Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Save this PDF as:

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà"

Транскрипт

1 Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской фигуры. Моменты инерции материальной кривой и плоской фигуры. 6 марта 14 г. В Приложении 1) приведено доказательство одной полезной для нас леммы. Лемма 1. Если f () нечетна на отрезке [, ] и интегрируема на нем, то Если же f () четна и интегрируема на [, ], то f () d =. (1) f () d = 1 Ðàáîòà ïåðåìåííîé ñèëû f () d. () F Из элементарной физики известно, что работа A постоянной силы F по перемещению материальной точки вдоль вектора равна их скалярному произведению A = F. Таким образом, если векторы F и сонаправлены, то работа равна произведению их A = F модулей; если противоположно направлены равна этому же произведению, но с противоположным знаком; если векторы перпендикулярны, работа равна нулю. Однако материальная точка не обязательно движется по прямой, а сила может изменяться вдоль траектории движения. Пусть переменная сила перемещает материальную точку вдоль кривой AB, заданной в виде вектора

2 Ëåêöèÿ "Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà" r(t) = (t)i + (t)j + z(t)k, t T, причем, значению параметра t = отвечает точка A, а значению t = T точка B. Непостоянство силы вдоль кривой AB выразим зависимостью F (t) = F 1 (t) i + F (t) j + F (t) k. Для работы такой силы справедлива формула ) A = F(t)r (t) dt. () Существование интеграла обеспечивает непрерывность скалярного произведения F(t)r (t). Ïðèìåð 1. Вычислить работу электрического поля, создаваемого электрическим зарядом Q, расположенном в начале координат, по перемещению заряда q вдоль кривой AB из точки A в точку B. Решение. В поле заряда Q на заряд q в точке кривой r (t) действует сила, выражаемая законом Кулона: F (t) = qq 1 4πε r (t) r (t) r (t), где ε электрическая постоянная. По формуле () получаем A = qq 4πε 1 r (t) r (t) r (t) r (t) dt = qq 4πε (t) (t) + (t) (t) + z (t) z (t) [( (t) + (t) + z (t))] dt = = u = (t) + (t) + z (t), du = [ (t) (t) + (t) (t) + z (t) z (t)] dt = = 1 qq r (T ) r du qq 1 (T ) = 4πε u/ 4πε u 1/ = qq [ 1 4πε r ( ) 1 ]. r (T ) r ( ) r ( ) Другими словами, работа электрического поля в данном случае не зависит от формы кривой AB, а определяется только начальным и конечным положениями заряда q. Еще один пример рассмотрен в Приложении ). Ìàññà è çàðÿä Массу однородного стержня найти просто: надо умножить его длину на линейную плотность материала γ, из которого он изготовлен. Массу неоднородного стержня находят по формуле 4) m = γ () d. (4) Если считать γ () линейной плотностью заряда тонкой проволоки, то полученную формулу можно переписать как q = γ () d

3 Ëåêöèÿ "Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà" и интерпретировать как формулу заряда q проволоки, занимающей положение отрезка [, b] на оси абсцисс. Рассмотрим изогнутый стержень, форму которого задает векторная функция r (t) = (t)i + (t)j + z(t)k, t T, и пусть γ (t) его линейная плотность. Масса такого стержня определяется равенством 5) m = γ (t) (t) + (t) + z (t) dt. (5) Если γ (t) линейная плотность заряда q проволоки, то ее заряд равен q = γ (t) (t) + (t) + z (t) dt. Ñòàòè åñêèå ìîìåíòû è öåíòð òÿæåñòè êðèâîé Статическим моментом M материальной точки массы m относительно некоторой оси l называется произведение этой массы на расстояние от нее до оси: M = md, рис. 1, а). Для системы материальных точек с массами m 1, m,..., m n, расположенных в одной плоскости с осью, на расстояниях от нее, соответственно, d 1, d,..., d n, статическим моментом называется сумма отдельных моментов точек: M = n m id i, рис. 1, б). При этом расстояния для точек, лежащих по одну сторону от оси, берутся с одним знаком, а по другую с противоположным. а) m d l б) d 1 d m m d m d 4 m 5 d 5 l m 1 m 4 Рис. 1. Статические моменты и центр тяжести. Центром тяжести плоского геометрического объекта называется точка, обладающая следующим свойством. Если в нее поместить всю массу m объекта, то статический момент этой массы относительно любой оси будет равен статическому моменту объекта относительно этой оси.

4 Ëåêöèÿ "Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà" 4 Обозначим центр тяжести C (c, c ). Тогда, исходя из его определения, моменты центра тяжести M и M относительно координатных осей должны удовлетворять равенствам M = mc, M = mc. Таким образом, центр тяжести геометрического объекта массы m определяется формулами c = M m, c = M m. (6) Пусть имеется система точек, имеющих координаты ( i, i ) и массы m i, i = 1, n. Тогда их статические моменты относительно координатных осей выражаются формулами n n M = m i i, M = m i i, следовательно, центр тяжести такой системы в соответствии с формулами (6) имеет координаты n c = m n i i, c = m i i. (7) m m На рис. 1, б) центр тяжести системы из пяти материальных точек показан в виде розового шара с массой m, равной сумме масс всех синих шариков. Материальные точки могут, однако, заполнять собой некоторую кривую, и тогда представление статического момента в виде суммы моментов отдельных точек не годится. Пусть некоторая материальная кривая r (t) = (t)i + (t)j, t T, расположена в плоскости. Тогда ее статические моменты относительно осей и, соответственно, вычисляются по формулам 6) M = γ (t) (t) (t) + (t) dt, M = γ (t) (t) (t) + (t) dt. (8) Если кривая задана явным уравнением = f (), b, то M = f () γ () 1 + f () d, M = γ () 1 + f () d, (9) где γ () линейная плотность вдоль кривой в зависимости от. Будем говорить, что материальная кривая однородна, если ее линейная плотность постоянна: γ () = γ const. Теорема 1. Если материальная кривая симметрична относительна оси ординат и однородна, то ее статический момент M =.

5 Ëåêöèÿ "Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà" 5 Доказательство. Перепишем вторую из формул (9) для случая постоянной линейной плотности: M = γ 1 + f () d. Интеграл в правой части равен нулю в силу формулы (1), так как для симметричной относительно оси ординат кривой функция f () четна, а тогда подынтегральная функция нечетна. Теорема. Статический момент нескольких кривых равен сумме их статических моментов. Доказательство дано в Приложении 7). Центр тяжести кривой можно найти по формулам (6). Если кривая однородна и задана векторной функцией r (t) = (t)i + (t)j, t T, то, учитывая формулу (5), найдем, что c = 1 l (t) где l длина кривой. Из теоремы 1 получаем (t) + (t) dt, c = 1 l (t) (t) + (t) dt, (1) Следствие 1. Если кривая имеет ось симметрии и однородна, то ее центр тяжести лежит на этой оси. Доказательство. Сделаем ось симметрии кривой осью ординат. Тогда из теоремы 1 следует, что M =, а первая из формул (6) дает c =. Следствие. Если кривая имеет две оси симметрии и однородна, то ее центр тяжести лежит на пересечении этих осей. Ïðèìåð. Центром тяжести однородного стержня является его середина. Решение. Стержень имеет две оси симметрии: на одной он лежит, а вторая перпендикулярна стержню и проходит через его середину. Их пересечение и дает центр тяжести. Ïðèìåð. Центр окружности есть и ее центр тяжести. Решение. Любая прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии. Теорема. Центр тяжести нескольких кривых является центром тяжести их центров тяжести, если считать. что в последних сосредоточены массы кривых.

6 Ëåêöèÿ "Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà" 6 Доказательство см. в Приложении 8). Первая теорема Гульдина. Площадь S поверхности, образованной вращением однородной плоской кривой около некоторой, не пересекающей ее оси, равна длине l этой кривой, умноженной на длину окружности радиуса R, описанной центром тяжести кривой: S = l πr. Доказательство. Совместим ось вращения кривой с осью абсцисс и следующим образом перепишем второе равенство в (1): l πc = π (t) (t) + (t) dt. В правой части имеем площадь поверхности вращения, а в левой длину кривой, умноженную на длину окружности, описанной центром тяжести. Эта теорема может использоваться как для вычисления координат центра тяжести, если известна площадь поверхности вращения, так и для нахождения площади поверхности вращения, если известны координаты центра тяжести. Ïðèìåð 4. Найти центр тяжести половины окружности + = R. Решение. Заданная кривая симметрична относительно оси ординат, поэтому c =. Вращая кривую относительно оси абсцисс, получим сферу, площадь поверхности которой равна 4πR. По первой теореме Гульдина та же площадь равна l πc, где l = πr длина половины окружности. Следовательно, 4πR = πr πc, откуда получаем c = 4πR. Таким образом, центром тяжести полуокружности является точка (рис. ) π R = R π C ( ; R π ). R C R d C R Рис.. К примеру 4. Рис.. Тор. Лекция «Геометрические приложения определенного интеграла».

7 Ëåêöèÿ "Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà" 7 Ïðèìåð 5. Вычислить площадь поверхности тора (рис. ). Решение. Данная тороидальная поверхность образована вращением окружности радиуса R вокруг вертикальной оси. Так как центр тяжести окружности совпадает с ее центром (d, ), то по первой теореме Гульдина получаем, что S = πr πd = 4π Rd. 4 Ñòàòè åñêèå ìîìåíòû è öåíòð òÿæåñòè ïëîñêîé ôèãóðû Рассмотрим фигуру, изображенную на рис. 4. Сверху она ограничена кривой = f (), снизу кривой = f 1 (), b. Предположим, что эта = f () = f 1 () b Рис. 4. фигура однородна, то есть ее поверхностная плотность γ (масса, отнесенная к единице площади) постоянна и даже равна 1. Тогда величины 9) M = 1 [ f () f1 () ] d, M = [f () f 1 ()] d. (11) называют статическими моментами плоской фигуры относительно осей и, соответственно. Теорема 4. Если плоская фигура симметрична относительна оси ординат и однородна, то ее статический момент M =. Доказательство. Если фигура симметрична относительно оси ординат, то функции f 1 () и f () четны, а тогда подынтегральная функция во второй из формул (11) нечетна. Далее следует применить (1). Лекция «Функция II».

8 Ëåêöèÿ "Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà" 8 Аналогично теореме доказывается Теорема 5. Статический момент нескольких плоских фигур равен сумме их статических моментов. Центр тяжести плоской фигуры находят по формулам (6). Для рассматриваемой нами фигуры его координаты выражаются равенствами c = 1 S [f () f 1 ()] d, c = 1 S [ f () f 1 () ] d, (1) где S = [f () f 1 ()] d площадь фигуры. Следствия 1, и теорема становятся справедливыми и для плоских фигур, если в них слово «кривая» заменить выражением «плоская фигура». Поэтому центром тяжести ромба является точка пересечения его диагоналей, а круга его центр. Докажите, что центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан 1). Теорема 6. Центр тяжести нескольких плоских фигур является центром тяжести их центров тяжести, если считать. что в последних сосредоточены массы фигур. Доказательство аналогично доказательству теоремы. Вторая теорема Гульдина. Объем V тела, образованного вращением однородной плоской фигуры около некоторой, не пересекающей ее оси, равен площади S этой фигуры, умноженной на длину окружности радиуса R, описанной центром тяжести фигуры: V = S πr. Доказательство. Совместим ось вращения с осью и умножим обе части второго равенства в (1) на πs: S πc = π [ f () f 1 () ] d. Видим, что в правой части получился объем тела вращения, а в левой произведение площади фигуры на длину окружности, которую описывает центр тяжести. Ïðèìåð 6. Найти центр тяжести полукруга + R. Решение. В силу симметрии полукруга относительно оси получаем, что c =. Вращая полукруг вокруг оси абсцисс, получим сферу, объем которой равен 4 πr. По второй теореме Гульдина тот же объем равен S πc, где S = πr / площадь Лекция «Геометрические приложения определенного интеграла».

9 Ëåêöèÿ "Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà" 9 полукруга. Следовательно, 4 πr = πr πc, c = 4 πr /(π R ) = 4R. Таким образом, π центром тяжести полукруга является точка ( C ; 4R ). π Ïðèìåð 7. Найти объем тора, рис.. Решение. Центром тяжести круга, образующего тор при вращении, является, как было выяснено в примере 5, точка (d; ), а площадь этого круга равна S = πr. По второй теореме Гульдина V = πr πd = π R d. 5 Ìîìåíòû èíåðöèè Как известно, при поступательном движении мерой инертности тела является масса. Другими словами, согласно второму закону Ньютона, чем больше масса тела, тем большую силу надо приложить, чтобы сообщить ему заданное ускорение. Или можно сказать, чем больше масса тела, тем меньшее ускорение оно приобретет под действием одной и той же силы. Аналогичную роль играет момент инерции во вращательном движении. Моментом инерции I материальной точки массы m относительно некоторой точки, именуемой полюсом, называется произведение этой массы на квадрат расстояния d от нее до полюса: I = md. На плоскости моментом инерции системы материальных точек с массами m 1, m,..., m n относительно полюса, называется сумма моментов инерции отдельных точек относительно полюса: M = n m id i, где d i расстояние от i-й точки до полюса. Аналогично определяются моменты инерции точек относительно некоторой оси; надо только считать d, d 1,..., d n расстояниями от точек до оси. Нетрудно видеть, что в случае, когда полюс служит началом координат, момент инерции точек ( i, i ), i = 1, n, относительно полюса выражается формулой n ( ) I = m i i + i. Моменты инерции I и I материальных точек относительно координатных осей и, соответственно, определяются равенствами n n I = m i i, I = m i i. (1)

10 Ëåêöèÿ "Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà" 1 Мы видим, что I = I + I. (14) Момент инерции кривой r (t) = (t)i + (t)j, t T, расположенной на плоскости, относительно начала координат можно найти по формуле I = γ (t) [ (t) + (t) ] (t) + (t) dt, где γ () линейная плотность кривой. Доказательство вполне аналогично доказательству формулы для статического момента плоской кривой. Точно так же доказывается, что момент инерции кривой, заданной вектором r (t) = (t)i+(t)j, t T, относительно координатных осей определяется равенствами I = γ (t) (t) (t) + (t) dt, I = γ (t) (t) (t) + (t) dt. (15) Если кривая задана явным уравнением = f (), b, формулы для моментов инерции принимают вид I = I = γ (t) f () γ (t) [ + f () ] 1 + f () d, 1 + f () d, I = Снова замечаем, что выполняется (14). γ (t) 1 + f () d. (16) Ïðèìåð 8. Найти моменты инерции четверти окружности радиуса R (рис. 5), линейная плотность которой равна 1. Решение. Используем формулы (15), для чего зададим четверть окружности в параметрической форме = R cos t, = R sin t, t π. Получим I = π/ R sin t dt = R π/ (1 cos t) dt = R (t 1 sin t ) π/ = πr 4. В силу симметрии I = I = πr 4, а I = I + I = πr. Моменты инерции плоской фигуры, изображенной на рис. 4, выражаются формулами 11) I = 1 [ f () f1 () ] d, I = [f () f 1 ()] d, (17)

11 Ëåêöèÿ "Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà" 11 1 = 1 R 1 Рис. 5. К примеру 8. Рис. 6. К примеру 9. I = И в этом случае справедливо (14). { [f () f 1 ()] + f () f1 } () d. (18) Ïðèìåð 9. Найти моменты инерции фигуры, изображенной на рис. 6, поверхностная плотность которой равна 1. Решение. В данном случае f 1 (), f () = 1, поэтому применяя формулы (17), получаем 1 1 I = 1 ( ) 1 1 ( d = ) d = = 1 ( ) 1 7 = 1 ( 5 1 ) = , 1 I = ( 1 ) ( ) d = 5 1 = 5 15, I = I + I = = 7. С другими применениями определенного интеграла мы встретимся при дальнейшем изучении курса высшей математики.

12 Ëåêöèÿ "Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà" 1 Ïðèëîæåíèå 1) Выполним преобразование интеграла, стоящего в левых частях равенств: = f () d = f ( u) du + f () d + f () d = f () d = u =, du = d = f ( ) d + f () d. Если f () нечетна, то f ( ) = f (), и мы получаем равенство (1). Если же f () четна, то f ( ) = f (), и мы приходим к равенству (). Рис. 7 иллюстрирует лемму. Если функция нечетна, то соответствующие ей криволинейные трапеции для отрезков [ ; ] и [; ] имеют одинаковые площади, но эти площади следует брать с противоположными знаками, так что в сумме получается. Для четной функции площадь криволинейной трапеции для отрезка [, ] равна удвоенной площади криволинейной трапеции для отрезка [, ]. а) = f() б) = f() Рис. 7. Интегрирование а) нечетной и б) четной функций. ) Разобьем отрезок [, T ] произвольным образом на части точками < t 1 <... < t n 1 < < t n = T, которым на кривой будут отвечать точки A = A, A 1,..., A n 1, A n = B и на каждом частичном отрезке [t i 1, t i ] произвольным образом выберем точки τ i. В дальнейшем будем такое разбиение называть интегральным с точками t i и τ i. При достаточно малой длине дуги A i 1 A i действие силы на ней можно приближенно принять постоянным и равным ее значению F(τ i ), t i 1 τ i t i. Кроме того, движение вдоль этой дуги можно приближенно заменить движением вдоль вектора A i 1 A i, рис. 8. В результате работа силы вдоль дуги A i 1 A i кривой выразится приближенной зависимостью A i F(τ i )A i 1 A i = F 1 (τ i ) i + F (τ i ) i + F (τ i ) z i, (П1) где i = (t i ) (t i 1 ), i = (t i ) (t i 1 ), z i = z (t i ) z (t i 1 ). Применяя к этим разностям теорему Лагранжа, запишем их в виде i = (θ i,1 ) t i, i = (θ i, ) t i, z i = = z (θ i, ) t i, где θ i,1, θ i,, θ i, (t i 1, t i ), t i = t i t i 1. Подставим все это в формулу (П1): A i [F 1 (τ i ) (θ i,1 ) + F (τ i ) (θ i, ) + F (τ i ) z (θ i, )] t i. При малой длине дуги A i 1 A i выполняется θ i,1 τ i, θ i, τ i, θ i, τ i, поэтому A i [F 1 (τ i ) (τ i ) + F (τ i ) (τ i ) + F (τ i ) z (τ i )] t i = F(τ i )r (τ i ) t i.

13 Ëåêöèÿ "Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà" 1 F(τ i ) A i 1 A i r(τ i ) r = r(t) r(t i 1 ) r(t i ) Рис. 8. Работа переменной силы вдоль кривой. Вся же работа вдоль кривой AB приближенно равна сумме таких работ: n A F(τ i )r (τ i ) t i. Переходя к пределу при n и m i t i, получим точное значение работы (). ) Вот этот Пример П1. Найти работу силы, являющейся равнодействующей всех приложенных к материальной точке сил. Решение. Для такой силы справедлив второй закон Ньютона F (t) = m (t) = mv (t), где (t) = v (t) = r (t) ускорение, а v (t) = (v 1 (t), v (t), v (t)) T = r (t) скорость точки в момент времени t. Следовательно, в соответствии с формулой () работа силы равна A = m v (t)v(t) dt = m = m v k dv k = m k=1 k=1 v k v k (t) v k (t) dt = m k=1 k=1 T = mv T = mv (T ) v k (t) v k (t) dt = mv ( ). Как известно, mv / кинетическая энергия материальной точки. Используя это понятие, полученный результат можно сформулировать так: работа силы по перемещению точки вдоль пути AB, равна приращению кинетической энергии точки на этом пути. 4) Отождествим стержень с отрезком [, b] оси абсцисс и положим γ = γ (). Выполним интегральное разбиение отрезка [, b] с точками i и c i. Приближенно можно считать, что на каждом таком отрезке линейная плотность постоянна и равна γ (c i ). Тогда масса части стержня [ i 1, i ] приближенно равна m i = γ (c i ) i, где i = i i 1, а масса всего стержня n m γ (c i ) i. Переходя к пределу при n и m i i, получим точное значение массы стержня (4). 5) Произведем интегральное разбиение отрезка [, T ] с точками t i и τ i и будем приближенно считать на отрезке [t i 1, t i ] линейную плотность постоянной, равной γ (τ i ), а дугу A i 1 A i

14 Ëåêöèÿ "Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà" 14 заменим отрезком A i 1 A i. Тогда масса части стержня A i 1 A i будет приближенно равна (см. обозначения при выводе формулы работы) m i γ (τ i ) A i 1 A i = γ (τ i ) i + i + + z i = = γ (τ i ) (θ i,1 ) + (θ i, ) + z (θ i, ) t i γ (τ i ) (τ i ) + (τ i ) + z (τ i ) t i. Отсюда и следует формула (5). 6) Выполним интегральное разбиение отрезка [, T ] c точками t i и τ i и каждую дугу A i 1 A i кривой станем считать в некотором роде материальной точкой массы γ (τ i ) A i 1 A i, находящейся на расстоянии (τ i ) от оси ординат и на расстоянии (τ i ) от оси абсцисс. Приближенно статический момент кривой относительно оси выразится формулой (выкладки аналогичны предыдущим) n n M γ (τ i ) A i 1 A i (τ i ) = γ (τ i ) (τ i ) (τ i ) + (τ i ) t i, что и дает после предельного перехода первую из формул (8). Вторая доказывается аналогично. 7) Пусть кривые заданы векторами r j (t),,j t j T j, j = 1, k, а их статические моменты относительно оси абсцисс равны, соответственно, M,1,..., M,k. Зададим в параметрической форме r (t) кривую, состоящую из этих кривых, положив, что параметр t поочередно пробегает отрезки [,j, T j ], j = 1, k, а вектор r (t) = r j (t) на этих отрезках. Тогда в силу аддитивности определенного интеграла статический момент M для кривой r (t), вычисляемый по первой из формул (8), будет равен сумме моментов M,1,..., M,k. Доказательство для M аналогично. 8) Рассмотрим кривые, введенные при доказательстве теоремы. Пусть (c,i, c,i ) их центры тяжести. Сосредоточим в точке (c,i, c,i ) массу i-й кривой m i. По первой из формул (7) центром тяжести этих точек будет точка с абсциссой k c = c,im i, m где m = m m k. Но по упомянутой теореме c = k c,im i = k M,i m i m i = k M,i = M m, m m m где M,i статический момент i-й кривой, M статический момент всей совокупности кривых. Так что c есть и абсциссой центра тяжести совокупности кривых. Аналогичное равенство справедливо для ординаты центра тяжести. 9) Произведем интегральное разбиение отрезка [, b] с точками i и c i. Часть фигуры, расположенной над отрезком [ i 1, i ] приближенно можно считать стержнем длины f (c i ) f 1 (c i ), центр тяжести которого, как мы установили, совпадает с его серединой [f 1 (c i ) + f (c i )]/, рис. 9. В центре тяжести (по определению последнего) статический момент стержня равен статическому моменту самого центра тяжести, имеющему массу стержня m. Но масса однородного стержня с γ = 1 равна его площади [f (c i ) f 1 (c i )] i, где i = i i 1. Следовательно, статический момент стержня относительно оси абсцисс будет приближенно равен M,i f (c i ) + f 1 (c i ) [f (c i ) f 1 (c i )] i = f (c i ) f1 (c i ) i,

15 Ëåêöèÿ "Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà" 15 A = f () = k S i M D = f 1 () i 1 c i i b = k 1 B ( ) Рис. 9. S i c i, f 1(c i )+f (c i ). Рис. 1. а для статического момента относительно оси ординат будем иметь M,i c i [f (c i ) f 1 (c i )] i. Суммируя по всем отрезкам [ i 1, i ] и переходя к пределу при n и m i i, получим формулы (11). 1) Расположим треугольник на координатной плоскости так, чтобы его вершина находилась в начале координат, а противоположная сторона была параллельна оси ординат (рис. 1). Пусть две другие стороны имеют уравнения = k 1 и = k, k > k 1. Найдем площадь треугольника S = (k k 1 ) d = (k k 1 ) По формулам (1) вычислим координаты центра тяжести: c = 1 (k k 1 ) d = (k k 1 ) S (k k 1 ) c = 1 ( k S k1 ) d = k k1 = k k 1 (k k 1 ) =,. = k 1 + k Покажем, что такие же координаты имеет точка пересечения медиан. Действительно, серединой стороны AB является точка D (, k 1+k ). Радиус-вектор точки пересечения медиан M связан с вектором D равенством M = D = (, k 1+k ). Значит, такие же координаты имеет и точка M точка пересечения медиан. 11) Сначала решим следующий Пример П. Найти моменты инерции однородного стержня, расположенного параллельно координатной оси..

16 Ëåêöèÿ "Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà" 16 Решение. Пусть стержень параллелен оси абсцисс: = c = const >, < b, рис. 11, а). Так как он однороден, полагаем γ () = γ const. Далее из формул (16) находим I = γ c d = γ c (b ), I = γ d = γ b = γ b, ] I = I + I = γ [c (b ) + b. d d... c b c c... а) б) с) Рис. 11. К моментам инерции стержней и прямоугольника. В случае параллельности стержня оси ординат: = = const >, < c d, рис. 11, б), из соображений симметрии следует, что ] I = γ d c, I = γ (d c), I = γ [ (d c) + d c. Чтобы перейти к моментам инерции плоской фигуры, сначала найдем приближенно моменты инерции однородного прямоугольника +, c d, рис. 11, с), с поверхностной плотностью γ 1. Для этого разобьем прямоугольник на k более мелких прямоугольников со сторонами и = (d c)/k. Будем считать, что последние величины настолько малы, что малые прямоугольники можно заменить материальными точками с координатами (, c + j ), j = 1, k, и массой, равной, в силу того, что γ 1. Обозначив ( ) r = r и учитывая, что k = d c, из формул (1) получим I k (c + j ) = k ( c + jc + j ) = ( = c k (k + 1) k + c + k ) (k + k + 1) = (П) 6 = [c (d c) + c (d c) + c (d c) + 1 (d c) + 1 (d c) + 16 ] (d c), I k k = = (d c). (П)

17 Ëåêöèÿ "Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà" 17 Здесь были использованы равенства k 1 = k, k j = k (k + 1), k j = k (k + k + 1), (П4) 6 первое из которых очевидно, второе является формулой суммы арифметической прогрессии, а третье докажем методом математической индукции. При k = 1 третье равенство, очевидно, справедливо. Предполагая его справедливость при некотором k 1, докажем его справедливость при k + 1. Найдем k+1 j = k j + (k + 1) = k (k + k + 1) 6 k (k + 1) (k + 1) + 6 (k + 1) = 6 = (k + 1) (k + 7k + 6). 6 = + (k + 1) = (k + 1) [k (k + 1) + 6 (k + 1)] 6 Но это и есть третья из формул (П4) при k, увеличенном на единицу. Пренебрегая в равенствах (П), (П) слагаемыми (в силу их малости), содержащими произведения на и, придем к следующим приближенным выражениям Отсюда следует, что I (d c) c + cd + d = d c ] I [ (d c) + d c., I (d c). Мы видим, что моменты инерции однородного «узкого» прямоугольника приближенно равны соответствующим моментам стержня, умноженным на «ширину» прямоугольника. Найдем теперь моменты инерции фигуры, изображенной на рис. 9, предполагая, что ее поверхностная плотность равна 1. Произведем интегральное разбиение отрезка [, b] с точками i и c i = i 1. Часть фигуры, расположенной над отрезком [ i 1, i ], приближенно можно считать прямоугольником со сторонами i и f (c i ) f 1 (c i ). Используя найденные формулы приближенного вычисления моментов инерции такого прямоугольника, для i-го прямоугольника получим I,i = f (c i ) f1 (c i ) i, I,i = c i [f (c i ) f 1 (c i )] i, { I,i = c i [f (c i ) f 1 (c i )] + f } (c i ) f1 (c i ) i. Переходя к пределу при n и m i i, получим точные значения моментов инерции плоской фигуры (17), (18). = Литература [1] Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. М.: Рольф,. Ч. 1. с ,


Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1 Тройной интеграл Волченко Ю.М. Содержание лекции Понятие тройного интеграла. Условия его существования. Теорема о среднем. Вычисление тройного интеграла в декартовых и криволинейных координатах. Тройной

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =.

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =. ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) Определение векторного поля Определение векторной линии Задача о работе силового поля Полем называется множество, элементы которого удовлетворяют

Подробнее

понятие момента импульса L. Пусть материальная точка A, движущаяся по окружности радиуса r, обладает импульсом

понятие момента импульса L. Пусть материальная точка A, движущаяся по окружности радиуса r, обладает импульсом Лекция 11 Момент импульса Закон сохранения момента импульса твердого тела, примеры его проявления Вычисление моментов инерции тел Теорема Штейнера Кинетическая энергия вращающегося твердого тела Л-1: 65-69;

Подробнее

равная произведению массы этой точки и квадрата расстояния до оси ОХ (оси ОУ,

равная произведению массы этой точки и квадрата расстояния до оси ОХ (оси ОУ, 9 Вычисление статических моментов инерции и координат центра масс Определение Статическим моментом материальной точки А(х;у) в которой сосредоточена масса m относительно оси ОХ (ОУ) называется величина

Подробнее

5. Динамика вращательного движения твердого тела

5. Динамика вращательного движения твердого тела 5. Динамика вращательного движения твердого тела Твердое тело это система материальных точек, расстояния между которыми не меняются в процессе движения. При вращательном движении твердого тела все его

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Êðèâîëèíåéíûé è ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàëû

Êðèâîëèíåéíûé è ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàëû Êðèâîëèíåéíûé è ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàëû Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Понятие криволинейного интеграла. Условия его существования, вычисление и применение. Понятие поверхностного интеграла. Условия его

Подробнее

Криволинейный и поверхностный интегралы

Криволинейный и поверхностный интегралы Криволинейный и поверхностный интегралы Волченко Ю.М. Содержание лекции Понятие криволинейного интеграла. Условия его существования, вычисление и применение. Понятие поверхностного интеграла. Условия его

Подробнее

. Предполагается, что эта величина аддитивна, т. е. точкой с [ a,

. Предполагается, что эта величина аддитивна, т. е. точкой с [ a, Лекция 0 Приложения определённого интеграла Приложения определённого интеграла Метод интегральной суммы Пусть требуется найти значение какой-либо геометрической или физической величины A (площадь фигуры,

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Составитель:В.П.Белкин. Лекция 1. Определенный интеграл

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Составитель:В.П.Белкин. Лекция 1. Определенный интеграл ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Составитель:ВПБелкин Лекция Определенный интеграл Вычисление и свойства определенного интеграла Определенным интегралом функции f ( ) по отрезку [, ] называется число, обозначаемое

Подробнее

Определенный интеграл Несобственные интегралы

Определенный интеграл Несобственные интегралы Математический анализ Тема: Определенный интеграл Несобственные интегралы Лектор Пахомова Е.Г. 2017 г. ГЛАВА II. Определенный интеграл и его приложения 1. Определенный интеграл и его свойства 1. Задачи,

Подробнее

Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4)

Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4) Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4) Вычисление площадей плоских фигур Площадь в полярных координатах Вычисление объемов тел Вычисление объема тела по известным

Подробнее

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы первого рода Примеры решения задач 1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода (x 4/3 + y 4/3 ) dl, где кривая L астроида x 2/3 + y 2/3 = a 2/3. Решение. Запишем параметрические

Подробнее

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски Тема КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Лекция КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА Задачи приводящие к понятию криволинейного интеграла первого рода Определение и свойства криволинейного интеграла первого рода Вычисление

Подробнее

Лекция 5. Произвольная пространственная система сил

Лекция 5. Произвольная пространственная система сил Оглавление Момент силы относительно оси... Произвольная пространственная система сил... 3 Определение главного вектора и главного момента пространственной системы сил... 3 Центральная ось системы... 4

Подробнее

ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ (лекции 4-5)

ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ (лекции 4-5) ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ (лекции 4-5) ЛЕКЦИЯ 4, (раздел 1) (лек 7 «КЛФ, ч1») Кинематика вращательного движения 1 Поступательное и вращательное движение В предыдущих лекциях мы познакомились с механикой материальной

Подробнее

Тема: Криволинейный интеграл II рода

Тема: Криволинейный интеграл II рода Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Криволинейный интеграл II рода Лектор Пахомова Е.Г. 2013 г. 10 10. Криволинейный Криволинейный интеграл интеграл II II рода рода по по координатам

Подробнее

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun. 2007

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun. 2007 - - ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun. 7 Методические указания для решения задач Т е м а. Формула Ньютона-Лейбница. Пусть : [; ] R непрерывная функция, первообразная

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новгородский государственный университет имени

Подробнее

Тема 1.4. Динамика вращательного движения

Тема 1.4. Динамика вращательного движения Тема 1.4. Динамика вращательного движения План 1. Момент импульса частицы. Момент силы 3. Уравнение моментов 4. Собственный момент импульса 5. Динамика твердого тела 6. Момент инерции 7. Кинетическая энергия

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

F 0, то система отсчета, движущаяся поступательно со скоростью (Цсистема)

F 0, то система отсчета, движущаяся поступательно со скоростью (Цсистема) 3 ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Уравнения движения твердого тела в произвольной инерциальной системе отсчета имеют вид: () () где m масса тела скорость его центра инерции момент импульса тела внешние силы действующие

Подробнее

ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ Лекция 5 ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ Термины и понятия Метод интегрального исчисления Момент импульса Момент инерции тела Момент силы Плечо силы Реакция опоры Теорема Штейнера 5.1. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО

Подробнее

Тема6. «Определенный интеграл»

Тема6. «Определенный интеграл» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема6. «Определенный интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б.Дуниной

Подробнее

Тема: Применение определенного интеграла.

Тема: Применение определенного интеграла. Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Применение определенного интеграла. Приближенное вычисление определенного интеграла Лектор Пахомова Е.Г. 013 г. II Плоская кривая, заданная параметрическими

Подробнее

Тема 12. Определенный интеграл. Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

Тема 12. Определенный интеграл. Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Тема Определенный интеграл Определенный интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Задача о вычислении площади криволинейной трапеции В системе координат Оху дана криволинейная трапеция,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7 ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ И КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ

ЛЕКЦИЯ 7 ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ И КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ЛЕКЦИЯ 7 ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ И КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ Рис. 7.1 Пусть система состоит из точек P, ν = 1, 2,, N. Начало отсчёта обозначим как O, радиус-вектор точки P

Подробнее

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 1. Задача, приводящая к двойному интегралу.

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 1. Задача, приводящая к двойному интегралу. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Задача, приводящая к двойному интегралу. Найти цилиндрического тела, основанием которого является часть координатной плоскости O, которую будем называть областью. Сверху тело ограниченно

Подробнее

Лекция 1. Криволинейные интегралы первого рода

Лекция 1. Криволинейные интегралы первого рода С. А. Лавренченко www.lwreceko.ru Лекция Криволинейные интегралы первого рода На этой лекции мы познакомимся с интегралом, похожим на определенный интеграл, который мы изучили в модуле «Интегральное исчисление»,

Подробнее

Определение двойного интеграла и его свойства. Как задача вычисления площади криволинейной трапеции. так аналогичная задача вычисления объема тела

Определение двойного интеграла и его свойства. Как задача вычисления площади криволинейной трапеции. так аналогичная задача вычисления объема тела Двойной интеграл Определение двойного интеграла и его свойства Как задача вычисления площади криволинейной трапеции приводит к определенному интегралу от функции одной переменной, так аналогичная задача

Подробнее

. Если промежуток времени ti

. Если промежуток времени ti Определенный интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла ) Пусть тело движется с переменной скоростью v( t ) Найти путь, пройденный телом за промежуток времени [ ; ] Разобьем отрезок

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ Определённый интеграл Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики Томского политехнического университета. Национальный

Подробнее

5. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА (ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ) 1. Задача, приводящая к понятию поверхностного интеграла I рода

5. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА (ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ) 1. Задача, приводящая к понятию поверхностного интеграла I рода 5 ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ Поверхностный интеграл I рода представляет собой такое же обобщение двойного интеграла каким криволинейный интеграл I рода является по отношению к

Подробнее

Лекция 7. Работа. Теорема об изменении кинетической энергии

Лекция 7. Работа. Теорема об изменении кинетической энергии Лекция 7 Работа. Теорема об изменении кинетической энергии. Консервативные силы. Потенциальная энергия частицы в потенциальном поле. Примеры: упругая сила, гравитационное поле точечной массы. Работа. Теорема

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n d lm n m Δõ ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

Автор - проф. Филиппов А.Н.

Автор - проф. Филиппов А.Н. Лекция 7 Несобственные интегралы Несобственными интегралами называются определенные интегралы, для которых не выполнено хотя бы одно из условий существования определенного (собственного) интеграла: )либо

Подробнее

.3 Вычисление длины кривой. Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат. Пусть функция y = f( x)

.3 Вычисление длины кривой. Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат. Пусть функция y = f( x) 6 3 Вычисление длины кривой Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат Пусть функция = f определена и непрерывна на отрезке [ ; ] и кривая l график этой функции Требуется найти длину дуги

Подробнее

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок Векторная система

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА И ШАЛЯ. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПРИ ДВИЖЕНИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА

ЛЕКЦИЯ 2 ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА И ШАЛЯ. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПРИ ДВИЖЕНИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА ЛЕКЦИЯ 2 ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА И ШАЛЯ. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПРИ ДВИЖЕНИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА Рис. 2.1 Имеется неподвижная система координат OXY Z. Обозначим её как S Рассмотрим твёрдое тело, имеющее жёстко привязанные

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Министерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «МЕХАНИКА» ДИНАМИКА

Подробнее

Рис. 12. точке. Рассмотрим вопрос о длине дуги l кривой, заданной y f (x), a x b. Впишем в данную гладкую кривую ломаную линию A M

Рис. 12. точке. Рассмотрим вопрос о длине дуги l кривой, заданной y f (x), a x b. Впишем в данную гладкую кривую ломаную линию A M Лекция подготовлена доц Мусиной МВ Приложения определенного интеграла Длина дуги кривой Определение Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремиться длина ломаной линии, вписанной в эту дугу,

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Практическое занятие 1 Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Обозначим max l

Практическое занятие 1 Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Обозначим max l Практическое занятие Криволинейные интегралы -го и -го рода Определение свойства вычисление и приложения криволинейного интеграла -го рода Определение свойства вычисление и приложения криволинейного интеграла

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n lm n m Δх 0 f ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

7 Координаты центра тяжести

7 Координаты центра тяжести 7 Координаты центра тяжести Используя математический пакет Mm, найти координаты центра тяжести плоской фигуры Результат представить графически Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями

Подробнее

6.7. Определенный интеграл и его свойства

6.7. Определенный интеграл и его свойства 7 Определенный интеграл и его свойства Определенный интеграл Пусть функция f ( ) определена на отрезке [,] и пусть i (i,,n )- совокупность точек этого отрезка, таких, что n Назовем эту совокупность точек

Подробнее

Тема: Криволинейный интеграл I рода

Тема: Криволинейный интеграл I рода Раздел: Математический анализ Интегрирование ФНП Тема: Криволинейный интеграл I рода Лектор Янущик О.В. 01. 9. Криволинейный интеграл I рода по длине дуги 1. Задача приводящая к криволинейному интегралу

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 15. Методы вычисления определенного интеграла, приложения определенного интеграла.

ЛЕКЦИЯ N 15. Методы вычисления определенного интеграла, приложения определенного интеграла. ЛЕКЦИЯ N 5 Методы вычисления определенного интеграла, приложения определенного интеграла Замена переменной в определенном интеграле Интегрирование по частям в определенном интеграле Интегрирование нечетных

Подробнее

Приложения поверхностного интеграла 1-го типа

Приложения поверхностного интеграла 1-го типа Глава 6 Приложения поверхностного интеграла 1-го типа 6.1 Необходимые сведения На прошлых занятиях мы уже освоили методы вычисления поверхностных интегралов 1-го типа, оперируя при этом преимущественно

Подробнее

А.П. Потапов. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Оглавление

А.П. Потапов. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Оглавление АП Потапов Интегральное исчисление функций нескольких переменных Оглавление Глава Кратные интегралы Двойной интеграл Вычисление объема цилиндрического тела Понятие двойного интеграла 3 Условия интегрируемости

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ].

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ]. Лекция 8 Определённый интеграл Определенный интеграл Римана Пусть f ( ) некоторая функция, определенная на отрезке [, ] Произведем разбиение R отрезка [, ] на п частей: = < 1 < K < n = Выберем на каждом

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. ГЕОМЕТРИЯ МАСС Курс лекций

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. ГЕОМЕТРИЯ МАСС Курс лекций ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Черногоров ЕП ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ГЕОМЕТРИЯ МАСС Курс лекций ЧЕЛЯБИНСК 00 Геометрия масс ЦЕНТР МАСС СТАТИЧЕСКИЕ

Подробнее

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций.

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций. ЛЕКЦИЯ N 7. Приближенное вычисление определенных интегралов. Несобственные интегралы. Приближенное вычисление определенных интегралов..... Формула трапеций.....формула парабол.... Несобственные интегралы....

Подробнее

и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- лельную оси OZ т.е. ( )

и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- лельную оси OZ т.е. ( ) 8 и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- поверхностью z = f(, лельную оси OZ т.е. f(, s= v ц ( D) 4 Вычисление интеграла по фигуре от скалярной функции в декартовой системе координат Вычисление

Подробнее

Лекция 5. абсолютно твердого тела. инерции твердых тел (примеры) материальной точки. 2. Динамика вращательного движения

Лекция 5. абсолютно твердого тела. инерции твердых тел (примеры) материальной точки. 2. Динамика вращательного движения Лекция 5 1. Динамика вращательного движения материальной точки. Динамика вращательного движения абсолютно твердого тела 3. Алгоритм определения моментов инерции твердых тел (примеры) 1. Динамика вращательного

Подробнее

Вычисление и приложения двойного интеграла

Вычисление и приложения двойного интеграла Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Динамика вращательного движения. Лекция 1.4.

Динамика вращательного движения. Лекция 1.4. Динамика вращательного движения Лекция 1.4. План лекции 1. Динамика вращения точки и тела вокруг постоянной оси, понятие о моменте инерции материальной точки и тела.. Изменение момента инерции тела при

Подробнее

1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Вычисление площадей плоских фигур.

1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Вычисление площадей плоских фигур. . ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.. Вычисление площадей плоских фигур. Прямоугольные координаты Как уже было установлено, площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс

Подробнее

dx = F (+ ) F (a) (8.37)

dx = F (+ ) F (a) (8.37) 8.9. Несобственные интегралы До данного момента рассматривались определенные интегралы для случая конечного промежутка интегрирования (отрезка) [, ] и интегрируемой функции на нем. Расширим область применения

Подробнее

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

Глава 10 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. 1 Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат

Глава 10 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. 1 Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат 99 Глава ГЕМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛЖЕНИЯ ПРЕДЕЛЕННГ ИНТЕГРАЛА Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что если

Подробнее

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы первого рода Основные понятия и теоремы 1. Определение криволинейного интеграла первого рода. Пусть кривая L на координатной плоскости Оху задана параметрически уравнениями x =

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 13 ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА. Лектор: Батяев Евгений Александрович

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 13 ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА. Лектор: Батяев Евгений Александрович ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 1 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 13 ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА Лектор: Батяев Евгений Александрович Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 13 Новосибирск, 2016 г. 1 / 18 В основе всех

Подробнее

Лекция 5. Интегрирование

Лекция 5. Интегрирование С. А. Лавренченко www.lwreceo.r Лекция 5 Интегрирование Перед прослушиванием этой лекции рекомендуется повторить лекции 3 и 4 из модуля «Векторный анализ».. Понятие интеграла Предположим что f функция

Подробнее

x) dl ACDB. = B A , (5.1) dl tdl. (5.2)

x) dl ACDB. = B A , (5.1) dl tdl. (5.2) 5 ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ТЕНЗОРНОМ ПОЛЕ В некоторых приложениях тензорного анализа иногда возникает необходимость в вычислении интегралов тензорных полей по линии, поверхности или по объему В этой главе рассмотрим

Подробнее

Часть 1. Вопросы по программе лекций 11-го класса (с выводом и доказательством).

Часть 1. Вопросы по программе лекций 11-го класса (с выводом и доказательством). Часть 1. Вопросы по программе лекций 11-го класса (с выводом и доказательством). 1.1. Дифференциал (определение). Дифференцируемость функции в точке. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции (с

Подробнее

Вычисление объемов тел с помощью поверхностного интеграла

Вычисление объемов тел с помощью поверхностного интеграла Глава 8 Вычисление объемов тел с помощью поверхностного интеграла 8.1 Необходимые сведения из теории До сих пор мы учились вычислять непосредственно поверхностные интегралы. Во многих приложениях однако

Подробнее

1.4. Элементы динамики вращательного движения

1.4. Элементы динамики вращательного движения 14 Элементы динамики вращательного движения 141 Момент силы и момент импульса относительно неподвижных точек и оси 14 Уравнения моментов Закон сохранения момента импульса 143 Момент инерции твердого тела

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 9 ФОРМУЛЫ БИНЕ. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ. ГЕОМЕТРИЯ МАСС

ЛЕКЦИЯ 9 ФОРМУЛЫ БИНЕ. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ. ГЕОМЕТРИЯ МАСС ЛЕКЦИЯ 9 ФОРМУЛЫ БИНЕ. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ. ГЕОМЕТРИЯ МАСС Рис. 9.1 Рассмотрим движение точки в центральном поле сил. Точка P массой m движется h] под действием силы вида F = F (R) h], то есть модуль силы

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N47. Криволинейные интегралы первого и второго рода.

ЛЕКЦИЯ N47. Криволинейные интегралы первого и второго рода. ЛЕКЦИЯ N47. Криволинейные интегралы первого и второго рода. d A(P) T B.Интеграл по длине линии.... τ(p).свойства, вычисление криволинейного интеграла I рода.... P 3.Криволинейный интеграл по координатам....

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ННГАСУ)

Министерство образования и науки Российской Федерации НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ННГАСУ) 1 Министерство образования и науки Российской Федерации НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ННГАСУ) Кафедра теоретической механики ИНТЕРНЕТ-ТЕСТИРОВАНИЕ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Основные понятия и теоремы 1. Интегральные суммы и определенный интеграл. Пусть функция f(x) определена на промежутке [a, b] (где a < b). Произвольное

Подробнее

Тема: Двойной интеграл (определение, свойства, вычисление)

Тема: Двойной интеграл (определение, свойства, вычисление) Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Двойной интеграл определение свойства вычисление Лектор Рожкова С.В. 03 г. Глава II. Кратные криволинейные и поверхностные интегралы 7. Двойной интеграл.

Подробнее

Государственный университет связи, информатизации и телекоммуникационных технологий Республики Узбекистан

Государственный университет связи, информатизации и телекоммуникационных технологий Республики Узбекистан Государственный университет связи, информатизации и телекоммуникационных технологий Республики Узбекистан Нукусский филиал ташкентского университета информационных технологий САМОМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ПО

Подробнее

1.3. Теорема Гаусса.

1.3. Теорема Гаусса. 1 1.3. Теорема Гаусса. 1.3.1. Поток вектора через поверхность. Поток вектора через поверхность одно из важнейших понятий любого векторного поля, в частности электрического d d. Рассмотрим маленькую площадку

Подробнее

3. Кратные и криволинейные интегралы

3. Кратные и криволинейные интегралы 3 Кратные и криволинейные интегралы 3 Повторный интеграл По аналогии с нахождением частных производных функции нескольких переменных можно интегрировать по одному аргументу, поступая с остальными как с

Подробнее

cos xdx ВХОДНОЙ КОНТРОЛЬ Вариант Найти dy, если: а) y =, в) y = tg, 2.Построить область, ограниченную линиями:

cos xdx ВХОДНОЙ КОНТРОЛЬ Вариант Найти dy, если: а) y =, в) y = tg, 2.Построить область, ограниченную линиями: ВХОДНОЙ КОНТРОЛЬ Вариант Найти d, если: а) =, в) = tg, б) = cos7, г) = Построить область, ограниченную линиями: а) = +, =, б) =, = Привести уравнение окружности + 6 = к каноническому виду, построить и

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

x ydy x y dx, где дуга линии 2 x y dxdy 2 r drd B ; y dx xydy, где дуга эллипса x 2cost y t, x t, t ; y zdxdy xzdydz x ydxdz 2cos t, 2sin t,

x ydy x y dx, где дуга линии 2 x y dxdy 2 r drd B ; y dx xydy, где дуга эллипса x 2cost y t, x t, t ; y zdxdy xzdydz x ydxdz 2cos t, 2sin t, cos, sin,,, J dd dd d d 5 Вычислить zdd zddz ddz, где внешняя сторона поверхности z, отсекаемая плоскостью z Р е ш е н и е Поверхность представляет собой параболоид, заданный явно уравнением z Поэтому

Подробнее

Решение. Пользуясь уравнением поверхности в векторной форме r = i u + j v + k (u 3 + v 2 ), получим. i j k

Решение. Пользуясь уравнением поверхности в векторной форме r = i u + j v + k (u 3 + v 2 ), получим. i j k Площадь поверхности Примеры решения задач 1. Составить уравнение касательной плоскости и вычислить направляющие косинусы нормали к поверхности x = u, y = u, z = u 3 + v 2 в точке М 0 (1, 1, 2). Решение.

Подробнее

Глава 7. Определенный интеграл

Глава 7. Определенный интеграл 68 Глава 7 Определенный интеграл 7 Определение и свойства К понятию определенного интеграла приводят разнообразные задачи вычисления площадей, объемов, работы, объема производства, денежных потоков и тп

Подробнее

Криволинейные интегралы 1-го типа

Криволинейные интегралы 1-го типа Глава 1 Криволинейные интегралы 1-го типа 1.1 Необходимые сведения из теории Криволинейные интегралы 1-го типа возникают во многих прикладных задачах. Например, при нахождении масс материальных кривых

Подробнее

Примеры: 1. Площадь треугольника. M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ):

Примеры: 1. Площадь треугольника. M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ): Функции нескольких переменных Во многих вопросах геометрии естествознания и пр дисциплин приходится иметь дело с функциями двух трех и более переменных Примеры: Площадь треугольника S a h где a основание

Подробнее

Тема 1.2. Механика твёрдого тела. 1. Момент инерции. В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

Тема 1.2. Механика твёрдого тела. 1. Момент инерции. В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу Тема 1.. Механика твёрдого тела План. 1. Момент инерции.. Кинетическая энергия вращения 3. Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела. 4. Момент импульса и закон его сохранения.

Подробнее

Практическое занятие 6 Поверхностные интегралы. 6.1 Определение, свойства, вычисление и приложения поверхностного. функция f ; ;

Практическое занятие 6 Поверхностные интегралы. 6.1 Определение, свойства, вычисление и приложения поверхностного. функция f ; ; Практическое занятие 6 Поверхностные интегралы 6 Определение свойства вычисление и приложения поверхностного интеграла -го рода 6 Определение свойства и вычисление поверхностного интеграла -го рода 6 Определение

Подробнее

задана на отрезке [ ab ], и произведено разбиение этого отрезка на n частей точками a x0 x

задана на отрезке [ ab ], и произведено разбиение этого отрезка на n частей точками a x0 x ГЛАВА ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Свойства определенного интеграла Пусть функция y f ( ) задана на отрезке [ ], и произведено разбиение этого отрезка на n частей точками n n Интегральной суммой функции f( )

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННОГО МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННОГО МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА . Лабораторная работа ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННОГО МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА Цель работы Изучить зависимость момента инерции маятника Обербека от расположения масс на стержнях, используя закон сохранения

Подробнее

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР )

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР ) ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР 2007-2008) 1 Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства R 2 Сформулируйте определение прямоугольной

Подробнее

( ) ( t) ( ) 2. ( x) ( ) ( ) ( ( )) Глава 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2.1. Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные

( ) ( t) ( ) 2. ( x) ( ) ( ) ( ( )) Глава 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2.1. Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные Глава КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные интегралы по длине) Вычисление криволинейных интегралов первого рода Вычисление криволинейного интеграла

Подробнее

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы»

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы» Методические указания к выполнению контрольной работы «Неопределенный и определенный интегралы» Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию, поэтому основные формулы интегрирования

Подробнее

БАНК ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ» y 2. * Найти площадь плоской области, ограниченной линиями. (D область, заданная неравенствами ( D)

БАНК ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ» y 2. * Найти площадь плоской области, ограниченной линиями. (D область, заданная неравенствами ( D) БАНК ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ» * Изменить порядок интегрирования + d d * Найти площадь плоской области, ограниченной линиями =, =, = * Вычислить ( D) + acctg d, где ) +, + 9,, = (D область,

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Интегральное исчисление функции нескольких переменных

Интегральное исчисление функции нескольких переменных Интегральное исчисление функции нескольких переменных интегралов двойного тройного криволинейного по длине дуги (первого рода) поверхностного по площади поверхности (первого рода) Пусть функция f() определена

Подробнее