ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ"

Транскрипт

1 МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО МАТЕМАТИКЕ

2 МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) ЗАОЧНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ Утверждаю Декан заочного факультета, проф Карагодин ВИ 4 г ЗЛЕНКО АА ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО МАТЕМАТИКЕ МОСКВА МАДИ 4

3 УДК 57 ББК 6 З 67 Зленко, АА З 67 Введение в математический анализ: методические указания к самостоятельной работе по математике / АА Зленко М: МА- ДИ, 4 6 с Данные методические указания предназначены для самостоятельной работы студентов первого курса, квалификации бакалавриата и специалитета, начинающих изучать математический анализ В краткой, сжатой форме они содержат основные теоретические сведения по теории пределов, производной, исследованию функций и построению графиков Теоретические положения иллюстрируются примерами, помогающими понять суть излагаемых вопросов В конце каждого раздела даны упражнения для лучшего понимания и усвоения материала УДК 57 ББК 6 МАДИ, 4

4 ПРЕДИСЛОВИЕ Данные методические указания предназначены для самостоятельной работы студентов первого курса, квалификации бакалавриата и специалитета, изучающих высшую математику, а именно начала математического анализа Как правило, студенты-заочники обладают дефицитом времени и имеют недостаточную базовую подготовку Им трудно сразу читать учебники по высшей математике, которые предполагают, что читатель уже подготовлен И данные методические указания служат первым приближением к изучению материала Они содержит в сжатом, компактном виде, основные определения, теоремы и свойства по теории пределов, производной, исследованию и построению графиков функций Теоретические сведения снабжены многочисленными примерами, помогающими лучше понять суть излагаемых вопросов и методическими указаниями по практическому применению теории к решению задач В конце каждого раздела даны упражнения для усвоения и закрепления теоретического материала от самых простых задач до среднего уровня сложности Если рассматривать эти методические указания как некую образовательную услугу, то этого явно недостаточно Мы хотим дать именно знания, а это возможно только при самостоятельной интерактивной проработке материала Как обычно, студенты-заочники обладают уже неким жизненным опытом, который подсказывает им, что до всего нужно «докапываться» И этот навык они стараются применить и при изучении математики Они часто задают вопросы, а почему это определение формулируется именно так, а не иначе А что получится, если немного изменить формулировку А откуда все это взялось? И так далее и тому подобное И это замечательное качество, которое нужно, несомненно, применять и развивать при работе с данными методическими указаниями Только на этом пути возможно получение знаний и достижение истины Возникающие вопросы нужно записывать, а затем находить ответы у преподавателя, в Интернете и в учебниках Проработав темы данных методических указаний, можно приступать к углубленному изучению теории, с разбором доказательств теорем в учебниках по математическому анализу Методические указания могут быть использованы при выполнении контрольных работ и для подготовки к экзаменам Изучение введения в математический анализ служит основой для дальнейшего успешного овладения математикой и является базой для овладения другими, инженерно-техническими, дисциплинами на пути становления грамотного, высококвалифицированного, бакалавра и специалиста Историческая справка До ХХVII века математический анализ представлял собой совокупность решений разрозненных частных задач таких, например, как вычисление площадей плоских фигур, объемов тел с кривыми границами, работа переменной силы и тд Каждая задача или частная группа задач решалась своим, подчас довольно-таки громоздким и сложным способом В связи с возникновением понятия бесконечно малой величины, возникло и понятие предела функции, на котором зиждется понятие производной Оказалось, что все вышеназванные задачи, и многие другие можно решать одними и теми же методами Нужно сказать, что представление о преде-

5 4 ле функции имели еще древнегреческие ученые (Архимед и др), но окончательно теория пределов была разработана О Коши в начале XIX в В гг Г Лейбниц заложил основы дифференциального и интегрального исчислений, ввел термины функция, дифференциал, производная d, абсцисса, ордината и др d И Ньютон также стоял у истоков новой науки, разрабатывая математику непрерывных процессов В 748 г Л Эйлер опубликовал монографию «Введение в исчисление бесконечно малых» В 797 г Ж Лагранж ввел современные обозначения производной:, f ( ), f ( ) В математическом анализе объектом изучения является, прежде всего, функция, строгое определение которой дано Н Лобачевским В природе и технике всюду встречаются процессы, описываемые функциями Отсюда вытекает объективная важность математического анализа как средства изучения функций Фундаментальное значение играют элементарные функции, с которыми чаще всего оперируют на практике Понятие функции существенно базируется на понятии действительного числа, которое окончательно сформировалось в конце XIX в Благодаря этому удалось формально обосновать идеи Р Декарта, который ввел прямоугольную систему координат и представление в ней функций графиками Наряду с изучением функций действительной переменной возникла и теория функций комплексной переменной благодаря трудам Л Эйлера, К Гаусса и других ученых, которая нашла свое применение в гидродинамике, аэродинамике в решении многих важных проблем (явление флаттера крыла самолета, М Келдыш 94 г) Глубокое осмысление исходных понятий математического анализа связывают с развитием в ХIX XX вв теории множеств, теории меры, теории функций действительного переменного, которое привело к разнообразным обобщениям ПРЕДЕЛЫ Определения и свойства пределов Введем предварительные понятия, необходимые для понимания определения предела функции окрестностью ( ) точки a называется множество точек таких, что a a, a, или a a a левосторонняя окрестность точки a a правосторонняя окрестность точки a a означает, что может быть в любой, сколь угодно малой, окрестности точки a a означает, что может быть в любой, сколь угодно малой, левосторонней окрестности точки a a означает, что может быть в любой, сколь угодно малой, правосторонней окрестности точки a

6 5 означает, что может быть больше любого, сколь угодно большого, наперед заданного положительного числа означает, что может быть больше любого, сколь угодно большого, наперед заданного положительного числа означает, что может быть меньше любого, сколь угодно малого, наперед заданного отрицательного числа Пусть числа a и A конечные величины Определение Число A называется пределом функции f ( ) при a, если для любого, сколь угодно малого, существует такое, что как только a, следует f( ) A Записывается это так: lim f( ) A a Пример Докажем по определению, что lim( ) 5 Возьмем любое, сколь угодно малое, Тогда 5 6 / Итак, мы можем взять равным / и, следовательно, наше утверждение доказано Определение Число A называется левым (правым) пределом функции f ( ) при a ( a ), если для любого, сколь угодно малого, существует такое, что как только a a ( a ), следует f( ) A Записывается это так: lim f( ) A ( lim f( ) a a A) Левый и правый пределы функции называются односторонними пределами Определение Число A называется пределом функции f ( ) при, если для любого, сколь угодно малого, существует такое, что как только, следует f( ) A Записывается это так: lim f( ) A По аналогии можно самим сформулировать определение предела при и что Пример Найти lim Это также односторонний предел Решение Сделаем замену: z z Отсюда следует, z lim lim Мы видим, что выражение z при z z z

7 6 z уменьшается, оставаясь положительным, и может быть меньше любого, наперед заданного, сколь угодно малого, те Тогда z и, логарифмируя это неравенство слева и справа z по основанию, получим log z Итак, за мы можем взять log и, следовательно, если z log ( ) или log ( ) / z или, те lim z z Определение 4 Функция ( ) называется бесконечно малой функцией в точке a, если ее предел равен нулю при a Пример ( ) ( a ) n, где n любое натуральное число Определение 5 Функция ( ) называется бесконечно большой функцией в точке a, если ее предел равен при a Это означает, что для любого, сколь угодно большого, B существует такое, что как только a, следует ( ) B При этом ( ) либо положительна, либо отрицательна в окрестности точки a Записывается это так: lim ( ) a Пример Вычислить Решение Чем меньше аргумент, тем больше выражение Логично предположить, что предел равен бесконечности Пусть B, где B любое, сколь угодно большое положительное число Нам нужно найти окрестность нуля, где это неравенство выполняется Из него получаем, что B B B B Следовательно, за возьмем B и Арифметические свойства пределов Пусть существуют конечные пределы lim f ( ) и lim g, ( ) (здесь a a под a мы подразумеваем конечное число или ) тогда: lim cf ( ) clim f( ), где c const, a a

8 lim( f( ) g( )) lim f( ) lim g( ), a a a lim( f( ) g( )) lim f( ) lim g( ), a a a f( ) lim f( ) a 4 lim, где g( ), lim g( ) ag( ) lim g( ) a a 7 Основные методы вычисления пределов Если f ( ) элементарная функция, то lim f( ) f( ) в области определения функции Пример lim 4 Если предел числителя равен конечному числу, а предел знаменателя равен нулю, то предел дроби равен Пример lim cos sin Проблемы при вычислении пределов возникают, если встречаются неопределенности Укажем основные из них и способы их раскрытия Неопределенность типа Она возникает, если числитель и знаменатель дроби являются бесконечно малыми функция- ми в точке a, те их предел равен нулю при a Если дробь представляет собой отношение двух многочленов, предел каждого из которых равен нулю, то можно разложить на множители числитель и знаменатели и сократить на множители, дающие ноль Пример ( )( ) lim lim ( )( ) Если дробь представляет собой алгебраическое выражение, содержащее корни, то можно умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение, предел которого не равен нулю Пример lim 9 ( 9)( ) lim ( )( ) a

9 ( )( )( ) lim lim( )( ) Применение первого замечательного предела: 8 sin Он и называется первым замечательным, потому что часто используется и широко известен Пример sin( ) lim 4 sin( ) lim 4 sin( ) sin( ) lim lim ( )( ), Неопределенность типа lim sin lim Если выражение представляет собой отношение двух многочленов или это отношение содержит иррациональное выражение со степенью переменной, то можно разделить числитель и знаменатель на максимальную степень этой переменной Пример Найти предел lim 5 Мы видим, что это неопределенность типа Максимальная степень числителя и знаменателя равна Разделим почленно числитель и знаменатель на Получим: lim( / 5 / ) / 5 / lim / lim(/ ) неопределенность исчезла и мы легко вы- При делении на числили предел Неопределенность типа { } Если выражение представляет собой разность корней, то для раскрытия этой неопределенности можно умножить и разделить выражение на сопряженное

10 Пример lim 9 lim ( 5 ) { } ( 5 )( 5 ) ( 5 ) ( ) ( 5 ) lim 5 8 lim lim lim ( / 5 / ) / 5 / 8 4 Неопределенность типа { } Эту неопределенность можно раскрывать с помощью второго замечательного предела: lim( ) lim( ) { } e 788 Этот предел замечателен тем, что дает нам число e, являющееся основанием натуральных логарифмов, и который широко применяется Пример 4( ) Замена :, 4 4( ) 8 lim( ) { } lim( ) 8 8 4( ), lim( ) lim(( ) ) e Упражнения Найти пределы:

11 sin cos 4 sin sin sin lim cos sin sin lim 6 sin( ) 6,5 4 7 ( ) 8 lim ( ) lim ( 6 9) tg tg cos cos cos 4 ( ) 4 7 lim ( 4 ) ( ) lim 4 Найти пределы, используя первый замечательный предел: sin sin sin6 sin( ) sin5 sin tg7 sin(4 4) sin5 tg tg8 tg( ) 5 ( 5) cos ( ) tg sin tg tg 4 tg5 5 lim ctg tg7 ctg

12 arcsin 6 cos 9 sin sin cos cos 5 sin sin5 7 6 arctg cos4 cos 7 cos cos 4 sin 4 sin sin sin arcsin9 sin cos sin sin 6 cos cos sin sin 8 sin 9 lim cos 5 sin Найти пределы, используя второй замечательный предел: lim ( ) lim ( ) lim(4 ) 4 lim( ) 5 lim( 4 ) 6 lim( ) lim lim lim 5 lim 4 lim lim 5 lim 4 lim 6 lim 4 lim lim lim lim 7 8 ctg tg lim( tg ) lim( ctg ) lim ln( ) lim ln( ) 7 5 lim lim ctg lim( sin ) 4 6 e

13 ПРОИЗВОДНАЯ Краткие теоретические сведения и примеры Обозначения: приращение аргумента; приращение функции, ( ) ( ) Определение Производной функции f ( ) в фиксированной точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю (если этот предел существует): lim d Существуют и другие обозначения производной: f ( ) d Если производная конечная величина, то функция является дифференцируемой в точке Механический смысл производной это скорость изменения процесса, описываемого данной функцией Пример Если St () путь, проходимый автомобилем за время t, то V( t) S ( t ) (производная пути по времени) мгновенная ско- рость движения автомобиля, те та скорость, которую водитель видит на спидометре Геометрический смысл производной это тангенс угла наклона касательной к графику функции f ( ) в данной точке (рис ) Y '() = tgφ = f() φ O X Рис Пример Найти производную функции sin по определению

14 sin cos sin( ) sin lim lim sin cos sin lim lim lim cos cos cos Свойства производной для дифференцируемых функций ( cf ( )) cf ( ), где c const ( f( ) g( )) f ( ) g ( ) ( f( ) g( )) f ( ) g( ) f( ) g ( ) f f ( ) g( ) f ( ) g ( ) 4, g ( ) g ( g( )) 5 Пусть fu ( ) и u ( ) дифференцируемые функции, тогда f( u( )) сложная функция, а f ( u( )) f ( u) u ( ) ее производная u Таблица производных основных элементарных функций ( ) (sin ) cos (cos ) sin 4 ( tg) 5 ( ctg) 6 (arc sin ) cos sin 7 (arccos ) 8 ( arctg) 9 ( arcctg) (log a ), (ln ) lna ( a ) a ln a, ( e ) e Примеры вычисления производных функций с помощью свойств и таблицы 4, ( ) 4 cos Это сложная функция, сделаем замену u cos, тогда ( u ) u u cos (cos ) cos sin ( ) ln, ( ln ) ln (ln ) ln ln ln

15 4 Дифференциал функции Из определения производной следует, что приращение функции можно приближенно представить в виде ( ) Определение Главная, линейная относительно, часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается так: d ( ) Из этого определения следует, что ( ) ( ) d и ( ) ( ) d ( ) ( ) Эта формула используется для приближенных вычислений без калькулятора Пример Вычислить 898 Решение Введем функцию Отсюда следует, что ( ), ( ) Пусть 9 ( ) 898 ( ) Производные высших порядков Определение Второй производной ( ) функции ( ) называется производная от ее первой производной, те ( ( )) В общем случае n -ой производной () ( ) ( ) ( n ) ( ) функции ( ) называется производная от ее ( n ) -ой производной ( n) ( n ) ( ) ( ) ( n ), те Пример Найти, если 4 e ( e ) e (4 ) 4 e, (4 e ) 6 e, (6 e ) 64e Производные функций, заданных параметрически Можно задать функцию в явном виде f ( ), а можно пара- метрически: ( ), ( ), t параметр, t Как в этом случае найти производные ( ), ( )? Приведем готовые формулы: ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) ( ), ( ) () t () t

16 координат 5 Пример Известно уравнение окружности с центром в начале R, где R радиус окружности Параметрическое уравнение окружности зададим в виде: Rcos t, Rsin t, t Вычислим ( ), ( ) ( R sin t) R cost ( ) ctgt, ( Rcos t) Rsint ( R cos t) ( R sin t) R cos t( R sin t) ( R sin t) ( R cos t) ( R sin t) R sin t R (sin t cos t) R sin t R sin t Упражнения Найти производные: sin cos cos sin sin cos tg4 6 sin 4 sin 7 9 e e cos 5 cos 8 6cos7 4 ctg tg (8 ) sin 4 5 e 5 ln tg 6 arcsin 7 8 sin cos 9 4 ( ) arctg ln ln Вычислить приближенно выражения, используя дифференциал функции: 4 tg48 ln98 4 cos e 7 sin 8 arctg 5 9 () arcsin

17 6 Найти производные высших порядков: 5 (6) ( ) () (ln ) (cos ) 4 tg 5 5 () (4 ) 6 () (arcsin5 ) 7 (4) ( arctg ) 8 () ( ctg ) 9 (ln( )) ( n) Докажите, что (sin ) sin n 4 Найдите производные ( ) и ( ) функций, заданных параметрически: t, t, cos t t 4, t t 4 ln t, t 5 cos t, ctg t 6 t, arctgt t, arcsin t 8 sin t t, tg 9 4 t, arcctg t 5 Написать уравнение касательной k( ) и нормали n( ) к кривой ( ) в точке с абсциссой, если они имеют следующий вид: k ( ) ( ) ( )( ), n( ) ( ) ( ) ( ) 5 6, 4, 5 4 (ln4 ),,5 5, 6, 7 ( ), 8, 9, 6 ln sin4, cos 4,, e 8, tg 6 4 sin, 5 ctg, 4 4 ( ), 6 cos 4, 7 4arctg, 8 arcsin, 6 9 arccos4, ln 5, e, 4 8, 5, 4 (4 ), 5 ( 7) e, 6 e, 7 e, sin ln 6 8, 9, e, cos6 6 ln 6

18 7 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ Основные свойства функций Непрерывность функции Определение Функция = f() называется непрерывной в точке a, если выполнены три условия: ) функция существует в этой точке и f ( a) A ; ) существует конечный предел lim f ( ); ) этот предел равен значению функции в точке a, те lim f( ) A Определение Функция f ( ) называется непрерывной на интервале ( ab, ), если она непрерывна в каждой точке этого интервала Определение Функция f ( ) называется непрерывной на отрезке ab,, если она непрерывна в каждой внутренней точке этого интервала и непрерывна в точке a справа, а в точкеb слева (смотри односторонние пределы) Теорема Все элементарные функции непрерывны в области их определения Если хотя бы одно из вышеперечисленных трех условий в первом определении не выполнено, то функция называется разрывной в точке a Классификация разрывов Устранимый разрыв Определение Точка a является точкой устранимого разрыва, если существует конечный lim f ( ) и этот предел не равен значению функции в точке a (в самой точке функция может существовать, а может и не существовать) Пример Рассмотрим функцию: sin (рис ) В точке функция не определена, хотя существует конечный предел sin lim Разрыв можно устранить, определив функцию следующим образом: sin, если и, если Разрыв первого рода Определение Точка a является точкой разрыва первого рода, если существуют конечные, не равные между собой, односто- a a a

19 ронние пределы a a 8 lim f( ) lim f( )(в самой точке функция может существовать, а может и не существовать) Рис Пример Дана функция: Это означает, что, если и, если (рис ) В точке функция не существует, но существуют конечные односторонние пределы: lim ( ) Как мы видим, они не равны друг другу Y lim ( ), X Рис Разрыв второго рода Определение Точка a является точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен Пример Рассмотрим функцию: пределы в точке :, Найдем односторонние lim ( ), lim ( ) Следовательно, в этой точке разрыв второго рода (рис 4)

20 Рис 4 Четность и нечетность функции Определение Функция называется четной, если ( ) ( ) Геометрически это означает, что график функции симметричен относительно оси OY Если ( ) ( ), то функция называется не- четной У этой функции график центрально симметричен относительно начала координат Если функция не является ни четной ни нечетной, то ее называют функцией общего вида Пример Функция всем известная парабола (рис 5) Функция четная, так как нечетная, потому что функции кубическая парабола (рис 6) ( ) ( ) Ее график ( ) График этой Рис 5

21 Рис 6 Периодичность функции Функция, значения которой не изменяются при добавлении к значениям ее аргумента или вычитании от значений ее аргумента некоторого, не равного нулю, числа T называется периодической функцией с периодом функции T, те f ( T ) f ( ) При этом предполагается, что аргумент ( T) также принадлежит области определения функции, как и Периодов у функции может быть много Как правило, за T берут наименьший положительный из них Для построения графика функции с периодом T достаточно построить ее график на отрезке [, T ], тогда весь график получается сдвигом построенной части вдоль оси абсцисс на T, T, Пример Функции sin и cos имеют период, функции tg и ctg В общем случае, функции sin,cos имеют T /, а у функций tg, ctg период равен / На рисунке 7 изображен график функции cos на интервале 4, 7 (в радианах) 4 Асимптоты функции Определение Прямая a называется вертикальной асимптотой функции f ( ), если хотя бы один из ее односторонних пределов равен, те lim f ( ) a, или lim f ( ) Заметим, что при построении графика функции важен именно знак этой бесконечности a

22 π 5 Пример Дана функция lim, lim асимптота (рис 8) ( ) Рис 7 Очевидно, Рассмотрим пределы: Отсюда следует, что вертикальная Рис 8 Определение Прямая k b называется наклонной асимптотой функции f ( ), если lim( f( ) k b ) Если k, то асимптота называется горизонтальной Заметим, что под символом мы подразумеваем или При этом коэффициенты k и b вычисляются по формулам: f( ) k lim, b lim( f ( ) k) и асимптота существует, если эти пределы конечны

23 Пример 4 Дана функция ( ) Очевидно, она имеет вертикаль- 5 Найдем наклонные асимптоты k lim lim 4, b lim ( 5) lim lim lim Отсюда следует, что 4 наклонная асимптота Схематиче- ную асимптоту 5 ский график функции ( ) 4 5 с асимптотами изображен на рис Рис 9 5 Возрастание и убывание функции, точки экстремума Определение Функция f ( ) называется возрастающей (не убывающей) на интервале ( ab,, ) если для любых и, принадлежащих ( ab, ) и таких, что, следует f ( ) f( ) ( f( ) f( )) Определение Функция f ( ) называется убывающей (не возрастающей) на интервале ( ab,, ) если для любых и, принадлежащих ( ab, ) и таких, что, следует f ( ) f ( ) ( f( ) f( )) Определенные выше функции называются монотонными Сформулируем условия монотонности функции

24 Теорема Для того чтобы дифференцируемая на интервале ( ab, ) функция не убывала (не возрастала) необходимо и достаточно, чтобы производная этой функции была неотрицательной (неположительной) везде на ( ab, ) Теорема Для того чтобы дифференцируемая на интервале ( ab, ) функция f ( ) возрастала (убывала) на этом интервале, достаточно, чтобы производная этой функции была положительна (отрицательна) везде на ( ab, ) Пример Найти участки монотонности функции 5 6 Решение Вычислим производную этой функции: 5 Мы видим, что производная больше нуля, если 5 и отрицательна, если 5 Из вышесказанного следует, что на интервале (, 5) функция убывает, а на интервале (5, ) функция возрастает (рис ) Рис Определение Функция f ( ) имеет в точке c локальный максимум (локальный минимум), если существует такая окрестность точки c в пределах которой значение fc ( ) является наибольшим (наименьшим) Локальный максимум и минимум функции называются экстремумами функции На рисунке точка M точка максимума, а точка M точка минимума Определение 4 Точки, в которых производная функции f ( ) равна нулю, называются стационарными точками функции

25 4 Первое достаточное условие экстремума Теорема Пусть функция f ( ) дифференцируема всюду в некоторой окрестности стационарной точки c Тогда, если при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак c «+» на «-», то в этой точке максимум, если с «-» на «+», то в этой точке минимум Если же при переходе через эту точку производная знак не меняет, то экстремума в точке c нет Y M M Пример Рассмотрим функцию Рис 4 Найдем стационарные точки 4 (4 ) Отсюда получаем две стационарные точки и 5 При переходе через точку производная знак не меняет, а при переходе через точку слева направо производная меняет знак с «-» на «+» Следовательно, в этой точке минимум (рис ) Второе достаточное условие экстремума Теорема 4 Пусть функция f ( ) имеет в данной стационарной точке c конечную вторую производную Тогда в этой точке локальный максимум, если ( с ), и локальный минимум, если ( с ) O δ + δ δ + δ X

26 Пример Дана функция Рис e Найдем ее производную: Стационарная точка c Вычислим : e ( ) e 4 e Отсюда следует, что () и в данной стационарной точке максимум, ma () (рис ) Рис 6 Выпуклость графика функции, точки перегиба Пусть функция f ( ) дифференцируема в любой точке ин- тервала ( ab, ) Тогда, как мы знаем, существует касательная к графику функции в любой точке данного интервала, причем эта касательная не параллельна оси OY Определение Функция f ( ) имеет на интервале ( ab, ) выпуклость, направленную вниз (вверх), если график этой функции

27 6 лежит не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на этом интервале Функцию, направленную выпуклостью вниз, также называют вогнутой, а направленную выпуклостью вверх, просто выпуклой На рисунке часть функции в окрестности точки является выпуклой, а в окрестности точки вогнутой Теорема Если функция f ( ) имеет на интервале ( ab, ) конечную вторую производную и она на нем неотрицательна (неположительна), то график функции является вогнутым (выпуклым) на этом интервале Пример Рассмотрим функцию на любом конечном интервале ( aa,, ) где a Ее вторая производная на этом интервале конечна и равна 6 Тогда на интервале ( a, ) вторая производная отрицательна и, следовательно, график функции является выпуклым, а на интервале (, a ) вторая производная положительна и, следовательно, график функции является вогнутым (рис 6) Определение Точка C( c, f ( c )) графика функции f ( ) называется точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность точки c, в пределах которой график функции слева и справа от точки c имеет разные направления выпуклости Теорема (необходимое условие перегиба графика дважды дифференцируемой функции) Если функция f ( ) имеет в точке c вторую производную и график этой функции имеет перегиб в точке C( c, f ( c )), то ( c ) Теорема (достаточное условие перегиба графика функции) Пусть в некоторой окрестности точки c существует вторая производная функции f ( ) и ( c ) Тогда, если в этой окрестности вторая производная ( ) имеет разные знаки слева и справа от c, то график этой функции имеет перегиб в точке C( c, f ( c )) На рисунке 4 изображены графики функций, имеющие перегиб в точках C и C При переходе через эти точки слева направо у них разные направления выпуклости и в этих точках существует касательная

28 7 ''() < ''() < C C ''() > Пример Дана функция Рис 4 sin Вторая производная ( ) sin Она существует везде в области определения функции Найдем точки, в которых производная обращается в ноль: sin Корни этого уравнения k, k Z Рассмотрим точки и При переходе через точку слева направо вторая производная функции меняет знак c «+» на «-» Это означает, что график функции слева от точки является вогнутым, а справа выпуклым и, следовательно, точка точка перегиба (рис 5) При переходе через точку слева направо вторая производная функции меняет знак c «-» на «+» Это означает, что график функции слева от точки является выпуклым, а справа вогнутым и, следовательно, точка точка перегиба (рис 5) Функция sin является периодической с периодом T Поэтому все остальные точки из множества { k, k Z } также являются точками перегиба Таким образом, функция sin имеет бесконечное число точек перегиба на интервале ( ; ) ''() > 5 π π Рис 5

29 8 7 Общая схема исследования и построения графика функции Область определения функции Df () Это множество значений аргумента, при которых функция существует, те принимает конечные значения Область непрерывности функции Точки разрыва и их тип Асимптоты функции Поведение функции на бесконечности (при ) 4 Четность, нечетность функции 5 Периодичность функции 6Точки пересечения графика функции с осями координат и области знакопостоянства функции У точек пересечения графика функции с осью OY абсцисса, а у точек пересечения графика функции с осью OX ордината Области знакопостоянства функции это те интервалы из области определения функции, на которых она или положительна или отрицательна 7 Интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума 8 Интервалы выпуклости и вогнутости функции Точки перегиба 9 Область значений функции Ef () Это множество тех значений функции, которые она принимает Замечание Иногда бывает трудно сразу найти область значений функции и мы можем определить ее, только построив график функции Для построения графика функции нужно сначала отметить точки пересечения с осями, точки экстремума, провести асимптоты, а затем использовать все остальные свойства Пример Исследовать и построить график функции разрыв: Область определения функции: R, Функция непрерывна при {(, ) (, )} В точке lim Отсюда следует, что это разрыв второго рода

30 9 Найдем асимптоты Точка вертикальная асимптота ( ) k lim lim, b lim ( ) k lim k b наклонная асимптота 4 ( ) ( ) Следовательно функция нечетная 5 Определим, является ли функция периодической? Пусть ( T ) ( ) Отсюда следует, что T T T T T T T ( T ) ( T ) Последнее равенство возможно для всех только при T, те функция является непериодической 6 График функции не имеет точек пересечения с осью OY, тк, и не имеет точек пересечения с осью OX, тк Из этой формулы мы видим, что, если, и, если 7 Найдем производную функции и определим ее знак: ( )( ), если {(, ) (, )}, и, если (, ) Производная равна нулю, если Это точки экстремума абсцисса максимума функции, так как меняет знак при переходе через эту точку слева направо c «+» на «-», ma ( ) абсцисса минимума функции, так как меняет знак при переходе через эту точку слева направо c «-» на «+», min () 8 Найдем вторую производную функции и определим ее знак:, если, и, если Отсюда получаем, что при функция вогнута, а при выпукла Мы видим, что вторая производная в ноль не обращается и при не существует, и сама функция в этой точке не определена Следовательно, точек перегиба нет Схематический график функции приведен на рисунке 6 Мы видим, что функция не принимает значе-

31 ний в интервале ( ; ), следовательно, область значений функции Ef () это объединение интервалов: {( ; ] [; )} Y O X Рис 6 8 Полярные координаты В декартовой прямоугольной системе координат OXY координаты точки M это ее проекции на оси OX и OY, те и, которые однозначно определяют ее положение на плоскости Но однозначно положение точки на плоскости можно задать и другим способом с помощью чисел и, связанных с координатами и следующими соотношениями (рис 7): cos, sin Y M ρ(φ) φ O Рис 7 X

32 Здесь расстояние от точки M до начала координат O, полярный радиус,, угол, который радиус-вектор OM образует с положительным направлением оси OX, полярный угол Если, то угол не определен Для получения однозначных координат точки, обычно ограничивают значения угла интервалом [, )(или (, ]), хотя каждой точке на плоскости может соответствовать бесконечное значение углов с точностью до n Точка O называется полюсом, ось OX полярной осью Полярный радиус, тригонометрические функции полярного угла и угол выражаются через и по следующим формулам:, cos, sin, tg, arctg, если, ; arctg, если >, < ; arctg, если ;, если, ;, если, Многие уравнения, которые в декартовой системе координат записываются сложным образом, в полярной системе записываются значительно проще На рисунке 7 через точку M проходит некоторая кривая, заданная уравнением ( ) Пример Уравнение окружности радиуса R в декартовой и в полярной системах координат имеет соответствующий вид: R и ( ) R, Пример Дана функция cos Построить по точкам ее график в полярной системе координат Записать уравнение полученной кривой в декартовой системе координат Так как, то cos k k k k 4 4 5, если k ;, если k

33 При остальных значениях k области допустимых значений угла на плоскости повторяются Ниже приведена таблица значений функции в нескольких точках на интервалах ; 4 4 и 5 ; / / / / По этим нескольким точкам построим схематический график функции (рис 8) Y φ = π/4 φ = π/4 φ = 7π/8 O φ = π/8 φ = 9π/8 φ = 5π/4 φ = π/4 φ = π/8 X Рис 8 Мы видим, что график состоит из двух одинаковых, симметричных относительно осей OX и OY, лепестков В декартовой системе координат уравнение данной кривой имеет вид: Упражнения ( ) Найти точки разрыва функции их тип (если они есть) и указать характер поведения функции (четная, нечетная, общего вида): 4 5 sin cos sin 7 sin

34 4cos5 4 6 ctg 7 9 sin sin tg 5 ctg 4 6 tg 7 arcsin 8 arctg 9 e ln( ) Найти асимптоты следующих функций: e 7 5 e 8 ln( ) 9 ln(4 ) tg ctg 5 arctg arcctg 4 arctg sin5 7 cos 9 arctg e Найти интервалы возрастания и убывания функций, и точки экстремума (если они есть):

35 e 4 e 5 e 6 sin 7 sin 8 4cos tg + 5 ctg 7 ln6 ln arctg 4 5 arcsin 6 5arccos 8 7 arctg arcsin 8 sin 5 9 cos sin 4 Провести полное исследование и построить графики следующих элементарных функций: cos 4 sin tg 7 ctg sin cos e 9 6 e ln log ( ) 4 ln( ) 5 arcsin 6 arccos 7 arcsin 8 arctg 9 arctg( ) arcctg 4 5 Найти область определения и построить по точкам графики функций, заданных в полярной системе координат: cos sin cos 4 sin 5 5 cos 6 sin 7 cos 8 sin 9 cos

36 sin 5 4cos sin e cos sin 4 5 ln 8 6 ln 7 ln cos sin arcsin 9 arccos arctg 4 СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ Историческая справка ПРЕДЕЛЫ 4 Определения и свойства пределов 4 Основные методы вычисления пределов 7 Упражнения 9 ПРОИЗВОДНАЯ Краткие теоретические сведения и примеры Упражнения 5 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 7 Основные свойства функций 7 Непрерывность функции 7 Четность и нечетность функции 9 Периодичность функции 4 Асимптоты функции 5 Возрастание и убывание функции, точки экстремума 6 Выпуклость графика функции, точки перегиба 5 7 Общая схема исследования и построения графика функции 8 8 Полярные координаты Упражнения

37 ЗЛЕНКО Александр Афанасьевич ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО МАТЕМАТИКЕ Редактор ТА Феоктистова Подписано в печать 4 г Формат 6 84/6 Усл печ л,5 Уч-изд л,8 Тираж 5 экз Заказ Цена 4 руб МАДИ, 59, Москва, Ленинградский пр-т, 64


Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x :

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x : СОДЕРЖАНИЕ ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Дифференцирование неявных функций Логарифмическое дифференцирование Производные высших порядков Дифференцирование функции, заданной параметрически 6 Уравнение

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Пусть на множестве X задана функция f Фиксируем точку X и задаем приращение аргумента Тогда точка соответствует f и f f называется приращением функции Если существует

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ» Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

В.И. Иванов С.И. Васин

В.И. Иванов С.И. Васин Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен: уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций находить производные

Подробнее

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми.

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми. Контрольная работа Тема Пределы и производные функций Найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя) а) б) в) г) Пример а) Решение Определяем вид неопределенности При формальных

Подробнее

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx Ответы к заданию приращения аргумента Δ Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки Δ, U ( : δ приращения f Δ (

Подробнее

16.2.Н. Производная.

16.2.Н. Производная. 6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ (для

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Министерство образования и науки Российской Федерации Курганский государственный университет Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная, и её приложения. Издание третье. / x

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная, и её приложения. Издание третье. / x ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский политехнический университет Т В Тарбокова, В М Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ

Подробнее

Лекция Исследование функции и построение ее графика

Лекция Исследование функции и построение ее графика Лекция Исследование функции и построение ее графика Аннотация: Функция исследуется на монотонность, экстремум, выпуклость-вогнутость, на существование асимптот Приводится пример исследования функции, строится

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО ОВ Сильванович, ГВ Тимофеева ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ (МОДУЛЬ ) ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Подробнее

1. Производная функции в точке

1. Производная функции в точке приращения аргумента Δ приращения Δ функции f производной функции точке f в Основные правила дифференцирования функций функции в точке Приращением аргумента Δ функции f называется разность между значением

Подробнее

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Пусть имеем функцию определенную на множестве X и пусть точка X - внутренняя точка те точка для которой существует окрестность X Возьмем любую точку и обозначим через называется

Подробнее

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 9 ФУНКЦИЯ -ОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ГРАФИКИ. ОПР Величина называется переменной, если в рамках данной задачи она принимает различные числовые значения. ОПР Величина С называется

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

Материалы для подготовки к экзамену Содержание

Материалы для подготовки к экзамену Содержание Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, семестр. Направление 7 «Строительство». Дисциплина - «Математика-» Материалы для подготовки к экзамену Содержание Материалы для подготовки к экзамену... Содержание...

Подробнее

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 7 Производная функции Правила и формулы дифференцирования П л а н Задачи, приводящие к понятию производной Понятие производной Основные

Подробнее

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная и её приложения. Издание третье. / x

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная и её приложения. Издание третье. / x ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский политехнический университет Т В Тарбокова, В М Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ

Подробнее

, где k любое целое число. В таком случае автоматически выполняется и неравенство x 0. Ответ: x [4k. x

, где k любое целое число. В таком случае автоматически выполняется и неравенство x 0. Ответ: x [4k. x Вариант 8 Найти область определения функции : y sin Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и sin Из второго неравенства следует, что должно выполняться неравенство k π k+

Подробнее

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (РГГУ) Филиал в г Домодедово

Подробнее

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Программа экзамена по математике для студентов специальности «Финансы и кредит» (заочная форма обучения) 1 Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Понятие функции Определение функции,

Подробнее

~ 1 ~ «Признаки монотонности функции»

~ 1 ~ «Признаки монотонности функции» ~ 1 ~ «Признаки монотонности функции» Теорема: Для того чтобы функция f(x), дифференцируемая на a,b возрастала (убывала) на a,b необходимо и достаточно, чтобы x a,b выполнялось неравенство f (x) 0 (f (x)

Подробнее

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» семестр Очная форма обучения. Специалисты. I курс, семестр. Направление 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» Дисциплина - «Математика» Материалы

Подробнее

Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. a, монотонно

Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. a, монотонно Функция Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. f на интервале b не убывает, если f f ; не возрастает, если f f ; a, монотонно строго возрастает, если f f

Подробнее

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления»

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления» 4 Методические указания к выполнению контрольной работы «Производная и ее приложения Приложения дифференциального исчисления» Производная Приложения дифференциального исчисления Производной функции f (

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВ Богатова, КВ Бухенский, ИП Карасев, ГС Лукьянова ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD Практикум Рязань Предисловие Общий

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Подробнее

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пример: А множество натуральных чисел а В множество квадратов натуральных чисел

Подробнее

Построение графиков функций

Построение графиков функций Построение графиков функций 1. План исследования функции при построении графика 1. Найти область определения функции. Часто полезно учесть множество значений функции. Исследовать специальные свойства функции:

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

Вариант 2. Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3

Вариант 2. Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3 Вариант Найти область определения функции : y arccos Область определения данной функции определяется неравенством Умножим неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства находим или

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. Достаточные условия возрастания и убывания функции:

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. Достаточные условия возрастания и убывания функции: ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Достаточные условия возрастания и убывания функции: Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возрастает на этом промежутке Если

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции. Производная функции Понятие производной является одним из основных математических понятий Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики и других наук, в особенности при

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

10. Исследование функций Основные формулы и определения для решения задач

10. Исследование функций Основные формулы и определения для решения задач 0. Исследование функций 0.. Основные формулы и определения для решения задач Правилом Лопиталя называют теоремы, сводящие вычисление предела отношения двух функций в случае неопределённости 00 или к вычислению

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы Вариант 5 Найти область определения функции lg5 Область определения данной функции определяется неравенством 5 > Корнями уравнения 5+ являются числа, Так как ветви параболы + 5 направлены вниз, то неравенство

Подробнее

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n Решения типовых задач Задача Доказать по определению предела числовой последовательности что n li n n Решение По определению число является пределом числовой последовательности n n n N если найдется натуральное

Подробнее

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2 Вариант Найти область определения функции : y + Область определения данной функции определяется неравенством Кроме того знаменатель не должен обращаться в нуль Найдём корни знаменателя: Объединяя результаты

Подробнее

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (,

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (, Вариант 9 Найти область определения функции : y + lg Область определения данной функции определяется следующим неравенством: >, те > Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или ± Объединяя результаты,

Подробнее

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами:

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: Вариант 7 Найти область определения функции : y Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и > Второе неравенство выполняется при всех значениях Корнями уравнения являются числа

Подробнее

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию:

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию: Вариант 7 Найти область определения функции : y + / lg Область определения данной функции определяется следующими условиями:, >, те > / Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или Объединяя результаты,

Подробнее

Исследование функций и построение графиков

Исследование функций и построение графиков Исследование функций и построение графиков Теоретический материал Содержание 1) Область определения функции 2) Свойства функции (четность, нечетность, периодичность) 4) Точки пересечения функции с осями

Подробнее

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора.

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора. Глава 5 Исследование функций с помощью формулы Тейлора Локальный экстремум функции Определение Функция = f ( достигает в точке с локального максимума (минимума), если можно указать такое δ >, что ее приращение

Подробнее

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр Образцы базовых задач и вопросов по МА за семестр Предел последовательности Простейшие Вычислите предел последовательности l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Вычислите предел последовательности

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

Глава 4 Элементарные функции и их графики.

Глава 4 Элементарные функции и их графики. Глава Элементарные функции и их графики Построение графиков функции с помощью геометрических преобразований Построить график функции y f () по известному графику y f () При одном и том же значении ординаты

Подробнее

Примеры решения задач, аналогичных задачам 1-10 Необходимо найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя).

Примеры решения задач, аналогичных задачам 1-10 Необходимо найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя). Контрольная работа 2 (КР-2) Тема 3. Пределы и производные функций Примеры решения задач, аналогичных задачам 1-10 Необходимо найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя).

Подробнее

Приложение производных к исследованию функций

Приложение производных к исследованию функций Приложение производных к исследованию функций Лекции 1 6 Л.И. Терехина, И.И. Фикс Курс: Высшая математика Семестр 1, 2009 год portal.tpu.ru Теорема 1 (Ферма) Если функция y = f (x): 1) непрерывна в замкнутом

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством x 3x 2. 0 являются числа x =, x 4. Так как ветви

Область определения данной функции определяется неравенством x 3x 2. 0 являются числа x =, x 4. Так как ветви Вариант Найти область определения функции Область определения данной функции определяется неравенством > Корнями уравнения являются числа Так как ветви параболы направлены вверх то неравенство > выполняется

Подробнее

) и, следовательно, функция на этом множестве возрастает и f (x) 0 для x (1;3 ), где функция убывает.

) и, следовательно, функция на этом множестве возрастает и f (x) 0 для x (1;3 ), где функция убывает. Лекции 7-9 Глава 7 Исследование функции 7 Возрастание и убывание функции Теорема о монотонности функции Если f ( на промежутке ( a ; b, то на этом промежутке функция f ( возрастает Если f ( на промежутке

Подробнее

присутствие функций арксинуса вида arcsin f x

присутствие функций арксинуса вида arcsin f x Практическая работа Полное исследование функции и построение графика Цель: закрепить навыки исследования функций и построения графиков Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): методические

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ М и н и с т е р с т в о о б р а з о в а н и я и н а у к и Р о с с и й с к о й Ф е д е р а ц и и Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный

Подробнее

ЧАСТЬ 2. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ПОЛИТИЧЕСКОЙ НАУКЕ.

ЧАСТЬ 2. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ПОЛИТИЧЕСКОЙ НАУКЕ. ЧАСТЬ. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ПОЛИТИЧЕСКОЙ НАУКЕ. Тема 4. Производная и дифференциал. Непрерывность функции. Точки разрыва. В реальной жизни, в том числе и в политической, большинство

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Основные понятия и формулы Определение 1 Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента

Подробнее

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале Вариант + Найти область определения функции: y lg Область определения данной функции определяется неравенством + те Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg или ± Кроме того аргумент логарифма

Подробнее

Построение графиков функций с помощью производной

Построение графиков функций с помощью производной Построение графиков функций с помощью производной Способ построения графика функции по точкам несовершенен. Даже вычисление ординат большого числа точек может не дать точное представление о графике, а,

Подробнее

возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие 1. Возрастание и убывание функции. Для того чтобы дифференцируемая на интервале ( ab, ) функция f была возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Аналогично, условие

Подробнее

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0.

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0. Вариант Найти область определения функции : lg 5 + Область определения данной функции определяется неравенством > 5+ Найдём корни знаменателя:, Так как ветви параболы 5+ направлены вверх, то 5+ 6< при

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА II часть

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА II часть Стакун Н.С. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА II часть Пределы, функции, графики. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Учебное пособие для факультета технологии и предпринимательства Москва Введение Настоящее

Подробнее

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2 Вариант Найти область определения функции : arccos Область определения данной функции определяется неравенством Освободимся от знака модуля: Если то Из левого неравенства находим или / Из правого неравенства

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры. Математический анализ, 27/28 Группы БПМ7 75 Промежуточный экзамен, модули 2 На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ Расскажите о числах: натуральных,

Подробнее

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и Вариант 5 Найти область определения функции : y arcsin + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и или Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого

Подробнее

23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА

23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА Лекция 23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ТОЧКИ ПЕРЕГИБА График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале График

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление ФГОУ СПО ЛТК МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ Дифференциальное исчисление Ст Ленинградская 00г Предисловие Настоящее пособие написано в соответствии с программой по математике для студентов средни профессиональны

Подробнее

ЗАДАЧА 1. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя в пунктах а) г); с использованием правила Лапиталя в пункте д). 2.

ЗАДАЧА 1. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя в пунктах а) г); с использованием правила Лапиталя в пункте д). 2. ЗАДАЧА Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя в пунктах а) г); с использованием правила Лапиталя в пункте д) х + х х + + 6х а) lim ; б) lim ; х х + х х х ( + х ) + х в) lim ; х х + Решение

Подробнее

Вариант y =. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: > 0. Данная функция определена на всей числовой оси, Точки

Вариант y =. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: > 0. Данная функция определена на всей числовой оси, Точки Вариант Найти область определения функции : y lg Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: > и lg или Достаточно рассмотреть второе неравенство так как первое неравенство перекрывается

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРИНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРИНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ для модуля ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРИНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Харьков

Подробнее

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ВАСИЛЬЕВ ВВ, ЛАНОВАЯ АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Подробнее

Дифференциальное исчисление. Часть 2. "ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ". Составитель В.П.Белкин

Дифференциальное исчисление. Часть 2. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. Составитель В.П.Белкин Дифференциальное исчисление Часть "ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ" Составитель ВПБелкин Приращение функции Пусть функция y f () определена в некоторой окрестности точки Изменим это значение аргумента на новое

Подробнее

«Предел, непрерывность, дифференциальное исчисление функции одной переменной»

«Предел, непрерывность, дифференциальное исчисление функции одной переменной» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Новосибирский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский

Подробнее

ПОДГОТОВКА К ТЕСТИРОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПОДГОТОВКА К ТЕСТИРОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ РОСЖЕЛДОР Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Ростовский государственный университет путей сообщения» ФГБОУ ВО РГУПС ЕВ Пиневич, ВА Липович, ИС Стасюк

Подробнее

Вопросы и задачи по математическому анализу

Вопросы и задачи по математическому анализу Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СР Свирщевский Вопросы и задачи по математическому

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3

Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3 Вариант Найти область определения функции : arcsi Область определения данной функции определяется неравенством Умножим неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства находим или Из

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР

Решение типового варианта заданий по теме. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Решение типового варианта заданий по теме "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание Задание

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им К Э Циолковского Кафедра

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл Задачи, приводящие к понятию производной Определение Касательной S к линии y f (x) в точке A x ; f (

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических

Подробнее

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра МАТЕМАТИКИ ССКачержук, НАРустамов, ЮАФарков МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЯ

Подробнее

Построение кривых... 1.План исследования и построения кривых...

Построение кривых... 1.План исследования и построения кривых... Содержание Построение графиков функций............. План исследования функции при построении графика... Основные понятия и этапы исследования функции..... Область определения функции D f и множество значений

Подробнее