Конспект по теме: Основы алгебры логики. Решение логических задач. Учитель информатики Батракова Л.В.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Конспект по теме: Основы алгебры логики. Решение логических задач. Учитель информатики Батракова Л.В."

Транскрипт

1 Логика (от древнегреческого «наука о рассуждении») это наука, изучающая методы установления истинности или ложности одних высказываний на основе истинности или ложности других высказываний. Древнегреческий философ Аристотель стал основоположником формальной логики, которая изучает высказывания. Высказывание (суждение) некоторое предложение, которое может быть истинно (верно) или ложно. (Например, «Сейчас идет дождь.» и «Вчера жирафы улетели на север.» - это высказывания, а «Который час?» высказыванием не является.) В классической формальной логике высказывание может быть истинно или ложно. Если обозначить истинное значение единицей, а ложное нулем, то получится, что формальная логика представляет собой правила выполнения операций с нулями и единицами, т.е. с двоичными кодами. Английский ученый Джордж Буль предложил применять для исследования логических высказываний математические методы. Позже этот раздел математики получил название алгебра логики или булева алгебра. Алгебра логики это математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания. Алгебра логики определяет правила выполнения операций с логическими величинами, которые могут быть равны только 0 или. Утверждение суждение, которое требуется доказать или опровергнуть. Логическое выражение запись или устное утверждение, в которое, наряду с постоянными, обязательно входят переменные величины. В зависимости от значений этих переменных логическое выражение может принимать одно из двух возможных значений: ИСТИНА (логическая ) или ЛОЖЬ (логический 0). Сложное логическое выражение логическое выражение, составленное из одного или нескольких простых (или сложных) логических выражений, связанных с помощью логических операций. Таблица истинности задает логическую функцию, то есть правила преобразования входных логических значений в выходные. Таблица истинности состоит из двух частей: слева перечисляются все возможные значения исходного высказывания, а в последнем столбце записывают результат выполнения логической операциидля каждого из этих вариантов. Основные логические операции. Логическое отрицание (инверсия, логическое НЕ) - если исходное выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное выражение ложно, то результат отрицания будет истинным. Обозначение: A или A. Таблица истинности: A А 0 0. Логическое сложение (дизъюнкция, логическое ИЛИ) - это новое сложное выражение будет истинным тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из исходных (простых) выражений. Обозначение: A B или A+B

2 Таблица истинности: A B А В Логическое умножение (конъюнкция, логическое И) - это новое сложное выражение будет истинным только тогда, когда истинны оба исходных простых выражения. Обозначение: A B или A B или A. Таблица истинности: A B А В Логическое следование (импликация) - связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А), а второе (В) следствием из этого условия. Результатом ИМПЛИКАЦИИ является ЛОЖЬ только тогда, когда условие А истинно, а следствие В ложно. Обозначение: A B. Таблица истинности: A B А В Логическая равнозначность (эквивалентность, тождество) - определяет результат сравнения двух простых логических выражений А и В. Результатом ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ является новое логическое выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда оба исходных выражения одновременно истинны или ложны. Обозначение: A B или A B. Таблица истинности: A B A B Сложение по модулю (исключающее ИЛИ, в просторечье XOR) - определяет результат сравнения двух простых логических выражений А и В. Результатом является новое логическое выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда оба исходных выражения различны. Обозначение: A B.

3 Таблица истинности: A B A B Штрих Шеффера ( И-НЕ, англ. nand= not and ) определяет результат, обратный операции конъюнкции. A B = (A B). Обозначается: A B. Таблица истинности: A B A B Стрелка Пирса ( ИЛИ-НЕ, англ. nor= not or ) - определяет результат, обратный операции дизъюнкции. A B = (A + B). Обозначается: A B. Таблица истинности: A B A B Операции инверсия ( ), конъюнкция ( ) и дизъюнкция (+) являются базовыми, через них можно выразить другие операции.. инверсия. конъюнкция 3. дизъюнкция 4. импликация 5. эквивалентность 6. сложение по модулю Приоритет логических операций в сложном логическом выражении Для изменения указанного порядка выполнения операций используются скобки. Построение таблицы истинности для сложных выражений Таблица истинности - это таблица, устанавливающая соответствие между всеми возможными наборами логических переменных, входящих в логическую функцию и значениями функции. Таблицы истинности применяются для: - вычисления истинности сложных высказываний; - установления эквивалентности высказываний. 3

4 Для построения таблицы истинности надо определить количество строк и столбцов. Количество строк = n + одна строка для заголовка (n - количество простых высказываний). Количество столбцов = количество переменных + количество логических операций. При построении таблицы надо учитывать все возможные сочетания логических значений 0 и исходных выражений. Затем определить порядок действий и составить таблицу с учетом таблиц истинности основных логических операций. ПРИМЕР: составить таблицу истинности сложного логического выражения D = A ( B C ) А,В, С - три простых высказывания, поэтому : количество строк = 3 + = 9 (n=3, т.к. на входе три элемента А, В, С) количество столбцов : ) А ) В 3) С 4) A это инверсия А (обозначим Е) 5) B C это операция дизъюнкции (обозначим F) 6) D = A ( B C ), т.е. D = E F это операция конъюнкции А В С E = А F = В С D = E F o 0 0 o Основные законы алгебры логики. Закон рефлексивности (переместительный закон с самой собой) А А = А A A = A. Закон коммутативности (переместительный закон) A B = B A A B = B A 3. Закон ассоциативности (сочетательный закон) (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) 4. Закон дистрибутивности (распределительный закон) A (B C) = A B A C A B C = (A B) (A C) 5. Закон отрицания отрицания ( A) = A 6. Законы де Моргана (A B) = A B (A B) = A B 4

5 7. Законы поглощения A ( A B) = A A (A B) = A A ( A B)=A B 8. Закон непротиворечия A A = 0 9. Закон исключенного третьего A A = 0. Законы нуля и единицы A 0 = 0 A = A A 0 = A A = Выражение дополнительных логических операций через базовые операции. Импликация: А В = A B. Эквиваленция: A B = (A B) ( A B) 3. Исключаюшщее ИЛИ: A B = ( A B) ( A B) Типовые задачи ЕГЭ, для решения которых требуются знания алгебры логики Часть. Логические выражения. Определение равносильности выражений. Решение этих задач основано на непосредственном применении законов алгебры логики. Пример : Какое логическое выражение эквивалентно выражению A B (A B)? ) B A ) A B 3) B A 4) B A Решение: Фактически это задание на применение законов де Моргана: (A B) = A B (A B) = A B И закона повторения: A A=A Применив этот закон к выражению: A B (A B), получим ( A B ) ( A B)= A B. Ответ: 3. Построение и анализ таблиц истинности логических выражений. Для решения этих задач достаточно проверять предлагаемые ответы один за другим, поочередно подставляя в соответствующее логическое выражение значения переменных из каждой строки таблицы и проверяя, получается ли в результате указанное в этой же строке таблицы требуемое значение F. При этом, если для какой-то из строк таблицы получается неправильный результат, то можно прервать проверку данного варианта ответа и сразу перейти к следующему варианту. Пример : Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F: X Y Z F Какое выражение соответствует F? ) X /\ Y /\ Z ) X /\ Y /\ Z 3) X \/ Y \/ Z 4) X \/ Y \/ Z 5

6 Решение: Надо помнить, что: логическая сумма X \/ Y \/ Z равна 0 (выражение ложно) тогда и только тогда, когда все слагаемые одновременно равны нулю, а в остальных случаях равна (выражение истинно); логическое произведение X /\ Y /\Z равно (выражение истинно) тогда и только тогда, когда все сомножители одновременно равны единице, а в остальных случаях равно 0 (выражение ложно). Проверим все выражения на соответствие таблице истинности: X Y Z F X /\ Y /\ Z X /\ Y /\ Z X \/ Y \/ Z X \/ Y \/ Z Из таблицы видно, что указанному условию удовлетворяет только выражение: X \/ Y \/ Z Ответ: 4 Пример : Дан фрагмент таблицы истинности выражения F. Какое выражение соответствует F? x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 F ) (x x) x3 x4 x5 x6 x7 ) (x x) x3 x4 x5 x6 x7 3) (x x) x3 x4 x5 x6 x7 4) ( x x) x3 x4 x5 x6 x7 Решение: В последнем столбце таблицы всего одна единица, поэтому стоит попробовать использовать функцию, состоящую из цепочки операций «И», это ответы, 3 или 4. Для этой «единичной» строчки получаем, что инверсия (операция «НЕ») должна быть применена к переменным x 3, x 5 и x 7, которые равны нулю: x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 F Таким образом, остается только вариант ответа, т.к. в ответах 3 и 4 переменная x 3 указана без инверсии. Проверяем скобку (x x). В данном случае она равна, что соответствует условию. Ответ: Пример 3: Дано логическое выражение, зависящее от 5 логических переменных: X X X 3 X 4 X 5 Сколько существует различных наборов значений переменных, при которых выражение ложно? ) ) 3) 3 4) 3 Решение: Перепишем выражение в других обозначениях: X X X3 X 4 X 5 Таблица истинности для выражения с пятью переменными содержит 5 = 3 строки (различные комбинации значений этих переменных). Логическое произведение истинно в том и только в том случае, когда все сомножители равны, поэтому только один из этих вариантов даст истинное значение выражения, а остальные 3 = 3 вариант дают ложное значение. Ответ: 3 Пример 4: Логическая функция F задаётся выражением (x y z) ( x y). Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z???? F

7 В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала буква, соответствующая -му столбцу; затем буква, соответствующая -му столбцу; затем буква, соответствующая 3-му столбцу). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно. Решение: Запишем заданное выражение в более простых обозначениях: F ( x y z) ( x y) Используя известные тождества алгебры логики: a 0 a, a a 0 и распределительный закон для операции «И» a b c ( a b) ( a c) преобразуем исходное выражение: F ( x y z) ( x y) ( x y z) ( x y z z) ( x y z) ( x y z) ( x y z) Каждая дизъюнкция в выражении соответствует строке таблицы истинности, в которой F=0. x y z F x y z 0 0 x y z x y z 0 0 В таблице, приведенной в задании, так же три строки, где F=0:??? F Сравнивая столбцы этих таблиц, делаем выводы: a. во втором (синем) столбце таблицы задания находится y (одна единица), b. в первом (жёлтом) столбце таблицы задания находится z (в двух строках z=y), c. в последнем (зелёном) столбце таблицы задания находится x (где z=y, там x= y). Ответ: zyx Пример 5: Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F: x x x3 x4 x5 F Укажите максимально возможное число различных строк полной таблицы истинности этого выражения, в которых значение x не совпадает с F. Решение: Полная таблица истинности выражения с пятью переменными содержит 5 = 3 строки. В приведённой части таблицы в двух строках значение x совпадает с F, а в одной не совпадает. Во всех оставшихся (неизвестных) 3 3 = 9 строках значения x и F могут не совпадать. Всего несовпадающих строк может быть + 9 = 30. Ответ: 30 Пример 6: Александра заполняла таблицу истинности для выражения F. Она успела заполнить лишь небольшой фрагмент таблицы: x x x3 x4 x5 x6 x7 x8 F Каким выражением может быть F? 7

8 ) x x x3 x4 x5 x6 x7 x8 ) x x x3 x4 x5 x6 x7 x8 3) x x x3 x4 x5 x6 x7 x8 4) x x x3 x4 x5 x6 x7 x8 Решение: Перепишем выражения в более простой форме, заменив «И» ( ) на умножение и «ИЛИ» ( ) на сложение: ) x x x3 x4 x5 x6 x7 x8 ) x x x3 x4 x5 x6 x7 x8 3) x x x3 x4 x5 x6 x7 x8 4) x x x3 x4 x5 x6 x7 x8 В последнем столбце таблицы истинности видим две единицы, откуда сразу следует, что это не может быть цепочка операций «И» (конъюнкций), которая даёт только одну единицу; поэтому ответы и 3 заведомо неверные. Анализируем первую строку таблицы истинности. В ней только два значения - x 0 и x. Для того, чтобы в результате в первой строке получить 0, необходимо, чтобы переменная x 8 входила в сумму с инверсией (тогда из получится 0!), это условие выполняется для обоих оставшихся вариантов, и 4. Кроме того, переменная x должна входить в выражение без инверсии (иначе соответствующее слагаемое в первой строке равно, и это даст в результате ). Этому условию не удовлетворяет выражение 4. Остается один возможный вариант выражение. Ответ: Пример 7: Каждое логическое выражение A и B зависит от одного и того же набора из 5 переменных. В таблицах истинности каждого из этих выражений в столбце значений стоит ровно по 4 единицы. Каково минимально возможное число единиц в столбце значений таблицы истинности выражения A B? Решение: Полная таблица истинности каждого выражения с пятью переменными содержит 5 = 3 строки. В каждой таблице по 4 единицы и по 8 (= 3 4) нуля. Выражение A B равно нулю тогда и только тогда, когда A = 0 или B =. Минимальное количество единиц в таблице истинности выражения A B будет тогда, когда там будет наибольшее число нулей, то есть в наибольшем количество строк одновременно A = 0 и B =. По условию A = 0 в 8 строках, и B = в 4 строках, поэтому выражение A B может быть равно нулю не более чем в 4 строках, оставшиеся 3 4 = 8 могут быть равны. Ответ: 8 3. Определение, какое имя соответствует предложенному логическому условию. Решать такие задачи можно двумя способами: или на основании рассуждений, используя законы алгебры логики (вариант ) или используя таблицу истинности (вариант ). Пример: Какое из приведенных имен удовлетворяет логическому условию: (последняя буква гласная первая буква согласная) /\ вторая буква согласная ) ИРИНА ) АРТЕМ 3) СТЕПАН 4) МАРИЯ Решение (вариант ): Конъюнкция истинна, если оба утверждения истинны, т.е. утверждение «вторая буква согласная» - истинно и утверждение «(последняя буква гласная первая буква согласная)» - истинно. Так как последнее утверждение является отрицанием утверждения «(последняя буква гласная первая буква согласная)», то оно должно быть ложным. Импликация ложна, если из истины следует ложь. Следовательно, если последняя буква гласная, то первая буква должна быть тоже гласной. Этому условию удовлетворяет слово ИРИНА. Ответ: Решение (вариант ): Составим таблицу истинности: 8 8

9 Имя X: последняя буква гласная X: первая буква согласная X3: вторая буква согласная X4: X X X5: X4 Результат: X5 /\ X3 ИРИНА 0 0 АРТЕМ СТЕПАН МАРИЯ В таблице выделена строка, соответствующая правильному ответу. Вообще говоря, обнаружив, что условие выполняется уже для первого варианта, остальные варианты ответа можно не проверять. Ответ: 4. Определение числа, для которого истинно логическое высказывание. Здесь есть две группы задач: с вариантами ответов (из части А) и без вариантов ответа (из части В). В первом случае задачу можно решить, подставляя ответы в таблицу истинности (метод подстановки) или через преобразование выражения, используя законы алгебры логики. Пример (из части А): Для какого из указанных значений X истинно высказывание ((X > ) (X > 3))? ) ) 3) 3 4) 4 Решение (прямая подстановка): Ответ: 3 X X > X > 3 (X > ) (X > 3) ((X > ) (X > 3)) Решение (использование свойств импликации): ) обозначим простые высказывания буквами: A = X >, B = X > 3 ) тогда исходное выражение можно переписать в виде (A B)= или A B=0 3) импликация A B ложна в одном единственном случае, когда A = и B = 0; поэтому заданное выражение истинно для всех X, таких что X > и X 3 4) из приведенных чисел только 3 удовлетворяет этому условию, Ответ: 3 Пример из части В: Каково наибольшее целое число X, при котором истинно высказывание (50<X X) >(50>(X+) (X+))? Решение: Импликация ложна, если посылка истинна, а следствие ложно. В остальных случаях импликация истинна. Пусть выражение 50<X X истинно, если (X > 7) ИЛИ (X < - 7). При X > 7, например, при X = 8 получаем, что 50>(8+) (8+) ложное высказывание. Следовательно, импликация ложна, а это противоречит условию. При X < - 7, например, при X = -8 получаем 50>(-8+) (-8+) истинное высказывание. Импликация истинна. Наибольшее число -8. Пусть выражение 50<X X ложно, если 7 <= X < =7. Независимо от того истинна или ложно высказывание 50>(X+) (X+) импликация будет истинна. Значит наибольшее значение 7. Ответ: 7 9

10 5. Задачи с интервалами. Для решения этих задач используется метод визуального представления отрезков на числовой оси. Пример : На числовой прямой даны два отрезка: P = [4,34] и Q = [4, 44]. Выберите такой отрезок A, что формула ( x A) ((x P) (x Q) ) тождественно истинна, то есть принимает значение при любом значении переменной х. Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет большую длину. ) [5, 9] ) [5, 9] 3) [35,39] 4) [49,55] Решение: Чтобы упростить выражение, обозначим отдельные высказывания буквами и отобразим интервалы P и Q на числовой оси голубым и фиолетовым цветами соответственно: A: x А, P: x P, Q: x Q Тогда: A (P Q) Выражение R = (P Q) истинно для всех значений x, при которых P и Q равны (либо оба ложны, либо оба истинны). Отобразим область истинности выражения R = (P Q) на числовой оси жёлтым цветом: Q P x Импликация A R истинна за исключением случая, когда A= и R=0, поэтому на полуотрезках [4,4] и [34,44], где R=0, выражение A должно быть обязательно ложно. Никаких других ограничений не накладывается. Из предложенных ответов этому условия соответствуют отрезки [5,9] и [49,55]. По условию задачи из них нужно выбрать самый длинный. Так как отрезок [5,9] имеет длину 4, а отрезок [49,55] длину 6, поэтому выбираем отрезок [49, 55]. Ответ: 4 Пример : На числовой прямой даны три интервала: P = (0, 5), Q = [5, 0] и R = [5,5]. Выберите такой отрезок A, что выражения (x A) (x P) и (x Q) (x R) принимают различные значения при любых x. ) [7, 0] ) [, 5] 3) [5,] 4)[0, 5] Решение (способ, отрезки на числовой прямой): Обратите внимание, что интервал P это открытый интервал. Это необходимо для того, чтобы можно было выполнить заданное условие в точках стыковки отрезков. Чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами: A: x А, P: x P, Q: x Q, R: x R перейдём к более простым обозначениям: Y A P, Z Q R Выразим импликации через операции «ИЛИ» и «НЕ»: Y A P A P, Z Q R Q R Заметим, что неизвестная величина A входит только в выражение Y. 0

11 Общая идея состоит в том, чтобы построить на числовой оси область истинности для полностью известного выражения Z Q R, а затем дополнить отрезок P до «обратной» области, в которой выражение Z ложно. Это «дополнение» будет соответствовать области A. Построим область Z Q R объединение отрезка R и области вне отрезка Q: Q R x Q R Теперь рассмотрим область P (выделена голубым цветом) Q R x P Чтобы выполнить заданное условие (противоположность значений Y A P и Z Q R при любых x), область истинности выражения Y A P должна совпадать с областью, где выражение Z ложно. Для этого выражение A должно «перекрыть» всю фиолетовую область (возможно, заходя в область P ), но не должно заходить в «жёлтую» область: Q R x P Из предложенных вариантов ответов этим требованиям удовлетворяет только отрезок [5,] (ответ 3) Ответ: 3 Решение (способ, таблицы истинности): Упростим выражения и введем те же обозначения, что и в первом способе решения. Обратим внимание, что если рассматривать все значения x на числовой прямой, то логические значения формул могут измениться только при переходе через граничные точки заданных промежутков. Эти точки (5, 0, 5, 0 и 5) разбивают числовую прямую на несколько интервалов, для каждого из которых можно определить логическое значение выражения Z Q R. x P Q Q R Z Q R x < < x < < x < < x < < x < x > Для упрощения записи не будем рассматривать значения формул на концах отрезков, так как это не влияет на решение. По условию выражение Z Q R должно быть НЕ равно выражению Y A P при любых значениях x, отсюда можно найти, каким должно быть значение A для каждого интервала: x Z Q R Y A P P A x <

12 5 < x < < x < любое < x < < x < x > Таким образом, среди ответов нужно найти отрезок, который перекрывает отрезок [5,0] и, возможно, заходит внутрь отрезка [0,5]. Из предложенных вариантов ответов этим требованиям удовлетворяет только отрезок [5,] (ответ 3). Ответ: 3 6. Решение задач на логику рассуждений. Обычно такие задачи решают, используя законы алгебры логики или составляя таблицы. Пример: Перед началом Турнира «Четырех» болельщики высказали следующие предположения по поводу своих кумиров: А) Макс победит, Билл второй; В) Билл третий, Ник первый; С) Макс последний, а первый Джон. Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов. Какое место на турнире заняли Джон, Ник, Билл, Макс? (В ответе перечислите подряд без пробелов места участников в указанном порядке имен.) Решение (метод рассуждений) ) Есть «точная» информация, которая не подвергается сомнению - каждый из болельщиков оказался прав только в одном прогнозе. ) Запишем высказывания болельщиков:. Макс победит, Билл второй;. Билл третий, Ник первый; 3. Макс последний, а первый Джон. 3) Известно, что из двух высказываний каждого болельщика одно истинно, а другое ложно. 4) Пусть первый болельщик угадал, что Макс победит, тогда третий болельщик ошибся в двух предположениях, а это не соответствует условию задачи. 5) Пусть первый болельщик угадал, что Билл занял второе место, тогда второй болельщик предсказал первое место Нику, следовательно, по предположению третьего, Макс занял последнее место, а Джон третье. Отсюда имеем: Ник, Билл, Джон 3 и Макс 4 место. Ответ: НБДМ Решение (табличный метод): Таблицы позволяют не только наглядно представить условие задачи или ее ответ, но и в значительной степени помогают делать правильные логические выводы в ходе решения задачи. ) Запишем высказывания трех болельщиков в форме таблицы (заголовок строки обозначает место в турнирной таблице): Первый болельщик Второй болельщик Третий болельщик Макс Ник Джон Билл 3 Билл 4 Макс ) Считая, что два человека не могут оказаться на одном месте, начнем рассматривать эту таблицу с той строчки, где больше всего информации (в данном случае с первой). 3) Предположим, что Макс действительно занял первое место, как и сказал первый болельщик, тогда:

13 3.. Второй и третий болельщики ошиблись, поставив на первое место Ника и Джона; 3.. С учетом главного условия задачи, получается, что третий болельщик угадал во втором случае, и Макс будет на четвертом месте, но данное утверждение противоречит начальному предположению, следовательно, Макс должен быть не на первом месте, а на четвертом, как сказал третий болельщик: Первый болельщик Второй болельщик Третий болельщик Макс Ник Джон Билл 3 Билл 4 Макс 3.3. Имеем, что в первом прогнозе первый болельщик ошибся, то есть он угадал, что Билл занял второе место: Первый болельщик Второй болельщик Третий болельщик Макс Ник Джон Билл 3 Билл 4 Макс 3.4. Так как Билл второй, он не может быть на третьем месте, поэтому из прогноза второго болельщика следует, что Ник первый: Первый болельщик Второй болельщик Третий болельщик Макс Ник Джон Билл 3 Билл 4 Макс 3.5. Определимся с Джоном ему досталось единственное свободное третье место: Первый болельщик Второй болельщик Макс Ник Джон Билл Джон 3 Билл 4 Макс Получаем окончательный список победителей: Ник, Билл, Джон, Макс. Ответ: НБДМ Третий болельщик 6. Решение задач на запросы к серверу. При вводе какого-то слова (например, принтер) в запросе поисковой системы означает, что пользователь ищет Web-страницы, на которых встречается это слово. Операция «И» всегда ограничивает поиск, то есть, в ответ на запрос принтер И сканер поисковый сервер выдаст меньше страниц, чем на запрос принтер, потому что будет искать страницы, на которых есть оба этих слова одновременно. Операция «ИЛИ» всегда расширяет поиск, то есть, в ответ на запрос принтер ИЛИ сканер поисковый сервер выдаст больше страниц, чем на запрос принтер, потому что будет искать страницы, на которых есть хотя бы одно из этих слов (или оба одновременно). Если в запросе вводится фраза в кавычках, поисковый сервер ищет страницы, на которых есть в точности эта фраза, а не просто отдельные слова. Взятие словосочетания в кавычки ограничивает поиск, то есть, в ответ на запрос " принтер сканер" поисковый сервер выдаст меньше страниц, чем на запрос принтер сканер, потому что будет искать только те страницы, на которых эти слова стоят одно за другим. В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ, а для логической операции «И» символ «&». Пример : В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу. ) принтеры & сканеры & продажа ) принтеры & сканеры 3

14 3) принтеры сканеры 4) принтеры сканеры продажа Решение (вариант, рассуждение с использованием свойств операций «И» и «ИЛИ»): ) меньше всего результатов выдаст запрос с наибольшими ограничениями первый (нужны одновременно принтеры, сканеры и продажа) ) на втором месте второй запрос (одновременно принтеры и сканеры) 3) далее третий запрос (принтеры или сканеры) 4) четвертый запрос дает наибольшее количество результатов (принтеры или сканеры или продажа) Ответ: 34 Решение (вариант, через таблицы истинности): ) каждое из условий можно рассматривать как сложное высказывание ) обозначим отдельные простые высказывания буквами: A: принтеры (на странице есть слово «принтеры») B: сканеры C: продажа 3) запишем все выражения-запросы через логические операции X A B C, X A B, X 3 A B, X 4 A B C 4) здесь присутствуют три переменные, А, B и C (хотя второе и третье выражения от С не зависят!), поэтому для составления таблицы истинности нужно рассмотреть 8 = 3 всевозможных комбинаций этих логических значений 5) выражение X A B C равно (истинно) только при A B C, в остальных случаях равно 0 (ложно) 6) выражение X A B равно только при A B, в остальных случаях равно 0 7) выражение X 3 A B равно 0 только при A B 0, в остальных случаях равно 8) выражение X 4 A B C равно 0 только при A B C 0, в остальных случаях 9) запишем результаты пп. 5-8 в виде таблицы истинности A B C X A B C X A B X 3 A B X 4 A B C ) по таблице видим, что наименьшая «область действия» у первого выражения, поисковый сервер выдаст наименьшее число запросов ) область, где X, включает в себя всю область, где X и еще один вариант, поэтому «поисковик» выдаст больше запросов, чем для первого случая ) аналогично делаем вывод, что область X включает всю область X и расширяет ее, а область X 4 это расширение области X 3 Ответ: 34 Решение (вариант 3, через диаграммы Эйлера-Венна): ) запишем все ответы через логические операции X A B C, X A B, X 3 A B, X 4 A B C ) покажем области, определяемые этими выражениями, на диаграмме с тремя областями 3 4

15 A X A B C B A X A B B A X 3 A B B A X 4 A B C B С 3) сравнивая диаграммы, находим последовательность областей в порядке увеличения: (,,3,4), причем каждая следующая область в этом ряду охватывает целиком предыдущую (как и предполагается в задании, это важно!) Ответ: 34 Пример : В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашел поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета: Запрос Количество страниц (тыс.) пирожное выпечка 400 пирожное 9700 пирожное & выпечка 500 Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу выпечка Решение: По запросу пирожное выпечка выдается множество страниц, в которых встречаются или одно слово или другое. По запросу пирожное & выпечка выдается множество страниц, в которых встречаются оба слова вместе. По запросам пирожное и выпечка выдается множество страниц, в которых встречается только данное слово. На рисунке показаны диаграммы Эйлера- Венна по данным запросам. Следовательно, чтобы получить количество страниц, найденных по запросу выпечка надо выполнить следующие вычисления: =9600 Ответ: 9600 Задачи для тренировки (часть ). Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению A /\ ( B \/ C). ) A \/ B \/ C ) A /\ B /\ C 3) A /\ B /\ C 4) A /\ B /\ C. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F: X Y Z F С С С Какое выражение соответствует F? ) X /\ Y /\ Z ) X /\ Y /\ Z 3) X \/ Y \/ Z 4) X \/ Y \/ Z 3. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F. 5

16 x x x3 x4 x5 x6 x7 F Какое выражение соответствует F? ) x x x3 x4 x5 x6 x7 ) x x x3 x4 x5 x6 x7 3) x x x3 x4 x5 x6 x7 4) x x x3 x4 x5 x6 x7 4. Дано логическое выражение, зависящее от 6 логических переменных: X X X 3 X 4 X 5 X 6 Сколько существует различных наборов значений переменных, при которых выражение истинно? ) ) 3) 63 4) Логическая функция F задаётся выражением ( z) x x y. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z???? F В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала буква, соответствующая -му столбцу; затем буква, соответствующая -му столбцу; затем буква, соответствующая 3-му столбцу). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно. 6. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F: x x x3 x4 x5 x6 F Укажите минимально возможное число различных строк полной таблицы истинности этого выражения, в которых значение x совпадает с F. 7. Александра заполняла таблицу истинности для выражения F. Она успела заполнить лишь небольшой фрагмент таблицы: x x x3 x4 x5 x6 x7 x8 F Каким выражением может быть F? ) x x x3 x4 x5 x6 x7 x8 ) x x x3 x4 x5 x6 x7 x8 3) x x x3 x4 x5 x6 x7 x8 4) x x x3 x4 x5 x6 x7 x8 6

17 8. Каждое логическое выражение A и B зависит от одного и того же набора из 6 переменных. В таблицах истинности каждого из этих выражений в столбце значений стоит ровно по 4 единицы. Каково минимально возможное число единиц в столбце значений таблицы истинности выражения A B? 9. Какое из приведённых имен удовлетворяет логическому условию: (первая буква согласная вторая буква согласная) /\ (предпоследняя буква гласная последняя буква гласная)? ) КРИСТИНА ) МАКСИМ 3) СТЕПАН 4) МАРИЯ 0. Для какого из указанных значений X ложно высказывание ((X > 3) \/ (X<3)) (X < )? ) ) 3) 3 4) 4. Каково наименьшее целое число X, при котором истинно высказывание: ((X>7) \/ (X<7)) >(X>8)?. На числовой прямой даны два отрезка: P = [, 0] и Q = [6, 4]. Выберите такой отрезок A, что формула ( (x А) (x P) ) \/ (x Q) тождественно истинна, то есть принимает значение при любом значении переменной х. ) [0, 3] ) [3, ] 3) [, 5] 4)[5, 7] 3. На числовой прямой даны три интервала: P = (5, 0), Q = [0, 0] и R = [5,40]. Выберите такой отрезок A, что выражения (x A) (x P) и (x Q) (x R) тождественно равны, то есть принимают одинаковые значения при любом значении переменной х. ) [7, 0] ) [, ] 3) [0,5] 4)[0, 30] 4. Девять школьников, остававшихся в классе на перемене, были вызваны к директору. Один из них разбил окно в кабинете. На вопрос директора, кто это сделал, были получены следующие ответы: Володя: «Это сделал Саша». Аня: «Володя лжет!». Егор: «Маша разбила». Саша: «Аня говорит неправду!» Рома: «Разбила либо Маша, либо Нина». Маша: «Это я разбила!» Нина: «Маша не разбивала!» Коля: «Ни Маша, ни Нина этого не делали». Олег: «Нина не разбивала!» Кто разбил окно, если известно, что из этих девяти высказываний истинны только три? Ответ запишите в виде первой буквы имени. 5. В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет. Запрос Найдено страниц (в тысячах) Крейсер 7000 Линкор Крейсер 4800 Линкор 4500 Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Крейсер & Линкор? Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов. 6. В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашел поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета: Запрос Количество страниц (тыс.) мезозой 50 кроманьонец 60 3 неандерталец 70 4 мезозой кроманьонец 80 7

18 5 мезозой неандерталец 00 6 неандерталец & (мезозой кроманьонец) 0 Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу: кроманьонец & (мезозой неандерталец) Часть. Множества в задачах на логику Здесь рассматриваются задачи с использованием множеств. Множество можно задать перечислением его элементов или с помощью логического выражения (условия), которое истинно для каждого элемента множества и ложно для всех элементов, не входящих во множество. В любой задаче можно выделить некоторое «универсальное» множество, в которое входят все объекты, рассматриваемые в задаче. В качестве такого универсального множества может быть выбрано, например: - множество точек числовой прямой, - множество точек, принадлежащих отрезку, - множество всех натуральных чисел, которые делятся на некоторое число, - какое-то другое множество. Основные операции над множествами: - дополнение (до выбранного универсального множества) - пересечение - объединение. Пусть A это некоторое множество. Через A обозначают дополнение множества A до универсального множества, которое рассматривается в задаче. Например, если A это множество точек, принадлежащих отрезку, то A - множество точек не принадлежащих этому отрезку (здесь универсальное множество - это множество всех точек числовой оси). Если A множество натуральных чисел, которые делятся на некоторое число а, то A - это множество натуральных чисел, которые не делятся на а (здесь универсальное множество это множество всех натуральных чисел). Операции с множествами тесно связаны с логическими операциями. Операции пересечения и объединения множеств будем обозначать так же, как и операции логического умножения и сложения. Через A B обозначим пересечение множеств A и B, то есть все элементы, которые входят одновременно в A и B, а через A + B - объединение множеств A и B, то есть все элементы, которые входят хотя бы в одно из двух множеств. Многие задачи ЕГЭ на математическую логику сводятся к двум базовым задачам, в которых надо найти дополнение какого-то множества. Задача. Каким должно быть множество A для того, чтобы множество A+B совпадало с универсальным множеством? Решение: Очевидно, что можно выбрать в качестве решения B - дополнение множества B до универсального множества. Множество A min = B - это минимальное множество, которое является решением задачи. Кроме того, решением будет и любое множество, включающее B, т.е любое А такое, что A B или, используя обозначения теории множеств, A B. Заметим, что множество A+B, которое по условию задачи должно совпадать с универсальным множеством, определяется логическим выражением A+B.Это выражение может быть преобразовано, с учетом свойств импликации, к форме B A. Переход от условия A+B= к условию B A = в некоторых случаях упрощает решение задачи. Задача. Каким должно быть множество A для того, чтобы множество A +B совпадало с универсальным множеством? Решение: В этом случае получаем A B, откуда следует, что A B, т.е. множество A должно быть подмножеством множества B (A B). Тогда максимальное множество A, которое является решением задачи, совпадает с B. 8

19 Множество A max = B - это максимальное множество, которое является решением задачи. В некоторых случаях случаях задача упрощается, если заменить условие A +B=, определяющее множество A +B, на эквивалентное условие A B= или B A =. Вывод: Конкретную задачу на множества и математическую логику нужно попытаться привести к форме Задачи или Задачи, а затем использовать готовое решение. Рассмотрим ряд задач на данную тему.. Задачи на отрезки Задача.На числовой прямой даны два отрезка: P = [37; 60] и Q = [40; 77]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, что формула ( x P) ((( x Q) ( x A)) ( x P)) тождественно истинна, то есть принимает значение при любом значении переменной х. Решение: Для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами A: x А, P: x P, Q: x Q Выражение примет вид: P ( Q A P) Раскрываем обе импликации по формуле A B A B : P ( Q A P) P Q A P Q A P Теперь используем закон де Моргана Q A P A B A B : Сразу видно, что отрезок A должен перекрыть область на числовой оси, которая не входит в область Q P : P Q x Q По рисунку видно, что не перекрыт только отрезок [40;60] (он выделен жёлтым цветом), его длина 0, это и есть правильный ответ. Ответ: 0 Задача. На числовой прямой даны два отрезка: P = [0,0] и Q = [5, 55]. Определите наибольшую возможную длину отрезка A, при котором формула: ( x A) ((x P) (x Q) ) тождественно истинна, то есть принимает значение при любом значении переменной х. Решение: Для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами: A: x А, P: x P, Q: x Q Выражение примет вид: A (P + Q) Раскроем импликацию через операции НЕ и ИЛИ ( A B A B ): A ( P Q) A P Q Для того, чтобы выражение было истинно при всех x, нужно, чтобы A было истинно там, где ложно P Q (жёлтая область на рисунке) P 9

20 P Q Поскольку области истинности P и Q разделены, максимальный отрезок, где A может быть истинно (и, соответственно, A ложно) это наибольший из отрезков P и Q, то есть отрезок [5,55], имеющий длину 30. Ответ: 30. Задачи на множества чисел Задача. Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение: (x {, 4, 6, 8, 0, }) (((x {4, 8,, 6}) (x A)) (x {, 4, 6, 8, 0, })) истинно (т. е. принимает значение ) при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A. Решение: Заметим, что в задаче, кроме множества A, используются еще два множества: P = {, 4, 6, 8, 0, } и Q = {4, 8,, 6} Для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами: A: x А, P: x P, Q: x Q Перепишем выражение: P ( Q A P) Раскрываем обе импликации по формуле A B A B : P ( Q A P) P Q A P Q A P Теперь используем закон де Моргана Q A P x A B A B : Поскольку это выражение должно быть равно, то A должно быть истинным везде, где ложно Q P Тогда минимальное допустимое множество A это A min Q P Q P (по закону де Моргана) Переходим ко множествам Q = {4, 8,, 6} и P = {, 4, 6, 8, 0, }. Тогда Q P это все натуральные числа, которые входят одновременно в Q и P, они выделены жёлтым цветом: {4, 8, } Именно эти числа и должны быть «перекрыты» множеством А min, поэтому минимальный состав множества A это А min = {4, 8, }, сумма этих чисел равна 4. Ответ: 4 Задача.Элементами множеств А, P и Q являются натуральные числа, причём P = {, 4, 6, 8, 0,, 4, 6, 8, 0} и Q = { 3, 6, 9,, 5, 8,, 4, 7, 30 }. Известно, что выражение: ((x A) (x P)) ( (x Q) (x A)) истинно (т. е. принимает значение ) при любом значении переменной х. Определите наибольшее возможное количество элементов множества A. Решение: Для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами: A= (x А), P=( x P), Q=( x Q) Перепишем выражение: (A P ) (Q A ). Используя свойство импликации A B A B и закон поглощения A+A B=A получаем: (A P ) (Q A )=( A + P ) (Q+ A )= A Q+ P A + A = A + P Q. Задача сведена к базовой Задаче, где B= P Q. Ее решение: A max = P Q - это пересечение множеств P и Q, т.е. все элемены, которые входят в Q и не входят в P : A max ={3, 9, 5,, 4, 7, 30} Количество элементов этого множества равно 7. Ответ: 7 0

21 3. Задачи на делимость В следующих задачах ДЕЛ(n, m) обозначает утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Обозначим через D N =(x D N ), A=(x D A ). Задача. Для какого наибольшего натурального числа А формула: ДЕЛ(x, А) (ДЕЛ(x, 6) ДЕЛ(x, 4)) тождественно истинна (то есть принимает значение при любом натуральном значении переменной х)? Решение: Истинным для всех x должно быть выражение: A ( D ) 6 D4 Упростим это выражение, раскрыв импликацию по правилу A ( D D A D D. 6 4) Мы свели задачу к базовой Задаче, где B D 6 D4. Ее решение : 6 4 D A min D 6 D 4 A B A B : это множество всех чисел, которые делятся одновременно на 4 и 6 (все числа, кратные 4 и 6), то есть,, 4, 36 и т.д. (заметим, что это наименьшее общее кратное чисел 4 и 6). Для того, чтобы перекрыть эти числа, можно выбрать в качестве A любой делитель числа, то есть,,, 3, 4, 6 или. Но при уменьшении A соответствующее множество D A расширяется. Например, для A= множество D A включает все натуральные числа, а не только кратные. Поэтому максимальному A соответствует минимальное множество D A. Брать значение A большее, чем, нельзя, потому что в соответствующее множество D A войдут не все элементы множества D 6 D 4 (например, не войдет число ). Наибольшее из этих чисел. Ответ: Задача. Для какого наибольшего натурального числа А формула: ДЕЛ(x, А) ( ДЕЛ(x, ) ДЕЛ(x, 35)) тождественно истинна (то есть принимает значение при любом натуральном значении переменной х)? Решение: Запишем формулу из условия в наших обозначениях. Истинным для всех x должно быть выражение: A ( D D ) 35 Раскроем импликацию по правилу D 6 D A B A B : A ( D D A D D 35) Мы свели задачу к базовой Задаче, где B= D D35. Ее решение: D Amin D D35 D D35 - это множество чисел, которые делятся на или на 35. Множество D Amin, точно соответствующее выражению с помощью одной операции ДЕЛ получить невозможно. Заметим, что любое множество D A, где A какой-нибудь общий делитель и 35, содержит D Amin (все числа, делящиеся на или на 35). Смотри рисунок. Так как 7 это наибольший общий делитель этих чисел, то множество D7 это минимальное множество, которое включает D Amin (напоминаем, что чем больше A, тем меньше множество D A ). Заметим, что каждое из множеств D 35 и D входит в множество D 7. Объединение D 35 + D тоже входит в D 7. Смотри рисунок. Поэтому наибольшее значение A равно 7. Ответ:

22 Рисунок Рисунок Задача 3. Для какого наименьшего натурального числа А формула: ДЕЛ(x, А) (ДЕЛ(x, ) + ДЕЛ(x, 35)) тождественно истинна (то есть принимает значение при любом натуральном значении переменной х)? Решение: Запишем формулу из условия в наших обозначениях: A ( D D35) Раскроем импликацию по правилу A B A B : A ( D D A D D 35) D Мы свели задачу к базовой Задаче, где B= D 35. Ее решение: D Amax D D35 - это множество чисел, которые делятся на или на 35. Получить такое множество, точно соответствующее выражению, с помощью функции ДЕЛ невозможно. Нужное нам множество должно входить во множество D D35, например, совпадая с одним из множеств D 35 или D, или располагаясь внутри любого из них, что возможно, если использовать делители, кратные или 35. В качестве A можно выбрать число или 35, т.к. D D +D 35 и D 35 D +D 35. А вот числа, меньшие, чем выбирать нельзя, т.к. в этом случае множество DA не будет подмножеством D +D 35. Например, при выборе A=7 множество D 7 содержит числа 7, 4, 8 и др., которые не делятся ни на ни на 35. В задании требуется найти НАИМЕНЬШЕЕ значение, этому условию соответствует. Ответ: Задача 4. Для какого наименьшего натурального числа А формула: ДЕЛ(x, А) ( ДЕЛ(x, ) + ДЕЛ(x, 35)) тождественно истинна (то есть принимает значение при любом натуральном значении переменной х)? Решение: Запишем формулу из условия в наших обозначениях: A ( D D ) 35 Раскроем импликацию по правилу A B A B : A ( D D A D D 35) Мы свели задачу к базовой Задаче, где B= D D35. Ее решение: D Amax = D D35 - это множество чисел, которые не делятся неа, плюс множество чисел, которые делятся на 35. Пока достаточно тяжело сказать, какое значение A надо выбрать. Удобнее преобразовать выражение к такой форме: A D D 35 =(A D ) D 35. Это означает, что, если число делится на A и делится на, то оно делится и на 35. Если натуральное число x делится на A, то его можно записать в виде x=a k для некоторого натурального k. Аналогично, если x делится на, то x= m для некоторого натурального m, а если оно делится на 35, то x=35 q. Представим числа и 35 в виде произведения простых сомножителей: = 3 7, 35=

23 Таким образом, при любом значении k число x = A k = 3 7 m должно делиться на 35 = 5 7. Для этого нужно с помощью сомножителя A добавить в произведение A k = =3 7 m недостающий сомножитель 5, который есть среди простых сомножителей числа 35, но отсутствует среди простых сомножителей числа. Этого будет достаточно, чтобы обеспечить делимость числа A k = 3 7 m на 35, поскольку сомножитель 7 там уже есть. Заметим, что в качестве A можно взять любое число, кратное 5, но минимально возможное значение это 5. Ответ: 5 3.Задачи на побитовые операции В следующих задачах выражение M&K обозначает поразрядную конъюнкцию M и K (логическое «И» между соответствующими битами двоичной записи). Введем следующие обозначения: обозначим через D N множество натуральных чисел, для которых побитовая конъюнкция с числом N дает ненулевое значение: D N = {x: x & N 0}. введем условия: D N =(x D N ), A = (x D A ). Задача. Определите наименьшее натуральное число A, такое, что выражение: (x & 53 0) ((x & 4=0) (x & A 0)) Тождественно истинно? Решение: Преобразуем исходное выражение, используя свойство импликации A D 53 ( D4 A) = (D 53 (D 4 +A) = A + D 53 +D 4. Таким образом, мы пришли к базовой Задаче, где B = D 53 +D 4. Ее решение: A + D 53 +D 4 = D53 D4 ( D53 D4 ) A. 3 B A B : DAmin D53 D4 D53 D4 Минимальное множество D Amin определяется одновременным выполнением двух условий: x & 53 0 и x & 4=0 Рассмотрим, что означают эти условия. Условие x & 53 0 означает выполнение побитовой конъюнкции (операция «И») над соответствующими битами чисел x и 53, т.е. 53 выполняет роль маски. Запишем число 53 в двоичной системе счисления: 53 = = = 00. В двоичном коде числа 53 будут равны только биты с номерами 0,, 4 и 5. После выполнения побитовой операции «И» сохраняются только те биты числа x, для которых соответствующие биты маски равны, остальные, соответствующие нулевым битам маски обнуляются. Номер бита = 0 0 x = a b c d e f x & 53 = a b 0 d 0 f Поэтому: Условие x & 53 0 означает, что среди битов {5, 4,, 0}числа x есть ненулевые; Условие x & 53=0 означает, что биты {5, 4,, 0}числа x нулевые. Итак, условие D 53 обозначает, что среди битов {5, 4,, 0} числа x есть ненулевые. Условие x & 4=0. Запишем число 4 в двоичной системе счисления: 4 = = = 000. Выполнение условия D 4 означает, что биты {5, 3, 0} числа x - нулевые. Следовательно, если выполняется условие D53 D4, определяющее нужное нам множество, то среди битов {4, } числа x есть ненулевые. Для всех таких чисел x & 53 0, где A может быть любым числом, у которого биты 4 и равны. Минимальное из таких чисел равно: 4 + =6 + 4 = 0. Возможен несколько другой подход, при котором логическое выражение сводится к импликации, содержащей A в правой части:

24 Одновременное выполнение условий D 53 и D 53 означает, что: среди битов {5, 4,, 0} числа x есть ненулевые; все биты {5, 3, 0} числа x нулевые. Следовательно, среди битов {4, } числа x есть ненулевые. Это минимальное множество определяется условием x & 53 0, где: A = 4 + =6 + 4 = 0. Подходят также любые другие значения A, в которых биты {4, } равны, но все они больше, чем 0. (По условию задачи надо найти наименьшее натуральное число A.) Ответ: 0 Задача. Определите наибольшее натуральное число A, такое что выражение: (x & A 0) ((x & 0 = 0) (x & 5 0)) тождественно истинно (то есть принимает значение при любом натуральном значении переменной x)? Решение: перепишем исходное выражение и преобразуем его, используя свойство импликации A B A B : A ( D0 D 5 ) = A + ( D0 D 5 ) = A + D 0 + D 5. Таким образом, мы пришли к базовой Задаче, где B = D 0 + D 5. Ее решение: D Amax = D 0 + D 5. Максимальное множество определяется выполнением одного из двух условий: x & 0 0 или x & 5 0. Представим числа 0 и 5 в двоичной системе счисления: 0 = = 4 + = 000, 5 = 4 + = + 0 = 0. Как следует из решения предыдущей задачи : условие x & 0 0 означает, что среди битов {4, } числа x есть ненулевые; условие x & 5 0 означает, что среди битов {, 0} числа x есть ненулевые. Объединение этих множеств - это множество чисел, в двоичной записи которых среди битов {4,, 0} есть ненулевые. Это максимальное множество определяется условием x & A 0, где: A = = =. Заметим, что заданное условие выполняется и для других значений A, в которых все биты, кроме битов {4,, 0}, равны нулю. Например, для A = 4. Но все эти значения меньше, чем. Возможен несколько другой подход, при котором логическое выражение сводится к импликации, содержащей A в правой части: A + D 0 + D 5 = D0 D5 A = D 0 D5 A. Посмотрим, что следует из одновременного выполнения условий D0 и D 5 : условие x & 0 = 0 означает, что биты {4, } числа x нулевые; условие x & 5 = 0 означает, что биты {, 0} числа x нулевые. Отсюда следует, что биты {4,, 0} числа x нулевые. В результате поразрядной конъюнкции эти биты значения A обнулятся, поэтому они могут быть равны, и при этом выражение A останется истинно. Если же какие-то другие биты числа A будут равны, то результат будет зависеть от x, потому что соответствующие биты значения x могут быть также равны, и в этом случае выражение A будет ложно. Следовательно, максимальное значение A, при котором выполняется условие задачи, равно: A = = =. Ответ: 4. Задача на битовые цепочки Задача. Пусть P множество всех 8-битовых цепочек, начинающихся с, Q множество всех 8-битовых цепочек, оканчивающихся на 000, а A некоторое множество произвольных 8-битовых цепочек. Сколько 4

25 элементов содержит минимальное множество A, при котором для любой 8-битовой цепочки x истинно выражение (x A) ( (x P) (x Q)) Решение: Введём обозначения: A: x А, P: x P, Q: x Q Запишем условие в виде: A ( P Q) Раскроем импликацию по формуле: Мы получили базовую Задачу, где B = Ее решение: A B A B : A ( P Q) A P Q P Q. Amin P Q P Q. Это множество, состоящее из всех элементов множества P, не входящих во множество Q, то есть все 8- битовые цепочки, которые начинаются с и оканчиваются не на 000. Поскольку всего битов 8, структура всех таких цепочек имеет вид ****???, где * обозначает любой из двух символов (0 или ), а??? трёхбитное окончание, не совпадающее с 000. Всего может быть 3 = 8 комбинаций из трёх битов, одно из них, 000, запрещено для окончания, поэтому остаётся еще 7 разрешённых вариантов. Общее количество подходящих цепочек находим по правилам комбинаторики, перемножив количество вариантов для каждой части цепочки ( для первого бита, по для следующих четырёх и 7 для трёхбитного окончания): 7 = Ответ: Задачи для тренировки (часть ). На числовой прямой даны два отрезка: P = [5; 30] и Q = [4;3]. Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка A, что формула (( x P) ( x Q)) ( x A) тождественно истинна, то есть принимает значение при любом значении переменной х.. На числовой прямой даны два отрезка: D = [5; 40] и C = [; 63]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, что формула (x D) (( (x C) /\ (x A)) (x D)) истинна (то есть принимает значение при любом значении переменной х). 3. Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение (x {,, 3, 4, 5, 6}) ( (x {3, 6, 9,, 5}) (x A)) истинно (т. е. принимает значение ) при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A. 4. Элементами множеств А, P, Q являются натуральные числа, причём P = {, 4, 6, 8, 0,, 4, 6, 8, 0}, Q = {5, 0, 5, 0, 5, 30, 35, 40, 45, 50}. Известно, что выражение: ((x A) (x P)) ( (x Q) (x A)) истинно (т.е. принимает значение ) при любом значении переменной х. Определите наибольшее возможное количество элементов в множестве A. 5. Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А формула: ( ДЕЛ(x, А) ДЕЛ(x, )) ДЕЛ(x, 4) тождественно истинна (то есть принимает значение при любом натуральном значении переменной х)? 5

26 6. Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула: (ДЕЛ(x, А) ДЕЛ(x, 5)) (ДЕЛ(x, 8) ДЕЛ(x, 5)) тождественно истинна (то есть принимает значение при любом натуральном значении переменной х)? 7. Введём выражение M & K, обозначающее поразрядную конъюнкцию M и K (логическое «И» между соответствующими битами двоичной записи). Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение: (X & 94 0) ((X & = 0) (X & A 0)) тождественно истинно (то есть принимает значение при любом натуральном значении переменной X)? 8. Введём выражение M & K, обозначающее поразрядную конъюнкцию M и K (логическое «И» между соответствующими битами двоичной записи). Определите наибольшее натуральное число A, такое что выражение: (X & A 0) ((X & 56 = 0) (X & 0 0)) тождественно истинно (то есть принимает значение при любом натуральном значении переменной X)? 9. Пусть P множество всех 8-битовых цепочек, начинающихся с, Q множество всех 8-битовых цепочек, оканчивающихся на 0, а A некоторое множество произвольных 8-битовых цепочек. Сколько элементов содержит минимальное множество A, при котором для любой 8-битовой цепочки x истинно выражение: (x A) ( (x P) (x Q) )? 0. Пусть P множество всех 8-битовых цепочек, начинающихся с, Q множество всех 8-битовых цепочек, оканчивающихся на 0, а A некоторое множество произвольных 8-битовых цепочек. Сколько элементов содержит минимальное множество A, при котором для любой 8-битовой цепочки x истинно выражение (x A) ( (x P) (x Q) )? Часть 3. Логические уравнения и системы 3. Решение с помощью битовых цепочек Основные идеи этого метода: ) Решение системы уравнений это битовая цепочка (битовый вектор). X x x x N ( x {0,} для любого i ) i ) Битовый вектор рассматривается как единый объект. 3) Уравнения это ограничения на битовый вектор (ограничения на комбинации битов). 4) Нужно выделить элементарные уравнения и записать ограничения «на русском языке». 5) Количество решений находится по правилам комбинаторики. Пусть задана некоторая система логических уравнений от переменных x, x,,x N вида: F (x, x,,x N ) = F M (x, x,,x N ) =, где x, x,,x N логические переменные, которые принимают значения 0 или и выражения F,, F M, зависящие от этих переменных, тоже логические. Множество их возможных значений - {0, }. Решением этой системы называется такой вектор значений X = x, x,,x N, при котором все уравнения обращаются в тождество. Поскольку все переменные, входящие в решение X, логические (0 или ), то всё решение можно рассматривать как цепочку нулей и единиц длиной N. Такие цепочки называют битовыми цепочками или битовыми векторами. 6

27 При анализе систем логических уравнений надо рассматривать битовый вектор-решение как целое, как единый объект. Результатом такого анализа будет описание множества векторов-решений, которое позволит подсчитать количество решений. До того, как исследовать возможные решения, систему полезно упростить или использовать замену переменных. Простейшие ограничения, накладываемые уравнениями при решении задач, рассмотрим на простых задачах Решение логических уравнений Задача. Найти число решений уравнения : (x x ) (x x 3 ) (x 4 x 5 ) =. Решение: Все сомножители имеют вид x i x i+, они должны быть равны. Ограничение: «любые два соседних бита должны быть равны». Существует всего две таких цепочки: 00000,, т.е. два решения. Ответ: Задача. Найти число решений уравнения : ( x x ) ( x x3 ) ( x4 x5 ) =. Решение: Все сомножители имеют вид x i x i, они должны быть равны. Ограничение: «каждые два соседних бита должны быть различны». Таким образом, нули и единицы в битовой цепочке чередуются. Существует всего две таких цепочки: 000, 00, т.е. два решения. Ответ: Задача 3. Найти число решений уравнения : (x x ) (x x 3 ) (x 5 x 6 ) =. Решение: Все импликации (x x ) (x x 3 ) (x 5 x 6 ) должны быть истинны. Импликация a b ложна только при a= и b= 0, т.е. если a=, то и b=. Поэтому, если битовый вектор X = x, x,,x 6 решение данного уравнения, и в нем встретилась, то правее нее будут только единицы (сочетание «0» запрещено!). Каждое решение определяется тем, в какой позиции первый раз встретилась. Ограничения: запрещена комбинация 0; после первой все следующие биты ; сначала все 0, потом все. Таким образом, уравнение имеет 7 решений: , 00000, 0000, 000, 00, 0,. Ответ: 7 Задача 4. Найти число решений уравнения : ((x + x ) x 3 ) ((x + x 3 ) x 4 ) ((x 4 + x 5 ) x 6 ) =. Решение: Все сомножители имеют вид ((x i + x i+ ) x i+ ), они должны быть равны, т.е. не допустима импликация 0. Поскольку левая часть импликации это сумма двух соседних битов, а правая следующий за ним бит, то можно сделать вывод, что слева от каждого нулевого бита (начиная с третьего) должны обязательно стоять два нуля. Этому условию удовлетворяют цепочки вида - «все нули, потом все единицы»:, 0, 00, 000, 0000, 00000, Кроме этого есть еще одна цепочка: 0 (т.к. можно рассматривать пары x, x : {0,0} {0.} {,0} {,}). Таким образом, уравнение имеет 8 решений. Для уравнений с N переменными N + решения. 7

28 Ограничение: «слева от каждого нулевого бита (начиная с третьего) должны обязательно стоять два нуля» Ответ: 8 Задача 5. Найти число решений уравнения: (x + x ) (x + x 3 ) (x 5 + x 6 ) =. Решение: Все сомножители имеют вид (x i + x i+ ), они должны быть равны. Так как в скобках содержится дизъюнкция, то в решении X = x, x,,x 6 соседние биты не могут одновременно быть равны 0. Ограничение: «в битовой цепочке X нет двух подряд идущих нулей». Здесь и далее битовые цепочки, удовлетворяющие условию задачи, будем называть правильными. Обозначим через K N число правильных цепочек длины N, тогда K = - это цепочки длиной в единицу (0 и ). K = 3 - это цепочки длины (0, 0, ). K 3 = 5 это цепочки длины 3 (00, 0, 0, 0, ) и т. д. Если на конце битовой цепочки длиной N стоит 0, то предыдущий символ обязательно должен быть равен, а вся начальная часть слева от него должна быть правильной цепочкой (без соседних нулей) длины N. Это даст нам K N- решений с нулем на конце. Если на конце битовой цепочки длиной N стоит, то начальная часть слева от него должна быть правильной цепочкой (без соседних нулей) длины N. Это даст нам K N- решений с единицей на конце. Таким образом, получаем рекуррентную формулу для N > : K N = K N- + K N-. Вспомним, что ряд Фибоначчи задается рекуррентной формулой: F N = F N- + F N-, для N 3, с начальными условиями F = F =. Можно заметить, что K 3 = K + K = 5 (мы это уже вычисляли). Тогда, K 4 = K 3 + K =8, K 5 = K 4 + K 3 =3, K 6 = K 5 + K 4 =. Ответ: Задача 6. Найти число решений уравнения: (x x x 3 ) (x x 3 x 4 ) (x 4 x 5 x 6 ) =. Решение: Все сомножители имеют вид (x i x i+ x i+ ), они должны быть равны, т.е. не допустима импликация 0. Левая часть импликации это конъюнкция двух соседних битов. Ограничение: «после того, как в битовой цепочке X = x, x,,x 6 появляются две единицы подряд ( и таким образом x i x i+ =), все следующие биты должны быть также равны». 8

29 Таким образом, любое решение состоит из двух частей: ) «голова», которая заканчивается на 0 и в которой нет двух единиц подряд; ) «хвост», состоящий из одних единиц. Предположим, что «голова» состоит из m битов (0 m 6), а «хвост», соответственно, из 6 m единичных битов. Такой «хвост» единственный, так что число решений этого класса определяется количеством возможных «голов». «Голова», в свою очередь, имеет свою структуру: последний бит 0, а остальные представляют собой битовую цепочку, в которой нет двух соседних единиц. При m = 0 «голова» - пустая. При m = только одна «голова» «0». При m = две «головы» - «00» и «0». При m > число «голов» определяется последовательностью чисел Фибоначчи (см. задачу 5) 3, 5, 8, 3. Таким образом, у исходного уравнения есть: ) одно решение ) одно решение 0 3) два решения 00 и 0 (с нулем во второй позиции) и т.д. (3, 5, 8, 3). Всего получается = 33 решения. Ответ: 33 Задача 7. Найти число решений уравнения: x x x 3 x 4 x 5 x 6 =. Решение: Операции импликации выполняются слева направо. Исходное уравнение равносильно следующему: ((((x x ) x 3 ) x 4 ) x 5 ) x 6 =. Для уравнения с N неизвестными общее количество комбинаций логических переменных равно N. Обозначим число решений такого уравнения через K N, а число уравнений с нулем в правой части - Z N. Тогда: K N = N - Z N. Ограничение: «запрещена комбинация 0 на последнем шаге». Рассмотрим уравнение с нулем в правой части: ((((x x ) x 3 ) x 4 ) x 5 ) x 6 = 0. Так как импликация равна нулю только для случая 0, то число решений этого уравнения совпадает с количеством решений уравнения: ((((x x ) x 3 ) x 4 ) x 5 =. Так как x 6 = 0, то решение Z N в общем случае можно записать: Z N = K N- = N- - Z N-. Используя равенство K N = N - Z N, получаем рекурретную формулу: K N = N - K N-. Начальное значение для вычисления определим из уравнения с двумя неизвестными. Для x x = получим три решения (0, 0), (0, ) и (, ), то есть K = 3. Тогда: 9

30 Ответ: 43 K 3 = 3 K = 8 3 = 5 K 4 = 4 K 3 = 6 5 = K 5 = 5 K 4 = 3 = K 6 = 6 K 5 = 64 = Решение систем логических уравнений Задача 8. Найти число решений системы уравнений: ( x x ) ( x x x ) ( x ( x ( x 6 ( x x ) ( x x ) ( x x x ) ( x x 3 7 y x ) ( x 7 ) x8 y8 Решение: Первые 6 уравнений однотипны, отличаются только сдвигом номеров переменных. Будем рассматривать каждое решение как пару битовых цепочек (цепочек нулей и единиц): X xx x3x4 x5x6 x7x8 и Y y yy3 y4y5 y6 y7 y8 Ограничения: первые сомножители в первых уравнениях, x i x i, означают, что в цепочке X не может быть двух нулей подряд (иначе эта скобка в первых 6 уравнениях и всё произведение равны нулю); вторые скобки, x i xi xi, означают, что если в цепочке X встретились две единицы подряд, то потом будут только единицы, поскольку в противном случае 0 0 и все произведение равно x 4 8 ) ( x y ) Следовательно, любая битовая цепочка X, которая является решением, состоит из двух частей: «головы», в которой чередуются 0 и, и «хвоста», который состоит из одних. Такая цепочка полностью определяется позицией последнего нуля, т.е. есть всего 9 таких цепочек (позиция последнего нуля от 0 до 8, 0 значит, что нулей нет): X 0 = X = 0 X = 0 X 3 = 00 X 4 = 00 X 5 = 000 X 6 = 000 X 7 = 0000 X 8 = 0000 Третий сомножитель вида ( x y ) связывает битовые цепочки X и Y, составляющие решение и является Импликацией: если x, то y ; i i i i i i i x y x y. Это означает, что: i 6 y y если же x i 0, то для yi есть два возможных значения 0 и. Поэтому для каждого из указанных выше девяти векторов X количество возможных цепочек Y авно где z (X ) количество нулей в соответствующем векторе X. Поэтому для X 0 (нет нулей) получаем 0 = решение, для X и X (один нуль) = решения; для X 3 и X 4 (два нуля) = 4 решения; для X 5 и X 6 (три нуля) 3 = 8 решений; для X 7 и X 8 (четыре нуля) 4 = 6 решений. Общее количество решений системы: + *( ) = +*30 = 6. 6 ) ) ( ) z X,

31 Ответ: 6 Задача 9. Найти число решений системы уравнений: ( x ) x (x x 3 + x x 3 ) = 0 ( x ) x3 (x x 4 + x x 4 ) = 0 ( x ) 8 x9 (x 8 x 0 + x 8 x 0 ) = 0 Решение: С учетом формулы ( a b) = a b + a b перепишем исходную систему: Ограничения: ( x ) x ( x x3) = 0 ( x ) x3 ( x x4 ) = 0 ( x ) 8 x9 ( x8 x0) = 0 «очередной бит равен хотя бы одному из -х следующих» «запрещены комбинации 00 и 0» «после 0 или 0 биты чередуются» Это значит, что может быть варианта: ) сначала цепочка нулей, потом биты чередуются; ) сначала цепочка единиц, потом биты чередуются; Для системы с 0-ю переменными таких цепочек будет 0 для каждого варианта. Ответ: 0 Задача 0. Найти число решений системы уравнений: (x x ) (x x 3 ) (x 3 x 4 ) = ( у + y ) ( у + y 3 ) ( у 3 + x 4 ) = (y x ) (y x ) (y 3 x 3 ) (y 4 x 4 ) = Решение: Так как a b a b, то можно исходную систему записать в виде: (x x ) (x x 3 ) (x 3 x 4 ) = (y y ) (y y 3 ) (y 3 y 4 ) = (y x ) (y x ) (y 3 x 3 ) (y 4 x 4 ) = Как следует из решения задачи 3, первое уравнение имеет пять решений: 0000, 000, 00, 0 и. 3

Логика. Задачи для тренировки с решением Учитель информатики Батракова Л.В.

Логика. Задачи для тренировки с решением Учитель информатики Батракова Л.В. Часть 1 1. Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению A /\ ( B \/ C). 1) A \/ B \/ C 2) A /\ B /\ C 3) A /\ B /\ C 4) A /\ B /\ C Решение: Применяя формулу де Моргана (B \/ C) = B /\ C и

Подробнее

Конспект по теме: Основы алгебры логики. Решение логических задач. Учитель информатики Батракова Л.В.

Конспект по теме: Основы алгебры логики. Решение логических задач. Учитель информатики Батракова Л.В. Логика это наука, изучающая методы установления истинности или ложности одних высказываний на основе истинности или ложности других высказываний. Высказывание (суждение) некоторое предложение, которое

Подробнее

18 (повышенный уровень, время 3 мин)

18 (повышенный уровень, время 3 мин) 18 (повышенный уровень, время 3 мин) К. Поляков, 2009-2016 Тема: Основные понятия математической логики. Про обозначения К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной»

Подробнее

Множества и логика в задачах ЕГЭ

Множества и логика в задачах ЕГЭ ОГЭ + ЕГЭ Множества и логика в задачах ЕГЭ общей основе, которая есть во всех задачах этого типа, и предложить общие подходы к их решению Задачи для тренировки с ответами интересующийся читатель может

Подробнее

2 (базовый уровень, время 3 мин)

2 (базовый уровень, время 3 мин) К. Поляков, 009-0 (базовый уровень, время мин) Тема: Построение и анализ таблиц истинности логических выражений. Про обозначения К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной»

Подробнее

A A 1. исключения констант A 1 = A; A 0 = 0 A + 0 = A; A + 1 = 1. повторения A A = A A + A = A. поглощения A (A + B) = A A + A B = A

A A 1. исключения констант A 1 = A; A 0 = 0 A + 0 = A; A + 1 = 1. повторения A A = A A + A = A. поглощения A (A + B) = A A + A B = A Тема: Составление запросов для поисковых систем. Что нужно знать: таблицы истинности логических операций «И», «ИЛИ», «НЕ» если в выражении нет скобок, сначала выполняются все операции «НЕ», затем «И»,

Подробнее

2 (базовый уровень, время 3 мин)

2 (базовый уровень, время 3 мин) 2 (базовый уровень, время мин) Тема: Построение и анализ таблиц истинности логических выражений. Про обозначения К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической

Подробнее

Конспект по теме: Основы алгебры логики. Решение логических задач. Учитель информатики Батракова Л.В.

Конспект по теме: Основы алгебры логики. Решение логических задач. Учитель информатики Батракова Л.В. Логика (от древнегреческого «наука о рассуждении») это наука, изучающая методы установления истинности или ложности одних высказываний на основе истинности или ложности других высказываний. Древнегреческий

Подробнее

B4 (высокий уровень, время 10 мин)

B4 (высокий уровень, время 10 мин) B4 (высокий уровень, время 1 мин) Тема: Преобразование логических выражений. Про обозначения К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической логике (,, ),

Подробнее

Битовые операции в задачах КИМ по информатике

Битовые операции в задачах КИМ по информатике Битовые операции в задачах КИМ по информатике Типы задач В данном вебинаре рассматриваются задачи следующего типа (впервые эти задачи появились в КИМ на ЕГЭ 2015 года): Введжм выражение M & K, обозначающее

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2 АЛГЕБРА ЛОГИКИ. Общие теоретические сведения

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2 АЛГЕБРА ЛОГИКИ. Общие теоретические сведения Время выполнения 4 часа. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2 АЛГЕБРА ЛОГИКИ Цель работы Изучить основы алгебры логики. Задачи лабораторной работы В результате прохождения занятия студент должен: 1) знать: определения

Подробнее

Тема 9. Логические основы ЭВМ.

Тема 9. Логические основы ЭВМ. Тема 9. Логические основы ЭВМ. 1. Логика. Информация, обрабатываемая в ЭВМ, представляется с помощью физических величин, которые могут принимать только два устойчивых состояния и называются «двоичные переменные».

Подробнее

Тождества Булевой алгебры

Тождества Булевой алгебры Тождества Булевой алгебры Основная задача математической логики на основании ложности или истинности простых высказываний определить значение сложного высказывания. Логические операции алгебре высказываний

Подробнее

B15 (высокий уровень, время 10 мин)

B15 (высокий уровень, время 10 мин) B высокий уровень, время 0 мин) К. Поляков, 009-0 Тема: Преобразование логических выражений. Про обозначения К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической

Подробнее

Битовые операции в задачах КИМ ЕГЭ по информатике. Часть II

Битовые операции в задачах КИМ ЕГЭ по информатике. Часть II 051216 Битовые операции в задачах КИМ ЕГЭ по информатике Часть II КЮ Поляков, дтн, учитель информатики ГБОУ СОШ 163, г Санкт-Петербург В данной статье рассматриваются задачи следующего типа впервые эти

Подробнее

Основные логические элементы Работа с базовыми логическими элементами Работа и особенности логических элементов ЭВМ Цель работы:

Основные логические элементы Работа с базовыми логическими элементами Работа и особенности логических элементов ЭВМ Цель работы: Тема программы: Основные логические элементы Лабораторная работа 1 Работа с базовыми логическими элементами Лабораторная работа 2 Работа и особенности логических элементов ЭВМ Цель работы: Изучить основы

Подробнее

алгебраические методы высказывания Логическое высказывание

алгебраические методы высказывания Логическое высказывание Алгебра логики Алгебра логики формальная логическая теория, раздел математической логики, разработанный в XIX веке английским математиком Джорджем Булем. В алгебре логики используются алгебраические методы

Подробнее

Основы логики. Логические операции и таблицы истинности

Основы логики. Логические операции и таблицы истинности Основы логики. Логические операции и таблицы истинности Основы логики. Логические операции и таблицы истинности На данной странице будут рассмотрены 6 логических операций: конъюнкция, дизъюнкция, инверсия,

Подробнее

Логика наука, изучающая методы установления истинности или ложности одних высказываний на основе истинности или ложности других высказываний.

Логика наука, изучающая методы установления истинности или ложности одних высказываний на основе истинности или ложности других высказываний. Логика наука, изучающая методы установления истинности или ложности одних высказываний на основе истинности или ложности других высказываний. Основы логики как науки были заложены в IV в. до н. э. древнегреческим

Подробнее

Основы логики и логические основы компьютера. Логика это наука о формах и способах мышления.

Основы логики и логические основы компьютера. Логика это наука о формах и способах мышления. Основы логики и логические основы компьютера. Формы мышления Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего Востока (Китай, Индия), но в основе современной логики лежат учения,

Подробнее

B10 (высокий уровень, время 10 мин)

B10 (высокий уровень, время 10 мин) B0 (высокий уровень, время 0 мин) Тема: Преобразование логических выражений. Про обозначения К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической логике (,, ),

Подробнее

Гурская К.А., Ивин В.В., Семёнов С.М. Решение задач математической логики в ЕГЭ по информатике

Гурская К.А., Ивин В.В., Семёнов С.М. Решение задач математической логики в ЕГЭ по информатике Гурская К.А., Ивин В.В., Семёнов С.М. Решение задач математической логики в ЕГЭ по информатике 1 УДК 004.9 Гурская К.А., Ивин В.В., Семёнов С.М. Учебное пособие «Решение задач математической логики в ЕГЭ

Подробнее

Тема: Основные понятия математической логики.

Тема: Основные понятия математической логики. Тема: Основные понятия математической логики. Примерные вопросы Про обозначения К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической логике (,, ), неудобны, интуитивно

Подробнее

АЛГЕБРА ЛОГИКИ (минимум)

АЛГЕБРА ЛОГИКИ (минимум) АЛГЕБРА ЛОГИКИ (минимум) Конъюнкция логическое умножение. Истинно, только если сомножители истинны "строгая операция" Дизъюнкция логическое сложение. Ложно, только если слагаемые ложны "добрая операция"

Подробнее

A9 (базовый уровень, время 2 мин)

A9 (базовый уровень, время 2 мин) A9 (базовый уровень, время 2 мин) Тема: Построение таблиц истинности логических выражений. Про обозначения К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической

Подробнее

18 (повышенный уровень, время 3 мин)

18 (повышенный уровень, время 3 мин) 18 (повышенный уровень, время 3 мин) К. Поляков, 2009-2014 Тема: Основные понятия математической логики. Про обозначения К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной»

Подробнее

Оглавление Основные понятия алгебры логики

Оглавление Основные понятия алгебры логики Оглавление 1.1.1. Основные понятия алгебры логики... 1 1.1.2. Логические основы ЭВМ... 9 1.1.3. Вопросы для самоконтроля... 11 1.1.1. Основные понятия алгебры логики Алгебра логики (булева алгебра) изучает

Подробнее

A10 (базовый уровень, время 1 мин)

A10 (базовый уровень, время 1 мин) A10 (базовый уровень, время 1 мин) Тема: Преобразование логических выражений. Формулы де Моргана. Про обозначения К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической

Подробнее

Решение задачи B10 единого государственного экзамена по информатике и ИКТ (раздел Основы логики ) Выполнил ученик 11 класса Дайбанныров Ньургун

Решение задачи B10 единого государственного экзамена по информатике и ИКТ (раздел Основы логики ) Выполнил ученик 11 класса Дайбанныров Ньургун Решение задачи B10 единого государственного экзамена по информатике и ИКТ (раздел Основы логики ) Выполнил ученик 11 класса Дайбанныров Ньургун Какой метод является оптимальным для решения задач ЕГЭ по

Подробнее

Лабораторная работа 4 «Логические основы компьютеров»

Лабораторная работа 4 «Логические основы компьютеров» Лабораторная работа 4 «Логические основы компьютеров» Цель работы: изучить теоретические основы логики функционирования компьютеров, приобрести практические навыки построения логических формул и таблиц

Подробнее

Основы математической логики.

Основы математической логики. Основы математической логики. Киселев Александр Сергеевич Аничков лицей, 6 класс, первый год обучения январь-февраль 2012/13 учебный год 1 Высказывания и предикаты 1.1 Высказывания Определение 1.1. Определение:

Подробнее

Элементы логики. Учебная презентация для 11 класса

Элементы логики. Учебная презентация для 11 класса Элементы логики Учебная презентация для 11 класса Определение Логика это наука о формах и способах мышления Формы мышления понятие суждение (высказывание, утверждение) умозаключение Понятие Понятие это

Подробнее

Практическая работа 2 Таблицы истинности логических высказываний.

Практическая работа 2 Таблицы истинности логических высказываний. Практическая работа 2 Таблицы истинности логических высказываний. Цель работы: Построение таблиц истинности логических высказываний. Содержание работы: Основные понятия. 1 Логика наука о законах и формах

Подробнее

ОСНОВЫ ЛОГИКИ Логика Logos Логика понятие; суждение; умозаключение. Понятие понятием память компьютера Понятие содержание объём Содержание понятия

ОСНОВЫ ЛОГИКИ Логика Logos Логика понятие; суждение; умозаключение. Понятие понятием память компьютера Понятие содержание объём Содержание понятия ОСНОВЫ ЛОГИКИ Современная логика базируется на учениях древнегреческих мыслителей. Основы формальной логики заложены Аристотелем. Термин «Логика» происходит от греческого слова «Logos», означающего мысль,

Подробнее

A8 (базовый уровень, время 1 мин)

A8 (базовый уровень, время 1 мин) A8 (базовый уровень, время 1 мин) Тема: Преобразование логических выражений. Формулы де Моргана. Про обозначения К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической

Подробнее

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений. ЕГЭ (базовый уровень, время 3 мин)

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений. ЕГЭ (базовый уровень, время 3 мин) Построение и анализ таблиц истинности логических выражений. ЕГЭ 2015 2 (базовый уровень, время 3 мин) Пример Р-13. Каждое логическое выражение A и B зависит от одного и того же набора из 5 переменных.

Подробнее

Основные понятия формальной логики

Основные понятия формальной логики Основные понятия формальной логики Элементы логики Умение правильно рассуждать необходимо в любой области человеческой деятельности. Логика, как наука о том какие формы рассуждений правильны возникла немногим

Подробнее

42. Булева алгебра. Функции алгебры логики

42. Булева алгебра. Функции алгебры логики Е.В.Просолупов 42. Булева алгебра. Функции алгебры логики 1 Булевы функции Будем рассматривать булевы функции функции, аргументы и значения которых принимают значения истина и ложь. Истину и ложь будем

Подробнее

A, B логические переменные, принимающие значения ИСТИНА (1) или ЛОЖЬ (0);

A, B логические переменные, принимающие значения ИСТИНА (1) или ЛОЖЬ (0); МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 2 «Построение таблицы истинности логической функции и запись функции в СДНФ и СКНФ» В алгебре логики различают две формы записи логических

Подробнее

сайт Шпаргалка ЕГЭ Подготовка к ЕГЭ

сайт Шпаргалка ЕГЭ Подготовка к ЕГЭ B15 Укажите значения переменных K, L, M, N, при которых логическое выражение (K M) (L K) N ложно. Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K, L, M и N (в указанном порядке).

Подробнее

Глава 3 ЛОГИКА И ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРА

Глава 3 ЛОГИКА И ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРА Глава 3 ЛОГИКА И ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРА 3.1. Алгебра логики Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего Востока (Китай, Индия), но в основе современной логики лежат

Подробнее

A3 (базовый уровень, время 2 мин)

A3 (базовый уровень, время 2 мин) A3 (базовый уровень, время 2 мин) Тема: Построение таблиц истинности логических выражений. Про обозначения К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической

Подробнее

Бабкина Наталья Анатольевна

Бабкина Наталья Анатольевна Бабкина Наталья Анатольевна Основы алгебры-логики. Цели- задачи: Знать: Основные понятия и законы алгебры логики. Уметь: Составлять выражения по сложным высказываниям, составлять таблицы истинности, упрощать

Подробнее

Методика решения тестовых заданий 1 этапа ОЛИМПИАДЫ по информатике тесты 1-10 (повышенный уровень, время 5 мин)

Методика решения тестовых заданий 1 этапа ОЛИМПИАДЫ по информатике тесты 1-10 (повышенный уровень, время 5 мин) Методика решения тестовых заданий 1 этапа ОЛИМПИАДЫ по информатике тесты 1-10 (повышенный уровень, время 5 мин) 1 Тема: оставление запросов для поисковых систем с использованием логических выражений. Что

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Булевы и логические функции Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр.

Подробнее

Лекция 3 Булевы алгебры и булевы функции

Лекция 3 Булевы алгебры и булевы функции Лекция 3 Булевы алгебры и булевы функции Булевы алгебры Понятие об алгебраических системах Алгебраическая система или алгебраическая структура множество символов некоторого алфавита (носитель) с заданным

Подробнее

Задача 1: Дан фрагмент таблицы истинности выражения F: X Y Z F

Задача 1: Дан фрагмент таблицы истинности выражения F: X Y Z F Задача 1: Дан фрагмент таблицы истинности выражения F: Каким выражением может быть F? X Y Z F 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1) X /\ Y /\ Z 2) X \/ Y \/ Z 3) X \/ Y \/ Z 4) X /\ Y /\ Z Рассмотрим первое выражение

Подробнее

Логические основы ЭВМ. Алгебра логики

Логические основы ЭВМ. Алгебра логики Логические основы ЭВМ. Алгебра логики Основные понятия Логика наука о законах и формах мышления, методах познания и условия определения истинности знаний и суждений. Понятие форма мышления, фиксирующая

Подробнее

Глава 4 Элементы теории множеств

Глава 4 Элементы теории множеств Глава 4 Элементы теории множеств и алгебры логики 17 Некоторые сведения из теории множеств 17.1. Понятие множества С понятием множества вы познакомились на уроках математики ещё в начальной школе, а затем

Подробнее

Логические основы работы ЭВМ

Логические основы работы ЭВМ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» Логические основы работы

Подробнее

Путилов Виктор Васильевич МАОУ СОШ 146 Системы логических уравнений.

Путилов Виктор Васильевич МАОУ СОШ 146 Системы логических уравнений. Путилов Виктор Васильевич МАОУ СОШ 46 Системы логических уравнений. Оглавление Замечание о замене переменных.... Задачи содержащие импликацию или ее эквивалентную запись....2 Наличие дополнительного условия...6

Подробнее

Битовые операции в задачах КИМ ЕГЭ по информатике

Битовые операции в задачах КИМ ЕГЭ по информатике Битовые операции в задачах КИМ ЕГЭ по информатике К.Ю. Поляков, д.т.н., учитель информатики ГБОУ СОШ 163, г. Санкт-Петербург В данной статье рассматриваются задачи следующего типа (впервые эти задачи появились

Подробнее

B15 (высокий уровень, время 10 мин)

B15 (высокий уровень, время 10 мин) B5 высокий уровень, время 0 мин) Тема: Преобразование логических выражений. Про обозначения К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической логике,, ), неудобны,

Подробнее

Теоретические основы информатики Лекция 4. Основы алгебры логики. Доцент кафедры «Информационные системы» Тронин Вадим Георгиевич

Теоретические основы информатики Лекция 4. Основы алгебры логики. Доцент кафедры «Информационные системы» Тронин Вадим Георгиевич Теоретические основы информатики Лекция 4. Основы алгебры логики. Доцент кафедры «Информационные системы» Тронин Вадим Георгиевич 1 4. Основы алгебры логики. 4.1. Основы алгебры Буля. 4.2. Представление

Подробнее

A в системе счисления с основанием p вычисляется

A в системе счисления с основанием p вычисляется Сомножитель Год 20 Задача. Младший разряд некоторого числа в системе счисления с основанием 2 равен. Младший разряд этого же числа в системе счисления с основанием 3 равен 2. Перечислить через пробел в

Подробнее

Аксиоматический метод

Аксиоматический метод Аксиоматический метод Лекция по предмету «основы мат. Обработки информации» Составитель: доцент кафедры ИТОиМ КГПУ им. В.П. Астафьева Романова Н.Ю. Аксиоматический метод построения научной теории заключается

Подробнее

B15 (высокий уровень, время 10 мин)

B15 (высокий уровень, время 10 мин) К. Поляков, 009-0 B5 высокий уровень, время 0 мин) Тема: Преобразование логических выражений. Про обозначения К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической

Подробнее

A3 (базовый уровень, время 2 мин)

A3 (базовый уровень, время 2 мин) A3 (базовый уровень, время 2 мин) Тема: Построение таблиц истинности логических выражений. Про обозначения К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической

Подробнее

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 1. Алгебра высказываний и логика.

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 1. Алгебра высказываний и логика. Доля П.Г. Харьковский Национальный Университет механико математический факультет Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление 1. Алгебра высказываний и логика. 1.1 Высказывания и логические операции...

Подробнее

Информатика и ИКТ Лекция 7 1 курс

Информатика и ИКТ Лекция 7 1 курс Информатика и ИКТ Лекция 7 курс ГБОУ СПО "УМТК" Кондаратцева Т.П. Принципы обработки информации компьютером. Арифметические и логические основы работы компьютера ГБОУ СПО "УМТК" Кондаратцева Т.П. 2 Принципы

Подробнее

Информатика и ИКТ Лекция 6 1 курс

Информатика и ИКТ Лекция 6 1 курс Информатика и ИКТ Лекция 6 1 курс ФГОУ СПО "УМТК" Кондаратцева Т.П. 1 Принципы обработки информации компьютером. Арифметические и логические основы работы компьютера ФГОУ СПО "УМТК" Кондаратцева Т.П. 2

Подробнее

Лекция 3: множества и логика

Лекция 3: множества и логика Лекция 3: множества и логика Дискретная математика, ВШЭ, факультет компьютерных наук (Осень 2014 весна 2015) Мы уже использовали понятие множества и в дальнейшем будем его использовать постоянно. Сейчас

Подробнее

Дискретная математика

Дискретная математика Дискретная математика Часть 4 ВЕ Алексеев 2014 Глава 6 Логические функции Алгебра логики 61 Булевы функции Существенные и фиктивнык переменные Функция, у которой каждая переменная принимает значения из

Подробнее

Позиционные системы счисления

Позиционные системы счисления Позиционные системы счисления Позиционная система счисления система счисления, в которой значение цифры в записи числа зависит от её позиции в числе. Число это абсолютное понятие, выражающее количество.

Подробнее

Основы логики. Суханова Татьяна Александровна, учитель информатики и ИКТ, МАОУ «Гимназия 1»

Основы логики. Суханова Татьяна Александровна, учитель информатики и ИКТ, МАОУ «Гимназия 1» Основы логики Логика это наука о формах и способах мышления. Основы формальной логики заложил Аристотель, который впервые отделил логические формы мышления (речи) от его содержания. 2 Мышление осуществляется

Подробнее

Математические основы персонального компьютера ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Математические основы персонального компьютера ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Математические основы персонального компьютера ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Основы теории множеств Множество это совокупность определенных различаемых объектов, причем таких, что для каждого можно установить,

Подробнее

Дискретная математика

Дискретная математика Дискретная математика Часть 2 ВЕ Алексеев 2016 Глава 6 Логические функции Алгебра логики 61 Булевы функции Существенные и фиктивные переменные Функция, у которой каждая переменная принимает значения из

Подробнее

A10 (повышенный уровень, время 2 мин)

A10 (повышенный уровень, время 2 мин) A10 (повышенный уровень, время 2 мин) Тема: Основные понятия математической логики. Про обозначения К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической логике

Подробнее

Алгебра логики (высказываний)

Алгебра логики (высказываний) лгебра логики (высказываний) 1 лгебра в широком смысле этого слова наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться не только над числами, но и над другими математическими

Подробнее

При построении таблиц истинностей заданных высказываний используем таблицы истинности элементарных булевых функций.

При построении таблиц истинностей заданных высказываний используем таблицы истинности элементарных булевых функций. 1) Построить таблицы истинности для следующих высказываний: а) x y v z x ; б) x y x y c При построении таблиц истинностей заданных высказываний используем таблицы истинности элементарных булевых функций.

Подробнее

Логические функции двух и трех переменных. Способы задания логических функций. Формулы и таблицы истинности.

Логические функции двух и трех переменных. Способы задания логических функций. Формулы и таблицы истинности. Логические функции двух и трех переменных. Способы задания логических функций. Формулы и таблицы истинности. Логическая переменная переменная, принимающая два значения: истина и ложь. Логическая функция

Подробнее

Высказывания. Алгебра высказываний. Законы алгебры логики.

Высказывания. Алгебра высказываний. Законы алгебры логики. Высказывания. Алгебра высказываний. Законы алгебры логики. Вся история человечества - это решение многих житейских задач. Только умение здраво мыслить, рассуждать, доказывать и делать выводы позволяет

Подробнее

Краткие теоретические сведения... 3 Логика Алгебра логики Пример 1 задания с одним ответом Пример 2 задания с одним ответом...

Краткие теоретические сведения... 3 Логика Алгебра логики Пример 1 задания с одним ответом Пример 2 задания с одним ответом... Краткие теоретические сведения... 3 Логика... 3 Алгебра логики... 5 Пример 1 задания с одним ответом... 6 Пример 2 задания с одним ответом... 7 Логические операции... 7 Таблицы истинности... 10 Логические

Подробнее

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 2. Алгебра множеств.

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 2. Алгебра множеств. Доля П.Г. Харьковский Национальный Университет механико математический факультет 014 г. Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. Алгебра множеств..1 Понятие множества... 1. Операции над множествами...

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Булевы и логические функции Раздел электронного учебника для сопровождения лекции e-mail: melnikov@k66.ru,

Подробнее

Введение в математическую логику (oсень 2016)

Введение в математическую логику (oсень 2016) Введение в математическую логику (oсень 2016) В.Б. Шехтман Лекция 3 Нормальные формы Определение 10 Литерал это переменная или ее отрицание. Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) это дизьюнкция нескольких

Подробнее

Законы алгебры логики

Законы алгебры логики Законы алгебры логики Это интересно! Математика и закон де Моргана Как вы запишите математически принадлежность точки x отрезку [2;5]? Это можно сделать так: 2 x 5. Это означает, что одновременно должны

Подробнее

A7 (повышенный уровень, время 3 мин)

A7 (повышенный уровень, время 3 мин) A7 (повышенный уровень, время 3 мин) Тема: Основные понятия математической логики. Про обозначения К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» К. Поляков, 2009 математической

Подробнее

Лабораторная работа 8 Моделирование простейших логических схем

Лабораторная работа 8 Моделирование простейших логических схем Лабораторная работа 8 Моделирование простейших логических схем Цель работы моделирование логических функций при помощи логических элементов. Рабочее задание Домашнее задание. В соответствии с заданным

Подробнее

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА "ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ БУЛЕВОЙ АЛГЕБРЫ И ПРАВИЛА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ"

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ БУЛЕВОЙ АЛГЕБРЫ И ПРАВИЛА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА "ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ БУЛЕВОЙ АЛГЕБРЫ И ПРАВИЛА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ" ЛОГИЧЕСКИЕ (БУЛЕВЫ) ФУНКЦИИ Основные понятия В курсе математического анализа изучаются функции, определѐнные на числовой прямой

Подробнее

3. Логические основы компьютеров

3. Логические основы компьютеров Информатика, 0 класс 09.06.00 3. Логические основы компьютеров 3. Логика и компьютер В быту мы часто используем слова «логика», «логично». Логика (от древнегреческого λογικος «наука о рассуждении») это

Подробнее

Архитектура электронновычислительных. вычислительные системы

Архитектура электронновычислительных. вычислительные системы «Национальный открытый институт г.санкт-петербург» Рыбакова Е.А Архитектура электронновычислительных машин и вычислительные системы Методические указания к выполнению контрольной работы Рекомендовано Методической

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА ТИПОВЫЕ РАСЧЁТЫ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА ТИПОВЫЕ РАСЧЁТЫ Методические указания и контрольные задания для студентов инженерно-технических специальностей вузов УДК 51

Подробнее

Галанина Ольга Владимировна https://vk.com/hariola https://www.youtube.com/channel/uc1ao53e1umtgbsb5qlklpmg ИНФОРМАТИКА

Галанина Ольга Владимировна https://vk.com/hariola https://www.youtube.com/channel/uc1ao53e1umtgbsb5qlklpmg ИНФОРМАТИКА Галанина Ольга Владимировна https://vk.com/hariola https://www.youtube.com/channel/uc1ao53e1umtgbsb5qlklpmg ИНФОРМАТИКА Системы счисления. Алгебра логики. Логические основы ЭВМ Фамилия Имя Отчество Группа

Подробнее

5. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ

5. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ 5. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ Практическое занятие 1. Алгебра высказываний 1.1 Высказывания и операции над ними Под высказыванием понимают предложение, представляющее собой утверждение,

Подробнее

Алгебра логики. Краевой конкурс учебно-исследовательских и проектных работ учащихся «Прикладные вопросы математики» Алгебра

Алгебра логики. Краевой конкурс учебно-исследовательских и проектных работ учащихся «Прикладные вопросы математики» Алгебра Краевой конкурс учебно-исследовательских и проектных работ учащихся «Прикладные вопросы математики» Алгебра Алгебра логики Семушева Алена Сергеевна, МОУ «Лицей» г. Перми, кл. Боркова Ольга Владимировн,

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

B12 (повышенный уровень, время 2 мин)

B12 (повышенный уровень, время 2 мин) К. Поляков, 009-011 B1 (повышенный уровень, время мин) Тема: Составление запросов для поисковых систем с использованием логических выражений. Что нужно знать: таблицы истинности логических операций «И»,

Подробнее

(+), вычитания (-), умножения (*) и деления (/).Известно, что любая операция используется в выражении не

(+), вычитания (-), умножения (*) и деления (/).Известно, что любая операция используется в выражении не Отборочный этап. 1 тур Задача 1 системы счисления 1 балл Вариант 1 Ответ: / + - В двоичной системе счисления записано следующее равенство 1110? 111? 11? 1 = 100 в котором вместо вопросительных знаков должны

Подробнее

Раздел 2. Основы логики высказываний.

Раздел 2. Основы логики высказываний. Лекция 2 Раздел 2. Основы логики высказываний. Высказывание. Операции над высказываниями: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность. Истинностные таблицы. Пропозициональные буквы,

Подробнее

Н. Б. Рогов. Раздел в сети: Теоретическое введение:

Н. Б. Рогов. Раздел в сети:  Теоретическое введение: Н Б Рогов Как научиться решать задание B15 ЕГЭ по информатике (системы логических уравнений) за 180+ минут Материалы для занятий Раздел в сети: http://basicschoolru/?page=eam_info_b15 Теоретическое введение:

Подробнее

Об одном способе решения задач на интервалы

Об одном способе решения задач на интервалы УДК 004.023 Семенов Сергей Максимович Владивостокский государственный университет экономики и сервиса Россия. Владивосток Об одном способе решения задач на интервалы Рассматривается подход к решению задач

Подробнее

Логическое высказывание это повествовательное предложение, про которое можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Логическое высказывание это повествовательное предложение, про которое можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Глава 2 8 Логика и компьютеры Ключевые слова: логика формальная логика логическое высказывание алгебра логики логические переменные Что такое высказывание? В быту мы часто используем слова «логика», «логично».

Подробнее

18 задание ЕГЭ («Знание основных понятий и законов математической логики»)

18 задание ЕГЭ («Знание основных понятий и законов математической логики») 8 задание ЕГЭ («Знание основных понятий и законов математической логики») ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ Х = Х X /\ Y = Y /\ X X \/ Y = Y \/ X (X /\ Z) \/ (Y /\ Z)=(X \/ Y) /\ Z A\/ = A A/\ = A A/\ =. ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ

Подробнее

Решение логических задач Рассмотрим 3 типа логических задач, для каждого из которых будет приведено несколько способов решений.

Решение логических задач Рассмотрим 3 типа логических задач, для каждого из которых будет приведено несколько способов решений. Решение логических задач Рассмотрим типа логических задач, для каждого из которых будет приведено несколько способов решений. Задачи го типа В условии приводятся несколько двойных или одинарных утверждений

Подробнее

Предмет: информатика и ИКТ. Класс: 10. Оборудование: компьютерный класс. Тип урока: обобщение и систематизация знаний. Цели урока:

Предмет: информатика и ИКТ. Класс: 10. Оборудование: компьютерный класс. Тип урока: обобщение и систематизация знаний. Цели урока: Предмет: информатика и ИКТ. Класс: 10 Оборудование: компьютерный класс. Тип урока: обобщение и систематизация знаний. Цели урока: 1. Обучающие: 1. Научить составлять логические выражения из высказываний

Подробнее

Лекция Раздел 3. Основы логики предикатов. Понятие предиката. Операции над предикатами. Квантор всеобщности и квантор существования.

Лекция Раздел 3. Основы логики предикатов. Понятие предиката. Операции над предикатами. Квантор всеобщности и квантор существования. Лекция Раздел 3. Основы логики предикатов. Понятие предиката. Операции над предикатами. Квантор всеобщности и квантор существования. Термы, элементарные формулы и формулы логики предикатов. Свободные и

Подробнее

Задания для 11 класса Отборочный этап. Первый тур 1. Кодирование информации. Системы счисления (2 балла) [Перестановки] Вариант 1 Сколько существует

Задания для 11 класса Отборочный этап. Первый тур 1. Кодирование информации. Системы счисления (2 балла) [Перестановки] Вариант 1 Сколько существует Задания для 11 класса Отборочный этап. Первый тур 1. Кодирование информации. Системы счисления (2 балла) [Перестановки] Сколько существует трехразрядных шестнадцатеричных чисел, для которых будут одновременно

Подробнее

этом использовались только цифры 2 и A. Перечислите через пробел в порядке возрастания цифры,

этом использовались только цифры 2 и A. Перечислите через пробел в порядке возрастания цифры, Отборочный этап. 1 тур Задача 1 системы счисления 2 балла Вариант 1 Ответ: 0 1 4 Запись некоторого числа в шестнадцатеричной системе счисления состоит из 24 цифр. Известно, что при этом использовались

Подробнее

Основы алгебры логики

Основы алгебры логики Расчетная работа 4 Основы алгебры логики Поскольку в цифровых устройствах используются только два символа 0 и 1, алгебра логики использует логические переменные и функции от них, которые также принимают

Подробнее