком. 3. Если 0 h x на X, то на X, f x g x f x h x g x h x (УР 4) т. е. при умножении неравенства на отрицательную функцию знак неравенства меняется на противоположный. 4. Если 0 h x на X, то на X. f x g x f x h x g x h x (УР 5) 5. Если обе части неравенства неотрицательны на X, то возведение в квадрат обеих частей приводит к равносильному неравенству, т. е. f x g x f x g x. (УР 6) Если обе части неравенства отрицательны, то умножив обе части на ( 1), придѐм к неравенству противоположного знака, но с положительными частями, и к нему применим (УР 6). Если левая и правая части неравенства имеют разные знаки, то возведение в квадрат может привести как к верному, так и к неверному неравенству: 4 5; 16 5; 7 5, но 49 5, поэтому в этом случае нельзя возводить неравенство в квадрат. 6. Если обе части уравнения неотрицательны, то f x g x f x g x. (УР 7) 7. Для любых f x и f x g x n1 f x n1 g x 8. Неравенство вида 0 0 f x называется нестрогим. По определению, f g x на X и любого натурального n. (УР 8) f f x 0 0 x 0, x Иррациональные неравенства (УР 9) Иррациональными называют неравенства, в которых переменные входят под знаком корня. Так как корень чѐтной степени существует 013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична 6

7 уч. год, 1, 11 кл. Математика. только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение, прежде всего удобно найти ОДЗ. Пример 3. (МГУ, 1998) Решите неравенство x 3 x 1. Это неравенство можно решить несколькими способами. Решим его графически (рис. 1). Построим графики функций y x 3, yx 1 и посмотрим, где первый график расположен выше второго. Для нахождения решения останется решить только уравнение x3 x 1 (и не надо рассматривать случаи разных знаков для x 1!). x 10, x 3 x1 x1 x 3;1. x 3 x x 1 Ответ: 3;1. Сначала приведѐм уже выведенные в 10-ом классе условия равносильности для уравнений (в частности, для того, чтобы была понятна приведѐнная уже здесь нумерация условий равносильности для корней f x a f x a (УР К)): g x f x g x 4. (УР К 1) 0, f x g x. (УР К ) f x ОДЗ g x f x g x. (УР К 3) f x f x g x, g x f x 0, g x 0. (УР К 4) п.1. Неравенства вида f x g x и f x g x ОДЗ: f x 0. Рассмотрим неравенство f x g x 3 1 x Рис. 1.. Докажем, что 013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична 7

8 уч. год, 1, 11 кл. Математика. x g x 0, f 0; f x g x g x 0, f x g x. (УР К5) 1. Если x является решением неравенства f x g x, f x 0 и f то x существует. При этом неравенство заведомо выполнено при gx 0. Если же gx 0, то возведение в квадрат обеих частей неравенства приводит к равносильному неравенству f x g x.. Пусть теперь x является решением совокупности неравенств g x 0, f x 0; g x 0, f x g x. Тогда: а) если gx 0 и f x 0, то существует f x и заведомо выполнено неравенство f x g x; б) если gx 0 и то f x g x f x g x f x g x 0 f x g x f x g x 0, 0 0. Можно ОДЗ неравенства найти отдельно, тогда условие равносильности примет вид: g x 0; ОДЗ f x g x g x 0, (УР К6) f x g x. Теперь рассмотрим неравенство вида Докажем, что g x. f x 013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична 8

9 уч. год, 1, 11 кл. Математика. x g x f 0, f x g x f x g x 0., (УР К7) 1. Если x является решением неравенства f x g x f x 0 и существует f x, а тогда 0,, то g x и возведение в квадрат обеих частей неравенства приводит к равносильному неравенству f x g x. g x 0,. Если x является решением системы неравенств f x g x f x 0, то f x 0 и существует f x, а тогда f x g x f x g x f x g x 0. Но, по условию, 0 поэтому f x g x f x g x , g x, Пример 4. (МФТИ, 1998) Решите неравенство 3 3x 8x 3 1 x. Первый способ Воспользуемся (УР К6): 1 x 0, 3x 8x 3 0; x x x 1x 0, 93x 8x 3 1 x x 0,5, 1 x ; 3; ; x 3; 3 x 0,5, x ; x ; ; , ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична 9

10 уч. год, 1, 11 кл. Математика x ; 3; 3 3 Второй способ Можно оформить решение неравенства и несколько по другому. Найдѐм сначала ОДЗ:. Ответ: ; 3; 1 1 3x 8x 3 0 x 3 x 0 x; 3; 3 3. Теперь неравенство перепишем в виде x x x 1. Если 1x 0, т. е. x 3; x, то неравенство выполнено в ОДЗ, т. е. 1. Если 1x 0, т. е. x, то 3 3x 8x 3 1x 9 3x 8x 3 14x 4x x 68x 8 0 x ; ; 3 3. Заметим, что ОДЗ в этом случае выполнилось автоматически Учтѐм, что x тогда x ; 3. Объединяя 1 и, получаем Ответ: ; 3; 3. п.. Неравенство вида f x g x. Рассмотрим неравенство вида f x g x. Докажем, что. f x g x x f x g x f 0., (УР К8) 013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична 10

11 уч. год, 1, 11 кл. Математика. 1. Если f x g x, то f x 0, gx 0 и f x g x, f x g x, x является решением системы неравенств f x 0. f x g x. Если x является решением системы неравенств f x 0, f x 0, gx 0, f x и f x g x f x g x, т. е. неравенство выполнено. т. е., то g x существуют. При этом Замечание. Для строгих неравенств в условиях равносильности надо просто заменить значок или на или соответственно. Пример 5. Решите неравенство 3 x 1 x 4x x 5 x x 1 x 4x x 5 x 4x x 4 0, 3 x 1 x 4x x 5. x 1 x 1 x 4 0 x 1;1 4;, 1 x ;1 4;. 1 x. 1 Ответ: ;1 4;. п.3. Неравенства вида h x f x g x Роль сопряжѐнных выражений 0. Обычно при решении неравенств, имеющих ОДЗ, надо сначала найти ОДЗ. При нахождении ОДЗ такого сложного неравенства, как h x x f x g x f h x 0, учителя и школьники обычно решают систему 0,. Затем школьники иногда ошибочно опускают знаменатель 0 и решают неравенство f x g x , ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична 11

12 уч. год, 1, 11 кл. Математика. Мы в ОДЗ дроби не будем записывать условие hx 0 и тем более не будем тратить время и силы на решение этого неравенства. Оправдывается это тем, что в дальнейшем используем только классический метод интервалов для рациональных функций, в котором условие h x автоматически выполняется, ибо нули знаменателя наносятся 0 на числовую ось кружочками («дырками»), т. е. ограничение hx 0 заложено в самом методе. Это ОДЗ, которое отличается от привычного школьного c hx 0, по предложению самих учителей, будем обозначать не ОДЗ, а ОДЗ*. Итак, например, для неравенств вида h x f x g x 0 будем искать ОДЗ*: 0 f x. Рассмотрим довольно часто встречающееся неравенство вида h x f x g x 0 0. В методической литературе предлагается рассмотреть две системы в зависимости от знака знаменателя h x, причѐм в каждой есть неравенство с корнем. Энтузиазм решать задачу при этом быстро «испаряется». Мы поступим иначе: рассмотрим два случая в зависимости не от знака h x, а от знака gx, и неравенств с корнем решать не придётся. Рассмотрим отдельно разность f x g x. Отметим две особенности поведения этой разности: 1) если gx 0, то разность f x g x ) если gx 0, то разность f x g x положительна в ОДЗ; может быть как положительной, так и отрицательной в ОДЗ. Заметим, однако, что в этом случае сумма f x g x всегда неотрицательна в ОДЗ, а умножение разности g x на неотрицательное выражение f x g x f x знака разности, т. е. выражение f x g x f x g x f x g x не изменит 013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична 1

13 уч. год, 1, 11 кл. Математика. имеет тот же знак, что и f x g x в ОДЗ. Новое выражение уже не содержит радикалов (корней), а выражение f x g x сопряжѐнным для f x g x правило ПК1: называется выражением. Отсюда следует важное совпа- Если gx 0, то знак разности f x g x дает со знаком разности f x g x в ОДЗ. (П К1) Теперь используем эти свойства для решения довольно сложных неравенств вида h x f x g x 0 или f x g x hx 0. Сейчас мы покажем, что можно обойтись, хотя и двумя случаями, но без корней. Рассмотрим, для определѐнности, неравенство 1. Мы уже заметили, что, если 0, hx. Если же 0, в ОДЗ. Но тогда f x g x h x f x g x 0. g x то числитель положителен ОДЗ 0 h x 0. g x то разность может менять знак в зависимости всегда неотрицательна в ОДЗ, и умножение обеих частей неравенства на это сопряжённое выражение приводит к равносильному неравенству, т. е. в этом случае от значений x, но сумма f x g x h x hx f x g x ОДЗ f x g x 0 0. Для неравенства другого знака меняется лишь знак неравенства. Объединив оба условия, получаем новое замечательное условие равносильности в ОДЗ: hx f x g x 0, hx g x h x 0 0, ОДЗ 00 g x 0, f x g x 0 0. (УРК16) 013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична 13

14 уч. год, 1, 11 кл. Математика. Найденные в результате исследования совокупности (УР К9) решения следует сравнить с ОДЗ. 4x15 4x Пример 6. (МГУ, 1995) Решите неравенство 0. 4x15 x ОДЗ * 15. 4x15 0 x. Теперь в ОДЗ преобразуем неравенство: 0 4 4x15 4x 4x 15 x 4x 15 x 4x15 x 4x15 x 4x15 x 0, 4x15 x 0. Попробуем решить эту систему графически. Из графика на рис. видно, что неравенство выполнено x 15 4 от точки x до абсциссы точки пересечения кривой y 4x 15 4 и прямой y x. Рис. Найдѐм эту абсциссу: x 0, x 0, 3 x, 5 4x 15 x x. 4x 15 4x 5 x Заметим, что для решения уравнения мы возводили обе части в квадрат, а, значит, одновременно с нашим решили «чужое» уравнение: x 0, 4x 15 x 0 4x 15 x 4x15 4 x. 3 А в нашей системе решение этого уравнения x как раз нам надо исключить. Главное в том, что для решения всей системы оказалось 3 x, достаточно решить единственное уравнение 4x15 4x 5 x. 013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична 14

15 уч. год, 1, 11 кл. Математика Теперь можно записать Ответ: x ; ;. 4 x 4x 3 Пример 7. Решите неравенство. x Найдѐм сначала ОДЗ*: x 0 x. Теперь воспользуемся (УР К9): x 4x 3 x x 3 x 3 x ОДЗ* 0 0 x x x 3 3 x 0, 3 x, x, x 0; 3 3 x, 3 x 0, x, x x x 11x 7 x x1 0 x 4 x 0 x 3 x, с учётом ОДЗ* x;0 1;. 3 x ; 0 1; Систему неравенств интервалов рис x, 7 x 4 x x1 0 решили классическим методом Ответ: ; 0 1;. Пример 8. x x x x x7 Рис , ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична 15

16 уч. год, 1, 11 кл. Математика. Неравенство довольно громоздкое и сложное. Найдѐм сначала ОДЗ*: x 4x 3 0 x x x ; 1 3;. Затем рассмотрим отдельно два случая в зависимости от знака x Если x 7 0 x 7, то числитель положителен в ОДЗ* и ОДЗ * x x x x 0 x 7 0 x8x9 0 x x7 x8; 7.Учитывая ограничение x 7, получаем, что оказалось, что этот промежуток принадлежит ОДЗ*.. Если x 7 0 x 7, то воспользуемся правилом П К1. Тогда x x x ОДЗ* x 4x 3 x x x 7 x 9 x 8 3x 60x x x x8 x9 x8 x9 x ; 9; с учѐтом ограничения x 7. Оказалось, что и эти промежутки принадлежат ОДЗ*. Поэтому x 8; 9; ; 9;. 3 Ответ: п.4. Неравенства вида h x f x g x Роль сопряжѐнных выражений 0 0. f x g x Теперь рассмотрим неравенство вида hx На вид довольно сложное неравенство. Разность f x g x 0 0. где-то на числовой оси положительна, где-то отрицательна, но сумма корней 013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична 16

17 уч. год, 1, 11 кл. Математика. f x g x всегда неотрицательна в ОДЗ. Поэтому умножение обеих частей неравенства на это сопряжённое выражение приводит к равносильному в ОДЗ неравенству, и имеет место условие равносильности в ОДЗ hx hx f x g x ОДЗ f x g x 0 0 (УР К10), или полное условие равносильности, включающее ОДЗ: f x 0, f x g x 0 g x 0, (УР К11) h x f x g x 0 h x Отсюда, в частности, следует полезное правило (П К): Знак разности f x g x g x совпадает со знаком разности f x в ОДЗ. (П К) Пример 9. (Демоверсия ЕГЭ - 010) Решите неравенство 3 1x 1 x. x 1 и найдите наименьшую длину промежутка, который содержит все его решения. Замечательный пример на применение (УР К11)! Приведѐм всѐ к общему знаменателю, затем разложим разность кубов на множители. При этом учтѐм, что неполный квадрат суммы x x1никогда в 0 не обращается он всегда положителен, потому что его дискриминант отрицателен. Поэтому на x x 1 можно сократить. Затем воспользуемся (УР К11), или, что то же, тем, что умножение неравенства на положительное сопряжённое выражение приводит к равносильному неравенству. Тогда x 1 1 x 1 x x x 0 1x 1x 1 xx x 1 x x 1 1 x x x x 1x 013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична 17

18 уч. год, 1, 11 кл. Математика. 1 x x x 1 1 x x x 1 1 x 0, 0 1 x x x 1 1 x 0 1 x x 1, x x x; 1 0; 1. 0 x; 1 0; 1 x Неравенство решено методом интервалов рис. 4. Наименьшая длина промежутка, который содержит все решения, равна 3. Рис Ответ: ; 1 0; 1, 4x 3x 4x 3 Пример 10. Решите неравенство 0 и x 5x6 найдите наименьшую длину промежутка, который содержит все его решения. 4x 3x 0, 3 Найдѐм сначала ОДЗ*: x. 4x Теперь можно решить неравенство, применив правило (П К): 4x 3x 4x 3 ОДЗ* 4x 3x 4x 3 x 5x 6 x 5x 6 4x 7x5 1 0 x 5x 6 x x 3 0 x ; Промежуток принадлежит ОДЗ*. Наименьшая длина промежутка, который содержит все решения, равна 1. Ответ. ; 3, 1. п.5. Нестрогое неравенство x f 0 0. g x Воспользуемся определением нестрогого неравенства и особенностью иррациональных неравенств. Получим 013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична 18

19 уч. год, 1, 11 кл. Математика. x 0, 0; 0, f f x g x 0 0 g x f x g x 0 0. (УР10) 6 xx Пример 11. Решите неравенство 0. x 1 6 x x 0, 6 xx x 1 0; Воспользуемся (УР10): 0 x 1 6 x x 0, x 10 x 3, x, x3 1;1. x 3;, x 1;1 3. Неравенства, содержащие модуль Ответ: 3 1;1. В этом параграфе рассматриваются неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля). Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на промежутки так, чтобы функции, стоящие под знаком модуля, на каждом из промежутков сохраняли знак, т. е. были или положительными, или отрицательными. Тогда на каждом таком промежутке неравенство можно записать без модуля. В таком случае говорят, что мы раскрыли модуль. x 1 Пример 1. (МГУ, 1993) Решите неравенство 1. x x 1 x 1 x 1 0. x x x1 x 3 1. x1 0 x 1: 0 x. x x Получаем в этом случае x , ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична 19

20 уч. год, 1, 11 кл. Математика.. x1 0 x 1: x 1 x x 1 x 0, x x x Рис. 5 И мы получаем в этом случае x; 0,5;1. Объединяя результаты 1.., получаем окончательный ; 0,5; Ответ: x 5 1 Пример 13. (МГУ, 199) Решите неравенство 1. x 6 4 x 5 1 x 5 x x 6 4 x 6 4 x 5 x x 1. x 6: 0 x;8 10;. x1 4 x16 Учитывая условие 6 x 6;8 10;. x, получаем x 5 x 1 3 3x : 0 ;4 ; x x x x Учитывая условие x 5;6, получаем x 5;6. x 5 x 1 3 x 4 10, 3. x 5: 0 x x x 4. Учитывая условие x 5, получаем x;4 4;5. ;4 4;8 10;. Ответ: п.1. Неравенства вида f x g x Пусть в некоторой точке a выполнено неравенство f x g x тогда ga 0 и f a g a. Тогда имеет место картинка g a ) ( f a) ( Рис. 6. и неравенства g a f a g a g ( a ) 0 x, 013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична 0

21 уч. год, 1, 11 кл. Математика. И, наоборот: пусть в некоторой точке a выполнены неравенства g a f a g a. Тогда, во-первых, g a g a g a 0, а, во-вторых, f a g a. Следовательно, имеет место условие равносильности, f x g x f x g x g x f x g x f x g x. (УР М1). Пусть в некоторой точке a неравенство выполнено, т. е. f x g x. Это означает, что, или, а) ga 0 (модуль принимает неотрицательные значения и всегда больше любого отрицательного числа), или, б) если gx 0, имеет место картинка п.. Неравенство вида f x g x f ( a ) g a ) ( 0 x Рис. 7, g a g ( a) f a g a и совокупность неравенств f a. И, наоборот, пусть в некоторой точке a имеет место совокупность f a g a, неравенств Тогда, f a ga. f a g a выполнено, а) если ga 0, то неравенство б) если ga 0, то имеет место предыдущая картинка и выполнено неравенство f a g a. Следовательно, имеем равносильные соотношения f a ) ( f x g x, f x g x f x g x. (УР М) 013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична 1

22 уч. год, 1, 11 кл. Математика. Пример 14. (МГУ, 000, ВМК) Решите неравенство x x x x 8. x x x x 8, x 8x x x x 8x x x x 8x x x, x 8x x x, x 8x x x ; x 8x x x x 8x x x, x 8x x x x 0, x 1;,, x;0 1; 5;. x, 3;, 3 x ;0 5; 5;. Ответ: ;0 1; п.3. Неравенство вида f x g x Рассмотрим разность f x g x но сумма f x g x. Она может быть любого знака, всегда неотрицательна, и умножение разности на эту сумму не изменит знака разности, т. е. f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x и знак разности f x g x произведения f x g x f x g x Имеем еще одно условие равносильности совпадает со знаком (П М1) 0 f x g x f x g x f x g x. (УР М3) 013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична

23 уч. год, 1, 11 кл. Математика. Пример 15. (МФТИ, 000) Решите неравенство x 7x x x x x ОДЗ*: x x x x x В ОДЗ* имеем ;6. x 7x 6 0 (в силу УРМ3) x x x x x 7x 6 x 7x x 8x 4x 8 x 3 x 3 x x x 7 6 0, x 1, x 3, x 6, x, x 3 x 3 x 0 3; 3;. Учитывая ОДЗ*, получаем Ответ: 1; 3;6. Рис Системы уравнений 1. Самым распространенным методом решений систем является метод последовательного исключения неизвестных: выражаем одно неизвестное из одного из уравнений и подставляем в остальные. Получаем новую систему, в которой число уравнений и неизвестных на одно меньше. С новой системой поступаем так же до тех пор, пока это возможно. Однако очень часто при решении системы этим способом мы приходим к уравнениям, которые невозможно решить. Общих правил для решения систем не существует, но для некоторых систем существуют специальные приемы.. Однородные системы 3. Симметрические системы 013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична 3

24 уч. год, 1, 11 кл. Математика. 4. Часто систему можно решить, если еѐ сначала упростить с помощью равносильных преобразований. Приведем примеры некоторых преобразований, приводящих к равносильным системам. 1. Если любое уравнение системы заменить равносильным ему уравнением, то получим равносильную систему.. Если в одном из уравнений системы левая часть является произведением двух функций, то система равносильна совокупности при условии, что справа 0. Например, f1 x, y 0, f1 x, y fx, y 0, g x, y 0. (УР С1) g x, y 0 f x, y 0 g x, y Если какое-нибудь уравнение системы умножить на число, отличное от нуля, то получится система, равносильная исходной. (УР С3) 4. Если к одному из уравнений системы прибавить линейную комбинацию нескольких других, то получим равносильную систему. f 1 x, y 0, f 1 x, y af x, y 0, Например, (УР С) f x, y 0 f x, y 0, a произвольное число. f1 x, y g1 x, y 0, f1 x, y g1 x, y, 5. f1 x, y g1 x, y, f x, y gx, y f x, y gx, y x, y 0, x, y 0,,, ;,, 0,,,,,,. f1 g1 f x y g x y (УРС3) f1 x y g1 x y f1 x y g1 x y f x y g x y Обратим внимание на то, что в равносильной системе появилось дополнительное неравенство! (т. к. возведение в квадрат не всегда приводит к равносильному уравнению.) 013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична 4

25 уч. год, 1, 11 кл. Математика.,, 0,,, ; f1 x y g1 x y f 1 x, y g1 x, y, f x y g x y 6. (УР С4) f x, y gx, y f1 x, y g1 x, y 0, f x, y f1 x, y g x, y g1 x, y. Обратим внимание на то, что в системе остается то уравнение, в котором обе части отличны от нуля! 7. т. к. f x, y 0, f x, y g x, y 0, g x, y 0 f x, y g x, y 0 g x y f x, y 0, f x, y g x, y 0, g x, y 0, 0 (УР С5) f x, y g x, y 0, f x, y g x, y 0, f x, y g x, y g x, y 0 f x, y g x, y 0. 3, Пример 16. Решите систему уравнений x y z y z x 1, 4 x yz y z 3. Выразим y из второго уравнения y 1 z x, подставим в первое и третье и получим систему с двумя неизвестными x 1 z x z 3, x x z, 4 4 x z 1 z x 1 z x z 3 x zx x z z. Теперь выразим из первого уравнения z x x 1 и, подставив во второе, получим уравнение с одним неизвестным 4 x x x x x x x x x x 1 z 1y, x 1 0 x 1 z 1 y 0. Ответ: (1;;1), ( 1;0; 1). x y 3z 9, Пример 17. Решите систему уравнений x 4y 9z 189, 3xz 4 y. 013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична 5

26 уч. год, 1, 11 кл. Математика. Выразим x из первого уравнения и подставим во второе и третье уравнения. Тогда получим равносильную систему x y 3z 9, 4y 9z 6yz 7z 18y 54 6yz 9z 7z 4y 0. Теперь прибавим ко второму уравнению третье x y 3z 9, y 3, z 4 x 3; 18 y 54 y 3, y 3, z 1 x z 9z 7z 36 0 z Ответ: 3, 3, 4, 1, 3,1. Пример 18. (МФТИ, 1996) Решите систему уравнений x xy y x y , x 6xy 8y x 8 0. В данной системе будем рассматривать каждое уравнение как квадратное относительно, например, x. Так как дискриминанты обоих уравнений являются полными квадратами, оказывается возможным свести систему двух нелинейных уравнений к совокупности четырѐх линейных систем. x xy y x y x x y y y , x 6xy 8y x 8 x x 3y 1 8 8y 0 y 9 6y 7 x x y 8x 4y 1 0, 3y1 y 3 x x y x 4y , ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична 6

27 уч. год, 1, 11 кл. Математика. x y 8 0, x y 0; x y 8 0, x 4y 4 0; x 4y1 0, x y 0; x 4y1 0, x 4y 4 0. x 5, 3 y ; x 4, y ; x 3, 1 y ;. 3 1 Ответ: 5;, 4;, 3;. Пример 19. (МФТИ, 1999) Решите систему уравнений x 4x 4y 7 0, y x 8y x 4x 4y 7 0, y x 8y Заменим второе уравнение системы суммой x 4x 4y 7 0, x 4x 4y 7 y x 8y 10 0 x 4x 4y 7 0, , x 1, x 1, x1 y 6 0 y 6 y 6. Заметим, что решение второго уравнения это ещѐ не решение системы. Полученные числа необходимо подставить в оставшееся первое уравнение системы. В данном случае после подстановки получаем тождество. Ответ: (1, 6). 5. Однородные уравнения и системы Функция, k f tx, ty t f x, y. Например, функция f x, y 4 5 является однородной степени 4, т. к. f tx, ty 4tx ty 5txty f x y называется однородной степени k, если 3 x y 3 xy x y , ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична 7

28 уч. год, 1, 11 кл. Математика. tx ty t 4 4x 3 y 5xy 3 x y f x y однородная функция, называется однородным. Оно сводится к уравнению с одним неизвестным, если ввести новую переменную t. y x f x, y a, Система с двумя переменными g x, y b однородные функции одной и той же степени, называется однородной. Если ab 0, умножим первое уравнение на b, второе на a и вычтем одно из другого получим равносильную систему bf x, y agx, y 0, gx, y b. x y Первое уравнение заменой переменных t (или t ) сведѐтся к y x уравнению с одним неизвестным.. Уравнение f x, y 0, где, Если 0 a b 0, то уравнение f x y g x y, где f x, y, g x, y, 0, 0 заменой x y переменных t (или t ) сведѐтся к уравнению с одним неизвестным. y x x xy y 1, Пример 0. (МГУ, 001, химфак) Решите систему y xy x xy y 1, 5x xy y 7 y xy 0, y xy 15 y xy 15 x0, y0; x x x x 19xy 1y , y y y 10 y xy 15 x 3 y, x 3 3, y 3; y 3; 4 x y, x 4, 5 y 5. y 5 013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична 8

29 уч. год, 1, 11 кл. Математика. Ответ: 3 3; 3, 3 3; 3, 4; 5, 4; Симметрические системы Функция f x, y называется симметрической, если f x y f y x f x, y a Система уравнений вида, где f x y, gx, y g x, y b,,., симметрические, называется симметрической системой. Такие системы реша- ются чаще всего с помощью введения новых переменных x y u, xy v x x y y 17, Пример 1. Решите систему уравнений x xy y 5. Эта алгебраическая (симметрическая) система, обычно она решается заменой x y u, xy v. Заметив, что x x y y x y x xy y x y x y x y 3xy x y u u 3 v v, перепишем систему в виде 3 3 u 3uv v 17, u5 v, v, u 3, u v 5 v 5v 6 0 v 3, u (в старых переменных) x y, x y,. xy 3, y y 3 0 x y 3, x3 y, x, y 1, xy y 3y 0 x y ;1, 1;. Ответ:, 1,. Для успешного выполнения задания необходимо помнить, что строго монотонная функция любое своѐ значение принимает только один раз, т. е. если функция y x строго монотонна, то для любых следует, что x* D y, x** D y y x* y x** x* x**. Вспомним ещѐ свойства не просто монотонных функций, а нечётных монотонных. 013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична 9

30 уч. год, 1, 11 кл. Математика. Если функция нечѐтная, то при любом x из области определения f x f x f x f x, т. е. функция в симметричных 0 точках принимает «противоположные» значения. В случае произвольной нечѐтной функции равен- f x f x может выполняться в нескольких точках (не толь- ство 1 ко в симметричных): например, sin sin sin Если же функция нечётная, а к тому же и строго монотонная, то равенство f x f x выполняется только в сим- 1 0 метричных точках вспомним график функции y x рис Итак, если x нечётная и строго монотонная функция, то f x : f x f gx x gx f f x f x f x f x x x Поэтому для такой функции Контрольные вопросы 1(). Равносильны ли неравенства 6 x x3 1? (). Равносильно ли неравенство 1 1 системе нера- x x венств 6 x 0, x x? и x x Решите неравенства 3 5 с помощью графиков и уравнений 3(). x x 4. 4(3). 17 x 13x x 3. -x 0 a 5(3). Решите уравнение x x x x y O -a Рис. 9 x 0 x 013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична 30

31 уч. год, 1, 11 кл. Математика. Решите неравенства 6 10 с помощью приведѐнных в тексте условий равносильности (не раскрывая модули) 6(). x x 8 x 0. 7(3). 8(). 9(3). 10(). 1(3). x x. x 5x4 x x x x 3 0. x 5x6 x 1 x 5x 6 Решите неравенства x 3 x 7 3 x 8 6x x 3 4x Задачи Решите неравенства 1 5 4x 3. x 5x 6 x 1 (3). 0. x 13x30 x 5x 6 9 x 5 3(3) x 4x 4x 19 4(3). 5(3). x 7 x x x1 x 3 x 3 4x 5 x 4 x 1 x x 0. x x1 1, 6(3). Решите систему неравенств x 1 5x 3 3 5x 30x , ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична 31

32 уч. год, 1, 11 кл. Математика. 7(4). Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x a a x a отрицательных решения имеет два различных 8(). 3x x 3 3x 18 3x 18. 9(3). Найдите все значения а, для каждого из которых уравнение 3 6 8x a x x x a 0 имеет более трѐх различных решений. 10(4). Найдите все значения a, при каждом из которых при любых x выполняется неравенство x 1 x a 3 x. Литература 1. С. И. Колесникова «Математика. Интенсивный курс подготовки к Единому Государственному экзамену». Москва, Айрис Пресс (можно скачать из Интернета).. «Математика. Решение сложных задач Единого Государственного экзамена» (рубрика «Домашний репетитор»), Москва, Айрис Пресс (можно скачать из Интернета). 3. Журнал «Потенциал» 1 за 005 г статьи С. И. Колесниковой «Иррациональные уравнения» и «Иррациональные неравенства». 4. С. И. Колесникова «Иррациональные уравнения. ЕГЭ. Математика», Москва, 010, ООО «Азбука». 5. С. И. Колесникова «Иррациональные неравенства. ЕГЭ. Математика», Москва, 010, ООО «Азбука». 6. С. И. Колесникова «Уравнения и неравенства, содержащие модули. ЕГЭ. Математика», Москва, 010, ООО «Азбука» 7. С. И. Колесникова «Нестандартные задачи и современные методы решения. ЕГЭ. Математика.», Москва, 010, ООО «Азбука». 8. С. И. Колесникова «Рациональные уравнения и неравенства. ЕГЭ. Математика.», Москва, 010, ООО «Азбука». 013, ЗФТШ МФТИ, Колесникова София Ильинична 3

МАТЕМАТИКА. Алгебраические уравнения и неравенства. Задание 1 для 10-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Алгебраические уравнения и неравенства. Задание 1 для 10-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Алгебраические уравнения и неравенства. Задание 1 для 10-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Алгебраические уравнения и неравенства. Задание 1 для 10-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Задание 1 для 10-х классов (014 015

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни. Задание 4 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни. Задание 4 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание 4 для 8-х

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического

Подробнее

уч. год. 1, 11 кл. Математика. Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств.

уч. год. 1, 11 кл. Математика. Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. - уч год кл Математика Алгебраические уравнения неравенства системы уравнений и неравенств Системы уравнений Самым распространенным методом решений систем является метод последовательного исключения неизвестных:

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратный трёхчлен. Иррациональные

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратный трёхчлен. Иррациональные

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Московский физико технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА

Федеральное агентство по образованию Московский физико технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Федеральное агентство по образованию Московский физико технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (00-00 учебный

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства. Задание 3 для 11-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства. Задание 3 для 11-х классов. ( учебный год) Федеральное агентство по образованию Федеральная заочная физико-техническая школа при Московском физико техническом институте (государственном университете) МАТЕМАТИКА Тригонометрические уравнения, системы,

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа

Министерство образования Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа Министерство образования Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (00-00

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни. Задание 4 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни. Задание 4 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральная заочная физико-техническая школа при Московском физико-техническом институте (государственном университете) МАТЕМАТИКА Квадратные корни

Подробнее

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции»

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции» МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 3

Иррациональные уравнения и неравенства 3 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление 4 Метод исключения радикалов в иррациональном уравнении умножением на сопряженный множитель Задание 7 4 5 Выделение полного квадрата (квадрата двучлена)

Подробнее

4. Решение и исследование квадратных уравнений

4. Решение и исследование квадратных уравнений КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Подробнее

Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем».

Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем». Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем». Модуль действительного числа это абсолютная величина этого числа. Проще говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак. Обозначается a. Например,

Подробнее

Область определения левой части этих формул может быть шире области определения

Область определения левой части этих формул может быть шире области определения 7 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Комментарий При решении логарифмических уравнений также как в случае иррациональных уравнений возможно появление посторонних корней Причина их появления

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 2

Иррациональные уравнения и неравенства 2 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление Иррациональные уравнения Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень Задание Задание Задание Замена иррационального уравнения смешанной

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Многочлены. Простейшие уравнения и неравенства с модулем. Задание 3 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Многочлены. Простейшие уравнения и неравенства с модулем. Задание 3 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Многочлены. Простейшие уравнения и

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Системы уравнений. Задание 3 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Системы уравнений. Задание 3 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Системы уравнений Задание 3 для 8-х

Подробнее

Иррациональные неравенства

Иррациональные неравенства Содержание И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Иррациональные неравенства Учёт ОДЗ.......................................... Равносильные преобразования.............................. Двукратное

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные уравнения. Задание 5 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратные уравнения. Задание 5 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратные уравнения Задание для 8-х

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Задание 1 для 9-х классов учебный год

МАТЕМАТИКА. Задание 1 для 9-х классов учебный год МАТЕМАТИКА Рациональные уравнения Системы уравнений Уравнения, содержащие модуль Задание для 9- классов 0-04 учебный год Составитель: кпн, доцент Марина ЕВ Пенза, 0 Введение Вспомним некоторые понятия

Подробнее

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6).

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6). 3.. Методы решения рациональных неравенств 3..1. Числовые неравенства Сначала определим, что мы понимаем под утверждением a > b. Определение 3..1. Число a больше числа b, если разность между ними положительна.

Подробнее

Системы алгебраических уравнений

Системы алгебраических уравнений Содержание И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Системы алгебраических уравнений Двойная замена...................................... Симметрические системы.................................

Подробнее

Показательные и логарифмические неравенства. 2

Показательные и логарифмические неравенства. 2 А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru Показательные и логарифмические неравенства. 2 Продолжим рассказ о решении показательных и логарифмических неравенств. В этой

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ АГЕНТСТВО ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ КРАСНОЯРСКОГО КРАЯ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЗАОЧНАЯ ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНАЯ ШКОЛА при КрасГУ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Подробнее

Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач.

Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач. Московский физико-технический институт Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач. Методическое пособие по подготовке к олимпиадам.

Подробнее

МАТЕМАТИКА НЕРАВЕНСТВА

МАТЕМАТИКА НЕРАВЕНСТВА Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Неравенства Модуль для 0 класса Учебно-методическая

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

Тема 5 Рациональные системы уравнений

Тема 5 Рациональные системы уравнений Тема 5 Рациональные системы уравнений F ( x, x,..., ) 0, F ( x, x,..., ) 0, Система уравнений вида где... Fk ( x, x,..., ) 0, F i( x, x,..., ), i,..., k, некоторые многочлены, называется системой рациональных

Подробнее

Иррациональные уравнения и системы

Иррациональные уравнения и системы Содержание И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Иррациональные уравнения и системы 1 Учёт ОДЗ 1 Равносильные преобразования 3 Замена переменной 6 4 Умножение на сопряжённое 7 5 Системы уравнений

Подробнее

МФТИ помогает готовиться к ЕГЭ ЕГЭ. Иррациональные уравнения

МФТИ помогает готовиться к ЕГЭ ЕГЭ. Иррациональные уравнения МФТИ помогает готовиться к ЕГЭ ЕГЭ Иррациональные уравнения Москва 010 1 Уравнение вида a + b = c + d. В школе довольно много времени уделяется построению графиков элементарных функций, но затем они почти

Подробнее

Тема 1. Действительные числа и действия над ними

Тема 1. Действительные числа и действия над ними Тема 1 Действительные числа и действия над ними 4 часа 11 Развитие понятия о числе 1 Первоначально под числами понимали лишь натуральные числа, которых достаточно для счета отдельных предметов Множество

Подробнее

Знаки линейной функции

Знаки линейной функции И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Метод интервалов Метод интервалов это метод решения так называемых рациональных неравенств. Общее понятие рационального неравенства мы обсудим позже, а сейчас

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Иррациональные уравнения и неравенства Мы называем уравнение или неравенство иррациональным, если оно содержит переменную под радикалами, то есть под знаками

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства.

Иррациональные уравнения и неравенства. Московский физико-технический институт Иррациональные уравнения и неравенства Методическое пособие по подготовке к олимпиадам Составитель: Паркевич Егор Вадимович Москва 04 Введение В этой работе мы рассмотрим

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства. Задание 3 для 11-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства. Задание 3 для 11-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Задание для -х классов (05 06 учебный

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный университет им. А.М. Горького Специализированный учебно-научный центр.

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный университет им. А.М. Горького Специализированный учебно-научный центр. Федеральное агентство по образованию Уральский государственный университет им. А.М. Горького Специализированный учебно-научный центр Математика Алгебра Задания 1 4 для заочного класса (2005 2006 учебный

Подробнее

МФТИ помогает готовиться к ЕГЭ ЕГЭ. Математика. Показательные и логарифмические уравнения

МФТИ помогает готовиться к ЕГЭ ЕГЭ. Математика. Показательные и логарифмические уравнения МФТИ помогает готовиться к ЕГЭ ЕГЭ Математика Показательные и логарифмические уравнения Москва 010 1 Показательные уравнения g f Заметим сначала, что 1 = 1 f если f ( ) > 0. при любых f ( ) и g ( ) в ОДЗ;

Подробнее

Показательные уравнения. Методы решения. Дубова Мария Игоревна

Показательные уравнения. Методы решения. Дубова Мария Игоревна Показательные уравнения. Методы решения. Дубова Мария Игоревна 7 78-57 Показательным называется уравнение, содержащее переменную только в показателе степени. Рассмотрим несколько типов показательных уравнений,

Подробнее

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Действия с дробями: Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Домашнее задание. «Преобразования степенны и иррациональны выражений. Вычисление значений числовы выражений» Формулы

Подробнее

Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения. Метод прямого перебора Пример. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 8 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение.

Подробнее

Практическое занятие: «Решение иррациональных уравнений, неравенств. Метод интервалов. Степени».

Практическое занятие: «Решение иррациональных уравнений, неравенств. Метод интервалов. Степени». Практическое занятие: «Решение иррациональных уравнений, неравенств. Метод интервалов. Степени». Цель работы: Повторить для подготовки к экзамену следующие темы: 1. определение степени с рациональным показателем,

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (типовые задания С3)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (типовые задания С3) МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ типовые задания С Прокофьев АА Корянов АГ Прокофьев АА доктор педагогических наук, заведующий кафедрой высшей математики НИУ МИЭТ, учитель математики

Подробнее

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ Указания, решения, ответы УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. Уравнение с одной неизвестной.. Решение. Подставим в уравнение. Получим равенство ( 4a b 4) (a b 8) 0. Равенство A B 0, где А и В целые, выполняется,

Подробнее

Пособие для подготовки к олимпиаде школьников по математике «Паруса надежды». В.Н. Деснянский, А.И. Камзолов

Пособие для подготовки к олимпиаде школьников по математике «Паруса надежды». В.Н. Деснянский, А.И. Камзолов ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Подробнее

МАТЕМАТИКА ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

МАТЕМАТИКА ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль для класса Учебно-методическая часть/ Сост:

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Решение задач с параметрами. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Решение задач с параметрами. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Решение задач с параметрами (01 015

Подробнее

( 3) log 3 ( 125) = ( 5 3 ) = x=53. = log 5 = 3

( 3) log 3 ( 125) = ( 5 3 ) = x=53. = log 5 = 3 Решение некоторых заданий одного из вариантов досрочного экзамена ЭГЭ по математике в 2012 году, полученное с помощью программы UMS B5 x+28 =9 Отметим ОДЗ. x+28 0 x+28 =9 Воспользуемся свойством радикалов.

Подробнее

Уравнения и неравенства с модулем

Уравнения и неравенства с модулем И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Уравнения и неравенства с модулем В данной статье мы рассмотрим алгебраические уравнения и неравенства с модулем и изучим основные приёмы избавления от модуля

Подробнее

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения И. В. Яковлев, А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта http://www.ege-study.ru Тригонометрические уравнения В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений

Подробнее

URSS. Содержание. От автора... 4 Раздел 1. Метод функциональной подстановки... 5 Раздел 2. Метод тригонометрической подстановки...

URSS. Содержание. От автора... 4 Раздел 1. Метод функциональной подстановки... 5 Раздел 2. Метод тригонометрической подстановки... Содержание От автора... Раздел. Метод функциональной подстановки... 5 Раздел. Метод тригонометрической подстановки... Раздел. Методы, основанные на использовании численных неравенств... 6 Раздел. Методы,

Подробнее

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) 10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида и найдите его

Подробнее

Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА

Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА 8 Экспериментальный учебник Часть МОСКВА 06 Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА 8 Экспериментальный

Подробнее

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Пензенский государственный университет Физико-математический факультет «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение уравнений. Треугольники Задание 1 для

Подробнее

71 Тригонометрические уравнения и неравенства

71 Тригонометрические уравнения и неравенства 7 Тригонометрические уравнения и неравенства Комментарий Устойчивым является заблуждение абитуриентов о том что при решении тригонометрических уравнений не нужна проверка Это так далеко не всегда При решении

Подробнее

Доклад по теме: Решение задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике

Доклад по теме: Решение задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике Доклад по теме: задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике Выполнила Яценко Ирина Алексеевна Учитель математики МОУ СОШ 16 г. Щелково Щелково 2011 г. Содержание Знакомство с параметрами...

Подробнее

Оформление решения рационального неравенства следующее: xx x x x x. Итак: план решения рационального неравенства:

Оформление решения рационального неравенства следующее: xx x x x x. Итак: план решения рационального неравенства: РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ. I) х - 5> линейное неравенство. Решаем методом переноса: х>5, т.е. х>5, и т.д. II) х > можно решить перебором чисел. III) Более сложные неравенства (квадратные, дробные,

Подробнее

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН... Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Показательные и логарифмические уравнения, системы, неравенства. Задание 5 для 11-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Показательные и логарифмические уравнения, системы, неравенства. Задание 5 для 11-х классов. ( учебный год) Федеральное агентство по образованию Федеральная заочная физико-техническая школа при Московском физико техническом институте (государственном университете) МАТЕМАТИКА Показательные и логарифмические уравнения,

Подробнее

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Квадратные уравнения 1 Неполные квадратные уравнения............................ 1 2 Выделение полного квадрата...............................

Подробнее

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений».

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений». Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений» Многочленом степени n называется многочлен вида P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, где a 0, a 1,, a n-1, a n заданные числа, a 0,

Подробнее

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число АРИФМЕТИКА Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. Порядок действий ) Если нет скобок, то сначала выполняются действия -й степени (возведение в натуральную степень), затем -й степени (умножение

Подробнее

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ"

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ" В. В. Гарбарук, В. И. Родин, И. М. Соловьева, М. А. Шварц МАТЕМАТИКА

Подробнее

МФТИ помогает готовиться к ЕГЭ ЕГЭ. Математика. Показательные и логарифмические неравенства. Москва

МФТИ помогает готовиться к ЕГЭ ЕГЭ. Математика. Показательные и логарифмические неравенства. Москва МФТИ помогает готовиться к ЕГЭ ЕГЭ Математика Показательные и логарифмические неравенства Москва 010 1 Правила П1, П. Сейчас мы рассмотрим способ решения неравенств вида f( x) g( x) 0( 0 ), a a > < в котором

Подробнее

уч. год. 3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства

уч. год. 3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства 008-009 уч. год. 3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства 3. Методы решений некоторых уравнений 3.1. Уравнение вида sin k ± cos m = 0 Также уравнения решаются сведением

Подробнее

Образовательный портал «Физ/Мат класс» МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ

Образовательный портал «Физ/Мат класс» МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ wwwfmclassru МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ Анализ величин, использование формул а) Сравните числа 6 6 и 5 7 5 4 8 6 б) Сравните числа ( + )( + )( + )( + )( + ) и 999 999 999 в) Сравните числа si0 cos0 и si 40

Подробнее

Теоретический материал.

Теоретический материал. 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

Тема 41 «Задания с параметром»

Тема 41 «Задания с параметром» Тема 41 «Задания с параметром» Основные формулировки заданий с параметром: 1) Найти все значения параметра, при каждом из которых выполняется определенное условие. ) Решить уравнение или неравенство с

Подробнее

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ Гущин Д. Д. www.mathnet.spb.ru 1 0. Простейшие уравнения. К простейшим (не обязательно простым) уравнениям мы будем относить уравнения, решаемые одним из нижеприведенных

Подробнее

Математика ЕГЭ 2014 (система задач из открытого банка заданий)

Математика ЕГЭ 2014 (система задач из открытого банка заданий) Корянов АГ, Надежкина НВ Задания В Простейшие уравнения Математика ЕГЭ 0 (система задач из открытого банка заданий) Задания В Простейшие уравнения Материалы подготовили: Корянов А Г (г Брянск); e-mail:

Подробнее

Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва

Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва УДК 7.8:[ + 7] ББК 7.6. А Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва А Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 0 класс : углубл. уровень / [М. И. Шабунин,

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Минимаксные задачи. 2 cos x + 1 = 3.

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Минимаксные задачи. 2 cos x + 1 = 3. И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Минимаксные задачи Начнём с примера. Пусть требуется решить уравнение 3 x +1 = cos x + 1. 1) Одновременное присутствие показательной и тригонометрической

Подробнее

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений Различные подходы к решению задач С С С5 ЕГЭ 9- года Подготовка к ЕГЭ (материал для лекции для учителей ) Прокофьев АА aaprokof@yaderu Задачи С Пример (ЕГЭ С) Решите систему уравнений y si ( si )(7 y )

Подробнее

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год 9 КЛАСС. (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) (y + 1) 4 + (y 1) 4 = 82.

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год 9 КЛАСС. (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) (y + 1) 4 + (y 1) 4 = 82. Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год Задача 1. Найти решения уравнения 9 КЛАСС (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) Решение. После замены переменной x = y 1 уравнение (1) можно записать в виде

Подробнее

МАТЕМАТИКА УРАВНЕНИЯ С МОДУЛЕМ ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИКА УРАВНЕНИЯ С МОДУЛЕМ ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ МАТЕМАТИКА УРАВНЕНИЯ С МОДУЛЕМ ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Модуль

Подробнее

1 Степень с целым показателем

1 Степень с целым показателем Глава 9 Степени Степень с целым показателем. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0 ; > >.. >. Если четно, то ( ) < ( ). Например, ( ) 0 = 0 < 0 = = ( ) 0. Если нечетно, то ( ) > ( ). Например, ( ) = > = = ( ), так

Подробнее

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта: СПРАВОЧНИК Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:,,,,, Натуральные числа образуют множество, называемое множеством натуральных чисел Множество

Подробнее

Неравенства с модулем

Неравенства с модулем И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Неравенства с модулем Геометрический смысл модуля.............................. Замена переменной.................................... Перебор

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный университет» А А Г О Л У Б Е В, Т А С П А С С К А Я ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

Подробнее

Уравнения вида 3 a +

Уравнения вида 3 a + Уравнения вида a + b = c Г.И. Фалин д.ф.м.н., профессор кафедра теории вероятностей механико-математический факультет МГУ им.м.в.ломоносова А.И. Фалин к.ф.м.н., доцент кафедра общей математики факультет

Подробнее

Рекомендации по подготовке к выполнению задания 15 (неравенства) ЕГЭ профильного уровня

Рекомендации по подготовке к выполнению задания 15 (неравенства) ЕГЭ профильного уровня НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «Московский институт электронной техники» Зеленоград 30 ноября 2017 Рекомендации по подготовке к выполнению задания 15 (неравенства) ЕГЭ профильного уровня Прокофьев

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Практикум для иностранных граждан подготовительного отделения

МАТЕМАТИКА. Практикум для иностранных граждан подготовительного отделения МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ОДЕССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МАТЕМАТИКА Практикум для иностранны граждан подготовительного отделения ОДЕССА ОНЭУ 4 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Условные

Подробнее

Методическое пособие по математике для студентов 1-2 курсов по теме «Степенная, показательная и логарифмическая функции»

Методическое пособие по математике для студентов 1-2 курсов по теме «Степенная, показательная и логарифмическая функции» КОМИТЕТ ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ЛЕНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ЛЕНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ «ВОЛХОВСКИЙ АЛЮМИНИЕВЫЙ КОЛЛЕДЖ» Методическое

Подробнее

Тригонометрические уравнения. 2

Тригонометрические уравнения. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические уравнения. В статье «Тригонометрические уравнения. 1» мы рассмотрели стандартные методы решения весьма простых тригонометрических уравнений.

Подробнее

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Квадратные уравнения 1 Неполные квадратные уравнения............................ 1 2 Выделение полного квадрата...............................

Подробнее

ЕГЭ. Профильный уровень. Задание 20 Задачи с параметрами Квадратные уравнения и уравнения с квадратным трёхчленом

ЕГЭ. Профильный уровень. Задание 20 Задачи с параметрами Квадратные уравнения и уравнения с квадратным трёхчленом Общие сведения ЕГЭ Профильный уровень Задание 0 Задачи с параметрами Квадратные уравнения и уравнения с квадратным трёхчленом Дихтярь МБ Уравнение f ( a) x + g( a) x + ϕ ( a) = 0, где f ( a) 0, является

Подробнее

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1 Глава 1 Основы алгебры Числовые множества Рассмотрим основные числовые множества. Множество натуральных чисел N включает числа вида 1, 2, 3 и т. д., которые используются для счета предметов. Множество

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Первые шаги в решении уравнений и неравенств с параметром

Первые шаги в решении уравнений и неравенств с параметром КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ. Н.И.ЛОБАЧЕВСКОГО Кафедра теории и технологий преподавания математики и информатики Фалилеева М.В. Первые шаги в решении уравнений и

Подробнее

УВК школа-лицей 2. Уравнение с модулем. Творческая работа по алгебре Работу выполнила: ученица 8-Б класса Воропай Милена

УВК школа-лицей 2. Уравнение с модулем. Творческая работа по алгебре Работу выполнила: ученица 8-Б класса Воропай Милена УВК школа-лицей 2 Уравнение с модулем Творческая работа по алгебре Работу выполнила: ученица 8-Б класса Воропай Милена Армянск 2012 с Глава I Тема: Решение уравнений, содержащие модуль Цель работы: показать

Подробнее

А. И. Козко В. Г. Чирский. Задачи с параметром и другие сложные задачи

А. И. Козко В. Г. Чирский. Задачи с параметром и другие сложные задачи А. И. Козко В. Г. Чирский Задачи с параметром и другие сложные задачи Москва Издательство МЦНМО 2007 УДК 512 ББК 22.141 К59 К59 Козко А. И., Чирский В. Г. Задачи с параметром и другие сложные задачи. М.:

Подробнее

Решения для 9 класса подготовительного варианта

Решения для 9 класса подготовительного варианта Решения для 9 класса подготовительного варианта. Тема Действия с дробями 7 4 0,5 :, 5 : 5 7 Выполните действия:.,5 :8 4 Решение. Выполним действия в следующем порядке: 5 4 ) 0,5 :,5 : :. 4 4 5 5 7 4 7

Подробнее

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ по теме «Иррациональные уравнения» для слушателей подготовительных курсов автодорожного института ДонНТУ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ по теме «Иррациональные уравнения» для слушателей подготовительных курсов автодорожного института ДонНТУ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ИНСТИТУТ ГОСУДАРСТВЕННОГО ВЫСШЕГО УЧЕБНОГО ЗАВЕДЕНИЯ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

Подробнее