Целые, рациональные и вещественные числа

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Целые, рациональные и вещественные числа"

Транскрипт

1 Глава 2 Целые, рациональные и вещественные числа 2.. Целые числа Числа, 2, 3,... называются натуральными. Множество всех натуральных чисел обозначается N, т.е. N = {,2,3,...}. Числа..., 3, 2,,0,,2,3,... называются целыми. Множество всех целых чисел обозначается Z, т.е. Z = {..., 3, 2,,0,,2,3,...}. Целые числа можно складывать, вычитать и умножать. При этом результатом всегда будет целое число. Результат деления двух целых чисел уже может не являться целым, однако возможно деление с остатком. Пусть a и b целые числа, причем b 0. Хорошо известно, что тогда существуют, причем единственные, целые числа q и r, такие, что a = qb+r, 0 r < b. (2.) Правило, которое произвольной паре целых чисел a, b, где b 0, ставит в соответствие пару целых чисел q и r, удовлетворяющих соотношениям (2.), называется операцией деления с остатком, причем a называется делимым, b делителем, q неполным частным, а r остатком. Для неполного частного q и остатка r будем использовать обозначения Заметим, что из определения следует, что q = a div b, r = a mod b. a div( b) = (a div b), a mod b = a mod( b). Пример 2.. Заметим, что в некоторых языках программирования определение остатка и неполного частного может отличаться от приведенных здесь (если a или/и b отрицательные).

2 4 div 5 = 2, 4 mod 5 = 4, так как 4 = 2 5+4, 0 4 < 5; ( 4) div 5 = 3, ( 4) mod 5 =, так как 4 = ( 3) 5+, 0 < 5; 3 div 7 = 0, 3 mod 7 = 3, так как 3 = 0 7+3, 0 3 < 7; ( 3) div 7 =, ( 3) mod 7 = 4, так как 3 = ( ) 7+4, 0 4 < 7; 4 div( 5) = 2, 4 mod( 5) = 4, так как 4 = ( 2) ( 5)+4, 0 4 < 5; ( 4) div( 5) = 3, ( 4) mod( 5) =, так как 4 = 3 ( 5)+, 0 < 5; 3 div( 7) = 0, 3 mod( 7) = 3, так как 3 = 0 ( 7)+3, 0 3 < 7; ( 3) div( 7) =, ( 3) mod( 7) = 4, так как 3 = ( 7)+4, 0 4 < 7. Упражнение 2.2. Каждое из чисел ±23, ±4 разделите с остатком на каждое из чисел ±5. Говорят, что целое число d является делителем целого числа a, если остаток при делении a на d равен 0, т.е. найдется целое q, такое a = qd. В этом случае еще говорят, что a делится на d без остатка, или что a кратно d. Обозначение: a. d, или d a. Если a не делится на d без остатка, то записывают a. d или d a. Пример , 30. 3, 30.( 5), , Упражнение 2.4. Найдите все положительные делители числа 30. Упражнение 2.5. Пусть a, b, c целые. Докажите следующие утверждения: ) если a. c, b. c, то a+b. c, a b. c, a b. c; 2) если a. b, b. c, то a. c; 3) если a.. b, c.. d, то ac.. bd. Упражнение 2.6. Пусть a целое число. Доказать, что каждое из следующих чисел делится на 6: a(a + )(2a+), a 3 a, a 3 +7a Наибольший общий делитель Если некоторое целое число d является делителем одновременно для каждого из двух заданных чисел a и b, то d называется их общим делителем. Пример 2.7. Общими делителями чисел 2 и 30 являются, 2, 6, 3 и др., а, скажем, 5 их общим делителем не является. Среди всех общих делителей двух заданных целых чисел a и b выберем максимальный. Он называется наибольшим общим делителем этих чисел и обозначается НОД(a, b). Например, НОД(2,30) = 6. Упражнение 2.8. Найдите НОД(42, 60), НОД(220, 273). Очевидно, НОД определен, если по крайней мере одно из чисел a и b не равно нулю. Обычно полагают НОД(0, 0) = 0. Опишем хорошо известный алгоритм Евклида нахождения НОД. Предположим, что по крайней мере одно из чисел, a или b, не равно нулю. Не нарушая общности, будем считать, что b 0 (иначе поменяем a и b ролями). На предварительной («нулевой») итерации разделим a на b, в частном получим q, в остатке r. Если r 0, то перейдем к следующей (первой) итерации, на которой разделим b наr, в частном получим q 2, в остатке r 2. Наk-й итерации разделим r k наr k, в в частном 2

3 получим q k+, в остатке r k+. Вычисления продолжаются до тех пор, пока на некоторой, скажем, s-й, итерации вычисленный в результате очередного деления остаток r s+ не будет нулевым. Оказывается, r s является наибольшим общим делителем чисел a и b. Теорема 2.9. Для любых двух целых чисел a и b, одновременно не равных нулю, алгоритм Евклида заканчивает свою работу за конечное число итераций и корректно вычисляет НОД{a,b}. Доказательство. Имеем a = q b+r, (β 0 ) b = q 2 r +r 2, (β ) r = q 3 r 2 +r 3, (β 2 ) r s 3 = q s r s 2 +r s, (β s 2 ) r s 2 = q s r s +r s, (β s ) r s = q s+ r s. (β s ) По свойству операции деления с остатком (остаток не меньше нуля и строго меньше модуля делителя) имеем b < r < r 2 < r 3 <... 0 Таким образом, последовательность остатков r,r 2,r 3,... строго убывает, целочисленна и ограничена снизу нулем. Отсюда вытекает, что она не может быть бесконечной, поэтому алгоритм Евклида закончит свою работу за конечное число итераций. Теперь докажем, что r s = НОД{a,b}. Из равенства (β s ) следует, что r s. r s. Поэтому в правой части равенства (β s ) первое слагаемое делится на r s. Так как второе слагаемое, очевидно, также делится на r s, то вся правая часть равенства (β s ) делится на r s, поэтому на r s делится и левая часть этого равенства, т.е. r s 2. В правой части равенства (β s 2 ) на r s также делятся оба слагаемых и, следовательно, r s 2. r s. Рассматривая эти равенства далее снизу вверх (легко провести индукцию), приходим к выводу, что на r s делятся правые части в (β 0 ) и (β ), т.е. a. r s и b. r s, т.е. r s общий делитель чисел a и b. Теперь покажем, что любой общий делитель δ чисел a и b является также делителем числа r s. Отсюда будет следовать, что r s является наибольшим среди всех общих делителей числе a и b, следовательно, r s = НОД{a,b}. Так как a. δ и b. δ, то из (β 0 ) получаем, что r. δ. Далее, так как b. δ и r. δ, то из (β ) получаем, что r 2. δ. Рассматривая далее эти равенства сверху вниз (легко провести индукцию), приходим к выводу, что r s. δ. Следствие 2.0. Пусть a, b целые, одновременно не равные нулю, и δ их некоторый общий делитель. Тогда δ является делителем и для НОД(a,b). Пример 2.. Алгоритмом Евклида найдем НОД чисел a = 8879 и b = 533. При делении a на b получаем частное и остаток: q = 6, r = 37. При делении b на r получаем q 2 =, r 2 =

4 При делении r на r 2 получаем При делении r 2 на r 3 получаем При делении r 3 на r 4 получаем q 3 =, r 3 = 029. q 4 = 2 r 4 = 84. q 5 = 2, r 5 = 2. При делении r 4 на r 5 получаем частное q 6 = 4 и остаток r 6 = 0, поэтому НОД(a, b) = r 5 = 2. Замечание 2.2. На алгоритм Евклида можно смотреть как на процедуру последовательного применения формулы НОД(a, b) = НОД(b, a mod b). (2.2) к исходным числам a и b. Справедливость (2.) вытекает из доказательства теоремы 2.9. Впрочем, несложно доказать самостоятельно даже более общее утверждение: НОД(a, b) = НОД(a qb,b) для произвольного числа q, из которого получается (2.2) при q = a b. Для чисел a, b из примера 2., в частности, имеем НОД(8879, 533) = НОД(533, 8879 mod 533) = НОД(533, 37) = = НОД(37, 533 mod 37) = НОД(37, 242) = = НОД(242, 37 mod 242) = НОД(242, 029) = = НОД(029, 242 mod 029) = НОД(029, 84) = = НОД(84, 029 mod 84) = НОД(84, 2) = = НОД(2, 84 mod 2) = НОД(2, 0) = 2. Теорема 2.3 (Линейное разложение НОД). Пусть a, b целые числа, одновременно не равные нулю, и d = НОД(a, b). Тогда найдутся такие целые u, v, что ua+vb = d. (2.3) Числа u и v называются коэффициентами Безу, а равенство (2.3) линейным разложением НОД или разложением Безу. Доказательство. Применим к a и b алгоритм Евклида. В ходе его работы получим последовательности частных q,q 2,...,q s+ и остатков r,r 2,...,r s. На первой итерации запишем два тривиальных равенства: a = a+0 b, (γ ) b = 0 a+ b, (γ 0 ) и вычтем из первого второе, умноженное на q. Тогда согласно (β 0 ) в левой части получим r. В правой части соберем множители у a и у b: r = a+( q ) b. (γ ) На второй итерации вычтем из равенства (γ 0 ) равенство (γ ), умноженное на q 2. Согласно (β ) в левой части получим r 2. В правой части снова соберем множители у a и у b: r 2 = ( q 2 ) a+(+q q 2 ) b. (γ 2 ) 4

5 На третьей итерации из (γ ) вычтем (γ 2 ), умноженное на q 3. Согласно (β 2 ) в левой части получим r 3. В правой части снова соберем множители у a и у b: r 3 = (+q 2 q 3 ) a+( q q 3 q q 2 q 3 ) b. (γ 3 ) Будем выполнять такие преобразования далее. На k-й итерации (k =,2,...,s), вычитая из равенства (γ k 2 ) равенство (γ k ), умноженное на q k, получим где u k, v k некоторые целые числа. На s-й итерации получим Полагая u = u s, v = v s, получаем разложение (2.3). r k = u k a+v k b, (γ k ) d = r s = u s a+v s b. (γ s ) Алгоритм нахождения коэффициентов Безу, описанный при доказательстве теоремы 2.3, называется расширенным алгоритмом Евклида. Замечание 2.4. Для заданных a и b коэффициенты Безу определяются не единственным образом. Легко видеть, что если пара u, v удовлетворяет соотношению (2.3), то этому соотношению будет удовлетворять и всякая пара ũ, ṽ, где и других таких пар нет. ũ = u+ kb d, ṽ = v ka d (k Z) Пример 2.5. Найдем коэффициенты Безу для чисел a = 8879 и b = 533 из примера 2.. Для этого применим алгоритм из доказательства теоремы 2.3. Имеем a = a+0 b, (2.4) Вычитая из равенства (2.4) равенство (2.5), умноженное на q = 6, получаем b = 0 a+ b. (2.5) r = 37 = a 6 b. (2.6) Вычитая из равенства (2.5) равенство (2.6), умноженное на q 2 =, получаем r 2 = 242 = a+7 b. (2.7) Вычитая из равенства (2.6) равенство (2.7), умноженное на q 3 =, получаем r 3 = 029 = 2 a 33 b. (2.8) Вычитая из равенства (2.7) равенство (2.8), умноженное на q 5 = 2, получаем r 4 = 84 = 5 a+83 b. (2.9) Вычитая из равенства (2.8) равенство (2.9), умноженное на q 6 = 2, получаем r 5 = 2 = 62 a 029 b. (2.0) 5

6 Это и есть линейное представление НОД. Коэффициенты Безу здесь u = 62, b = 029. Вместо того, чтобы записывать целиком выражения (2.4) (2.0) можно было организовать все вычисления в следующей таблице: Для всякого k, начиная с 3, k-я строка этой таблицы есть разность (k 2)-й строки и (k )-й строки, умноженной на неполное частное q k 2. Тогда в последней строки получаем коэффициенты линейного разложения НОД. Заметим, что вычисления коэффициентов Безу можно проводить одновременно с вычислением очередного частного и очередного остатка в алгоритме Евклида. Упражнение 2.6. Алгоритмом Евклида найдите НОД и его линейное представление для чисел ) 89, 24; 2) 69, 03. Упражнение 2.7. Континуантом κ(q,q 2,...,q n ) называется сумма всевозможных произведений элементов q,q 2,...,q n, одно из которых содержит все эти элементы, а другие получаются из него выбрасыванием одной или нескольких пар сомножителей с соседними номерами. При этом член, получаемый выбрасыванием всех сомножителей (при четном n), считается равным. В частности, κ(q ) = q, κ(q,q 2 ) = q q 2 +2, κ(q,q 2,q 3 ) = q q 2 q 3 +q q 2 +q 2 q 3, κ(q,q 2,q 3,q 4 ) = q q 2 q 3 q 4 +q 3 q 4 +q q 4 +q q 2 +. Докажите, что для u k и v k из (γ k ) справедливо u k = ( ) k+ κ(q 2,q 3,...q k ), v k = ( ) k κ(q,q 2,...,q k ). Упражнение 2.8. Пусть в результате применения алгоритма Евклида к числам a, b получается последовательность неполных частных q,q 2,...,q s, то a b = q + q 2 + q (2.) Дробь вида (2.) называется непрерывной (или цепной) дробью. q s + q s Упражнение 2.9. Определим последовательность Фибоначчи. Пусть F 0 = 0, F =, F k = F k + F k 2 для всех k 2. Вот эта последовательность: 0,,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55, 89, 44, 233, 377, 60, 987, 597,... Найдите последовательность неполных частных, которые получаются в результате применения алгоритма Евклида к двум последовательным числам Фибоначчи F k, F k при k 3. Сколько шагов деления выполнит алгоритм Евклида? Разложите F k /F k в непрерывную дробь. Распространим понятие наибольшего общего делителя на системы из s чисел. Пусть a,a 2,...,a s целые числа. Число d называется их общим делителем, если a k. d (k =,2,...,s). Среди всех общих делителей чисел a,a 2,...,a s можно выбрать максимальный. Он называется наибольшим общим делителем этих чисел. Наибольшим общим делителем НОД(a,a 2,...,a s ) последовательности из s целых чисел a,a 2,...,a s называется максимальное целое число, которое без остатка делит каждое из s заданных чисел. 6

7 Упражнение Доказать, что НОД(a,a 2,...,a s ) = НОД ( a, НОД(a 2,...,a s ) ). Эту формулу можно использовать для вычисления НОД последовательности из s чисел. Упражнение 2.2. Доказать, что если d = НОД(a,a 2,...,a s ), то найдутся целые числаu,u 2,...,u s, такие, что d = u a +u 2 a u s a s. Число c называется общим кратным для чисел a и b, если c. a и c. b. Натуральное число c называется наименьшим общим кратным (НОК) чисел a и b, если оно минимально среди всех общих кратных этих чисел. Для наименьшего общего кратного будем использовать обозначение c = НОК(a, b). Аналогично вводится понятие наименьшего обзего кратного НОК(a,a 2,...,a s ) для последовательности из s целых чисел a,a 2,...,a s. Упражнение Доказать, что НОД(a, b) НОК(a, b) = ab. Эту формулу можно использовать для вычисления НОК. Упражнение Верно ли, что НОД(a, b, c) НОК(a, b, c) = abc? 2.3. Взаимно простые числа Два целых ненулевых числа a и b называются взаимно простыми, если НОД(a,b) =, иными словами, единственными общими делителями чисел a и b являются числа ±. Утверждение Для того, чтобы целые числа a и b были взаимно простыми, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие целые числа u и v, что ua+vb =. (2.2) Доказательство. Необходимость условия следует из теоремы 2.3. Докажем достаточность. Пусть выполнено (2.2) и δ произвольный общий делитель чисел a и b. Очевидно, что левая часть равенства (2.2) делится на δ, но тогда делится и правая часть, т.е.. δ, откуда δ = ±. Таким образом, Утверждение Если число a взаимно просто с каждым из чисел b и c, то оно взаимно просто и с их произведением bc. Доказательство. Так как число a взаимно просто с каждым из чисел b и c, то по утверждению 2.24 найдутся такие u, u 2, v, v 2, что u a+v b=, u 2 a+v 2 c=. Складывая эти два равенства и осуществляя очевидные преобразования, получаем: (u u 2 a+u v 2 c+v bu 2 )a+(vv )bc =, откуда по утверждению 2.24 получаем, что числа a и bc взаимно просты. Утверждение Если ab. c, причем a и c взаимно просты, то b. c. 7

8 Доказательство. Так как a и c взаимно просты, то по утверждению 2.24 найдутся такие u, v, что ua+vc =. Умножая обе части этого равенства на b, получаем uab+vcb = b. Очевидно, второе слагаемое в левой части делится на c. Первое слагаемое левой части делится на c по условию. Следовательно, b. c. Утверждение Если a. b и a. c, причем b и c взаимно просты, то a. bc. Доказательство. Так как a. b, то для некоторого q имеем a = qb. Но a. c. Так как b и c взаимно просты, то по утверждению 2.26 b. c, откуда a. bc. Распространим понятие взаимной простоты на системы из s чисел. Числа a,a 2,...,a s называются взаимно простыми (в совокупности), если НОД(a,a 2,...,a s ) =. Числаa,a 2,...,a s называются попарно взаимно простыми, если при любых i, j, где i j, числа a i и a j взаимно просты. Очевидно, что если числа попарно взаимно просты, то они взаимно просты в совокупности. Обратное, в общем случае неверно. Например, числа 6, 0, 5 взаимно просты (в совокупности), но никакая пара из них не является взаимно простой. Упражнение Докажите, что для того, чтобы целые числа a,a 2,...a s были взаимно простыми в совокупности необходимо и достаточно, чтобы существовали такие целые u,u 2,...u s, что u a +u 2 a u s a s = Простые числа Целое число p, большее, называется простым, если оно не имеет целых положительных делителей, кроме 2 и p. Целые числа, большие, не являющиеся простыми, называются составными. Число не относится ни к простым, ни к составным. Вот первые 25 простых чисел: 2, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 23, 29, 3, 37, 4, 43, 47, 53, 59, 6, 67, 7, 73, 79, 83, 89, 97,... То, что последовательность простых чисел не заканчивается (см. теорему 2.30), знали еще в Древней Греции. Утверждение Любое целое число, большее, имеет простой делитель (т. е. делитель, являющийся простым числом). Доказательство. Если исходное число простое, то теорема доказана, так как это число делится само на себя. Пусть a составное число. Согласно определению у него есть некоторый делитель a < a. Если a простое число, то утверждение доказано. Иначе рассмотрим a, который должен иметь делитель a 2 < a. Если a 2 простое число, то утверждение доказано, так как a 2 будет делителем и для a. Иначе рассмотрим a 2 и некоторый его делитель a 3 < a 2 и т.д. Очевидно, что процесс выделения делителей a > a 2 > a 3 >... закончится. Следующую теорему можно найти уже в «Началах» Евклида. 2 Делители ± и ±a числа a называются тривиальными. 8

9 Теорема Простых чисел бесконечно много. Доказательство. От противного. Предположим, что всего имеется s простых чисел. Обозначим их p, p 2, p 3,..., p s. Рассмотрим тогда число p = p p 2...p s +. Легко видеть, что при делении p на p k (k =,2,...,s) в остатке всегда будем получать, т.е. p. p k (k =,2,...,s). Итак, p не делится ни на одно простое число, поэтому, согласно утверждению 2.29, p само является простым. Полученное противоречие показывает, что наше предположение о конечности множества простых чисел неверно. Замечание 2.3. Из доказательства теоремы 2.30 вовсе не следует, что если p, p 2,..., p s первые s простых чисел, то число p p 2...p s + простое (к такому выводу при доказательстве теоремы мы пришли, только в предположении, что множество простых чисел конечно, а это не так). Например, число 3003 = является составным: 3003 = Утверждение Пусть a натуральное, а p простое число. Тогда a. p или числа a и p взаимно просты. Доказательство. Пусть d = НОД(a,p). Если d =, то a и p взаимно просты. Пусть d >. Так как p. d, а p простое число, то p = d, откуда a. p. Утверждение Пусть ab. p, причем p простое число, а a и b целые. Тогда a. p или b. p. Доказательство. Покажем, что если a. p, то b. p. Действительно, по утверждению 2.32, если a. p, то a и p взаимно просты. Теперь b. p следует из утверждения Теорема 2.34 («Основная теорема арифметики»). Любое натуральное число a допускает разложение вида a = p p 2...p s, (2.3) где p,p 2,...,p s простые числа 3. Для заданного a представление (2.3) единственно с точностью до порядка следования сомножителей. Доказательство. Докажем, что разложение вида (2.3) существует для любого натурального a. Если a = или a простое, то разложение найдено. Если a составное, то согласно определению найдется его делитель b, такой, что < b < a. Тогда для некоторого целого c, где < c < a, будет выполнено a = bc. (2.4) Таким образом, мы нашли разложение числа a в произведение двух его нетривиальных делителей. Если b и c простые, то искомое разложение найдено. Если хотя бы одно из них, для определенности b, составное, то разложим его в произведение его нетривиальных делителей: b = df. Полученное разложение подставим в (2.4), тогда a будет разложено в произведение его трех нетривиальных делителей. Если среди этих делителей есть составное число, проведем с ним аналогичные операции и т. д. Так как всякий раз величина новых делителей уменьшается, то мы данный процесс завершится и мы получим разложение числа a на простые множители. 3 Разложение (2.3) имеет место в том числе и для a =. В этом случае мы полагаем s = 0. Произведения, содержащие ноль сомножителей, естественно считать равными. 9

10 Теперь докажем единственность разложения (2.3) для любого натурального a. Предположим, что нашлось два разложения a = p p 2...p s = q q 2...q t, (2.5) гдеp,...,p s,q,...,q t простые. Из (2.5) следует, чтоp p 2...p s. q. Согласно утверждению 2.33, так какq простое, то найдется j, такое, чтоp j. q. Для определенности предположим, что j = (если не так, то всегда можно перенумеровать множители p,p 2,...,p s ). Таким образом, p. q. Так как p простое, то p = q. Сокращая на этот общий множитель, из (2.5) получаем p 2 p 3...p s = q 2 q 2...q t. Повторяя те же рассуждения, приходим к выводу что, после возможной перенумерации p 2 = q 2. Сокращаем на этот множитель и т.д., пока не получим p s = q t и s = t. Таким образом, два разложения в (2.5) могут отличаться лишь порядком следования множителей. Заметим, что если доказательство существования разложения в теореме 2.34 практически очевидно, то доказательство единственности не так просто. Если в разложении (2.3) упорядочить множители по возрастанию и собрать одинаковые множители, то получим разложение a = p k pk pks s, p < p 2 <... < p s, (2.6) где p,p 2,...,p s простые числа, а k,k 2,...,k s натуральные. Для заданного натурального числа a представление (2.6) всегда существует и единственно. Оно называется разложением числа на простые множители, или каноническим разложением. Его можно обобщить на любые целые числа, кроме 0, следующим образом: a = ( ) σ p k p k p ks s, p < p 2 <... < p s, σ {0,}. Упражнение Найдите разложения на простые множители для чисел , 00, Следствие Пусть (2.6) разложение числа a на простые множители. Тогда для любого делителя δ этого числа найдутся такие целые неотрицательные l,l 2,...,l s, что δ = p l p l p ls s. Доказательство. Если δ произвольный делитель числа a, то для некоторого q имеем a = qδ, поэтому в разложении δ на простые множители могут встретиться только числа p,p 2,...,p s, так как противное противоречило бы единственности разложения числа a. Следующая теорема обосновывает известный способ нахождения НОД с помощью разложения на простые множители. Теорема Пусть a = p k p k p ks s, b = pl p l p ls s p < p 2 <... < p s, где p,p 2,...,p s простые числа, а k,k 2,...,k s целые неотрицательные, тогда НОД(a,b) = p m p m p ms s, где m j = min{k j, l j } (j =,2,...,s). 0

11 Доказательство. Очевидно, d = p m p m p ms s является общим делителем чисел a и b. Но по следствию 2.36 любой их общий делитель является делителем и для d. Пример Найдем НОД(9970, 2724). Находим канонические разложения: откуда НОД(9970,2724)= = = , 2724= , Упражнение С помощью разложения на простые множители найти НОД(2294, 4586). Очевидный недостаток метода нахождения НОД через раложение чисел на простые множители заключается в его крайней медлительности. Для больших чисел намного более быстрым является алгоритм Евклида Сравнения и классы вычетов Пусть m некоторое натуральное число. Говорят, что два целых числа a и b сравнимы по модулю m, если (a b). m, т.е. для некоторого целого q Это записывается следующим образом: a b = qm. a b (mod m), (2.7) что читается как «a сравнимо с b по модулю m». Соотношение (2.7) называется сравнением по модулю m. Если a и b не сравнимы по модулю m, то это будем записывать так: Например, a b (mod m) (mod 5), 3 8 (mod 7), 29 4 (mod 2), 5 8 (mod 0). Сравнимые по модулю m числа называют еще равноостаточными по этому модулю. Целесообразность употребления такого термина доказывает следующее утверждение. Утверждение Для того, чтобы два целых числа были сравнимыми по модулю m необходимо и достаточно, чтобы остатки от их деления на m совпадали, т.е. a b (mod m) a mod m = b mod m. Доказательство. Необходимость. Если a b (mod m), то (a b). m. Числа a и b разделим с остатком на m. Имеем a = q m+r, 0 r < m, b = q 2 m+r 2, 0 r 2 < m, (2.8) при этом числа q, q 2, r, r 2 определяются единственным образом. Не нарушая общности, предположим, что r r 2. Обозначим r = r r 2. Из (2.8) получаем a b = (q q 2 )m+r, 0 r = r r 2 < m, откуда следует, что r = (a b) mod m. Но (a b). m, т.е. r = r r 2 = 0, поэтому r = r 2. Достаточность. Если a mod m = b mod m, то найдутся целые q, q 2, r, такие, что a = q m+r, b = q 2 m+r, откуда a b = (q q 2 )m, т.е. a b. m и a b (mod m).

12 Из утверждения, в частности, получаем, что любое число a сравнимо по модулю с одним и только с одним из чисел 0,,...,m. Таким образом, все множество Z разбивается на m подмножеств сравнимых между собой целых чисел. Эти классы называются классами вычетов (или классами остатков) по модулю m. Например, для m = 2 это классы четных и нечетных чисел. Для m = 3 это класс чисел, кратных 3 {..., 9, 6, 3, 0, 3, 6, 9,...}, класс чисел, сравнимых с по модулю 3: и класс чисел, сравнимых с 2 по модулю 3: {..., 8, 5, 2,, 4, 7, 0,...}, {..., 7, 4,, 2, 5, 8,,...}. Множество всех классов вычетов по модулю m обозначим Z m. Если из каждого класса выбрать ровно по одному представителю, то полученное множество чисел называется полной системой представителей. Очевидно, что в качестве полной системы представителей по модулю m можно выбрать числа 0,,...,m. Такую системы представителей назовем канонической, или наименьшей. Очевидно, что для произвольного натурального m возможных систем представителей бесконечно много. Например, для m = 2 полную систему представителей образуют: 0, (каноническая);,2; 3,2 и т.п. Для m = 3 полную систему представителей образуют: 0,,2 (каноническая);, 2, 3;, 0, и т. п. Упражнение 2.4. Какие наборы чисел образуют полную систему представителей по модулю 5: ) 0,,2,3,4; 2) 0,,2,3,4,5; 3),2,3,4,5; 4) 0,,2, 3,4; 5) 4, 3, 2,,0; 6) 2,,0,,2; 7) 2,25, 6,3, 4; 8), 2,5,3, 9; 9) 3,6,9,2,5? Если a целое число, то a будет обозначать 4 класс вычетов по модулю m, которому принадлежит a. Например, если m = 2, то 0 = 2 = 344 класс четных чисел, = = класс нечетных чисел. Если m = 3, то 0 = {..., 9, 6, 3, 0, 3, 6, 9,...}, = {..., 8, 5, 2,, 4, 7, 0,...}, 2 = {..., 7, 4,, 2, 5, 8,,...}. 4 Иногда вместо a используют обозначение [a]. Разумеется в данном контексте невозможно a спутать с операцией сопряжения комплексных чисел. 2

13 Теперь рассмотрим арифметику остатков (или модулярную арифметику), т. е. введем операции на множестве классов вычетов по заданному модулю. Начнем с примера. Хорошо известно (и легко показать), что сумма и разность двух четных или двух нечетных чисел четна, а четного и нечетного (или наоборот) чисел нечетна. Произведение двух четных чисел четно, а произведение двух нечетных чисел или одного четного и одного нечетного нечетно. Это можно записать так: четное ± четное = четное, четное ± нечетное = нечетное, нечетное ± четное = нечетное, нечетное ± нечетное = четное; четное четное = четное, четное нечетное = четное, нечетное четное = четное, нечетное нечетное = нечетное. (2.9) Таким образом, четность результата сложения или умножения двух чисел, зависит только от четности операндов, но не зависит, какие именно числа складываюися или умножаются. Эти свойства обобщает следующее утверждение. Утверждение Если a b (mod m), c d (mod m), то a+c b+d (mod m); a c b d (mod m); ac bd (mod m). Доказательство. Докажем, например, третье свойство. Так как a b (mod m), (mod m), то найдутся целые q, q 2, такие, что a b = q m, c d = q 2 m, откуда c d (a+c) (b+d) = (q +q 2 )m, (a c) (b d) = (q q 2 )m, ac bd = (bq 2 +dq +q q 2 )m, откуда следуют требуемые соотношения. Следствие Если a b (mod m), то a n b n (mod m) для любого натурального n. Таким образом, сравнения по одному и тому же модулю можно складывать, вычитать и перемножать. Утверждение Если ac bc (mod m) и НОД(c,m) =, то a b (mod m). Доказательство. Имеем ac bc = (a b)c. m. Так как НОД(c,m) =, то согласно утверждению 2.26 имеем (a b). m, т.е. a b (mod m). Таким образом, обе части сравнения можно сократить на множитель, взаимно простой с модулем. Упражнение Доказать, что если ac bc (mod m) и НОД(c,m) = d, то a b (mod m/d). Пример Найдем остаток от деления числа на3. В силу утверждения 2.42 и следствия 2.43 нам нет нужды вычислять сперва , а затем тедить результат на 3. Вместо этого будем заменять числа равноостаточными (по модулю 3). Так как 204 (mod 3), 205 (mod 3), то ( ) 207 ( ) = 2 (mod 3). 3

14 Пример Найдем остаток от деления числа на 7. Учитывая, что (mod 7), (mod 7) и 8 4 = 4096 (mod 7), 9 4 = 656 (mod 7), получаем = ( ) 504 = (mod 7), = ( ) = 9 (mod 7), откуда = 8 9 (mod 7). Свойства (2.9) получаются из утверждения 2.42 при m = 2. Утверждение 2.42 позволяет ввести на множестве классов вычетов по заданному модулю m операции сложения, вычитания и умножения по следующему правилу. Суммой двух классов по модулю m мы назовем класс, которому принадлежит сумма произвольных представителей слагаемых классов, т.е. a+b = a+b. Аналогично определяется разность и произведение двух классов по модулю m: a b = a b; a b = a b. Утверждение 2.42 показывает корректность этих определений: не зависимо от того, каких представителей из двух классов мы выбираем, результат операции зависит только от самих классов, но не от представителей. Пример Построим таблицы сложения и умножения классов вычетов по модулю 6. Например, результат сложения = можно найти в первой таблице на пересечении строки, помеченной как 3 и столбца, помеченного как Построим таблицы сложения и умножения классов вычетов по модулю Упражнение Построить таблицы сложения и умножения классов вычетов по модулям 2, 3, 4, 5. Элементы 0,,...,n множества Z n часто обозначают просто как 0,,...,n соответственно. 4

15 2.6. Рациональные и иррациональные числа Рациональное число это число вида p/q, где p Z, q Z. Таким образом, множество всех рациональных чисел Q есть { } p Q = : p Z, q Z, q 0. q Представление рационального числа в виде несократимой дроби p/q, т. е. при условиях p Z, q N, НОД{p,q} =, и если p = 0, то q =, единственно. Хорошо известно, что любое рациональное число (и только такое число) можно представить в виде периодической десятичной дроби. Например, =, =,(0); = 0, = 0,5(0); 2 = 0, = 0,(3); 3 = 0, = 0,(42857); = 25, = 25,(342) 0 (в скобках указан период). Напомним, что любое ненулевое число с периодом (0) можно эквивалентно записать как число с периодом (9). Например, и /2 можно представить соответственно как = 0, = 0,(9); = 0, = 0,4(9). 2 Пример Представим в виде периодической десятичной дроби числа /7 и 27899/0. Для этого выполним деление «уголком»:, , , Для дроби /7 через 6 шагов повторился тот же промежуточный остаток,, что и был вначале (соответствующие позиции отмечены знаком ). Следовательно, цифры в частном начнут повторяться: = 0, = 0,(42857). 7 5

16 Для дроби 27899/0 через 6 шагов повторился промежуточный остаток, 380, который уже встречался. Следовательно, цифры в частном начнут повторяться: = 25, = 25,(342). Упражнение 2.5. Представить числа /69, 3/2, 4468/2475 в виде периодической десятичной дроби. Пример Представим десятичную дробь 0,(203) в виде обыкновенной дроби. Пусть x = 0,(203), тогда 0000x = 203,(203). Вычитая из второго равенства первое, получаем 9999x = 203, откуда x = = Заметим, что тот же результат можно получить, воспользовавшись формулой для суммы бесконечной геометрической прогрессии. Действительно, x = 0,(203) = 203 0, (0,000) (0,000) = 0,203 0,000 = = Упражнение Представить периодическую десятичную дробь 23,45(6789) в виде обыкновенной дроби. Предыдущие примеры показывают, что обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной периодической, а любую десятичную периодическую в виде обыкновенной. Нетрудно сформулировать и общие алгоритмы, которые осуществляют эти преобразования. Таким образом, справедливо Утверждение Любое рациональное число p/q, где p Z, q N, можно записать в виде периодической десятичной дроби. И наоборот: любую периодическую десятичную дробь можно представить в виде p/q, где p Z, q N. Итак, рациональные числа это в точности периодические десятичные дроби. Непериодические десятичные бесконечные дроби называются иррациональными числами. Примеры иррациональных чисел:π = 3, ,e = 2, , 2 =, Утверждение иррациональное число. Доказательство. От противного. Предположим, что нашлись p N, q N, НОД{p, q} =, такие, что 2 = p/q (т.е. дробь p/q несократимая). Отсюда получаем 2 = p 2 /q 2, откуда p 2 = 2q 2. (2.20) Мы видим, что p 2 четное число, следовательно, p тоже четное. Т.е. найдется k N, такое, что p = 2k. Подставим это равенство в (2.20). Получаем 4k 2 = 2q 2, откуда q 2 = 2k 2, т.е. q 2 четное, следовательно, q тоже четное. Итак, мы получили, что p и q оба четные, что противоречит несократимости дроби p/q. Следовательно, наше предположение, что 2 рациональное число, неверно. Упражнение Пусть p простое число. Доказать, что p число иррациональное. Доказательства иррациональности таких чисел, как π, e, более сложные и здесь не рассматриваются. Рациональные и иррациональные числа вместе составляют множество R вещественных, или действительных, чисел. 6

17 Ответы и решения div 5 = 4, 23 mod 5 = 3; ( 23) div 5 = 5, ( 23) mod 5 = 2; 4 div 5 = 0, 4 mod 5 = 4; ( 4) div 5 =, ( 4) mod 5 = ; 23 div( 5) = 4, 23 mod( 5) = 3; ( 23) div( 5) = 5, ( 23) mod( 5) = 2; 4 div( 5) = 0, 4 mod( 5) = 4; ( 4) div( 5) =, ( 4) mod( 5) =. 2.4., 2, 3, 5, 6, 0, 5, Докажем, например, что из условий a.. c, b.. c следует a+b.. c. Так как a.. c, то найдется целое q, такое, что a = q c. Так как b. c, то найдется целое q 2, такое, что b = q 2 c. Следовательно, a+b = (q +q 2 )c, т. е. a+b. c НОД(42, 60) = 6, НОД(220, 273) = ) НОД(89, 24) = = ; 2) НОД(69, 03) = = Все частные (кроме последнего) равны. Алгоритм Евклида выполнит k 3 делений В общем случае не верно. Например, равенство не имеет места для a = 6, b = 0, c = = ; 00 = 7 3; = = , 4586= , НОД(2294, 4586)= = ,,2,3,4;,2,3,4,5; 4, 3, 2,,0; 2,,0,,2; 2,25, 6,3, 4; 3,6,9,2, Таблицы сложения и умножения классов вычетов по модулю Таблицы сложения и умножения классов вычетов по модулю Таблицы сложения и умножения классов вычетов по модулю Таблицы сложения и умножения классов вычетов по модулю /69 = 0,( ); 3/2 = 0,(69047); 4468/2475 = 7,84(56) Пусть x = 23,45(6789), тогда 00x = 2345,(6789) и x = ,(6789). Из двух последних равенств получаем x = , откуда x = =

ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ В пособии не излагается теория чисел а дан минимальный инструментарий из этой теории который в дальнейшем потребуется для изучения криптографических систем используемых

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ

ЛЕКЦИЯ 3 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ ЛЕКЦИЯ 3 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ Возьмем натуральное целое число m, которое будем называть модулем. Определение. Целые числа a и b называются сравнимыми по модулю m, если разность (a b) делится на m (m a

Подробнее

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1 Глава 1 Основы алгебры Числовые множества Рассмотрим основные числовые множества. Множество натуральных чисел N включает числа вида 1, 2, 3 и т. д., которые используются для счета предметов. Множество

Подробнее

20. Неприводимые многочлены над числовыми полями

20. Неприводимые многочлены над числовыми полями 20. Неприводимые многочлены над основными числовыми полями Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Основная теорема алгебры В

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Обыкновенные дроби. m или ( m ) < n. или ( m) n. Всякую неправильную дробь можно представить в виде

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Обыкновенные дроби. m или ( m ) < n. или ( m) n. Всякую неправильную дробь можно представить в виде РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Обыкновенные дроби Определение Дроби вида, называются обыкновенными дробями Обыкновенные дроби, правильные и неправильные Определение Дробь, правильной, если < при, где Z, N Z, N Z,

Подробнее

Задача С6 на ЕГЭ по математике

Задача С6 на ЕГЭ по математике И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Задача С6 на ЕГЭ по математике 1 Необходимая теория 2 1.1 Числовые множества................................... 2 1.2 Делимость.........................................

Подробнее

Лекция 2: Многочлены

Лекция 2: Многочлены Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Понятие многочлена Определения Многочленом от одной переменной называется выражение вида

Подробнее

Приложение 1. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ

Приложение 1. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ Приложение 1 ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ Для криптографии алгебра является одним из основных инструментов в теоретических исследованиях и практических построениях криптографических преобразований Поэтому в этом

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

Делимость чисел и простые числа. (Спецкурс для 7-8 класса)

Делимость чисел и простые числа. (Спецкурс для 7-8 класса) Делимость чисел и простые числа. (Спецкурс для 7-8 класса) Предисловие для учителей Перед вами курс по делимости чисел и простым числам, предназначенный школьникам 7-8 классов. Большинство заданий взято

Подробнее

Лекция 1. Алгебраическое доказательство. Пусть это не так, т.е.

Лекция 1. Алгебраическое доказательство. Пусть это не так, т.е. Лекция Почему мы не можем обойтись целыми и рациональными числами? Потому что в самых естественных ситуациях нам встречаются числа, не являющиеся ни целыми, ни рациональными. Рассмотрим единичный квадрат.

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

Простые и составные числа

Простые и составные числа А. Шень Простые и составные числа 183 182 181 180 179 178 177 176 175 174 173 172 171 170 225 184 133 132 131 130 129 128 127 126 125 124 123 122 169 224 185 134 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 121 168 223

Подробнее

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ, АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ МОЛДОВА И В БЕЛОУСОВ МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ учебное пособие по линейной алгебре Издание второе, исправленное и дополненное Кишинев: 2006 УДК 519612

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра компьютерной топологии и алгебры АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра компьютерной топологии и алгебры АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра компьютерной топологии и алгебры АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА Методические указания для практических занятий по "Теории

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный университет» А А Г О Л У Б Е В, Т А С П А С С К А Я ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

Подробнее

Лекция 5: Определители

Лекция 5: Определители Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии уже говорилось об определителях

Подробнее

Решение задач по теории чисел

Решение задач по теории чисел Решение задач по теории чисел 1 Сравнения первой степени с одним неизвестным ax b (mod m) Пример 1. Решите сравнение О.В. Митина 1287x 447 (mod 516). (1) Решение: 1) Заменим коэффициенты сравнения (1)

Подробнее

Что такое числа. (ассоциативность); (ассоциативность); Пусть вдобавок выполняется свойство дистрибутивности:

Что такое числа. (ассоциативность); (ассоциативность); Пусть вдобавок выполняется свойство дистрибутивности: Что такое числа Дискуссии на интернет-форумах показывают частое непонимание: что есть число Хуже всего помещаются в головах иррациональные и комплексные числа они кажутся «неправильными», что ли Отсутствие

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

Глава 3. Определители

Глава 3. Определители Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором

Подробнее

Тема 1: Системы линейных уравнений

Тема 1: Системы линейных уравнений Тема 1: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

24. p-адические числа

24. p-адические числа 24. p-адические числа На этой лекции мы разберем важные примеры пространств, свойства которых в некотором отношении противоположны свойствам R и прочих связных пространств. Определение 24.1. Топологическое

Подробнее

Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Данная

Подробнее

Рабочая учебная программа по математике в 6 А классе

Рабочая учебная программа по математике в 6 А классе Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа 29» города Чебоксары Рассмотрено на заседании ШМО Протокол от 20 г. Руководитель ШМО В.В. Морушкина «Утверждаю»

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

Лекция 17: Евклидово пространство

Лекция 17: Евклидово пространство Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания При решении многих задач возникает необходимость иметь числовые

Подробнее

МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ ФУНКЦИИ В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ. А. Ю. Эвнин

МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ ФУНКЦИИ В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ. А. Ю. Эвнин 2008 Математика в высшем образовании 6 УДК 511(07 СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ ФУНКЦИИ В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ А Ю Эвнин Южно-Уральский государственный университет,

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

ПОРЯДОК ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ПОДГРУП- ПЫ. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА И СЛЕДСТВИЯ ЦЕНТР И ЦЕНТРАЛИЗАТОР

ПОРЯДОК ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ПОДГРУП- ПЫ. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА И СЛЕДСТВИЯ ЦЕНТР И ЦЕНТРАЛИЗАТОР ЛЕКЦИЯ 2 ПОРЯДОК ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ. ПОДГРУППЫ ГРУППЫ. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ПОДГРУП- ПЫ. СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА И СЛЕДСТВИЯ ЦЕНТР И ЦЕНТРАЛИЗАТОР 1 ПОРЯДОК ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ЭЛЕМЕНТОВ ГРУППЫ

Подробнее

Лекция 1: Комплексные числа

Лекция 1: Комплексные числа Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В школьном курсе математики понятие числа постепенно расширяется.

Подробнее

Типовые задачи c решениями.

Типовые задачи c решениями. Типовые задачи c решениями. Формальное суммирование рядов. Формула рекурсии k a k a + a k k Формула умножения λ a k λa k Формула сложения k k k a k + b k a k + k b k k Пример Геометрическая прогрессия.

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Лекция 11: Обратная матрица

Лекция 11: Обратная матрица Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение обратной матрицы Определение Пусть A произвольная матрица. Матрица B называется

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Дополнительные материалы по курсу математики 6-го класса.

Дополнительные материалы по курсу математики 6-го класса. Дополнительные материалы по курсу математики 6-го класса. Дистанционное обучение проводит учитель гимназии Акаёмова Ольга Тимофеевна. Цель обучения расширение и углубление знаний учеников по математике.

Подробнее

Курс лекций по математическому анализу

Курс лекций по математическому анализу Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук Лекционные курсы НОЦ Выпуск 11 Издание выходит с 2006 года С. А. Теляковский Курс лекций по математическому анализу Семестр I Издание

Подробнее

Т.А.Спасская. Сравнения первой степени

Т.А.Спасская. Сравнения первой степени ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный университет» Математический факультет Кафедра алгебры

Подробнее

Лекция 1 Вещественные числа.

Лекция 1 Вещественные числа. Лекция 1 Вещественные числа. 1. Рациональные числа. Простейшими числами являются целые положительные числа 1, 2,..., используемые при счете. Они называются натуральными числами, и люди их знали так много

Подробнее

ПОСОБИЕ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОБЩЕГО ПОТОКА ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР

ПОСОБИЕ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОБЩЕГО ПОТОКА ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им МВ ЛОМОНОСОВА ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ ПОСОБИЕ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОБЩЕГО ПОТОКА ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР ЛЕКТОР ПРОФ ЧИРСКИЙ

Подробнее

Пояснительная записка Рабочая программа составлена с учѐтом примерной программы общеобразовательных учреждений Математик 5-6 классы.

Пояснительная записка Рабочая программа составлена с учѐтом примерной программы общеобразовательных учреждений Математик 5-6 классы. Пояснительная записка Рабочая программа составлена с учѐтом примерной программы общеобразовательных учреждений Математик 5-6 классы. Реализация рабочей программы рассчитана на 20 часа (6 часов в неделю),

Подробнее

Перевод на «язык равенств и неравенств»

Перевод на «язык равенств и неравенств» Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Перевод на «язык равенств и неравенств» Раздел электронного пособия «Элементарная математика» e-mail:

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 15 ПРОСТЫЕ ЧИСЛА

ЛЕКЦИЯ 15 ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ЛЕКЦИЯ 15 ПРОСТЫЕ ЧИСЛА Натуральное число p, больше единицы называется простым, если оно делится нацело только на 1 и на себя. Теорема (Эвклид). Множество простых чисел бесконечно. Обозначим через π(x)

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ КУРСА МАТЕМАТИКИ В 6 КЛАССЕ

ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ КУРСА МАТЕМАТИКИ В 6 КЛАССЕ ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ КУРСА МАТЕМАТИКИ В 6 КЛАССЕ Арифметика понимать особенности десятичной системы счисления; использовать понятия, связанные с делимостью натуральных чисел; выражать

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ. Глава. 1. Составление рационального выражения. Примеры и комментарии

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ. Глава. 1. Составление рационального выражения. Примеры и комментарии 3 Глава 3 РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ Составление рационального выражения Для построения рационального выражения нам нужны числа, буквы и знаки действий Числа мы используем те, которые знаем, например, 0;,; 5 и

Подробнее

О. А. Иванов, Т. Ю. Иванова, К. М. Столбов. Алгебра в 9 классе Уроки обобщающего повторения

О. А. Иванов, Т. Ю. Иванова, К. М. Столбов. Алгебра в 9 классе Уроки обобщающего повторения О. А. Иванов, Т. Ю. Иванова, К. М. Столбов Алгебра в 9 классе Уроки обобщающего повторения Санкт-Петербург 03 УДК ББК 5(xxx) XX.xxXX X?? Иванов О. А., Иванова Т. Ю., Столбов К. М. X?? Алгебра в 9 классе.

Подробнее

Лекция 1.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними

Лекция 1.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними Лекция.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними Аннотация: В лекции указывается на необходимость обобщения понятия числа от натурального до комплексного. Вводятся алгебраическая,

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1 Введение В курсе математического анализа первого семестра одно из центральных мест занимает теорема Ролля. Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a,

Подробнее

Задача 21 на ЕГЭ по математике

Задача 21 на ЕГЭ по математике И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Задача 21 на ЕГЭ по математике Здесь приведены задачи 21 (в прошлом С6), которые предлагались на ЕГЭ по математике, а также на диагностических работах МИОО

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ Т Ю Альпин, А И Егоров, П Е Кашаргин, С В Сушков ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть I: Комплексные числа Предел функции Казань 013 Печатается

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

ÂÛÑØÅÅ ÏÐÎÔÅÑÑÈÎÍÀËÜÍÎÅ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ Ã.Ì. ÀÌÀÒÎÂÀ, Ì. À.ÀÌÀÒÎÂ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ Â ÄÂÓÕ ÊÍÈÃÀÕ. Êíèãà 2

ÂÛÑØÅÅ ÏÐÎÔÅÑÑÈÎÍÀËÜÍÎÅ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ Ã.Ì. ÀÌÀÒÎÂÀ, Ì. À.ÀÌÀÒÎÂ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ Â ÄÂÓÕ ÊÍÈÃÀÕ. Êíèãà 2 ÂÛÑØÅÅ ÏÐÎÔÅÑÑÈÎÍÀËÜÍÎÅ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ Ã.Ì. ÀÌÀÒÎÂÀ, Ì. À.ÀÌÀÒÎÂ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ Â ÄÂÓÕ ÊÍÈÃÀÕ Êíèãà 2 Рекомендовано Учебно-методическим объединением по специальностям педагогического образования в качестве учебного

Подробнее

1. Результаты освоения курса математики в 6 классе (Личностные, метапредметные и предметные результаты освоения содержания курса)

1. Результаты освоения курса математики в 6 классе (Личностные, метапредметные и предметные результаты освоения содержания курса) 1 Пояснительная записка Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования, Примерной программы по учебным

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ АМУРСКОЙ ОБЛАСТИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ АМУРСКОЙ ОБЛАСТИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ АМУРСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ АМУРСКОЙ ОБЛАСТИ КАДЕТСКАЯ ШКОЛА-ИНТЕРНАТ «АМУРСКИЙ КАДЕТСКИЙ КОРПУС» (ГОАУ АО «Амурский кадетский

Подробнее

Планируемые результаты освоения алгебры в 7 классе Алгебраические выражения. Уравнения

Планируемые результаты освоения алгебры в 7 классе Алгебраические выражения. Уравнения Программа по алгебре для 7 класса общеобразовательного учреждения. Пояснительная записка Структура программы Программа включает три раздела: 1.Планируемые результаты усвоения алгебры в 7 классе 2.Содержание

Подробнее

Алгоритм решения систем линейных уравнений в кольцах вычетов

Алгоритм решения систем линейных уравнений в кольцах вычетов Авдошин С.М., Савельева А.А. Алгоритм решения систем линейных уравнений в кольцах вычетов Разработан эффективный алгоритм решения систем линейных уравнений в кольцах вычетов [], эквивалентный по сложности

Подробнее

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim Òåîðåìû î ïðåäåëàõ Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Основные теоремы о пределах. Предел числовой последовательности. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Экспонента. Натуральный логарифм.

Подробнее

Лекция 2: перечслительная комбинаторика

Лекция 2: перечслительная комбинаторика Лекция 2: перечслительная комбинаторика Дискретная математика, ВШЭ, факультет компьютерных наук (Осень 2014 весна 2015) Задачи перечислительной кмбинаторики имеют типовой вид: «сколько способов сделать

Подробнее

Линейная алгебра и функции многих переменных

Линейная алгебра и функции многих переменных Линейная алгебра и функции многих переменных В. С. Булдырев Б. С. Павлов 9 февраля 22 г. 2 Часть I Линейная алгебра 3 Глава 1 Линейное пространство Эта глава служит введением в теорию линейных пространств.

Подробнее

Наборы прямых на плоскости

Наборы прямых на плоскости Наборы прямых на плоскости Решения задач до промежуточного финиша Задача 1. Ответ: n + 1 f n(n+1) + 1. Оба неравенства доказываются индукцией по n, база n = 1, f =. Если добавляемая прямая пересекает предыдущие

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Делимость. 1

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Делимость. 1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Делимость. 1 Говоря о делимости, мы имеем в виду целые числа. Определение. Число a делится на число b, если существует такое число c, что a = bc. При этом

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической

Подробнее

A в системе счисления с основанием p вычисляется

A в системе счисления с основанием p вычисляется Сомножитель Год 20 Задача. Младший разряд некоторого числа в системе счисления с основанием 2 равен. Младший разряд этого же числа в системе счисления с основанием 3 равен 2. Перечислить через пробел в

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Функции конечнозначных логик. Элементарные функции k-значной логики. Способы задания функций k-значной логики: таблицы, формулы, I-я и II-я формы, полиномы. Полнота. Лектор - доцент Селезнева Светлана

Подробнее

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ТЕХНИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (на базе

Подробнее

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы Лекция 3: Однородные и неоднородные системы линейных уравнений Система линейных уравнений Определение Линейным уравнением (или уравнением первого порядка) с n неизвестными x 1, x 2,..., x n называется

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Частично упорядоченные множества (ЧУМ). Диаграмма ЧУМ. Максимальные, минимальные, наибольший и наименьший элементы. Цепи и антицепи, длина и ширина конечных ЧУМ. Теорема о разбиении ЧУМ на антицепи.

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

18. Отображения, отношения и лемма Цорна

18. Отображения, отношения и лемма Цорна 18. Отображения, отношения и лемма Цорна Вернемся еще раз к теории множеств будем надеяться, что последний раз в курсе анализа. Вы уже знакомы с понятием отображения множеств. Именно, отображение f : X

Подробнее

5. Линейные коды (продолжение)

5. Линейные коды (продолжение) 17 5. Линейные коды (продолжение) Проверочная матрица кода. Другой способ задания линейного подпространства C F n размерности k состоит в указании n k линейных уравнений, которым удовлетворяют координаты

Подробнее

С.А. Лавренченко. Доказательство: Повести самостоятельно. Указание: Применить произведения, взяв

С.А. Лавренченко. Доказательство: Повести самостоятельно. Указание: Применить произведения, взяв Лекция 4 1 СА Лавренченко Вычисление пределов 1 Правила вычисления пределов Пусть действительная константа и целое положительное число При условии, что существуют оба предела и, имеют место следующие десять

Подробнее

7. Подпространства линейного пространства Линейные оболочки Ранг матрицы и размерность линейной оболочки ее столбцов.

7. Подпространства линейного пространства Линейные оболочки Ранг матрицы и размерность линейной оболочки ее столбцов. Содержание Гл.. Основные понятия. 3. Что такое линейная алгебра?...................... 3 2. Числовые поля.............................. 3 3. Линейная зависимость столбцов и строк................ 4 4. Ранг

Подробнее

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению.

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению. ТЕМА 7 Задача Штурма-Лиувилля Собственные значения и собственные функции Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению Основные определения и теоремы Оператором Штурма-Лиувилля называется дифференциальный

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Задания для подготовки к годовой промежуточной аттестации по информатики.

Задания для подготовки к годовой промежуточной аттестации по информатики. Задания для подготовки к годовой промежуточной аттестации по информатики Представление информации Задание Переводи числа из одной системы счисления в другие: Укажите, как представлено число 78 0 в двоичной

Подробнее

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

Математика 6 класс. Пояснительная записка

Математика 6 класс. Пояснительная записка ИВАНОВА ИННА ВАЛЕНТИНОВНА E-mail: ivanov-as05@yandex.ru Skype: inna-iva68 Время для связи: четверг 16.50. 19.00. Учебник: «Математика» 6 класс. Математика 6 класс. Авторы: Н. Я. Виленкин, А. С. Чесноков,

Подробнее

Математика MCA-III. Описания уровней успеваемости. Классы с 3-го по 8-й.

Математика MCA-III. Описания уровней успеваемости. Классы с 3-го по 8-й. Математика MCA-III. Описания уровней успеваемости. Классы с 3-го по 8-й. 3-й класс Не соответствует стандартам (3-й класс) счет и математические операции: называют целые числа; складывают многоразрядные

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Предел. Непрерывность. Производная. Интеграл Утверждено Редакционно-издательским

Подробнее

МГТУ им. Н.Э.Баумана Олимпиада школьников «Шаг в будущее», 2 тур, 8 класс, 15 февраля 2015 года

МГТУ им. Н.Э.Баумана Олимпиада школьников «Шаг в будущее», 2 тур, 8 класс, 15 февраля 2015 года МГТУ им. Н.Э.Баумана Олимпиада школьников «Шаг в будущее», тур, 8 класс, 15 февраля 015 года ВАРИАНТ 1 3 1580 1. Докажите, что выражение 7 + 7 + 7 +... + 7 делится на 400.. В одном из областных центров

Подробнее

ЛЕММА БЕРНСАЙДА И ЗАДАЧИ О РАСКРАСКАХ

ЛЕММА БЕРНСАЙДА И ЗАДАЧИ О РАСКРАСКАХ ЛЕММА БЕРНСАЙДА И ЗАДАЧИ О РАСКРАСКАХ А.В.СТЕПАНОВ Предисловие Комбинаторные задачи о количестве объектов, не совмещаемых друг с другом определенными преобразованиями, которые решаются с помощью Леммы

Подробнее

( C x A) x C (1) (соответственно

( C x A) x C (1) (соответственно 3. Ограниченность и точные границы 3.. Ограниченные и неограниченные множества. Cимволом R обозначают множество вещественных чисел, а через R расширенную числовую прямую, т. е. R = R {,+ }; для краткости,

Подробнее

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова Высшая математика IV САМОУЧИТЕЛЬ

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А. И. МАДУНЦ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Подробнее