Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов ПРЕДЕЛЫ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов ПРЕДЕЛЫ"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов ПРЕДЕЛЫ Методические указания и контрольные задания к выполнению практических и самостоятельных работ по дисциплине «Математический анализ» для студентов направления 8 «Экономика» очной формы обучения Курган

2 Кафедра: «Экономическая теория и моделирование экономических процессов» Дисциплина: «Математический анализ» (направление 8) Составила: канд. пед. наук, доц. Т.И. Исакова Методические указания утверждены на заседании кафедры февраля г. Рекомендованы методическим советом университета марта г.

3 СОДЕРЖАНИЕ Введение.4 Предел функции в точке и на бесконечности..4 Ограниченные функции, их связь с функциями, имеющими пределы.5 Бесконечно большие и бесконечно малые функции, связь между ними..5 4 Теоремы о пределах 6 5 Замечательные пределы.7 6 Односторонние пределы и непрерывные функции.7 7 Типы неопределенностей и способы их раскрытия 8 8 Варианты заданий. Список литературы..8

4 ВВЕДЕНИЕ Методические указания и контрольные задания к выполнению практических и самостоятельных работ составлены в соответствии с программой по курсу «Математический анализ» для студентов направления 8 «Экономика» очной формы обучения. В задания включены типовые примеры и задачи, для выполнения которых нужно знать основные понятия, определения, формулы из раздела математического анализа «Пределы». Составленные задачи охватывают все основные вопросы изучаемого курса. Предел функции в точке и на бесконечности Пусть функция y f( ) определена в некоторой окрестности точки. Предположим, что независимая переменная неограниченно приближается к числу. Это означает, что мы можем придавать значения сколь угодно близкие к, но не равные. Будем обозначать это так:. Для таких найдем соответствующие значения функции. Может случиться, что значения f ( ) также неограниченно приближаются к некоторому числу b.тогда говорят, что число b есть предел функции f ( ) при. Функция y f( ) стремится к пределу b при, если для каждого положительного числа, как бы мало оно ни было, можно указать такое положительное число, что при всех из области определения функции, удовлетворяющих неравенству -, имеет место неравенство f ( )- b <. Если b есть предел функции f ( ) при, то пишут lim f ( ) b. Будем говорить, что переменная стремится к бесконечности, если для каждого заранее заданного положительного числа М (оно может быть сколь угодно большим) можно указать такое значение, начиная с которого все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству М. Переменная величина, если при произвольном M все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют неравенству M. Аналогично, если при любом M M. Будем говорить, что функция f ( ) стремится к пределу b при, если для произвольного малого положительного числа можно указать такое 4

5 положительное число М, что для всех значений, удовлетворяющих неравенству М, выполняется неравенство f ( )- b <. Ограниченные функции, их связь с функциями, имеющими пределы Пусть задана функция y f( ), определенная на некотором множестве D значений аргумента. Функция y f( ) называется ограниченной на множестве D, если существует положительное число М такое, что для всех значений из рассматриваемого множества выполняется неравенство f( ) М. Если же такого числа М не существует, то функция y f( ) называется неограниченной на множестве D. Функция y f( ) называется ограниченной при, если существует окрестность с центром в точке, в которой функция ограничена. Функция y f( ) называется ограниченной при, если найдется такое число N, что при всех значениях, удовлетворяющих неравенству N, функция y f( ) ограничена. Теорема. Если lim f ( ) b и b конечное число, то функция f ( ) ограничена при значениях. Бесконечно большие и бесконечно малые функции, связь между ними Функция f ( ) стремится к бесконечности при, то есть является бесконечно большой величиной, если для любого числа М, как бы велико оно ни было, можно найти такое, что для всех значений, удовлетворяющих условию -, имеет место неравенство f( ) М (обозначается lim f( ) ). Если f ( ) стремится к бесконечности при и при этом принимает только положительные или только отрицательные значения, соответственно пишут или lim f( ) функции при. lim f( ). Аналогично дается определение бесконечно большой 5

6 Функция y f( ) называется бесконечно малой при или при, если lim f( ) или lim f( ), то есть бесконечно малая функция это функция, предел которой в данной точке равен нулю. Теорема Если функция f ( ) является бесконечно большой при, то функция / f ( ) является бесконечно малой при. Теорема (обратная к теореме ) Если функция f ( ) - бесконечно малая при (или ) и не обращается в нуль, то / f ( ) является бесконечно большой функцией. 4 Теоремы о пределах Теорема Функция не может иметь более одного предела. Пусть f ( ) и g( ) - функции, для которых существуют пределы при (или ): lim ( ) ( ) f A, lim ( ) ( ) g B Теорема Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих. функций, то есть lim ( ) ( ) ( ) f g AB Теорема Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций: lim f ( ) g( ) AB ( ) Следствие Постоянный множитель можно выносить за знак предела: lim Cf ( ) C lim f ( ) C A ( ) ( ) Следствие Предел степени равен степени предела: lim f ( ) n ( ) = lim f( ) ( ). n = A n. Теорема 4 Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, то есть ( ) lim A ( ). ( ) g ( ) B lim f ( u) A и lim ( uu ) u lim f ( ) A. Теорема 5 Если функции.., то предел сложной 6

7 Теорема 6 Если в некоторой окрестности точки (или при достаточно больших ) f ( ) g( ), то. 5 Замечательные пределы lim f ( ) lim g( ) ( ) ( ) К замечательным пределам относятся: замечательный предел) и замечательный предел). sin lim lim lim e (первый (второй Следствия из первого замечательного предела: lim sin arcsin lim. 6 Односторонние пределы и непрерывные функции До сих пор мы рассматривали определение предела функции, когда произвольным образом, то есть предел функции не зависел от того, как располагалось по отношению к, слева или справа от этого параметра. Однако довольно часто можно встретить функции, которые не имеют предела при этом условии, но они имеют предел, если, оставаясь с одной стороны от - слева или справа (рисунок ). Поэтому вводят понятия односторонних пределов. Если y f( ) стремится к пределу b при, стремящемся к некоторому числу так, что принимает только значения, меньшие, то пишут и называют b пределом функции y f( ) в точке слева: lim f ( ) b. Если y f( ) стремится к пределу b при, стремящемся к некоторому числу так, что принимает только значения, большие, то пишут и называют b пределом функции y f( ) в точке справа: lim f ( ) b., 7

8 Функция y f( ) Рисунок, если она называется непрерывной в точке определена в точке и некоторой ее окрестности, и выполняется следующее условие: lim f ( ) lim f( ) lim f( ) f( ). Функция y f( ) называется непрерывной в некоторой области D, если она непрерывна в любой точке этой области. 7 Типы неопределенностей и способы их раскрытия Часто при вычислении пределов какой-либо функции непосредственное применение теорем о пределах не приводит к желаемой цели. Так, например, нельзя применять теорему о пределе дроби, если ее знаменатель стремится к нулю. Поэтому часто прежде, чем применять эти теоремы, необходимо тождественно преобразовать функцию, предел которой мы ищем. Условные выражения,, -,,,, характеризуют типы неопределенностей и применяются для обозначения переменных величин, при вычислении предела которых нельзя сразу применять общие свойства пределов. Для раскрытия неопределенности вида в случае, когда функция, стоящая под знаком предела, рациональна, полезно разложить на множители числитель и знаменатель дроби с тем, чтобы сократить общие множители. Пример lim lim lim. 8

9 Для раскрытия неопределенности вида в случае, когда функция, стоящая под знаком предела, содержит выражение с радикалами, можно разделить и умножить функцию на выражение, сопряженное к выражению с радикалами. Пример lim lim 7 7 lim 7 7 lim lim lim Пример 9 4 lim lim lim lim lim Для раскрытия неопределенности вида в случае, когда функция, стоящая под знаком предела, содержит тригонометрические функции, можно воспользоваться первым замечательным пределом. 9

10 Пример 4 sin sin sin lim lim lim. Пример 5 sin 4 sin lim lim sin5 sin5 54 sin lim lim lim lim. 4 sin Пример 6 sin 4 tg 4 cos4 sin 4 lim lim lim cos4 4sin4 sin lim lim lim lim. cos Пример 7 arcsin arcsin lim lim. Для раскрытия неопределенности вида в случае, когда функция, стоящая под знаком предела, рациональна, причем числитель и знаменатель ее представляют собой многочлены от переменной предела, можно воспользоваться приемом почленного деления числителя и знаменателя на старшую степень переменной.

11 Пример lim lim lim ( здесь старшая степень переменной ). 4 Вообще n n, n m, a b... kl a b... k l, n m. Для раскрытия неопределенности вида lim a/ a, n m, m m исходный предел ко второму замечательному пределу. Пример lim lim lim lim e e 6. 5 Пример 7 5 lim lim lim 5 lim e e. 5 необходимо преобразовать

12 или Неопределенность необходимо свести к неопределенности. Пример sin cos lim sin ctg lim sin sin sin lim cos lim lim lim lim sin sin lim. Пример e cos e cos lim lim при при e ~ cos ~ lim lim lim lim. e cos lim lim Пример ln ln ln ln ln e e lim lim lim e lim e e e e e e e e e при e ln e e e lim lim e. e e e e e e e e ln ~ e e

13 8 Варианты заданий Вариант cos( ) ) lim ) lim 5 4) lim 4 4 5) lim tg 6) lim sin 7) lim n 8) lim sin. n n n Вариант ) lim (cos ) 6 ) lim 44 4) lim n 5) lim sin sin a 6) lim a a sine ln 8) lim n n n sinn n.

14 Вариант nn nn ) lim n ) lim 4) lim Вариант ) lim ) lim 4 4) lim tgsin 5) lim a a e e 6) lim ln tg sin 8) lim 4. sin 5) lim cos lnln 6) lim 7) lim a a

15 Вариант ) lim 44 ) lim tg 4) lim sin 5) lim cos cos 6) lim e sin sin Вариант 6 n ) lim n n ) lim 4) lim tg tg 5) lim 4 sinasina 6) lim ln ln 4 8) lim. 5

16 Вариант n n ) lim n n n n n ) lim n n... n 4) lim n n cos 5) lim tg 4 6) lim arcsin e sin 4 sin8 Вариант ) lim 5 ) lim ) lim 4 6) lim sin e ln sin tg 4) lim cos 6

17 Вариант ) lim 4 ) lim 8 4) lim cos 5) lim e 6) lim sin ln sin cos Вариант 4 5 ) lim ) lim sin 4) lim cos 54 5) lim 6 6) lim e cos n n n 7

18 Вариант 54 5 ) lim coscos ) lim 8 cos ec 4) lim tg cos 5) lim ln ln 6) lim 5 4 х 4х х 5 Вариант х 8х х 5 х ) lim 58 ) lim n n n 5) lim 6) lim 5 4 ln ln 4) lim tg 8) lim tg tg. 8

19 Вариант 4 6 х х n n ) lim 4 n n n n ) lim a a cosmcos n 4) lim 5) lim 6) lim sin ln arcsin 5 8 Вариант 4 4 х 5 4х 5 х 5) lim tgctg ) lim cos ) lim 5 6) lim arcsin 7) lim ln 4 4) lim

20 Вариант 5 4 ) lim tg e ) lim 5 4) lim 8 4 5) lim 6) lim a a a a arcsin 4 8 sin х Вариант ) lim 5 8 ) lim 4) lim 4 tg 4 8 5) lim ln 6) lim e e lncos 4 cos 8) lim. х e

21 Вариант 7 х 5 х a a 5 e e ) lim 5 ) lim 5) lim cos 6) lim tg cos tg sin sin sin/ 4) lim n n n Вариант 8 sin 5 5) lim cos 54 ) lim 5 ) lim 6) lim ln cos ln cos 4) lim sin 4 х

22 Вариант х 8х х 5 х sin 8n 5) lim n 8n tg tg ) lim sin n n ) lim n n 4) lim 6) lim 4 ln Вариант 4 6 х х e e 5) lim 5 tg 5 ) lim sin 6) lim 5 ) lim cos 4) lim n n 4n n

23 Вариант 5 4 5х 5 х х e e ) lim sin 5) lim cos ) lim 5 4) lim 5 Вариант 6) lim e 5 n n n... n 4 х 5 х 4х 5 cos sin ) lim 4 4 n n5 ) lim n n 4) lim 5 a 5) lim a 6) lim sin 4 4

24 Вариант х х х sin ) lim arctg e e ) lim 4) lim 5 Вариант 4 7 х 4 х 8 х 5 ) lim 5) lim 4 4 6) lim 5 cos4cos arcsin 6 8 ln 5) lim sin5 n n5 6) lim n n ) lim 64 4) lim 4 sin tg 4 5 cos 4

25 Вариант х х 5 4 ) lim cosacosb ) lim n 4) lim sin n n 7n n ln a ln a 5) lim 7 6) lim ln cos ln 5 Вариант ) lim 4 ) lim 4 4 4) lim n tg 5) lim 4 ln 6) lim tg sin arctg х sin 4sin 5

26 Вариант х х 5 ) lim 4 ) lim 8... n 4) lim n n 5) lim 4 5 6) lim ln cos 4 n 8) lim sin. n n n Вариант х 8х х 5 х 5) lim tgctg n ) lim n n ) lim 6) lim cos tg sin sin tg 4) lim cos 8) lim n n n sinn n. 6

27 Вариант х 5 х n n ) lim n n n coscos ) lim 5 4) lim 8 cos 5) lim 6) lim 5 ln cos ln cos 8) lim 4. Вариант ) lim e e 5) lim n n5 6) lim n n n ) lim n n ln cosec 4) lim tg 4 cos х e 7

28 Список литературы Ахтямов, А. М. Математика для социологов и экономистов [Текст] / А. М. Ахтямов. -изд., перераб. и доп. М. : Физматлит, 8. Высшая математика для экономистов [Текст] : учебник / под ред. Н. Ш. Кремера. М. : Банки и биржи, ЮНИТИ-ДАНА, 6. Высшая математика для экономистов [Текст] : практикум / под ред. Н. Ш. Кремера. М. : ЮНИТИ-ДАНА, 7. 4 Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах [Текст]. В ч. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. М. : Высшая школа,. 5 Ильин, В. А. Математический анализ [Текст] / В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов под ред. А. Н. Тихонова. -е изд., перераб. и доп. М. : Проспект, 6. 6 Ильин, В. А. Основы математического анализа [Текст]. В ч. / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. М. : Физматлит, 5. 7 Карасев, А. И. Курс высшей математики для экономических вузов [Текст] / А. И. Карасев. М. : Высшая школа, 6. 8 Красс, М. С. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании [Текст] / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов. М. : Дело,. 9 Кремер, Н. Ш. Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики [Текст]. Ч., / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин под ред. Н. Ш. Кремера. М. : Высшее образование, 7. Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа [Текст]. Т., / Л. Д. Кудрявцев. М. : Высшая школа, 7. Натансон, И. П. Краткий курс высшей математики [Текст] / И. П. Натансон. М. : Физматгиз, 6. 8

29 Исакова Татьяна Игоревна ПРЕДЕЛЫ Методические указания и контрольные задания к выполнению практических и самостоятельных работ по дисциплине «Математический анализ» для студентов направления 8 «Экономика» очной формы обучения Редактор А.С. Мокина Подписано в печать Формат 6х84 /6 Бумага тип. Печать трафаретная Усл. печ. л.,8 Уч.-изд. л.,8 Заказ Тираж 7 Цена свободная РИЦ Курганского государственного университета , г. Курган, ул. Гоголя, 5. Курганский государственный университет. 9

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ Т Ю Альпин, А И Егоров, П Е Кашаргин, С В Сушков ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть I: Комплексные числа Предел функции Казань 013 Печатается

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА ГОУВПО КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА Учебно-методическое

Подробнее

Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов

Сборник задач для самостоятельного решения по теме Предел функции Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов ББК В 65я73-4 С 3 УДК 57 Учебное издание Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: АН Максименко, АН Морозов Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

Правило Лопиталя. Методические указания для практических занятий. Министерство образования и науки Российской Федерации

Правило Лопиталя. Методические указания для практических занятий. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) Кафедра "Прикладная математика-1" Ю.С.Семёнов Кафедра "Прикладная математика-1"

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

x 2 10x > x 2 10x = x(x 10) > x2 x x 2 /2 = 2 x. x 2 10x < x+ x 2 10x = 0. x 0. > 0k N : 0 < x k < и f(x k ) A = A > 0,

x 2 10x > x 2 10x = x(x 10) > x2 x x 2 /2 = 2 x. x 2 10x < x+ x 2 10x = 0. x 0. > 0k N : 0 < x k < и f(x k ) A = A > 0, Пределы Предел функции Определение предела Пусть a точка числовой прямой, a b c) Пусть функция f) опре- делена на множестве E : { b c)\{a}} Число a называется пределом функции f) при, стремящемся к a обо-

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО МАТЕМАТИКЕ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова Высшая математика IV САМОУЧИТЕЛЬ

Подробнее

С.А. Лавренченко. Доказательство: Повести самостоятельно. Указание: Применить произведения, взяв

С.А. Лавренченко. Доказательство: Повести самостоятельно. Указание: Применить произведения, взяв Лекция 4 1 СА Лавренченко Вычисление пределов 1 Правила вычисления пределов Пусть действительная константа и целое положительное число При условии, что существуют оба предела и, имеют место следующие десять

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА

Министерство образования и науки Российской Федерации. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА Г.Г. Литова, Д.Ю. Ханукаева ПРЕДЕЛЫ Пособие для студентов, обучающихся по специальности

Подробнее

Методические рекомендации по решению задач на тему «пределы функции» для студентов специальности «Производство летательных аппаратов»

Методические рекомендации по решению задач на тему «пределы функции» для студентов специальности «Производство летательных аппаратов» Государственное бюджетное профессиональное учреждение Московской области «Авиационный техникум имени В.А. Казакова» Рассмотрено на заседании предметной цикловой комиссии «Общеобразовательных, математических

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия 35 Глава 2 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1 Основные понятия Пусть D некоторое множество чисел Если задан закон, по которому каждому числу из множества D ставится в

Подробнее

Тема 37 «Пределы функций»

Тема 37 «Пределы функций» Тема 37 «Пределы функций» «Математический анализ» - серьезный раздел высшей математики. «Анализируют» здесь довольно тонкие моменты: как ведет себя функция не только в целом, в своей области определения

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2011

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2011 Chir of Mth. Anlysis, SPb. Stte University. A.V.Poteun, Исследование сходимости несобственных интегралов Методические указания для решения задач А. В. Потепун Как известно (см. [], глава III, 7), если

Подробнее

3A = A = A = 1 7 A + B = A = c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj = a is b sj

3A = A = A = 1 7 A + B = A = c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj = a is b sj Высшая математика Лекции по курсу Список литературы [] Высшая математика для экономистов Под редакцией НШ Кремера [] СА Минюк, ЕА Ровба Высшая математика [] Сборник задач по высшей математике для экономистов

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Теория пределов: упражнения и примеры

Теория пределов: упражнения и примеры Теория пределов: упражнения и примеры Методическое пособие для факультетов менеджмента, политологии и социологии П.А.Панов Государственный Университет Высшая школа экономики Январь 00 Что такое предел

Подробнее

2011 год. Высшая математика для чайников. Предел функции. Виосагмир И.А. Предел функции.

2011 год. Высшая математика для чайников. Предел функции. Виосагмир И.А. Предел функции. 20 год Высшая математика для чайников. Предел функции. Виосагмир И.А. Предел функции viosagmir@gmail.com Предел функции Введение Ну что же Я приветствую Вас в своей первой книге, посвященной пределам функции.

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования РФ Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) ЛН Романова ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Курс лекций Омск Издательство СибАДИ ЛН РОМАНОВА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ

Подробнее

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии Кафедра высшей математики Высшая математика ( семестр Разделы Функции. Пределы. Дифференцирование. Интегрирование. Основные формулы по темам

Подробнее

Системы тригонометрических уравнений

Системы тригонометрических уравнений И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Системы тригонометрических уравнений В данной статье мы рассматриваем тригонометрические системы двух уравнений с двумя неизвестными. Методы решения таких

Подробнее

Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Равномерная непрерывность функций одной переменной. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов, Н.Т. Левашова, Н.Е. Шапкина Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения И. В. Яковлев, А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта http://www.ege-study.ru Тригонометрические уравнения В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений

Подробнее

Определенный интеграл

Определенный интеграл Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

РАЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Министерство образования Российской Федерации Московский физико-технический институт Кафедра высшей математики РАЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Методические указания и оптимальные

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине «Элементы высшей математики».

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине «Элементы высшей математики». МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ «ДОНСКОЙ БАНКОВСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Методические

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература...

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература... ОГЛАВЛЕНИЕ Введение................................................ 3 Глава. Неопределенный интеграл.......................... 6.. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла........................

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Предел. Непрерывность. Производная. Интеграл Утверждено Редакционно-издательским

Подробнее

Тема 4. Операторный метод решения линейных дифференциальных уравнений и систем. + e pt f(t)dt. (4.1) f(t) = = lim. = lim p

Тема 4. Операторный метод решения линейных дифференциальных уравнений и систем. + e pt f(t)dt. (4.1) f(t) = = lim. = lim p 1 Тема 4. Операторный метод решения линейных дифференциальных уравнений и систем 4.1 Преобразование Лапласа Оригиналом называется любая функция f(t) действительного переменного t, удовлетворяющая следующим

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ. ТОЧНЫЕ ГРАНИЦЫ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ. ТОЧНЫЕ ГРАНИЦЫ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Утверждено научно-методическим советом математического

Подробнее

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim Òåîðåìû î ïðåäåëàõ Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Основные теоремы о пределах. Предел числовой последовательности. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Экспонента. Натуральный логарифм.

Подробнее

Лекция 1 Вещественные числа.

Лекция 1 Вещественные числа. Лекция 1 Вещественные числа. 1. Рациональные числа. Простейшими числами являются целые положительные числа 1, 2,..., используемые при счете. Они называются натуральными числами, и люди их знали так много

Подробнее

Т.Л. Сурин Ж.В. Иванова С.В. Шерегов Методические рекомендации и задания к контрольным работам 1 и 2 по математическому анализу

Т.Л. Сурин Ж.В. Иванова С.В. Шерегов Методические рекомендации и задания к контрольным работам 1 и 2 по математическому анализу Т.Л. Сурин Ж.В. Иванова С.В. Шерегов Методические рекомендации и задания к контрольным работам и по математическому анализу (для студентов I курса математического факультета заочного отделения ) Витебск

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новгородский государственный университет имени

Подробнее

Предел и непрерывность функций одной переменной

Предел и непрерывность функций одной переменной министерство образования и науки российской федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1

высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1 Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1 Линейная алгебра. Аналитическая

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Конспект лекций по высшей математике

Конспект лекций по высшей математике Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра высшей математики Конспект лекций по высшей математике для студентов экономических

Подробнее

Тригонометрические ряды Фурье

Тригонометрические ряды Фурье Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1 Глава 1 Основы алгебры Числовые множества Рассмотрим основные числовые множества. Множество натуральных чисел N включает числа вида 1, 2, 3 и т. д., которые используются для счета предметов. Множество

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

С помощью операторов символьного преобразования (используя палитру инструментов Символы).

С помощью операторов символьного преобразования (используя палитру инструментов Символы). Лабораторная работа. Символьные вычисления Системы компьютерной алгебры снабжаются специальным процессором для выполнения аналитических (символьных) вычислений. Его основой является ядро, хранящее всю

Подробнее

Типовые задачи c решениями.

Типовые задачи c решениями. Типовые задачи c решениями. Формальное суммирование рядов. Формула рекурсии k a k a + a k k Формула умножения λ a k λa k Формула сложения k k k a k + b k a k + k b k k Пример Геометрическая прогрессия.

Подробнее

Методические указания

Методические указания Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана Методические указания В.Я. Томашпольский, М.Н. Шевченко, И.О. Янов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана Московский государственный

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы Международный консорциум «Электронный университет» Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Евразийский открытый институт КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ АН Малахов Неопределенный

Подробнее

Задачи Штурма-Лиувилля в простейшем случае

Задачи Штурма-Лиувилля в простейшем случае Задачи Штурма-Лиувилля в простейшем случае 1 I рода слева I рода справа Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевыми условиями I-го рода: { X x + Xx, X X 11 Общее решение уравнения X x + Xx имеет вид Xx c

Подробнее

З.Л. Коропец, А.А. Коропец, Т.А. Алексеева МАТЕМАТИКА НЕРАВЕНСТВ И ИХ СИСТЕМ

З.Л. Коропец, А.А. Коропец, Т.А. Алексеева МАТЕМАТИКА НЕРАВЕНСТВ И ИХ СИСТЕМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ - УЧЕБНО-НАУЧНО-

Подробнее

Практикум по дифференциальному исчислению

Практикум по дифференциальному исчислению Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Л.И. Магазинников А.Л. Магазинников Практикум по дифференциальному исчислению Учебное пособие

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ. Кафедра, обеспечивающая подготовку программы: «Высшая математика»

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ. Кафедра, обеспечивающая подготовку программы: «Высшая математика» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ Кафедра, обеспечивающая подготовку программы: «Высшая математика» Настоящая программа состоит из трех разделов. В первом разделе перечислены основные математические

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8.

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: 16x 10x + 2x = 8, 40x + 25x 5x = 20. Ответ: Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 1 2 + 5 8 x 1 8 x, x, x R; базисное

Подробнее

12. Определенный интеграл

12. Определенный интеграл 58 Определенный интеграл Пусть на промежутке [] задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке [] произвольные числа,, 3,, n-, удовлетворяющие условию:

Подробнее

Методологические аспекты выделения главных частей бесконечно больших функций

Методологические аспекты выделения главных частей бесконечно больших функций Методологические аспекты выделения главных частей бесконечно больших функций # 04, апрель 2015 Ахметова Ф. Х. 1,*, Ласковая Т. А. 1, Пелевина И. Н. 1 УДК: 517 1 Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана Введение Классический

Подробнее

Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ. , если выполняются следующие три условия :

Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ. , если выполняются следующие три условия : 57 Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ Определение 1 Функция = f ( ) называется непрерывной в точке, если выполняются следующие три условия : 1) функция = f (

Подробнее

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Математический анализ»

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Математический анализ» Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Математический анализ» Направление 080100 Экономика для подготовки студентов бакалавров

Подробнее

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент.

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный университет» А А Г О Л У Б Е В, Т А С П А С С К А Я ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

Подробнее

множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B).

множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B). ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ТЕОРЕМА ФУБИНИ. ПРОСТРАНСТВА Lp, I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Определение. Пусть и Y множества, и Y меры, заданные на полукольцах S и S Y подмножеств множеств и

Подробнее

М.И. Башмаков Математика

М.И. Башмаков Математика СРЕДНЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ М.И. Башмаков Математика Рекомендовано ФГУ «ФИРО» в качестве учебника для использования в учебном процессе образовательных учреждений среднего профессионального образования,

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

Кафедра высшей математики ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПО ФОРМУЛЕ НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Кафедра высшей математики ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПО ФОРМУЛЕ НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САХАЛИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ПРОГРАММА

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» В ГБОУ ВО НГИЭУ (МАГИСТРАТУРА)

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» В ГБОУ ВО НГИЭУ (МАГИСТРАТУРА) Министерство образования Нижегородской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный инженерно-экономический университет» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ

Подробнее

Лекции по математическому анализу

Лекции по математическому анализу В.Ф. Бутузов Лекции по математическому анализу Часть I Москва 2012 Б у т у з о в В. Ф. Лекции по математическому анализу. Часть I. Учебное пособие содержит первую часть курса лекций по математическому

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1 СЕМЕСТР)

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1 СЕМЕСТР) ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ( СЕМЕСТР) А. А. Пожарский Занятие. Принцип математической индукции. Задачи по []: 0. Задачи по [2]: 27. Занятие 2. Основные понятия комбинаторики: факториал,

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств

МАТЕМАТИКА. Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического

Подробнее

Область определения функций нескольких переменных

Область определения функций нескольких переменных Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

3568 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

3568 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ 568 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Методические указания

Подробнее

2. Содержание курса Лекции I семестр. Число часов

2. Содержание курса Лекции I семестр. Число часов 1. Цель и задачи курса Цель курса освоение математического аппарата. Задача курса выработка формального и логического мышления, выработка навыков решения формализованных математических задач.. Содержание

Подробнее

Теоретический материал.

Теоретический материал. 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. К а ф е д р а Прикладной математики и информатики. Практикум по математическому анализу

РЯДЫ ФУРЬЕ. К а ф е д р а Прикладной математики и информатики. Практикум по математическому анализу МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а Прикладной математики

Подробнее

К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЧИСЛА «E» В КУРСЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА А. М. Фрумкин

К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЧИСЛА «E» В КУРСЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА А. М. Фрумкин УДК: 5171 К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЧИСЛА «E» В КУРСЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 2010 А М Фрумкин канд тех наук, доцент каф электротехники, электроники и автоматики, e-mail: frumkinam@mailru Курский государственный технический

Подробнее

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ТЕХНИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (на базе

Подробнее

П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е

П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е Санкт-Петербургский государственный университет А. В. О С И П О В К О Н С П Е К Т Л Е К Ц И Й П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е Часть II (-й курс, -й семестр) Санкт-Петеpбуpг 0 0 Конспект лекций по высшей

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ. Методические рекомендации для выполнения практических работ по дисциплине «Математика»

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ. Методические рекомендации для выполнения практических работ по дисциплине «Математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ БРАТСКИЙ ЦЕЛЛЮЛОЗНО БУМАЖНЫЙ КОЛЛЕДЖ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БРАТСКИЙ

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания и варианты заданий к контрольной

Подробнее

4 Основные свойства определенного интеграла

4 Основные свойства определенного интеграла 178 4 Основные свойства определенного интеграла Рассмотрим основные свойства определенного интеграла. 1) Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (=), то интеграл равен нулю f ( ) d = 0 Данное

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ для студентов всех специальностей очной формы

Подробнее

Рабочая учебная программа по математике в 6 А классе

Рабочая учебная программа по математике в 6 А классе Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа 29» города Чебоксары Рассмотрено на заседании ШМО Протокол от 20 г. Руководитель ШМО В.В. Морушкина «Утверждаю»

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

Методические указания и контрольные задания по математике для обучающихся 2 курса СПО

Методические указания и контрольные задания по математике для обучающихся 2 курса СПО ГАОУ СПО ЛО Киришский политехнический техникум Методические указания и контрольные задания по математике для обучающихся курса СПО Методическая разработка по дисциплине «Математика» Разработала преподаватель

Подробнее

ГФ Первый курс Осень Глава 3. Теоремы о пределах. (Раздел 1. Функции, пределы, непрерывность.) 3 45 мин. Печать

ГФ Первый курс Осень Глава 3. Теоремы о пределах. (Раздел 1. Функции, пределы, непрерывность.) 3 45 мин. Печать Лектор Лисеев И.А. Кафедра высшей математики МИИГАиК. ГФ Первый курс Осень 0 3 45 мин. Печать -09-0 Редактирование -09-0 Глава 3. Теоремы о пределах (Раздел. Функции, пределы, непрерывность.) Глава 3.

Подробнее

Определенный интеграл. Несобственный интеграл.

Определенный интеграл. Несобственный интеграл. министерство образования и науки российской федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет»

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены

1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены Глава III. Теория устойчивости 1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены III.1.1. Устойчивые решения линейных ОДУ Существенную роль в исследовании различных процессов, поведение которых описывается

Подробнее

Интегрирование. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл и его применение.

Интегрирование. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл и его применение. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее