МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)"

Транскрипт

1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) Кафедра "Прикладная математика-1" Ю.С.Семёнов Кафедра "Прикладная математика-1" Ю.С.Семёнов Утверждено редакционно-издательским советом университета ПРЕДЕЛЫ И ИХ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛЫ И ИХ ВЫЧИСЛЕНИЕ Методические указания по дисциплине "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ" Методические указания по дисциплине "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ" для студентов специальности "ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА" Москва Москва - 006

2 УДК 517 С-30 Семёнов Ю.С. Пределы и их вычисление. Методические указания по дисциплине "Математический анализ". М.: МИИТ, с. Предназначено в качестве учебного пособия для студентов первого курса специальности "Прикладная математика и информатика а также других специальностей. c Московский государственный университет путей сообщения МИИТ), 006 Содержание Введение Предел последовательности Предел функции по Коши Пределы функции при ±. Односторонние пределы Предел функции по Гейне Простые случаи вычисления пределов Вычисление пределов с помощью эквивалентностей Применение правила Бернулли Лопиталя и формулы Тейлора Сравнение функций и последовательностей. o символика Верхний и нижний пределы последовательности и функции Литература Введение. Настоящее учебное пособие предназначено для студентов первого курса специальности "Прикладная математика и информатика" и других специальностей, изучающих теорию пределов. От читателя требуются знания по элементарной математике системы чисел, решение уравнений и неравенств, алгебраические и тригонометрические преобразования, основные свойства элементарных функций), а также знание основных свойств пределов, которые обычно рассказываются в лекционном курсе по математическому анализу теорема о пределе суммы, произведения и частного, теоремы о предельном переходе в неравенствах, теоремы об условиях существования предела монотонной последовательности или функции, теорема о замене переменной в пределе и т.д. см., например, [3]). Кроме того, предполагается, что читателю известны первый и второй замечательный пределы, понятие точной верхней и точной 3

3 нижней грани множества, а также исключительно в контексте правила Лопиталя понятие производной. Основная цель, которая преследовалась при составлении этого учебного пособия, помочь читателю разобраться на стандартных примерах с понятиями теории пределов в том числе и геометрическими), познакомить его с языком "ε δ" и научить разнообразной технике вычисления пределов. Для более глубокого изучения предмета мы рекомендуем обратиться к литературе [1], [], [4]. 1. Предел последовательности. Пусть задана числовая последовательность { a n n N}. Напомним, что означает равенство a a n. Определение 1.1. Число a называется пределом последовательности a n при n, стремящемся к бесконечности, если для любого ε > 0 найдётся такое число N N, что для всех n N выполняется неравенство a n a < ε. Рассмотрим понятие предела с геометрической точки зрения. По определению, ε-окрестность числа a это интервал U ε a) a ε ; a + ε). Условие a n U ε a) равносильно условию a n a < ε. Поэтому равенство a a n означает, что для произвольной ε- окрестности U ε a) найдётся номер N, начиная с которого все a n попадают в U ε a). Это в свою очередь означает, что при неограниченном увеличении n члены последовательности a n неограниченно приближаются к числу a см. рис. 1.1, на котором изображено типичное поведение членов последовательности с номерами n N. При этом a n могут располагаться как слева, так и справа от точки a. a a N+... a N+1 a ε a a + ε Рис. 1.1 Пример 1.1. Докажем, что n n + 5. Для этого по произвольно заданному ε > 0 мы должны найти такое N, зависящее от ε, что при всех n N выполняется неравенство n n + 5 < ε. 1.1) Преобразуем его в неравенство 10 n n 4 5 n + ) 5 < ε 1.) или или т.е. Последнее неравенство равносильно Положим n + ) < ε. 1.3) 5 n + > 1 5ε 1.4) 1 10ε n >, 5ε 1.5) ) 1 10ε n >. 5ε 1.6) [ 1 ) ] 10ε N + 1, 1.7) 5ε где [p ] означает целую часть числа p. Дело в том, что правая часть неравенства 1.6) может быть нецелой, а число N должно быть целым. 4 5

4 Определённое равенством 1.7) число N искомое, потому что из неравенства n N следует неравенство 1.6) и далее по цепочке неравенства 1.5) 1.1). Замечание. Обратим внимание, что в общем случае при построении цепочек неравенств их можно только усиливать, т.е. из последующего неравенства должно следовать предыдущее. Не ст оит гоняться за минимальным значением N для данного ε задача заключается в том, чтобы предъявить какое-нибудь N. Так, можно взять вместо найденного в примере числа N число N + 3 или N, поскольку из неравенства n N + 3 или n N также будут следовать неравенства 1.6) 1.1). Вернёмся к нашему примеру. Пусть ε 0, 01. По формуле 1.7) получим, что N 13, т.е. начиная с номера n 13 члены последовательности будут попадать в интервал 0, 39 ; 0, 41) 0,01-окрестность числа 0,4. Если же ε 0, 001, то N оказывается равным В общем случае число N возрастает с уменьшением ε. Пример 1.. Докажем, что n a 1 при a > 0. Случай a 1 тривиален. Пусть a > 1. Неравенство 0 < n a 1 < ε 1.8) равносильно неравенству 1 < a < 1+ε) n, которое справедливо при n > log 1+ε a ln a ln1 + ε). Таким образом, [ ] неравенство 1.8) верно при условии ln a n N + 1. ln1 + ε) Теперь рассмотрим оставшийся случай 0 < a < 1. Тогда 1/a > 1, а по только что доказанному и по свойствам пределов n 1 a 1. 1/a n. Предел функции по Коши. Классическое определение предела функции на языке "ε δ" "эпсилон дельта") было предложено французским математиком О. Коши. Напомним его. Пусть функция y f) определена в некоторой окрестности точки 0 R, кроме, быть может, самой точки 0. Определение.1. Число a называется пределом функции f) при, стремящемся к 0, если для любого ε > 0 найдётся такое зависящее от ε число δ > 0, что для всех с условием 0 < 0 < δ выполняется неравенство f) a < ε. Это записывают с помощью равенства f) a..1) 0 Заметим сразу, что условие 0 < 0 < δ означает вопервых, что 0, т.е. нас не должно интересовать, что происходит с функцией в самой точке 0, в частности, функция в этой точке может быть как определена, так и не определена, а во-вторых, что принадлежит проколотой δ-окрестности точки 0 : U δ 0 ) 0 δ; 0 ) 0 ; 0 + δ). Условие f) a < ε означает, что значения f) попадают при этом в полную непроколотую) ε-окрестность точки a см. рис..1): f) U ε a). y a + ε a a ε 0 δ 0 0 +δ Рис..1 f) 6 7

5 Неформально предельное равенство.1) означает, что при стремлении к 0 причём 0 ) значения функции f) стремятся к a. Это позволяет проконтролировать, как говорят, локальное поведение функции т.е. поведение функции в окрестности точки 0, при этом сама точка 0 не рассматривается) чем ближе абсцисса точки графика функции к 0 0 ), тем ближе её ордината f) к числу a f) a). Если задана конкретная функция f) и точка 0, то для доказательства по определению предельного равенства.1) необходимо установить явную зависимость параметра δ > 0 от параметра ε > 0 исходя из того, что f) U ε a) при условии U δ 0 ). Опять-таки ст оит сказать, что существует много таких зависимостей, и не обязательно тратить время на поиск наибольшего возможного δ при фиксированном ε. Например, если некоторое δ подходит, то подойдёт и δ/, и δ/3 при этом соответствующая окрестность просто сжимается в или 3 раза. Если обратить ещё раз внимание на рис., то можно заметить, что указанную там δ-окрестность можно не только уменьшить, но ) и немного увеличить, лишь бы выполнялось условие f U δ 0 ) U ε a). Кроме того, обычно δ 0 при ε 0, т.е. чем меньше ε-окрестность точки a, тем меньше и δ-окрестность точки 0. Рассмотрим несколько примеров. 3 8 Пример.1. Докажем, что 10. Функция не определена при 0 и числитель, и знаменатель обращаются в 0 в [ таких ] случаях говорят, что имеет место 0 неопределённость типа ). Выясним, исходя из определения 0 предела, при каких выполнено неравенство < ε.) при заданном положительном ε. Поскольку многочлен 3 8 обращается в 0 при, то по теореме Безу её формулировку можно найти на стр. 1) он делится нацело на : 3 8 )3 + 4). Таким образом, неравенство.) равносильно при условии неравенству или 3 + 4) 10 < ε 3 ) < ε, которое, с учётом условия, в свою очередь равносильно неравенству 0 < < ε/3..3) Итак, если выполнено неравенство.3), то выполнено и неравенство.). Но если удовлетворяет неравенству.3), то это в точности означает, что находится в проколотой δ-окрестности точки 0, где δ ε/3. Это и есть искомая зависимость δ от ε. Пример.. Докажем, что ) 3. При 1 и ε > 0 рассмотрим неравенство + + 1) 3 < ε..4) Неравенство.4) равносильно неравенству + < ε, неравенству неравенству 1) + ) < ε, 1) 1 + 3) < ε, 8 9

6 или неравенству 1) + 3 1) < ε..5) Мы разложили многочлен + по степеням 1, поскольку в нашем примере 0 1, т.е. 0 1, а наша задача получить оценку сверху как раз для 0. Воспользуемся известным неравенством p + q p + q. Из этого неравенства следует, что если выполнено более сильное неравенство < ε,.6) то выполнено и неравенство.5). Решая последнее неравенство, например, методом интервалов и помня, что 1 > 0, получим, что оно равносильно неравенству 0 < 1 < ε..7) Таким образом, если выполнено неравенство.7), то выполнено и неравенство.4). Значит, можно положить δ ε Упражнение. Покажите, исходя из неравенства.6), что в качестве зависимости δ от ε можно взять { ε } δ min 1, Пример.3. Докажем, что При и, конечно, при 3), а также при ε > 0 рассмотрим неравенство < ε..8). Оно равносильно неравенству < ε..9) Заметим, что если выполнено неравенство 0 < + < 1/, то + 3 > 1/ и < +..10) Поэтому неравенство.9) будет выполнено, если одновременно выполнены неравенства 0 < + < 1/ и 0 < + < ε/. Другими словами, можно положить { } 1 δ min, ε..11) Упражнение. Покажите, что наибольшая возможная величина δ > 0 при заданном ε > 0 определяется формулой δ ε 1 + ε рекомендуем нарисовать график исходной функции, как на рис..1). Пример.4. Докажем, что 0 0 при 0 R. При 0 и ε > 0 рассмотрим неравенство которое равносильно неравенству или неравенству 0 < ε,.1) 0 ε < < 0 + ε 1 ε 0 < 0 < 1 + ε 0..13) 10 11

7 При a > 0 выполняется неравенство 1 + a) 1 > 1 a, так как 1 a)1 + a) 1 a < 1. Поэтому при любом ε > 0 справедливо неравенство 1 + ε ) 1 ε 0 > 1, и.13) вытекает 0 из неравенства или же 1 + ε ) 1 0 < 0 < 1 + ε 0 log 1 + ε ) < 0 0 < log 1 + ε ) 0 т.е., с учётом условия 0 > 0, из неравенства 0 < 0 < log 1 + ε ) 0,..14) Итак, из неравенства.14) следует неравенство.1). Значит, δ log 1 + ε ). 0 Пример.5. Докажем, что 0 sin sin 0 для 0 R. Поскольку sin sin 0 sin 0 то неравенство вытекает из неравенства cos + 0 sin 0, sin sin 0 < ε.15) sin 0 < ε..16) Поскольку при всех ϕ 0 выполнено неравенство sin ϕ < ϕ при ϕ < π/ это следует из стандартного доказательства первого замечательного предела, а при ϕ π/ > 1 оно очевидно), то неравенство.16) выполняется при условии 0 < ε или, учитывая требование 0 > 0, при условии 0 < 0 < ε..17) Итак, из.17) следует.15), и поэтому δ ε. Напомним, что функция f) называется непрерывной в точке 0, если f) f 0 ). Два последних примера показывают, что функции f) и f) sin непрерывны 0 всюду. Бесконечные пределы. Определение.. Говорят, что предел функции f) при, стремящемся к 0, равен бесконечности, если для любого C > 0 найдётся такое зависящее от C число δ > 0, что для всех с условием 0 < 0 < δ выполняется неравенство f) > C. Это записывают так: 0 f),.18) а функцию f) называют бесконечно большой при 0. Неформально равенство.18) означает, что при неограниченном приближении к 0 значения f), взятые по абсолютной величине, неограниченно увеличиваются. Если в некоторой проколотой окрестности точки 0 функция принимает значения определённого знака, то в равенстве 1 13

8 .18) символ " " может быть заменён либо на "+ " если функция принимает положительные значения), либо на " " если функция принимает отрицательные значения). 1 Пример.6. Докажем, что. Для C > 0 решим неравенство 1 > C..19) Легко видеть, что оно равносильно неравенству 0 < < 1 C..0) Если положить δ 1, то при условии 0 < < δ будет C выполнено неравенство.19), что и требовалось доказать. 3. Пределы функции при ±. Односторонние пределы. Пусть существует такое число K, что функция y f) определена при всех K. Определение 3.1. Число a называется пределом функции f) при, стремящемся к +, если для любого ε > 0 найдётся такое зависящее от ε число C, что для всех с условием > C выполняется неравенство f) a < ε. Это записывают с помощью равенства y a + ε a a ε f) a. 3.1) + C Рис. 3.1 f) Прямая y a будет горизонтальной асимптотой графика f) при +. Пусть теперь существует такое число K, что функция y f) определена при всех K. Определение 3.. Число a называется пределом функции f) при, стремящемся к, если для любого ε > 0 найдётся такое зависящее от ε число C, что для всех с условием < C выполняется неравенство f) a < ε. Это записывают с помощью равенства f) a. 3.) y a + ε f) a a ε C Рис. 3. Прямая y a будет горизонтальной асимптотой графика f) при. Наконец, пусть существует такое число K, что функция y f) определена при всех K. Определение 3.3. Число a называется пределом функции f) при, стремящемся к, если для любого ε > 0 найдётся такое зависящее от ε число C, что для всех с условием > C выполняется неравенство f) a < ε. Это записывают с помощью равенства Отметим, что f) + f) a. 3.3) f) a f) a. тогда и только тогда, когда 14 15

9 Пример 3.1. Докажем, что arctg π +. При ε > 0 рассмотрим неравенство arctg π < ε. 3.4) Поскольку π/ < arctg < π/ для всех R, то 3.4) равносильно неравенству π ε < arctg < π. 3.5) Если ε π/, то неравенство 3.5) выполняется при > 0, а если 0 < ε < π/, то оно равносильно неравенству π ) > tg ε ctg ε. 3.6) Итак, можно положить { ctg ε, если 0 < ε < π/ ; C 0, если ε π/. Тогда при > C будет выполнено неравенство 3.4). Пример 3.. Докажем, что a 0 при любом a > 1. При ε > 0 рассмотрим неравенство которое равносильно неравенству или неравенству a 0 < ε, 3.7) 0 < a < ε < log a ε. Таким образом, можно положить C log a ε, и тогда при всех < C неравенство 3.7) будет выполнено. Односторонние пределы. Мы можем рассматривать два случая неограниченного приближения переменной к 0 : в первом случае берутся только те значения, которые меньше 0 говорят, что стремится к 0 слева), а во втором только те значения, которые больше 0 говорят, что стремится к 0 справа). Определение 3.4. Число, которое мы обозначим a, называется пределом функции f) при, стремящемся к 0 слева, если для любого ε > 0 найдётся такое зависящее от ε число δ, что для всех с условием 0 δ < < 0 выполняется неравенство f) a < ε. Это записывают с помощью равенства f) a. 3.8) 0 0 Определение 3.5. Число, которое мы обозначим a +, называется пределом функции f) при, стремящемся к 0 справа, если для любого ε > 0 найдётся такое зависящее от ε число δ, что для всех с условием 0 < < 0 +δ выполняется неравенство f) a + < ε. Это записывают с помощью равенства f) a ) 0 +0 На рис. 3.3 приведен пример функции, у которой предел слева и предел справа в точке 0 конечны и различны. В таких случаях говорят, что что у функции f) в точке 0 имеется разрыв первого рода или скачок величины h a + a ). Односторонние пределы функции используются, в частности, при определении типа точек разрыва

10 y a + a 0 Рис. 3.3 f) При вычислении односторонних пределов или доказательстве того, что f) a ±, в принципе используется та 0 ±0 же техника, что и для обычных двусторонних) пределов. При этом надо помнить, что для пределов слева возникает дополнительное неравенство < 0, а для пределов справа неравенство > 0. Также отметим, что f) a тогда и 0 только тогда, когда f) f) a Пределы функции при ± можно рассматривать как одну из разновидностей односторонних пределов точка 0 бесконечно удалённая). Упражнение. Дайте строгие определения следующих предельных равенств: а. f) ; б. f) ; + в. f) ; г. f) Заметим, что если f) или f), то прямая 0 будет вертикальной асимптотой графика функции f). Например, поскольку ln докажите!), 0+0 то ось ординат 0 будет вертикальной асимптотой графика натурального логарифма нарисуйте график). 4. Предел функции по Гейне. Определение Гейне подчёркивает связь между понятиями предела функции и предела последовательности. Доказательство эквивалентности определений предела функции по Коши и по Гейне обычно приводится в стандартных курсах математического анализа, поэтому мы на нём не останавливаемся. Отметим лишь, что определение Гейне более удобно для доказательства того, что функция f) не имеет никакого предела при 0, в то время как определение Коши для доказательства того, что функция f) имеет при 0 определённый предел. Определение 4.1. Число a называется пределом в смысле Гейне ) функции f) при, стремящемся к 0, если для любой последовательности { n } такой, что n 0 и n 0 для любого n N, верно равенство f n) a. Отметим, что в этом определении либо 0 действительное число, либо 0 ±. То же самое можно отнести и к a. Пример 4.1. Покажем, что sin π не существует. 0 Положим n 4n + 1, n. Первая последовательность, как легко проверить, состоит из решений уравнения 4n 1 sin π 1, а вторая sin π 1. Ввиду этого sin π 1, n в то время как sin π 1. Поскольку эти два предела n различны, то предела sin π не существует. 0 Отсутствие предела связано с тем, что на любом интервале вида 0; δ) график функции y sin π совершает бесконечное число колебаний: y меняется от значения 1 до значения 1 и обратно нанесите точки n и n на ось абсцисс и постройте эскиз графика). Точка 0 0 это точка разрыва второго рода данной функции

11 5. Простые случаи вычисления пределов. n + 1) 3 n 1) 3 Пример 5.1. Вычислим 5n. + n + 1 Решение. n + 1) 3 n 1) 3 5n + n + 1 n 3 + 3n + 3n + 1) n 3 3n + 3n 1) 5n + n + 1 6n + 5n + n /n 5 + 1/n + 1/n 6 5. Основной момент при вычислении такого вида пределов деление числителя и знаменателя дроби на старшую степень в нашем примере это n ). Дело в том, что без этого мы не можем применить теорему о пределе частного; предел 6n + 5n + n + 1 представляет неопределённость типа [ Пример 5.. Вычислим Решение ± ] ). ± ± + + 4, т.е. при ± исходный предел предел типа [ ]. Для вычисления предела воспользуемся известной формулой a b a b) a + b) a + b a b a + b мы домножили и разделили выражение a b на сопряжённое выражение a + b ). Отсюда ) ± ) + + 4) ± ± ± / 1 + 7/ + 1/ / + 4/ ). При + можно рассматривать только положительные значения, при этом 1. В таком случае + 6 3/ 1 + 7/ + 1/ / + 4/ При можно рассматривать только отрицательные значения, и тогда 1. Значит, Итак, 6 3/ 1 + 7/ + 1/ / + 4/ ) ±3. ± Пример 5.3. Вычислим. + 6 Решение. Теоремой о пределе частного мы [ ] воспользоваться не 0 можем имеется неопределённость типа. При вычисленни 0 таких пределов от дроби вида "многочлен на многочлен", т.е. рациональной функции) можно применить теорему Безу: Если 0 является корнем многочлена P ) с действительными коэффициентами, отличного от константы, то P ) 0 1

12 делится без остатка на 0, т.е. P ) 0 ) Q), где Q) многочлен. Деление обычно производится "столбиком" или по схеме Горнера. Для квадратных трёхчленов можно воспользоваться формулами Виета. В нашем примере ) 4 + 3), + 6 ) + 3). Отсюда ) 4 + 3) + 6 ) + 3) Заметим, что мы вправе сократить на, поскольку не принимает само значение при. Пример 5.4. Вычислим Решение. Для вычисления предела воспользуемся формулой 3 a 3 b 3 a 3 b) 3 a + 3 a 3 b + 3 b ) 3 a + 3 a 3 b + 3 b a b 3 a + 3 a 3 b + 3 b домножаем и делим выражение 3 a 3 b на сопряжённое к нему 3 a + 3 a 3 b + 3 b ). Отсюда ) 5 7) 3 3 9) + 5) ) 5 7) ) + 5) ) 5 7) 4 3) 3 3 9) + 5) ) 5 7) ) + 5) ) 5 7) ) ) Упражнение. Покажите с помощью аналогичного приёма 3 см. также пример 5.), что n 3 + n + 1 n) /3. Пример 5.5. Докажем, что для любого p > 0 выполнено равенство p n n! 0. Положим a n p n n!. Тогда a n+1 p n+1 n! a n n + 1)! p n p n + 1. Из этого следует, что a n > a n+1 при n > p, т.е. последовательность a n монотонно убывает при n > p. Кроме того, она ограничена снизу, например, числом 0. По теореме Вейерштрасса p n существует, который мы обозначим A. n! p Если в равенстве a n+1 a n перейти теперь к пределу n + 1 при n, то получится соотношение A A 0 0, что и требовалось. Упражнение. Покажите с помощью аналогичного приёма, n что для любого p > 1 0. Выведите отсюда, что p n для любых k > 0 и p > 1 n k 0 извлеките корень p n 3

13 степени k) Пример 5.6. Вычислим 0±0 1/ + 1. Сделаем замену y 1/, y ±. Тогда / + 1 3/y + 5 y + y + 1 0, так как 3/y + 5 5, а y. С другой стороны, / + 1 3/y + 5 y y + 1 5, поскольку по-прежнему 3/y + 5 5, а y 0 см. пример 3.). Таким образом, точка 0 будет точкой разрыва первого рода точкой скачка) функции / Вычисление пределов с помощью эквивалентностей. Техника вычисления пределов, основанная на применении эквивалентностей, позволяет достаточно быстро добраться до ответа за счёт сокращения числа арифметических преобразований и значительного упрощения выкладок. С другой стороны, эквивалентности нужны не только в теории пределов, но и в других разделах математического анализа например, при рассмотрении несобственных интегралов и рядов). Определение 6.1. Последовательности a n и b n называются a n эквивалентными при n, если 1. b n Определение 6.. Функции f) и g) называются эквивалентными при 0, если f) 0 g) 1. Замечание. Также можно говорить об эквивалентности функций при ± и 0 ± 0. Таблица основных эквивалентностей при 0 1. sin 6. e 1. tg 7. a 1 ln a 3. arcsin 8. ln1 + ) 4. arctg 9. log a 1 + ) ln a 5. 1 cos / ) a 1 a. Эта таблица состоит из следствий первого и второго замечательных пределов: sin 0 1 и e. ) В табличные эквивалентности вместо можно подставлять бесконечно малые функции и последовательности: например, sin 1 n 1 при n эквивалентность 1), n при 0 эквивалентность 10 при a 1/5) и т.д. Многие другие эквивалентности получаются из табличных путём замены переменной. Кроме того при n при ) имеет место эквивалентность a k n k + +a 1 n+a 0 a k n k a k k + +a 1 +a 0 a k k ), т.е. на бесконечности многочлен эквивалентен своей старшей степени. Отметим, что если f) a 0, то f) a при 0 т.е. функция эквивалентна своему ненулевому пределу). В связи с этим нужно 0 помнить, что никакая функция не эквивалентна 0. Следующая теорема служит основой использования эквивалентностей при вычислении пределов: Теорема 6.1. Пусть f) g) при 0 и h) некоторая функция. Тогда 0 f)h) 0 g)h) либо оба предела существуют и равны, либо оба не существуют). 4 5

14 Таким образом, при вычислении пределов можно заменять множители на им эквивалентные предел при этом не изменится. Кроме того, поскольку в условиях теоремы 1 f) 1 g) при 0 это легко следует из определения), то h) 0 f) h) 0 g), т.е. множители можно заменять не только в числителе, но и в знаменателе. sin 11 Пример 6.1. Вычислим. Поскольку sin tg 8 и tg 8 8 при 0, то sin 11 0 tg Пример 6.. Вычислим 4. Чтобы воспользоваться табличными эквивалентностями, сделаем сначала замену переменной: y, y 0. Тогда 4 4 y 0 4 y 1) y 0 yy + 4) y 0 y+ 4 y + ) 4 y 0 4 y ln y 4 ln. y 4 4 y + 4y Здесь были использованы две эквивалентности при y 0: y 1 y ln и y y ). 5 Пример 6.3. Вычислим n 5 + 3n 4 + n + 7 n). Решение. 5 n 5 + 3n 4 + n + 7 n) ) 1 + 3n + 1n 4 + 7n 5 1 n n n + 1 n ) n n n 4 ) 3 5. Здесь была использована эквивалентность 10 при a 1/5. ) n + 1 3n Пример 6.4. Вычислим предел типа [1 ]. n + 3 Сначала преобразуем предел следующим образом: n + 1 n ) 3n n + 1) n + 3) n n + 1 ) 3n n ) 3n 1 ) 3n. n + 3 Далее воспользуемся формулой a b e b ln a и непрерывностью функции e : 1 ) 3n 3n ln 1 ) e n + 3. n + 3 Найдём теперь предел в показателе, пользуясь эквивалентностью 8. 3n ln 1 ) n + 3 3n ) n + 3 6n n /n 3. ) n + 1 3n Поэтому e 3. n + 3 Пример 6.5. Вычислим 1 1/ 1). Этот предел вычисляется точно так же, как и в предыдущем примере. 1) 1 1/ 1 + 1)) 1/ 1) 1 ln1 + 1)) 1 e 1 e e e. 6 7

15 log Пример 6.6. Вычислим 3 + 5) 3. 8 Сделаем замену y, y 0 и учтём, что log 3 9. Тогда log 3 + 5) 3 8 y 0 log 3 y/9 + 1) y 3 + 6y + 1y y 0 log 3 y + 9) log 3 9 y 0 y + ) 3 8 y/9 ln 3 y y + 6y + 1). Мы использовали равенство log 3 b log 3 c log 3 b/c и эквивалентность 9 при a 3. Далее, y 0 y/9 ln 3 y y + 6y + 1) 9 ln ln 3. cos 3 cos 5 Пример 6.7. Вычислим Поскольку при 0 эквивалентность 10), то cos 3 cos cos 3 cos cos 5) 1 cos 3) cos cos 3 5. В числителе дроби мы прибавили и вычли 1. Далее, 5 1 cos 5, 1 cos 3 9 при 0 эквивалентность 5). Отсюда 1 cos 5 1 cos Также можно вычислить этот предел, если использовать формулу для разности косинусов Пример 6.8. Вычислим. 0 6 Приём прибавления и вычитания подходящей величины в числителе дроби, а также эквивалентность 10 причём для двух разных показателей: 1/ и 1/3), можно применить и здесь / / /4 1) /8 1) / / / / Замечание. Вообще говоря, в разностях нельзя заменять уменьшаемое или вычитаемое на эквивалентную величину. Например, sin На самом деле этот предел можно посчитать по правилу Бернулли Лопиталя: он равен 1/6. Заинтересованному читателю рекомендуем доказать следующую теорему: Теорема 6.. Пусть f 1 ) f ) при 0 и g) некоторая функция такая, что f ) 0 g) k, где либо k R, k 1, либо k из чего следует, f ) и g) не эквивалентны, в отличие от примера выше). Тогда f 1 ) g) f ) g) при

16 7. Применение правила Бернулли Лопиталя и формулы Тейлора. Правило Бернулли Лопиталя или просто правило Лопиталя) применяется при вычислении пределов только типа [ или. Несмотря на то, что это правило является достаточ- ] но мощным вычислительным средством, его по ряду причин не следует считать универсальным. Например, с точки зрения sin логики первый замечательный предел нельзя вычис- 0 лить по правилу Лопиталя ведь для этого надо использовать равенство sin ) cos, которое как раз и доказывается на основе первого замечательного предела, т.е. мы здесь встречаемся с явлением логического порочного круга. С другой стороны, с помощью правила Лопиталя нельзя вы- + sin числить предел. Действительно, предел отношения производных, очевидно, не существует + cos + cos 1 sin знаменатель периодически колеблется от 0 до. В то же время + sin + cos + sin 1/ 1 + cos 1/, так как sin 1/ и cos 1/ стремятся к нулю при. Рассмотрим теперь примеры, в которых правило Лопиталя хорошо работает. sin Пример 7.1. Вычислим 0 Это предел типа [ ]. По правилу Лопиталя sin sin ) 1 cos ) [ 0 0 ] в последнем равенстве была использована эквивалентность 5: 1 cos /) Пример 7.. Вычислим 3. 8 По правилу Лопиталя ) ) ) ln ln 1 3 ln. ln [ ] Пример 7.3. Вычислим +. Это предел типа. По правилу Лопиталя, которое приходится применять два раза, ln ln ) ln ) ) + ) + 0. ln 1 Пример 7.4. Вычислим ln. Это предел типа [0 ]. Чтобы применить правило Лопиталя, этот предел надо преобразовать. ln ln [ 0+0 ] ) e Пример 7.5. Вычислим 0 tg 3. Не рекомендуем сразу использовать правило Лопиталя его придётся применить три раза, а вторая и третья производные 30 31

17 tg 3 записываются весьма громоздко. Но мы можем воспользоваться тем, что tg 3 3. e 0 3 e e Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано или локальная формула Тейлора) может быть доказана с помощью правила Лопиталя, поэтому пределы, вычислямые по формуле Тейлора, могут быть в принципе вычислены и по Лопиталю. Однако в конкретных задачах эта формула бывает значительно удобнее см. ниже пример 7.6. Напомним, что если функция f) имеет в точке 0 R все производные вплоть до порядка n, то имеет место следующее представление f) при 0 : f) f 0 ) + f 0 ) 0 ) + f 0 ) 0 ) + +! + f k 0 ) k! 0 ) k + + f n 0 ) 0 ) n + o 0 ) n ), n! 7.1) где o 0 ) n ) некоторая бесконечно малая более высокого порядка, чем 0 ) n o малое от 0 ) n по поводу o символики см. следующий параграф). При вычислении пределов по формуле Тейлора часто используются следующие табличные разложения при 0 сравните с таблицей эквивалентностей). sin 3 3! + 5 n )n 5! n + 1)! + on+1 ), cos 1! + 4 n + + 1)n 4! n)! + on ), e 1 + +! + 3 3! + + n n! + on ), ln1 + ) + 3 n + + 1)n 1 3 n! + on ), arctg n )n ) a 1 + a + aa 1)! n on+1 ), ) a + + n + o n ), n ) a aa 1)... a k + 1) где обобщённые биномиальные коэффициенты. k k! Другие разложения получаются либо непосредственно с помощью формулы 7.1), либо из табличных разложений с помощью замены переменной и других преобразований. Например, при 0 e ln 1 + ln + ln! sin 6 3! + + lnn n! n + o n ), + + 1)n 4n+ n + 1)! + o4n+ ). 7.) При вычислении пределов множители в числителе и знаменателе дроби) обычно раскладывают по формуле Тейлора до первого ненулевого слагаемого и дальше пользуются тем, что o 0 ) n ) 0 0 ) n 0. sin Пример 7.6. Вычислим 0 sin 6. По формуле Тейлора см. 7.)): sin 6 3! + o6 ). Поскольку sin + o), то sin 6 + o)) o 6 ). Таким образом, была использована формула Тейлора порядка 6. Далее, sin 0 sin 6 6 /6 + o 6 ) 1/6 + o 6 )/ o 6 ) o 6 )/

18 8. Сравнение функций и последовательностей. o символика. При сравнительном анализе поведения двух функций f) и g) при 0, где либо 0 R, либо 0 или же двух последовательностей a n и b n при n ) обычно составляют отношение этих функций последовательностей) и ищут предел этого отношения. Наибольший интерес представляет сравнение двух бесконечно малых или двух бесконечно больших функций последовательностей). Определение 8.1. Функции f) и g) имеют одинаковый порядок малости если они обе бесконечно малые) или одинаковый порядок роста если они обе бесконечно большие) при 0, если предел их отношения конечен и отличен от нуля: f) 0 g) k 0. Аналогичное определение имеет место и в случае последовательностей. Если k 1, то, как мы знаем, функции f) и g) называются эквивалентными см. определение 6.1). Из определения легко вытекает, что f) и g) имеют один и тот же порядок, если f) kg) для некоторого ненулевого k R говорят, что f) и g) эквивалентны с точностью до ненулевой константы). Например, 1 cos и имеют одинаковый порядок малости при 0, так как 1 cos /. Вообще, если f) k 0 ) a при 0, где a > 0, то говорят, что f) бесконечно малая порядка a. Таким образом, f) 1 cos это бесконечно малая второго порядка, а f) sin имеет шестой порядок малости при 0. С другой стороны, последовательность a n 3 n 5 + n 1 имеет тот же порядок роста, что и b n 3 n 5 n 5/3, поскольку 3 n 5 + n 1 3 n 5/3 при n. Определение 8.. Функция f) называется o-малой относительно g) при 0, если предел их отношения равен нулю: f) 0 g) 0. Аналогичное определение даётся и для последовательностей. Обычно используется такая запись: f) og)) при 0 или a n ob n ) при n. Если функция f) является бесконечно малой при 0, то также говорят, что она стремится к нулю быстрее, чем g) которая при этом может быть, а может даже и не быть бесконечно малой). Например, запись f) o1) при 0 означает всего лишь, что f)/1 f) 0, т.е. что f) это некоторая бесконечно малая при 0. Если же f) og)) и g) бесконечно большая при 0, то говорят, что f) растёт медленнее g) на самом деле, при этом f) может даже и не расти, т.е. не быть бесконечно большой). Например, 1 o ) при, поскольку 1/ 0. Обратимся к ранее разобранным примерам. Пример 5.5 показывает, что p n on!) при n для любого p > 0, т.е. факториал растёт быстрее любой геометрической прогрессии. Из примера 7.3 следует, что ln o) при +. Вообще, с помощью правила Лопиталя можно показать, что ln k o ε ) для любого положительного k и для любого положительного ε при +, т.е. степенная функция с положительным показателем растёт быстрее любой степени логарифма. Пример 8.1. Вычислим [. По правилу Лопиталя ] + a + + a ) a ) + при a > 1 предел типа 1 a ln a

19 Это означает, что oa ) для любого a > 1 при +. Аналогично, n oa ) для любого n, т.е. любая степенная функция растёт медленнее показательной. Пример 7.4 позволяет утверждать, что ln o1/ 3 ) при какие ещё степени δ можно взять, чтобы выполнялось соотношение ln o1/ δ ) при 0 + 0?). Пример 8.. Найдём, для каких a выполняется соотношение 3 + a o ) при Поскольку a 6 + a 1/ ) a 1/, то этот предел равен 0 тогда и только тогда, когда a > 1/. Пример 8.3. Найдём, для каких 0 выполняется соотношение o 1) 5 ) при 0. Для этого рассмотрим предел ) 1) + 0 1) 5 0 1) 5 0 1) 3. Он равен ) 3 в случае конечного 0 1, равен в случае 0 1 и равен 0 в случае, когда 0. Ответ: 0 или Верхний и нижний пределы последовательности и функции. Определение 9.1. Число a допускается значение a ± ) называется частичным пределом последовательности a n, если найдётся такая подпоследовальность a nk последовательности a n, что a n k a. k Вообще, у последовательности может быть несколько частичных пределов, но если последовательность a n сходится к числу a, то тогда a является единственным частичным пределом a n. Можно показать, что множество конечных частичных пределов последовательности a n является замкнутым подмножеством в R и что для ограниченной последовательности это множество непусто. Определение 9.. Наибольший частичный предел называется верхним пределом последовательности a n, а наименьший нижним пределом. Верхний предел обозначается a n, а нижний a n. Пример 9.1. Пусть a n это n-ая цифра после запятой в десятичной дроби, представляющей число /7, 0, , 85714), 7 т.е. a 1, a 8, a 3 5, a 4 7, a 5 1, a 6 4,.... Найдём a n и a n. Несложно видеть, что множество частичных пределов данной последовательности это множество {1,, 4, 5, 7, 8}. Например, если положить n k 6k 3, то a nk a 6k 3 5 для любого k N и поэтому a 6k 3 5. Точно так же, k a 6k 4 8, а a 6k 1 1. Зная множество частичных k k пределов, делаем вывод, что a n 8, a n 1. Упражнение. Покажите, что n + 5 n + 3 sin πn 3 3, n + 5 n + 3 cos πn 3 1. Имеются и другие определения верхнего и нижнего пределов, эквивалентные определению 9.. Например, a n sup a k, k n a n inf a k. k n Верхний предел a последовательности a n может быть охарактеризован также следующими свойствами: 36 37

20 1. в любую окрестность Ua) попадает бесконечное число членов последовательности a n т.е. a n Ua) для бесконечного числа индексов n) ;. для любого ε > 0 неравенство a n > a + ε выполнено лишь для конечного числа индексов n. Аналогично и для нижнего предела a лишь в свойстве следует заменить приведенное там неравенство на a n < a ε. Теперь рассмотрим понятия верхнего и нижнего предела функции при 0. Пусть функция f) определена в некоторой проколотой окрестности U 0 ). Пусть сначала 0 конечное число. Для достаточно малого δ > 0 рассмотрим две вспомогательные функции f δ) sup f), f δ) inf f). 0< 0 <δ 0< 0 <δ При уменьшении δ функция f δ) монотонно убывает точная верхняя грань берётся по всё меньшему и меньшему множеству), а функция f δ) монотонно возрастает. Определение 9.3. Пределы a f δ) и a f δ) δ 0+0 δ 0+0 называются соответственно верхним и нижним пределами функции f) при 0. Верхний и нижний пределы обозначаются соответственно f) и f). Если f) ограничена в некоторой 0 0 окрестности 0, то эти пределы конечны ввиду теоремы об условиях существовании предела монотонной функции. В том случае, когда ), функции f K) и f K) определяются так: f K) sup f) и f K) inf f) >K >K соответственно, f K) sup <K По определению, при + : f) + f) и f K) inf <K f) + f) ). f K), K + f K) соответственно, когда, то K + f) f K), K f) f K) ). K Пример 9.. Найдём sin π 0 и sin π 0. В любой проколотой δ окрестности U δ 0) найдутся точки и, в которых функция sin π принимает значения +1 и 1 см. пример 4.1). Поэтому f δ) 1, а f δ) 1 для любого δ > 0. Отсюда sin π 1, а sin π Используя понятие предела функции по Гейне можно определить верхний и нижний предел функции по-другому это определение эквивалентно определению 9.3). Определение 9.4. Число a называется частичным пределом функции f) при 0, если найдётся такая последовательность { n }, что n 0, n 0 для любого n N, и имеет место равенство f n) a. Определение 9.5. Наибольший частичный предел называется верхним пределом функции f), а наименьший нижним пределом. Упражнение. Покажите, что множество частичных пределов функции sin π при 0 это отрезок [ 1, 1] см. ход решения задачи из примера 4.1). Литература 1. Гапошкин В.Ф., Семёнов Ю.С. Дополнительные задачи по математическому анализу. М: МИИТ, Гапошкин В.Ф., Семёнов Ю.С. Указания к решению задач по математическому анализу. Части 1,. М: МИИТ, Зорич В.А. Математический анализ. Часть 1. М.: Наука, Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Астрель,

21 Учебно методическое издание Семёнов Юрий Станиславович Пределы и их вычисление Методические указания по дисциплине "Математический анализ". Подписано в печать Тираж экз. Усл. печ. л. -,5 Формат 60 84/16 Изд. N o Заказ N o , Москва, ул. Образцова, 15 Типография МИИТа 40


1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и Студент должен знать: определение предела функции; свойства пределов; понятие бесконечно малых функций; понятие ограниченных и бесконечно больших функций; определение непрерывности функции в точке; сравнение

Подробнее

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,...

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,... Предел функции. Предел числовой последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто числовой последовательностью называется функция f f (, определенная на множестве всех

Подробнее

Лекция 3, 4. Будем считать, что область задания функции f (x) } значений аргумента функции f ( x n ) значений функции сходится к b.

Лекция 3, 4. Будем считать, что область задания функции f (x) } значений аргумента функции f ( x n ) значений функции сходится к b. Лекция 3, 4 Предельное значение функции при, + и Будем считать, что область задания функции f ( имеет хотя бы один элемент, лежащий вне отрезка [ A, A], для любого положительного числа A. Определение (по

Подробнее

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики ФУНКЦИЯ И ЕЕ

Подробнее

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ВАСИЛЬЕВ ВВ, ЛАНОВАЯ АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Предел и непрерывность функции одной переменной

Предел и непрерывность функции одной переменной Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии МЕЧанга Предел и непрерывность функции одной переменной Рекомендовано учебно-методическим

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Ответы к заданию

Ответы к заданию Ответы к заданию.. понятия одного аргумента.. Основные элементарные.. элементарных функций.4. предела f в точке. х Х Если каждому элементу х из множества Х поставлен в соответствие определенный элемент

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

, где k любое целое число. В таком случае автоматически выполняется и неравенство x 0. Ответ: x [4k. x

, где k любое целое число. В таком случае автоматически выполняется и неравенство x 0. Ответ: x [4k. x Вариант 8 Найти область определения функции : y sin Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и sin Из второго неравенства следует, что должно выполняться неравенство k π k+

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ Методическое пособие для студентов вузов

ПРЕДЕЛЫ Методическое пособие для студентов вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики и кибернетики Кафедра теории вероятностей и математической статистики ПРЕДЕЛЫ Методическое

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Предел и непрерывность функции. Методическое пособие

Предел и непрерывность функции. Методическое пособие Санкт-Петербургский государственный университет Т.А. Ефимова Предел и непрерывность функции Методическое пособие Санкт-Петербург 8 Предисловие Методическое пособие предназначено для студентов нематематических

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Пусть имеем функцию определенную на множестве X и пусть точка X - внутренняя точка те точка для которой существует окрестность X Возьмем любую точку и обозначим через называется

Подробнее

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры. Математический анализ, 27/28 Группы БПМ7 75 Промежуточный экзамен, модули 2 На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ Расскажите о числах: натуральных,

Подробнее

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва Лекция 4 Непрерывность функции Классификация точек разрыва Аннотация: Рассматриваются свойства функции, непрерывной на отрезке Приводится пример использования этих свойств при решении нелинейных уравнений

Подробнее

ПОДГОТОВКА К ТЕСТИРОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПОДГОТОВКА К ТЕСТИРОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ РОСЖЕЛДОР Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Ростовский государственный университет путей сообщения» ФГБОУ ВО РГУПС ЕВ Пиневич, ВА Липович, ИС Стасюк

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

Подробнее

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли . Предел функции. Актуальность изучения темы Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе, позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении аргумента. С помощью

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim Òåîðåìû î ïðåäåëàõ Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Основные теоремы о пределах. Предел числовой последовательности. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Экспонента. Натуральный логарифм.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр Образцы базовых задач и вопросов по МА за семестр Предел последовательности Простейшие Вычислите предел последовательности l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Вычислите предел последовательности

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx Ответы к заданию приращения аргумента Δ Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки Δ, U ( : δ приращения f Δ (

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

А.Н. Филиппов, В.В. Калинин, Т.С. Филиппова

А.Н. Филиппов, В.В. Калинин, Т.С. Филиппова Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПИЩЕВЫХ ПРОИЗВОДСТВ» Кафедра «Высшая и прикладная математика»

Подробнее

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию:

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию: Вариант 7 Найти область определения функции : y + / lg Область определения данной функции определяется следующими условиями:, >, те > / Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или Объединяя результаты,

Подробнее

Тема: Пределы. Краткие теоретические сведения. Непосредственное вычисление пределов.

Тема: Пределы. Краткие теоретические сведения. Непосредственное вычисление пределов. Тема: Пределы Краткие теоретические сведения Непосредственное вычисление пределов si Первый замечательный предел: Второй замечательный предел: ( ) 5 5 5 9 si si cos cos si si 5 5 9 6 6 6 8 8 si si 5 5

Подробнее

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (РГГУ) Филиал в г Домодедово

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания.

Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания. ГЛАВА 3. Предел и непрерывность отображения 1. Предельные точки, открытые и замкнутые множества в метрических пространствах Опр. 3.1.1. Пусть (X, ) метрическое пространство, x X, >. Проколотой - окрестностью

Подробнее

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к экзамену по курсу 1- модулей 1. Расскажите о числах: натуральных, целых, рациональных и иррациональных. Расскажите о числовой прямой

Подробнее

16. Формула Тейлора (продолжение)

16. Формула Тейлора (продолжение) 6. Формула Тейлора (продолжение Докажем единственность представления из теоремы 5.7. Предложение 6.. Пусть f : (p; q R функция класса C n, и пусть a (p; q. Предположим, что f(x = c 0 + c (x a + : : : +

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов

Сборник задач для самостоятельного решения по теме Предел функции Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов ББК В 65я73-4 С 3 УДК 57 Учебное издание Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: АН Максименко, АН Морозов Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

8. Свойства дифференцируемых функций

8. Свойства дифференцируемых функций 8. Свойства дифференцируемых функций 8.. Производная функции в данной точке отражает локальные свойства функции, т. е. свойства, присущие функции в некоторой окрестности данной точки. Вместе с тем есть

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v 6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

3. Бесконечно большие функции

3. Бесконечно большие функции 3 Бесконечно большие функции Пусть функция f ( определена в некоторой окрестности точки R, кроме, может быть, самой точки ОПРЕДЕЛЕНИЕ (на языке ε δ Функцию f ( называют бесконечно большой при (в точке

Подробнее

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста)

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет путей сообщения»

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

Практикум по курсу математического анализа

Практикум по курсу математического анализа ЯА Барлукова, СФ Долбеева Практикум по курсу математического анализа Часть II Улан- Удэ Министерство образования Российской Федерации Бурятский государственный университет ЯА Барлукова СФ Долбеева ПРАКТИКУМ

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии. ЛЕКЦИЯ Числовые последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Основные свойства бесконечно малых последовательностей Числовые последовательности Если каждому из множества

Подробнее

5. Предел функции. ( ε > 0 δ > 0 x (a δ, a + δ), x a) f(x) l < ε. или так:

5. Предел функции. ( ε > 0 δ > 0 x (a δ, a + δ), x a) f(x) l < ε. или так: 5. Предел функции Определение. Точку p R называют предельной точкой (или точкой сгущения) множества X R, для любого r > 0 существует отличная от p точка x X такая, что x p < r. Говорят, что + (соответственно

Подробнее

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме),

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме), типового варианта «Комплексные числа Многочлены и рациональные дроби» Задание Даны два комплексных числа и cos sn Найдите и результат запишите в алгебраической форме результат запишите в тригонометрической

Подробнее

- 1 - Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

- 1 - Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - - Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, 9- Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение ограниченного множества вещественных чисел Сформулируйте

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

ФУНКЦИЯ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ

ФУНКЦИЯ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ ФУНКЦИЯ ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ Одним из основных математических понятий является понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пусть даны два непустых множества

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Первый замечательный предел. Тригонометрические неопределенности. S (1).

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Первый замечательный предел. Тригонометрические неопределенности. S (1). Первый замечательный предел. Тригонометрические неопределенности. При вычислении пределов функций, которые содержат тригонометрические выражения часто используют предел: Это первый замечательный предел.

Подробнее

Математика 8 класс Многочлены

Математика 8 класс Многочлены МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Подробнее

Введение в математический анализ. Теория пределов

Введение в математический анализ. Теория пределов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ Глава Множества Последовательности Функции Элементы теории множеств Понятие множества является в математике неопределяемым Интуитивно, множество это совокупность объектов любой природы,

Подробнее

1.4. Предел функции Нахождение предела функции с использованием замечательных

1.4. Предел функции Нахождение предела функции с использованием замечательных 1.4. Предел функции 4.1. Нахождение предела функции с использованием замечательных пределов. ТЕОРИЯ Определение предельной точки. Точку p R называют предельной точкой (или точкой сгущения) множества X

Подробнее

9. Некоторые следствия из свойств полноты

9. Некоторые следствия из свойств полноты 9. Некоторые следствия из свойств полноты Начнем с понятия, которое нам уже знакомо (как минимум в примерах). Речь идет о понятии подпоследовтаельности. Именно, пусть у нас есть последовательность {x n

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ Найти область определения D и множество значений Е функции y Р е ш е н и е Функция y определена если те если Поэтому областью определения функции является множество f ; D R Поскольку

Подробнее

Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013

Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013 Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013 1 Определения Сформулируйте определение: 2 ноября 2013 г. 1. ограниченного

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу ( )

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу ( ) Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу (2013 2014) 29 августа 2013 г. Тема I. Вещественные числа 1. Определения 1.1. Сформулируйте правило сравнения вещественных чисел. Сформулируйте определение:

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1)

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1) 1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения (2006-2007, сем.1 1. Сформулируйте определение ограниченного множества вещественных чисел. 2. Сформулируйте определение

Подробнее

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (,

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (, Вариант 9 Найти область определения функции : y + lg Область определения данной функции определяется следующим неравенством: >, те > Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или ± Объединяя результаты,

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

казанский федеральный университет институт физики Кафедра теории относительности и гравитации Т. В. Кропотова, В. Г. Подольский, П. Е.

казанский федеральный университет институт физики Кафедра теории относительности и гравитации Т. В. Кропотова, В. Г. Подольский, П. Е. казанский федеральный университет институт физики Кафедра теории относительности и гравитации Т В Кропотова, В Г Подольский, П Е Кашаргин ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Учебно-методическое

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее