1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ"

Транскрипт

1 ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение в ряд Фурье функций на [ ; ] 8 7 Разложение в ряд функций заданных на [ ; ] 8 Разложение в ряд функций заданных на [ ; + ] 9 Ряд Фурье в комплексной форме Амплитудный и фазовый спектр периодической функции 4 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ 7 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 6 3

2 Глава Ряды Фурье ПОНЯТИЕ О ПРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ В природе и технике мы часто встречаемся с периодическими функциями времени Процессы связанные с работой любой машины любого механизма процессы и явления изучаемые в курсе физики электротехнике дают нам примеры такого рода величин В настоящее время периодические функции хорошо изучены и широко используются в различных областях техники Число называется периодом функции y f () если для любого из области определения функции числа + также принадлежат области определения и f ( ± ) () Из этого определения следует что если период функции то ее периодом будет также k где k любое целое число Действительно f ( ± ) f (( ± ) ± ) K f ( ± k ) Поэтому обычно говоря о периоде функции имеют в виду наименьшее положительное число удовлетворяющее равенству () Например так как si si( + ) si( + k ) cos cos( + ) cos( + k ) то функции y si и y cos периодические функции периода Аналогично в силу равенств tg tg( + ) tg( + k ) ctg ctg( + ) ctg( + k ) функции y tg и y ctg периодические функции периода Отметим некоторые свойства периодических функций ) Сумма разность произведение и частное периодических функций периода является периодической функцией того же периода Так например функция y Asi + B cos периодическая функция периода ) Если функция y f () имеет период то функция f () имеет период Действительно для любого f + f ( + ) f ( ) () 4

3 Например для функции y siω имеем: siω si( ω + ) si ω + ω Следовательно эта функция имеет период и по предыдущему ω свойству такой же период будет иметь функция y Asi ω + B cosω С геометрической точки зрения умножение аргумента функции на число означает сжатие при > и растяжение при < графика этой функции вдоль оси O 3) Если f () периодическая функция периода то любые два интеграла от этой функции взятые по промежутку длины равны между собой (предполагается что эти интегралы существуют): Действительно f ) d d ( d (3) + + d d + d + d Преобразуем последний интеграл: Тогда + + u + d d du н в + + u u н в f u + ) du f ( u) du u u н в f ( u + ) f ( u) тк ( d f ( u) периодическая d d + d + d d Дадим геометрическую иллюстрацию формулы (3) Построим график периодической функции Для этого достаточно знать ее аналитическое выражение на отрезке [ ; ] построить график функции на этом отрезке и затем продолжить его вправо и влево по периодическому закону При этом площадь криволинейной трапеции с основанием [ ; ] будет равна площади криволинейной трапеции с основанием [ α ; α + ] (см рис) 5

4 y В частности если α то α α+ рис α + и из (3) следует d d (4) ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ ПОЛИНОМ Простейшей тригонометрической функцией является функция y si Рассмотрим функцию которая получится если домножить эту функцию на постоянный множитель а аргумент заменить на линейную функцию от те функцию y Asi( ω + α) (5) Это периодическая функция с периодом Имеем: ω y Asi( ω + α) A (siω cosα + cosω siα) ( Acosα) siω + ( Asiα) cosω Обозначим A cos α A si α Тогда A + cosα siα + + и y siω + cosω (6) Функция вида (5) или (6) называется гармоникой или синусоидальной функцией При этом постоянная A называется амплитудой выражение ( ω + α) фазой α начальной фазой (фаза при ) ω частотой (ω целое положительное число связанное с периодом соотношением ) ω График синусоидальной функции y Asi( ω + α) получается из графика синусоиды y si следующим образом: ) растяжением по оси Oy с коэффициентом растяжения A; ) сжатием графика y Asi по оси O с коэффициентом сжатия ω ; 6

5 α 3) смещением полученного графика по оси O на величину (те ω вправо при α отрицательном и влево при α положительном) ПРИМЕР Построим график функции y si(4 8) Здесь A ω 4 α 8 < ) Построим график функции y si ) Растянем этот график по оси Oy в раза и получим график функции y si (см рис ) 3) Сжатием по оси O в 4 раза получим график функции y si 4 (см рис 3) 8 4) Сместим полученный график влево на и получим искомый график (см рис 4) 4 y y Рис y si y si Рис 3 y si 4 5 y si y y si 4 5 y si(4 8) Рис 4 Сложение гармоник одной частоты (одного периода) дает гармонику той же частоты Действительно y A si( ω + α) cosω + siω y A si( ω + α ) cosω + siω y y + y + )cosω + ( ) siω ( + Сложение гармоник с частотами кратными ω те с частотами ω ω 3 ω ω дает более сложную периодическую функцию чем синусоидальная функция Функция f ) A si( ω + α ) + A si(ω + α ) + K + A si( ω + α ) (7) ( 7

6 называется тригонометрическим полиномом -го порядка В (7) первая гармоника A si( ω + α) cosω + siω имеет период вторая гармоника ω A si( ω + α ) cos ω + si ω имеет период -я гармоника ω A si( ω + α ) cos ω + si ω имеет период Период тригонометрического полинома (7) ω равен периоду первой гармоники Действительно f + A si ω + + α + A si ω + + α + ω ω ω + A3 si 3ω + + α3 + K + A si ω + + α ω ω A si[ ( ω+ ) + α] + A si[ ( ω+ ) + α ] + K + A si[ ( ω+ ) + α ] A si( ω + α) + A si(ω + α ) + K + A si( ω + α ) Таким образом подбирая различные амплитуды A i и начальные фазы α i различных гармоник и увеличивая можно получить разнообразные периодические функции с периодом равным периоду первой гармоники При этом совокупность величин A i называется амплитудным спектром а совокупность начальных фаз α i фазовым спектром Прибавим к сумме (7) постоянное слагаемое означающее сдвиг начала отсчета Получим + ( cosω + siω) + ( cosω + si ω ) + K+ + ( cosω + si ω) + ( k coskω + k si kω) k Эта функция дает закон сложного периодического колебания с периодом В частности ω ) если те ω то 8

7 ) если те + ( k cosk + k si k) ; k ω то k k + k cos + k si k Теперь рассмотрим обратную задачу Пусть f () периодическая функция ( ) описывающая некоторое колебательное движение Естественно возникает вопрос о представлении этой функции в виде суммы простейших колебаний (гармоник) При этом заранее известно что период функции должен быть целым кратным периоду любой гармоники входящей в эту сумму Тогда гармоники сумма которых должна быть равна f () имеют вид si( + α) те или k 9 A A k si( k + α ) ( cosk + si k) k k k или + ( k cosk + k si k) (8) k Но оказалось что если брать конечное число гармоник то не всегда удается представить f () в виде суммы (8) В общем случае такое представление возможно только если число слагаемых бесконечно те + ( k cosk + k si k) (9) k Функциональный ряд (9) называется тригонометрическим рядом k k коэффициенты тригонометрического ряда Отметим несколько фактов касающихся сходимости ряда (9) Имеем: k cos k k k si k k Поэтому если ряд + ( k + k ) сходится то и ряд (9) сходится на всей числовой оси притом равномерно Кроме того если ряд (9) равномерно сходится на [ ; ] то в силу периодичности слагаемых он будет равномерно сходиться на k

8 всей числовой прямой а его сумма f () будет функцией периодической (период ) и непрерывной (так как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций есть непрерывная функция) В дальнейшем будем решать задачу разложения сложного колебания на сумму простых гармоник Представление периодических функций в виде суммы гармоник называется гармоническим анализом 3 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ Функция f () заданная на [ ; ] называется кусочно непрерывной на [ ; ] если она имеет лишь конечное число точек разрыва первого рода Скалярным произведением двух функций f () и ϕ () определенных и кусочно непрерывных на [ ; ] называется число обозначаемое ( ϕ ( ) ) и равное определенному интегралу от произведения этих функций по отрезку [ ; ] те ( ( ) ( ) ) f ϕ ϕ ( ) d Функции f () и ϕ () называются ортогональными на [ ; ] если их скалярное произведение равно нулю те если ϕ ( ) d Нормой функции f () на [ ; ] называется число обозначаемое f () и равное корню квадратному из интеграла [ ] d те Если интеграл [ ( ) ] d f () [ ] d f то функция f () называется нормированной на [ ; ] Пусть имеется последовательность функций

9 f ( ) f ( ) f () определенных и кусочно непрерывных на [ ; ] причем среди них нет функций тождественно равных нулю Последовательность функций { f i ( )} называется ортогональной на [ ; ] если любые две различные функции этой системы ортогональны на [ ; ] те d i j i j Последовательность функций { f i ( )} называется нормированной на [ ; ] если нормирована каждая функция этой последовательности те [ ( )] f d i i Последовательность функций { f i ( )} называется ортонормированной на [ ; ] если она является ортогональной и нормированной те если i j; fi ( ) f j ( ) d если i j ПРИМЕР Рассмотрим систему тригонометрических функций cos si cos si cos si () общего периода Покажем что эта система функций ортогональна на [ ; ] Имеем: ) cosd si ; si cos d ) cos cosmd [cos( ) + cos( + ) ] m m d при m ; si si md [cos( ) cos( + ) ] m m d при m 3) si cosmd [si( ) + si( + ) ] m m d при m ; si cosd si d

10 Таким образом система () тригонометрических функций действительно является ортогональной на [ ; ] Ортонормированной система () не будет так как d cos d ( + cos) d si d ( cos) d Учитывая последние равенства получаем что ортонормированной будет система функций cos si cos si cos si () Заметим что функции системы () (а также системы ()) линейно независимы Аналогично можно показать что на [ ; ] система функций cos si cos si cos si () является ортогональной а система функций cos si cos si cos si (3) является ортонормированной Ортогональную (ортонормированную) систему функций можно считать аналогом ортогонального (ортонормированного) базиса в конечномерном евклидовом пространстве Как мы позднее убедимся имеется класс функций которые являются линейными комбинациями функций ортогональной (ортонормированной) системы причем слагаемых в линейной комбинации может быть бесконечное число Линейная комбинация с бесконечным числом слагаемых представляет собой ряд Использование ряда как функции связано с вопросами сходимости этого ряда Рассмотрим разложение функции f () по тригонометрической системе функций ()

11 4 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ Тригонометрическим рядом Фурье функции f () на отрезке [ ; ] называется разложение этой функции по тригонометрической системе функций () те ряд + ( cos + si ) + ( cos + si ) + K+ + ( cos + si ) + K + ( cos + si ) (4) Членами ряда (4) являются кратные друг другу гармоники расположенные в порядке возрастания их частот (нулевая гармоника берется с множителем ) Числа называются коэффициента- ми тригонометрического ряда Фурье Пусть ряд (4) равномерно сходится на [ ; ] и его сумма равна f () Равномерная сходимость допускает почленное интегрирование ряда Воспользуемся этим чтобы найти коэффициенты ряда ) Интегрируя почленно ряд (4) будем иметь: d d + ( cos + si ) d + + cosd si d (равенство нулю интегралов показано ранее при доказательстве ортогональности системы ()) Отсюда находим ) f ( d и 3 d Замечание Свободный член ряда (4) представляет собой среднее значение функции f () на [ ; ] ) Умножим ряд (4) на cos m При этом его равномерная сходимость не нарушается так как cos m непрерывна на [ ; ] и следовательно ограничена на этом отрезке Почленно интегрируя полученный ряд будем иметь:

12 cosmd cosmd + ( cos cosm+ si cosm) d 4 43 cos cosmd + si cosmd Следовательно cosd cosd при m; при m 3) Аналогично умножая ряд (4) на si m и почленно интегрируя получим: simd simd+ ( cos si m+ si si m) d 4 43 cos si md + si si md Следовательно и si d Таким образом получили: cosd si d si d ( K) ( K) при m; при m (5) Найти ряд Фурье для функции f () значит найти коэффициенты по формулам (5) и записать тригонометрический ряд (4) с этими коэффициентами 4

13 Каким же условиям должна удовлетворять функция f () чтобы ее можно было разложить в тригонометрический ряд Фурье? Функция f () называется кусочно монотонной на [ ; ] если этот отрезок можно разбить на конечное число отрезков на каждом из которых функция монотонна те либо возрастает либо убывает либо является постоянной Если непрерывная (или кусочно непрерывная) функция f () на [ ; ] монотонна или кусочно монотонна то в любой внутренней точке c [ ; ] она имеет левый и правый предел те существуют im f ( c ) и im f ( c + ) c c+ ТЕОРЕМА (Дирихле) Пусть функция f () определена на [ ; ] и удовлетворяет на этом отрезке условиям: ) f () непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода (те кусочно непрерывна); ) f () монотонна или имеет конечное число точек экстремумов (те кусочно монотонна) Тогда f () разлагается на отрезке [ ; ] в тригонометрический ряд Фурье Те тригонометрический ряд Фурье функции f () сходится на отрезке [ ; ] и его суммой является функция S () определенная на этом отрезке следующим образом: ) S () f () во всех точках [ ; ] в которых f () непрерывна; f ( k ) + f ( k + ) ) S ( k ) если k [ ; ] и k точка разрыва первого рода функции f () Те в точках разрыва функции f () функция S () равна среднему арифметическому односторонних пределов f () в этой точке f ( ) + f ( + ) 3) S ( ) S( ) Те на границах отрезка [ ; ] функция S () равна среднему арифметическому левого предела функции f () в точке и правого предела функции f () в точке Причем на любом отрезке [ ; ] [ ; ] не содержащем точек разрыва функции f () тригонометрический ряд Фурье сходится к f () равномерно 5

14 Условия ) и ) теоремы Дирихле называются условиями Дирихле Теорема Дирихле дает достаточные условия разложения функции в тригонометрический ряд Фурье на отрезке [ ; ] Существуют и другие достаточные условия разложения функции в тригонометрический ряд Фурье Но для решения практических задач обычно достаточно теоремы Дирихле так как условиям Дирихле удовлетворяет большой класс функций Пусть функция f () периодическая с периодом разлагающаяся в тригонометрический ряд Фурье на отрезке [ ; ] Тогда это разложение имеет место для всех ( ; + ) Это очевидным образом вытекает из следующих утверждений: ) cos и si определены для всех ( ; + ) и следовательно тригонометрический ряд Фурье определен для всех ( ; + ) ; ) сумма S () тригонометрического ряда (4) является функцией периодической с периодом ; 3) S () f () во всех точках непрерывности функции f () на отрезке [ ; ] и следовательно и в остальных точках непрерывности f () (тк обе функции периодические с периодом ) 5 РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ ЧЕТНЫХ И НЕЧЕТНЫХ ФУНКЦИЙ Рассмотрим симметричный интеграл ) d d + f ( d где f () непрерывная или кусочно непрерывная на [ ; ] Сделаем замену в первом интеграле Полагаем t Тогда d dt t и н t н t ; в t в f ) d f ( t) dt + d f ( ) d + ( d н в 6

15 Следовательно если f () четная функция то f ( ) (те график четной функции симметричен относительно оси Oy ) и f ) d f ( ) d + d ( d 3 Если f () нечетная функция то f ( ) (те график нечетной функции симметричен относительно начала координат) и d f ( ) d + 3 d Те симметричный интеграл от четной функции равен удвоенному интегралу по половинному промежутку интегрирования а симметричный интеграл от нечетной функции равен нулю Отметим также следующие два свойства четных и нечетных функций: ) произведение четной функции на нечетную есть функция нечетная; ) произведение двух четных (нечетных) функций есть функция четная Пусть f () четная функция заданная на [ ; ] и разлагающаяся на этом отрезке в тригонометрический ряд Фурье Используя полученные выше результаты получаем что коэффициенты этого ряда будут иметь вид: d cosd ( K) Если f () нечетная функция заданная на [ ; ] и разлагающаяся на этом отрезке в тригонометрический ряд Фурье то коэффициенты этого ряда будут иметь вид: si d ( K) Следовательно тригонометрический ряд Фурье на [ ; ] будет иметь вид а) для четной функции: + cos (6) 7

16 б) для нечетной функции: si (7) Ряд (6) не содержит синусов кратных углов те в ряд Фурье четной функции входят только четные функции и свободный член Ряд (7) не содержит косинусов кратных углов те в ряд Фурье нечетной функции входят только нечетные функции Ряды (6) и (7) являются частями полного ряда Фурье и называются неполными тригонометрическими рядами Фурье Если функция f () разлагается в неполный тригонометрический ряд (6) (или (7)) то говорят что она разлагается в тригонометрический ряд Фурье по косинусам (или по синусам) 6 РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУРЬЕ ФУНКЦИЙ НА [ ; ] Пусть функция f () задана на [ ; ] и удовлетворяет на этом отрезке условиям Дирихле Сделаем замену переменной положив ωt где ω подберем так чтобы получившаяся функция f () f ( ωt) аргумента t была определена на [ ; ] Следовательно считаем что ω ω ωt t Получившуюся в результате замены функцию f t можно разложить на [ ; ] в ряд Фурье: где f t + ( cost + si t) dt f t cos f t 8 f t si tdt Сделаем обратную замену t dt d н в tdt

17 Получим: f t f () + cos + si (8) где d f ( ) si d cos d Ряд (8) ряд Фурье по основной тригонометрической системе функций cos si cos si cos si () Таки образом мы получили что если функция задана на [ ; ] и удовлетворяет на этом отрезке условиям Дирихле то она может быть разложена в тригонометрический ряд Фурье (8) по тригонометрической системе функций () Легко также показать что для четной функции f () заданной на [ ; ] тригонометрический ряд Фурье будет иметь вид f () + cos где d а для нечетной где f () cos d ; () si (9) si d () Замечание В некоторых задачах требуется разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье по системе функций () не на отрезке [ ; ] а на отрезке [ ; ] В этом случае необходимо просто изменить пределы интегрирования в формулах (9) ((5) если ) те в этом случае 9

18 или если d f ( ) si d d cos d cosd si d Действительно сумма тригонометрического ряда Фурье периодическая с периодом (или ) функция являющаяся периодическим продолжением заданной функции f () А для периодической функции справедливо равенство (4) (3) (4) 7 РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУНКЦИЙ ЗАДАННЫХ НА [ ; ] Пусть функция f () задана на [ ; ] и удовлетворяет на этом отрезке условиям Дирихле Такую функцию тоже можно разложить в ряд Фурье Для этого функцию f () нужно доопределить на промежуток [ ; ) и полученную функцию разложить в ряд Фурье на отрезке [ ; ] При этом полученный ряд следует рассматривать только на отрезке [ ; ] на котором функция задана Доопределять функцию можно как угодно но для удобства вычислений функцию обычно доопределяют четным или нечетным образом Действительно ) Продолжим f () на [ ; ) четным образом те построим новую четную функцию f ( ) совпадающую на [ ; ] с функцией f () Следовательно график этой функции симметричен относительно оси Oy y f () y и на отрезке [ ; ] совпадает с графиком f () По формулам () найдем коэффициенты ряда Фурье для функции f ( ) и запишем сам ряд Фурье Сумма

19 S ( ) ряда Фурье для f ( ) периодическая функция с периодом Она будет совпадать с функцией f () на [ ; ] во всех точках непрерывности ) Доопределим f () на [ ; ) нечетным образом те построим новую нечетную функцию f ( ) совпадающую на [ ; ] с функцией f () График такой функции симметричен относительно начала координат y y f () и на отрезке [ ; ] совпадает с графиком f () По формулам () найдем коэффициенты ряда Фурье для функции f ( ) и запишем сам ряд Фурье Сумма S ( ) ряда Фурье для f ( ) периодическая функция с периодом Она будет совпадать с функцией f () на [ ; ] во всех точках непрерывности Замечания ) Аналогично можно разложить в ряд Фурье функцию заданную на отрезке [ ; ] ) Так как разложение функции f () на [ ; ] предполагает ее продолжение на отрезок [ ; ] произвольным образом то и ряд Фурье для f () не будет единственным 8 РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУРЬЕ ФУНКЦИЙ ЗАДАННЫХ НА [ ; + ] Пусть функция f () задана на произвольном отрезке [ ; + ] длины и удовлетворяет на нем условиям Дирихле Тогда эта y y f () функция может быть разложена в ряд Фурье Для этого функцию нужно периодически (с периодом ) продолжить на всю числовую прямую и полученную функцию разложить в ряд Фурье который следует + +4

20 рассматривать только на отрезке [ ; + ] В силу свойства (3) периодических функций имеем + d d d Поэтому коэффициенты Фурье для полученного продолжения функции () f можно найти по формулам + d + f + ( ) si d cos d (5) 9 РЯД ФУРЬЕ В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ Пусть функция f () на отрезке [ ; ] удовлетворяет условиям Дирихле и ряд Фурье этой функции имеет вид (8) f () + cos + si где коэффициенты определяются по формулам (9) Обозначим ω и тогда () + cos ω + si ω f [ ( ) ( )] Используя формулы Эйлера iα iα iα iα iα iα e + e e e e e cosα siα i i получим iω iω iω iω e + e e e cosω si ω i Преобразуем слагаемые ряда Фурье: iω iω iω iω e + e e e cos ( ω) + si( ω) i i ω i iω + i e + e

21 Обозначим Тогда ряд Фурье примет вид: c i + i c c f () [ iω iω + + ] iω c ce c e c + ce + c или f () + 3 c e e iω (6) i ω (7) Выражение (7) называется комплексной формой ряда Фурье функции f () на [ ; ] Комплексные коэффициенты c можно найти не вычисляя Действительно i i c cosωd si ωd Аналогично ω e ( cos isi ω) d iω d + i i c + cosωd si ωd Итак при любом ω e ( cos + isi ω) d ± ± K будем иметь: c e iω iω d d (8) Если функция f () задана на [ ; ] и удовлетворяет на этом отрезке условиям Дирихле то ω и ряд Фурье функции f () в комплексной форме имеет вид f () + i e c где c e i d (9) Комплексная форма ряда Фурье функции f () обладает по сравнению с обыкновенным рядом Фурье преимуществом краткости и еди-

22 нообразия формул для определения коэффициентов Кроме того данная форма позволяет легко перейти к понятию интеграла Фурье АМПЛИТУДНЫЙ И ФАЗОВЫЙ СПЕКТР ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ Пусть функция f () периодическая с периодом представлена рядом Фурье (8): f () + cos + si Применим преобразование cosα + siα + cosα + siα + + где Обозначим + si( α + ϕ) siϕ cosϕ + + tg ϕ или ϕ rctg ω Тогда ( ω) si( ω) cos + + si( ω + ϕ ) и ряд Фурье будет иметь вид f () A + A si( ω + ϕ ) где A A + Первое слагаемое A si( ω + ϕ) называют основной гармоникой остальные слагаемые A si( ω + ϕ ) ( 3 K) верхними гармониками; A амплитуда -гармоники ϕ фаза -гармоники Совокупность величин A называется амплитудным спектром а совокупность величин ϕ фазовым спектром периодический функции f () Амплитудный спектр можно изобразить графически вертикальными отрезками длины A : по оси O отмечаем значения частот 4

23 ω ω 3ω K ω K по оси Oy соответствующие значения амплитуд A A A3 K A K При этом считаем что постоянной составляющей периодического колебания A соответствует частота ω y ω ω 3ω 4ω KKK ω ω Аналогично изображается фазовый спектр Поскольку периодическая функция представляется бесконечной суммой гармоник с кратными частотами то ее спектр носит дискретный характер Для многих практических приложений достаточно знать лишь амплитудный спектр функции Изучая амплитудный спектр ряда Фурье периодического колебания легко найти те значения частот которым соответствуют большие значения A те те частоты которым соответствуют гармоники с относительно большой ролью в образовании представлена ря- периодического процесса Пусть периодическая функция периода дом Фурье в комплексной форме (7): f () c где коэффициенты + c e iω + c e iω + c e i ω c определяются по формулам (8): c e iω d В электротехнике и радиотехнике принята следующая терминология: ω называется основной частотой; ω ω называются спектральными или волновыми числами функции f () ; выражения iω iω e e называются гармониками Совокупность волновых чисел называется спектром Если отмечать эти числа на числовой прямой то получим совокупность отдельных точек Такую совокупность точек называют дискретной а соответствующий спектр дискретный Коэффициенты c определяемые по формулам 5

24 c e iω d называются комплексными амплитудами В некоторых трудах по электротехнике и радиотехнике совокупность модулей амплитуд c тоже называют спектром функции f () Коэффициенты c разложения функции в комплексный ряд Фурье являются комплексно сопряженными числами (см (6)): i + i c c Поэтому для модулей этих чисел имеем: c ± ± i + A (3) те спектры c и A отличаются лишь масштабом вертикальных линий Так как c e iω d e iω d то коэффициенты c можно считать функцией от частоты ω те c C( ω ) Спектральной функцией или спектральной плотностью S( ω ) функции f (ω) называется отношение C( ω ) к приращению ( + ) частоты ω те S( ω ) C( ω ) C( ω ) iω ω e d Величины ( ) аргументы Величины S( ω ) e iω d (3) S ω комплексные и для них можно найти модули и e iω d называются амплитудным спектром а Φ ( ω ) rg S( ω ) фазовым спектром функции f () 6

25 Так как C( ω ) S( ω ) то в точках непрерывности кусочногладкой функции f () имеет место разложение f () В частности при имеем: + S( ω ) e ω ω ω c iω e и C( ω ) S( ω ) S( ) S ( ) c амплитудный спектр Φ ( ) rg c фазовый спектр i d и f () + i S ( ) e Глава Решение типовых задач Как правило в ряд Фурье требуется разложить периодическую функцию являющуюся периодическим продолжением заданной на отрезке функции При этом рекомендуется придерживаться следующей схемы действий: ) построить график заданной функции f () найти ее периодическое продолжение f () на всю ось O ; ) установить период функции f () ; 3) выяснить является ли функция четной нечетной или общего вида; 4) проверить удовлетворяет ли функция f () условиям Дирихле; 5) вычислить коэффициенты ряда Фурье; 6) записать ряд Фурье; 7) записать сумму полученного ряда При решении задач следует также помнить: cos ( ) si ( K) cos ( ) k k + ; si k ; ( ) ( k K) 7 k k ; k + ; (3)

26 ПРИМЕР Функцию < < ; разложить в ряд < Фурье на ( ; ) Построить график суммы полученного ряда С помощью разложения найти сумму числового ряда ( ) РЕШЕНИЕ Построим график функции f () и ее периодического продолжения f () y 3 3 График функции не симметричен относительно оси Oy или начала координат Следовательно функция общего вида Периодическое продолжение имеет период На интервале ( ; ) функция непрерывна и кусочно монотонна Следовательно на отрезке [ ; ] функция удовлетворяет условиям Дирихле и может быть представлена рядом Фурье Коэффициенты ряда Фурье находим по формулам (5): 3 ( ) f d + d + d 3 ; 4 + cosd cosd cosd u du d si dv cos d v si si si + + d si d

27 cos cos + [ cos] + [cos ] k ; cos [( ) ] 6 k si d si d + si d u du d cos dv si d v cos cos cos + d cos d si si cos cos ( ) cos Записываем ряд Фурье функции f () по формуле (4): cos si ( ) [( ) ] cos + si si 6cos3 si K Сумма полученного ряда на отрезке [ ; ] принимает значения функции f () в точках непрерывности этой функции и значение + 3 на концах отрезка На остальной части числовой прямой она принимает значения периодического продолжения f () функции 9

28 f () в точках непрерывности функции f () и значение 3 в точ- ках разрыва функции f () Те (где S ( ) f ((k ) ) + f ((k ) + ) 3 k Z) График функции S () имеет вид: (k ) ; (k ) y 3 3 Найдем значение суммы ряда S () в точке Эта точка является точкой непрерывности функции f () Поэтому S ( ) f () Но с другой стороны + [ ] ( ) S() ( ) cos( ) + si( ) K+ + K ( ) Следовательно ( ) ( ) ( ) 8 Таким образом используя разложение функций в ряд Фурье можно находить точные суммы некоторых сходящихся числовых рядов 3

6. Ряды Фурье Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Функции ϕ (x)

6. Ряды Фурье Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Функции ϕ (x) 6 Ряды Фурье 6 Ортогональные системы функций Ряд Фурье по ортогональной системе функций Функции ϕ () и ψ (), определенные и интегрируемые на отрезке [, ], называются ортогональными на этом отрезке, если

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А.

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А. РЯДЫ ФУРЬЕ Автор-составитель: доцент каф ВМ Цапаева СА Великий Новгород ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ГАРМОНИК Определение Гармониками называются комплекснозначные функции вида iω ( ) e, где действительная переменная,

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

Лекция 4. Гармонический анализ. Ряды Фурье

Лекция 4. Гармонический анализ. Ряды Фурье Лекция 4. Гармонический анализ. Ряды Фурье Периодические функции. Гармонический анализ В науке и технике часто приходится иметь дело с периодическими явлениями, т. е. такими, которые повторяются через

Подробнее

{тригонометрический ряд тригонометрическая система примеры - разложение на интервале [ -l; l ] для функций произвольного периода - неполные ряды

{тригонометрический ряд тригонометрическая система примеры - разложение на интервале [ -l; l ] для функций произвольного периода - неполные ряды {тригонометрический ряд тригонометрическая система примеры - разложение на интервале [ -l; l ] для функций произвольного периода - неполные ряды разложение по синусам и косинусам четные и нечетные продолжения}

Подробнее

ω n =, а коэффициенты a n и

ω n =, а коэффициенты a n и Интеграл Фурье Действительная и комплексная формы записи интеграла Фурье Пусть f () непериодическая функция, определенная на всей числовой оси и удовлетворяющая условиям Дирихле на любом конечном промежутке

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье.

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье. Лекция 4. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда..4. Равенство Парсеваля Пусть система вещественных функций g( ), g( ),..., g ( ),... ортогональна и

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Тема: Тригонометрические ряды Фурье

Тема: Тригонометрические ряды Фурье Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Тригонометрические ряды Фурье Лектор Рожкова С.В. 013 г. 38. Тригонометрические ряды Фурье 1. Разложение функции в тригонометрический

Подробнее

Математический анализ Ряды

Математический анализ Ряды Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения Математический анализ Ряды Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики

Подробнее

Элементы гармонического анализа

Элементы гармонического анализа Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая и прикладная математика» Н. П. Чуев Элементы гармонического анализа Методические

Подробнее

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ. Кафедра «Математика»

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ. Кафедра «Математика» ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Математика» Учебно-методическое пособие по дисциплине «Математика» «Ряды Часть II» Авторы

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет. Кафедра «Высшая математика 3» РЯДЫ ФУРЬЕ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет. Кафедра «Высшая математика 3» РЯДЫ ФУРЬЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика 3» РЯДЫ ФУРЬЕ Методические указания по дисциплине «Математика» для студентов строительных

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

( x) С учетом того, что коэффициенты при косинусах принято обозначать буквой a, при синусах буквой b, а начальный коэффициент

( x) С учетом того, что коэффициенты при косинусах принято обозначать буквой a, при синусах буквой b, а начальный коэффициент Лекция 4 РЯДЫ ФУРЬЕ ПО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ Ряд Фурье для периодической функции с периодом T Признаки сходимости тригонометрических рядов Фурье 3 Тригонометрические ряды Фурье для четных и нечетных

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

где - функции данного класса, а - коэффициенты из R или C,

где - функции данного класса, а - коэффициенты из R или C, Ряды Фурье Ортогональные системы функций С точки зрения алгебры равенство где - функции данного класса а - коэффициенты из R или C попросту означает что вектор является линейной комбинацией векторов В

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

7 Тригонометрические ряды Фурье

7 Тригонометрические ряды Фурье 35 7 Тригонометрические ряды Фурье Ряды Фурье для периодических функций с периодом T. Пусть f(x) - кусочно - непрерывная периодическая функция с периодом T. Рассмотрим основную тригонометрическую систему

Подробнее

Лекция 6 ЦЕПИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Лекция 6 ЦЕПИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА Лекция 6 ЦЕПИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА План Тригонометрическая форма ряда Фурье Ряд Фурье в комплексной форме Комплексный частотный спектр 3 Мощности в цепях несинусоидального тока Коэффициенты,

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

1.10. Гармонический анализ; ряды и преобразование Фурье

1.10. Гармонический анализ; ряды и преобразование Фурье Лекция 3. Ряды Фурье. Достаточное условие представления функции f( рядом Фурье. Разложение периодической.. Гармонический анализ; ряды и преобразование Фурье... Свойство ортогональности функций Две вещественные

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

Основные тригонометрические функции. Рис.1. y sin x и y cos x. Число, равное ординате конца единичного радиуса, соответствующего углу

Основные тригонометрические функции. Рис.1. y sin x и y cos x. Число, равное ординате конца единичного радиуса, соответствующего углу Основные тригонометрические функции Чтобы дать определение тригонометрических функций, рассматривают окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Эту окружность называют тригонометрическим кругом.

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Тригонометрические ряды Фурье

Тригонометрические ряды Фурье Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

(a k cos nx + b k sin nx) (5.1.1) k=1

(a k cos nx + b k sin nx) (5.1.1) k=1 Глава 5. Ряды Фурье 5.. Занятие 5 5... Основные определения Функциональный ряд вида a 2 + (a k cos x + b k si x) (5..) называется тригонометрическим рядом, числа a и b коэффициентами тригонометрического

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

Лекция 4 Москва, 2015

Лекция 4 Москва, 2015 Спектральное представление сигналов к.ф.-м.н., доцент Московский государственный университет факультет ВМК кафедра Математических методов прогнозирования Спектральное представление сигналов Лекция 4 Москва,

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

Тема 3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Тема 3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Тема 3 ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Прямое и обратное преобразования Фурье Спектральная характеристика сигнала Амплитудно-частотный и фазо-частотный спектры Спектральные характеристики

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

Модифицированные функции Бесселя. Ряды Фурье-Бесселя и Дини. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя.

Модифицированные функции Бесселя. Ряды Фурье-Бесселя и Дини. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя. Линейные и нелинейные уравнения физики Модифицированные функции Бесселя. Ряды Фурье-Бесселя и Дини. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя. Старший преподаватель кафедры ВММФ Левченко Евгений Анатольевич

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

Тема 3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Тема 3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ осенний семестр учебного - года Тема 3 ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Прямое и обратное преобразования Фурье Спектральная характеристика сигнала Амплитудно-частотный и фазо-частотный спектры

Подробнее

Глава III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ 3.1. Двойные интегралы

Глава III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ 3.1. Двойные интегралы Глава III ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ Двойные интегралы ЛИТЕРАТУРА: [], гл; [], глii; [9], гл XII, 6 Для решения задач по этой теме необходимо,

Подробнее

c a в Основные тригонометрические тождества sin cos 1 ctg 1 tg sec

c a в Основные тригонометрические тождества sin cos 1 ctg 1 tg sec Занятие. Тригонометрические функции числового аргумента (определение, значения, знаки, чётность, нечётность, периодичность, ограниченность, основные тождества). Формулы приведения. Любой угол измеряется

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. Приложение. Определение первообразной функции Определение. Дифференцируемая функция F() называется первообразной для функции f() на заданном промежутке, если для всех из этого промежутка. справедливо равенство

Подробнее

Спектральное представление функций (сигналов)

Спектральное представление функций (сигналов) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА»

Подробнее

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ПРОГРАММА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Часть IV для студентов уровня ВО заочной формы обучения специальности 45 «Сети

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок Векторная система

Подробнее

Тема 2. Сложение колебаний 1. Методы сложения колебаний 2. Сложение одинаково направленных колебаний. 4. Сложное колебание и его гармонический спектр

Тема 2. Сложение колебаний 1. Методы сложения колебаний 2. Сложение одинаково направленных колебаний. 4. Сложное колебание и его гармонический спектр Тема. Сложение колебаний. Методы сложения колебаний. Сложение одинаково направленных колебаний сложение одинаково направленных колебаний с равными периодами сложение одинаково направленных колебаний с

Подробнее

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Операционное исчисление относится к символическим исчислениям в основе которых лежат построение математического анализа как системы формальных операций над искусственно введенным

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов Методические указания к изучению темы «Неопределенный интеграл» (для студентов

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

Тема 2. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Тема 2. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Тема ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Базисная система гармонических функций Тригонометрический ряд Фурье Амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала Историческая справка Комплексный

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Лекция 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕ- СКИХ ЦЕПЕЙ

Лекция 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕ- СКИХ ЦЕПЕЙ 54 Лекция 5 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕ- СКИХ ЦЕПЕЙ План Спектры апериодических функций и преобразование Фурье Некоторые свойства преобразования Фурье 3 Спектральный метод

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида ХVIII Ряды Понятие о числовом ряде Числовым рядом называется выражение вида (8) где,, 3, некоторые числа, называемые членами ряда Если п произвольный (текущий) номер, то число а п называют общим членом

Подробнее

Ответы к заданию

Ответы к заданию Ответы к заданию.. понятия одного аргумента.. Основные элементарные.. элементарных функций.4. предела f в точке. х Х Если каждому элементу х из множества Х поставлен в соответствие определенный элемент

Подробнее

FOURIER SERIES. å. à. Çàòàä M. I. VISHIK

FOURIER SERIES. å. à. Çàòàä M. I. VISHIK FOURIER SERIES M I VISHIK Represetatio of ay periodic fuctio as a sum of correspodig trigoometric series, kow as its Fourier series expasio, is discussed Parseval equatio is preseted: itegral of a squared

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. 7. Ряд Фурье для функции, заданной на отрезке длины 2я... 28

ОГЛАВЛЕНИЕ. 7. Ряд Фурье для функции, заданной на отрезке длины 2я... 28 Предисловие к первому изданию... 8 Предисловие ко второму изданию... 10 Глава 1. Тригонометрические ряды Ф урье... 11 1. Периодические функции... 11 2. Гармоники... 13 3. Тригонометрические многочлены

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. К а ф е д р а Прикладной математики и информатики. Практикум по математическому анализу

РЯДЫ ФУРЬЕ. К а ф е д р а Прикладной математики и информатики. Практикум по математическому анализу МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а Прикладной математики

Подробнее

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ].

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ]. Лекция 8 Определённый интеграл Определенный интеграл Римана Пусть f ( ) некоторая функция, определенная на отрезке [, ] Произведем разбиение R отрезка [, ] на п частей: = < 1 < K < n = Выберем на каждом

Подробнее

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1 Глава 1 Основы алгебры Числовые множества Рассмотрим основные числовые множества. Множество натуральных чисел N включает числа вида 1, 2, 3 и т. д., которые используются для счета предметов. Множество

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОГО СОСТАВА ПЕРИОДИЧЕСКИХ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОГО СОСТАВА ПЕРИОДИЧЕСКИХ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ Лабораторная работа 4 ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОГО СОСТАВА ПЕРИОДИЧЕСКИХ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ 4 Тригонометрическая форма ряда Фурье Если периодическая несинусоидальная функция отвечает условиям Дирихле,

Подробнее

Функция y = cos x. Ее свойства и график

Функция y = cos x. Ее свойства и график Функция y = cos x Ее свойства и график 1 Сегодня мы рассмотрим Построение графика функции y = cos x; Свойства функции y = cos x; Изменение графика функции y = cos x в зависимости от изменения функции и

Подробнее

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Механико-математический факультет Кафедра теории функций

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Механико-математический факультет Кафедра теории функций Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского Механико-математический факультет Кафедра теории функций Михаил Александрович Солдатов Светлана Серафимовна Круглова Евгений Валентинович Круглов

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

1.8. Общие функциональные ряды

1.8. Общие функциональные ряды Лекция. Степенные ряды. Гармонический анализ; ряды и преобразование Фурье. Свойство ортогональности.8. Общие функциональные ряды.8.. Уклонение функций Ряд U + U + U называется функциональным, если его

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

1. Основные характеристики детерминированных сигналов

1. Основные характеристики детерминированных сигналов 1. Основные характеристики детерминированных сигналов В технике под термином «сигнал» подразумевают величину, каким-либо образом отражающую состояние физической системы. В радиотехнике сигналом называют

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

4.3. Сложение колебаний. что фаза 0 t растет линейно со временем, а соответственно вектор

4.3. Сложение колебаний. что фаза 0 t растет линейно со временем, а соответственно вектор 4.3. Сложение колебаний. 4.3.. Векторная диаграмма. Сложение колебаний одинаковой частоты. Удобно использовать наглядное изображение колебаний с помощью векторных диаграмм. Введем ось и отложим вектор,

Подробнее

Несобственные интегралы первого рода

Несобственные интегралы первого рода ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им НИЛобачевского» Несобственные интегралы

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

Тема 2. Числовая функция, ее свойства и график

Тема 2. Числовая функция, ее свойства и график Тема Числовая функция, ее свойства и график Понятие числовой функции Область определения и множество значений функции Пусть задано числовое множество X Правило, сопоставляющее каждому числу X единственное

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение. Интегральным уравнением Фредгольма рода называется уравнение x ( s, ds f (.

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Типовые задачи c решениями.

Типовые задачи c решениями. Типовые задачи c решениями. Формальное суммирование рядов. Формула рекурсии k a k a + a k k Формула умножения λ a k λa k Формула сложения k k k a k + b k a k + k b k k Пример Геометрическая прогрессия.

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Ряды Фурье повышенной сложности. Каждая задача снабжена кратким содержательным комментарием.

Ряды Фурье повышенной сложности. Каждая задача снабжена кратким содержательным комментарием. Ряды Фурье повышенной сложности В данном файле содержатся дополнительные примеры с решениями, которые не вошли в основной урок http://mthproi.r/rydy_rie_primery_resheij.htm Каждая задача снабжена кратким

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее