Практикум по дифференциальному исчислению

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Практикум по дифференциальному исчислению"

Транскрипт

1

2 Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Л.И. Магазинников А.Л. Магазинников Практикум по дифференциальному исчислению Учебное пособие Рекомендовано Сибирским региональным учебно-методическим центром высшего профессионального образования для межвузовского использования в качестве учебного пособия Томск ТУСУР 007

3 УДК 57.(075) ББК.я73 М Рецензенты: кафедра высшей математики Томского гос. ун-та, зав. каф.д-р физ.-мат. наук, проф. С.В. Панько; канд. физ.-мат. наук, проф. каф. высшей математики Томского политехнического ун-та Е.Т. Ивлев M Магазинников Л.И., Магазинников А.Л. Практикум по дифференциальному исчислению: учеб. пособие / Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинников. Томск: Томск. гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, с. ISBN Рассмотрены примеры решения задач по введению в математический анализ и дифференциальному исчислению скалярных и векторных функций скалярного и векторного аргументов. Приведены задачи для самостоятельной работы с указанием ответов. Для студентов и преподавателей вузов. УДК 57.(075) ББК.я73 ISBN c Томск. гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 007 c Магазинников Л.И., Магазинников А.Л., 007

4 Оглавление Предисловие Введение в математический анализ Множества. Операции над множествами. Числовые множества Функции. Простейшие свойства функций Предел функции Числовые и векторные последовательности Первый замечательный предел Второй замечательный предел Следствия второго замечательного предела Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций Непрерывность функции. Классификация разрывов функции Предел и непрерывность функции многих переменных Дифференциальное исчисление Понятия дифференцируемой функции и производной матрицы Техника дифференцирования функций скалярного аргумента Производные высших порядков функций скалярного аргумента Дифференцирование функций многих аргументов Производная по направлению Производные параметрически заданных функций Дифференцирование функций, заданных неявно

5 4 Оглавление 8. Геометрический и механический смысл производных Дифференциал Формула Тейлора Условия дифференцируемости функции. Теоремы дифференциального исчисления Правило Лопиталя Признаки постоянства и монотонности функции Экстремумы Наибольшие и наименьшие значения функции на замкнутом множестве Выпуклость и вогнутость графика функции. Точка перегиба Асимптоты графика функции Исследование функций и построение графиков Литература Ответы Приложение

6 Предисловие В практикуме рассмотрены методы решения задач по введению в математический анализ и дифференциальному исчислению. Цель его оказать помощь студентам в самостоятельной работе над учебным материалом. Преподаватели могут использовать пособие для проведения практических аудиторных занятий и организации самостоятельной работы студентов. Предлагаемый практикум составлен в полном соответствии с учебным пособием «Дифференциальное исчисление», авторы А.А. Ельцов, Г.А. Ельцова, Л.И. Магазинников. Весь материал разбит на 8 тем: 0 по введению в математический анализ и 8 по дифференциальному исчислению. Каждая тема содержит необходимые теоретические положения, которые следует изучить, прежде чем приступать к решению задач. Сначала формулируются задачи и приводятся их подробные решения. Затем даётся набор задач для самостоятельного решения в объеме, достаточном для аудиторной работы на практических занятиях и для самостоятельной работы. Пособие применялось в учебном процессе и получило положительные отзывы от студентов и преподавателей. Программа раздела «Дифференциальное исчисление» курса высшей математики Множества, операции над множествами, числовые множества и их границы, свойства числовых множеств. Модуль вещественного числа и его свойства, обозначения числовых множеств, наиболее часто встречающихся на практике, системы окрестностей в R и R n. Функции, или отображения. Понятие функции. Классификация функций по размерностям соответствующих множеств, основные свойства функций. Композиция отображений, обратная функция. Предел функции. Понятие предела функции на языке окрестностей. Последовательность и ее предел, понятие предела функции на языке последовательностей, односторонние пределы, двойные и повторные пределы. Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных

7 6 Предисловие функций. Разрывы функции. Классификация разрывов. Замечательные пределы и их следствия. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Теоремы о свойствах бесконечно малых и бесконечно больших функций. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Дифференцируемые отображения. Понятие производной матрицы и дифференциала. Строение производной матрицы. Таблица производных. Некоторые правила дифференцирования, производная композиции отображений, производная обратной функции, производная по направлению. Производные высших порядков. Частные производные высших порядков. Параметрически и неявно заданные функции и их дифференцирование. Геометрический и механический смысл производных. Уравнение касательной к кривой. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности. Дифференциал функции и его строение для различных классов функций. Инвариантность формы записи первого дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора и ее применение в приближенных вычислениях. Основные теоремы дифференциального исчисления. Достаточные условия дифференцируемости функции. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Условия постоянства, монотонного возрастания и убывания функций. Экстремумы. Необходимые условия экстремума для скалярных функций от одного и многих аргументов. Достаточные условия экстремума для функций одного и многих переменных. Условные экстремумы. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на замкнутом множестве. Выпуклость вверх и вниз графика функции. Асимптоты. Общая схема исследования функции и построение графиков.

8 Введение в математический анализ. Множества. Операции над множествами. Числовые множества Напомним, что операцию сложения (объединения) двух множеств A и B можно обозначать либо A B, либо A + B, а операцию умножения (пересечения) в виде A B или A B, разность множеств можно обозначать либо A \ B, либо A B... Даны два числовых множества: A = {;5;6;9} и B = {;4;5;8;9}. Перечислите элементы множеств A + B, A B, A B, B \ A. Решение. Множество A + B A B согласно определению суммы множеств состоит из тех и только тех элементов, которые входят либо в A, либо в B. Поэтому A+B = {;5;6;9;;4;8}. Множество A B A B состоит из всех элементов, которые принадлежат одновременно множеству A и множеству B. В нашем примере это элементы 5 и 9, следовательно, A B = {5;9}. Множество A \ B содержит только те элементы из множества A, которые не входят в B. В нашем случае A\B A B = = {;6}. Множество B A состоит из тех элементов множества B, которые не входят в A, поэтому B \ A B A = {;4;8}. При построении той или иной теории предполагают, что рассматриваемые в этой теории множества A, B, C,... принадлежат некоторому множеству Ω, называемому универсальным. Например, если мы решили изучать множество целых положительных чисел, не превышающих 0, то Ω = {;;3;... 0}. Если изучают все целые положительные числа, то Ω совпадает с натуральным рядом N, и т.д. Множество всех элементов из Ω, которые не входят в множество A, называется дополнением A или отрицанием A и обозначается Ā... Пусть Ω = {;;3;... 0} универсальное множество, A = {;4;6;8;0}. Найдите Ā. Решение. По определению множество Ā состоит из тех элементов Ω, которые не входят в A, следовательно, Ā = {;3;5;7;9}.

9 8 Введение в математический анализ.3. Докажите справедливость равенства (A + B) C = = A C + B C для любых множеств A, B, C. Решение. Два множества D и F называются равными, если D F и F D. По определению соотношение D F означает, что любой элемент x множества D (x D) принадлежит множеству F (x F ), а из условия F D следует, что если x F, то x D. Поэтому для доказательства справедливости равенства (A + B) C = A C + B C надо доказать, что (A + B) C (A C + B C) и (A C + B C) (A + B) C. Докажем первое соотношение. Пусть x (A + B) C любой элемент. По определению произведения множеств это означает, что x (A + B) и x C. Из определения суммы множеств и условия x (A + B) следует, что либо x A, либо x B, а поскольку x C, то либо x A C, либо x B C. Поэтому x (A C + B C). Так как x любой элемент из (A + B) C, то этим мы доказали, что (A + B) C (A C + B C). Докажем второе соотношение. Пусть теперь x любой элемент из множества A C + B C. Это означает, что либо x A C, либо x B C. Это возможно, если либо x A и x C, либо x B и x C, следовательно, x (A + B) и x C, т.е. x (A + B) C. Мы доказали, что (A C + B C) (A + B) C. Из доказанных включений следует, что (A + B) C = A C + B C..4. Докажите, что Ā + B = (A B). Решение. Чтобы доказать данное равенство, нужно доказать, что (Ā + B) A B и A B (Ā + B). Докажем сначала, что (Ā + B) A B. Пусть x Ā + B, тогда либо x Ā, либо x B, т.е. либо x / A, либо x / B, следовательно, x / A B, a потому x A B. Так как x любой элемент из Ā + B, то мы доказали, что (Ā + B) A B. Пусть теперь x A B. По определению отрицания x / A B, т.е. либо x / A, либо x / B, следовательно, либо x Ā, либо x B, a потому x (Ā + B). Мы доказали, что A B (Ā + B). Равенство (Ā + B) = A B доказано.

10 . Множества. Операции над множествами 9.5. Докажите, что если A B = A, то B A. Решение. Пусть x любой элемент из B. Так как A B = A, то это означает, что x A, т.е. B A..6. Докажите, что если A + B = B, то A B. Решение. Пусть x любой элемент из A. По определению суммы x (A + B). Но поскольку A + B = B, то x B, следовательно, A B..7. Даны два множества: A отрезок [ 3;4] и B интервал (;6). Охарактеризуйте множества A + B, A B, A \ B, B \ A, Ā, B. В качестве универсального множества Ω принять всё множество вещественных чисел (, + ). Решение. Строим множества A и B на числовой оси (рис..). Непосредственно из определения операций над множествами и рисунка следует, что A + B совпадает с Рис.. полуинтервалом [ 3;6), множество A B есть полуинтервал (;4], множество A\B совпадает с [ 3;], а множество B \ A является интервалом (4;6). Множество Ā состоит из точек, расположенных на лучах ( ; 3) и (4; + ), а множество B есть ( ;] [6; + )..8. Даны два множества: A интервал ( ;5) и B отрезок [;3]. Опишите множества A + B, A B, A \ B, B \ A. Решение. Строим множества A и B (рис..). Видим, что A + B = A, A B = B, множество A \ B состоит из объединения интервалов ( ;) (3;5), B \ A = Ø. Рис...9. Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам: а) y x, x (множество A); б) y x, x + y 4 (множество B).

11 0 Введение в математический анализ Решение. Строим параболу y = x и прямую x =. Границы множества A расположены на этих линиях. Множество A является пересечением двух множеств: F множества точек, расположенных ниже верхней и выше нижней ветвей параболы y = x, и G множества точек, расположенных слева от прямой x =. На рис..3а множество A изображено заштрихованной областью A0B. Множество B изображено на рис..3б. а б Рис Найдите множество X всех решений неравенства x < 3 и укажите точную нижнюю и точную верхнюю границу множества X. Решение. По определению арифметического корня данное неравенство эквивалентно неравенству x < 3. Так как x, если x < 0, x = x, если x > 0, 0, если x = 0, то x > 3 и x < 3, поэтому 3 < x < 3. Таким образом, множество X является интервалом ( 3;3). Докажем, что sup X = 3. Действительно, все числа множества X меньше трёх, т.е. 3 является верхней границей. Покажем, что это наименьшая из

12 . Множества. Операции над множествами всех верхних границ. Предположим противное, что существует граница α, меньшая 3, но большая 3. По свойству плотности множества вещественных чисел между числами α и 3 найдётся число α 0, принадлежащее X. Так как α 0 > α, то α не является верхней границей вопреки предположению, т.е. верхних границ, меньших 3, не существует. Следовательно, число 3 является точной верхней границей, т.е. sup X = 3. Аналогично показывается, что inf X = 3... Найдите множество X всех решений неравенства x 6x + 8 > x 6x + 8. Решение. Неравенство a > a выполняется только при a < 0. Поэтому данное неравенство выполняется только для тех x, для которых x 6x + 8 < 0 или (x )(x 4) < 0, откуда < x < 4, т.е. X есть интервал (;4). Задачи для самостоятельного решения.. Даны множества: A = {,7,8,0}, B = {,,4,8}, C = {,3,5,6,8}. Охарактеризуйте множества: а) A + B, б) B + C, в) A B C, г) A \ B, д) C \ B..3. Пусть Ω натуральный ряд чисел (универсальное множество). Его подмножества: A множество чётных чисел; B множество чисел, делящихся на 4; C множество чисел, делящихся на 8. Охарактеризуйте множества: а) A+B, б) A+C, в) B + C, г) A B, д) A C, е) B C, ж) B \ A, з) C \ A, и) A \ B, к) B \ C, л) C \ B, м) Ā..4. Докажите, что A + A B = A..5. Докажите, что (A \ B) + (B \ A) + A B = A + B..6. Докажите, что A + B = Ā B..7. Докажите, что из условия A B следует B Ā, а из условия B Ā следует A B..8. Даны два множества: A интервал ( 5;3) и B отрезок [ 3;5]. Охарактеризуйте множества: а) A + B, б) A B, в) A\B, г) B\A, д) Ā, е) B. (В качестве универсального принять всё множество вещественных чисел ( ; + ).)

13 Введение в математический анализ.9. Даны два множества: A отрезок [;0] и B полуинтервал [;6). Охарактеризуйте множества: а) A + B, б) A B, в) A \ B, г) B \ A..0. Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам: а) x + y, x + y ; б) x + y, y x, x 0; в) y x, y x... Пусть X множество всех решений неравенства x 3x 4 < 0. Найдите sup X, inf X... Найдите множество X всех решений неравенства x + 4 < 5 и укажите sup X..3. Найдите множество X всех решений неравенства x + > Убедитесь, что множество X всех решений неравенства x 5x + 6 > 0 не ограничено ни сверху, ни снизу..5. Пусть b и ε любые положительные числа. Докажите эквивалентность следующих неравенств: а) a b и b a b; б) a b < ε и b ε < a < b + ε; в) a > b и a < b или b < a; г) a b ε и a b ε или b + εa..6. Запишите без знака модуля следующие выражения: а) f (x) = x x + ; б) f (x) = 3x 6 x + + x + 4 ; в) f 3 (x) = x ; г) f 4 (x) = x 3 x..7. Найдите множество всех решений следующих уравнений: а) x + x + 5 = ; б) x x = 0,; в) x + + x = 3; г) x 6 x = 3; д) x = 4; е) 3 x = x.

14 . Функции. Простейшие свойства функций 3.8. Найдите множество всех решений следующих неравенств: а) x + x < 4; б) x + > x 4; в) x + 3 4x 3 < ; г) x + < x.. Функции. Простейшие свойства функций Чтобы определить функцию f : X R n Y R m, нужно задать два множества X R n и Y R m и установить правило f, по которому можно каждому элементу x из множества X сопоставить элемент y из множества Y. Здесь R n и R m точечновекторные линейные евклидовы пространства размерности n и m соответственно, в которых выбраны некоторые декартовы системы координат. Тогда каждый элемент x из R n, называемый точкой или вектором, может быть задан как упорядоченная совокупность n действительных чисел (α, α,..., α n ). (Для R m таких чисел m.) В R n введено понятие расстояния r(m, M ) между любыми его точками M (α, α,..., α n ) и M (β, β,..., β n ) соотношением r(m, M ) = (α β ) + (α β ) (α n β n ). Пространство R будем отождествлять с множеством вещественных чисел R. В зависимости от значений n и m различают четыре класса функций.. n =, m =, f : X R Y R числовые функции одного числового аргумента. Функции этого класса изучаются в средней школе, например, y = sin x, y = tg x, y = log a x, y = a x и т.д.. n конечно, произвольно, m =, f : X R n Y R числовая функция векторного аргумента или числовая функция n числовых аргументов y = f(x, x,..., x n ).

15 4 Введение в математический анализ Например, если x высота треугольника, а x длина основания, то его площадь S есть функция двух аргументов S = S(x, x ) = (/)x x ; если x высота кругового конуса, а x радиус его основания, то объём конуса V = V (x, x ) = (/3)πx x, т.е. является также функцией двух аргументов; расстояние от точки M(x, y, z) до начала координат является функцией трёх аргументов r(x, y, z) = x + y + z. 3. n =, m произвольно, конечно, f : X R Y R m векторная функция числового аргумента: каждому вещественному числу x из X сопоставляется некоторый m-мерный вектор. Функцию этого типа можно задать в виде f(x) = f (x) f (x) f m (x) = [f (x), f (x),..., f m (x)] T, где f (x), f (x),..., f m (x) числовые функции числового аргумента. Их называют координатными. При m = и m = 3 данные функции широко используются в физике для описания движения точки на плоскости или в пространстве. При этом в качестве аргумента x t + 3 принимают время t. Например, функция f(t) = 4t + 5 t + описывает движение точки по прямой линии, параллельной вектору l = {; 4;}, проходящей через точку M 0 (3;5;) в момент времени t = 0. В момент времени t = точка займёт положение M (5;;). [ ] t Функция ϕ(t) = t описывает движение точки по + 4 параболе y = x n и m произвольные конечные числа, т.е. f : X R n Y R m. Каждому вектору (x, x,..., x n ) из множества X ставится в соответствие m-мерный вектор

16 . Функции. Простейшие свойства функций 5 (y, y,..., y m ) из множества Y. Функцию этого класса можно задать в виде Функции f(x) = f (x, x,..., x n ) f (x, x,..., x n ) f m (x, x,..., x n ). f (x, x,..., x n ), f (x, x,..., x n ),..., f m (x, x,..., x n ) также называют координатными. Подобные функции применяются для изучения процессов, зависящих от многих параметров, а также при переходе от одних переменных к другим в задачах преобразования областей. Простейшим примером таких функций являются линейные операторы, изученные нами в линейной алгебре. Линейный оператор A : R n R m, как известно, может быть задан в виде a x + a x a n x n f(x) = a x + a x a n x n, a mx + a mx a n mx n где a k i = const. В этом случае все координатные функции являются линейными. Функции f : X R n Y R m также широко применяются в физических задачах для описания векторных полей. [ ] f (x, y) Пусть n =, m =. Тогда f(x, y) =. Каждой точ- f (x, y) ке (x, y) плоскости сопоставляется вектор a(x, y) с координатами. Такую конструкцию называют плоским век- [ ] f (x, y) f (x, y) торным полем. Если n = 3, m = 3, то каждой точке M(x, y, z) P (x, y, z) сопоставляется трёхмерный вектор a(x, y, z) = Q(x, y, z). R(x, y, z)

17 6 Введение в математический анализ Получаем пространственное векторное поле. Если в точку M(x 0, y 0, z 0 ) поместить некоторую массу, то она порождает поле тяготения. Каждая массивная точка будет испытывать силу тяготения этой точки, которую можно определить с помощью известной формулы Ньютона. Пусть n =, m = 3. Каждой точке плоскости (x, y) сопоставляется некоторый вектор в трёхмерном пространстве, т.е. плоскость по каким-то законам порождает в пространстве векторное поле. Этот закон и описывается функцией P (x, y) f(x, y) = Q(x, y). R(x, y) Как видим, функции f : X R n Y R m можно применять для описания векторных полей различного строения, а также для описания законов движения точки в многомерных пространствах. Изучение векторных функций, т.е. функций третьего и четвёртого типов, сводится к изучению функций первых двух типов их координатных функций. Графиком функции f : X R n Y R m называют множество точек (x, f(x)) в (n + m)-мерном пространстве. В частности, при n = m = имеем некоторое множество точек (x, y) на плоскости. При n =, m = 3 графиком будет некоторая пространственная кривая, а при n =, m = графиком является поверхность. При n =, m = графиком является множество точек (x, x, f (x, x ), f (x, x )) четырёхмерного пространства. Четырёхмерное пространство не допускает наглядного изображения, поэтому договорились брать два экземпляра плоскостей: (O, x, x ) и (O, y, y ). В первой из них строят область определения X функции, а во второй область Y значений функции f. В этом случае говорят, что функция f отображает область X в области Y. Более подробно этой проблемы мы коснёмся в интегральном исчислении функций многих переменных, где будут приведены многочисленные примеры отображения областей.

18 . Функции. Простейшие свойства функций 7.. Пусть f(x + 3) = x + 4x + 5. Найдите f(x). Решение. Преобразуем выражение A = x + 4x + 5. Можем записать: A = (x + 3) 6x 9 + 4x + 5 = (x + 3) x 4 = = (x + 3) (x + 3) = (x + 3) (x + 3) +. Отсюда следует, что f(x) = x x +. (.. Дано, f = x x) + 4. Найдите f(x). Решение. Обозначим x = u. Тогда x = u, f(u) = u + 4 = 4u + u. Обозначая аргумент через x, получим f(x) = 4x + x..3. Даны функции f(x) = x x + 3, ϕ(x) = x +. Найдите f[f(x)], ϕ[ϕ(x)], f[ϕ(x)], ϕ[f(x)]. Решение: ( x ) x + 3 f[f(x)] = ( x ) x = (x + ) x 4 + 4x + 7 ; ϕ[ϕ(x)] = = (x ) (x + 3) (x ) + 3(x + 3) = x + + = ( ) x + (x + ) f[ϕ(x)] = = (x + ) (x + ) ; ϕ[f(x)] = x = x + 3 x x +. x + + x ;

19 8 Введение в математический анализ.4. Даны функции f(x) = x, ϕ(x) = sin x. Найдите f[f(x)], ϕ[ϕ(x)], f[ϕ(x)], ϕ[f(x)]. Решение. f[f(x)] = x = 4 x; ϕ[ϕ(x)] = sin(sin x); f[ϕ(x)] = sin x; ϕ[f(x)] = sin( x)..5. Найдите область определения следующих функций: а) f(x) = x x + ; 3 + x x 5x x б) f(x) = lg. 4 Решение: а) область определения данной функции состоит из тех значений x, для которых оба слагаемых принимают действительные значения. Должны выполняться два условия: { (x x ) 0, (3 + x x ) > 0. Корнями квадратного уравнения x x = 0 являются числа и, a уравнения 3 + x x = 0 числа и 3. Поэтому данная система эквивалентна системе { (x + )(x ) 0, (x + )(x 3) < 0. Используя метод интервалов, находим, что первое неравенство выполняется на лучах ( ; ] и [; + ), а второе в интервале ( ;3). Общей частью этих трёх множеств является множество [;3), которое и есть область определения данной функции; 5x x б) функция f(x) = lg принимает действительные значения, если lg 0, т.е. если, или 4 5x x 5x x 4 4 x 5x + 4 = (x )(x 4) 0. Решая последнее неравенство, находим, что областью определения является отрезок [;4].

20 . Функции. Простейшие свойства функций 9.6. Найдите область определения и постройте её для следующих функций f : X R Y R: а) f(x, y) = 4 x y + x + y ; б) f(x, y) = arcsin x + y ; в) f(x, y) = + (x y) ; г) f(x, y) = y. x Предлагается решить самостоятельно..7. Найдите область определения следующих векторных функций скалярного аргумента: x x + 4 x а) f(x) = ; б) ϕ(x) = lg arccos x +. x + 4 Решение. Чтобы найти область определения векторной функции, нужно найти области определения каждой координатной функции и взять их общую часть. В случае а) имеем: f (x) = x, f (x) = lg x +. Функция f (x) определена на всей числовой оси ( ; + ), а функция f (x) определена при >0, т.е. при x > или в интервале ( ; + ). Этот луч x + и является областью определения функции f(x). В случае б) f (x) = x + 4 x. Эта функция определена на отрезке [;4], функция f (x) = arccos x + определена 4 при x + 4, т.е. x + 4 или 4 x + 4. Получаем отрезок [ 5;3]. Этот отрезок с отрезком [;4] имеет общую часть [;3]. Отрезок [;3] является областью определения функции ϕ(x)..8. Найдите область определения векторной функции векторного аргумента f : X R Y R : [ ] x + arcsin y f(x, y) =. y + arcsin x

21 0 Введение в математический анализ Решение. Область определения этой функции является пересечением областей определения координатных функций f (x, y) = x + arcsin y и f (x, y) = y + arcsin x. Первая из них определена в полосе y, а вторая в полосе x. Эти полосы пересекаются по замкнутому квадрату со сторонами x = ± и y = ±, который и является областью определения данной функции..9. Функция f(x) определена на отрезке [;4]. Какова область определения функций: а) f(8x ); б) f(x 3). Решение: а) функция f(8x ) является композицией функций u = 8x и f(u). Область значений функции u = 8x должна входить в область определения функции f(u), поэтому 8x 4, т.е. /4 x /. Отсюда следует, что множество [ / ; /] [/;/ ] является областью определения функции f(8x ); б) функция f(x 3) определена при всех x, удовлетворяющих неравенству x 3 4, т.е. на отрезке [5;7]..0. Докажите, что функция f (x) = lg x + x является нечётной, f (x) = x 3x + 3 x чётной, а функция f 3(x) = x 3 x + общего вида (не является ни чётной, ни нечётной). Решение: f ( x) = lg + x ( ) x x = lg = lg x + x + x = f (x); f ( x) = x 3 x + 3 x = x/3x + /3 x = x3x + 3 x = = x 3x + 3 x = f (x), т.е. функция f (x) нечётна, а f (x) чётна; f 3 ( x) = x 3 + x +. Видим, что f 3 (x) f 3 ( x) и f 3 ( x) f 3 (x), т.е. функция f 3 (x) общего вида.

22 . Функции. Простейшие свойства функций.. Докажите, что если f(x) периодическая функция с периодом T, то функция f(ax) также периодическая с периодом T/a. Решение. Действительно, f[a(x + T/a)] = f(ax + T ) = f(ax), т.е. T/a один из периодов функции f(ax)... Найдите период функции f(x) = cos x. Решение. Можем записать: cos + cos x x =. Видим, что период функции cos x совпадает с периодом функции cos x. Так как период функции cos x равен π, то согласно задаче. период функции cos x равен π..3. Найдите период функций: а) f(x) = sin πx; б) f(x) = cos x. Ответ: а) T = ; б) T = π. Задачи для самостоятельного решения.4. Пусть f(x) = x и ϕ(x) = x. Найдите: а) f[ϕ(x)], б) ϕ[f(x)]..5. Найдите f(x + ), если f(x ) = x..6. Дана функция f(x) = x. Найдите ϕ(x) = f{f[f(x)]}..7. Дана функция f(x) = 3x 4x. Докажите, что функция f(x + ) может быть представлена в виде f(x+) = = Ax + Bx + C. Найдите значения констант A, B, C..8. Даны две линейные функции f (x) = 5x + 4 и f (x) = 3x. Докажите, что функция f(x) = f [f (x)] также линейна, т. е. имеет вид f(x) = Ax + B. Найдите значения констант A и B..9. Даны две функции f (x) = 3x + 7 5x + 6 и f (x) = 5x + 4 x 8, называемые дробно-линейными. Докажите, что функция f(x) = f [f (x)] также дробно-линейна, т. е. имеет вид f(x) = Ax + B. Укажите значения констант A, B, C, D. Cx + D

23 Введение в математический анализ.0. Для некоторой функции f : X R Y R известно, что f(3x + 5) = 45x x + 3. Докажите, что функция f(x) может быть представлена в виде f(x) = Ax + Bx + C. Найдите значения констант A, B, C... Найдите область определения следующих функций: а) f(x) = x + ; б) f(x) = lg + x x ; в) f(x) = + x x ; г) f(x) = arcsin(log x); д) f(x) = cos(sin x) + arcsin + x x... Найдите область определения следующих функций: а) f(x) = x + 33x + 70; б) f(x) = x + 6x + 68 ; в) f(x) = lg[( + x)( x)]; г) f(x) = arcsin x + x 6 ; д) f(x) = (x + 9)(x + 8)(x 4); 5 е) f(x) = arcsin x ; ж) f(x) = x + 3x arcsin x Постройте область определения следующих функций: а) f(x, y) = log (x + y); б) f(x, y) = x y ; в) f(x, y) = arcsin x + y ; 4 г) f(x, y) = xy..4. Найдите область определения следующих функций: lg x 3 x arcsin а) f(x) = ; б) f(x) = 5. x 4x 3 x

24 . Функции. Простейшие свойства функций 3.5. Найдите и постройте область определения следующих функций: [ ] 4x y а) f(x, y) = lg( x y ; ) [ x + x + y б) f(x, y) = ]. x x + y.6. Докажите, что функции а) f (x) = x, f (x) = x + x, f 3 (x) = x + + x чётные; б) ϕ (x) = x x, ϕ (x) = 3x + 3 x, ϕ 3 (x) = lg + x x нечётные; в) ψ (x) = sin x cos x, ψ (x) = x x, ψ 3 (x) = x 3 + x общего вида..7. Даны функции: а) y = sin x; б) y = sin x ; в) y = + tg x; г) y = sin x. Какие из них являются периодическими?.8. Докажите, что функция y = x имеет обратную, + x и найдите её..9. Докажите, что функция y = x x имеет две обратных: y = + x + и y = x Докажите, что следующие функции ограничены снизу: а) f (x) = x 6 6x 4 + x ; б) f (x) = x 4 8x 3 + x..3. Докажите, что следующие функции ограничены сверху: а) f (x) = 4x 6x + 36 ; б) f 5 (x) = 5x 0x + 55.

25 4 Введение в математический анализ.3. Найдите наименьшее и наибольшее значения следующих функций: а) f (x) = 3 sin x + 4 cos x; б) f (x) = 5 sin x + cos x..33. Охарактеризуйте вид графика следующих функций: а) z = x y ; б) z = x + y ; в) z = x + y ; г) z = x y..34. Начертите линии уровня данных функций, придавая z значения от 3 до +3 через : а) z = xy; б) z = y(x + )..35. Постройте график функции y = 3(x + ) 0,5 с помощью преобразования графика функции y = x..36. Постройте график функции y = 3 sin(x 4) с помощью преобразования графика функции y = sin x..37. Применяя элементарное исследование функций (без использования производной), постройте графики следующих функций: а) y = x + ; б) y = x x + ; в) y = x 4 x + 5; г) y = x + 4x + 5 ; д) y = x 5 x 3 ; е) y = x + 6x Постройте графики следующих функций: x, если < x < ; а) f(x) = x +, если x 3; 4, если 3 < x < + ; б) f(x) = x + x + 3 ; в) f(x) = x x + ; г) f(x) = sin x + sin x, если 0 x 3π; д) f(x) = arccos(cos x); [ t + 5 е) f(t) = t 7 ] ; ж) f(t) = [ t + t + t + ].

26 3. Предел функции 5 3. Предел функции Рекомендуется по учебному пособию [6] изучить подразделы.4 и.5. Следует обратить особое внимание на подраздел.4 и знать все типы окрестностей, их обозначения и формы записи в виде неравенств. Утверждение lim f(x) = A означает: для любой окрестности U(A) (в частности, сколь угодно малой) элемента A най- x x 0 дётся проколотая окрестность V (x 0 ) элемента x 0 такая, что из условия x V (x 0 ) X следует, f(x) U(A), где X область определения функции f(x), а x 0 предельная точка множества X. Часто вместо произвольной окрестности U(A) рассматривают симметричную окрестность U ε (A). При этом окрестность V (x 0 ) может получиться как симметричной, так и несимметричной, но из всякой несимметричной окрестности можно выделить симметричную V δ (x 0 ). Поскольку окрестность V (x 0 ) проколотая, т.е. не содержит точку x 0, то x x 0, и в точке x 0 функция f(x) может быть не определена. Чтобы доказать, что lim f(x) = A, достаточно найти x x 0 множество {x} тех значений x, для которых справедливо включение f(x) U(A) для любой окрестности U(A). Если найденное множество {x} является окрестностью x 0, то утверждение lim f(x) = A справедливо, в противном случае оно x x 0 неверно. В частности, если функция f(x) в точке x 0 определена и lim f(x) = f(x 0 ), то множество {x} будет содержать и x x 0 точку x 0. Приведённое определение предела применимо для любого класса функций. В этом разделе мы будем в основном заниматься числовыми функциями одного числового аргумента. 3.. Исходя из определения предела, доказать: а) lim x = x 0 ; б) lim x x 0 x x = ; в) lim x + x = lim x x = lim x x = 0;

27 6 Введение в математический анализ г) lim = + ; д) lim x 0+0 x x 0 0 x = ; е) lim x x ; ж) lim x x = 4. Решение: а) утверждение lim x = x 0 непосредственно x x 0 следует из определения предела. Если окрестность U ε (x 0 ) ( x x 0 < ε) дана, то в качестве окрестности V δ (x 0 ) можно принять x x 0 < δ = ε, т.е. положить δ = ε; б) докажем, что lim x =. По определению предела мы( должны ) доказать, что для любой заданной окрестности U ε, ε > 0 существует окрестность V () такая, что если x V (), то x < ε, т.е. ( x U ε, что равносильно следующим двум ) неравенствам: Рис. 3. x ε < x < +ε или ε < x < + ε. Так как при достаточно малом ε все части этого неравенства положительны, то + ε < x < ε. Очевидно, + ε <, ε >, следовательно, множество ( ) + ε, ε является окрестностью точки x 0 = (несимметричной). Существование требуемой окрестности V () доказано (рис. 3.).

28 3. Предел функции 7 Можно для наглядности эту окрестность записать в виде ( 4ε + ε, + 4ε ) и считать ε V () = V δ,δ (), где δ = в) докажем, что lim x + x = 0. По определению мы должны доказать, что для любой окрестности U ε (0) точки y = 0 существует окрестность V (+ ) элемента + такая, что если x V (+ ), то x < ε, или x < ε. Так как x +, то можно считать, что x > 0, поэтому знак модуля можно опустить 4ε + ε, δ = 4ε ε. Рис. 3. и записать x < ε или x > ε = M. Множество x > M есть V M (+ ) согласно определению окрестности элемента +. Существование окрестности V (+ ), удовлетворяющей соответствующим условиям, доказано. Тем самым доказано, что lim x + = 0 (рис. 3.). x lim x x = 0 предо- Доказательство равенств ставляем читателю. lim x x = 0 и

29 8 Введение в математический анализ Подчеркнём, что равенство равенствам: U M (+ ) lim x x = 0 и } {{ } V + /M (0) Рис. 3.3 lim x x = 0 равносильно двум lim x + x = 0; г) докажем ра- венство lim x 0+0 x = +. Нужно доказать, что для любой окрестности U M (+ ) существует правая полуокрестность V δ + (0) (0 < x < δ) такая, что если x V δ + (0), то x U M(+ ). Последнее означает, что x > M. Так как x > 0, M > 0, то 0 < x <. Если поло- M жить δ = M +, то требуемая окрестность V δ (0) найдена и равенство lim = 0 доказано (рис. 3.3). x 0+0 x Аналогично можно доказать, что lim = (предлага- x 0 0 x ем проделать это самостоятельно); е) докажем, что lim. Предположим противное, т.е. x x что lim равен двум. Это означало бы: для любой окрестности U ε () существует окрестность V () такая, что если x x x V (), то x U ε(), т.е. x < ε, или ε < x < ε +.

30 3. Предел функции 9 Так как все части неравенства можно считать положительными, то + ε < x <. Только для этих значений x выпол- ε няется x < ε. Но точка x = в найденную окрестность ( ) + ε ; при малом ε не входит, т.е. данное множество ε не является окрестностью точки. Таким образом, требуемая окрестность V () не существует, а потому lim не может равняться двум; x x ж) докажем, что lim x x = 4. Требуется показать, что для любой достаточно малой окрестности U ε (4) существует окрестность V () точки такая, что если x V (), то x U ε (4), т.е. x 4 < ε, или ε < x 4 < ε, 4 ε < x < 4 + ε. Так как x, то можно считать, что x > 0, при x > 0 функция y = x монотонно возрастает, поэтому 4 ε < x < 4 + ε. Поскольку x > 0, то знак модуля можно опустить и записать 4 ε < x < 4 + ε. Точка x = принадлежит интервалу ( 4 ε; 4 + ε), т.е. этот интервал является окрестностью точки, удовлетворяющей требуемому условию, которую и принимаем в качестве V (). Существование V () доказано, а этим доказано, что lim x x = Докажите самостоятельно, что lim = +, x x 0 +0 x x 0 lim x x 0 0 x x 0 =. Указание: сделать замену x x 0 = t и применить задачу Используя теоремы о пределе произведения суммы и частного, докажите, что: а) lim x x 0 x n = x n 0 ; б) lim x x 0 P n (x) = lim x x 0 (a 0 x n + a x n a n x + a n ) = = a 0 x n 0 + a x n a n x 0 + a n ;

31 30 Введение в математический анализ в) lim x x 0 P n (x) Q m (x) = lim x x 0 a 0 x n + a x n a n x + a n b 0 x m + b x m b m x + b m = = a 0x n 0 + a x n a n x 0 + a n b 0 x m 0 + b x m, b m x 0 + b m где n и m натуральные числа, a i и b i константы, b 0 x m 0 + b x m b m x 0 + b m 0, x 0 конечно. Решение: а) можем записать: lim x n = lim (x x x). x x 0 x x 0 Так как lim x = x 0, то по теореме о пределе произведения x x 0 lim x n = lim x lim x x x 0 x x 0 x x 0 lim x = x n x x 0 ; 0 б) функция P n (x) представляет собой сумму ( + n) слагаемых, каждое из которых имеет конечный предел, например, lim a 0x n = lim a 0 lim x n = a 0 x n n x x 0 x x 0. Поэтому б) следует из теоремы о пределе суммы; 0 в) следует из теоремы о пределе частного, суммы и произведения. Функцию P n (x) в задаче 3.3 называют многочленом или полиномом порядка n (если a 0 0) Вычислите следующие пределы: а) lim x (x + 3x + 4); б) lim x 3 x + x 3 x + 4x 5. Решение. На основе доказанного в задаче 3.3, п. б) можем записать: lim(x + 3x + 4) = = 4; x x + x 3 lim x 3 x + 4x 5 = = Найдите A = lim x 5x 0x + 5 3x 5x +. Решение. В данном случае применить теорему о пределе частного невозможно, так как знаменатель обращается при x 0 = в нуль. Заметим, что и числитель при x 0 = также обращается в нуль. Получаем неопределённое выражение типа 0/0. Мы уже подчёркивали, что в определении предела при x x 0

32 3. Предел функции 3 величина x никогда не принимает значение x 0. В нашем примере x, а потому x 0. Разлагая на множители числитель и знаменатель, получаем 5x 0x + 5 A = lim x 3x 5x + = lim 5(x )(x 3) x 3(x )(x 4). Поделим числитель и знаменатель на величину x, отличную от нуля. Получим A = lim = 5(x 3) 5( 3) x 3(x 4) 3( 4) = 0 9. x 3 + 5x + 3x Найдите A = lim x 3 x 3 3x 45x 8. Решение. Убеждаемся, что числитель и знаменатель в точке x 0 = 3 обращаются в нуль. По теореме Безу многочлены в числителе и знаменателе делятся на x + 3. Выполняя это деление, получаем A = lim x 3 (x + 3)(x + x 3) (x + 3)(x 6x 7) = lim x 3 (x + x 3) (x 6x 7) (числитель и знаменатель разделили на x + 3 0). Замечаем, что числитель и знаменатель опять обращаются в нуль при x 0 = 3. Находим (x + 3)(x ) A = lim x 3 (x + 3)(x 9) = lim (x ) x 3 (x 9) = = 4 = 3. x Найдите A = lim x 3x + 5. чим A = Решение. Поделим числитель и знаменатель на x. Полу- + 4/x lim. Применяя теорему о пределе частно- x 3 + 5/x го и суммы и учитывая, что lim x + 4/x A = lim x 3 + 5/x = = 0, lim = 0, находим x x x

33 3 Введение в математический анализ 7x 4 + x Найдите A = lim x 5x 4 + x 3 + x. Решение. Поделив числитель и знаменатель на x 4, получим 7 + /x 4/x 4 A = lim x 5 + /x + /x /x 4. Затем применяем теоремы о пределе суммы, произведения и частного. Учитывая, что lim x x = 0; получаем, A = 7 5. lim 4 x x 4 = 0; lim x x = lim x x = lim x x 4 = 0, + /x + /x 4 x 4 + x Найдите A = lim x x 3 + 4x +. Решение. Поделим числитель и знаменатель на x 4. Получим A = lim x /x + 4/x 3 =, поскольку числитель + /x4 стремится к единице, а знаменатель к нулю. В некоторых случаях, встречающихся довольно часто, функция f(x) может быть определена во всей окрестности V (x 0 ), включая и x 0. Если при этом окажется, что lim f(x) x x 0 существует и равен f(x 0 ), т.е. lim x x 0 f(x) = f(x 0 ), то функция называется непрерывной в точке x 0. В задаче 3.3 мы доказали непрерывность многочлена. Доказаны следующие теоремы, которые мы будем применять при отыскании пределов. Теорема. Элементарные функции y = x a, y = a x, y = = log a x, y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x непрерывны в каждой внутренней точке их области определения. В граничных точках возможна односторонняя непрерывность. Эти точки подлежат дополнительному исследованию. Теорема. Если функция ϕ(x) непрерывна в точке x 0, а функция f(y) непрерывна в точке y 0 = ϕ(x 0 ), то функция z = f[ϕ(x)] непрерывна в точке x 0.

34 3. Предел функции 33 lim x x 0 Для непрерывных функций в точке x 0 справедливы равенства: lim f(x) = f( lim x) = f(x 0 ), x x 0 x x 0 lim f[ϕ(x)] = f[ lim ϕ(x)] = f[ϕ( lim x)] = f[ϕ(x 0 )], x x 0 x x 0 x x 0 т.е. символы f и для непрерывных функций перестановочны. Этим свойством мы будем широко пользоваться при отыскании пределов, например lim x 4 + 3x + 0 = lim(x 4 + 3x + 0) = x 3 x 3 = = 0. Использованы непрерывность функции y = u и теорема о пределе суммы. x + 9x 3.0. Найдите lim +. x x Решение. x + ( ) 9x lim + 9x = lim + + = x x x x 9x = lim ( + x x = lim 9 + x ) x = = lim (9 + ) x x = 3 =. Напомним, что a { a b = b, если a > 0; a b, если a < 0. 9x По этой причине + 9x + = x x, поскольку x, а потому x < 0. x + 9x 3.. Докажите самостоятельно: lim + = 4. x + x не су- Из задач 3.0 и 3. следует, что lim ществует. x x + 9x + x

35 34 Введение в математический анализ x + 8 8x Найдите A = lim. x 5 x 7x 3 Решение. Замечаем, что числитель и знаменатель при x стремятся к нулю, т.е. имеем неопределённость типа 0/0. Умножим числитель и знаменатель на множители, сопряжённые соответствующим выражениям: ( x + 8 8x + )( x x + ) A = lim x ( 5 x 7x 3)( 5 x + 7x 3) 5 x + 7x 3 = x x + (x + 8 8x )( 5 x + 7x 3) = lim x (5 x 7x + 3)( x x + ) = = lim x 7( x) 8( x) 5 x + 7x 3 x x + = = 7. Мы воспользовались непрерывностью функции x и теоремой о пределе частного и суммы. 3 x 3 3x 3.3. Найдите lim. x x Решение. Применим формулу a 3 b 3 = (a b)(a + ab + +b ). Полагая a = 3 x, b = 3 3x, умножим числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы чисел a и b. Получим x 3x + lim ( x 3 (x ) (x ) + 3 (x )(3x ) + 3 ) = (3x ) (x ) = lim ( x 3 (x ) (x ) + 3 (x )(3x ) + 3 ) = (3x ) = lim x 3 (x ) + 3 (x )(3x ) + 3 (3x ) = 3. (Применили теоремы о пределе частного, суммы и произведения, а также непрерывность функций u и 3 u.)

36 3. Предел функции Найдите lim x 0+0 3/x, lim x 0 0 3/x. Решение. Сделаем замену t = /x. Если x 0 + 0, то t +, если x 0 0, то t (см. задачу 3.). По свойству показательной функции y = a x при a > получаем lim x 0+0 3/x = lim t + 3t = +, lim x 0 0 3/x = lim t 3t = lim t + 3 t = 0. Как видим, предел lim x 0 3 /x не существует Найдите lim x 0 5 /x 7 /x. Решение. Найдём правый и левый пределы: 5 /x lim x /x. Сделаем замену t = x. Тогда 5 /x lim x /x, 5 /x lim x /x = lim 5 t t + 7 t = lim (5/7) t /7 t t + /7 t = 0. Мы воспользовались свойством показательной функции y = = a x : при a < справедливо lim x + ax = 0, при a > lim x + ax = +, а также теоремой о пределе частного. Аналогично получаем 5 /x lim x /x = lim t 5 t 7 t =. (По свойству показательной функции при a > следует, что lim x at = 0.) Мы показали, что существуют конечные правый и левый пределы, но они не равны. Следовательно, предел не существует. В математическом анализе важное значение имеют два класса функций: бесконечно малые и бесконечно большие. Функция f(x) называется бесконечно малой при x x 0, если lim x x 0 f(x) = 0. Функция f(x) называется бесконечно большой при x x 0, если lim x x 0 f(x) =, +,.

37 36 Введение в математический анализ Доказаны следующие теоремы. Теорема 3. Если функция f(x) бесконечно малая при x x 0, то функция ϕ(x) = бесконечно большая при f(x) x x 0. Если функция f(x) бесконечно большая при x x 0, то функция ϕ(x) = f(x) бесконечно малая при x x 0. Теорема 4. Произведение бесконечно малой функции при x x 0 на ограниченную в окрестности точки x 0 функцию есть функция бесконечно малая при x x 0. Теорема 5. Произведение функции, имеющей конечный предел, отличный от нуля при x x 0, на бесконечно большую функцию при x x 0 есть функция бесконечно большая. Все определения и теоремы переносятся на случай x ±,. Более подробно бесконечно малые и бесконечно большие функции будут рассмотрены в разделе Найдите lim x sin x 0 x cos x. Решение. Функция f (x) = x бесконечно малая при x 0. Для функции f (x) = sin x cos x имеем f (x) = sin x, т.е. функция f (x) ограничена. Следовательно, имеем произведение бесконечно малой при x 0 функции на ограниченную, а потому (по теореме 4) lim x sin x 0 x cos x = 0. Заметим, что применить теорему о пределе произведения в данном случае невозможно, так как lim f (x) не существует, x 0 что будет доказано позже Найдите lim x +0 x x + x + 3. Решение. Функция f (x) = бесконечно большая при x x + 0, так как функция u = x бесконечно малая, lim = x + x +0 x + 3 = 3. Имеем произведение бесконечно большой 4 функции на функцию с конечным пределом при x + 0. По

38 3. Предел функции 37 x + теореме 5 функция бесконечно большая. А так как x x > 0 и lim = +, то x +0 x lim x + x +0 x x + 3 = +. Итак, мы познакомились с понятием предела функции f(x). Если функция в точке x 0 непрерывна, то отыскание предела lim f(x) не представляет труда. Он равен f(x 0 ). Если же свойство непрерывности нарушено, то могут возникнуть неопреде- x x 0 лённости вида 0/0, /, 0,, 0, 0 0,. C первыми двумя типами неопределённостей мы уже встретились. Другие рассмотрим позднее. Мы пока привели примеры отыскания пределов функций f : X R Y R. Пределы функций f : X R n Y R будут рассмотрены в разделе 0. Задачи для самостоятельного решения 3.8. Исходя из определения предела, докажите: а) lim x x + = 3 ; б) lim x 0 x = ; в) lim x +0 x = + ; г) lim x x + = lim x + x + = lim x x + = 0; д) lim arcsin x = π ; е) lim ; ж) lim x 0 x x + x x3 = Найдите: а) lim x (x 3 + 4x 5); в) lim x x + 8 x + ; 4x 4 8x + 8 б) lim x 3 x 3 ; + x г) lim x 4 x 4, обосновывая ссылками на соответствующие теоремы каждую операцию.

39 38 Введение в математический анализ 3.0. Найдите следующие пределы: x 6x + 5 а) lim x x 3x + ; в) lim x x 3 3x + 4 x 3 x 4x + 8 ; x 3 7 б) lim x 3 x 3 ; г) lim x 6 x 3 + 6x 45x 6 д) lim x 9 x 3 + 5x + 04x ; x 3 + x + 40x + 00 е) lim x 0 x 3 + 3x + 60x ; x 3 x 44x 96 ж) lim x 8 x. 7x Найдите следующие пределы: 4 x а) lim x 6 x ; б) lim x x + 0x + 4 x + 9x + 8 ; 3 x 4 8x 5 ; в) lim x x 3 4x. Указание. В примере а) сделать замену x = t, в примере б) x = t 5. Использовать формулу a m b m = (a b)(a m + +a m b ab m + b m ). 3.. Найдите следующие пределы: а) lim x 3x 4 7x + 4x + 6x 4 + 5x 3 ; б) lim x x + 4x + в) lim x x 3 + x + 5 ; г) lim x 5 x д) lim x + 3 x x x x + 7 x ; 3 е) lim x + ж) lim x + ( x ) 3 3x + x ; + x 3 + 4x + x x + 8x + 3 0x + 4x 3 3 ; x 6 4 x 4 (6x 5)x 56x 3.

40 3. Предел функции Найдите пределы: x 3 + 6x а) lim x 3 + 6x x x 3 ; б) lim x + x 3 ; в) lim x г) lim x + 4x 7 x 5x 7 ; x x + 6 x x + 8 ; x x + 0 x д) lim 4x + 0. x x 3.4. Найдите пределы: + x а) lim ; б) lim x x x +0 в) lim x д) lim x x x x + x ; 3.5. Найдите пределы: ; г) lim x а) lim x + x( x + x); 9 + 5x + 4x 3 ; x 3 x 3 3x ; 4x 3 x x е) lim. x 0 x б) lim x ± ( x + x + x x + ); в) lim x + ( 3 x 3 + 3x x x). г) lim x + x( x + x); д) lim x( x + x); x ( x x x 7x + 3). е) lim x ± Указание. В примере в) прибавить и вычесть x Найдите пределы: а) lim x 3 ; б) x 3+0 lim x 3 ; в) x x + lim. x +0 4 x +

41 40 Введение в математический анализ 4. Числовые и векторные последовательности Последовательность это функция натурального аргумента f(n) = y n : N X. Если X R, имеем числовую последовательность, если X R n, то получаем векторную последовательность, если X некоторое множество функций, то получаем функциональную последовательность, и т.д. В этом разделе мы будем изучать числовые и векторные последовательности. После изучения теории вы легко сможете привести любое число примеров числовых и векторных последовательностей, например: = { } { n n +, 3, 3 } 4,..., n n +,... числовая последовательность; { n + n ; } векторная последовательность: y = (;), y = n ( ( 3 4 ) ;, y 3 = 3 3) ;,... Вы заметили, что задание векторной последовательности y n = {y n () ; y n () ;... ; y n (k) } сводится к заданию k различных числовых последовательностей {y n (i) }, i =,,..., k, называемых координатными. Множество натуральных чисел имеет единственную предельную точку +, т.е. может быть только случай n +. Обычно знак «+» опускают и пишут n. Определение предела последовательности дословно повторяет определение предела функции при x +. Напомним, что V M (+ )- окрестность элемента + во множестве натуральных чисел является множеством всех натуральных чисел, больших M. Число A называют пределом числовой последовательности {y n }, если для любой ε-окрестности U ε (A) числа A найдётся V M (+ )-окрестность символа + такая, что для любого n V M (+ ), т.е. для всех n > M, выполняется условие y n U ε (A), т.е. y n A < ε. Пишут A = lim y n. n Аналогично определяется предел векторной последовательности. Очень важна для дальнейшего теорема о существовании предела векторной последовательности, из которой следует, что для отыскания предела векторной последовательности

42 4. Числовые и векторные последовательности 4 нужно найти пределы её координатных числовых последовательностей [6, с. 9, теорема ]. 4.. Исходя из определения предела последовательности, докажите, что lim n n = 0. Решение. Пусть U ε (0) любая ε-окрестность точки 0. Требуется согласно определению предела последовательности найти окрестность символа + такую, что если n V M (+ ), т.е. n > M, то должно выполняться n 0 < ε, т.е. n < ε или n > ε. Видим, что можно принять M =. Если выполнено ε n > ε, то n < ε. Это и означает, что lim n n = 0. Теоремы о пределе суммы, произведения и частного, сформулированные для функций непрерывного аргумента, переносятся и на последовательности. Применяя результаты решения задачи 4. и теорему о пределе произведения последовательностей, легко находим, что lim n n = lim n n lim n n = 0. Учитывая непрерывность функции f(x) = x λ, λ > 0, и применяя теорему о пределе частного, получаем lim n n λ = = 0 при λ > 0. lim nλ n 4.. Найдите пределы следующих последовательностей: n + 5n + 4 n n + 3 а) lim n n ; б) lim + 7 n n 3 + 5n + 4 ; n 3 ( + 4n + n 4 в) lim n n + n + 5 ; + n 3 ) + 3 г) lim n n 4 + 3n. + Решение. Подобные пределы находят теми же методами, что и пределы lim f(x). x + В примерах а), б), в) делим числитель и знаменатель на старшую степень величины n.

43 4 Введение в математический анализ Получаем: n ( + 5n /n + 4/n а) lim n n = = lim + 7 ) n + 7/n = (применили теорему о пределе частного, суммы и то, что lim n 5 n = lim n б) lim n 4 n = lim n 7 n = 0); ) n n + 3 n 3 + 5n + 4 = ( n 3 + 4n + в) lim n n + n + 5 = lim = lim n n ( + 4 n + n 3 ) /n /n + 3/n 3 = lim n + 5/n + 4/n 3 = 0; + 4/n + /n 3 /n + /n + 5/n 3 = /n + /n + 5/n 3 = как предел произведения последовательности, имеющей конечный предел, на бесконечно большую последовательность. Второй сомножитель есть бесконечно { большая последовательность, так как последовательность n + n + 5 } n 3 бесконечно малая (теорема 3); г) учитывая непрерывность функции y = x, получаем ( n 4 + n 3 ) ( ( + 3 n lim n n 4 + 3n = = lim + ) 4 + n 3 ) + 3 n n 4 + 3n = + ( + /n + 3/n 4 ) ( ) = lim n + 3/n + /n 4 = = Найдите следующие пределы: 3 8n а) lim 3 + n ; б) lim n n + 3 n Решение: 3 8n а) lim 3 + n ( = = n n + 3 ) = 3 (8n 3 + n )/n 3 (n + 3)/n = lim n 4 n 3 + n. (n + 3) /n /n 3 + 3/n =

44 4. Числовые и векторные последовательности 43 (поделили числитель и знаменатель на n, величину n подвели под знак корня, применили теорему о пределе частного, использовали непрерывность функции 3 u, применили теорему о пределе суммы); 4 n б) lim 3 + n ( ( = = lim n (n + 3) ) 4 n 3 + n)/n = n (n + )/n 4 n = lim 3 /n 4 + n/n 4 4 /n + /n 3 = lim = 0 n + /n n + /n (обоснование всех операций сделать самостоятельно) Найдите следующие пределы: а) lim ( n + 6n + 8 n); б) lim ( 3 n n 3 + 4). n n Решение этих примеров основано на применении формул (a b)(a + b) = a b и a 3 b 3 = (a b)(a + ab + b ). а) lim ( n + 6n + 8 n) = ( ) = n ( n = lim + 6n + 8 n)( n + 6n n) n n + 6n n = lim n = lim n n + 6n + 8 n n + 6n n = lim n 6 + 8/n + 6/n + 8/n + = 6 + = 3; = (6n + 8)/n ( n + 6n n)/n = б) lim ( 3 n n 3 + 4) = n ( ) 3 3 ( n n 3 + 4) = lim n 3 (n 3 + ) + 3 (n 3 + )(n 3 + 4) + 3 (n 3 + 4) = n 3 + n 3 4 = lim n 3 (n 3 + ) + 3 (n 3 + )(n 3 + 4) + 3 (n 3 + 4) = 0. В приведённых примерах мы имели неопределённость вида. При этом может получиться предел конечный, отличный от нуля, равный нулю или бесконечный. Приведём примеры отыскания пределов, используя теоремы о переходе к пределу в неравенствах и о существовании предела монотонных ограниченных последовательностей [6, п. 3.5., теорема ].

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии Кафедра высшей математики Высшая математика ( семестр Разделы Функции. Пределы. Дифференцирование. Интегрирование. Основные формулы по темам

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Предел. Непрерывность. Производная. Интеграл Утверждено Редакционно-издательским

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине «Элементы высшей математики».

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине «Элементы высшей математики». МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ «ДОНСКОЙ БАНКОВСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Методические

Подробнее

Лекция 1 Вещественные числа.

Лекция 1 Вещественные числа. Лекция 1 Вещественные числа. 1. Рациональные числа. Простейшими числами являются целые положительные числа 1, 2,..., используемые при счете. Они называются натуральными числами, и люди их знали так много

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

Конспект лекций по высшей математике

Конспект лекций по высшей математике Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра высшей математики Конспект лекций по высшей математике для студентов экономических

Подробнее

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1.

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1. 1 Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Специализированный учебно-научный центр ГОУ лицей 1580. Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, 2014-2015 учебный

Подробнее

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1 Введение В курсе математического анализа первого семестра одно из центральных мест занимает теорема Ролля. Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a,

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) Кафедра "Прикладная математика-1" Ю.С.Семёнов Кафедра "Прикладная математика-1"

Подробнее

Т.Л. Сурин Ж.В. Иванова С.В. Шерегов Методические рекомендации и задания к контрольным работам 1 и 2 по математическому анализу

Т.Л. Сурин Ж.В. Иванова С.В. Шерегов Методические рекомендации и задания к контрольным работам 1 и 2 по математическому анализу Т.Л. Сурин Ж.В. Иванова С.В. Шерегов Методические рекомендации и задания к контрольным работам и по математическому анализу (для студентов I курса математического факультета заочного отделения ) Витебск

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ Т Ю Альпин, А И Егоров, П Е Кашаргин, С В Сушков ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть I: Комплексные числа Предел функции Казань 013 Печатается

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1 СЕМЕСТР)

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1 СЕМЕСТР) ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ( СЕМЕСТР) А. А. Пожарский Занятие. Принцип математической индукции. Задачи по []: 0. Задачи по [2]: 27. Занятие 2. Основные понятия комбинаторики: факториал,

Подробнее

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim Òåîðåìû î ïðåäåëàõ Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Основные теоремы о пределах. Предел числовой последовательности. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Экспонента. Натуральный логарифм.

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА ГОУВПО КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА Учебно-методическое

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова Высшая математика IV САМОУЧИТЕЛЬ

Подробнее

Лекции по математическому анализу

Лекции по математическому анализу В.Ф. Бутузов Лекции по математическому анализу Часть I Москва 2012 Б у т у з о в В. Ф. Лекции по математическому анализу. Часть I. Учебное пособие содержит первую часть курса лекций по математическому

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8.

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: 16x 10x + 2x = 8, 40x + 25x 5x = 20. Ответ: Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 1 2 + 5 8 x 1 8 x, x, x R; базисное

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов

Сборник задач для самостоятельного решения по теме Предел функции Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов ББК В 65я73-4 С 3 УДК 57 Учебное издание Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: АН Максименко, АН Морозов Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Московский физико-технический институт (государственный университет) О.В. Бесов ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть 1 Москва, 2004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Методические указания по математическому

Подробнее

Задачи по высшей математике для биологов

Задачи по высшей математике для биологов МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ БИОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Бобров А.Н. Радославова Т.В. Задачи по высшей математике для биологов МОСКВА 03 УДК

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

РАЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Министерство образования Российской Федерации Московский физико-технический институт Кафедра высшей математики РАЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Методические указания и оптимальные

Подробнее

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ ФГБОУ ВПО «ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Персиановский

Подробнее

x a x 18. Вычисление пределов lim, lim, lim.

x a x 18. Вычисление пределов lim, lim, lim. Перечень экзаменационных вопросов: 1 семестр 1. Множества и операции над ними. 2. Декартово произведение множеств. 3. Предельные точки. 4. Предел последовательности. 5. Предел функции. 6. Бесконечно малые.

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО МАТЕМАТИКЕ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ 1. Числовые множества. Арифметические действия над числами. Натуральные числа (N).

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Поверхности второго порядка. Определение функции х переменных. Геометрическая интерпретация. Частные приращения функции. Частные производные.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Подробнее

10. Определенный интеграл

10. Определенный интеграл 1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Тема 1. Множества. Введение в логику. Понятие функции. Кривые второго порядка. Основные понятия о множествах. Символика, ее использование.

Подробнее

Лекция 17: Евклидово пространство

Лекция 17: Евклидово пространство Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания При решении многих задач возникает необходимость иметь числовые

Подробнее

высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1

высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1 Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1 Линейная алгебра. Аналитическая

Подробнее

x 2 10x > x 2 10x = x(x 10) > x2 x x 2 /2 = 2 x. x 2 10x < x+ x 2 10x = 0. x 0. > 0k N : 0 < x k < и f(x k ) A = A > 0,

x 2 10x > x 2 10x = x(x 10) > x2 x x 2 /2 = 2 x. x 2 10x < x+ x 2 10x = 0. x 0. > 0k N : 0 < x k < и f(x k ) A = A > 0, Пределы Предел функции Определение предела Пусть a точка числовой прямой, a b c) Пусть функция f) опре- делена на множестве E : { b c)\{a}} Число a называется пределом функции f) при, стремящемся к a обо-

Подробнее

Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу "Методы Оптимизации"

Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу Методы Оптимизации Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию Дальневосточный государственный университет Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу "Методы Оптимизации"

Подробнее

Предел и непрерывность функций одной переменной

Предел и непрерывность функций одной переменной министерство образования и науки российской федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский

Подробнее

Программа по «Математике» (базовый уровень) Тема 1. Векторы и матрицы.

Программа по «Математике» (базовый уровень) Тема 1. Векторы и матрицы. Программа по «Математике» (базовый уровень) РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии Тема 1. Векторы и матрицы. N-мерные векторы. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА

Министерство образования и науки Российской Федерации. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА Г.Г. Литова, Д.Ю. Ханукаева ПРЕДЕЛЫ Пособие для студентов, обучающихся по специальности

Подробнее

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1 Глава 1 Основы алгебры Числовые множества Рассмотрим основные числовые множества. Множество натуральных чисел N включает числа вида 1, 2, 3 и т. д., которые используются для счета предметов. Множество

Подробнее

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012 Оценка снизу скорости блуждания решения линейного дифференциального уравнения третьего порядка через частоту нулей Тихомирова А.В. arxiv:11.6657v1 [math.ca] 9 Dec 1 В работе сравниваются две характеристики

Подробнее

Лекция 1: Комплексные числа

Лекция 1: Комплексные числа Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В школьном курсе математики понятие числа постепенно расширяется.

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Программа дополнительного образования «Программа подготовки в ВУЗ»

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Программа дополнительного образования «Программа подготовки в ВУЗ» Автономная некоммерческая организация дополнительного образования Учебный Центр при МГТУ им. Н. Э. Баумана «Ориентир» «УТВЕРЖДАЮ» Директор АНО ДО Учебный Центр при МГТУ им. Н.Э.Баумана «Ориентир» ПАНФИЛОВА

Подробнее

Т. В. Родина, Е. С. Трифанова

Т. В. Родина, Е. С. Трифанова Т В Родина, Е С Трифанова КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ I для напр «Прикладная математика и информатика» Учебное пособие под редакцией проф И Ю Попова Санкт Петербург МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Т А Матвеева В Б Светличная С А Зотова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр. 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр. 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел множество целых чисел N = {0, 1, 2, 3,..., }, Z = {0, ±1, ±2, ±3,..., } множество рациональных чисел { m }

Подробнее

Типовые задачи c решениями.

Типовые задачи c решениями. Типовые задачи c решениями. Формальное суммирование рядов. Формула рекурсии k a k a + a k k Формула умножения λ a k λa k Формула сложения k k k a k + b k a k + k b k k Пример Геометрическая прогрессия.

Подробнее

3A = A = A = 1 7 A + B = A = c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj = a is b sj

3A = A = A = 1 7 A + B = A = c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj = a is b sj Высшая математика Лекции по курсу Список литературы [] Высшая математика для экономистов Под редакцией НШ Кремера [] СА Минюк, ЕА Ровба Высшая математика [] Сборник задач по высшей математике для экономистов

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова Е. В. Мартынова, И. П. Мурзина, Т. М. Степанюк,

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ. по высшей математике

КУРС ЛЕКЦИЙ. по высшей математике Министерство образования и науки, молодежи и спорта Донецкий национальный технический университет Улитин Г.М., Гончаров А.Н. КУРС ЛЕКЦИЙ по высшей математике Учебное пособие Донецк 2011 УДК 51 (075.8)

Подробнее

Летняя школа специализированного учебно-научного центра. Методическое пособие

Летняя школа специализированного учебно-научного центра. Методическое пособие Летняя школа специализированного учебно-научного центра Методическое пособие Екатеринбург 2014 ЛЕТНЯЯ ШКОЛА (2014г) П р о г р а м м а Алгебра 1. Метод интервалов на прямой. 2. Метод областей на плоскости.

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных 1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Подробнее

Перевод на «язык равенств и неравенств»

Перевод на «язык равенств и неравенств» Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Перевод на «язык равенств и неравенств» Раздел электронного пособия «Элементарная математика» e-mail:

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр. (типовые задания С5)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр. (типовые задания С5) ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр (типовые задания С5) Прокофьев АА Корянов АГ Прокофьев АА доктор педагогических наук, заведующий кафедрой высшей математики НИУ МИЭТ, учитель математики ГОУ лицей

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования РФ Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) ЛН Романова ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Курс лекций Омск Издательство СибАДИ ЛН РОМАНОВА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ

Подробнее

7. Общий план исследования функции и построение её графика

7. Общий план исследования функции и построение её графика 7 Общий план исследования функции и построение её графика Нижеследующий план-схема исследования функции обобщает результаты, изложенные в предыдущих параграфах Исследование функции по этому плану позволит

Подробнее

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101 ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Основная 1. Бугров Я. С., Никольский С.М. Высшая математика. Т.2. Дифференциальное

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

Определенный интеграл. Несобственный интеграл.

Определенный интеграл. Несобственный интеграл. министерство образования и науки российской федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский

Подробнее

МАТЕМАТИКА Часть II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИКА Часть II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Российский государственный педагогический университет им АИ Герцена МАТЕМАТИКА Часть II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное пособие Под редакцией доктора педагогических наук Хамова

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины А. В. БУЗЛАНОВ, С. Ф. КАМОРНИКОВ, В. С. МОНАХОВ АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ.

Подробнее

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Математический анализ»

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Математический анализ» Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Математический анализ» Направление 080100 Экономика для подготовки студентов бакалавров

Подробнее

8. Определенный интеграл

8. Определенный интеграл 8. Определенный интеграл 8.. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x,..., x n, x n } [, b], что = x < x < < x n < x n =

Подробнее

Основы функционального анализа и теории функций

Основы функционального анализа и теории функций Основы функционального анализа и теории функций Лектор Сергей Андреевич Тресков 3 семестр. Ряды Фурье. Постановка задачи о разложении периодической функции по простейшим гармоникам. Коэффициенты Фурье

Подробнее

Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Равномерная непрерывность функций одной переменной. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов, Н.Т. Левашова, Н.Е. Шапкина Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Подробнее

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия 35 Глава 2 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1 Основные понятия Пусть D некоторое множество чисел Если задан закон, по которому каждому числу из множества D ставится в

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ. , если выполняются следующие три условия :

Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ. , если выполняются следующие три условия : 57 Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ Определение 1 Функция = f ( ) называется непрерывной в точке, если выполняются следующие три условия : 1) функция = f (

Подробнее

Содержание. Используемые обозначения Числовые множества и операции с числами... 14

Содержание. Используемые обозначения Числовые множества и операции с числами... 14 Содержание Используемые обозначения... 12 1. Числовые множества и операции с числами... 14 1.1. Числовые множества...............................14 1.2. Числовые промежутки...16 1.3. Признаки делимости...17

Подробнее

Характеристики учебных занятий

Характеристики учебных занятий «Шестимесячные очные подготовительные курсы по математике» Раздел 1. Характеристики учебных занятий 1.1. Цели и задачи учебных занятий Подготовка слушателей к успешной сдаче ЕГЭ (единого государственного

Подробнее

Т. В. Родина, Е. С. Трифанова ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ I

Т. В. Родина, Е. С. Трифанова ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ I Т В Родина, Е С Трифанова ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ I для напр «Прикладная математика и информатика» Учебное пособие под редакцией проф И Ю Попова Санкт Петербург 0 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

Подробнее

Д. Г. Орловский. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРАКТИКУМ Часть 1

Д. Г. Орловский. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРАКТИКУМ Часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ Д. Г. Орловский ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРАКТИКУМ Часть Рекомендовано УМО Ядерные физика и технологии

Подробнее

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ТЕХНИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (на базе

Подробнее

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ, АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ МОЛДОВА И В БЕЛОУСОВ МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ учебное пособие по линейной алгебре Издание второе, исправленное и дополненное Кишинев: 2006 УДК 519612

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный университет» А А Г О Л У Б Е В, Т А С П А С С К А Я ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

Подробнее

2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Учебная программа по дисциплине «Математический анализ» разработана для специальности «Прикладная информатика» шифр 1-31 03 07-03 высших учебных заведений. Целью изучения дисциплины

Подробнее

Лекция 14. Неопределенности и правило Лопиталя

Лекция 14. Неопределенности и правило Лопиталя СА Лавренченко 1 wwwlawrencenkoru Лекция 14 Неопределенности и правило Лопиталя Правило Лопитáля применяется при вычислении пределов для раскрытия неопределенностей типа или Раскрытие неопределенности

Подробнее

О. А. Иванов, Т. Ю. Иванова, К. М. Столбов. Алгебра в 9 классе Уроки обобщающего повторения

О. А. Иванов, Т. Ю. Иванова, К. М. Столбов. Алгебра в 9 классе Уроки обобщающего повторения О. А. Иванов, Т. Ю. Иванова, К. М. Столбов Алгебра в 9 классе Уроки обобщающего повторения Санкт-Петербург 03 УДК ББК 5(xxx) XX.xxXX X?? Иванов О. А., Иванова Т. Ю., Столбов К. М. X?? Алгебра в 9 классе.

Подробнее

Лекция 1.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними

Лекция 1.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними Лекция.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними Аннотация: В лекции указывается на необходимость обобщения понятия числа от натурального до комплексного. Вводятся алгебраическая,

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ. Кафедра, обеспечивающая подготовку программы: «Высшая математика»

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ. Кафедра, обеспечивающая подготовку программы: «Высшая математика» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ Кафедра, обеспечивающая подготовку программы: «Высшая математика» Настоящая программа состоит из трех разделов. В первом разделе перечислены основные математические

Подробнее

Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов ПРЕДЕЛЫ

Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов ПРЕДЕЛЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее