Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов ПРЕДЕЛЫ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов ПРЕДЕЛЫ"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов ПРЕДЕЛЫ Методические указания и контрольные задания к выполнению практических и самостоятельных работ по дисциплине «Математический анализ» для студентов направления 8 «Экономика» очной формы обучения Курган

2 Кафедра: «Экономическая теория и моделирование экономических процессов» Дисциплина: «Математический анализ» (направление 8) Составила: канд. пед. наук, доц. Т.И. Исакова Методические указания утверждены на заседании кафедры февраля г. Рекомендованы методическим советом университета марта г.

3 СОДЕРЖАНИЕ Введение.4 Предел функции в точке и на бесконечности..4 Ограниченные функции, их связь с функциями, имеющими пределы.5 Бесконечно большие и бесконечно малые функции, связь между ними..5 4 Теоремы о пределах 6 5 Замечательные пределы.7 6 Односторонние пределы и непрерывные функции.7 7 Типы неопределенностей и способы их раскрытия 8 8 Варианты заданий. Список литературы..8

4 ВВЕДЕНИЕ Методические указания и контрольные задания к выполнению практических и самостоятельных работ составлены в соответствии с программой по курсу «Математический анализ» для студентов направления 8 «Экономика» очной формы обучения. В задания включены типовые примеры и задачи, для выполнения которых нужно знать основные понятия, определения, формулы из раздела математического анализа «Пределы». Составленные задачи охватывают все основные вопросы изучаемого курса. Предел функции в точке и на бесконечности Пусть функция y f( ) определена в некоторой окрестности точки. Предположим, что независимая переменная неограниченно приближается к числу. Это означает, что мы можем придавать значения сколь угодно близкие к, но не равные. Будем обозначать это так:. Для таких найдем соответствующие значения функции. Может случиться, что значения f ( ) также неограниченно приближаются к некоторому числу b.тогда говорят, что число b есть предел функции f ( ) при. Функция y f( ) стремится к пределу b при, если для каждого положительного числа, как бы мало оно ни было, можно указать такое положительное число, что при всех из области определения функции, удовлетворяющих неравенству -, имеет место неравенство f ( )- b <. Если b есть предел функции f ( ) при, то пишут lim f ( ) b. Будем говорить, что переменная стремится к бесконечности, если для каждого заранее заданного положительного числа М (оно может быть сколь угодно большим) можно указать такое значение, начиная с которого все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству М. Переменная величина, если при произвольном M все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют неравенству M. Аналогично, если при любом M M. Будем говорить, что функция f ( ) стремится к пределу b при, если для произвольного малого положительного числа можно указать такое 4

5 положительное число М, что для всех значений, удовлетворяющих неравенству М, выполняется неравенство f ( )- b <. Ограниченные функции, их связь с функциями, имеющими пределы Пусть задана функция y f( ), определенная на некотором множестве D значений аргумента. Функция y f( ) называется ограниченной на множестве D, если существует положительное число М такое, что для всех значений из рассматриваемого множества выполняется неравенство f( ) М. Если же такого числа М не существует, то функция y f( ) называется неограниченной на множестве D. Функция y f( ) называется ограниченной при, если существует окрестность с центром в точке, в которой функция ограничена. Функция y f( ) называется ограниченной при, если найдется такое число N, что при всех значениях, удовлетворяющих неравенству N, функция y f( ) ограничена. Теорема. Если lim f ( ) b и b конечное число, то функция f ( ) ограничена при значениях. Бесконечно большие и бесконечно малые функции, связь между ними Функция f ( ) стремится к бесконечности при, то есть является бесконечно большой величиной, если для любого числа М, как бы велико оно ни было, можно найти такое, что для всех значений, удовлетворяющих условию -, имеет место неравенство f( ) М (обозначается lim f( ) ). Если f ( ) стремится к бесконечности при и при этом принимает только положительные или только отрицательные значения, соответственно пишут или lim f( ) функции при. lim f( ). Аналогично дается определение бесконечно большой 5

6 Функция y f( ) называется бесконечно малой при или при, если lim f( ) или lim f( ), то есть бесконечно малая функция это функция, предел которой в данной точке равен нулю. Теорема Если функция f ( ) является бесконечно большой при, то функция / f ( ) является бесконечно малой при. Теорема (обратная к теореме ) Если функция f ( ) - бесконечно малая при (или ) и не обращается в нуль, то / f ( ) является бесконечно большой функцией. 4 Теоремы о пределах Теорема Функция не может иметь более одного предела. Пусть f ( ) и g( ) - функции, для которых существуют пределы при (или ): lim ( ) ( ) f A, lim ( ) ( ) g B Теорема Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих. функций, то есть lim ( ) ( ) ( ) f g AB Теорема Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций: lim f ( ) g( ) AB ( ) Следствие Постоянный множитель можно выносить за знак предела: lim Cf ( ) C lim f ( ) C A ( ) ( ) Следствие Предел степени равен степени предела: lim f ( ) n ( ) = lim f( ) ( ). n = A n. Теорема 4 Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, то есть ( ) lim A ( ). ( ) g ( ) B lim f ( u) A и lim ( uu ) u lim f ( ) A. Теорема 5 Если функции.., то предел сложной 6

7 Теорема 6 Если в некоторой окрестности точки (или при достаточно больших ) f ( ) g( ), то. 5 Замечательные пределы lim f ( ) lim g( ) ( ) ( ) К замечательным пределам относятся: замечательный предел) и замечательный предел). sin lim lim lim e (первый (второй Следствия из первого замечательного предела: lim sin arcsin lim. 6 Односторонние пределы и непрерывные функции До сих пор мы рассматривали определение предела функции, когда произвольным образом, то есть предел функции не зависел от того, как располагалось по отношению к, слева или справа от этого параметра. Однако довольно часто можно встретить функции, которые не имеют предела при этом условии, но они имеют предел, если, оставаясь с одной стороны от - слева или справа (рисунок ). Поэтому вводят понятия односторонних пределов. Если y f( ) стремится к пределу b при, стремящемся к некоторому числу так, что принимает только значения, меньшие, то пишут и называют b пределом функции y f( ) в точке слева: lim f ( ) b. Если y f( ) стремится к пределу b при, стремящемся к некоторому числу так, что принимает только значения, большие, то пишут и называют b пределом функции y f( ) в точке справа: lim f ( ) b., 7

8 Функция y f( ) Рисунок, если она называется непрерывной в точке определена в точке и некоторой ее окрестности, и выполняется следующее условие: lim f ( ) lim f( ) lim f( ) f( ). Функция y f( ) называется непрерывной в некоторой области D, если она непрерывна в любой точке этой области. 7 Типы неопределенностей и способы их раскрытия Часто при вычислении пределов какой-либо функции непосредственное применение теорем о пределах не приводит к желаемой цели. Так, например, нельзя применять теорему о пределе дроби, если ее знаменатель стремится к нулю. Поэтому часто прежде, чем применять эти теоремы, необходимо тождественно преобразовать функцию, предел которой мы ищем. Условные выражения,, -,,,, характеризуют типы неопределенностей и применяются для обозначения переменных величин, при вычислении предела которых нельзя сразу применять общие свойства пределов. Для раскрытия неопределенности вида в случае, когда функция, стоящая под знаком предела, рациональна, полезно разложить на множители числитель и знаменатель дроби с тем, чтобы сократить общие множители. Пример lim lim lim. 8

9 Для раскрытия неопределенности вида в случае, когда функция, стоящая под знаком предела, содержит выражение с радикалами, можно разделить и умножить функцию на выражение, сопряженное к выражению с радикалами. Пример lim lim 7 7 lim 7 7 lim lim lim Пример 9 4 lim lim lim lim lim Для раскрытия неопределенности вида в случае, когда функция, стоящая под знаком предела, содержит тригонометрические функции, можно воспользоваться первым замечательным пределом. 9

10 Пример 4 sin sin sin lim lim lim. Пример 5 sin 4 sin lim lim sin5 sin5 54 sin lim lim lim lim. 4 sin Пример 6 sin 4 tg 4 cos4 sin 4 lim lim lim cos4 4sin4 sin lim lim lim lim. cos Пример 7 arcsin arcsin lim lim. Для раскрытия неопределенности вида в случае, когда функция, стоящая под знаком предела, рациональна, причем числитель и знаменатель ее представляют собой многочлены от переменной предела, можно воспользоваться приемом почленного деления числителя и знаменателя на старшую степень переменной.

11 Пример lim lim lim ( здесь старшая степень переменной ). 4 Вообще n n, n m, a b... kl a b... k l, n m. Для раскрытия неопределенности вида lim a/ a, n m, m m исходный предел ко второму замечательному пределу. Пример lim lim lim lim e e 6. 5 Пример 7 5 lim lim lim 5 lim e e. 5 необходимо преобразовать

12 или Неопределенность необходимо свести к неопределенности. Пример sin cos lim sin ctg lim sin sin sin lim cos lim lim lim lim sin sin lim. Пример e cos e cos lim lim при при e ~ cos ~ lim lim lim lim. e cos lim lim Пример ln ln ln ln ln e e lim lim lim e lim e e e e e e e e e при e ln e e e lim lim e. e e e e e e e e ln ~ e e

13 8 Варианты заданий Вариант cos( ) ) lim ) lim 5 4) lim 4 4 5) lim tg 6) lim sin 7) lim n 8) lim sin. n n n Вариант ) lim (cos ) 6 ) lim 44 4) lim n 5) lim sin sin a 6) lim a a sine ln 8) lim n n n sinn n.

14 Вариант nn nn ) lim n ) lim 4) lim Вариант ) lim ) lim 4 4) lim tgsin 5) lim a a e e 6) lim ln tg sin 8) lim 4. sin 5) lim cos lnln 6) lim 7) lim a a

15 Вариант ) lim 44 ) lim tg 4) lim sin 5) lim cos cos 6) lim e sin sin Вариант 6 n ) lim n n ) lim 4) lim tg tg 5) lim 4 sinasina 6) lim ln ln 4 8) lim. 5

16 Вариант n n ) lim n n n n n ) lim n n... n 4) lim n n cos 5) lim tg 4 6) lim arcsin e sin 4 sin8 Вариант ) lim 5 ) lim ) lim 4 6) lim sin e ln sin tg 4) lim cos 6

17 Вариант ) lim 4 ) lim 8 4) lim cos 5) lim e 6) lim sin ln sin cos Вариант 4 5 ) lim ) lim sin 4) lim cos 54 5) lim 6 6) lim e cos n n n 7

18 Вариант 54 5 ) lim coscos ) lim 8 cos ec 4) lim tg cos 5) lim ln ln 6) lim 5 4 х 4х х 5 Вариант х 8х х 5 х ) lim 58 ) lim n n n 5) lim 6) lim 5 4 ln ln 4) lim tg 8) lim tg tg. 8

19 Вариант 4 6 х х n n ) lim 4 n n n n ) lim a a cosmcos n 4) lim 5) lim 6) lim sin ln arcsin 5 8 Вариант 4 4 х 5 4х 5 х 5) lim tgctg ) lim cos ) lim 5 6) lim arcsin 7) lim ln 4 4) lim

20 Вариант 5 4 ) lim tg e ) lim 5 4) lim 8 4 5) lim 6) lim a a a a arcsin 4 8 sin х Вариант ) lim 5 8 ) lim 4) lim 4 tg 4 8 5) lim ln 6) lim e e lncos 4 cos 8) lim. х e

21 Вариант 7 х 5 х a a 5 e e ) lim 5 ) lim 5) lim cos 6) lim tg cos tg sin sin sin/ 4) lim n n n Вариант 8 sin 5 5) lim cos 54 ) lim 5 ) lim 6) lim ln cos ln cos 4) lim sin 4 х

22 Вариант х 8х х 5 х sin 8n 5) lim n 8n tg tg ) lim sin n n ) lim n n 4) lim 6) lim 4 ln Вариант 4 6 х х e e 5) lim 5 tg 5 ) lim sin 6) lim 5 ) lim cos 4) lim n n 4n n

23 Вариант 5 4 5х 5 х х e e ) lim sin 5) lim cos ) lim 5 4) lim 5 Вариант 6) lim e 5 n n n... n 4 х 5 х 4х 5 cos sin ) lim 4 4 n n5 ) lim n n 4) lim 5 a 5) lim a 6) lim sin 4 4

24 Вариант х х х sin ) lim arctg e e ) lim 4) lim 5 Вариант 4 7 х 4 х 8 х 5 ) lim 5) lim 4 4 6) lim 5 cos4cos arcsin 6 8 ln 5) lim sin5 n n5 6) lim n n ) lim 64 4) lim 4 sin tg 4 5 cos 4

25 Вариант х х 5 4 ) lim cosacosb ) lim n 4) lim sin n n 7n n ln a ln a 5) lim 7 6) lim ln cos ln 5 Вариант ) lim 4 ) lim 4 4 4) lim n tg 5) lim 4 ln 6) lim tg sin arctg х sin 4sin 5

26 Вариант х х 5 ) lim 4 ) lim 8... n 4) lim n n 5) lim 4 5 6) lim ln cos 4 n 8) lim sin. n n n Вариант х 8х х 5 х 5) lim tgctg n ) lim n n ) lim 6) lim cos tg sin sin tg 4) lim cos 8) lim n n n sinn n. 6

27 Вариант х 5 х n n ) lim n n n coscos ) lim 5 4) lim 8 cos 5) lim 6) lim 5 ln cos ln cos 8) lim 4. Вариант ) lim e e 5) lim n n5 6) lim n n n ) lim n n ln cosec 4) lim tg 4 cos х e 7

28 Список литературы Ахтямов, А. М. Математика для социологов и экономистов [Текст] / А. М. Ахтямов. -изд., перераб. и доп. М. : Физматлит, 8. Высшая математика для экономистов [Текст] : учебник / под ред. Н. Ш. Кремера. М. : Банки и биржи, ЮНИТИ-ДАНА, 6. Высшая математика для экономистов [Текст] : практикум / под ред. Н. Ш. Кремера. М. : ЮНИТИ-ДАНА, 7. 4 Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах [Текст]. В ч. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. М. : Высшая школа,. 5 Ильин, В. А. Математический анализ [Текст] / В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов под ред. А. Н. Тихонова. -е изд., перераб. и доп. М. : Проспект, 6. 6 Ильин, В. А. Основы математического анализа [Текст]. В ч. / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. М. : Физматлит, 5. 7 Карасев, А. И. Курс высшей математики для экономических вузов [Текст] / А. И. Карасев. М. : Высшая школа, 6. 8 Красс, М. С. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании [Текст] / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов. М. : Дело,. 9 Кремер, Н. Ш. Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики [Текст]. Ч., / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин под ред. Н. Ш. Кремера. М. : Высшее образование, 7. Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа [Текст]. Т., / Л. Д. Кудрявцев. М. : Высшая школа, 7. Натансон, И. П. Краткий курс высшей математики [Текст] / И. П. Натансон. М. : Физматгиз, 6. 8

29 Исакова Татьяна Игоревна ПРЕДЕЛЫ Методические указания и контрольные задания к выполнению практических и самостоятельных работ по дисциплине «Математический анализ» для студентов направления 8 «Экономика» очной формы обучения Редактор А.С. Мокина Подписано в печать Формат 6х84 /6 Бумага тип. Печать трафаретная Усл. печ. л.,8 Уч.-изд. л.,8 Заказ Тираж 7 Цена свободная РИЦ Курганского государственного университета , г. Курган, ул. Гоголя, 5. Курганский государственный университет. 9


МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Министерство образования и науки Российской Федерации Курганский государственный университет Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Подробнее

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ВАСИЛЬЕВ ВВ, ЛАНОВАЯ АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Подробнее

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические

Подробнее

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики ФУНКЦИЯ И ЕЕ

Подробнее

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

ПОДГОТОВКА К ТЕСТИРОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПОДГОТОВКА К ТЕСТИРОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ РОСЖЕЛДОР Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Ростовский государственный университет путей сообщения» ФГБОУ ВО РГУПС ЕВ Пиневич, ВА Липович, ИС Стасюк

Подробнее

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Тема ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Число А называется пределом функции у=f), при х стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого числа ε>, найдется такое положительное числоs, что при всех >S, выполняется

Подробнее

Предел и непрерывность функции одной переменной

Предел и непрерывность функции одной переменной Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии МЕЧанга Предел и непрерывность функции одной переменной Рекомендовано учебно-методическим

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,...

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,... Предел функции. Предел числовой последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто числовой последовательностью называется функция f f (, определенная на множестве всех

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли . Предел функции. Актуальность изучения темы Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе, позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении аргумента. С помощью

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ 09.03.2013 Предел функции Математический анализ (лекция 4) 09.03.2013 2 / 49 Предел функции Определение Число A называется пределом функции y = f (x) при x, стремящемся к бесконечности,

Подробнее

Предел функции. Математический анализ (лекция 4) / 49

Предел функции. Математический анализ (лекция 4) / 49 Предел функции Математический анализ (лекция 4) 09.03.2013 2 / 49 Предел функции Определение Число A называется пределом функции y = f (x) при x, стремящемся к бесконечности, если для любого сколь угодно

Подробнее

Математический анализ Лекция 5. Математический анализ, Лекция 5 1 / 16

Математический анализ Лекция 5. Математический анализ, Лекция 5 1 / 16 Математический анализ Лекция 5 Математический анализ, Лекция 5 1 / 16 Общие свойства пределов Математический анализ, Лекция 5 2 / 16 Общие свойства пределов Теорема (локальная ограниченность функции) Математический

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

3. Бесконечно большие функции

3. Бесконечно большие функции 3 Бесконечно большие функции Пусть функция f ( определена в некоторой окрестности точки R, кроме, может быть, самой точки ОПРЕДЕЛЕНИЕ (на языке ε δ Функцию f ( называют бесконечно большой при (в точке

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

Подробнее

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и Студент должен знать: определение предела функции; свойства пределов; понятие бесконечно малых функций; понятие ограниченных и бесконечно больших функций; определение непрерывности функции в точке; сравнение

Подробнее

Практикум по курсу математического анализа

Практикум по курсу математического анализа ЯА Барлукова, СФ Долбеева Практикум по курсу математического анализа Часть II Улан- Удэ Министерство образования Российской Федерации Бурятский государственный университет ЯА Барлукова СФ Долбеева ПРАКТИКУМ

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

Семинар 1 Введение в анализ. Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 3. Функции чётные и нечётные; периодические функции.

Семинар 1 Введение в анализ. Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 3. Функции чётные и нечётные; периодические функции. Семинар 1 Введение в анализ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Функция, области определения, способ задания. 2. Понятие сложной и обратной функции. 3. Функции чётные и нечётные; периодические

Подробнее

Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов

Сборник задач для самостоятельного решения по теме Предел функции Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов ББК В 65я73-4 С 3 УДК 57 Учебное издание Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: АН Максименко, АН Морозов Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел

Подробнее

Содержание. Введение...1 Условия контрольных работ Решение контрольной работы Рекомендуемая литература..22

Содержание. Введение...1 Условия контрольных работ Решение контрольной работы Рекомендуемая литература..22 Содержание Введение... Условия контрольных работ - -9.. Решение контрольной работы -0.... 7 Рекомендуемая литература.. Введение Для решения контрольной работы надо владеть символикой суммы, произведения,

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ Методическое пособие для студентов вузов

ПРЕДЕЛЫ Методическое пособие для студентов вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики и кибернетики Кафедра теории вероятностей и математической статистики ПРЕДЕЛЫ Методическое

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В.Н.Думачев С.А.Телкова МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие Воронеж - 06 ББК. Д8 Рассмотрено и одобрен на заседании кафедры математики и моделирования систем. Протокол от.09.06. Рассмотрен

Подробнее

Математический анализ Модуль 2. Пределы и непрерывность функций одной переменной Лекция 2.2

Математический анализ Модуль 2. Пределы и непрерывность функций одной переменной Лекция 2.2 Математический анализ Модуль 2. Пределы и непрерывность функций одной переменной Лекция 2.2 Аннотация Общие свойства пределов. Первый замечательный предел и его следствия. Второй замечательный предел и

Подробнее

Лекция 3, 4. Будем считать, что область задания функции f (x) } значений аргумента функции f ( x n ) значений функции сходится к b.

Лекция 3, 4. Будем считать, что область задания функции f (x) } значений аргумента функции f ( x n ) значений функции сходится к b. Лекция 3, 4 Предельное значение функции при, + и Будем считать, что область задания функции f ( имеет хотя бы один элемент, лежащий вне отрезка [ A, A], для любого положительного числа A. Определение (по

Подробнее

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 7 Предел функции СОДЕРЖАНИЕ: Предел функции в точке Предел функции на бесконечности Основные теоремы о пределах функций Бесконечно

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Подробнее

Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения.

Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения. Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения Цель: сформировать умение находить производные функций, заданных в явном, логарифмическом и параметрическом

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ Т Ю Альпин, А И Егоров, П Е Кашаргин, С В Сушков ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть I: Комплексные числа Предел функции Казань 013 Печатается

Подробнее

5. Предел функции. ( ε > 0 δ > 0 x (a δ, a + δ), x a) f(x) l < ε. или так:

5. Предел функции. ( ε > 0 δ > 0 x (a δ, a + δ), x a) f(x) l < ε. или так: 5. Предел функции Определение. Точку p R называют предельной точкой (или точкой сгущения) множества X R, для любого r > 0 существует отличная от p точка x X такая, что x p < r. Говорят, что + (соответственно

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Первый замечательный предел. Тригонометрические неопределенности. S (1).

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Первый замечательный предел. Тригонометрические неопределенности. S (1). Первый замечательный предел. Тригонометрические неопределенности. При вычислении пределов функций, которые содержат тригонометрические выражения часто используют предел: Это первый замечательный предел.

Подробнее

ПРАКТИКА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ

ПРАКТИКА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство сельского хозяйства Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанская государственная академия ветеринарной

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»

Федеральное агентство по образованию. Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Методы вычисления пределов Методические указания к решению задач Санкт-Петербург Издательство

Подробнее

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского Центр Дистанционного

Подробнее

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (РГГУ) Филиал в г Домодедово

Подробнее

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций Лекция 5 Производные основных элементарных функций Аннотация: Даются физическая и геометрическая интерпретации производной функции одной переменной Рассматриваются примеры дифференцирования функции и правила

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

Ответы к заданию

Ответы к заданию Ответы к заданию.. понятия одного аргумента.. Основные элементарные.. элементарных функций.4. предела f в точке. х Х Если каждому элементу х из множества Х поставлен в соответствие определенный элемент

Подробнее

Типовой расчёт 1 Пределы числовых последовательностей и функций.

Типовой расчёт 1 Пределы числовых последовательностей и функций. Типовой расчёт Пределы числовых последовательностей и функций Образец выполнения типового расчѐта Задание Найти пределы числовых последовательностей, или установить их ( ) ( a ) : ; ; ; ; ; ; 8 Данную

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА ГОУВПО КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА Учебно-методическое

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Математический анализ Раздел: Введение в анализ. Предел функции

Математический анализ Раздел: Введение в анализ. Предел функции Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Предел функции односторонние пределы, замечательные пределы, сравнение бесконечно малых и бесконечно больших Лектор Пахомова Е.Г. 22 г. 4. Односторонние

Подробнее

Тема: Пределы. Краткие теоретические сведения. Непосредственное вычисление пределов.

Тема: Пределы. Краткие теоретические сведения. Непосредственное вычисление пределов. Тема: Пределы Краткие теоретические сведения Непосредственное вычисление пределов si Первый замечательный предел: Второй замечательный предел: ( ) 5 5 5 9 si si cos cos si si 5 5 9 6 6 6 8 8 si si 5 5

Подробнее

7. Предел. x x. lim 1. 1 lim 1. Сравнение бесконечно малых функций. являются бесконечно малыми при х а.

7. Предел. x x. lim 1. 1 lim 1. Сравнение бесконечно малых функций. являются бесконечно малыми при х а. 7. Предел 6. 1. Основные формулы для решения задач Первый замечательный предел sin 1. Второй замечательный предел 1 1 e. Следствия замечательных пределов 1.. 3. 4. 5. 6. arcsin 1. loga 1 1 loga e. ln a

Подробнее

1.4. Предел функции Нахождение предела функции с использованием замечательных

1.4. Предел функции Нахождение предела функции с использованием замечательных 1.4. Предел функции 4.1. Нахождение предела функции с использованием замечательных пределов. ТЕОРИЯ Определение предельной точки. Точку p R называют предельной точкой (или точкой сгущения) множества X

Подробнее

«Пределы, непрерывность. Производные»

«Пределы, непрерывность. Производные» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Правило Лопиталя. Методические указания для практических занятий. Министерство образования и науки Российской Федерации

Правило Лопиталя. Методические указания для практических занятий. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Курганский государственный университет» Кафедра «Прикладная математика

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «Кемеровская государственная медицинская академия» Министерства здравоохранения Российской Федерации КАФЕДРА медицинской

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

Непрерывность функции. Замечательные пределы. Лекция 2

Непрерывность функции. Замечательные пределы. Лекция 2 Непрерывность функции. Замечательные пределы Лекция 2 1 Определение непрерывности. Теорема о непрерывности суммы, произведения и частного функций Функция y f ( ) называется непрерывной в точке, если она

Подробнее

ОБУЧАЮЩИЙ ТЕСТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

ОБУЧАЮЩИЙ ТЕСТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Т.А. Капитонова ОБУЧАЮЩИЙ ТЕСТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» для студентов, обучающихся по специальности 64 Таможенное дело очной формы обучения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 011/01 учебный год Тема. Пределы, непрерывность, производные 1 Тема: Предел функции 1. Предел функции Пусть f(x) функция, определенная на множестве Х; А и а числа. Опр.

Подробнее

Приложение 1 1. Определение производной Пусть x 1 и x 2 значения аргумента, а y f ) и y f ) - соответствующие значения функции y f (x)

Приложение 1 1. Определение производной Пусть x 1 и x 2 значения аргумента, а y f ) и y f ) - соответствующие значения функции y f (x) Приложение Определение производной Пусть и значения аргумента, а f ) и f ) - ( ( соответствующие значения функции f () Разность называется приращением аргумента, а разность - приращением функции на отрезке,

Подробнее

Тема 37 «Пределы функций»

Тема 37 «Пределы функций» Тема 37 «Пределы функций» «Математический анализ» - серьезный раздел высшей математики. «Анализируют» здесь довольно тонкие моменты: как ведет себя функция не только в целом, в своей области определения

Подробнее

Дифференциал функций Методические указания для практических занятий

Дифференциал функций Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии. ЛЕКЦИЯ Числовые последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Основные свойства бесконечно малых последовательностей Числовые последовательности Если каждому из множества

Подробнее

, где k любое целое число. В таком случае автоматически выполняется и неравенство x 0. Ответ: x [4k. x

, где k любое целое число. В таком случае автоматически выполняется и неравенство x 0. Ответ: x [4k. x Вариант 8 Найти область определения функции : y sin Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и sin Из второго неравенства следует, что должно выполняться неравенство k π k+

Подробнее

Глава 2. Пределы функций одной переменной.

Глава 2. Пределы функций одной переменной. Глава Пределы функций одной переменной Предел переменной величины Определение Постоянное число а называется пределом переменной величины х, если для каждого наперед заданного числа ε > можно указать такое

Подробнее

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия 35 Глава 2 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1 Основные понятия Пусть D некоторое множество чисел Если задан закон, по которому каждому числу из множества D ставится в

Подробнее

А.Н. Филиппов, В.В. Калинин, Т.С. Филиппова

А.Н. Филиппов, В.В. Калинин, Т.С. Филиппова Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПИЩЕВЫХ ПРОИЗВОДСТВ» Кафедра «Высшая и прикладная математика»

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ СПО «ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Практическое пособие по изучению раздела

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ СПО «ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Практическое пособие по изучению раздела ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ СПО «ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Практическое пособие по изучению раздела Теория пределов Составила: Миргородская Ирина Николаевна,

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ПРЕДЕЛЫ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ПРЕДЕЛЫ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ПРЕДЕЛЫ» I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ. Числовые последовательности. Предел последовательности. Свойства пределов последовательности.. Существование предела монотонной ограниченной последовательности.

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л. И. Магазинников, А. Л. Магазинников ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Дифференциальное

Подробнее

1., 2., 3., где а, d постоянные числа.

1., 2., 3., где а, d постоянные числа. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

Подробнее

Предел и непрерывность функции. Методическое пособие

Предел и непрерывность функции. Методическое пособие Санкт-Петербургский государственный университет Т.А. Ефимова Предел и непрерывность функции Методическое пособие Санкт-Петербург 8 Предисловие Методическое пособие предназначено для студентов нематематических

Подробнее

казанский федеральный университет институт физики Кафедра теории относительности и гравитации Т. В. Кропотова, В. Г. Подольский, П. Е.

казанский федеральный университет институт физики Кафедра теории относительности и гравитации Т. В. Кропотова, В. Г. Подольский, П. Е. казанский федеральный университет институт физики Кафедра теории относительности и гравитации Т В Кропотова, В Г Подольский, П Е Кашаргин ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Учебно-методическое

Подробнее

МАТЕМАТИКА 1 LOGO. Тема: Предел функции. Преподаватель доцент ОМИ ШБИП ТПУ, к.ф.-м.н. Бер Людмила Михайловна.

МАТЕМАТИКА 1 LOGO. Тема: Предел функции. Преподаватель доцент ОМИ ШБИП ТПУ, к.ф.-м.н. Бер Людмила Михайловна. LOGO МАТЕМАТИКА 1 Тема: Предел функции Преподаватель доцент ОМИ ШБИП ТПУ, к.ф.-м.н. Бер Людмила Михайловна http://portal.tpu.ru/shared/b/berlm 1 Функции Определение. Если каждому элементу х из множества

Подробнее

Пределы. 1. Предел переменной величины. 1. Понятие о числовой последовательности. Рассмотрим функциональную

Пределы. 1. Предел переменной величины. 1. Понятие о числовой последовательности. Рассмотрим функциональную Пределы 1. Предел переменной величины 1. Понятие о числовой последовательности. Рассмотрим функциональную зависимость y x : x 1 3 4 5 y 1 4 8 16 5 Здесь значениями аргумента x являются натуральные числа,

Подробнее

2 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Множество. Числовые множества.

2 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Множество. Числовые множества. 1 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Множество Числовые множества Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые Под множеством понимается совокупность (набор) некоторых

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный экономический университет кафедра высшей математики

Санкт-Петербургский государственный экономический университет кафедра высшей математики Санкт-Петербургский государственный экономический университет кафедра высшей математики ПРОГРАММА, КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ издательство

Подробнее

Тема: Предел функции. Свойства пределов 1. Предел функции

Тема: Предел функции. Свойства пределов 1. Предел функции Тема: Предел функции. Свойства пределов 1. Предел функции Пусть f(x) функция, определенная на множестве Х; А и а числа. Опр. Число А называется пределом функции f(x) при xa, если >0 такая -окрестность

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» В.А. Давыдкин, Е.Б. Туленко ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 16. Эквивалентные бесконечно малые. Первый и второй замечательные пределы.

ЛЕКЦИЯ 16. Эквивалентные бесконечно малые. Первый и второй замечательные пределы. ЛЕКЦИЯ Эквивалентные бесконечно малые Первый и второй замечательные пределы Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых функций Функция f ( ) называется бесконечно малой в точке a (при a ), если (

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ С.Н. Зиненко Математический анализ Предел и непрерывность функций одной переменной (теория к задачам) 4 Предел функции f( ), при, a нестрого означает, что становится почти равной (стремится, приближается

Подробнее

5 Лекция Бесконечно малые функции Определения и основные теоремы. Функция y = f (x) называется бесконечно малой при x x 0, если

5 Лекция Бесконечно малые функции Определения и основные теоремы. Функция y = f (x) называется бесконечно малой при x x 0, если Бесконечно малые функции Определения и основные теоремы Основные теоремы о пределах Первый замечательный предел 5 Лекция 5 5. Бесконечно малые функции 5.. Определения и основные теоремы Определение 5.

Подробнее

lim lim arctg x~ 1 cos x ~ (1 x) ~1 m Лекция ( ) Предел функции (продолжение) lim f(x) = b, то f(x) = b +

lim lim arctg x~ 1 cos x ~ (1 x) ~1 m Лекция ( ) Предел функции (продолжение) lim f(x) = b, то f(x) = b + Предел функции (продолжение) Лекция (..) Теорема (о связи функции, ее предела и бесконечно малой). Если, где б.м. при a. Доказательство. Пусть б.м. при +. f( = b, то f( = b + f ( = b. Рассмотрим функцию

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

lim f x f x используя обозначения приращений. 0 (2).

lim f x f x используя обозначения приращений. 0 (2). Лекция подготовлена доц Мусиной МВ Непрерывность функции Пусть функция y = f(x) определена в точке x и в некоторой окрестности этой точки Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x, если существует

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x :

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x : СОДЕРЖАНИЕ ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Дифференцирование неявных функций Логарифмическое дифференцирование Производные высших порядков Дифференцирование функции, заданной параметрически 6 Уравнение

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) ТВ БИБИКОВА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ФАКУЛЬТЕТА «ЛОГИСТИКА» ЧАСТЬ ПРОИЗВОДНЫЕ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее