МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)"

Транскрипт

1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) Кафедра "Прикладная математика-1" Ю.С.Семёнов Кафедра "Прикладная математика-1" Ю.С.Семёнов Утверждено редакционно-издательским советом университета ПРЕДЕЛЫ И ИХ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛЫ И ИХ ВЫЧИСЛЕНИЕ Методические указания по дисциплине "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ" Методические указания по дисциплине "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ" для студентов специальности "ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА" Москва Москва - 006

2 УДК 517 С-30 Семёнов Ю.С. Пределы и их вычисление. Методические указания по дисциплине "Математический анализ". М.: МИИТ, с. Предназначено в качестве учебного пособия для студентов первого курса специальности "Прикладная математика и информатика а также других специальностей. c Московский государственный университет путей сообщения МИИТ), 006 Содержание Введение Предел последовательности Предел функции по Коши Пределы функции при ±. Односторонние пределы Предел функции по Гейне Простые случаи вычисления пределов Вычисление пределов с помощью эквивалентностей Применение правила Бернулли Лопиталя и формулы Тейлора Сравнение функций и последовательностей. o символика Верхний и нижний пределы последовательности и функции Литература Введение. Настоящее учебное пособие предназначено для студентов первого курса специальности "Прикладная математика и информатика" и других специальностей, изучающих теорию пределов. От читателя требуются знания по элементарной математике системы чисел, решение уравнений и неравенств, алгебраические и тригонометрические преобразования, основные свойства элементарных функций), а также знание основных свойств пределов, которые обычно рассказываются в лекционном курсе по математическому анализу теорема о пределе суммы, произведения и частного, теоремы о предельном переходе в неравенствах, теоремы об условиях существования предела монотонной последовательности или функции, теорема о замене переменной в пределе и т.д. см., например, [3]). Кроме того, предполагается, что читателю известны первый и второй замечательный пределы, понятие точной верхней и точной 3

3 нижней грани множества, а также исключительно в контексте правила Лопиталя понятие производной. Основная цель, которая преследовалась при составлении этого учебного пособия, помочь читателю разобраться на стандартных примерах с понятиями теории пределов в том числе и геометрическими), познакомить его с языком "ε δ" и научить разнообразной технике вычисления пределов. Для более глубокого изучения предмета мы рекомендуем обратиться к литературе [1], [], [4]. 1. Предел последовательности. Пусть задана числовая последовательность { a n n N}. Напомним, что означает равенство a a n. Определение 1.1. Число a называется пределом последовательности a n при n, стремящемся к бесконечности, если для любого ε > 0 найдётся такое число N N, что для всех n N выполняется неравенство a n a < ε. Рассмотрим понятие предела с геометрической точки зрения. По определению, ε-окрестность числа a это интервал U ε a) a ε ; a + ε). Условие a n U ε a) равносильно условию a n a < ε. Поэтому равенство a a n означает, что для произвольной ε- окрестности U ε a) найдётся номер N, начиная с которого все a n попадают в U ε a). Это в свою очередь означает, что при неограниченном увеличении n члены последовательности a n неограниченно приближаются к числу a см. рис. 1.1, на котором изображено типичное поведение членов последовательности с номерами n N. При этом a n могут располагаться как слева, так и справа от точки a. a a N+... a N+1 a ε a a + ε Рис. 1.1 Пример 1.1. Докажем, что n n + 5. Для этого по произвольно заданному ε > 0 мы должны найти такое N, зависящее от ε, что при всех n N выполняется неравенство n n + 5 < ε. 1.1) Преобразуем его в неравенство 10 n n 4 5 n + ) 5 < ε 1.) или или т.е. Последнее неравенство равносильно Положим n + ) < ε. 1.3) 5 n + > 1 5ε 1.4) 1 10ε n >, 5ε 1.5) ) 1 10ε n >. 5ε 1.6) [ 1 ) ] 10ε N + 1, 1.7) 5ε где [p ] означает целую часть числа p. Дело в том, что правая часть неравенства 1.6) может быть нецелой, а число N должно быть целым. 4 5

4 Определённое равенством 1.7) число N искомое, потому что из неравенства n N следует неравенство 1.6) и далее по цепочке неравенства 1.5) 1.1). Замечание. Обратим внимание, что в общем случае при построении цепочек неравенств их можно только усиливать, т.е. из последующего неравенства должно следовать предыдущее. Не ст оит гоняться за минимальным значением N для данного ε задача заключается в том, чтобы предъявить какое-нибудь N. Так, можно взять вместо найденного в примере числа N число N + 3 или N, поскольку из неравенства n N + 3 или n N также будут следовать неравенства 1.6) 1.1). Вернёмся к нашему примеру. Пусть ε 0, 01. По формуле 1.7) получим, что N 13, т.е. начиная с номера n 13 члены последовательности будут попадать в интервал 0, 39 ; 0, 41) 0,01-окрестность числа 0,4. Если же ε 0, 001, то N оказывается равным В общем случае число N возрастает с уменьшением ε. Пример 1.. Докажем, что n a 1 при a > 0. Случай a 1 тривиален. Пусть a > 1. Неравенство 0 < n a 1 < ε 1.8) равносильно неравенству 1 < a < 1+ε) n, которое справедливо при n > log 1+ε a ln a ln1 + ε). Таким образом, [ ] неравенство 1.8) верно при условии ln a n N + 1. ln1 + ε) Теперь рассмотрим оставшийся случай 0 < a < 1. Тогда 1/a > 1, а по только что доказанному и по свойствам пределов n 1 a 1. 1/a n. Предел функции по Коши. Классическое определение предела функции на языке "ε δ" "эпсилон дельта") было предложено французским математиком О. Коши. Напомним его. Пусть функция y f) определена в некоторой окрестности точки 0 R, кроме, быть может, самой точки 0. Определение.1. Число a называется пределом функции f) при, стремящемся к 0, если для любого ε > 0 найдётся такое зависящее от ε число δ > 0, что для всех с условием 0 < 0 < δ выполняется неравенство f) a < ε. Это записывают с помощью равенства f) a..1) 0 Заметим сразу, что условие 0 < 0 < δ означает вопервых, что 0, т.е. нас не должно интересовать, что происходит с функцией в самой точке 0, в частности, функция в этой точке может быть как определена, так и не определена, а во-вторых, что принадлежит проколотой δ-окрестности точки 0 : U δ 0 ) 0 δ; 0 ) 0 ; 0 + δ). Условие f) a < ε означает, что значения f) попадают при этом в полную непроколотую) ε-окрестность точки a см. рис..1): f) U ε a). y a + ε a a ε 0 δ 0 0 +δ Рис..1 f) 6 7

5 Неформально предельное равенство.1) означает, что при стремлении к 0 причём 0 ) значения функции f) стремятся к a. Это позволяет проконтролировать, как говорят, локальное поведение функции т.е. поведение функции в окрестности точки 0, при этом сама точка 0 не рассматривается) чем ближе абсцисса точки графика функции к 0 0 ), тем ближе её ордината f) к числу a f) a). Если задана конкретная функция f) и точка 0, то для доказательства по определению предельного равенства.1) необходимо установить явную зависимость параметра δ > 0 от параметра ε > 0 исходя из того, что f) U ε a) при условии U δ 0 ). Опять-таки ст оит сказать, что существует много таких зависимостей, и не обязательно тратить время на поиск наибольшего возможного δ при фиксированном ε. Например, если некоторое δ подходит, то подойдёт и δ/, и δ/3 при этом соответствующая окрестность просто сжимается в или 3 раза. Если обратить ещё раз внимание на рис., то можно заметить, что указанную там δ-окрестность можно не только уменьшить, но ) и немного увеличить, лишь бы выполнялось условие f U δ 0 ) U ε a). Кроме того, обычно δ 0 при ε 0, т.е. чем меньше ε-окрестность точки a, тем меньше и δ-окрестность точки 0. Рассмотрим несколько примеров. 3 8 Пример.1. Докажем, что 10. Функция не определена при 0 и числитель, и знаменатель обращаются в 0 в [ таких ] случаях говорят, что имеет место 0 неопределённость типа ). Выясним, исходя из определения 0 предела, при каких выполнено неравенство < ε.) при заданном положительном ε. Поскольку многочлен 3 8 обращается в 0 при, то по теореме Безу её формулировку можно найти на стр. 1) он делится нацело на : 3 8 )3 + 4). Таким образом, неравенство.) равносильно при условии неравенству или 3 + 4) 10 < ε 3 ) < ε, которое, с учётом условия, в свою очередь равносильно неравенству 0 < < ε/3..3) Итак, если выполнено неравенство.3), то выполнено и неравенство.). Но если удовлетворяет неравенству.3), то это в точности означает, что находится в проколотой δ-окрестности точки 0, где δ ε/3. Это и есть искомая зависимость δ от ε. Пример.. Докажем, что ) 3. При 1 и ε > 0 рассмотрим неравенство + + 1) 3 < ε..4) Неравенство.4) равносильно неравенству + < ε, неравенству неравенству 1) + ) < ε, 1) 1 + 3) < ε, 8 9

6 или неравенству 1) + 3 1) < ε..5) Мы разложили многочлен + по степеням 1, поскольку в нашем примере 0 1, т.е. 0 1, а наша задача получить оценку сверху как раз для 0. Воспользуемся известным неравенством p + q p + q. Из этого неравенства следует, что если выполнено более сильное неравенство < ε,.6) то выполнено и неравенство.5). Решая последнее неравенство, например, методом интервалов и помня, что 1 > 0, получим, что оно равносильно неравенству 0 < 1 < ε..7) Таким образом, если выполнено неравенство.7), то выполнено и неравенство.4). Значит, можно положить δ ε Упражнение. Покажите, исходя из неравенства.6), что в качестве зависимости δ от ε можно взять { ε } δ min 1, Пример.3. Докажем, что При и, конечно, при 3), а также при ε > 0 рассмотрим неравенство < ε..8). Оно равносильно неравенству < ε..9) Заметим, что если выполнено неравенство 0 < + < 1/, то + 3 > 1/ и < +..10) Поэтому неравенство.9) будет выполнено, если одновременно выполнены неравенства 0 < + < 1/ и 0 < + < ε/. Другими словами, можно положить { } 1 δ min, ε..11) Упражнение. Покажите, что наибольшая возможная величина δ > 0 при заданном ε > 0 определяется формулой δ ε 1 + ε рекомендуем нарисовать график исходной функции, как на рис..1). Пример.4. Докажем, что 0 0 при 0 R. При 0 и ε > 0 рассмотрим неравенство которое равносильно неравенству или неравенству 0 < ε,.1) 0 ε < < 0 + ε 1 ε 0 < 0 < 1 + ε 0..13) 10 11

7 При a > 0 выполняется неравенство 1 + a) 1 > 1 a, так как 1 a)1 + a) 1 a < 1. Поэтому при любом ε > 0 справедливо неравенство 1 + ε ) 1 ε 0 > 1, и.13) вытекает 0 из неравенства или же 1 + ε ) 1 0 < 0 < 1 + ε 0 log 1 + ε ) < 0 0 < log 1 + ε ) 0 т.е., с учётом условия 0 > 0, из неравенства 0 < 0 < log 1 + ε ) 0,..14) Итак, из неравенства.14) следует неравенство.1). Значит, δ log 1 + ε ). 0 Пример.5. Докажем, что 0 sin sin 0 для 0 R. Поскольку sin sin 0 sin 0 то неравенство вытекает из неравенства cos + 0 sin 0, sin sin 0 < ε.15) sin 0 < ε..16) Поскольку при всех ϕ 0 выполнено неравенство sin ϕ < ϕ при ϕ < π/ это следует из стандартного доказательства первого замечательного предела, а при ϕ π/ > 1 оно очевидно), то неравенство.16) выполняется при условии 0 < ε или, учитывая требование 0 > 0, при условии 0 < 0 < ε..17) Итак, из.17) следует.15), и поэтому δ ε. Напомним, что функция f) называется непрерывной в точке 0, если f) f 0 ). Два последних примера показывают, что функции f) и f) sin непрерывны 0 всюду. Бесконечные пределы. Определение.. Говорят, что предел функции f) при, стремящемся к 0, равен бесконечности, если для любого C > 0 найдётся такое зависящее от C число δ > 0, что для всех с условием 0 < 0 < δ выполняется неравенство f) > C. Это записывают так: 0 f),.18) а функцию f) называют бесконечно большой при 0. Неформально равенство.18) означает, что при неограниченном приближении к 0 значения f), взятые по абсолютной величине, неограниченно увеличиваются. Если в некоторой проколотой окрестности точки 0 функция принимает значения определённого знака, то в равенстве 1 13

8 .18) символ " " может быть заменён либо на "+ " если функция принимает положительные значения), либо на " " если функция принимает отрицательные значения). 1 Пример.6. Докажем, что. Для C > 0 решим неравенство 1 > C..19) Легко видеть, что оно равносильно неравенству 0 < < 1 C..0) Если положить δ 1, то при условии 0 < < δ будет C выполнено неравенство.19), что и требовалось доказать. 3. Пределы функции при ±. Односторонние пределы. Пусть существует такое число K, что функция y f) определена при всех K. Определение 3.1. Число a называется пределом функции f) при, стремящемся к +, если для любого ε > 0 найдётся такое зависящее от ε число C, что для всех с условием > C выполняется неравенство f) a < ε. Это записывают с помощью равенства y a + ε a a ε f) a. 3.1) + C Рис. 3.1 f) Прямая y a будет горизонтальной асимптотой графика f) при +. Пусть теперь существует такое число K, что функция y f) определена при всех K. Определение 3.. Число a называется пределом функции f) при, стремящемся к, если для любого ε > 0 найдётся такое зависящее от ε число C, что для всех с условием < C выполняется неравенство f) a < ε. Это записывают с помощью равенства f) a. 3.) y a + ε f) a a ε C Рис. 3. Прямая y a будет горизонтальной асимптотой графика f) при. Наконец, пусть существует такое число K, что функция y f) определена при всех K. Определение 3.3. Число a называется пределом функции f) при, стремящемся к, если для любого ε > 0 найдётся такое зависящее от ε число C, что для всех с условием > C выполняется неравенство f) a < ε. Это записывают с помощью равенства Отметим, что f) + f) a. 3.3) f) a f) a. тогда и только тогда, когда 14 15

9 Пример 3.1. Докажем, что arctg π +. При ε > 0 рассмотрим неравенство arctg π < ε. 3.4) Поскольку π/ < arctg < π/ для всех R, то 3.4) равносильно неравенству π ε < arctg < π. 3.5) Если ε π/, то неравенство 3.5) выполняется при > 0, а если 0 < ε < π/, то оно равносильно неравенству π ) > tg ε ctg ε. 3.6) Итак, можно положить { ctg ε, если 0 < ε < π/ ; C 0, если ε π/. Тогда при > C будет выполнено неравенство 3.4). Пример 3.. Докажем, что a 0 при любом a > 1. При ε > 0 рассмотрим неравенство которое равносильно неравенству или неравенству a 0 < ε, 3.7) 0 < a < ε < log a ε. Таким образом, можно положить C log a ε, и тогда при всех < C неравенство 3.7) будет выполнено. Односторонние пределы. Мы можем рассматривать два случая неограниченного приближения переменной к 0 : в первом случае берутся только те значения, которые меньше 0 говорят, что стремится к 0 слева), а во втором только те значения, которые больше 0 говорят, что стремится к 0 справа). Определение 3.4. Число, которое мы обозначим a, называется пределом функции f) при, стремящемся к 0 слева, если для любого ε > 0 найдётся такое зависящее от ε число δ, что для всех с условием 0 δ < < 0 выполняется неравенство f) a < ε. Это записывают с помощью равенства f) a. 3.8) 0 0 Определение 3.5. Число, которое мы обозначим a +, называется пределом функции f) при, стремящемся к 0 справа, если для любого ε > 0 найдётся такое зависящее от ε число δ, что для всех с условием 0 < < 0 +δ выполняется неравенство f) a + < ε. Это записывают с помощью равенства f) a ) 0 +0 На рис. 3.3 приведен пример функции, у которой предел слева и предел справа в точке 0 конечны и различны. В таких случаях говорят, что что у функции f) в точке 0 имеется разрыв первого рода или скачок величины h a + a ). Односторонние пределы функции используются, в частности, при определении типа точек разрыва

10 y a + a 0 Рис. 3.3 f) При вычислении односторонних пределов или доказательстве того, что f) a ±, в принципе используется та 0 ±0 же техника, что и для обычных двусторонних) пределов. При этом надо помнить, что для пределов слева возникает дополнительное неравенство < 0, а для пределов справа неравенство > 0. Также отметим, что f) a тогда и 0 только тогда, когда f) f) a Пределы функции при ± можно рассматривать как одну из разновидностей односторонних пределов точка 0 бесконечно удалённая). Упражнение. Дайте строгие определения следующих предельных равенств: а. f) ; б. f) ; + в. f) ; г. f) Заметим, что если f) или f), то прямая 0 будет вертикальной асимптотой графика функции f). Например, поскольку ln докажите!), 0+0 то ось ординат 0 будет вертикальной асимптотой графика натурального логарифма нарисуйте график). 4. Предел функции по Гейне. Определение Гейне подчёркивает связь между понятиями предела функции и предела последовательности. Доказательство эквивалентности определений предела функции по Коши и по Гейне обычно приводится в стандартных курсах математического анализа, поэтому мы на нём не останавливаемся. Отметим лишь, что определение Гейне более удобно для доказательства того, что функция f) не имеет никакого предела при 0, в то время как определение Коши для доказательства того, что функция f) имеет при 0 определённый предел. Определение 4.1. Число a называется пределом в смысле Гейне ) функции f) при, стремящемся к 0, если для любой последовательности { n } такой, что n 0 и n 0 для любого n N, верно равенство f n) a. Отметим, что в этом определении либо 0 действительное число, либо 0 ±. То же самое можно отнести и к a. Пример 4.1. Покажем, что sin π не существует. 0 Положим n 4n + 1, n. Первая последовательность, как легко проверить, состоит из решений уравнения 4n 1 sin π 1, а вторая sin π 1. Ввиду этого sin π 1, n в то время как sin π 1. Поскольку эти два предела n различны, то предела sin π не существует. 0 Отсутствие предела связано с тем, что на любом интервале вида 0; δ) график функции y sin π совершает бесконечное число колебаний: y меняется от значения 1 до значения 1 и обратно нанесите точки n и n на ось абсцисс и постройте эскиз графика). Точка 0 0 это точка разрыва второго рода данной функции

11 5. Простые случаи вычисления пределов. n + 1) 3 n 1) 3 Пример 5.1. Вычислим 5n. + n + 1 Решение. n + 1) 3 n 1) 3 5n + n + 1 n 3 + 3n + 3n + 1) n 3 3n + 3n 1) 5n + n + 1 6n + 5n + n /n 5 + 1/n + 1/n 6 5. Основной момент при вычислении такого вида пределов деление числителя и знаменателя дроби на старшую степень в нашем примере это n ). Дело в том, что без этого мы не можем применить теорему о пределе частного; предел 6n + 5n + n + 1 представляет неопределённость типа [ Пример 5.. Вычислим Решение ± ] ). ± ± + + 4, т.е. при ± исходный предел предел типа [ ]. Для вычисления предела воспользуемся известной формулой a b a b) a + b) a + b a b a + b мы домножили и разделили выражение a b на сопряжённое выражение a + b ). Отсюда ) ± ) + + 4) ± ± ± / 1 + 7/ + 1/ / + 4/ ). При + можно рассматривать только положительные значения, при этом 1. В таком случае + 6 3/ 1 + 7/ + 1/ / + 4/ При можно рассматривать только отрицательные значения, и тогда 1. Значит, Итак, 6 3/ 1 + 7/ + 1/ / + 4/ ) ±3. ± Пример 5.3. Вычислим. + 6 Решение. Теоремой о пределе частного мы [ ] воспользоваться не 0 можем имеется неопределённость типа. При вычисленни 0 таких пределов от дроби вида "многочлен на многочлен", т.е. рациональной функции) можно применить теорему Безу: Если 0 является корнем многочлена P ) с действительными коэффициентами, отличного от константы, то P ) 0 1

12 делится без остатка на 0, т.е. P ) 0 ) Q), где Q) многочлен. Деление обычно производится "столбиком" или по схеме Горнера. Для квадратных трёхчленов можно воспользоваться формулами Виета. В нашем примере ) 4 + 3), + 6 ) + 3). Отсюда ) 4 + 3) + 6 ) + 3) Заметим, что мы вправе сократить на, поскольку не принимает само значение при. Пример 5.4. Вычислим Решение. Для вычисления предела воспользуемся формулой 3 a 3 b 3 a 3 b) 3 a + 3 a 3 b + 3 b ) 3 a + 3 a 3 b + 3 b a b 3 a + 3 a 3 b + 3 b домножаем и делим выражение 3 a 3 b на сопряжённое к нему 3 a + 3 a 3 b + 3 b ). Отсюда ) 5 7) 3 3 9) + 5) ) 5 7) ) + 5) ) 5 7) 4 3) 3 3 9) + 5) ) 5 7) ) + 5) ) 5 7) ) ) Упражнение. Покажите с помощью аналогичного приёма 3 см. также пример 5.), что n 3 + n + 1 n) /3. Пример 5.5. Докажем, что для любого p > 0 выполнено равенство p n n! 0. Положим a n p n n!. Тогда a n+1 p n+1 n! a n n + 1)! p n p n + 1. Из этого следует, что a n > a n+1 при n > p, т.е. последовательность a n монотонно убывает при n > p. Кроме того, она ограничена снизу, например, числом 0. По теореме Вейерштрасса p n существует, который мы обозначим A. n! p Если в равенстве a n+1 a n перейти теперь к пределу n + 1 при n, то получится соотношение A A 0 0, что и требовалось. Упражнение. Покажите с помощью аналогичного приёма, n что для любого p > 1 0. Выведите отсюда, что p n для любых k > 0 и p > 1 n k 0 извлеките корень p n 3

13 степени k) Пример 5.6. Вычислим 0±0 1/ + 1. Сделаем замену y 1/, y ±. Тогда / + 1 3/y + 5 y + y + 1 0, так как 3/y + 5 5, а y. С другой стороны, / + 1 3/y + 5 y y + 1 5, поскольку по-прежнему 3/y + 5 5, а y 0 см. пример 3.). Таким образом, точка 0 будет точкой разрыва первого рода точкой скачка) функции / Вычисление пределов с помощью эквивалентностей. Техника вычисления пределов, основанная на применении эквивалентностей, позволяет достаточно быстро добраться до ответа за счёт сокращения числа арифметических преобразований и значительного упрощения выкладок. С другой стороны, эквивалентности нужны не только в теории пределов, но и в других разделах математического анализа например, при рассмотрении несобственных интегралов и рядов). Определение 6.1. Последовательности a n и b n называются a n эквивалентными при n, если 1. b n Определение 6.. Функции f) и g) называются эквивалентными при 0, если f) 0 g) 1. Замечание. Также можно говорить об эквивалентности функций при ± и 0 ± 0. Таблица основных эквивалентностей при 0 1. sin 6. e 1. tg 7. a 1 ln a 3. arcsin 8. ln1 + ) 4. arctg 9. log a 1 + ) ln a 5. 1 cos / ) a 1 a. Эта таблица состоит из следствий первого и второго замечательных пределов: sin 0 1 и e. ) В табличные эквивалентности вместо можно подставлять бесконечно малые функции и последовательности: например, sin 1 n 1 при n эквивалентность 1), n при 0 эквивалентность 10 при a 1/5) и т.д. Многие другие эквивалентности получаются из табличных путём замены переменной. Кроме того при n при ) имеет место эквивалентность a k n k + +a 1 n+a 0 a k n k a k k + +a 1 +a 0 a k k ), т.е. на бесконечности многочлен эквивалентен своей старшей степени. Отметим, что если f) a 0, то f) a при 0 т.е. функция эквивалентна своему ненулевому пределу). В связи с этим нужно 0 помнить, что никакая функция не эквивалентна 0. Следующая теорема служит основой использования эквивалентностей при вычислении пределов: Теорема 6.1. Пусть f) g) при 0 и h) некоторая функция. Тогда 0 f)h) 0 g)h) либо оба предела существуют и равны, либо оба не существуют). 4 5

14 Таким образом, при вычислении пределов можно заменять множители на им эквивалентные предел при этом не изменится. Кроме того, поскольку в условиях теоремы 1 f) 1 g) при 0 это легко следует из определения), то h) 0 f) h) 0 g), т.е. множители можно заменять не только в числителе, но и в знаменателе. sin 11 Пример 6.1. Вычислим. Поскольку sin tg 8 и tg 8 8 при 0, то sin 11 0 tg Пример 6.. Вычислим 4. Чтобы воспользоваться табличными эквивалентностями, сделаем сначала замену переменной: y, y 0. Тогда 4 4 y 0 4 y 1) y 0 yy + 4) y 0 y+ 4 y + ) 4 y 0 4 y ln y 4 ln. y 4 4 y + 4y Здесь были использованы две эквивалентности при y 0: y 1 y ln и y y ). 5 Пример 6.3. Вычислим n 5 + 3n 4 + n + 7 n). Решение. 5 n 5 + 3n 4 + n + 7 n) ) 1 + 3n + 1n 4 + 7n 5 1 n n n + 1 n ) n n n 4 ) 3 5. Здесь была использована эквивалентность 10 при a 1/5. ) n + 1 3n Пример 6.4. Вычислим предел типа [1 ]. n + 3 Сначала преобразуем предел следующим образом: n + 1 n ) 3n n + 1) n + 3) n n + 1 ) 3n n ) 3n 1 ) 3n. n + 3 Далее воспользуемся формулой a b e b ln a и непрерывностью функции e : 1 ) 3n 3n ln 1 ) e n + 3. n + 3 Найдём теперь предел в показателе, пользуясь эквивалентностью 8. 3n ln 1 ) n + 3 3n ) n + 3 6n n /n 3. ) n + 1 3n Поэтому e 3. n + 3 Пример 6.5. Вычислим 1 1/ 1). Этот предел вычисляется точно так же, как и в предыдущем примере. 1) 1 1/ 1 + 1)) 1/ 1) 1 ln1 + 1)) 1 e 1 e e e. 6 7

15 log Пример 6.6. Вычислим 3 + 5) 3. 8 Сделаем замену y, y 0 и учтём, что log 3 9. Тогда log 3 + 5) 3 8 y 0 log 3 y/9 + 1) y 3 + 6y + 1y y 0 log 3 y + 9) log 3 9 y 0 y + ) 3 8 y/9 ln 3 y y + 6y + 1). Мы использовали равенство log 3 b log 3 c log 3 b/c и эквивалентность 9 при a 3. Далее, y 0 y/9 ln 3 y y + 6y + 1) 9 ln ln 3. cos 3 cos 5 Пример 6.7. Вычислим Поскольку при 0 эквивалентность 10), то cos 3 cos cos 3 cos cos 5) 1 cos 3) cos cos 3 5. В числителе дроби мы прибавили и вычли 1. Далее, 5 1 cos 5, 1 cos 3 9 при 0 эквивалентность 5). Отсюда 1 cos 5 1 cos Также можно вычислить этот предел, если использовать формулу для разности косинусов Пример 6.8. Вычислим. 0 6 Приём прибавления и вычитания подходящей величины в числителе дроби, а также эквивалентность 10 причём для двух разных показателей: 1/ и 1/3), можно применить и здесь / / /4 1) /8 1) / / / / Замечание. Вообще говоря, в разностях нельзя заменять уменьшаемое или вычитаемое на эквивалентную величину. Например, sin На самом деле этот предел можно посчитать по правилу Бернулли Лопиталя: он равен 1/6. Заинтересованному читателю рекомендуем доказать следующую теорему: Теорема 6.. Пусть f 1 ) f ) при 0 и g) некоторая функция такая, что f ) 0 g) k, где либо k R, k 1, либо k из чего следует, f ) и g) не эквивалентны, в отличие от примера выше). Тогда f 1 ) g) f ) g) при

16 7. Применение правила Бернулли Лопиталя и формулы Тейлора. Правило Бернулли Лопиталя или просто правило Лопиталя) применяется при вычислении пределов только типа [ или. Несмотря на то, что это правило является достаточ- ] но мощным вычислительным средством, его по ряду причин не следует считать универсальным. Например, с точки зрения sin логики первый замечательный предел нельзя вычис- 0 лить по правилу Лопиталя ведь для этого надо использовать равенство sin ) cos, которое как раз и доказывается на основе первого замечательного предела, т.е. мы здесь встречаемся с явлением логического порочного круга. С другой стороны, с помощью правила Лопиталя нельзя вы- + sin числить предел. Действительно, предел отношения производных, очевидно, не существует + cos + cos 1 sin знаменатель периодически колеблется от 0 до. В то же время + sin + cos + sin 1/ 1 + cos 1/, так как sin 1/ и cos 1/ стремятся к нулю при. Рассмотрим теперь примеры, в которых правило Лопиталя хорошо работает. sin Пример 7.1. Вычислим 0 Это предел типа [ ]. По правилу Лопиталя sin sin ) 1 cos ) [ 0 0 ] в последнем равенстве была использована эквивалентность 5: 1 cos /) Пример 7.. Вычислим 3. 8 По правилу Лопиталя ) ) ) ln ln 1 3 ln. ln [ ] Пример 7.3. Вычислим +. Это предел типа. По правилу Лопиталя, которое приходится применять два раза, ln ln ) ln ) ) + ) + 0. ln 1 Пример 7.4. Вычислим ln. Это предел типа [0 ]. Чтобы применить правило Лопиталя, этот предел надо преобразовать. ln ln [ 0+0 ] ) e Пример 7.5. Вычислим 0 tg 3. Не рекомендуем сразу использовать правило Лопиталя его придётся применить три раза, а вторая и третья производные 30 31

17 tg 3 записываются весьма громоздко. Но мы можем воспользоваться тем, что tg 3 3. e 0 3 e e Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано или локальная формула Тейлора) может быть доказана с помощью правила Лопиталя, поэтому пределы, вычислямые по формуле Тейлора, могут быть в принципе вычислены и по Лопиталю. Однако в конкретных задачах эта формула бывает значительно удобнее см. ниже пример 7.6. Напомним, что если функция f) имеет в точке 0 R все производные вплоть до порядка n, то имеет место следующее представление f) при 0 : f) f 0 ) + f 0 ) 0 ) + f 0 ) 0 ) + +! + f k 0 ) k! 0 ) k + + f n 0 ) 0 ) n + o 0 ) n ), n! 7.1) где o 0 ) n ) некоторая бесконечно малая более высокого порядка, чем 0 ) n o малое от 0 ) n по поводу o символики см. следующий параграф). При вычислении пределов по формуле Тейлора часто используются следующие табличные разложения при 0 сравните с таблицей эквивалентностей). sin 3 3! + 5 n )n 5! n + 1)! + on+1 ), cos 1! + 4 n + + 1)n 4! n)! + on ), e 1 + +! + 3 3! + + n n! + on ), ln1 + ) + 3 n + + 1)n 1 3 n! + on ), arctg n )n ) a 1 + a + aa 1)! n on+1 ), ) a + + n + o n ), n ) a aa 1)... a k + 1) где обобщённые биномиальные коэффициенты. k k! Другие разложения получаются либо непосредственно с помощью формулы 7.1), либо из табличных разложений с помощью замены переменной и других преобразований. Например, при 0 e ln 1 + ln + ln! sin 6 3! + + lnn n! n + o n ), + + 1)n 4n+ n + 1)! + o4n+ ). 7.) При вычислении пределов множители в числителе и знаменателе дроби) обычно раскладывают по формуле Тейлора до первого ненулевого слагаемого и дальше пользуются тем, что o 0 ) n ) 0 0 ) n 0. sin Пример 7.6. Вычислим 0 sin 6. По формуле Тейлора см. 7.)): sin 6 3! + o6 ). Поскольку sin + o), то sin 6 + o)) o 6 ). Таким образом, была использована формула Тейлора порядка 6. Далее, sin 0 sin 6 6 /6 + o 6 ) 1/6 + o 6 )/ o 6 ) o 6 )/

18 8. Сравнение функций и последовательностей. o символика. При сравнительном анализе поведения двух функций f) и g) при 0, где либо 0 R, либо 0 или же двух последовательностей a n и b n при n ) обычно составляют отношение этих функций последовательностей) и ищут предел этого отношения. Наибольший интерес представляет сравнение двух бесконечно малых или двух бесконечно больших функций последовательностей). Определение 8.1. Функции f) и g) имеют одинаковый порядок малости если они обе бесконечно малые) или одинаковый порядок роста если они обе бесконечно большие) при 0, если предел их отношения конечен и отличен от нуля: f) 0 g) k 0. Аналогичное определение имеет место и в случае последовательностей. Если k 1, то, как мы знаем, функции f) и g) называются эквивалентными см. определение 6.1). Из определения легко вытекает, что f) и g) имеют один и тот же порядок, если f) kg) для некоторого ненулевого k R говорят, что f) и g) эквивалентны с точностью до ненулевой константы). Например, 1 cos и имеют одинаковый порядок малости при 0, так как 1 cos /. Вообще, если f) k 0 ) a при 0, где a > 0, то говорят, что f) бесконечно малая порядка a. Таким образом, f) 1 cos это бесконечно малая второго порядка, а f) sin имеет шестой порядок малости при 0. С другой стороны, последовательность a n 3 n 5 + n 1 имеет тот же порядок роста, что и b n 3 n 5 n 5/3, поскольку 3 n 5 + n 1 3 n 5/3 при n. Определение 8.. Функция f) называется o-малой относительно g) при 0, если предел их отношения равен нулю: f) 0 g) 0. Аналогичное определение даётся и для последовательностей. Обычно используется такая запись: f) og)) при 0 или a n ob n ) при n. Если функция f) является бесконечно малой при 0, то также говорят, что она стремится к нулю быстрее, чем g) которая при этом может быть, а может даже и не быть бесконечно малой). Например, запись f) o1) при 0 означает всего лишь, что f)/1 f) 0, т.е. что f) это некоторая бесконечно малая при 0. Если же f) og)) и g) бесконечно большая при 0, то говорят, что f) растёт медленнее g) на самом деле, при этом f) может даже и не расти, т.е. не быть бесконечно большой). Например, 1 o ) при, поскольку 1/ 0. Обратимся к ранее разобранным примерам. Пример 5.5 показывает, что p n on!) при n для любого p > 0, т.е. факториал растёт быстрее любой геометрической прогрессии. Из примера 7.3 следует, что ln o) при +. Вообще, с помощью правила Лопиталя можно показать, что ln k o ε ) для любого положительного k и для любого положительного ε при +, т.е. степенная функция с положительным показателем растёт быстрее любой степени логарифма. Пример 8.1. Вычислим [. По правилу Лопиталя ] + a + + a ) a ) + при a > 1 предел типа 1 a ln a

19 Это означает, что oa ) для любого a > 1 при +. Аналогично, n oa ) для любого n, т.е. любая степенная функция растёт медленнее показательной. Пример 7.4 позволяет утверждать, что ln o1/ 3 ) при какие ещё степени δ можно взять, чтобы выполнялось соотношение ln o1/ δ ) при 0 + 0?). Пример 8.. Найдём, для каких a выполняется соотношение 3 + a o ) при Поскольку a 6 + a 1/ ) a 1/, то этот предел равен 0 тогда и только тогда, когда a > 1/. Пример 8.3. Найдём, для каких 0 выполняется соотношение o 1) 5 ) при 0. Для этого рассмотрим предел ) 1) + 0 1) 5 0 1) 5 0 1) 3. Он равен ) 3 в случае конечного 0 1, равен в случае 0 1 и равен 0 в случае, когда 0. Ответ: 0 или Верхний и нижний пределы последовательности и функции. Определение 9.1. Число a допускается значение a ± ) называется частичным пределом последовательности a n, если найдётся такая подпоследовальность a nk последовательности a n, что a n k a. k Вообще, у последовательности может быть несколько частичных пределов, но если последовательность a n сходится к числу a, то тогда a является единственным частичным пределом a n. Можно показать, что множество конечных частичных пределов последовательности a n является замкнутым подмножеством в R и что для ограниченной последовательности это множество непусто. Определение 9.. Наибольший частичный предел называется верхним пределом последовательности a n, а наименьший нижним пределом. Верхний предел обозначается a n, а нижний a n. Пример 9.1. Пусть a n это n-ая цифра после запятой в десятичной дроби, представляющей число /7, 0, , 85714), 7 т.е. a 1, a 8, a 3 5, a 4 7, a 5 1, a 6 4,.... Найдём a n и a n. Несложно видеть, что множество частичных пределов данной последовательности это множество {1,, 4, 5, 7, 8}. Например, если положить n k 6k 3, то a nk a 6k 3 5 для любого k N и поэтому a 6k 3 5. Точно так же, k a 6k 4 8, а a 6k 1 1. Зная множество частичных k k пределов, делаем вывод, что a n 8, a n 1. Упражнение. Покажите, что n + 5 n + 3 sin πn 3 3, n + 5 n + 3 cos πn 3 1. Имеются и другие определения верхнего и нижнего пределов, эквивалентные определению 9.. Например, a n sup a k, k n a n inf a k. k n Верхний предел a последовательности a n может быть охарактеризован также следующими свойствами: 36 37

20 1. в любую окрестность Ua) попадает бесконечное число членов последовательности a n т.е. a n Ua) для бесконечного числа индексов n) ;. для любого ε > 0 неравенство a n > a + ε выполнено лишь для конечного числа индексов n. Аналогично и для нижнего предела a лишь в свойстве следует заменить приведенное там неравенство на a n < a ε. Теперь рассмотрим понятия верхнего и нижнего предела функции при 0. Пусть функция f) определена в некоторой проколотой окрестности U 0 ). Пусть сначала 0 конечное число. Для достаточно малого δ > 0 рассмотрим две вспомогательные функции f δ) sup f), f δ) inf f). 0< 0 <δ 0< 0 <δ При уменьшении δ функция f δ) монотонно убывает точная верхняя грань берётся по всё меньшему и меньшему множеству), а функция f δ) монотонно возрастает. Определение 9.3. Пределы a f δ) и a f δ) δ 0+0 δ 0+0 называются соответственно верхним и нижним пределами функции f) при 0. Верхний и нижний пределы обозначаются соответственно f) и f). Если f) ограничена в некоторой 0 0 окрестности 0, то эти пределы конечны ввиду теоремы об условиях существовании предела монотонной функции. В том случае, когда ), функции f K) и f K) определяются так: f K) sup f) и f K) inf f) >K >K соответственно, f K) sup <K По определению, при + : f) + f) и f K) inf <K f) + f) ). f K), K + f K) соответственно, когда, то K + f) f K), K f) f K) ). K Пример 9.. Найдём sin π 0 и sin π 0. В любой проколотой δ окрестности U δ 0) найдутся точки и, в которых функция sin π принимает значения +1 и 1 см. пример 4.1). Поэтому f δ) 1, а f δ) 1 для любого δ > 0. Отсюда sin π 1, а sin π Используя понятие предела функции по Гейне можно определить верхний и нижний предел функции по-другому это определение эквивалентно определению 9.3). Определение 9.4. Число a называется частичным пределом функции f) при 0, если найдётся такая последовательность { n }, что n 0, n 0 для любого n N, и имеет место равенство f n) a. Определение 9.5. Наибольший частичный предел называется верхним пределом функции f), а наименьший нижним пределом. Упражнение. Покажите, что множество частичных пределов функции sin π при 0 это отрезок [ 1, 1] см. ход решения задачи из примера 4.1). Литература 1. Гапошкин В.Ф., Семёнов Ю.С. Дополнительные задачи по математическому анализу. М: МИИТ, Гапошкин В.Ф., Семёнов Ю.С. Указания к решению задач по математическому анализу. Части 1,. М: МИИТ, Зорич В.А. Математический анализ. Часть 1. М.: Наука, Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Астрель,

21 Учебно методическое издание Семёнов Юрий Станиславович Пределы и их вычисление Методические указания по дисциплине "Математический анализ". Подписано в печать Тираж экз. Усл. печ. л. -,5 Формат 60 84/16 Изд. N o Заказ N o , Москва, ул. Образцова, 15 Типография МИИТа 40

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА

Министерство образования и науки Российской Федерации. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА Г.Г. Литова, Д.Ю. Ханукаева ПРЕДЕЛЫ Пособие для студентов, обучающихся по специальности

Подробнее

Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов

Сборник задач для самостоятельного решения по теме Предел функции Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов ББК В 65я73-4 С 3 УДК 57 Учебное издание Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: АН Максименко, АН Морозов Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ Т Ю Альпин, А И Егоров, П Е Кашаргин, С В Сушков ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть I: Комплексные числа Предел функции Казань 013 Печатается

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

Лекция 1 Вещественные числа.

Лекция 1 Вещественные числа. Лекция 1 Вещественные числа. 1. Рациональные числа. Простейшими числами являются целые положительные числа 1, 2,..., используемые при счете. Они называются натуральными числами, и люди их знали так много

Подробнее

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim Òåîðåìû î ïðåäåëàõ Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Основные теоремы о пределах. Предел числовой последовательности. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Экспонента. Натуральный логарифм.

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

Типовые задачи c решениями.

Типовые задачи c решениями. Типовые задачи c решениями. Формальное суммирование рядов. Формула рекурсии k a k a + a k k Формула умножения λ a k λa k Формула сложения k k k a k + b k a k + k b k k Пример Геометрическая прогрессия.

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии Кафедра высшей математики Высшая математика ( семестр Разделы Функции. Пределы. Дифференцирование. Интегрирование. Основные формулы по темам

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный университет» А А Г О Л У Б Е В, Т А С П А С С К А Я ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА ГОУВПО КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА Учебно-методическое

Подробнее

x 2 10x > x 2 10x = x(x 10) > x2 x x 2 /2 = 2 x. x 2 10x < x+ x 2 10x = 0. x 0. > 0k N : 0 < x k < и f(x k ) A = A > 0,

x 2 10x > x 2 10x = x(x 10) > x2 x x 2 /2 = 2 x. x 2 10x < x+ x 2 10x = 0. x 0. > 0k N : 0 < x k < и f(x k ) A = A > 0, Пределы Предел функции Определение предела Пусть a точка числовой прямой, a b c) Пусть функция f) опре- делена на множестве E : { b c)\{a}} Число a называется пределом функции f) при, стремящемся к a обо-

Подробнее

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1.

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1. 1 Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Специализированный учебно-научный центр ГОУ лицей 1580. Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, 2014-2015 учебный

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Предел. Непрерывность. Производная. Интеграл Утверждено Редакционно-издательским

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов ПРЕДЕЛЫ

Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов ПРЕДЕЛЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Равномерная непрерывность функций одной переменной. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов, Н.Т. Левашова, Н.Е. Шапкина Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

С.А. Лавренченко. Доказательство: Повести самостоятельно. Указание: Применить произведения, взяв

С.А. Лавренченко. Доказательство: Повести самостоятельно. Указание: Применить произведения, взяв Лекция 4 1 СА Лавренченко Вычисление пределов 1 Правила вычисления пределов Пусть действительная константа и целое положительное число При условии, что существуют оба предела и, имеют место следующие десять

Подробнее

Лекции по математическому анализу

Лекции по математическому анализу В.Ф. Бутузов Лекции по математическому анализу Часть I Москва 2012 Б у т у з о в В. Ф. Лекции по математическому анализу. Часть I. Учебное пособие содержит первую часть курса лекций по математическому

Подробнее

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова Высшая математика IV САМОУЧИТЕЛЬ

Подробнее

Лекция 14. Неопределенности и правило Лопиталя

Лекция 14. Неопределенности и правило Лопиталя СА Лавренченко 1 wwwlawrencenkoru Лекция 14 Неопределенности и правило Лопиталя Правило Лопитáля применяется при вычислении пределов для раскрытия неопределенностей типа или Раскрытие неопределенности

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

РАЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Министерство образования Российской Федерации Московский физико-технический институт Кафедра высшей математики РАЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Методические указания и оптимальные

Подробнее

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине «Элементы высшей математики».

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине «Элементы высшей математики». МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ «ДОНСКОЙ БАНКОВСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Методические

Подробнее

Предел и непрерывность функций одной переменной

Предел и непрерывность функций одной переменной министерство образования и науки российской федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

Тема 37 «Пределы функций»

Тема 37 «Пределы функций» Тема 37 «Пределы функций» «Математический анализ» - серьезный раздел высшей математики. «Анализируют» здесь довольно тонкие моменты: как ведет себя функция не только в целом, в своей области определения

Подробнее

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1 Глава 1 Основы алгебры Числовые множества Рассмотрим основные числовые множества. Множество натуральных чисел N включает числа вида 1, 2, 3 и т. д., которые используются для счета предметов. Множество

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

Методические указания

Методические указания Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана Методические указания В.Я. Томашпольский, М.Н. Шевченко, И.О. Янов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана Московский государственный

Подробнее

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2011

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2011 Chir of Mth. Anlysis, SPb. Stte University. A.V.Poteun, Исследование сходимости несобственных интегралов Методические указания для решения задач А. В. Потепун Как известно (см. [], глава III, 7), если

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А.

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А. РЯДЫ ФУРЬЕ Автор-составитель: доцент каф ВМ Цапаева СА Великий Новгород ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ГАРМОНИК Определение Гармониками называются комплекснозначные функции вида iω ( ) e, где действительная переменная,

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

Теория пределов: упражнения и примеры

Теория пределов: упражнения и примеры Теория пределов: упражнения и примеры Методическое пособие для факультетов менеджмента, политологии и социологии П.А.Панов Государственный Университет Высшая школа экономики Январь 00 Что такое предел

Подробнее

2011 год. Высшая математика для чайников. Предел функции. Виосагмир И.А. Предел функции.

2011 год. Высшая математика для чайников. Предел функции. Виосагмир И.А. Предел функции. 20 год Высшая математика для чайников. Предел функции. Виосагмир И.А. Предел функции viosagmir@gmail.com Предел функции Введение Ну что же Я приветствую Вас в своей первой книге, посвященной пределам функции.

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ. ТОЧНЫЕ ГРАНИЦЫ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ. ТОЧНЫЕ ГРАНИЦЫ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Утверждено научно-методическим советом математического

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1 СЕМЕСТР)

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1 СЕМЕСТР) ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ( СЕМЕСТР) А. А. Пожарский Занятие. Принцип математической индукции. Задачи по []: 0. Задачи по [2]: 27. Занятие 2. Основные понятия комбинаторики: факториал,

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Московский физико-технический институт (государственный университет) О.В. Бесов ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть 1 Москва, 2004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Методические указания по математическому

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Программа дополнительного образования «Программа подготовки в ВУЗ»

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Программа дополнительного образования «Программа подготовки в ВУЗ» Автономная некоммерческая организация дополнительного образования Учебный Центр при МГТУ им. Н. Э. Баумана «Ориентир» «УТВЕРЖДАЮ» Директор АНО ДО Учебный Центр при МГТУ им. Н.Э.Баумана «Ориентир» ПАНФИЛОВА

Подробнее

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Математический анализ»

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Математический анализ» Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Математический анализ» Направление 080100 Экономика для подготовки студентов бакалавров

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр. 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр. 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел множество целых чисел N = {0, 1, 2, 3,..., }, Z = {0, ±1, ±2, ±3,..., } множество рациональных чисел { m }

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Обыкновенные дроби. m или ( m ) < n. или ( m) n. Всякую неправильную дробь можно представить в виде

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Обыкновенные дроби. m или ( m ) < n. или ( m) n. Всякую неправильную дробь можно представить в виде РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Обыкновенные дроби Определение Дроби вида, называются обыкновенными дробями Обыкновенные дроби, правильные и неправильные Определение Дробь, правильной, если < при, где Z, N Z, N Z,

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1 Введение В курсе математического анализа первого семестра одно из центральных мест занимает теорема Ролля. Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a,

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Планируемые результаты освоения алгебры в 7 классе Алгебраические выражения. Уравнения

Планируемые результаты освоения алгебры в 7 классе Алгебраические выражения. Уравнения Программа по алгебре для 7 класса общеобразовательного учреждения. Пояснительная записка Структура программы Программа включает три раздела: 1.Планируемые результаты усвоения алгебры в 7 классе 2.Содержание

Подробнее

Конспект лекций по высшей математике

Конспект лекций по высшей математике Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра высшей математики Конспект лекций по высшей математике для студентов экономических

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ 1. Числовые множества. Арифметические действия над числами. Натуральные числа (N).

Подробнее

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент.

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

Программа курса математики для двухгодичного потока СУНЦ НГУ. Лекции. I семестр

Программа курса математики для двухгодичного потока СУНЦ НГУ. Лекции. I семестр Программа курса математики для двухгодичного потока СУНЦ НГУ 2004-2006 уч. гг. Лектор: к.ф.-м.н. А. В. Васильев Лекции I семестр 1. Метод математической индукции (2 часа). Описание метода. Примеры применения:

Подробнее

МАТЕМАТИКА Часть II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИКА Часть II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Российский государственный педагогический университет им АИ Герцена МАТЕМАТИКА Часть II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное пособие Под редакцией доктора педагогических наук Хамова

Подробнее

Лекция 1: Комплексные числа

Лекция 1: Комплексные числа Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В школьном курсе математики понятие числа постепенно расширяется.

Подробнее

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения И. В. Яковлев, А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта http://www.ege-study.ru Тригонометрические уравнения В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений

Подробнее

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012 Оценка снизу скорости блуждания решения линейного дифференциального уравнения третьего порядка через частоту нулей Тихомирова А.В. arxiv:11.6657v1 [math.ca] 9 Dec 1 В работе сравниваются две характеристики

Подробнее

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ТЕХНИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (на базе

Подробнее

Практикум по дифференциальному исчислению

Практикум по дифференциальному исчислению Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Л.И. Магазинников А.Л. Магазинников Практикум по дифференциальному исчислению Учебное пособие

Подробнее

УДК (072)(075.8)

УДК (072)(075.8) БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Московский физико-технический институт (государственный университет) О.В. Бесов КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Москва, 2004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Методические указания по математическому

Подробнее

П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е

П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е Санкт-Петербургский государственный университет А. В. О С И П О В К О Н С П Е К Т Л Е К Ц И Й П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е Часть II (-й курс, -й семестр) Санкт-Петеpбуpг 0 0 Конспект лекций по высшей

Подробнее

Задачи Штурма-Лиувилля в простейшем случае

Задачи Штурма-Лиувилля в простейшем случае Задачи Штурма-Лиувилля в простейшем случае 1 I рода слева I рода справа Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевыми условиями I-го рода: { X x + Xx, X X 11 Общее решение уравнения X x + Xx имеет вид Xx c

Подробнее

Т. В. Родина, Е. С. Трифанова ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ I

Т. В. Родина, Е. С. Трифанова ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ I Т В Родина, Е С Трифанова ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ I для напр «Прикладная математика и информатика» Учебное пособие под редакцией проф И Ю Попова Санкт Петербург 0 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

Методические рекомендации по решению задач на тему «пределы функции» для студентов специальности «Производство летательных аппаратов»

Методические рекомендации по решению задач на тему «пределы функции» для студентов специальности «Производство летательных аппаратов» Государственное бюджетное профессиональное учреждение Московской области «Авиационный техникум имени В.А. Казакова» Рассмотрено на заседании предметной цикловой комиссии «Общеобразовательных, математических

Подробнее

12. Определенный интеграл

12. Определенный интеграл 58 Определенный интеграл Пусть на промежутке [] задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке [] произвольные числа,, 3,, n-, удовлетворяющие условию:

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет»

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО РАЗДЕЛУ «РЯДЫ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

Тригонометрические ряды Фурье

Тригонометрические ряды Фурье Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО МАТЕМАТИКЕ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

Задачи по высшей математике для биологов

Задачи по высшей математике для биологов МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ БИОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Бобров А.Н. Радославова Т.В. Задачи по высшей математике для биологов МОСКВА 03 УДК

Подробнее

Практическое занятие 9. Несобственные интегралы

Практическое занятие 9. Несобственные интегралы СА Лавренченко wwwlwrncnkoru Практическое занятие 9 Несобственные интегралы Типовые расчеты, Несобственные интегралы -го рода Несобственный интеграл -го рода обозначается и определяется следующим образом:

Подробнее

Определенный интеграл. Несобственный интеграл.

Определенный интеграл. Несобственный интеграл. министерство образования и науки российской федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский

Подробнее

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА)

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Постановка задачи. Рассматривается задача о вычислении однократного интеграла J(F ) = F (x) dx. ()

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Тема 1. Множества. Введение в логику. Понятие функции. Кривые второго порядка. Основные понятия о множествах. Символика, ее использование.

Подробнее

Перевод на «язык равенств и неравенств»

Перевод на «язык равенств и неравенств» Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Перевод на «язык равенств и неравенств» Раздел электронного пособия «Элементарная математика» e-mail:

Подробнее

Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ. , если выполняются следующие три условия :

Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ. , если выполняются следующие три условия : 57 Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ Определение 1 Функция = f ( ) называется непрерывной в точке, если выполняются следующие три условия : 1) функция = f (

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

3A = A = A = 1 7 A + B = A = c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj = a is b sj

3A = A = A = 1 7 A + B = A = c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj = a is b sj Высшая математика Лекции по курсу Список литературы [] Высшая математика для экономистов Под редакцией НШ Кремера [] СА Минюк, ЕА Ровба Высшая математика [] Сборник задач по высшей математике для экономистов

Подробнее

Т.Л. Сурин Ж.В. Иванова С.В. Шерегов Методические рекомендации и задания к контрольным работам 1 и 2 по математическому анализу

Т.Л. Сурин Ж.В. Иванова С.В. Шерегов Методические рекомендации и задания к контрольным работам 1 и 2 по математическому анализу Т.Л. Сурин Ж.В. Иванова С.В. Шерегов Методические рекомендации и задания к контрольным работам и по математическому анализу (для студентов I курса математического факультета заочного отделения ) Витебск

Подробнее

Теоретический материал.

Теоретический материал. 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет»

Подробнее

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра.

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Глава. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Определенный интеграл f ( d ) в главе был введен для случая ко нечного промежутка [, ] и ограниченной функции f (). Теперь это понятие

Подробнее

7. Общий план исследования функции и построение её графика

7. Общий план исследования функции и построение её графика 7 Общий план исследования функции и построение её графика Нижеследующий план-схема исследования функции обобщает результаты, изложенные в предыдущих параграфах Исследование функции по этому плану позволит

Подробнее

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия 35 Глава 2 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1 Основные понятия Пусть D некоторое множество чисел Если задан закон, по которому каждому числу из множества D ставится в

Подробнее

множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B).

множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B). ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ТЕОРЕМА ФУБИНИ. ПРОСТРАНСТВА Lp, I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Определение. Пусть и Y множества, и Y меры, заданные на полукольцах S и S Y подмножеств множеств и

Подробнее

Лекция 17: Евклидово пространство

Лекция 17: Евклидово пространство Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания При решении многих задач возникает необходимость иметь числовые

Подробнее

Программа по «Математике» (базовый уровень) Тема 1. Векторы и матрицы.

Программа по «Математике» (базовый уровень) Тема 1. Векторы и матрицы. Программа по «Математике» (базовый уровень) РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии Тема 1. Векторы и матрицы. N-мерные векторы. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость

Подробнее