ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ"

Транскрипт

1 МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО МАТЕМАТИКЕ

2 МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) ЗАОЧНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ Утверждаю Декан заочного факультета, проф Карагодин ВИ 4 г ЗЛЕНКО АА ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО МАТЕМАТИКЕ МОСКВА МАДИ 4

3 УДК 57 ББК 6 З 67 Зленко, АА З 67 Введение в математический анализ: методические указания к самостоятельной работе по математике / АА Зленко М: МА- ДИ, 4 6 с Данные методические указания предназначены для самостоятельной работы студентов первого курса, квалификации бакалавриата и специалитета, начинающих изучать математический анализ В краткой, сжатой форме они содержат основные теоретические сведения по теории пределов, производной, исследованию функций и построению графиков Теоретические положения иллюстрируются примерами, помогающими понять суть излагаемых вопросов В конце каждого раздела даны упражнения для лучшего понимания и усвоения материала УДК 57 ББК 6 МАДИ, 4

4 ПРЕДИСЛОВИЕ Данные методические указания предназначены для самостоятельной работы студентов первого курса, квалификации бакалавриата и специалитета, изучающих высшую математику, а именно начала математического анализа Как правило, студенты-заочники обладают дефицитом времени и имеют недостаточную базовую подготовку Им трудно сразу читать учебники по высшей математике, которые предполагают, что читатель уже подготовлен И данные методические указания служат первым приближением к изучению материала Они содержит в сжатом, компактном виде, основные определения, теоремы и свойства по теории пределов, производной, исследованию и построению графиков функций Теоретические сведения снабжены многочисленными примерами, помогающими лучше понять суть излагаемых вопросов и методическими указаниями по практическому применению теории к решению задач В конце каждого раздела даны упражнения для усвоения и закрепления теоретического материала от самых простых задач до среднего уровня сложности Если рассматривать эти методические указания как некую образовательную услугу, то этого явно недостаточно Мы хотим дать именно знания, а это возможно только при самостоятельной интерактивной проработке материала Как обычно, студенты-заочники обладают уже неким жизненным опытом, который подсказывает им, что до всего нужно «докапываться» И этот навык они стараются применить и при изучении математики Они часто задают вопросы, а почему это определение формулируется именно так, а не иначе А что получится, если немного изменить формулировку А откуда все это взялось? И так далее и тому подобное И это замечательное качество, которое нужно, несомненно, применять и развивать при работе с данными методическими указаниями Только на этом пути возможно получение знаний и достижение истины Возникающие вопросы нужно записывать, а затем находить ответы у преподавателя, в Интернете и в учебниках Проработав темы данных методических указаний, можно приступать к углубленному изучению теории, с разбором доказательств теорем в учебниках по математическому анализу Методические указания могут быть использованы при выполнении контрольных работ и для подготовки к экзаменам Изучение введения в математический анализ служит основой для дальнейшего успешного овладения математикой и является базой для овладения другими, инженерно-техническими, дисциплинами на пути становления грамотного, высококвалифицированного, бакалавра и специалиста Историческая справка До ХХVII века математический анализ представлял собой совокупность решений разрозненных частных задач таких, например, как вычисление площадей плоских фигур, объемов тел с кривыми границами, работа переменной силы и тд Каждая задача или частная группа задач решалась своим, подчас довольно-таки громоздким и сложным способом В связи с возникновением понятия бесконечно малой величины, возникло и понятие предела функции, на котором зиждется понятие производной Оказалось, что все вышеназванные задачи, и многие другие можно решать одними и теми же методами Нужно сказать, что представление о преде-

5 4 ле функции имели еще древнегреческие ученые (Архимед и др), но окончательно теория пределов была разработана О Коши в начале XIX в В гг Г Лейбниц заложил основы дифференциального и интегрального исчислений, ввел термины функция, дифференциал, производная d, абсцисса, ордината и др d И Ньютон также стоял у истоков новой науки, разрабатывая математику непрерывных процессов В 748 г Л Эйлер опубликовал монографию «Введение в исчисление бесконечно малых» В 797 г Ж Лагранж ввел современные обозначения производной:, f ( ), f ( ) В математическом анализе объектом изучения является, прежде всего, функция, строгое определение которой дано Н Лобачевским В природе и технике всюду встречаются процессы, описываемые функциями Отсюда вытекает объективная важность математического анализа как средства изучения функций Фундаментальное значение играют элементарные функции, с которыми чаще всего оперируют на практике Понятие функции существенно базируется на понятии действительного числа, которое окончательно сформировалось в конце XIX в Благодаря этому удалось формально обосновать идеи Р Декарта, который ввел прямоугольную систему координат и представление в ней функций графиками Наряду с изучением функций действительной переменной возникла и теория функций комплексной переменной благодаря трудам Л Эйлера, К Гаусса и других ученых, которая нашла свое применение в гидродинамике, аэродинамике в решении многих важных проблем (явление флаттера крыла самолета, М Келдыш 94 г) Глубокое осмысление исходных понятий математического анализа связывают с развитием в ХIX XX вв теории множеств, теории меры, теории функций действительного переменного, которое привело к разнообразным обобщениям ПРЕДЕЛЫ Определения и свойства пределов Введем предварительные понятия, необходимые для понимания определения предела функции окрестностью ( ) точки a называется множество точек таких, что a a, a, или a a a левосторонняя окрестность точки a a правосторонняя окрестность точки a a означает, что может быть в любой, сколь угодно малой, окрестности точки a a означает, что может быть в любой, сколь угодно малой, левосторонней окрестности точки a a означает, что может быть в любой, сколь угодно малой, правосторонней окрестности точки a

6 5 означает, что может быть больше любого, сколь угодно большого, наперед заданного положительного числа означает, что может быть больше любого, сколь угодно большого, наперед заданного положительного числа означает, что может быть меньше любого, сколь угодно малого, наперед заданного отрицательного числа Пусть числа a и A конечные величины Определение Число A называется пределом функции f ( ) при a, если для любого, сколь угодно малого, существует такое, что как только a, следует f( ) A Записывается это так: lim f( ) A a Пример Докажем по определению, что lim( ) 5 Возьмем любое, сколь угодно малое, Тогда 5 6 / Итак, мы можем взять равным / и, следовательно, наше утверждение доказано Определение Число A называется левым (правым) пределом функции f ( ) при a ( a ), если для любого, сколь угодно малого, существует такое, что как только a a ( a ), следует f( ) A Записывается это так: lim f( ) A ( lim f( ) a a A) Левый и правый пределы функции называются односторонними пределами Определение Число A называется пределом функции f ( ) при, если для любого, сколь угодно малого, существует такое, что как только, следует f( ) A Записывается это так: lim f( ) A По аналогии можно самим сформулировать определение предела при и что Пример Найти lim Это также односторонний предел Решение Сделаем замену: z z Отсюда следует, z lim lim Мы видим, что выражение z при z z z

7 6 z уменьшается, оставаясь положительным, и может быть меньше любого, наперед заданного, сколь угодно малого, те Тогда z и, логарифмируя это неравенство слева и справа z по основанию, получим log z Итак, за мы можем взять log и, следовательно, если z log ( ) или log ( ) / z или, те lim z z Определение 4 Функция ( ) называется бесконечно малой функцией в точке a, если ее предел равен нулю при a Пример ( ) ( a ) n, где n любое натуральное число Определение 5 Функция ( ) называется бесконечно большой функцией в точке a, если ее предел равен при a Это означает, что для любого, сколь угодно большого, B существует такое, что как только a, следует ( ) B При этом ( ) либо положительна, либо отрицательна в окрестности точки a Записывается это так: lim ( ) a Пример Вычислить Решение Чем меньше аргумент, тем больше выражение Логично предположить, что предел равен бесконечности Пусть B, где B любое, сколь угодно большое положительное число Нам нужно найти окрестность нуля, где это неравенство выполняется Из него получаем, что B B B B Следовательно, за возьмем B и Арифметические свойства пределов Пусть существуют конечные пределы lim f ( ) и lim g, ( ) (здесь a a под a мы подразумеваем конечное число или ) тогда: lim cf ( ) clim f( ), где c const, a a

8 lim( f( ) g( )) lim f( ) lim g( ), a a a lim( f( ) g( )) lim f( ) lim g( ), a a a f( ) lim f( ) a 4 lim, где g( ), lim g( ) ag( ) lim g( ) a a 7 Основные методы вычисления пределов Если f ( ) элементарная функция, то lim f( ) f( ) в области определения функции Пример lim 4 Если предел числителя равен конечному числу, а предел знаменателя равен нулю, то предел дроби равен Пример lim cos sin Проблемы при вычислении пределов возникают, если встречаются неопределенности Укажем основные из них и способы их раскрытия Неопределенность типа Она возникает, если числитель и знаменатель дроби являются бесконечно малыми функция- ми в точке a, те их предел равен нулю при a Если дробь представляет собой отношение двух многочленов, предел каждого из которых равен нулю, то можно разложить на множители числитель и знаменатели и сократить на множители, дающие ноль Пример ( )( ) lim lim ( )( ) Если дробь представляет собой алгебраическое выражение, содержащее корни, то можно умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение, предел которого не равен нулю Пример lim 9 ( 9)( ) lim ( )( ) a

9 ( )( )( ) lim lim( )( ) Применение первого замечательного предела: 8 sin Он и называется первым замечательным, потому что часто используется и широко известен Пример sin( ) lim 4 sin( ) lim 4 sin( ) sin( ) lim lim ( )( ), Неопределенность типа lim sin lim Если выражение представляет собой отношение двух многочленов или это отношение содержит иррациональное выражение со степенью переменной, то можно разделить числитель и знаменатель на максимальную степень этой переменной Пример Найти предел lim 5 Мы видим, что это неопределенность типа Максимальная степень числителя и знаменателя равна Разделим почленно числитель и знаменатель на Получим: lim( / 5 / ) / 5 / lim / lim(/ ) неопределенность исчезла и мы легко вы- При делении на числили предел Неопределенность типа { } Если выражение представляет собой разность корней, то для раскрытия этой неопределенности можно умножить и разделить выражение на сопряженное

10 Пример lim 9 lim ( 5 ) { } ( 5 )( 5 ) ( 5 ) ( ) ( 5 ) lim 5 8 lim lim lim ( / 5 / ) / 5 / 8 4 Неопределенность типа { } Эту неопределенность можно раскрывать с помощью второго замечательного предела: lim( ) lim( ) { } e 788 Этот предел замечателен тем, что дает нам число e, являющееся основанием натуральных логарифмов, и который широко применяется Пример 4( ) Замена :, 4 4( ) 8 lim( ) { } lim( ) 8 8 4( ), lim( ) lim(( ) ) e Упражнения Найти пределы:

11 sin cos 4 sin sin sin lim cos sin sin lim 6 sin( ) 6,5 4 7 ( ) 8 lim ( ) lim ( 6 9) tg tg cos cos cos 4 ( ) 4 7 lim ( 4 ) ( ) lim 4 Найти пределы, используя первый замечательный предел: sin sin sin6 sin( ) sin5 sin tg7 sin(4 4) sin5 tg tg8 tg( ) 5 ( 5) cos ( ) tg sin tg tg 4 tg5 5 lim ctg tg7 ctg

12 arcsin 6 cos 9 sin sin cos cos 5 sin sin5 7 6 arctg cos4 cos 7 cos cos 4 sin 4 sin sin sin arcsin9 sin cos sin sin 6 cos cos sin sin 8 sin 9 lim cos 5 sin Найти пределы, используя второй замечательный предел: lim ( ) lim ( ) lim(4 ) 4 lim( ) 5 lim( 4 ) 6 lim( ) lim lim lim 5 lim 4 lim lim 5 lim 4 lim 6 lim 4 lim lim lim lim 7 8 ctg tg lim( tg ) lim( ctg ) lim ln( ) lim ln( ) 7 5 lim lim ctg lim( sin ) 4 6 e

13 ПРОИЗВОДНАЯ Краткие теоретические сведения и примеры Обозначения: приращение аргумента; приращение функции, ( ) ( ) Определение Производной функции f ( ) в фиксированной точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю (если этот предел существует): lim d Существуют и другие обозначения производной: f ( ) d Если производная конечная величина, то функция является дифференцируемой в точке Механический смысл производной это скорость изменения процесса, описываемого данной функцией Пример Если St () путь, проходимый автомобилем за время t, то V( t) S ( t ) (производная пути по времени) мгновенная ско- рость движения автомобиля, те та скорость, которую водитель видит на спидометре Геометрический смысл производной это тангенс угла наклона касательной к графику функции f ( ) в данной точке (рис ) Y '() = tgφ = f() φ O X Рис Пример Найти производную функции sin по определению

14 sin cos sin( ) sin lim lim sin cos sin lim lim lim cos cos cos Свойства производной для дифференцируемых функций ( cf ( )) cf ( ), где c const ( f( ) g( )) f ( ) g ( ) ( f( ) g( )) f ( ) g( ) f( ) g ( ) f f ( ) g( ) f ( ) g ( ) 4, g ( ) g ( g( )) 5 Пусть fu ( ) и u ( ) дифференцируемые функции, тогда f( u( )) сложная функция, а f ( u( )) f ( u) u ( ) ее производная u Таблица производных основных элементарных функций ( ) (sin ) cos (cos ) sin 4 ( tg) 5 ( ctg) 6 (arc sin ) cos sin 7 (arccos ) 8 ( arctg) 9 ( arcctg) (log a ), (ln ) lna ( a ) a ln a, ( e ) e Примеры вычисления производных функций с помощью свойств и таблицы 4, ( ) 4 cos Это сложная функция, сделаем замену u cos, тогда ( u ) u u cos (cos ) cos sin ( ) ln, ( ln ) ln (ln ) ln ln ln

15 4 Дифференциал функции Из определения производной следует, что приращение функции можно приближенно представить в виде ( ) Определение Главная, линейная относительно, часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается так: d ( ) Из этого определения следует, что ( ) ( ) d и ( ) ( ) d ( ) ( ) Эта формула используется для приближенных вычислений без калькулятора Пример Вычислить 898 Решение Введем функцию Отсюда следует, что ( ), ( ) Пусть 9 ( ) 898 ( ) Производные высших порядков Определение Второй производной ( ) функции ( ) называется производная от ее первой производной, те ( ( )) В общем случае n -ой производной () ( ) ( ) ( n ) ( ) функции ( ) называется производная от ее ( n ) -ой производной ( n) ( n ) ( ) ( ) ( n ), те Пример Найти, если 4 e ( e ) e (4 ) 4 e, (4 e ) 6 e, (6 e ) 64e Производные функций, заданных параметрически Можно задать функцию в явном виде f ( ), а можно пара- метрически: ( ), ( ), t параметр, t Как в этом случае найти производные ( ), ( )? Приведем готовые формулы: ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) ( ), ( ) () t () t

16 координат 5 Пример Известно уравнение окружности с центром в начале R, где R радиус окружности Параметрическое уравнение окружности зададим в виде: Rcos t, Rsin t, t Вычислим ( ), ( ) ( R sin t) R cost ( ) ctgt, ( Rcos t) Rsint ( R cos t) ( R sin t) R cos t( R sin t) ( R sin t) ( R cos t) ( R sin t) R sin t R (sin t cos t) R sin t R sin t Упражнения Найти производные: sin cos cos sin sin cos tg4 6 sin 4 sin 7 9 e e cos 5 cos 8 6cos7 4 ctg tg (8 ) sin 4 5 e 5 ln tg 6 arcsin 7 8 sin cos 9 4 ( ) arctg ln ln Вычислить приближенно выражения, используя дифференциал функции: 4 tg48 ln98 4 cos e 7 sin 8 arctg 5 9 () arcsin

17 6 Найти производные высших порядков: 5 (6) ( ) () (ln ) (cos ) 4 tg 5 5 () (4 ) 6 () (arcsin5 ) 7 (4) ( arctg ) 8 () ( ctg ) 9 (ln( )) ( n) Докажите, что (sin ) sin n 4 Найдите производные ( ) и ( ) функций, заданных параметрически: t, t, cos t t 4, t t 4 ln t, t 5 cos t, ctg t 6 t, arctgt t, arcsin t 8 sin t t, tg 9 4 t, arcctg t 5 Написать уравнение касательной k( ) и нормали n( ) к кривой ( ) в точке с абсциссой, если они имеют следующий вид: k ( ) ( ) ( )( ), n( ) ( ) ( ) ( ) 5 6, 4, 5 4 (ln4 ),,5 5, 6, 7 ( ), 8, 9, 6 ln sin4, cos 4,, e 8, tg 6 4 sin, 5 ctg, 4 4 ( ), 6 cos 4, 7 4arctg, 8 arcsin, 6 9 arccos4, ln 5, e, 4 8, 5, 4 (4 ), 5 ( 7) e, 6 e, 7 e, sin ln 6 8, 9, e, cos6 6 ln 6

18 7 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ Основные свойства функций Непрерывность функции Определение Функция = f() называется непрерывной в точке a, если выполнены три условия: ) функция существует в этой точке и f ( a) A ; ) существует конечный предел lim f ( ); ) этот предел равен значению функции в точке a, те lim f( ) A Определение Функция f ( ) называется непрерывной на интервале ( ab, ), если она непрерывна в каждой точке этого интервала Определение Функция f ( ) называется непрерывной на отрезке ab,, если она непрерывна в каждой внутренней точке этого интервала и непрерывна в точке a справа, а в точкеb слева (смотри односторонние пределы) Теорема Все элементарные функции непрерывны в области их определения Если хотя бы одно из вышеперечисленных трех условий в первом определении не выполнено, то функция называется разрывной в точке a Классификация разрывов Устранимый разрыв Определение Точка a является точкой устранимого разрыва, если существует конечный lim f ( ) и этот предел не равен значению функции в точке a (в самой точке функция может существовать, а может и не существовать) Пример Рассмотрим функцию: sin (рис ) В точке функция не определена, хотя существует конечный предел sin lim Разрыв можно устранить, определив функцию следующим образом: sin, если и, если Разрыв первого рода Определение Точка a является точкой разрыва первого рода, если существуют конечные, не равные между собой, односто- a a a

19 ронние пределы a a 8 lim f( ) lim f( )(в самой точке функция может существовать, а может и не существовать) Рис Пример Дана функция: Это означает, что, если и, если (рис ) В точке функция не существует, но существуют конечные односторонние пределы: lim ( ) Как мы видим, они не равны друг другу Y lim ( ), X Рис Разрыв второго рода Определение Точка a является точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен Пример Рассмотрим функцию: пределы в точке :, Найдем односторонние lim ( ), lim ( ) Следовательно, в этой точке разрыв второго рода (рис 4)

20 Рис 4 Четность и нечетность функции Определение Функция называется четной, если ( ) ( ) Геометрически это означает, что график функции симметричен относительно оси OY Если ( ) ( ), то функция называется не- четной У этой функции график центрально симметричен относительно начала координат Если функция не является ни четной ни нечетной, то ее называют функцией общего вида Пример Функция всем известная парабола (рис 5) Функция четная, так как нечетная, потому что функции кубическая парабола (рис 6) ( ) ( ) Ее график ( ) График этой Рис 5

21 Рис 6 Периодичность функции Функция, значения которой не изменяются при добавлении к значениям ее аргумента или вычитании от значений ее аргумента некоторого, не равного нулю, числа T называется периодической функцией с периодом функции T, те f ( T ) f ( ) При этом предполагается, что аргумент ( T) также принадлежит области определения функции, как и Периодов у функции может быть много Как правило, за T берут наименьший положительный из них Для построения графика функции с периодом T достаточно построить ее график на отрезке [, T ], тогда весь график получается сдвигом построенной части вдоль оси абсцисс на T, T, Пример Функции sin и cos имеют период, функции tg и ctg В общем случае, функции sin,cos имеют T /, а у функций tg, ctg период равен / На рисунке 7 изображен график функции cos на интервале 4, 7 (в радианах) 4 Асимптоты функции Определение Прямая a называется вертикальной асимптотой функции f ( ), если хотя бы один из ее односторонних пределов равен, те lim f ( ) a, или lim f ( ) Заметим, что при построении графика функции важен именно знак этой бесконечности a

22 π 5 Пример Дана функция lim, lim асимптота (рис 8) ( ) Рис 7 Очевидно, Рассмотрим пределы: Отсюда следует, что вертикальная Рис 8 Определение Прямая k b называется наклонной асимптотой функции f ( ), если lim( f( ) k b ) Если k, то асимптота называется горизонтальной Заметим, что под символом мы подразумеваем или При этом коэффициенты k и b вычисляются по формулам: f( ) k lim, b lim( f ( ) k) и асимптота существует, если эти пределы конечны

23 Пример 4 Дана функция ( ) Очевидно, она имеет вертикаль- 5 Найдем наклонные асимптоты k lim lim 4, b lim ( 5) lim lim lim Отсюда следует, что 4 наклонная асимптота Схематиче- ную асимптоту 5 ский график функции ( ) 4 5 с асимптотами изображен на рис Рис 9 5 Возрастание и убывание функции, точки экстремума Определение Функция f ( ) называется возрастающей (не убывающей) на интервале ( ab,, ) если для любых и, принадлежащих ( ab, ) и таких, что, следует f ( ) f( ) ( f( ) f( )) Определение Функция f ( ) называется убывающей (не возрастающей) на интервале ( ab,, ) если для любых и, принадлежащих ( ab, ) и таких, что, следует f ( ) f ( ) ( f( ) f( )) Определенные выше функции называются монотонными Сформулируем условия монотонности функции

24 Теорема Для того чтобы дифференцируемая на интервале ( ab, ) функция не убывала (не возрастала) необходимо и достаточно, чтобы производная этой функции была неотрицательной (неположительной) везде на ( ab, ) Теорема Для того чтобы дифференцируемая на интервале ( ab, ) функция f ( ) возрастала (убывала) на этом интервале, достаточно, чтобы производная этой функции была положительна (отрицательна) везде на ( ab, ) Пример Найти участки монотонности функции 5 6 Решение Вычислим производную этой функции: 5 Мы видим, что производная больше нуля, если 5 и отрицательна, если 5 Из вышесказанного следует, что на интервале (, 5) функция убывает, а на интервале (5, ) функция возрастает (рис ) Рис Определение Функция f ( ) имеет в точке c локальный максимум (локальный минимум), если существует такая окрестность точки c в пределах которой значение fc ( ) является наибольшим (наименьшим) Локальный максимум и минимум функции называются экстремумами функции На рисунке точка M точка максимума, а точка M точка минимума Определение 4 Точки, в которых производная функции f ( ) равна нулю, называются стационарными точками функции

25 4 Первое достаточное условие экстремума Теорема Пусть функция f ( ) дифференцируема всюду в некоторой окрестности стационарной точки c Тогда, если при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак c «+» на «-», то в этой точке максимум, если с «-» на «+», то в этой точке минимум Если же при переходе через эту точку производная знак не меняет, то экстремума в точке c нет Y M M Пример Рассмотрим функцию Рис 4 Найдем стационарные точки 4 (4 ) Отсюда получаем две стационарные точки и 5 При переходе через точку производная знак не меняет, а при переходе через точку слева направо производная меняет знак с «-» на «+» Следовательно, в этой точке минимум (рис ) Второе достаточное условие экстремума Теорема 4 Пусть функция f ( ) имеет в данной стационарной точке c конечную вторую производную Тогда в этой точке локальный максимум, если ( с ), и локальный минимум, если ( с ) O δ + δ δ + δ X

26 Пример Дана функция Рис e Найдем ее производную: Стационарная точка c Вычислим : e ( ) e 4 e Отсюда следует, что () и в данной стационарной точке максимум, ma () (рис ) Рис 6 Выпуклость графика функции, точки перегиба Пусть функция f ( ) дифференцируема в любой точке ин- тервала ( ab, ) Тогда, как мы знаем, существует касательная к графику функции в любой точке данного интервала, причем эта касательная не параллельна оси OY Определение Функция f ( ) имеет на интервале ( ab, ) выпуклость, направленную вниз (вверх), если график этой функции

27 6 лежит не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на этом интервале Функцию, направленную выпуклостью вниз, также называют вогнутой, а направленную выпуклостью вверх, просто выпуклой На рисунке часть функции в окрестности точки является выпуклой, а в окрестности точки вогнутой Теорема Если функция f ( ) имеет на интервале ( ab, ) конечную вторую производную и она на нем неотрицательна (неположительна), то график функции является вогнутым (выпуклым) на этом интервале Пример Рассмотрим функцию на любом конечном интервале ( aa,, ) где a Ее вторая производная на этом интервале конечна и равна 6 Тогда на интервале ( a, ) вторая производная отрицательна и, следовательно, график функции является выпуклым, а на интервале (, a ) вторая производная положительна и, следовательно, график функции является вогнутым (рис 6) Определение Точка C( c, f ( c )) графика функции f ( ) называется точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность точки c, в пределах которой график функции слева и справа от точки c имеет разные направления выпуклости Теорема (необходимое условие перегиба графика дважды дифференцируемой функции) Если функция f ( ) имеет в точке c вторую производную и график этой функции имеет перегиб в точке C( c, f ( c )), то ( c ) Теорема (достаточное условие перегиба графика функции) Пусть в некоторой окрестности точки c существует вторая производная функции f ( ) и ( c ) Тогда, если в этой окрестности вторая производная ( ) имеет разные знаки слева и справа от c, то график этой функции имеет перегиб в точке C( c, f ( c )) На рисунке 4 изображены графики функций, имеющие перегиб в точках C и C При переходе через эти точки слева направо у них разные направления выпуклости и в этих точках существует касательная

28 7 ''() < ''() < C C ''() > Пример Дана функция Рис 4 sin Вторая производная ( ) sin Она существует везде в области определения функции Найдем точки, в которых производная обращается в ноль: sin Корни этого уравнения k, k Z Рассмотрим точки и При переходе через точку слева направо вторая производная функции меняет знак c «+» на «-» Это означает, что график функции слева от точки является вогнутым, а справа выпуклым и, следовательно, точка точка перегиба (рис 5) При переходе через точку слева направо вторая производная функции меняет знак c «-» на «+» Это означает, что график функции слева от точки является выпуклым, а справа вогнутым и, следовательно, точка точка перегиба (рис 5) Функция sin является периодической с периодом T Поэтому все остальные точки из множества { k, k Z } также являются точками перегиба Таким образом, функция sin имеет бесконечное число точек перегиба на интервале ( ; ) ''() > 5 π π Рис 5

29 8 7 Общая схема исследования и построения графика функции Область определения функции Df () Это множество значений аргумента, при которых функция существует, те принимает конечные значения Область непрерывности функции Точки разрыва и их тип Асимптоты функции Поведение функции на бесконечности (при ) 4 Четность, нечетность функции 5 Периодичность функции 6Точки пересечения графика функции с осями координат и области знакопостоянства функции У точек пересечения графика функции с осью OY абсцисса, а у точек пересечения графика функции с осью OX ордината Области знакопостоянства функции это те интервалы из области определения функции, на которых она или положительна или отрицательна 7 Интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума 8 Интервалы выпуклости и вогнутости функции Точки перегиба 9 Область значений функции Ef () Это множество тех значений функции, которые она принимает Замечание Иногда бывает трудно сразу найти область значений функции и мы можем определить ее, только построив график функции Для построения графика функции нужно сначала отметить точки пересечения с осями, точки экстремума, провести асимптоты, а затем использовать все остальные свойства Пример Исследовать и построить график функции разрыв: Область определения функции: R, Функция непрерывна при {(, ) (, )} В точке lim Отсюда следует, что это разрыв второго рода

30 9 Найдем асимптоты Точка вертикальная асимптота ( ) k lim lim, b lim ( ) k lim k b наклонная асимптота 4 ( ) ( ) Следовательно функция нечетная 5 Определим, является ли функция периодической? Пусть ( T ) ( ) Отсюда следует, что T T T T T T T ( T ) ( T ) Последнее равенство возможно для всех только при T, те функция является непериодической 6 График функции не имеет точек пересечения с осью OY, тк, и не имеет точек пересечения с осью OX, тк Из этой формулы мы видим, что, если, и, если 7 Найдем производную функции и определим ее знак: ( )( ), если {(, ) (, )}, и, если (, ) Производная равна нулю, если Это точки экстремума абсцисса максимума функции, так как меняет знак при переходе через эту точку слева направо c «+» на «-», ma ( ) абсцисса минимума функции, так как меняет знак при переходе через эту точку слева направо c «-» на «+», min () 8 Найдем вторую производную функции и определим ее знак:, если, и, если Отсюда получаем, что при функция вогнута, а при выпукла Мы видим, что вторая производная в ноль не обращается и при не существует, и сама функция в этой точке не определена Следовательно, точек перегиба нет Схематический график функции приведен на рисунке 6 Мы видим, что функция не принимает значе-

31 ний в интервале ( ; ), следовательно, область значений функции Ef () это объединение интервалов: {( ; ] [; )} Y O X Рис 6 8 Полярные координаты В декартовой прямоугольной системе координат OXY координаты точки M это ее проекции на оси OX и OY, те и, которые однозначно определяют ее положение на плоскости Но однозначно положение точки на плоскости можно задать и другим способом с помощью чисел и, связанных с координатами и следующими соотношениями (рис 7): cos, sin Y M ρ(φ) φ O Рис 7 X

32 Здесь расстояние от точки M до начала координат O, полярный радиус,, угол, который радиус-вектор OM образует с положительным направлением оси OX, полярный угол Если, то угол не определен Для получения однозначных координат точки, обычно ограничивают значения угла интервалом [, )(или (, ]), хотя каждой точке на плоскости может соответствовать бесконечное значение углов с точностью до n Точка O называется полюсом, ось OX полярной осью Полярный радиус, тригонометрические функции полярного угла и угол выражаются через и по следующим формулам:, cos, sin, tg, arctg, если, ; arctg, если >, < ; arctg, если ;, если, ;, если, Многие уравнения, которые в декартовой системе координат записываются сложным образом, в полярной системе записываются значительно проще На рисунке 7 через точку M проходит некоторая кривая, заданная уравнением ( ) Пример Уравнение окружности радиуса R в декартовой и в полярной системах координат имеет соответствующий вид: R и ( ) R, Пример Дана функция cos Построить по точкам ее график в полярной системе координат Записать уравнение полученной кривой в декартовой системе координат Так как, то cos k k k k 4 4 5, если k ;, если k

33 При остальных значениях k области допустимых значений угла на плоскости повторяются Ниже приведена таблица значений функции в нескольких точках на интервалах ; 4 4 и 5 ; / / / / По этим нескольким точкам построим схематический график функции (рис 8) Y φ = π/4 φ = π/4 φ = 7π/8 O φ = π/8 φ = 9π/8 φ = 5π/4 φ = π/4 φ = π/8 X Рис 8 Мы видим, что график состоит из двух одинаковых, симметричных относительно осей OX и OY, лепестков В декартовой системе координат уравнение данной кривой имеет вид: Упражнения ( ) Найти точки разрыва функции их тип (если они есть) и указать характер поведения функции (четная, нечетная, общего вида): 4 5 sin cos sin 7 sin

34 4cos5 4 6 ctg 7 9 sin sin tg 5 ctg 4 6 tg 7 arcsin 8 arctg 9 e ln( ) Найти асимптоты следующих функций: e 7 5 e 8 ln( ) 9 ln(4 ) tg ctg 5 arctg arcctg 4 arctg sin5 7 cos 9 arctg e Найти интервалы возрастания и убывания функций, и точки экстремума (если они есть):

35 e 4 e 5 e 6 sin 7 sin 8 4cos tg + 5 ctg 7 ln6 ln arctg 4 5 arcsin 6 5arccos 8 7 arctg arcsin 8 sin 5 9 cos sin 4 Провести полное исследование и построить графики следующих элементарных функций: cos 4 sin tg 7 ctg sin cos e 9 6 e ln log ( ) 4 ln( ) 5 arcsin 6 arccos 7 arcsin 8 arctg 9 arctg( ) arcctg 4 5 Найти область определения и построить по точкам графики функций, заданных в полярной системе координат: cos sin cos 4 sin 5 5 cos 6 sin 7 cos 8 sin 9 cos

36 sin 5 4cos sin e cos sin 4 5 ln 8 6 ln 7 ln cos sin arcsin 9 arccos arctg 4 СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ Историческая справка ПРЕДЕЛЫ 4 Определения и свойства пределов 4 Основные методы вычисления пределов 7 Упражнения 9 ПРОИЗВОДНАЯ Краткие теоретические сведения и примеры Упражнения 5 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 7 Основные свойства функций 7 Непрерывность функции 7 Четность и нечетность функции 9 Периодичность функции 4 Асимптоты функции 5 Возрастание и убывание функции, точки экстремума 6 Выпуклость графика функции, точки перегиба 5 7 Общая схема исследования и построения графика функции 8 8 Полярные координаты Упражнения

37 ЗЛЕНКО Александр Афанасьевич ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО МАТЕМАТИКЕ Редактор ТА Феоктистова Подписано в печать 4 г Формат 6 84/6 Усл печ л,5 Уч-изд л,8 Тираж 5 экз Заказ Цена 4 руб МАДИ, 59, Москва, Ленинградский пр-т, 64

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине «Элементы высшей математики».

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине «Элементы высшей математики». МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ «ДОНСКОЙ БАНКОВСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Методические

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии Кафедра высшей математики Высшая математика ( семестр Разделы Функции. Пределы. Дифференцирование. Интегрирование. Основные формулы по темам

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных 1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

7. Общий план исследования функции и построение её графика

7. Общий план исследования функции и построение её графика 7 Общий план исследования функции и построение её графика Нижеследующий план-схема исследования функции обобщает результаты, изложенные в предыдущих параграфах Исследование функции по этому плану позволит

Подробнее

Конспект лекций по высшей математике

Конспект лекций по высшей математике Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра высшей математики Конспект лекций по высшей математике для студентов экономических

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1.

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1. 1 Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Специализированный учебно-научный центр ГОУ лицей 1580. Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, 2014-2015 учебный

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1 СЕМЕСТР)

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1 СЕМЕСТР) ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ( СЕМЕСТР) А. А. Пожарский Занятие. Принцип математической индукции. Задачи по []: 0. Задачи по [2]: 27. Занятие 2. Основные понятия комбинаторики: факториал,

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

Т.Л. Сурин Ж.В. Иванова С.В. Шерегов Методические рекомендации и задания к контрольным работам 1 и 2 по математическому анализу

Т.Л. Сурин Ж.В. Иванова С.В. Шерегов Методические рекомендации и задания к контрольным работам 1 и 2 по математическому анализу Т.Л. Сурин Ж.В. Иванова С.В. Шерегов Методические рекомендации и задания к контрольным работам и по математическому анализу (для студентов I курса математического факультета заочного отделения ) Витебск

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) Кафедра "Прикладная математика-1" Ю.С.Семёнов Кафедра "Прикладная математика-1"

Подробнее

Лекция 1 Вещественные числа.

Лекция 1 Вещественные числа. Лекция 1 Вещественные числа. 1. Рациональные числа. Простейшими числами являются целые положительные числа 1, 2,..., используемые при счете. Они называются натуральными числами, и люди их знали так много

Подробнее

высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1

высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1 Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1 Линейная алгебра. Аналитическая

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ 1. Числовые множества. Арифметические действия над числами. Натуральные числа (N).

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов

Сборник задач для самостоятельного решения по теме Предел функции Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов ББК В 65я73-4 С 3 УДК 57 Учебное издание Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: АН Максименко, АН Морозов Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел

Подробнее

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim Òåîðåìû î ïðåäåëàõ Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Основные теоремы о пределах. Предел числовой последовательности. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Экспонента. Натуральный логарифм.

Подробнее

Клюшина Л.В. зав. отделом практического обучения ГАОУ СПО АО АМК

Клюшина Л.В. зав. отделом практического обучения ГАОУ СПО АО АМК Министерство здравоохранения и социального развития Архангельской области Государственное автономное образовательное учреждение среднего профессионального образования Архангельской области «Архангельский

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА ГОУВПО КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА Учебно-методическое

Подробнее

3A = A = A = 1 7 A + B = A = c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj = a is b sj

3A = A = A = 1 7 A + B = A = c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj = a is b sj Высшая математика Лекции по курсу Список литературы [] Высшая математика для экономистов Под редакцией НШ Кремера [] СА Минюк, ЕА Ровба Высшая математика [] Сборник задач по высшей математике для экономистов

Подробнее

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8.

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: 16x 10x + 2x = 8, 40x + 25x 5x = 20. Ответ: Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 1 2 + 5 8 x 1 8 x, x, x R; базисное

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература...

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература... ОГЛАВЛЕНИЕ Введение................................................ 3 Глава. Неопределенный интеграл.......................... 6.. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла........................

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Предел. Непрерывность. Производная. Интеграл Утверждено Редакционно-издательским

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

Практикум по дифференциальному исчислению

Практикум по дифференциальному исчислению Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Л.И. Магазинников А.Л. Магазинников Практикум по дифференциальному исчислению Учебное пособие

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр. (типовые задания С5)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр. (типовые задания С5) ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр (типовые задания С5) Прокофьев АА Корянов АГ Прокофьев АА доктор педагогических наук, заведующий кафедрой высшей математики НИУ МИЭТ, учитель математики ГОУ лицей

Подробнее

Методические указания и контрольные задания по математике для обучающихся 2 курса СПО

Методические указания и контрольные задания по математике для обучающихся 2 курса СПО ГАОУ СПО ЛО Киришский политехнический техникум Методические указания и контрольные задания по математике для обучающихся курса СПО Методическая разработка по дисциплине «Математика» Разработала преподаватель

Подробнее

«Сосновоборский политехнический колледж» Н. И. Запивахина Методическое пособие для выполнения практических работ по дисциплине «Математика»

«Сосновоборский политехнический колледж» Н. И. Запивахина Методическое пособие для выполнения практических работ по дисциплине «Математика» Государственное автономное образовательное учреждение среднего профессионального образования Ленинградской области «Сосновоборский политехнический колледж» Н. И. Запивахина Методическое пособие для выполнения

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 11. Асимптоты. Общий план исследования функции

С.А. Лавренченко. Лекция 11. Асимптоты. Общий план исследования функции 1 С.А. Лавренченко Лекция 11 Асимптоты. Общий план исследования функции 1. Горизонтальные асимптоты Определение 1.1. Прямая или. зывается горизонтальной асимптотой, если Пример 1.2. Нетрудно йти, что.

Подробнее

Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов ПРЕДЕЛЫ

Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов ПРЕДЕЛЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ Т Ю Альпин, А И Егоров, П Е Кашаргин, С В Сушков ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть I: Комплексные числа Предел функции Казань 013 Печатается

Подробнее

Тема 37 «Пределы функций»

Тема 37 «Пределы функций» Тема 37 «Пределы функций» «Математический анализ» - серьезный раздел высшей математики. «Анализируют» здесь довольно тонкие моменты: как ведет себя функция не только в целом, в своей области определения

Подробнее

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012 Оценка снизу скорости блуждания решения линейного дифференциального уравнения третьего порядка через частоту нулей Тихомирова А.В. arxiv:11.6657v1 [math.ca] 9 Dec 1 В работе сравниваются две характеристики

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования РФ Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) ЛН Романова ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Курс лекций Омск Издательство СибАДИ ЛН РОМАНОВА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

РАЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Министерство образования Российской Федерации Московский физико-технический институт Кафедра высшей математики РАЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Методические указания и оптимальные

Подробнее

Методические указания

Методические указания Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана Методические указания В.Я. Томашпольский, М.Н. Шевченко, И.О. Янов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана Московский государственный

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Тема 1. Множества. Введение в логику. Понятие функции. Кривые второго порядка. Основные понятия о множествах. Символика, ее использование.

Подробнее

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Математический анализ»

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Математический анализ» Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Математический анализ» Направление 080100 Экономика для подготовки студентов бакалавров

Подробнее

МАТЕМАТИКА Часть II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИКА Часть II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Российский государственный педагогический университет им АИ Герцена МАТЕМАТИКА Часть II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное пособие Под редакцией доктора педагогических наук Хамова

Подробнее

10. Определенный интеграл

10. Определенный интеграл 1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Поверхности второго порядка. Определение функции х переменных. Геометрическая интерпретация. Частные приращения функции. Частные производные.

Подробнее

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ТЕХНИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (на базе

Подробнее

12. Определенный интеграл

12. Определенный интеграл 58 Определенный интеграл Пусть на промежутке [] задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке [] произвольные числа,, 3,, n-, удовлетворяющие условию:

Подробнее

Задачи по высшей математике для биологов

Задачи по высшей математике для биологов МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ БИОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Бобров А.Н. Радославова Т.В. Задачи по высшей математике для биологов МОСКВА 03 УДК

Подробнее

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ ФГБОУ ВПО «ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Персиановский

Подробнее

Лекции по математическому анализу

Лекции по математическому анализу В.Ф. Бутузов Лекции по математическому анализу Часть I Москва 2012 Б у т у з о в В. Ф. Лекции по математическому анализу. Часть I. Учебное пособие содержит первую часть курса лекций по математическому

Подробнее

Тема6. «Определенный интеграл»

Тема6. «Определенный интеграл» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема6. «Определенный интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б.Дуниной

Подробнее

3568 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

3568 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ 568 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Методические указания

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (для поступающих на базе среднего общего образования)

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (для поступающих на базе среднего общего образования) ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ «ИНСТИТУТ МИРОВОЙ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (для поступающих на базе среднего общего образования)

Подробнее

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Подробнее

2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Учебная программа по дисциплине «Математический анализ» разработана для специальности «Прикладная информатика» шифр 1-31 03 07-03 высших учебных заведений. Целью изучения дисциплины

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Министерство образования Российской Федерации САРАПУЛЬСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ филиал Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «ИЖЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Лекция 14. Неопределенности и правило Лопиталя

Лекция 14. Неопределенности и правило Лопиталя СА Лавренченко 1 wwwlawrencenkoru Лекция 14 Неопределенности и правило Лопиталя Правило Лопитáля применяется при вычислении пределов для раскрытия неопределенностей типа или Раскрытие неопределенности

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А.

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А. РЯДЫ ФУРЬЕ Автор-составитель: доцент каф ВМ Цапаева СА Великий Новгород ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ГАРМОНИК Определение Гармониками называются комплекснозначные функции вида iω ( ) e, где действительная переменная,

Подробнее

Т. В. Родина, Е. С. Трифанова ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ I

Т. В. Родина, Е. С. Трифанова ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ I Т В Родина, Е С Трифанова ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ I для напр «Прикладная математика и информатика» Учебное пособие под редакцией проф И Ю Попова Санкт Петербург 0 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

Подробнее

Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Равномерная непрерывность функций одной переменной. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов, Н.Т. Левашова, Н.Е. Шапкина Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Программа дополнительного образования «Программа подготовки в ВУЗ»

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Программа дополнительного образования «Программа подготовки в ВУЗ» Автономная некоммерческая организация дополнительного образования Учебный Центр при МГТУ им. Н. Э. Баумана «Ориентир» «УТВЕРЖДАЮ» Директор АНО ДО Учебный Центр при МГТУ им. Н.Э.Баумана «Ориентир» ПАНФИЛОВА

Подробнее

Ю.Ж. Пчелкина. Курс лекций по математическому анализу

Ю.Ж. Пчелкина. Курс лекций по математическому анализу МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Необходимые и достаточные условия второго порядка в простейшей вариационной задаче Необходимые

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС Академия труда и социальных отношений Кафедра высшей и прикладной математики Геворкян Павел Самвелович «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС для подготовки бакалавров по направлению 080100

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА

Министерство образования и науки Российской Федерации. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА Г.Г. Литова, Д.Ю. Ханукаева ПРЕДЕЛЫ Пособие для студентов, обучающихся по специальности

Подробнее

МБОШИ «Кадетская школа-интернат» 2010 г г.

МБОШИ «Кадетская школа-интернат» 2010 г г. МБОШИ «Кадетская школа-интернат» Согласовано Руководитель МО учителей математики /Булатова Ф.А. Утверждаю Директор МБОШИ КШИ /Таипова А.Р. 2010 г. 2010 г. Рабочая программа по алгебре и началам анализа

Подробнее

x 2 10x > x 2 10x = x(x 10) > x2 x x 2 /2 = 2 x. x 2 10x < x+ x 2 10x = 0. x 0. > 0k N : 0 < x k < и f(x k ) A = A > 0,

x 2 10x > x 2 10x = x(x 10) > x2 x x 2 /2 = 2 x. x 2 10x < x+ x 2 10x = 0. x 0. > 0k N : 0 < x k < и f(x k ) A = A > 0, Пределы Предел функции Определение предела Пусть a точка числовой прямой, a b c) Пусть функция f) опре- делена на множестве E : { b c)\{a}} Число a называется пределом функции f) при, стремящемся к a обо-

Подробнее

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

Составитель: преподаватель высшей квалификационной категории Курасова Л. А. Одобрена методической комиссией Протокол От 20 г

Составитель: преподаватель высшей квалификационной категории Курасова Л. А. Одобрена методической комиссией Протокол От 20 г Главное управление образования и молодёжной политики Алтайского края Краевое государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Тальменский технологический техникум»

Подробнее

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова Высшая математика IV САМОУЧИТЕЛЬ

Подробнее

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия 35 Глава 2 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1 Основные понятия Пусть D некоторое множество чисел Если задан закон, по которому каждому числу из множества D ставится в

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр. 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр. 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел множество целых чисел N = {0, 1, 2, 3,..., }, Z = {0, ±1, ±2, ±3,..., } множество рациональных чисел { m }

Подробнее

Геометрические приложения определенного интеграла

Геометрические приложения определенного интеграла Геометрические приложения определенного интеграла Кривая L на плоскости задается своей параметризацией x = x(t), y = y(t), t [t, T ]. (1) Заметим, что изменяется единственный параметр t. Часто говорят,

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ. Методические рекомендации для выполнения практических работ по дисциплине «Математика»

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ. Методические рекомендации для выполнения практических работ по дисциплине «Математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ БРАТСКИЙ ЦЕЛЛЮЛОЗНО БУМАЖНЫЙ КОЛЛЕДЖ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БРАТСКИЙ

Подробнее

Теория пределов: упражнения и примеры

Теория пределов: упражнения и примеры Теория пределов: упражнения и примеры Методическое пособие для факультетов менеджмента, политологии и социологии П.А.Панов Государственный Университет Высшая школа экономики Январь 00 Что такое предел

Подробнее

Программа по «Математике» (базовый уровень) Тема 1. Векторы и матрицы.

Программа по «Математике» (базовый уровень) Тема 1. Векторы и матрицы. Программа по «Математике» (базовый уровень) РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии Тема 1. Векторы и матрицы. N-мерные векторы. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость

Подробнее

Презентация по материалам рабочей тетради «Задача В8» авторов И.В. Ященко, П.И. Захарова

Презентация по материалам рабочей тетради «Задача В8» авторов И.В. Ященко, П.И. Захарова Презентация по материалам рабочей тетради «Задача В8» авторов И.В. Ященко, П.И. Захарова ЕГЭ Математика Задача B8 Содержание (виды заданий В8) 1 2 3 4 5 Найдите значение производной функции в точке х 0

Подробнее

П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е

П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е Санкт-Петербургский государственный университет А. В. О С И П О В К О Н С П Е К Т Л Е К Ц И Й П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е Часть II (-й курс, -й семестр) Санкт-Петеpбуpг 0 0 Конспект лекций по высшей

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

Лекция 1.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними

Лекция 1.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними Лекция.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними Аннотация: В лекции указывается на необходимость обобщения понятия числа от натурального до комплексного. Вводятся алгебраическая,

Подробнее

Глава 7. Определенный интеграл

Глава 7. Определенный интеграл 68 Глава 7 Определенный интеграл 7 Определение и свойства К понятию определенного интеграла приводят разнообразные задачи вычисления площадей, объемов, работы, объема производства, денежных потоков и тп

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

x a x 18. Вычисление пределов lim, lim, lim.

x a x 18. Вычисление пределов lim, lim, lim. Перечень экзаменационных вопросов: 1 семестр 1. Множества и операции над ними. 2. Декартово произведение множеств. 3. Предельные точки. 4. Предел последовательности. 5. Предел функции. 6. Бесконечно малые.

Подробнее

Кафедра высшей математики ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПО ФОРМУЛЕ НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Кафедра высшей математики ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПО ФОРМУЛЕ НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Министерство образования Республики Беларусь КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования Республики Беларусь "Высший государственный колледж связи" Кафедра Математики и физики КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть Минск 5 г РАЗДЕЛ 4 Функции нескольких переменных

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Характеристики учебных занятий

Характеристики учебных занятий «Шестимесячные очные подготовительные курсы по математике» Раздел 1. Характеристики учебных занятий 1.1. Цели и задачи учебных занятий Подготовка слушателей к успешной сдаче ЕГЭ (единого государственного

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ. по высшей математике

КУРС ЛЕКЦИЙ. по высшей математике Министерство образования и науки, молодежи и спорта Донецкий национальный технический университет Улитин Г.М., Гончаров А.Н. КУРС ЛЕКЦИЙ по высшей математике Учебное пособие Донецк 2011 УДК 51 (075.8)

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Министерство образования и науки Российской Федерации. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет» МАТЕМАТИКА Методические

Подробнее

Типовые задачи c решениями.

Типовые задачи c решениями. Типовые задачи c решениями. Формальное суммирование рядов. Формула рекурсии k a k a + a k k Формула умножения λ a k λa k Формула сложения k k k a k + b k a k + k b k k Пример Геометрическая прогрессия.

Подробнее