РЯДЫ ФУРЬЕ. К а ф е д р а Прикладной математики и информатики. Практикум по математическому анализу

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "РЯДЫ ФУРЬЕ. К а ф е д р а Прикладной математики и информатики. Практикум по математическому анализу"

Транскрипт

1 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а Прикладной математики и информатики РЯДЫ ФУРЬЕ Практикум по математическому анализу Самара Самарский государственный технический университет 0

2 УДК 57 (075.8) Ряды Фурье: практикум по математическому анализу / Г.Ф. Егорова, Г.А. Павлова, И.А. Мазуренко; Самар. гос. техн. ун-т. Самара, с. В практикум по математическому анализу включены задания и методические указания к ним по темам Бесконечные произведения и Ряды Фурье. Пособие предназначено для студентов специальности Прикладная математика и информатика. Библиогр.: назв. Печатается по решению редакционно-издательского совета СамГТУ Рецензент: к.ф.-м.н. Л.А. Муратова c Г.Ф. Егорова, Г.А. Павлова, И.А. Мазуренко, 0 c Самарский государственный технический университет, 0

3 Предисловие Предлагаемый практикум по математическому анализу Ряды Фурье предназначен для студентов специальности Прикладная математика и информатика, а также для студентов инженерных специальностей. Целью опубликования этой работы является углубление знаний и выработка навыков решения задач по темам Ряды Фурье и Бесконечные произведения. Практикум содержит варианты индивидуальных заданий [] и методические указания к решению задач на разложение функций в ряды Фурье и исследование сходимости бесконечных произведений [, ]. Практикум состоит из двух частей. В первой части представлены основные теоретические положения, относящиеся к данным темам, и приведены примеры решения типовых задач с подробными выкладками, во второй приведены варианты заданий для самостоятельной работы студентов.

4 . Общее теоретическое введение к практикуму.. Бесконечные произведения Определение. Если p,p,...,p n,... есть некоторая заданная последовательность чисел, то составленный из них символ p p p... p n... = p n () называют бесконечным произведением. Частичное произведение обозначается P n = p p... p n = n= n p k. Определение. Конечный или бесконечный предел P частичного произведения P n при n : lim P n = P, k= называют значением произведения () и пишут: P = p p... p n... = p n. Если бесконечное произведение имеет конечное значение P и притом отличное от нуля, то само произведение называют сходящимся, в противном же случае расходящимся. Сходимость бесконечного произведения () положительных сомножителей p n > 0, n N, тесно связана со сходимостью ряда n= ln p n, () n= получающегося формальным логарифмированием данного бесконечного произведения [, ]. 4

5 Если p n = + a n (n =,,...) и a n не меняет знака, то для сходимости произведения () необходимо и достаточно, чтобы был сходящимся ряд a n = (p n ). () n= n= В общем случае, когда a n не сохраняет постоянного знака, а ряд () сходится, произведение () будет сходиться или расходиться к нулю вместе с рядом [] a n = n= (p n ). n= Необходимый признак сходимости произведения. Если произведение сходиться, то lim n p n =... Абсолютная сходимость Определение. Произведение () называется абсолютно или условно (не абсолютно) сходящимся в зависимости от того, абсолютно или условно сходится ряд (). Необходимым и достаточным условием абсолютной сходимости произведения () является абсолютная сходимость ряда (). Пример. Выяснить, при каких значениях x бесконечное произведение будет сходиться [] n= ( x ) ( x exp n + x ) n n (4) Решение. Очевидно, что x k, k N. Кроме того, для любого x сомножители в (4), начиная с некоторого конечного номера, будут положительны, а в этом случае бесконечное произведение (4) абсолютно сходится, если абсолютно сходится ряд: n= ( ( ln x ) ( x exp n + x ) ). (5) n n 5

6 Учитывая разложение ( ln x ) = x x n n n x n o( x n ) и то, что ( ( ln x ( x )exp n n + x n ) ) = ln( x n ) + x n + x n, получаем, что ряд (5) эквивалентен абсолютно сходящемуся для любого x k, k N, ряду n= x n. Таким образом, произведение (4) абсолютно сходится для любого x k, k N... Ряды Фурье Определение.4 Система функций,cos x l,sin x l,...,cos kx l,sin kx,..., x [ l,l], l называется основной тригонометрической системой. Эта система ортогональна на отрезке [ l, l]. Определение.5 Пусть f(x) C [ l, l]. Числа l a 0 = f(x)dx, l l a k = l l l f(x)cos kx dx, l b k = l l l f(x)sin kx dx, k N, l называются коэффициентами Фурье функции f по основной тригонометрической системе []. 6

7 Определение.6 Тригонометрический ряд a 0 + k= ( a k cos kx l + b k sin kx ) l называется рядом Фурье функции f. В частности, если функция f(x) четная, то ее ряд Фурье имеет вид a 0 + a k cos kx ; l k= ряд Фурье нечетной функции имеет вид k= b k sin kx. l Определение.7 Функция f : [ l, l] R называется кусочнонепрерывной на [ l,l], если она непрерывна в каждой точке x [ l, l], за исключением, быть может, конечного числа точек, где она имеет разрывы первого рода. Определение.8 Функция f : [ l, l] R называется кусочногладкой на [ l, l], если эта функция кусочно-непрерывна и имеет непрерывную производную на этом отрезке, за исключением, быть может, конечного числа точек, в каждой их которых производная имеет конечные односторонние предельные значения. Теорема. (основная). Пусть кусочно-гладкая на отрезке [ l, l] функция f периодически с периодом l продолжена на всю числовую прямую. Тогда тригонометрический ряд Фурье функции f сходится в каждой точке x (, ) к значению (f(x 0) + + f(x + 0)). Теорема. Если для непрерывной и кусочно-гладкой на отрезке [ l,l] функции f выполняется равенство f( l) = f(l), то ее тригонометрический ряд Фурье сходится равномерно на этом отрезке и сумма ее равна значению функции f x [ l,l]. Если функция f четная, то a 0 = l l 0 f(x)dx, a n = l l 0 f(x)cos nx dx, b n = 0, n N, l 7

8 а если f нечетная, то b n = l l 0 f(x)sin nx dx, n N, a n = 0, n = 0,,,... l Кроме того, если функция имеет период l, то для любого числа c R справедливы равенства a 0 = c+l f(x)dx, l c l a n = l c+l c l f(x)cos nx dx, l b n = l c+l c l f(x)sin nx dx, n N. l Таким образом, исходя из известного соотношения bsin A + acos A = r sin(a + B) = где = r cos( A B) = r cos(a + B ), r = a + b, g B = a b, B = arcg a b = arcg b a, любая кусочно-гладкая на отрезке [ l,l] функция может быть представлена в виде суммы постоянного члена a 0 и множества синусоидальных (косинусоидальных) компонент с частотами ν 0 = l (основной частоты), ν 0 = l (-ой гармонической частоты), ν 0 = l (-ей гармонической частоты),... То есть, k-я гармоническая компонента будет c k cos( k l +arg c k ), при этом она имеет частоту kν 0 = k l, круговую частоту kω 0 = kν 0 = ) a k + b k и фазу arg c k = arcg( bk a k []. = k l, амплитуду c k = Пример. Разложить функцию f() в ряд Фурье на заданном интервале, графики функций и частичных сумм S, S, S ряда Фурье. 8

9 f() = 4, < < 4. Решение. График функции изображен на рис. []. f() 0 4 Рис. Данная функция имеет разрывы первого рода на границах интервала, поэтому значение ) ряда Фурье в этих точках будет равно (f( + 0) + f(4 0) =. В данном случае l = и функция аморфная (то есть ни четная, ни нечетная), поэтому коэффициенты будут вычисляться по следующим формулам a 0 = 4 f()d = 0 ( 4 )d ( 4 )d, a n = 4 f()cos nd = 0 ( 4 )cos nd ( 4 )cos nd, b n = 4 f()sin nd = 0 ( 4 )sin nd ( 4 )sin nd. 9

10 Интегрируя, находим значения коэффициентов: a 0 = 4 7 = 0,585; a n = cos(4n ) + 7n sin(4n ) 4 + cos(n ) n sin(n ) 9 n ; b n = sin(4n ) + 7n cos(4n ) + sin(n ) + n cos(n ) 9 n. С учетом формул cos 4n n n = cos(n ) = cos, получаем sin 4n n n = sin(n ) = sin, a n = 4cos(n ) 8n sin(n ) 4 9 n, b n = 8cos(n ) + 4n sin(n ) 9 n. Полагая последовательно n равным, затем и, находим a 0 = 0,59; a = 0,650; a = 0,0; a = 0; b = 0,095; b = 0,9; b = 0,094. Соответствующие амплитудные (A k = c k = a k + b k ) и фазовые (ϕ k = arcg( bk a k )) спектры будут: A = 0,6568; A = 0,09; A = 0,094; ϕ = 0,4 + ; ϕ =,4; ϕ =. 0

11 Таким образом, первые три частичные суммы ряда Фурье для заданной функции будут иметь вид: S = 0,6568cos( 0,4); S = S + 0,09cos(,4); или S = S + 0,094cos( + ); S = 0,59 0,650cos 0,095sin ; S = S + 0,0cos + 0,9sin ; S = S 0,094cos ; Графики этих сумм представлены на рис.. f() 0,7 S 0,4 S S -0,8-0, 0-0,4 0, 0,8-0,8 Рис. Пример. Для неоднородного дифференциального уравнения y + ω y = f(), используя разложение периодической функции f() в ряд Фурье, Функция f() внутри одного своего периода имеет вид:

12 cos, < <, f() =, < <, cos, < <. Решение. График функции представлен на рис.. f(),0 0,5 -,0 -,5 0-0,5,5,0 -,0 Рис. Так как косинус четная функция, а нечетная, то формулы для расчета коэффициентов ряда Фурье в данном случае будут иметь вид a 0 = cos d, a = cos d, a n = cos cos nd, b = Интегрируя, получаем 0 sind, b n = 0 sin nd. a 0 =, a =, a ( n = (n n sin n cos n ) ) a n = { 0, n = k +, ( ) k (4k ), n = k.

13 b = 8, b n = 4 n ( sin n n ) + n cos b n = { ( ) k 8 (k+), n = k +, ( ) k+ k, n = k. Таким образом, получили ряд Фурье для заданной функции: f() + cos + 8sin + 8 k= + ( ) k( cos k (4k ) sink ) + k k= ( ) k sin(k + ) (k + ). Частота основной гармоники будет ω =, частное решение данного уравнения, найденное методом неопределенных коэффициентов и соответствующее такому периодическому воздействию, будет иметь вид ( sin ỹ = 4 4cos ). Очевидно, что это решение неограниченно возрастает. Построим график этого решения. y~ Рис. 4

14 Кроме того, могут наблюдаться расходящиеся колебания если ω =, ω =,...,ω = n,... Действительно, частное решение данного неоднородного уравнения, найденное методом неопределенных коэффициентов, будет представлять собой сумму бесконечного тригонометрического ряда следующего вида: + ( k= ỹ = ω + cos ( ω ) + 8sin ( ω ) + ( ) cos k (4k )(ω 4k ) ( ) sink k(ω 4k ) + ( ) sin(k + ) (k + ) (ω (k + ) ) То есть, при значениях ω, близких к целым числам, амплитуда соответствующей гармоники возрастает (явление резонанса), что отрицательно сказывается на сходимости ряда. При строгом равенстве ω целому числу появляется неограниченно возрастающее решение. Пример 4. Для функции f(), заданной графически на полупериоде, выполнить разложение в ряд Фурье по синусам и косинусам []. f() ). 0 Рис. 5 Решение. Аналитически данная функция будет записываться следующим образом {, 0, f() =, <.. Продолжим функцию нечетным образом на интервал (, 0) и построим ее периодическое продолжение: Так как функция f() нечетная и l =, то формулы для расчета коэффициентов ряда Фурье в данном случае будут иметь вид a n = 0; 4

15 f() Рис. 6 b n = Интегрируя, получаем 0 sin n d + ( )sin n d. b n = (cos n ) n + ( n sin n + n cos n = n + 4( )n+ (n ). n ) + sin = Ряд Фурье для продолженной таким образом функции будет иметь вид f() = ( sin n n= n ( )n sin (n ) ) (n ).. Продолжим функцию четным образом на интервал (, 0) и построим ее периодическое продолжение f() Рис. 7 Так как функция f() четная и l =, то формулы для расчета коэффициентов ряда Фурье в данном случае будут иметь вид: 5

16 a n = 0 a 0 = 0 d + cos n d + b n = 0. После интегрирования получаем: a 0 = ; ( )d; ( )cos n d; a n = n sin n ( cos n n + n sin n ) = 4( )n+ n. Ряд Фурье для продолженной таким образом функции будет иметь вид f() = 4 4 ( ) n cos n n. n= 6

17 . Варианты индивидуальных заданий Вариант. Исследовать сходимость бесконечного произведения n= n 4 n.. Разложить функцию f() в ряд Фурье на заданном интервале, графики функций и частичных сумм S, S, S ряда Фурье. {, 0 <, f() =, < < 4.. Для неоднородного дифференциального уравнения y + ω y = f(), используя разложение периодической функции f() в ряд Фурье, Функция f() внутри одного своего периода имеет вид: 0, <, f() = cos, < <, <. 0, разложение в ряд Фурье по синусам. f() 0 Рис. 8 7

18 Вариант. Исследовать сходимость бесконечного произведения n= ( ) +. n(n + ). Разложить функцию f() в ряд Фурье на заданном интервале, графики функций и частичных сумм S, S, S ряда Фурье. {, 0 <, f() =,.. Для неоднородного дифференциального уравнения y + ω y = f(), используя разложение периодической функции f() в ряд Фурье, Функция f() внутри одного своего периода имеет вид: { sin, 0 < < f() =,, < <. разложение в ряд Фурье по косинусам. f() Рис. 9 8

19 Вариант. Исследовать сходимость бесконечного произведения n= (n + )(n + 7) (n + )(n + 5).. Разложить функцию f() в ряд Фурье на заданном интервале, графики функций и частичных сумм S, S, S ряда Фурье. f() =, <.. Для неоднородного дифференциального уравнения y + ω y = f(), используя разложение периодической функции f() в ряд Фурье, Функция f() внутри одного своего периода имеет вид: { f() =, 0 <, sin, < <. разложение в ряд Фурье по синусам. f() Рис. 0 9

20 Вариант 4. Исследовать сходимость бесконечного произведения n= n.. Разложить функцию f() в ряд Фурье на заданном интервале, графики функций и частичных сумм S, S, S ряда Фурье. f() = cos, 0 < <.. Для неоднородного дифференциального уравнения y + ω y = f(), используя разложение периодической функции f() в ряд Фурье, Функция f() внутри одного своего периода имеет вид: { ( ), 0, f() =, < <. разложение в ряд Фурье по косинусам. f() 0 Рис. 0

21 Вариант 5. Исследовать сходимость бесконечного произведения n= (n + ) n(n + ).. Разложить функцию f() в ряд Фурье на заданном интервале, графики функций и частичных сумм S, S, S ряда Фурье. { +, < 0, f() =, 0 <.. Для неоднородного дифференциального уравнения y + ω y = f(), используя разложение периодической функции f() в ряд Фурье, Функция f() внутри одного своего периода имеет вид: { cos f() =, 0 <, 0, < <. разложение в ряд Фурье по синусам. f() Рис.

22 Вариант 6. Исследовать сходимость бесконечного произведения ( n ) p. n + n=. Разложить функцию f() в ряд Фурье на заданном интервале, графики функций и частичных сумм S, S, S ряда Фурье. f() =, < <.. Для неоднородного дифференциального уравнения y + ω y = f(), используя разложение периодической функции f() в ряд Фурье, Функция f() внутри одного своего периода имеет вид: { f() =, 0 < <, sin, < <. разложение в ряд Фурье по косинусам. f() 4 0 Рис.

23 Вариант 7. Исследовать сходимость бесконечного произведения ( + ( )n+ ). n n=. Разложить функцию f() в ряд Фурье на заданном интервале, графики функций и частичных сумм S, S, S ряда Фурье. f() = sin 5, < <. 6. Для неоднородного дифференциального уравнения y + ω y = f(), используя разложение периодической функции f() в ряд Фурье, Функция f() внутри одного своего периода имеет вид: { f() =, < 0,, 0 <. разложение в ряд Фурье по синусам. f() Sin Sin Рис. 4

24 Вариант 8. Исследовать сходимость бесконечного произведения n + n. n=. Разложить функцию f() в ряд Фурье на заданном интервале, графики функций и частичных сумм S, S, S ряда Фурье. f() =, < <.. Для неоднородного дифференциального уравнения y + ω y = f(), используя разложение периодической функции f() в ряд Фурье, Функция f() внутри одного своего периода имеет вид: f() = 0, < < 4, cos, 4 < 4, 0, 4 < <. разложение в ряд Фурье по косинусам. f() 0 Рис

25 Вариант 9. Исследовать сходимость бесконечного произведения n= (n + ) n(n + ).. Разложить функцию f() в ряд Фурье на заданном интервале, графики функций и частичных сумм S, S, S ряда Фурье. f() =, < <.. Для неоднородного дифференциального уравнения y + ω y = f(), используя разложение периодической функции f() в ряд Фурье, Функция f() внутри одного своего периода имеет вид: f() = sin, < <,,, sin, < <. разложение в ряд Фурье по синусам. f() 0 4 Рис. 6 5

26 Вариант 0. Исследовать сходимость бесконечного произведения n= ( ). n. Разложить функцию f() в ряд Фурье на заданном интервале, графики функций и частичных сумм S, S, S ряда Фурье. f() =, 0 < <.. Для неоднородного дифференциального уравнения y + ω y = f(), используя разложение периодической функции f() в ряд Фурье, Функция f() внутри одного своего периода имеет вид: { cos, 0 < f() =,, < <. разложение в ряд Фурье по косинусам. f() 0 Рис. 7 6

27 Вариант. Исследовать сходимость бесконечного произведения n + n +. n=0. Разложить функцию f() в ряд Фурье на заданном интервале, графики функций и частичных сумм S, S, S ряда Фурье. {, 0 < <, f() =, < 4.. Для неоднородного дифференциального уравнения y + ω y = f(), используя разложение периодической функции f() в ряд Фурье, Функция f() внутри одного своего периода имеет вид: {, 0 < < f() =, cos, < <. разложение в ряд Фурье по синусам. f() 0 - Рис. 8 7

28 Вариант.Исследовать сходимость бесконечного произведения n= n n +.. Разложить функцию f() в ряд Фурье на заданном интервале, графики функций и частичных сумм S, S, S ряда Фурье. {, < 0, f() = 5, 0 < <.. Для неоднородного дифференциального уравнения y + ω y = f(), используя разложение периодической функции f() в ряд Фурье, Функция f() внутри одного своего периода имеет вид: f() = sin, < <. разложение в ряд Фурье по косинусам. f() 0 Рис. 9 8

29 Вариант. Исследовать сходимость бесконечного произведения n n. n=. Разложить функцию f() в ряд Фурье на заданном интервале, графики функций и частичных сумм S, S, S ряда Фурье. f() =, <.. Для неоднородного дифференциального уравнения y + ω y = f(), используя разложение периодической функции f() в ряд Фурье, Функция f() внутри одного своего периода имеет вид: {, 0 < f() =, sin, < <. разложение в ряд Фурье по синусам. f() 0 4 Рис. 0 9

30 Вариант 4. Исследовать сходимость бесконечного произведения n= ( + ( )n+ n ).. Разложить функцию f() в ряд Фурье на заданном интервале, графики функций и частичных сумм S, S, S ряда Фурье. f() = cos, 0 < <.. Для неоднородного дифференциального уравнения y + ω y = f(), используя разложение периодической функции f() в ряд Фурье, Функция f() внутри одного своего периода имеет вид: { + f() =, 0,, 0 <. разложение в ряд Фурье по косинусам. f() 0 Рис. 0

31 Вариант 5. Исследовать сходимость бесконечного произведения ( + ( )n ). ln n n=. Разложить функцию f() в ряд Фурье на заданном интервале, графики функций и частичных сумм S, S, S ряда Фурье. f() = sin, 0 < <.. Для неоднородного дифференциального уравнения y + ω y = f(), используя разложение периодической функции f() в ряд Фурье, Функция f() внутри одного своего периода имеет вид: {, < < 0, f() =, 0 <. разложение в ряд Фурье по синусам. f() Рис.

32 Вариант 6. Исследовать сходимость бесконечного произведения n= n n + ( ) n.. Разложить функцию f() в ряд Фурье на заданном интервале, графики функций и частичных сумм S, S, S ряда Фурье. { cos, 0 < < f() =,, < <.. Для неоднородного дифференциального уравнения y + ω y = f(), используя разложение периодической функции f() в ряд Фурье, Функция f() внутри одного своего периода имеет вид: f() =, 5 < < 7. разложение в ряд Фурье по косинусам. f() 0-4 Рис.

33 Вариант 7. Исследовать сходимость бесконечного произведения cos n+. n=. Разложить функцию f() в ряд Фурье на заданном интервале, графики функций и частичных сумм S, S, S ряда Фурье. {, 0 <, f() =, < < 4.. Для неоднородного дифференциального уравнения y + ω y = f(), используя разложение периодической функции f() в ряд Фурье, Функция f() внутри одного своего периода имеет вид: f() = +, < <. разложение в ряд Фурье по синусам. f() 0 Рис. 4

34 Вариант 8. Исследовать сходимость бесконечного произведения n= ( ) (n + ).. Разложить функцию f() в ряд Фурье на заданном интервале, графики функций и частичных сумм S, S, S ряда Фурье. f() =, 0 < <.. Для неоднородного дифференциального уравнения y + ω y = f(), используя разложение периодической функции f() в ряд Фурье, Функция f() внутри одного своего периода имеет вид: f() = sin, < <. разложение в ряд Фурье по косинусам. f() Рис. 5 4

35 Вариант 9. Исследовать сходимость бесконечного произведения ( ) 4n. n=. Разложить функцию f() в ряд Фурье на заданном интервале, графики функций и частичных сумм S, S, S ряда Фурье. f() =, < <.. Для неоднородного дифференциального уравнения y + ω y = f(), используя разложение периодической функции f() в ряд Фурье, Функция f() внутри одного своего периода имеет вид: f() = cos, 0 < <. разложение в ряд Фурье по синусам. f() 0 Рис. 6 5

36 Вариант 0. Исследовать сходимость бесконечного произведения n n n n +. n=. Разложить функцию f() в ряд Фурье на заданном интервале, графики функций и частичных сумм S, S, S ряда Фурье. f() = 4, < <.. Для неоднородного дифференциального уравнения y + ω y = f(), используя разложение периодической функции f() в ряд Фурье, Функция f() внутри одного своего периода имеет вид: f() = sin, < <. разложение в ряд Фурье по косинусам. f() Рис. 7 6

37 Вариант. Выяснить, при каких значениях x бесконечное произведение будет сходиться ( + ) n x. n=. Разложить функцию f() в ряд Фурье на заданном интервале, графики функций и частичных сумм S, S, S ряда Фурье. {, 0 < <, f() =, <.. Для неоднородного дифференциального уравнения y + ω y = f(), используя разложение периодической функции f() в ряд Фурье, Функция f() внутри одного своего периода имеет вид: f() = sin, < <. разложение в ряд Фурье по синусам. f() Рис. 8 7

38 Вариант. Выяснить, при каких значениях x бесконечное произведение будет сходиться ( + xn ) n. n=. Разложить функцию f() в ряд Фурье на заданном интервале, графики функций и частичных сумм S, S, S ряда Фурье. f() = +, <.. Для неоднородного дифференциального уравнения y + ω y = f(), используя разложение периодической функции f() в ряд Фурье, Функция f() внутри одного своего периода имеет вид: f() = sin, <. 6 разложение в ряд Фурье по косинусам. f() 0 Рис. 9 8

39 Вариант. Выяснить, при каких значениях x бесконечное произведение будет сходиться ( x n ). n=. Разложить функцию f() в ряд Фурье на заданном интервале, графики функций и частичных сумм S, S, S ряда Фурье. {, < < 0, f() =, 0.. Для неоднородного дифференциального уравнения y + ω y = f(), используя разложение периодической функции f() в ряд Фурье, Функция f() внутри одного своего периода имеет вид: f() = 0, < < 4, sin, 4 4, 0, 4 < <. разложение в ряд Фурье по синусам. f() 0 Рис. 0 9

40 Вариант 4. Выяснить, при каких значениях x бесконечное произведение будет сходиться n= ( x c + n ) e x n, c > 0.. Разложить функцию f() в ряд Фурье на заданном интервале, графики функций и частичных сумм S, S, S ряда Фурье. f() = cos, <.. Для неоднородного дифференциального уравнения y + ω y = f(), используя разложение периодической функции f() в ряд Фурье, Функция f() внутри одного своего периода имеет вид: f() =, <. разложение в ряд Фурье по косинусам. f() Sin 0 Рис. 40

41 Вариант 5. Выяснить, при каких значениях x бесконечное произведение будет сходиться n= ( n x ).. Разложить функцию f() в ряд Фурье на заданном интервале, графики функций и частичных сумм S, S, S ряда Фурье. f() = sin 5, < <. 6. Для неоднородного дифференциального уравнения y + ω y = f(), используя разложение периодической функции f() в ряд Фурье, Функция f() внутри одного своего периода имеет вид: f() = +, < <. разложение в ряд Фурье по синусам. f() h 0 a a -h Рис. 4

42 Вариант 6. Выяснить, при каких значениях x бесконечное произведение будет сходиться ( + x ) e x n. n n=. Разложить функцию f() в ряд Фурье на заданном интервале, графики функций и частичных сумм S, S, S ряда Фурье. f() =, 0.. Для неоднородного дифференциального уравнения y + ω y = f(), используя разложение периодической функции f() в ряд Фурье, Функция f() внутри одного своего периода имеет вид: { sin, 0 f() = 4, 0, 4 < <. разложение в ряд Фурье по косинусам. f() Рис. 4

43 Вариант 7. Выяснить, при каких значениях x бесконечное произведение будет сходиться ( ) sin x p n. n= x n. Разложить функцию f() в ряд Фурье на заданном интервале, графики функций и частичных сумм S, S, S ряда Фурье. f() = +, < <.. Для неоднородного дифференциального уравнения y + ω y = f(), используя разложение периодической функции f() в ряд Фурье, Функция f() внутри одного своего периода имеет вид: f() = +, <. разложение в ряд Фурье по синусам. f() 0 Рис. 4 4

44 Вариант 8. Выяснить, при каких значениях x бесконечное произведение будет сходиться n= n ln(n + x) ln n.. Разложить функцию f() в ряд Фурье на заданном интервале, графики функций и частичных сумм S, S, S ряда Фурье. {, < 0, f() =, 0 < <.. Для неоднородного дифференциального уравнения y + ω y = f(), используя разложение периодической функции f() в ряд Фурье, Функция f() внутри одного своего периода имеет вид: { ( ), 0, f() =, < <. разложение в ряд Фурье по синусам. f() 0 Рис. 5 44

45 Библиографический список. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Т.: Интегралы. Ряды. Учеб. пособие/под редакцией Л.Д. Кудрявцева. М.: Наука, c.. Ляшко И.И, Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. Справочное пособие по высшей математике. Т.: Ряды. М.: УРСС, 998. с.. Ряды и их применение: Типовой расчет по высшей математике/ Куйбышев. политехн. ин-т., каф. "Высшая математика". Г.И.Коваленко, Л.Г.Мухина, Ю.П.Поцелуев и др. Куйбышев, 985 г. 45

46 Содержание Предисловие.... Общее теоретическое введение к практикуму Бесконечные производные Абсолютная сходимость Ряды Фурье Варианты индивидуальных заданий...7 Библиографический список

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

6. Ряды Фурье Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Функции ϕ (x)

6. Ряды Фурье Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Функции ϕ (x) 6 Ряды Фурье 6 Ортогональные системы функций Ряд Фурье по ортогональной системе функций Функции ϕ () и ψ (), определенные и интегрируемые на отрезке [, ], называются ортогональными на этом отрезке, если

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

Лекция 4. Гармонический анализ. Ряды Фурье

Лекция 4. Гармонический анализ. Ряды Фурье Лекция 4. Гармонический анализ. Ряды Фурье Периодические функции. Гармонический анализ В науке и технике часто приходится иметь дело с периодическими явлениями, т. е. такими, которые повторяются через

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

Элементы гармонического анализа

Элементы гармонического анализа Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая и прикладная математика» Н. П. Чуев Элементы гармонического анализа Методические

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Тригонометрические ряды Фурье

Тригонометрические ряды Фурье Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

( x) С учетом того, что коэффициенты при косинусах принято обозначать буквой a, при синусах буквой b, а начальный коэффициент

( x) С учетом того, что коэффициенты при косинусах принято обозначать буквой a, при синусах буквой b, а начальный коэффициент Лекция 4 РЯДЫ ФУРЬЕ ПО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ Ряд Фурье для периодической функции с периодом T Признаки сходимости тригонометрических рядов Фурье 3 Тригонометрические ряды Фурье для четных и нечетных

Подробнее

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЕВ Небогина, ОС Афанасьева РЯДЫ ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Самара 9 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ

Подробнее

7 Тригонометрические ряды Фурье

7 Тригонометрические ряды Фурье 35 7 Тригонометрические ряды Фурье Ряды Фурье для периодических функций с периодом T. Пусть f(x) - кусочно - непрерывная периодическая функция с периодом T. Рассмотрим основную тригонометрическую систему

Подробнее

{тригонометрический ряд тригонометрическая система примеры - разложение на интервале [ -l; l ] для функций произвольного периода - неполные ряды

{тригонометрический ряд тригонометрическая система примеры - разложение на интервале [ -l; l ] для функций произвольного периода - неполные ряды {тригонометрический ряд тригонометрическая система примеры - разложение на интервале [ -l; l ] для функций произвольного периода - неполные ряды разложение по синусам и косинусам четные и нечетные продолжения}

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А.

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А. РЯДЫ ФУРЬЕ Автор-составитель: доцент каф ВМ Цапаева СА Великий Новгород ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ГАРМОНИК Определение Гармониками называются комплекснозначные функции вида iω ( ) e, где действительная переменная,

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

Введение в функциональный анализ. Ряды Фурье. Интегралы, зависящие от параметра.

Введение в функциональный анализ. Ряды Фурье. Интегралы, зависящие от параметра. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Лекция 6 ЦЕПИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Лекция 6 ЦЕПИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА Лекция 6 ЦЕПИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА План Тригонометрическая форма ряда Фурье Ряд Фурье в комплексной форме Комплексный частотный спектр 3 Мощности в цепях несинусоидального тока Коэффициенты,

Подробнее

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства»

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства» Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления 676 (9) «Технология и дизайн упаковочного производства» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия

Подробнее

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1)

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1) 8. Степенные ряды 8.. Функциональный ряд вида c n (z ) n, (8.) n= где c n числовая последовательность, R фиксированное число, а z R, называют степенным рядом с коэффициентами c n. Выполнив замену переменных

Подробнее

Спектральное представление функций (сигналов)

Спектральное представление функций (сигналов) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА»

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

Тема: Тригонометрические ряды Фурье

Тема: Тригонометрические ряды Фурье Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Тригонометрические ряды Фурье Лектор Рожкова С.В. 013 г. 38. Тригонометрические ряды Фурье 1. Разложение функции в тригонометрический

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

(a k cos nx + b k sin nx) (5.1.1) k=1

(a k cos nx + b k sin nx) (5.1.1) k=1 Глава 5. Ряды Фурье 5.. Занятие 5 5... Основные определения Функциональный ряд вида a 2 + (a k cos x + b k si x) (5..) называется тригонометрическим рядом, числа a и b коэффициентами тригонометрического

Подробнее

РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРАКТИКУМ ПО ТЕМЕ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ» С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМЫ MATHCAD

РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРАКТИКУМ ПО ТЕМЕ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ» С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМЫ MATHCAD РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРАКТИКУМ ПО ТЕМЕ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ» С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМЫ MATHCAD Рязань 009 Предисловие Практикум является приложением к учебному

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

Лекция 4 Москва, 2015

Лекция 4 Москва, 2015 Спектральное представление сигналов к.ф.-м.н., доцент Московский государственный университет факультет ВМК кафедра Математических методов прогнозирования Спектральное представление сигналов Лекция 4 Москва,

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

называется обобщенным рядом Фурье по ортогональной системе функций

называется обобщенным рядом Фурье по ортогональной системе функций 345 4 Ряды Фурье по ортогональным системам функций Пусть ( ( x - ортогональная система функций в L [ ; ] Выражение c ( x + c1 ( x + 1 c ( x + + ( c ( x = c ( x (41 = называется обобщенным рядом Фурье по

Подробнее

Задача 396. Решить уравнение y = t +4. Решение: Заметим, что условие задачи исключает случай t = 4. dy dt = dt t +4 e y =ln t +4 + C 1,C 1 IR

Задача 396. Решить уравнение y = t +4. Решение: Заметим, что условие задачи исключает случай t = 4. dy dt = dt t +4 e y =ln t +4 + C 1,C 1 IR Пояснения к тексту: знак читается как "равносильно" и обозначает, что у уравнений справа от знака и слева от знака множество решений совпадает, знак IR обозначает ммножество вещественных чисел, знак IN

Подробнее

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 28.1. Пространства D, D основных и обобщенных функций Понятие обобщенной функции обобщает классическое понятие функции и дает возможность выразить в математической форме такие

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ВН Алексеев, ДА Приказчиков, ВВ Ридель РЯДЫ Утверждено редакционно-издательским советом РОАТ в качестве учебного пособия РОАТ Москва 9 5 УДК 575(75)

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

Лекция Несобственные интегралы

Лекция Несобственные интегралы Лекция..9. Несобственные интегралы Аннотация: Рассматриваются несобственные интегралы первого и второго рода. Вводится понятие главного значения несобственного интеграла. Определенный интеграл был введен

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВОЕННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР ВВС «ВОЕННО-ВОЗДУШНАЯ АКАДЕМИЯ имени профессора Н. Е. ЖУКОВСКОГО и Ю. А. ГАГАРИНА» Н. Г. АФЕНДИКОВА, И. Н. ОМЕЛЬЧЕНКО, Г. В. РЫЖАКОВ, А. Ф. САЛИМОВА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРИМЕРЫ

Подробнее

Т. И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (Методическое пособие по практическим занятиям)

Т. И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (Методическое пособие по практическим занятиям) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т. И. Коршикова,

Подробнее

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу 1. Дайте определение конечного предела последовательности. Приведите пример последовательности,

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ для студентов всех специальностей очной формы

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

Тема: Несобственные интегралы

Тема: Несобственные интегралы Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Несобственные интегралы Лектор Рожкова С.В. 23 г. 5. Несобственные интегралы Для существования необходимы условия: [;] конечен, 2 f ограничена

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

Фонд оценочных средств по теории функций комплексного переменного

Фонд оценочных средств по теории функций комплексного переменного Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Основные понятия теории рядов Критерий Коши сходимости числового ряда Необходимый признак сходимости числовых рядов Достаточные признаки

Подробнее

Решение типовых вариантов. контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной. Методические указания

Решение типовых вариантов. контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной. Методические указания Решение типовых вариантов контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной Методические указания УДК 517.91 Методические указания содержат подробные решения типовых вариантов контрольной работы

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

Основы функционального анализа и теории функций

Основы функционального анализа и теории функций Основы функционального анализа и теории функций Лектор Сергей Андреевич Тресков 3 семестр. Ряды Фурье. Постановка задачи о разложении периодической функции по простейшим гармоникам. Коэффициенты Фурье

Подробнее

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие 57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

СТРУКТУРА АПИМ И ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ

СТРУКТУРА АПИМ И ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ СТРУКТУРА АПИМ И ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ ООП: 120103.65 Космическая геодезия Дисциплина: Математика Время выполнения теста: 80 минут Количество заданий: 45 ТЕМАТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА АПИМ N ДЕ Наименование

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Элементы математического анализа Лекция 2. Интегрирование

Элементы математического анализа Лекция 2. Интегрирование Элементы математического анализа Лекция 2. Интегрирование Содержание 1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла 2. Правила интегрирования 3. Понятие определенного интеграла 4. Формула Ньютона-Лейбница

Подробнее

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики И В Прусова Н А Кондратьева Н К Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ (для

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ( МИИТ ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ. Кафедра «Прикладная математика 1»

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ( МИИТ ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ. Кафедра «Прикладная математика 1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ( МИИТ ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ( МИИТ ) Кафедра «Прикладная математика» Кафедра «Прикладная математика» ЮП Власов

Подробнее

Тема 2. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Тема 2. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Тема ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Базисная система гармонических функций Тригонометрический ряд Фурье Амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала Историческая справка Комплексный

Подробнее

Тема 2. Сложение колебаний 1. Методы сложения колебаний 2. Сложение одинаково направленных колебаний. 4. Сложное колебание и его гармонический спектр

Тема 2. Сложение колебаний 1. Методы сложения колебаний 2. Сложение одинаково направленных колебаний. 4. Сложное колебание и его гармонический спектр Тема. Сложение колебаний. Методы сложения колебаний. Сложение одинаково направленных колебаний сложение одинаково направленных колебаний с равными периодами сложение одинаково направленных колебаний с

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет. Кафедра «Высшая математика 3» РЯДЫ ФУРЬЕ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет. Кафедра «Высшая математика 3» РЯДЫ ФУРЬЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика 3» РЯДЫ ФУРЬЕ Методические указания по дисциплине «Математика» для студентов строительных

Подробнее

3 РЯДЫ Хабаровск 2004

3 РЯДЫ Хабаровск 2004 РЯДЫ Хабаровск 4 4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Числовым рядом называется выражение, где,,, числа, которые образуют бесконечную числовую последовательность, общий член ряда, где N ( N множество натуральных чисел) Пример

Подробнее

Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Равномерная непрерывность функций одной переменной. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов, Н.Т. Левашова, Н.Е. Шапкина Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Подробнее

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ» Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

«Линейная алгебра» B Решить

«Линейная алгебра» B Решить Контрольные работы по дисциплине «Высшая математика» для студентов направления 876 () «Техносферная безопасность» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия на плоскости

Подробнее

В.И. Иванов С.И. Васин

В.И. Иванов С.И. Васин Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье.

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье. Лекция 4. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда..4. Равенство Парсеваля Пусть система вещественных функций g( ), g( ),..., g ( ),... ортогональна и

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Методические указания к практическим занятиям для студентов специальности «Математика» (2 семестр)

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Методические указания к практическим занятиям для студентов специальности «Математика» (2 семестр) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математического анализа МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Методические указания

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ «ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ «ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ А.Н.ДЕНИСЕНКО, В.Н.ИСАКОВ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по выполнению лабораторных работ на ПК по дисциплине «ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ»

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

Домашнее задание: [1] 13: 1(4), 2(4), 6(3), 11(3), 12(5), 14(3), 19; 14: 1(2), 2(6), 3(6), 4(7), 5(6), 6(6), 7(7), 8(8)

Домашнее задание: [1] 13: 1(4), 2(4), 6(3), 11(3), 12(5), 14(3), 19; 14: 1(2), 2(6), 3(6), 4(7), 5(6), 6(6), 7(7), 8(8) Содержание лекций и текущие домашние задания по курсу «Математический анализ-3» для студентов 2-го курса (группы БПМИ 144 и БМПИ145) направления подготовки «Прикладная математик и информатика», факультет

Подробнее

Список задач. для итогового контроля знаний по математическому анализу Группа НМ-101 Семестр 2. x x dx;

Список задач. для итогового контроля знаний по математическому анализу Группа НМ-101 Семестр 2. x x dx; Список задач для итогового контроля знаний по математическому анализу Группа НМ-101 Семестр 2 I. Неопределённый интеграл. Вычислить интеграл: 1. 1 sin 2x (0 x π); 2. 3. x 2 + 1 x 4 + 1 ; 3 sin 2 x 8 sin

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОГО СОСТАВА ПЕРИОДИЧЕСКИХ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОГО СОСТАВА ПЕРИОДИЧЕСКИХ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ Лабораторная работа 4 ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОГО СОСТАВА ПЕРИОДИЧЕСКИХ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ 4 Тригонометрическая форма ряда Фурье Если периодическая несинусоидальная функция отвечает условиям Дирихле,

Подробнее

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности Математический анализ (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности 1 Предварительные сведения о действительных (вещественных) числах Рациональное число m Q, m, -целые числа.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

Сборник тестовых заданий

Сборник тестовых заданий федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» А.И. ФРОЛОВИЧЕВ, М.В.

Подробнее

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие Российский Университет Дружбы Народов Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды Учебно-методическое пособие Москва 205 Аннотация Учебное пособие знакомит студентов с основными понятиями, методами доказательств

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. 7. Ряд Фурье для функции, заданной на отрезке длины 2я... 28

ОГЛАВЛЕНИЕ. 7. Ряд Фурье для функции, заданной на отрезке длины 2я... 28 Предисловие к первому изданию... 8 Предисловие ко второму изданию... 10 Глава 1. Тригонометрические ряды Ф урье... 11 1. Периодические функции... 11 2. Гармоники... 13 3. Тригонометрические многочлены

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Теоретические вопросы.

Теоретические вопросы. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ Кафедра высшей математики. Дисциплина Математика Специальность 160505. Курс 2. Осенний семестр 2012 года Теоретические вопросы. РАЗДЕЛ

Подробнее

Неопределённый интеграл: таблица интегралов, линейная замена

Неопределённый интеграл: таблица интегралов, линейная замена Неопределённый интеграл: таблица интегралов, линейная замена Учебная презентация Е. А. Максименко Южный федеральный университет 3 февраля 2008 г. Е. А. Максименко (ЮФУ) Неопределённый интеграл 3 февраля

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx.

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Лекция 5. Понятие несобственного интеграла -го рода, его вычисление. Критерий сходимости. Интегралы от положительных функций. Признаки сравнения, абсолютная

Подробнее

a k = a + k a k k=1 k=1 Сумма абсолютно сходящегося комплексного ряда z k определяется формулами k=1 k=1

a k = a + k a k k=1 k=1 Сумма абсолютно сходящегося комплексного ряда z k определяется формулами k=1 k=1 Основные определения 1. Сумма положительного ряда и массива. Частичной суммой ряда (массива t T a t ) называется сумма вида n ( t T a t, T конечное подмножество T ). Положительный ряд (массив) называется

Подробнее

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее