Предложение 1. Предложение 2.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Предложение 1. Предложение 2."

Транскрипт

1 2. ПРЯМОЕ ВВЕДЕНИЕ ПОРЯДКА В СИСТЕМЕ ПЕАНО В конце XIX века было завершено построение содержательных аксиоматических теорий двух важнейших областей математики - арифметики и евклидовой геометрии (Гильберт). Арифметика была аксиоматизирована немецким математиком Рихардом Дедекиндом и итальянским математиком и логиком Джузеппе Пеано. Последний в 1889 году предложил лаконичную аксиоматику натурального ряда. В качестве первичных понятий были выбраны: натуральное число, выделенное натуральное число 1 и унарная операция «взятия последующего числа» на множестве N натуральных чисел. Предполагается выполнение следующих трех аксиом. Р1. Р2. Р3. Если то M=N. Алгебраическая система (N, 1,'), удовлетворяющая аксиомам Р1, Р2, РЗ, называется системой Пеано. Любая конкретная система Пеано называется натуральным рядом. Аксиомы Р1-Р3 логически независимы друг от друга. Любые два натуральных ряда изоморфны, т.е. аксиоматика Пеано категорична. Непротиворечивость аксиоматики Пеано доказать (финитно) невозможно. Здесь может быть принят тезис Кронекера: Бог создал натуральные числа, а остальное (в математике) - дело человеческого разума. Аксиома Р1 утверждает, что число 1 не имеет «предшествующего элемента». Аксиома Р2 показывает, что операция ' инъективна. Аксиома РЗ - это принцип математической индукции, означающий отсутствие собственных подалгебр в системе Пеано. Как простые следствия аксиом получаются: Предложение 1. Предложение 2. 19

2 Замечание. В силу предложения 1 и аксиомы Р2 для каждого натурального числа п 1 существует единственное т такое, что m' = n; обозначив его `n, получим (`п)' = п и `(n') = п. При развитии теории Пеано далее обычно вводятся операции сложения и умножения натуральных чисел, даются индуктивные доказательства их свойств, определяется отношение порядка (через сложение), затем устанавливается возможность построений по индукции, доказывается категоричность и т.д. [1, 4, 5, 7, 10, 11]. Нередко рассматриваются модификации системы Пеано, сразу включающие в себя операции сложения и умножения, а то и отношение порядка [3, 6, 8, 9]. Наиболее четко теория Пеано изложена в книге [11]. Мы же попытаемся непосредственно ввести отношение порядка в системе Пеано, исходя из следующих понятий. Начальным отрезком, или просто отрезком, натуральных чисел называется произвольное множество A N, содержащее 1 и удовлетворяющее условию свойством Лучом натуральных чисел назовем всякое множество А N со Например, {1}, N - отрезки, а N и N\{1} - лучи. Если луч А содержит 1, то А = N по Р3. Из определений вытекает Предложение 3. Имеют место следующие утверждения: а) пересечение и объединение всякого непустого семейства отрезков (соответственно, лучей) в N являются отрезками (лучами); б) непустое подмножество А в N является отрезком тогда и только тогда, когда N\A есть луч. Пусть п N. Наименьший отрезок в N, содержащий п (пересечение всевозможных отрезков, содержащих п), называется отрезком, порожденным п, и обозначается [1, n]. Аналогично 20

3 определяется луч.[n, ), порожденный п. Легко видеть, что [1,1] = {1}и [1', ) = N\{1} Определение. Для любых т,п N положим Ясно, что бинарное отношение < на N рефлексивно и транзитивно. Покажем, что (N, <) - дискретное вполне упорядоченное множество. Для этого докажем следующую цепочку свойств отрезков. Запись т < п означает, что т<п и т п. Например, п<п' по предложению 2. Будем писать А В = Х, если А В = Х и А В= 01.[1, n] {n'} = [1, п'] для любого п N. 02.[п, ) = [n', ) {п} для любого п N. 03. [1, n) [n', ) = N для каждого п N. 04. Для любых т, п N выполняется ровно одно из соотношений: [1,т] [1,п] т = п или [1,п] [1,т]. 05. {k N :n<k<n'} = {n, n'} для каждого п N. 06.[1,n]={k N:k<n} и[n, )={k N: п<k} для любого п N. 07. Всякий отрезок в N, отличный от N, имеет вид [1, n] для некоторого однозначно определенного п N. 08. Всякий непустой луч в N имеет вид [n, ) для некоторого единственного п N. Доказательство свойств О1 - О8 то [1, n] О1. Поскольку [1, n] [1,n'] и [1, n] {n'} есть отрезок при n N, {n'} = [1,n']. Индукцией по л покажем, что n' [l, n]. В силу Р1 имеем 1' {l} = [l,l]. Предположим, что n' [l, n]. Если бы n'' [1,n'], то, учитывая n'' n' (предположение 2), получили бы n'' [1,n] и, следовательно, n' [l, n]: противоречие. 21

4 02. Так как и - луч, то [п, )=[n',. По предложению 3б) и свойству 01 N\[l, n] - луч, содержащий n'. Поэтому[n', N\[l, n] то есть [l, n] [n', ) = Значит, n [n', ) 03. Доказательство проведем индукцией по п. По Р3 получаем [l,l] [1', ) = N, причем 1 [1', ) в силу 02. Предположим, что [l, n] = N. По 01 и 02 имеем [l,n'] = [l,n] {n'} и [n'', )=[n', )\{n'} Откуда [l, n'] [n'', )=N. 04. Пусть даны т n из N. Требуется доказать, что либо [l,m] [l, п], либо [1,n] [l, m]. По 03 имеем [1,n] [n', ) = N. Поэтому либо т [l, п] либо т [n', ). Пусть т [1,n]. Поскольку т n, то существует `n. По 01 имеем [l, п] = [l,`n] {n}, то есть т [l,`n] и [l, m] [l,`n] [l, n]. Пусть теперь т Тогда существует `т и [т, Откуда [l, n] [l,`m] [1, т] в силу 03 и Вытекает из 01 и О Действительно, Второе равенство вытекает из первого на основании О3 и Рассмотрим отрезок А N. Существует л е А такое, что n' A. Поэтому [l, п] А. Предположим, что нашлось т е А\[l, n]. Тогда по 04 и Ol [l, n] [1,т] и [1,n'] [1,m] А, что противоречит n' А. Значит, А \ [1, n]=, и А = [l, n} Единственность п следует из 04. Свойство 08 вытекает из свойств 07 и 03. Свойство О4 показывает, что (N, <) - линейно упорядоченное множество с наименьшим элементом 1. Напомним некоторые порядковые понятия. Сечением линейно упорядоченного множества (X, <) называется пара (А, В) его непустых подмножеств, таких, что А В = Х и а<b для любых а А и b В. Линейно упорядоченное множество называется дискретным (дискретно упорядоченным), если для всякого его сечения (А, В) множество А 22

5 имеет наибольший элемент, а множество В обладает наименьшим элементом (такое сечение называется скачком). Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если каждое его непустое подмножество имеет наименьший элемент. Очевидно, что вполне упорядоченные множества линейно упорядочены. Теорема 1. Пусть (N, l, ') - система Пеано. Тогда (N, <) - дискретное вполне упорядоченное множество с наименьшим элементом 1, но без наибольшего элемента. Доказательство. Рассмотрим произвольное сечение (А, В) в N. Ясно, что А - собственный отрезок в N. По свойству О7 А = [1, п] для некоторого п N. В силу ОЗ B = [n', ). Тогда по О6 множество А обладает наибольшим элементом п, а множество В имеет наименьший элемент п'. Наконец, возьмем непустое подмножество С в N. Если 1 С, то С обладает наименьшим элементом. Пусть 1 С. Положим В={п N: т < п для некоторого т С] и A = N\B. В результате получаем сечение (А, В) дискретно упорядоченного множества (N,<). Поэтому множество B, а вместе с ним и С имеют наименьший элемент. Теоремa доказана. Упражнения 1. Докажите, что любой непустой луч в N имеет вид [п, )для некоторого однозначно определенного п N. 2. Убедитесь, что всякое дискретно упорядоченное множество с наименьшим элементом вполне упорядоченно. 3. Дайте описание всех дискретно упорядоченных множеств. 4. Покажите, что утверждение теоремы может быть принято за определение натурального ряда как упорядоченного множества [3]. 5. Пусть Х - линейно упорядоченное множество. Докажите, что любое ограниченное сверху непустое подмножество в X обладает точной верхней гранью тогда и только тогда, когда каждое сечение (А, В) в X имеет границу (рубеж), то есть элемент, являющийся 23

6 наибольшим в А или наименьшим в В. Может ли сечение иметь более одной границы? См. очерк 11. Рассмотрим вкратце возможное дальнейшее построение теории Пеано при нашем подходе. Полная упорядоченность системы Пеано (теорема 1) позволяет проводить индуктивное построение функций на N по заданным рекуррентным соотношениям [6, с ]. Именно доказывается Теорема 2 [11]. Пусть даны произвольное множество X, элемент X 0 Х и некоторая функция g:x N X. Тогда существует единственная функция f:n X, удовлетворяющая двум условиям: 1) f(1) = x 0 ; 2) f(n')=g(f(n) для каждого п N. Если (N, 1,') и (N, 1,') - системы Пеано, то при X=N, x o =1 и g(x, n) = х' получаем изоморфизм/ данных систем. Теорема 3. Любые две системы Пеано изоморфны. С помощью теоремы 2 легко определяются операции сложения и умножения в (N, 1, ) и развивается теория Грассмана (1861 год). Теорема 4. На N существует единственная бинарная операция +, называемая сложением, которая удовлетворяет соотношениям: 1) 2) Теорема 5. На N существует единственная бинарная операция., называемая умножением, которая обладает следующими свойствами: 1). 2) По индукции доказываются законы коммутативности, ассоциативности и сократимости операций сложения и умножения в N, а также дистрибутивность умножения относительно сложения. 24

7 Упражнение б. Определите в N бинарную операцию возведения в степень т п и докажите ее основные свойства. Затем выясняются связи между операциями сложения и умножения и отношением порядка в N. Имеют место утверждения: С1.. С2. С3. С4. Свойство С1 легко получается индукцией по k. Доказательство С2. Рассмотрим множества В = {т + k: к N} и M=[1,m] В для фиксированного т N. В силу Cl [l,m] B=. Очевидно 1 М. Пусть п М. Если п < т, то n' <, т и п' [l,m] M (см. свойства 04 и О5). А если п = m, то n'=m+1 B M. Если же п В, то есть п=т+k при некотором k N; то п'=т+k' В М. Следовательно, М = N по Р3. Откуда по 04 B = {n: т< п}, что и дает С2. Свойства С3 и С4 вытекают из С2. Суммируя сказанное, получаем-: Теорема 6. (N, 1,+,, <) дискретное вполне упорядоченное коммутативное полукольцо с единицей (но без нуля), удовлетворяющее законам сократимости. Несколько слов о понятиях конечного и бесконечного множеств. По Дедекинду, множество X называется бесконечным, если существует взаимно однозначное отображение X на некоторое его собственное подмножество, и конечным, если X не является бесконечным. Упражнение 7. Покажите, что для любого п N отрезок [l, n] является конечным множеством (по Дедекинду), а луч [п, ) - бесконечным. Если данное множество взаимно однозначно отображается на отрезок [l, n], n N, то говорят, что оно имеет п элементов. 25

8 Упражнение 8. Непустое множество конечно тогда и только тогда, когда оно имеет п элементов для некоторого п N. Системы целых, рациональных и комплексных чисел, а также кватернионы строятся в рамках «теории пар», восходящей к Гамильтону (1853 год). Грассман определял систему целых чисел как двусторонний натуральный ряд. Система действительных чисел строится методом Кантора через фундаментальные последовательности рациональных чисел или методом сечений Дедекинда (около 1870 года). Возможен также подход, при котором действительные числа определяются или строятся как бесконечные десятичные дроби [7]. Библиографический список 1. Арнольд И.В. Теоретическая арифметика. - М.: Учпедгиз, Вентомов Е.М. Прямой способ введения отношения порядка в системе Пеано// Математический вестник педвузов Волго-Вятского региона Вып С Гонин Е.Г. Теоретическая арифметика. - М.: Учпедгиз, Демидов И.Т. Основания арифметики. - М.: Изд-во Мин-ва просвещения РСФСР, Куликов Л.Я. Алгебра и теории чисел. - М: Высш. шк., Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. - М.: Наука, Ларин С.В. Числовые системы. - М.: Издат. центр «Академия», Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. Ч.1. - М: Просвещение, Нечаев В.И. Числовые системы. - М.: Просвещение, Проскуряков КВ. Числа и многочлены. - М.: АПН РСФСР, Феферман С. Числовые системы. - М.: Наука, Примечание. Очерк представляет собой несколько переработанную статью [2]. 26

Часть 1. Натуральные числа. Эта часть содержит три очерка, посвященные теории натуральных

Часть 1. Натуральные числа. Эта часть содержит три очерка, посвященные теории натуральных Часть 1 Натуральные числа Эта часть содержит три очерка, посвященные теории натуральных чисел, базирующейся, главным образом, Большое внимание уделено индуктивным процедурам. Число 1. СИСТЕМА ПЕАНО Введение

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ НАТУРАЛЬНЫЙ РЯД. Е. М. Вечтомов

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ НАТУРАЛЬНЫЙ РЯД. Е. М. Вечтомов 2012 Математика в высшем образовании 10 СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ УДК 51 НАТУРАЛЬНЫЙ РЯД Е. М. Вечтомов Вятский государственный гуманитарный университет Россия, 610002,

Подробнее

Введение в математическую логику

Введение в математическую логику Введение в математическую логику Лекция 11 В следующем разделе мы будем рассуждать в терминах содержательной теории множеств, а не в терминах формальной теории ZF. Полный порядок (содержательная теория

Подробнее

ДПП.Ф.9 Числовые системы

ДПП.Ф.9 Числовые системы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Новокузнецкий

Подробнее

Тема 1-4: Алгебраические операции

Тема 1-4: Алгебраические операции Тема 1-4: Алгебраические операции А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1

Подробнее

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина» Кафедра алгебры, геометрии и математического моделирования

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина» Кафедра алгебры, геометрии и математического моделирования УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина» алгебры, геометрии и математического моделирования О.В. Матысик Д.В. Грицук ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ Курс лекций для студентов

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ В пособии не излагается теория чисел а дан минимальный инструментарий из этой теории который в дальнейшем потребуется для изучения криптографических систем используемых

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов Введение в математическую логику и теорию алгоритмов Лекция 14. Теория множеств Цермело Френкеля. Наш предварительный план состоял в том, чтобы (1) выбрать язык для записи математических утверждений (в

Подробнее

ГЛАВА 5 МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

ГЛАВА 5 МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ГЛАВА 5 МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Из способов введения множества R действительных чисел рассмотрим два: индуктивный (индуктивно-аксиоматический), когда множество R строится путём последовательных

Подробнее

В. В. Расин ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

В. В. Расин ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА В. В. Расин ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА Екатеринбург 2005 Федеральное агенство по образованию Уральский государственный университет им. А. М. Горького В. В. Расин ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА Екатеринбург 2005 УДК 517.13(075.3)

Подробнее

Логика и Алгоритмы. Факультет математики ВШЭ, 1-й курс, осень 2012 г. Л.Д. Беклемишев. 1 Вполне упорядоченные множества и аксиома выбора

Логика и Алгоритмы. Факультет математики ВШЭ, 1-й курс, осень 2012 г. Л.Д. Беклемишев. 1 Вполне упорядоченные множества и аксиома выбора Логика и Алгоритмы Факультет математики ВШЭ, 1-й курс, осень 2012 г. Л.Д. Беклемишев 1 Вполне упорядоченные множества и аксиома выбора 1.1 Упорядоченные множества Строгим частичным порядком на множестве

Подробнее

Логика и Алгоритмы. Факультет математики ВШЭ, 1-й курс, осень 2013 г. Л.Д. Беклемишев

Логика и Алгоритмы. Факультет математики ВШЭ, 1-й курс, осень 2013 г. Л.Д. Беклемишев Логика и Алгоритмы Факультет математики ВШЭ, 1-й курс, осень 2013 г. Л.Д. Беклемишев 1 Аксиомы теории множеств Основными неопределяемыми понятиями теории множеств являются понятие множества и понятие быть

Подробнее

Математический анализ. Введение [1,3,4]

Математический анализ. Введение [1,3,4] I Краткие исторические сведения Математический анализ Введение [1,3,4] Математический анализ часть математики, в которой изучаются функции и их обобщения методами теории пределов Поскольку понятие предела

Подробнее

Тема 1-1: Введение. Метод математической индукции. Множества и операции над ними

Тема 1-1: Введение. Метод математической индукции. Множества и операции над ними Тема 1-1: Введение. Метод математической индукции. Множества и операции над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной

Подробнее

Математический анализ. Лекция II Счетные и несчетные множества

Математический анализ. Лекция II Счетные и несчетные множества Математический анализ Лекция II Счетные и несчетные множества Трушин Борис Викторович (Московский физико-технический институт) 4 сентября 2013 г TrushinBVru Счетные и несчетные множества 4 сентября 2013

Подробнее

Тема 2-1: Линейные пространства

Тема 2-1: Линейные пространства Тема 2-1: Линейные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Ткачев С.Б. каф. Математического моделирования МГТУ им. Н.Э. Баумана ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ИУ5 4 семестр, 2015 г. Лекция 10. АЛГЕБРЫ: ПОЛУКОЛЬЦА Определение 10.1. Полукольцо это алгебра с двумя бинарными

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет» Т.И. Ершова, Н.И. Смирнова, И.Л. Хмельницкий ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ Учебное пособие

Подробнее

Дискретная математика

Дискретная математика Дискретная математика Часть 1 ВЕ Алексеев 2014 Глава 1 Множества 11 Понятие множества Под множеством математики понимают соединение каких-либо объектов в одно целое Создатель теории множеств немецкий математик

Подробнее

Поле. Расширения полей

Поле. Расширения полей Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Поле. Расширения полей Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и доп.

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 2 семестр. Лекция N1 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Элементы теории множеств. Понятие множества. Операции над множествами

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 2 семестр. Лекция N1 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Элементы теории множеств. Понятие множества. Операции над множествами ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 2 семестр Лекция N1 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Элементы теории множеств "Множество есть многое, мыслимое нами как единое" Георг Кантор Понятие множества. Операции над множествами Множество

Подробнее

Математическая логика и теория алгоритмов

Математическая логика и теория алгоритмов Математическая логика и теория алгоритмов Лектор: А. Л. Семенов Лекция 2 Оглавление Теория множеств. Продолжение...1 Теория множеств. Пределы расширения...2 Гипотеза Континуума...3 Геометрия. Пятый постулат...4

Подробнее

Глава 0. Основы теории множеств и отображений.

Глава 0. Основы теории множеств и отображений. Глава 0. Основы теории множеств и отображений. 1. Множества. Логические символы. Операции над множествами. Два способа задания множеств: 1) перечисление, 2) указание характеристического свойства. Опр.0.1.1.

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ 1 Понятие множества. Операции над множествами В математике встречаются самые разнообразные множества. Можно говорить о множестве граней многогранника, множестве точек на прямой,

Подробнее

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ Понятие натурального числа является исходным понятием арифметики. Аксиомы натуральных чисел были

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ Понятие натурального числа является исходным понятием арифметики. Аксиомы натуральных чисел были НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ Понятие натурального числа является исходным понятием арифметики. Аксиомы натуральных чисел были сформулированы итальянским математиком Д. Пеано: 1. Для

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Частично упорядоченные множества (ЧУМ). Диаграмма ЧУМ. Максимальные, минимальные, наибольший и наименьший элементы. Цепи и антицепи, длина и ширина конечных ЧУМ. Теорема о разбиении ЧУМ на антицепи.

Подробнее

Теория Меры 2: мера Лебега

Теория Меры 2: мера Лебега Теория Меры 2: мера Лебега 2.1. Булевы алгебры Определение 2.1. Решетка это множество L, наделенное алгебраическими бинарными операциями и : L L L, которые удовлетворяют следующим условиям. а. Идемпотентность:

Подробнее

18. Отображения, отношения и лемма Цорна

18. Отображения, отношения и лемма Цорна 18. Отображения, отношения и лемма Цорна Вернемся еще раз к теории множеств будем надеяться, что последний раз в курсе анализа. Вы уже знакомы с понятием отображения множеств. Именно, отображение f : X

Подробнее

Определение 5.1. Кольцом R, +, называется множество R с двумя бинарными операциями + и такими,

Определение 5.1. Кольцом R, +, называется множество R с двумя бинарными операциями + и такими, 5 Конечные поля 5.1 Конечные поля Определение 5.1. Кольцом R, +, называется множество R с двумя бинарными операциями + и такими, что 1) R, + абелева группа; 2) операция ассоциативна, т. е. (a b) c = a

Подробнее

23. Полнота (продолжение)

23. Полнота (продолжение) 23. Полнота (продолжение) Завершим доказательство теоремы 22.5. Именно, покажем, что i(x) плотно в X. Так как пространства, о которых идет речь, метрические, нам достаточно проверить, что всякий элемент

Подробнее

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 1. Понятие множества Мы не будем здесь формулировать аксиомы теории множеств. Интересующие могут обратиться, например, к 1 тому курса «Математический анализ» В.

Подробнее

КУРС ЧИСЛОВЫХ СИСТЕМ ДЛЯ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ВУЗА. В. И. Игошин

КУРС ЧИСЛОВЫХ СИСТЕМ ДЛЯ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ВУЗА. В. И. Игошин 2010 Математика в высшем образовании 8 УДК 511 СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ КУРС ЧИСЛОВЫХ СИСТЕМ ДЛЯ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ВУЗА В. И. Игошин Саратовский государственный университет

Подробнее

В. В. Расин ЛЕКЦИИ ПО АЛГЕБРЕ. Элементы теории множеств. Натуральные и целые числа. Неравенства. Отображения множеств.

В. В. Расин ЛЕКЦИИ ПО АЛГЕБРЕ. Элементы теории множеств. Натуральные и целые числа. Неравенства. Отображения множеств. В. В. Расин ЛЕКЦИИ ПО АЛГЕБРЕ Элементы теории множеств. Натуральные и целые числа. Неравенства. Отображения множеств. Числовые функции Учебное пособие Екатеринбург 2011 Министерство науки и образования

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 4 4.1. Банаховы пространства Напомним, что последовательность (x n ) в метрическом пространстве (, ρ) называется фундаментальной (или последовательностью Коши),

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

Лекция 5. Топологические пространства и их свойства

Лекция 5. Топологические пространства и их свойства Лекция 5. Топологические пространства и их свойства Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 3 октября 2011 г. Определение топологического

Подробнее

2. Множества. смысле строится именно из него. 1 Хотя оно и пустое, но при формальном построении теории множеств все в некотором

2. Множества. смысле строится именно из него. 1 Хотя оно и пустое, но при формальном построении теории множеств все в некотором 2. Множества Эта и следующая лекция будут посвящены теоретико-множественному языку, которым пользуются все математики. Множество «начальное» математическое понятие, и потому этому понятию невозможно дать

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 6А Топологические пространства 2. Направленности. 1. Частичный порядок

ЛЕКЦИЯ 6А Топологические пространства 2. Направленности. 1. Частичный порядок ЛЕКЦИЯ 6А Топологические пространства 2. Направленности 1. Частичный порядок Напомним Определение. Говорят, что на множестве R задано отношение частичного порядка, если для некоторых пар (x, y) элементов

Подробнее

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция. Понятие множества. Определение функции основные свойства. Основные элементарные функции СОДЕРЖАНИЕ: Элементы теории множеств Множество вещественных чисел Числовая

Подробнее

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Конспект лекций

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Конспект лекций Югорский физико-математический лицей ВП Чуваков ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Конспект лекций ( 0 )(mod ) ( 0 )(mod ) Натуральные числа N,,,,,, - множество натуральных чисел, используемых для счета или перечисления

Подробнее

Лекции для групп (III-й поток) 5-й семестр. Лектор Гуров Сергей Исаевич

Лекции для групп (III-й поток) 5-й семестр. Лектор Гуров Сергей Исаевич ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА Лекции для групп 320 328 (III-й поток) 5-й семестр Лектор Гуров Сергей Исаевич ассистент Кропотов Дмитрий Александрович МГУ имени М.В. Ломоносова Факультет Вычислительной

Подробнее

Введение. a, b, c Z a b c =a b a c Нет делителей нуля -- a,b Z: a 0, b 0 a b 0

Введение. a, b, c Z a b c =a b a c Нет делителей нуля -- a,b Z: a 0, b 0 a b 0 Введение В начальной школе все мы знакомимся с множеством натуральных, а затем и целых чисел. Там же мы изучаем две базовые операции сложение и умножение, а также обратную операцию к сложению вычитание,

Подробнее

Лекция: Группы. Изоморфизм групп. Симметрическая группа перестановок. Подгруппы. Теорема Кэли.

Лекция: Группы. Изоморфизм групп. Симметрическая группа перестановок. Подгруппы. Теорема Кэли. Лекция: Группы. Изоморфизм групп. Симметрическая группа перестановок. Подгруппы. Теорема Кэли. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции по Избранным вопросам дискретной математики. 3-й курс,

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

Язык теории множеств Цермело Френкеля (ZF)

Язык теории множеств Цермело Френкеля (ZF) 1 Язык теории множеств Цермело Френкеля (ZF) Алфавит Переменные (по множествам) : a,b,... Предикатные символы:, = Логические связки:, ª, #,, Кванторы: Á, Ú Скобки: (, ) Формулы Атомарные: x y, x=y (где

Подробнее

Занятие 17. принципу индукции, мы уменьшаем число нужных «аксиом».

Занятие 17. принципу индукции, мы уменьшаем число нужных «аксиом». Занятие 17 Заметим сразу, что приводимые нами далее доказательства утверждений из Лекций особенно, в леммах 7, 9 и теореме 21 не требуется (но и не возбраняется) заучивать и «сдавать». Эти рассуждения

Подробнее

Дискретная математика

Дискретная математика Дискретная математика ЛИТЕРАТУРА. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. - М.: Наука, 979. 2. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженеров. М.: Энергоатомиздат, 988.

Подробнее

23. Базис векторного пространства

23. Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная

Подробнее

Тема 2-4: Подпространства

Тема 2-4: Подпространства Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Q и действительные R числа Натуральные и целые числа

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

Кольца и пространства максимальных идеалов

Кольца и пространства максимальных идеалов Кольца и пространства максимальных идеалов (курс топологии, лектор И.А. Тайманов) Как оказалось, в ряде важных случаев существует взаимно однозначное соответствие между алгебраическими и топологическими

Подробнее

Элементы общей алгебры. Алгебра, гомомофризм, изоморфизм, полугруппа, группа

Элементы общей алгебры. Алгебра, гомомофризм, изоморфизм, полугруппа, группа Элементы общей алгебры Алгебра, гомомофризм, изоморфизм, полугруппа, группа Алгебраическая операция На множестве А определена алгебраическая операция, если каждым двум элементам этого множества, взятым

Подробнее

Лекция 5 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение топологического пространства

Лекция 5 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение топологического пространства Лекция 5 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение топологического пространства Определение 1. Произвольное множество X с выделенной системой подмножеств τ множества X называется топологическим пространством

Подробнее

Алгебра, первый курс, четвертый модуль

Алгебра, первый курс, четвертый модуль Алгебра, первый курс, четвертый модуль Е. Ю. Смирнов Аннотация. Записки лекций по алгебре для первого курса факультета математики ВШЭ, весна 2013/14 учебного года 1. Первая лекция, 2 апреля 2014 г. В предыдущей

Подробнее

РЕШЕТКИ ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ НАСЛЕДСТВЕННЫХ СИСТЕМ Выплов М.Ю.

РЕШЕТКИ ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ НАСЛЕДСТВЕННЫХ СИСТЕМ Выплов М.Ю. 10 Труды 40 Молодежной школы-конференции РЕШЕТКИ ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ НАСЛЕДСТВЕННЫХ СИСТЕМ Выплов М.Ю. e-mail: vyplov@omsu.ru В данной работе показано, что любая непустая конечная решётка изоморфна решётке

Подробнее

ГЛАВА 1. Проективная геометрия

ГЛАВА 1. Проективная геометрия ГЛАВА 1. Проективная геометрия 1.1. Проективное пространство Пусть дано (n + 1)-мерное векторное пространство V ( 6.1, часть I) и непустое множество P произвольной природы. Говорят, что множество P наделено

Подробнее

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 9. Кольца. Теорема о конечном целостном кольце. Характеристика кольца. Кольцо многочленов. Наследование свойств кольца в кольце многочленов. Деление с остатком многочленов над полем. Лектор Селезнева

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 15 КОЛЬЦА ПОЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПОЛЯ

ЛЕКЦИЯ 15 КОЛЬЦА ПОЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПОЛЯ ЛЕКЦИЯ 15 КОЛЬЦА ПОЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПОЛЯ 1 КОЛЬЦА Определение 1. Пусть K непустое множество, на котором заданы две бинарные операции + (сложение) и (умножение), удовлетворяющие следующим свойствам: (1)

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА

ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА ЛЕКЦИЯ 6 ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА РАНГ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ 1 ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

Подробнее

Теория Галуа, лекция 3: тензорные произведения полей

Теория Галуа, лекция 3: тензорные произведения полей Теория Галуа, лекция 3: тензорные произведения полей Миша Вербицкий 1 февраля, 2013 матфак ВШЭ 1 Расширения полей (повторение) ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Расширение поля k есть поле K, содержащее k. Отношение «быть

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ СОДЕРЖАНИЕ. Лекция 5. Классификация функций 80 Лекция 6. Предел функции.. 98 Лекция 7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

ВВЕДЕНИЕ СОДЕРЖАНИЕ. Лекция 5. Классификация функций 80 Лекция 6. Предел функции.. 98 Лекция 7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 4 Тема 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Лекция 1 Множества 6 Лекция Числовые множества 14 Лекция 3 Грани числовых множеств 1 Лекция 4 Множество комплексных чисел 7 Тема ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Лекция

Подробнее

Тема 1-2: Элементы комбинаторики

Тема 1-2: Элементы комбинаторики Тема 1-2: Элементы комбинаторики А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1

Подробнее

Полнота, компактность, внутренние метрики.

Полнота, компактность, внутренние метрики. Тема 2 Полнота, компактность, внутренние метрики. 2.1 Сходимость и полнота Определение 2.1. Последовательность точек x 1, x 2,... метрического пространства (X, d) называется фундаментальной, если для любого

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

Б. М. ВЕРЕТЕННИКОВ В. И. БЕЛОУСОВА. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I Учебное пособие

Б. М. ВЕРЕТЕННИКОВ В. И. БЕЛОУСОВА. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I Учебное пособие Б. М. ВЕРЕТЕННИКОВ В. И. БЕЛОУСОВА ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I Учебное пособие Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России

Подробнее

УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ для студентов заочной формы обучения

УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ для студентов заочной формы обучения МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Забайкальский государственный университет»

Подробнее

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 2. Алгебра множеств.

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 2. Алгебра множеств. Доля П.Г. Харьковский Национальный Университет механико математический факультет 014 г. Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. Алгебра множеств..1 Понятие множества... 1. Операции над множествами...

Подробнее

Раздел 2. Бинарные отношения

Раздел 2. Бинарные отношения Раздел. Бинарные отношения В математике часто рассматриваются отношения между двумя элементами множества. Например, на множестве натуральных чисел есть отношение равенства (двух элементов), делимости,

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ МОДУЛЕЙ ЦИКЛИЧЕСКИЕ И СВОБОД- НЫЕ МОДУЛИ КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ МОДУЛЕЙ ЦИКЛИЧЕСКИЕ И СВОБОД- НЫЕ МОДУЛИ КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ ЛЕКЦИЯ 15 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ МОДУЛЕЙ ЦИКЛИЧЕСКИЕ И СВОБОД- НЫЕ МОДУЛИ КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ МОДУЛЕЙ На абелевы группы можно смотреть как на векторные пространства над Z. Аналогично

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 14 Одним из важнейших инвариантов линейного оператора является его спектр. Он содержит в себе хоть и не всю информацию об операторе, но весьма существенную

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

Меры на сигма-алгебрах.

Меры на сигма-алгебрах. Тема 2 Меры на сигма-алгебрах. Идея меры является далеко идущим обобщением первоначального представления о площади и объеме подмножеств R n. Естественные требования, предъявляемые к объему, таковы: объем

Подробнее

НЕРАВЕНСТВА МЕЖДУ РАДИУСАМИ СФЕР, СВЯЗАННЫХ С ВЫПУКЛОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ В. К. Ионин

НЕРАВЕНСТВА МЕЖДУ РАДИУСАМИ СФЕР, СВЯЗАННЫХ С ВЫПУКЛОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ В. К. Ионин Сибирский математический журнал Май июнь, 2001. Том 42, 3 УДК 514.17 НЕРАВЕНСТВА МЕЖДУ РАДИУСАМИ СФЕР, СВЯЗАННЫХ С ВЫПУКЛОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ В. К. Ионин Аннотация: Пусть выпуклой

Подробнее

Приложение 1. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ

Приложение 1. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ Приложение 1 ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ Для криптографии алгебра является одним из основных инструментов в теоретических исследованиях и практических построениях криптографических преобразований Поэтому в этом

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Кольца. Теорема о конечном целостном кольце. Кольцо многочленов. Подкольцо. Идеал кольца. Главный идеал кольца. Кольцо главных идеалов. Деление с остатком многочленов над полем. Теорема о кольце

Подробнее

Евклидовы кольца. Идеалы и факторкольца. Кольца главных идеалов

Евклидовы кольца. Идеалы и факторкольца. Кольца главных идеалов 1 ЛЕКЦИЯ 2 Евклидовы кольца. Идеалы и факторкольца. Кольца главных идеалов Для того, чтобы доказать, что каждый неразложимый элемент является простым, надо ввести следующее определение. Наибольшим общим

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского. Л. С. Горшкова М. В. Сорокина ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ.

Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского. Л. С. Горшкова М. В. Сорокина ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ. Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского Л. С. Горшкова М. В. Сорокина ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ Учебное пособие Пенза 2009 Печатается по решению редакционно-издательского совета

Подробнее

ГЛАВА 4 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ НА МНОЖЕСТВАХ

ГЛАВА 4 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ НА МНОЖЕСТВАХ ГЛАВА 4 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ НА МНОЖЕСТВАХ Групповые по Бурбаки структуры на множествах чаще называют алгебраическими структурами (см например [43]) хотя понятие группа является более широким в сравнении

Подробнее

Введение в математическую логику (oсень 2016)

Введение в математическую логику (oсень 2016) Введение в математическую логику (oсень 2016) В.Б. Шехтман Лекция 7 Языки первого порядка: семантика (продолжение) На прошлой лекции было дано определение значений замкнутых термов в модели (определение

Подробнее

7{8. Построение действительных чисел (продолжение)

7{8. Построение действительных чисел (продолжение) 7{8. Построение действительных чисел (продолжение) Теперь мы в состоянии определить деление действительных чисел. Для этого достаточно определить обратное к ненулевому числу. Всякое ненулевое действительное

Подробнее

22. Связность; полнота

22. Связность; полнота 22. Связность; полнота Эта лекция посвящена двум слабо связанным между собой темам из «абстрактной топологии» (по возможности, с конкретными приложениями). 22.1. Связность Предложение-определение 22.1.

Подробнее

Введение в математическую логику (oсень 2016)

Введение в математическую логику (oсень 2016) Введение в математическую логику (oсень 2016) В.Б. Шехтман Лекция 3 Нормальные формы Определение 10 Литерал это переменная или ее отрицание. Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) это дизьюнкция нескольких

Подробнее

Алгебраические структуры. Определение 2.1. Бинарной операцией на множестве X называется любое фиксированное отображение ϕ : X X X.

Алгебраические структуры. Определение 2.1. Бинарной операцией на множестве X называется любое фиксированное отображение ϕ : X X X. 76 Глава Алгебраические структуры Бинарные операции Определение.. Бинарной операцией на множестве X называется любое фиксированное отображение : X X X. Согласно этому определению, при задании бинарной

Подробнее

9. Кольца и алгебры (продолжение)

9. Кольца и алгебры (продолжение) 9. Кольца и алгебры (продолжение) Напомним определение кольца: R = (R;+, ) где (R;+) абелева группа (в аддитивной записи); (R; ) полугруппа; Выполнены тождества дистрибутивности: a(b+c) = ab+ac, (a+b)c

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5В Топологические пространства 3. Частичный порядок. Наименьшие топологии. Направленности. 1. Частичный порядок

ЛЕКЦИЯ 5В Топологические пространства 3. Частичный порядок. Наименьшие топологии. Направленности. 1. Частичный порядок ЛЕКЦИЯ 5В Топологические пространства 3. Частичный порядок. Наименьшие топологии. Направленности 1. Частичный порядок Напомним Определение. Говорят, что на множестве R задано отношение частичного порядка,

Подробнее

Т. В. Родина, Е. С. Трифанова

Т. В. Родина, Е. С. Трифанова Т В Родина, Е С Трифанова КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ I для напр «Прикладная математика и информатика» Учебное пособие под редакцией проф И Ю Попова Санкт Петербург МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

Подробнее

В.И.Арнаутов Г.Н.Ермакова. Введение в теорию топологических групп

В.И.Арнаутов Г.Н.Ермакова. Введение в теорию топологических групп ВИАрнаутов ГНЕрмакова Введение в теорию топологических групп Основой для этого издания послужил цикл лекций который читался одним из авторов на протяжении более лет по теории топологических групп для студентов

Подробнее

ЦИКЛИЧЕСКИЕ И СВОБОДНЫЕ МОДУ- ЛИ КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ ТЕОРЕМА О СОГЛАСОВАННЫХ БАЗИ- САХ

ЦИКЛИЧЕСКИЕ И СВОБОДНЫЕ МОДУ- ЛИ КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ ТЕОРЕМА О СОГЛАСОВАННЫХ БАЗИ- САХ ЛЕКЦИЯ 14 ЦИКЛИЧЕСКИЕ И СВОБОДНЫЕ МОДУ- ЛИ КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ ТЕОРЕМА О СОГЛАСОВАННЫХ БАЗИ- САХ ТЕОРЕМА О СТРОЕНИИ ЖОРДАНОВА ФОРМА 1 ЦИКЛИЧЕСКИЕ И СВОБОДНЫЕ МОДУЛИ Пусть M некоторый R-модуль. Для любого

Подробнее

1. Топологические пространства

1. Топологические пространства Топологические пространства Топологическое пространство Пусть - произвольное множество и τ = { I} U ; - некоторое семейство его подмножеств Определение Будем говорить, что семейство τ задаёт (определяет)

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ. Введение.

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ. Введение. ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Введение Множества и отображения Множества и действия над ними Языком современной математики является язык теории множеств Ее основателем считается немецкий математик

Подробнее

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 14 Выпуск 3 (2013)

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 14 Выпуск 3 (2013) ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 14 Выпуск 3 (2013) УДК 512.552+512.545 ПЕРВИЧНЫЙ РАДИКАЛ K-УПОРЯДОЧЕННЫХ АЛГЕБР КАК РАДИКАЛ В СМЫСЛЕ КУРОША Ю. В. Кочетова (г. Москва) Аннотация Рассматривается подход упорядочения

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПОЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ, АЛГЕБРА КВАТЕРНИОНОВ

ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПОЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ, АЛГЕБРА КВАТЕРНИОНОВ ЛЕКЦИЯ 18 ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПОЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ, АЛГЕБРА КВАТЕРНИОНОВ 1 ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПОЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА Предложение 1. Пусть P (α) расширение поля P, полученное

Подробнее

РЕКОМЕНДОВАНА К УТВЕРЖДЕНИЮ В КАЧЕСТВЕ ТИПОВОЙ:

РЕКОМЕНДОВАНА К УТВЕРЖДЕНИЮ В КАЧЕСТВЕ ТИПОВОЙ: Министерство образования Республики Беларусь Учебно-методическое объединение-высших учебных заведений Республики Беларусь но педагогическому образованию ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ Типовая учебная программа для высших

Подробнее

Компьютерная алгебра. (курс лекций) Игорь Алексеевич Малышев

Компьютерная алгебра. (курс лекций) Игорь Алексеевич Малышев Компьютерная алгебра (курс лекций) Игорь Алексеевич Малышев Computer.Algebra@yandex.ru (С) Кафедра «Компьютерные системы и программные технологии», Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Подробнее