МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МАТЕМАТИКА. Квадратные корни"

Транскрипт

1 МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов ( учебный год)

2 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием арифметическим корнем. Постарайтесь хорошо справиться с этим заданием. Оно подготовит вас к решению следующего задания, в котором мы рассмотрим квадратные уравнения.. Определение арифметического квадратного корня Рассмотрим простейшую задачу. Пусть площадь квадрата равна 5. Требуется определить сторону квадрата. Если сторона квадрата равна, то для нахождения длин сторон квадрата получаем уравнение 5. Этому уравнению удовлетворяют два числа: 5 и 5. Эти числа называют квадратными корнями числа 5. Заметим, что один корень является положительным, а второй корень является отрицательным числом. Арифметическим квадратным корнем из числа называется неотрицательное число, квадрат которого равен. Обозначают арифметический квадратный корень так:. Например, 64 8;,44,; 0 0. Равенство является верным, если выполняются два условия: ) 0 и ). При < 0 выражение не имеет смысла, т. к. квадрат любого числа число неотрицательное. Поэтому выражения 49 и, 5 не имеют смысла. Из определения арифметического корня следует, что если имеет смысл, то ( ) и. Докажем, что, действительно,. Если 0, то из определения арифметического корня следует, что Если же арифметический корень < 0, то 0 > и ( ).. Таким образом,, 0 ( ), если равен если и равен < 0, т. е.. Пример. Найдите значение выражения:

3 5 а),5 0, 0,5; б) ( ) ; в) 6,. а) Из определения арифметического корня следует, что,5,5, т. к.,5 > 0 и,5,5; 0,5 0,5, т. к. 0,5 > 0 и 0,5 0,5. Получаем:,5 0, 0,5 0,05 6,95. 9 б) ( 9) 9, т. к. ( 9) 9 9. в) Данное выражение не имеет смысла, т. к. квадрат любого числа является неотрицательным числом. Пример. При каких имеет смысл выражение: а) ; б)? а) Выражение определено, если 0, т. е. при. Но так как стоит в знаменателе, то данное выражение определено, если >. б) Выражение определено при 0, а выражение определено при 0,. Таким образом, при 0 определены оба корня. При таких имеем: 0 и > 0, поэтому знаменатель при 0 не обращается в нуль, значит, при 0 данное выражение имеет смысл. Пример. Решите уравнение: а) 0, б) 0, в) 5 6 6, г) 5. а) Арифметический корень определен при 0, при этом 0, значит, при любом 0 выражение, поэтому данное уравнение не имеет решений. б), из определения арифметического корня следует, что ( ) 9, т. е. 9 является корнем уравнения. в) Предположим, что данное уравнение имеет решение, тогда ( 5 6) Отсюда уже видно, что 5 6 > 0, т. е. выражение 5 6 определено. Решаем уравнение: 5 6 6, 5 0, 6. г) Уравнение не имеет смысла, т. к. арифметический корень из неотрицательного числа число неотрицательное, а число 5 < 0.

4 6. Уравнение Если < 0, то уравнение не имеет решений. Если 0, то уравнение имеет единственное решение 0. Рассмотрим теперь уравнение при > 0. Рассмотрим графики функций и. Если, то уравнение имеет два корня: и. Если 4, то 4 уравнение 4 имеет два корня: и. Один из корней совпадает с арифметическим корнем из числа 4, а второй корень число, противоположное первому корню. 0 Рассмотрим теперь уравнение. В первом задании мы уже говорили о Рис. том, что не существует рационального числа, квадрат которого равен двум. Арифметический корень является числом иррациональным. Пример. Докажите, что число является числом иррациональным. Предположим, что является числом рациональным, т. е., где натуральное число, целое число, и дробь несократимая дробь. Из определения арифметического корня следует, что должно также быть натуральным числом. Тогда ( ),. Левая часть полученного выражения делится на, тогда и делится на, т. е. делится на, тогда k, 49k, k. Отсюда следует, что и число делится на, но тогда дробь является сократимой дробью, что противоречит условию. Следовательно, число является иррациональным. Из рисунка следует, что если > 0, то >. Поэтому, например, 9 > 80;, >,5.

5 Пример. Сравните числа и 4. Из определения арифметического корня следует, что 4 ; 4. Так как >, то число > Пример. Найдите значение выражения: ( ) 5( ). ( ) ( ) ; ( ) 6. Получаем: Пример 4. Между какими соседними натуральными числами расположено число Заметим, что 6 < < 5, 9 поэтому 6 < < 5, т. е. 4 < < 5.. Свойства арифметического квадратного корня В школьном учебнике у вас доказываются две теоремы. Теорема. Если 0 и 0, то. Теорема. Если 0 и > 0, то. Пример. Найдите значение выражения (без микрокалькулятора): 5 а) 5 55; б) 5 ; в) ; г) ; д) а) б) в)

6 г) ( 49 6)( 49 6) ( 45 84)( 45 84) д) 6 4 ( 4 ) ( 4 ) 4. Можно решать и другим способом ( 4 ) Рассмотрим 48. Преобразуем это выражение: В этом случае мы говорим, что множитель 4 вынесли из под знака корня. Теперь рассмотрим выражение 5, преобразуем его: В этом случае говорим, что множитель 5 внесли под знак корня. Пример. Вынесите множитель из под знака корня: а) ( 5 4 9) ; б) ( ) ( 5) ; в) 4 ; Так как, г) ( ), если 0. то ( 5 4 9) Определим знак числа Числа 5 и 4 9 положительные. Рассмотрим их квадраты: ( 5 ) 5 5 ( 4 9) Так как 04 < 5, то 5, 5 > 4 9, поэтому б) ( ) ( 5) 4 ( ) ( )( 5) ( 5) ( 5) ( )( 5). 5 5 и 04 < т. е. 9.

7 Число, 9 < т. к. ( ), ( ) и <. Поэтому < 0, т. е.. Окончательно получаем: ( )( 5) ( )( 5). 4 0, 0, в) Так как то корень определен, если т. е. 0, ( ) ( ) ( ). г) ( ). Пример. Внесите множитель под знак корня: а) ( 5 ) ; б) ( ) ; в) ( ). При решении этих примеров используем формулу. а) Число 5 < 0, т. к. 5, Поэтому 5 ( ) и 5 <. ( 5 ) ( 5) ( 5) ( ). б) Корень определен, если 0,,. При таких выражение 0. Поэтому ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). в) Корень определен, если < 0. Поэтому ( ) ( ) 9( ) ( ) ( ) ( ) Пример 4. Сравните числа и : а) и 6 8; б) и 4 ; в) и

8 0 а) Числа и положительные. Рассмотрим квадраты этих чисел. Имеем: 4, Так как 48 >, то 48 >, 48 >, поэтому > и >. б) Число > 0, т. к. ( 4 ) ( ). > Число 4 > 0, т. к. > 48. Число определено и оно больше нуля. Следовательно, оба числа и положительные. Рассмотрим их ( ), квадраты Следовательно,. в). 5 5 Приводим дроби к общему знаменателю, получаем: ( 5 )( 5 ) Так как 0 > 08, то 0 > 08, поэтому >. Пример 5. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби: а) ; б). 5 5 Эту задачу надо понимать так: следует так преобразовать дробь, чтобы в знаменателе отсутствовали квадратные корни. При решении этих задач полезно использовать формулу ( )( ). а) Умножим числитель и знаменатель дроби на 5, получаем: ( ) ( 5 )( 5 ) ( 5) ( ) б) Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение ( ) ( )( ( ) 5) 5, получаем: 5 5 ( ) )( ( ) )

9 5 0 5 ( 9 6 ) 5 6( ) 0. В полученной дроби умножаем числитель и знаменатель на, ( )( 5 0 ) получаем: ( ) Преобразование выражений, содержащих квадратные корни Покажем на примере, как можно тождественными преобразованиями упрощать выражения, содержащие квадратные корни. При этом мы будем пользоваться правилами, которые указали в предыдущем параграфе, как, например, правило произведения корней, правило деления корней, правило вынесения множителя из-под знака корня и т. д. Пример. Упростите выражение Заметим, что и В итоге получаем Пример. Упростите выражение: а) 4 ; б) ; в) 4. а) Заметим, что 4 ( ), 4 ( ) ( ). 4 ( ). тогда Поэтому б) ( ) ( ). в) 4 ( ) 4 4

10 ( ) ( ). Пример. Сократите дроби: а) ; б) ; в) ; 6 г). а) Заметим, что ( ) ( ),,, подставляем эти выражения в данную дробь: ( ) ( ) ( )( ) ( ). б) ( ) ( ) ( )( ) в) ( ) ( ) 6 ( ). г) Преобразуем числитель дроби: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ). В результате получаем: ( )( ). Пример 4. Докажите тождество:. Преобразуем выражение, стоящее в скобках: ( ) ( )

11 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ). ( ) Тождество доказано. Пример 5. Решите уравнение Преобразуем левую часть уравнения: ( 4 4) ( ) ( ) ( ). 4 После тождественных преобразований получили уравнение 4. ) Пусть, тогда,, наше уравнение сводится к уравнению ( ) ( ) 4; 4 4; 0;, но это число меньше. ) Пусть теперь < <, тогда,, получаем уравнение: 4 4,,. Число удовлетворяет условию < <. ) Пусть, тогда,, приходим к уравнению: 4 4,,. Число <. Ответ: ;. Пример 6. Решите систему уравнений:, 9. Корень определен при, а корень определен при. Умножим второе уравнение системы на и прибавим к первому уравнению, получаем:,, 9, 6. Подставляем это значение для в первое уравнение, получаем:

12 ; 6 ; ; 9;. Ответ: ( 6; ). 5. Преобразование двойных радикалов 4 Выражения вида c называют сложными или двойными радикалами. Мы уже рассматривали примеры, где можно избавиться от внешних радикалов. Пример. Освободитесь от внешнего радикала в выражении 4 5. Заметим, что выражение ( 5 ), тогда 4 5 ( 5 ) 5 5. Пример. Освободитесь от внешнего радикала в выражении 4 0. В этом примере укажем метод, как можно избавляться от внешнего радикала. Подберем целые числа и такие, чтобы 4 0. Если такие числа есть, то должны выполняться такие условия: ( ) 4 0, 0. Из первого условия получаем 4 0, 4 0. Выражение 4 является целым числом, т. к. и целые числа, значит левая часть, т. е. 4 является рациональным числом; выражение ( 0) является рациональным выражением, если 0 0, т. е. 5. Уравнению 5 удовлетворяют следующие пары чисел:, 5; 5, ;, 5; 5, ;, 5; 5, ;, 5; 5,. Условию 4 0 удовлетворяют две пары чисел:, 5 и, 5. Число 5 не удовлетворяет

13 5 условию 0, а число 5 удовлетворяет этому условию. Таким образом, В некоторых примерах удается избавиться от внешнего радикала, если воспользоваться тождеством ± ±. Это тождество называют формулой двойного радикала. Оно справедливо, если > 0, > 0 и > 0. Тогда все три корня определены и >, поэтому правая часть равенства положительная. Возведем в квадрат обе части равенства, получаем: ± ±, 4 ± ±. Пример. Освободитесь от внешнего радикала в выражении , применяя тождество двойного радикала Построение графиков функций В школьном курсе -го класса вы уже рассматривали график линейной функции k, графики функций и. В этом году вы познакомились с еще одной функцией, а именно, с функцией. Составим таблицу значений этой функции, очевидно, что функция определена при 0. 0 / 6 / 9 / / 4 / / Построим график этой функции.

14 6 4 Рис. Пример. Постройте графики функций: 4 а) ; б) ; в) ; г) ; д) 4 4 ; е) ( ). а) Из определения арифметического корня следует, что, если 0,, если < 0. График данной функции приведен на рис.. б) Из определения корня следует, что 0, т. е. 0. Составим таблицу значений функции. 0 / 6 / / 4 / График функции изображен на рис Рис. Рис. в) Данная функция определена при 0,. При, 0, при,, при 8,. График данной функции получается из графика функции параллельным сдвигом вдоль оси O на одну единицу влево. Приводим график данной функции на рис. 4.

15 0 5 0 Рис. 4 Рис. 5 г) Данная функция определена при всех. При выражение, поэтому график данной функции совпадает с графиком функции, который мы привели на рис. 4. При данная функция определена, при этом. Заметим, что данная функция в точках, симметричных относительно точки ( ), принимает равные значения. Например, при 0 и значения функции совпадают и равны. В точках и ( 5) значения функции также совпадают и равны. Про график данной функции говорят так: график функции симметричен относительно прямой. График данной функции приведен на рис. 5. д) Преобразуем выражение, которым задается наша функция. ( ) ( ). При. При < <. При. График функции изображен на рис. 6. е) Данная функция определена при 0. Для этих значений ( ). График функции приведена на рис.. 0 Рис. 6 Рис. 0

16 8 Пример. Постройте график функции, если 0; 5, если 0 < < ;, если. На рис. в предыдущем примере мы строили график функции. Значения данной функции при 0 получаются из значений функции прибавлением числа, т. е. график функции получается из графика функции сдвигом п араллельно оси O на единицы вверх. 5 Рассмотрим функцию. Ее графиком является прямая, проходящая через точки ( 0 ;) и ( ; ). График данной функции при 5 0 < < совпадает с графиком прямой. При можно сначала построить график фу нкции, а затем сдвинуть на единицы вниз параллельно оси O. Составим таблицу значений функции График функции приведен на рис Рис. 8 Контрольные вопросы (5). Докажите что число 5 является иррациональным числом. (). Укажите, какие из ниже перечисленных чисел являются рациональными, а какие иррациональными:

17 0 ;,5( 8 ); ; 5, 44; ; 5. 8 (). При каких имеет смысл выражение: а) ; б ) ; в) ; 5 г) ; 9 5 ; е) 8 6 д) ( ) 4(). Решите уравнение: а) 5 0; б) 6 г) ; в) 8 ; ( ). Сравните числа и 8. 6(). Между какими последовательными натуральными числами расположено число 54. (). Докажите, чт этого, что 0 0 о ( ) 6 5? Следует ли из 8(). Упростите выражение: а) 4 4 б) :, ( 5) при условии > > 0; ( ) ( 5 ) в) 5 0 ; (). Сократите дробь: 5 6 а) ; б) ; 5 4 в) г) ;

18 0(). Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) ; б). 5 0 (). Докажите, что число, равное , является натуральным. (). Постройте график функции: ( ) а) ; б) ( ) 4 Задачи (). Расположите числа в порядке возрастания: а) 6 ; 5;, () ; 45,6. б) ; 9;. (). Докажите, что число является иррациональным числом. (). а) Приведите пример двух иррациональных чисел, сумма которых число рациональное; б) Приведите пример двух иррациональных чисел, произведение которых число рациональное. 4(). Сравните числа (не используя калькулятор): а) 8 и 4; б) и ; в) 0,9 0,00,000 и 0,090,00 0,0. 5(). Вынесите множитель и з-под знака корня: а) 50, 0; б) 8, 0, 0; в) ( ) ( ) ; г) 6(). Внесите множитель под знак корня: а) ( ) ; б) ; (). Решите уравнение:. ( ).

19 а) 5; б) 6 ; в) 5; г) 6 5 ; д) ; 4 е) (). Упростите упражнение: а) ; ( ) б) ; в) при ;, > 0. 9(). При каких значениях определено выражение:? 4 5 ( ) 0(). Освободитесь от внешнего радикала в выражении: 6 6. (). Используя формулу двойного радикала, упростите выражение: (5). Постройте график функции: а) г) ; б) ; ; ( ) в) ( ) ( ), если ;, если ; ; 8, если. д) ( ) 4 ;

20

Федеральное агентство по образованию Московский физико технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА

Федеральное агентство по образованию Московский физико технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Федеральное агентство по образованию Московский физико технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (00-00 учебный

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни. Задание 4 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни. Задание 4 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание 4 для 8-х

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа

Министерство образования Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа Министерство образования Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (00-00

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни. Задание 4 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни. Задание 4 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральная заочная физико-техническая школа при Московском физико-техническом институте (государственном университете) МАТЕМАТИКА Квадратные корни

Подробнее

В тесте проверяются теоретическая и практическая части.

В тесте проверяются теоретическая и практическая части. 8. класс, Математика (учебник Макарычев) 07-08 уч.год Тема модуля «Квадратный корень. Степень с целым показателем» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь Знать определение

Подробнее

В тесте проверяются теоретическая и практическая части.

В тесте проверяются теоретическая и практическая части. 8.3 класс, Математика (учебник Макарычев) 2016-2017 уч.год Тема модуля 5 «Квадратный корень. Степень с целым показателем» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь Знать

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 1

Иррациональные уравнения и неравенства 1 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление Свойства корней й степени Свойства корней Свойства степеней с рациональным показателем Примеры 5 Свойства корней -й степени Арифметическим корнем й степени

Подробнее

В тесте проверяются теоретическая и практическая части.

В тесте проверяются теоретическая и практическая части. 8 класс, Математика (учебник Макарычев) 2016-2017 уч.год Тема модуля 3 «Действительные числа. Квадратный корень» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь Знать определение

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение

Подробнее

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007 I вариант 8В класс, 4 октября 007 1 Вставьте пропущенные слова: Определение 1 Арифметическим квадратным корнем из число, которого равен a из числа a (a 0) обозначается так: выражением Действие нахождения

Подробнее

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции»

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции» МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Подробнее

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Тождественные преобразования алгебраических выражений Тождественные преобразования алгебраических выражений Алгебраические выражения выражения, содержащие числа и буквы, связанные алгебраическими действиями: сложением, вычитанием, умножением, делением и возведением

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического

Подробнее

Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА

Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА 8 Экспериментальный учебник Часть МОСКВА 06 Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА 8 Экспериментальный

Подробнее

ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ (ЗАДАНИЯ)

ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ (ЗАДАНИЯ) МАТЕРИАЛЫ для подготовки к тестированию по математике 8 класс Учитель: (Субач М.В., Авершина Л.А., Данилова А.Р.) ТЕМА Знать Уметь 6 Множество рациональных и множество действительных П.16. Рациональные

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Е. Я. Файн МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Е. Я. Файн МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Е. Я. Файн МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по курсу ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА для студентов первого курса

Подробнее

Практическое занятие: «Решение иррациональных уравнений, неравенств. Метод интервалов. Степени».

Практическое занятие: «Решение иррациональных уравнений, неравенств. Метод интервалов. Степени». Практическое занятие: «Решение иррациональных уравнений, неравенств. Метод интервалов. Степени». Цель работы: Повторить для подготовки к экзамену следующие темы: 1. определение степени с рациональным показателем,

Подробнее

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6).

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6). 3.. Методы решения рациональных неравенств 3..1. Числовые неравенства Сначала определим, что мы понимаем под утверждением a > b. Определение 3..1. Число a больше числа b, если разность между ними положительна.

Подробнее

Рабочая программа по алгебре 8 А класса

Рабочая программа по алгебре 8 А класса Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Республики Хакасия «Хакасская национальная гимназия интернат им. Н.Ф.Катанова» «СОГЛАСОВАНО» на заседании кафедры математики и информатики Протокол

Подробнее

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ Глава 6 ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ Т-60 Вычисление квадратного корня Т-60 Свойства квадратных корней Т-60 Удобная запись корня Т-60 Корень из квадрата Т-60 Внесение множителя под знак корня Т-606 Освобождение

Подробнее

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ Указания, решения, ответы УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. Уравнение с одной неизвестной.. Решение. Подставим в уравнение. Получим равенство ( 4a b 4) (a b 8) 0. Равенство A B 0, где А и В целые, выполняется,

Подробнее

В тесте проверяются теоретическая и практическая части.

В тесте проверяются теоретическая и практическая части. 8., 8., 8. класс, Математика (учебник Макарычев) 07-08 уч.год Тема модуля «Делимость чисел. Действительные числа, квадратный корень» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь

Подробнее

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Пензенский государственный университет Физико-математический факультет «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение уравнений. Треугольники Задание 1 для

Подробнее

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН... Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН Учебно-методическое пособие

Подробнее

Планируемые результаты освоения алгебры в 7 классе Алгебраические выражения. Уравнения

Планируемые результаты освоения алгебры в 7 классе Алгебраические выражения. Уравнения Программа по алгебре для 7 класса общеобразовательного учреждения. Пояснительная записка Структура программы Программа включает три раздела: 1.Планируемые результаты усвоения алгебры в 7 классе 2.Содержание

Подробнее

Занятие 17 Арифметический корень Прямоугольная система координат

Занятие 17 Арифметический корень Прямоугольная система координат Занятие 17 Арифметический корень Прямоугольная система координат Рассмотрим равенство = 16 Здесь это основание степени; показатель степени, 16 степень Основание степени можно назвать так: корень четвертой

Подробнее

Алгебраические уравнения

Алгебраические уравнения Алгебраические уравнения где Определение. Алгебраическим называется уравнение вида 0, P () 0,,, некоторые действительные числа. 0 0 При этом переменная величина называется неизвестным, а числа 0,,, коэффициентами

Подробнее

Степень с рациональным показателем. Степенная функция

Степень с рациональным показателем. Степенная функция Глава Степень с рациональным показателем Степенная функция Степень с целым показателем Напомним определение и основные свойства степени с целым показателем Для любого действительного числа а полагаем а

Подробнее

4. Решение и исследование квадратных уравнений

4. Решение и исследование квадратных уравнений КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Подробнее

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ"

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ" В. В. Гарбарук, В. И. Родин, И. М. Соловьева, М. А. Шварц МАТЕМАТИКА

Подробнее

от перемены мест слагаемых a b b a сложения сумма не меняется сочетательный закон не важно, в каком порядке сложения

от перемены мест слагаемых a b b a сложения сумма не меняется сочетательный закон не важно, в каком порядке сложения 1 Прикладная математика Лекция 1 Числа. Корни. Степени. Логарифмы Различные виды чисел: натуральные, целые, рациональные, действительные. Действия над числами: сложение, вычитание, умножение, деление.

Подробнее

Тема 7. Степени и корни. Степенная функция. 1. Корень n-й степени из действительного числа

Тема 7. Степени и корни. Степенная функция. 1. Корень n-й степени из действительного числа Тема 7. Степени и корни. Степенная функция 1. Корень -й степени из действительного числа Корнем -й степени (=2,,,5...) из числа а называется такое число b, -я степень которого равна а, то есть a= b, b

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратный трёхчлен. Иррациональные

Подробнее

Математика 8 класс Многочлены

Математика 8 класс Многочлены МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения. Метод прямого перебора Пример. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 8 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение.

Подробнее

Тема 1. Действительные числа и действия над ними

Тема 1. Действительные числа и действия над ними Тема 1 Действительные числа и действия над ними 4 часа 11 Развитие понятия о числе 1 Первоначально под числами понимали лишь натуральные числа, которых достаточно для счета отдельных предметов Множество

Подробнее

Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем».

Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем». Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем». Модуль действительного числа это абсолютная величина этого числа. Проще говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак. Обозначается a. Например,

Подробнее

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x)

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x) ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P Q, где P и Q многочлены Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P ниже степени

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный университет» А А Г О Л У Б Е В, Т А С П А С С К А Я ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

Подробнее

Решения для 9 класса подготовительного варианта

Решения для 9 класса подготовительного варианта Решения для 9 класса подготовительного варианта. Тема Действия с дробями 7 4 0,5 :, 5 : 5 7 Выполните действия:.,5 :8 4 Решение. Выполним действия в следующем порядке: 5 4 ) 0,5 :,5 : :. 4 4 5 5 7 4 7

Подробнее

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта: СПРАВОЧНИК Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:,,,,, Натуральные числа образуют множество, называемое множеством натуральных чисел Множество

Подробнее

Теоретический материал.

Теоретический материал. 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

а) Подкоренное выражение приведем к виду: 16 a 4 3a 3 Тогда используя формулу два, из нашей памятки, исходное выражение примет вид: = 16

а) Подкоренное выражение приведем к виду: 16 a 4 3a 3 Тогда используя формулу два, из нашей памятки, исходное выражение примет вид: = 16 Ребята, на прошлом уроке мы изучили свойства корня -ой степени, сегодня мы с вами посмотрим, как применять эти свойства на практике при решении различных задач которые могут вам встретиться. Давайте сделаем

Подробнее

МАТЕМАТИКА НЕРАВЕНСТВА

МАТЕМАТИКА НЕРАВЕНСТВА Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Неравенства Модуль для 0 класса Учебно-методическая

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратный трёхчлен. Иррациональные

Подробнее

Первые шаги в решении уравнений и неравенств с параметром

Первые шаги в решении уравнений и неравенств с параметром КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ. Н.И.ЛОБАЧЕВСКОГО Кафедра теории и технологий преподавания математики и информатики Фалилеева М.В. Первые шаги в решении уравнений и

Подробнее

Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва

Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва УДК 7.8:[ + 7] ББК 7.6. А Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва А Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 0 класс : углубл. уровень / [М. И. Шабунин,

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

СТЕПЕНЬ С ДРОБНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ. m n. m def. a = a. a < операция возведения в. дробную степень не определена. В частности, это означает, что

СТЕПЕНЬ С ДРОБНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ. m n. m def. a = a. a < операция возведения в. дробную степень не определена. В частности, это означает, что СТЕПЕНЬ С ДРОБНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ Если показатель t степени числа является дробным, те t,, N,, то для неотрицательных значений ( 0) по определению полагают def Для отрицательных чисел ( 0) < операция возведения

Подробнее

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений.

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Линейные уравнения с одной переменной Введение Никита Саруханов 7й класс Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько

Подробнее

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Действия с дробями: Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Домашнее задание. «Преобразования степенны и иррациональны выражений. Вычисление значений числовы выражений» Формулы

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 3

Иррациональные уравнения и неравенства 3 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление 4 Метод исключения радикалов в иррациональном уравнении умножением на сопряженный множитель Задание 7 4 5 Выделение полного квадрата (квадрата двучлена)

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

10.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:

10.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература: 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Статус документа Пояснительная записка Настоящая рабочая программа по алгебре для 8 класса (углубленный уровень) основной общей общеобразовательной школы составлена на основе федерального компонента государственного

Подробнее

теорему Виета для нахождения коэффициентов и свободного члена квадратного уравнения; решать текстовые задачи с помощью квадратных уравнений.

теорему Виета для нахождения коэффициентов и свободного члена квадратного уравнения; решать текстовые задачи с помощью квадратных уравнений. Алгебра 8 класс Учебник «Алгебра» Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова. Издательство «Просвещение» Учитель Щербакова Виктория Борисовна 1.Рациональные дроби Знать основное свойство дроби,

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 2

Иррациональные уравнения и неравенства 2 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление Иррациональные уравнения Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень Задание Задание Задание Замена иррационального уравнения смешанной

Подробнее

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1 Глава 1 Основы алгебры Числовые множества Рассмотрим основные числовые множества. Множество натуральных чисел N включает числа вида 1, 2, 3 и т. д., которые используются для счета предметов. Множество

Подробнее

- А. Г. Мордкович. Методического пособия для учителя. Алгебра 7-9. Мнемозина 2001,

- А. Г. Мордкович. Методического пособия для учителя. Алгебра 7-9. Мнемозина 2001, Пояснительная записка Рабочая программа составлена на основе: - Федерального компонента государственного образовательного стандарта основного общего образования по математике утвержденного приказом Минобразования

Подробнее

Тригонометрические преобразования и вычисления

Тригонометрические преобразования и вычисления И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические преобразования и вычисления Задачи, связанные с тригонометрическими преобразованиями и вычислениями, как правило, не сложны и потому нечасто

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B7: ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B7: ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwthetspru Гущин Д Д СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B7: ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Проверяемые элементы содержания и виды

Подробнее

1 Степень с целым показателем

1 Степень с целым показателем Глава 9 Степени Степень с целым показателем. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0 ; > >.. >. Если четно, то ( ) < ( ). Например, ( ) 0 = 0 < 0 = = ( ) 0. Если нечетно, то ( ) > ( ). Например, ( ) = > = = ( ), так

Подробнее

Знаки линейной функции

Знаки линейной функции И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Метод интервалов Метод интервалов это метод решения так называемых рациональных неравенств. Общее понятие рационального неравенства мы обсудим позже, а сейчас

Подробнее

10 класс, Математика (профиль) уч.год Тема модуля 1 «Корни, степени, логарифмы»

10 класс, Математика (профиль) уч.год Тема модуля 1 «Корни, степени, логарифмы» 0 класс, Математика (профиль) 0-08 учгод Тема модуля «Корни, степени, логарифмы» Знать Понятия действительного числа, множества чисел, свойства действительных чисел, делимость целых чисел****, свойства

Подробнее

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства Вопрос. Неравенства, система линейных неравенств Рассмотрим выражения, которые содержат знак неравенства и переменную:. >, - +х -это линейные неравенств с одной переменной х.. 0 - квадратное неравенство.

Подробнее

КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ по математике 8 класс

КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ по математике 8 класс КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ по математике 8 класс урока Тема урока 1 Повторение. Действия с обыкновенными и десятичными дробями. Колво часов Элементы содержания Тема 1. Рациональные дроби и их

Подробнее

СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ. 5 9 классы

СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ. 5 9 классы СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ 5 9 классы МОСКВА «ВАКО» 201 УДК 32.851 ББК 4.262.22 С4 6+ Издание допущено к использованию в образовательном процессе на основании приказа Министерства образования и науки РФ

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и Студент должен знать: определение предела функции; свойства пределов; понятие бесконечно малых функций; понятие ограниченных и бесконечно больших функций; определение непрерывности функции в точке; сравнение

Подробнее

Область определения левой части этих формул может быть шире области определения

Область определения левой части этих формул может быть шире области определения 7 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Комментарий При решении логарифмических уравнений также как в случае иррациональных уравнений возможно появление посторонних корней Причина их появления

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-10 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ Учебно-методическое

Подробнее

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений».

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений». Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений» Многочленом степени n называется многочлен вида P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, где a 0, a 1,, a n-1, a n заданные числа, a 0,

Подробнее

Календарно-тематическое планирование. Алгебра 7 класс 3 часа в неделю, 105 часа в год. Освоение предметных знаний

Календарно-тематическое планирование. Алгебра 7 класс 3 часа в неделю, 105 часа в год. Освоение предметных знаний Приложение 1 Календарно-тематическое планирование. Алгебра 7 класс 3 часа в неделю, 105 часа в год. п/п Тема урока Планируемые результаты обучения Дата проведения Освоение предметных знаний 1 Введение

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАШИНОСТРОЕНИЯ ИИ Поспелов,

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Практикум для иностранных граждан подготовительного отделения

МАТЕМАТИКА. Практикум для иностранных граждан подготовительного отделения МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ОДЕССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МАТЕМАТИКА Практикум для иностранны граждан подготовительного отделения ОДЕССА ОНЭУ 4 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Условные

Подробнее

71 Тригонометрические уравнения и неравенства

71 Тригонометрические уравнения и неравенства 7 Тригонометрические уравнения и неравенства Комментарий Устойчивым является заблуждение абитуриентов о том что при решении тригонометрических уравнений не нужна проверка Это так далеко не всегда При решении

Подробнее

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) 10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида и найдите его

Подробнее

Домашняя работа по алгебре за 8 класс

Домашняя работа по алгебре за 8 класс О.И. Кубатько Домашняя работа по алгебре за 8 класс к учебнику «Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова Под ред. С.А. Теляковского -е

Подробнее

3x x 2 + x = 0.

3x x 2 + x = 0. 4.. Метод замены переменной при решении алгебраических уравнений. В предыдущем пункте метод замены переменной был использован для разложения многочлена на множители. Данный метод широко применяется для

Подробнее

1. Развитие понятия корня

1. Развитие понятия корня Глава Решение уравнений и неравенств высших степеней Развитие понятия корня Корни высших степеней В самой математике главные средства достигнуть истины индукция и аналогия П С Лаплас (79 7), французский

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 5

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 5 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................. 5 Глава первая Арифметика и алгебра..................................... 6 1.1. Числа и действия с ними.............................

Подробнее

11 класс, базовый уровень. Задание 1. Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

11 класс, базовый уровень. Задание 1. Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Разложите на множители: 3 11 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) b 3 + 1 Найдите числа A, B, C, при которых справедливо

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (типовые задания С3)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (типовые задания С3) МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ типовые задания С Прокофьев АА Корянов АГ Прокофьев АА доктор педагогических наук, заведующий кафедрой высшей математики НИУ МИЭТ, учитель математики

Подробнее

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М В ЛОМОНОСОВА МАЛЫЙ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Методическая разработка для учащихся 8 и 9 классов заочного отделения МОСКВА

Подробнее

P x x Qx ( ) + r или

P x x Qx ( ) + r или Лекция Разложение рациональной дроби на простейшие Аннотация: Доказывается, что из неправильной дроби можно выделить целую часть, а правильную дробь разложить на простейшие Рациональной дробью (рациональной

Подробнее

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними Глава 8 Функции и графики Переменные и зависимости между ними. Две величины и называются прямо пропорциональными, если их отношение постоянно, т. е. если =, где постоянное число, не меняющееся с изменением

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Многочлены. Простейшие уравнения и неравенства с модулем. Задание 3 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Многочлены. Простейшие уравнения и неравенства с модулем. Задание 3 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Многочлены. Простейшие уравнения и

Подробнее

Тригонометрические уравнения. 1

Тригонометрические уравнения. 1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические уравнения. 1 В данной статье рассматриваются самые простые виды тригонометрических уравнений. Методы решения таких уравнений стандартны

Подробнее

Календарно-тематическое планирование на уч.года по алгебре в 8 «б» классе. «Алгебра 8», Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, Учитель Водова Л.

Календарно-тематическое планирование на уч.года по алгебре в 8 «б» классе. «Алгебра 8», Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, Учитель Водова Л. Календарно-тематическое планирование на 05-06 уч.года по алгебре в 8 «б» классе. «Алгебра 8», Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, Учитель Водова Л.Е Приложение урока дата Наименование раздела, темы урока.09 Повторение.

Подробнее

А.С Крутицких и Н.С Крутицких. Подготовка к ЕГЭ по математике. Сайт «Решение простейших тригонометрических уравнений»

А.С Крутицких и Н.С Крутицких. Подготовка к ЕГЭ по математике. Сайт  «Решение простейших тригонометрических уравнений» А.С Крутицких и Н.С Крутицких. Подготовка к ЕГЭ по математике. Сайт http://matematikalegko.ru «Решение простейших тригонометрических уравнений» Решение простейших тригонометрических уравнений (в итоге

Подробнее

Задачи заочного тура по математике для 9 класса 2014/2015 уч. год, первый уровень сложности. Задача 4

Задачи заочного тура по математике для 9 класса 2014/2015 уч. год, первый уровень сложности. Задача 4 Задачи заочного тура по математике для 9 класса 2014/2015 уч. год, первый уровень сложности Задача 1 Решить уравнение: (x+3) 63 + (x+3) 62 (x-1) + (x+3) 61 (x-1) 2 + + (x-1) 63 = 0 Ответ: -1 Задача 2 Сумма

Подробнее

. Тематическое планирование уроков алгебры в 8 классе Тема урока Количество

. Тематическое планирование уроков алгебры в 8 классе Тема урока Количество Рабочая программа учебного курса по алгебре для 8 класса разработана на основе Федерального компонента государственного образовательного стандарта начального общего, основного общего и среднего (полного)

Подробнее

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число АРИФМЕТИКА Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. Порядок действий ) Если нет скобок, то сначала выполняются действия -й степени (возведение в натуральную степень), затем -й степени (умножение

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный университет им. А.М. Горького Специализированный учебно-научный центр.

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный университет им. А.М. Горького Специализированный учебно-научный центр. Федеральное агентство по образованию Уральский государственный университет им. А.М. Горького Специализированный учебно-научный центр Математика Алгебра Задания 1 4 для заочного класса (2005 2006 учебный

Подробнее

1.1 Определение и основные свойства функций

1.1 Определение и основные свойства функций 1 Функции и графики 1.1 Определение и основные свойства функций Определение 1.1 Будем говорить, что задана однозначная функция y = f() в данной области изменения переменной X = {}, если каждому значению

Подробнее

Программа по математике

Программа по математике Программа по математике На экзамене по математике поступающие должны показать: 1. Четкое знание математических определений и теорем, основных формул алгебры и геометрии, умение доказывать теоремы и выводить

Подробнее