9. Линейные пространства

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "9. Линейные пространства"

Транскрипт

1 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества на число из некоторого поля K Линейные операции для матриц фиксированного размера и векторов на плоскости или в пространстве мы рассматривали в первом семестре (пп 3, 4) Вскоре оказалось, что многие другие математические множества подчиняются линейным операциям, например, множество решений однородной системы линейных уравнений (п 37, предложение 36) При этом ни сами объекты не похожи на свободные векторы, ни линейные операции над этими объектами не похожи на линейные операции над векторами Однако, во всех приведённых примерах есть нечто общее, позволяющее изучать линейные операции абстрактно, отвлекаясь от конкретной природы изучаемых объектов Прежде всего, во всех приведённых примерах линейные операции над элементами данного множества дают в результате элементы того же множества: складывая элементы множества или умножая их на число, мы вновь получаем элементы того же множества Таким образом линейные операции, различные для разных множеств, имеют ряд общих свойств, что позволяет изучать линейные операции вообще Изучая множества, с данными в них линейными операциями, их объединяют общим понятием линейного (векторного) пространства Название линейного пространства векторным есть дань исторической традиции, так как эти понятия были первоначально установлены для векторов на плоскости (в пространстве), которые и представляют собой первый пример линейного пространства с внутренним законом сложения векторов и внешним законом умножения вектора на число В силу этого элементы линейных пространств принято называть векторами, а сами линейные пространства - векторными

2 Определение линейного пространства обобщает определение совокупности всех векторов Это обобщение производится, во-первых, путём отвлечения от конкретной природы элементов множества с сохранением свойств действий над ними, во-вторых, путём отвлечения от конкретной природы допустимых множителей 4 9 Определение, аксиомы и примеры линейного пространства Пусть имеется множество L, состоящее из каких угодно элементов a, b, c,, x, y, z,, которые мы будем далее условно называть векторами и поэтому стрелочку над элементом рисовать не будем Вместе с векторами множества L мы будем рассматривать числа α, β, γ,, ω,, образующие поле K, сводящееся к полю R для вещественных чисел и к полю C для комплексных чисел Будем считать, что в L определены действия сложения (внутренний закон) и умножения на число (внешний закон), если: ) для любых векторов a, b L a + b L ; ) для любых векторов a L и любого числа α K α a L Определение 9 Линейным пространством L над полем K, называется множество L рассматриваемое вместе с заданными в нём операциями сложения и умножения на число, удовлетворяющее следующим аксиомам: o Для любых векторов a, b L выполняется свойство коммутативности сложения a + b = b + a o Для любых векторов a, b, c L выполняется свойство ассоциа-

3 тивности сложения ( a b) + c = a + ( b + c) + o 3 Для любого вектора a L существует такой вектор θ L, что a + θ = a Элемент θ L будем называть нулевым элементом (вектором) o 4 Для любого вектора x L найдётся такой вектор y L, что x + y = θ Вектор y будем называть противоположным вектору x и обозначать как x Очевидно, что вектор x противоположен вектору y o 5 Для любого вектора a L и K a = a o 6 Для любого вектора a L и любых чисел α, β K выполняется свойство ассоциативности умножения на число α βa = αβ o 7 Для любого вектора L a и любых чисел α, β K выполняется свойство ( ) ( )a ( + β) a = αa + βa o 8 Для любых векторов a b L, и любого числа α K выполняется свойство α ( a + b) = αa + αb α Замечание Если K = R - поле вещественных чисел, тогда L есть вещественное линейное пространство Если K = C - поле комплексных чисел, то L есть комплексное линейное пространство 5 Примеры линейных пространств Множество векторов на плоскости и множество векторов в пространстве образуют линейные пространства (предложение 4) Множество матриц M m фиксированного размера образу-

4 ют линейное пространство (п 3) 3 Нулевой элемент θ сам по себе образует линейное пространство, так как, очевидно, выполнены все восемь аксиом линейного пространства 4 Координатное пространство R Пусть элементами L являются упорядоченные наборы действительных чисел, по чисел в каждом наборе Упорядоченность говорит о том, что числа в наборах занумерованы, те x = ( x, x,, x ), y = ( y, y,, y ) Определим операцию сложения элементов как ( x, x,, x) + ( y, y,, y) = ( x + y, x + y x + y )= = ( z z,, z ) = z x + y =,,,, x L на число α R опре- где z i = x i + yi, i =,,, Операцию умножения элемента делим как где ( αx αx,, αx ) = ( y, y y ) y α x =,,, =, 6 yi = αx i Под нулевым элементом θ будем понимать набор из нулей Элемент (,,, ) θ = x = ( x, x,, x ) будет противоположен элементу x ( x x,, ) =, Ясно, что будут выполнены все восемь аксиом линейного пространства и множество упорядоченных наборов L будет действительным линейным пространством - координатным пространством R 5 Пространство непрерывных на отрезке [ a, b] функций Пусть L - множество всех функций непрерывных на отрезке [ a,b] и τ [ a,b] Пусть далее x = f ( τ) и = g( τ) x y есть элементы L

5 Два элемента x и y равны если f ( τ) = g( τ) на всём отрезке [ b] Определим операцию сложения как x + y = f ( τ) + g( τ) = h( τ) = z, операцию умножения на число как ( τ) = g( τ) y α x = αf = Под нулевым элементом θ будем понимать функцию x будем считать противоположным эле- на всём отрезке [ a, b] Элемент = f ( τ) менту x = f ( τ) θ = Θ( τ) = a, Легко проверить, что будут выполнены все восемь аксиом линейного пространства и множество L мы можем рассматривать как линейное пространство функций непрерывных на отрезке [ a, b] 6 Пространство многочленов степени меньше Пусть p ( t) = a + a t + a t + + a t и q ( t) = b + b t + b t + + b t многочлены степени меньше с коэффициентами из K Определим операцию сложения как ( ) + q( t) = ( a + a t + a t + + a t ) + ( b + b t + b t + + b t )= p t = ( a + b ) + ( a + b ) t + ( a + b ) t + + ( a + b ) t = ( t) = c + ct + ct + + c t = g, а операцию умножения на число α K как αp t ( ) = α( a + a t + a t + + a t ) = αa + αa t + αa t + + αa t = ( t) = b + bt + bt + + b t = q Под нулевым элементом θ будем понимать многочлен ( ) = + t + t + + t θ = Θ t, а многочлен ( ) p t = a a t a t a t будем считать про- тивоположным многочлену ( ) p t = a + at + at + + a t Ясно, что при введённых выше операциях множество много- 7

6 членов степени меньше образует линейное пространство 7 Множество решений однородной (приведённой) системы линейных уравнений образует линейное пространство (предложение 36) 8 9 Элементарные следствия из аксиом линейного пространства Независимо от частных особенностей конкретных линейных пространств, имеют место следующие следствия: Следствие 9 В каждом линейном пространстве имеется только один нулевой элемент θ Пусть у нас имеется два нулевых элемента θ и θ, тогда на основании аксиом o и o 3 имеем θ = θ + θ = θ + θ = θ Следствие 9 Для любого элемента x L найдётся только один противоположный ему элемент y = x Пусть у элемента x имеется два противоположных ему элемента y и y, те x + y = θ и x + y = θ На основании аксиом o o 4 имеем y = y +θ = y + ( x + y) = ( y + x) + y = ( x + y) + y = θ+ y = y Следствие 93 Произведение любого элемента x L на число α = равно нулевому элементу θ Пусть x + y = θ (аксиома o o 4 ), тогда с помощью аксиом 5 и аксиомы o 7 получим ( x + y) = ( + ) x + y = x + y = θ x = x +θ = x + Следствие 94 Произведение любого элемента равно элементу, противоположному к x На основании аксиом o 3, o 5 и o 7 имеем x L на число ( ) o

7 или ( ) x = ( ) x = = θ x + x ( ) x = x Следствие 95 Произведение нулевого элемента θ на любое число α K есть нулевой элемент θ На основании аксиомы o 3 и следствия 93 имеем α θ = α ( x ) = ( α ) x = x = θ a, b L существует раз- Следствие 96 Для любых двух элементов ность, притом, только одна На основании аксиом ( ) a x = b + 9 o, o 3, o 5, o 7 и следствия 93 имеем ( ) a + a = b + ( + ) a = b + a b x + a = b + =, те x = b a Или полагая x + a = b на основании аксиом o, o 3, o 5, o 7 и следствия 93 имеем ( ) a = x + a + ( ) a = b + ( ) a x = x + θ = x + 93 Линейная зависимость Вопросы линейной зависимости свободных векторов, матриц, решений однородной системы линейных уравнений мы уже рассматривали в первом семестре и мы можем ожидать, что элементы произвольного линейного пространства будут вести себя по отношению к линейной зависимости или независимости так же Пусть нам дано некоторое число векторов (будем иметь в виду условность выражения вектор ) линейного пространства L a, b, c,, q L и произвольный набор чисел α, β, γ,, ω K

8 Определение 9 Всякий вектор x L, представленный в виде x = αa + βb + γc + + ωq (9) называется линейной комбинацией элементов a, b, c,, q Определение 93 Система векторов a, b, c,, q называется линейно зависимой, если существует линейная комбинация (9) равная нулевому вектору θ, где среди чисел α, β, γ,, ω хотя бы одно отлично от нуля Определение 94 Система векторов a, b, c,, q называется линейно независимой если равенство αa + βb + γc + + ωq = θ (9) возможно только в одном случае, когда α = β = γ = = ω = Сформулируем несколько предложений о линейной зависимости и линейной независимости элементов линейного пространства, обобщающие и дополняющие рассмотренные в первом семестре свойства линейной зависимости и линейной независимости матриц, свободных векторов и множества решений однородной системы линейных уравнений Предложение 9 Система из k > векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов есть линейная комбинация остальных Предложение 9 Если в систему векторов входит нулевой вектор θ, то система линейно зависима Предложение 93 Если часть из векторов a, a,, ak составляет сама по себе линейно зависимую систему, то и вся система векторов a, a,, a k,, a линейно зависима Предложение 94 Любые векторы входящие в линейно независимую систему векторов, сами по себе линейно независимы Предложение 95 Если вектор раскладывается по линейно независимой системе векторов, то его коэффициенты разложения в данной линейно независимой системе векторов определены однозначно 94 Базис

9 Определение 95 Базисом в линейном пространстве L будем называть упорядоченную конечную систему векторов, если: а) она линейно независима; б) каждый вектор из L раскладывается в линейную комбинацию векторов этой системы Упорядоченность векторов говорит о том, что они занумерованы, и переставляя их местами (перенормируя), мы будем получать различные базисы Коэффициенты линейных комбинаций будем называть компонентами или координатами вектора в данном базисе Если векторы базиса e, e,, e записать в виде строки ( e e ) e =,,, e, (понимая эту запись в смысле формулы (3), те понимая под матрицу столбец из координат вектора а компоненты столбца ξ ei e i в собственном базисе), e, e,, e в виде, ξ,, ξ вектора x в базисе ξ ξ ξ =, ξ который назовём координатным столбцом вектора x, то разложение вектора x L по базису e, e,, e можно записать, используя правило суммирования Эйнштейна, как или x i = ξ ei (93)

10 ξ ξ x = ( e, e,, e ) = eξ (94) ξ Предложение 96 Координатный столбец суммы векторов равен сумме их координатных столбцов Произведение вектора на число равно произведению координатного столбца данного вектора на это число x + y = eξ + eη = e ξ + η, ( ) ( αξ) αx = αeξ = e Таким образом координатный столбец линейной комбинации векторов, есть линейная комбинация их координатных столбцов с теми же коэффициентами Итак, задать в линейном пространстве L базис e, e,, e, это значит установить взаимно однозначное соответствие между векторами линейного пространства и упорядоченными наборами чисел ( ξ, ξ,, ξ ), которые мы можем рассматривать как элементы координатного пространства R (пример 4) или как матрицы строки (матрицы столбцы) длины (высоты ) Задание базиса позволяет нам заданные абстрактно линейные операции над векторами свести к хорошо изученным нами в первом семестре линейным операциям над матрицами, которые тоже есть не что иное как элементы векторного пространства Предложение 97 Элементы векторного пространства линейно зависимы тогда и только тогда, когда линейно зависимы их координатные столбцы Предложение 98 Если в векторном пространстве L существует базис из векторов, то любая система из + вектора линейно зависима Предположим, что в векторном пространстве L задан базис e, e,, e Рассмотрим систему векторов m f, f,, f, m >

11 Каждый вектор f i можно разложить по базису, f = ξ = ξ e + ξ e + + e e ξ f = eξ = ξe + ξe + + ξe,, fm ξ i можно составить матрицу ξ раз- и из координатных столбцов мера m, = eξ =ξ e +ξ e + + ξ m m m m e, e,, e e 3 f ξ ξ ξ m f ξ ξ ξ f = = e f m ξ ξ ξm m ( e, e,, e ) = ξ ранг которой не может превышать Поэтому столбцы такой матрицы будут линейно зависимы, а значит будут линейно зависимы и сами векторы f i ТЕОРЕМА 9 Если в векторном пространстве L есть базис из векторов, то и любой другой базис в L будет состоять из векторов Определение 96 Векторное пространство L в котором существует базис e, e,, e, состоящий из векторов, называется -мерным, а число - размерностью векторного пространства L, что записывается как dim L = Замечание Размерность нулевого пространства L = { θ} равна нулю Определение 97 Векторное пространство называется бесконечно мерным, если для любого целого числа N > в нём найдётся линейно независимая система состоящая из N векторов Пример Вновь рассмотрим пространство L непрерывных на отрезке [ a, b] функций (пример 5, п 9)

12 Покажем, что степенные функции N, t, t,, t, рассматриваемые как элементы пространства L, линейно независимы, для чего составим произвольную их линейную комбинацию N ( t ) = α + α t + α t + + α t p, N которая, очевидно, есть многочлен степени меньше чем N Известно, что всякий многочлен с отличными от нуля коэффициентами имеет лишь конечное число корней Поэтому тогда и только тогда, когда p ( t ) 4 α = α = α = = α N = Таким образом мы установили, что элементы векторного пространства N t, t,, t a, b функций линейно независимы А так как на число N нет никаких ограничений, рассматриваемое пространство является бесконечномерным В ненулевом конечномерном пространстве существует бесконечно много базисов Предложение 99 В -мерном векторном пространстве каждая упорядоченная линейно независимая система из векторов является базисом Пусть, непрерывных на [ ] x,,, x x - есть базис в L Покажем, что произвольный вектор y L раскладывается по нему В соответствии с предложением 98 система векторов y, x, x,, x линейно зависима и найдутся такие коэффициенты, что αy + α x + αx + + α x = θ, причём α, иначе система векторов x, x,, x была бы (предложение 9) линейно зависимой Предложение 9 В -мерном векторном пространстве L каждую упорядоченную линейно независимую систему из k < векторов можно дополнить до базиса

13 Это вытекает из того, что к системе линейно независимых векторов x, x,, x k можно добавить ещё один вектор x k +, который по ней не раскладывается, так как в этом случае система x, x,, x k бала бы базисом Если k + <, мы можем повторяя операцию добавления векторов в конце концов получить систему из линейно независимых векторов В частности, до базиса можно дополнить любой ненулевой вектор 5 95 Замена базиса Известно, что базис является частью системы координат (п44), которая в свою очередь входит в понятие системы отсчёта При решении геометрических задач, средствами аналитической геометрии важную роль играет правильный выбор системы координат, а при решении физических задач такую же важную роль играет правильный выбор системы отсчёта, причём, в обеих случаях все сводится к выбору того или иного базиса 95 Формулы перехода к новому базису Пусть в линейном пространстве = ( e e ) и e = ( e e,, e ) e,,, e, Разложим векторы базиса e по базису e : e a e + a e + + a = e, L заданы два базиса e = a e + a e + + a e, (95), e = a e + a e + + a e или в обозначениях Эйнштейна (п 5) j e i i j = a e, i, j =,,, (96)

14 Так как мы договорились записывать векторы базиса в виде строки, а координаты вектора в виде столбца, мы можем записать (95) так 6 или ( e, e,, e ) = ( e, e,, ) e a a a a a a a a a (97) e = es (98) Матрицу a a S = a a a a a a, (99) a столбцы которой есть координаты векторов e i в базисе e, будем называть матрицей перехода от базиса e к базису e Линейная независимость векторов базиса e = ( e e,, e ), равносильна линейной независимости столбцов матрицы S, те определитель матрицы S отличен от нуля S (9) Это и есть единственное условие, налагаемое на матрицу перехода от одного базиса к другому В остальном коэффициенты j a i произвольны и мы можем сформулировать Предложение 9 Пусть задан базис e,,, e e Каждая квадратная матрица S порядка с S есть матрица перехода от базиса e,,, e e к некоторому новому базису e, e,, e Это следует из того, что при S столбцы матрицы S (9)

15 линейно независимы и являются координатными столбцами линейно независимых векторов, которые и составляют базис e, e,, e Так как матрица S невырождена она имеет обратную матрицу S и мы легко можем получить формулу обратного перехода от базиса e к базису e умножив (98) справа на S или = e S ess e = e S (9) в подробной записи это будет выглядеть так e = a e + a e + + a e, e = a e + a e + + a e, (9), a e + ae + + a e = e Отметим один частный случай перехода к новому базису e, когда каждый новый базисный вектор e i совпадает со старым базисным вектором e, умноженным на некоторое число, те e e В этом случае i = λe, = λe, e, = λe λ i 7 λ S = λ (93) λ N В частности, при λ = λ = = λ, =

16 8 S = = E, базис переходит сам в себя 95 Формулы последовательного перехода к новому базису Пусть S - матрица перехода от базиса e к базису e e = es, (94) а S - матрица перехода от базиса e к базису e e = e, (95) S тогда переход от базиса e к базису e может быть задан некоторой матрицей S e = es (96) Подставляя в (95) вместо e его значение из (94), получим или e = e S = ess e = es S (97) Сравнивая последнее равенство с (96) мы можем записать S = S S (98) 953 Преобразование координат вектора при замене базиса Пусть в линейном пространстве = ( e e ) и e = ( e e,, e ) e,,, Для любого вектора e L заданы два базиса, x L имеют место разложения

17 i e + ξ e + + ξ e = ξ ei в базисе e, (99) x = ξ i x = ξ e + ξ e + + ξ e = ξ ei в базисе e (9) Поставим перед собой задачу вычислить координаты i ξ вектора x относительно базиса e по известным его координатам i ξ относительно базиса e Пусть нам дана матрица перехода S (98) от базиса e к базису e Тогда формула (9) даёт нам обратный переход от базиса e к базису e, те или где В развёрнутом виде e = e S (9) i i = a i ei e (9) e = a e + a e + + a e, e = a e + a e + + a e, (9), a e + ae + + a, e = e S a a = a a a a Подставляя (9) в (99) получим a a (9) a i i i x = ξ e i = ξ ai ei Сравнивая полученное выражение с (9) мы можем записать или ξ i i i = ai ξ (93) 9

18 ξ = a ξ + a ξ + + a ξ, = a ξ + a ξ + + a ξ, (94) ξ, ξ = a ξ + a ξ + + aξ Сравнивая расположение коэффициентов в (94) с матрицей (9) мы сразу видим, что коэффициенты в (934) образуют матрицу S и мы можем записать = S ξ (95) ξ Из (95) с учётом, что S немедленно следует ξ = S ξ (96) Пример На плоскости заданы два базиса e и e Векторы второго базиса имеют в первом базисе координаты (,5) и (,3) соответственно Найти координаты вектора x в базисе e, если известны его координаты (, ξ ) ξ в базисе e В базисе e задан вектор x = ξ e + ξ e Найти его координаты в базисе e 3 Найти координаты базиса e в базисе e Решение Так как нам заданы координаты базиса e в базисе e мы можем записать e + = e 5e, e + (*) = e 3e и, следовательно, матрица S перехода от базиса e к базису e имеет вид S = 5 3

19 или Используя формулу (96) получим = Sξ = 5 ξ 3 ξ ξ + ξ = 5ξ + 3ξ ξ ( ξ + ξ ) e + ( 5ξ + 3ξ ) e x = Так как мы уже знаем вид матрицы S и ясно, что det S, нам достаточно воспользоваться формулой (95) или 3 ξ = S ξ = 5 ξ ξ 3ξ ξ = 5ξ + ξ ( 3 ξ ξ ) e + ( 5ξ + ξ ) x = e 3 Поскольку нам уже известен вид матрицы S, для нахождения координат базиса e в базисе e нам надо воспользоваться формулой (9) или 3 e = e S = 5 e ( e e ) = ( 3e 5e e + ) e, = 3 e 5e e = e + e Полученный результат легко проверить, решив систему уравнений (*) 96 Ориентация линейного - мерного пространства В первом семестре мы рассмотрели вопросы (п 463) связанные с ориентацией прямой, плоскости и трёхмерного пространства, являющихся примерами линейных пространств L, L

20 и L 3 Поскольку мы живём в трёхмерном мире, мы можем накладывать довольно жесткие условия на определение ориентации линейного пространства размерности не более трёх При решении же вопроса об ориентации вещественного пространства произвольной размерности, мы поступим следующим образом: выберем в линейном пространстве L произвольный базис e ( e e,, ), e = и рассмотрим множество квадратных матриц S, порядка, у которых S Как нам известно (предложение 9), всякая квадратная невырожденная матрица порядка есть матрица перехода от базиса e к базису e e = es (98) Множество невырожденных матриц S разобьём на два класса: класс состоящий из матриц с S > обозначим как S +, а класс состоящий из матриц с S < - как S Ясно, что при этом и множество базисов, определяемых по (98) разобьётся на два класса: а) класс ( e) E, состоящий из базисов e = es, S > ; + б) класс ( e) E, состоящий из базисов e = es, S < Предложение 9 Классы базисов E ( e) и ( e) выбора исходного базиса e Рассмотрим некоторый базис E ( e) Тогда найдётся такая матрица P S+, что и для всякого базиса ( f ) и g + f = ep + f + E не зависят от E найдётся такая матрица Q S+, что g = fq g = epq, где PQ = P Q >, те S+ ( ) ( e) E + f E+ PQ и E ( e) g + Это значит, что

21 3 Так как > > P, то и P, тогда e = fp и E ( f ), те E ( ) ( f ) или ( ) ( e) e + e + + E E + f = E + Определение 98 Вещественное линейное пространство L называется ориентированным, если из двух классов базисов указан один Базисы выбранного класса называются положительно ориентированными 97 Линейное подпространство Определение 99 Подмножество P линейного пространства L будем называть его подпространством, если каждая линейная комбинация k x + k x + + k m x m любых векторов x, x,, x m P принадлежит P Очевидно, что P тогда и только тогда есть подпространство, когда для любых векторов x, y P и любых чисел k K x + y P, kx P (97) Это говорит о том, что подпространство P - есть линейное пространство, так как число k любое, а значит для k = и k = из (97) следует, что x = θ P и ( ) x = x P Примеры подпространств В любом линейном пространстве L нулевой элемент θ образует наименьшее возможное нулевое подпространство P = { θ} и само множество L является максимально возможным подпространством пространства L Эти подпространства мы будем называть тривиальными подпространствами Рассмотрим однородную систему линейных уравнений с неизвестными Совокупность всех решений этой системы есть подпространство в линейном пространстве столбцов высоты Каждая фундаментальная система решений данной однородной

22 системы есть базис в этом подпространстве Если ранг системы равен r <, то фундаментальная матрица состоит из r линейно независимых столбцов высоты и мы имеем подпространство размерности r 3 В пространстве L 3 все векторы, параллельные какой-либо плоскости или прямой, образуют соответственно подпространства L или L 98 Линейная оболочка Важным способом построения линейных подпространств является образование линейной оболочки заданной системы векторов Пусть дано некоторое множество P векторов в линейном пространстве L Пусть L - совокупность всевозможных линейных комбинаций, каждая из которых составлена из конечного числа векторов из P Очевидно, что L есть подпространство в L Действительно, если векторы x, y L, то их можно представить в виде конечных линейных комбинаций где x = λ p + λ p + + λ k p k, y = µ q + µ q + + µ mq m, pi, q j P, i =,,, k, j =,,, m Тогда k x + y = λi pi + µ jq j L, αx = m i= j= k ( αλ ) pi L i= i Мы видим, что x + y и α x есть снова линейные комбинации конечного числа векторов из P Построенное таким образом подпространство L называется линейной оболочкой множества P 4

23 Примеры линейных оболочек Пусть P - множество векторов e, e,, e, образующих базис некоторого пространства L, тогда линейная оболочка L множества векторов P совпадает со всем пространством L Если P состоит из пары неколлинеарных векторов a, b в L 3, тогда линейная оболочка L состоит из всех векторов параллельных плоскости этих векторов 3 Пусть P - множество функций, t, t,, t, тогда линейная оболочка L есть совокупность всех многочленов p степени не выше ( t) = α + α t + α t + + α Пусть теперь p, p,, pm - линейно независимая система векторов из P, такая, что любой вектор по ней раскладывается Векторы p, p,, pm образуют базис в линейной оболочке L, так как любую линейную комбинацию векторов из P можно представить как линейную комбинацию векторов p, p,, pm, так как любой вектор из P можно разложить по p, p,, pm, а затем подставить эти разложения в рассматриваемую линейную комбинацию В частности, если P - конечное множество векторов, то мы имеем Предложение 93 Размерность линейной оболочки множества P из m векторов меньше или равно m Предложение 94 Если L - подпространство -мерного пространства L, тогда dim L Если dim L =, тогда L совпадает с L Действительно, любая система из m > векторов в L содержится так же и в L и потому линейно зависима Если базис в L состоит из векторов, тогда любой вектор из L по нему раскладывается и, таким образом, принадлежит L, откуда L и L совпадают t 5

24 Предложение 95 Пусть e,,, e e k в k L k - подпространство в L L дополнить до базиса e e,, e, e,, e L k и только они будут иметь компо- таком базисе все векторы из ненты тогда 6 Если базис, k k + в L, то в k+ k + ξ = ξ = = ξ = Действительно, если для вектора x имеем и таким образом ξ k + k + = ξ = = ξ =, x = ξ e +ξ e + + ξ e x L Обратно, пусть вектор комбинацию k k k k x L раскладывается в линейную k e + ξ e + + ξ ek x = ξ Она же есть разложение вектора x по базису e,,, e ek при k + k + ξ = ξ = = ξ = (98) (98) можно рассматривать как систему из k линейных уравнений, связывающих координаты вектора x Ранг такой системы равен k Предложение 96 Пусть в L выбран базис Тогда координатные столбцы векторов, принадлежащих k -мерному подпространству k k <, удовлетворяют однородной системе линейных уравнений ранга k L ( ) 3 Пример Элементы p ( t) = + t + и p ( t) t + t = заданы в про- t странстве многочленов ( 3) P относительно базиса 3, t, t, t Найти систему линейных уравнений, определяющих линейную оболочку L Решение Составим матрицу A из координатных столбцов заданных элементов пространства ( 3) P и пусть её ранг будет равен

25 3 4 3 r Для того, чтобы элемент ( ) 7 p t = ξ + ξ t + ξ t + ξ t принадлежал L необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы ( A ξ) тоже был равен r Если теперь с помощью элементарных преобразований привести матрицу ( A ξ) к ступенчатому виду то в последних r строках появятся равные нулю линейные комбина- 4 ции чисел ξ,,ξ, которые и дадут нам искомую систему уравнений Итак ξ ξ ~ 3 ξ 4 ξ ξ 3 ξ 3 ξ ξ ξ 4 ξ ξ Так как ранг матрицы A равен, тогда для того чтобы ранг расширенной матрицы ( A ξ) тоже был равен необходимо и достаточно выполнение условий 3 ξ ξ + ξ =, 4 ξ ξ = Это и есть искомая система линейных уравнений, определяющая линейную оболочку L векторов ( t) p и ( t) 99 Сумма и пересечение подпространств p в базисе 3, t, t, t Пусть L и L - подпространства пространства L Определение 9 Суммой подпространств L + L будем называть линейную оболочку их объединения L U L Это означает, что вектор x L + L, и только он, может быть представлен в виде i j x = α p + β q, p i L, q j L (99) i j

26 Если положить i 8 x = α i p и x = β j q j, то мы получим, что пространство L + L состоит из векторов представимых в виде x = x + x, где x L, x L В качестве примера мы можем рассмотреть две плоскости L и L в пространстве L 3 (рис 9) Здесь пространство L 3 есть сумма двумерных подпространств L и L L 3 = L + L Положим размерности x x = x + x L3 подпространств dim L = k и dim L = l и выберем в них базисы L O L Рис 9 x e,, Ясно, что каждый вектор x L + L раскладывается по векторам, e e k и f, f,, fl, e,, ek, f, f f l Мы по- e,, лучим базис в L + L если удалим из системы векторов e, e,, ek, f, f,, f l те векторы, которые линейно выражаются через остальные Для этого можно выбрать в L базис и составить матрицу из координатных столбцов всех векторов e,, будут базисными столбцами полученной матрицы и составят базис в L + L Определение 9 Под пересечением L I L подпространств L и L будем понимать множество векторов, которые принадлежат обеим подпространствам, e,, ek, f, f f l Векторы, координатные столбцы которых Очевидно, что L I L есть подпространство Это следует из того, что нулевой вектор θ лежит как в L, так и в L, а значит и в L I L Далее, если векторы x, y L I L, то они лежат как в L, так и в L Тогда их сумма x + y и при любом α вектор αx

27 лежат как в L, так и в L, а значит и в L I L Нам известно, что в конечномерном пространстве подпространства могут быть заданы системами линейных уравнений Тогда их пересечение задаётся системой уравнений, полученной объединением систем, задающих подпространства Если число подпространств s >, те s L, L,, L, то их сумма и пересечение будут определяться аналогично, с соблюдением полученных ранее свойств В частности суммой подпространств s L, L,, L будет называться линейная оболочка их объединения, те множество векторов вида x + i + x + x s, где i L Каждый вектор ( i e ) и тогда любой вектор x = x, i = s 9 x i может быть разложен по своему базису s x i i= раскладывается по системе векторов полученной объединением всех базисов ( e ), ( e ),, ( s e ) Число векторов в этой системе есть s dim L + dim L + + dim L (93) А так как векторы всех базисов в совокупности могут быть линейно зависимыми, размерность суммы подпространств может оказаться меньше общего числа векторов в системе: s s ( L + L + + L ) dim L + dim L + dim L dim + (93) Определение 9 Сумма подпространств L s i= i называется прямой суммой если её размерность равна сумме размерностей её составляющих подпространств, те в (93) имеет место знак равенства Прямую сумму подпространств обозначают символом, например L = L L Предложение 97 Для того, чтобы сумма L подпространств s была прямой суммой L, L,, L

28 s, L = L L L необходимо и достаточно выполнение любого из следующих условий: Любая система из m s ненулевых векторов, принадлежащих различным подпространствам i i = s, линейно независима Каждый вектор x L однозначно раскладывается в сумму x = x + i + x + x s, i L L ( ) x, ( i s) = 3 Пересечение каждого из подпространств i L с суммой остальных есть нулевое подпространство 4 Объединение базисов подпространств i i = s есть базис в L Покажем, что из определения прямой суммы следует свойство, и каждое последующее свойство (, 3, 4) следует из предыдущего Так как из свойства 4 следует само определение прямой суммы подпространств, это будет обозначать равносильность каждого из свойств определению прямой суммы подпространств Докажем от противного, что из определения следует свойство Допустим, что нашлась линейно зависимая система ненулевых векторов x, x,, x L ( ) i i i m, (93) таких, что никакие два из них не лежат в одном и том же подпространстве i L Дополним каждый из этих векторов до базиса в его подпространстве, а в тех подпространствах, из которых в системе (93) представителей нет, выберем базис произвольно Объединением этих базисов будет система из k = dim L + dim L + + dim L векторов Каждый вектор из L раскладывается по этой системе, но система эта линейно зависима, так как содержит линейно зависимую подсистему (93) В силу этого базис в L содержит меньше, чем k векторов, и размерность суммы меньше суммы размерностей Покажем, что из Допустим, что не выполнено и s 3

29 некоторый вектор x представлен как сумма и как сумма где i i, yi L, ( i s) x Тогда = x = x + x + + x = y + x s + y + y s, ( x y ) + ( x y ) + + ( x s y ) = θ x x = s Если хоть одна из разностей x i y i θ, мы получаем противоречие со свойством 3 Докажем от противного, что из 3 Допустим (для определённости), что L имеет ненулевое пересечение с суммой s В этом случае существует ненулевой вектор L + + L x лежащий как в L так и в как x = x + + x 3 s и его тогда можно представить L + + L s, те вектор x двумя способами представлен как сумма векторов, выбранных по одному из каждого i L 4 Покажем как из 3 4 Рассмотрим систему векторов, полученную объединением базисов подпространств i i = s L ( ) Каждый вектор из L обязательно раскладывается по этой системе и нам надо показать, что при выполнении условия 3 эта система линейно независима Будем рассуждать от противного Допустим, что существует равная нулевому вектору нетривиальная линейная комбинация всех векторов, входящих в рассматриваемые базисы подпространств i i = s Группируя слагаемые, относящиеся к одному подпространству, получим равенство вида L ( ) x + x + + x s = θ, где хотя бы один вектор отличен от нулевого Пусть, для определённости x θ, тогда x = x x s, те ненулевой вектор x L принадлежит и сумме s L + + L, что

30 противоречит свойству 3 Замечание Если сумма двух подпространств L и L прямая, те L = L L, тогда их пересечение нулевое L I L = { θ} (рис 9) Заметим так же, что сложение подпространств обладает свойством ассоциативности, те 3 3 ( L + L ) = ( L + L ) L L L + + L = L L Если L L, то L + L = L и в частности L + L = L x L L x Предложение 98 Для любого подпространства L пространства L найдётся такое подпространство L, что x L L = L L Рис 9 Выберем в подпространстве L базис e, e,, ek На основании предложения 9 мы можем дополнить этот базис до базиса пространства 3 L векторами k+, ek+ e, которые можно взять в качестве линейной оболоч- e,, ки L На основании предложения 97 п4 можем записать L = L L ТЕОРЕМА 9 Размерность суммы двух подпространств равна сумме их размерностей минус размерность их пересечения ( L L ) dim L = dim L + dim L dim I (933) Замечание Если сумма прямая, те и dim L = dim L + dim L =, тогда L I L = { θ} L L L Если сумма подпространств не прямая, те L I L { θ}, тогда на основании предложения 98 найдётся такое подпространство M, что Тогда Так как ( L L ) L = M I (934) ( L L ) M L = L + L = L + I + (935)

31 ( L I L ) L, то + ( L I L ) = L L и (935) примет вид L = L + L = L + M (936) Покажем, что L + M - прямая сумма Для этого рассмотрим произвольный вектор z L I M Ясно, что если z L IM, то z L и z M L, а тогда z L L Но из (934) следует, что ( L L ) I M = θ L I M = { θ} и (944) примет вид и откуда 33 I I и далее z ( L L ) I M I, те z = θ, а значит L = L + L = L M (937) Из (937) сразу следует, что ( L + L ) = dim( L M ) = dim L dim M dim + (938) С другой стороны ( L L ) M L = I ( L L ) dim M dim L = dim I + ( L L ) dim M = dim L dim I Подставляя это значение в (938) окончательно получим dim L = dim L + dim L dim( L I L ) (939) Пример Найти размерность и базис суммы и пересечения линейных подпространств P и Q в пространстве L 4 натянутых на системы векторов a ( 3) T =, a ( ) T =, a ( ) T 3 =, b ( 4 3 ) T =, b ( ) T =, b ( 5 3 ) T 3 = соответственно Решение Составим системы уравнений, определяющие линейные оболочки подпространств P и Q: 3 ξ ξ ~ 3 ξ ξ ξ ξ 3 ξ ξ ξ

32 34 3 Подпространство P задано уравнением ξ + ξ ξ =, dim P =, векторы a,a образуют в нём базис ξ ξ ~ 3 ξ 3 3 ξ 3 ξ 3ξ 3 ξ ξ ξ 3 Подпространство Q задано уравнением ξ ξ ξ =, dim Q =, векторы b,b образуют в нём базис Найдём теперь размерность и базис P + Q Для этого составим матрицу из базисных столбцов этих подпространств и упростим её: ~ 4 3 Ранг упрощенной матрицы равен трём и dim ( P + Q) = 3 качестве базисных столбцов суммы подпространств P + Q можно взять векторы a, a, b В Пересечение PI Q задаётся объединением систем уравнений, определяющих их линейные оболочки: 3 ξ + ξ ξ =, 3 ξ ξ ξ = Ранг данной системы равен двум и мы можем найти одно фундаментальное решение ( ) T P I Q c = образующее базис в ( Q) = dim P + dimq dim( P + Q) dim P I =

10. Линейные операторы

10. Линейные операторы 35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

7. Понятие линейного пространства

7. Понятие линейного пространства 7 Понятие линейного пространства 1 Определение и примеры Пусть L некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на действительные числа (например, множество матриц одинакового размера,

Подробнее

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ Аксиомы линейного пространства Линейным векторным пространством называется множество V произвольных элементов, называемых векторами, в котором

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ПГУ) О.В. Якунина МНОГОМЕРНАЯ

Подробнее

11. Задача о собственных векторах

11. Задача о собственных векторах Задача о собственных векторах 59 Линейные преобразования Вновь вернёмся к линейным преобразованиям A : L L как частному случаю линейных отображений В этом случае пространства совпадают и мы в обеих пространствах

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство. 79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x)

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА

ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА ЛЕКЦИЯ 6 ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА РАНГ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ 1 ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

Подробнее

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам)

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам) С.Н. Зиненко Линейная алгебра Матрицы и определители (теория к задачам) 215 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ПОДПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ 1º Линейным пространством называется множество элементов a, b,

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Лекция 7. . = [A 1,A 2,...,A n ], AX = B,

Лекция 7. . = [A 1,A 2,...,A n ], AX = B, Лекция 7 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Рассмотрим систему, состоящую из m линейных уравнений с n неизвестными: a x + a x + + a nx n = b, a x + a x + + a nx n = b, a m x + a m x + + a m n x n = b m Сокращенно

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее

Тема 2-4: Подпространства

Тема 2-4: Подпространства Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

всевозможные решения заданной системы линейных однородных уравнений:

всевозможные решения заданной системы линейных однородных уравнений: . ЯДРО ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Ранее мы охарактеризовали подпространство конечномерного пространства как линейную оболочку. Но возможны и другие истолкования подпространства. Пусть, e, e2, K, en какой-либо

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

23. Базис векторного пространства

23. Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва ОВ

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

14. Евклидовы пространства

14. Евклидовы пространства 9 4 Евклидовы пространства Большое многообразие фактов которыми так богата геометрия в значительной степени объясняется возможностью измерять длины отрезков и углы между прямыми В абстрактном линейном

Подробнее

Смысл. 1-й способ исследования системы (через определители)

Смысл. 1-й способ исследования системы (через определители) ) Является ли система векторов линейно зависимой? a ; ; 0 ; a 0 ; ; ; a 3 30 ; ; ; a 4 000 ; ; ; Смысл Векторы линейно независимы, если векторное равенство a a a 3 3 4a 4 0 имеет единственное (нулевое,

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Задачи по линейной алгебре 1

Задачи по линейной алгебре 1 Задачи по линейной алгебре А. А. Гайфуллин, А. В. Пенской, С. В. Смирнов Компиляция: 9 августа г. c А. А. Гайфуллин, А. В. Пенской, С. В. Смирнов. Предварительная версия 4.4 Оглавление Линейные пространства

Подробнее

ВНЕШНИЕ ФОРМЫ. О. В. Якунина. Учебное пособие

ВНЕШНИЕ ФОРМЫ. О. В. Якунина. Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ПГУ) О. В. Якунина ВНЕШНИЕ

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины А. В. БУЗЛАНОВ, С. Ф. КАМОРНИКОВ, В. С. МОНАХОВ АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А. И. МАДУНЦ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Подробнее

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора.

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора. Построение базисов в ядре и образе линейного оператора 1 Речь пойдёт о построении базисов в ядре и образе линейного оператора Будут рассмотрены два примера: первый пример с пояснениями; второй как образец

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

ГЛАВА 1. Проективная геометрия

ГЛАВА 1. Проективная геометрия ГЛАВА 1. Проективная геометрия 1.1. Проективное пространство Пусть дано (n + 1)-мерное векторное пространство V ( 6.1, часть I) и непустое множество P произвольной природы. Говорят, что множество P наделено

Подробнее

Лекция 8. f(x) = 0 W = 0 y = 0 f(z) = f(0 z) = f(0 V ). Таким образом, в силу взаимной однозначности отображения f, получаем x = 0 V ; противоречие.

Лекция 8. f(x) = 0 W = 0 y = 0 f(z) = f(0 z) = f(0 V ). Таким образом, в силу взаимной однозначности отображения f, получаем x = 0 V ; противоречие. Лекция 8 1. ГОМОМОРФИЗМ И ИЗОМОРФИЗМ ЛП Пусть (V, K) (операции +, ) и (W, K) (операции, ) два ЛП над одним и тем же ЧП K. Отображение f : V W называется гомоморфизмом, если f(x + y) = f(x) f(y) x,y V,

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Глава ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса Система, состоящая из m линейных уравнений с n неизвестными или, как будем дальше говорить,

Подробнее

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейная алгебра Лекция 3 ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейное (векторное) пространство Определение Множество элементов произвольной природы X называется линейным (или векторным) пространством если для любых

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 4 ВЕКТОРЫ. БАЗИС 1. Базис векторов Определение 1. Векторы a 1,a 2,...,a n называются упорядоченными, если указано какой вектор из этой системы является первым, какой

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (решебник) Ростов-на-Дону 008 Рецензенты: кандидат

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы линейной алгебры: определение, базис, алгебра подпространств Раздел электронного учебника

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической логики ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Методические

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы линейной алгебры: определение, базис, алгебра подпространств Раздел электронного учебника

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Линейные операторы. (теория к задачам)

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Линейные операторы. (теория к задачам) С.Н. Зиненко Линейная алгебра Линейные операторы (теория к задачам) 206 6. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИХ МАТРИЦЫ В ДАННОМ БАЗИСЕ 6.. Произведением матрицы размера m на вектор-столбец x высоты называется вектор-столбец

Подробнее

V и λ R ) выполняются равенства

V и λ R ) выполняются равенства Линейные преобразования Определение линейного преобразования Пусть V линейное пространство Если указано правило по которому каждому вектору x из V ставится в соответствие единственный вектор y из V то

Подробнее

Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие

Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие Белгород, 2017 ББК 22.144 З 63 Печатается по решению редакционно-издательского совета НИУ «БелГУ» от

Подробнее

МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Б.В. Заятуев

МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Б.В. Заятуев МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В пособии изложены необходимые теоретические сведения из линейной алгебры и многомерной геометрии базовые примеры с подробными решениями и задачи для самостоятельного

Подробнее

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ЛЕКЦИЯ 10 ОБЪЕМ n-мерного ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Объем параллелепипеда. Ничто не мешает сейчас ввести общее понятие определителя,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Собственные числа и собственные векторы

Собственные числа и собственные векторы Собственные числа и собственные векторы 1 Для понимания этой темы нужно знать тему «Ядро и образ линейного оператора» и уметь вычислять определители Значок будет указывать на утверждения, требующие доказательств

Подробнее

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

«Линейные отображения и операторы» 1. Убедиться, что отображение пространства R на себя, сопоставляющее строке, ) является линейным оператором.

«Линейные отображения и операторы» 1. Убедиться, что отображение пространства R на себя, сопоставляющее строке, ) является линейным оператором. «Линейные отображения и операторы» 1. Убедиться, что отображение пространства R на себя, сопоставляющее строке ( x 1, x2, x, x ) строку ( x1 2x2 x x, x1 x2 x, x1 2x2 x 2x,, x x 2x ) является линейным оператором.

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Тема: Системы линейных уравнений Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

Лекция IV. IV.1. Линейная зависимость векторов. α 1 a 1 +α 2 a α n a n.

Лекция IV. IV.1. Линейная зависимость векторов. α 1 a 1 +α 2 a α n a n. Лекция IV IV Линейная зависимость векторов Линейной комбинацией векторов a, a 2,, a n называется сумма произведений этих векторов на произвольные числа: α a +α 2 a 2 ++α n a n Линейная комбинация называется

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение.

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение. Т е м а : «Л и н е й н а я з а в и с и м о с т ь с и с т е м ы в е к т о р о в» ( т и п о в ы е п р и м е р ы с р е ш е н и я м и ) Пример. Путем приведения элементарными преобразованиями исходной матрицы

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ

МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 7 РАНГ МАТРИЦЫ КРИТЕРИЙ СОВМЕСТНОСТИ МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ 1 РАНГ МАТРИЦЫ В векторном пространстве R m столбцов высоты m рассмотрим n векторов A (j) = [a 1j, a 2j,..., a mj ], j = 1, 2,..., n, и

Подробнее

Линейные пространства

Линейные пространства Глава 9 Линейные пространства 91 Аксиоматическое определение линейного пространства Пусть V непустое множество, F поле V называется линейным (или векторным) пространством над полем F, если I задано правило

Подробнее

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ КИ Лившиц ЛЮ Сухотина ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ Учебно-методическое пособие Томск Издательский Дом Томского государственного университета 6 УДК 7 ББК Л Рецензенты: д-р физ-мат наук профессор

Подробнее

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами ВТОРОЙ СЕМЕСТР Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами 1.1. a Известно, что многочлен f(x дает остаток x + 1 при делении на x 2 + 1 и остаток 3 при делении на x + 2. Найдите остаток при

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Тема 2-20: Аффинные пространства

Тема 2-20: Аффинные пространства Тема 2-20: Аффинные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

y = равносильно системе двух равенств: , a обозначают, соответственно, матрицу

y = равносильно системе двух равенств: , a обозначают, соответственно, матрицу Тензоры Тензоры объединяют целый ряд понятий, находящих применение в физике и математике, в частности, в аналитической геометрии Частными случаями тензоров являются векторы, линейные операторы, квадратичные

Подробнее