Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие"

Транскрипт

1 Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза

2 Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического университета имени ВГБелинского УДК 7 8с Никитина ОГ Ряды: учебное пособие / ОГНикитина- Пенза Пособие охватывает следующие разделы программы по математическому анализу: числовые ряды функциональные ряды степенные ряды и их применения ряды Фурье В пособии приведены основные теоретические сведения Они иллюстрируются разобранными примерами Имеется большое количество упражнений и задач для самостоятельного решения Приведены подробные решения всех типовых задач Имеются индивидуальные задания по каждой из тем Пособие предназначено для бакалавров физико-математических факультетов педагогических университетов обучающихся по профилям подготовки Математика Информатик Научный редактор кандидат физико-математических наук доцент кафедры математического анализа Пензенского государственного педагогического университета имени ВГБелинского ННЯремко ПГПУ им ВГБелинского Никитина ОГ

3 ГЛАВА ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Понятие числового ряда Сумма ряда Определение Пусть дана числовая последовательность Выражение вида называется числовым рядом ) Числа называются членами ряда член с произвольным номером называется общим членом ряда Ряд часто записывают в компактном виде Суммы конечного числа членов ряда S S S называют частичными суммами ряда ) а S называют -ой частичной суммой ряда Частичные суммы ряда образуют последовательность Определение Ряд называется сходящимся если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел те если называют суммой ряда Если же называют расходящимся Пример Рассмотрим ряд lim S S Число S lim S не существует или бесконечен то ряд q q q q составленный из членов геометрической прогрессии При q его -ая частичная сумма имеет вид S q q ) Поэтому: ) если q то lim S lim q q ) q то есть ряд сходится и его

4 сумма S q ) если q то lim S lim q q ) то есть ряд расходится ) при q ряд приобретает вид: В этом случае S и lim S lim то есть ряд расходится ) при q ряд приобретает вид: В этом случае S при четном и S при нечетном следовательно lim S не существует то есть ряд расходится Таким образом ряд q q сходится при q его сумма Пример Покажем что ряд сходится и найдем его сумму S q q q ) и расходится при q ) ) Рассмотрим -ую частичную сумму ряда S и преобразуем ее: S ) Тогда lim S lim То есть ряд сходится и его сумма S

5 Упражнения к Написать первые три члена ряда по известной формуле для общего члена: а) ) ) в) ) г) если четное ) ) если нечетное д) Написать если 7 ) если 7 ) ) если 8 если Пусть Напишите Пусть! Найдите Пусть Найдите ) ) 6 Напишите первые четыре члена ряда: а) 7 7 Написать одну из возможных формул для -ого члена ряда по данным его первым членам: а) б) 9 6

6 в) 9 7 г) 6 д) е) ж) з) 6 8 и) 7 9 к) Найдите для следующих рядов S S R а) 9 7 в) 7 7 ) ) г) 6 8 д) ) ) е) 7 8 ) 6) ж) ) з) ) и) l к) 6

7 m m m л) m m m 9 По известной частичной сумме ряда определите общий член и найдите сумму каждого из нижеприведенных рядов: а) S S Основные теоремы о сходящихся числовых рядах Теорема Если сходится ряд то сходится и ряд получаемый из данного ряда отбрасыванием первых m m m m членов этот последний ряд называют m-ым остатком исходного ряда) и наоборот из сходимости m-го остатка ряда вытекает сходимость и данного ряда Таким образом на сходимость ряда не влияет отбрасывание или изменение любого конечного числа его первых членов а также приписывание к ряду любого конечного числа первых членов операции Над сходящимися рядами можно выполнять обычные арифметические Теорема Если ряд сходится и его сумма равна S то сходится и ряд c c c где с некоторое число причем его сумма равна с S Теорема Если ряды и b b сходятся и их b суммы соответственно равны S и то сходятся и ряды b b ) b ) ) причем их суммы соответственно равны S Теорема необходимое условие необходимый признак) сходимости ряда) Если ряд сходится то его общий член стремится к нулю то есть 7

8 lim Следствие Если lim то ряд расходится Замечание Условие lim является необходимым но не достаточным условием сходимости ряда То есть если общий член ряда стремится к нулю то из этого еще нельзя сделать вывод о сходимости ряда Пример Рассмотрим ряд его называют гармоническим рядом) Для этого ряда необходимое условие сходимости ряда выполняется так как lim lim Покажем что гармонический ряд расходится Если бы гармонический ряд сходился то имели бы Но S то есть S lim S S ) lim S lim S S S S S Следовательно равенство lim S S ) не возможно то есть гармонический ряд расходится Таким образом если ряд сходится то lim если lim то ряд расходится если lim то из этого нельзя сделать вывод о сходимости ряда нужны дополнительные исследования 8

9 Упражнения к Закончить утверждение: «Ряд называется сходящимся если» ) последовательность его частичных сумм имеет конечный или бесконечный предел ) предел общего члена ряда равен нулю ) последовательность его частичных сумм имеет конечный предел ) предел модуля общего члена равен нулю ) последовательность его частичных сумм является бесконечно большой Дан сходящийся ряд При отбрасывании нескольких его ненулевых членов: ) ряд останется сходящимся и его сумма не изменится ) ряд останется сходящимся и его сумма изменится если сумма отброшенных элементов не равна ) ряд станет расходящимся ) ряд останется сходящимся и его сумма обязательно уменьшится ) не зная членов ряда ничего нельзя сказать о сходимости или расходимости нового ряда С помощью необходимого признака сходимости ряда установите какие из данных рядов заведомо расходятся: 7 а) ) в) г) д) 6 е) 9 7 ж) 9 з) и) 7 9

10 Сходится ли ряд: а) Для сходящегося числового ряда найдите lim 6 8 Признаки сходимости рядов с положительными членами Приведем ряд признаков позволяющих сделать вывод о сходимости расходимости) положительного ряда То есть это достаточные признаки сходимости Первый признак сравнения Пусть даны два ряда с неотрицательными членами и b и для всех выполняется неравенство b Тогда из сходимости ряда b следует сходимость ряда из расходимости ряда следует расходимость ряда Таким образом из сходимости ряда с большими членами следует сходимость и ряда с меньшими членами а из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость и ряда с большими членами Замечание Этот признак остается в силе если неравенства выполняются не при всех а лишь начиная с некоторого номера =N Второй признак сравнения Если существует конечный и отличный от нуля предел lim k b то оба ряда b одновременно сходятся b b

11 или одновременно расходятся Интегральный признак Коши Пусть дан ряд Если функция f ) ) определена непрерывная положительная и монотонно убывает на промежутке [c ) где c ) f ) для c то ряд где f ) сходится или расходится в зависимости от того сходится или расходится интеграл c f ) d c ) Пример Исследуем сходимость ряда этот ряд называется обобщенным гармоническим рядом) с помощью интегрального признака Коши Функция f ) [ ) удовлетворяет всем условиям приведенным выше Рассмотрим несобственный интеграл f ) d d ) Если то d t lim t t lim t ) Если то d l lim l t lim l t l Таким образом данный интеграл сходится при Следовательно t t и расходится при

12 обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при при при при В частности имеем сходящийся ряд - расходящийся гармонический ряд - расходящийся ряд При исследовании сходимости ряда с помощью признаков сравнения в качестве вспомогательного ряда сравнения как правило используется либо геометрическая прогрессия либо обобщенный гармонический ряд с соответствующим значением Пример Исследовать сходимость ряда Решение Воспользуемся первым признаком сравнения Члены данного ряда меньше соответствующих членов ряда те ряда Но последний ряд сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем сходится и данный ряд q Следовательно Пример Исследовать сходимость ряда 9 общий член Решение Воспользуемся вторым признаком сравнения У данного ряда Сравним данный ряд с гармоническим рядом

13 у которого b / гармонический ряд расходится): lim b / ) lim / Следовательно данный ряд тоже расходится lim Пример Исследовать сходимость ряда Решение Воспользуемся вторым признаком сравнения У данного ряда 7 общий член В качестве ряда сравнения возьмем обобщенный гармонический ряд 7 у которого при подборе учли что старшая степень знаменателя на единицы больше старшей степени числителя) тогда b / этот ряд сходится) и 7 / ) 7 lim lim lim b / Следовательно данный ряд тоже сходится Существуют признаки сходимости рядов позволяющие непосредственно судить о сходимости данного ряда не сравнивая его с другим рядом о котором известно сходится он или нет К этим признакам в частности относятся признак Даламбера и радикальный признак Коши ) 7 Радикальный признак Коши Если для ряда членами существует с неотрицательными lim q то этот ряд сходится при q и расходится при q Замечание При q радикальный признак Коши не применим

14 существует применим Признак Даламбера Если для ряда с положительными членами lim q то этот ряд сходится при q и расходится при q Замечание При q признак Даламбера так же как и признак Коши не Например для гармонического ряда имеем: lim / ) lim lim / Как известно гармонический ряд расходится А обобщенный гармонический ряд где ) сходится но для него тоже lim / ) lim lim / ) В этом случае чтобы выяснить сходится ли ряд необходимо дополнительное исследование с помощью признаков сравнения или других признаков Пример Исследовать сходимость ряда 7 Решение Здесь удобно применить признак Коши поскольку тогда lim Следовательно данный ряд сходится lim Пример 6 Исследовать сходимость ряда Решение Применим признак Даламбера Для данного ряда

15 Тогда lim lim lim lim ) следовательно ряд расходится ) ) ) Пример 7 Исследовать сходимость ряда! Решение Применим признак Даламбера Для данного ряда! ) )! ) )!! ) Тогда lim lim e следовательно ряд расходится Упражнения к Установите сходимость или расходимость указанных рядов с помощью теорем сравнения ) ) ) ) 7 ) ) ) si si si si 6) 8 si 7) 8) 8 ) 9) 7 ) )

16 ) tg tg tg tg 8 ) ) ) ) ) 6) l ) 7) l 8) ) 9) ) ) ) ) cos ) e ) si Установите сходимость или расходимость указанных рядов с помощью признака Даламбера ) )!! )! ) tg tg tg ) 8 9 ) ) ) ) 6)!! 7) si si si ) 8) 9)!! )!! )!!) ) ) 7 7 ) )!!!! )!!!) )! 6

17 Установите сходимость или расходимость указанных рядов с помощью радикального признака Коши ) l l l ) ) ) rcsi rcsi rcsi ) ) 6) 9 7) указание: cos ) 8) Установите сходимость или расходимость указанных рядов с помощью интегрального признака Коши ) l l )l ) ) l l )l ) ) l ) ) ) l ) )l )l l ) Установите сходимость или расходимость указанных рядов выбрав самостоятельно подходящий для данного ряда признак сходимости ) ) ) ) ) )! 6) 7) 8) 9) rctg 7

18 ) ) ) ) ) )! ) si )! 6) 9 7) )!!! 8)! 9) 9 )!! ) ) )!! 9) )! ) )! cos 6 Доказать каждое из соотношений с помощью ряда общим членом которого является данное выражение! )! ) lim ) lim! ) lim! )!) ) lim ) lim 6) lim )!!) 7 Определить сколько членов нужно взять чтобы получить значение суммы ряда с точностью до )! ) ) )!!! Знакочередующиеся ряды Знакопеременные ряды Знакочередующимся рядом называется ряд у которого любые два соседних члена имеют противоположные знаки То есть знакочередующийся ряд это ряд вида: p p p p ) p ) p ) где ) или ряд вида: p 8

19 где p ) и p p ) p p p ) p ) Примерами знакочередующихся рядов служат ряды Лейбница: ) Ряд ) получается из ряда ) умножением на - Поэтому ограничимся рассмотрением рядов вида ) то есть знакочередующихся рядов с положительным первым членом Признак сходимости знакочередующегося ряда признак Лейбница) Теорема Знакочередующийся ряд сходится если ) модуль общего члена ряда стремится к нулю то есть lim p ) модули членов ряда монотонно убывают те p p или p для всех начиная с некоторого) p Замечание Пусть ) ) ) p R - сумма -ого остатка знакочередующегося ряда Тогда R S S Величина R оценивается с помощью неравенства R p где p модуль первого члена остатка Таким образом если требуется вычислить сумму знакочередующегося ряда с точностью отбрасываемых членов ряда должен быть по модулю меньше Пример Исследовать сходимость ряда Решение Применим признак Лейбница Так как ) то первый из 9

20 lim lim lim p первое условие признака Лейбница выполнено Проверим выполнение второго условия: ) ) p p Так как ) то p p ) Следовательно выполняется и второе условие Значит данный ряд сходится Пример Покажем что знакочередующийся ряд расходится и выясним почему к нему не применима теорема Лейбница Решение Четная частичная сумма S может быть записана в виде: S где в скобке стоит -ая частичная сумма гармонического ряда Но гармонический ряд расходится Следовательно S lim то есть рассматриваемый ряд расходится Очевидно для него необходимое условие сходимости ряда то есть первое условие признака Лейбница) выполнено: lim p Покажем что второе условие теоремы не выполняется то есть последовательность модулей членов ряда не является монотонно убывающей: ) ) p p

21 так как это неравенство легко проверяется возведением обеих частей в квадрат) Следовательно теорема Лейбница к этому ряду не применима Этот пример показывает что второе условие теоремы Лейбница является существенным условием так же как и первое условие теоремы Знакопеременным рядом называется ряд с членами произвольных знаков Пусть = ) где числа могут быть как положительными так и отрицательными причем расположение положительных и отрицательных членов в ряде произвольно Рассмотрим ряд составленный из модулей членов ряда ): Справедлива следующая теорема ) Теорема Если ряд ) сходится то и ряд ) тоже сходится Определение Числовой ряд называется абсолютно сходящимся если сходится ряд составленный из модулей его членов то есть ряд Определение Сходящийся числовой ряд называется условно сходящимся если ряд составленный их модулей его членов то есть ряд расходится Пример Исследовать сходимость ряда Решение Составим ряд из модулей членов данного ряда:

22 Этот ряд является бесконечно убывающей геометрической прогрессией со знаменателем q Он сходится Следовательно исходный ряд сходится см теорему ) причем абсолютно см определение ) Пример Исследовать сходимость ряда Решение Составим ряд из модулей членов данного ряда: используются признаки сходимости рядов с положительными членами ) Это обобщенный гармонический ряд с он расходится Следовательно исходный ряд абсолютно не сходится Проверим для него выполнение условий теоремы Лейбница: ) lim p lim то есть первое условие выполняется ) p p то есть p p ) Второе условие тоже выполняется Следовательно по теореме Лейбница данный ряд сходится причем сходится условно см определение ) Таким образом все сходящиеся числовые ряды можно разделить на абсолютно сходящиеся и условно сходящиеся Причем это деление существенно так как абсолютно сходящиеся ряды обладают рядом важных свойств не все из которых присущи и условно сходящимся рядам Например члены абсолютно сходящегося ряда можно переставлять произвольным образом От этого его сумма не изменится А из всякого условно сходящегося ряда за счет перестановки его членов можно получить ряд сходящийся к любой наперед заданной сумме или расходящийся ряд Замечание При исследовании рядов на абсолютную сходимость

23 Упражнения к Выясните какие из данных знакочередующихся рядов сходятся абсолютно какие условно какие расходятся ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 6) ) l ) 7) l 8) ) 9) ) ) ) ) ) ) ) si Выясните сходятся ли данные знакопеременные ряды: ) ) Убедиться что признак Лейбница не применим к данным знакопеременным рядам Выясните какие из них расходятся какие сходятся абсолютно какие условно: ) )

24 ) 7 9 Зная что сумма ряда ) равна найти суммы следующих рядов полученных из данного ряда перестановкой его членов: ) ) 7 9 Показать что данные ряды сходятся Исследовать сходимость рядов получаемых из данных если опустить скобки 8 ) 9 ) 7) 8 6) ) 6 Оценить ошибку допускаемую при замене суммы ряда суммой его первых членов Оценить точность такого приближения при = ) )! ) ) ) ) ) 7 Сколько членов ряда нужно взять чтобы вычислить его сумму с точностью до? до? ) ) ) ) )! ) ) ) ) ) ) 6) )

25 Индивидуальные задания по теме Числовые ряды Задание Найти сумму ряда а) 7 а) 8 а) а) а) а) а) 6 8 а) а) 6 а) 7 а) 6 8 а) 9 6 а) 8 7 7

26 а) а) 7 6 а) а) а) а) 6 а) а) 8 7 а) 6 6 а) 8 7 а) а) Задание Исследовать на сходимость числовые ряды а) cos а) tg 6

27 а) si si а) rctg rctg а) e 6 а) ) l 7 а) si ) ) cos 8 а) ) cos ) tg 9 а) si а) rctg а) cos ) e а) rctg ) ) e а) ) l а) 6 6 l а) si tg 6 а) si si 7

28 7 а) e 8 а) ) 8 e 9 а) cos 7 ) si а) si ) ) tg а) rctg ) а) rcsi ) а) l e а) cos si а) rctg Задание Исследовать на сходимость числовые ряды а) )! а) )! а) ) tg rctg 8

29 а) 6 ) 7 9 ) l )) а) )! ) rcsi 6 а)! 7 )! 7 а) si! 8 а) )! ) tg! 9 а) tg )! а) rctg! а)! ) e а) )! ) ) а) 7 )! б) а)!) а) 6 а)! rctg )!! l )) 9

30 7 а)!) )! rcsi 8 а) ) 7 ) e 9 а) 7 а) )! rctg 8 а) )! 6 а) )! )!! si а) rccos 6 а) 7 6 ) ) 7 а)! Задание Исследовать на сходимость числовой ряд )l ) )l ) )l ) )l ) ) l )) 6 ) l ) 7 8 )l ) ll )) )l )

31 9 ) l ) 7 )l 7 ) ) l )) 8 )l 8 ) )l ) ll )) ) l ) ) l )) 6 9 )l9 ) 7 7 )l 7 8 ) ) l ) 9 )l ) )l )) 9 )l 9 ) 9 ) l 9 ) ) l ) ) l )) 6 ) l )) Задание Исследовать на сходимость знакочередующийся числовой ряд Выяснить сходится ли ряд абсолютно или условно или расходится ) ) ) ) ) l ) ) si ) ) 6 ) ) 7 ) 8 ) )!

32 9 ) ) ) si ) ) ) ) ) ) ) ) 6 ) 7 ) 8 ) ) 9 ) l ) ) ) ) ) )! ) ) ) )

33 ГЛАВА ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Основные понятия Определение Ряд u ) u ) u ) u ) члены которого функции от определенные на одном и том же множестве Е называется функциональным рядом Функции u ) u ) u ) u ) называются членами ряда Функцию u ) называют -ым или общим членом ряда Подставив в функциональный ряд произвольное фиксированное значение u ) заданный на множестве Е E получим числовой ряд u ) который может сходиться или расходиться Совокупность значений E при которых ряд функционального ряда Область сходимости ряда области сходимости Х ряд u ) сходится называют областью сходимости X E В каждой точке из u ) сходится к некоторому числу которое зависит от взятой точки Следовательно на множестве Х определена функция которую называют суммой функционального ряда и обозначают S ) Таким образом S ) lim S ) для каждого из области сходимости ряда здесь S ) u ) u ) u ) - -ая частичная сумма ряда) В этом случае говорят что функциональный ряд а также последовательность его частичных сумм )) ) сходится поточечно к функции S ) на множестве Х S

34 Пример Дан функциональный ряд Исследовать сходимость ряда в точках и Решение В точке получаем числовой ряд Здесь lim u u u u lim ) ) 7 Применяем признак Даламбера: lim Тк > ряд расходится В точке получаем ряд Здесь u u ) lim ) lim u u lim те ряд сходится Пример Найдем область сходимости и сумму ряда ) ) Решение Члены ряда u ) ) определены на всей числовой прямой то есть E=R Этот ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем Поэтому он сходится на интервале - ) то есть Х=- ) и его сумма S ) Пример Найти область сходимости ряда 6 Решение Если то lim u lim Так как lim u то ряд

35 расходится Если то имеем ряд Он расходится Если то члены ряда меньше членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии те ряд сходится 6 Итак область сходимости ряда определяется неравенством Отсюда следует что ряд сходится если ) ) Равномерная сходимость функционального ряда Представим сумму ряда u ) u ) u ) u ) в виде S ) S ) R ) где S ) u ) u ) u ) - -ая частичная сумма ряда R ) u ) u ) - -ый остаток ряда Сходящийся функциональный ряд u ) называют равномерно сходящимся на множестве X к функции S ) если для каждого сколь угодно малого числа найдется такое натуральное число N что при N для всех из множества X выполняется неравенство S ) S ) То есть u ) X S ) ) N N )) N ) X ) : S ) S ) или u ) X S ) ) N N )) N ) X ) : R ) Очевидно что равномерная сходимость ряда влечет за собой поточечную сходимость То есть если ряд сходится к функции S ) равномерно на множестве X то он сходится к этой функции и поточечно на этом множестве Обратное утверждение не верно так как если ряд сходится к S ) поточечно на множестве X то при заданном число N в каждой точке может быть

36 своим а суть равномерной сходимости в том что существует N единое для всех X Достаточный признак равномерной сходимости функционального ряда признак Вейерштрасса) Пусть функции ) u ) u ) u определены на множестве X и существует такой положительный сходящийся числовой ряд что u ) для всех и всех X Тогда функциональный ряд u ) сходится равномерно на множестве X и притом сходится абсолютно в каждой точке этого множества Основные свойства равномерно сходящихся рядов Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций есть непрерывная функция Интегрирование равномерно сходящихся рядов Если члены ряда u ) непрерывны на отрезке [ b ] и ряд сходится на этом отрезке равномерно к функции S ) то ряд u ) d u ) d u ) d b b b сходится и имеет сумму b S ) d Таким образом b u ) d u ) d b Дифференцирование равномерно сходящихся рядов Пусть функции u ) u ) u ) определены в некоторой области Х и имеют в этой области производные u ) u ) u ) Если в этой области ряд u ) 6

37 сходится равномерно то его сумма равна производной от суммы первоначального ряда: Пример Показать что ряд u ) u ) 6 8 сходится равномерно при всех значениях ) ) Решение Данный ряд при любом значении сходится по признаку Лейбница поэтому его остаток оценивается с помощью неравенства R ) u ) те Так как неравенства R ) для любого и равносильны то взяв N где N какое-нибудь целое положительное число удовлетворяющее условию N приходим к неравенству R ) S ) S R Итак ) по определению данный ряд сходится равномерно в интервале ) Пример С помощью признака Вейерштрасса показать что ряд si si si si сходится равномерно в интервале ) Решение Так как si для всех ) и всех и числовой ряд равномерно на всей числовой прямой сходится то данный функциональный ряд сходится 7

38 Упражнения к и Определить области сходимости данных функциональных рядов: а) l в) г) д) е) ) ж) si з) tg и) si к) si ) л) ) м) cos e н) si о) tg п) 8 e Определить при сумму и остаток функционального ряда ) ) ) Показать что ряд сходится равномерно на отрезке Сколько нужно взять членов ряда чтобы при любом из этого отрезка можно было бы вычислить сумму ряда с точностью до? Показать что функциональный ряд ) ) ) Равномерно сходится к функции ) ) ) ) на промежутке [ ) Сколько нужно взять членов ряда чтобы для любого можно было бы вычислить сумму ряда с точностью до? Доказать равномерную сходимость функциональных рядов в указанных промежутках: si si а) ) )!

39 e в) ) г) ) ) ) д) [ ) е) [ ] ж) )! з) e [ ) Показать что на промежутке [ ) функциональный ряд 9 ) сходится равномерно Сколько нужно взять членов ряда чтобы при любом из этого промежутка можно было вычислить сумму ряда с точностью до? 6 Показать что на промежутке [ ) функциональный ряд сходится равномерно Сколько нужно взять членов ряда чтобы при любом из этого промежутка можно было вычислить сумму ряда с точностью до? 7 Функция f ) определяется равенством cos f ) Показать что функция f ) определена и непрерывна при любом Найти f ) и f Убедиться что для вычисления приближенных значений функции f ) при любом с точностью до достаточно взять три члена ряда Найти с указанной точностью f ) и f ) 8 Найти область определения функций и исследовать функции на непрерывность: ) а) f ) 9 f ) )

40 9 Функция f ) определяется равенством f ) e e e e Показать что функция f ) непрерывна на промежутке ) Вычислить l l f ) d Функция f ) определяется равенством f ) 9 Показать что функция f ) непрерывна на промежутке f ) d Вычислить Степенные ряды Функциональный ряд вида где ) ) ) ) - действительные числа называется степенным рядом с центром в точке Числа называются коэффициентами степенного ряда число называется центром степенного ряда Степенной ряд всегда сходится при где - центр ряда) То есть область сходимости любого степенного ряда непустое множество Важную роль при изучении сходимости степенного ряда играет теорема Абеля Теорема Абеля ) Если степенной ряд сходится при ) то он сходится и притом абсолютно) для всех удовлетворяющих условию ) Если степенной ряд расходится при то он расходится и при всех удовлетворяющих условию

41 Одним из следствий теоремы Абеля является факт существования для всякого степенного ряда интервала сходимости R или R R с центром в точке внутри которого степенной ряд абсолютно сходится и вне которого ряд расходится На концах интервала сходимости в точках R ) различные степенные ряды ведут себя поразному: одни сходятся абсолютно на обоих концах другие либо условно сходятся на обоих концах либо на одном из них условно сходятся на другом расходятся третьи расходятся на обоих концах и тд Число R называется радиусом сходимости степенного ряда В частных случаях радиус сходимости ряда R может быть равен нулю или бесконечности Если R то степенной ряд сходится лишь при если же R то ряд сходится на всей числовой оси Пример Найдем область сходимости ряда ) Решение Этот ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем q Поэтому он сходится если q то есть областью сходимости этого ряда является интервал ) радиуса R с центром в точке Пример Найдем область сходимости ряда ) Решение Составим ряд из модулей членов данного ряда и будем рассматривать его как числовой ряд с параметром Применим к этому ряду радикальный признак Коши: lim u lim lim Следовательно ряд сходится только при То есть его область сходимости состоит только из одной точки центра ряда радиус сходимости этого ряда R

42 Пример Найдем область сходимости ряда )! Решение Будем рассуждать аналогично предыдущему примеру но удобнее воспользоваться признаком Даламбера: u )! u ) )! lim u u lim ) )! для любого Следовательно ряд сходится на всей числовой прямой при в центре ряда ряд также сходится) Его область сходимости вся числовая прямая а радиус сходимости R Замечание Как видно из приведенных примеров интервал сходимости ряда можно находить применяя непосредственно признак Даламбера или признак Коши к ряду составленному из абсолютных величин членов исходного ряда Кроме того радиус сходимости степенного ряда можно определить по одной из формул при условии что этот предел конечный или бесконечный) существует): R lim или R lim Пример Исследовать сходимость ряда! ) lim! )! )! )! ) Решение В данном случае! )! значит R lim! lim )! lim Следовательно ряд сходится только в точке в центре ряда) Пример Найти промежуток сходимости ряда 6 ) Решение В этом степенном ряде все коэффициенты с нечетными индексами равны нулю:

43 ) если если четное нечетное Поэтому непосредственно формулы ) применить нельзя Однако если положить t то получим степенной ряд t t t к которому эти формулы уже применимы Для этого ряда ) ) ) ) R lim lim ) ) ) То есть ряд по степеням t сходится при t Следовательно исходный ряд сходится если Исследуем ряд на концах интервала сходимости Полагая получаем числовой ряд ) Для этого ряда предел общего члена не равен нулю: lim ) следовательно при ряд расходится Итак область сходимости данного ряда Пример 6 Исследовать сходимость ряда! ) / Решение Применим непосредственно признак Даламбера полагая ) / ) ) / u u где заметим что при ряд сходится)! )! получим: u u lim u u при при

44 Следовательно ряд сходится если те его областью сходимости является отрезок [ ] Свойства степенных рядов Степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке содержащемся в его промежутке сходимости Сумма степенного ряда непрерывна во всех точках его промежутка сходимости Степенной ряд ) ) ) R ) R можно почленно дифференцировать внутри его промежутка сходимости Причем полученный почленным дифференцированием ряд ) ) имеет тот же радиус сходимости что и исходный ряд и его сумма равна производной от суммы исходного ряда То есть если R ) R S ) ) то ) S ) для ) Степенной ряд можно почленно интегрировать по любому отрезку содержащемуся внутри промежутка сходимости ряда Причем полученный почленным интегрированием по отрезку с концами и где R R ) ) ряд имеет тот же радиус сходимости что и исходный ряд и его сумма равна интегралу от суммы исходного ряда То есть если R ) R S ) ) то ) S ) d для Операцию почленного дифференцирования и интегрирования можно произвести над степенным рядом сколько угодно раз

45 Замечание При интегрировании и дифференцировании степенного ряда внутри интервала сходимости радиус сходимости R не меняется однако на концах интервала сходимость может измениться Упражнения к Найти интервалы сходимости степенных рядов и исследовать поведение рядов в концах интервала сходимости а) ) в) г)! д) ) ) е) l ) ж) з)!) )! и)! к) ) ) л) ) ) м) ) ) н) ) ) ) о) ) п) ) р) ) 9 с) ) т) ) ) 6 Исходя из соотношения d найти сумму ряда: ) ) а) 7 9 Исходя из соотношения d найти сумму ряда: Исходя из равенства найти сумму ряда:

46 ) а) 6 Разложение функций в степенные ряды Ряд Тейлора Ряд Маклорена Пусть функция f ) бесконечно дифференцируема в окрестности точки то есть в некотором интервале R ) Тогда ей можно поставить в соответствие ряд: R ) f ) f ) f ) f ) ~ f ) ) ) )!!! Этот ряд называется рядом Тейлора функции f ) с центром в точке или по степеням ) ) То есть ряд Тейлора это степенной ряд коэффициенты которого вычисляются по данной функции Теорема о единственности разложения функции в степенной ряд) Если функция f ) раскладывается в степенной ряд f ) ) ) ) то это разложение единственно формулам: 6 R ) R Доказывается что в этом случае коэффициенты ряда вычисляются по f ) )! ) То есть если функция является суммой некоторого степенного ряда то этот ряд является ее рядом Тейлора в окрестности данной точки R Разность f ) ) ) f ) f ) ) )! f )! f ) называют -ым остаточным членом ряда Тейлора Этот остаточный член может быть представлен в виде! )

47 f c) )! ) R ) ) где с некоторое число заключенное между и х Отметим что ряд Тейлора может: ) расходиться всюду кроме точки х=х ) сходиться но не к исходной функции f) а к какой-нибудь другой функции то есть сумма ряда не совпадает с f )) ) сходиться к исходной функции f) Бесконечная дифференцируемость функции f) в точке х является необходимым условием разложимости функции в ряд Тейлора в окрестности этой точки но не является достаточным условием Следующая теорема дает условие сходимости ряда к своей функции Теорема необходимое и достаточное условие сходимости ряда Тейлора к той функции для которой он составлен) Пусть функция f ) бесконечно дифференцируема в интервале R ) Для того чтобы ряд R Тейлора сходился на интервале R ) и имел своей суммой функцию R f ) необходимо и достаточно чтобы lim ) интервала То есть при выполнении условий теоремы R для всех х из этого ) f ) f ) f ) f ) f ) ) ) )!!! на интервале R ) R Теорема достаточное условие сходимости ряда Тейлора к своей функции) Если в некотором интервале содержащем точку при любом выполняется неравенство f ) ) M где M положительная постоянная то функция f ) разложима в ряд Тейлора в окрестности точки Нетрудно показать что в этом случае lim ) ) При ряд Тейлора называют рядом Маклорена: 7 R

48 Маклорена f ) f ) f )! f )! f ) )! Приведем разложения некоторых элементарных функций в ряд Показательная функция: e!!! Тригонометрические функции: cos!! 6 6! ) )! si!! 7 7! ) )! Логарифмическая функция: l ) ) Арктангенс: rctg 7 7 ) Степенная функция биномиальное разложение): ) m m! m m! ) m m ) m! ) Отметим что последнее разложение имеет место и при если m а если m то еще при Замечание Если m - натуральное число то при любом х все члены ряда начиная с m равны нулю Поэтому ряд Маклорена содержит конечное число членов и сходится при всех х Получается формула бинома Ньютона: или ) )! 8

49 k k ) C где k! C k биномиальные коэффициенты k! k)! Пример Разложить в ряд по степеням функцию f ) : Решение способ Найдем значения функции и ее производных при f ) f ) f ) l f ) l l f ) l f ) l l ) ) f ) l f ) l Так как l то при фиксированном имеет место неравенство ) f ) для любого Следовательно функция может быть представлена в виде суммы ряда Маклорена: l l! l! l! f ) способ Это разложение можно было бы получить и иначе заметив что l l e e и воспользовавшись разложением в ряд Маклорена функции e : e!!! В этом разложении достаточно заменить на l Тогда e l l l! l! l! Пример Разложить в ряд по степеням функцию f ) si Решение Воспользуемся тем что si cos ) и заменим cos его разложением в степенной ряд: 9

50 cos )! )! ) 6! 6 ) ) )! Тогда cos) )! )! ) 6! 6 ) ) )! )! )! ) 6! 6 ) ) )! то есть si 6 )!! 6! )! Пример Разложить e в ряд по степеням х Решение В разложении e!!! заменим на получим e!! 6! 8! )! Пример Разложить l в ряд по степеням Решение В разложении l ) ) заменим на ) получим: l ) ) l ) )) ) где то есть ) ) ) Пример Разложить в ряд по степеням ) функцию Решение Воспользуемся равенством Правую часть ) этого равенства можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей

51 геометрической прогрессии с первым членом q ) где q ) Тогда и знаменателем то есть ) 8 ) где то есть 6 ) ) ) ) Упражнения к Найти первые пять членов ряда Тейлора для данных функций в окрестности точки : а) f ) l e ) f cos ) e в) f ) l cos г) f ) cos Разложить функцию f ) в ряд Маклорена Указать область сходимости полученного ряда к этой функции: а) f ) e f ) e в) ) cos ) f l ) г) f ) cos д) f ) l ) е) f ) ж) f ) tg) cos з) f ) l ) и) f ) к) f ) л) f ) 8 м) f )

52 н) f ) о) f ) п) f ) р) f ) с) f ) l ) Разложить функцию f ) в ряд Тейлора в окрестности указанной точки Указать область сходимости полученного ряда к этой функции: а) f ) e f ) в) f ) г) f ) 7 д) f ) si е) ж) f ) l ) f ) cos з) f ) Применяя дифференцирование разложить данные функции в ряд по степеням х: а) f ) )l ) f ) rctg в) f ) l ) г) f ) rcsi д) f ) rcsi е) rcsi f ) Функцию f ) l разложить в ряд Маклорена: а) используя разложение функции f ) l ) б) исходя из соотношения l d Укажите интервал сходимости полученного ряда

53 6 Применяя различные методы найти разложение в ряд Маклорена следующих функций: а) f ) rctg l ) rccos ) f в) f ) l rctg пределы: 7 Пользуясь разложением функций в ряд Маклорена вычислить l а) lim ) tg si lim ) в) l lim ) e l ) ) г) lim l д) lim ctg е) ctg lim cos ж) lim si si з) lim cos ) 8 Пользуясь разложением функции в ряд Тейлора найти значение: а) седьмой производной от функции f ) при б) пятой производной от функции f ) при в) десятой производной от функции f 6 ) e при

54 Приближенные вычисления с помощью степенных рядов Вычисление значений функции Для выполнения приближенных значений используют разложения в степенные ряды функций e m si cos ) l ) rctg Для вычисления приближенного значения функции f ) в ее разложении в степенной ряд сохраняют первые членов а остальные члены отбрасываются Для оценки погрешности найденного приближенного значения нужно оценить сумму отброшенных членов Если данный ряд знакопостоянный то ряд составленный из отброшенных членов сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией или можно оценить остаточный член формулы Тейлора) В случае знакопеременного ряда члены которого удовлетворяют признаку Лейбница используется оценка R где u - первый из отброшенных членов ряда Пример Оценить погрешность приближенного равенства u e!!! Решение В данном случае R! ) ) ) ) ) Заменив каждый из сомножителей в знаменателе меньшей величиной получим R! ) ) Просуммируем бесконечно убывающую так как по условию ) геометрическую прогрессию Получим: R! / / ) R!

55 при e Пример Вычислить e с точностью Решение Используя разложение получим e! e!! e в ряд:!! Определим число так чтобы погрешность приближенного равенства!!!! оценкой погрешности данной в предыдущем примере не превышала Воспользуемся / Полагаем / тогда R то есть R! /! Путем подбора определим при каком значении будет выполняться неравенство R Полагая например получаем R /8 6 7) те R / 6 Пусть R / ) те R / Пусть наконец 6 R /6 7 ) те R Итак принимаем 6: 6 e тогда e 6879 Каждое 6!!!!! 6! слагаемое вычислено с точностью погрешности превышающей e 687 Пример Пользуясь разложением точностью Решение Разложение в ряд Маклорена функции 6 6 чтобы при суммировании не получить Тогда с точностью до cos в ряд вычислить cos имеет вид cos 8 с

56 cos!! 6 6! ) )! Тогда cos8 cos!! 6! Достаточно взять три члена ряда так как для знакочередующегося ряда модуль остатка не превышает модуля первого члена остатка а уже 6! 6 Тогда с точностью cos Пример Вычислить с точностью Решение Разложение в ряд Маклорена функции m ) : ) m m! m m! ) m m ) m! ) справедливо лишь при Поэтому преобразуем подкоренное выражение следующим образом: ) является ближайшим к числу кубом целого числа поэтому целесообразно число представить в виде суммы именно этих двух слагаемых) Теперь можно воспользоваться приведенным разложением положив в нем m и : ) / )/! ) 6 / ) /)! / ) 6 6

57 9 8 8 Четвертый член меньше поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить Итак с точностью Пример Вычислить l с точностью Решение Воспользуемся разложением l ) в ряд: l ) ) где положим Получим: l l ) или l 8 Уже третье слагаемое по модулю меньше поэтому его и следующие за ним члены ряда можно отбросить учитываем что это знакочередующийся ряд) Тогда с точностью l 9 Вычисление интегралов Так как степенные ряды сходятся равномерно на любом отрезке содержащемся внутри их интервала сходимости то с помощью разложений функций в степенные ряды можно находить неопределенные интегралы в виде степенных рядов и приближенно вычислять значения определенных интегралов Пример 6 Вычислить значение интеграла e d с точностью Решение Воспользуемся разложением в ряд Маклорена функции e : e!!! где заменим х на х Получим: 7

58 e d!! 6! )! d = 7 )!!!7!!! Это знакочередующийся ряд Поэтому чтобы вычислить значение интеграла с точностью нужно чтобы модуль первого из отбрасываемых членов был меньше!7 Вычисляя значения дробей с точностью до - получим: 7 ) e d То есть модуль четвертого члена ряда 7!7 поэтому взяв первые три члена ряда получим: e d 9 с точностью Упражнения к Вычислить указанную величину с заданной степенью точности воспользовавшись разложением соответствующей функции в ряд Маклорена: а) e e в) г) e e д) si е) si ж) cos 9 з) и) 7 к) 7 л) м) l 8

59 н) l о) l п) l р) lg e в последних трех заданиях воспользуйтесь разложением в ряд Маклорена функции f ) l ) Выяснить происхождение приближенной формулы ) вычислите с ее помощью положив и оцените допущенную при этом ошибку При каких значениях х приближенная формула ошибку не превышающую??? cos дает При каких значениях х приближенная формула si дает ошибку не превышающую?? Вычислить приближенное значение определенных интегралов взяв указанное число членов разложения подынтегральной функции в ряд Указать допущенную при этом погрешность а) cos d три члена) d два члена) в) rctgd два члена) г) 6 cos d два члена) д) e d шесть членов) 9

60 6 Вычислить интегралы с точностью : а) 8 si d d в) rctg d г) e d д) l d е) e d ж) d сделайте замену t ) Индивидуальные задания по теме Функциональные ряды Задание Для степенного ряда определить радиус и интервал сходимости исследовать поведение ряда в граничных точках интервала сходимости а) ) ) а) ) а) ) а) )! а) 6 а) ) ) 7 а) ) ) ) )

61 8 а) )! ) 9 а) ) а) 6 6 6) а) ) ) а) ) ) а)! ) а) ) ) а) ) ) 6 а) ) l )) ) ) 7 а) ) 8 а) )! ) 9 а) 7 ) ) а) ) l ) а)! ) ) 6

62 а) ) а) ) ) а) si ) а) ) ) ) l ) Задание Разложить функцию f ) в ряд Тейлора по степеням f ) = f ) = f = ) e ) ) e ) f = l ) f ) = l ) 6 f ) = 6 7 f ) = 6 8 f ) = 6 9 f ) = ) 8 6 si f = cos rctg f ) = ) f = )si f ) = l ) f ) = l 6 ) f ) = 7 6 f ) = 7 7 f ) = 6 f = si 9 ) f ) = 7 8 f ) = ) ) f = cos f = l 6 ) 6

63 f ) = 7 f ) = f ) = 9 Задание Вычислить указанную величину приближенно с точностью до пользуясь разложением в ряд Маклорена соответствующей функции а) е si 7 а) e l а) а) si 9 б) 9 si 6 б) l 7 а) 6 6 а) 9 7 а) l 98 cos si 8 e 8 а) l 78 9 а) l 6 78 а) l 7 а) 6 e l а) e а) e cos 89 si 79 а) 7 e l 9 а) l 9 e 6 а) 7 а) 8 а) cos 7 e si 7 cos 6 9 а) l 7 6

64 а) а) l 7 si 8 e а) l 66 а) а) cos 9 9 si а) l Задание Вычислить приближенно определенный интеграл используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд и почленное интегрирование полученного ряда Результат должен быть получен с точностью до si d si d cos d cos d 8 l d 6 l ) d 7 e d 8 6 e d 9 si d rctg d l ) d 6 si 6 d d 8 si d e d 6 8 l d 6

65 7 d 8 e d 9 e d cos d 7 cos d 6 e d 8 l d rctg d cos d 6

66 ГЛАВА РЯДЫ ФУРЬЕ Тригонометрические ряды то есть ряд Тригонометрическим рядом называется ряд вида cos b si cos cos b b si si ) cos b si где b b b действительные числа их называют коэффициентами тригонометрического ряда В отличие от степенного ряда где разложение было по функциям рассматривается разложение по тригонометрическим функциям cos si cos si cos si ) Все функции этой системы являются периодическими с периодом Значит и любая частичная сумма ряда ) является периодической функцией с периодом Следовательно если тригонометрический ряд сходится на отрезке [ ] то он сходится на всей числовой прямой и его сумма является периодической функцией с периодом ) Поэтому тригонометрические ряды особенно удобны при изучении периодических функций описывающих различные периодические процессы Например колебательные и вращательные движения деталей машин и приборов периодическое движение небесных тел и элементарных частиц электромагнитные и акустические колебания и тд Отметим также что система функций ) является ортогональной на отрезке [ ] То есть интеграл по отрезку [ ] от любых двух различных 66

67 функций этой системы равен нулю а интеграл по этому отрезку от квадрата любой функции этой системы отличен от нуля Тригонометрический ряд Фурье Понятие тригонометрического ряда Фурье Его сходимость Пусть функция f ) определена и интегрируема на отрезке [ ] Определение Тригонометрическим рядом Фурье функции f ) называется ряд cos коэффициенты которого определяются по формулам: f ) d b si ) f ) cos d ) b f ) si d ) Коэффициенты ряда Фурье b b b называют коэффициентами Фурье Если тригонометрический ряд Фурье сходится то его сумма S ) есть периодическая функция с периодом те S ) S ) Теорема Пусть функция f ) и ее производная f ) непрерывны на отрезке [ ] или имеют на нем конечное число точек разрыва -го рода Тогда ряд Фурье этой функции сходится в каждой точке отрезка [ ] Причем относительно суммы S ) этого ряда можно утверждать следующее: ) S ) f ) во всех точках непрерывности функции f ) лежащих внутри отрезка [ ] 67

68 ) f ) f ) S ) если - точка разрыва -го рода функции f ) где f ) lim f ) f ) lim f ) ) f ) f ) S ) на концах отрезка те при Замечание В частности если функция непрерывна на отрезке [ ] и имеет внутри этого отрезка ограниченную производную то эта функция раскладывается в ряд Фурье внутри этого отрезка то есть f ) cos b si ) если ) Ряды Фурье для четных и нечетных функций В случае когда функция f ) определенная на отрезке [ ] является четной все ее коэффициенты Фурье ) То есть её ряд Фурье содержит b только свободный член и косинусы: где d f ) f ) ~ cos f )cosd ) ) В случае когда функция f ) определенная на отрезке [ ] является нечетной все ее коэффициенты Фурье ) То есть её ряд Фурье содержит только синусы: где f ) ~ b si b f )si d ) ) Формулы ) и ) позволяют упростить вычисление коэффициентов Фурье в случае когда данная функция является четной или нечетной 68

69 Ряд Фурье с периодом l Пусть функция f ) задана на отрезке [ l l] где l - произвольное положительное число Введем новую переменную то есть l ) и рассмотрим функцию l l ) f определенную на отрезке [ ] так как если [ l l] то [ ]) Предположим что эту функцию можно разложить в ряд Фурье на отрезке [ ] : где ) cos ) d ) cos d b si ) ) b ) si d ) Вернемся к исходной переменной : где l 69 l f ) cos b si l l d d Получим l l l l f ) d f )cos d b f )si d ) l l l l l l l Таким образом если функция f ) задана на отрезке [ l l] l где l произвольное положительное число то функция f ) может быть представлена в виде суммы ряда Фурье при условии что она непрерывна и имеет внутри этого отрезка ограниченную производную): где f ) cos b si l l l l l f ) d f )cos d b f )si d ) l l l l l l l l

70 В случае когда f )- четная функция её ряд Фурье содержит только свободный член и косинусы те где синусы те где l l ) f d f ) cos l l l f )cos d l ) В случае когда f )- нечетная функция её ряд Фурье содержит только b l l f )si f ) b si l d l ) Если функция f ) задана на отрезке [ l ] то для разложения в ряд Фурье достаточно доопределить ее на промежутке [ l ) Наиболее целесообразно функцию доопределить так чтобы ее значения в точках промежутка [ l ) находились из условия f ) f ) или f ) f ) В первом случае функция f ) на отрезке [ l l] будет четной а во втором нечетной При этом коэффициенте разложения такой функции и в первом случае и b - во втором) можно определить по приведенным формулам для коэффициентов четных и нечетных функций Пример Разложить в ряд Фурье на отрезке [ ] функцию f ) Пользуясь разложением вычислить сумму ряда ) Решение Функция непрерывна на отрезке [ ] а ее производная 7

71 f ) имеет на этом отрезке единственную точку разрыва -го рода ) y y y=f) π y=f ) Поэтому внутри отрезка ряд Фурье будет сходиться к самой функции а в точках к числу f ) f ) Вычислим коэффициенты ряда Фурье: f ) d f ) d f ) d d d f )cos d si si d cos d u du d dv cos d v cos cos d cos ) si если k k если k ) k ) b f )si d si d u dv du d si d v si d cos cos cosd cos si cos 7

72 ) Тогда ) f ) ) cos ) cos si ) а при имеем: cos ) cos или ) ) Откуда получим 8 ) Пример Разложить в ряд Фурье функцию f ) cos Пользуясь этим разложением вычислить суммы рядов ) Решение Функция f ) cos имеет период и y Она непрерывна на отрезке производную на интервале и имеет непрерывную ограниченную Поэтому ее можно разложить на этом 7

73 отрезке в ряд Фурье Причем функция f ) cos является четной поэтому ее коэффициенты вычисляются по формулам b ) f ) d cos d si f )cos d cos cos d cos ) cos ) ) d si ) si ) si ) si ) si si ) ) ) ) ) ) Учитывая что f f получим что для всех справедливо равенство cos ) cos Полагая в найденном разложении получим: ) ) то есть откуда Полагая получим: ) ) ) 7

74 Пример Разложить в ряд по синусам функцию f ) на промежутке [ ) Решение Задача состоит в том чтобы разложить в ряд Фурье нечетную периодическую функцию с периодом которая на промежутке [ ) совпадает с данной функцией Продолжим функцию y нечетным образом на промежуток ) а затем с промежутка ) продолжим периодически с периодом на всю числовую прямую: y π Так как требуется разложить функцию в ряд по синусам то ) b f )si d u du d si d dv si d v si d cos cos cosd cos si cos ) Тогда разложение в ряд по синусам функции y на промежутке [ ) будет иметь вид: ) si 7

75 Упражнения к главе Разложить в ряд Фурье функцию y si Разложить в ряд Фурье функцию y на отрезке ] [ С помощью полученного ряда вычислить суммы рядов: S ) S Разложить в ряд Фурье функцию y на интервале ) Разложить в ряд Фурье по синусам функцию y на интервале ) Разложить функцию f ) в ряд Фурье на интервале ) Построить график функции и график суммы полученного ряда Фурье 6 Разложить функцию f ) в ряд Фурье 7 Разложить в ряд Фурье функцию f ) 8 Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию h f ) h ) h 9 Не выписывая ряда Фурье функции f ) найти значения суммы этого ряда в точках 7

76 Найти ряд Фурье для функции f ) cos В каких точках сумма ряда Фурье не совпадает со значениями функции? Чему равна сумма ряда Фурье в этих точках? Найти ряд Фурье для функции f ) Как нужно переопределить функцию чтобы ее ряд Фурье сходился уже к ней во всех точках рассматриваемого промежутка? Разложить в ряд Фурье функцию f ) Разложить в ряд Фурье функцию f ) e в интервале ) Разложить в ряд Фурье функцию Разложить в ряд Фурье функцию f ) cos в интервале ) f ) si в интервале ) 6 Разложить в ряд Фурье функцию график которой изображен на рисунке: y рисунках: 7 Разложить в ряд Фурье функции графики которой изображены на 76

77 y y 8 Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию [ ] y в промежутке ) 9 Разложить в ряд Фурье по синусам функцию y cos в промежутке Разложить в ряд Фурье функцию y заданную на отрезке [ ] продолжив ее на отрезок [ ] : а) четным образом нечетным образом 77

78 Индивидуальные задания по теме Ряды Фурье Задание Разложить функцию f ) в указанном промежутке в ряд Фурье Воспользовавшись полученным разложением найти сумму указанного числового ряда f ) [ ] по косинусам ) f ) ) f ) ) ) f ) ) f ) ) 6 f ) ) ) 7 f ) ) 8 f ) ) 9 f ) ) 78

79 79 ) f ) ) f ) ) f ) f ) ) f ) ) ) ) f ) ) 6 f ) ) 7 f ) ) 8 f ) ) 9 ) f ) f ) ] [ ) f ) )

80 f ) ) f ) ) f ) ) f ) ) Задание Представить периодическую функцию f ) заданную на промежутке [ l ] рядом Фурье по синусам или косинусам Построить график функции и график суммы полученного ряда Фурье si / f ) по косинусам) / 6 f ) / cos / по синусам) f ) / si / по косинусам) f ) / cos / по синусам) f ) / si / по косинусам) cos / f ) по синусам) / 8

81 / f ) по косинусам) cos / / f ) по синусам) si / / f ) по косинусам) si / f ) / si / по синусам) f ) 6 6 по синусам) f ) по косинусам) f ) по синусам) f ) по косинусам) f ) по синусам) f ) 6 6 по косинусам) f ) 6 6 по синусам) f ) 8 по косинусам) f ) по синусам) f ) по косинусам) 6 8

82 f ) / cos / по косинусам) f ) 6 6 по синусам) f ) по синусам) f ) по синусам) / f ) по синусам) cos / Литература Берман ГН Сборник задач по курсу математического анализа М: Наука 977 Данко ПЕ Попов АГ Кожевникова ТЯ Высшая математика в упражнениях и задачах М: Высшая школа 98 Задачник по курсу математического анализа Часть II / под ред НЯВиленкина М: Просвещение 97 Кузнецов ЛА Сборник заданий по высшей математике М: Высшая школа 99 Сборник индивидуальных заданий по высшей математике Часть / под ред АПРябушко Минск: Высшая школа 6 6 Шипачев ВС Высшая математика М: Высшая школа 8

83 Содержание Глава Числовые ряды Понятие числового ряда Сумма ряда Упражнения к Основные теоремы о сходящихся числовых рядах 7 Упражнения к 9 Признаки сходимости рядов с положительными членами Упражнения к Знакочередующиеся ряды Знакопеременные ряды 8 Упражнения к Индивидуальные задания по теме Числовые ряды Глава Функциональные ряды Основные понятия Равномерная сходимость функционального ряда Упражнения к и 8 Степенные ряды Упражнения к Разложение функций в степенные ряды Ряд Тейлора Ряд Маклорена 6 Упражнения к Приближенные вычисления с помощью степенных рядов Упражнения к 8 Индивидуальные задания по теме Функциональные ряды 6 Глава Ряды Фурье Тригонометрические ряды 66 Тригонометрический ряд Фурье 67 Упражнения к главе 7 Индивидуальные задания по теме Ряды Фурье 78 Литература 8 8

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

Математический анализ Ряды

Математический анализ Ряды Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения Математический анализ Ряды Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида ХVIII Ряды Понятие о числовом ряде Числовым рядом называется выражение вида (8) где,, 3, некоторые числа, называемые членами ряда Если п произвольный (текущий) номер, то число а п называют общим членом

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ВН Алексеев, ДА Приказчиков, ВВ Ридель РЯДЫ Утверждено редакционно-издательским советом РОАТ в качестве учебного пособия РОАТ Москва 9 5 УДК 575(75)

Подробнее

Р.Б. КАРАСЕВА Р Я Д Ы

Р.Б. КАРАСЕВА Р Я Д Ы РБ КАРАСЕВА Р Я Д Ы Омск Министерство образования и науки РФ ГОУ ВПО «Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)» РБКарасева Р Я Д Ы Учебное пособие Омск СибАДИ УДК ББК К Рецензенты:

Подробнее

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров, ОА Кузнецова РЯДЫ Учебно-методическое пособие Тольятти ТГУ 9 РЯДЫ РЯДЫ u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров,

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЕВ Небогина, ОС Афанасьева РЯДЫ ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Самара 9 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ

Подробнее

Теория рядов 1. Теория рядов

Теория рядов 1. Теория рядов Теория рядов 1 Теория рядов ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Решение задачи представленной в математических терминах например в виде комбинации различных функций их производных и интегралов нужно уметь довести до числа

Подробнее

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ. Кафедра «Математика»

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ. Кафедра «Математика» ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Математика» Учебно-методическое пособие по дисциплине «Математика» «Ряды Часть II» Авторы

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

6. Ряды Фурье Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Функции ϕ (x)

6. Ряды Фурье Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Функции ϕ (x) 6 Ряды Фурье 6 Ортогональные системы функций Ряд Фурье по ортогональной системе функций Функции ϕ () и ψ (), определенные и интегрируемые на отрезке [, ], называются ортогональными на этом отрезке, если

Подробнее

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент.

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Рязанский государственный университет им СА Есенина» ЛГ Насыхова, МТ Терехин ЧИСЛОВЫЕ

Подробнее

a......, a,... называют членами...

a......, a,... называют членами... РЯДЫ Числовые ряды Основные понятия числового Пусть дана последовательность вещественных или комплексных чисел Числовым рядом называется сумма всех членов числовой последовательности: Числа,,,, называют

Подробнее

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики И В Прусова Н А Кондратьева Н К Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Демина ЕЛ, Демин СЕ РЯДЫ г Нижний Тагил 00 Предисловие В настоящем

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

3 РЯДЫ Хабаровск 2004

3 РЯДЫ Хабаровск 2004 РЯДЫ Хабаровск 4 4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Числовым рядом называется выражение, где,,, числа, которые образуют бесконечную числовую последовательность, общий член ряда, где N ( N множество натуральных чисел) Пример

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ И М Аксененкова ТР Игонина ОА Малыгина НС Чекалкин АГ Шухов Редактор: НС Чекалкин Математический анализ семестр

Подробнее

Тема: Степенные ряды.

Тема: Степенные ряды. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд Лектор Рожкова С.В. 3 г. 34. Степенные ряды Степенным рядом рядом по степеням называется

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16.1. Рассмотрим произвольное множество X и последовательность функций f, определенных на X. Говорят, что последовательность f сходится поточечно

Подробнее

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ПРОГРАММА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Часть IV для студентов уровня ВО заочной формы обучения специальности 45 «Сети

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет»

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО РАЗДЕЛУ «РЯДЫ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ

Подробнее

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда u ; u числа, числовой ряд; u числа по изменению знаков членов ряда знакопостоянные знакоположительные знакопеременные знакочередующиеся k= u степенные u ; u функции, функциональный ряд u функции по классам

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

1.8. Общие функциональные ряды

1.8. Общие функциональные ряды Лекция. Степенные ряды. Гармонический анализ; ряды и преобразование Фурье. Свойство ортогональности.8. Общие функциональные ряды.8.. Уклонение функций Ряд U + U + U называется функциональным, если его

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ИНСТИТУТ

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А.

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А. РЯДЫ ФУРЬЕ Автор-составитель: доцент каф ВМ Цапаева СА Великий Новгород ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ГАРМОНИК Определение Гармониками называются комплекснозначные функции вида iω ( ) e, где действительная переменная,

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ АДЫГЕЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК ЗАМЯТИН ВН ШАОВА СМ ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие Майкоп УДК 7(78) ББК 6Я7-6 Печатается по решению

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Министерство образования Российской Федерации МАТИ Российский государственный технологический университет им.к.э.циолковского Кафедра «Высшая математика» ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Варианты курсовых

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации. МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. К. Э.

Министерство образования Российской Федерации. МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. К. Э. Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика РЯДЫ Методические указания к курсовой работе Составитель:

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

Сходимость знакопеременных числовых рядов

Сходимость знакопеременных числовых рядов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Сходимость знакопеременных числовых рядов Числовой ряд u, в котором имеется бесконечно много как положительных, так = и отрицательных элементов, называется числовым рядом с произвольными

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения» Кафедра «Высшая и прикладная математика» И

Подробнее

РЯДЫ. Учебное пособие

РЯДЫ. Учебное пособие РЯДЫ Учебное пособие Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б Н Ельцина Ряды Учебное пособие Рекомендовано методическим

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Глава III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ 3.1. Двойные интегралы

Глава III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ 3.1. Двойные интегралы Глава III ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ Двойные интегралы ЛИТЕРАТУРА: [], гл; [], глii; [9], гл XII, 6 Для решения задач по этой теме необходимо,

Подробнее

Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, Н. Н. Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, Н. Н. Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Т А Матвеева, В Б Светличная, Н Н Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Волгоград 00 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

1.Разложение аналитической функции в степенной ряд.

1.Разложение аналитической функции в степенной ряд. ЛЕКЦИЯ N37. Ряды аналитических функций. Разложение аналитической функции в степенной ряд. Ряд Тейлора. Ряд Лорана..Разложение аналитической функции в степенной ряд.....ряд Тейлора.... 3.Разложение аналитической

Подробнее

Нижнетагильский технологический институт (филиал) Ряды

Нижнетагильский технологический институт (филиал) Ряды Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента России

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие Российский Университет Дружбы Народов Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды Учебно-методическое пособие Москва 205 Аннотация Учебное пособие знакомит студентов с основными понятиями, методами доказательств

Подробнее

Лекция 1. Функциональные ряды

Лекция 1. Функциональные ряды С А Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция Функциональные ряды Понятие функционального ряда Ранее мы изучали числовые ряды, т е членами ряда были числа Сейчас мы переходим к изучению функциональных рядов, т

Подробнее

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд 3. Признаки сходимости знакопеременных рядов Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд Ряд u, не являющийся знакоположительным или знакоотрицательным

Подробнее