ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ."

Транскрипт

1 Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск

2 УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук доцент Ш Т Ишмухаметов Одобрено секцией методических пособий научно- методического совета университета Числовые и функциональные ряды Ряды Фурье: Методические указания к типовому расчету по высшей математике / Сост: М Е Чумакин Г Д Павленко Ульяновск:УлГТУ 9с Работа подготовлена на кафедре «Высшая математика» Настоящие методические указания составлены в соответствии с программами курса высшей математики для студентов младших курсов всех специальностей УлГТУ Изложена методика выполнения типового расчета по числовым и функциональным рядам и рядам Фурье даны образцы решения задач с предварительным теоретическим обоснованием УДК 57(76) ББК 9 я 7 Оформление УлГТУ

3 ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Указания к задаче Указания к задаче 5 Указания к задаче 6 Указания к задаче 8 5 Указания к задаче Указания к задаче Указания к задаче 7 8 Указания к задаче 8 9 Указания к задаче 9 Указания к задаче ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Указания к задаче Указания к задаче 6 Указания к задаче 8 Указания к задаче 8 5 Указания к задаче Указания к задаче Указания к задаче 7 8 Указания к задаче 8 9 Указания к задаче 9 Указания к задаче 6 РЯДЫ ФУРЬЕ 6 Указания к задаче Указания к задаче 5 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 9

4 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ В целях лучшего усвоения курса математики и интенсификации самостоятельных занятий студентов в программах по высшей математике предусмотрено выполнение типовых расчетов Каждый типовой расчет должен быть заданием по целому разделу курса и состоять из теоретических вопросов теоретических упражнений задач и примеров Теоретические вопросы и теоретические упражнения должны быть общими для всех студентов примеры и задачи индивидуальными Предлагаемые методические указания являются руководством для выполнения типового расчета по теме «Ряды» из учебного пособия Л А Кузнецова «Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты)» который удовлетворяет вышеуказанным требованиям программы к типовым расчетам В связи с отсутствием в указанном сборнике Л А Кузнецова рядов Фурье в данное пособие включены задания по рядам Фурье Сначала предлагается найти ответы на теоретические вопросы в учебниках [-] и в конспектах лекций а затем выполнять теоретические упражнения и решать задачи и примеры Выполнение теоретических упражнений и решение задач и примеров помогут приобрести студентам первоначальные навыки в научно-исследовательской работе по математике и в решении прикладных задач Все примеры указаний имеют двойную нумерацию Например номера и означают что они даны к задаче сборника Л А Кузнецова примеры и даны к задаче и тд Пусть а a a ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Указания к задаче заданная числовая последовательность Выражение a a a a () называется числовым рядом Конечные суммы S a S a a S a a a () называются частичными суммами ряда () Если существует конечный предел последовательности частичных сумм () S S то ряд () называется сходящимся а число S суммой ряда im () Если ряд () сходится то im a (необходимый признак сходимости)

5 Пример Найти сумму ряда 9 Решение Сначала решим уравнение Корнями этого уравнения являются числа ( 7 )( 7 ) и 7 () следовательно 7 Теперь методом неопределенных коэффициентов выражение разложим на простейшие дроби: A B 7 9 ( 7 )( 7 ) откуда A ( 7 ) B( 7 ) Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем систему уравнений: 7A 7B A B из которой находим: А- и В следовательно () Учитывая () частичную сумму ряда () можно записать следующим образом: S следовательно ( ) 7( ) 7( ) 7( ) im S im Значит ряд () сходится и его сумма S Указания к задаче Задача решается аналогично задаче Пример Найти сумму ряда 8 ( )( ) () 5

6 6 Решение Методом неопределенных коэффициентов общий член ряда () разложим на простейшие дроби 5 8 Тогда частичную сумму ряда () можно записать в виде S значит 5 5 im im S следовательно ряд () сходится и имеет сумму 5 S Указания к задаче Ряд a a a a () называют абсолютно сходящимся если сходится ряд a a a a () Если ряд () сходится а ряд () расходится то ряд () называется условно сходящимся Если члены ряда () для всех номеров начиная с некоторого удовлетворяют условию b a причем знакоположительный ряд b сходится то ряд () сходится абсолютно Если для всех номеров начиная с некоторого члены ряда () удовлетворяют условию a < c причем ряд c расходится то ряд () также расходится (признак сравнения)

7 Если ряд im а d q < d сходится абсолютно и существует конечный предел то ряд () сходится абсолютно Если члены рядов a и b положительны и < < то эти ряды либо оба сходятся либо a im b оба расходятся (предельный признак сравнения) Пример Исследовать на сходимость ряд cos 6 () 6 Решение Так как cos 6 > то cos < 6 5 < () Обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле) и расходится при α Следовательно ряд 7 6 соотношения () ряд () также сходится Пример Исследовать на сходимость ряд 5 сходится при α α > сходится Поэтому в силу si (5) Решение Так как si > и ряд расходится то ряд (5) также расходится 7

8 8 Пример Исследовать на сходимость ряд arctg (6) Решение Гармонический ряд расходится и im : im arctg arctg следовательно ряд (6) расходится Указания к задаче Задачу можно решить пользуясь предельным признаком сравнения Пример Исследовать на сходимость ряд 5 arcsi () Решение Так как 5 arcsi ~ 5 при то 5 im 5 5 im : 5 im : 5 5 arcsi im Кроме того ряд сходится следовательно ряд () также сходится

9 Пример Исследовать на сходимость ряд 5 () Решение Так как ряд 5 расходится и 5 5 im : im im расходится то ряд () также 5 Указания к задаче 5 Если члены ряда a a a a (5) таковы что существует конечный предел a im то при < a ряд (5) сходится абсолютно при > расходится а при требуется дополнительное исследование (признак Даламбера) Пример 5 Исследовать на сходимость ряд 7 ( )! (5) Решение Имеем a 7 a im a a 7 ( )! ( ) ( ( ) ) 7 ( )( )! ( )! 7 ( )( )! im im ( )! 7 ( ) ( ) следовательно ряд (5) расходится > 9

10 6 Указания к задаче 6 Если существует конечный предел a im то при < ряд a сходится абсолютно при > расходится а при требуется дополнительное исследование (признак Коши) Пример 6 Исследовать на сходимость ряд arctg (6) Решение Имеем im im arctg arctg (6) im так как получаем Действительно логарифмируя функцию y y отсюда по правилу Лопиталя im y im im im im следовательно y e те Из равенства (6) следует что ряд (6) сходится 7 Указания к задаче 7 Если a f где функция f непрерывная в промежутке [ ) d неотрицательная и невозрастающая то ряд сходятся или расходятся одновременно (интегральный признак Коши) Пример 7 Исследовать на сходимость ряд а при d a и интеграл f d ( ) (7) Решение Рассмотрим вспомогательный ряд

11 (7) Так как функция f в промежутке [ ) интегрального признака Коши и f удовлетворяет условиям ( ) то исследование сходимости ряда (7) сводится к исследованию сходимости интеграла Но интеграл (7) расходится d b d b im im b b d следовательно ряд Теперь найдем предел отношения соответствующих членов рядов (7) и im im (7): : значит ряд (7) также расходится 8 Указания к задаче 8 Всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся рядом Если члены знакочередующегося ряда по абсолютной величине монотонно убывают и -ый член стремится к нулю при то этот ряд сходится а его сумма имеет знак первого члена и не превосходит этого члена по абсолютной величине (признак Лейбница) Пример 8 Исследовать на сходимость ряд si α ( ) (8) si α Решение Так как а ряд является сходящимся ( ) ( ) ( ) геометрическим рядом со знаменателем q то ряд (8) сходится абсолютно Пример 8 Исследовать на сходимость ряд ( )! (8) Решение Ряд из абсолютных величин членов ряда (8) сходится так как

12 im : im < ( )! ( )! ( ) Следовательно ряд (8) сходится абсолютно Пример 8 Исследовать на сходимость ряд (8) Решение Члены данного знакочередующегося ряда (8) по абсолютной величине монотонно убывают > и im ( ) следовательно ряд (8 ) сходится Ряд составленный из абсолютных величин членов ряда (8) получается из гармонического ряда в результате умножения всех его членов на Гармонический ряд расходится значит указанный ряд также расходится Таким образом ряд (8) сходится условно (неабсолютно) 9 Указания к задаче 9 Остаток ряда удовлетворяющего условиям признака Лейбница также удовлетворяет условиям этого признака Поэтому сумма остатка такого ряда имеет знак первого члена остатка и не превосходит его по абсолютной величине Отсюда следует что если при вычислении суммы ряда удовлетворяющего условиям признака Лейбница мы ее приближенно заменяем частичной суммой то допущенная ошибка имеет знак первого отброшенного члена и не превосходит его по абсолютной величине Пример 9 Вычислить сумму ряда (9) с точностью α Решение Если в качестве суммы ряда (9) взять сумму первых - членов то ошибка по абсолютной величине не превосходит числа a < a 5 имеем 78 > a Так как то с точностью до

13 ( ) ( ) ( ) Однако при записи простых дробей в десятичной форме с определенным числом знаков после запятой мы допускаем ошибки Следовательно общая ошибка может оказаться больше требуемой точности Поэтому с целью улучшения точности в качестве суммы ряда (9) возьмем сумму первых четырех членов с четырьмя знаками после запятой (округление отбрасыванием): Так как значение первого члена ряда точное и 5 5 a < то вся ошибка по абсолютной величине меньше чем Таким образом с точностью α ( ) Отметим что с целью уменьшения ошибки вычислений можно было округлять по правилам округления а не отбрасыванием Указания к задаче В задаче следует доказать равенство вида a С этой целью можно рассматривать ряд im a im a Пример Доказать справедливость равенства Доказательство Рассмотрим ряд с общим членом a im!!!! Вычислим предел!! Если этот ряд сходится то () ()

14 a ( )!! im im im < a ( ( ) )!! ( ) Следовательно по признаку Даламбера ряд () сходится значит a те имеет место равенство () im ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Указания к задаче Пусть функции U N определены в области D Выражение U U U U D () называется функциональным рядом Если для D числовой ряд ( ) U сходится то говорят что функциональный ряд () сходится в точке Если функциональный ряд () сходится в каждой точке этот ряд называется сходящимся на множестве Е Если на множестве E D сходится ряд U E D то то ряд () называется абсолютно сходящимся на множестве E Для определения области абсолютной сходимости ряда () следует воспользоваться либо признаком Даламбера либо признаком Коши Если или im U im U U то для определения области абсолютной сходимости ряда () следует решить функциональное неравенство < а для определения области расходимости неравенство > Для выяснения сходимости ряда в точках в которых требуется дополнительное исследование Пример Найти область сходимости функционального ряда () Решение Члены U ряда () не определены при Предположим и найдем предел

15 im при U при U < или im > : im Следовательно области абсолютной сходимости ряда () будут принадлежать значения удовлетворяющие системе < < значит < < а при или > требуется дополнительное исследование Так как im U im при при > отличен от нуля то при любом фиксированном > или ряд () расходится Таким образом ряд () абсолютно сходится в точках интервала (-) а во всех остальных точках расходится Пример Найти область сходимости функционального ряда Решение Члены U как im U при < im () ряда () определены для всех Так то ряд () сходится абсолютно Решениями последнего неравенства являются решения системы неравенств < > Решая эту систему получаем что ряд () сходится абсолютно при < или > При и соответственно получаем числовые ряды которые расходятся и 5

16 Итак ряд () сходится при ( )U притом абсолютно Пример Найти область сходимости функционального ряда () Решение Члены ряда () определены для всех R При ряд () сходится Покажем что при любом он расходится Действительно ряд im расходится так как : Следовательно данный ряд также расходится при Указания к задаче Задача решается аналогично задаче Пример Найти область сходимости функционального ряда Решение Учитывая справедливость равенства si( ) si N общий член ряда () можно переписать в виде U si Так как im U U im ( ) si ( ) () si : то ряд () абсолютно сходится при 9 < те при получаем знакочередующийся числовой ряд si si < 9 При () который по теореме Лейбница сходится Но ряд составленный из абсолютных величин членов ряда () расходится значит ряд () сходится условно При получаем ряд si который также сходится условно Итак ряд () сходится при притом абсолютно при 6

17 Пример Найти область сходимости функционального ряда Решение Члены ряда () tg tg () U im U im im определены для ( ) Z При этих значениях имеем im так как tg tg tg (см решение примера 6) Следовательно ряд () сходится абсолютно если tg < те < < числовой ряд Z < tg < значит При Z получаем расходящийся а при Z условно сходящийся ряд Таким образом ряд () сходится при ( 6 ) ( 6 ) Z причем при ( 6 ) ( 6 ) Z абсолютно Пример Найти область сходимости функционального ряда arcsi () Решение Все члены ряда () ( ) U определены при [ ) Для всех arcsi ~ arcsi при ( ) значит 7

18 im U всех [ ) im im ( ) < Следовательно областью сходимости ряда () является промежуток притом сходимость всюду абсолютная [ ) Указания к задаче Задача решается аналогично задачам и Пример Найти область сходимости функционального ряда при () Решение Члены ряда () U определены при и im U im im Следовательно ряд () абсолютно сходится для ( ) Указания к задаче при при > < Задача решается аналогично задачам и Пример Найти область сходимости функционального ряда 5 () 5 Решение Так как общий член ряда () ( ) U и U 5 5 : im im U то ряд () сходится абсолютно при те в интервале (-) При ± имеем числовой ряд 5 который расходится так как общий член этого ряда не стремится к нулю при Таким образом областью сходимости ряда () является интервал (-) притом сходимость всюду абсолютная < 8

19 Функциональный ряд U 5 Указания к задаче 5 сходящийся в области D называется равномерно сходящимся в этой области если для любого ε > найдется такое число N N( ε ) не зависящее от х что при всех > N( ε ) для всех D имеет место неравенство U < ε R Пример 5 Доказать исходя из определения равномерную сходимость функционального ряда (5) 6 на отрезке [] При каких абсолютная величина остатка ряда не превосходит для всех [ ]? Доказательство При любом фиксированном [ ] ряд (5) является знакочередующимся рядом члены которого начиная со второго по абсолютной величине монотонно убывают и -й член стремится к нулю при Следовательно этот ряд сходится и сумма его остатка не превосходит первого члена этого остатка по абсолютной величине: R ( ) ( ) 6 6 значит для всех [ ] Взяв любое ε > потребуем чтобы ( ) R ( ) 6 ( ) 6 > ε < ε отсюда 6 Положив таким образом N 6 мы убеждаемся что при > N ε действительно R < ε для всех из отрезка [] Тем самым равномерная сходимость ряда (5) на отрезке [] доказана Так как для любого [ ] R ( ) 6 при

20 и является натуральным числом то абсолютная величина остатка ряда (5) при 9 не превосходит для всех [ ] 6 Указания к задаче 6 Если члены функционального ряда U в области D не превосходят по абсолютной величине соответствующих членов сходящегося числового ряда a с положительными членами то этот функциональный ряд сходится в области D равномерно и абсолютно (признак Вейерштрасса) При этом ряд a называется мажорирующим для ряда U Пример 6 Доказать равномерную сходимость функционального ряда ( ) ( ) (6) на отрезке [-] Доказательство Так как то при [ ] ( ) ( ) Числовой ряд (6) ( ) ( ) с положительными членами сходится Действительно функция f в промежутке [ ) удовлетворяет условиям ( ) ( ) интегрального признака Коши и f ( ) причем несобственный интеграл d d ( ) сходится ( ) Таким образом ряд (6) является мажорирующим для ряда (6) на отрезке [-] следовательно ряд (6) сходится на этом отрезке равномерно и абсолютно 7 Указания к задаче 7 Если члены функционального ряда U непрерывны на отрезке [ab] и ряд сходится на [ab] равномерно то интеграл от суммы ряда взятый по отрезку [ab] равен сумме ряда полученного почленным интегрированием:

21 b a b a d U d U В частности сумма степенного ряда интегрируема на любом отрезке содержащемся в интервале сходимости причем интеграл суммы ряда можно получить почленным интегрированием данного ряда Кроме того при почленном интегрировании степенного ряда радиус сходимости не изменяется Пример 7 Найти сумму ряда (7) Решение Интегрируя дважды почленно в пределах от до при < геометрический ряд получаем: d d Последний интеграл возьмем по частям полагая : V d dv d du U d d d следовательно отсюда при и < сумма ряда (7) S Очевидно что S и S S 5 (7) Известно что для всех значений из промежутка [-] имеет место равенство

22 ( ) ( ) в частности при 5 следовательно (7) 5 Сравнивая (7) и (7) получаем S ( ) S Таким образом ряд (7) сходится на отрезке [-] и его сумма равна при S ( ) при < < при а во всех остальных точках расходится Пример 7 Найти сумму ряда ctg (7) ( ) Решение Рассмотрим сходящийся при y < геометрический ряд y y Интегрируя дважды этот ряд в пределах от до y при y < находим: y y dy ( y) y y y y dy dy Положим U ( y) du dv dy V y тогда по формуле y интегрирования по частям получаем y y y ydy ( y) dy y ( y) y ( y) dy y y ( y) y ( y) ( y ) ( y) y y следовательно при y < При y имеем y ( ) y ( y) ( y)

23 ( ) следовательно частичная сумма значит ( ) Далее при y- находим: при ( ) ( ) ( ) (см пример 7) Таким образом y ( y) ( y) при y < y при y при y Для данного ряда (7) полагая ctg ( ctg) ( ctg) при ctg < ctg ( ) y ctg в соотношении (75) получаем при при ctg ctg или ctg ( ctg) ( ctg) при < < ctg при ( ) при Z а во всех остальных точках ряд (7) расходится (75) 8 Указания к задаче 8 Пусть члены функционального ряда имеют в нем непрерывные производные U U определены на отрезке [ab] и Если на отрезке [ab] не только

24 сходится ряд ( ) U но и равномерно сходится ряд U то U U В частности степенной ряд можно дифференцировать почленно внутри его интервала сходимости Кроме того при почленном дифференцировании степенного ряда радиус сходимости не изменяется Пример 8 Найти сумму ряда ( 9 5) (8) Решение Возьмем сходящийся при < геометрический ряд и дифференцируем его дважды Ряд (8) представим в виде (8) ( ) (8) ( ) ( ) ( 9 5) ( ) 8( ) (8) ( ) (85) Из равенств (8)-(85) следует что при < При и ( 9 5) ( 9 5) 8 5 ( ) ( ) ( ) получаем соответственно ряды ( 9 5) которые расходятся Таким образом ряд (8) сходится лишь при < и его сумма равна 5 S ( ) ( ; ) 9 Указания к задаче 9 и Если функция f допускает в некоторой окрестности точки a разложение в степенной ряд по степеням a то этот ряд имеет вид ( f ( a) ) f ( a) ( ) f f a f a a a a (9)! Ряд (9) называется рядом Тейлора При a ряд Тейлора называется также рядом Маклорена Равенство (9) справедливо если остаточный член ряда Тейлора ( f ( a) ) f ( a) ( ) R f f a f a a a a!!!

25 при Для оценки остаточного члена можно пользоваться формулой ( ) f ( a Θ( a) ) R ( a) < Θ < ( )! называемой остаточным членом в форме Лагранжа Имеют место следующие равенства: ) e ( )!!! 5 si! 5!! ) ( )!!! ) cos ( ) ) ( ) ( ] (9) α α( α ) α( α )( α ) α!! > 5) ( ) (при х это равенство справедливо для α а при х- для α > ) в частности при α получаем геометрический ряд со знаменателем х: 6) 5 arcsi 5 5 arctg 5 ( ) (9) ( ) [ ] 7) [ ] Пример 9 Разложить функцию Решение Данную функцию представим в виде < < < ( ) в ряд Тейлора по степеням х ( ( ) ) На основании равенства (9) при те при < можем записать аналогично при те при следовательно Пример 9 Разложить функцию Решение Данную дробь разложим на простейшие [ ) в ряд Тейлора по степеням х 5

26 Пользуясь разложением (9) находим: следовательно < < Указания к задаче ( ) При приближенном вычислении определенного интеграла часто особенно в случае когда соответствующий неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции в конечном виде бывает удобно представить его в виде суммы ряда Для этого сначала подынтегральную функцию разлагают в степенной ряд а затем интегрируют почленно Пример Вычислить интеграл cos( ) Решение Полагая в разложении t cos t получаем следовательно d с точностью до ( ) t t! cos! cos d d ( ) ( )!! ( )! Последний ряд является знакочередующимся рядом поэтому если в качестве его суммы взять сумму первых - членов то ошибка по абсолютной величине не будет превосходить числа a ( )! Так как a > a < то с точностью до 6 имеем d cos ( ) 9! 6

27 РЯДЫ ФУРЬЕ Теоретические вопросы Тригонометрический ряд Фурье функции с периодом Ряд Фурье для четных и нечетных функций Ряд Фурье функции с любым периодом Ряд Фурье функции заданной в конечном промежутке 5 Ряд Фурье в комплексной форме 6 Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций Теоретические упражнения Доказать что если функция f имеет период Т то при любом λ T действительном числе λ f d f d f T λ Доказать что система функций cos si cos si cos si [ ] Доказать что системы функций a) cos coscos; T T d ортогональна на отрезке б) si si si ортогональны на отрезке [ ] Расчетные задания Задача Разложить в ряд Фурье следующие периодические функции: при < f при < ( f ( ) f ); при < < f при ( f ( ) f ); f при < 5 ( f ( ) ) f ; f при - < ( f ( ) f ); 5 f ( ) при < ( f ( ) f ); 6 f e при < f ( ) f ; 7 8 при < f при < при < < f при f ( ) ( f ( ) f ) ( f ) ; ; 7

28 a при < 9 f b при < ( f ( ) f ); f при f ( ) f ; f e при < < ( f ( ) f ); < ( f ( ) f ); < ( f ( ) f ) < ( f ( ) f ) f e при f cos a ( a не целое число) при f si a ( a не целое число) при при < 5 f при < ( f ( ) f ); при < 6 f при < ( f ( ) f ); 7 f si ; при < 8 f при < ( f ( ) f ); при < 9 f при < ( f ( ) f ); f ( ) при f ( ) f ; < < ( f ( 6) f ); f e при при < f при < < ( f ( ) f ); a при < f b при < < ( f ( ) f ); f cos ; a b при < < 5 f a b при ( f ( ) f ); при < 6 f при < ( f ( ) f ); 7 f a b при < f ( ) f ; ( ) при < 8 f при < < ( f ( ) f ) 9 f ( ) при ; f ( ) f ; < ; ; 8

29 при f < при < < ( f ( ) f ) Задача Разложить в ряд Фурье функции: f в интервале ( ) по косинусам; при < f в интервале ( ) по синусам; при < < f в интервале f в интервале ( ) f в интервале ( ); f в интервале ( 5) f в интервале ( ) f cos в интервале ( ) по синусам; 9 при < h h при h < < при < при < < f в интервале ( ) ; при < h при h < < 5 ; по синусам; по синусам; f в интервале ( ) f в интервале ( ) f в интервале ( ) при < 9 по косинусам; по синусам; по косинусам; f по косинусам; при < < при < f в интервале ( ) по синусам; при < < 5 f в интервале ( ); 6 f si a ( a - целое число) в интервале ( ) по косинусам; при < < 7 f при < ; 8 по косинусам; 9 f в интервале f в интервале ( ) в интервале по синусам;

30 при < < при < ; - при < < при < < ; f в интервале ( ) f в интервале ( ) по косинусам; по косинусам; f ) cos a по синусам; f e в интервале ( ) по косинусам; f в интервале ( ) по косинусам; 5 f e в интервале ( ) по синусам; 6 f в интервале ( ); 7 f e в интервале ( ); 8 f в интервале ( ) ; при < 9 f в интервале по косинусам; при < < ; f в интервале( ) ( ( a - целое число) в интервале ( ) Указания к задаче Тригонометрическая система функций cos si cos si cos si является ортогональной на любом отрезке длины в частности на отрезке [ ] те интеграл по всякому отрезку длины от произведения любых двух различных функций этой системы равен нулю Если f d существует и конечен то существуют числа a f cos d b f si d называемые коэффициентами Фурье функции f () Ряд ( ) () ( ) () a S ( a cos b si ) () где a и b - коэффициенты Фурье () и () функции f () называется рядом Фурье функции f ()

31 Если f d < то коэффициенты Фурье записываются в виде a f cos d ( ) () b f si d ( ) (5) а ряд Фурье- в виде a S( ) a cos b si (6) Если функция f ()- четная то a f cos d ( ) b ( ) (7) Если функция f ()- нечетная то a ( ) b f si d ( ) (8) Суммы рядов () и (6) являются периодическими функциями соответственно с периодами и Функция f () называется кусочно гладкой на отрезке [ a b] если сама функция и ее производная имеют на [ a b] не более чем конечное число точек разрыва и все они первого рода те в каждой точке разрыва функция f () имеет конечный левый предел f ( ) im f ( ε) и конечный правый предел f ( ) im f ( ε ) ( ε > ) ε ε Если периодическая функция f () с периодом кусочно гладкая на отрезке [ ] то ряд Фурье (6) сходится к значению f () в каждой ее точке непрерывности и к значению ( f ( ) f ( ) ) в точках разрыва Если дополнительно f () непрерывна на всей числовой оси то ряд (6) сходится к f () равномерно В случае разложения функции f () в ряд Фурье в произвольном промежутке ( a a ) длины пределы интегрирования в формулах () и (5) коэффициентов Фурье следует заменить соответственно на a и a В концах интервала ( a a ) сумма ряда Фурье (6) равна S ( a) S( a ) ( f ( a ) f ( a ) ) Пример Разложить в ряд Фурье следующие периодические функции: a а) f e при < f ( ) f ;

32 при < б) f при < ( f ( ) f ); при < в) f cos при < при < ( f ( ) f ) Решение Все заданные функции удовлетворяют достаточным условиям разложимости в ряд Фурье Найдем их разложения а) Пользуясь формулами: а e ( b si b a cos b) и a e cos bd c a b ( a si b b cos b) a a e e si bd c a b получим коэффициенты Фурье: a e a f cos d e cos d e a a cos b a ( si a cos ) ( a ) a ( si a cos ) e ( si( ) a cos( )) a a ( e e ) ( a ) f si d e a a ( cos ) e ( cos ) ( a ) a a ( ) a( e e ) ( a ) ( ) ; ( a si cos ) a a e si d a a к( e e ) ( a ) ( a ) e ( ) ( a ) Поэтому ряд Фурье для данной функции имеет следующий вид: a a a e e ( a cos b si ) a a a ( ) a( e e ) ( a ) a a e e a cos ( a cos si ) a a a ( ) ( e e ) ( a ) si

33 e a e a a a cos si a cos si a a Сумма полученного ряда S равна значению функции f в точках непрерывности этой функции В точках разрыва ( ) ( ± ± ) сумма ряда равна среднему арифметическому пределов функций слева и справа: f ( ) (( ) ) f (( ) ) S В силу периодичности функции f с периодом ( f ( ) f ) имеем f (( ) ) f (( ) ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) следовательно a a f f e e S( ( ) ) a a б) Вычислим коэффициенты Фурье: a f ( ) a a e im e im e e cos d f cos d f cos d f cos d Последний интеграл возьмем по частям Положим du d V si следовательно cos d U dv cos d ; тогда cos d si si d cos ( cos cos ) [ ] Таким образом a cos d при 5 при 6 При полученное здесь выражение для коэффициент a вычислим отдельно: a f d f d d a не имеет смысла Поэтому

34 Аналогично найдем b f si d si d cos cos si Выпишем найденный ряд Фурье: a a cos b si ( ) cos d ( ) cos si cos si si cos si si 9 Сумма найденного ряда S совпадает с данной функцией точках непрерывности функции ( ± ± ) S ( ) f f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) f ( ) Заметим что точки ( ± ± ) данной функции f непрерывность f в точке f ( ) f ( ) f f во всех f В точках разрыва являются точками непрерывности В силу периодичности функции достаточно установить Это сразу следует из соотношения в) Данная функция четная вследствие чего все коэффициенты b а коэффициенты a вычисляются таким образом: a f cos d cos d f cos d f cos cos d cos cos d ( ) ( ) si ( ) si ( )

35 ( ) ( ) si si При найденное выражение для a непригодно поэтому коэффициент a вычислим отдельно: a f cos d cos d cos d si Итак ( ) ( ) a a si si a ( ) Легко видеть что если нечетное число и то a ; если же четно m то m a ( m ) ( ) m Поэтому учитывая непрерывность данной функции f на всей числовой оси получим m a ( ) m f a cos cos cos ( < < ) m m Указания к задаче В силу формул (7) и (8) четная функция разлагается в неполный ряд Фурье по косинусам а нечетная функция по синусам Функция заданная в интервале ( ) может быть продолжена в интервал (- ) либо как четная либо как нечетная; следовательно ее можно разложить в интервале ( ) в неполный ряд Фурье по синусам или по косинусам Пользуясь формулами Эйлера ряд Фурье (6) можно записать в комплексной форме где при этом c f S i c e i e d ( ± ± ) 5

36 a a ib a ib c c c ( ) Пример Разложить в ряд Фурье следующие функции: a) f в интервале ( ); при < б) f при < < 6; в) f на отрезке [ ] по синусам; г) f e в интервале ( ) в комплексной форме Решение В указанных промежутках данные функции можно разложить в ряд Фурье по формулам разложения периодических функций так как их можно продолжить как периодические функции на всю числовую ось Интеграл от периодической функции по любому отрезку длина которого равна периоду имеет всегда одно и то же значение Поэтому при вычислении коэффициентов Фурье промежуток интегрирования ( ) ( λ λ ) где λ любое число можно заменить промежутком а) Вычислим значения коэффициентов Фурье: a f d d a f cos d ( ) cos d Последний интеграл возьмем методом интегрирования по частям Положим U dv cos d ; тогда du d V si следовательно a si si d cos ( cos cos ) ( ) Аналогично интегрируя по частям найдем b f si d ( ) si d cos cos ( ) d Так как данная функция f непрерывна в промежутке ( ) то 6

37 si ( < < ) Вне промежутка равенство не справедливо В частности в точках и сумма ряда равна нулю и равенство нарушается Если положить в найденном разложении то получим ряд Лейбница: 5 7 б) Полагая и разбивая интервал интегрирования (6) точкой на две части (в каждой из них функция задана различными формулами) получим: λ 6 6 a f d f d d d ; λ λ 6 a f cos d f cos d λ 6 cos d cos d 6 si si si d 6 cos ( cos cos ) [ ] 8 при нечетном ; при четном ; b λ 6 f λ si d f si d 6 si d si d 6 6 cos cos cos d 7 8 cos cos cos cos 6 cos cos 6 ( ) si 6

38 Следовательно искомое разложение имеет вид 6 6 [( ) ] cos ( ) Сумма полученного ряда (6) и S в интервале () S ( ) im f im f ( 8) 5 si S в интервале в) Продолжая данную функцию нечетным образом мы получим нечетную функцию f на отрезке [ ] Поэтому все коэффициенты a равны нулю а коэффициенты b выражаются интегралами: b f si d si d cos cos d cos si ( ) Следовательно si < В точке сумма ряда S г) Находим: c f e im im () i i ( i ) d e e d e i i i ( e e e e i ) d e ( i ) По формулам Эйлера ± i e cos ± i si ( ) следовательно ( ) ( c e e i ) Таким образом i i e e e e ce ( < < ) i 8

39 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Дифференциальное и интегральное исчисление: Учебник--е изд перераб и доп / Бугров Я С Никольский С М М: Наука 98 с Дифференциальное исчисление для втузов Т:Учебник--е изд / Пискунов Н С -М: Наука с Курс математического анализа Т: Учебник / Кудрявцев Л Д М: Высш школа с Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты): Учебное пособие / Л А Кузнецов М: Высш школа 98 7 с Учебное издание Числовые функциональные ряды Ряды Фурье Методические указания к типовому расчету по высшей математике Составители: ЧУМАКИН Михаил Егорович ПАВЛЕНКО Галина Дмитриевна Редактор Н А Евдокимова Подписано в печать Формат 6 х 8 / 6 Бумага писчая Печать трафаретная Усл печ л Уч- изд л Тираж экз Заказ Ульяновский государственный технический университет 7 г Ульяновск ул Сев Венец д Типография УлГТУ 7 г Ульяновск ул Сев Венец д 9


МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ИНСТИТУТ

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

3 РЯДЫ Хабаровск 2004

3 РЯДЫ Хабаровск 2004 РЯДЫ Хабаровск 4 4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Числовым рядом называется выражение, где,,, числа, которые образуют бесконечную числовую последовательность, общий член ряда, где N ( N множество натуральных чисел) Пример

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия»

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания для практически

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста)

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет путей сообщения»

Подробнее

Тригонометрические ряды Фурье

Тригонометрические ряды Фурье Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Глава Ряды Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Числовые ряды называется числовым рядом Суммы S, называются частичными суммами ряда Если существует предел lim S, S то ряд

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЕВ Небогина, ОС Афанасьева РЯДЫ ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Самара 9 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов заочного обучения ( III семестр ) Уфа Дан теоретический материал (понятия,

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г.

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. Замечание. 1) вопросы, не содержащие доказательства; ) вопросы, с серьезным доказательством; 3) вопросы с небольшим

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Рецензенты Доктор ф.-м. наук, профессор Т.Г. Сукачёва Канд. ф.-м. наук, доцент А.В. Ласунский

Рецензенты Доктор ф.-м. наук, профессор Т.Г. Сукачёва Канд. ф.-м. наук, доцент А.В. Ласунский Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

Вопросы и задачи по математическому анализу

Вопросы и задачи по математическому анализу Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СР Свирщевский Вопросы и задачи по математическому

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

Математический анализ Ряды

Математический анализ Ряды Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения Математический анализ Ряды Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики

Подробнее

( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Дифференциальное исчисление Задание. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя. 8 8 ; 8 8 ~ arcsi arcsi [ ] l l l l l l l l e Задание. Задана функция

Подробнее

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики И В Прусова Н А Кондратьева Н К Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды»

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ------------------------------------------------------------------------------------------------- О.Г. Илларионова, В.А. Ухова МАТЕМАТИКА

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет. Кафедра «Высшая математика 3» РЯДЫ ФУРЬЕ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет. Кафедра «Высшая математика 3» РЯДЫ ФУРЬЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика 3» РЯДЫ ФУРЬЕ Методические указания по дисциплине «Математика» для студентов строительных

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ВН Алексеев, ДА Приказчиков, ВВ Ридель РЯДЫ Утверждено редакционно-издательским советом РОАТ в качестве учебного пособия РОАТ Москва 9 5 УДК 575(75)

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды Числовые и функциональные ряды Основные понятия Знакочередующиеся ряды Функциональные ряды Степенные ряды и разложение функций в степенной ряд Применение степенных рядов Ряды Фурье Основные понятия Пусть

Подробнее

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n Тема 9 Степенные ряды Степенным рядом называется функциональный ряд вида при этом числа... коэффициентами ряда, а точка разложения ряда.,,...,,... R... называются центром Степенные ряды Общий член степенного

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

6. Ряды Фурье Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Функции ϕ (x)

6. Ряды Фурье Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Функции ϕ (x) 6 Ряды Фурье 6 Ортогональные системы функций Ряд Фурье по ортогональной системе функций Функции ϕ () и ψ (), определенные и интегрируемые на отрезке [, ], называются ортогональными на этом отрезке, если

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации. МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. К. Э.

Министерство образования Российской Федерации. МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. К. Э. Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика РЯДЫ Методические указания к курсовой работе Составитель:

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Демина ЕЛ, Демин СЕ РЯДЫ г Нижний Тагил 00 Предисловие В настоящем

Подробнее

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна Третий семестр Лектор: Князева Людмила Павловна Темы: Наименование раздела, темы Всего аудиторных часов Лекции, часы Практически е занятия, часы 1 2 3 4 Тема 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А.

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А. РЯДЫ ФУРЬЕ Автор-составитель: доцент каф ВМ Цапаева СА Великий Новгород ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ГАРМОНИК Определение Гармониками называются комплекснозначные функции вида iω ( ) e, где действительная переменная,

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО, CА ИЗОТОВА, ЛА МАЛЫШЕВА РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга является вторым томом учебника «Математика для инженеров»в данном томе излагаются основы числовых и функциональных рядов; кратных и поверхностных интегралов; теории поля; основы

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

Лекция 4. Гармонический анализ. Ряды Фурье

Лекция 4. Гармонический анализ. Ряды Фурье Лекция 4. Гармонический анализ. Ряды Фурье Периодические функции. Гармонический анализ В науке и технике часто приходится иметь дело с периодическими явлениями, т. е. такими, которые повторяются через

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Министерство образования Российской Федерации МАТИ Российский государственный технологический университет им.к.э.циолковского Кафедра «Высшая математика» ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Варианты курсовых

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им НГ Чернышевского» ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет»

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО РАЗДЕЛУ «РЯДЫ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ. по модулю «Ряды»

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ. по модулю «Ряды» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТОЛЬЯТТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика и математическое моделирование» Ахметжанова ГВ Павлова ЕС Кошелева НН ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ по

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

Теория рядов 1. Теория рядов

Теория рядов 1. Теория рядов Теория рядов 1 Теория рядов ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Решение задачи представленной в математических терминах например в виде комбинации различных функций их производных и интегралов нужно уметь довести до числа

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

Подробнее

Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, Н. Н. Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, Н. Н. Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Т А Матвеева, В Б Светличная, Н Н Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Волгоград 00 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ И М Аксененкова ТР Игонина ОА Малыгина НС Чекалкин АГ Шухов Редактор: НС Чекалкин Математический анализ семестр

Подробнее

Математический анализ.

Математический анализ. Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка

Подробнее

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ПРОГРАММА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Часть IV для студентов уровня ВО заочной формы обучения специальности 45 «Сети

Подробнее

Тема 2 Ряды Фурье , ; Практическое занятие 1 Ряды Фурье по ортогональным системам функций ,, R ;

Тема 2 Ряды Фурье , ; Практическое занятие 1 Ряды Фурье по ортогональным системам функций ,, R ; Тема Ряды Фурье Практическое занятие Ряды Фурье по ортогональным системам функций Пространство кусочно-непрерывных функций Обобщенный ряд Фурье 3 Неравенство Бесселя и сходимость ряда Фурье Пространство

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров, ОА Кузнецова РЯДЫ Учебно-методическое пособие Тольятти ТГУ 9 РЯДЫ РЯДЫ u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров,

Подробнее

ВОПРОСЫ к итоговому экзамену 2017/2018 по дисциплине «Математический анализ»

ВОПРОСЫ к итоговому экзамену 2017/2018 по дисциплине «Математический анализ» ВОПРОСЫ к итоговому экзамену 7/8 по дисциплине «Математический анализ» Программа «Прикладная математика» На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи.. Что такое числовая

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания для студентов заочной формы обучения. Составители О.А. Сергеева, О.В. Иванова

РЯДЫ. Методические указания для студентов заочной формы обучения. Составители О.А. Сергеева, О.В. Иванова Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

1.8. Общие функциональные ряды

1.8. Общие функциональные ряды Лекция. Степенные ряды. Гармонический анализ; ряды и преобразование Фурье. Свойство ортогональности.8. Общие функциональные ряды.8.. Уклонение функций Ряд U + U + U называется функциональным, если его

Подробнее