Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Теоремы о структуре общего решения линейного однородного и линейного неоднородного уравнений -го порядка Методические указания для практических занятий Новокузнецк 04

2 УДК 579(07) Л 59 Рецензент доктор физико-математических наук, доцент кафедры физики имени профессора ВМ Финкеля СибГИУ Коваленко ВВ Л 59 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Теоремы о структуре общего решения линейного однородного и линейного неоднородного уравнений -го порядка: метод указ / Сиб гос индустр ун-т сост ЕВ Сараханова Новокузнецк : Изд центр СибГИУ, 04 0 с Изложена краткая теория, рассмотрены примеры решения линейного однородного и линейного неоднородного дифференциальных уравнений -го порядка, приведены задания для самостоятельного решения Предназначены для студентов всех специальностей и направлений подготовки Печатается по решению Совета Института фундаментального образования

3 Теоретические сведения Линейным дифференциальным уравнением -го порядка называется уравнение вида a 0 a a a f, () где a 0 0, a,, a, a, f - заданные функции Оно содержит искомую функцию и все ее производные лишь в первой степени Функции a 0, a,, a, a называются коэффициентами уравнения (), а функция f - его свободным членом Если свободный член f 0, то уравнение () называется линейным однородным уравнением если f 0, то уравнение () называется линейным неоднородным уравнением Линейные однородные дифференциальные уравнения Линейные однородные ДУ второго порядка Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) второго порядка: a 0 a a 0 () и установим некоторые его свойства и Теорема Если функции являются частными решениями уравнения (), то решением этого уравнения является также функция, () где и - произвольные постоянные и Функции называются линейно независимыми на интервале a b, если равенство 0, где, R, выполняется тогда и только тогда, когда 0 Если хотя бы одно из чисел или отлично от нуля и выполняется равенство 0, то функции и называются линейно зависимыми на интервале a b

4 Средством изучения линейной зависимости системы функций является так называемый определитель Вронского или вронскиан (Ю Вронский польский математик) Для двух дифференцируемых функций и вронскиан имеет вид W Теорема Если дифференцируемые функции и линейно зависимы на интервале a b, то определитель Вронского на этом интервале тождественно равен нулю Теорема Если функции и решения уравнения () на интервале b линейно независимые a, то определитель Вронского на этом интервале нигде не обращается в нуль Совокупность любых двух линейно независимых на интервале a b частных решений и ЛОДУ второго порядка определяет фундаментальную систему решений этого уравнения: любое решение может быть получено как комбинация Теорема 4 (структура общего решения ЛОДУ второго порядка) Если два частных решения и ЛОДУ () образуют на интервале a b фундаментальную систему, то общим решением этого уравнения является функция, (4) где и - произвольные постоянные Пример Частные решения si и os, si и 4 5os (их бесконечное множество) уравнения 0 образуют фундаментальную систему решений решения же 5 0 и 6 os - не образуют фундаментальной системы На основании теоремы общим решением уравнения 0 является функция si os 4

5 Линейные однородные ДУ -го порядка Написанное выше можно распространить на линейные однородные дифференциальные уравнения -го порядка имеющие вид: a a a a (5) 0 0 Если функции,,, являются частными решениями уравнения (5), то его решением является и функция Функции,,, называются линейно независимыми на интервале a b, если равенство 0 выполняется лишь в случае, когда все числа 0 в противном случае (если хотя бы одно из чисел i не равно нулю) функции,,, - линейно зависимы Определитель Вронского имеет вид W 4 Частные решения,,, уравнения (5) образуют фундаментальную систему решений на интервале a b, если ни в одной точке этого интервала вронскиан не обращается в нуль, те a b W 0 для всех 5 Общее решение ЛОДУ(5) имеет вид, где i ( i,, ) произвольные постоянные, i - частные решения уравнения (5), образующие фундаментальную систему Пример Показать, что функции,, образуют фундаментальную систему решений некоторого ЛОДУ третьего порядка 5

6 Решение: Найдем W W : Ясно, что W 0 для всех R Следовательно, данные функции образуют фундаментальную систему решений некоторого ЛОДУ третьего порядка Интегрирование ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами Частным случаем рассмотренных выше линейных однородных дифференциальных уравнений являются ЛОДУ с постоянными коэффициентами Пусть дано ЛОДУ второго порядка p q 0, (6) где p и q постоянные Для нахождения общего решения уравнения (6) достаточно найти два его частных решения, образующих фундаментальную систему (см теорему 4) k Будем искать частные решения уравнения (6) в виде, где k - некоторое число (предложено Л Эйлером) Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения, и в уравнение k (6), получим: p k q 0 k k k, те k p k q 0 k k, или k p k q 0 ( 0) (7) Уравнение (7) называется характеристическим уравнением ДУ (6) (для его составления достаточно в уравнении (6) заменить, и соответственно на k, k и ) При решении характеристического уравнения (7) возможны следующие три случая 6

7 Случай Корни характеристического уравнения (7) k и k действительные и различные: k k ( D 0) В этом случае частными решениями уравнения (6) являются k функции и k Они образуют фундаментальную систему решений, тк их вронскиан k k k k k k W k k 0 k k k k k k Следовательно, общее решение уравнения (6), согласно формуле (4), имеет вид k k (8) Случай Корни характеристического уравнения (7) k и k действительные и равные: k k ( D 0) k В этом случае частное решение Наряду с решением k уравнения (6) будет и (при подстановке в уравнение (6) k оно обращается в верное равенство) Частные решения и k образуют фундаментальную систему решений: k k k k W k k 0 k k k k Следовательно, в этом случае общее решение ЛОДУ (6) имеет вид k k (9) Случай Корни характеристического уравнения (7) k и k комплексно-сопряженные числа: k, i ( D 0) В этом случае частными решениями уравнения (6) являются i os isi, i os isi Линейные комбинации решений и : ~ os и ~ si i образуют фундаментальную систему решений, тк W 0 Поэтому общее решение уравнения (6) запишется в виде os si (0) 7

8 Таким образом, нахождение решения ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами (6) сводится к нахождению корней характеристического уравнения (7) и использованию формул (8), (9), (0) общего решения уравнения (не прибегая к вычислению интегралов) Пример Решить уравнение Решение: Составим характеристическое уравнение: k 5k 6 0 Решаем его: k и k Записываем общее решение данного уравнения: произвольные постоянные Пример Решить уравнение 6 5 0, где и - Решение: Характеристическое уравнение: k 6k 5 0 Решаем его: k 4i По формуле (0) получаем общее решение уравнения:, os4 si 4 4 Интегрирование ЛОДУ -го порядка с постоянными коэффициентами Задача нахождения общего решения ЛОДУ -го порядка ( ) с постоянными коэффициентами p p p p 0, () где p i постоянные числа, i,, решается аналогично случаю уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами k Частные решения уравнения () также ищем в виде, где k - постоянное число Характеристическим для уравнением () является алгебраическое уравнение -го порядка вида k pk pk p k p 0 () Уравнение () имеет корней (в их числе могут быть и комплексные) Обозначим их через k, k,, k Замечание Не все из корней уравнения () обязаны быть различными Если уравнение имеет два равных корня, в этом случае говорят, что корень один и имеет кратность m Если кратность корня равна единице m, его называют простым 8

9 Случай Все корни уравнения () действительные и просты k (различны) Тогда функции, k,, k являются частными решениями уравнения () и образуют фундаментальную систему решений Поэтому общее решение уравнения () записывается в виде k k k Случай Все корни характеристического уравнения действительные, но не все простые (есть корни, имеющие кратность m ) Тогда каждому простому корню k соответствует одно частное k решение вида, а каждому корню кратности m соответствует m k k k частных решений:,,,, m k Случай Среди корней уравнения (7) есть комплексносопряженные корни Тогда каждой паре i простых комплексносопряженных корней соответствует два частных решения os и si, а каждой паре i корней кратности m соответствуют m частных решений вида os, os, os,, m os si, si, si,, m si Эти решения образуют фундаментальную систему решений Пример Найти общее решение уравнения 0 Решение: Характеристическое уравнение k k k 0 имеет корни k, k, k Следовательно, общее решение данного уравнения Пример Решить уравнение IV 5 0 Решение: Характеристическое уравнение 4 k k k 5k k k 0 имеет корни k, k, k, k 4 Следовательно, 4 общее решение уравнения V Пример Решить уравнение 0 Решение: Характеристическое уравнение IV 9

10 5 4 4 k k k 0 k k k k k имеет корни k, k i, k i, k4 i, k5 i Следовательно, os si 4 os 5 si - общее решение уравнения Задания для самостоятельного решения Найти общие решения уравнений ) ) ) 0 4) ) 4 0 6) 4 0 7) 8 0 8) 6 0 9) 0 0) IV 6 0 ) IV ) 6 0 ) ) IV 4 0 5) 8 0 Найти решения уравнений, удовлетворяющие заданным начальным или краевым условиям 6) 0 0, 0, , 0 6, 0 0 7) 8) 9) 4 9 0, 0 0, 0 5 0, 0, 0 0, 0 9 0, 0 0, 4 0) IV Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Линейные неоднородные ДУ второго порядка Рассмотрим ЛНДУ второго порядка a0 a a f, () где a 0 0, a, a, f - заданные, непрерывные на a b функции Уравнение a 0 a a 0, (4) левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ (), называется соответствующим ему однородным уравнением 0

11 Теорема (структура общего решения ЛНДУ) Общим решением уравнения () является сумма его произвольного частного решения и его общего решения ˆ соответствующего однородного уравнения (4), те ˆ (5) При нахождении частных решений ЛНДУ может быть полезной следующая теорема Теорема (о наложении решений) Если правая часть уравнения () представляет собой сумму двух функций: f f, а и - частные решения уравнений a a f и a a f f a0 соответственно, то функция уравнения a0 является решением данного Метод вариации произвольных постоянных Рассмотрим ЛНДУ () Его общим решением является функция (5), те ˆ Частное решение уравнения () можно найти, если известно общее решение ŷ соответствующего однородного уравнения (4), методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа), состоящий в следующем Пусть ˆ - общее решение уравнения (4) Заменим в общем решении постоянные и неизвестными функциями и и поберем их так, чтобы функция (6) была решением уравнения () Функция (6) будет частным решением уравнения (), если функции и удовлетворяют системе уравнений: 0, (7) f Определитель системы W 0 Поэтому система (7) и имеет единственное решение: и, где

12 и - некоторые функции от Интегрируя эти функции, находим, а затем по формуле (6) составляем частное решение уравнения () Пример Найти общее решение уравнения os Решение: Найдем общее решение ŷ соответствующего однородного уравнения 0 Имеем: k 0, k i, k i Следовательно, os si Найдем теперь частное решением ˆ исходного уравнения Оно ищется в виде (6): si Для нахождения и os составляем систему уравнений вида (7): os si 0, si os os os si Решаем ее: os si, si os 0 si os 0 tg, os si os os tg, tgd l os, d Запишем частное решение уравнения: l os os si Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид os si l os os si ˆ Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, те уравнение p q f, (8) где p и q постоянные

13 Согласно теореме, общее решение уравнения (8) представляет собой сумму общего решения ŷ соответствующего ему однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения Частное решение уравнения (8) может быть найдено методом вариации произвольных постоянных Для уравнений с постоянными коэффициентами (8) существует более простой способ нахождения, если правая часть f уравнения (8) имеет так называемый «специальный вид»: P Q f os m si (9) Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициентов, состоит в следующем: по виду правой части f уравнения (8) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение (8) и из полученного тождества находят значения коэффициентов Запишем уравнение (8) в виде Частное решение p q r P os Q si уравнения (9) следует искать в виде m (0) Ml os Nl si, () где r - число, равное кратности i как корня характеристи- ческого уравнения k p k q 0, M l и степени l с неопределенными коэффициентами, l ma m, наивысшая степень многочленов P m и Q Возможны более простые случаи f и I Если 0, то f r P и M N l - многочлены - m, где r - число, равное кратности корня характеристического уравнения k p k q 0 II Если 0, то f P os Q si и r Ml os Nl si, где r - число, равное кратности корня i характеристического уравнения III Если 0 f P Mm, где r - число, равное кратности корня 0 характеристического уравнения, то и r m

14 Замечания После подстановки () в (0) приравнивают многочлены, стоящие перед одноименными тригонометрическими функциями в левой и правой частях уравнения Форма () сохраняется и в тех случаях, когда один из многочленов P m 0 или Q 0 Если правая часть уравнения (8) есть сумма функций специального вида, то для нахождения следует использовать теорему о наложении решений Пример Решить уравнение 4 Решение: Найдем общее решение ŷ ЛОДУ 0 Характеристическое уравнение k k 0 имеет корень k кратности Значит, ˆ Находим частное решением исходного уравнения Правая часть уравнения - сумма функций специального вида f f f, где f 4, f Воспользуемся теоремой о наложении решений Находим частное решением уравнения 4, f 4 P, характеристическое уравнение не имеет корня 0, 0 r 0 Поэтому M A B, где A и B - неопределенные коэффициенты Тогда A, 0 Подставив в уравнение 4, получим A A B 4, или A B A 4 Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему уравнений: A, B A 4 Отсюда A, B Поэтому частное решение Находим частное решением P уравнения, f 0, характеристическое уравнение имеет корень кратности r Поэтому N0 C, где C - неопределенный коэффициент Тогда С, С 4 Подставив в уравнение, 4

15 получим С 4 С С, или С, C Поэтому частное решение Следовательно, ˆ - искомое общее решение уравнения Пример Решить уравнение 4 40os Решение: Общее решение ЛНДУ имеет вид ˆ Найдем общее решение однородного уравнения ŷ : 4 0 Характеристическое уравнение k 4k 0 имеет корни k i и k i Следовательно, ˆ os si Находим частное решением Правая часть ЛНДУ имеет вид f 40os 40os 0si Так как i i не совпадает с корнем характеристического уравнения, то r 0 Тогда частное решение Aos Bsi, Asi Bos, 9Aos 9Bsi Подставив функцию и ее производные в дифференциальное уравнение, получим 9Aos 9Bsi 4 Asi Bos A os Bsi 40os, или 9AB Aos 9B A Bsi 40os 0si Получаем систему: 4A B 40, Отсюда A, B Поэтому A 4B 0 частное решение os si Следовательно, общее решение уравнения ˆ os si os si 4 Интегрирование ЛНДУ -го порядка ( ) Рассмотрим линейное неоднородное ДУ -го ( ) порядка a 0 a a a 0, где a 0 0, a,, a, a, f - заданные непрерывные на a b функции Соответствующее ему однородное уравнением имеет вид 5

16 6 0 0 a a a a Теорема (структура общего решения ЛНДУ -го порядка) Общее решение ЛНДУ -го порядка равно сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения ŷ соответствующего ему однородного уравнения, те ˆ Частное решение ЛНДУ -го порядка может быть найдено, если известно общее решение ŷ однородного уравнения, методом вариации произвольных постоянных Оно ищется в виде () где i - частные решения однородного уравнения, образующие фундаментальную систему, i, Система уравнений для нахождения неизвестных функций i имеет вид: 0, 0, 0, f Однако для ЛНДУ -го порядка с постоянными коэффициентами, правая часть которого имеет специальный вид, частное решение может быть найдено методом неопределенных коэффициентов Метод подбора частного решения уравнения f p p p p, где i p постоянные числа, i,, а правая часть f имеет специальный вид (9), описанный для случая, переносится без всякого изменения и на случай уравнения, имеющего порядок Пример Решить уравнение IV Решение: Находим ŷ : 0 4 k k, 0 k k k k,

17 Находим k 0, k, k,4 i, ˆ os 4 si f P, количество корней равных 0 r, M A B A, A B, : тогда B A, III 0, IV 0 Подставив функцию и ее производные в дифференциальное уравнение, получим A B Отсюда A, B 0 и получаем Следовательно, функция ˆ os является общим решением уравнения 4 si Задания для самостоятельного решения Найти общие решения уравнений ) ) ) tg 0 4) 5) 4 6) 4 5 si os 7) 4 4 l 8) tg 9) 0) 6 8 ) ) ) 7 6 si 4) si 5) 6) 7) 5 4 si Найти решения уравнений, удовлетворяющие заданным начальным или краевым условиям 4 8 6, 0 0, 0 8) 9), 0 0 V IV 7

18 4 os, si si, 0 0 0) ) ), 0 0 ), 0, Ответы ) ) ) 4 4) os si 5) 6) os si 4 7) 8) os si 9) 0) 4 ) os si os 4 si ) os 4 si ) 4) os 4 si 5) os si 6) os 7) 4 8) si5 9) os 0) si 4 ) l artg ) l 4 ) os si os l tg 4) l 5) os si os l si tg si 6) os si os l os si l 7) 4 8

19 os si os l tg 4 8) 9) l 4 0) ) os si ) 4 6 5si 7os ) 74 4) 4 4 os 5 5) 4 os 5 si 60 6) 6 7) os si os 4 si 0,5 os 8) 0,5 4 9) 0) 4 si 6 ) os os si ) 8 8 ) 4 Библиографический список Письменный Л Т Конспект лекций по высшей математике Полный курс / Л Т Письменный Москва : Айрис Пресс, с Берман Г Н Сборник задач по курсу математического анализа Изд 8-е / Г Н Берман Москва : Наука, с Данко П Е Высшая математика в упражнениях и задачах Т / П Е Данко, А Г Попов, Т Я Кожевникова Москва : Высшая школа, с 9

20 Учебное издание Составитель Сараханова Елена Владимировна Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Теоремы о структуре общего решения линейного однородного и линейного неоднородного уравнений -го порядка Методические указания для практических занятий Напечатано в полном соответствии с авторским оригиналом Подписано в печать 004г Формат бумаги 60х84 /6 Бумага писчая Печать офсетная Усл-печ,6 л Уч-изд,0 л Тираж 50 экз Заказ Сибирский государственный индустриальный университет , г Новокузнецк, ул Кирова, 4 Типография СибГИУ 0

Правило Лопиталя. Методические указания для практических занятий. Министерство образования и науки Российской Федерации

Правило Лопиталя. Методические указания для практических занятий. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Тригонометрические ряды Фурье

Тригонометрические ряды Фурье Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Определенный интеграл

Определенный интеграл Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Область определения функций нескольких переменных

Область определения функций нескольких переменных Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

Кафедра высшей математики. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Кафедра высшей математики. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Кафедра высшей математики ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПО ФОРМУЛЕ НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Кафедра высшей математики ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПО ФОРМУЛЕ НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Выборки и их характеристики

Выборки и их характеристики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Очная форма обучения. Бакалавры. I курс,2 семестр. Направление «Техносферная безопасность» Дисциплина - «Высшая математика».

Очная форма обучения. Бакалавры. I курс,2 семестр. Направление «Техносферная безопасность» Дисциплина - «Высшая математика». Очная форма обучения. Бакалавры. I курс,2 семестр. Направление 280700 «Техносферная безопасность» Дисциплина - «Высшая математика». Содержание Содержание... 1 Лекции... 1 Практические занятия... 3 Литература...

Подробнее

Производная функции, её геометрический и механический смысл.

Производная функции, её геометрический и механический смысл. Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет» ВИ Фомин ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) В М Ипатова О А Пыркова В Н Седов ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ второе

Подробнее

Т. Н. Матыцина ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ. Практикум

Т. Н. Матыцина ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ. Практикум МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Костромской государственный университет имени Н. А. Некрасова Т. Н. Матыцина ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ Практикум Кострома

Подробнее

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы Лекция 3: Однородные и неоднородные системы линейных уравнений Система линейных уравнений Определение Линейным уравнением (или уравнением первого порядка) с n неизвестными x 1, x 2,..., x n называется

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (СПЕЦГЛАВЫ) ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНИКОВ НАПРАВЛЕНИЯ , ,

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (СПЕЦГЛАВЫ) ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНИКОВ НАПРАВЛЕНИЯ , , МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (СПЕЦГЛАВЫ) ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНИКОВ НАПРАВЛЕНИЯ 7, 7, СПБ ГУТ Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика

Подробнее

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА Глава 3 НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА 3 Число и вектор Фробениуса Число и вектор Фробениуса используются в балансовых экономических моделях и, в частности, в модели международной торговли

Подробнее

Линейные однородные дифференциальные уравнения с. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с

Линейные однородные дифференциальные уравнения с. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения. Свойства общего решения. Теорема Коши. Интегральные кривые. Особое решение. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения вида у fх.

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР)

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР) ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР) А.В.СТЕПАНОВ Введение Эти заметки не заменяют курс лекций, но для сильных студентов могут

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1 Введение В курсе математического анализа первого семестра одно из центральных мест занимает теорема Ролля. Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a,

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ. по высшей математике

КУРС ЛЕКЦИЙ. по высшей математике Министерство образования и науки, молодежи и спорта Донецкий национальный технический университет Улитин Г.М., Гончаров А.Н. КУРС ЛЕКЦИЙ по высшей математике Учебное пособие Донецк 2011 УДК 51 (075.8)

Подробнее

Программа комплексного экзамена по специальности 6М Математика

Программа комплексного экзамена по специальности 6М Математика Программа комплексного экзамена по специальности 6М060100-Математика Билеты для вступительного экзамена в магистратуру по специальности 6М060100 «Математика» составлены по основным математическим дисциплинам

Подробнее

Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов

Сборник задач для самостоятельного решения по теме Предел функции Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов ББК В 65я73-4 С 3 УДК 57 Учебное издание Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: АН Максименко, АН Морозов Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение. Интегральным уравнением Фредгольма рода называется уравнение x ( s, ds f (.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН. Высшая математика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН. Высшая математика МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН Западно-Казахстанский государственный университет им. М.Утемисова РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА Высшая математика 5В011200 химия, 5В060600 химия, 5В060800

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова. 8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература...

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература... ОГЛАВЛЕНИЕ Введение................................................ 3 Глава. Неопределенный интеграл.......................... 6.. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла........................

Подробнее

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению.

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению. ТЕМА 7 Задача Штурма-Лиувилля Собственные значения и собственные функции Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению Основные определения и теоремы Оператором Штурма-Лиувилля называется дифференциальный

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Министерство образования Российской Федерации САРАПУЛЬСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ филиал Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «ИЖЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы Международный консорциум «Электронный университет» Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Евразийский открытый институт КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ АН Малахов Неопределенный

Подробнее

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова Высшая математика IV САМОУЧИТЕЛЬ

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ] 8 Барроу Исаак (Brrow Is) -77 английский математик, филолог, богослов. Профессор Кембриджского университета. Автор труда лекции по оптике и геометрии (9-7). Из теоремы следует, что определенный интеграл

Подробнее

множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B).

множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B). ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ТЕОРЕМА ФУБИНИ. ПРОСТРАНСТВА Lp, I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Определение. Пусть и Y множества, и Y меры, заданные на полукольцах S и S Y подмножеств множеств и

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье.

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье. Лекция 4. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда..4. Равенство Парсеваля Пусть система вещественных функций g( ), g( ),..., g ( ),... ортогональна и

Подробнее

1. Что такое обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Понятие решения. Автономные и неавтономные уравнения. Уравнения и системы порядка

1. Что такое обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Понятие решения. Автономные и неавтономные уравнения. Уравнения и системы порядка 1. Что такое обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Понятие решения. Автономные и неавтономные уравнения. Уравнения и системы порядка выше первого и их сведение к системам первого порядка.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А. И. МАДУНЦ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Подробнее

Лекция 18: Ортонормированный базис

Лекция 18: Ортонормированный базис Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Ортогональные и ортонормированные наборы векторов Из определения угла между векторами

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Б.П.Демидович СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ В сборник (11-е изд. 1995 г.) включено свыше 4000 задач и упражнений по важнейшим разделам математического анализа: введение в анализ:

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

Теоретический материал.

Теоретический материал. 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Тема 1. Множества. Введение в логику. Понятие функции. Кривые второго порядка. Основные понятия о множествах. Символика, ее использование.

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО КЛАССА ЗАДАЧ. где - текущая угловая координата,,, - сечения ЛП на входе и

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО КЛАССА ЗАДАЧ. где - текущая угловая координата,,, - сечения ЛП на входе и Труды III международной межвузовской научно-практической конференции "Инновационные технологии и передовые решения". - 2015 - С. 43-47 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО КЛАССА ЗАДАЧ

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А.

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А. РЯДЫ ФУРЬЕ Автор-составитель: доцент каф ВМ Цапаева СА Великий Новгород ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ГАРМОНИК Определение Гармониками называются комплекснозначные функции вида iω ( ) e, где действительная переменная,

Подробнее

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101 ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Основная 1. Бугров Я. С., Никольский С.М. Высшая математика. Т.2. Дифференциальное

Подробнее

Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин

Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин Казань, 213 УДК 519.6, 517.97 ББК Печатается по решению методической комиссии Института математики и механики им. Н.И.

Подробнее

Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов ПРЕДЕЛЫ

Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов ПРЕДЕЛЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

1.5. Виды контроля: текущий - выполнение самостоятельных работ промежуточный выполнение контрольных работ, коллоквиумы итоговый зачет

1.5. Виды контроля: текущий - выполнение самостоятельных работ промежуточный выполнение контрольных работ, коллоквиумы итоговый зачет . Пояснительная записка.. Требования к студентам Студент должен обладать следующими исходными компетенциями: базовыми положениями математических и естественных наук владеть навыками самостоятельной ы самостоятельно

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА ГОУВПО КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА Учебно-методическое

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

{тригонометрический ряд тригонометрическая система примеры - разложение на интервале [ -l; l ] для функций произвольного периода - неполные ряды

{тригонометрический ряд тригонометрическая система примеры - разложение на интервале [ -l; l ] для функций произвольного периода - неполные ряды {тригонометрический ряд тригонометрическая система примеры - разложение на интервале [ -l; l ] для функций произвольного периода - неполные ряды разложение по синусам и косинусам четные и нечетные продолжения}

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных

Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных Рассмотрим задачу на нахождение условного экстремума для случае функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Пусть имеется

Подробнее

Рабочая программа учебной дисциплины «Элементы высшей математики» для специальности среднего профессионального образования «Банковское дело».

Рабочая программа учебной дисциплины «Элементы высшей математики» для специальности среднего профессионального образования «Банковское дело». Рабочая программа учебной дисциплины «Элементы высшей математики» для специальности среднего профессионального образования 0800 «Банковское дело». ОДОБРЕНА предметной (цикловой) комиссией Составлена в

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств

МАТЕМАТИКА. Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического

Подробнее

"Спецфункции". Лекция 9. Гипергеометрическая функция. ) n. (1 + 1 )(1 + b 1

Спецфункции. Лекция 9. Гипергеометрическая функция. ) n. (1 + 1 )(1 + b 1 "Спецфункции". Лекция 9. Гипергеометрическая функция 1. Гипергеометрический ряд F p,q a 1,..., a p ; b 1,..., b q ; z определяется как степенной ряд вида F p,q a 1,..., a p ; b 1,..., b q ; z = 1 + a 1

Подробнее

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. занятия: нет 2 часа в неделю ВСЕГО АУДИТОРНЫХ ЧАСОВ 132

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. занятия: нет 2 часа в неделю ВСЕГО АУДИТОРНЫХ ЧАСОВ 132 УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе Ю.А. Самарский 10 июня 2010 г. ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ по дисциплине: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ по направлению подготовки: 010600 факультет: для всех факультетов (кроме

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

24 4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций Универсальная тригонометрическая подстановка

24 4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций Универсальная тригонометрическая подстановка СОДЕРЖАНИЕ Глава Неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла Свойства неопределённого интеграла Таблица основных неопределённых

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

Интегрирование. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл и его применение.

Интегрирование. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл и его применение. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

12. Определенный интеграл

12. Определенный интеграл 58 Определенный интеграл Пусть на промежутке [] задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке [] произвольные числа,, 3,, n-, удовлетворяющие условию:

Подробнее

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Интегралы, зависящие от параметров

Интегралы, зависящие от параметров МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ Интегралы, зависящие

Подробнее

Численный анализ. Содержание. А.М. Мацокин, ВКИ НГУ, 1994/95 учебный год (конспект лекций)

Численный анализ. Содержание. А.М. Мацокин, ВКИ НГУ, 1994/95 учебный год (конспект лекций) Численный анализ А.М. Мацокин, ВКИ НГУ, 1994/95 учебный год (конспект лекций) Содержание 1. Алгебраические методы интерполирования................ 3 1.1. Интерполяционный полином в форме Лагранжа..........

Подробнее

1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены

1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены Глава III. Теория устойчивости 1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены III.1.1. Устойчивые решения линейных ОДУ Существенную роль в исследовании различных процессов, поведение которых описывается

Подробнее

Лекция 2. Степенные ряды

Лекция 2. Степенные ряды С А Лавренченко wwwlwreekoru Лекция Степенные ряды Понятие степенного ряда Степенной ряд можно рассматривать как многочлен с бесконечным числом членов Определение (степенного ряда) Степенным рядом называется

Подробнее

Дифференциальные уравнения: конспект лекций

Дифференциальные уравнения: конспект лекций [DEshrt.te, 09.01.09] Дифференциальные уравнения: конспект лекций В 006 году студент -го курса Д.В. Кальянов набрал в LaTeX'е конспект моих лекций по курсу "Дифференциальные уравнения". Я переписал его

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

применять математические методы при решении профессиональных задач повышенной сложности, решать типовые задачи по основным разделам курса, используя

применять математические методы при решении профессиональных задач повышенной сложности, решать типовые задачи по основным разделам курса, используя Аннотация рабочей программы дисциплины направление подготовки: 23.05.05 Системы обеспечения движения поездов направленность: Телекоммуникационные системы и сети железнодорожного транспорта Дисциплина:

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. К а ф е д р а Прикладной математики и информатики. Практикум по математическому анализу

РЯДЫ ФУРЬЕ. К а ф е д р а Прикладной математики и информатики. Практикум по математическому анализу МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а Прикладной математики

Подробнее

Аннотация рабочей программы дисциплины Б1.Б.4 Математика

Аннотация рабочей программы дисциплины Б1.Б.4 Математика Аннотация рабочей программы дисциплины Б1.Б.4 Математика Цели освоения дисциплины Место дисциплины в учебном плане и трудоемкость в зачетных единицах Формируемые компетенции Знания, умения и навыки, формируемые

Подробнее

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 27. Том 48, 6 УДК 517.53/.57 НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Аннотация. Рассмотрена

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных исследований

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Факультет среднего профессионального образования УТВЕРЖДЕНО Председатель

Подробнее

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Математический анализ»

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Математический анализ» Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Математический анализ» Направление 080100 Экономика для подготовки студентов бакалавров

Подробнее

5. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ)

5. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ) 5 ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 5 Программа курса «Ряды и обыкновенные дифференциальные уравнения» Аннотация: Изучаются числовые и степенные ряды а также

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА учебной дисциплины Математика

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА учебной дисциплины Математика Департамент внутренней и кадровой политики Белгородской области Областное государственное автономное образовательное учреждение среднего профессионального образования ГУБКИНСКИЙ ГОРОНО-ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее