Тестовые задания по теории вероятностей и математической статистике

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Тестовые задания по теории вероятностей и математической статистике"

Транскрипт

1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет С. Г. Валеев С. В. Куркина Тестовые задания по теории вероятностей и математической статистике Методические указания для студентов специальностей , Ульяновск 2008

2 УДК (076) ББК 22.17я7 Рецензент кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшая математика» Сокушева М. Р. Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета Валеев, С. Г. Тестовые задания по теории вероятностей и математической статистике : методические указания для студентов специальностей , / С. Г. Валеев, С. В. Куркина. Ульяновск : УлГТУ, с. Указания составлены в соответствии с учебным планом специальностей, содержат тестовые задания по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статисти ка». Подробно рассматриваются методы решения тестовых заданий различной сложности с указанием необходимого теоретического материала. Методические указания включают упражнения, выполнение которых позволит студентам самостоятельно овладеть соответствующими навыками расчета вероятностей появления события и характеристик случайных величин. Предназначены для студентов вузов дневной формы обучения. Разработаны на кафедре «Прикладная математика и информатика». УДК (076) ББК 22.17я7 3 Валеев С. Г., Куркина С. В., 2008 Оформление. УлГТУ, 2008

3 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение Алгебра событий Вычисление вероятностей событий Случайные величины и их распределения Выборочные случайные величины и их оценки Тестовые задания для самопроверки БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

4 Введение Основу настоящих методических указаний составляет содержание лекций для студентов специальностей (Финансы и кредит), (Бухгалтерский учет, анализ и аудит). Значение курса теории вероятностей и математической статистики очевидно: во-первых, это неотъемлемая часть современного университетского образования; во-вторых, в профессиональной деятельности будущих специалистов не обойтись без статистической обработки массивов экономических данных, получаемых в результате наблюдений экономических процессов и явлений. Методические указания должны помочь студентам овладеть основами теории вероятностей в такой степени, чтобы они могли не только осознанно применять полученные знания в процессе обучения и работы, но и по мере необходимости углублять и расширять их путем дальнейшего самообразования. В тексте имеется большое число обязательных упражнений, которые должны служить элементом контроля (или самоконтроля) над усвоением материала. На лекционных и практических занятиях студент должен ознакомиться с основными вероятностными закономерностями, статистическими идеями и подходами, а также приобрести базовые навыки обращения с вероятностным материалом. Тестовые задания, приведенные в методических указаниях в простой и доступной форме, позволят студентам закрепить пройденный материал. Кроме того, подробно рассмотренные задания могут послужить основой при подготовке к практическим семинарским занятиям, а также при решении домашних задач. 5

5 1. Алгебра событий 1.1. Что означает операция А+В? а) событие А влечет за собой событие В; б) произошло хотя бы одно из двух событий А или В; в) совместно осуществились события А и В. По определению, результатом операции суммы двух событий С = А + В является событие, состоящее в том, что происходит по крайней мере одно из событий А или В. Верный ответ: (б) Выберите неверное утверждение: а) Событие, противоположное достоверному, является невозможным; б) Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице; в) Если два события единственно возможны и несовместны, то они называются противоположными; г) Вероятность появления одного из противоположных событий всегда больше вероятности другого. Рассмотрим каждый из вариантов ответов. Событие называется невозможным, если оно никогда не может наступить в условиях данного эксперимента. Противоположное событие A происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А, причем A+ A=Ω, (в) верно. Вариант (а) верный событие, противоположное невозможному событию, есть достоверное. Найдем вероятность pa ( + A) = p( Ω ) = 1; следовательно, по третьей аксиоме аксиоматического определения вероятностей вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей, имеем: pa ( ) + pa ( ) = 1, (б) верно. Вероятность наступления любого события может быть в интервале [0; 1]. Из этого не следует верность (г). Неверное утверждение: (г) Эксперимент состоит в подбрасывании один раз правильной шестигранной игральной кости. События А={выпало число очков больше трех}; В ={выпало четное число очков}. Тогда множество, соответствующее событию А+В, есть: а) А+В = {6}; б) А+В = {4; 6}; в) А+В = {2; 4; 5; 6}; г) А+В = {3; 4; 5; 6}. 6

6 Множество, соответствующее сумме двух событий А+В, есть объединение множеств А В. Множество А включает элементарные исходы А = {4; 5; 6}, множество В = {2; 4; 6}. Объединение множеств А В = {4, 5, 6; 2, 4, 6} = {2; 4; 5; 6}. Верный ответ: (в) Эксперимент состоит в подбрасывании один раз правильной шестигранной игральной кости. При каких событиях А, В верно: А влечет за собой В? а) А = {выпало нечетное число очков}, B ={выпало число 3}; б) А = {выпало число 2}, B = {выпало четное число очков}; в) А = {выпало число 6}, B = {выпало число очков, меньше 6}. Операции над событиями «А влечет за собой В» в терминах теории множеств соответствует операция включения множеств. Для каждого варианта ответа определим множества А, В. (а) А = {1, 3, 5}; В = {3} условие А В не выполнено; (б) А = {2}; В = {2, 4, 6} условие А В выполнено; (в) А = {6}; В = {1, 2, 3, 4, 5} условие А В не выполнено. Верный ответ: (б) Взятая наудачу деталь может оказаться либо первого (событие А), либо второго (событие В), либо третьего (событие С) сорта. Что представляет собой событие: A+ C? а) {деталь первого или третьего сорта}; б) {деталь второго сорта}; в) {деталь первого и третьего сорта}. Сначала выполним операцию суммы событий. Результат А + С = {деталь первого или третьего сорта}. Теперь запишем противоположное событие A+ C = {деталь не первого, не третьего сорта} = {деталь второго сорта} = В. Верный ответ: (б). 2. Вычисление вероятностей событий 2.1. Игральный кубик подбрасывается один раз. Тогда вероятность того, что на верхней грани выпадет число очков больше трех, равно: а) 1/3; б) 1/2; в) 2/3. 7

7 Определим множество всех возможных исходов эксперимента Ω= { ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6}, ω k = { X = k}, k = 1,6. Количество исходов N(Ω) = 6. Соответствующее событию А = {выпадет число очков больше трех} множество включает исходы А = {ω 4, ω 5, ω 6 }, N(A) = 3. Согласно классическому определению вероятности, вероятность события А есть отношение числа N(А) благоприятствующих исходов данному событию к общему числу N(Ω) всех возможных исходов данного эксперимента N( A) 3 1 pa ( ) = = =. N ( Ω) 6 2 Верный ответ: (б) В урне 5 белых, 3 черных, 4 красных шаров. Вероятность того, что из урны вынут белый или черный шар равна а) 1/4; б) 15/8; в) 2/3. Всего в урне находится ( ) шаров. Общее число возможных исходов в данном эксперименте N(Ω) = 12. Благоприятствующих исходов интересующему событию А = {вынутый шар белого или черного цвета} N(А) = 5 (белых) + 3 (черных) = 8 шаров. Вероятность события А, согласно классическому определению вероятности, равна Верный ответ: (в). N( A) 8 2 pa ( ) = = =. N ( Ω) В группе 7 юношей и 5 девушек. На конференцию выбирают трех студентов случайным образом (без возвращения). Определить вероятность того, что на конференцию поедут двое юношей и одна девушка. а) 11/28; б) 21/44; в) 21/110. Представим множество студентов группы в виде занумерованного множества {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; 8, 9, 10, 11, 12}, где первые 7 элементов множества юноши, последние 5 элементов девушки. Выбор студентов на конференцию осуществляется случайным образом без возвращения и без упорядочивания. Число таких всевозможных вариантов выбора трех студентов из группы (12 человек) определяется с помощью 3 12! 12! 9! формулы числа сочетаний N( Ω ) = C12 = = = = ! (12 3)! 3! 9! 9!

8 Рассмотрим событие А = {отобрано двое юношей и одна девушка}, т. е. из множества элементов {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} выбираем 2 элемента, таких способов 2 7! 7! 5! 6 7 C7 = = = = 21 2! (7 2)! 2! 5! 5!1 2 ; из множества {8, 9, 10, 11, 12} выбираем 1 5! 5! один элемент C 5 = = = 5 1! (5 1)! 1! 4! способами. Необходимо одновременно выбрать трех студентов (в соответствии с событием А), поэтому число исходов, благоприятствующих данному событию 2 1 А, равно N( A) = C C = 21 5 = 105. Согласно классическому определению вероятности, 7 5 N( A) pa ( ) = = =. N ( Ω) Верный ответ: (б) В урне 6 белых и 4 черных шаров. Из урны вынимают два шара. Вероятность того, что оба шара черные, равна а) 2/5; б) 2/15; в) 1/4. Всего в урне N(Ω) = =10 шаров. Введем два события А = {первый вынутый шар черный}, В = {второй вынутый шар черный}. Необходимо вычислить вероятность одновременного появления двух событий А и В, т. е. р(ав). События А, В зависимые: если происходит событие А (изменится общее количество шаров в урне и число оставшихся шаров черного цвета), то вероятность события В изменится. Поэтому по теореме умножения вероятностей р (АВ) = р(а) р (В A). Вероятность события А, согласно классическому определению вероятности, р(а) = 4/10 = 2/5. Если событие А произошло, количество шаров в урне уменьшилось на один: (10 1) = 9. Число благоприятствующих исходов также уменьшилось в урне осталось (4 1) = 3 черных шаров. Условная вероятность р (В A) = 3/9 = = 1/3. Искомая вероятность pa= ( ) = Верный ответ: (б) Два стрелка производят по одному выстрелу. Вероятность попадания в цель для первого и второго стрелков равна 0,6 и 0,9 соответственно. Тогда вероятность того, что цель будет поражена, равна: а) 0,54; б) 0,96; в) 0,996. 9

9 Первый способ. Рассмотрим события А = {первый стрелок попадет в мишень}, В = {второй стрелок попадет в мишень}. Вероятности попадания соответственно первого и второго стрелков р (А) = 0,6; р (В) = 0,9, вероятности промаха для первого и второго стрелка соответственно pa ( ) = 1 pa ( ) = = 1 0,6= 0,4; pb ( ) = 0,1. Необходимо найти вероятность наступления события С = {цель будет поражена} = {хотя бы один из стрелков попадет в мишень}, т. е. возможны следующие события: С 1 = {попадет первый и не попадет второй}, С 2 = {не попадет первый и попадет второй}, С 3 = {оба стрелка попадут}. В алгебре событий А, В интересующее нас событие С запишется в виде C = C1+ C2 + C3 = AB+ AB+ AB. Найдем вероятность события С: pc ( ) = = p( AB+ AB+ AB) = [события AB, AB, AB попарно несовместны, если происходит А и В, то не могут осуществиться A è B, A è B, значит вероятность суммы попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей] = pab ( ) + PAB ( ) + PAB ( ) = [события А, В независимы, т. к. стрелки производят выстрелы независимо друг от друга: попадание или промах одного стрелка производится независимо от другого стрелка] = pa ( ) pb ( ) + pa ( ) pb ( ) + + pa ( ) pb ( ) = = Второй способ. Проще при определении вероятности события С = {хотя бы один из стрелков попадет в мишень} рассмотреть противоположное событие C = {первый и второй стрелок не попадут в мишень}: C = A B и вычислить его вероятность. По теореме умножения вероятностей для независимых событий pc ( ) = pa ( B) = pa ( ) pb ( ) = 0,4 0,1= 0,04. Вероятность противоположного события р(с) = 1 0,04 = 0,96. Верный ответ: (б) Количество перестановок в слове «ТВМС» равно: а) 4; б) 16; в) 24. Таких перестановок будет 4! = 24. Первая буква «Т» может быть переставлена на любое из четырех мест; вторая буква «В» на любое из оставшихся трех мест; «М» на любое из оставшихся двух мест; наконец, «С» может занять только одно оставшееся место, т. е = 24. Верный отве:т (в). 10

10 2.7. Сколько различных двузначных чисел можно составить из пяти цифр 1, 2, 3, 4, 5, если все цифры в числе разные? а) 25; б) 60; в) 20. Первый способ. Множество всех возможных двузначных чисел, состоящих из цифр 1, 2, 3, 4, 5, запишем в виде Ω= {( ab, ) a= 1,5, b= 1,5}. Таких чисел N(Ω) = 5 5 = 25. Рассмотрим событие А = {цифры в числе разные}. Из множества Ω выбираем исходы, благоприятствующие заданному событию А: A= {( a, b) a = 1,5, b= 1,5, a b}, т.е. из множества Ω исключаем исходы (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5). Таким образом, N(А)= 25 5 = 20. Второй способ. Рассмотрим другой вариант подсчета числа элементов в множестве А. Первая цифра может быть любой: 1, 2, 3, 4, 5 (5 вариантов); вторая цифра может быть любой от 1 до 5, кроме цифры, которая уже записана первой (5 1 = 4 варианта). Число составляется одновременно из двух цифр, т. е. таких двузначных чисел N(А) = 5 4 = 20 исходов. Верный ответ: (в) Игральную кость бросают 5 раз. Вероятность того, что ровно 3 раза появится нечетная грань, равна: а) 1/32; б) 1/16; в) 5/16. В данном эксперименте {бросание одной игральной кости 5 раз} интересующее нас событие А = {выпадет нечетная грань} появится ровно три раза, значит, противоположное событие A = {выпадет четная грань} появится два раза. Условие эксперимента можно интерпретировать как появление успеха {нечетная грань} или неудачи {четная грань} в серии п испытаний. Вероятность появления успеха при одном подбрасывании р 1 = р (А) = 3/6 = = 1/2, вероятность неудачи при одном подбрасывании р 2 = р ( A ) = 3/6 = 1/2. Общее число испытаний п = 5, в которых наблюдается m = 3 успехов и (n m) = 2 неудач. Вероятность появления m = 3 успехов определяется по m m n m формуле биномиальных вероятностей: P 5( m 3) C p1 p = = = 2 = ! = C 5 = = = !2! Верный ответ: (в). n n 11

11 2.9. В магазин поступило 30% телевизоров фирмы L, остальное фирмы N. В продукции фирмы L брак составляет 20% телевизоров; фирмы N 15 %. Вероятность наудачу выбрать исправный телевизор составляет: а) 0,835; б) 0,65; в) 0,105. Определим интересующее нас событие А = {наудачу выбран исправный телевизор}. Поступили телевизоры от двух фирм. Примем в качестве гипотез события H 1 = {телевизор фирмы L}, H 2 = {телевизор фирмы N}. Событие А наступит только при совместном осуществлении с одной из гипотез H 1 или H 2. События H 1, H 2 образуют полную группу событий, никаких других возможных предположений нет. Необходимо вычислить вероятность события А = {будет приобретен исправный телевизор}. Для расчета применим формулу полной вероятности р(а) = р(h 1 ) р(а H 1 ) + р(h 2 ) р(а H 2 ). Товара фирмы L поступило 30%, т.е. вероятность приобрести телевизор фирмы L составляет ph ( 30% 1) = = 0,3; 100% с фирмы N поступило (100 30)%, т.е. р(h 2 ) = 0,7. Вероятность брака известна, вычислим процент надежных телевизоров фирмы L (100 20)% = 80%, фирмы N (100 15)%=85%. Вероятность приобрести исправный телевизор, если он фирмы L, есть условная вероятность р(а H 1 ) = 0,8; фирмы N р(а H 2 ) = 0,85. Вычислим вероятность р(а) = 0,3 0,8 + 0,7 0,85 = 0,24 + 0,595 = 0,835. Верный ответ: (а) Каково наивероятнейшее число годных деталей среди 15 проверенных отделом технического контроля, если вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,7? а) 9; б) 10;. в) 11 Число k 0 (наступления события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна p) называют наивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях k 0 раз, превышает (или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возможных исходов испытаний. Наивероятнейшее число k 0 определяют из двойного неравенства np q k 0 np + p, причем 12

12 (1) если число np q дробное, то существует одно наивероятнейшее число k 0 ; (2) если число np q целое, то существует два наивероятнейших числа k 0 и k 0 +1; (3) если число np целое, то наивероятнейшее число k 0 = np. Вероятность появления события А = {наудачу выбранная деталь годная} р(а) = р = 0,7; вероятность противоположного события q = 1 p=0,3. Количество проверяемых деталей число испытаний n = 15. Определим np = 15 0,7 = 10,5 дробное. Вычислим np q = 15 0,7 0,3 = 10,5 0,3 = 10,2 дробное, значит, применяем правило (1). Верхняя граница интервала np + p = 15 0,7 + 0,7 = 11,2. Наивероятнейшее число определим из интервала 10,2 k 0 11,2 k 0 = 11. Верный ответ: (в) Чему равна вероятность отказа устройства, состоящего из трех независимо работающих элементов с соответствующими вероятностями отказа элементов 0,1; 0,2; 0,05, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент? а) 0,316; б) 0,35; в) 0,001. Работу устройства удобно представить в виде схемы. Соединение элементов последовательное: если откажет хотя бы один элемент, то схема не работает (рис. 1) Рис. 1. Схема устройства Найдем вероятность события В = {устройство откажет} Рассмотрим события А 1 = {первый элемент откажет}; А 2 = {второй элемент откажет}; А 3 = {третий элемент откажет} и соответственно противоположные события A k = {элемент с номером k работает}, k =1, 2, 3. Известны вероятности отказа каждого элемента р(а 1 ) = 0,1; р(а 2 ) = 0,2; р(а 3 ) = 0,05. Надежности элементов р( A 1 ) = 1 0,1 = 0,9; р( A 2 ) = 1 0,2 = 0,8; р( A 3 ) = 1 0,05 = 0,95. Могут выйти из строя только первый элемент, только второй элемент, первый и третий элемент, и т. д. Проще рассмотреть противоположное событие B = {устройство работает}. Запишем B в алгебре событий А 1, А 2, А 3. 13

13 Устройство работает, если все три элемента одновременно работают: B = A1 A2 A3. Вероятность события равна pb ( ) = pa ( 1 A2 A3) ={т. к. элементы работают независимо, по теореме умножения вероятностей получим}= ( 1) ( 2) ( 3) 0,9 0,8 0,95 = 0,684. = pa pa pa = Искомая вероятность р(в) = = 1 р( B ) = 1 0,684 = 0,316. Верный ответ: (а) Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых нет цифр 5 и 6? а) 296; б) 448; в) Множество возможных трехзначных чисел запишем в виде Ω= {( abc,, ) a= 1,9, b= 0,9, c= 0,9}. Всего трехзначных чисел N(Ω) = = = 900. Рассмотрим событие А = {в записи числа нет цифр 5 и 6}. Из множества Ω выбираем исходы, благоприятствующие данному событию А: A= {( a, b, c) a = 1, 2,3, 4, 7,8,9; b= 0,1, 2,3, 4, 7,8,9; c = 0,1, 2,3, 4, 7,8,9}. Количество таких исходов определятся N(А) = 7 8 8=448. Верный ответ (б). 3. Случайные величины и их распределения 3.1. Дан закон распределения дискретной случайной величины Х x i p i = P{X=x i } 0,14 0,28 0,17 0,32 p 5 Чему равно значение вероятности p 5? а) 0,1; б) 0; в) 0,09. Законом распределения СВ Х дискретного типа называется перечень всех возможных значений случайной величины и соответствующих этим значениям вероятностей. События {X=x 1 }, {X=x 2 }, образуют полную группу событий, т.е. Ω. Сумма вероятностей P{X=x 1 }+ P{X=x 2 }+ =1. Необходимо вычислить 14

14 неизвестное значение p 5 из уравнения: + 0,32) = 0,09. Верный ответ: (в). 5 pi = 1 ; p 5 = 1 (0,14 + 0,28 + 0,17 + i= Пусть X - случайная величина с функцией распределения: 0, x < 0 0, 2, 0 x < 2 F( x) = 0,4, 2 x< 4. 0,9, 4 x < 6 1, x 6 Чему равна мода случайной величины Х? а) 2; б) 4; в) 6. Случайная величина Х дискретного типа. Мода СВ Х дискретного типа определяется как такое возможное значение x m, для которого PX { = xm} = max PX { = xk}. Мода есть наиболее вероятное значение СВ Х в k случае, если такое значение единственно. Для определения моды СВ Х опишем закон распределения в виде таблицы 1. F(x) = P {X < x} = Σ P {X = x i }, где i : x i < x. F(0) = 0 = P{X < 0}. F(2) = 0,2 = P{X < 2} = P {X = 0}. F(4) = 0,4 = P{X < 4} = P {X = 0} + P {X = 2} P {X = 2} = 0,4 0,2=0,2. F(6) = 0,9 = P{X < 6} = P {X = 0} + P {X= 2} + P {X= 4} = 0,2 + 0,2+P{X= 4} P {X = 4} = 0,9 0,4 = 0,5. F(8) = 1 = P{X < 8} = P {X = 0} + P {X = 2} + P {X = 4} + P {X = 6} = = 0,2 + 0,2 + 0,5 + P {X = 6} P {X = 6} = 1 0,9 = 0,1. Таблица 1. Закон распределения СВ Х x i p i = P{X=x i } 0,2 0,2 0,5 0,1 Мода случайной величины Х равна x 3 = 4, т. к. наибольшая вероятность P{X = 4} = 0,5. Верный ответ: (б). 15

15 3.3. Закон распределения СВ Х задан в виде таблицы x i p i = P{X=x i } 0,1 0,4 0,2 0,1 0,2 Чему равно математическое ожидание СВ Х? а) 2,9; б) 3,5; в) 4. Математическим ожиданием СВ Х дискретного типа называется действительное число, определяемое формулой M[ X] = xk P{ X = xk}. М[X] = 1 0, , , , ,2 = 2,9. Верный ответ: (а) СВ Х задана таблично x i p i = P{X=x i } 0,2 0,5 0,3 Чему равно математическое ожидание величины M[Х 2 + 1]? а) 11,1; б) 21; в) 22,1. Запишем закон распределения для новой СВ Y = Х 2 + 1: y i = x 2 i p i = P{Y=y i } 0,2 0,5 0,3 k Вычислим математическое ожидание СВ Y: M[Y] = M[Х 2 + 1] = 5 0, , ,3 = 11,1. Верный ответ (а) Закон распределения СВ Х задан в виде таблицы x i p i = P{X=x i } 0,3 0,5 0,2 Чему равна дисперсия СВ Х? а) 2,8; б) 1,96; в) 1,51. Дисперсией СВ Х называется неотрицательное число D[X] = D X, определяемое формулой DX = M ( X M X ) = M X ( M X ) [ [ ] ] [ ] [ ]. 16

16 Для дискретной СВ Х дисперсия вычисляется по формуле ( ) ( ) ( ) D = x m p = x p m X k X k k k X k k Вычислим сначала математическое ожидание СВ Х: М[X] = 1 0, , ,2 = 2,8. Дисперсия D X = (1 2 0, , ,2) (2,8) 2 = (1 0, , ,2) 7,84 = 9,8 7,84 = 1,96. Верный ответ: (б) При проведении контроля качества среди 100 случайно отобранных деталей 2 оказалось бракованными. Среди 5000 деталей бракованными окажутся: а) 250; б) 100; в) 50. В данном эксперименте множество всех исходов включает два элемента Ω = {ω 1, ω 2 }, где ω 1 = {деталь бракованная}, ω 2 = {деталь годная}. Вероятности исходов соответственно р(ω 1 ) = р 1 = 2/100 = 0,02; р(ω 2 ) = р 2 = 1 р 1 = 0,98. Таким образом, случайная величина Х имеет биномиальное распределение. Искомое количество бракованных деталей есть наиболее вероятное значение СВ X математическое ожидание, которое определяется для такой СВ по формуле М[X] = n p = 0, = 100 деталей. Верный ответ: (б) СВ Х равномерно распределена на отрезке [-7, 18]. Чему равна вероятность P(-3 < Х)? а) 15/25; б) 21/25; в) 11/15. Случайная величина называется равномерно распределенной, если ее 1, x [ a, b] f( x) = b a плотность распределения вероятности. Длина отрезка 0, x [ a, b] [-7, 18] составляет b a = 18 ( 7) = 25. Запишем функцию плотности 1, x [ 7,18 ] f( x) = 25. Вероятность попадания СВ Х в заданный интервал 0, x [ 7,18]. 17

17 определяется по формуле 3 b pa ( X< b) = f( xdx ). Вероятность + p( 3 X < + ) = f( x) dx. Функция плотности ненулевая на отрезке [-7, 18], поэтому 18 интеграл a p( 3 X < + ) = f ( x) dx + f ( x) dx = dx = = 0 x 21 = = Другой способ решения основан на определении геометрической вероятности. Отрезок [-7; 18], соответствующий множеству возможных исходов, где функция плотности СВ Х ненулевая, представлен на рисунке 2. Отметим точку (-3) в соответствии с событием А = {Точка попадет на отрезок [-3; 18]}. Эта точка делит отрезок на две части [-7; -3] и [-3; 18] Рис. 2. Определение вероятности попадания в заданный интервал Событию А благоприятствуют исходы, включенные в больший отрезок (на рисунке показано штриховкой). Согласно геометрическому определению вероятности, вероятность попадания точки в заданный отрезок есть отношение äëèí à î ò ðåçêà [ 3;18] 21 pa ( ) = =. äëèí à î ò ðåçêà [ 7;18] 25 Верный ответ: (б) Чему равно значение неизвестного параметра а функции плотности [ ] 0, x 4,6 f( x) = 1 a x, x 4,6 8 а) 1/2; б) 1/4; [ ]? 18

18 в) 1/8. Параметр а можно найти из условия нормировки (свойство функции + плотности) f( x) dx = 1. Функция плотности f(x) ненулевая на интервале [4; 6] и обращается в нуль вне данного интервала. Поэтому интеграл можно разбить на три части: 1 1 a x x f ( x) dx = 0dx + a x dx + 0dx = a x dx = = a 36 6 a = = 10a = 1 a = Верный ответ: (в) Пусть X - случайная величина с функцией распределения: 0, x < 1 x, 1 x < 2 6 F( x) = x 1 +, 2 x < , x 3 Чему равна вероятность P{ X 1/2 }? а) 11/12; б) 1/12; в) 5/6. По определению, функция распределения СВ Х есть вероятность F(x) = P{X < x}. Поэтому рассмотрим противоположное событию А = {X 1/2} событие A=Ω \ A=Ω\{ X 1 } = { X < 1 }. 2 2 Вероятность суммы противоположных событий равна единице: PA ( ) + PA ( ) = 1. Искомая вероятность P {X 1/2} = 1 P{X < 1/2} = 1 F (1/2). На интервале [1; 2) функция распределения F(x) = х/6, поэтому PX { } = 1 = Верный ответ: (а) F (1/ 2) = =. Тогда искомая вероятность

19 3.10. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью ( X 5) 2 1 f ( X ) = e 32. распределения вероятностей 4 2π Чему равна дисперсия этой нормально распределенной величины? а) 4; б) 16; в) 5. Плотность вероятности нормально распределенной случайной величины Х 2 с математическим ожиданием m X и дисперсией D X = σ X имеет вид ( X m ) 2 σ 2 X 1 2 X f( X) = e σ X 2π, где σ X среднеквадратичное отклонение СВ Х. 2 Стандартное отклонение σ X = 4; дисперсия СВ Х D X = σ X = 4 2 = 16. Верный ответ: (б) Плотность вероятности случайной величины Х, распределенной по экспоненциальному закону с параметром λ = 2, имеет вид: f x а) ( ) 2 f x б) ( ) 2 f x в) ( ) 2 0, x < 0, = x e, x 0. 0, x < 0, = x 2 e, x 0. 0, x < 0, = 1 x e, x 0. 2 Случайная величина Х называется распределенной по показательному (экспоненциальному) закону с параметром λ > 0, если она непрерывного типа и ее плотность распределения вероятностей задается формулой 0, x < 0, f ( x) = λ x λ e, x 0. Параметр λ = 2. Верный ответ: (б). 20

20 4. Выборочные случайные величины и их оценки 4.1. По выборке n = 200 построена гистограмма частот n i / b а 5 Чему равно значение а? x i а) 9; б) 10; в) 11. Гистограммой частот группированной выборки называется кусочнопостоянная функция, построенная на интервалах группировки и принимающая на каждом из них значения n i b, i = 1, 2,..., k соответственно. Площадь ступен- n i чатой фигуры под графиком гистограммы равна объему выборки n. Сумма b равна объему выборки, деленному на длину интервала группировки. По рисунку видно, что длина интервала b = 4 0 = 4. Просуммируем а + 5 = 200/4; 41+ а = 50; а = 9. Верный ответ: (а) Чему равна оценка математического ожидания выборочной случайной величины 1, 3, 1, 2, 2, 4, 1? а) 3; б) 2,3; в) 2. Математическое ожидание выборочной случайной величины или n * 1 выборочное среднее определяется по формуле mx = x = xj, где n объем 21 n j = 1 выборки. n = 7, M X = ( )/7 = 2. Верный ответ: (в).

21 4.3. Для какой выборки, представленной в виде группированного статистического ряда, построен полигон частот? , , , ,5 30 а) б) Границы интервалов Частоты Границы интервалов 0-12,5 12,5-17,5 17,5-22,5 22,5-27,5 Частоты в) нет правильного ответа. Полигоном частот называется ломаная с вершинами в точках (z i, n i b ), n i i = 1, 2,..., k; z i середина соответствующего интервала, частота, деленная b на длину интервала. Длина интервала b = 17,5 12,5 = 5. Середины интервалов z i : 12,5; 17,5; 22,5; 27,5. Вариант (б) не подходит. Определим частоты: для первого интервала (10; 15) n 1 = 45 = 20; для второго интервала (15; 20) п 3 = 3 5 = 15; п 4 = 1 5=5. Вариант (а) не подходит. Ответ (в). 22 n n n1 n1 4 b = 5 =, откуда ; 2 2 n1 b = 5 = = = 4.4. Как записывается эмпирическая функция распределения для выборочной случайной величины, заданной в виде статистического ряда? Варианта x i Частота n i 2 5 3

22 0, x 2, 0, 2, 2 < x 3, à) F( x) = 0,7, 3 < x 6, 1, x > 6. 0, x 2, 0, 2, 2 < x 3, á) F( x) = 0,5, 3 < x 6, 0,3, x > 6. 0, x < 0, 0, 2 + 0,5 x, 2 < x 3, â) F( x) = 0,5 + 0,3 x, 3 < x 6, 1, x > 6. Эмпирической функцией распределения называют функцию F * (x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события X< х: F * (x) = n x / n, где n x число вариант, меньших х; n объем выборки. Эмпирическая функция обладает следующими свойствами: значения F * (x) принадлежат отрезку [0; 1]; F * (x) неубывающая функция; если х 1 наименьшая варианта, а х k наибольшая, то F * (x)=0 при х х 1 и F * (x) = 1 при х > х k. Найдем объем выборки 3 n= ni = = 10. Наименьшая варианта равна i= 1 двум, поэтому F * (x) = 0 при х 2. Значение X < 3, а именно х 1 = 2, наблюдалось два раза, следовательно, F * (x) = 2/10 = 0,2 при 2 < х 3. Значения X < 6, а именно х 1 = 2 и х 2 = 3, наблюдались = 7 раз; следовательно, функция F * (x) = 7/10 = 0,7 при 4 < х 6. Так как х 3 = 6 наибольшая варианта, то F * (x) = 1 при х > 6. Искомая эмпирическая функция распределения имеет вид 0, x 1, 0, 2, 2 < x 3, F( x) = 0,7, 3 < x 6, 1, x > 6. Верный ответ: (а). 23

23 4.5. Какова несмещенная оценка дисперсии, если рассчитанная по выборке объемом 15 наблюдений выборочная дисперсия равна 28? а) 25; б) 29; в) 30. Для выборки х 1, х 2,..., х n, полученной из генеральной совокупности, 1 n n i = 1 выборочная дисперсия, рассчитываемая по формуле D ( ) 2 X = xi x, является смещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности. Несмещенная оценка дисперсии генеральной совокупности путем умножении D Х на * n 15 коэффициент смещения D X = DX = 28 = 30. n Верный ответ: (в) Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 7. Тогда его интервальная оценка может быть: а) (6,7; 10,7); б) (7; 8,2); в) (5,7; 8,3). Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр. Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью p покрывает заданный параметр. Доверительный интервал для математического ожидания записывается в виде xâ µ µ xâ + µ, где µ оцениваемый параметр, xâ выборочное математическое ожидание генеральной совокупности; среднее значение, точечная оценка математического ожидания; µ предельная ошибка доверительного интервала. Таким образом, доверительный интервал симметричный относительно выборочного среднего, величина отклонения равна µ : x â ± µ. Рассмотрим первый интервал (а), найдем величину µ : 7 6,7 = 0,3; 10,7 7 = 3,7. Получили разные предельные ошибки, ответ (а) не подходит. Второй доверительный интервал (б) не подходит, т. к. нижняя граница доверительного интервала совпадает с выборочной оценкой параметра. Для третьего интервала (в) предельная ошибка µ : 7 5,7 = 1,3; 8,3 7 = 1,3. Доверительный интервал можно представить в виде (7 ± 1,3). Верный ответ: (в). 24

24 5. Тестовые задания для самопроверки 5.1. Заданы множества А = {1, 3, 4}, В = {2, 3, 1, 4}, тогда для них будет неверным утверждением а) множество А есть подмножество множества В; б) множества А, В пересекаются; в) множество А не равно множеству В; г) А и В не имеют общих элементов Одновременно подбрасывают две монеты. События А = {первый раз выпал герб}, В = {оба раза выпали цифры}. Тогда верным для этих событий будет утверждение а) событие А тождественно событию В; б) А и В не имеют общих элементов; в) события А и В несовместны; г) А и В пересекаются Вероятность, что кубик упадет на грань «4» при условии, что выпадет число очков больше двух, равна: а) 1/6; б) 1/4; в) 1/ Электрическая цепь имеет вид, как на рисунке Событие А k = {элемент с номером k вышел из строя }, k = 1, 2, 3, 4. Как выражается событие В = {разрыв цепи) в алгебре событий А k? а) В = A 1 +A 2 +A 3 +A 4 ; б) В = A 1 +A 2 A 3 +A 4 ; в) В = A 1 (A 2 +A 3 ) A Сколько различных двузначных чисел можно составить из шести цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, если все цифры различны? а) 20; б) 30; в) Урна содержит 3 белых и 5 черных шаров. Вероятность достать первым черный шар, а вторым белый а) 3/28; 25

25 б) 15/56; в) 8/ СВ Х задана на отрезке [-11, 27]. Чему равна вероятность P(-7 < Х)? а) 34/38; б) 20/37; в) 25/ Количество перестановок в слове «МИР» равно: а) 6; б) 9; в) Наиболее вероятным числом выпадений герба при 4 бросаниях монеты является: а) 3 и 2; б) 4; в) Первый завод выпускает качественные станки с вероятностью 0,8; второй завод 0,7. На каждом заводе купили по одному станку. Вероятность того, что оба они качественные, равна: а) 0,87; б) 1,5; в) 0, Одновременно бросают четыре монеты. Какова вероятность, что все монеты выпадут одной стороной? а) 0,0005; б) 0,125; в) 0, Одновременно бросают 4 кубика. Какова вероятность, что сумма очков на кубиках не меньше 4? а) 0; б) 0,895; в) Сколько существует способов выбора трех карт из колоды в 36 карт, так чтобы среди них был один туз? а) 1244; б) 1984; в) Сколько существует четырехзначных чисел, в записи которых нет четных цифр? а) 294; 26

26 б) 625; в) Сколько возможно различных исходов при одновременном подбрасывании 4 игральных костей? а) 1024; б) 1296; в) Чему равна вероятность, что из двух проверенных изделий хотя бы одно окажется стандартным, если вероятность брака одного изделия составляет 0,1? а) 0,2; б) 0,99; в) 0, Имеются три партии деталей по 15 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 11, 13, 12. Какова вероятность, что наудачу извлеченная деталь окажется бракованной? а) 4/15; б) 11/15; в) 12/ ДСВ Х имеет закон распределения вероятностей Х i Р i 0,3 0,2 0,5 Чему равно значение математического ожидания М(Х)? а) 2,1; б) 3,6; в) 5, ДСВ Х имеет закон распределения вероятностей Х i Р i 0,4 0,3 0,2 0,1 Чему равно значение дисперсии D(Х)? а) 15,2; б) 10,24; в) 4, Как записывается эмпирическая функция распределения для выборочной случайной величины, заданной в виде статистического ряда? Х i Р i 0,2 0,4 0,3 0,1 27

27 0, x 1, 0, 2, 1 < x 2, à) F( x) = 0, 4, 2 < x 5, 0,6, 5 < x 6, 1, x > 6. 0, x 1, 0, 2, 1 < x 2, á) F( x) = 0,6, 2 < x 5, 0,9, 5 < x 6, 1, x > 6. 0, x 1, 0, 2, 1 < x 2, â) F( x) = 0, 4, 2 < x 5, 0,3, 5 < x 6, 0,1, x > Пусть X случайная величина с функцией распределения: 0, x 0, 0,3, 0 < x 2, F( x) = 0,8, 2 < x 5, 0,9, 5 < x 8, 1, x > 8. Как представить закон распределения СВ Х в виде таблицы? а) x i >8 p i = P{X = x i } 0 0,3 0,8 0,9 1 б) x i p i = P{X = x i } 0,3 0,8 0,9 1 в) x i p i = P{X = x i } 0,3 0,5 0,1 0,1 28

28 Библиографический список 1. Валеев С. Г. Теория вероятностей и математическая статистика. Уч. пособие. Ульяновск: изд-во УлГТУ, с. 2. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учеб. пособие / В. Е. Гмурман М. : Высш. шк., с. 3. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В. Е. Гмурман М. : Высш. шк., 2000 [и др. изд. по 2005 г.]. 479 с. 4. Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. Ч.4 : учеб. пособие для втузов / под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. М. : Изд-во Физматлит, с. 5. Теория вероятностей в примерах и задачах : учеб. пособие / В. Н. Калинина, В. А. Колемаев, В. И. Соловьев и др. М. : ГУУ, с. Учебное издание Тестовые задания по теории вероятностей и математической статистике ВАЛЕЕВ Султан Галимзянович КУРКИНА Светлана Владимировна Редактор Штаева М. Подписано в печать Формат 60х84/16. Тираж 100 экз. Ульяновский государственный технический университет , г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, 32. Типография УлГТУ, , ул. Сев. Венец,

Интернет-экзамен в сфере профессионального образования

Интернет-экзамен в сфере профессионального образования Интернет-экзамен в сфере профессионального образования Специальность: 230201.65 Информационные системы и технологии Дисциплина: Математика (ТВ и МС) Время выполнения теста: 20 минут Количество заданий:

Подробнее

m раз. Тогда m называется частотой, а отношение f = - относительной

m раз. Тогда m называется частотой, а отношение f = - относительной Лекция Теория вероятностей Основные понятия Эксперимент Частота Вероятность Теория вероятностей раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений Случайные события это события, которые при

Подробнее

X и значения k и c, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (a/2, b/2). Построить график функции распределения.

X и значения k и c, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (a/2, b/2). Построить график функции распределения. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1 Варианты контрольной работы

Подробнее

Число способов, которыми можно разбить 10 женщин на 5 групп по 3 1 женщине в каждой, равно числу неупорядоченных разбиений 2, 2, 2, 2, 2

Число способов, которыми можно разбить 10 женщин на 5 групп по 3 1 женщине в каждой, равно числу неупорядоченных разбиений 2, 2, 2, 2, 2 ВАРИАНТ.. Группа состоит из 5 мужчин и 0 женщин. Найти вероятность того, что при случайной группировке их на 5 групп по три человека в каждой группе будет мужчина. Решение: Для решения задачи будем использовать

Подробнее

9 Событие называется случайным, если в результате испытания оно. 10 Событие называется достоверным, если в результате испытания оно

9 Событие называется случайным, если в результате испытания оно. 10 Событие называется достоверным, если в результате испытания оно Теория вероятностей и математическая статистика _рус_3кр_зим_ибрагимова С.А._ССМ(2.4.очное) 1. Метаданные теста Автор теста: Ибрагимова С.А. (для студентов преподавателя Елшибаева) Название курса: Теория

Подробнее

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА Кафедра математики и информатики Математика Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 6 Элементы теории вероятностей и математической статистики

Подробнее

{ σ-алгебра - поле случайных событий - первая группа аксиом Колмогорова - вторая группа аксиом Колмогорова - основные формулы теории вероятностей -

{ σ-алгебра - поле случайных событий - первая группа аксиом Колмогорова - вторая группа аксиом Колмогорова - основные формулы теории вероятностей - { σ-алгебра - поле случайных событий - первая группа аксиом Колмогорова - вторая группа аксиом Колмогорова - основные формулы теории вероятностей - теорема сложения вероятностей - условная вероятность

Подробнее

Теория вероятностей. Методические указания к выполнению РГР. Для студентов ФТКиТ

Теория вероятностей. Методические указания к выполнению РГР. Для студентов ФТКиТ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

вероятность того, что произведение очков не превзойдет в) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов: , в) p 5

вероятность того, что произведение очков не превзойдет в) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов: , в) p 5 ) Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит N ; б) произведение числа очков не превосходит N ; в) произведение числа очков делится на N. Решение:

Подробнее

4. Теория вероятностей

4. Теория вероятностей 4. Теория вероятностей В контрольную работу по этой теме входят четыре задания. Приведем основные понятия теории вероятностей, необходимые для их выполнения. Для решения задач 50 50 необходимо знание темы

Подробнее

Контрольная работа по теории вероятностей. Задание 1

Контрольная работа по теории вероятностей. Задание 1 Контрольная работа по теории вероятностей Задание Задание Бросают три монеты Какова вероятность того, что выпадет хотя бы один «орел», и при этом первым будет «орел»? Решение При бросании «первой» монеты

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика Министерство образования и науки Российской Федерации Северный (Арктический) федеральный университет Кафедра математики Теория вероятностей и математическая статистика Методическое пособие по выполнению

Подробнее

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС. Предназначено для студентов специальности: ИС, ВТиПО 2к. 4г.о., ИС 1к. 2г.о., 1к. 3г.о.

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС. Предназначено для студентов специальности: ИС, ВТиПО 2к. 4г.о., ИС 1к. 2г.о., 1к. 3г.о. Автор теста: Искакова АМ Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС, ВТиПО 2к 4го, ИС 1к 2го, 1к 3го Текст вопроса/варианты ответа 1 2 События А и В называются противоположными,

Подробнее

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при осуществлении определенной совокупности условий. Обозначение: Ω (истина).

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при осуществлении определенной совокупности условий. Обозначение: Ω (истина). Достоверное событие. Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при осуществлении определенной совокупности условий. Обозначение: Ω (истина). Невозможное событие. Событие, которое

Подробнее

Печатается по решению кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета РГУ.

Печатается по решению кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета РГУ. Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кузнецов

Подробнее

Решение: Всего: = 16 карандашей в коробке. По классическому определению вероятности:

Решение: Всего: = 16 карандашей в коробке. По классическому определению вероятности: .8.. В коробке находятся синих, красных и зеленых карандашей. Одновременно вынимают карандашей. Найти вероятность того, что среди них будет синих и красных. Решение: Всего: + + = карандашей в коробке!

Подробнее

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Задание 1.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Задание 1. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Задание. Необходимо решить задачу соответствующую номеру Вашего варианта. В ящике находятся катушки четырех цветов: белых 5 красных зеленых синих 0. Какова вероятность того что наудачу

Подробнее

М.П. Харламов Конспект

М.П. Харламов  Конспект М.П. Харламов http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Конспект Теория вероятностей и математическая статистика Краткий конспект первого раздела (вопросы и ответы) Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов

Подробнее

Задание Из карточек с цифрами 1, 2, 3, 4, 5 выбирается наугад карточка с числом а, а затем карточка с числом в. Из них составляется дробь а/в.

Задание Из карточек с цифрами 1, 2, 3, 4, 5 выбирается наугад карточка с числом а, а затем карточка с числом в. Из них составляется дробь а/в. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Задание 1 1.1 Из карточек с цифрами 1, 2, 3, 4, 5 выбирается наугад карточка с числом а, а затем карточка с числом в. Из них составляется дробь а/в. Какова вероятность того, что эта

Подробнее

М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ИВАНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Составитель:

Подробнее

Вероятность. Что это? Теория вероятностей случайного события Как решать задачи: классическая вероятность Вероятностью события

Вероятность. Что это? Теория вероятностей случайного события Как решать задачи: классическая вероятность Вероятностью события Вероятность. Что это? Теория вероятностей, как следует из названия, имеет дело с вероятностями. Нас окружают множество вещей и явлений, о которых, как бы ни была развита наука, нельзя сделать точных прогнозов.

Подробнее

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 3. Методы определения вероятностей

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 3. Методы определения вероятностей МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 3 Методы определения вероятностей 0 Классическое определение вероятностей Любой из возможных результатов опыта назовем элементарным

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

Математика для экономистов

Математика для экономистов МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» УГТУ Математика для экономистов

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА задания на контрольную работу для студентов заочной формы обучения Задание. Необходимо решить задачу соответствующую номеру Вашего варианта. В ящике находятся

Подробнее

A первый взятый шар белого цвета; 24. Раздел 1. Случайные события. Литература. [4], гл. I; [5], гл 1 4.

A первый взятый шар белого цвета; 24. Раздел 1. Случайные события. Литература. [4], гл. I; [5], гл 1 4. Тема 2. Элементы теории вероятностей и математической статистики Раздел. Случайные события Литература. [4], гл. I; [5], гл 4. Основные вопросы.. Испытания и события, виды случайных событий, классическое

Подробнее

Уважаемые студенты! Внимание!

Уважаемые студенты! Внимание! Уважаемые студенты! Номер Вашего варианта контрольной работы определяется по номеру Вашей зачетной книжки. Откройте Вашу зачетную книжку и посмотрите на две последние цифры в её номере. Обозначим эти две

Подробнее

Теория вероятностей. Случайные события. Параграф 1: Общие понятия.

Теория вероятностей. Случайные события. Параграф 1: Общие понятия. Параграф : Общие понятия Теория вероятностей Случайные события Определение : Теория вероятностей математическая наука, изучающая количественные закономерности в случайных явлениях Теория вероятностей не

Подробнее

Кронштадтский б-р, д. 43А, Москва, Россия, , тел.: (495) , ; факс: (495)

Кронштадтский б-р, д. 43А, Москва, Россия, , тел.: (495) , ; факс: (495) Государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования города Москвы «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ИНДУСТРИИ ТУРИЗМА ИМЕНИ Ю.А.СЕНКЕВИЧА (ГАОУ ВПО МГИИТ имени

Подробнее

Контрольная работа по курсу Математика «Теория вероятностей и математическая статистика»

Контрольная работа по курсу Математика «Теория вероятностей и математическая статистика» Контрольная работа по курсу Математика «Теория вероятностей и математическая статистика» Вариант N 1 (X \ Z) (Y \ Z) Решить задачи: 2.В партии 1000 деталей, из них 20 дефектных. Какова вероятность того,

Подробнее

Тест 02. Б2.Б.1.3 Теория вероятности и математическая статистика шифр и наименование дисциплины по учебному плану направления подготовки

Тест 02. Б2.Б.1.3 Теория вероятности и математическая статистика шифр и наименование дисциплины по учебному плану направления подготовки Тест 01 1. Случайные события и их классификация. 2. Математическое ожидание случайной величины. 3. В ящике находятся 15 красных, 9 голубых и 6 зеленых шаров. Наудачу вынимают 6 шаров. Какова вероятность

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Ижевский государственный технический университет" ГЛАЗОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ

Подробнее

Формулы по теории вероятностей

Формулы по теории вероятностей Формулы по теории вероятностей I. Случайные события. Основные формулы комбинаторики а) перестановки P =! = 3...( ). б) размещения A m = ( )...( m + ). A! в) сочетания C = =. P ( )!!. Классическое определение

Подробнее

ТЕМА 3. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ТЕМА 3. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Операции над случайными событиями. Алгебра событий. Понятие совместности событий. Полная группа событий. Зависимость и независимость случайных событий. Условная

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика 4. Тип заданий Контрольные работы Количество этапов формирования компетенций

Теория вероятностей и математическая статистика 4. Тип заданий Контрольные работы Количество этапов формирования компетенций 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):. Кафедра Общие сведения. Направление подготовки Экономика Математики и математических методов в экономике

Подробнее

Е. В. Морозова. Теория вероятностей

Е. В. Морозова. Теория вероятностей Е. В. Морозова Теория вероятностей 0 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Вопросы к зачету по математике для студентов заочной формы обучения специальности Промышленное и гражданское строительство IV семестр

Вопросы к зачету по математике для студентов заочной формы обучения специальности Промышленное и гражданское строительство IV семестр Вопросы к зачету по математике для студентов заочной формы обучения специальности 270102.65 - Промышленное и гражданское строительство IV семестр Теория вероятностей и математическая статистика. 1. Элементы

Подробнее

Элементы математической статистики

Элементы математической статистики Элементы математической статистики Математическая статистика является частью общей прикладной математической дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», однако задачи, решаемые ею, носят

Подробнее

Основные положения теории вероятностей

Основные положения теории вероятностей Основные положения теории вероятностей Случайным относительно некоторых условий называется событие, которое при осуществлении этих условий может либо произойти, либо не произойти. Теория вероятностей имеет

Подробнее

Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем. 1.

Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем. 1. Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем.. Теория вероятности (задачи 7.0 7.80)... Теоремы умножения

Подробнее

УДК СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина. ОБСУЖДЕНО на заседании кафедры высшей математики

УДК СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина. ОБСУЖДЕНО на заседании кафедры высшей математики УДК 57. Теория вероятностей: программа учебной дисциплины и методические указания к выполнению контрольной работы / Сост. Л.В. Березина; РГАТУ имени П. А. Соловьева. Рыбинск, 0. 4 с. (Заочная форма обучения/

Подробнее

3 Операции над матрицами: сложение и вычитание

3 Операции над матрицами: сложение и вычитание Определение детерминанта матрицы Квадратная матрица состоит из одного элемента A = (a ). Определитель такой матрицы равен A = det(a) = a. ( ) a a Квадратная матрица 2 2 состоит из четырех элементов A =

Подробнее

ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ

ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ Аксиомы Колмогорова В 1933 г. А. Н. Колмогоров в книге «Основные понятия теории вероятностей» дал аксиоматическое обоснование теории вероятностей. «Это означает, что, после

Подробнее

Фонд оценочных средств по теории вероятностей и математической статистике

Фонд оценочных средств по теории вероятностей и математической статистике Вопросы к зачету Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» 1. Комбинаторика. 2. Вычисление вероятности (классическая модель). 3. Геометрическая вероятность. 4.Основные теоремы теории вероятностей

Подробнее

Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Теоремы сложения и умножения вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей. 1. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар черный или синий. 2. Три стрелка независимо

Подробнее

СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина

СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина УДК 57. Теория вероятностей и математическая статистика: программа учебной дисциплины и методические указания к выполнению контрольной работы / Сост. Л.В. Березина; РГАТУ имени П. А. Соловьева. Рыбинск,

Подробнее

2) если случайные события образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство P(A 1 + A A k )= P(A 1 )+ P(A 2 )+ + P(A k )=1

2) если случайные события образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство P(A 1 + A A k )= P(A 1 )+ P(A 2 )+ + P(A k )=1 13 Сложение и умножение вероятностей Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В Записывается: События А и В называются равными, если каждое из них является частным

Подробнее

Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей

Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей Лекция 3 Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей Содержание темы Алгебра событий. Теоремы сложения вероятностей. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей. Формула полной вероятности.

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Воронежский государственный аграрный университет имени императора Петра I» Гуманитарно-правовой факультет Кафедра высшей

Подробнее

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 5: ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 5: ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ

Подробнее

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

Подробнее

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций 2009 М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций Выполнил студент группы 712 ФАВТ А. В. Димент СПбГУКиТ Случайное событие всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти, и

Подробнее

игральных костях): C6 C6 а) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов:

игральных костях): C6 C6 а) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов: Задачник Чудесенко, теория вероятностей, вариант Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а сумма числа очков не превосходит N ; б произведение числа очков не превосходит N ; в

Подробнее

Предмет теории вероятностей

Предмет теории вероятностей Предмет теории вероятностей В различных разделах науки и техники нередко возникают ситуации, когда результат каждого из многих проводимых опытов заранее предугадать невозможно, однако можно исследовать

Подробнее

Выборки и их характеристики

Выборки и их характеристики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Теория вероятностей - раздел математики, изучающий закономерности, возникающие в случайных испытаниях. Исход испытания - случайный по отношению к испытанию, если в ходе этого

Подробнее

2. Действия над событиями

2. Действия над событиями Ответы 1.10. 14 17 = 238. 1.11. A 5 12 = 95040. 1.12. A3 7 = 7 3 = 343. 1.13. 6. 1.14. 4536. 1.15. 1120. 1.16. 720. 1.17. 125. 1.18. 165. 1.19. а) 126; б) 15. 1.20. P(4, 5, 6) = 630630. 1.21. а) P 4 =

Подробнее

Практическая работа 3 Алгебра событий. Сложение и умножение вероятностей

Практическая работа 3 Алгебра событий. Сложение и умножение вероятностей Практическая работа 3 Алгебра событий. Сложение и умножение вероятностей Цель работы: освоить вычисление вероятностей совместных событий, определение вероятности по формулам суммы и произведения. Оборудование

Подробнее

ТЕМА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КЛАССИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТИ

ТЕМА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КЛАССИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТИ ТЕМА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КЛАССИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТИ Предмет теории вероятностей. Понятие случайного события. Пространство элементарных событий. Классическое и геометрическое

Подробнее

Лекция 4 Тема. Содержание темы. Основные категории. Введение в случайные величины

Лекция 4 Тема. Содержание темы. Основные категории. Введение в случайные величины Лекция 4 Тема Введение в случайные величины Содержание темы Случайная величина. Понятия дискретной и непрерывной случайной величины. Ряд распределения дискретной случайной величины. Функция распределения,

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ. Институт управления и предпринимательства. Статистические методы анализа рынков Экзаменационные материалы

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ. Институт управления и предпринимательства. Статистические методы анализа рынков Экзаменационные материалы ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А.М. Горького» ИОНЦ «Бизнес информатика»

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКАЯ ГУМАНИТАРНАЯ АКАДЕМИЯ» Филиал в г. Тольятти ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Б.Б. Теория вероятностей и математическая статистика Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения. Кафедра Математики и математических

Подробнее

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ Отказы, возникающие в процессе испытаний или эксплуатации, могут быть различными факторами: рассеянием

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

ЗАНЯТИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ЗАНЯТИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ МИСИС 2013 УТВЕРЖДАЮ: Д.Е. Капуткин Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования гор.

Подробнее

Консультационный тренинговый центр «Резольвента»

Консультационный тренинговый центр «Резольвента» ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (95) 509-8-0 Консультационный тренинговый центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое

Подробнее

. Число случаев, когда среди этих двух шаров будут два белых, равно

. Число случаев, когда среди этих двух шаров будут два белых, равно 1.1. Классическое определение вероятности Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может

Подробнее

1. Формула классического определения вероятн

1. Формула классического определения вероятн ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ЗАДАЧИ. Оглавление (по темам) 1. Формула классического определения вероятности. Элементы комбинаторики. Геометрическая вероятность 4. Операции над событиями. Теоремы сложения и умножения

Подробнее

Учебник рассчитан на читателей, знакомых с курсом высшей математики в объеме дифференциального и интегрального исчисления функций одной переменной.

Учебник рассчитан на читателей, знакомых с курсом высшей математики в объеме дифференциального и интегрального исчисления функций одной переменной. Учебник рассчитан на читателей, знакомых с курсом высшей математики в объеме дифференциального и интегрального исчисления функций одной переменной. Представленный материал охватывает элементарные вопросы

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Российский химико-технологический университет им. Д.И.

Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Российский химико-технологический университет им. Д.И. Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева» Новомосковский институт (филиал) Теория вероятностей Методические указания

Подробнее

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева Е.Г. Основные определения и

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ "ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ". Составитель: В.П.Белкин

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Составитель: В.П.Белкин ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ "ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ" Составитель: ВПБелкин Занятие Классическая вероятность Пример Монета брошена два раза Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится "герб" Построить пространство

Подробнее

Введение в теорию вероятностей

Введение в теорию вероятностей Д.ф.-м.н., профессор Михаил Павлович Харламов Введение в теорию вероятностей УЗ-100 2011-2012 учебный год 2-й семестр 1 Тема: Комбинаторика Это раздел математики, изучающий комбинации и перестановки объектов

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра высшей математики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Задачи

Подробнее

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН Дисциплина Теория вероятностей и математическая статистика УЧЕБНЫЙ ПЛАН: Факультет Разработки нефтяных и газовых месторождений

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная академия культуры и искусств» Кафедра информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Контрольная работа по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» Для специальности «Финансы и кредит» Заочная форма обучения Вариант N 1

Контрольная работа по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» Для специальности «Финансы и кредит» Заочная форма обучения Вариант N 1 Контрольная работа по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» Для специальности «Финансы и кредит» Заочная форма обучения Вариант N 1 (X \ Z) (Y \ Z) 2.Среди 100 элементов находится 5 бракованных.

Подробнее

Формула полной вероятности.

Формула полной вероятности. Формула полной вероятности. Пусть имеется группа событий H 1, H 2,..., H n, обладающая следующими свойствами: 1) Все события попарно несовместны: H i H j =; i, j=1,2,...,n; ij 2) Их объединение образует

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Индивидуальные задания по теории вероятностей. Обязательные задачи., второй с вероятностью p. попадания в цель ровно 3 раза. 6).

Индивидуальные задания по теории вероятностей. Обязательные задачи., второй с вероятностью p. попадания в цель ровно 3 раза. 6). Индивидуальные задания по теории вероятностей. Обязательные задачи.. Имеется деталей, среди которых деталей первого сорта. Наудачу отобрано деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей

Подробнее

Тема: Статистические оценки параметров распределения

Тема: Статистические оценки параметров распределения Раздел: Теория вероятностей и математическая статистика Тема: Статистические оценки параметров распределения Лектор Пахомова Е.Г. 05 г. 5. Точечные статистические оценки параметров распределения Статистическое

Подробнее

Перейти на страницу с полной версией»

Перейти на страницу с полной версией» ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «Челябинская государственная академия культуры и искусства» Кафедра информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1. Кафедра. Направление подготовки. Дисциплина (модуль) Математики, физики и информационных

Подробнее

4. Методом моментов найти оценки параметров α и β плотности

4. Методом моментов найти оценки параметров α и β плотности Экзаменационный билет по курсу: ИБМ, 3-й семестр (поток Грешилова А.А.). Случайные события. Определение вероятности.. Найти распределение дискретной случайной величины ξ, принимающей значения x с вероятности

Подробнее

«Теория вероятностей и математическая статистика»

«Теория вероятностей и математическая статистика» Министерство общего и профессионального образования Свердловской области ГБОУ СПО СО «ЕКАТЕРИНБУРГСКИЙ КОЛЛЕДЖ ТРАНСПОРТНОГО СТРОИТЕЛЬСТВА» Программа учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая

Подробнее

«Теория вероятностей и математическая статистика»

«Теория вероятностей и математическая статистика» Министерство образования и науки Российской Федерации ФГОУ СПО ЕКАТЕРИНБУРГСКИЙ КОЛЛЕДЖ ТРАНСПОРТНОГО СТРОИТЕЛЬСТВА Рабочая программа учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика»

Подробнее

Определение. Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут. 6 Перестановки

Определение. Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут. 6 Перестановки 1 Основные понятия комбинаторики 1 Приложение Определение Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут Пример Вычислить 4! 3! n! 1 3 n 4!-3!= 1 3 4 1 3 4 18

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 5. Тема: Комбинаторика, введение в теорию вероятностей 1 Тема: Комбинаторика Комбинаторика это раздел математики, изучающий

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОДЕРЖАНИЕ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОДЕРЖАНИЕ. Основные определения и теоремы.... Сведения из комбинаторики..... События, их назначения и обозначения.3. Отношения между событиями 3.4. Вероятность события...3.5. Аксиомы

Подробнее

Х и, используя ее, найдите вероятности событий: х < 2;

Х и, используя ее, найдите вероятности событий: х < 2; СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 2016 1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, зная закон ее распределения: X 2 3 5 P 0,3 0,1 0,6 2. Из партии, содержащей

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Л.Г. Ветров, А.Л. Сунчалина, В.И. Тимонин

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Л.Г. Ветров, А.Л. Сунчалина, В.И. Тимонин Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Л.Г. Ветров, А.Л. Сунчалина, В.И. Тимонин Методические указания к выполнению типового расчета по теории вероятностей Москва ИздательствоМГТУ

Подробнее

Распределение числа успехов (появлений события A) носит название биномиального распределения.

Распределение числа успехов (появлений события A) носит название биномиального распределения. 1.6. Независимые испытания. Формула Бернулли При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и то же испытание повторяется многократно и исход каждого испытания

Подробнее

С k n = n! / (k! (n k)!)

С k n = n! / (k! (n k)!) ПРКТИКУМ Основные формулы комбинаторики Виды событий Действия над событиями Классическая вероятность Геометрическая вероятность Основные формулы комбинаторики Комбинаторика изучает количества комбинаций,

Подробнее

Контрольная работа 4

Контрольная работа 4 ВВЕДЕНИЕ Уважаемые студенты - заочники! В этой книжке Вы найдете контрольные задания и методические указания для их выполнения и для подготовки к экзамену по высшей математике. Для изучения материала Вам

Подробнее

Случайные величины. Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого промежутка.

Случайные величины. Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого промежутка. Случайные величины Определение. Величину называют случайной, если в результате испытания она примет лишь одно возможное значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин. Каждой случайной

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОДЕРЖАНИЕ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОДЕРЖАНИЕ. Основные определения и теоремы.... Сведения из комбинаторики..... События, их назначения и обозначения.3. Отношения между событиями 3.. Вероятность события...3.. Аксиомы

Подробнее

Случайные величины и законы их распределения

Случайные величины и законы их распределения Случайные величины и законы их распределения 9. Дискретные и непрерывные случайные величины Случайной называют величину, которая в результате опыта примет одно и только одно из возможных значений, заранее

Подробнее

ВОПРОСЫ ТЕСТА ЛЕКЦИЯ 1

ВОПРОСЫ ТЕСТА ЛЕКЦИЯ 1 ВОПРОСЫ ТЕСТА ЛЕКЦИЯ. Теория вероятностей изучает явления: сложные Б) детерминированные В) случайные Г) простые. Количественная мера объективной возможности это : опыт Б) вероятность В) событие Г) явление

Подробнее

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 7: СХЕМА БЕРНУЛЛИ

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 7: СХЕМА БЕРНУЛЛИ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ

Подробнее

Вопросы к зачету по математике. IV семестр

Вопросы к зачету по математике. IV семестр Вопросы к зачету по математике для студентов заочной формы обучения специальностей: 900. ААХ, 00. МОЛК, 900. СТТМО IV семестр Теория вероятностей и математическая статистика.. Элементы комбинаторики..

Подробнее