Элементы высшей математики

Save this PDF as:
Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Элементы высшей математики"

Транскрипт

1 Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент Кулагина Н.А. Новосибирск

2 Содержание модуля. Функции и их свойства.. Функции и их основные свойства.. Основные характеристики функции.. Вопросы для самопроверки.4. Упражнения для самопроверки. Предел функции.. Предел числовой последовательности.. Предел функции в бесконечности.. Предел функции в точке.4. Раскрытие неопределенностей.5. Непрерывность функции.6. Вопросы для самопроверки.7. Упражнения для самопроверки. Функции и их свойства.. Функции и их основные свойства Пусть даны два множества X и Y. Соответствие f, которое каждому элементу х Х сопоставляет один элемент y Y, называется функцией. Это обозначается так: y f (). Переменная называется аргументом функции. Например, соответствие f, изображенное на Рис., а, является функцией, а соответствие q, изображенное на Рис., б, не является функцией, так как не соблюдается условие однозначности. f q X Y X Y à á Рис.

3 Множество Х называется областью определения функции f и обозначается D ( f ), а множество Y областью значений функции f и обозначается Е ( f ). Например, для функции y областью определения D ( f ) является множество всех действительных чисел, областью значений Е ( f ) также множество всех действительных чисел. Для функции y областью определения D ( f ) является множество всех действительных чисел, кроме точки, областью значений Е ( f ) также множество всех действительных чисел, кроме значения y. Пример. Найти область определения функций: ) y 5 ; ) y ; ) lg(5 ) y. Решение: ) Функция y 5 содержит как составную часть линейную функцию y 5, которая определена для всех действительных, и функцию y 5, которая определена при неотрицательном значении подкоренного выражения: 5 5. Поэтому областью определения функции служит множество D ( f )=[5; ). ) Функция y - частное двух функций. Числитель y - определен для всех действительных, и знаменатель y определен при положительном значении подкоренного выражения: (т.к. корень стоит в знаменателе дроби). Поэтому областью определения функции служит множество D ( f )=(; ). ) Функция y lg(5 ) есть сумма двух функций y, которая определена при неотрицательном значении подкоренного выражения:, и функции ylg(5 ), которая определена при 5. Поэтому областью определения исходной функции является общая часть решения двух неравенств, т.е. решение системы

4 неравенств: [;5). Поэтому областью 5 5 определения функции служит множество D ( f )=[;5). Графиком функции называется множество всех точек плоскости Oy, абсцисса и ордината которых связаны соотношением y f (). Сложная функция. Пусть функция у f (u) определена на множестве D, а функция u (х) на множестве D, причем для любого х, принадлежащего множеству D, соответствующее значение u () принадлежит множеству D. Тогда на множестве D определена функция у f (()), которая называется сложной функцией (функцией от функции). Переменную u (х) называют промежуточным аргументом сложной функции. Пример. Функция y si является сложной, так как она есть комбинация простых функций y u и usi (функция от функции). Функция y - простая функция (показательная с основанием a y - уже сложная, т.к. ее можно представить как ), но функция u y, u... Основные характеристики функции. Четность и нечетность. Функция y f (), определенная на множестве D, называется четной, если при изменении знака аргумента значение функции не меняется: f () f (). Функция называется нечетной, если при изменении знака аргумента меняется только знак функции, а абсолютное значение остается тем же: f () f (). Функции, не относящиеся ни к четным, ни к нечетным функциям, называются функциями общего вида. График четной функции симметричен относительно оси OY, нечетной симметричен относительно начала координат.

5 Пример. а) Функция f () 5 является четной, так как f () 5() 5, т.е. f () f (); б) Функция f () 5 является нечетной, так как f () () 5 () () 5 ( 5 ), т.е. f () f (); в) Функция f () является функцией общего вида, так как f () () () и f () f (), f () f ().. Монотонность. Пусть функция y f () определена на множестве D, Если для любых значений аргумента,, (a; b) таких, что, выполняется неравенство f ( ) f ( ), то функция называется возрастающей (Рис. а), f ( ) f ( ), то функция называется убывающей (Рис. б). Рис. Возрастающие, убывающие функции называются монотонными. Интервалы, в которых функция монотонна, называют интервалами монотонности.. Ограниченность. Функцию y f (), определенную на множестве D, называют ограниченной на этом множестве, если существует такое число М, что для всех Х D выполняется неравенство f () М. Отсюда следует, что график ограниченной функции лежит между прямыми у М и у М. Пример 4.

6 Функция y si ограничена на всей числовой оси, так как si для любого R (Рис. ). y Рис. 4. Периодичность. Функция y f (), определенная на множестве D, называется периодической на этом множестве, если существует такое число Т, что при каждом D значение f ( T) f (). При этом число Т называется периодом функции (Рис. 4). Функция y tg периодическая, ее период Т, Z, tg( ) tg. y Рис. 4 \

7 .. Вопросы для самопроверки. Дайте определение функции.. Что называется областью определения функции и областью ее значений?. Дайте определение четной и нечетной функции. Каким свойством обладают графики четной и нечетной функции? 4. Дайте определение ограниченной функции. Пример. 5. Дайте определение периодической функции. Что такое период функции? 6. Какой наименьший положительный период имеют функции: y=si, y =cos, y = tg, y =ctg?.4. Упражнения для самопроверки. Доказать, что функция, заданная формулой f (), возрастающая.. Доказать, что функция, заданная формулой y,8 8, убывающая.. Функция задана формулой y 5 на множестве X. Найти множество значений Y функции, если X ; ; ; ; 4; Функция задана формулой y на множестве X. Найти множество значений Y функции, если X ; ; ; -; Найти область определения функций: а) y 8 4 ; б) y ; 4 6 в) y ; г) y 4 д) y log ( 4); e) y lg( ); ж) y ; з) y tg. 6. Выяснить четность (нечетность) функций: а) y 5 5 ; б) y tg -si ; в) y= cos ; 5 г) y si ; д) y tg ( ); е) y. 7. Записать в виде одного равенства сложную функцию, заданную цепочкой равенств: a) г) y si u, u ; б) y lg u, u lg ; в) y log (6 u ), u si ; u y cos u, u ; д), ; u y u е) y, u tg 5 4. u ;

8 Ответы:. Y {5;4;;;;}. 4. Y {;;;6;}. 5. а) (; +]; б) (/4; + ); в) (- ; -) (-;) (;6]; г) [-;) (;]; д) (4;+ ); е) (- ;/); ж) (- ; ) (;+ ); з) k а) нечетная; б) нечетная; в) четная; г) нечетная; д) четная; е) нечетная. 7. а) y si ( ) ; б) y lg(lg ) ; в) г) y cos( ) ; д) ylog (6 si ) ; y ; е) ( 5 4) y tg.. Предел функции.. Предел числовой последовательности Если по некоторому закону каждому натуральному числу поставлено в соответствие вполне определенное число b, то говорят, что задана числовая последовательность b; b, b, b, b. Числа b, b, b, b называются членами последовательности, число b общим или -м членом данной последовательности, а число его номером. Другими словами, числовая последовательность это функция натурального аргумента: b f ( ). Пример 5. Множество чисел, /, /, /4, /5, образует числовую последовательность с общим членом b /. Пример 6. Множество чисел,, 5, 7, 9, образует числовую последовательность с общим членом b (последовательность нечетных чисел). Данные формулы позволяют вычислить любой член последовательности. Очевидно, в этих примерах разным значениям =,, соответствуют разные точки некоторого множества B, и поэтому последовательности b можно представить как множество соответствующих точек на числовой прямой R (Рис.5а, 5б).

9 b b b / / b b b 4 а) б) Рис. 5 Рассмотрим числовую последовательность с общим членом b /. Изобразим ее члены точками числовой оси (Рис. 5а). Можно заметить, что члены последовательности b с ростом как угодно близко приближаются к числу. При этом абсолютная величина разности b становится все меньше и меньше. Действительно, b, b, b, b4,, b,, 4 Т.е. с ростом разность b будет меньше любого, сколь угодно малого положительного числа. Пределом последовательности b называется число b такое, что для любого положительного числа существует номер N (зависящий от ), начиная с которого все члены последовательности отличаются от b по модулю меньше, чем на, то есть при всех N выполняется неравенство b b. Предел последовательности обозначается b b. Если последовательность имеет предел, то она называется сходящейся. Если последовательность не имеет предела, то она называется расходящейся. Неравенство b b можно представить следующим образом: b b b. Это означает, что на числовой прямой числа b принадлежат интервалу (b, b ) (Рис. 6).

10 b b b Рис. 6 Пример 7. Рассмотрим числовую последовательность с общим членом b. Возьмем какое-нибудь малое положительное число (например,= тогда два числа к., и ),,99 будут расположены близко Начиная с некоторого ( <ε, <ε, > - log ε = log = log =, = 6,64), все члены b будут попадать в этот интервал, то есть b. Таким образом, неравенство b выполняется при 7. В данном случае число это предел последовательности b :... Предел функции в бесконечности С понятием предела числовой последовательности b f ( ) тесно связано понятие предела функции y f ( ) в бесконечности. Число А называется пределом функции y f ( ) при, стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого положительного числа, найдется такое положительное число S> (зависящее от ε, S=S(ε)), что для всех таких, что S, верно неравенство: f ( ) A. Этот предел функции обозначается f ( ) A. Смысл определения предела функции в бесконечности. Неравенство f ( ) A равносильно двойному неравенству A f ( ) A,

11 соответствующему расположению части графика функции в полосе шириной ε (Рис.7). Рис.7 или Пример 8. Доказать, что Решение.. Для любого числа неравенство f ( ) A, т.е. ( ) выполняется при, т.е. при. Таким образом, для любого числа найдется число S( ) >, что для всех таких, что S, будет верно неравенство, а это и означает, что... Предел функции в точке Число А называется пределом функции в точке х, если для любого положительного числа найдется такое положительное число, что для всех х х, удовлетворяющих неравенству, выполняется неравенство f () A. Записывают f ( ) A.

12 Смысл определения предела функции f( ) в точке состоит в том, что для всех значений, достаточно близких к, значения функции f( ) как угодно мало отличаются от числа А. Пример 9. Доказать, что ( ) 4. Решение. Пусть,, тогда неравенство f () A примет вид ( ) 4, или 6,, откуда, ( ),, то есть,, и,. Аналогично при,9 неравенство f () A будет выполнено при,. Таким образом, для любого f () A = ( ) 4 = 6= будет выполняться при, то есть для любого существует такое, что для всех и удовлетворяющих условию верно неравенство f () 4, где f (), а это и означает, что ( ) 4. Функция y f () называется бесконечно малой при или при, если f( ). Например, функция у х 5 бесконечно малая при х 5, функция y 5 - бесконечно малая при х. Функция y f () называется бесконечно большой при или при, если f( ). Например, функция y 5 есть бесконечно большая при х 5, а функция у х 5 - бесконечно большая при х. Основные теоремы о бесконечно больших и бесконечно малых функциях ) Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

13 ) Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая. ) Произведение двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. 4) Произведение бесконечно малой функции на число есть функция бесконечно малая. 5) Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая. 6) Если функция g() бесконечно малая, то функция y g ( ) есть бесконечно большая функция и наоборот: если функция f () бесконечно большая, то бесконечно малая. f( ) 7) Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией: Если функция f () имеет предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции (х), то есть f ( ) f ( ) ( ). 8) (Обратная теорема). Если функцию f () можно представить в виде числа А и бесконечно малой функции (х), то число А является пределом функции f (). Пример. Доказать, что (6 ) 9. Решение. Функцию 6 х представим в виде 9 (х ), где (х ) бесконечно малая функция при х (т.к. (х - ) при х ), то есть (6 ) (9 ( )) 9 9. Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к х влияет на значение предела функции. Число L называется пределом функции y f () слева в точке х, если для любого числа существует число () такое, что при х (х ; х ) выполняется неравенство f () L. Предел слева обозначают f ( ) L. Аналогично определяют предел справа.

14 Число P называется пределом функции y f () справа в точке х, если для любого числа существует число () такое, что при х (х ; х + ) выполняется неравенство f () P. Предел справа обозначают f ( ) P. Пределы справа и слева называют односторонними пределами. Если существует f ( ) A, то существуют и оба односторонних предела, причем A P L. Пример. а), ( ) ; ( ) б) si si( ) tg, cos cos ( ) si si( ) tg. cos cos( ) Основные свойства пределов функций. Функция может иметь только один предел при х х (или при х ).. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов: ( f ( ) ( )) f ( ) ( ).. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов: ( f ( ) ( )) f ( ) ( ). 4. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: С f ( ) С f ( ). 5. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: f ( ) f ( ) В частности,, N.

15 6. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел f( ) f( ) знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю: ( ) ( ) ( ). Пример. Вычислить а) ( 4) ( 4). б) ( 4) ( 4)..4. Раскрытие неопределенностей ) Правило. Чтобы раскрыть неопределенность вида, заданную отношением двух многочленов, нужно и числитель и знаменатель разделить на самую высшую входящую в них степень. Пример. Вычислить ) Решение ; ) 4 4 ; ) ) ) )

16 ) Правило. Чтобы раскрыть неопределенность, заданную отношением двух многочленов, необходимо числитель и знаменатель разложить на множители, сократить критический множитель (он будет равен ( )) и вычислить предел оставшегося выражения. Пример. Вычислить Решение Найдем корни числителя и знаменателя: х х 8, х 9х 4, D = 96 96, D 8 49, , 4, , Таким образом, ( 4) ( 4) ) Правило. Чтобы раскрыть неопределенность вида, в которой числитель или знаменатель иррациональные выражения, следует числитель и знаменатель умножить на выражение, сопряженное иррациональному выражению в числителе или в знаменателе. Пример 4. Вычислить.

17 Решение. Сопряженным для иррационального выражения служит выражение, поэтому умножим на него числитель и знаменатель дроби: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ). 4) Первый замечательный предел: si. Пример 5. si si 4 cos cos Найти пределы: а) ; б) ; в). si8 Решение. Преобразуем данные дроби, чтобы «подогнать» их под первый замечательный предел: а) Умножим числитель и знаменатель дроби на : si si si( ) si( ), ( ) ( ) б) Умножим числитель и знаменатель дроби на 8 и на 4 и перегруппируем: si 4 si si si8 si8 8 4 si8 8 4 si , 4 si тк... si8 si8 si8 8 8

18 в) Применим формулу разности косинусов: cos cos si si Тогда 4 cos cos si si si si si si si si si si Непрерывность функции Понятие непрерывности, также как и понятие предела, является одним из основных понятий математического анализа. Функция y f () называется непрерывной в точке х, если она удовлетворяет следующим трем условиям: ) функция y f () определена в точке х (т.е. существует f( ) ; ) имеет конечный предел при ; ) этот предел равен значению функции в точке х, т.е. f ( ) f. Функция y f () называется непрерывной в интервале (a, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Функция y f () называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна в интервале (a, b) и в точке х а непрерывна справа (то есть f ( ) f ( a) ), а в точке х b непрерывна слева, то есть f ( ) f ( b). a b Пример 6 Исследовать на непрерывность функции y f () в точке :, ( ), а) y ( ) ; б) y ( ) ; в) y ( ) ;,, г) y (). Решение.

19 а) y ( ). При функция не определена, следовательно, функция в точке не является непрерывной (нарушается условие в определении)., б) y ( ). ) При функция определена: y() =-= ;, ) предел функции в точке слева: y( ) ( ), предел функции в точке справа: y( ) ( ). Т.к. y( ) y( ), то предел функции в точке не существует. Значит, нарушается условие определения непрерывности. Следовательно, функция не является непрерывной в точке. ( ), в) y ( ). При функция определена: y() =, и, существует конечный предел f ( ) ( ), но он не равен значению f ( ) y(), Т.е. нарушается условие определения непрерывности. Следовательно, функция не является непрерывной в точке. г) y (). При функция определена,, ( ), y(), то есть выполняются все условия непрерывности функции в точке. Следовательно, она непрерывна в точке. Геометрический смысл непрерывности функции. Непрерывность функции в данной точке выражается непрерывностью ее графика при прохождении данной точки (без отрыва карандаша от листа бумаги). Сформулируем второе равносильное первому определение непрерывности. Дадим приращение аргументу. Тогда функция y f ( ) получит приращение y f ( ) f ( ) (Рис. 8). Функция y f ( ) называется непрерывной в точке, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. y.

20 Рис.8 Основные теоремы о непрерывных функциях. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю).. Пусть функция и (х) непрерывна в точке х, а функция y f (и) непрерывна в точке и (х ). Тогда сложная функция f ((х)), состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке х.. Если функция y f () непрерывна и строго монотонна на [a; b] оси О, то обратная функция y (х) также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c; d] оси Оy. Если не выполняется определение непрерывности, то функция в точке имеет разрыв, причем: а) если хотя бы один из односторонних пределов f( ) или f( ) не существует (бесконечен), то точка разрыва второго рода; б) если оба односторонних предела f( ) и f( ) конечны, но не равны между собой, то точка разрыва первого рода; в) если оба односторонних предела f( ) и f( ) конечны, равны между собой, но не равны f ( ), то точка точка устранимого разрыва. 4. Если функция y f () непрерывна на отрезке [a; b], то она ограничена на этом отрезке. 5. (Теорема Вейерштрасса) Если функция y f () непрерывна на отрезке [a; b], то она достигает на этом отрезке наименьшего и наибольшего значения.

21 Пример 7 Доказать непрерывность функции y. Решение. Найдем y ( f ( ) f ( )) (( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) Тогда по второму определению непрерывности функция на всей числовой прямой. Пример 8 y непрерывна Установить характер разрывов в точке для функций примера 6. Решение. а) y ( ). Так как ;, то точка разрыва второго рода (Рис. 9, а);, б) y ( ). Так как y( ) ( ),, y( ) ( ), y( ) y( ), то в точке разрыв первого рода (Рис. 9, б). ( ), в) y ( ). Так как ( ) ( ) f(), то, точка устранимого разрыва (Рис. 9, в). а) б) в) Рис. 9

22 .6. Вопросы для самопроверки. Что называется числовой последовательностью?. Дать определение предела числовой последовательности.. Сформулируйте определение предела функции f () при,. 4. Дайте геометрическую интерпретацию предела функции f (), используя понятие окрестности точки. 5. Сформулируйте теоремы о пределе суммы, произведения и частного функций. 6. Какие виды неопределенностей Вы знаете? 7. Привести правила раскрытия основных видов неопределенностей. 8. Сформулировать определение непрерывности. 9. Пояснить геометрический смысл определения непрерывности.. Дать классификацию точек разрыва..7. Упражнения для самопроверки. Дан общий член последовательности а п. Выписать пять первых членов данной последовательности: ) a ; ) a ; ) a ; 4) a.. Составить общий член последовательности: ),,,,,...; ),,,...; ),,,,...; ),,,, Доказать по определению, что 4 ) 4; 4 ) ; ) ; 4). 4. Вычислить пределы последовательностей:

23 4 ) ; 5 ( ) 5 ) ; ( ) 5) ; ( ) 7) ; 5 9) ; 4 5. Найти пределы функций: 5 6 ) ; ) 4) 7) ; 8) ) 4) 6) 8) ( ) ; ( ) 5 ( ) ( ) ; ( ) ; 5 ; ). 7 4,, ; 5) 5 5 ; ) ; 6) 7 ; 5 ; 9) 5 8 ; 76cc ) ; ) c7 c ; ) si ; si6 si 4 tg ) ; 4) ; 5) ; 4 si6 si5 cos 6) ; 7) ; 8) ; 9 9) ; ) 6 ; ) Исследовать функции на непрерывность и построить их графики: ; а),, y,. б),, y,.,, в) y,. Ответы:. ) ; /; / ;/5; /; ) ;9/4 ;8/6 ; 65/8 ; 6/; ) /; 5/4; 9/6; 7/8; /; 4) 4/9; 9/5; 6/49; 5/8; 6/.

24 . ) a ; ) a 5 ; ) a 5 ; 4) ( ) ( ) a. 4. ) /5; ) -/4; ) -/5; 4) ; 5) ; 6) -/5; 7) /; 8) ; 9) ; ) /5. 5. ) -/; ) 5; ); 4) ; 5) ; 6) 5; 7) 5/; 8) ; 9) ; ) 8/; ) ; ) ; ) /; 4) /4; 5) /5; 6) ; 7) /; 8) ; 9) -; ) /; ). 6. а) разрыв рода; б) непрерывная; в) разрыв рода.


Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии. ЛЕКЦИЯ Числовые последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Основные свойства бесконечно малых последовательностей Числовые последовательности Если каждому из множества

Подробнее

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,...

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,... Предел функции. Предел числовой последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто числовой последовательностью называется функция f f (, определенная на множестве всех

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Первый замечательный предел. Тригонометрические неопределенности. S (1).

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Первый замечательный предел. Тригонометрические неопределенности. S (1). Первый замечательный предел. Тригонометрические неопределенности. При вычислении пределов функций, которые содержат тригонометрические выражения часто используют предел: Это первый замечательный предел.

Подробнее

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Тема ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Число А называется пределом функции у=f), при х стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого числа ε>, найдется такое положительное числоs, что при всех >S, выполняется

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ВАСИЛЬЕВ ВВ, ЛАНОВАЯ АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Подробнее

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ Найти область определения D и множество значений Е функции y Р е ш е н и е Функция y определена если те если Поэтому областью определения функции является множество f ; D R Поскольку

Подробнее

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

Подробнее

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики ФУНКЦИЯ И ЕЕ

Подробнее

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 7 Предел функции СОДЕРЖАНИЕ: Предел функции в точке Предел функции на бесконечности Основные теоремы о пределах функций Бесконечно

Подробнее

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства Лекция Глава Множества и операции над ними Понятие множества Понятие множество относится к наиболее первичным понятиям математики не определяемым через более простые Под множеством понимают совокупность

Подробнее

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли . Предел функции. Актуальность изучения темы Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе, позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении аргумента. С помощью

Подробнее

4 Лекция Функция

4 Лекция Функция Функция Понятие функции Способы задания функции Характеристики функции Обратная функция Предел функции Предел функции в точке Односторонние пределы Предел функции при x Бесконечно большая функция 4 Лекция

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных - - Раздел Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных Функция действительного аргумента Действительные числа Целые положительные числа называются натуральными Добавим к натуральным

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА НА Кулагина МВ Черепанова ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ -е издание, исправленное Новосибирск 04 УДК 5 ББК К90 Рецензенты БП Зеленцов д-р техн наук, профессор

Подробнее

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для

Подробнее

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1 Глава 1 Основы алгебры Числовые множества Рассмотрим основные числовые множества. Множество натуральных чисел N включает числа вида 1, 2, 3 и т. д., которые используются для счета предметов. Множество

Подробнее

Типовой расчёт 1 Пределы числовых последовательностей и функций.

Типовой расчёт 1 Пределы числовых последовательностей и функций. Типовой расчёт Пределы числовых последовательностей и функций Образец выполнения типового расчѐта Задание Найти пределы числовых последовательностей, или установить их ( ) ( a ) : ; ; ; ; ; ; 8 Данную

Подробнее

Предел и непрерывность функции. Методическое пособие

Предел и непрерывность функции. Методическое пособие Санкт-Петербургский государственный университет Т.А. Ефимова Предел и непрерывность функции Методическое пособие Санкт-Петербург 8 Предисловие Методическое пособие предназначено для студентов нематематических

Подробнее

Математический минимум. Часть 1. Теоретическая.

Математический минимум. Часть 1. Теоретическая. Сергей А Беляев стр 1 Математический минимум Часть 1 Теоретическая 1 Верно ли определение Наименьшим общим кратным двух целых чисел называется наименьшее число, которое делится на каждое из заданных чисел

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

Введение в математический анализ. Теория пределов

Введение в математический анализ. Теория пределов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Математический анализ I семестр. Ю. Л. Калиновский

Математический анализ I семестр. Ю. Л. Калиновский Математический анализ I семестр Ю. Л. Калиновский Справочные материалы Графики основных элементарных функций Парабола y = ax 2 + bx + c Функция y = x α α > 0 4 α < 0 Функция y = a x Функция y = log a

Подробнее

ФУНКЦИЯ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ

ФУНКЦИЯ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ ФУНКЦИЯ ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ Одним из основных математических понятий является понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пусть даны два непустых множества

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

2 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Множество. Числовые множества.

2 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Множество. Числовые множества. 1 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Множество Числовые множества Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые Под множеством понимается совокупность (набор) некоторых

Подробнее

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми.

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми. Контрольная работа Тема Пределы и производные функций Найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя) а) б) в) г) Пример а) Решение Определяем вид неопределенности При формальных

Подробнее

Ответы к заданию

Ответы к заданию Ответы к заданию.. понятия одного аргумента.. Основные элементарные.. элементарных функций.4. предела f в точке. х Х Если каждому элементу х из множества Х поставлен в соответствие определенный элемент

Подробнее

Пределы. Решение контрольной работы

Пределы. Решение контрольной работы Пределы. Решение контрольной работы Нахождение предела по определению Задача. Доказать, что a a 5 + 5, 5 a a (указать N(ε)) Нужно показать, что для любого ε > найдется такое N ( ε ), что для всех a > N

Подробнее

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства Вопрос. Неравенства, система линейных неравенств Рассмотрим выражения, которые содержат знак неравенства и переменную:. >, - +х -это линейные неравенств с одной переменной х.. 0 - квадратное неравенство.

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

, где k любое целое число. В таком случае автоматически выполняется и неравенство x 0. Ответ: x [4k. x

, где k любое целое число. В таком случае автоматически выполняется и неравенство x 0. Ответ: x [4k. x Вариант 8 Найти область определения функции : y sin Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и sin Из второго неравенства следует, что должно выполняться неравенство k π k+

Подробнее

1. Производная функции в точке

1. Производная функции в точке приращения аргумента Δ приращения Δ функции f производной функции точке f в Основные правила дифференцирования функций функции в точке Приращением аргумента Δ функции f называется разность между значением

Подробнее

ПЛУЖНИКОВА Елена Леонидовна РАЗУМЕЙКО Борис Григорьевич ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПЛУЖНИКОВА Елена Леонидовна РАЗУМЕЙКО Борис Григорьевич ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ПЛУЖНИКОВА Елена Леонидовна РАЗУМЕЙКО Борис Григорьевич ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Учебно-методическое пособие для студентов всех специальностей Рецензент проф ЕА Калашников Редактор

Подробнее

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция. Понятие множества. Определение функции основные свойства. Основные элементарные функции СОДЕРЖАНИЕ: Элементы теории множеств Множество вещественных чисел Числовая

Подробнее

Лекция 2. Последовательности

Лекция 2. Последовательности Лекция 2 Последовательности Определение. Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число x, то множество занумерованных чисел x, x2,..., x,...

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 9 ФУНКЦИЯ -ОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ГРАФИКИ. ОПР Величина называется переменной, если в рамках данной задачи она принимает различные числовые значения. ОПР Величина С называется

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

6 Лекция Второй замечательный предел. показано, что предел числовой последовательности 1 n xn = 1 + , n N, имеет предел, равный e. = e. (6.

6 Лекция Второй замечательный предел. показано, что предел числовой последовательности 1 n xn = 1 + , n N, имеет предел, равный e. = e. (6. Второй замечательный предел Непрерывность функции Непрерывность функции в точке Непрерывность функции в интервале и на отрезке Точки разрыва функции и их классификация Свойства непрерывных функций 6 Лекция

Подробнее

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Пусть имеем функцию определенную на множестве X и пусть точка X - внутренняя точка те точка для которой существует окрестность X Возьмем любую точку и обозначим через называется

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Министерство образования и науки Российской Федерации Курганский государственный университет Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Подробнее

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx Ответы к заданию приращения аргумента Δ Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки Δ, U ( : δ приращения f Δ (

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ Глава Множества Последовательности Функции Элементы теории множеств Понятие множества является в математике неопределяемым Интуитивно, множество это совокупность объектов любой природы,

Подробнее

lim f x f x используя обозначения приращений. 0 (2).

lim f x f x используя обозначения приращений. 0 (2). Лекция подготовлена доц Мусиной МВ Непрерывность функции Пусть функция y = f(x) определена в точке x и в некоторой окрестности этой точки Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x, если существует

Подробнее

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0.

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0. Вариант Найти область определения функции : lg 5 + Область определения данной функции определяется неравенством > 5+ Найдём корни знаменателя:, Так как ветви параболы 5+ направлены вверх, то 5+ 6< при

Подробнее

Семинар 1 Введение в анализ. Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 3. Функции чётные и нечётные; периодические функции.

Семинар 1 Введение в анализ. Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 3. Функции чётные и нечётные; периодические функции. Семинар 1 Введение в анализ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Функция, области определения, способ задания. 2. Понятие сложной и обратной функции. 3. Функции чётные и нечётные; периодические

Подробнее

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пример: А множество натуральных чисел а В множество квадратов натуральных чисел

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

Тема: Пределы. Краткие теоретические сведения. Непосредственное вычисление пределов.

Тема: Пределы. Краткие теоретические сведения. Непосредственное вычисление пределов. Тема: Пределы Краткие теоретические сведения Непосредственное вычисление пределов si Первый замечательный предел: Второй замечательный предел: ( ) 5 5 5 9 si si cos cos si si 5 5 9 6 6 6 8 8 si si 5 5

Подробнее

Вопрос 5. Функция, способы задания. Примеры элементарных функций и их графики.

Вопрос 5. Функция, способы задания. Примеры элементарных функций и их графики. Вопрос 5. Функция, способы задания. Примеры элементарных функций и их графики. Пусть даны два произвольных множества Х и Y. Функция это правило, по которому каждому элемента из множества X можно найти

Подробнее

1. Понятие числовой последовательности

1. Понятие числовой последовательности Понятие числовой последовательности В курсе математического анализа изучаются переменные величины и зависимость между ними Простейшими переменными величинами являются числовые последовательности Определение

Подробнее

Вариант y =. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: > 0. Данная функция определена на всей числовой оси, Точки

Вариант y =. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: > 0. Данная функция определена на всей числовой оси, Точки Вариант Найти область определения функции : y lg Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: > и lg или Достаточно рассмотреть второе неравенство так как первое неравенство перекрывается

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Познакомились с новыми свойствами числовых последовательностей:

Познакомились с новыми свойствами числовых последовательностей: Итак, в главе 1 Познакомились с новыми свойствами числовых последовательностей: ограниченность снизу; ограниченность сверху; сходимость; расходимость Выяснили, что такое: окрестность точки; предел числовой

Подробнее

1., 2., 3., где а, d постоянные числа.

1., 2., 3., где а, d постоянные числа. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

Подробнее

Кафедра Высшая и вычислительная математика. О.А.Платонова МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Кафедра Высшая и вычислительная математика. О.А.Платонова МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Российский университет транспорта МИИТ» Кафедра Высшая и вычислительная

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 16. Эквивалентные бесконечно малые. Первый и второй замечательные пределы.

ЛЕКЦИЯ 16. Эквивалентные бесконечно малые. Первый и второй замечательные пределы. ЛЕКЦИЯ Эквивалентные бесконечно малые Первый и второй замечательные пределы Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых функций Функция f ( ) называется бесконечно малой в точке a (при a ), если (

Подробнее

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия 35 Глава 2 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1 Основные понятия Пусть D некоторое множество чисел Если задан закон, по которому каждому числу из множества D ставится в

Подробнее

Лекция 3, 4. Будем считать, что область задания функции f (x) } значений аргумента функции f ( x n ) значений функции сходится к b.

Лекция 3, 4. Будем считать, что область задания функции f (x) } значений аргумента функции f ( x n ) значений функции сходится к b. Лекция 3, 4 Предельное значение функции при, + и Будем считать, что область задания функции f ( имеет хотя бы один элемент, лежащий вне отрезка [ A, A], для любого положительного числа A. Определение (по

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (,

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (, Вариант 9 Найти область определения функции : y + lg Область определения данной функции определяется следующим неравенством: >, те > Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или ± Объединяя результаты,

Подробнее

Пределы. 1. Предел переменной величины. 1. Понятие о числовой последовательности. Рассмотрим функциональную

Пределы. 1. Предел переменной величины. 1. Понятие о числовой последовательности. Рассмотрим функциональную Пределы 1. Предел переменной величины 1. Понятие о числовой последовательности. Рассмотрим функциональную зависимость y x : x 1 3 4 5 y 1 4 8 16 5 Здесь значениями аргумента x являются натуральные числа,

Подробнее

Лекция 5. Непрерывность

Лекция 5. Непрерывность Лекция 5 Непрерывность 1 СА Лавренченко 1 Понятие непрерывной функции Физические величины часто моделируются непрерывными функциями Например, скорость автомобиля, температура воздуха или рост человека

Подробнее

Предел и непрерывность функции одной переменной

Предел и непрерывность функции одной переменной Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии МЕЧанга Предел и непрерывность функции одной переменной Рекомендовано учебно-методическим

Подробнее

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию:

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию: Вариант 7 Найти область определения функции : y + / lg Область определения данной функции определяется следующими условиями:, >, те > / Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или Объединяя результаты,

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и Студент должен знать: определение предела функции; свойства пределов; понятие бесконечно малых функций; понятие ограниченных и бесконечно больших функций; определение непрерывности функции в точке; сравнение

Подробнее

lim lim arctg x~ 1 cos x ~ (1 x) ~1 m Лекция ( ) Предел функции (продолжение) lim f(x) = b, то f(x) = b +

lim lim arctg x~ 1 cos x ~ (1 x) ~1 m Лекция ( ) Предел функции (продолжение) lim f(x) = b, то f(x) = b + Предел функции (продолжение) Лекция (..) Теорема (о связи функции, ее предела и бесконечно малой). Если, где б.м. при a. Доказательство. Пусть б.м. при +. f( = b, то f( = b + f ( = b. Рассмотрим функцию

Подробнее

ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ: ÇÀÄÀ È Ñ ÌÎÄÓËÅÌ

ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ: ÇÀÄÀ È Ñ ÌÎÄÓËÅÌ Â À Äàëèíãåð ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ: ÇÀÄÀ È Ñ ÌÎÄÓËÅÌ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СПО -е издание, исправленное и дополненное Ðåêîìåíäîâàíî Ó åáíî-ìåòîäè åñêèì îòäåëîì ñðåäíåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ â êà åñòâå ó åáíîãî

Подробнее

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ» Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y +

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y + Вариант Найти область определения функции : y + + lg(5 Область определения данной функции определяется следующими неравенствами: + те 5 > те < 5 Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg( 5 или

Подробнее