4.2 Отделимость выпуклых множеств

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "4.2 Отделимость выпуклых множеств"

Транскрипт

1 4.2 Отделимость выпуклых множеств При выводе необходимых условий экстремума (принципа Лагранжа) в выпуклых задачах и в задачах с равенствами и неравенствами мы будем использовать свойство отделимости непересекающихся выпуклых множеств. Определение 1. Множества A и B из пространства X называются отделимыми, если существует линейный непрерывный функционал λ X, λ 0, для которого λ, a sup λ, b. Из определения следует, что множества являются отделимыми, если можно провести гиперплоскость H = {x X λ, x = c}, c R, так что одно из множеств лежит в одном замкнутом полупространстве H + = {x X λ, x c}, а другое в другом замкнутом полупространстве H = {x X λ, x c}. Замечание. Поскольку функционал λ в определении отделимости является непрерывным, то для отделимости (не строгой!) вместо множеств A и B можно рассматривать их внутренности или замыкания. Определение 2. Множества A и B называются строго отделимыми, если существует линейный непрерывный функционал λ X, для которого λ, a > sup λ, b. 1

2 Теоремы отделимости Приведем результаты об отделимости в конечномерном случае и в случае линейных нормированных пространств. Теорема 1 (отделимости множеств в конечномерном пространстве). Пусть A и B непустые выпуклые множества в R n, int A B = (в частности, A B = ). Тогда множества A и B отделимы. Доказательство. Поскольку отделимость множеств int A и B равносильна отделимости множеств A и B, то, не ограничивая общности, считаем, что A B =. Обозначим C := A B = {a b a A, b B} (разность по Минковскому множеств A и B). Поскольку A B =, то 0 C. Надо доказать, что существует вектор λ 0, для которого λ, a sup λ, b λ, c = λ, 0 0, т. е., гиперплоскость λ, c = 0 отделяет C от начала координат точки O. 1) Предположим, что 0 C. Рассмотрим задачу f(x) = x ; x C. (P ) Так как f непрерывная функция и f(x) + при x, то по следствию из т. Вейерштрасса абсолютный минимум в задаче (P ) достигается. Поэтому существует вектор λ absmin P, λ C. Причем, λ 0 в силу условия 0 C. Покажем, что функционал λ искомый. Если λ, c < 0, то существует точка c C, для которой λ, c < 0, т. е., векторы λ и c образуют тупой угол. Значит, основание H высоты OH треугольника Ocλ лежит на отрезке [c; λ] (и, в силу выпуклости множества C, принадлежит C), и OH < Oλ, что противоречит выбору точки λ.

3 2) Предположим, что 0 C. Так как 0 C, то 0 C. Поэтому существует последовательность y k 0, y k C. В пункте 1) доказано, что для таких точек существуют векторы λ k 0, что выполняется неравенство: λ k, c λ k, y k. Не ограничивая общности, считаем, что λ k = 1 k. Сфера в R n компактна. Значит, можно перейти к подпоследовательности λ k, сходящейся к некоторой точке λ, λ = 1. При этом λ k, y k λ k y k = y k 0. Следовательно, λ, c = lim λ k, c lim λ k, y k 0 λ, c 0. k k То есть, λ искомый функционал. Теорема 2 (отделимости множеств в нормированном пространстве). [АТФ, с. 124] Пусть A и B непустые выпуклые множества в X, int A, int A B =. Тогда множества A и B отделимы. 3

4 4 В теореме отделимости в конечномерном пространстве int A может быть пуста. Напомним, что из определения выпуклого множества следует, что пустое множество является выпуклым. И вместо условия int A B = можно писать A B =. В теореме отделимости в бесконечномерном пространстве это не так. Надо требовать, чтобы int A. Пример двух непересекающихся выпуклых подмножеств, которые нельзя отделить. Рассмотрим в бесконечномерном гильбертовом пространстве { } l 2 = x = (x 1, x 2,...) x 2 k < два множества с пустыми k=1 внутренностями: множество A = {a l 2 + } a k = 1 и точку b = 0. Множество A имеет пустую внутренность, поскольку никакой шар не содержится в A. Покажем, что эти множества нельзя отделить. Т. е надо показать, что не существует ненулевого линейного непрерывного функционала λ l 2 (напомним, что l 2 изоморфно l 2 ) такого, что k=1 λ, a λ, b = 0. ( ) Возьмем произвольный функционал λ l2, λ 0. Покажем, что λ, a =, тогда неравенство ( ) не будет выполняться. Поскольку λ = (λ 1, λ 2,...) 0, то λ i λ j (для опреде- ленности, λ i < λ j ). Возьмем точку a = (a 1, a 2,...), у которой следующие компоненты: a i = n, a j = 1 n, a k = 0 при k i, j. Тогда точка a A и λ, a = λ i a i + λ j a j = λ i n + λ j (1 n) = n(λ i λ j ) + λ j при n +. Значит, множество A и точку b нельзя отделить.

5 Теоремы о строгой отделимости Теорема 1 (о строгой отделимости точки от множества в нормированном пространстве). Пусть A непустое выпуклое замкнутое множество в X, b A. Тогда точку b можно строго отделить от множества A. Доказательство. Поскольку точка b A замкнутому множеству, то существует ε > 0, для которого A (b + εu) =, где U := {x X x 1} единичный шар пространства X. Следовательно, по теореме отделимости в нормированном пространстве выпуклые множества A и B := b + εu (int B, int B A = ) можно отделить, т. е., существует линейный непрерывный функционал λ X, λ 0 такой, что λ, a sup x b+εu λ, x = sup λ, b + εu = u U = λ, b + ε sup λ, u = λ, b + ε λ X. u U Отсюда λ, a > λ, b. Это и означает, что точка b строго отделена от множества A. Рассмотрим следующее обобщение доказанной теоремы. Теорема 2 (о строгой отделимости компакта). A и B непустые выпуклые замкнутые подмножества нормированного пространства X, причем B компакт и A B =. Тогда множества A и B строго отделимы. Доказательство. Обозначим U := {x X x 1} единичный шар пространства X. Покажем, что существует ε > 0, для которого A (B +εu) =. В противном случае существуют последовательности {a k } A, {b k } B такие, что a k b k 0 при k. Поскольку B компакт, то из последовательности b k можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Для простоты записи считаем, что это подпоследовательность и есть сама последовательность b k. Так как последовательности {a k } и {b k } сходятся к одной точке, а последовательность

6 6 b k b B, то и последовательность a k b и b A в силу замкнутости A. Таким образом, точка b A B противоречие. Следовательно, A (B +εu) =. Тогда по теореме отделимости (A int B =, int B ) множества A и B = B +εu можно отделить, т. е., существует линейный непрерывный функционал λ X, λ 0 такой, что λ, a sup λ, x = x B+εU sup λ, b + εu =,u U = sup λ, b + ε sup λ, u = sup λ, b + ε λ X. u U Отсюда λ, a > sup λ, b. Это и означает, что A и B строго отделимы. Приведем еще одно доказательство теоремы о строгой отделимости компакта, использующее лемму о замкнутости суммы (разности) замкнутого множества и компакта, которая также имеет самостоятельный интерес. Лемма (о замкнутости суммы (разности) замкнутого множества и компакта). Пусть X нормированное пространство, множества A, B X, A замкнуто, B компакт. Тогда алгебраическая сумма C = A + B (разность A B) замкнута. Доказательство. Пусть имеется сходящаяся последовательность точек c k C, c k c 0. Докажем, что c 0 C. По условию леммы c k = a k + b k, где a k A, b k B. Так как B компакт, то из последовательности b k можно выделить сходящуюся подпоследовательность b km. Тогда подпоследовательность b km сходится к некоторой точке b 0 B. Значит, подпоследовательность a km = c km b km будет сходиться к точке c 0 b 0 =: a 0 и точка a 0 A в силу замкнутости A. Значит, c 0 = a 0 + b 0, a 0 A, b 0 B, т. е. c 0 C.

7 Второе доказательство теоремы о строгой отделимости компакта Доказательство. Обозначим C := A B. Тогда множество C замкнуто по лемме о замкнутости суммы (разности) замкнутого множества и компакта и 0 / C. Следовательно, по теореме о строгой отделимости точки от выпуклого замкнутого множества точку 0 можно строго отделить от множества C, т. е., существует линейный непрерывный функционал λ X, λ 0 такой, что λ, c > 0 λ, a b > 0, λ, a sup λ, b > 0 λ, a > sup λ, b. Это и означает, что множества A и B строго отделимы. Замечание. Требование компактности одного из множеств в теореме о строгой отделимости существенно. Действительно, непересекающиеся замкнутые множества ось x и множество точек над гиперболой 1 x, x > 0, не пересекаются, но не являются строго отделимыми. 7


4.7 Сопряженный конус

4.7 Сопряженный конус 4.7 Сопряженный конус 4.7.1 Определение сопряженного конуса Для наглядности представления будем рассматривать пространство R n. Определение. K конус в R n. Сопряженным конусом называется множество K :=

Подробнее

Из леммы можно выводить свойства сопряженного конуса.

Из леммы можно выводить свойства сопряженного конуса. 4.7 Сопряженный конус 4.7.1 Определение сопряженного конуса Для простоты рассматриваем пространство R n. Определение K конус в R n. Сопряженным конусом называется множество K := {y R n inf y, x 0} или,

Подробнее

4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества. Введем некоторые понятия, которые используются в выпуклом анализе:

4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества. Введем некоторые понятия, которые используются в выпуклом анализе: 4 Выпуклые задачи Пусть в этом пункте X линейное нормированное пространство (для простоты понимания можно считать, что X = R n конечномерное пространство). 4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества

Подробнее

1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте.

1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте.. Теорема о промежуточных значениях Теорема. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна

Подробнее

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы 1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. 1.1 Теорема о промежуточных значениях Теорема 1. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) f(b). Тогда для любого числа C, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка γ (a, b), что f(γ) = C. Доказательство. Пусть, например, f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на [a, b]. Кроме того, g(a) < 0, g(b) > 0. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка γ (a, b), что g(γ) = 0. Разделим отрезок [a, b] точкой x 0 на два равных по длине отрезка, тогда либо g(x 0 ) = 0 и, значит, искомая точка γ = x 0 найдена, либо g(x 0 ) 0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g принимает значения разных знаков, точнее, на левом конце значение меньше нуля, на правом - больше. Обозначим этот отрезок [a 1, b 1 ] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке γ, в которой g(γ) = 0, либо получим последовательность вложенных отрезков [a n, b n ] по длине стремящихся к нулю и таких, что g(a n ) < 0 < g(b n ) (1) Пусть γ - общая точка всех отрезков [a n, b n ], n = 1, 2,... Тогда γ = lim a n = lim b n. Поэтому, в силу непрерывности функции g Из (1) находим, что g(γ) = lim g(a n ) = lim g(b n ) (2) Из (2) и (3) следует, что g(γ) = 0. lim g(a n ) 0 lim g(b n ) (3) Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. 1.2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β = sup E f (α = inf E f), если существует такая точка x 0 E, что f(x 0 ) = β (f(x 0 ) = α). 1

Подробнее

4.5 Размерность множества

4.5 Размерность множества 1 4.5 Размерность множества Пусть X линейное нормированное пространство. Подпространство аффинное множество, проходящее через 0. Аффинные множества A и B параллельны, если c X : B = A + c. Размерность

Подробнее

Теоремы Хана Банаха о продолжении и отделимости

Теоремы Хана Банаха о продолжении и отделимости Тема 8 Теоремы Хана Банаха о продолжении и отделимости Нам понадобится несколько технических результатов из геометрии линейных пространств общего вида. 8.1 Теоремы Хана Банаха о продолжении Есть несколько

Подробнее

(1=n; 1 1=n), и конечного подпокрытия из этого покрытия не выберешь. Приведем теперь позитивный пример.

(1=n; 1 1=n), и конечного подпокрытия из этого покрытия не выберешь. Приведем теперь позитивный пример. 21. Компактность Компактность чрезвычайно важное техническое понятие топологии и анализа. Начнем с определения. Определение 21.1. Топологическое пространство X называется компактным, если оно обладает

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 9 Считается, что классический функциональный анализ стоит на «трех китах» на трех фундаментальных теоремах. Это теорема Хана Банаха, теорема Банаха об обратном

Подробнее

4.3 Выпуклые задачи. Доказательство. ˆx absmin P f(x) f(ˆx) 0 = 0, x

4.3 Выпуклые задачи. Доказательство. ˆx absmin P f(x) f(ˆx) 0 = 0, x 4.3 Выпуклые задачи 4.3.1 Задачи без ограничений Пусть f : X R выпуклая функция, отображающая нормированное пространство X в расширенную прямую. Выпуклой задачей без ограничений называется следующая экстремальная

Подробнее

Свойства фейеровских отображений 1

Свойства фейеровских отображений 1 Еремин ИИ ИММ УРО РАН Рудаков СА Рудакова ТН Челябинский государственный университет Введение Операция проектирования элемента на выпуклое замкнутое множество часто используется в математике особенно в

Подробнее

Полнота, компактность, внутренние метрики.

Полнота, компактность, внутренние метрики. Тема 2 Полнота, компактность, внутренние метрики. 2.1 Сходимость и полнота Определение 2.1. Последовательность точек x 1, x 2,... метрического пространства (X, d) называется фундаментальной, если для любого

Подробнее

5 Элементы функционального анализа

5 Элементы функционального анализа 5 Элементы функционального анализа 5.1 Линейные, нормированные и банаховы пространства 5.1.1 Определение пространств Непустое множество X элементов x, y, z,... называется линейным (векторным) пространством,

Подробнее

Двойственность в задаче Канторовича.

Двойственность в задаче Канторовича. Тема 3 Двойственность в задаче Канторовича. Запишем задачу Канторовича в виде задачи линейного программирования из правой части формулы в теореме 2.1. Будем рассматривать ρ и π как векторы: ρ t = (ρ 12,...,

Подробнее

Двойственность по Канторовичу и теорема существования

Двойственность по Канторовичу и теорема существования Тема 9 Двойственность по Канторовичу и теорема существования Двойственность по Канторовичу это далеко идущее обобщение теорем о двойственности из линейного программирования. 9.1 Формулировка теоремы и

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5. Необходимые условия экстремума. 1. Необходимые условия оптимальности Куна Таккера 2. Критерий оптимальности (выпуклый случай)

ЛЕКЦИЯ 5. Необходимые условия экстремума. 1. Необходимые условия оптимальности Куна Таккера 2. Критерий оптимальности (выпуклый случай) ЛЕКЦИЯ 5 Необходимые условия экстремума 1. Необходимые условия оптимальности Куна Таккера 2. Критерий оптимальности (выпуклый случай) -1- Лекция 4: Теорема 7 (Фаркаша Минковского). Система уравнений Ax

Подробнее

Список задач с решениями по функциональному анализу.

Список задач с решениями по функциональному анализу. Список задач с решениями по функциональному анализу Пусть линейное нормированное пространство Доказать, что для любых элементов выполняется неравенство из аксиом нормы:, тогда: Можно ли в пространстве

Подробнее

Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства Г. Н. Яковлев Функциональные пространства УДК 517 Я47 Пособие содержит краткое введение в теорию метрических, нормированных и евклидовых пространств, а также в теорию обобщённых функций, и является заключительной

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 18 18.1. Компактные метрические пространства (продолжение) В качестве простого следствия доказанной на прошлой лекции теоремы 17.5 мы получаем известный вам

Подробнее

Лекция 3. Производная по направлению

Лекция 3. Производная по направлению Лекция 3. Производная по направлению Производная по направлению имеет большое значение в теории математического программирования. Напомним, что производная по направлению согласно определению равна: f

Подробнее

Лекция 4. Метрические пространства и их свойства

Лекция 4. Метрические пространства и их свойства Лекция 4. Метрические пространства и их свойства Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 21 сентября 2011 г. Определение метрического пространства

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 15 15.1. Банаховы алгебры На прошлой лекции мы видели, что спектр элемента ассоциативной алгебры может быть любым подмножеством комплексной плоскости. Однако

Подробнее

Конечномерные задачи

Конечномерные задачи Глава 1 Конечномерные задачи 1 Конечномерные гладкие задачи без ограничений В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума функций одной и нескольких переменных. 1.1 Постановка задачи

Подробнее

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K)

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K) Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 1. Пространство функций D(K) Символом α будем обозначать длину мультииндекса α: α α 1 + α 2 + + α N, α Z N + Z + Z }{{ +. } N Символом α k k обозначаем

Подробнее

1.3 Случай евклидова пространства

1.3 Случай евклидова пространства 1.3. Случай евклидова пространства 10 1.3 Случай евклидова пространства В качестве наглядной иллюстрации мы опишем некоторые свойства функции d H в случае, наиболее интересном для приложений, а именно,

Подробнее

С. В. Пухов ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ТЕОРИИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

С. В. Пухов ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ТЕОРИИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Ивановский государственный университет» С. В. Пухов ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ТЕОРИИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ Часть ЗАДАЧИ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

Подробнее

Кривые в метрических пространствах, внутренняя метрика, теорема Хопфа Ринова.

Кривые в метрических пространствах, внутренняя метрика, теорема Хопфа Ринова. Лекция 3 Кривые в метрических пространствах, внутренняя метрика, теорема Хопфа Ринова. 3.1 Спрямляемые кривые Пусть X метрическое пространство. Конечную последовательность L = (A 0,..., A n ) точек пространства

Подробнее

Семинар Лекция 9 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА: ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. 1. Общие вопросы теории нормированных пространств

Семинар Лекция 9 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА: ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. 1. Общие вопросы теории нормированных пространств Семинар Лекция 9 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА: ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. Общие вопросы теории нормированных пространств. Пространство L(N,N 2 ) банахово, если пространство N 2 банахово. 2. (Следствие.) Для любого нормированного

Подробнее

Лекция 5 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение топологического пространства

Лекция 5 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение топологического пространства Лекция 5 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение топологического пространства Определение 1. Произвольное множество X с выделенной системой подмножеств τ множества X называется топологическим пространством

Подробнее

Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций.

Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций. Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 27 марта 2012 г. Обозначения Символом α будем

Подробнее

Метрические пространства. Геометрия расстояния Хаусдорфа.

Метрические пространства. Геометрия расстояния Хаусдорфа. Тема 1 Метрические пространства. Геометрия расстояния Хаусдорфа. Мы будем изучать множества, наделенные функцией расстояния, сопоставляющей каждой неупорядоченной паре точек неотрицательное вещественное

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7А Слабая сходимость, дальнейшие факты. 1. Примеры и контрпримеры

ЛЕКЦИЯ 7А Слабая сходимость, дальнейшие факты. 1. Примеры и контрпримеры ЛЕКЦИЯ 7А Слабая сходимость, дальнейшие факты. Примеры и контрпримеры Определение. Множество M в банаховом пространстве B называется слабо замкнутым, если из x x, {x } M следует x M. (Иными словами, речь

Подробнее

4.5 Размерность множества

4.5 Размерность множества 4.5 Размерность множества Пусть X линейное нормированное пространство. Подпространство аффинное множество, проходящее через 0. Аффинные множества A и B параллельны, если c X : B = A + c. Размерность аффинного

Подробнее

x называется равномерно непрерывной на множестве x X x x <δ f x f x <ε.3

x называется равномерно непрерывной на множестве x X x x <δ f x f x <ε.3 Глава 7. РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ Функция f ( ) x называется равномерно непрерывной на множестве X если > δδ ( ) > ( ) ( ) x x X x x

Подробнее

Лекция 5 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение топологического пространства

Лекция 5 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение топологического пространства Лекция 5 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение топологического пространства Определение 1. Произвольное множество X с выделенной системой подмножеств τ множества X называется топологическим пространством

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2

ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2 ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств. Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна по совокупности аргументов.

Подробнее

Лекция 5. Топологические пространства и их свойства

Лекция 5. Топологические пространства и их свойства Лекция 5. Топологические пространства и их свойства Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 3 октября 2011 г. Определение топологического

Подробнее

ГЛАДКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ. Л.Н. Полякова. 9 апреля 2015 г.

ГЛАДКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ. Л.Н. Полякова. 9 апреля 2015 г. ГЛАДКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ Л.Н. Полякова lnpol07@mail.ru 9 апреля 015 г. 1. Введение. Некоторые определения и утверждения из выпуклого анализа. Выпуклый анализ является одним из наиболее глубоко

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. 1. Общие вопросы теории нормированных пространств

ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. 1. Общие вопросы теории нормированных пространств ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. Общие вопросы теории нормированных пространств. Пространство L(N, N 2 ) банахово, если пространство N 2 банахово.

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ Часть 1 Линейное программирование Учебное пособие

ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ Часть 1 Линейное программирование Учебное пособие Федеральное агентство по образованию и Российской Федерации ГОУВПО «Пермский государственный университет» С.В. Лутманов ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ Часть Линейное программирование Учебное пособие ПЕРМЬ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4. Теория двойственности ЛП (продолжение) 1. Теоремы Фаркаша Минковского и Гордана

ЛЕКЦИЯ 4. Теория двойственности ЛП (продолжение) 1. Теоремы Фаркаша Минковского и Гордана ЛЕКЦИЯ 4 Теория двойственности ЛП (продолжение) 1. Теоремы Фаркаша Минковского и Гордана Необходимые условия экстремума 2. Необходимые условия оптимальности Куна Таккера 3. Критерий оптимальности (выпуклый

Подробнее

Вариационное исчисление и оптимальное управление (мехмат МГУ, лекции 2016 г.)

Вариационное исчисление и оптимальное управление (мехмат МГУ, лекции 2016 г.) Вариационное исчисление и оптимальное управление (мехмат МГУ, лекции 2016 г.) Е. Р. Аваков, Г. Г. Магарил-Ильяев Содержание Введение 2 Глава 1. Аппарат теории экстремальных задач 5 1.1. Пространство R

Подробнее

3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами

3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами 3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами и неравенствами В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств и неравенств.

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 15 15.1. Банаховы алгебры На прошлой лекции мы видели, что спектр элемента ассоциативной алгебры может быть любым подмножеством комплексной плоскости. Однако

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 24 24.1. Локально выпуклые пространства В процессе изучения функционального анализа вы, вероятно, заметили, что не все естественно возникающие векторные пространства

Подробнее

Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы.

Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы. Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 19 сентября 212 г. Обозначения пусть B это некоторое банахово пространство

Подробнее

Лекция 5 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение топологического пространства

Лекция 5 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение топологического пространства Лекция 5 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 1. Определение топологического пространства Определение 1. Произвольное множество X с выделенной системой подмножеств τ множества X называется топологическим пространством

Подробнее

Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ. 1. Простейшие свойства метрических пространств

Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ. 1. Простейшие свойства метрических пространств Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ 1. Простейшие свойства метрических пространств Свойство 1. Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна

Подробнее

22. Связность; полнота

22. Связность; полнота 22. Связность; полнота Эта лекция посвящена двум слабо связанным между собой темам из «абстрактной топологии» (по возможности, с конкретными приложениями). 22.1. Связность Предложение-определение 22.1.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7. Необходимые условия экстремума. 2. Необходимые условия оптимальности Фритца Джона. 3. Необходимые условия оптимальности Куна Таккера

ЛЕКЦИЯ 7. Необходимые условия экстремума. 2. Необходимые условия оптимальности Фритца Джона. 3. Необходимые условия оптимальности Куна Таккера ЛЕКЦИЯ 7 Необходимые условия экстремума 1. Геометрическая форма необходимых условий оптимальности 2. Необходимые условия оптимальности Фритца Джона 3. Необходимые условия оптимальности Куна Таккера -1-

Подробнее

Лекция 8 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ПРОДОЛЖЕНИЕ. 1. Открытые отображения

Лекция 8 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ПРОДОЛЖЕНИЕ. 1. Открытые отображения Лекция 8 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ПРОДОЛЖЕНИЕ 1. Открытые отображения Пусть (B 1, 1 ) и (B 2, 2 ) банаховы пространства. Определение 1. Отображение T : B 1 B 2 называется открытым, если образ всякого открытого

Подробнее

Дифференциальная геометрия и топология. Конспект лекций Осень, учебный год

Дифференциальная геометрия и топология. Конспект лекций Осень, учебный год Дифференциальная геометрия и топология. Конспект лекций Осень, 2009-2010 учебный год 26 августа 2009 г. 1 Теория многообразий 1.1 Метрические и топологические пространства 1.1.1 Метрические пространства

Подробнее

23. Полнота (продолжение)

23. Полнота (продолжение) 23. Полнота (продолжение) Завершим доказательство теоремы 22.5. Именно, покажем, что i(x) плотно в X. Так как пространства, о которых идет речь, метрические, нам достаточно проверить, что всякий элемент

Подробнее

2.9 Критерий Громова предкомпактности семейства метрических компактов

2.9 Критерий Громова предкомпактности семейства метрических компактов Критерий Громова предкомпактности 53 2.9 Критерий Громова предкомпактности семейства метрических компактов Подмножество метрического пространства называется предкомпактным, если его замыкание компактно.

Подробнее

1 Метрические пространства

1 Метрические пространства Содержание Введение Метрические пространства 5 Тема Сходящиеся последовательности в метрических пространствах 5 Тема Топология метрических пространств Тема Полнота метрических пространств 9 Тема Непрерывные

Подробнее

Семинар Лекция 6 СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ, ДАЛЬНЕЙШИЕ ФАКТЫ. 1. Примеры и контрпримеры

Семинар Лекция 6 СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ, ДАЛЬНЕЙШИЕ ФАКТЫ. 1. Примеры и контрпримеры Семинар Лекция 6 СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ, ДАЛЬНЕЙШИЕ ФАКТЫ. Примеры и контрпримеры Определение. Множество M в банаховом пространстве B называется слабо замкнутым, если из x x, {x } M следует x M. (Иными словами,

Подробнее

ТИПИЧНЫЕ ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА Е. М. Бронштейн

ТИПИЧНЫЕ ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА Е. М. Бронштейн Сибирский математический журнал Январь февраль, 2000. Том 41, 1 УДК 513.88 ТИПИЧНЫЕ ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА Е. М. Бронштейн Аннотация: Пусть K выпуклое компактное подмножество гильбертова пространства B, V(K)

Подробнее

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1 В.В. Жук, А.М. Камачкин 5 Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, возможность перестановки предельных переходов, интегрирование и дифференцирование рядов и последовательностей.

Подробнее

Аменабельные группы. лекция 4. Миша Вербицкий. 7 августа 2011

Аменабельные группы. лекция 4. Миша Вербицкий. 7 августа 2011 Аменабельные группы лекция 4 7 августа 2011 Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия" 1-7 августа, 2011, ЯГПУ, Ярославль, Россия 1 Аменабельные группы (повторение) Для любого множества S, обозначим

Подробнее

1. Дифференциальные включения. с максимальными монотонными операторами Определения и основные понятия.

1. Дифференциальные включения. с максимальными монотонными операторами Определения и основные понятия. . Дифференциальные включения с максимальными монотонными операторами.. Определения и основные понятия. Будем рассматривать гильбертово пространство H и многозначный оператор A: H H. D A H область определения

Подробнее

8. Выпуклые игры. 1 K i. 1 C k 1. 1 k

8. Выпуклые игры. 1 K i. 1 C k 1. 1 k 8. Выпуклые игры. Дивиденды Харшани. (Harsay, введены в 963 г.). Значение игры по Шепли может быть представлено различными выражениями, в частности: здесь = ϕ v =!!( )! ( )!( )! (v v ) =! = C B(, + )(v

Подробнее

9. Связность. и непустое связное множество М, содержащееся в объединении множеств Φ. 1 тогда множество М содержится в каком-нибудь одном множестве Φ 1

9. Связность. и непустое связное множество М, содержащееся в объединении множеств Φ. 1 тогда множество М содержится в каком-нибудь одном множестве Φ 1 40 9. Связность Понятие связности есть математически строгое отражение интуитивного представления о целостности геометрической фигуры. Определение Топологическое пространство Х называется несвязным, если

Подробнее

Лекция Теорема о точках плотности

Лекция Теорема о точках плотности Лекция 17-19. Теорема о точках плотности Эта и следующая лекция могут быть названы Цветы одномерной теории меры. Теорема о точках плотности относится к теории многомерной меры Лебега. Она помещена здесь,

Подробнее

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 29 сентября 2011 г. Измеримые функции Интеграл Лебега,

Подробнее

Лекция 6. Векторные топологические пространства и их свойства

Лекция 6. Векторные топологические пространства и их свойства Лекция 6. Векторные топологические пространства и их свойства Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 3 октября 2011 г. Линейные функционалы.

Подробнее

Топология, лекция 2: метрики и нормы на векторных пространствах

Топология, лекция 2: метрики и нормы на векторных пространствах Топология, лекция 2: метрики и нормы на векторных пространствах Миша Вербицкий 15 апреля, 2012 матфак ВШЭ 1 Метрические пространства (повторение) Определение: Пусть M - множество. Метрикой на M называется

Подробнее

Начала теории меры. Тема 1

Начала теории меры. Тема 1 Тема 1 Начала теории меры. Мы предполагаем, что слушатели знакомы с основами теории множеств и топологии, в частности, с понятиями и основными свойствами метрических пространств. Кроме того, ряд фактов,

Подробнее

Пусть в этом пункте X линейное нормированное пространство (для простоты понимания можно считать, что X = R n конечномерное пространство).

Пусть в этом пункте X линейное нормированное пространство (для простоты понимания можно считать, что X = R n конечномерное пространство). 1 4 Выпуклый анализ Пусть в этом пункте X линейное нормированное пространство (для простоты понимания можно считать, что X = R n конечномерное пространство). 4.1 Элементы выпуклого анализа 4.1.1 Выпуклые

Подробнее

30. Метризуемые компактные пространства. Характеризации компактности

30. Метризуемые компактные пространства. Характеризации компактности Лекция 1. Метризуемые компактные пространства. Характеризации компактности метризуемых пространств. Полные метрические пространства. Теорема Бэра о категории. Вполне ограниченные метрические пространства.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5В Топологические пространства 3. Частичный порядок. Наименьшие топологии. Направленности. 1. Частичный порядок

ЛЕКЦИЯ 5В Топологические пространства 3. Частичный порядок. Наименьшие топологии. Направленности. 1. Частичный порядок ЛЕКЦИЯ 5В Топологические пространства 3. Частичный порядок. Наименьшие топологии. Направленности 1. Частичный порядок Напомним Определение. Говорят, что на множестве R задано отношение частичного порядка,

Подробнее

Метрические пространства и функционалы длины.

Метрические пространства и функционалы длины. Тема 1 Метрические пространства и функционалы длины. Обозначим через R + множество неотрицательных вещественных чисел. Определение 1.1. Пусть X множество. Метрикой на X называется функция d: X X R +, удовлетворяющая

Подробнее

Элементы сферической геометрии.

Элементы сферической геометрии. Глава 6 Элементы сферической геометрии. План. Открытые сферические круги, открытые и замкнутые подмножества сферы, непрерывные кривые на сфере, линейная связность и компоненты подмножества сферы, сферическая

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12А Компактность в метрических и нормированных пространствах. Основные идеи. 1. Топологическое определение компактности

ЛЕКЦИЯ 12А Компактность в метрических и нормированных пространствах. Основные идеи. 1. Топологическое определение компактности ЛЕКЦИЯ 12А Компактность в метрических и нормированных пространствах. Основные идеи 1. Топологическое определение компактности Напомним (см. лекции 4, 5) основное определение. Определение 1. Топологическое

Подробнее

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R 2 1. Необходимость расширения понятия интеграла Сначала обсудим построение интеграла Римана. Пусть функция f(x) задана на собственном отрезке [a, b]. Определим

Подробнее

МОНОТОННО ЛИНЕЙНО СВЯЗНОЕ МНОЖЕСТВО С РАДИАЛЬНО НЕПРЕРЫВНОЙ СНИЗУ МЕТРИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИЕЙ ЯВЛЯЕТСЯ СТРОГИМ СОЛНЦЕМ А. Р. Алимов

МОНОТОННО ЛИНЕЙНО СВЯЗНОЕ МНОЖЕСТВО С РАДИАЛЬНО НЕПРЕРЫВНОЙ СНИЗУ МЕТРИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИЕЙ ЯВЛЯЕТСЯ СТРОГИМ СОЛНЦЕМ А. Р. Алимов Сибирский математический журнал Январь февраль, 2017. Том 58, 1 УДК 517.982.256+517.982.252 МОНОТОННО ЛИНЕЙНО СВЯЗНОЕ МНОЖЕСТВО С РАДИАЛЬНО НЕПРЕРЫВНОЙ СНИЗУ МЕТРИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИЕЙ ЯВЛЯЕТСЯ СТРОГИМ СОЛНЦЕМ

Подробнее

Многогранники. Дополнения к семинару 5

Многогранники. Дополнения к семинару 5 Дополнения к семинару 5 Многогранники Комментарий к лекции 5.1. В доказательстве теоремы 5.21 рассматривается внутренняя точка D грани F k, круг K F k с центром в D, точки B и C, лежащие в разных открытых

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 6А Топологические пространства 2. Направленности. 1. Частичный порядок

ЛЕКЦИЯ 6А Топологические пространства 2. Направленности. 1. Частичный порядок ЛЕКЦИЯ 6А Топологические пространства 2. Направленности 1. Частичный порядок Напомним Определение. Говорят, что на множестве R задано отношение частичного порядка, если для некоторых пар (x, y) элементов

Подробнее

Многогранники. Глава Многоугольники

Многогранники. Глава Многоугольники Глава 5 Многогранники План. Многоугольник, ограниченным замкнутой ломаной без самопересечений, внутренность, внешность и граница многоугольника, пространственный многоугольник, плоскость многоугольника,

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Лекция 13. Выпуклые функции и формула Тейлора 1 Выпуклые и вогнутые C 2 -гладкие функции.

Лекция 13. Выпуклые функции и формула Тейлора 1 Выпуклые и вогнутые C 2 -гладкие функции. Лекция 13. Выпуклые функции и формула Тейлора 1 Выпуклые и вогнутые C -гладкие функции. Определение 1 Функция называется выпуклой (вогнутой), если ее надграфик (подграфик) выпуклая область. Пример 1 x

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства Примеры и контрпримеры

ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства Примеры и контрпримеры ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства 1 1. Примеры и контрпримеры Мы начнём с рассмотрения примеров, демонстрирующих необходимость осторожного использования интуиции при решении вопросов, связанных с метрическими

Подробнее

Лекция 8. Банаховы пространства. Дальнейшее развитие теории.

Лекция 8. Банаховы пространства. Дальнейшее развитие теории. Лекция 8. Банаховы пространства. Дальнейшее развитие теории. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 1 ноября 2012 г. Открытые отображения.

Подробнее

3. Непрерывность функции многих переменных

3. Непрерывность функции многих переменных 3 Непрерывность функции многих переменных 31 Непрерывность в точке Локальные свойства Определение 31 Пусть y = f(x), x X R n, f(x) R m, x 0 X Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0, если или O(f(x

Подробнее

Топология, лекция 8: Компакты в топологических пространствах

Топология, лекция 8: Компакты в топологических пространствах Топология, лекция 8: Компакты в топологических пространствах Миша Вербицкий 7 июня, 2012 матфак ВШЭ 1 Компакты в хаусдорфовом пространстве. Определение: Топологическое пространство M называется компактным,

Подробнее

Топология, лекция 3: Компакты в метрических пространствах

Топология, лекция 3: Компакты в метрических пространствах Топология, лекция 3: Компакты в метрических пространствах Миша Вербицкий 20 апреля, 2012 матфак ВШЭ 1 Компакты. Определение: Набор открытых подмножеств {U α } в M называется покрытием M, если M = α U α.

Подробнее

СИНГУЛЯРНЫЕ МЕРЫ И (1, p) ЕМКОСТЬ В ВЕСОВЫХ КЛАССАХ СОБОЛЕВА А. С. Романов

СИНГУЛЯРНЫЕ МЕРЫ И (1, p) ЕМКОСТЬ В ВЕСОВЫХ КЛАССАХ СОБОЛЕВА А. С. Романов Сибирский математический журнал Март апрель, 2003. Том 44, 2 УДК 57.58. СИНГУЛЯРНЫЕ МЕРЫ И (, p ЕМКОСТЬ В ВЕСОВЫХ КЛАССАХ СОБОЛЕВА А. С. Романов Аннотация: Изучаются условия, при которых вклад сингулярной

Подробнее

Лекция 6 ВЕКТОРНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Линейные функционалы

Лекция 6 ВЕКТОРНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Линейные функционалы Лекция 6 ВЕКТОРНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 1. Линейные функционалы Напомним некоторые понятия линейной алгебры. Действительно, пусть L это линейное пространство над полем либо вещественных либо комплексных

Подробнее

Граница финансового условия (2.2), на которой расходы покупателя совпадают с его доходом:

Граница финансового условия (2.2), на которой расходы покупателя совпадают с его доходом: 2.1. Максимизация полезности при ограничении по доходу потребителя Допустим, что каждый из l товаров покупается данным потребителем по цене p h. На протяжении большей части нашего анализа будем полагать,

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 12 12.1. Теорема Банаха об открытом отображении Напомним (см. следствие 2.4), что любой открытый линейный оператор T : X Y между нормированными пространствами

Подробнее

Теоремы Витали и Безиковича.

Теоремы Витали и Безиковича. Тема 1 Теоремы Витали и Безиковича. Детали теории метрических и топологических пространств можно найти в [1], [2], [], [4], [5]. Напомним, что метрическим пространством называется пара (X, d), где X некоторое

Подробнее

Дифференцирование внешних мер.

Дифференцирование внешних мер. Тема 7 Дифференцирование внешних мер. В этом разделе мы определим операцию дифференцирования одной внешней меры по другой и докажем ряд формул, являющихся аналогами интегрально-дифференциального исчисления

Подробнее

, то из теоремы 11 и определения компоненты следует, что H

, то из теоремы 11 и определения компоненты следует, что H Лекция 2 Тема: Свойства топологических пространств. Гомеоморфизм. Топологические многообразия. План лекции. Свойства топологических пространств: отделимость, компактность, связность. 2. Непрерывное отображение

Подробнее

ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ

ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. 4 (2013). С. 84-90. УДК 517.5 ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ О.А. КРИВОШЕЕВА Аннотация. В работе изучаются вопросы сходимости

Подробнее

Лекция 1. Слабая, * слабая и сильная сходимости.

Лекция 1. Слабая, * слабая и сильная сходимости. Лекция 1. Слабая, * слабая и сильная сходимости. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 5 сентября 2012 г. Определения Итак, напомним, что действие линейного функционала

Подробнее

НЕРАВЕНСТВА МЕЖДУ РАДИУСАМИ СФЕР, СВЯЗАННЫХ С ВЫПУКЛОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ В. К. Ионин

НЕРАВЕНСТВА МЕЖДУ РАДИУСАМИ СФЕР, СВЯЗАННЫХ С ВЫПУКЛОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ В. К. Ионин Сибирский математический журнал Май июнь, 2001. Том 42, 3 УДК 514.17 НЕРАВЕНСТВА МЕЖДУ РАДИУСАМИ СФЕР, СВЯЗАННЫХ С ВЫПУКЛОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ В. К. Ионин Аннотация: Пусть выпуклой

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

Доказательство теоремы Канторовича (теорема 9.1).

Доказательство теоремы Канторовича (теорема 9.1). Тема 11 Доказательство теоремы Канторовича теорема 9.1). Мы разобьем доказательство теоремы 9.1 на несколько шагов. Напомним, что мы уже доказали неравенство см. лемму 9.3. sup Jφ, ψ) inf Kπ), Φ c C b

Подробнее

ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ СДАЧИ ЭКЗАМЕНА ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ. I. Теоретические задачи

ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ СДАЧИ ЭКЗАМЕНА ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ. I. Теоретические задачи ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ СДАЧИ ЭКЗАМЕНА ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ I. Теоретические задачи 1. Пусть X - полное метрическое пространство и B n, n N, - последовательность вложенных замкнутых шаров, радиус

Подробнее

3 Обоснование симплекс-метода

3 Обоснование симплекс-метода 1 3 Обоснование симплекс-метода 3.1 Теоремы существования, двойственности, критерий решения Приведем три теоремы, играющие важную роль при обосновании симплекс-метода. Рассмотрим задачу линейного программирования

Подробнее

2. Метрические пространства

2. Метрические пространства 2 2. Метрические пространства Одним из часто встречающихся в математике понятий является понятие расстояния. Оно используется в аналитической геометрии при изучении свойств геометрических объектов в евклидовых

Подробнее