{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}"

Транскрипт

1 Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием ограниченность В частности, крайние положения стрелок на панели автомобилей и других приборов характеризуют их предельное положение Приведем наглядный пример Пусть требуется найти длину окружности Поставим перед собой вопрос: что можно принять за длину окружности? Естественным является желание выразить длину окружности через Рис периметры фигур, которые мы в состоянии вычислить Например, периметры правильных многоугольников, вписанных в окружность Простейшим является квадрат, вписанный в эту окружность Очевидно, периметр квадрата является плохим приближением длины окружности Для более точного приближения впишем в окружность правильный восьмиугольник (рис ) Естественно, если этот процесс продолжить до бесконечности, то мы все точнее и точнее будем приближаться к длине окружности Все это наталкивает на мысль, что периметры правильных многоугольников, вписанных в окружность, при бесконечном удвоении числа их сторон стремятся к длине окружности, то есть длина окружности является пределом для этих периметров Изучаемый вами курс включает множество понятий, основанных на понятии предела Сюда можно отнести площадь криволинейных фигур, площадь криволинейных поверхностей, объемы тел, кривизну линии, плотность неоднородного тела, предельные издержки, центр тяжести фигур и тп Дадим вначале понятие предела для дискретных значений переменной величины, имеющих специальное наименование числовая последовательность Если по некоторому закону каждому натуральному числу поставлено в соответствие действительное число х, то множество действительных чисел х, х,, х, называется числовой последовательностью или просто последовательностью Сокращенно последовательность обозначается символом {х } Числа х, х,, х называются элементами числовой последовательности, а число х называется общим или п-ым членом этой последовательности Если за х принять значение функции f() при х =, то числовую последовательность {х } можно рассматривать как функцию натурального аргумента: х = f() На практике чаще всего последовательность задается общим членом, с помощью которого можно найти значение любого члена этой последовательности Так, равенства v =, z = ( ), y =, u = задают соответственно числовые последовательности: v = 0,, 8,,, ; { } { } { z } {, 4,, ( ),,, } = ;

2 { y } =,,,,,, 4 ; - { u} = 0,,,,,, 4 Заметим, что с возрастанием значения первых двух числовых последовательностей стремятся к бесконечности, а значения последних двух к определенным пределам (к нулю и единице соответственно) В соответствии с этим последовательности делятся на ограниченные и неограниченные Последовательность { } называется ограниченной, если существует такое число M > 0, что для любого N выполняется неравенство M В противном случае, когда > M, последовательность называется неограниченной Легко u ограниченны, а заметить, что две последние последовательности { } первые две последовательности { v } и { } y и { } z неограниченны Пояснение понятия предел числовой последовательности начнем с рассмотрения простейшей числовой последовательности { f() } = + () Придавая последовательно значения,, и тд, мы получим числовую последовательность,,,,, 4 + () Заметим, что члены последовательности () с увеличением порядкового номера члена увеличиваются по величине, оставаясь меньше единицы Причем разность между числом и членами последовательности () с увеличением порядкового номера может быть меньше любого наперед заданного числа Для доказательства сделанного утверждения найдем значения сотого (f(00)) и сто первого (f(0)) членов: 00 0 f ( 00) =, f ( 0) = 0 0 Найдем модуль разности между найденными значениями и числом один: 00 f ( 00 ) = =, f ( 0) = = 0 0 Из курса геометрии нам известно, что расстояние d между двумя точками А(х ) и В(х ) числовой оси Ох равно модулю разности d = Отсюда заключаем, что расстояние между 0-ым членом и числом меньше, чем расстояние от 00-го члена до числа, так как < Очевидно, с ростом порядкового номера 0 0 расстояние от числа до члена последовательности () становится все меньше и

3 меньше и может быть меньше любого наперед заданного сколь угодно малого положительного числа Действительно, задавшись наперед числом, найдем номер члена последовательности (), начиная с которого для всех последующих членов этой последовательности будет выполняется неравенство: < + () Так как > 0, то = и неравенство () равносильно < (4) + Решая числовое неравенство (4) относительно, находим, что > (5) Таким образом, мы нашли, каким должно быть по заданному, чтобы выполнялось неравенство () Если, например, = 0,0, тогда из неравенства (5) следует, что номер члена последовательности { f ( )} должен превосходить число > 99 00, =, те начиная с сотого члена расстояние между числом и членом последовательности () будет меньше, чем = 0,0 Если же = 0,00, то из (5) следует, что > 999, те начиная с тысячного члена расстояние между членами последовательности и числом будет меньше, чем 0,00 Из неравенства (5) и приведенного примера следует, что номер члена, для которого должно выполняться неравенство (), зависит от числа : Чем меньше число, тем больше должен быть порядковый номер члена последовательности () Далее имеем, что расстояние между членами последовательности () и ее пределом числом при становится меньше любого наперед заданного положительного числа, те стремится к нулю Так как расстояние между двумя точками А( ) и В( ) числовой оси определяется разностью, то стремление членов последовательности () к своему пределу при неограниченном увеличении их порядкового номера можно перефразировать следующим образом: члены последовательности () при стремятся к, тк расстояние между членами последовательности () и числом стремится к нулю при Или, каково бы ни было наперед заданное сколь угодно малое положительное число, всегда найдется такой член последовательности (), начиная с которого для всех последующих членов последовательности будет выполняться неравенство: f() < Более строго данный результат формулируется так: числовая последовательность { f ( )} при имеет своим пределом числом, тк для любого наперед заданного положительного числа всегда найдется такой член

4 { } последовательности f ( ) этой последовательности выполняется неравенство f ( ) <, начиная с которого для всех последующих членов Дадим определение предела произвольной числовой последовательности Число a называется пределом числовой последовательности { f ()}, если для любого сколь угодно малого наперед Это записывается так: lim f ( ) = a заданного положительного числа > 0 существует такой номер N, что для всех членов последовательности, для которых > N, выполняется неравенство: f() a < е (7) Символ lim от латинского слова «предел» (limes) Из неравенства (6) следует, что < f () a < или а < f() < a + (8) Если значениям числовой последовательности { f() } сопоставлять точки числовой оси (см рис ), то из неравенства (8) следует, что все члены числовой рис 0 a a + последовательности { f ( )}, для которых > N, будут находиться внутри интервала (а, а + ) Здесь важно заметить, что внутри указанного интервала находится бесконечное число членов последовательности, а вне интервала только конечное число членов Это обстоятельство играет важную роль в обосновании основных положений теории пределов Как легко заметить, в принятых обозначениях нами отождествлены следующие понятия: { } = { f( ) }, lim f ( ) = a и lim = a ; f() a < и a < Указанное выше отождествление приводит к следующему определению предела для числовой последовательности { } Число а называется пределом числовой, если для любого сколь угодно последовательности { } малого наперед заданного положительного числа > 0 существует такой номер N, что для всех членов, для которых > N, выполняется последовательности { } неравенство a < а X При рассмотрении последовательно сти (), общий член которой был равен f ( ) = +, мы убедились, что для любого наперед заданного сколь угодно малого > 0 всегда можно найти такой номер N, что при > N всегда выполняется неравенство

5 f( ) < Из данного нами определения предела числовой последовательности вытекает, что lim = + Определим, что понимается под пределом переменной, когда значения х сплошь покрывают конечный или бесконечный промежуток Число а называется пределом переменной величины х, если для любого сколь угодно малого наперед заданного положительного числа > 0 существует такое значение х, начиная с которого для всех остальных значений выполняется неравенство х а < Символически это записывается так: lim = a Из определения предела переменной величины х следует, что начиная с некоторого значения для всех остальных значений х выполняются неравенства < a < или a < < a +, те все эти остальные значения х находятся в - окрестности точки а (рис): (a, a + ) Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой определяется по формуле: = + Очевидно, данная последовательность имеет предел, равный единице: lim = lim + = Действительно, для любого > 0 можно найти такое N, что для всех > N будет выполняться неравенство < или Отсюда находим искомое N из неравенства = + = < > : N = Таким образом, для всех, для которых выполняется условие > N, выполняется неравенство <, те lim = Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой равен ( ) = + По аналогии можно доказать, что lim = Заметим, что последовательность { } = + имеет предел, равный ;

6 члены последовательности принимают значения, меньшие своего предела; последовательность с общим членом = + имеет своим пределом число, причем все члены этой последовательности принимают значения большие ; ( ) последовательность с общим членом = + имеет предел, равный, причем члены последовательности принимают значения поочередно (то больше предела, то меньше предела) То есть члены первой числовой последовательности стремятся к своему пределу только слева, члены второй числовой последовательности стремятся к своему пределу только справа Члены последней числовой последовательности стремятся к своему пределу одновременно и слева, и справа Таким образом, из определения предела последовательности переменной вытекает, что безразлично, как группируются значения членов вокруг своего предела Если же исследуется вопрос существования предела при стремлении переменной к своему пределу только с одной стороны (слева или справа), то речь идет о существовании так называемых односторонних пределов Символически они обозначаются так: a 0 (предел слева) и a + 0 (предел справа) В курсе математического анализа доказывается, что для существования предела необходимо и достаточно, чтобы существовали односторонние пределы, причем эти пределы должны быть равны между собой Свойства последовательностей, имеющих предел Если последовательность { } при имеет предел, равный a, и a > p (a < p), то все ее значения начиная с некоторого N будут удовлетворять неравенству N > p ( N < p) Следствие По сформулированному свойству имеем: если p = 0 и а > 0, то для всех > N будет выполняться неравенство N > 0 Те если предел переменной есть положительное число, то начиная с некоторого значения все оставшиеся члены последовательности будут положительны Если последовательность { } при имеет конечный предел, то эта последовательность ограничена и сверху, и снизу Из определения предела последовательности следует, что предел постоянной величины есть эта постоянная величина Действительно, если рассмотреть последовательность, все члены которой равны а, то для произвольного > 0 выполняется неравенство а а < для всех членов этой последовательности Таким образом, lim а= а Последовательность { } не может иметь двух различных пределов, те если последовательность имеет предел, то этот предел единственный Докажем теорему от противного Пусть последовательность{ } имеет два различных предела при, например, a и b Тогда, по определению предела последовательности, существуют такие N и N, что для всех, для которых > N

7 и > N соответственно при любом наперед заданном е 0 > выполняются неравенства a < и b < Из двух значений N и N выберем наибольшее значение, обозначим это значение через N Тогда для всех > N будут выполняться неравенства a <, b < Возьмем модуль разности a b = b +a a + b < Последнее неравенство возможно только в одном случае, когда a = b Признаки существования предела В предыдущем разделе мы изучили свойства последовательностей, имеющих предел Естественным и главным является вопрос: когда последовательность имеет предел? В этом разделе излагаются основные теоремы существования предела Теорема Если последовательность монотонно возрастающей, если из неравенства > N следует строгое { } неравенство > N, и монотонно убывающей, если возрастающая (или убывающая) и ограничена сверху, например, числом M (или ограничена снизу имеет предел, меньший или равный М (больший или равный m) z имеют один и тот же предел, числом m), то последовательность { } Теорема Если последовательности { y } и { } а для членов последовательности { } начиная с некоторого члена N выполняются неравенства Последовательность { } называется монотонно y < < z, (9) то последовательность { } имеет тот же предел Все перечисленные свойства для числовой последовательности, целиком можно перенести и на переменную величину Бесконечно малая величина Среди множества переменных величин особое место занимают переменные величины, пределы которых равны нулю или бесконечности К изучению этих переменных мы и перейдем Переменная величина называется бесконечно малой величиной (бмв), если она имеет своим пределом число нуль, или для любого наперед заданного сколь угодно малого положительного числа > 0 найдется такое значение, начиная с которого для всех остальных ее значений будет выполняться неравенство < Здесь следует обратить внимание на то, что бмв есть величина переменная

8 И только единственное постоянное число нуль можно отнести по сформулированному определению к бмв Так, например, число 0, не является бмв Свойства бесконечно малых величин Теорема Алгебраическая сумма конечного числа бмв есть величина бесконечно малая Под алгебраической суммой понимается сумма или разность выражений Доказательство проведем для трех бмв Пусть α, β, γ бмв, те limα = 0, limβ = 0, limγ = 0 Требуется доказать, что α + β γ бесконечно малая величина, те lim ( α + β γ ) = 0 Доказательство Так как α, β, γ бмв, то по определению бмв найдутся такие значения α, β, γ, начиная с которых для всех остальных значений переменных α, β, γ для любого наперед заданного > 0 будут выполняться неравенства: α <, β <, γ < Отсюда на основании свойств модуля имеем: α + β γ α + β + γ < + + или α + β γ <, чтд Теорема 4 Произведение бесконечно малой величины на ограниченную переменную величину есть величина бесконечно малая Дано: α бмв, ограниченная переменная величина, те lim α = 0; существует такое M > 0, что для всех выполняется неравенство < M Требуется доказать, что lim α = 0, или для произвольного сколь угодно малого > 0 выполняется неравенство α < Доказательство Так как α бмв, то начиная с некоторого значения α для всех остальных ее значений выполняется неравенство α< Отсюда находим: M α = α < M =, чтд M Следствие Произведение бесконечно малой величины на постоянную величину есть величина бесконечно малая Действительно, так как любая постоянная величина есть величина ограниченная, то по теореме 4 справедливо указанное следствие Следствие Произведение любого числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая Действительно, так как бмв есть величина ограниченная, то произведение двух бмв величина бмв Умножив две бмв на третью бмв вновь получим бмв и тд

9 Теорема 5 Если α бмв, а переменная х имеет предел, отличный от нуля, то α бмв, те частное от деления бмв на переменную, имеющую предел, отличный от нуля, есть бмв Бесконечно большие величины и их связь с бесконечно малыми величинами Символическ Переменная величина х называется бесконечно большой и этот факт величиной (ббв), если для любого наперед заданного сколь записывается угодно большого числа M > 0 найдется такое значение так: lim = ± переменной х, начиная с которого для всех остальных ее Например, значений выполняется неравенство > M если областью изменения переменной х является вся числовая ось, то, каково бы ни было значение M > 0, которому соответствует фиксированная точка числовой оси, для всех остальных значений х, находящихся правее точки = M и левее т = M, будет выполняться неравенство > M Очевидно, при ± переменные,,,, а также их суммы, будут ббв Теорема 6 Если α бмв, а переменная х ббв, то ) бмв; ) α ббв; ) α бмв Основные теоремы о пределах Теорема 7 Если переменная величина х имеет предел, равный действительному числу а, то начиная с некоторого значения х для всех остальных значений этой переменной будет выполняться равенство: = a +α, (0) где α бмв = a, то начиная с Доказательство По определению предела, если lim некоторого значения переменной х для всех ее остальных значений выполняется неравенство: х а <, () где > 0 наперед заданное сколь угодно малое положительное число Если разность a под знаком модуля в неравенстве () обозначить через α a =α, то из неравенства () будет следовать по определению бмв, что α бмв, так как из () будет следовать, что α < То, нами получено равенство: a = α, где α бмв

10 Отсюда окончательно находим: = a + α Обратно, если имеет место равенство = a + α, где α бмв, то lim = a Действительно, по условию имеем: х а = α < По определению предела переменной отсюда находим, что lim = a Условимся впредь под понимать наперед заданное сколь угодно малое положительное число Теорема 8 Предел алгебраической суммы конечного числа переменных величин, имеющих конечный предел, равен алгебраической сумме пределов слагаемых величин, те lim( + y z) = lim + lim y lim z () По условию теоремы дано: lim = a, lim y = b, lim z = c () По теореме 7 из равенств () следует, что = a + α, y = b + β, z = c + γ, (4) где α, β, γ бмв Из равенств (4) имеем: + y z = a + b c + α + β γ (5) Левая часть равенства (5) есть сумма переменных величин Обозначим эту переменную величину через u = + y z Правая часть состоит из алгебраической суммы постоянных величин и суммы трех бмв Обозначим алгебраическую сумму постоянных величин через d = a+ b c, а алгебраическую сумму бмв через δ = α + β γ В этих обозначениях равенство (5) перепишется так: u = d +δ, где d постоянная величина, δ бмв по доказанному ранее Следовательно, по обратной теореме 7 имеем: lim u = d или lim( + y z) = a+ b c или с учетом равенств () lim ( + y z) = lim + lim y lim z, чтд Теорема 9 Предел произведения конечного числа переменных величин, имеющих предел, равен произведению пределов этих величин, те из существования конечных пределов lim = a, lim y = b переменных х и у следует равенство lim ( y) = lim lim y Доказательство можно провести аналогично доказательству теоремы 8 Следствие Постоянный множитель можно выносить за знак предела, если предел существует: lim (с y) = с lim y, тк lim c= c Следствие Предел степени переменной, имеющей предел, равен той же степени от предела переменной, те k k lim = (lim ) k Действительно, lim k = lim lim lim = ( lim ) k

11 Следствие Предел корня -ой степени от переменной, имеющей предел, равен корню -ой степени от предела этой переменной, те lim = lim Действительно, пусть = y, тогда по определению корня = y Отсюда находим: lim = lim y = ( lim y) Из полученного равенства lim = (lim y) следует, что lim y = lim, или lim = lim Теорема 0 Предел частного двух переменных величин равен отношению предела числителя на предел знаменателя, если эти пределы существуют и предел знаменателя отличен от нуля, те lim a lim = =, если lim = a, lim y = b 0 y lim y b Доказательство можно провести по аналогии с приведенным доказательством теоремы 8 (рекомендуем читателю провести доказательство самостоятельно) c c Следствие Если = с = cost, то lim =, если lim y существует и y lim y отличен от нуля lim Следствие Если y = c = cost, то lim =, если lim существует и c c c 0 Рассмотрим типовые примеры отыскания пределов переменных величин + Пример Найти предел lim 5 Числитель дроби есть переменная, предел которой можно найти, применяя теоремы о пределах и их следствия: lim ( + ) = lim lim() + lim = = (lim ) lim + = + = Найдем предел знаменателя: lim(5 ) = lim5 lim = 5lim = 5 = 4 0 Следовательно, по теореме 4 имеем: + lim ( + ) lim = = = 5 lim(5 ) 4 5 Пример Найти предел lim Заметим, что данный предел зависит от того, с какой стороны переменная Если переменная, оставаясь всегда меньше, то этот предел является левым односторонним пределом для точки = Если же переменная, оставаясь всегда больше, то этот предел является односторонним пределом справа в точке = Первый предел по определению

12 5 5 обозначается символически так: lim (или f ( 0), где f ( ) = 0 ); второй предел, называемый односторонним правым пределом, символически обозначается так: 5 5 lim (или f (+ 0), где f ( ) = + 0 ) Найдем односторонние пределы: 5 5 ( 0) lim = = = (+ 0) lim = = = Мы видим, что односторонние пределы бесконечны, причем левый предел отличен от правого Вывод: заданный предел не существует Рассмотрим несколько подробнее отношение дроби 0 Оценим это отношение с точки зрения предела переменной Рассмотрим дробь, когда 0 Найдем значения односторонних пределов: пусть 0 слева, те оставаясь меньше нуля Рассмотрим последовательность значений х, стремящихся к 0, оставаясь меньше нуля, например, значения: 0,; 0,0; 0,00 и тд Значения рассматриваемой дроби в указанных точках соответственно будут равны 0; 00; 000 и тд, те значение дроби стремится к По аналогии, если взять значения х, стремящиеся к 0 справа от т х = 0 (те точки 0,; 0,0; 0,00 и тд), то значениями дроби в указанных точках будут соответственно равны 0; 00; 000 и тд, те значение дроби при 0 равно + Этим и объясняются значения односторонних пределов в приведенном примере Рассмотрим случай, когда числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю при стремлении х к фиксированной точке, например, к или и тд Пример Найти предел lim В приведенном примере предел числителя существует и равен 0; предел знаменателя существует и тоже равен нулю Значит, применить теорему о пределе частного нельзя Однако если осуществить предельный переход после некоторых преобразований, то в некоторых случаях мы можем вычислить пределы отношения некоторых переменных величин Такие пределы называются неопределенностями вида 0 0 Для обозначения полученной неопределенности и других видов 0 неопределенностей введем следующую символику:,, и тд 0

13 Пример 4 Найти предел: 0 ( ) ( + + ) lim = lim = lim ( + + ) = 0 Найдем пределы, содержащие иррациональные выражения Пример 5 0 ( ) ( + ) lim = lim = 0 ( ) ( + ) = lim = lim = ( ) ( + ) + Пример 6 Пример 7 lim 0 ( ) ( + + ) lim = lim = 0 ( ) ( + + ) = lim = lim = ( ) ( + + ) ( ) ( + + ) ( + ) = lim = 0 ( ) ( + ) ( + + ) ( ) ( + ) + = lim = lim = ( ) ( + + ) + + К неопределенностям относятся также отношения двух переменных, пределы которых стремятся к бесконечности при х, стремящемуся к конечному или бесконечному пределу Неопределенности вида 5 Пример 8 Найти предел: lim 0 Числитель и знаменатель заданной дроби, каждая в отдельности, стремятся к бесконечности Однако предел заданного отношения есть конкретная величина Действительно, разделив числитель и знаменатель заданной дроби на х, получим: 5 5 lim lim lim lim = = = = lim 0 Пример 9 Найти предел: 6 lim 5

14 Данный предел также представляет неопределенность вида Для вычисления указанного предела разделим числитель и знаменатель заданной дроби на х : 6 5 lim lim = = К неопределенностям также относятся пределы от разности функций f () ϕ (), каждая из которых стремится к бесконечности при стремлении х к конечному или бесконечному пределу 4 + Пример 0 lim lim = 8 8 Предел числителя полученной дроби есть конечное число, а предел знаменателя равен нулю Вывод: данный предел не существует Решим вопросы существования односторонних пределов: + ( + ) + ( + ) lim = lim = lim = ; 8 ( +) ( ) + ( ) 8 6+ lim = lim = lim = ( ) lim Пример Найти предел ( ) ( + + ) ( )( ) ( )( ) = lim = = lim = = 5 К неопределенностям также относятся пределы от функции [ f ()] ϕ ( ), где пределы функций f() и ϕ(), когда х стремится к конечному или бесконечному пределу, равны соответственно и ; и 0; 0 и 0: ; 0 ; 0 0 ; 0

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ВАСИЛЬЕВ ВВ, ЛАНОВАЯ АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Подробнее

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 7 Предел функции СОДЕРЖАНИЕ: Предел функции в точке Предел функции на бесконечности Основные теоремы о пределах функций Бесконечно

Подробнее

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии. ЛЕКЦИЯ Числовые последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Основные свойства бесконечно малых последовательностей Числовые последовательности Если каждому из множества

Подробнее

1. Понятие числовой последовательности

1. Понятие числовой последовательности Понятие числовой последовательности В курсе математического анализа изучаются переменные величины и зависимость между ними Простейшими переменными величинами являются числовые последовательности Определение

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

Подробнее

ограниченные последовательности сходящиеся последовательности ательнос

ограниченные последовательности сходящиеся последовательности ательнос ограниченные последовательности Вычисление пределов числовых последовательностей Рассмотренные нами вопросы о числовых последовательностях содержат основные понятия и некоторые сведения о структуре множества

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

{ предел последовательности - число e - оценка предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы первый и

{ предел последовательности - число e - оценка предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы первый и { предел последовательности - число e - оценка предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы первый и второй бесконечно малые величины и их свойства - сравнение

Подробнее

Введение в математический анализ. Теория пределов

Введение в математический анализ. Теория пределов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства Вопрос. Неравенства, система линейных неравенств Рассмотрим выражения, которые содержат знак неравенства и переменную:. >, - +х -это линейные неравенств с одной переменной х.. 0 - квадратное неравенство.

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности Математический анализ (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности 1 Предварительные сведения о действительных (вещественных) числах Рациональное число m Q, m, -целые числа.

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия 35 Глава 2 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1 Основные понятия Пусть D некоторое множество чисел Если задан закон, по которому каждому числу из множества D ставится в

Подробнее

Лекция 1. Последовательности

Лекция 1. Последовательности С А Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция 1 Последовательности 1 Понятие последовательности Мы будем рассматривать только бесконечные числовые последовательности Начнем с формального определения этого объекта

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ Найти область определения D и множество значений Е функции y Р е ш е н и е Функция y определена если те если Поэтому областью определения функции является множество f ; D R Поскольку

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики ФУНКЦИЯ И ЕЕ

Подробнее

1. Рекуррентный способ Выпишите первые десять членов последовательности, заданной рекуррентно. 10) а 1 = 2, 7) а 1 = 1, a = a + 1

1. Рекуррентный способ Выпишите первые десять членов последовательности, заданной рекуррентно. 10) а 1 = 2, 7) а 1 = 1, a = a + 1 Глава 0 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Алгоритмы А- Задание числовых последовательностей А- Арифметическая прогрессия А- Геометрическая прогрессия А- Суммирование А-5 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли . Предел функции. Актуальность изучения темы Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе, позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении аргумента. С помощью

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел 1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел (1) следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого задается как функция

Подробнее

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Тема ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Число А называется пределом функции у=f), при х стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого числа ε>, найдется такое положительное числоs, что при всех >S, выполняется

Подробнее

lim f x f x используя обозначения приращений. 0 (2).

lim f x f x используя обозначения приращений. 0 (2). Лекция подготовлена доц Мусиной МВ Непрерывность функции Пусть функция y = f(x) определена в точке x и в некоторой окрестности этой точки Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x, если существует

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Глава ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Функция, определенная на множестве натуральных чисел N и принимающая числовые значения, называется числовой последовательностью или просто последовательностью

Подробнее

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Q и действительные R числа Натуральные и целые числа

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1 Глава 1 Основы алгебры Числовые множества Рассмотрим основные числовые множества. Множество натуральных чисел N включает числа вида 1, 2, 3 и т. д., которые используются для счета предметов. Множество

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие Российский Университет Дружбы Народов Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды Учебно-методическое пособие Москва 205 Аннотация Учебное пособие знакомит студентов с основными понятиями, методами доказательств

Подробнее

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 6 Предел числовой последовательности СОДЕРЖАНИЕ: Предельный переход в неравенствах Подпоследовательности Фундаментальные последовательности

Подробнее

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта: СПРАВОЧНИК Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:,,,,, Натуральные числа образуют множество, называемое множеством натуральных чисел Множество

Подробнее

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана Лекция 6 Определенный интеграл Римана Аннотация: Отмечается что кроме интеграла Римана существуют и другие интегралы Рассматриваются свойства определенного интеграла Понятие определенного интеграла настолько

Подробнее

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними Глава 8 Функции и графики Переменные и зависимости между ними. Две величины и называются прямо пропорциональными, если их отношение постоянно, т. е. если =, где постоянное число, не меняющееся с изменением

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ Методическое пособие для студентов вузов

ПРЕДЕЛЫ Методическое пособие для студентов вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики и кибернетики Кафедра теории вероятностей и математической статистики ПРЕДЕЛЫ Методическое

Подробнее

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

1., 2., 3., где а, d постоянные числа.

1., 2., 3., где а, d постоянные числа. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ 09.03.2013 Предел функции Математический анализ (лекция 4) 09.03.2013 2 / 49 Предел функции Определение Число A называется пределом функции y = f (x) при x, стремящемся к бесконечности,

Подробнее

3 1 Последовательности и их свойства

3 1 Последовательности и их свойства Глава 3 Предел 3 1 ПОНЯТИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ последовательности Последовательности представляют собой особый класс функций, для которых областью определения является множество натуральных чисел. В этой

Подробнее

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim Òåîðåìû î ïðåäåëàõ Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Основные теоремы о пределах. Предел числовой последовательности. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Экспонента. Натуральный логарифм.

Подробнее

Математический анализ. Введение [1,3,4]

Математический анализ. Введение [1,3,4] I Краткие исторические сведения Математический анализ Введение [1,3,4] Математический анализ часть математики, в которой изучаются функции и их обобщения методами теории пределов Поскольку понятие предела

Подробнее

Тема: Числовые последовательности

Тема: Числовые последовательности Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Числовые последовательности (основные определения, предел последовательности, свойства сходящихся последовательностей) Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г.

Подробнее

9. Некоторые следствия из свойств полноты

9. Некоторые следствия из свойств полноты 9. Некоторые следствия из свойств полноты Начнем с понятия, которое нам уже знакомо (как минимум в примерах). Речь идет о понятии подпоследовтаельности. Именно, пусть у нас есть последовательность {x n

Подробнее

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида . Радиус сходимости Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () где c 0, c, c 2,..., c,... C называются коэффициентами степенного

Подробнее

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

Подробнее

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v 6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Подробнее

Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины

Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины Случайные величины Дискретная и непрерывная случайные величины Наряду с понятием случайного события в теории вероятности используется другое более удобное понятие случайной величины Случайной величиной

Подробнее

( ) f сходится к A. Лекция 6. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

( ) f сходится к A. Лекция 6. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Лекция 6. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. Определение предела функции по Гейне и по Коши.. Односторонние пределы функции. 3. Бесконечные пределы. 4. Критерий Коши существования предела.. Определение предела функции по

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè

Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Знакочередующийся ряд. Признак сходимости Лейбница. Знакопеременный ряд. Абсолютная и условная сходимости. Общий комплексный ряд. Теорема

Подробнее

Математика 8 класс Многочлены

Математика 8 класс Многочлены МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Подробнее

Сазонов Д.О. Методические упражнения с решениями и теоремы с доказательством для курса средней школы «Функции и пределы»

Сазонов Д.О.   Методические упражнения с решениями и теоремы с доказательством для курса средней школы «Функции и пределы» Кафедра информатики и методики преподавания математики ВГПУ Сазонов Д.О. E-mail: imul@vspu.ac.ru Методические упражнения с решениями и теоремы с доказательством для курса средней школы «Функции и пределы»..

Подробнее

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Лекция МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Монотонные последовательности Теорема Вейерштрасса Число e Принцип выбора 4 Фундаментальные последовательности Критерий Коши Теорема о вложенных отрезках Определение

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости ГЛАВА УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В этой главе исследуется устойчивость самого простого класса дифференциальных систем линейных систем В частности, устанавливается, что для линейных систем с постоянными

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ

Подробнее

Лекция 1 (13 января 2017)

Лекция 1 (13 января 2017) КОНСПЕКТ ЛЕКТОРА математический анализ, курс, 2 семестр, 207, А.М. Красносельский Числовые ряды Лекция (3 января 207) Рассмотрим последовательность R и напишем «бесконечную сумму»: a k a + a 2 +... + a

Подробнее

Лабораторная работа 5 Предел последовательности: определение, свойства

Лабораторная работа 5 Предел последовательности: определение, свойства Лабораторная работа 5 Предел последовательности: определение, свойства Необходимые понятия и теоремы: определение числовой последовательности, ограниченные и неограниченные последовательности, монотонные

Подробнее

Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов ПРЕДЕЛЫ

Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов ПРЕДЕЛЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. Определение 3. Комплексное число. называются равными ( ) тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: и.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. Определение 3. Комплексное число. называются равными ( ) тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: и. 1 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Комплексные числа в алгебраической форме 1Основные понятия Определение 1 Комплексным числом в алгебраической форме называется выражение вида, где и действительные числа, а так называемая

Подробнее

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции»

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции» МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

1.Последовательности комплексных чисел. Предел.

1.Последовательности комплексных чисел. Предел. ЛЕКЦИЯ N33. Функции комплексного переменного. Пределы. Непрерывность. Элементарные функции. Дифференцирование ФКП. Свойства производных. 1.Последовательности комплексных чисел. Предел.... 1.Ограниченные

Подробнее

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция. Понятие множества. Определение функции основные свойства. Основные элементарные функции СОДЕРЖАНИЕ: Элементы теории множеств Множество вещественных чисел Числовая

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

7{8. Построение действительных чисел (продолжение)

7{8. Построение действительных чисел (продолжение) 7{8. Построение действительных чисел (продолжение) Теперь мы в состоянии определить деление действительных чисел. Для этого достаточно определить обратное к ненулевому числу. Всякое ненулевое действительное

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее