Тригонометрические ряды Фурье

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Тригонометрические ряды Фурье"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Тригонометрические ряды Фурье Методические указания для практических занятий Новокузнецк 1

2 УДК 517.5(7) Т 67 Рецензент доктор физико-математических наук, доцент кафедры физики имени профессора В.М. Финкеля СибГИУ Коваленко В.В. Т 67 Тригонометрические ряды Фурье : метод. указ. / Сиб. гос. индустр. ун-т ; сост. М.С. Волошина. Новокузнецк : Изд. центр СибГИУ, 1. с. Изложена краткая теория, рассмотрены примеры разложения различных видов функций в тригонометрические ряды Фурье, приведены задания для самостоятельного решения с ответами. Предназначены для студентов всех специальностей и направлений подготовки. Печатается по решению Совета Института фундаментального образования

3 Теоретические сведения 1. Разложение в ряд Фурье функции с периодом Функциональный ряд называется тригонометрическим, если членами ряда являются синусы и косинусы от целых кратных значений аргумента, т.е. ряд вида a a1cos x b1si x... acos x bsi x... (1) Постоянные числа a, a1, a,..., b1, b, b,... называются коэффициентами тригонометрического ряда. Тригонометрический ряд принято записывать так: a ( acos x bsi x). () 1 Рассмотрим функцию f( x ), которая является периодической с периодом. Рядом Фурье для функции f( x ) называется тригонометрический ряд (), коэффициенты которого определяются по следующим формулам Фурье: 1 a f ( x)cos xdx,, 1,,..., () 1 b f ( x)si xdx, 1,,... () Коэффициенты a и b, найденные с помощью формул () и (), называются коэффициентами Фурье. Для определения a пользуются формулой, полученной из () при :

4 a 1 f ( x) dx. (5) Таким образом, если задана периодическая функция с периодом, то, пользуясь формулами Фурье, можно для данной функции составить ряд Фурье. Условно этот ряд записывают так: a f ( x) ( acos x bsi x). 1 Чтобы составленный ряд Фурье был сходящимся, и чтобы его сумма была равна f( x ), заданная функция f( x ) на отрезке, должна удовлетворять определенным условиям. Условия разложимости функции в ряд Фурье определяются следующей теоремой. Теорема 1. Если периодическая функция f( x ) с периодом на отрезке, непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и если отрезок, можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция f( x ) монотонна, то ряд Фурье, составленный для функции f( x ), сходится при всех значениях x. При этом сумма полученного ряда равна значению функции f( x ) в точках непрерывности функции. В точках разрыва функции f( x ) сумма ряда равна среднему арифметическому пределов функции f( x ) слева и справа, т.е., если x 1 есть точка разрыва функции f( x ), то сумма ряда в этой точке равна im f ( x) im f ( x) xx1 xx1. Если выполняются условия теоремы, то знак соответствия можно заменить знаком равенства, т.е. в этом случае пишут: a f ( x) ( acos x bsi x). 1. Ряды Фурье для четных и нечетных функций с периодом Если разлагаемая в ряд Фурье функция f( x ) является нечетной, то функция f ( x) cos x, стоящая под знаком интеграла в формуле (), также является нечетной функцией. Так как определенный интеграл с

5 противоположными пределами от нечетной непрерывной функции равен нулю, то получаем a. Если f( x ) нечетная функция, то функция f ( x) si x, стоящая под знаком интеграла в формуле (), есть четная функция. Поэтому формулу () можно переписать так: b f ( x)si xdx. Таким образом, если разлагаемая в ряд Фурье функция является нечетной, то для определения коэффициентов пользуются следующими формулами: a ; b f ( x)si xdx. (6) Как видно, ряд Фурье для нечетной функции не содержит косинусов и свободного члена.. Ряды Фурье для функции с любым периодом Пусть функция f( x ) является периодической, но ее период равен не, а, где любое положительное число. Чтобы разложить функцию f( x ) в ряд Фурье, введем новую переменную t, полагая x t. (А) Из введенной подстановки (А) видно, что при изменении переменной x от до переменная t будет изменяться от до. Следовательно, функция f t является периодической функцией от переменной t с периодом. Такую функцию можно разложить в ряд Фурье: a f t ( acos t bsi t), (7) 1 где 1 a f t dt ; (8) 5

6 1 a f t costdt ; (9) 1 b f t si tdt. (1) Теперь снова перейдем к переменной x. Так как x t, то t x и dt dx. Заменив в формулах (7)-(1) t и dt, получим: a f ( x) acos x bsi x 1, (11) где a 1 f ( x) dx; (1) 1 a f ( x)cos xdx ; (1) 1 b f ( x)si xdx. (1) Итак, разложение в ряд Фурье функции f( x ) с периодом имеет вид формулы (11), а для вычисления коэффициентов Фурье применяют формулы (1)-(1). В частности, если разлагаемая в ряд Фурье функция f( x ) является нечетной, то коэффициенты Фурье вычисляются по формулам: a ; a ; b f ( x)si xdx. (15) Аналогично, если разлагаемая в ряд Фурье функция f( x ) является четной, то коэффициенты Фурье вычисляются по формулам: b ; a f ( x) dx; a f ( x)cos xdx. (16) 6

7 . Разложение в ряд Фурье непериодической функции, заданной на отрезке, Пусть функция f( x ) определена на отрезке, и на этом отрезке удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье. Можно тогда рассмотреть новую функцию Fx ( ) с периодом T, совпадающую с заданной функцией f( x ) на отрезке,. Так как функция Fx ( ) периодическая, то ее можно разложить в ряд Фурье. На заданном отрезке, она будет представлять функцию f( x ). Таким образом, разложение в ряд Фурье функции, заданной на отрезке (интервале), симметричном относительно начала координат, можно найти, разложив соответствующую периодическую функцию с периодом, равным длине этого отрезка. 5. Разложение в ряд Фурье функции, заданной на отрезке, Пусть функция f( x ) определена на отрезке, и удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье. Если график данной функции продолжить на отрезке, симметрично относительно оси ординат (рисунок 1), т.е. положить, что на отрезке, выполняется условие f ( x) f ( x), то на отрезке, получим четную функцию, которая может быть разложена в ряд Фурье. y - x Рисунок 1 Четное продолжение графика функции f( x ) 7

8 Полученное разложение будет содержать только косинусы кратных дуг и будет представлять данную функцию на заданном отрезке,. Если же график данной функции продолжить на отрезке, симметрично относительно начала координат (рисунок ), т.е. положить, что на отрезке, выполняется условие f ( x) f ( x), то на отрезке, получим нечетную функцию, которая может быть разложена в ряд Фурье. Найденное при этих условиях разложение будет представлять данную функцию на заданном отрезке, и будет содержать только синусы кратных дуг. y - x Рисунок Нечетное продолжение графика функции f( x ) Таким образом, если функция f( x ), заданная на отрезке,, удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, то ее можно разложить в ряд Фурье как по косинусам, так и по синусам. 6. Разложение в ряд Фурье функции, заданной на отрезке ab, Пусть функция f( x ) задана на отрезке, ab и на этом отрезке удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье (рисунок ). 8

9 f(x) F(x) x X a b Рисунок Перенос начала координат в точку а Чтобы разложить данную функцию в ряд, перенесем начало координат в точку а, т.е. положим, что x X a. Если теперь отрезок b a обозначить через, то получим функцию F( x) f ( X a) f ( x), заданную на отрезке,. Эту функцию можно разложить в ряд по синусам или по косинусам. Заменяя затем Х через x a, получим искомое разложение функции f( x ) на отрезке ab., Примеры решения задач на практическом занятии Пример 1. Найти разложение в ряд Фурье функции с периодом, заданной на отрезке, (рисунок ):, если x f( x), если x. 9

10 y x Рисунок График функции f( x ) Решение. Заданная функция f( x ) удовлетворяет условиям теоремы о разложимости в ряд Фурье, так как на отрезке, функция имеет одну точку разрыва первого рода (при x ), а во всех других точках этого отрезка она непрерывна. Следовательно, справедливо равенство: a f ( x) ( acos x bsi x). 1 Чтобы найти коэффициент a, применяем формулу (5): 1 1 a f ( x) dx ( ) dx dx 1 x x 1 ( ) 1. Теперь находим коэффициенты a по формуле (): 1 a ( )cos xdx cos xdx 1 si x si x. Пользуясь формулой (), определим коэффициенты b : 1

11 1 b ( )si xdx si xdx 1 cos x cos x 1 cos( ) cos 5 5 (1 cos ) si 1 при нечетном при четном. Подставив найденные коэффициенты, получим следующее разложение в ряд Фурье данной функции: f ( x) (si x six si5x si7 x...). 5 7 Полученное равенство справедливо при любом значении x, исключая точки разрыва x (,1,...), где сумма ряда равна 1, т.е. равна среднему арифметическому значению данной функции слева и справа от точки разрыва. Пример. Найти разложение в ряд Фурье функции с периодом, если эта функция задана аналитически так (рисунок 5): при x f( x) x при x. 11

12 y x Рисунок 5 График функции f( x ) Решение. Заданная функция f( x ) удовлетворяет условиям теоремы о разложимости в ряд Фурье. Определим коэффициенты Фурье: 1 1 ( x) a dx ( x) dx x 1 ; 1 a cos xdx ( x)cos xdx si x 1 ( x )cos xdx. Чтобы вычислить последний интеграл, воспользуемся формулой интегрирования по частям. si x Положим u x и dv cos xdx. Тогда du dx и v. Имеем: 1 si x si x a ( x) ( dx) 1

13 1 cos x 1 (1 cos ) при нечетном si при четном. 1 b si xdx ( x)si xdx cos x 1 ( x )si xdx 1 1 ( cos x) si x (1 cos ) ( x) 1 1 (1 cos ) 1 при нечетном 1 cos 1 при четном. Следовательно, разложение f( x ) в ряд Фурье имеет вид: cos x cosx cos5x f( x) si x si x si x Пример. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом f ( x) x (рисунок 6). 1

14 y x Рисунок 6 График функции f( x ) Решение. Так как данная функция является нечетной, то коэффициенты a. Пользуясь формулой (6), находим коэффициенты b : xcos x si x b xsi xdx ï ðè í å åò í î ì cos ï ðè åò í î ì. Следовательно, разложение в ряд Фурье данной функции имеет вид: f ( x) si x si x si x si x.... Если разлагаемая в ряд Фурье функция f( x ) является четной, то функция f ( x) si x, стоящая под знаком интеграла в формуле (), есть нечетная функция. Поэтому b. В этом случае функция f ( x) cos x четная функция и a f ( x)cos xdx. 1

15 Итак, если разлагаемая в ряд Фурье функция является четной, то для определения коэффициентов Фурье применяют формулы: a f ( x)cos xdx, (17) b. (18) Как видно, ряд Фурье для четной функции не содержит синусов. Пример. Разложить в ряд Фурье функцию f( x ) с периодом (рисунок 7): f ( x) x ; x. y - - x Рисунок 7 График функции f( x ) Решение. Заданная функция является четной. Следовательно, коэффициенты b. Определим a, положив в формуле (17): a x x dx. Пользуясь формулой (17), находим коэффициенты a : si x cos x si x a x cos xdx x x 15

16 cos. (При вычислении этого интеграла дважды использована формула интегрирования по частям). Итак, при нечетном a при четном. Следовательно, cos x cosx f ( x) x cos x.... Полученное равенство справедливо при любом x. В частности, при x получаем: Пример 5. Разложить в ряд Фурье функцию f( x ) с периодом, если она на отрезке 1, 1 определена равенством f ( x) x (рисунок 8). y 1 - x Рисунок 8 График функции f( x ) Решение. Данная функция является четной. Для вычисления коэффициентов Фурье полагаем в формулах (17) 1: 16

17 a 1 x xdx 1 1 ; si x cos x a xcos xdx x (cos 1) при нечетном при четном. Подставив найденные коэффициенты в формулу (11), получим искомое разложение заданной функции в ряд Фурье: 1 cosx cos5x x cos x Полученное равенство справедливо при любом значении x. В частности, при x получаем: Пример 6. Функцию f ( x) x 5 разложить в ряд Фурье в интервале (, ). Решение. Данная функция f( x ) не является периодической. Она задана лишь в интервале (, ). Если положить, что выполняется условие f ( x 6) f ( x), то получим периодическую функцию с периодом T 6. Эту периодическую функцию разложим в ряд Фурье. Полученное разложение в ряд будет вместе с тем и разложением заданной функции в интервале (, ). Пользуясь формулами (1)-(1), определим коэффициенты Фурье: 1 1x a ( x 5) dx 5x 1 ; 1 x 1 x 5 x a ( x 5)cos dx xcos dx cos dx. 17

18 Первый из этих интегралов равен нулю, так как под знаком интеграла имеется нечетная функция, а интервал интегрирования симметричен относительно начала координат. Под знаком второго интеграла четная функция, поэтому a x si 1 x 1 cos dx ; 1 x 1 x 5 x b ( x 5)si dx xsi dx si dx. Второй из полученных интегралов равен нулю, так как под знаком интеграла нечетная функция. Под знаком первого интеграла имеется четная функция, поэтому b 9 si cos si x x dx x x x 6 при нечетном 9 cos 6 при четном. Подставив найденные коэффициенты в формулу (11), получим разложение в ряд Фурье данной функции в интервале (, ) : 6 x 1 x 1 x 1 x f( x) 5 si si si si.... Пример 7. Разложить функцию f ( x) x на отрезке, 1 в ряд по синусам. Решение. Продолжив функцию нечетным образом на отрезке 1,, получим на отрезке 1, 1 нечетную функцию, совпадающую с заданной функцией на отрезке, 1. Для вычисления коэффициентов Фурье применяем формулы (15): 18

19 1 cos x si x cos b xsi xdx x при нечетном при четном. Следовательно, получаем следующее разложение: x si x si si si... x x x. Пример 8. Разложить функцию f ( x) x 5, 9 в ряд по косинусам. Решение. Положим x X 5, где X. Тогда f ( x) x ( X 5) X 7 F( X ). Мы получили функцию F( X ), которая задана на отрезке,. Так как по условию разложение должно содержать косинусы, то продолжаем функцию F( X ) на отрезке, четным образом. Разложим F( X ) в ряд Фурье. Вычислим коэффициенты разложения: 1 a (X 7) dx X 7X ; X a ( X 7)cos dx 16 (cos 1) 1 ï ðè í å åò í î ì на отрезке ï ðè åò í î ì. Следовательно, функция F( X ) имеет следующее разложение: X 1 X 1 5 X F( X) 11 cos cos cos

20 Заменяя в полученном разложении Х на ( x 5) и имея ввиду, что F( X ) f ( x), получим разложение заданной функции на заданном отрезке 5, 9 : ( x 5) 1 ( x 5) 1 5 ( x 5) f( x) 11 cos cos cos Задания для самостоятельного решения На отрезке [ ; ] разложить в ряд Фурье следующие функции: 1. f ( x) si x. f ( x) x. f ( x) x. f ( x) x 5. f ( x) x 6. f ( x) x 7. f ( x) x 8. f ( x) x, x 9. f( x) 1, x, x 1. f( x) x, x x, x 11. f( x), x, x 1. f( x) x, x На отрезке [ ; ] разложить в ряд Фурье следующие функции: 1. f ( x) x 1. f ( x) x 15. 1, x f( x) 1, x

21 16. f( x), x x, x si(1) x 1 1 ( 1) si ( 1) x cos x 6 ( 1) si x 5. ( 1) ( 1) ( 1) si ( 1) 1 si 1 si x x si x x 1 si(1) x 1 Ответы 1 cos( 1) x ( 1) si x 1. 1 ( 1) cos( 1) x ( 1) si x ( 1) cos( 1) x si x 1. ( 1) 1 ( 1) 1

22 ( 1) 1 1 x si 1 ( 1) x cos ( 1) 1 1 (1) x si ( 1) x ( 1) x cos si 1 ( 1)

23 Библиографический список 1. Шипачев, В. С. Высшая математика / В. С. Шипачев. М.: Высшая школа, с.. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс / Д. Т. Письменный. М.: Айрис Пресс, с.. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов / Н. С. Пискунов. В т. Т.. 1-е изд. М.: Наука, с.. Кудрявцев, В. А. Краткий курс высшей математики / В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович. М.: Наука, с. 5. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. В т. Т.1. М.: Высшая школа,. с. 6. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике : учебное пособие / А.Д. Мышкис. СПб.: Лань, с. 7. Бугров, Я. С. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. М.: Высшая школа, с.

24 Учебное издание Составитель Волошина Марина Сергеевна ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Методические указания Напечатано в полном соответствии с авторским оригиналом Подписано в печать 5..1 Формат бумаги 68 1/16. Бумага писчая. Печать офсетная. Усл.-печ. 1,9л. Уч.-изд. 1,56л. Тираж 5 экз. Заказ Сибирский государственный индустриальный университет 657, г. Новокузнецк, ул. Кирова, Издательский центр СибГИУ


Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Определенный интеграл

Определенный интеграл Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Вычисление и приложения двойного интеграла

Вычисление и приложения двойного интеграла Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Вычисление и приложения тройного интеграла

Вычисление и приложения тройного интеграла Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Правило Лопиталя. Методические указания для практических занятий. Министерство образования и науки Российской Федерации

Правило Лопиталя. Методические указания для практических занятий. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А.

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А. РЯДЫ ФУРЬЕ Автор-составитель: доцент каф ВМ Цапаева СА Великий Новгород ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ГАРМОНИК Определение Гармониками называются комплекснозначные функции вида iω ( ) e, где действительная переменная,

Подробнее

Лекция 4. Гармонический анализ. Ряды Фурье

Лекция 4. Гармонический анализ. Ряды Фурье Лекция 4. Гармонический анализ. Ряды Фурье Периодические функции. Гармонический анализ В науке и технике часто приходится иметь дело с периодическими явлениями, т. е. такими, которые повторяются через

Подробнее

Исследование функции на непрерывность. Точки разрыва и их классификация

Исследование функции на непрерывность. Точки разрыва и их классификация Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет. Кафедра «Высшая математика 3» РЯДЫ ФУРЬЕ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет. Кафедра «Высшая математика 3» РЯДЫ ФУРЬЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика 3» РЯДЫ ФУРЬЕ Методические указания по дисциплине «Математика» для студентов строительных

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Функции одной переменной

Функции одной переменной Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Выпуклость, точки перегиба. Асимптоты

Выпуклость, точки перегиба. Асимптоты Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Дифференциал функций Методические указания для практических занятий

Дифференциал функций Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Область определения функций нескольких переменных

Область определения функций нескольких переменных Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

3 РЯДЫ Хабаровск 2004

3 РЯДЫ Хабаровск 2004 РЯДЫ Хабаровск 4 4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Числовым рядом называется выражение, где,,, числа, которые образуют бесконечную числовую последовательность, общий член ряда, где N ( N множество натуральных чисел) Пример

Подробнее

5.2. Занятие Разложение функции в ряд Фурье на интервале ( l, l)

5.2. Занятие Разложение функции в ряд Фурье на интервале ( l, l) 5.. Занятие 16 5..1. Разложение функции в ряд Фурье на интервале (, ) Пусть f(x) удовлетворяет всем условиям Дирихле в интервале (, ). Тогда в точках непрерывности f(x) = a + a n cos x + b n sin x, (5..1)

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

Элементы гармонического анализа

Элементы гармонического анализа Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая и прикладная математика» Н. П. Чуев Элементы гармонического анализа Методические

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости Методические указания для практических занятий

Уравнения прямой и плоскости Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

{тригонометрический ряд тригонометрическая система примеры - разложение на интервале [ -l; l ] для функций произвольного периода - неполные ряды

{тригонометрический ряд тригонометрическая система примеры - разложение на интервале [ -l; l ] для функций произвольного периода - неполные ряды {тригонометрический ряд тригонометрическая система примеры - разложение на интервале [ -l; l ] для функций произвольного периода - неполные ряды разложение по синусам и косинусам четные и нечетные продолжения}

Подробнее

ω n =, а коэффициенты a n и

ω n =, а коэффициенты a n и Интеграл Фурье Действительная и комплексная формы записи интеграла Фурье Пусть f () непериодическая функция, определенная на всей числовой оси и удовлетворяющая условиям Дирихле на любом конечном промежутке

Подробнее

Вычисление и приложения криволинейного интеграла

Вычисление и приложения криволинейного интеграла Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ II ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА. Методические указания для практических занятий

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ II ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ КАК ПРЕДЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ РЯДА ФУРЬЕ

РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ КАК ПРЕДЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ РЯДА ФУРЬЕ Федеральное агентство по образованию Томский государственный архитектурно-строительный университет РЯДЫ ФУРЬЕ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ КАК ПРЕДЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ РЯДА ФУРЬЕ Методические указания для самостоятельной работы

Подробнее

(a k cos nx + b k sin nx) (5.1.1) k=1

(a k cos nx + b k sin nx) (5.1.1) k=1 Глава 5. Ряды Фурье 5.. Занятие 5 5... Основные определения Функциональный ряд вида a 2 + (a k cos x + b k si x) (5..) называется тригонометрическим рядом, числа a и b коэффициентами тригонометрического

Подробнее

Тема 2 Ряды Фурье , ; Практическое занятие 1 Ряды Фурье по ортогональным системам функций ,, R ;

Тема 2 Ряды Фурье , ; Практическое занятие 1 Ряды Фурье по ортогональным системам функций ,, R ; Тема Ряды Фурье Практическое занятие Ряды Фурье по ортогональным системам функций Пространство кусочно-непрерывных функций Обобщенный ряд Фурье 3 Неравенство Бесселя и сходимость ряда Фурье Пространство

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ВН Алексеев, ДА Приказчиков, ВВ Ридель РЯДЫ Утверждено редакционно-издательским советом РОАТ в качестве учебного пособия РОАТ Москва 9 5 УДК 575(75)

Подробнее

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЕВ Небогина, ОС Афанасьева РЯДЫ ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Самара 9 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ

Подробнее

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Методические указания для практических занятий

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Выборки и их характеристики

Выборки и их характеристики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Рецензенты Доктор ф.-м. наук, профессор Т.Г. Сукачёва Канд. ф.-м. наук, доцент А.В. Ласунский

Рецензенты Доктор ф.-м. наук, профессор Т.Г. Сукачёва Канд. ф.-м. наук, доцент А.В. Ласунский Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ИНСТИТУТ

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

Кафедра высшей математики ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПО ФОРМУЛЕ НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Кафедра высшей математики ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПО ФОРМУЛЕ НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Рецензент: к.ф-м.н., и.о. доц. Васильева Е.Г. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКИОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Рецензент: к.ф-м.н., и.о. доц. Васильева Е.Г. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКИОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКИОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Методическое пособие Составители: МДУлымжиев ЛИИнхеева ИБЮмов СЖЮмова Рецензия На методическое пособие по теории функций

Подробнее

Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

f ( x) g( x) dx 0. Конечная или бесконечная

f ( x) g( x) dx 0. Конечная или бесконечная Вопрос. Тригонометрические ряды Фурье. Теорема о сходимости(без док-ва).. Тригонометрическая система функций Определение.. Две интегрируемые функции b f x и gx называются ортогональными на отрезке b,,

Подробнее

Кафедра высшей математики. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Кафедра высшей математики. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна Третий семестр Лектор: Князева Людмила Павловна Темы: Наименование раздела, темы Всего аудиторных часов Лекции, часы Практические занятия, часы 2 3 4 Тема. Аналитическая геометрия и линейная алгебра 68

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Методические указания для практических занятий

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 1. Преобразование Лапласа и формула обращения Интеграл Фурье. функция

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 1. Преобразование Лапласа и формула обращения Интеграл Фурье. функция ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Преобразование Лапласа и формула обращения Пусть в промежутке Дирихле а именно: Интеграл Фурье ( l l) а) ограничена на этом отрезке; функция удовлетворяет условиям б) кусочно-непрерывна

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

6. Ряды Фурье Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Функции ϕ (x)

6. Ряды Фурье Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Функции ϕ (x) 6 Ряды Фурье 6 Ортогональные системы функций Ряд Фурье по ортогональной системе функций Функции ϕ () и ψ (), определенные и интегрируемые на отрезке [, ], называются ортогональными на этом отрезке, если

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

7 Тригонометрические ряды Фурье

7 Тригонометрические ряды Фурье 35 7 Тригонометрические ряды Фурье Ряды Фурье для периодических функций с периодом T. Пусть f(x) - кусочно - непрерывная периодическая функция с периодом T. Рассмотрим основную тригонометрическую систему

Подробнее

1.10. Гармонический анализ; ряды и преобразование Фурье

1.10. Гармонический анализ; ряды и преобразование Фурье Лекция 3. Ряды Фурье. Достаточное условие представления функции f( рядом Фурье. Разложение периодической.. Гармонический анализ; ряды и преобразование Фурье... Свойство ортогональности функций Две вещественные

Подробнее

Тригонометрические ряды Фурье. nx l

Тригонометрические ряды Фурье. nx l Тема 10 Тригонометрические ряды Фурье Ряд Фурье для функции с периодом T 1 0 si cos ~ ) ( d d d )si ( 1, )cos ( 1, ) ( 1 0 Сходимость тригонометрических рядов Фурье Какими свойствами должна обладать функция

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

Производная функции, её геометрический и механический смысл.

Производная функции, её геометрический и механический смысл. Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Методические указания для практических занятий

ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Ряды и преобразования Фурье.

Ряды и преобразования Фурье. Ряды и преобразования Фурье. Тригонометрические ряды. Определение. Тригонометрическим рядом T( называется ряд вида где -я частичная сумма ряда T( A ( + A (, A( a, A( a cosx+ b six. T( имеет вид s ( A (

Подробнее

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского Центр Дистанционного

Подробнее

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Интегралы и дифференциальные уравнения Раздел "Интегралы". Модуль 2. Определенный

Подробнее

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ. Кафедра «Математика»

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ. Кафедра «Математика» ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Математика» Учебно-методическое пособие по дисциплине «Математика» «Ряды Часть II» Авторы

Подробнее

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

ИНТЕГРИРОВАНИЯ И Р Р А Ц И О Н А Л Ь Н Ы Х И Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Ч Е С К И Х Ф У Н К Ц И Й

ИНТЕГРИРОВАНИЯ И Р Р А Ц И О Н А Л Ь Н Ы Х И Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Ч Е С К И Х Ф У Н К Ц И Й ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И ТЕЛЕВИДЕНИЯ» Кафедра математики и информатики

Подробнее

ПОДГОТОВКА К ТЕСТИРОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПОДГОТОВКА К ТЕСТИРОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ РОСЖЕЛДОР Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Ростовский государственный университет путей сообщения» ФГБОУ ВО РГУПС ЕВ Пиневич, ВА Липович, ИС Стасюк

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические

Подробнее

Предел и непрерывность функции одной переменной

Предел и непрерывность функции одной переменной Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии МЕЧанга Предел и непрерывность функции одной переменной Рекомендовано учебно-методическим

Подробнее

МАТЕМАТИКА ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Методические указания к решению задач для студентов дневного и заочного отделений ФАВТ, ФМА и ФФиТРМ

МАТЕМАТИКА ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Методические указания к решению задач для студентов дневного и заочного отделений ФАВТ, ФМА и ФФиТРМ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды Числовые и функциональные ряды Основные понятия Знакочередующиеся ряды Функциональные ряды Степенные ряды и разложение функций в степенной ряд Применение степенных рядов Ряды Фурье Основные понятия Пусть

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. К а ф е д р а Прикладной математики и информатики. Практикум по математическому анализу

РЯДЫ ФУРЬЕ. К а ф е д р а Прикладной математики и информатики. Практикум по математическому анализу МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а Прикладной математики

Подробнее

Семинар 1 Введение в анализ. Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 3. Функции чётные и нечётные; периодические функции.

Семинар 1 Введение в анализ. Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 3. Функции чётные и нечётные; периодические функции. Семинар 1 Введение в анализ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Функция, области определения, способ задания. 2. Понятие сложной и обратной функции. 3. Функции чётные и нечётные; периодические

Подробнее

( x) С учетом того, что коэффициенты при косинусах принято обозначать буквой a, при синусах буквой b, а начальный коэффициент

( x) С учетом того, что коэффициенты при косинусах принято обозначать буквой a, при синусах буквой b, а начальный коэффициент Лекция 4 РЯДЫ ФУРЬЕ ПО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ Ряд Фурье для периодической функции с периодом T Признаки сходимости тригонометрических рядов Фурье 3 Тригонометрические ряды Фурье для четных и нечетных

Подробнее

Ряды Фурье повышенной сложности. Каждая задача снабжена кратким содержательным комментарием.

Ряды Фурье повышенной сложности. Каждая задача снабжена кратким содержательным комментарием. Ряды Фурье повышенной сложности В данном файле содержатся дополнительные примеры с решениями, которые не вошли в основной урок http://mthproi.r/rydy_rie_primery_resheij.htm Каждая задача снабжена кратким

Подробнее

Контрольные работы по математике

Контрольные работы по математике МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» (УГТУ) Контрольные работы по

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

xdx, где m, 22. Какие существуют методы нахождения интегралов вида sin xcos R x, a x dx? 23. Какие существуют методы нахождения интегралов вида

xdx, где m, 22. Какие существуют методы нахождения интегралов вида sin xcos R x, a x dx? 23. Какие существуют методы нахождения интегралов вида 1. Что такое первообразная для функции? 2. Для каких функций существуют первообразные? 3. Как связаны между собой две первообразные для одной и той же функции? 4. Что такое неопределённый интеграл от функции?

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛА

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 7

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 7 кафедра «Математическое моделирование» проф П Л Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов -го курса -го семестра специальностей РЛ,,,6, БМТ, Лекция 7 Определенный интеграл

Подробнее

КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ. Методические указания для практических занятий

КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новгородский государственный университет имени

Подробнее

Тема6. «Определенный интеграл»

Тема6. «Определенный интеграл» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема6. «Определенный интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б.Дуниной

Подробнее

Лекция 5. Замена переменных и интегрирование по частям. Геометрические приложения.

Лекция 5. Замена переменных и интегрирование по частям. Геометрические приложения. Лекция 5 Замена переменных и интегрирование по частям. Геометрические приложения. 1 Замена переменной в определённом интеграле Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке, а функция непрерывно дифференцируема

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет» (ПГУ) Л Д Романова, Т

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ( МИИТ ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ. Кафедра «Прикладная математика 1»

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ( МИИТ ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ. Кафедра «Прикладная математика 1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ( МИИТ ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ( МИИТ ) Кафедра «Прикладная математика» Кафедра «Прикладная математика» ЮП Власов

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

рядов Тейлора. 8. Ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье 2

рядов Тейлора. 8. Ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье 2 Вопросы по курсу математики III семестр для студентов заочной формы обучения специальностей 66 «Энергообеспечение предприятий», 6 «Энергоснабжение» Числовой ряд Сходящиеся и расходящиеся ряды Свойства

Подробнее

ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ. Содержание Сроки сдачи Критерии оценки 1.Изучение теоретического материала (учебнометодический. за 1,5 месяца до сессии

ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ. Содержание Сроки сдачи Критерии оценки 1.Изучение теоретического материала (учебнометодический. за 1,5 месяца до сессии УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ОБУЧАЮЩИЙ МОДУЛЬ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» РАЗДЕЛ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ I БЛОК ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЗАОЧНОГО

Подробнее

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия»

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания для практически

Подробнее