ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ"

Транскрипт

1 УДК 589 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ ВВ ОСТАПЕНКО ИЛ РЫЖКОВА Рассмотрены линейные дифференциальные игры с интегральными ограничениями на управления игроков и с фиксированным временем окончания Условия полного выметания сформулированные для случая геометрических ограничений перенесены на случай интегральных ограничений Догоняющий игрок строит свое управление зная управление убегающего а убегающий в каждый момент времени использует информацию о действиях противника в прошлом ВВЕДЕНИЕ Современная теория дифференциальных игр в основном развивается как теория управляемых динамических систем с геометрическими ограничениями на управления игроков [ 5] Были описаны структуры дифференциальных игр; исследованы различные способы задания стратегий игроков при которых игроки не знают управления противника в будущем; разработаны общие подходы и конкретные методы решения различных классов дифференциальных игр Вместе с тем работы ряда авторов [6 9] показывают что перенесение методов разработанных для игр с геометрическими ограничениями на игры с интегральными ограничениями является непростой задачей Это связано с тем что класс управляющих функций удовлетворяющих интегральному ограничению не обладает важными свойствами которыми обладает класс управлений удовлетворяющих геометрическому ограничению Так например подход к описанию структуры игры основанный на операторных конструкциях БН Пшеничного [4] не переносится непосредственно на игры с интегральными ограничениями Поэтому актуальным остается вопрос обобщения известных методов теории дифференциальных игр на игры с интегральными ограничениями В работах [ ] создан метод позволяющий сводить дифференциальную игру к обычной задаче управления При этом важную роль играет условие полного выметания которое накладывается на области управления игроков В работе [2] это условие заменялось однотипностью интегральных ограничений для обоих игроков Данная статья обобщает результаты полученные в [2] В ней рассматриваются разнотипные интегральные ограничения связанные между собой аналогом условия полного выметания ВВ Остапенко ИЛ Рыжкова Системні дослідження та інформаційні технології 22 4

2 ВВ Остапенко ИЛ Рыжкова ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим дифференциальную игру динамика которой описывается уравнением z = C( ( u ( где z u v E ; E -мерное евклидово пространство; C ( семейство линейных операторов действующих в E непрерывных на отрезке [ ; ]; > фиксированный момент времени Игрок Р (догоняющий распоряжается параметром u игрок Е (убегающий параметром v Цель игрока Р добиться включения z( M ; цель игрока Е противоположная Терминальное множество М является замкнутым подмножеством пространства E Будем предполагать что игрок Р при выборе в момент времени t управления u ( знает начальную позицию z ( = z и текущее управление v ( игрока Е Игрок Е в момент времени t выбирает v ( зная z ( = z и управление игрока Р u (s при s < t Опишем интегральные ограничения на управления игроков с помощью некоторых выпуклых множеств и их функций Минковского Пусть U V и W выпуклые компактные подмножества пространства E имеющие непустую внутренность и содержащие ноль в качестве внутренней точки В дальнейшем будет использоваться следующее условие Условие U = V + W Условие является условием полного выметания для множеств U и V Напомним что функция Минковского µ ( x/ A выпуклого множества E A такого что it A определяется по формуле: { λ > x λ A} µ ( x/ A = if : Отметим что для замкнутого выпуклого множества A справедлива формула A = { x: µ ( x / A } Обозначим a ( = µ ( u / U = µ ( v / V f ( w = µ ( w/ W Отметим что функции a ( и f (w как функции Минковского некоторых множеств являются выпуклыми положительно однородными Условие 2 Существуют такие числа λ λ2 > что для всех выполняется неравенство a v + w λ + λ f ( ( 2 w v w E Ниже будет описан способ получения коэффициентов λ и λ 2 и рассмотрены примеры в которых рассчитаны конкретные значения λ и λ 2 Согласно изложенному ниже способу λ + λ2 Рассмотрим два интегральных ограничения на управления игрока Р 42 ISSN System Researc & Iformatio Tecologies 22

3 Линейные дифференциальные игры с разнотипными интегральными ограничениями ( u( dt λ + λ2 a (2 ( u( dt a (3 Интегральное ограничение на управление игрока Е имеет вид ( v( dt b (4 Управления u ( и v ( удовлетворяющие ограничениям (2 или (3 и (4 будем называть допустимыми управлениями игроков Р и Е соответственно В статье рассматривается игра с двух разных позиций: с позиции догоняющего и с позиции убегающего В первом случае используется ограничение вида (2 во втором вида (3 Введем множество W ~ которое используется при формулировке результатов ~ W = C( dt: f ( dt те W ~ является множеством всех обычных интегралов вида C ( dt где w ( измеримая функция удовлетворяющая ограничению ( dt f (5 Следует отметить что функции u ( v( и w ( удовлетворяющие соответственно ограничениям (2 (5 принадлежат классу L [; ] Действительно рассмотрим для примера ограничение (3 Так как функция a ( выпукла и a ( < + для всех u то a ( непрерывна Поскольку itu то a ( > для всех u Поэтому mi = a > Отсюда для Системні дослідження та інформаційні технології E u = u любого u E a a и в силу положительной однородности a ( u получаем u a Из этого неравенства вытекает u ( dt u( dt < + (6 a a В силу условий наложенных на семейство операторов C ( управление ( имеет решение при любых допустимых управлениях игроков

4 ВВ Остапенко ИЛ Рыжкова и кроме того каждый интеграл входящий в определение множества W ~ имеет смысл Кроме того нетрудно видеть что множество W ~ является замкнутым и ограниченным те компактным В дальнейшем всюду будем предполагать выполнение условий и 2 2 ПОСТРОЕНИЕ УПРАВЛЕНИЯ ДОГОНЯЮЩЕГО ИГРОКА Рассмотрим игру с динамикой ( и ограничениями (2 (4 Обозначим ~ P M = M W Теорема Пусть z P M Тогда существует отображение u : E E такое что для любого допустимого управления v ( игрока Е выполняется: а u ( v( допустимое управление игрока Р; б для решения z ( уравнения ( с начальным условием z ( = z которое соответствует управлениям u ( v( и v ( справедливо включение z( M Доказательство Из определения множества W ~ следует что если z P M то существует функция w ( удовлетворяющая ограничению (5 такая что z + C( dt M Положим u ( v = v + Пусть v ( произвольное допустимое управление игрока Е Тогда управление игрока Р имеет вид ( v( = v( u ( = u + t Отметим что значение u ( строится на основании информации о функциях v ( и w ( Функция w ( строится по начальной позиции z Таким образом данный способ построения управления u ( использует ту же информацию что и описанный выше Покажем что u ( является допустимым управлением игрока Р те выполняется условие (2 Из условия 2 следует Кроме того a ( u( dt v( + dt ( λ v( + λ f ( dt = = ( v( dt + λ2 f ( t dt λ λ2 = λ b + ( u( v( dt = z + C( t dt M z( = z + C( Теорема доказана ISSN System Researc & Iformatio Tecologies 22

5 Линейные дифференциальные игры с разнотипными интегральными ограничениями 3 ПОСТРОЕНИЕ УПРАВЛЕНИЯ УБЕГАЮЩЕГО ИГРОКА Рассмотрим игру с динамикой ( и ограничениями (3 (4 Теорема 2 Пусть z P M Тогда существуют такое число > и такие отображения v : E E и ϕ :[ ; ] [ ; ] что ( t < t t ; ϕ ( = ; ϕ для [ 2 ( u( ( v ϕ t допустимое управление игрока Е если u ( допустимое управление игрока Р; 3 для решения уравнения ( с начальным условием z ( = z которое соответствует произвольному допустимому управлению u ( игрока Р и t [ ; ( u( ϕ ( t [ ; ] управлению v( = игрока Е выполняется z( M v Доказательство Построим отображение v ( Пусть u произвольный u u вектор Положим u = Так как a ( u = a = ( = ( a u то a u u U Из условия следует существование таких v ( u V и w ( u W что u = v ( + w ( Отсюда или Обозначим u u = a v ( u + w ( ( u u + u u = v w u u v ( = v w ( = w В случае u = полагаем v ( = w ( = Число > будет указано ниже а в качестве ϕ ( выберем функцию ( t ϕ ( = Поскольку в дальнейшем будет выбираться достаточно малым и следовательно < то нетрудно видеть что ϕ ( t < t при t < и ϕ ( = Покажем что функция t [ ; ( u( ϕ( t [ ; ] v( = v является допустимым управлением игрока Е Известно (см например [4] что v ( u и w ( u можно выбрать таким образом что v ( u ( и w ( u ( будут измеримыми функциями если t t u ( измеримая функция Поэтому v ( является измеримой функцией t Системні дослідження та інформаційні технології 22 45

6 ВВ Остапенко ИЛ Рыжкова если u ( допустимое управление игрока Р Покажем теперь что v ( удовлетворяет ограничению (4 Так как v ( u V и следовательно b v ( u то ( ( v( dt v ( u( ϕ ( t dt = b = u( ϕ( ( u( ϕ( = a ( u( ϕ ( b v dt u( ϕ( dt a Проведем в последнем интеграле замену переменных положив τ = ϕ( Очевидно что Поэтому b dt = dτ и τ ϕ ( v( dt u( ( dt = u( τ dτ Таким образом при построении управления v ( используется информация о u ( s s < t Информация о начальной позиции z будет использоваться ниже при выборе > Точное построение согласуется с описанием стратегии игрока Е данным при постановке задачи ~ Перейдем теперь к выбору > Так как z P M то ( z + W M = ~ = Так как M замкнутое множество а z + W компакт то ~ существует ε -окрестность множества z + W которая не пересекается с множеством M Пусть z ( траектория с началом в z соответствующая u ( и управлению v ( которое было построено по u ( выше Тогда ( = z + C( ( u( v( dt = z + C( ( u( ( v( z ϕ dt + D( где D ( = C( u( dt C( u( ( ϕ dt Оценим вектор D ( проведя во втором интеграле замену переменных τ = ϕ( ( ϕ ( t dt = D ( = C( u( dt C( u = C ( u( dt C τ + u( τ dτ C ( C t + u( dt d( u( dt 46 ISSN System Researc & Iformatio Tecologies 22

7 Линейные дифференциальные игры с разнотипными интегральными ограничениями где d( = max C( C t + t d Из (6 следует ( ( ( u( dt a u t dt a Поэтому D( Так a a d( как d ( при то существует такое что < ε a Из построения v ( v и w следует где ( u( ϕ ( v( dt = z + C( ( u( ϕ( v ( u( ( t dt = ~ z ( = z + C( t = w ϕ = z + C w ( u( ( dt = z + C( [ ; ( u( ϕ( t [ ] Также как и для функции ( ( ϕ dt v доказывается что ( ( f w t dt Поэтому ~ ~ z ( z + W Так как D ( < ε и z ( = ~ z ( + D( то z ( находится в ε -окрестности ~ ~ z ( а значит и в ε -окрестности множества z + W Таким образом z( M и теорема доказана 4 ОБСУЖДЕНИЕ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ Рассмотрим игру с динамикой z = C( ( Au B (7 p q где A : E E B : E E линейные отображения Предположим что допустимые управления игроков Р и Е удовлетворяют соответственно условиям u ( dt ρ (8 v ( dt σ (9 Покажем что в такой постановке игра (7 (9 сводится к игре ( (2 (или (3 (4 Рассмотрим случай когда p q и отображения A и B имеют полный ранг Положим u = Au v = Bv ( Системні дослідження та інформаційні технології 22 47

8 ВВ Остапенко ИЛ Рыжкова + + Обозначим A и B псевдообратные операторы операторов A и B + + соответственно Известно что решения уравнений ( вида u = A u v = B v являются решениями с минимальной нормой Поэтому игру (7 (9 можно заменить игрой с динамикой и ограничениями z = C( ( u v + A u ( dt ρ ( + B v ( dt σ (2 + + Положив теперь a ( u = A u v = B v приходим к ограничениям (3 (4 ρ σ Рассмотрим условия и 2 В пункте при постановке задачи функции a ( и b ( задающие интегральные ограничения строились по множествам U и V Предположим теперь что функции a ( и b ( заданы первоначально и удовлетворяют условиям: являются выпуклыми положительно однородными неотрицательными и равными нулю только в точке Множества U и V зададим функциями { u E : } V = { v E : } U = v Из условий наложенных на функции a ( и b ( следует что множества U и V являются выпуклыми компактами и содержат ноль в качестве внутренней точки Известно что функции a ( и b ( будут соответственно функциями Минковского этих множеств Положим W = U V (W является геометрической разностью множеств U и V [2] те W = { x E : x + V U } Предположим что W / Известно [2] что для любых выпуклых множеств из уравнения U = V + W вытекает уравнение W = U V но из уравнения W = U V вытекает лишь включение V + W U Выполнения этого включения недостаточно для доказательства теоремы 2 Таким образом условие является существенным ограничением и связывает определенным образом функции a ( и b ( Рассмотрим пример в котором выполняется условие Предположим что существует функция d( x x E и положительные числа ρ и σ такие что ρ > σ и = d( = d( (3 ρ σ В этом случае ограничения (3 (4 имеют вид 48 ISSN System Researc & Iformatio Tecologies 22

9 Линейные дифференциальные игры с разнотипными интегральными ограничениями ( u( dt ρ d( v( dt σ Такие ограничения назовем однотипными Согласно (3 в данном случае Положим d (4 { u E : d( ρ} V = { v E : d( v σ } U = { w E : d( u ρ σ } W = и покажем что для этих множеств U V и W выполняется условие Действительно для любых v V и w W истинно неравенство d ( v + w d( + d( w σ + ( ρ σ = ρ Таким образом v + w U или V + W U σ ρ σ Пусть теперь u U Положим v = u w = u Тогда u = v + w ρ σ σ ρ σ Кроме того d ( = d( σ и d ( w = d( ρ σ те v V w W ρ σ Таким образом U V + W Рассмотрим теперь условие 2 и оценим константы λ и λ 2 Из выпуклости и положительной однородности функции a ( следует w v + w + w = + f ( w λ + λ2 f ( w (5 f ( w где w λ = max λ2 = max v w f ( w (6 В (5 учтен тот факт что b ( x > и f ( x > при x В случаях когда один из векторов v и w или они оба равны нулю равенство в (5 не является корректным однако очевидно что и в этом случае конечная оценка остается справедливой Изучим константы λ и λ 2 Рассмотрим для примера λ Отметим что определение данное формулой (6 корректно поскольку максимум достигается Действительно в силу положительной однородности a ( и b ( v a v sup = sup = sup = max (7 v v v v = v = b v Системні дослідження та інформаційні технології 22 49

10 ВВ Остапенко ИЛ Рыжкова Последнее равенство справедливо в силу компактности множества { v E : v =} и непрерывности функции Аналогично (7 можно получить следующее выражение для λ : v a λ = max = max v (8 v v = b Поскольку для любого v V то v a ( a и следовательно из (8 следует { λ : v λu} = mi{ λ : V λu} λ = max = maxmi (9 v V v V Аналогично λ2 = mi{ λ : W λu} (2 Из (9 и (2 нетрудно вывести оценку для числа λ + λ2 Действительно из (9 и (2 следует что V λu и W λ2u Отсюда в силу выпуклости U Так как itu то U = V + W λ U + λ U = λ + U 2 ( λ2 λ + λ (2 2 Покажем что в случае однотипности ограничений (формулы (3 (4 неравенство (2 превращается в равенство В этом случае σ w ρ σ f ( w = d( w и λ = max = λ2 = max = Отсюда ρ σ v ρ w f ( w ρ λ + λ2 = Рассмотрим примеры в которых вычислены конкретные значения λ и λ 2 Ниже будут рассмотрены случаи когда = 2 Пример Пусть U = { u = ( u u2 : 3 u 3 2 u2 2} V = { v = v v : 2 v 2 v } ( 2 2 { w = w w : w 2} W = i i ( 2 = Нетрудно видеть что выполняется условие С помощью формул (9 (2 2 7 можно получить λ = λ2 = Отсюда λ + λ2 = Пример 2 Пусть U = { u = u u : 2 u 4 3 u 3} ( ISSN System Researc & Iformatio Tecologies 22

11 Линейные дифференциальные игры с разнотипными интегральными ограничениями V = { v = ( v v2 : v 3 2 v2 2} W = { w = ( w w2 : wi i = 2} 3 В этом случае из формул (9 (2 можно получить λ = λ2 4 5 λ + λ2 = 4 = 2 Отсюда 5 РАЗНЫЕ КЛАССЫ ЛИНЕЙНЫХ ИГР Рассмотрим пространство такое что m Пусть m E в котором изменяется x и пространство m E ϕ :E E линейный оператор вложения; m π :E E линейное отображение; A линейный оператор в m E ; параметры u v E Динамика рассматриваемых игр описывается уравнением x = Ax + ϕ( u (22 m M задается в виде { } Терминальное множество M = x E : πx M где M замкнутое подмножество в E Цель игрока Р вывести траекторию системы (22 на множество M в момент > Цель игрока Е противоположная Положим A A( z = π e x z( = π x( C( = π e ϕ В этих обозначениях запишем + C( ( u( v( t z ( = z dt Таким образом исходная игра описанная уравнением (22 и терминальным множеством M сводится к игре описанной уравнением ( и терминальным множеством M В [4] указан способ использования операторов π и ϕ для описания различных классов линейных игр Пример 3 Пусть = m и π ϕ тождественные операторы Тогда уравнение (22 имеет вид x = Ax + u v A( и C( = e Пример 4 Рассмотрим игру с динамикой y = Dy + u v (23 где y E D матрица размерности Уравнение (23 переписывается в виде Системні дослідження та інформаційні технології 22 5

12 ВВ Остапенко ИЛ Рыжкова y = y y = D y + u v y 2 В качестве x рассматривается вектор x = E y Операторы A π и ϕ имеют вид E A = π = [ E ] ϕ = D E где E единичная матрица размерности В этом случае считая что y t = Ds x получаем z = y + e ds y y и C( = e Ds ds Пример 5 Рассмотрим игру с динамикой y = Dy + u v (24 ; где y E D матрица размерности Уравнение (24 перепишем в виде y = y y = D y + u v y вектор x = Операторы π и ϕ имеют тот же вид что и в примере 4 а y E оператор A = В этом примере D ( D y + ( D ( D y ( = ( D si( D ( z = cos si C где cos и si в последних формулах формально обозначают ряды cos ( D = E D + D 2! ( D si( D = Et D + D 3! 4! 5! ЛИТЕРАТУРА Айзекс Р Дифференциальные игры М: Мир c 2 Понтрягин ЛС Избранные научные труды Т 2 Дифференциальные уравнения Теория операторов Оптимальное управление Дифференциальные игры М: Наука с 3 Красовский НН Субботин АИ Позиционные дифференциальные игры М: Наука с 52 ISSN System Researc & Iformatio Tecologies 22

13 Линейные дифференциальные игры с разнотипными интегральными ограничениями 4 Пшеничный БН Остапенко ВВ Дифференциальные игры Киев: Наук думка с 5 Чикрий АА Конфликтно управляемые процессы Киев: Наук думка с 6 Никольский МС Прямой метод в линейных дифференциальных играх с интегральными ограничениями // Управляемые системы Изд-во СО АН СССР 969 Вып 2 С Азимов АЯ Об одном способе преследования в линейных дифференциальных играх с интегральными ограничениями // Изв АН СССР Сер Техн кибернетика С Пшеничный БН Онопчук ЮН Линейные дифференциальные игры с интегральными ограничениями // Изв АН СССР Сер Техн кибернетика 968 С Онопчук ЮН О дифференциальных играх с интегральными ограничениями // Тр семинара «Теория оптимальных решений» Киев: ИК АН УССР С Никольский МС Об одном классе дифференциальных игр // Тр семинара «Теория оптимальных решений» Киев: ИК АН УССР С 3-3 Гусятников ПБ Никольский МС К проблеме оптимальности времени преследования // Теория оптимальных решений Киев: ИК АН УССР С3 2 2 Остапенко ВВ Рижкова ІЛ Про лінійну диференціальну гру з фіксованим часом закінчення та обмеженнями на ресурси // Кибернетика и системный анализ 2 4 С78 83 Поступила 2 Системні дослідження та інформаційні технології 22 53

Дифференциальные уравнения Т С

Дифференциальные уравнения Т С Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35. 6. С.784-792. УДК 517.957 ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ Ю. В. Жерновый 1. Введение. Постановка задачи. Наиболее

Подробнее

ВЫПУКЛАЯ ИГРОВАЯ ЗАДАЧА ИМПУЛЬСНОГО ПРЕСЛЕДОВАНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

ВЫПУКЛАЯ ИГРОВАЯ ЗАДАЧА ИМПУЛЬСНОГО ПРЕСЛЕДОВАНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 289 УДК 517.977.8 ВЫПУКЛАЯ ИГРОВАЯ ЗАДАЧА ИМПУЛЬСНОГО ПРЕСЛЕДОВАНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА В.И. Ухоботов Челябинский государственный университет Россия, 4541, Челябинск, Братьев Кашириных ул., 129 E-mail: ukh@csu.ru

Подробнее

О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ

О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ А. Р. ДАНИЛИН, О. О. КОВРИЖНЫХ О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ Рассматривается задача о быстродействии для одной линейной системы с быстрыми и медленными

Подробнее

Односторонние приближения в L линейной комбинации ядра Пуассона и сопряженного ядра Пуассона тригонометрическими полиномами

Односторонние приближения в L линейной комбинации ядра Пуассона и сопряженного ядра Пуассона тригонометрическими полиномами Труды Международной летней математической Школы-Конференции С Б Стечкина по теории функций Таджикистан, Душанбе, 5 5 августа, 06 С 44 49 Односторонние приближения в L линейной комбинации ядра Пуассона

Подробнее

Рассматривается дифференциальная игра преследования с простым движением и с невыпуклыми вектограммами игроков.

Рассматривается дифференциальная игра преследования с простым движением и с невыпуклыми вектограммами игроков. В. И. УХОБОТОВ, И. В. ЦЕУНОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ИГРА С ПРОСТЫМ ДВИЖЕНИЕМ Рассматривается дифференциальная игра преследования с простым движением и с невыпуклыми вектограммами игроков. Kлючевые слова: дифференциальная

Подробнее

Лекция 11. Оптимальное управление

Лекция 11. Оптимальное управление Лекция 11. Оптимальное управление 11.1 Постановка задачи Задана динамическая система с управлением, описываемая системой дифференциальных уравнений в форме Коши { ẋi = f i (x, u(t)), (11.1) (i = 1,...,

Подробнее

dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений

dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений dx d ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 2, 2004 Электронный журнал, рег. N П23275 от 07.03.97 hp://www.neva.ru/journal e-mail: diff@osipenko.su.neva.ru Теория обыкновенных дифференциальных

Подробнее

ОДНА ЗАДАЧА ГРУППОВОГО ПРЕСЛЕДОВАНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ИГРЕ

ОДНА ЗАДАЧА ГРУППОВОГО ПРЕСЛЕДОВАНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ИГРЕ Математическая Теория Игр и её Приложения, т.4, в.3, с. 86 100 УДК 517.977 ББК 22.18 ОДНА ЗАДАЧА ГРУППОВОГО ПРЕСЛЕДОВАНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ИГРЕ Денис В. Сахаров Удмуртский

Подробнее

ОДНОЙ ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ С НЕПОЛНОСТЬЮ ИЗВЕСТНЫМ НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ

ОДНОЙ ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ С НЕПОЛНОСТЬЮ ИЗВЕСТНЫМ НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ М.С. Никольский ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ С НЕПОЛНОСТЬЮ ИЗВЕСТНЫМ НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ * Введение Задачам управления с неполной информацией о значениях начального состояния и текущего состояния фазового

Подробнее

Лекция 5 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Лекция 5 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ Лекция 5 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ В этой лекции мы рассмотрим некоторые результаты об операторах со слабой особенностью и теорию поверхностей Ляпунова. 0. План лекции. Свойства a), b) и c). 2. Теорема

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

ЗАДАЧА ПРОСТОГО ГРУППОВОГО ПРЕСЛЕДОВАНИЯ С РАВНЫМИ ВОЗМОЖНОСТЯМИ ПРИ НАЛИЧИИ ЗАЩИТНИКОВ УБЕГАЮЩЕГО

ЗАДАЧА ПРОСТОГО ГРУППОВОГО ПРЕСЛЕДОВАНИЯ С РАВНЫМИ ВОЗМОЖНОСТЯМИ ПРИ НАЛИЧИИ ЗАЩИТНИКОВ УБЕГАЮЩЕГО Математическая Теория Игр и её Приложения, т.6, в.2, с. 32 41 УДК 517.977 ББК 22.18 ЗАДАЧА ПРОСТОГО ГРУППОВОГО ПРЕСЛЕДОВАНИЯ С РАВНЫМИ ВОЗМОЖНОСТЯМИ ПРИ НАЛИЧИИ ЗАЩИТНИКОВ УБЕГАЮЩЕГО Александр И. Благодатских

Подробнее

4.2 Отделимость выпуклых множеств

4.2 Отделимость выпуклых множеств 4.2 Отделимость выпуклых множеств При выводе необходимых условий экстремума (принципа Лагранжа) в выпуклых задачах и в задачах с равенствами и неравенствами мы будем использовать свойство отделимости непересекающихся

Подробнее

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012 Оценка снизу скорости блуждания решения линейного дифференциального уравнения третьего порядка через частоту нулей Тихомирова А.В. arxiv:11.6657v1 [math.ca] 9 Dec 1 В работе сравниваются две характеристики

Подробнее

Метод программных итераций в задачах наведения для автономных конфликтно-управляемых систем 1

Метод программных итераций в задачах наведения для автономных конфликтно-управляемых систем 1 dx dt ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ 1, 2007 Электронный журнал, рег. П2375 от 07.03.97 ISSN 1817-2172 http://www.neva.ru/journal e-mail: jodiff@mail.ru Оптимальное управление Метод программных

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

9. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке.

9. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке. Лекция 6 9 Принцип сжимающих отображений Теоремы о неподвижной точке Пусть D оператор, вообще говоря, нелинейный, действующий из банахова пространства B в себя Определение Оператор D, действующий из банахова

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Необходимо определить управляющий вектор U оп (t)

Необходимо определить управляющий вектор U оп (t) Лекция 2 3.5.2 Поиск оптимального управления непрерывными детерминированными процессами методами Лагранжа-Понтрягина В общем виде управляемая динамическая система описывается системой дифференциальных

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости ГЛАВА УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В этой главе исследуется устойчивость самого простого класса дифференциальных систем линейных систем В частности, устанавливается, что для линейных систем с постоянными

Подробнее

Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Операторно-разностные схемы 1.1 Введение Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области G R m, и пусть u(t) абстрактная

Подробнее

НЕРАВЕНСТВА МЕЖДУ РАДИУСАМИ СФЕР, СВЯЗАННЫХ С ВЫПУКЛОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ В. К. Ионин

НЕРАВЕНСТВА МЕЖДУ РАДИУСАМИ СФЕР, СВЯЗАННЫХ С ВЫПУКЛОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ В. К. Ионин Сибирский математический журнал Май июнь, 2001. Том 42, 3 УДК 514.17 НЕРАВЕНСТВА МЕЖДУ РАДИУСАМИ СФЕР, СВЯЗАННЫХ С ВЫПУКЛОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ В. К. Ионин Аннотация: Пусть выпуклой

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

Простейшие задачи вариационного исчисления

Простейшие задачи вариационного исчисления Глава VI. Простейшие задачи вариационного исчисления 1. Функционалы в линейном нормированном пространстве Опр. 6. 1. Функционалом J[y] в линейном нормированном пространстве E называется закон соответствия,

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

max f при условии, что g(x) = b i, (1)

max f при условии, что g(x) = b i, (1) Метод множителей Лагранжа Рассмотрим экстремальную задачу с ограничениями в виде равенств: найти a при условии что ) = ) на множестве допустимых значений описываемом системой уравнений где R : R R : R

Подробнее

В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ УДК 517.95 В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ В работе рассмотрен принцип симметрии для функций, являющихся решениями уравнения Гельмгольца

Подробнее

О НЕКОТОРЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ С ЛИНЕЙНЫМ ФАЗОВЫМ ОГРАНИЧЕНИЕМ

О НЕКОТОРЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ С ЛИНЕЙНЫМ ФАЗОВЫМ ОГРАНИЧЕНИЕМ 463 УДК 517.977 О НЕКОТОРЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ С ЛИНЕЙНЫМ ФАЗОВЫМ ОГРАНИЧЕНИЕМ М.Н. Гончарова Гродненский государственный университет им. Янки Купалы Беларусь,

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Уравнение типа турбулентной фильтрации, записанное для плоской симметрии, имеет вид u t = q. u, (1) x + f (u), q = u

Уравнение типа турбулентной фильтрации, записанное для плоской симметрии, имеет вид u t = q. u, (1) x + f (u), q = u УДК 51.7+532.517 А. С. Р о м а н о в, А. В. С е м и к о л е н о в, А. П. Ш а х о р и н О РОЛИ ФУНКЦИИ ИСТОЧНИКА ПРИ ФОРМУЛИРОВКЕ ОБОБЩЕННОГО ПРИНЦИПА МАКСИМУМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТИПА ТУРБУЛЕНТНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

Подробнее

Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Устойчивость решения задачи Коши по начальным данным и правой части Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области

Подробнее

ТОЧНЫЕ ШТРАФНЫЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ. А. В. Фоминых. 22 октября 2015 г.

ТОЧНЫЕ ШТРАФНЫЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ. А. В. Фоминых. 22 октября 2015 г. ТОЧНЫЕ ШТРАФНЫЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ А. В. Фоминых alexfomser@mail.ru октября 15 г. Аннотация. В докладе рассматривается дифференциальное включение с заданными многозначным отображением

Подробнее

Рассмотрим дифференциальное уравнение u(x, t) t. u(x, 0) = 0, x [0, 1], (2) u(0,t) = 0, t 0, (3) u(x 0,t) = f(t), t 0; 0 < x 0 < 1, (4)

Рассмотрим дифференциальное уравнение u(x, t) t. u(x, 0) = 0, x [0, 1], (2) u(0,t) = 0, t 0, (3) u(x 0,t) = f(t), t 0; 0 < x 0 < 1, (4) А. С. КУТУЗОВ ОПТИМАЛЬНАЯ ПО ПОРЯДКУ ОЦЕНКА РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОВОЙ ДИАГНОСТИКИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ Доказана оптимальность по порядку метода проекционной регуляризации при

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7А Векторные топологические пространства. 1. Выпуклые множества

ЛЕКЦИЯ 7А Векторные топологические пространства. 1. Выпуклые множества ЛЕКЦИЯ 7А Векторные топологические пространства 1. Выпуклые множества Докажем некоторые свойства выпуклых множеств, непосредственно следующее из их определения. 1) Пересечение любого семейства выпуклых

Подробнее

Теория полугрупп. Полугруппы линейных операторов

Теория полугрупп. Полугруппы линейных операторов Теория полугрупп Полугруппы линейных операторов Пример Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами dx ax x x Как решить эту начальную задачу или, другими словами, задачу

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z Лекция 5 Интеграл типа Коши 5.1 Интеграл типа Коши Пусть C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой непрерывная функция. Для любой точки z C \ функция t f(t) z непрерывна по переменной

Подробнее

ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ

ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ Глава 3 ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ Лекции 3-4 Интегральное уравнение Фредгольма -го рода как пример некорректно поставленной задачи Эта тема по предмету рассмотрения

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Вспомним основные определения равновесных задач и вариационных неравенств. Пусть D R n - непустое замкнутое выпуклое множество. Определение

Подробнее

ОБ ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ АГРЕГИРОВАННЫМ ПРОИЗВОДСТВОМ С УЧЕТОМ ЗАГРЯЗНЕНИЯ ПРИРОДЫ.

ОБ ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ АГРЕГИРОВАННЫМ ПРОИЗВОДСТВОМ С УЧЕТОМ ЗАГРЯЗНЕНИЯ ПРИРОДЫ. М.С. Никольский ОБ ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ АГРЕГИРОВАННЫМ ПРОИЗВОДСТВОМ С УЧЕТОМ ЗАГРЯЗНЕНИЯ ПРИРОДЫ. Введение В статье рассматривается упрощенная управляемая модель производства однородного продукта, учитывающая

Подробнее

Список задач с решениями по функциональному анализу.

Список задач с решениями по функциональному анализу. Список задач с решениями по функциональному анализу Пусть линейное нормированное пространство Доказать, что для любых элементов выполняется неравенство из аксиом нормы:, тогда: Можно ли в пространстве

Подробнее

Аннотация: Установлены связи между решениями широкого класса систем обыкновенных

Аннотация: Установлены связи между решениями широкого класса систем обыкновенных Сибирский математический журнал Январь февраль, 26. Том 47, УДК 57.9+57.929 ОБ ОДНОМ КЛАССЕ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ОБ УРАВНЕНИЯХ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ Г. В. Демиденко, В. А. Лихошвай,

Подробнее

Линейные дифференциальные игры преследования

Линейные дифференциальные игры преследования ЧАСТЬ III. ИГРОВЫЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ 419 Линейные дифференциальные игры преследования 1. Введение Здесь рассматриваются линейные дифференциальные игры, основной моделью для которых служит процесс преследования

Подробнее

ОЦЕНКИ СНИЗУ ДЛЯ УКЛОНЕНИЙ НАИЛУЧШИХ ЛИНЕЙНЫХ МЕТОДОВ ПРИБЛИЖЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

ОЦЕНКИ СНИЗУ ДЛЯ УКЛОНЕНИЙ НАИЛУЧШИХ ЛИНЕЙНЫХ МЕТОДОВ ПРИБЛИЖЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ УДК 57.5 С. А. Пичугов Днепропетр. нац. ун-т ж.-д. транспорта ОЦЕНКИ СНИЗУ ДЛЯ УКЛОНЕНИЙ НАИЛУЧШИХ ЛИНЕЙНЫХ МЕТОДОВ ПРИБЛИЖЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ In the case of uniform

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Принцип максимума Понтрягина Задача оптимального управления f(t, x, u): [t 0, t 1 ] R n R r R

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

1 Экспонента линейного оператора.

1 Экспонента линейного оператора. 134 1. ЭКСПОНЕНТА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА. 1 Экспонента линейного оператора. 1.1 Напоминание: геометрическая формулировка основной задачи ОДУ. Напомним, что векторное поле это отображение, которое каждой точке

Подробнее

Лекция 10 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. 1. Банаховы алгебры

Лекция 10 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. 1. Банаховы алгебры Лекция 0 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ В этой лекции мы изучим банаховы алгебры и рассмотрим спектральную теорию операторов, действующих в банаховом пространстве, которое в данной лекции всюду

Подробнее

Лекция 13. Основы теории оптимального управления 13.1 Общие положения

Лекция 13. Основы теории оптимального управления 13.1 Общие положения Лекция 3. Основы теории оптимального управления 3. Общие положения В общем случае система автоматического управления состоит из объекта управления (управляемой системы) ОУ регулятора Р и программатора

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

А.В. Чичурин О СУЩЕСТВОВАНИИ ОБЩИХ ИНТЕГРАЛОВ СПЕЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ У УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА

А.В. Чичурин О СУЩЕСТВОВАНИИ ОБЩИХ ИНТЕГРАЛОВ СПЕЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ У УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА МАТЭМАТЫКА 9 УДК 579 АВ Чичурин О СУЩЕСТВОВАНИИ ОБЩИХ ИНТЕГРАЛОВ СПЕЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ У УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА Рассматривается метод построения общего интеграла специальной формы для нелинейного дифференциального

Подробнее

О ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГРАХ СО МНОГИМИ УБЕГАЮЩИМИ

О ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГРАХ СО МНОГИМИ УБЕГАЮЩИМИ 8264 УДК 517.977.8 О ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГРАХ СО МНОГИМИ УБЕГАЮЩИМИ А.С. Банников Удмуртский государственный университет Россия, 426034, Ижевск, Университетская ул., 1 E-mail: asbannikov@gmail.com

Подробнее

7. Теорема Гильберта-Шмидта.

7. Теорема Гильберта-Шмидта. Лекция 5 7 Теорема Гильберта-Шмидта Будем рассматривать интегральный оператор A, ядро которого K( удовлетворяет следующим условиям: K( s ) симметрическое, непрерывное по совокупности переменных на [, ]

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R 2 1. Необходимость расширения понятия интеграла Сначала обсудим построение интеграла Римана. Пусть функция f(x) задана на собственном отрезке [a, b]. Определим

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. НОРМА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА И ФУНКЦИОНАЛА

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. НОРМА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА И ФУНКЦИОНАЛА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 9 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. НОРМА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА И ФУНКЦИОНАЛА. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение. Пусть и векторные

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал А. М. Ильин, М. А. Меленцов, Асимптотика решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при больших значениях времени, Тр. ИММ УрО РАН, 25,

Подробнее

Равновесие Нэша - определения

Равновесие Нэша - определения Равновесие Нэша Самый популярный принцип рационального поведения в теории некооперативных игр рекомендует в качестве рациональных исходов использовать ситуации равновесия Нэша. Они характеризуются тем,

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ В СОСТОЯНИИ И УПРАВЛЕНИИ

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ В СОСТОЯНИИ И УПРАВЛЕНИИ 2393 УДК 517.97 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ В СОСТОЯНИИ И УПРАВЛЕНИИ Г.В. Шевченко Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН Россия, 630090,

Подробнее

НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ БЛИЗОСТИ КВАЗИОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ К ОПТИМАЛЬНОМУ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ БЛИЗОСТИ КВАЗИОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ К ОПТИМАЛЬНОМУ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 1377 УДК 51797756 НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ БЛИЗОСТИ КВАЗИОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ К ОПТИМАЛЬНОМУ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ АА Коробов Институт математики им С Л Соболева СО РАН Россия,

Подробнее

Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа

Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа Дальневосточный математический журнал. 214. Том 14. 2. C. 231 241 УДК 517.95 MSC21 35J5 c A. A. Илларионов, Л. В. Илларионова 1 Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа Представлены

Подробнее

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА СВЕРТКИ НА ОТРЕЗКЕ

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА СВЕРТКИ НА ОТРЕЗКЕ ISSN 74-1871 Уфимский математический журнал. Том 5. (13). С. 3-11. УДК 517.968 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА СВЕРТКИ НА ОТРЕЗКЕ С.Н. АСХАБОВ, А.Л. ДЖАБРАИЛОВ Аннотация. Методом потенциальных

Подробнее

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j Симплекс метод Рассмотрим следующую задачу линейного программирования: Задача 1. max(c, x), Ax = b, (1) x Здесь линейный оператор A действует из R n в R m, c R n, b R m. Считаем что m < n, и ранг матрицы

Подробнее

О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры

О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры Математический сборник т 7(69) 95 А Н Тихонов О системах дифференциальных уравнений содержащих параметры Рассмотрим систему дифференциальных уравнений n и решение этой системы определяемое условиями Это

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 214, том 5, 6, с. 726 744 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ УДК 517.925.52+519.218 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы.

Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы. Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 19 сентября 212 г. Обозначения пусть B это некоторое банахово пространство

Подробнее

ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛОГО ФУНКЦИОНАЛА ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КОНЦАМИ 1)

ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛОГО ФУНКЦИОНАЛА ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КОНЦАМИ 1) ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 3, том 53, 6, с. 867 877 УДК 59.658 ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛОГО ФУНКЦИОНАЛА ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И

Подробнее

такова, что: 1)f(, t, y, z) прогрессивно измерима t и для всех (y, z) со значениями в R d 1

такова, что: 1)f(, t, y, z) прогрессивно измерима t и для всех (y, z) со значениями в R d 1 3 2.2.2 Метод сжимаающих отображений Аналогичные рассуждения при определенных условиях справедливы и в общем случае. Приведем условия, при которых существует единственное решение (y(), z()) Y M задачи

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. имени М. В. ЛОМОНОСОВА. Факультет вычислительной математики и кибернетики

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. имени М. В. ЛОМОНОСОВА. Факультет вычислительной математики и кибернетики МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА Факультет вычислительной математики и кибернетики Д.В. Камзолкин, А.В. Кряжимский ВВЕДЕНИЕ В ПОЗИЦИОННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ Москва 2009

Подробнее

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной

Подробнее

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ ПОКАЗАТЕЛЯ ГУРВИЦА ДЛЯ СЕМЕЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ 2008 А. М. Фрумкин

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ ПОКАЗАТЕЛЯ ГУРВИЦА ДЛЯ СЕМЕЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ 2008 А. М. Фрумкин УДК: 59.85.4 ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ ПОКАЗАТЕЛЯ ГУРВИЦА ДЛЯ СЕМЕЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ 008 А. М. Фрумкин доц. кафедры электротехники, электроники и автоматики, к.т.н., e-mil: frumkinm@mil.ru

Подробнее

ν = sup inf gu (, u) 2.3. Антагонистические игры. Седловые точки

ν = sup inf gu (, u) 2.3. Антагонистические игры. Седловые точки .3. Антагонистические игры. Седловые точки Антагонистическая игра. Она представляет собой частный случай игры в нормальной форме Г, когда имеется два игрока (n = ) и сумма функций выигрыша этих игроков

Подробнее

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1 Тройной интеграл Волченко Ю.М. Содержание лекции Понятие тройного интеграла. Условия его существования. Теорема о среднем. Вычисление тройного интеграла в декартовых и криволинейных координатах. Тройной

Подробнее

Труды Петрозаводского государственного университета Серия Математика Выпуск 16, 2009

Труды Петрозаводского государственного университета Серия Математика Выпуск 16, 2009 Труды Петрозаводского государственного университета Серия Математика Выпуск 16, 2009 УДК 517.518 Е. С. Белкина АНАЛОГИ НЕРАВЕНСТВ НИКОЛЬСКОГО СТЕЧКИНА И БОАСА ДЛЯ ОПЕРАТОРА ДАНКЛЯ На основе гармонического

Подробнее

Глава 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПОНЯТИЯ и ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ФАКТЫ

Глава 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПОНЯТИЯ и ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ФАКТЫ Глава 1 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПОНЯТИЯ и ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ФАКТЫ Пусть E линейное (также говорят векторное) пространство, рассматриваемое над полем R, то есть множество E на котором введены операции сложения

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 16 16.1. Спектральный радиус Пусть A унитальная банахова алгебра, a A ее элемент. Определение 16.1. Число r(a) = sup{ λ : λ σ(a)} называется спектральным радиусом

Подробнее

Лекция Теорема существования и единственности решения стационарного уравнения Навье Стокса.

Лекция Теорема существования и единственности решения стационарного уравнения Навье Стокса. Лекция 9-10. Теорема существования и единственности решения стационарного уравнения Навье Стокса. Мы докажем теорему существования и единственности обобщенного решения системы уравнений Навье Стокса с

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Принцип максимума в оптимальном управлении

Принцип максимума в оптимальном управлении 200 Л.С. ПОНТРЯГИН. ИЗБРАННЫЕ ТРУДЫ Принцип максимума в оптимальном управлении Предисловие Настоящая книжка имеет целью изложить важнейшие результаты, входящие в книгу «Математическая теория оптимальных

Подробнее

Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА

Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА В этой лекции мы введём альтернативы Фредгольма и докажем с их помощью существование классических решений задач Дирихле и Неймана в ограниченных и неограниченных

Подробнее

2 Формулировка и доказательство принципа максимума Понтрягина для задачи со свободным концом

2 Формулировка и доказательство принципа максимума Понтрягина для задачи со свободным концом 2 Формулировка и доказательство принципа максимума Понтрягина для задачи со свободным концом Приведем формулировку и доказательство принципа максимума Понтрягина для следующего частного случая задачи оптимального

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Л. Н. Полякова, Некоторые методы минимизации максимума квадратичных функций, Владикавк. матем. журн., 2006, том 8, номер 4, 46 57 Использование Общероссийского

Подробнее

5 Элементы функционального анализа

5 Элементы функционального анализа 5 Элементы функционального анализа 5.1 Линейные, нормированные и банаховы пространства 5.1.1 Определение пространств Непустое множество X элементов x, y, z,... называется линейным (векторным) пространством,

Подробнее

2. Метрические пространства

2. Метрические пространства 2 2. Метрические пространства Одним из часто встречающихся в математике понятий является понятие расстояния. Оно используется в аналитической геометрии при изучении свойств геометрических объектов в евклидовых

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С АВТОМАТИЧЕСКОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

ИССЛЕДОВАНИЕ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С АВТОМАТИЧЕСКОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ УДК 57.938 ИССЛЕДОВАНИЕ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С АВТОМАТИЧЕСКОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ М.Т. Терѐхин, М.В. Юханова Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина HE INVESIGAION

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. 1. Общие вопросы теории нормированных пространств

ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. 1. Общие вопросы теории нормированных пространств ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. Общие вопросы теории нормированных пространств. Пространство L(N, N 2 ) банахово, если пространство N 2 банахово.

Подробнее

О формулах суммирования и интерполяции

О формулах суммирования и интерполяции О формулах суммирования и интерполяции А В Устинов УДК 51117 1 Введение Известно, что числа Бернулли B n и полиномы Бернулли B n x) возникают в самых разных вопросах теории чисел и приближенного анализа

Подробнее

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла.

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла. Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R 2. 1. Необходимость расширения понятия интеграла. Сначала обсудим построение интеграла Римана. Пусть функция f(x) определена на собственном отрезке [a, b]. Определим разбиение

Подробнее

ФИЛЬТРАЦИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ПО НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ С ПАМЯТЬЮ ПРИ НАЛИЧИИ АНОМАЛЬНЫХ ПОМЕХ. II. НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ

ФИЛЬТРАЦИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ПО НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ С ПАМЯТЬЮ ПРИ НАЛИЧИИ АНОМАЛЬНЫХ ПОМЕХ. II. НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ УДК 6-5:59 НС Демин СВ Рожкова ОВ Рожкова ФИЛЬТРАЦИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ПО НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ С ПАМЯТЬЮ ПРИ НАЛИЧИИ АНОМАЛЬНЫХ ПОМЕХ II НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ В данной работе

Подробнее

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K)

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K) Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 1. Пространство функций D(K) Символом α будем обозначать длину мультииндекса α: α α 1 + α 2 + + α N, α Z N + Z + Z }{{ +. } N Символом α k k обозначаем

Подробнее

Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения»

Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения» Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения» ВАРИАНТ 5 Выполнил: студент -го курса, гр. АК3-3 Ягубов Роман Борисович

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее