Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ."

Транскрипт

1 Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания Москва 03

2 Цель данных методических указаний «Теория пределов», и части, помочь студентам первого курса разобраться в вычислении пределов числовых последовательностей и пределов функций; в выделении главных частей бесконечно малых и бесконечно больших функций; в сравнении бесконечно малых (или бесконечно больших) функций. Методические указания содержат краткие теоретические сведения, необходимые для решения типовых задач, контрольные задания (задачи для самостоятельной работы). Предлагаемые методические указания предназначены для самостоятельного изучения данной темы студентами. Бесконечно малые функции Введем понятие бесконечно малой (б.м.ф.) функции. Определение. Функция называется бесконечно малой при, если 0 По определению предела функции это равенство означает, что для любого числа 0 найдется число 0, такое, что для всех, удовлетворяющих неравенству 0, выполняется неравенство. Запишем это определение, используя логическую символику: 0 0 0, : 0 Аналогично определяется б.м.ф. при 0, 0,, : во всех этих случаях 0 при данных стремлениях аргумента.

3 3 Бесконечно малые функции часто называются бесконечно малыми величинами или просто бесконечно малыми; обозначаются они обычно греческими буквами, и т. д. Примеры бесконечно малых функций: при 0 т. к. 0 при т. к. 0 sin при, т. к. sin 0 Свойства бесконечно малых функций Перечислим свойства бесконечно малых функций в виде основных теорем. Теорема. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций при есть бесконечно малая функция при. Теорема. Произведение бесконечно малой функции при на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция. Из Теоремы вытекают два следствия: Следствие. Произведение бесконечно малой функции при на число есть бесконечно малая функция при. Следствие. Произведение двух бесконечно малых функций при есть бесконечно малая функция при (т.к. всякая б.м.ф. при является ограниченной). Теорема 3. Функция имеет предел, равный при при тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде суммы числа и

4 4 некоторой бесконечно малой функции при, т.е. 0, где 0. Рассмотрим два предела, которые неоднократно будут встречаться в дальнейшем. Первый замечательный предел Этот предел называется первым замечательным пределом. Он часто используется при вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции. sin Пример. Найти 5 В данном случае имеем неопределенность вида, поэтому теорема о пределе дроби здесь не применима. Чтобы вычислить этот предел, воспользуемся теоремой о замене переменной: sin 5 sin 5 5 sin tg Пример. Найти 5 sin 5 5 Выполним необходимые преобразования: tg sin cos sin замена: при 0,0 cos

5 5 Второй замечательный предел Равенства:, называются вторым замечательным пределом. Они широко используются при вычислении пределов в случае неопределенности вида. Пример. Найти Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела: Пример. Найти 8 замена: при, Чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом, выделим единицу в основании степени:

6 6 Сравнение бесконечно малых функций Сравним две б.м.ф. между собой с помощью их отношения. Как известно, сумма, разность и произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая. Этого нельзя, вообще говоря, сказать об их частном. Отношение двух б.м.ф. может вести себя различным образом: предел этого отношения может быть конечным числом, равным нулю или отличным от него, быть равен бесконечности, или даже не существовать. Рассмотрим все возможные случаи. Пусть и есть две б.м.ф. при одном и том же стремлении аргумента, т.е. 0 и 0. Если 0, то называется бесконечно малой более высокого порядка, чем при. При этом используется следующая запись:, (Читается: есть малое от при, стремящемся к ) Например: 0, 0.. Если, то называется бесконечно малой более низкого порядка, чем при, т.е.,. Например, 0.

7 7. Если и 0, то и называются бесконечно малыми одного порядка при. При этом используется следующая запись: или (Читается: есть большое от при, стремящемся к ) sin Например: sin sin, 0.. Если, то бесконечно малые и называются эквивалентными при. При этом используется следующая запись: ~,. tg Например: tg~,0.. Если не существует, то и называются несравнимыми бесконечно малыми. sin Например: sin этот предел не существует, sin и - несравнимые б.м.ф. при. Определение. Бесконечно малая называется бесконечно малой го порядка относительно бесконечно малой при, если существует число 0 такое, что:

8 8,где 0,. При этом используется следующая запись:, Пример 5. Найти порядок малости б.м.ф. относительно при 0, где cos,. Рассмотрим предел отношения: cos sin при Значит, при б.м.ф. и - сравнимы и одного порядка. Говорят: cos - б.м.ф. -го порядка малости относительно, т.е. cos при 0. Эквивалентные бесконечно малые функции и основные теоремы о них Среди бесконечно малых одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые. Еще раз напомним это определение. Определение 3. Если, то и называются эквивалентными бесконечно малыми функциями при. Обозначается это так: ~,.

9 9 sin Например: sin ~, при 0, т. к. tg tg~, при 0, т. к. Теорема 4. Для того, чтобы две б.м.ф. и были эквивалентными при, необходимо и достаточно, чтобы их разность была бесконечно малой большего порядка малости, чем каждая из этих бесконечно малых. ~,, при Теорема 5. Сумма конечного числа бесконечно малых разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка. Например: ~ 4, при 0, т. к Теорема 6. Предел отношения двух б.м.ф. не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой. Теорема 6 о замене функций на эквивалентные широко используется при вычислении пределов, в частности для раскрытия неопределенностей вида. Например, задачу, уже рассмотренную выше в Примере, можно решить следующим образом:

10 0 sin 5 Пример 6. sin ~, при 0 3x 7x 4x 4x sin x x, 5 5 поскольку 3x 7x 4x ~ 4x; sin x ~ x при x 0 Приведем еще примеры эквивалентных б.м.ф. cos sin Пример. sin sin cos~ при 0 замена: arcsin arcsin Пример. sin arcsin arcsin при 0,0 sin log Пример. sin arcsin ~ при 0 log log т. к. функция log непрерывная, то можно использовать теорему о пределе непрерывной функции log log log ~ log ln ~ 0 при

11 Пример. ~ при 0 Ниже приведем важнейшие эквивалентности, которые используются при вычислении пределов. Все они выполняются только при. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~, 0 в частности: ~ Пример. arcsin ~, т. к. arcsin 54 при x

12 Пример. 4 sin3 4 sin3 ~3, при x Пример 3. Имеем неопределенность вида, sin sin 4 sin т. к., sin 4 4 Пример 4. Замена: 4 при 4, 0 sin 4 sin 4 Используем ой зам. предел sin 4 sin 4 cos 8 sin sin 4 sin 4 sin4 sin 4 ln sin ln sin ~ sin ~, 0 sin 4 sin 4~ 4, 0 4 4

13 3 Особенности при вычислении пределов Пример 5. tg sin sin cos sin cos sin sin sin cos cos cos sin sin cos cos cos Важное замечание. Замена функций на эквивалентные подчиняется правилам, которые изложены в Теоремах 5 и 6. Одна из самых распространенных ошибок при вычислении предела некоторого выражения заключается в замене функции, не являющейся множителем всего этого выражения, на эквивалентную функцию (чаще всего такая ошибочная замена делается в разности). Например, если в данном примере сразу воспользоваться эквивалентностями ~ и ~ при 0 и заменить функции tg и sin на эквивалентную им при 0 функцию, то в числителе получим ноль. Было бы ошибкой на основании этого делать вывод, что предел тоже равен нулю. Пример 6. ln ln ln lnx ln x lnx ~, при 0 (В данном примере также нельзя сразу воспользоваться эквивалентностями ~ и ~ )

14 4 Пример 7. ln cos x ln sin x ln sin x ~sinx ~x, 0 ln cos x ln cos x~ cos ~, 0 Определение 4. Главная часть функции Если функция представима в виде, то функция называется главной частью функции при. Выделение главной части бесконечно малой функции Для начала выделим главную часть суммы б.м.ф. Рассмотрим сумму бесконечно малых функций, определенных в окрестности точки :, и 0,, Согласно Теореме алгебраическая сумма конечного числа б.м.ф. есть б.м.ф. Пусть при этом выполняется условие:,, при, т.е. (где, ) имеет больший порядок малости по сравнению с. В свою очередь имеет наименьший

15 5 порядок малости по сравнению со всеми остальными слагаемыми. Тогда, согласно Теореме 6, имеем: ~, если,, при по Теореме - является главной частью этой суммы. Таким образом, доказано следующее утверждение: Утверждение. Главная часть суммы конечного числа бесконечно малых функций это слагаемое более низкого порядка малости по сравнению с каждым из остальных слагаемых. Очевидно, что если в сумме есть несравнимые слагаемые, то выделить главную часть нельзя. Пример 8. а) Главной частью суммы б.м.ф при 0, является функция 3, т.к б Главная часть суммы б.м.ф. 8 7 sin при 0 не существует, т.к. в последнее слагаемое в качестве множителя входит функция sin, предел которой при 0 не существует. Замена суммы б.м.ф. ее главной частью называется отбрасыванием бесконечно малых высшего порядка.

16 6 В общем случае можно говорить о выделении главной части не только у алгебраической суммы конечного числа б.м.ф., но и у произвольной б.м.ф. при. Согласно Определению 4 и Теореме 4, любая функция, эквивалентная данной, является ее главной частью. Однако, если задаваться определенным видом этой главной части, то главную часть можно определить однозначно. Обычно главную часть б.м.ф. (при ) ищут в виде. Представим в виде таблицы возможные варианты выделения главной части б.м.ф. при различном стремлении аргумента и рассмотрим примеры для каждого случая Вид главной части Выделение главной части б.м.ф. Если,где 0 ~ Если,где 0 ~ Если,где 0 ~

17 7 Пример 9. Выделить главную часть б. м. ф., 0 При данном стремлении аргумента главную часть функции будем искать в виде:. Для того, чтобы найти числа и, рассмотрим предел отношения: при при, С ~, при Пример 0. Выделить главную часть б.м.ф. 44, В этом случае ищем главную часть в виде. Найдем числа и : 44 при при, С ~, при Пример. Выделить главную часть б. м. ф. sin, При главную часть ищем в виде. Найдем числа и :

18 8 sin sin ~,т. к. при, 0 при 3, С ~, при Бесконечно большие функции (б.б.ф.) Введем понятие бесконечно большой (б.б.ф.) функции. Определение 5. Функция называется бесконечно большой при, если По определению предела функции это равенство означает, что для любого числа 0 существует число 0 такое, что для всех, удовлетворяющих неравенству 0, выполняется неравенство. В логической символике: 0 0, : 0 Например, функция 5 есть б. б. ф. при 5.

19 9 Сравнение бесконечно больших функций Пусть и есть две б.б.ф. при одном и том же стремлении аргумента, т.е. и Сравним две б.б.ф. между собой с помощью их отношения (аналогично сравнению б.м.ф.) и рассмотрим все возможные случаи.. Если 0, то называется бесконечно большой более низкого порядка роста, чем при, т.е.,.. Если, то называется бесконечно большой более высокого порядка роста, чем при, т.е.,.. Если,где 0, то и называются бесконечно большими одного порядка роста при, т. е. или,.. Если, то бесконечно большие, т. е. ~,. и называются эквивалентными при. Если не существует, то и называются несравнимыми бесконечно большими.

20 0 Например, функции sin эквивалентными б.б.ф., т.к. и при являются sin ; а функции cos и -, cos т. к. cos не существует. несравнимые б.б.ф. при Определение 6. Бесконечно большая функция называется бесконечно большой го порядка относительно бесконечно большой при, если существует число 0 такое, что:,где 0. При этом используется следующая запись:,. Пример. Найти порядок роста б.б.ф. относительно при, если 5 3, Рассмотрим предел: при

21 б. б. ф. го порядка роста относительно при,,. Выделение главной части бесконечно большой функции Для начала выделим главную часть суммы б.б.ф. Рассмотрим конечную сумму бесконечно больших функций, определенных в окрестности точки, в которой одно из слагаемых имеет более высокий порядок роста по сравнению с остальными. Тогда, используя Определение 4 главной части функции, можно доказать следующее утверждение: Утверждение. Главной частью суммы конечного числа бесконечно больших функций является слагаемое более высокого порядка роста по сравнению с каждым из остальных слагаемых. (Доказательство проводится так же, как и для суммы бесконечно малых функций.) В общем случае можно говорить о выделении главной части не только у алгебраической суммы конечного числа б.б.ф., но и у произвольной б.б.ф. при. Представим в виде таблицы возможные варианты выделения главной части б.б.ф. при различном стремлении аргумента, аналогичную приведенной выше таблице для б.м.ф.

22 0 0 0 Вид главной части Выделение главной части б.б.ф. Если,где 0 ~ Если,где 0 ~ Если,где 0 ~ Пример 3. Выделить главную часть б.б.ф. при При данном стремлении аргумента будем искать главную часть б.б.ф. в виде. Для нахождения чисел C и k найдем предел отношения:

23 3 35,, ~ Следовательно ~ при Между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями существует связь. Сформулируем соответствующую теорему. Теорема 7. Если функция - бесконечно малая при 0, то функция есть бесконечно большая при и наоборот: если функция - бесконечно большая при 0 то функция есть бесконечно малая при. В следующих задачах 4, 5, 6 нужно для двух заданных функций и : а) Показать что обе функции являются б.м. или б.б. при 3. б) Для каждой функции и записать главную часть вида, указать порядок малости (роста) этих функций. в) Сравнить функции и, если это возможно. Пример 4. ;

24 4 а) Покажем, что при 3 обе функции являются б.м.ф. Вычислим пределы: sin sin 3 0 б. м. ф. при log 3 log 0 б. м. ф. при б) и являются б.м.ф. при 3. Следовательно главную часть этих функций будем искать в виде. Найдем числа C и k: замена: sin sin при 3,0 sin sin ~ при 0, 0 при, ; ~ Следовательно: ~ при log 3 замена: 3 log при 3,0 log 3 log 3 ~ 3 log при 0, 3 0 при log 3 log 3, 3 log ; ~ Значит:

25 5 ~ при в) Выделив главные части обеих функций, мы видим, что при 3 обе функции имеют первый порядок малости относительно б.м.ф. 3. Следовательно они являются б.м.ф. одного порядка при 3. В этом можно убедиться и непосредственно, вычислив предел их отношения при 3. при 3 ~ 3 3 ~ 3 log 3 3 log 3 Следовательно: Пример 5. 3ln0 при. 3 log ; а) Докажем, что обе функции при являются б.б.ф. sin sin б. б. ф. при

26 6 б. б. ф. при б) и являются б.б.ф. при. Следовательно главную часть этих функций будем искать в виде 0. sin sin при 3 sin,; ~ sin Таким образом: ~ при при,; ~ Следовательно: ~ при в) Выделив главные части обеих функций, мы видим, что при функция имеет второй порядок, а функция - первый порядок роста относительно б.б.ф.. Следовательно имеет более высокий порядок роста (а именно второй) по сравнению с при. Убедимся в этом непосредственно:

27 7 при при ~ ~ при при 0 Следовательно: или ~ при при Пример 6. ; а) Покажем, что при 0 обе функции являются б.м.ф. Вычислим пределы: sin по Теореме 0 б. м. ф. при sin 0 б. м. ф. при б) Мы доказали, что и являются б.м.ф. при 0. Значит главную часть этих функций будем искать в виде 0. Рассмотрим: sin, при 0, при А это означает, что не имеет главной части вида при. sin при

28 8,; ~ Следовательно: ~ при 0 в) Сравним две функции: sin sin 0 при sin ~ sin не существует и не сравнимы при.

29 9 Контрольное задание для самостоятельной работы N tg3. tg 3. tgπ. sin 4 4. ln3 arctg3 3 3 lg ln0 sin 7 sin 3 3. cos ln 5 4. sin 5. arcsin 3 3 cos 8 sin tgπ 9ln3 6. ln 7. cos tgπ arcsin x 7. cos3 sin sin 8. sin 7 sin cos3 tg sin 0. cos tg 8 0. sin 7 sin 3 ln *) В скобках дан правильный ответ

30 30 N 7. e. cos e. e e cos3 e e 4. tg π 4 e e 5. sin 3 e 6. e 6. sin e e 7. cos cos e 8. ln e 8. 3 e 9. e e 9. tgπ e cos e 3 0. e *) В скобках дан правильный ответ

31 3 Литература. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / под ред. Б.П.Демидовича. М.: Астрель, Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В- ч т. Т.. 4-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит, Марон И.А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах: Функции одной переменной. М.: Наука. Гл. ред. физ.- мат. лит, Морозова В.Д. Введение в анализ. М.:Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб.пособ. для втузов: В -ч т. Т.. М.: Интеграл-Пресс, Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа/ Под ред. А.В.Ефимова, Б.П.Демидовича. В 3-ч т. Т.. М.:Наука, 993.

32 3 Оглавление Бесконечно малые функции Свойства бесконечно малых функций 3 Первый замечательный предел 4 Второй замечательный предел 5 Сравнение бесконечно малых функций... 6 Эквивалентные бесконечно малые функции и основные теоремы о них.. 8 Особенности при вычислении пределов... 3 Главная часть функции... 4 Выделение главной части бесконечно малой функции... 4 Бесконечно большие функции... 8 Сравнение бесконечно больших функций... 8 Выделение главной части бесконечно большой функции... 0 Контрольное задание для самостоятельной работы... 9 Список рекомендуемой литературы... 3

Методологические аспекты выделения главных частей бесконечно малых функций

Методологические аспекты выделения главных частей бесконечно малых функций Методологические аспекты выделения главных частей бесконечно малых функций # 05, май 2015 Ахметова Ф. Х. 1,*, Ласковая Т. А. 1, Пелевина И. Н. 1 УДК: 517 1 Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана Введение В инженерном

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

Методологические аспекты выделения главных частей бесконечно больших функций

Методологические аспекты выделения главных частей бесконечно больших функций Методологические аспекты выделения главных частей бесконечно больших функций # 04, апрель 2015 Ахметова Ф. Х. 1,*, Ласковая Т. А. 1, Пелевина И. Н. 1 УДК: 517 1 Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана Введение Классический

Подробнее

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел 1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел (1) следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого задается как функция

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ВАСИЛЬЕВ ВВ, ЛАНОВАЯ АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические

Подробнее

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Тема ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Число А называется пределом функции у=f), при х стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого числа ε>, найдется такое положительное числоs, что при всех >S, выполняется

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

Подробнее

Глава 2. Пределы функций одной переменной.

Глава 2. Пределы функций одной переменной. Глава Пределы функций одной переменной Предел переменной величины Определение Постоянное число а называется пределом переменной величины х, если для каждого наперед заданного числа ε > можно указать такое

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов ПРЕДЕЛЫ

Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов ПРЕДЕЛЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли . Предел функции. Актуальность изучения темы Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе, позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении аргумента. С помощью

Подробнее

Методологические особенности формулы Тейлора в курсе математического анализа

Методологические особенности формулы Тейлора в курсе математического анализа Методологические особенности формулы Тейлора в курсе математического анализа # январь Кандаурова И Е УДК: 57 Россия МГТУ им НЭ Баумана hadaur@gyrplaru Введение Классический курс математического анализа

Подробнее

Математический анализ Раздел: Введение в анализ. Предел функции

Математический анализ Раздел: Введение в анализ. Предел функции Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Предел функции односторонние пределы, замечательные пределы, сравнение бесконечно малых и бесконечно больших Лектор Пахомова Е.Г. 22 г. 4. Односторонние

Подробнее

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва Лекция 4 Непрерывность функции Классификация точек разрыва Аннотация: Рассматриваются свойства функции, непрерывной на отрезке Приводится пример использования этих свойств при решении нелинейных уравнений

Подробнее

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики ФУНКЦИЯ И ЕЕ

Подробнее

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim Òåîðåìû î ïðåäåëàõ Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Основные теоремы о пределах. Предел числовой последовательности. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Экспонента. Натуральный логарифм.

Подробнее

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и Студент должен знать: определение предела функции; свойства пределов; понятие бесконечно малых функций; понятие ограниченных и бесконечно больших функций; определение непрерывности функции в точке; сравнение

Подробнее

ограниченные последовательности сходящиеся последовательности ательнос

ограниченные последовательности сходящиеся последовательности ательнос ограниченные последовательности Вычисление пределов числовых последовательностей Рассмотренные нами вопросы о числовых последовательностях содержат основные понятия и некоторые сведения о структуре множества

Подробнее

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Практикум по курсу математического анализа

Практикум по курсу математического анализа ЯА Барлукова, СФ Долбеева Практикум по курсу математического анализа Часть II Улан- Удэ Министерство образования Российской Федерации Бурятский государственный университет ЯА Барлукова СФ Долбеева ПРАКТИКУМ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 16. Эквивалентные бесконечно малые. Первый и второй замечательные пределы.

ЛЕКЦИЯ 16. Эквивалентные бесконечно малые. Первый и второй замечательные пределы. ЛЕКЦИЯ Эквивалентные бесконечно малые Первый и второй замечательные пределы Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых функций Функция f ( ) называется бесконечно малой в точке a (при a ), если (

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Методические указания для студентов заочной формы обучения. Составители М.В. Зголич

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Методические указания для студентов заочной формы обучения. Составители М.В. Зголич Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Подробнее

ПОДГОТОВКА К ТЕСТИРОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПОДГОТОВКА К ТЕСТИРОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ РОСЖЕЛДОР Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Ростовский государственный университет путей сообщения» ФГБОУ ВО РГУПС ЕВ Пиневич, ВА Липович, ИС Стасюк

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ Методическое пособие для студентов вузов

ПРЕДЕЛЫ Методическое пособие для студентов вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики и кибернетики Кафедра теории вероятностей и математической статистики ПРЕДЕЛЫ Методическое

Подробнее

x 2 10x > x 2 10x = x(x 10) > x2 x x 2 /2 = 2 x. x 2 10x < x+ x 2 10x = 0. x 0. > 0k N : 0 < x k < и f(x k ) A = A > 0,

x 2 10x > x 2 10x = x(x 10) > x2 x x 2 /2 = 2 x. x 2 10x < x+ x 2 10x = 0. x 0. > 0k N : 0 < x k < и f(x k ) A = A > 0, Пределы Предел функции Определение предела Пусть a точка числовой прямой, a b c) Пусть функция f) опре- делена на множестве E : { b c)\{a}} Число a называется пределом функции f) при, стремящемся к a обо-

Подробнее

5. Предел функции. ( ε > 0 δ > 0 x (a δ, a + δ), x a) f(x) l < ε. или так:

5. Предел функции. ( ε > 0 δ > 0 x (a δ, a + δ), x a) f(x) l < ε. или так: 5. Предел функции Определение. Точку p R называют предельной точкой (или точкой сгущения) множества X R, для любого r > 0 существует отличная от p точка x X такая, что x p < r. Говорят, что + (соответственно

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. Контрольная работа для студентов заочной формы обучения

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. Контрольная работа для студентов заочной формы обучения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ Т Ю Альпин, А И Егоров, П Е Кашаргин, С В Сушков ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть I: Комплексные числа Предел функции Казань 013 Печатается

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА ГОУВПО КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА Учебно-методическое

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

1.4. Предел функции Нахождение предела функции с использованием замечательных

1.4. Предел функции Нахождение предела функции с использованием замечательных 1.4. Предел функции 4.1. Нахождение предела функции с использованием замечательных пределов. ТЕОРИЯ Определение предельной точки. Точку p R называют предельной точкой (или точкой сгущения) множества X

Подробнее

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Подробнее

Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов

Сборник задач для самостоятельного решения по теме Предел функции Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов ББК В 65я73-4 С 3 УДК 57 Учебное издание Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: АН Максименко, АН Морозов Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

ПРАКТИКА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ

ПРАКТИКА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство сельского хозяйства Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанская государственная академия ветеринарной

Подробнее

Математический анализ Лекция 5. Математический анализ, Лекция 5 1 / 16

Математический анализ Лекция 5. Математический анализ, Лекция 5 1 / 16 Математический анализ Лекция 5 Математический анализ, Лекция 5 1 / 16 Общие свойства пределов Математический анализ, Лекция 5 2 / 16 Общие свойства пределов Теорема (локальная ограниченность функции) Математический

Подробнее

{ предел последовательности - число e - оценка предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы первый и

{ предел последовательности - число e - оценка предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы первый и { предел последовательности - число e - оценка предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы первый и второй бесконечно малые величины и их свойства - сравнение

Подробнее

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 7 Предел функции СОДЕРЖАНИЕ: Предел функции в точке Предел функции на бесконечности Основные теоремы о пределах функций Бесконечно

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 Дифференциальное исчисление функций одной

Подробнее

Непрерывность функции. Замечательные пределы. Лекция 2

Непрерывность функции. Замечательные пределы. Лекция 2 Непрерывность функции. Замечательные пределы Лекция 2 1 Определение непрерывности. Теорема о непрерывности суммы, произведения и частного функций Функция y f ( ) называется непрерывной в точке, если она

Подробнее

Тема: Предел функции. Свойства пределов 1. Предел функции

Тема: Предел функции. Свойства пределов 1. Предел функции Тема: Предел функции. Свойства пределов 1. Предел функции Пусть f(x) функция, определенная на множестве Х; А и а числа. Опр. Число А называется пределом функции f(x) при xa, если >0 такая -окрестность

Подробнее

Семинар 1 Введение в анализ. Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 3. Функции чётные и нечётные; периодические функции.

Семинар 1 Введение в анализ. Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 3. Функции чётные и нечётные; периодические функции. Семинар 1 Введение в анализ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Функция, области определения, способ задания. 2. Понятие сложной и обратной функции. 3. Функции чётные и нечётные; периодические

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ С.Н. Зиненко Математический анализ Предел и непрерывность функций одной переменной (теория к задачам) 4 Предел функции f( ), при, a нестрого означает, что становится почти равной (стремится, приближается

Подробнее

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция. Понятие множества. Определение функции основные свойства. Основные элементарные функции СОДЕРЖАНИЕ: Элементы теории множеств Множество вещественных чисел Числовая

Подробнее

Семинар 3. Предел функции нескольких переменных

Семинар 3. Предел функции нескольких переменных Семинар 3 Предел функции нескольких переменных О. Пусть D некоторое множество точек пространства R m : D R m. Пусть каждой точке M(x, x,, x m ) D поставлено в соответствие некоторое число u R. Тогда говорят,

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Министерство образования и науки Российской Федерации Курганский государственный университет Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

Введение в математический анализ. Теория пределов

Введение в математический анализ. Теория пределов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

( ) ( ( ) ) ( ) 0. ( x) M. α. Тогда. α называется. ϕ ограничена в ( ) Лекция 7.БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ

( ) ( ( ) ) ( ) 0. ( x) M. α. Тогда. α называется. ϕ ограничена в ( ) Лекция 7.БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ Лекция 7БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ Определение и свойства бесконечно малых функций Основные теоремы о пределах Замечательные пределы 4 Сравнение асимптотического поведения функций Определение

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л. И. Магазинников, А. Л. Магазинников ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Дифференциальное

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Юго-Западный государственный университет» (ЮЗГУ) Кафедра высшей математики УТВЕРЖДАЮ

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В.Н.Думачев С.А.Телкова МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие Воронеж - 06 ББК. Д8 Рассмотрено и одобрен на заседании кафедры математики и моделирования систем. Протокол от.09.06. Рассмотрен

Подробнее

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ Найти область определения D и множество значений Е функции y Р е ш е н и е Функция y определена если те если Поэтому областью определения функции является множество f ; D R Поскольку

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (РГГУ) Филиал в г Домодедово

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»

Федеральное агентство по образованию. Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Методы вычисления пределов Методические указания к решению задач Санкт-Петербург Издательство

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский

Подробнее

Методические указания

Методические указания Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана Методические указания В.Я. Томашпольский, М.Н. Шевченко, И.О. Янов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана Московский государственный

Подробнее

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций Лекция 5 Производные основных элементарных функций Аннотация: Даются физическая и геометрическая интерпретации производной функции одной переменной Рассматриваются примеры дифференцирования функции и правила

Подробнее

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Дифференциальное исчисление функций нескольких

Подробнее

Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания.

Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания. ГЛАВА 3. Предел и непрерывность отображения 1. Предельные точки, открытые и замкнутые множества в метрических пространствах Опр. 3.1.1. Пусть (X, ) метрическое пространство, x X, >. Проколотой - окрестностью

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова, В.М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ

Подробнее

Тема: Пределы. Краткие теоретические сведения. Непосредственное вычисление пределов.

Тема: Пределы. Краткие теоретические сведения. Непосредственное вычисление пределов. Тема: Пределы Краткие теоретические сведения Непосредственное вычисление пределов si Первый замечательный предел: Второй замечательный предел: ( ) 5 5 5 9 si si cos cos si si 5 5 9 6 6 6 8 8 si si 5 5

Подробнее

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x)

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x) Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(, ) f ( ) ( ) (), где ( ) при

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

Приложение 1 1. Определение производной Пусть x 1 и x 2 значения аргумента, а y f ) и y f ) - соответствующие значения функции y f (x)

Приложение 1 1. Определение производной Пусть x 1 и x 2 значения аргумента, а y f ) и y f ) - соответствующие значения функции y f (x) Приложение Определение производной Пусть и значения аргумента, а f ) и f ) - ( ( соответствующие значения функции f () Разность называется приращением аргумента, а разность - приращением функции на отрезке,

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) Кафедра "Прикладная математика-1" Ю.С.Семёнов Кафедра "Прикладная математика-1"

Подробнее

Тема: Предел функции

Тема: Предел функции Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Предел функции предел функции и его свойства, бесконечно большие функции и их свойства Лектор Янущик ОВ 215 г 3 Предел функции 1 Определение предела

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x :

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x : СОДЕРЖАНИЕ ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Дифференцирование неявных функций Логарифмическое дифференцирование Производные высших порядков Дифференцирование функции, заданной параметрически 6 Уравнение

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ПРЕДЕЛЫ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ПРЕДЕЛЫ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ПРЕДЕЛЫ» I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ. Числовые последовательности. Предел последовательности. Свойства пределов последовательности.. Существование предела монотонной ограниченной последовательности.

Подробнее

3. Бесконечно большие последовательности

3. Бесконечно большие последовательности 3. Бесконечно большие последовательности ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовая последовательность { n } называется бесконечно большой, если M> NN такое, что n >M, n>n. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Подробнее

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии. ЛЕКЦИЯ Числовые последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Основные свойства бесконечно малых последовательностей Числовые последовательности Если каждому из множества

Подробнее

Предел и непрерывность функции одной переменной

Предел и непрерывность функции одной переменной Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии МЕЧанга Предел и непрерывность функции одной переменной Рекомендовано учебно-методическим

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

Методические рекомендации по решению задач на тему «пределы функции» для студентов специальности «Производство летательных аппаратов»

Методические рекомендации по решению задач на тему «пределы функции» для студентов специальности «Производство летательных аппаратов» Государственное бюджетное профессиональное учреждение Московской области «Авиационный техникум имени В.А. Казакова» Рассмотрено на заседании предметной цикловой комиссии «Общеобразовательных, математических

Подробнее