Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Теоремы о структуре общего решения линейного однородного и линейного неоднородного уравнений -го порядка Методические указания для практических занятий Новокузнецк 04

2 УДК 579(07) Л 59 Рецензент доктор физико-математических наук, доцент кафедры физики имени профессора ВМ Финкеля СибГИУ Коваленко ВВ Л 59 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Теоремы о структуре общего решения линейного однородного и линейного неоднородного уравнений -го порядка: метод указ / Сиб гос индустр ун-т сост ЕВ Сараханова Новокузнецк : Изд центр СибГИУ, 04 0 с Изложена краткая теория, рассмотрены примеры решения линейного однородного и линейного неоднородного дифференциальных уравнений -го порядка, приведены задания для самостоятельного решения Предназначены для студентов всех специальностей и направлений подготовки Печатается по решению Совета Института фундаментального образования

3 Теоретические сведения Линейным дифференциальным уравнением -го порядка называется уравнение вида a 0 a a a f, () где a 0 0, a,, a, a, f - заданные функции Оно содержит искомую функцию и все ее производные лишь в первой степени Функции a 0, a,, a, a называются коэффициентами уравнения (), а функция f - его свободным членом Если свободный член f 0, то уравнение () называется линейным однородным уравнением если f 0, то уравнение () называется линейным неоднородным уравнением Линейные однородные дифференциальные уравнения Линейные однородные ДУ второго порядка Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) второго порядка: a 0 a a 0 () и установим некоторые его свойства и Теорема Если функции являются частными решениями уравнения (), то решением этого уравнения является также функция, () где и - произвольные постоянные и Функции называются линейно независимыми на интервале a b, если равенство 0, где, R, выполняется тогда и только тогда, когда 0 Если хотя бы одно из чисел или отлично от нуля и выполняется равенство 0, то функции и называются линейно зависимыми на интервале a b

4 Средством изучения линейной зависимости системы функций является так называемый определитель Вронского или вронскиан (Ю Вронский польский математик) Для двух дифференцируемых функций и вронскиан имеет вид W Теорема Если дифференцируемые функции и линейно зависимы на интервале a b, то определитель Вронского на этом интервале тождественно равен нулю Теорема Если функции и решения уравнения () на интервале b линейно независимые a, то определитель Вронского на этом интервале нигде не обращается в нуль Совокупность любых двух линейно независимых на интервале a b частных решений и ЛОДУ второго порядка определяет фундаментальную систему решений этого уравнения: любое решение может быть получено как комбинация Теорема 4 (структура общего решения ЛОДУ второго порядка) Если два частных решения и ЛОДУ () образуют на интервале a b фундаментальную систему, то общим решением этого уравнения является функция, (4) где и - произвольные постоянные Пример Частные решения si и os, si и 4 5os (их бесконечное множество) уравнения 0 образуют фундаментальную систему решений решения же 5 0 и 6 os - не образуют фундаментальной системы На основании теоремы общим решением уравнения 0 является функция si os 4

5 Линейные однородные ДУ -го порядка Написанное выше можно распространить на линейные однородные дифференциальные уравнения -го порядка имеющие вид: a a a a (5) 0 0 Если функции,,, являются частными решениями уравнения (5), то его решением является и функция Функции,,, называются линейно независимыми на интервале a b, если равенство 0 выполняется лишь в случае, когда все числа 0 в противном случае (если хотя бы одно из чисел i не равно нулю) функции,,, - линейно зависимы Определитель Вронского имеет вид W 4 Частные решения,,, уравнения (5) образуют фундаментальную систему решений на интервале a b, если ни в одной точке этого интервала вронскиан не обращается в нуль, те a b W 0 для всех 5 Общее решение ЛОДУ(5) имеет вид, где i ( i,, ) произвольные постоянные, i - частные решения уравнения (5), образующие фундаментальную систему Пример Показать, что функции,, образуют фундаментальную систему решений некоторого ЛОДУ третьего порядка 5

6 Решение: Найдем W W : Ясно, что W 0 для всех R Следовательно, данные функции образуют фундаментальную систему решений некоторого ЛОДУ третьего порядка Интегрирование ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами Частным случаем рассмотренных выше линейных однородных дифференциальных уравнений являются ЛОДУ с постоянными коэффициентами Пусть дано ЛОДУ второго порядка p q 0, (6) где p и q постоянные Для нахождения общего решения уравнения (6) достаточно найти два его частных решения, образующих фундаментальную систему (см теорему 4) k Будем искать частные решения уравнения (6) в виде, где k - некоторое число (предложено Л Эйлером) Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения, и в уравнение k (6), получим: p k q 0 k k k, те k p k q 0 k k, или k p k q 0 ( 0) (7) Уравнение (7) называется характеристическим уравнением ДУ (6) (для его составления достаточно в уравнении (6) заменить, и соответственно на k, k и ) При решении характеристического уравнения (7) возможны следующие три случая 6

7 Случай Корни характеристического уравнения (7) k и k действительные и различные: k k ( D 0) В этом случае частными решениями уравнения (6) являются k функции и k Они образуют фундаментальную систему решений, тк их вронскиан k k k k k k W k k 0 k k k k k k Следовательно, общее решение уравнения (6), согласно формуле (4), имеет вид k k (8) Случай Корни характеристического уравнения (7) k и k действительные и равные: k k ( D 0) k В этом случае частное решение Наряду с решением k уравнения (6) будет и (при подстановке в уравнение (6) k оно обращается в верное равенство) Частные решения и k образуют фундаментальную систему решений: k k k k W k k 0 k k k k Следовательно, в этом случае общее решение ЛОДУ (6) имеет вид k k (9) Случай Корни характеристического уравнения (7) k и k комплексно-сопряженные числа: k, i ( D 0) В этом случае частными решениями уравнения (6) являются i os isi, i os isi Линейные комбинации решений и : ~ os и ~ si i образуют фундаментальную систему решений, тк W 0 Поэтому общее решение уравнения (6) запишется в виде os si (0) 7

8 Таким образом, нахождение решения ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами (6) сводится к нахождению корней характеристического уравнения (7) и использованию формул (8), (9), (0) общего решения уравнения (не прибегая к вычислению интегралов) Пример Решить уравнение Решение: Составим характеристическое уравнение: k 5k 6 0 Решаем его: k и k Записываем общее решение данного уравнения: произвольные постоянные Пример Решить уравнение 6 5 0, где и - Решение: Характеристическое уравнение: k 6k 5 0 Решаем его: k 4i По формуле (0) получаем общее решение уравнения:, os4 si 4 4 Интегрирование ЛОДУ -го порядка с постоянными коэффициентами Задача нахождения общего решения ЛОДУ -го порядка ( ) с постоянными коэффициентами p p p p 0, () где p i постоянные числа, i,, решается аналогично случаю уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами k Частные решения уравнения () также ищем в виде, где k - постоянное число Характеристическим для уравнением () является алгебраическое уравнение -го порядка вида k pk pk p k p 0 () Уравнение () имеет корней (в их числе могут быть и комплексные) Обозначим их через k, k,, k Замечание Не все из корней уравнения () обязаны быть различными Если уравнение имеет два равных корня, в этом случае говорят, что корень один и имеет кратность m Если кратность корня равна единице m, его называют простым 8

9 Случай Все корни уравнения () действительные и просты k (различны) Тогда функции, k,, k являются частными решениями уравнения () и образуют фундаментальную систему решений Поэтому общее решение уравнения () записывается в виде k k k Случай Все корни характеристического уравнения действительные, но не все простые (есть корни, имеющие кратность m ) Тогда каждому простому корню k соответствует одно частное k решение вида, а каждому корню кратности m соответствует m k k k частных решений:,,,, m k Случай Среди корней уравнения (7) есть комплексносопряженные корни Тогда каждой паре i простых комплексносопряженных корней соответствует два частных решения os и si, а каждой паре i корней кратности m соответствуют m частных решений вида os, os, os,, m os si, si, si,, m si Эти решения образуют фундаментальную систему решений Пример Найти общее решение уравнения 0 Решение: Характеристическое уравнение k k k 0 имеет корни k, k, k Следовательно, общее решение данного уравнения Пример Решить уравнение IV 5 0 Решение: Характеристическое уравнение 4 k k k 5k k k 0 имеет корни k, k, k, k 4 Следовательно, 4 общее решение уравнения V Пример Решить уравнение 0 Решение: Характеристическое уравнение IV 9

10 5 4 4 k k k 0 k k k k k имеет корни k, k i, k i, k4 i, k5 i Следовательно, os si 4 os 5 si - общее решение уравнения Задания для самостоятельного решения Найти общие решения уравнений ) ) ) 0 4) ) 4 0 6) 4 0 7) 8 0 8) 6 0 9) 0 0) IV 6 0 ) IV ) 6 0 ) ) IV 4 0 5) 8 0 Найти решения уравнений, удовлетворяющие заданным начальным или краевым условиям 6) 0 0, 0, , 0 6, 0 0 7) 8) 9) 4 9 0, 0 0, 0 5 0, 0, 0 0, 0 9 0, 0 0, 4 0) IV Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Линейные неоднородные ДУ второго порядка Рассмотрим ЛНДУ второго порядка a0 a a f, () где a 0 0, a, a, f - заданные, непрерывные на a b функции Уравнение a 0 a a 0, (4) левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ (), называется соответствующим ему однородным уравнением 0

11 Теорема (структура общего решения ЛНДУ) Общим решением уравнения () является сумма его произвольного частного решения и его общего решения ˆ соответствующего однородного уравнения (4), те ˆ (5) При нахождении частных решений ЛНДУ может быть полезной следующая теорема Теорема (о наложении решений) Если правая часть уравнения () представляет собой сумму двух функций: f f, а и - частные решения уравнений a a f и a a f f a0 соответственно, то функция уравнения a0 является решением данного Метод вариации произвольных постоянных Рассмотрим ЛНДУ () Его общим решением является функция (5), те ˆ Частное решение уравнения () можно найти, если известно общее решение ŷ соответствующего однородного уравнения (4), методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа), состоящий в следующем Пусть ˆ - общее решение уравнения (4) Заменим в общем решении постоянные и неизвестными функциями и и поберем их так, чтобы функция (6) была решением уравнения () Функция (6) будет частным решением уравнения (), если функции и удовлетворяют системе уравнений: 0, (7) f Определитель системы W 0 Поэтому система (7) и имеет единственное решение: и, где

12 и - некоторые функции от Интегрируя эти функции, находим, а затем по формуле (6) составляем частное решение уравнения () Пример Найти общее решение уравнения os Решение: Найдем общее решение ŷ соответствующего однородного уравнения 0 Имеем: k 0, k i, k i Следовательно, os si Найдем теперь частное решением ˆ исходного уравнения Оно ищется в виде (6): si Для нахождения и os составляем систему уравнений вида (7): os si 0, si os os os si Решаем ее: os si, si os 0 si os 0 tg, os si os os tg, tgd l os, d Запишем частное решение уравнения: l os os si Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид os si l os os si ˆ Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, те уравнение p q f, (8) где p и q постоянные

13 Согласно теореме, общее решение уравнения (8) представляет собой сумму общего решения ŷ соответствующего ему однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения Частное решение уравнения (8) может быть найдено методом вариации произвольных постоянных Для уравнений с постоянными коэффициентами (8) существует более простой способ нахождения, если правая часть f уравнения (8) имеет так называемый «специальный вид»: P Q f os m si (9) Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициентов, состоит в следующем: по виду правой части f уравнения (8) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение (8) и из полученного тождества находят значения коэффициентов Запишем уравнение (8) в виде Частное решение p q r P os Q si уравнения (9) следует искать в виде m (0) Ml os Nl si, () где r - число, равное кратности i как корня характеристи- ческого уравнения k p k q 0, M l и степени l с неопределенными коэффициентами, l ma m, наивысшая степень многочленов P m и Q Возможны более простые случаи f и I Если 0, то f r P и M N l - многочлены - m, где r - число, равное кратности корня характеристического уравнения k p k q 0 II Если 0, то f P os Q si и r Ml os Nl si, где r - число, равное кратности корня i характеристического уравнения III Если 0 f P Mm, где r - число, равное кратности корня 0 характеристического уравнения, то и r m

14 Замечания После подстановки () в (0) приравнивают многочлены, стоящие перед одноименными тригонометрическими функциями в левой и правой частях уравнения Форма () сохраняется и в тех случаях, когда один из многочленов P m 0 или Q 0 Если правая часть уравнения (8) есть сумма функций специального вида, то для нахождения следует использовать теорему о наложении решений Пример Решить уравнение 4 Решение: Найдем общее решение ŷ ЛОДУ 0 Характеристическое уравнение k k 0 имеет корень k кратности Значит, ˆ Находим частное решением исходного уравнения Правая часть уравнения - сумма функций специального вида f f f, где f 4, f Воспользуемся теоремой о наложении решений Находим частное решением уравнения 4, f 4 P, характеристическое уравнение не имеет корня 0, 0 r 0 Поэтому M A B, где A и B - неопределенные коэффициенты Тогда A, 0 Подставив в уравнение 4, получим A A B 4, или A B A 4 Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему уравнений: A, B A 4 Отсюда A, B Поэтому частное решение Находим частное решением P уравнения, f 0, характеристическое уравнение имеет корень кратности r Поэтому N0 C, где C - неопределенный коэффициент Тогда С, С 4 Подставив в уравнение, 4

15 получим С 4 С С, или С, C Поэтому частное решение Следовательно, ˆ - искомое общее решение уравнения Пример Решить уравнение 4 40os Решение: Общее решение ЛНДУ имеет вид ˆ Найдем общее решение однородного уравнения ŷ : 4 0 Характеристическое уравнение k 4k 0 имеет корни k i и k i Следовательно, ˆ os si Находим частное решением Правая часть ЛНДУ имеет вид f 40os 40os 0si Так как i i не совпадает с корнем характеристического уравнения, то r 0 Тогда частное решение Aos Bsi, Asi Bos, 9Aos 9Bsi Подставив функцию и ее производные в дифференциальное уравнение, получим 9Aos 9Bsi 4 Asi Bos A os Bsi 40os, или 9AB Aos 9B A Bsi 40os 0si Получаем систему: 4A B 40, Отсюда A, B Поэтому A 4B 0 частное решение os si Следовательно, общее решение уравнения ˆ os si os si 4 Интегрирование ЛНДУ -го порядка ( ) Рассмотрим линейное неоднородное ДУ -го ( ) порядка a 0 a a a 0, где a 0 0, a,, a, a, f - заданные непрерывные на a b функции Соответствующее ему однородное уравнением имеет вид 5

16 6 0 0 a a a a Теорема (структура общего решения ЛНДУ -го порядка) Общее решение ЛНДУ -го порядка равно сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения ŷ соответствующего ему однородного уравнения, те ˆ Частное решение ЛНДУ -го порядка может быть найдено, если известно общее решение ŷ однородного уравнения, методом вариации произвольных постоянных Оно ищется в виде () где i - частные решения однородного уравнения, образующие фундаментальную систему, i, Система уравнений для нахождения неизвестных функций i имеет вид: 0, 0, 0, f Однако для ЛНДУ -го порядка с постоянными коэффициентами, правая часть которого имеет специальный вид, частное решение может быть найдено методом неопределенных коэффициентов Метод подбора частного решения уравнения f p p p p, где i p постоянные числа, i,, а правая часть f имеет специальный вид (9), описанный для случая, переносится без всякого изменения и на случай уравнения, имеющего порядок Пример Решить уравнение IV Решение: Находим ŷ : 0 4 k k, 0 k k k k,

17 Находим k 0, k, k,4 i, ˆ os 4 si f P, количество корней равных 0 r, M A B A, A B, : тогда B A, III 0, IV 0 Подставив функцию и ее производные в дифференциальное уравнение, получим A B Отсюда A, B 0 и получаем Следовательно, функция ˆ os является общим решением уравнения 4 si Задания для самостоятельного решения Найти общие решения уравнений ) ) ) tg 0 4) 5) 4 6) 4 5 si os 7) 4 4 l 8) tg 9) 0) 6 8 ) ) ) 7 6 si 4) si 5) 6) 7) 5 4 si Найти решения уравнений, удовлетворяющие заданным начальным или краевым условиям 4 8 6, 0 0, 0 8) 9), 0 0 V IV 7

18 4 os, si si, 0 0 0) ) ), 0 0 ), 0, Ответы ) ) ) 4 4) os si 5) 6) os si 4 7) 8) os si 9) 0) 4 ) os si os 4 si ) os 4 si ) 4) os 4 si 5) os si 6) os 7) 4 8) si5 9) os 0) si 4 ) l artg ) l 4 ) os si os l tg 4) l 5) os si os l si tg si 6) os si os l os si l 7) 4 8

19 os si os l tg 4 8) 9) l 4 0) ) os si ) 4 6 5si 7os ) 74 4) 4 4 os 5 5) 4 os 5 si 60 6) 6 7) os si os 4 si 0,5 os 8) 0,5 4 9) 0) 4 si 6 ) os os si ) 8 8 ) 4 Библиографический список Письменный Л Т Конспект лекций по высшей математике Полный курс / Л Т Письменный Москва : Айрис Пресс, с Берман Г Н Сборник задач по курсу математического анализа Изд 8-е / Г Н Берман Москва : Наука, с Данко П Е Высшая математика в упражнениях и задачах Т / П Е Данко, А Г Попов, Т Я Кожевникова Москва : Высшая школа, с 9

20 Учебное издание Составитель Сараханова Елена Владимировна Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Теоремы о структуре общего решения линейного однородного и линейного неоднородного уравнений -го порядка Методические указания для практических занятий Напечатано в полном соответствии с авторским оригиналом Подписано в печать 004г Формат бумаги 60х84 /6 Бумага писчая Печать офсетная Усл-печ,6 л Уч-изд,0 л Тираж 50 экз Заказ Сибирский государственный индустриальный университет , г Новокузнецк, ул Кирова, 4 Типография СибГИУ 0


Правило Лопиталя. Методические указания для практических занятий. Министерство образования и науки Российской Федерации

Правило Лопиталя. Методические указания для практических занятий. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Тригонометрические ряды Фурье

Тригонометрические ряды Фурье Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Вычисление и приложения тройного интеграла

Вычисление и приложения тройного интеграла Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Исследование функции на непрерывность. Точки разрыва и их классификация

Исследование функции на непрерывность. Точки разрыва и их классификация Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ II ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА. Методические указания для практических занятий

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ II ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Дифференциал функций Методические указания для практических занятий

Дифференциал функций Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Выпуклость, точки перегиба. Асимптоты

Выпуклость, точки перегиба. Асимптоты Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

Область определения функций нескольких переменных

Область определения функций нескольких переменных Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Определенный интеграл

Определенный интеграл Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания к решению

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского -

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - { общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан однородного линейного дифференциального уравнения

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) -го порядка, однородные и неоднородные Теорема о существовании

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДУ допускающие понижение ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДУ линейные неоднородные (ДУЛН) ДУ линейные однородные

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Дифференциальные уравнения (лекция 10)

Дифференциальные уравнения (лекция 10) Дифференциальные уравнения лекция 0 Линейные неоднородные уравнения высших порядков Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 6. Линейные неоднородные уравнения -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 20-21 Линейные

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого

Подробнее

Вычисление и приложения двойного интеграла

Вычисление и приложения двойного интеграла Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Функции одной переменной

Функции одной переменной Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

С.И.Вдовина, Н.А.Корниенко, Н.Н.Субоч

С.И.Вдовина, Н.А.Корниенко, Н.Н.Субоч МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» Кафедра «Высшая и вычислительная

Подробнее

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 6 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами ) ) ) L [] f ) 9) где i постоянные Так

Подробнее

Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Лекция 4.1. Аннотация

Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Лекция 4.1. Аннотация Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 41 Аннотация Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) -го порядка, однородные и неоднородные Теорема о существовании

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение

Подробнее

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Методические указания для практических занятий

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно функции y и её производных y..., y (n) т. е. имеет вид a 0 y (n) + a 1 y (n 1) +... + a ny = f (x), где

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости Методические указания для практических занятий

Уравнения прямой и плоскости Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды»

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ------------------------------------------------------------------------------------------------- О.Г. Илларионова, В.А. Ухова МАТЕМАТИКА

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

Институт пути, строительства и сооружений Кафедра «Математический анализ» Н.А.Ефремова

Институт пути, строительства и сооружений Кафедра «Математический анализ» Н.А.Ефремова Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Российский университет транспорта (МИИТ)» Институт пути, строительства

Подробнее

Вычисление и приложения криволинейного интеграла

Вычисление и приложения криволинейного интеграла Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или (

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или ( Глава 8 Уравнения в частных производных первого порядка Лекция 3 Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид,,,, F x 0,, x z = или ( F x, z,gradz = 0 Проблема существования и единственности

Подробнее

Рецензенты Доктор ф.-м. наук, профессор Т.Г. Сукачёва Канд. ф.-м. наук, доцент А.В. Ласунский

Рецензенты Доктор ф.-м. наук, профессор Т.Г. Сукачёва Канд. ф.-м. наук, доцент А.В. Ласунский Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Интегралы и дифференциальные уравнения Раздел "Дифференциальные уравнения".

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения произвольного порядка

Линейные дифференциальные уравнения произвольного порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» А.В. Абрамян,

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Выборки и их характеристики

Выборки и их характеристики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами

Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами Математический анализ Раздел: дифференциальные уравнения Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами Лектор Пахомова ЕГ 0 г 4 Системы линейных однородных дифференциальных уравнений

Подробнее

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

1) Найти общее решение дифференциального уравнения (из контрольной УПИ, 2007)

1) Найти общее решение дифференциального уравнения (из контрольной УПИ, 2007) ) Найти общее решение дифференциального уравнения y + y (из контрольной УПИ, 007) - линейное неоднородное ДУ 3-го порядка. Общее решение уравнения представляет собой сумму общего решения ŷ соответствующего

Подробнее

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1 Дифференциальные уравнения Решение контрольных на wwwmatburoru Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант Часть Задание Построить интегральные кривые при помощи изоклин ( d ( d 0 Решение d d

Подробнее

1. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков. Основные свойства линейных неоднородных уравнений второго порядка.

1. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков. Основные свойства линейных неоднородных уравнений второго порядка. ЛЕКЦИЯ N. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков, ЛНДУ с постоянными коэффициентами. Системы Д.У. Применение дифференциальных уравнений в экономической динамике.. Линейные неоднородные

Подробнее

Производная функции, её геометрический и механический смысл.

Производная функции, её геометрический и механический смысл. Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием элементов

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

sin 2x. систему решений и, следовательно, общее решение системы имеет вид + 1. Возможны два случая.

sin 2x. систему решений и, следовательно, общее решение системы имеет вид + 1. Возможны два случая. sin cos R Z cos ImZ cos sin sin Найденные таким образом решения образуют фундаментальную систему решений и следовательно общее решение системы имеет вид или подробнее sin cos cos sin cos cos cos sin sin

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики ЛГЛелевкина ТАШемякина Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебное пособие по математическому анализу

Подробнее

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГЛАВА III СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 7 Задачи приводящие к понятию систем дифференциальных уравнений Рассмотрим систему уравнений m m m F m m m F 7 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL L L m m m F где независимая

Подробнее

X = O. В этом случае любое решение системы ( A λ E)

X = O. В этом случае любое решение системы ( A λ E) В заключение этого пункта заметим что говорят также о собственных векторах матрицы порядка имея при этом ввиду собственные векторы оператора -мерного пространства имеющего своей матрицей в некотором базисе

Подробнее