Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины"

Транскрипт

1 Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины А. В. БУЗЛАНОВ, С. Ф. КАМОРНИКОВ, В. С. МОНАХОВ АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Практическое пособие по выполнению лабораторных работ для студентов математических специальностей вузов Гомель 008 1

2 УДК ББК я73 Б904 Р е ц е н з е н т ы: М.В. Селькин, профессор, доктор физико-математических наук; кафедра алгебры и геометрии учреждения образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины Рекомендовано к изданию научно-методическим советом учреждения образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины Бузланов А.В. Б904 Алгебра и теория чисел. Линейная алгебра : практическое пособие по выполнению лабораторных работ для студентов математических специальностей вузов / А.В. Бузланов, С.Ф. Каморников, В.С. Монахов; М во образ. РБ, Гомельский гос. ун т им. Ф. Скорины. Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины, с. ISBN Практическое пособие включает разделы линейной алгебры курса Алгебра и теория чисел, которые изучаются во втором семестре. По каждой теме изложены элементы теории, вопросы для самоконтроля, приведены образцы решения типовых задач, предложены 1 вариантов индивидуальных заданий. Практическое пособие адресовано студентам математических специальностей. Может быть использовано студентами других специальностей, изучающих вопросы линейной алгебры. УДК ББК я73 c Бузланов А.В., Каморников С.Ф., Монахов В. С., 008 ISBN c УО ГГУ имени Ф.Скорины, 008 Содержание Предисловие 4 1. Линейные пространства и их начальные свойства 5. Базис и размерность линейного пространства 3. Подпространства линейного пространства Линейные отображения линейных пространств 5 5. Строение линейного оператора Евклидовы пространства Линейные операторы в евклидовом пространстве Квадратичные формы 16 Литература 14 3

3 Предисловие Настоящее пособие создано на основе многолетнего опыта работы авторов со студентами первого курса математического факультета Гомельского государственного университета имени Франциска Скорины. Оно охватывает разделы линейной алгебры, которые первокурсниками изучаются во втором семестре. Весь материал разбит на 8 разделов. В каждом разделе приведены основные, необходимые для практической части, элементы теории; образцы решения типовых задач; вопросы для самоконтроля. По каждой теме предложены 1 вариантов индивидуальных заданий. Всё это вместе составляет тот необходимый минимум знаний и умений, которым должен овладеть студент-математик по линейной алгебре. Кроме того, такое построение содержания каждого раздела способствует активизации и организации обязательной и доступной для всех студентов самостоятельной работы при проведении лабораторных занятий. Настоящее пособие предназначено прежде всего студентам математического факультета. Поскольку курс Алгебра и теория чисел лежит в основе всего математического образования студентов, то настоящее пособие может успешно использоваться при изучении соответствующих разделов курса Высшая математика других специальностей. Авторы выражают благодарность Д. А. Ходановичу за помощь в подготовке рукописи к изданию. Авторы 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ НАЧАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА 1.1. Элементы теории Линейным векторным пространством над полем P называется непустое множество V, удовлетворяющее следующим условиям. 1. Каждой паре x, y элементов x, y V соответствует однозначно определённый элемент x + y V, называемый их суммой, причём: 1.1 x + y + z = x + y + z для любых x, y, z V ; 1. в V существует такой элемент θ, что x + θ = θ + + x = x для всех x V ; 1. 3 для каждого элемента x V существует элемент y V такой, что x + y = y + x = θ; 1.4 x + y = y + x для любых x, y V.. Каждой паре α, x, где α P, x V, соответствует однозначно определённый элемент αx V, называемый произведением элементов α и x, причём:.1 αβx = αβx для любых α, β P и любого x V ;. 1x = x для любого x V, здесь 1 единичный элемент поля P;.3 αx + y = αx + αy для любого α P и любых x, y V ;.4 α + βx = αx + βx для любых α, β P и любого x V. Если V линейное пространство над полем P, то элементы из V называются векторами, а элементы поля P скалярами. Вектор θ называется нулевым вектором. Противоположным к вектору x V называется такой вектор y V, что x + y = y + x = θ. Противоположный вектор к вектору x обозначается через x. 4 5

4 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ НАЧАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА Линейное пространство над полем R называется действительным, над полем C комплексным. Из определения линейного пространства следует, что оно является абелевой группой относительно операции сложения векторов. Приведём несколько важных примеров линейных пространств. В дальнейшем будем ссылаться на обозначения, которые вводятся в этих примерах. 1. Через V 3 обозначим множество всех векторов в трёхмерном пространстве. Относительно операций сложения векторов и умножения их на действительные числа множество V 3 является линейным пространством над R.. Действительными линейными пространствами являются множества V 1 и V множества всех векторов на прямой и на плоскости с обычными операциями сложения векторов и умножения вектора на действительное число. 3. Линейным пространством над произвольным полем P является множество, состоящее из одного элемента θ, если сложение векторов и умножение вектора на произвольный скаляр α P определить следующим образом: θ + θ = θ, αθ = θ. Это пространство называется нулевым. 4. Пусть P поле и P n = {α 1,...,α n α i P } n-я декартова степень множества P. Определим на множестве P n сложение и умножение на скаляр следующим образом: x + y = x 1 + y 1,...,x n + y n, αx = αx 1,...,αx n для любых x = x 1,..., x n и y = y 1,...,y n из P n и любого α P. Относительно введённых операций множество P n является линейным пространством над полем P. Пространство P n называется пространством n-мерных строк над полем P. Пространство R n называется n мерным арифметическим пространством. 5. Множество Mn, P всех n n-матриц над полем P с операциями сложения матриц и умножения матриц на скаляр является линейным пространством над полем P Элементы теории 6. Множество C [a,b] всех непрерывных на отрезке [a, b] функций действительной переменной x будет линейным пространством над полем R, если сумму двух функций и произведение функции на действительное число для каждого x R определить следующим образом: f + gx = fx + gx, αfx = αfx. 7. Множество P[x] всех многочленов переменной x над полем P относительно сложения многочленов и умножения многочлена на элемент поля P является линейным пространством над полем P. 8. Множество P n [x] всех многочленов над полем P, степени которых не превосходят натурального числа n, также будет линейным пространством. Лемма 1.1. Пусть V линейное пространство над полем P. Тогда справедливы следующие утверждения: 1 в пространстве V существует единственный нулевой вектор; для каждого вектора существует единственный противоположный вектор; 3 0x = θ для любого x V, здесь 0 нулевой элемент поля P, а θ нулевой вектор пространства V ; 4 1x = x для любого x V, здесь 1 противоположный элемент к единичному элементу поля P, x противоположный вектор к вектору x; 5 αθ = θ для любого α P. Все утверждения леммы 1.1 являются простыми следствиями аксиом линейного пространства. Пусть V линейное пространство над полем P. Системой векторов называется конечная последовательность векторов a 1, a,...,a n 1.1 пространства V. Часть этой системы называется её подсистемой. Если λ 1, λ,...,λ n некоторые элементы поля P, то вектор λ 1 a 1 + λ a λ n a n называется линейной ком- 6 7

5 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ НАЧАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА бинацией векторов 1.1, а скаляры λ 1, λ,...,λ n коэффициентами этой линейной комбинации. Если для вектора x V существуют такие скаляры γ 1, γ,...,γ n, что x = γ 1 a 1 + γ a γ n a n, то говорят, что вектор x линейно выражается через векторы системы 1.1. Система векторов 1.1 называется линейно зависимой, если существуют такие скаляры λ 1, λ,...,λ n, не все равные нулю, что λ 1 a 1 + λ a λ n a n = θ. 1. Система векторов 1.1 называется линейно независимой, если равенство 1. имеет место лишь тогда, когда λ 1 = λ =... = λ n = 0. Лемма 1.. Справедливы следующие утверждения: 1 если какая-то подсистема некоторой системы векторов линейно зависима, то и вся система векторов линейно зависима; если система векторов линейно независима, то и любая её подсистема линейно независима. Теорема 1.3. Система векторов 1.1 линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов этой системы линейно выражается через остальные векторы. Теорема 1.4. Пусть система векторов a 1,..., a k, a k+1 линейно зависима, а её подсистема a 1,...,a k линейно независима. Тогда вектор a k+1 является линейной комбинацией векторов a 1,...,a k. Два линейных пространства V и V над одним и тем же полем P называются изоморфными, если существует биективное отображение ϕ: V V такое, что: 1 ϕx + y = ϕx + ϕy для всех x, y V ; ϕαx = αϕx для любого x V и любого α P. Отображение ϕ в этом случае называется изоморфизмом линейных пространств V и V. Если пространства V и V изоморфны, то пишут V = V. 1.. Примеры решения задач Теорема 1.5. Отношение изоморфизма линейных пространств над одним и тем же полем есть отношение эквивалентности. Теорема 1.6. Пусть ϕ: V V изоморфизм линейных пространств V и V над полем P. Тогда: 1 если θ нулевой вектор пространства V, то ϕθ нулевой вектор пространства V ; ϕ x = ϕx для каждого x V ; 3 если система a 1,...,a n векторов пространства V линейно независима, то система ϕa 1,..., ϕa n векторов пространства V линейно независима. 1.. Примеры решения задач Пример 1.1. Пусть V = R = {a 1, a a 1, a R}. Сложение на V определим равенством a 1, a + b 1, b = a 1 + b 1, a + b, а произведение λ P и a 1, a V равенством λa 1, a = λa 1, a. Является ли V действительным линейным пространством относительно заданных операций? Проверим выполнение условий определения линейного пространства. 1. Любым двум элементам a 1, a, b 1, b множества V соответствует элемент a 1 +b 1, a +b, который определяется однозначно и принадлежит множеству V. 1.1 Для любых a 1, a, b 1, b, c 1, c из множества V V равенства a 1, a + b 1, b + c 1, c = a 1 + b 1, a + b + c 1, c = = a 1 +b 1 +c 1, a +b +c = a 1 +b 1 +c 1, a +b +c = = a 1, a + b 1 + c 1, b + c = a 1, a + b 1, b + c 1, c. Здесь использовано свойство ассоциативности сложения действительных чисел. 8 9

6 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ НАЧАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА 1. Нулевым элементом является θ = 0, 0, так как он принадлежит V и a 1, a + 0, 0 = 0, 0 + a 1, a = a 1, a для каждого элемента a 1, a V. 1.3 Для элемента a 1, a V противоположным будет элемент a 1, a, так как он принадлежит V и a 1, a + a 1, a = a 1, a + a 1, a = 0, Для любых элементов a 1, a и b 1, b из множества V равенства a 1, a + b 1, b = a 1 + b 1, a + b = = b 1 + a 1, b + a = b 1, b + a 1, a. Здесь использовано свойство коммутативности сложения действительных чисел.. Любым двум элементам λ R и a 1, a V соответствует однозначно определённый элемент λa 1, a, принадлежащий V..1 Для любых λ, β R и любого элемента a 1, a из V равенства λβa 1, a = λβa 1, a = λβa 1, a = = λβa 1, a = λβa 1, a. Здесь использовано свойство ассоциативности умножения действительных чисел.. Пусть 1 R, a 1, a любой элемент из V. Тогда 1a 1, a = 1a 1, a = a 1, a.. 3 Для любого действительного числа λ и любых элементов a 1, a, b 1, b множества V верны равенства λa 1, a + b 1, b = λa 1 + b 1, a + b = = λa 1 + b 1, a + b = λa 1 + λb 1, a + b = = λa 1, a + λb 1, b = λa 1, a + λb 1, b..4 Возьмем любые λ, β R и a 1, a V. Тогда λ + βa 1, a = λ + βa 1, a = λa 1 + βa 1, a, λa 1, a + βa 1, a = λa 1, a + βa 1, a = 1.. Примеры решения задач = λa 1 + βa 1, a + a = λa 1 + βa 1, a. Значит, λ + βa 1, a λa 1, a + βa 1, a и множество V не является линейным пространством относительно заданных операций. Пример 1.. Являются ли в пространстве R 4 линейно зависимыми векторы a 1 = 1,, 3, 4, a = 3, 6, 9, 1, a 3 = 1,, 3, 6? Из равенства λ 1 a 1 + λ a + λ 3 a 3 = θ, где λ 1, λ, λ 3 элементы поля R, а θ = 0, 0, 0, 0 нулевой вектор пространства R 4, легко получить систему линейных уравнений относительно λ 1, λ, λ 3, приравняв соответствующие элементы строк в обеих частях исходного равенства λ 1 + 3λ + λ 3 = 0 λ 1 + 6λ + λ 3 = 0 3λ 1 + 9λ + 3λ 3 = 0 4λ 1 + 1λ + 6λ 3 = 0. Решая эту систему методом Гаусса, находим λ 1 = 3λ, λ 3 = 0. Так как система имеет ненулевые решения например, λ 1 = 3, λ = 1, λ 3 = 0, то векторы a 1, a, a 3 являются линейно зависимыми. Пример 1.3. Являются ли в пространстве R n [x] линейно зависимыми векторы f 1 x = 1, f 1 x = x,...,f n+1 x = = x n? Продифференцируем n раз обе части равенства α 1 f 1 x + α f x α n f n x + α n+1 f n+1 x = 0. Получим систему уравнений α 1 + α x α n x n 1 + α n+1 x n = 0 α n 1α n x n + nα n+1 x n 1 = 0... n 1!α n + n!α n+1 x = 0 n!α n+1 =

7 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ НАЧАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА Относительно неизвестных α 1, α,...,α n+1 определитель этой системы принимает вид 1 x... x n 1 x n n 1x n nx n 1 =... = n 1!n! n 1! n!x n! Поэтому система имеет единственное решение. Поскольку система однородная, то она имеет только нулевое решение: α 1 = α =... = α n+1 = 0. Это означает, что векторы f 1 x,...,f n+1 x линейно независимы. Пример 1.4. Докажите изоморфизм линейных пространств R 1 [x] и R. Установим соответствие между векторами данных пространств следующим образом: f : ax + b a, b, ax + b R 1 [x], a, b R. Легко показать, что f является биективным отображением. Для любых mx = a 1 x + b 1 и nx = a x + b, принадлежащих пространству R 1 [x], и для любого α R справедливы следующие равенства: fmx + nx = fa 1 x + b 1 + a x + b = = fa 1 + a x + b 1 + b = a 1 + a, b 1 + b = = a 1, b 1 + a, b = fa 1 x + b 1 + fa x + b = = fmx + fnx; fλmx = fλa 1 x + b 1 = fλa 1 x + λb 1 = = λa 1, λb 1 = λa 1, b 1 = λfa 1 x + b 1 = λfmx. Значит, f является изоморфизмом линейных пространств R 1 [x] и R Вопросы для самоконтроля 1.3. Вопросы для самоконтроля 1. Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств Как задать линейное пространство над полем P? 1.. Покажите, что поле P можно рассматривать как линейное пространство над полем P с операциями сложения и умножения, определенными в P Являются ли действительными линейными пространствами следующие множества чисел с обычными операциями сложения и умножения чисел: N множество всех натуральных чисел; Z множество всех целых чисел; C множество всех комплексных чисел; R + множество всех действительных положительных чисел? Является ли действительным линейным пространством множество всех векторов, не параллельных данной прямой, если сложение векторов и умножение их на число определяются правилами векторной алгебры? 1.5. Докажите, что множества V 3, V, V 1, P n, Mn, P, C [a,b], P[x], P n [x] с введёнными на них операциями сложения и умножения на скаляры являются линейными пространствами.. Простейшие следствия из аксиом линейного пространства.. 1. Докажите, что линейное пространство обладает единственным нулевым вектором... Докажите, что для каждого вектора x V существует единственный противоположный вектор..3. Сколько решений в пространстве V имеет уравнение a + x = b?.4. Докажите, что 0a = θ для любого a V..5. Всегда ли αθ = θ? 1 13

8 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ НАЧАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА.6. Докажите, что λa θ при любых a V \ {θ} и λ P \ {0}. 3. Линейная зависимость векторов Что понимается под системой векторов? 3.. Сформулируйте определение линейно независимой системы векторов Покажите, что два вектора из V линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны Покажите, что три вектора из V 3 линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны Может ли линейно независимая система содержать нулевой вектор? Сформулируйте критерий линейной независимости системы, состоящей из одного вектора Может ли линейно независимая система содержать два равных вектора? Докажите, что в пространстве M, R линейно независима система векторов E 1 =, E 0 0 =, E =, E = Верно ли, что если a, b, c линейно независимые векторы, то этим свойством обладают векторы a+b, b+c, c + a? 4. Критерий линейной зависимости системы векторов Сформулируйте критерий линейной зависимости системы, состоящей из одного вектора. 4.. Докажите, что если три вектора a 1, a, a 3 линейно зависимы и вектор a 3 не выражается линейно через векторы a 1 и a, то векторы a 1 и a различаются между собой лишь скалярным множителем Докажите, что система векторов a 1, a,...,a k, отличных от нуля, тогда и только тогда линейно независима, когда ни один из этих векторов не выражается через предыдущие. 5. Изоморфизм линейных пространств Индивидуальные задания Какие линейные пространства называются изоморфными? 5.. Пусть V и V линейные пространства над полем P, f : V V изоморфизм. Докажите, что: f 1 : V V изоморфизм; 5... f n α i x i = n α i fx i, для любых α i P, x i i=1 i=1 V Пусть f : V V изоморфизм линейных пространств. Докажите, что система векторов a 1, a,...,a n из V линейно зависима тогда и только тогда, когда линейно зависима система их образов fa 1, fa,..., fa n Пусть f : V V биективное отображение линейных пространств V и V над полем P. Докажите, что f является изоморфизмом тогда и только тогда, когда fαx + βy = αfx + βfy для любых x, y V и любых α, β P Покажите, что изоморфизмом является тождественное преобразование ε: x x линейного пространства V на себя Пусть f : V 1 V изоморфизм линейных пространств V 1 и V, g: V V 3 изоморфизм линейных пространств V и V 3. Докажите, что gf изоморфизм V 1 и V Докажите, что отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на множестве всех линейных пространств над одним и тем же полем Индивидуальные задания Является ли действительным линейным пространством с операциями, определенными в R n, множество всех тех строк α 1, α,...,α n, которые удовлетворяют следующему условию

9 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ НАЧАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА 1.1. Все координаты равны между собой? 1.. Первая координата α 1 равна нулю? 1.3. Сумма координат равна нулю? 1.4. Сумма координат равна единице? 1.5. Координата α n равна сумме всех остальных координат? 1.6. Последняя координата α n равна нулю? Является ли комплексным линейным пространством с операциями сложения матриц и умножения матрицы на элемент поля C множество всех тех n n-матриц, которые удовлетворяют следующему условию Первая строка нулевая? Все элементы, не расположенные на главной диагонали, равны нулю диагональные матрицы? 1.9. Определитель равен нулю? Все элементы ниже главной диагонали равны нулю? Все элементы выше главной диагонали равны нулю? 1.1. Все элементы главной диагонали равны нулю? Является ли комплексным линейным пространством с операциями сложения многочленов и умножения многочленов на комплексное число множество всех тех многочленов fx C n [x], которые удовлетворяют следующему условию..1. f0 = 1?.. f0 = 0?.3. f0 3f1 = 0?.4. f1 + f fk = 0?.5. f1 = 0?.6. fx имеет только чётные степени переменной x? Является ли действительным линейным пространством с операциями, определёнными в C [a,b], множество всех тех функций, которые обладают следующим свойством Индивидуальные задания. 7. Дифференцируемы на [a, b]?.8. Имеют вид ax+b, где a, b любые действительные числа?.9. Имеют вид ax + bx + c, где a, b, c любые действительные числа?.10. fa = 0?.11. Неотрицательны на [a, b]?.1. Монотонны на [a, b]? 3. Докажите, что множество решений однородной системы линейных уравнений образует линейное пространство над R: 3x 1 + x + x 3 x 4 9x 5 = x 1 + x + 5x 3 + x 4 + x 5 = 0 6x 1 + x + x 3 3x 5 = 0. x 1 + 4x + x 3 + x 4 = x 1 + 7x x 3 = 0 x 1 + 3x x 4 = 0. x 1 x 3 + x 4 = x 1 + x 3x 3 = 0 4x 1 3x + x 4 = 0. x 1 x + x 3 4x 4 + x 5 = x 1 + x x 4 x 5 = 0 3x 1 x 3 + x 5 = 0. x 1 + x x 3 + 4x 4 = x 1 3x + 3x 3 = 0 x 1 x + x 3 + 4x 4 = 0. x 1 + x x 3 + x 4 x 5 = x 1 + x 3 3x 4 = 0 3x 1 x + x 3 + x 5 =

10 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ НАЧАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА x 1 x + 3x 3 x 4 = x 1 + 3x x 3 + x 4 = 0 x + x 3 + x 4 = 0. x 1 + x + 3x 3 x 4 + x 5 = x 1 + x x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 4x 3 + 3x 4 + x 5 = 0. 3x 1 x + x 3 x 4 = x 1 x 3 x 4 = 0 x 1 x + 3x 3 3x 4 = 0. x 1 + x x 3 + x 4 + x 5 = x 1 + x 3x 3 x 4 = 0 x 1 x 3 3x 4 + x 5 = 0. x 1 x + x 4 = x 1 + 3x x 3 + x 4 = 0 x 1 + x x 3 + 3x 4 = 0. x 1 x + 3x 3 + x 4 x 5 = x 1 + x x 3 x 4 = 0 3x 1 + x 4x 3 x 4 x 5 = Являются ли векторы a 1, a, a 3, a 4 пространства R 4 линейно зависимыми? В случае утвердительного ответа найдите нетривиальную линейную комбинацию, равную нулю Индивидуальные задания a 1 a a 3 a ,1,1,0,-1,1,3-1,,1,5,,-1, ,1,-1,0-1,,,-3 -,1,-1,4-1,1,, ,-1,,1 -,1,4,5 4,3,-,1-4,4,-1, ,1,3, -1,1,1,1 7,-1,,0 5,1,1, ,,1,1 -,3,3,4 1,1,5,- -3,4,-, ,4,,1 0,3,,1-1,1,1,-1 4,3,, ,1,-1, -1,1,, 0,-1,0,-1 0,1,1, ,3,-,1-3,3,3,0 -,0,1,1-1,0,1, ,1,0, 4,5,0,1 4,5,-1, -1,,5, ,1,-4,3-3,,1,-1 -,-1,1,4 -,3,-, ,1,,0 0,0,3,-1 0,-1,-,-3 0,1,-1, ,-3,,1-1,0,1, -1,1,-1,1 4,,-,3 5. Являются ли линейно зависимыми векторы z 1 и z из пространства C над R? z 1 z z 1 z i 4i i + 3i i 1 + i i 5 i i 4 i i + 3i i 1 i i i 5.9. i 4 + i i 1 + 3i i 1 i i 3 + 3i 6. Является ли линейно зависимой система векторов пространства C [a,b]? 6.1. sin x, cosx; 6.. 1, sin x, cos x; 6.3. sin x, sin x; , cos x, cos x; , sin x, sin x; , cos x, cos x; , sin x, cos x; 6.8. e x, e x, e 3x ; 6.9. x, 3 x, 6 x ; x, e x, xe x ; sin x, cosx, sin x; 6.1. sin x, sinx + 1, cosx

11 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ НАЧАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА 7. Являются ли векторы f 1 x, f x, f 3 x линейного пространства R [x] линейно зависимыми? В случае утвердительного ответа найдите нетривиальную линейную комбинацию, равную нулю. f 1 x f x f 3 x 7.1. x + 5 x 4x + 3 x + 16x x + 9 x 8x + 1 x x 5 x + 1 x x x + x 6x 5x + 3 x x + 5 x + x + 3 x x + 4 x x + 4 3x + x x x + 3 x 5 6x + 3x x + x x + x + 3 5x x x + x + 4 x + x + 3x x + 5x 7 4x + 5x x + 10x x + x + 1 x + x + 5x x + 3x 4x 4x + 7x Найдите все значения λ, при которых в пространстве R 4 вектор c линейно выражается через векторы a 1, a, a 3. a 1 a a 3 c ,,3,-1 0,1,-,3-1,,0,4 1,1,,λ ,0,,5 1,-1,,0,0,1,5-1,-,λ, ,,3,-4 0,1,-3, 5,4,3,- 0,1,1,λ ,1,4, 1,,4,-5 1,1,-1, -1,1,0,λ ,3,,1 3,-,1,0 0,5,3, 0,,-1,λ ,1,1,-1-4,,5,3-4,-,1,0 -,1,λ, ,1,1, -1,0,3,5-1,4,5,0-1,-1,λ, ,-4,5, -1,1,,4 4,,-,4 -,,λ, ,-,,0-1,3,-,0 -,3,-3,1 1,-1,-1,λ ,,-1,1-1,0,,1-3,1,,-1-3,,λ, ,-,3,-3 -,4,1,0 4,-5,,-1 -,3,1,λ ,,-1,0 1,5,0,-1 5,,-1,0 1,-1,1,λ 1.4. Индивидуальные задания 9. Докажите, что линейные пространства V и W изоморфны V = M, R, W = R 3 [x]. 9.. V = C над R, W = R V = R 4, W = R 3 [x] V = M, R, W = R V = R [x], W = V V = C 3 [x], W = C V = C 3 [x], W = M, C V = C { 3, W = C [x]. } α V = α, β C над C, W = C 0 β 1 [x]. { } 0 α V = α, β R над R, W = R β 0 1 [x] V = { {α 1, 0, α α i C} над } C, W = C 1 [x]. 0 α 9.1. V = α, β, γ C над C, W = C β γ. 0 1

12 .1. Элементы теории. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА.1. Элементы теории Пусть V линейное пространство над полем P. Если для любого натурального числа n в пространстве V имеется n линейно независимых векторов, то пространство V называется бесконечномерным. Пусть пространство V не бесконечномерное. Система векторов e 1, e,..., e n называется базисом пространства V, если она линейно независима и любой вектор пространства V линейно выражается через векторы этой системы. Теорема.1. В любом не бесконечномерном линейном пространстве все базисы состоят из одного и того же числа векторов. Теорема.1 позволяет ввести следующие определения. Линейное не бесконечномерное пространство V над полем P называется n-мерным, если в нем есть базис, состоящий из n векторов. Число n называется размерностью пространства V. Нулевое пространство называется нульмерным. Все n-мерные пространства, n = 0, 1,,..., называются конечномерными. Размерность линейного пространства V обозначается через dim V. Будем обозначать также n-мерное пространство через V n. Если линейное пространство V бесконечномерно, то пишем dim V =. Линейные пространства V 3, V, V 1, P n, Mn, P, P n [x] конечномерны. Линейные пространства P[x], C [a,b] являются бесконечномерными. Теорема.. Для любого n-мерного линейного пространства справедливы следующие утверждения: 1 каждую линейно независимую систему векторов можно дополнить до базиса; любая линейно независимая система из n векторов является базисом. Из теоремы. следует, что в линейном пространстве V n любая система из n + 1 векторов является линейно зависимой. Следующая теорема показывает, что при фиксированном поле P и размерности n существует единственное с точностью до изоморфизма n-мерное линейное пространство над полем P. Теорема.3. Два линейных пространства V и V над одним и тем же полем P изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность. Пусть V n линейное пространство над полем P, e 1, e,...,e n базис пространства V n. Тогда каждый вектор x V n можно представить в виде x = x 1 e 1 + x e x n e n, где x 1, x,...,x n некоторые элементы поля P. Такое представление называется разложением вектора x по векторам базиса e 1, e,...,e n, а коэффициенты x 1, x,...,x n называют координатами вектора x в базисе e 1, e,...,e n. Теорема.4. Координаты вектора в заданном базисе определяются однозначно. Разложение вектора по векторам базиса удобно записывать в матричной форме. Если обозначим e 1 x = x 1 x...x n, [e] = e..., то разложение x = x 1 e x n e n является элементом матрицы x[e]. В этом случае будем писать x = x[e]. Матрица x называется координатной строкой вектора x, а матрица [e] базисным столбцом базиса e 1, e,...,e n. Теорема При сложении двух векторов, задан- e n 3

13 . БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА ных в одном базисе, соответствующие координаты складываются.. При умножении вектора на скаляр его координаты умножаются на этот скаляр. 3. Для любых векторов x, y V n и любого α P выполняются равенства x + y = x + y, αx = αx. Пусть e 1, e,...,e n и e 1, e,...,e n два базиса линейного пространства V n над полем P. Разложим векторы системы e 1, e,...,e n по векторам базиса e 1, e,...,e n : e 1 = α 11e 1 + α 1 e α 1n e n e = α 1e 1 + α e α n e n... e n = α n1 e 1 + α n e α nn e n. Матрица α 11 α 1... α 1n A = α 1 α... a n... α n1 α n... a nn называется матрицей перехода от базиса e 1, e,..., e n к базису e 1, e,...,e n. Если возьмём базисные столбцы e 1 [e] =..., [e ] =..., e n то указанная выше система в матричной форме будет иметь вид [e ] = A[e]. Теорема.6. Матрица перехода от одного базиса линейного пространства к другому невырожденная. Из теоремы.6 следует, что матрица перехода от одного базиса линейного пространства к другому обратима. Более того, если A матрица перехода от старого базиса к новому, то A 1 матрица перехода от ново- e 1 e n.. Примеры решения задач го базиса к старому. Следующая теорема устанавливает связь между координатами вектора x в разных базисах. Теорема Пусть x координатная строка вектора x в базисе e 1, e,...,e n, x координатная строка вектора x в базисе e 1, e,..., e n. Если A матрица перехода от базиса e 1, e,..., e n к базису e 1, e,...,e n, то x = x A, x = xa 1.. Старая координатная строка вектора равна новой координатной строке этого вектора, умноженной на матрицу перехода от старого базиса к новому. 3. Новая координатная строка вектора равна старой координатной строке этого вектора, умноженной на матрицу, обратную к матрице перехода от старого базиса к новому... Примеры решения задач Пример.1. Докажите, что комплексные числа z 1 = = + i и z = 3 + i образуют базис действительного линейного пространства C. Покажем, что векторы z 1 и z линейно независимы и любой вектор линейного пространства C линейно выражается через z 1 и z. Из равенства α 1 + i + α 3 + i = 0 легко получить систему уравнений относительно скаляров α 1 и α : { α 1 3α = 0 α 1 + α = 0. Определитель системы = 3 1 = 1 0, 4 5

14 . БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА поэтому система имеет единственное решение, которое, ввиду однородности системы, является нулевым, т.е. α 1 = = α = 0. Это означает, что векторы z 1 и z линейно независимы. Пусть z = α + βi произвольный вектор линейного пространства C. Покажем, что всегда можно найти скаляры γ 1 и γ такие, что γ 1 + i + γ 3 + i = α + βi. Решая систему уравнений { γ 1 3γ = α γ 1 + γ = β, получим γ 1 = α 3β, γ = α + β, т.е. α + βi = α 3β + i + α + β 3 + i. Следовательно, любой вектор z C линейно выражается через z 1 и z. Пример.. Докажите, что векторы a 1 = 1,, 3, a = 3,, 1, a 3 = 1, 1, 0 образуют базис пространства R 3. Найдите координаты вектора c = 3, 5, 6 в этом базисе. Так как линейное пространство R 3 имеет размерность три, то ввиду теоремы. достаточно проверить, что векторы a 1, a, a 3 линейно независимы. Пусть α 1 1,, 3 + α 3,, 1 + α 3 1, 1, 0 = 0, 0, 0. Переходим к системе α 1 + 3α + α 3 = 0 α 1 + α + α 3 = 0 3α 1 α = 0. Решая эту систему, получим α 1 = α = α 3 = 0, т.е. векторы a 1, a, a 3 линейно независимы, поэтому они образуют базис пространства R 3. Найдём координаты c 1, c, c 3 вектора c в этом базисе. Пусть c 1 1,, 3 + c 3,, 1 + c 3 1, 1, 0 = 3, 5, 6. Из системы c 1 + 3c + c 3 = 3 c 1 + c + c 3 = 5 3c 1 c = 6.. Примеры решения задач получим c 1 = /3, c = 4, c 3 = 43/3. Пример.3. Найдите базис пространства решений следующей однородной системы линейных уравнений x 1 + 3x x 3 + x 4 = 0 x 1 + x + 3x 3 x 4 = 0 x 1 + 5x + x 3 = 0. Найдём решения данной системы линейных уравнений Преобразованная система имеет вид { x 1 + x + 3x 3 x 4 = 0 7x + 5x 3 x 4 = 0. Так как определитель из коэффициентов при x 1 и x = 1 0, то можно выбрать x 1 и x 4 главными неизвестными. Тогда x 1 = 5x x 3, x 4 = 7x + 5x 3, x и x 3 любые действительные числа. Каждое решение будем записывать в виде строки, т.е. x = 5x x 3, x, x 3, 7x + 5x 3, x, x 3 R. 6 7

15 . БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА Тогда множество всех решений данной системы можно записать как множество M = { 5α β, α, β, 7α + 5β α, β R}. Нетрудно показать, что M образует действительное линейное пространство относительно операций сложения строк и умножения числа на строку. Пусть a = 5α 1 β 1, α 1, β 1, 7α 1 +5β 1 произвольное решение данной системы. Тогда a = 5α 1 β 1, α 1, β 1, 7α 1 + 5β 1 = 5α 1, α 1, 0, 7α β 1, 0, β 1, 5β 1 = α 1 5, 1, 0, 7 + β 1, 0, 1, 5. Строка a 1 = 5, 1, 0, 7 является вектором пространства M при α = 1, β = 0. Строка a =, 0, 1, 5 также вектор из M при α = 0, β = 1. Итак, каждый вектор пространства M линейно выражается через векторы a 1 и a. Легко проверить, что a 1 и a линейно независимые векторы. Значит, a 1 и a образуют базис пространства M решений данной однородной системы. Пример.4. Матрицей перехода от базиса e 1, e к базису e 1, e действительного линейного пространства является матрица 1 A =. 1 1 Найдите координатную строку вектора a = e 1 + e в базисе e 1, e. Координатная строка вектора a в базисе e 1, e имеет вид 1 1. Пусть λ 1 λ координатная строка вектора a в базисе e 1, e. Тогда 1 1 = λ 1 λ A. Отсюда легко получить равенство λ 1 λ = 1 1 A 1. Так как 1 A 1 =, то λ1 λ = = Примеры решения задач Пример.5. В пространстве R заданы два базиса e 1 = 3,, e = 1, ; e 1 =, 4, e = 1, 6. Найдите матрицу перехода от базиса e 1, e к базису e 1, e. Первый способ. Так как векторы e 1, e образуют базис пространства, то векторы e 1 и e можно линейно выразить через e 1, e : e 1 = α 11 e 1 + α 1 e, e = α 1 e 1 + α e,, 4 = α 11 3, + α 1 1,, 1, 6 = α 1 3, + α 1,. Каждое из этих равенств можно заменить системой уравнений { { 3α 11 + α 1 = 3α 1 + α = 1 α 11 α 1 = 4, α 1 α = 6. Решая эти системы, получаем: α 11 = 1, α 1 = 1, α 1 = 1, α =. Матрицей перехода от базиса e 1, e к базису e 1, e является матрица α11 α A = =. α 1 α 1 Второй способ. Проверим, что в пространстве R векторы a 1 = 1, 0, a = 0, 1 образуют базис. Действительно, они линейно независимы и любой вектор b, c R линейно выражается через a 1 и a : b, c = b1, 0 + c0, 1. Далее e 1 = 3a 1 + a, e = a 1 a или e1 3 a1 =..1 e 1 a Аналогично e 1 4 a1 e = a Пусть A матрица перехода от базиса e 1, e к базису 8 9

16 . БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА e 1, e. Тогда e 1 e = A e1 e. Из равенства.1 получаем: 1 a1 3 e1 =. a 1 e Обращаясь к равенству., имеем: e e1 e = e Значит, искомая матрица перехода имеет вид: A = = /4 1/4 1 1 = = /8 3/ Вопросы для самоконтроля 1. Определение базиса линейного пространства Для каждого из линейных пространств V 1, V, V 3, R n, R n [x], Mn, R укажите один из базисов. 1.. Опишите все базисы линейного пространства V Имеет ли нулевое пространство базис? 1.4. Пусть в линейном пространстве V даны n линейно независимых векторов e 1, e,...,e n. Что ещё надо потребовать, чтобы указанная система векторов была базисом в данном линейном пространстве? 1.5. Пусть e 1, e,...,e n базис линейного пространства V над полем P. Будет ли базисом в V система векторов αe 1, αe,...,αe n, где α P \ {0}? 1.6. Пусть e 1, e,...,e n базис линейного пространства V и x V. Докажите, что система x, e 1, e,...,e n линейно зависима..3. Вопросы для самоконтроля. Размерность линейного пространства.. 1. Какие линейные пространства называются конечномерными?.. Как определяется размерность нулевого пространства?. 3. Какие линейные пространства называются бесконечномерными?. 4. Для каждого из действительных линейных пространств V 1, V, V 3, R n, R n [x], Mn, R укажите размерность..5. Докажите, что линейные пространства C [a,b] и R[x] бесконечномерны. 3. Изоморфизм линейных пространств Пусть f : V V изоморфизм линейных пространств V и V над полем P, e 1, e,...,e n базис пространства V. Докажите, что fe 1, fe,...,fe n базис пространства V. 3.. Как строится изоморфизм линейных пространств V и V над полем P, имеющих одинаковую размерность? Докажите, что любое ненулевое действительное конечномерное линейное пространство изоморфно некоторому арифметическому пространству Докажите, что изоморфизм двух n-мерных действительных линейных пространств определяется неоднозначно Всякое ли действительное конечномерное линейное пространство V изоморфно пространству Mn, R? Докажите, что ненулевое действительное линейное пространство изоморфно некоторому линейному пространству R n [x]. 4. Координаты вектора Докажите, что координаты вектора в заданном базисе определяются однозначно. 4.. Приводит ли перестановка векторов в базисе к изменению базиса? 30 31

17 . БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА 4.3. Запишите разложение вектора x V n по векторам базиса e 1, e,...,e n в матричной форме Какие координаты имеет нулевой вектор в заданном базисе? Изменяются ли эти координаты при переходе к другому базису? 5. Связь между базисами линейного пространства Как определяется матрица перехода от одного базиса линейного пространства к другому? 5.. Запишите матрицу перехода от базиса e 1, e, e 3 пространства V 3 к базису e 3, e, e Запишите формулу перехода от одного базиса линейного пространства к другому в матричной форме Докажите, что матрица перехода от одного базиса линейного пространства к другому обратима. 6. Преобразование координат вектора при изменении базиса Как изменятся координаты вектора x V 3 при переходе от базиса e 1, e, e 3 к базису e 3, e, e 1? 6.. Запишите формулы преобразования координат, если известна матрица перехода от нового базиса к старому Запишите формулы преобразования координат в матричной форме..4. Индивидуальные задания 1. Докажите, что в линейном пространстве R n [x] многочлены 1, x a, x a...,x a n, a R, образуют базис. Найдите координаты многочлена fx в этом базисе. a fx x 5 x 3 + 5x x 5 + 4x 4 + 4x 3 8x 3x x 5 + 4x 4 + 4x 3 x 4x x 5 + x 4 + x 3 + x + x + 1 a fx x 5 + x 4 + 3x 3 x x x 5 6x 4 + 9x 3 x + 6x x 5 5x 4 3x 3 + x x x 5 + x 4 + x 3 x x x 5 + 3x 4 + x 3x x 5 x 3 + 5x x 5 x 4 + x x 5 x 3 x + x 1.4. Индивидуальные задания. Докажите, что система векторов e 1, e, e 3 образует базис в линейном пространстве R 3, и найдите координаты вектора a в этом базисе. e 1 e e 3 a. 1. 1,1,1 1,1, 1,,3 6,9,14..,1,-3 3,,-5 1,-1,1 6,, ,,1,3,3 3,8, 3,5, ,5,8 5,14,13 1,9,,3,3.5.,0,1-1,,3-1,1,1 3,5,4.6. 0,1,- -,0,3 1,-1,1 3,1, ,0, 3,-1,4,-,1 3,,0.8. -,3,1 0,,1 1,,1 3,-4,.9. -3,0,1 0,,3-1,-1,-1 5,6, ,1,-1 -,0,1,7,3 10,-1, ,0,5 -,1,3-5,1,-1-5,7, ,3,7 0,,-1 1,-,-8-1,,7 3. Докажите, что комплексные числа z 1 и z образуют базис действительного линейного пространства комплексных чисел C, и запишите координатную строку числа 5 + 4i в этом базисе. 3 33

18 . БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА z 1 z i i 3.. i 3 + i i 1 i i 5i i + i i 1 + i z 1 z i i i i 3.9. i 1 + 3i i 1 + 4i i + 3i i 3 + 4i 4. Докажите, что матрицы E 1, E, E 3, E 4 образуют базис линейного пространства M, R, и запишите разложение по векторам этого базиса вектора 1 1 A = E 1 E E 3 E Индивидуальные задания E 1 E E 3 E Базис пространства решений однородной системы линейных уравнений называется фундаментальной системой решений. Найдите размерность и укажите фундаментальную систему решений пространства решений однородной системы линейных уравнений из главы Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому в результате следующего преобразования? Поменять местами два первых вектора первого базиса. 6.. Поменять местами два последних вектора первого базиса Поменять местами два произвольных вектора первого базиса Поменять местами два первых вектора второго базиса Поменять местами два последних вектора второго базиса Поменять местами два произвольных вектора второго базиса Записать векторы первого базиса в обратном порядке Записать векторы второго базиса в обратном порядке Поменять местами два вектора первого базиса и записать векторы второго базиса в обратном порядке Поменять местами два вектора второго базиса и записать векторы первого базиса в обратном порядке

19 . БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА Второй базис сделать первым, первый вторым. 7. Даны векторы e 1, e, e 3, a 1, a, a 3 линейного пространства R 3. Докажите, что векторы e 1, e, e 3 и a 1, a, a 3 образуют базисы линейного пространства R 3. Найдите матрицу перехода от базиса e 1, e, e 3 к базису a 1, a, a 3. Найдите матрицу перехода от базиса a 1, a, a 3 к базису e 1, e, e 3. Найдите координаты вектора c =, 0, 1 в базисе e 1, e, e 3. Найдите координаты вектора x = e 1 e + e 3 в базисе a 1, a, a 3. e 1 e e , 1, 3 3,, 5 1, 1, ,, 1, 3, 3 3, 8, , 5, 8 5, 14, 13 1, 9, 7.4., 0, 1 1,, 3 1, 1, , 1,, 0, 3 1, 1, , 0, 3, 1, 4,, , 3, 1 0,, 1 1,, , 0, 1 0,, 3 1, 1, , 1, 1, 0, 1, 7, , 0, 5, 1, 3 5, 1, , 3, 7 0,, 1 1,, , 1, 1 1, 1, 1,, 3 a 1 a a , 1,, 0, 3 1, 1, , 0, 3, 1, 4,, , 3, 1 0,, 1 1,, , 0, 1 0,, 3 1, 1, , 1, 1, 0, 1, 7, 3.4. Индивидуальные задания a 1 a a , 0, 5, 1, 3 5, 1, , 3, 7 0,, 1 1,, , 1, 1 1, 1, 1,, , 1, 3 3,, 5 1, 1, ,, 1, 3, 3 3, 8, , 3, 1, 1, 8 1,, , 0, 1 1,, 3 1, 1, 1 8. Пусть 3 0 координатная строка вектора a в базисе e 1, e, e 3 действительного линейного пространства V, A матрица перехода от базиса e 1, e, e 3 пространства V к базису e 1, e, e 3. Найдите координаты вектора a в базисе e 1, e, e A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A =

20 3.1. Элементы теории 3. ПОДПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА 3.1. Элементы теории Непустое множество W векторов линейного пространства V над полем P называется подпространством, если x + y W и αx W для любых x, y W и любого α P. Линейное пространство V является своим подпространством. Множество {θ}, содержащее лишь нулевой вектор θ пространства V, является подпространством этого пространства. Его называют нулевым подпространством. Введем на множестве всех подпространств линейного пространства V операции сложения подпространств и пересечения подпространств. Пусть W 1, W,...,W k конечная система подпространств линейного пространства V над полем P. Суммой этих подпространств называется множество всех векторов x V, представимых в виде x = x 1 + x x k, x i W i, i = 1,,..., k. Обозначается сумма подпространств символом W 1 + W W k или k W i. Итак, из определения следует, что i=1 k W i = {x 1 + x x k x i W i, i = 1,,..., k}. i=1 Пересечением подпространств W 1, W,...,W k называется множество всех векторов из V, которые принадлежат одновременно подпространствам W 1, W,...,W k. Обозначается пересечение подпространств символом W 1 W W k или k W i. Аналогично определяется пересечение i=1 произвольной не обязательно конечной системы подпро- странств линейного пространства, а именно: W i = {x V x W i для всех i I}. i I Лемма Сумма конечного множества подпространств W 1, W,...,W k линейного пространства V над полем P является подпространством.. Пересечение любого множества подпространств W i, i I, линейного пространства V над полем P является подпространством. Всякое подпространство W линейного пространства V над полем P само является линейным пространством над этим полем, если выполнять операции сложения векторов из W и умножения их на скаляры из P по правилам, определённым для пространства V. Поэтому можно говорить о таких понятиях, как базис подпространства и размерность подпространства. Лемма 3.. Каждое подпространство W n-мерного линейного пространства V конечномерно, причем dim W n. Если dim W = n, то W = V. Теорема 3.3. Пусть U и W конечномерные подпространства линейного пространства V над полем P. Тогда dimu + W = dim U + dim W dimu W. Эта формула называется формулой Грассмана. Сумма подпространств W 1, W,...,W k линейного пространства V называется прямой суммой, если каждое подпространство W i пересекается с суммой остальных подпространств по нулевому подпространству. Обозначается прямая сумма подпространств W 1, W,...,W k символом W 1 W... W k или k W i. i=1 Теорема 3.4. Для того, чтобы сумма S подпространств W 1, W,...,W k линейного пространства V над полем P была прямой, необходимо и достаточно, чтобы любой элемент x S единственным образом представ

21 3. ПОДПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА лялся в виде x = x 1 + x x k, где x i W i, i = 1,,......,k. Теорема 3.5. Пусть S прямая сумма подпространств W 1, W,...,W k линейного пространства V над полем P. Если a 1, a,...,a n1 базис W 1, b 1, b,...,b n базис W,..., c 1, c,...,c nk базис W k, то a 1,......,a n1, b 1,..., b n,...,c 1,...,c nk базис S. Размерность прямой суммы конечномерных подпространств равна сумме их размерностей. Общий способ конструирования подпространств конечномерного линейного пространства основан на следующем определении. Пусть a 1, a,...,a n система векторов линейного пространства V над полем P. Множество всех линейных комбинаций векторов системы a 1, a,...,a n с коэффициентами из поля P называется линейной оболочкой системы векторов a 1,...,a n и обозначается через La 1, a,..., a n. Лемма 3.6. Линейная оболочка La 1, a,...,a n системы векторов a 1, a,...,a n линейного пространства V является подпространством пространства V. Теорема Если e 1, e,..., e k базис подпространства U линейного пространства V, то U = = Le 1, e,...,e n.. Если U = La 1,...,a k, W = Lb 1,...,b s, то U + + W = La 1,...,a k, b 1,...,b s. 3.. Примеры решения задач Пример 3.1. Является ли подпространством линейного пространства R множество всех векторов a = α 1, α, у которых α 1 + α = 0? Пусть K данное множество векторов, т.е. K = {α 1, α R α 1 + α = 0}. Пусть a = α 1, α и b = β 1, β произвольные векторы 3.. Примеры решения задач из множества K. Тогда α 1 + α = β 1 + β = 0. Следовательно, a + b = α 1 + β 1, α + β принадлежит K, так как α 1 + β 1 + α + β = α 1 + α + β 1 + β = = 0. Аналогично, при любом γ вектор γa = γα 1, γα принадлежит K, поскольку γα 1 + γα = γα 1 + α = γ 0 = 0. Значит, K подпространство пространства R. Пример 3.. Найти базис и размерность линейной оболочки подпространства A + B, а также размерность подпространства A B, где A = La 1, a, B = Lb 1, b подпространства линейного пространства R, и a 1 = 1, 1, a = 1, 0, b 1 =, 1, b = 1, 1. По теореме 3.7 A+B = La 1, a, b 1, b. Найдем базис пространства A + B. Для этого будем из системы векторов a 1, a, b 1, b последовательно удалять те векторы, которые линейно выражаются через предыдущие. Возьмем вектор a 1 = 1, 1. Так как он ненулевой, то система из одного вектора a 1 линейно независима. Рассмотрим теперь систему векторов a 1, a : { λ 1 1, 1 + λ 1, 0 = 0, 0, λ 1 + λ = 0 λ 1 = λ = 0. λ 1 = 0, Значит система из двух векторов a 1 и a линейно независима. Следовательно, dima + B. Но по лемме 3. dima + B. Поэтому dima + B =. По теореме., с., система векторов a 1, a является базисом подпространства A + B. Заметим также, что A + B = R. Из формулы Грассмана следует, что dima B = = dim A + dim B dima + B. Так как система из двух векторов a 1 и a линейно независима и любой вектор из подпространства A = La 1, a линейно выражается через a 1 и a, то векторы a 1 и a образуют базис подпространства A. Следовательно, dim A =. Система из одного вектора b 1 линейно независима, так как вектор b 1 ненулевой. Система из двух векторов b 1 и b также линейно независима, так как λ 1, 1 + λ 1, 1 = 40 41

22 3. ПОДПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА = 0, 0, { λ 1 λ = 0 λ 1 + λ = 0, λ 1 = λ = 0. Следовательно, b 1 и b образуют базис подпространства B = Lb 1, b. Поэтому dim B = и dima B = + =. Пример 3.3. Пусть A = La 1, a, a 3 подпространство пространства R 3, a 1 = 1, 1, 1, a = 1, 0, 1, a 3 = =, 1,. Принадлежит ли вектор x =, 0, 1 подпространству A? Если x вектор из A, то x является линейной комбинацией векторов a 1, a, a 3. Выясним, существуют ли скаляры λ 1, λ, λ 3 такие, что λ 1 a 1 +λ a +λ 3 a 3 = x? Переходя к системе λ 1 + λ + λ 3 = λ 1 + λ 3 = 0 λ 1 λ λ 3 = 1 и решая ее, получим, что система несовместна. Значит, вектор x не принадлежит подпространству A. Пример 3.4. Пусть в пространстве R 3 даны подпространства A = La, b и B = Lc. Докажите, что R 3 = = A B. Представьте вектор x = 1, 1, в виде x = x x, где x 1 A, x B, если a = 1, 1, 1, b = 1,, 0, c = 1, 1, 1. Найдем базис и размерность подпространства A + + B. По теореме 3.7 A + B = La, b, c. Система из одного вектора a = 1, 1, 1 линейно независима. Система из двух векторов a и b также линейно независима, так как 3.. Примеры решения задач λ 1 1, 1, 1 + λ 1,, 0 = 0, 0, 0, λ 1 λ = 0 λ 1 λ = 0 λ 1 = λ = 0. λ 1 = 0, Рассмотрим систему из трёх векторов a, b, c. λ 1 1, 1, 1 + λ 1,, 0 + λ 3 1, 1, 1 = 0, 0, 0, λ 1 λ λ 3 = λ 1 λ λ 3 = 0 = 1 1 = 0. λ 1 + λ 3 = 0, Следовательно, система трёх векторов a, b, c является линейно независимой. Итак, векторы a, b, c образуют базис подпространства A+B = La, b, c. Значит dima+b = 3 и R 3 = A + B ввиду леммы 3.. Пусть вектор d = β 1, β, β 3 A B. Тогда d A и d B. Так как d A, то d = λ 1 a + λ b. Так как d B, то d = λ 3 c. Тогда λ 1 a + λ b = λ 3 c, λ 1 a + λ b λ 3 c = θ. Поскольку система векторов a, b, c линейно независима, то λ 1 = λ = λ 3 = 0, т.е. d = 0 c = θ. Значит, A B = {θ} и R 3 = A B. Так как вектор x R 3 и R 3 = A B, то x линейно выражается через a, b, c: λ 1 a + λ b + λ 3 c = x, откуда λ 1 λ λ 3 = 1 λ 1 λ λ 3 = 1 λ 1 + λ 3 =. Решаем систему уравнений: , λ 3 = 5, λ =, λ 1 =

23 3. ПОДПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА Итак, x = 1/a b+5/c. Так как a и b принадлежат A, а c принадлежит B, то x 1 = 1/a b = 1/1, 1, 1 1,, 0 = = 3/, 7/, 1/ A, x = 5/ 1, 1, 1 = 5/, 5/, 5/ B. Пример 3.5. Линейная оболочка векторов a 1 = 1, 1, 1, 0, a = 1, 1, 0, 1, a 3 =, 0, 1, 1 R 4 является пространством решений некоторой однородной системы линейных уравнений. Найдите эту систему. Пусть x = x 1, x, x 3, x 4 R 4. Необходимо определить условия, связывающие x 1, x, x 3, x 4, при которых x La 1, a, a 3. Пусть существуют скаляры λ 1, λ, λ 3 такие, что λ 1 a 1 + λ a + λ 3 a 3 = x. Перейдем к системе λ 1 + λ + λ 3 = x 1 λ 1 + λ = x λ 1 + λ 3 = x 3 λ + λ 3 = x 4 и приведём расширенную матрицу к ступенчатому виду: 1 1 x x x x 3 0 x 1 + x x 1 + x x x x x 4 0 x 1 + x x 1 + x x x x 1 + x x x 1 + x 3 + x Вопросы для самоконтроля Так как система имеет решение, то по теореме Кронекера Капелли ранги матрицы системы и расширенной матрицы равны. Следовательно, должны выполняться равенства { x 1 + x x 4 = 0 x 1 + x 3 + x 4 = 0. Эта система и является искомой системой уравнений Вопросы для самоконтроля 1. Подпространства линейного пространства Докажите, что всякое подпространство линейного пространства V над полем P само является линейным пространством относительно операций, определённых в V. 1.. Докажите, что непустое множество W линейного пространства V над полем P является его подпространством тогда и только тогда, когда αx+βy W для любых x, y W и любых α, β P Докажите, что множество L всех многочленов из R n [x], n > 1, имеющих данный действительный корень α, является подпространством R n [x]. Найдите dim L Как определяется сумма двух подпространств линейного пространства? 1.5. Разложите пространство V 3 в сумму двух подпространств Разложите пространство V 3 в сумму трёх подпространств Пусть W, U подпространства линейного пространства V. Равны ли подпространства W + U и U + W? Докажите, что сумма конечного множества подпространств W 1, W,...,W k пространства V совпадает с пересечением всех подпространств пространства V, содержащих W 1, W,...,W k.. Формула Грассмана

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ПГУ) О.В. Якунина МНОГОМЕРНАЯ

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

23. Базис векторного пространства

23. Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ Аксиомы линейного пространства Линейным векторным пространством называется множество V произвольных элементов, называемых векторами, в котором

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам)

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам) С.Н. Зиненко Линейная алгебра Матрицы и определители (теория к задачам) 215 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ПОДПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ 1º Линейным пространством называется множество элементов a, b,

Подробнее

10. Линейные операторы

10. Линейные операторы 35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва ОВ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Тема 2-4: Подпространства

Тема 2-4: Подпространства Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

Линейные пространства

Линейные пространства Глава 9 Линейные пространства 91 Аксиоматическое определение линейного пространства Пусть V непустое множество, F поле V называется линейным (или векторным) пространством над полем F, если I задано правило

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами ВТОРОЙ СЕМЕСТР Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами 1.1. a Известно, что многочлен f(x дает остаток x + 1 при делении на x 2 + 1 и остаток 3 при делении на x + 2. Найдите остаток при

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 7. . = [A 1,A 2,...,A n ], AX = B,

Лекция 7. . = [A 1,A 2,...,A n ], AX = B, Лекция 7 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Рассмотрим систему, состоящую из m линейных уравнений с n неизвестными: a x + a x + + a nx n = b, a x + a x + + a nx n = b, a m x + a m x + + a m n x n = b m Сокращенно

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Тема 2-20: Аффинные пространства

Тема 2-20: Аффинные пространства Тема 2-20: Аффинные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. З. Ильязова

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Тема 2-1: Линейные пространства

Тема 2-1: Линейные пространства Тема 2-1: Линейные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие

Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие Белгород, 2017 ББК 22.144 З 63 Печатается по решению редакционно-издательского совета НИУ «БелГУ» от

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (решебник) Ростов-на-Дону 008 Рецензенты: кандидат

Подробнее

7. Понятие линейного пространства

7. Понятие линейного пространства 7 Понятие линейного пространства 1 Определение и примеры Пусть L некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на действительные числа (например, множество матриц одинакового размера,

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Глава ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса Система, состоящая из m линейных уравнений с n неизвестными или, как будем дальше говорить,

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А. И. МАДУНЦ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Подробнее

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n:

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n: Билет 1 Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n: расположенных в m строках и n столбцах. Матрица называется квадратной, если m=n (n - порядок

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр

Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр М.Ф. Насрутдинов 19 ноября 2010 г. Оглавление 1 Линейные векторные пространства 5 1.1 Векторные пространства. Определение и примеры........... 5 1.1.1

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

11. Задача о собственных векторах

11. Задача о собственных векторах Задача о собственных векторах 59 Линейные преобразования Вновь вернёмся к линейным преобразованиям A : L L как частному случаю линейных отображений В этом случае пространства совпадают и мы в обеих пространствах

Подробнее

УДК ББК Г27

УДК ББК Г27 УДК 512.64+514.12 ББК 22.143+22.151.5 Г27 Геворк я н П. С. Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. 208 с. ISBN 978-5-9221-0860-7. Данная книга вместе с двумя

Подробнее

Тема: Линейное пространство R n

Тема: Линейное пространство R n Тема: Линейное пространство R n А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство. 79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x)

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

Смысл. 1-й способ исследования системы (через определители)

Смысл. 1-й способ исследования системы (через определители) ) Является ли система векторов линейно зависимой? a ; ; 0 ; a 0 ; ; ; a 3 30 ; ; ; a 4 000 ; ; ; Смысл Векторы линейно независимы, если векторное равенство a a a 3 3 4a 4 0 имеет единственное (нулевое,

Подробнее

на множестве векторов Понятие линейного пространства

на множестве векторов Понятие линейного пространства Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Векторы. Линейные операции на множестве векторов Понятие линейного пространства Лектор Рожкова С.В. 2012 г. Глава II. Векторная алгебра. Элементы теории

Подробнее

Линейная алгебра с приложениями

Линейная алгебра с приложениями Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» Институт образовательных информационных технологий РМ Минькова Линейная алгебра с приложениями Учебно-методическое

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Т В БОРОДИЧ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

Подробнее

Тема 2-7: Линейные отображения

Тема 2-7: Линейные отображения Тема 2-7: Линейные отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинникова Высшая математика I Практикум по линейной алгебре и аналитической

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

Конспект лекции 10 АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 10 АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 10 АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции Лекция Аффинные пространства. 1. Аффинный базис. 2. Аффинные координаты точек. 3. Векторное уравнение прямой. 4. Векторное уравнение плоскости. 5.

Подробнее

V и λ R ) выполняются равенства

V и λ R ) выполняются равенства Линейные преобразования Определение линейного преобразования Пусть V линейное пространство Если указано правило по которому каждому вектору x из V ставится в соответствие единственный вектор y из V то

Подробнее

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений 28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Размерность

Подробнее

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7.

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА

ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА ЛЕКЦИЯ 6 ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА РАНГ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ 1 ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

Подробнее

Задачи по линейной алгебре 1

Задачи по линейной алгебре 1 Задачи по линейной алгебре А. А. Гайфуллин, А. В. Пенской, С. В. Смирнов Компиляция: 9 августа г. c А. А. Гайфуллин, А. В. Пенской, С. В. Смирнов. Предварительная версия 4.4 Оглавление Линейные пространства

Подробнее

Лекция 12: Ранг матрицы

Лекция 12: Ранг матрицы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МАТРИЦЫ: а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование),

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

В. А. Скляренко О. И. Трубина. Практикум

В. А. Скляренко О. И. Трубина. Практикум Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Владимирский государственный университет В. А. Скляренко О. И. Трубина АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической логики ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Методические

Подробнее

Тема: Линейные операторы

Тема: Линейные операторы Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Линейные операторы Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г. 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1. Определение линейного оператора Пусть L и V линейные пространства над F (где F

Подробнее

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора.

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора. Построение базисов в ядре и образе линейного оператора 1 Речь пойдёт о построении базисов в ядре и образе линейного оператора Будут рассмотрены два примера: первый пример с пояснениями; второй как образец

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

Тема 2-5: Ранг матрицы

Тема 2-5: Ранг матрицы Тема 2-5: Ранг матрицы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр) В

Подробнее

y = равносильно системе двух равенств: , a обозначают, соответственно, матрицу

y = равносильно системе двух равенств: , a обозначают, соответственно, матрицу Тензоры Тензоры объединяют целый ряд понятий, находящих применение в физике и математике, в частности, в аналитической геометрии Частными случаями тензоров являются векторы, линейные операторы, квадратичные

Подробнее

МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Б.В. Заятуев

МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Б.В. Заятуев МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В пособии изложены необходимые теоретические сведения из линейной алгебры и многомерной геометрии базовые примеры с подробными решениями и задачи для самостоятельного

Подробнее