Лекция 2. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Лекция 2. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ"

Транскрипт

1 Лекция 2. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ Цель лекции: изучить основы теории множеств, необходимые для введения фундаментального понятия "отношение", на котором строится дальнейшее изучение реляционной модели данных. Показать связь между понятиями "отношение" и "таблица". План лекции: 1 Основные понятия теории множеств 2 Операции над множествами 3 Декартово произведение множеств 4 Отношения 1 Основные понятия теории множеств Понятие "множество" является первичным и неопределяемым. Множество можно представить себе как совокупность элементов, обладающих некоторым общим свойством. Объекты любой природы (числа, люди, вещи и т. д.), составляющие множество, называют его элементами. Например, студент Иванов является элементом множества студентов IV курса, март элементом множества месяцев в году и т.д. Для того чтобы некоторую совокупность элементов можно было назвать множеством, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия: - должно существовать правило, позволяющее определить, принадлежит ли указанный элемент данной совокупности; - должно существовать правило, позволяющее отличать элементы друг от друга (это означает, что множество не может содержать двух одинаковых элементов). Тот факт, что элемент a принадлежит множеству А записывается так: a, в противном случае пишем a. Для однозначного описания некоторого множества мы будем пользоваться следующими способами: перечислением всех его элементов. Например, множество, состоящее из объектов: a, b, c, d записывают так: = {a, b, c, d}. Данный способ применим только для конечных множеств, число элементов которых невелико; указанием общего свойства элементов, принадлежащих множеству. В этом случае в фигурных скобках записывают обозначение произвольного элемента множества, ставят вертикальную черту, а затем свойство, характеризующее в точности все элементы множества. Например, множество K натуральных чисел, меньших 5 можно записать: K= {1, 2, 3, 4} или K={х х N и х < 5}. Множества могут быть конечными или бесконечными. Например, множество работников предприятия конечно, а множество точек прямой бесконечно. Пустым множеством называют единственное множество, не содержащее ни одного элемента (обозначается символом ). Например, это множество транзисторов, изготовленных в 1930 году. 1

2 Множества и B считают равными, если они состоят из одних и тех же элементов (записывают = B). Например, равны следующие множества: А={>, и B={!, $}. Множество B называют подмножеством множества тогда и только тогда, когда каждый элемент B принадлежит множеству (записывается: В А). Например, А множество студентов вуза, В подмножество первокурсников этого вуза. Свойство подмножеств: если В А и А В, то А=В. Достаточно часто для наглядного изображения множеств и операций над ними используют так называемые круги Эйлера (диаграммы Венна). На следующем рисунке показаны множества А и B такие, что В А. B Часто бывает, что рассматриваются только подмножества одного и того же множества. Такое множество называют универсальным множеством, по предположению содержит все используемые нами множества (обозначают U и изображают на кругах Эйлера в виде прямоугольника). 2 Операции над множествами Основными операциями над множествами являются объединение, пересечение, разность и дополнение. Определение 1. Объединением двух множеств называется новое множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств (обозначается: А В ), т.е. А В = {х х А или х В}. На кругах Эйлера объединение множеств А и В изображается в виде заштрихованной области. Например, пусть заданы три множества: А = {1, 2, 3, 4}, В = {1, 3, 5}, C = {5, 6}. Тогда А В = {1, 2, 3, 4, 5}, А С = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Определение 2. Пересечением двух множеств называется новое множество, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно обеим множествам (обозначается: А В), т.е. А В = {х х А и х В}. Например, для заданных множеств А, B и С: А В = {1, 3}, В С = {5}, А С =. 2

3 На кругах Эйлера пересечение множеств А и В изображается в виде заштрихованной области. Свойства операций объединения и пересечения. а) Коммутативность: для любых множеств и B верны равенства: А В=В А; А В=В А. б) Ассоциативность: для любых множеств А, В, С верны равенства: (А В) С= (В С); ( B) С= (В С). в) Дистрибутивность: для любых множеств А, B и С справедливы равенства: (B C)=( B) ( C); (B C)=( B) ( C). В частности, для любого множества имеем: =, =; =, = ; U=U, U=. Определение 3. Разностью двух множеств А и B называется новое множество, элементы которого принадлежат, но не принадлежат B (обозначают: А \ В), т.е. А \ В = {х х А и х В}. На кругах Эйлера разность множеств А и В изображается в виде заштрихованной области. Например, для заданных множеств А, B и С: А \ В = {2, 4}, В \ С = {1, 3}, А \ С = {1, 2, 3, 4} =. 3

4 Вопрос: каким операциям соответствует следующая диаграмма? Ответ: (А \ B) (B \ ), операция называется симметричной разностью множеств. Причем (А \ B) (B \ ) = (А B) \ (B ). Доказательство этого соотношения, как и любых других утверждений о равенстве множеств, состоит в том, чтобы предположив принадлежность некоторого элемента х множеству из левой части равенства, необходимо доказать, что этот же самый элемент принадлежит множеству, стоящему в правой части равенства и наоборот. Задание: доказать равенство (А \ B) (B \ ) = (А B) \ (B ). Определение 4. Если А подмножество множества U, то дополнением множества А до множества U есть множество, состоящее из тех и только тех элементов U, которые не принадлежат А, т.е. = U \ = {x х U и х }. На кругах Эйлера дополнение изображается в виде заштрихованной области. Свойства операции дополнения: для любых подмножеств А и B универсального множества U имеют место следующие равенства: B B, B B; U, ;. Задача. За время отпуска 12 дней шел дождь, 8 дней дул сильный ветер, а 4 дня было холодно. Сколько дней была плохая погода, если: - дождливых и ветреных дней было 5; - дождливых и холодных 3 дня; - ветреных и холодных 2 дня; - дождливых, ветреных и холодных 1 день. 4

5 Ответ: 15 дней. Задача сводится к нахождению числа элементов в объединении нескольких множеств, зная число элементов в каждом из них, а также число элементов в каждом пересечении этих множеств. Определение 5. Количество элементов конечного множества называется его мощностью. Мощность множества А обозначается как. Мощность объединения трех множеств А, В и С равна: B C = + B + C - B - C - B C + B C. Вопрос: почему перед значением мощности пересечения трех множеств B C стоит знак "+"? 3 Декартово произведение множеств Пусть А и В множества. Выражение вида (а, b), где a и b B, называется упорядоченной парой. Равенство вида (a, b) = (c, d) означает, что a = c и b = d. В общем случае, можно рассматривать упорядоченную n-ку (a 1, a 2,, a n ) из элементов a 1 1, a 2 2,, a n n. Упорядоченные n-ки иначе называют наборами или кортежами. Определение 6. Декартовым (прямым) произведением множеств 1, 2,, n называется множество упорядоченных n-ок (наборов, кортежей) вида 1 2 n = {(a 1, a 2,, a n ) a i i, i 1, n }. Определение 7. Степенью декартового произведения 1 2 n называется число множеств n, входящих в это декартово произведение. Если все множества 1, 2,, n одинаковы, то используют обозначение n =. Примеры декартовых произведений. а) Если А = {a, b, c, d, e, f, g, h}, а В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, то В = {a1, a2, a3,, h7, h8} множество, содержащее обозначения всех 64 клеток шахматной доски. б) Пусть А конечное множество, элементами которого являются символы (буквы, цифры, знаки препинания и т.д.). Такие множества называются алфавитами, а элементы множества n называются словами длины n в алфавите А. 5

6 Например, множество 2 = содержит все возможные двухэлементные сочетания символов (слова из 2-х символов). Множество всех слов в алфавите А это множество i i N Теорема. Мощность декартового произведения 1 2 n равна произведению мощностей множеств 1, 2,, n : Следствие: n = n. 1 2 n = 1 2 n. 4 Отношения Пусть дано декартово произведение множеств 1 2 n. Определение 8. Подмножество R декартового произведения множеств 1 2 n называется отношением степени n (n-арным отношением) на множествах 1, 2,, n. Говорят, что элементы a 1, a 2,..., a n находятся в отношении R, если (a 1, a 2,..., a n ) R. Наиболее изучены и часто используются в математике бинарные отношения. Для них, наряду с записью (a 1, a 2 ) R, пишут также a 1 R a 2. Например, отношение выполняется для пар (7, 9) и (7, 7), но не выполняется для пары (9, 7). Отношение "иметь общий делитель, отличный от единицы" выполняется для пар (6, 9), (2, 4), (4, 4), но не выполняется для пар (7, 9) и (7, 7). Задание: для каких пар выполняются отношения "родиться в одном городе", "быть моложе", заданные на множестве S 2, где S множество студентов Вашей группы? Определение 9. Степень отношения это количество элементов в каждом кортеже отношения. Определение 10. Мощность отношения это количество кортежей отношения. Понятие отношения является очень важным не только с математической точки зрения. Понятие отношения фактически лежит в основе всей реляционной теории баз данных. Как будет показано ниже, отношения являются математическим аналогом таблиц. Сам термин "реляционное представление данных", впервые введенный Эдгаром Коддом в начале 1970-х, происходит от термина relation, понимаемом именно в смысле этого определения. Т.к. любое множество можно рассматривать как декартовое произведение степени 1, то любое подмножество можно считать отношением степени 1. Это не очень интересный пример, свидетельствующий лишь о том, что термины "отношение степени 1" и "подмножество" являются синонимами. Нетривиальность понятия отношения проявляется, когда степень отношения больше 1. Ключевыми здесь являются два момента: Во-первых, все элементы отношения есть однотипные кортежи. Однотипность кортежей позволяет считать их аналогами строк в простой таблице, т.е. в такой таблице, в которой все строки состоят из одинакового числа ячеек и в соответствующих ячейках содержатся одинаковые типы данных. Например, отношение, состоящее из трех следующих кортежей {(1, "Иванов", 3), (2, "Петров", 4), (3, "Сидоров", 5)} можно считать таблицей, 6

7 содержащей данные о студентах и их оценках за экзамен. Такая таблица будет иметь три строки и три колонки, причем в каждой колонке содержатся данные одного типа. Степень отношения является аналогом количества столбцов в таблице, мощность отношения аналогом количества строк в таблице. Во-вторых. За исключением крайнего случая, когда отношение есть само декартово произведение, отношение включает в себя не все возможные кортежи из декартового произведения. Это значит, что для каждого отношения имеется критерий, позволяющий определить, какие кортежи входят в отношение, а какие - нет. Этот критерий, по существу, определяет для нас смысл (семантику) отношения. Действительно, каждому отношению можно поставить в соответствие некоторое логическое выражение P(x 1, x 2,, x n ), зависящее от n параметров (n-местный предикат) и определяющее, будет ли кортеж (x 1, x 2,, x n ) принадлежать отношению R. Это логическое выражение называют предикатом отношения R. Более точно, кортеж (x 1, x 2,, x n ) принадлежит отношению R тогда и только тогда, когда предикат этого отношения P(x 1, x 2,, x n ) принимает значение "истина". В математике чаще всего используют бинарные отношения (отношения степени 2). В теории баз данных основными являются отношения степени n. В математике, как правило, отношения заданы на бесконечных множествах и имеют бесконечную мощность. В базах данных напротив, мощности отношений конечны (число хранимых строк в таблицах всегда конечно). На следующем занятии мы рассмотрим свойства отношений и некоторые примеры отношений как бинарных, так и n-арных. 7

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 2. Алгебра множеств.

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 2. Алгебра множеств. Доля П.Г. Харьковский Национальный Университет механико математический факультет 014 г. Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. Алгебра множеств..1 Понятие множества... 1. Операции над множествами...

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ СОДЕРЖАНИЕ. Лекция 5. Классификация функций 80 Лекция 6. Предел функции.. 98 Лекция 7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

ВВЕДЕНИЕ СОДЕРЖАНИЕ. Лекция 5. Классификация функций 80 Лекция 6. Предел функции.. 98 Лекция 7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 4 Тема 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Лекция 1 Множества 6 Лекция Числовые множества 14 Лекция 3 Грани числовых множеств 1 Лекция 4 Множество комплексных чисел 7 Тема ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Лекция

Подробнее

Глава I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Глава I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Глава I ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Под множеством понимают любой набор определенных и различимых между собой объектов, мыслимый как единое целое Объекты, составляющие множество, называются элементами множества

Подробнее

С О Д Е Р Ж А Н И Е ТЕМА I. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА...

С О Д Е Р Ж А Н И Е ТЕМА I. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА... С О Д Е Р Ж А Н И Е ТЕМА I. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ... 2 1. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ И ПРИМЕРЫ... 2 1.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ... 2 1.2. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА... 3 1.3. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ МНОЖЕСТВ...

Подробнее

Методические указания по дискретной математике. Теория множеств

Методические указания по дискретной математике. Теория множеств Методические указания по дискретной математике Теория множеств 2 Элементы теории множеств Раздел математики, занимающийся множествами называется теорией множеств. Ее основоположником был немецкий математик

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ В пособии не излагается теория чисел а дан минимальный инструментарий из этой теории который в дальнейшем потребуется для изучения криптографических систем используемых

Подробнее

Дискретная математика

Дискретная математика Дискретная математика ЛИТЕРАТУРА. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. - М.: Наука, 979. 2. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженеров. М.: Энергоатомиздат, 988.

Подробнее

1 Понятие множества. Способы задания множеств.

1 Понятие множества. Способы задания множеств. Московский физико-технический институт Факультет инноваций и высоких технологий Математическая логика, осень 2012 Лекция 1: множества и операции над ними Аннотация Понятие множества. Задание множества

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. КОМБИНАТОРИКА

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. КОМБИНАТОРИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. КОМБИНАТОРИКА Понятие множества Множество фундаментальное, неопределимое понятие. Под множеством понимают класс, совокупность, набор определенных и различимых между собой объектов.

Подробнее

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА» РАЗДЕЛ «МНОЖЕСТВА» ДЛЯ СТУДЕНТОВ 2 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА» РАЗДЕЛ «МНОЖЕСТВА» ДЛЯ СТУДЕНТОВ 2 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА Алексей Юлия Вадимовна преподаватель I кв. категории ГБОУ СПО РО «Константиновский педагогический колледж» г. Константиновск, Ростовская область Кудашкина Ольга Петровна преподаватель I кв. категории ГБОУ

Подробнее

МАТЕМАТИКА для гуманитариев

МАТЕМАТИКА для гуманитариев Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинская государственная академия культуры и искусств» Кафедра информатики С. В. Буцык МАТЕМАТИКА для гуманитариев

Подробнее

Дискретная математика

Дискретная математика Дискретная математика Часть 1 ВЕ Алексеев 2014 Глава 1 Множества 11 Понятие множества Под множеством математики понимают соединение каких-либо объектов в одно целое Создатель теории множеств немецкий математик

Подробнее

МНОЖЕСТВО (По материалам Константина Онуфриевича Ананченко)

МНОЖЕСТВО (По материалам Константина Онуфриевича Ананченко) МНОЖЕСТВО (По материалам Константина Онуфриевича Ананченко) Множество и его элементы. Понятие множества является одним из основных в математике. Оно не определяется через другие. Поясним понятие множества

Подробнее

5. Ассоциативность: (A B) C=A (B C) (A B) C=A (B C) 6. Дистрибутивность: A (B C)=(A B) (A C)

5. Ассоциативность: (A B) C=A (B C) (A B) C=A (B C) 6. Дистрибутивность: A (B C)=(A B) (A C) Теория множеств. Множество это первичное неопределяемое понятие математики (как, например, точка в геометрии). Слова «набор», «совокупность», «семейство» употребляют в качестве его синонимов. Пример 1.

Подробнее

Дискретная математика. Преподаватель Маслов Анатолий Викторович

Дискретная математика. Преподаватель Маслов Анатолий Викторович Дискретная математика Преподаватель Маслов Анатолий Викторович Лекция 1 Множества Цель лекции познакомить студентов: 1) с общими понятиями теории множеств; 2) с основными операциями над множествами; 3)

Подробнее

2. Множества. смысле строится именно из него. 1 Хотя оно и пустое, но при формальном построении теории множеств все в некотором

2. Множества. смысле строится именно из него. 1 Хотя оно и пустое, но при формальном построении теории множеств все в некотором 2. Множества Эта и следующая лекция будут посвящены теоретико-множественному языку, которым пользуются все математики. Множество «начальное» математическое понятие, и потому этому понятию невозможно дать

Подробнее

УРОК 9. Алгебра логики. Теория множеств. Понятие множества и элемента множества.

УРОК 9. Алгебра логики. Теория множеств. Понятие множества и элемента множества. УРОК 9. Алгебра логики. Теория множеств. Понятие множества и элемента множества. В конце XIX века в математической науке возникла необходимость уточнить смысл таких ведущих понятий, как функция, непрерывность

Подробнее

Тема 1-1: Введение. Метод математической индукции. Множества и операции над ними

Тема 1-1: Введение. Метод математической индукции. Множества и операции над ними Тема 1-1: Введение. Метод математической индукции. Множества и операции над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной

Подробнее

ОСНОВЫ НАЧАЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ

ОСНОВЫ НАЧАЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ БУРЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ОСНОВЫ НАЧАЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ Рекомендовано Учебно-методическим советом БГУ в качестве учебно-методического

Подробнее

Множества и операции над ними. Диаграмма Венна. Соотношения между множествами и высказываниями

Множества и операции над ними. Диаграмма Венна. Соотношения между множествами и высказываниями Множества и операции над ними. Диаграмма Венна. Соотношения между множествами и высказываниями Понятие множества не определяется, а лишь иллюстрируется примерами. Например, можно говорить о множестве статей

Подробнее

Тема 1-4: Алгебраические операции

Тема 1-4: Алгебраические операции Тема 1-4: Алгебраические операции А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1

Подробнее

Вводный курс математики

Вводный курс математики Высшее профессиональное образование БАКАЛАВРИАТ И. Л. Тимофеева, И. Е. Сергеева, Е. В. Лукьянова Вводный курс математики Под редакцией академика В. Л. Матросова Рекомендовано Учебно-методическим объединением

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1 Случайное событие A, связанное с опытом S, это такое событие, которое может произойти или не произойти в результате опыта S, причём заранее, до проведения опыта,

Подробнее

џ 1.1. Множества и операции над ними. Мощность множества

џ 1.1. Множества и операции над ними. Мощность множества TЕМА 1. Множества и отношения Цель и задачи Цель контента темы 1 ввести понятие отношения между множествами и рассмотреть различные свойства отношений. Задачи контента темы 1: дать определение прямого

Подробнее

1. Теория множеств. , элементы множества будем обозначать строчными буквами латинского алфавита a, b,... или с подстрочным индексом a1, a

1. Теория множеств. , элементы множества будем обозначать строчными буквами латинского алфавита a, b,... или с подстрочным индексом a1, a Теория множеств Определение: Множество A совокупность элементов, объединённых каким-нибудь общим свойством Введём следующие обозначения Множества будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита

Подробнее

Дискретная математика. В.Е. Алексеев

Дискретная математика. В.Е. Алексеев Дискретная математика В.Е. Алексеев http://vmk.ucoz.net/ Множества и отношения Лекция 1 Множества Множество это соединение в одно целое каких-либо объектов. Объекты, составляющие множество, называют элементами.

Подробнее

Лекция 3: множества и логика

Лекция 3: множества и логика Лекция 3: множества и логика Дискретная математика, ВШЭ, факультет компьютерных наук (Осень 2014 весна 2015) Мы уже использовали понятие множества и в дальнейшем будем его использовать постоянно. Сейчас

Подробнее

Понятие множества. РЕПОЗИТОРИЙ БГПУ

Понятие множества. РЕПОЗИТОРИЙ БГПУ Понятие множества. Вопросы для изучения 1. Понятие множества. 2. Отношения между множествами. 3. Диаграммы Эйлера Венна. 4. Операции над множествами. «Множество есть многое, мыслимое нами как единое» основатель

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ Такое понятие, как множество, вообще говоря, не определяется,

Подробнее

Лекция 1. Наивная теория множеств

Лекция 1. Наивная теория множеств Лекция 1. Наивная теория множеств Множество Центральным понятием наивной теории множеств является множество. Множество это набор или совокупность объектов любой природы. Эти объекты называют элементами

Подробнее

СПЕЦГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ Часть 1

СПЕЦГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ Часть 1 Федеральное агентство по образованию ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Кафедра автоматизации обработки информации (АОИ) ЗА Смыслова СПЕЦГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ Часть

Подробнее

Тема 1-2: Элементы комбинаторики

Тема 1-2: Элементы комбинаторики Тема 1-2: Элементы комбинаторики А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1

Подробнее

Арифметика Что такое система счисления? Система счисления это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Арифметика Что такое система счисления? Система счисления это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр). Арифметика 1.1. Что такое система счисления? Система счисления это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр). Существуют позиционные и непозиционные системы счисления. В

Подробнее

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 1. Алгебра высказываний и логика.

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 1. Алгебра высказываний и логика. Доля П.Г. Харьковский Национальный Университет механико математический факультет Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление 1. Алгебра высказываний и логика. 1.1 Высказывания и логические операции...

Подробнее

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 3 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Учебно-методический комплекс по дисциплине «Введение в математику» для слушателей курса математического факультета, обучающихся по специальности -0 05 03-0 «Математика Информатика»,

Подробнее

законы поглощения: (А В) А = А; (А В) А = А; А\В АΔВ В\А

законы поглощения: (А В) А = А; (А В) А = А; А\В АΔВ В\А Практическая работа 4 Операции над множествами. Решение задач на множествах Цель работы: изучить операции над множествами. Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): методические рекомендации

Подробнее

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция. Понятие множества. Определение функции основные свойства. Основные элементарные функции СОДЕРЖАНИЕ: Элементы теории множеств Множество вещественных чисел Числовая

Подробнее

Кафедра моделирования и системного анализа (МиСА)

Кафедра моделирования и системного анализа (МиСА) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР) Кафедра моделирования и системного анализа (МиСА) ВГ Баранник, ЕВ

Подробнее

Лекция 4 Операции над нечеткими множествами

Лекция 4 Операции над нечеткими множествами Лекция 4 Операции над нечеткими множествами Прежде чем приступить к рассмотрению операций над нечеткими множествами следует привести некоторые важные соображения, которые необходимо принимать во внимание

Подробнее

Лекция 2 Основные характеристики нечетких множеств

Лекция 2 Основные характеристики нечетких множеств Лекция 2 Основные характеристики нечетких множеств Пусть произвольное нечеткое множество (конечное или бесконечное) с элементами из универсума X и функцией принадлежности. Определение 2.1. Обобщением носителя

Подробнее

Вероятность события, классическое определение вероятности. Графическое представление в виде диаграмм Эйлера Венна.

Вероятность события, классическое определение вероятности. Графическое представление в виде диаграмм Эйлера Венна. Лекция 2 Тема Основные понятия теории вероятностей Содержание темы Предмет ТВ. Случайное событие. Вероятность события, классическое определение вероятности. Операции с событиями. Графическое представление

Подробнее

18. Отображения, отношения и лемма Цорна

18. Отображения, отношения и лемма Цорна 18. Отображения, отношения и лемма Цорна Вернемся еще раз к теории множеств будем надеяться, что последний раз в курсе анализа. Вы уже знакомы с понятием отображения множеств. Именно, отображение f : X

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА

ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА ЛЕКЦИЯ 6 ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА РАНГ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ 1 ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основные понятия теории множеств Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е,

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 38.03.01 (080100.62 Экономика. Профиль

Подробнее

Раздел 2. Бинарные отношения

Раздел 2. Бинарные отношения Раздел. Бинарные отношения В математике часто рассматриваются отношения между двумя элементами множества. Например, на множестве натуральных чисел есть отношение равенства (двух элементов), делимости,

Подробнее

высказываний Р и Q так, как указано в таблице истинности операции импликации:

высказываний Р и Q так, как указано в таблице истинности операции импликации: ЛЕКЦИЯ 1 Высказывания и высказывательные формы. Отрицание высказываний. Конъюнкция и дизъюнкция. Импликация, эквиваленция, сумма по модулю два, штрих Шеффера, стрелка Пирса. Таблицы истинности высказываний.

Подробнее

МАТРИЦЫ. Определение

МАТРИЦЫ. Определение Определение Матрицей размером m n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Числа из которых состоит матрица, называются элементами матрицы.

Подробнее

Учреждение образования «Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка»

Учреждение образования «Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка» Учреждение образования «Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка» Факультет начального образования Кафедра естественнонаучных дисциплин (рег. N? УМ 9-03-0-03, 4.03.03)

Подробнее

Основные понятия теории множеств

Основные понятия теории множеств Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основные понятия теории множеств Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е,

Подробнее

Дискретная математика

Дискретная математика Дискретная математика Часть 1 ВЕ Алексеев 2016 Глава 1 Множества 11 Понятие множества Под множеством математики понимают соединение каких-либо объектов в одно целое Создатель теории множеств немецкий математик

Подробнее

Глава 0. Основы теории множеств и отображений.

Глава 0. Основы теории множеств и отображений. Глава 0. Основы теории множеств и отображений. 1. Множества. Логические символы. Операции над множествами. Два способа задания множеств: 1) перечисление, 2) указание характеристического свойства. Опр.0.1.1.

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1. Кафедра Математики, физики и информационных технологий. Направление подготовки 0.03.01

Подробнее

Практикум по теме 1 "Множества и отношения"

Практикум по теме 1 Множества и отношения Практикум по теме 1 "Множества и отношения" Методические указания по выполнению практикума Целью практикума является более глубокое усвоение темы 1, а также развитие следующих навыков: построение прямого

Подробнее

1.ЭЛЕМЕНТЫТЕОРИИМНОЖЕСТВ. ОТОБРАЖЕНИЯ

1.ЭЛЕМЕНТЫТЕОРИИМНОЖЕСТВ. ОТОБРАЖЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие......................... 3 1. Элементы теории множеств. Отображения...... 6 Задачи к 1....................... 14 Решения и ответы к задачам 1........... 18 2. Алгебраические структуры..............

Подробнее

РЕПОЗИТОРИЙ БГПУ. Например, если A множество всех четных чисел, то 2 A, 4 A,

РЕПОЗИТОРИЙ БГПУ. Например, если A множество всех четных чисел, то 2 A, 4 A, Предисловие Современное состояние математической науки характеризуется огромным расширением поля ее приложений К математике как науке, имеющей важные применения, относились с почетом и уважением во все

Подробнее

Основы теории множеств.

Основы теории множеств. 1 Понятие множества Основы теории множеств. Киселев Александр Сергеевич Аничков лицей, 6 класс, первый год обучения февраль 2013 года 1.1 Множество, элемент, принадлежность Мы не будем определять, что

Подробнее

ГЛАВА 3 МНОЖЕСТВА. АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ. ОТНОШЕНИЯ НА МНОЖЕСТВАХ. ОТОБРАЖЕНИЯ МНОЖЕСТВ Аксиомы равенства. Классы равенств

ГЛАВА 3 МНОЖЕСТВА. АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ. ОТНОШЕНИЯ НА МНОЖЕСТВАХ. ОТОБРАЖЕНИЯ МНОЖЕСТВ Аксиомы равенства. Классы равенств ГЛАВА 3 МНОЖЕСТВА АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ ОТНОШЕНИЯ НА МНОЖЕСТВАХ ОТОБРАЖЕНИЯ МНОЖЕСТВ 30 Аксиомы равенства Классы равенств В математических рассуждениях вне зависимости от уровня формализованности наиболее часто

Подробнее

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра автоматизированных систем обработки информации и управления ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра автоматизированных систем обработки информации и управления ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра автоматизированных систем обработки информации и управления ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ Методические указания по курсу ''Основы дискретной математики'' для

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы линейной алгебры: определение, базис, алгебра подпространств Раздел электронного учебника

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 12. Обратные функции

С.А. Лавренченко. Лекция 12. Обратные функции 1 СА Лавренченко Лекция 12 Обратные функции 1 Понятие обратной функции Определение 11 Функция называется взаимно-однозначной, если она не принимает никакое значение более одного раза, те из следует при

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Конспект лекций

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Конспект лекций Югорский физико-математический лицей ВП Чуваков ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Конспект лекций ( 0 )(mod ) ( 0 )(mod ) Натуральные числа N,,,,,, - множество натуральных чисел, используемых для счета или перечисления

Подробнее

Введение в теорию моделей (весна 2017)

Введение в теорию моделей (весна 2017) Введение в теорию моделей (весна 2017) В.Б. Шехтман Лекция 1 Языки первого порядка: синтаксис Определение 1 Сигнатурой (первого порядка) называется четверка вида L = (Const L, F n L, P r L, ν), в которой

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

Множества и отображения

Множества и отображения Глава 1 Множества и отображения 11 Множества Когда мы даем определение какому-либо понятию, мы связываем его с другими понятиями Те, в свою очередь, мы можем определить через другие понятия и т д Рано

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 2 семестр. Лекция N1 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Элементы теории множеств. Понятие множества. Операции над множествами

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 2 семестр. Лекция N1 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Элементы теории множеств. Понятие множества. Операции над множествами ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 2 семестр Лекция N1 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Элементы теории множеств "Множество есть многое, мыслимое нами как единое" Георг Кантор Понятие множества. Операции над множествами Множество

Подробнее

Поле. Расширения полей

Поле. Расширения полей Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Поле. Расширения полей Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и доп.

Подробнее

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы Лекция 3: Однородные и неоднородные системы линейных уравнений Система линейных уравнений Определение Линейным уравнением (или уравнением первого порядка) с n неизвестными x 1, x 2,..., x n называется

Подробнее

Теория отношений реализует в математических терминах на абстрактных множествах реальные связи между реальными множествами.

Теория отношений реализует в математических терминах на абстрактных множествах реальные связи между реальными множествами. Теория отношений реализует в математических терминах на абстрактных множествах реальные связи между реальными множествами. 2 Orion продает мебель, День светильники, Sit мебель и светильники, House светильники

Подробнее

Основы математической логики.

Основы математической логики. Основы математической логики. Киселев Александр Сергеевич Аничков лицей, 6 класс, первый год обучения январь-февраль 2012/13 учебный год 1 Высказывания и предикаты 1.1 Высказывания Определение 1.1. Определение:

Подробнее

Глава 3 ЛОГИКА И ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРА

Глава 3 ЛОГИКА И ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРА Глава 3 ЛОГИКА И ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРА 3.1. Алгебра логики Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего Востока (Китай, Индия), но в основе современной логики лежат

Подробнее

уч. год. 5, 9 кл. Математика. Элементы теории множеств.

уч. год. 5, 9 кл. Математика. Элементы теории множеств. 2. Операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение Рассмотрим основное множество E, задаваемое некоторым свойством. Природа элементов множества E безразлична. Без ограничения общности будем

Подробнее

А. И. Митюхин ЭЛЕМЕНТЫ КОНЕЧНОЙ АЛГЕБРЫ

А. И. Митюхин ЭЛЕМЕНТЫ КОНЕЧНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Международный государственный экологический университет имени А. Д. Сахарова Кафедра автоматизированной обработки информации А. И. Митюхин

Подробнее

Введение в математическую логику (oсень 2016)

Введение в математическую логику (oсень 2016) Введение в математическую логику (oсень 2016) В.Б. Шехтман Лекция 3 Нормальные формы Определение 10 Литерал это переменная или ее отрицание. Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) это дизьюнкция нескольких

Подробнее

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007 I вариант 8В класс, 4 октября 007 1 Вставьте пропущенные слова: Определение 1 Арифметическим квадратным корнем из число, которого равен a из числа a (a 0) обозначается так: выражением Действие нахождения

Подробнее

оглавление 158 ОГЛАВЛеНИе ВВеДеНИе... 5

оглавление 158 ОГЛАВЛеНИе ВВеДеНИе... 5 оглавление ВВеДеНИе... 5 Глава 1. КОДИфИКАТОР... 7 Глава 2. СПРАВОчНЫЙ МАТеРИАЛ РАЗДеЛА «ДИСКРеТНАя МАТеМАТИКА»... 11 2.1. Элементы теории множеств...11 Множества: основные определения...11 числовые множества...11

Подробнее

Лекция 3 Булевы алгебры и булевы функции

Лекция 3 Булевы алгебры и булевы функции Лекция 3 Булевы алгебры и булевы функции Булевы алгебры Понятие об алгебраических системах Алгебраическая система или алгебраическая структура множество символов некоторого алфавита (носитель) с заданным

Подробнее

Введение в математическую логику (oсень 2016)

Введение в математическую логику (oсень 2016) Введение в математическую логику (oсень 2016) В.Б. Шехтман Лекция 7 Языки первого порядка: семантика (продолжение) На прошлой лекции было дано определение значений замкнутых термов в модели (определение

Подробнее

Математический анализ. Введение [1,3,4]

Математический анализ. Введение [1,3,4] I Краткие исторические сведения Математический анализ Введение [1,3,4] Математический анализ часть математики, в которой изучаются функции и их обобщения методами теории пределов Поскольку понятие предела

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы линейной алгебры: определение, базис, алгебра подпространств Раздел электронного учебника

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 1. Понятие множества Мы не будем здесь формулировать аксиомы теории множеств. Интересующие могут обратиться, например, к 1 тому курса «Математический анализ» В.

Подробнее

5. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ

5. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ 5. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ Практическое занятие 1. Алгебра высказываний 1.1 Высказывания и операции над ними Под высказыванием понимают предложение, представляющее собой утверждение,

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ 1 Понятие множества. Операции над множествами В математике встречаются самые разнообразные множества. Можно говорить о множестве граней многогранника, множестве точек на прямой,

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы теории групп Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 2-е, испр. и доп.

Подробнее

МНОЖЕСТВА. ОТОБРАЖЕНИЯ. СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ

МНОЖЕСТВА. ОТОБРАЖЕНИЯ. СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 МНОЖЕСТВА. ОТОБРАЖЕНИЯ. СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ 1. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Пусть X множество и пусть (x) некоторое свойство, которое для каждого конкретного элемента

Подробнее

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов Введение в математическую логику и теорию алгоритмов Лекция 14. Теория множеств Цермело Френкеля. Наш предварительный план состоял в том, чтобы (1) выбрать язык для записи математических утверждений (в

Подробнее

Основы логики и логические основы компьютера. Логика это наука о формах и способах мышления.

Основы логики и логические основы компьютера. Логика это наука о формах и способах мышления. Основы логики и логические основы компьютера. Формы мышления Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего Востока (Китай, Индия), но в основе современной логики лежат учения,

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция: Операции над конечно-автоматными множествами. Дополнение, объединение, пересечение, произведение и итерация автоматных множеств, их автоматность. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции

Подробнее

Натуральные числа можно складывать и умножать. При этом вновь получается натуральное число, то есть для любых

Натуральные числа можно складывать и умножать. При этом вновь получается натуральное число, то есть для любых НАТУРАЛЬНЫЕ И ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА Определения Формы записи Определение Числа,,3,K называются натуральными числами Множество натуральных чисел обозначается буквой N Таким образом, по определению def {,,3,K } N

Подробнее

Логика и Алгоритмы. Факультет математики ВШЭ, 1-й курс, осень 2013 г. Л.Д. Беклемишев

Логика и Алгоритмы. Факультет математики ВШЭ, 1-й курс, осень 2013 г. Л.Д. Беклемишев Логика и Алгоритмы Факультет математики ВШЭ, 1-й курс, осень 2013 г. Л.Д. Беклемишев 1 Аксиомы теории множеств Основными неопределяемыми понятиями теории множеств являются понятие множества и понятие быть

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Томский областной институт повышения квалификации и переподготовки работников образования Томский муниципальный лицей при ТПУ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Учебное пособие A B 8 6 3 3 1 7 5 C Киреенко С.Г.

Подробнее

6.1 Логические переменные, логические связки

6.1 Логические переменные, логические связки Лекция 6 Множества и логика 6.1 Логические переменные, логические связки В этом разделе мы обсудим связь теоретико-множественных операций и логики. Начнём с примера. Как уже показано выше, значение каждой

Подробнее

ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МАТЕМАТИКИ

ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МАТЕМАТИКИ РАЗДЕЛ I ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МАТЕМАТИКИ Изучение математики (в колледже, вузе) связано с с усвоением определенной системы понятий, предложений и доказательств. Чтобы овладеть этой системой и затем успешно

Подробнее

Элементы общей алгебры. Алгебра, гомомофризм, изоморфизм, полугруппа, группа

Элементы общей алгебры. Алгебра, гомомофризм, изоморфизм, полугруппа, группа Элементы общей алгебры Алгебра, гомомофризм, изоморфизм, полугруппа, группа Алгебраическая операция На множестве А определена алгебраическая операция, если каждым двум элементам этого множества, взятым

Подробнее

Комплексные числа и действия над ними

Комплексные числа и действия над ними Комплексные числа и действия над ними Лекция 1 Л. И. Лазарева, И. А. Цехановский Курс: Ряды и комплексный анализ Семестр 3, 2009 год portal.tpu.ru Комплексным числом z называется упорядоченная пара действительных

Подробнее

АКСИАМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 2

АКСИАМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 2 ЧАСТЬ АКСИАМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Лекция ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННАЯ ТРАКТОВКА ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ИХ СЛЕДСТВИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: познакомить с

Подробнее

В результате освоения дисциплины выпускник должен обладать следующими компетенциями:

В результате освоения дисциплины выпускник должен обладать следующими компетенциями: МАТЕМАТИКА 1. Цель освоения дисциплины Обеспечение будущего учителя начальных классов математической подготовкой, необходимой ему для грамотного, творческого обучения и воспитания младших школьников, для

Подробнее