Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà"

Транскрипт

1 Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской фигуры. Моменты инерции материальной кривой и плоской фигуры. 6 марта 14 г. В Приложении 1) приведено доказательство одной полезной для нас леммы. Лемма 1. Если f () нечетна на отрезке [, ] и интегрируема на нем, то Если же f () четна и интегрируема на [, ], то f () d =. (1) f () d = 1 Ðàáîòà ïåðåìåííîé ñèëû f () d. () F Из элементарной физики известно, что работа A постоянной силы F по перемещению материальной точки вдоль вектора равна их скалярному произведению A = F. Таким образом, если векторы F и сонаправлены, то работа равна произведению их A = F модулей; если противоположно направлены равна этому же произведению, но с противоположным знаком; если векторы перпендикулярны, работа равна нулю. Однако материальная точка не обязательно движется по прямой, а сила может изменяться вдоль траектории движения. Пусть переменная сила перемещает материальную точку вдоль кривой AB, заданной в виде вектора

2 Ëåêöèÿ "Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà" r(t) = (t)i + (t)j + z(t)k, t T, причем, значению параметра t = отвечает точка A, а значению t = T точка B. Непостоянство силы вдоль кривой AB выразим зависимостью F (t) = F 1 (t) i + F (t) j + F (t) k. Для работы такой силы справедлива формула ) A = F(t)r (t) dt. () Существование интеграла обеспечивает непрерывность скалярного произведения F(t)r (t). Ïðèìåð 1. Вычислить работу электрического поля, создаваемого электрическим зарядом Q, расположенном в начале координат, по перемещению заряда q вдоль кривой AB из точки A в точку B. Решение. В поле заряда Q на заряд q в точке кривой r (t) действует сила, выражаемая законом Кулона: F (t) = qq 1 4πε r (t) r (t) r (t), где ε электрическая постоянная. По формуле () получаем A = qq 4πε 1 r (t) r (t) r (t) r (t) dt = qq 4πε (t) (t) + (t) (t) + z (t) z (t) [( (t) + (t) + z (t))] dt = = u = (t) + (t) + z (t), du = [ (t) (t) + (t) (t) + z (t) z (t)] dt = = 1 qq r (T ) r du qq 1 (T ) = 4πε u/ 4πε u 1/ = qq [ 1 4πε r ( ) 1 ]. r (T ) r ( ) r ( ) Другими словами, работа электрического поля в данном случае не зависит от формы кривой AB, а определяется только начальным и конечным положениями заряда q. Еще один пример рассмотрен в Приложении ). Ìàññà è çàðÿä Массу однородного стержня найти просто: надо умножить его длину на линейную плотность материала γ, из которого он изготовлен. Массу неоднородного стержня находят по формуле 4) m = γ () d. (4) Если считать γ () линейной плотностью заряда тонкой проволоки, то полученную формулу можно переписать как q = γ () d

3 Ëåêöèÿ "Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà" и интерпретировать как формулу заряда q проволоки, занимающей положение отрезка [, b] на оси абсцисс. Рассмотрим изогнутый стержень, форму которого задает векторная функция r (t) = (t)i + (t)j + z(t)k, t T, и пусть γ (t) его линейная плотность. Масса такого стержня определяется равенством 5) m = γ (t) (t) + (t) + z (t) dt. (5) Если γ (t) линейная плотность заряда q проволоки, то ее заряд равен q = γ (t) (t) + (t) + z (t) dt. Ñòàòè åñêèå ìîìåíòû è öåíòð òÿæåñòè êðèâîé Статическим моментом M материальной точки массы m относительно некоторой оси l называется произведение этой массы на расстояние от нее до оси: M = md, рис. 1, а). Для системы материальных точек с массами m 1, m,..., m n, расположенных в одной плоскости с осью, на расстояниях от нее, соответственно, d 1, d,..., d n, статическим моментом называется сумма отдельных моментов точек: M = n m id i, рис. 1, б). При этом расстояния для точек, лежащих по одну сторону от оси, берутся с одним знаком, а по другую с противоположным. а) m d l б) d 1 d m m d m d 4 m 5 d 5 l m 1 m 4 Рис. 1. Статические моменты и центр тяжести. Центром тяжести плоского геометрического объекта называется точка, обладающая следующим свойством. Если в нее поместить всю массу m объекта, то статический момент этой массы относительно любой оси будет равен статическому моменту объекта относительно этой оси.

4 Ëåêöèÿ "Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà" 4 Обозначим центр тяжести C (c, c ). Тогда, исходя из его определения, моменты центра тяжести M и M относительно координатных осей должны удовлетворять равенствам M = mc, M = mc. Таким образом, центр тяжести геометрического объекта массы m определяется формулами c = M m, c = M m. (6) Пусть имеется система точек, имеющих координаты ( i, i ) и массы m i, i = 1, n. Тогда их статические моменты относительно координатных осей выражаются формулами n n M = m i i, M = m i i, следовательно, центр тяжести такой системы в соответствии с формулами (6) имеет координаты n c = m n i i, c = m i i. (7) m m На рис. 1, б) центр тяжести системы из пяти материальных точек показан в виде розового шара с массой m, равной сумме масс всех синих шариков. Материальные точки могут, однако, заполнять собой некоторую кривую, и тогда представление статического момента в виде суммы моментов отдельных точек не годится. Пусть некоторая материальная кривая r (t) = (t)i + (t)j, t T, расположена в плоскости. Тогда ее статические моменты относительно осей и, соответственно, вычисляются по формулам 6) M = γ (t) (t) (t) + (t) dt, M = γ (t) (t) (t) + (t) dt. (8) Если кривая задана явным уравнением = f (), b, то M = f () γ () 1 + f () d, M = γ () 1 + f () d, (9) где γ () линейная плотность вдоль кривой в зависимости от. Будем говорить, что материальная кривая однородна, если ее линейная плотность постоянна: γ () = γ const. Теорема 1. Если материальная кривая симметрична относительна оси ординат и однородна, то ее статический момент M =.

5 Ëåêöèÿ "Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà" 5 Доказательство. Перепишем вторую из формул (9) для случая постоянной линейной плотности: M = γ 1 + f () d. Интеграл в правой части равен нулю в силу формулы (1), так как для симметричной относительно оси ординат кривой функция f () четна, а тогда подынтегральная функция нечетна. Теорема. Статический момент нескольких кривых равен сумме их статических моментов. Доказательство дано в Приложении 7). Центр тяжести кривой можно найти по формулам (6). Если кривая однородна и задана векторной функцией r (t) = (t)i + (t)j, t T, то, учитывая формулу (5), найдем, что c = 1 l (t) где l длина кривой. Из теоремы 1 получаем (t) + (t) dt, c = 1 l (t) (t) + (t) dt, (1) Следствие 1. Если кривая имеет ось симметрии и однородна, то ее центр тяжести лежит на этой оси. Доказательство. Сделаем ось симметрии кривой осью ординат. Тогда из теоремы 1 следует, что M =, а первая из формул (6) дает c =. Следствие. Если кривая имеет две оси симметрии и однородна, то ее центр тяжести лежит на пересечении этих осей. Ïðèìåð. Центром тяжести однородного стержня является его середина. Решение. Стержень имеет две оси симметрии: на одной он лежит, а вторая перпендикулярна стержню и проходит через его середину. Их пересечение и дает центр тяжести. Ïðèìåð. Центр окружности есть и ее центр тяжести. Решение. Любая прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии. Теорема. Центр тяжести нескольких кривых является центром тяжести их центров тяжести, если считать. что в последних сосредоточены массы кривых.

6 Ëåêöèÿ "Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà" 6 Доказательство см. в Приложении 8). Первая теорема Гульдина. Площадь S поверхности, образованной вращением однородной плоской кривой около некоторой, не пересекающей ее оси, равна длине l этой кривой, умноженной на длину окружности радиуса R, описанной центром тяжести кривой: S = l πr. Доказательство. Совместим ось вращения кривой с осью абсцисс и следующим образом перепишем второе равенство в (1): l πc = π (t) (t) + (t) dt. В правой части имеем площадь поверхности вращения, а в левой длину кривой, умноженную на длину окружности, описанной центром тяжести. Эта теорема может использоваться как для вычисления координат центра тяжести, если известна площадь поверхности вращения, так и для нахождения площади поверхности вращения, если известны координаты центра тяжести. Ïðèìåð 4. Найти центр тяжести половины окружности + = R. Решение. Заданная кривая симметрична относительно оси ординат, поэтому c =. Вращая кривую относительно оси абсцисс, получим сферу, площадь поверхности которой равна 4πR. По первой теореме Гульдина та же площадь равна l πc, где l = πr длина половины окружности. Следовательно, 4πR = πr πc, откуда получаем c = 4πR. Таким образом, центром тяжести полуокружности является точка (рис. ) π R = R π C ( ; R π ). R C R d C R Рис.. К примеру 4. Рис.. Тор. Лекция «Геометрические приложения определенного интеграла».

7 Ëåêöèÿ "Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà" 7 Ïðèìåð 5. Вычислить площадь поверхности тора (рис. ). Решение. Данная тороидальная поверхность образована вращением окружности радиуса R вокруг вертикальной оси. Так как центр тяжести окружности совпадает с ее центром (d, ), то по первой теореме Гульдина получаем, что S = πr πd = 4π Rd. 4 Ñòàòè åñêèå ìîìåíòû è öåíòð òÿæåñòè ïëîñêîé ôèãóðû Рассмотрим фигуру, изображенную на рис. 4. Сверху она ограничена кривой = f (), снизу кривой = f 1 (), b. Предположим, что эта = f () = f 1 () b Рис. 4. фигура однородна, то есть ее поверхностная плотность γ (масса, отнесенная к единице площади) постоянна и даже равна 1. Тогда величины 9) M = 1 [ f () f1 () ] d, M = [f () f 1 ()] d. (11) называют статическими моментами плоской фигуры относительно осей и, соответственно. Теорема 4. Если плоская фигура симметрична относительна оси ординат и однородна, то ее статический момент M =. Доказательство. Если фигура симметрична относительно оси ординат, то функции f 1 () и f () четны, а тогда подынтегральная функция во второй из формул (11) нечетна. Далее следует применить (1). Лекция «Функция II».

8 Ëåêöèÿ "Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà" 8 Аналогично теореме доказывается Теорема 5. Статический момент нескольких плоских фигур равен сумме их статических моментов. Центр тяжести плоской фигуры находят по формулам (6). Для рассматриваемой нами фигуры его координаты выражаются равенствами c = 1 S [f () f 1 ()] d, c = 1 S [ f () f 1 () ] d, (1) где S = [f () f 1 ()] d площадь фигуры. Следствия 1, и теорема становятся справедливыми и для плоских фигур, если в них слово «кривая» заменить выражением «плоская фигура». Поэтому центром тяжести ромба является точка пересечения его диагоналей, а круга его центр. Докажите, что центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан 1). Теорема 6. Центр тяжести нескольких плоских фигур является центром тяжести их центров тяжести, если считать. что в последних сосредоточены массы фигур. Доказательство аналогично доказательству теоремы. Вторая теорема Гульдина. Объем V тела, образованного вращением однородной плоской фигуры около некоторой, не пересекающей ее оси, равен площади S этой фигуры, умноженной на длину окружности радиуса R, описанной центром тяжести фигуры: V = S πr. Доказательство. Совместим ось вращения с осью и умножим обе части второго равенства в (1) на πs: S πc = π [ f () f 1 () ] d. Видим, что в правой части получился объем тела вращения, а в левой произведение площади фигуры на длину окружности, которую описывает центр тяжести. Ïðèìåð 6. Найти центр тяжести полукруга + R. Решение. В силу симметрии полукруга относительно оси получаем, что c =. Вращая полукруг вокруг оси абсцисс, получим сферу, объем которой равен 4 πr. По второй теореме Гульдина тот же объем равен S πc, где S = πr / площадь Лекция «Геометрические приложения определенного интеграла».

9 Ëåêöèÿ "Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà" 9 полукруга. Следовательно, 4 πr = πr πc, c = 4 πr /(π R ) = 4R. Таким образом, π центром тяжести полукруга является точка ( C ; 4R ). π Ïðèìåð 7. Найти объем тора, рис.. Решение. Центром тяжести круга, образующего тор при вращении, является, как было выяснено в примере 5, точка (d; ), а площадь этого круга равна S = πr. По второй теореме Гульдина V = πr πd = π R d. 5 Ìîìåíòû èíåðöèè Как известно, при поступательном движении мерой инертности тела является масса. Другими словами, согласно второму закону Ньютона, чем больше масса тела, тем большую силу надо приложить, чтобы сообщить ему заданное ускорение. Или можно сказать, чем больше масса тела, тем меньшее ускорение оно приобретет под действием одной и той же силы. Аналогичную роль играет момент инерции во вращательном движении. Моментом инерции I материальной точки массы m относительно некоторой точки, именуемой полюсом, называется произведение этой массы на квадрат расстояния d от нее до полюса: I = md. На плоскости моментом инерции системы материальных точек с массами m 1, m,..., m n относительно полюса, называется сумма моментов инерции отдельных точек относительно полюса: M = n m id i, где d i расстояние от i-й точки до полюса. Аналогично определяются моменты инерции точек относительно некоторой оси; надо только считать d, d 1,..., d n расстояниями от точек до оси. Нетрудно видеть, что в случае, когда полюс служит началом координат, момент инерции точек ( i, i ), i = 1, n, относительно полюса выражается формулой n ( ) I = m i i + i. Моменты инерции I и I материальных точек относительно координатных осей и, соответственно, определяются равенствами n n I = m i i, I = m i i. (1)

10 Ëåêöèÿ "Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà" 1 Мы видим, что I = I + I. (14) Момент инерции кривой r (t) = (t)i + (t)j, t T, расположенной на плоскости, относительно начала координат можно найти по формуле I = γ (t) [ (t) + (t) ] (t) + (t) dt, где γ () линейная плотность кривой. Доказательство вполне аналогично доказательству формулы для статического момента плоской кривой. Точно так же доказывается, что момент инерции кривой, заданной вектором r (t) = (t)i+(t)j, t T, относительно координатных осей определяется равенствами I = γ (t) (t) (t) + (t) dt, I = γ (t) (t) (t) + (t) dt. (15) Если кривая задана явным уравнением = f (), b, формулы для моментов инерции принимают вид I = I = γ (t) f () γ (t) [ + f () ] 1 + f () d, 1 + f () d, I = Снова замечаем, что выполняется (14). γ (t) 1 + f () d. (16) Ïðèìåð 8. Найти моменты инерции четверти окружности радиуса R (рис. 5), линейная плотность которой равна 1. Решение. Используем формулы (15), для чего зададим четверть окружности в параметрической форме = R cos t, = R sin t, t π. Получим I = π/ R sin t dt = R π/ (1 cos t) dt = R (t 1 sin t ) π/ = πr 4. В силу симметрии I = I = πr 4, а I = I + I = πr. Моменты инерции плоской фигуры, изображенной на рис. 4, выражаются формулами 11) I = 1 [ f () f1 () ] d, I = [f () f 1 ()] d, (17)

11 Ëåêöèÿ "Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà" 11 1 = 1 R 1 Рис. 5. К примеру 8. Рис. 6. К примеру 9. I = И в этом случае справедливо (14). { [f () f 1 ()] + f () f1 } () d. (18) Ïðèìåð 9. Найти моменты инерции фигуры, изображенной на рис. 6, поверхностная плотность которой равна 1. Решение. В данном случае f 1 (), f () = 1, поэтому применяя формулы (17), получаем 1 1 I = 1 ( ) 1 1 ( d = ) d = = 1 ( ) 1 7 = 1 ( 5 1 ) = , 1 I = ( 1 ) ( ) d = 5 1 = 5 15, I = I + I = = 7. С другими применениями определенного интеграла мы встретимся при дальнейшем изучении курса высшей математики.

12 Ëåêöèÿ "Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà" 1 Ïðèëîæåíèå 1) Выполним преобразование интеграла, стоящего в левых частях равенств: = f () d = f ( u) du + f () d + f () d = f () d = u =, du = d = f ( ) d + f () d. Если f () нечетна, то f ( ) = f (), и мы получаем равенство (1). Если же f () четна, то f ( ) = f (), и мы приходим к равенству (). Рис. 7 иллюстрирует лемму. Если функция нечетна, то соответствующие ей криволинейные трапеции для отрезков [ ; ] и [; ] имеют одинаковые площади, но эти площади следует брать с противоположными знаками, так что в сумме получается. Для четной функции площадь криволинейной трапеции для отрезка [, ] равна удвоенной площади криволинейной трапеции для отрезка [, ]. а) = f() б) = f() Рис. 7. Интегрирование а) нечетной и б) четной функций. ) Разобьем отрезок [, T ] произвольным образом на части точками < t 1 <... < t n 1 < < t n = T, которым на кривой будут отвечать точки A = A, A 1,..., A n 1, A n = B и на каждом частичном отрезке [t i 1, t i ] произвольным образом выберем точки τ i. В дальнейшем будем такое разбиение называть интегральным с точками t i и τ i. При достаточно малой длине дуги A i 1 A i действие силы на ней можно приближенно принять постоянным и равным ее значению F(τ i ), t i 1 τ i t i. Кроме того, движение вдоль этой дуги можно приближенно заменить движением вдоль вектора A i 1 A i, рис. 8. В результате работа силы вдоль дуги A i 1 A i кривой выразится приближенной зависимостью A i F(τ i )A i 1 A i = F 1 (τ i ) i + F (τ i ) i + F (τ i ) z i, (П1) где i = (t i ) (t i 1 ), i = (t i ) (t i 1 ), z i = z (t i ) z (t i 1 ). Применяя к этим разностям теорему Лагранжа, запишем их в виде i = (θ i,1 ) t i, i = (θ i, ) t i, z i = = z (θ i, ) t i, где θ i,1, θ i,, θ i, (t i 1, t i ), t i = t i t i 1. Подставим все это в формулу (П1): A i [F 1 (τ i ) (θ i,1 ) + F (τ i ) (θ i, ) + F (τ i ) z (θ i, )] t i. При малой длине дуги A i 1 A i выполняется θ i,1 τ i, θ i, τ i, θ i, τ i, поэтому A i [F 1 (τ i ) (τ i ) + F (τ i ) (τ i ) + F (τ i ) z (τ i )] t i = F(τ i )r (τ i ) t i.

13 Ëåêöèÿ "Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà" 1 F(τ i ) A i 1 A i r(τ i ) r = r(t) r(t i 1 ) r(t i ) Рис. 8. Работа переменной силы вдоль кривой. Вся же работа вдоль кривой AB приближенно равна сумме таких работ: n A F(τ i )r (τ i ) t i. Переходя к пределу при n и m i t i, получим точное значение работы (). ) Вот этот Пример П1. Найти работу силы, являющейся равнодействующей всех приложенных к материальной точке сил. Решение. Для такой силы справедлив второй закон Ньютона F (t) = m (t) = mv (t), где (t) = v (t) = r (t) ускорение, а v (t) = (v 1 (t), v (t), v (t)) T = r (t) скорость точки в момент времени t. Следовательно, в соответствии с формулой () работа силы равна A = m v (t)v(t) dt = m = m v k dv k = m k=1 k=1 v k v k (t) v k (t) dt = m k=1 k=1 T = mv T = mv (T ) v k (t) v k (t) dt = mv ( ). Как известно, mv / кинетическая энергия материальной точки. Используя это понятие, полученный результат можно сформулировать так: работа силы по перемещению точки вдоль пути AB, равна приращению кинетической энергии точки на этом пути. 4) Отождествим стержень с отрезком [, b] оси абсцисс и положим γ = γ (). Выполним интегральное разбиение отрезка [, b] с точками i и c i. Приближенно можно считать, что на каждом таком отрезке линейная плотность постоянна и равна γ (c i ). Тогда масса части стержня [ i 1, i ] приближенно равна m i = γ (c i ) i, где i = i i 1, а масса всего стержня n m γ (c i ) i. Переходя к пределу при n и m i i, получим точное значение массы стержня (4). 5) Произведем интегральное разбиение отрезка [, T ] с точками t i и τ i и будем приближенно считать на отрезке [t i 1, t i ] линейную плотность постоянной, равной γ (τ i ), а дугу A i 1 A i

14 Ëåêöèÿ "Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà" 14 заменим отрезком A i 1 A i. Тогда масса части стержня A i 1 A i будет приближенно равна (см. обозначения при выводе формулы работы) m i γ (τ i ) A i 1 A i = γ (τ i ) i + i + + z i = = γ (τ i ) (θ i,1 ) + (θ i, ) + z (θ i, ) t i γ (τ i ) (τ i ) + (τ i ) + z (τ i ) t i. Отсюда и следует формула (5). 6) Выполним интегральное разбиение отрезка [, T ] c точками t i и τ i и каждую дугу A i 1 A i кривой станем считать в некотором роде материальной точкой массы γ (τ i ) A i 1 A i, находящейся на расстоянии (τ i ) от оси ординат и на расстоянии (τ i ) от оси абсцисс. Приближенно статический момент кривой относительно оси выразится формулой (выкладки аналогичны предыдущим) n n M γ (τ i ) A i 1 A i (τ i ) = γ (τ i ) (τ i ) (τ i ) + (τ i ) t i, что и дает после предельного перехода первую из формул (8). Вторая доказывается аналогично. 7) Пусть кривые заданы векторами r j (t),,j t j T j, j = 1, k, а их статические моменты относительно оси абсцисс равны, соответственно, M,1,..., M,k. Зададим в параметрической форме r (t) кривую, состоящую из этих кривых, положив, что параметр t поочередно пробегает отрезки [,j, T j ], j = 1, k, а вектор r (t) = r j (t) на этих отрезках. Тогда в силу аддитивности определенного интеграла статический момент M для кривой r (t), вычисляемый по первой из формул (8), будет равен сумме моментов M,1,..., M,k. Доказательство для M аналогично. 8) Рассмотрим кривые, введенные при доказательстве теоремы. Пусть (c,i, c,i ) их центры тяжести. Сосредоточим в точке (c,i, c,i ) массу i-й кривой m i. По первой из формул (7) центром тяжести этих точек будет точка с абсциссой k c = c,im i, m где m = m m k. Но по упомянутой теореме c = k c,im i = k M,i m i m i = k M,i = M m, m m m где M,i статический момент i-й кривой, M статический момент всей совокупности кривых. Так что c есть и абсциссой центра тяжести совокупности кривых. Аналогичное равенство справедливо для ординаты центра тяжести. 9) Произведем интегральное разбиение отрезка [, b] с точками i и c i. Часть фигуры, расположенной над отрезком [ i 1, i ] приближенно можно считать стержнем длины f (c i ) f 1 (c i ), центр тяжести которого, как мы установили, совпадает с его серединой [f 1 (c i ) + f (c i )]/, рис. 9. В центре тяжести (по определению последнего) статический момент стержня равен статическому моменту самого центра тяжести, имеющему массу стержня m. Но масса однородного стержня с γ = 1 равна его площади [f (c i ) f 1 (c i )] i, где i = i i 1. Следовательно, статический момент стержня относительно оси абсцисс будет приближенно равен M,i f (c i ) + f 1 (c i ) [f (c i ) f 1 (c i )] i = f (c i ) f1 (c i ) i,

15 Ëåêöèÿ "Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà" 15 A = f () = k S i M D = f 1 () i 1 c i i b = k 1 B ( ) Рис. 9. S i c i, f 1(c i )+f (c i ). Рис. 1. а для статического момента относительно оси ординат будем иметь M,i c i [f (c i ) f 1 (c i )] i. Суммируя по всем отрезкам [ i 1, i ] и переходя к пределу при n и m i i, получим формулы (11). 1) Расположим треугольник на координатной плоскости так, чтобы его вершина находилась в начале координат, а противоположная сторона была параллельна оси ординат (рис. 1). Пусть две другие стороны имеют уравнения = k 1 и = k, k > k 1. Найдем площадь треугольника S = (k k 1 ) d = (k k 1 ) По формулам (1) вычислим координаты центра тяжести: c = 1 (k k 1 ) d = (k k 1 ) S (k k 1 ) c = 1 ( k S k1 ) d = k k1 = k k 1 (k k 1 ) =,. = k 1 + k Покажем, что такие же координаты имеет точка пересечения медиан. Действительно, серединой стороны AB является точка D (, k 1+k ). Радиус-вектор точки пересечения медиан M связан с вектором D равенством M = D = (, k 1+k ). Значит, такие же координаты имеет и точка M точка пересечения медиан. 11) Сначала решим следующий Пример П. Найти моменты инерции однородного стержня, расположенного параллельно координатной оси..

16 Ëåêöèÿ "Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà" 16 Решение. Пусть стержень параллелен оси абсцисс: = c = const >, < b, рис. 11, а). Так как он однороден, полагаем γ () = γ const. Далее из формул (16) находим I = γ c d = γ c (b ), I = γ d = γ b = γ b, ] I = I + I = γ [c (b ) + b. d d... c b c c... а) б) с) Рис. 11. К моментам инерции стержней и прямоугольника. В случае параллельности стержня оси ординат: = = const >, < c d, рис. 11, б), из соображений симметрии следует, что ] I = γ d c, I = γ (d c), I = γ [ (d c) + d c. Чтобы перейти к моментам инерции плоской фигуры, сначала найдем приближенно моменты инерции однородного прямоугольника +, c d, рис. 11, с), с поверхностной плотностью γ 1. Для этого разобьем прямоугольник на k более мелких прямоугольников со сторонами и = (d c)/k. Будем считать, что последние величины настолько малы, что малые прямоугольники можно заменить материальными точками с координатами (, c + j ), j = 1, k, и массой, равной, в силу того, что γ 1. Обозначив ( ) r = r и учитывая, что k = d c, из формул (1) получим I k (c + j ) = k ( c + jc + j ) = ( = c k (k + 1) k + c + k ) (k + k + 1) = (П) 6 = [c (d c) + c (d c) + c (d c) + 1 (d c) + 1 (d c) + 16 ] (d c), I k k = = (d c). (П)

17 Ëåêöèÿ "Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà" 17 Здесь были использованы равенства k 1 = k, k j = k (k + 1), k j = k (k + k + 1), (П4) 6 первое из которых очевидно, второе является формулой суммы арифметической прогрессии, а третье докажем методом математической индукции. При k = 1 третье равенство, очевидно, справедливо. Предполагая его справедливость при некотором k 1, докажем его справедливость при k + 1. Найдем k+1 j = k j + (k + 1) = k (k + k + 1) 6 k (k + 1) (k + 1) + 6 (k + 1) = 6 = (k + 1) (k + 7k + 6). 6 = + (k + 1) = (k + 1) [k (k + 1) + 6 (k + 1)] 6 Но это и есть третья из формул (П4) при k, увеличенном на единицу. Пренебрегая в равенствах (П), (П) слагаемыми (в силу их малости), содержащими произведения на и, придем к следующим приближенным выражениям Отсюда следует, что I (d c) c + cd + d = d c ] I [ (d c) + d c., I (d c). Мы видим, что моменты инерции однородного «узкого» прямоугольника приближенно равны соответствующим моментам стержня, умноженным на «ширину» прямоугольника. Найдем теперь моменты инерции фигуры, изображенной на рис. 9, предполагая, что ее поверхностная плотность равна 1. Произведем интегральное разбиение отрезка [, b] с точками i и c i = i 1. Часть фигуры, расположенной над отрезком [ i 1, i ], приближенно можно считать прямоугольником со сторонами i и f (c i ) f 1 (c i ). Используя найденные формулы приближенного вычисления моментов инерции такого прямоугольника, для i-го прямоугольника получим I,i = f (c i ) f1 (c i ) i, I,i = c i [f (c i ) f 1 (c i )] i, { I,i = c i [f (c i ) f 1 (c i )] + f } (c i ) f1 (c i ) i. Переходя к пределу при n и m i i, получим точные значения моментов инерции плоской фигуры (17), (18). = Литература [1] Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. М.: Рольф,. Ч. 1. с ,

Тема6. «Определенный интеграл»

Тема6. «Определенный интеграл» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема6. «Определенный интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б.Дуниной

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

7 Координаты центра тяжести

7 Координаты центра тяжести 7 Координаты центра тяжести Используя математический пакет Mm, найти координаты центра тяжести плоской фигуры Результат представить графически Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет имени НИЛобачевского СЮ Галкина, ОЕ Галкин ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ Курс лекций Рекомендовано

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет Л Е МОРОЗОВА, В Б СМИРНОВА ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебное пособие Санкт-Петербург

Подробнее

Глава 7. Определенный интеграл

Глава 7. Определенный интеграл 68 Глава 7 Определенный интеграл 7 Определение и свойства К понятию определенного интеграла приводят разнообразные задачи вычисления площадей, объемов, работы, объема производства, денежных потоков и тп

Подробнее

12. Определенный интеграл

12. Определенный интеграл 58 Определенный интеграл Пусть на промежутке [] задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке [] произвольные числа,, 3,, n-, удовлетворяющие условию:

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ для студентов всех специальностей очной формы

Подробнее

Определенный интеграл

Определенный интеграл Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет Определенный интеграл Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Подробнее

Определение 9.2. Назовем трехкратным интегралом от функции f(x, y, z) по области V выражение вида:

Определение 9.2. Назовем трехкратным интегралом от функции f(x, y, z) по области V выражение вида: Лекция 9. Вычисление тройного интеграла. Криволинейные системы координат. Якобиан и его геометрический смысл. Замена переменных в кратных интегралах. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам

Подробнее

Кафедра высшей математики ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПО ФОРМУЛЕ НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Кафедра высшей математики ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПО ФОРМУЛЕ НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Геометрические приложения определенного интеграла

Геометрические приложения определенного интеграла Геометрические приложения определенного интеграла Кривая L на плоскости задается своей параметризацией x = x(t), y = y(t), t [t, T ]. (1) Заметим, что изменяется единственный параметр t. Часто говорят,

Подробнее

4. Постоянное магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле.

4. Постоянное магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле. 4 Постоянное магнитное поле в вакууме Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле Закон Био-Савара-Лапласа: [ dl, ] db =, 3 4 π где ток, текущий по элементу проводника dl, вектор dl направлен

Подробнее

4 Основные свойства определенного интеграла

4 Основные свойства определенного интеграла 178 4 Основные свойства определенного интеграла Рассмотрим основные свойства определенного интеграла. 1) Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (=), то интеграл равен нулю f ( ) d = 0 Данное

Подробнее

Пример 1. Два точечных заряда = 1 нкл и q = 2 нкл находятся на расстоянии d = 10 см друг от

Пример 1. Два точечных заряда = 1 нкл и q = 2 нкл находятся на расстоянии d = 10 см друг от Примеры решения задач к практическому занятию по темам «Электростатика» «Электроемкость Конденсаторы» Приведенные примеры решения задач помогут уяснить физический смысл законов и явлений способствуют закреплению

Подробнее

3. Магнитное поле Вектор магнитной индукции. Сила Ампера

3. Магнитное поле Вектор магнитной индукции. Сила Ампера 3 Магнитное поле 3 Вектор магнитной индукции Сила Ампера В основе магнитных явлений лежат два экспериментальных факта: ) магнитное поле действует на движущиеся заряды, ) движущиеся заряды создают магнитное

Подробнее

Лекция 3. 2.6. Работа силы. Кинетическая энергия ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ

Лекция 3. 2.6. Работа силы. Кинетическая энергия ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ 34 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ Лекция 3.6. Работа силы. Кинетическая энергия Наряду с временнóй характеристикой силы ее импульсом, вводят пространственную, называемую работой. Как всякий вектор, сила

Подробнее

10. Определенный интеграл

10. Определенный интеграл 1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

Подробнее

Определенный интеграл. Графический смысл перемещения.

Определенный интеграл. Графический смысл перемещения. Определенный интеграл. Графический смысл перемещения. Если тело движется прямолинейно и равномерно, то для определения перемещения тела достаточно знать его скорость и время движения. Но как подойти к

Подробнее

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией

Подробнее

КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В. Кафедра высшей математики

КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В. Кафедра высшей математики КРСУ Давидюк ТА Гончарова ИВ Кафедра высшей математики КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ УДК 7 Д Рецензенты: д-р физ-мат наук проф ТМ Иманалиев ст преподаватель НМ Комарцов

Подробнее

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА . ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА.3. Динамика. Динамика это часть теоретической механики, в которой рассматривается движение материальной точки или тела под действием приложенных сил, а также устанавливается связь

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim Òåîðåìû î ïðåäåëàõ Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Основные теоремы о пределах. Предел числовой последовательности. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Экспонента. Натуральный логарифм.

Подробнее

Турнир имени М.В. Ломоносова Заключительный тур 2015 г. ФИЗИКА

Турнир имени М.В. Ломоносова Заключительный тур 2015 г. ФИЗИКА Задача Турнир имени МВ Ломоносова Заключительный тур 5 г ФИЗИКА Небольшой кубик массой m = г надет на прямую горизонтальную спицу, вдоль которой он может перемещаться без трения Спицу закрепляют над горизонтальным

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А.

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А. РЯДЫ ФУРЬЕ Автор-составитель: доцент каф ВМ Цапаева СА Великий Новгород ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ГАРМОНИК Определение Гармониками называются комплекснозначные функции вида iω ( ) e, где действительная переменная,

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Министерство образования Республики Беларусь КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования Республики Беларусь "Высший государственный колледж связи" Кафедра Математики и физики КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть Минск 5 г РАЗДЕЛ 4 Функции нескольких переменных

Подробнее

1.Свойства определенного интеграла. 1.Если подынтегральная функция равна единице, то

1.Свойства определенного интеграла. 1.Если подынтегральная функция равна единице, то ЛЕКЦИЯ N4. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Теорема о среднем..свойства определенного интеграла.....теорема о среднем значении.....производная интеграла по переменной верхней

Подробнее

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ ФГБОУ ВПО «ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Персиановский

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Лекция 2. Инварианты плоских кривых

Лекция 2. Инварианты плоских кривых Лекция 2. Инварианты плоских кривых План лекции. Гладкие кривые на плоскости, число вращения, классификация кривых с точностью до гладкой гомотопии, точки самопересечения, число Уитни, теорема Уитни..1

Подробнее

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова Е. В. Мартынова, И. П. Мурзина, Т. М. Степанюк,

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана Лекция 6 Определенный интеграл Римана Аннотация: Отмечается что кроме интеграла Римана существуют и другие интегралы Рассматриваются свойства определенного интеграла Понятие определенного интеграла настолько

Подробнее

Репозиторий БНТУ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО ФИГУРЕ ОТ СКАЛЯРНОЙ ФУНКЦИИ. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Репозиторий БНТУ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО ФИГУРЕ ОТ СКАЛЯРНОЙ ФУНКЦИИ. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика» ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО ФИГУРЕ ОТ СКАЛЯРНОЙ ФУНКЦИИ Методические указания Минск

Подробнее

Московская олимпиада по физике, 2015/2016, нулевой тур, заочное задание (ноябрь), 11-й класс. Автор: Бычков А.И.

Московская олимпиада по физике, 2015/2016, нулевой тур, заочное задание (ноябрь), 11-й класс. Автор: Бычков А.И. Московская олимпиада по физике, 205/206, нулевой тур, заочное задание (ноябрь), -й класс Автор: Бычков А.И. Заочное задание (ноябрь) состоит из пяти задач. За решение каждой задачи участник получает до

Подробнее

Глава 2. Определенный интеграл.

Глава 2. Определенный интеграл. Глава. Определенный интеграл... Понятие определенного интеграла. В первой главе мы изучали неопределенный интеграл, представляющий собой множество первообразных заданной функции. Теперь настала пора познакомиться

Подробнее

ϕ(r) = Q a + Q 2a a 2

ϕ(r) = Q a + Q 2a a 2 1 Урок 14 Энергия поля, Давление. Силы 1. (Задача.47 Внутри плоского конденсатора с площадью пластин S и расстоянием d между ними находится пластинка из стекла, целиком заполняющая пространство между пластинами

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ] 8 Барроу Исаак (Brrow Is) -77 английский математик, филолог, богослов. Профессор Кембриджского университета. Автор труда лекции по оптике и геометрии (9-7). Из теоремы следует, что определенный интеграл

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Т А Матвеева В Б Светличная С А Зотова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Оглавление. 1. Метод интегральных сумм Примеры решения задач Задачи типового расчета Список литературы... 21

Оглавление. 1. Метод интегральных сумм Примеры решения задач Задачи типового расчета Список литературы... 21 1. Метод интегральных сумм...................... Примеры решения задач....................... 3 3. Задачи типового расчета....................... 17 Список литературы............................ 1 1. Метод

Подробнее

для выполнения лабораторной работы 4

для выполнения лабораторной работы 4 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРИБЛИЖЕННОЕ

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru. Энергия

И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru. Энергия И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru Энергия Темы кодификатора ЕГЭ: работа силы, мощность, кинетическая энергия, потенциальная энергия, закон сохранения механической энергии. Мы приступаем к изучению

Подробнее

вид 1, 1/2, 1/3,..., 1/n,... ).

вид 1, 1/2, 1/3,..., 1/n,... ). Казанское математическое общество В.Б. Живетин Вводные лекции по курсу Высшая математика Г Р А Ф Казань 998 3 УДК 57 ББК.6 Ж 66 Вводные лекции по курсу Высшая математика /В.Б.Живетин; Казанское математическое

Подробнее

МГТУ им. Н.Э.Баумана. В.Г.Голубев, М.А.Яковлев Методические указания к решению задач по курсу общей физики Раздел «Электростатика»

МГТУ им. Н.Э.Баумана. В.Г.Голубев, М.А.Яковлев Методические указания к решению задач по курсу общей физики Раздел «Электростатика» МГТУ им НЭБаумана ВГГолубев, МАЯковлев Методические указания к решению задач по курсу общей физики Раздел «Электростатика» Под редакцией ОС Литвинова Москва, 5 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение Основные сведения по

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Гущин Д. Д. ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Проверяемые элементы содержания и виды деятельности: владение понятиями треугольник, четырехугольник,

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ 1. Числовые множества. Арифметические действия над числами. Натуральные числа (N).

Подробнее

VII. Определенный интеграл и его приложения. 1. Некоторые задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

VII. Определенный интеграл и его приложения. 1. Некоторые задачи, приводящие к понятию определенного интеграла VII Определенный интеграл и его приложения Некоторые задачи приводящие к понятию определенного интеграла Задача Вычисление пройденного пути при неравномерном движении Пусть точка движется по прямолинейной

Подробнее

непрерывной на отрезке a; b и вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y 0, Эту фигуру будем называть криволинейной трапец ией.

непрерывной на отрезке a; b и вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y 0, Эту фигуру будем называть криволинейной трапец ией. Лекция: Определенный интеграл. Введение. Рассмотрим график функции y f () непрерывной на отрезке ; и вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y 0, y f ( ),,. Эту фигуру будем называть криволинейной

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Поверхности второго порядка. Определение функции х переменных. Геометрическая интерпретация. Частные приращения функции. Частные производные.

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты:

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты: ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты: Содержание программы 1. Числа, корни и степени. Числовые последовательности Натуральные числа. Простые

Подробнее

Тригонометрические ряды Фурье

Тригонометрические ряды Фурье Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

Определенный интеграл

Определенный интеграл Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Факультативно. Ковариантная форма физических законов.

Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Ковариантность и контравариантность. Слово "ковариантный" означает "преобразуется так же, как что-то", а слово "контравариантный" означает "преобразуется

Подробнее

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ТЕХНИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (на базе

Подробнее

в) 3 Какая из нижеперечисленных десятичных дробей является результатом округления числа 13

в) 3 Какая из нижеперечисленных десятичных дробей является результатом округления числа 13 Задача 1 4 1 = 9 2 а) 1 18 б) 3 в) 3 7 7 г) 1 18 Задача 2 Какая из нижеперечисленных десятичных дробей является результатом округления числа 13 до десятых? 7 а) 1, 6 б) 1, 7 в) 1, 8 г) 1, 9 Задача 3 10

Подробнее

а) Минимальной расстояние между кораблями есть расстояние от точки А до прямой ВС, которое равно

а) Минимальной расстояние между кораблями есть расстояние от точки А до прямой ВС, которое равно 9 класс. 1. Перейдем в систему отсчета, связанную с кораблем А. В этой системе корабль В движется с относительной r r r скоростью Vотн V V1. Модуль этой скорости равен r V vcos α, (1) отн а ее вектор направлен

Подробнее

Программа вступительного экзамена по математике

Программа вступительного экзамена по математике Программа вступительного экзамена по математике Программа составлена на основе Федерального компонента государственного стандарта основного общего и среднего (полного) общего образования (приказ Минобразования

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ

Подробнее

Экзамен. Магнитный диполь. Момент сил, действующих на виток с током в однородном магнитном поле.

Экзамен. Магнитный диполь. Момент сил, действующих на виток с током в однородном магнитном поле. Экзамен Магнитный диполь Момент сил, действующих на виток с током в однородном магнитном поле I m S определение магнитного дипольного момента тока I в контуре, ограничивающем площадку S Направление дипольного

Подробнее

С.р.2 углов. Изображать с помощью чертёжных инструментов геометрические фигуры: 4 Смежные и

С.р.2 углов. Изображать с помощью чертёжных инструментов геометрические фигуры: 4 Смежные и Название темы Колво часов Приложение к рабочей программе по геометрии Учебно-тематический план Геометрия 7 класс ( часа в неделю, всего 70 часов) Характеристика деятельности обучающихся Глава. Простейшие

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента России

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Т.Е. Воронцова И.Н. Демидова Н.К. Пешкова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Подробнее

Векторы в физике. Содержание. И. В. Яковлев Компания «Ваш репетитор» 1 Скалярные и векторные величины 2

Векторы в физике. Содержание. И. В. Яковлев Компания «Ваш репетитор» 1 Скалярные и векторные величины 2 И. В. Яковлев Компания «Ваш репетитор» Векторы в физике Содержание 1 Скалярные и векторные величины 2 2 Сложение векторов 4 2.1 Правило треугольника.................................. 4 2.2 Правило параллелограмма................................

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (филиал) ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (филиал) ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (филиал) ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА КАФЕДРА МЕХАНИКИ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКЕ Часть

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Часть 1

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Часть 1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ А.М. ДЕНИСОВ, А.В. РАЗГУЛИН ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Часть 1 МОСКВА 2009 г. Пособие

Подробнее

Электростатика. Магнитостатика. Электромагнитная индукция. Электрическое поле в проводящей среде.

Электростатика. Магнитостатика. Электромагнитная индукция. Электрическое поле в проводящей среде. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н.Э.БАУМАНА Л.А.Лунёва, С.Н.Тараненко, В.Г.Голубев, А.В.Козырев, А.В. Купавцев. Электростатика. Магнитостатика. Электромагнитная индукция. Электрическое

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Мехатроника» Г. В. Васильева ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Екатеринбург Издательство УрГУПС 2014

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новгородский государственный университет имени

Подробнее

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье.

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье. Лекция 4. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда..4. Равенство Парсеваля Пусть система вещественных функций g( ), g( ),..., g ( ),... ортогональна и

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

РЕГИОНАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ. 11 класс

РЕГИОНАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ. 11 класс Санкт Петербургский государственный университет 5 6 учебный год, январь Вариант 1 1 Сравните числа ( 6 5 + 4) 1 и ( 8 + 7 6) 1 + 1 Решите уравнение + + + 1= log log Решите неравенство + 6 4 Изобразите

Подробнее

8. Определенный интеграл

8. Определенный интеграл 8. Определенный интеграл 8.. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x,..., x n, x n } [, b], что = x < x < < x n < x n =

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (для поступающих на базе среднего общего образования)

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (для поступающих на базе среднего общего образования) ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ «ИНСТИТУТ МИРОВОЙ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (для поступающих на базе среднего общего образования)

Подробнее

Зависимость скорости от времени

Зависимость скорости от времени И В Яковлев Материалы по физике MathUsru Равноускоренное движение Темы кодификатора ЕГЭ: виды механического движения, скорость, ускорение, уравнения прямолинейного равноускоренного движения, свободное

Подробнее

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 1.. Кинематика. Кинематика это часть теоретической механики, в которой изучается механическое движение материальных точек и твердых тел. Механическое движение это перемещение

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

Д. Г. Орловский. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРАКТИКУМ Часть 1

Д. Г. Орловский. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРАКТИКУМ Часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ Д. Г. Орловский ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРАКТИКУМ Часть Рекомендовано УМО Ядерные физика и технологии

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Уральский государственный технический университет

Министерство образования Российской Федерации Уральский государственный технический университет Министерство образования Российской Федерации Уральский государственный технический университет СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Методические указания к выполнению контрольных заданий по теме «Геометрические характеристики

Подробнее

Г.А. Маковкин Конспект лекций по теоретической механике

Г.А. Маковкин Конспект лекций по теоретической механике Истинная наука не питает сновидениями своих исследователей, но всегда от первых истинных и доступных познанию начал постепенно продвигается к цели при помощи истинных заключений, как это явствует из первых

Подробнее

Лекция 14: Линейный оператор

Лекция 14: Линейный оператор Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к рассмотрению функций из векторного

Подробнее

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012 Оценка снизу скорости блуждания решения линейного дифференциального уравнения третьего порядка через частоту нулей Тихомирова А.В. arxiv:11.6657v1 [math.ca] 9 Dec 1 В работе сравниваются две характеристики

Подробнее

Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных

Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных дробей; с требуемой точностью округлять данные числа и результаты

Подробнее

Общая постановка задачи о замене переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Пусть функции ( ) ( ) ( )

Общая постановка задачи о замене переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Пусть функции ( ) ( ) ( ) 6 9 Замена переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Общий случай замены переменной в двойном и тройном интегралах. Якобиан. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах

Подробнее

ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ИНСТИТУТ ГОСУДАРСТВЕННОГО АДМИНИСТРИРОВАНИЯ»

ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ИНСТИТУТ ГОСУДАРСТВЕННОГО АДМИНИСТРИРОВАНИЯ» ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ИНСТИТУТ ГОСУДАРСТВЕННОГО АДМИНИСТРИРОВАНИЯ» Утверждаю Ректор ЧУ ВО «ИГА» А.В. Тараканов «12» 11 20_15_г. Программа подготовки к вступительным испытаниям по математике

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература...

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература... ОГЛАВЛЕНИЕ Введение................................................ 3 Глава. Неопределенный интеграл.......................... 6.. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла........................

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ НА ОБУЧЕНИЕ ПО ПРОГРАММАМ БАКАЛАВРИАТА И ПРОГРАММАМ СПЕЦИАЛИТЕТА

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ НА ОБУЧЕНИЕ ПО ПРОГРАММАМ БАКАЛАВРИАТА И ПРОГРАММАМ СПЕЦИАЛИТЕТА Минобрнауки России Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сыктывкарский государственный университет имени Питирима Сорокина» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ

Подробнее

ϕ =, если положить потенциал на

ϕ =, если положить потенциал на . ПОТЕНЦИАЛ. РАБОТА СИЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ Потенциал, создаваемый точечным зарядом в точке A, находящейся на, если положить потенциал на бесконечности равным нулю: φ( ). Потенциал, создаваемый в

Подробнее

Научно исследовательская работа. Применение определенного интеграла для обоснования и получения числовых неравенств

Научно исследовательская работа. Применение определенного интеграла для обоснования и получения числовых неравенств Научно исследовательская работа Применение определенного интеграла для обоснования и получения числовых неравенств Выполнил: Носальский Никита Олегович, учащийся 10 класса муниципального бюджетного общеобразовательного

Подробнее

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1.

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1. 1 Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Специализированный учебно-научный центр ГОУ лицей 1580. Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, 2014-2015 учебный

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

24 4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций Универсальная тригонометрическая подстановка

24 4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций Универсальная тригонометрическая подстановка СОДЕРЖАНИЕ Глава Неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла Свойства неопределённого интеграла Таблица основных неопределённых

Подробнее

S с плотностью стороннего заряда. По теореме Гаусса

S с плотностью стороннего заряда. По теореме Гаусса 5 Проводники в электрическом поле 5 Проводники Проводниками называются вещества, в которых при включении внешнего поля перемещаются заряды и возникает ток Наиболее хорошими проводниками электричества являются

Подробнее

3A = A = A = 1 7 A + B = A = c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj = a is b sj

3A = A = A = 1 7 A + B = A = c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj = a is b sj Высшая математика Лекции по курсу Список литературы [] Высшая математика для экономистов Под редакцией НШ Кремера [] СА Минюк, ЕА Ровба Высшая математика [] Сборник задач по высшей математике для экономистов

Подробнее

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Электростатика Лекция 22 ЛЕКЦИЯ 22

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Электростатика Лекция 22 ЛЕКЦИЯ 22 ЛЕКЦИЯ Электростатическая энергия зарядов. Мультипольное разложение. Электрический диполь. Энергия системы зарядов во внешнем поле. Силы, действующие на диполь в электрическом поле. Взаимодействие двух

Подробнее