Практикум по дифференциальному исчислению

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Практикум по дифференциальному исчислению"

Транскрипт

1

2 Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Л.И. Магазинников А.Л. Магазинников Практикум по дифференциальному исчислению Учебное пособие Рекомендовано Сибирским региональным учебно-методическим центром высшего профессионального образования для межвузовского использования в качестве учебного пособия Томск ТУСУР 007

3 УДК 57.(075) ББК.я73 М Рецензенты: кафедра высшей математики Томского гос. ун-та, зав. каф.д-р физ.-мат. наук, проф. С.В. Панько; канд. физ.-мат. наук, проф. каф. высшей математики Томского политехнического ун-та Е.Т. Ивлев M Магазинников Л.И., Магазинников А.Л. Практикум по дифференциальному исчислению: учеб. пособие / Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинников. Томск: Томск. гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, с. ISBN Рассмотрены примеры решения задач по введению в математический анализ и дифференциальному исчислению скалярных и векторных функций скалярного и векторного аргументов. Приведены задачи для самостоятельной работы с указанием ответов. Для студентов и преподавателей вузов. УДК 57.(075) ББК.я73 ISBN c Томск. гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 007 c Магазинников Л.И., Магазинников А.Л., 007

4 Оглавление Предисловие Введение в математический анализ Множества. Операции над множествами. Числовые множества Функции. Простейшие свойства функций Предел функции Числовые и векторные последовательности Первый замечательный предел Второй замечательный предел Следствия второго замечательного предела Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций Непрерывность функции. Классификация разрывов функции Предел и непрерывность функции многих переменных Дифференциальное исчисление Понятия дифференцируемой функции и производной матрицы Техника дифференцирования функций скалярного аргумента Производные высших порядков функций скалярного аргумента Дифференцирование функций многих аргументов Производная по направлению Производные параметрически заданных функций Дифференцирование функций, заданных неявно

5 4 Оглавление 8. Геометрический и механический смысл производных Дифференциал Формула Тейлора Условия дифференцируемости функции. Теоремы дифференциального исчисления Правило Лопиталя Признаки постоянства и монотонности функции Экстремумы Наибольшие и наименьшие значения функции на замкнутом множестве Выпуклость и вогнутость графика функции. Точка перегиба Асимптоты графика функции Исследование функций и построение графиков Литература Ответы Приложение

6 Предисловие В практикуме рассмотрены методы решения задач по введению в математический анализ и дифференциальному исчислению. Цель его оказать помощь студентам в самостоятельной работе над учебным материалом. Преподаватели могут использовать пособие для проведения практических аудиторных занятий и организации самостоятельной работы студентов. Предлагаемый практикум составлен в полном соответствии с учебным пособием «Дифференциальное исчисление», авторы А.А. Ельцов, Г.А. Ельцова, Л.И. Магазинников. Весь материал разбит на 8 тем: 0 по введению в математический анализ и 8 по дифференциальному исчислению. Каждая тема содержит необходимые теоретические положения, которые следует изучить, прежде чем приступать к решению задач. Сначала формулируются задачи и приводятся их подробные решения. Затем даётся набор задач для самостоятельного решения в объеме, достаточном для аудиторной работы на практических занятиях и для самостоятельной работы. Пособие применялось в учебном процессе и получило положительные отзывы от студентов и преподавателей. Программа раздела «Дифференциальное исчисление» курса высшей математики Множества, операции над множествами, числовые множества и их границы, свойства числовых множеств. Модуль вещественного числа и его свойства, обозначения числовых множеств, наиболее часто встречающихся на практике, системы окрестностей в R и R n. Функции, или отображения. Понятие функции. Классификация функций по размерностям соответствующих множеств, основные свойства функций. Композиция отображений, обратная функция. Предел функции. Понятие предела функции на языке окрестностей. Последовательность и ее предел, понятие предела функции на языке последовательностей, односторонние пределы, двойные и повторные пределы. Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных

7 6 Предисловие функций. Разрывы функции. Классификация разрывов. Замечательные пределы и их следствия. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Теоремы о свойствах бесконечно малых и бесконечно больших функций. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Дифференцируемые отображения. Понятие производной матрицы и дифференциала. Строение производной матрицы. Таблица производных. Некоторые правила дифференцирования, производная композиции отображений, производная обратной функции, производная по направлению. Производные высших порядков. Частные производные высших порядков. Параметрически и неявно заданные функции и их дифференцирование. Геометрический и механический смысл производных. Уравнение касательной к кривой. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности. Дифференциал функции и его строение для различных классов функций. Инвариантность формы записи первого дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора и ее применение в приближенных вычислениях. Основные теоремы дифференциального исчисления. Достаточные условия дифференцируемости функции. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Условия постоянства, монотонного возрастания и убывания функций. Экстремумы. Необходимые условия экстремума для скалярных функций от одного и многих аргументов. Достаточные условия экстремума для функций одного и многих переменных. Условные экстремумы. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на замкнутом множестве. Выпуклость вверх и вниз графика функции. Асимптоты. Общая схема исследования функции и построение графиков.

8 Введение в математический анализ. Множества. Операции над множествами. Числовые множества Напомним, что операцию сложения (объединения) двух множеств A и B можно обозначать либо A B, либо A + B, а операцию умножения (пересечения) в виде A B или A B, разность множеств можно обозначать либо A \ B, либо A B... Даны два числовых множества: A = {;5;6;9} и B = {;4;5;8;9}. Перечислите элементы множеств A + B, A B, A B, B \ A. Решение. Множество A + B A B согласно определению суммы множеств состоит из тех и только тех элементов, которые входят либо в A, либо в B. Поэтому A+B = {;5;6;9;;4;8}. Множество A B A B состоит из всех элементов, которые принадлежат одновременно множеству A и множеству B. В нашем примере это элементы 5 и 9, следовательно, A B = {5;9}. Множество A \ B содержит только те элементы из множества A, которые не входят в B. В нашем случае A\B A B = = {;6}. Множество B A состоит из тех элементов множества B, которые не входят в A, поэтому B \ A B A = {;4;8}. При построении той или иной теории предполагают, что рассматриваемые в этой теории множества A, B, C,... принадлежат некоторому множеству Ω, называемому универсальным. Например, если мы решили изучать множество целых положительных чисел, не превышающих 0, то Ω = {;;3;... 0}. Если изучают все целые положительные числа, то Ω совпадает с натуральным рядом N, и т.д. Множество всех элементов из Ω, которые не входят в множество A, называется дополнением A или отрицанием A и обозначается Ā... Пусть Ω = {;;3;... 0} универсальное множество, A = {;4;6;8;0}. Найдите Ā. Решение. По определению множество Ā состоит из тех элементов Ω, которые не входят в A, следовательно, Ā = {;3;5;7;9}.

9 8 Введение в математический анализ.3. Докажите справедливость равенства (A + B) C = = A C + B C для любых множеств A, B, C. Решение. Два множества D и F называются равными, если D F и F D. По определению соотношение D F означает, что любой элемент x множества D (x D) принадлежит множеству F (x F ), а из условия F D следует, что если x F, то x D. Поэтому для доказательства справедливости равенства (A + B) C = A C + B C надо доказать, что (A + B) C (A C + B C) и (A C + B C) (A + B) C. Докажем первое соотношение. Пусть x (A + B) C любой элемент. По определению произведения множеств это означает, что x (A + B) и x C. Из определения суммы множеств и условия x (A + B) следует, что либо x A, либо x B, а поскольку x C, то либо x A C, либо x B C. Поэтому x (A C + B C). Так как x любой элемент из (A + B) C, то этим мы доказали, что (A + B) C (A C + B C). Докажем второе соотношение. Пусть теперь x любой элемент из множества A C + B C. Это означает, что либо x A C, либо x B C. Это возможно, если либо x A и x C, либо x B и x C, следовательно, x (A + B) и x C, т.е. x (A + B) C. Мы доказали, что (A C + B C) (A + B) C. Из доказанных включений следует, что (A + B) C = A C + B C..4. Докажите, что Ā + B = (A B). Решение. Чтобы доказать данное равенство, нужно доказать, что (Ā + B) A B и A B (Ā + B). Докажем сначала, что (Ā + B) A B. Пусть x Ā + B, тогда либо x Ā, либо x B, т.е. либо x / A, либо x / B, следовательно, x / A B, a потому x A B. Так как x любой элемент из Ā + B, то мы доказали, что (Ā + B) A B. Пусть теперь x A B. По определению отрицания x / A B, т.е. либо x / A, либо x / B, следовательно, либо x Ā, либо x B, a потому x (Ā + B). Мы доказали, что A B (Ā + B). Равенство (Ā + B) = A B доказано.

10 . Множества. Операции над множествами 9.5. Докажите, что если A B = A, то B A. Решение. Пусть x любой элемент из B. Так как A B = A, то это означает, что x A, т.е. B A..6. Докажите, что если A + B = B, то A B. Решение. Пусть x любой элемент из A. По определению суммы x (A + B). Но поскольку A + B = B, то x B, следовательно, A B..7. Даны два множества: A отрезок [ 3;4] и B интервал (;6). Охарактеризуйте множества A + B, A B, A \ B, B \ A, Ā, B. В качестве универсального множества Ω принять всё множество вещественных чисел (, + ). Решение. Строим множества A и B на числовой оси (рис..). Непосредственно из определения операций над множествами и рисунка следует, что A + B совпадает с Рис.. полуинтервалом [ 3;6), множество A B есть полуинтервал (;4], множество A\B совпадает с [ 3;], а множество B \ A является интервалом (4;6). Множество Ā состоит из точек, расположенных на лучах ( ; 3) и (4; + ), а множество B есть ( ;] [6; + )..8. Даны два множества: A интервал ( ;5) и B отрезок [;3]. Опишите множества A + B, A B, A \ B, B \ A. Решение. Строим множества A и B (рис..). Видим, что A + B = A, A B = B, множество A \ B состоит из объединения интервалов ( ;) (3;5), B \ A = Ø. Рис...9. Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам: а) y x, x (множество A); б) y x, x + y 4 (множество B).

11 0 Введение в математический анализ Решение. Строим параболу y = x и прямую x =. Границы множества A расположены на этих линиях. Множество A является пересечением двух множеств: F множества точек, расположенных ниже верхней и выше нижней ветвей параболы y = x, и G множества точек, расположенных слева от прямой x =. На рис..3а множество A изображено заштрихованной областью A0B. Множество B изображено на рис..3б. а б Рис Найдите множество X всех решений неравенства x < 3 и укажите точную нижнюю и точную верхнюю границу множества X. Решение. По определению арифметического корня данное неравенство эквивалентно неравенству x < 3. Так как x, если x < 0, x = x, если x > 0, 0, если x = 0, то x > 3 и x < 3, поэтому 3 < x < 3. Таким образом, множество X является интервалом ( 3;3). Докажем, что sup X = 3. Действительно, все числа множества X меньше трёх, т.е. 3 является верхней границей. Покажем, что это наименьшая из

12 . Множества. Операции над множествами всех верхних границ. Предположим противное, что существует граница α, меньшая 3, но большая 3. По свойству плотности множества вещественных чисел между числами α и 3 найдётся число α 0, принадлежащее X. Так как α 0 > α, то α не является верхней границей вопреки предположению, т.е. верхних границ, меньших 3, не существует. Следовательно, число 3 является точной верхней границей, т.е. sup X = 3. Аналогично показывается, что inf X = 3... Найдите множество X всех решений неравенства x 6x + 8 > x 6x + 8. Решение. Неравенство a > a выполняется только при a < 0. Поэтому данное неравенство выполняется только для тех x, для которых x 6x + 8 < 0 или (x )(x 4) < 0, откуда < x < 4, т.е. X есть интервал (;4). Задачи для самостоятельного решения.. Даны множества: A = {,7,8,0}, B = {,,4,8}, C = {,3,5,6,8}. Охарактеризуйте множества: а) A + B, б) B + C, в) A B C, г) A \ B, д) C \ B..3. Пусть Ω натуральный ряд чисел (универсальное множество). Его подмножества: A множество чётных чисел; B множество чисел, делящихся на 4; C множество чисел, делящихся на 8. Охарактеризуйте множества: а) A+B, б) A+C, в) B + C, г) A B, д) A C, е) B C, ж) B \ A, з) C \ A, и) A \ B, к) B \ C, л) C \ B, м) Ā..4. Докажите, что A + A B = A..5. Докажите, что (A \ B) + (B \ A) + A B = A + B..6. Докажите, что A + B = Ā B..7. Докажите, что из условия A B следует B Ā, а из условия B Ā следует A B..8. Даны два множества: A интервал ( 5;3) и B отрезок [ 3;5]. Охарактеризуйте множества: а) A + B, б) A B, в) A\B, г) B\A, д) Ā, е) B. (В качестве универсального принять всё множество вещественных чисел ( ; + ).)

13 Введение в математический анализ.9. Даны два множества: A отрезок [;0] и B полуинтервал [;6). Охарактеризуйте множества: а) A + B, б) A B, в) A \ B, г) B \ A..0. Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам: а) x + y, x + y ; б) x + y, y x, x 0; в) y x, y x... Пусть X множество всех решений неравенства x 3x 4 < 0. Найдите sup X, inf X... Найдите множество X всех решений неравенства x + 4 < 5 и укажите sup X..3. Найдите множество X всех решений неравенства x + > Убедитесь, что множество X всех решений неравенства x 5x + 6 > 0 не ограничено ни сверху, ни снизу..5. Пусть b и ε любые положительные числа. Докажите эквивалентность следующих неравенств: а) a b и b a b; б) a b < ε и b ε < a < b + ε; в) a > b и a < b или b < a; г) a b ε и a b ε или b + εa..6. Запишите без знака модуля следующие выражения: а) f (x) = x x + ; б) f (x) = 3x 6 x + + x + 4 ; в) f 3 (x) = x ; г) f 4 (x) = x 3 x..7. Найдите множество всех решений следующих уравнений: а) x + x + 5 = ; б) x x = 0,; в) x + + x = 3; г) x 6 x = 3; д) x = 4; е) 3 x = x.

14 . Функции. Простейшие свойства функций 3.8. Найдите множество всех решений следующих неравенств: а) x + x < 4; б) x + > x 4; в) x + 3 4x 3 < ; г) x + < x.. Функции. Простейшие свойства функций Чтобы определить функцию f : X R n Y R m, нужно задать два множества X R n и Y R m и установить правило f, по которому можно каждому элементу x из множества X сопоставить элемент y из множества Y. Здесь R n и R m точечновекторные линейные евклидовы пространства размерности n и m соответственно, в которых выбраны некоторые декартовы системы координат. Тогда каждый элемент x из R n, называемый точкой или вектором, может быть задан как упорядоченная совокупность n действительных чисел (α, α,..., α n ). (Для R m таких чисел m.) В R n введено понятие расстояния r(m, M ) между любыми его точками M (α, α,..., α n ) и M (β, β,..., β n ) соотношением r(m, M ) = (α β ) + (α β ) (α n β n ). Пространство R будем отождествлять с множеством вещественных чисел R. В зависимости от значений n и m различают четыре класса функций.. n =, m =, f : X R Y R числовые функции одного числового аргумента. Функции этого класса изучаются в средней школе, например, y = sin x, y = tg x, y = log a x, y = a x и т.д.. n конечно, произвольно, m =, f : X R n Y R числовая функция векторного аргумента или числовая функция n числовых аргументов y = f(x, x,..., x n ).

15 4 Введение в математический анализ Например, если x высота треугольника, а x длина основания, то его площадь S есть функция двух аргументов S = S(x, x ) = (/)x x ; если x высота кругового конуса, а x радиус его основания, то объём конуса V = V (x, x ) = (/3)πx x, т.е. является также функцией двух аргументов; расстояние от точки M(x, y, z) до начала координат является функцией трёх аргументов r(x, y, z) = x + y + z. 3. n =, m произвольно, конечно, f : X R Y R m векторная функция числового аргумента: каждому вещественному числу x из X сопоставляется некоторый m-мерный вектор. Функцию этого типа можно задать в виде f(x) = f (x) f (x) f m (x) = [f (x), f (x),..., f m (x)] T, где f (x), f (x),..., f m (x) числовые функции числового аргумента. Их называют координатными. При m = и m = 3 данные функции широко используются в физике для описания движения точки на плоскости или в пространстве. При этом в качестве аргумента x t + 3 принимают время t. Например, функция f(t) = 4t + 5 t + описывает движение точки по прямой линии, параллельной вектору l = {; 4;}, проходящей через точку M 0 (3;5;) в момент времени t = 0. В момент времени t = точка займёт положение M (5;;). [ ] t Функция ϕ(t) = t описывает движение точки по + 4 параболе y = x n и m произвольные конечные числа, т.е. f : X R n Y R m. Каждому вектору (x, x,..., x n ) из множества X ставится в соответствие m-мерный вектор

16 . Функции. Простейшие свойства функций 5 (y, y,..., y m ) из множества Y. Функцию этого класса можно задать в виде Функции f(x) = f (x, x,..., x n ) f (x, x,..., x n ) f m (x, x,..., x n ). f (x, x,..., x n ), f (x, x,..., x n ),..., f m (x, x,..., x n ) также называют координатными. Подобные функции применяются для изучения процессов, зависящих от многих параметров, а также при переходе от одних переменных к другим в задачах преобразования областей. Простейшим примером таких функций являются линейные операторы, изученные нами в линейной алгебре. Линейный оператор A : R n R m, как известно, может быть задан в виде a x + a x a n x n f(x) = a x + a x a n x n, a mx + a mx a n mx n где a k i = const. В этом случае все координатные функции являются линейными. Функции f : X R n Y R m также широко применяются в физических задачах для описания векторных полей. [ ] f (x, y) Пусть n =, m =. Тогда f(x, y) =. Каждой точ- f (x, y) ке (x, y) плоскости сопоставляется вектор a(x, y) с координатами. Такую конструкцию называют плоским век- [ ] f (x, y) f (x, y) торным полем. Если n = 3, m = 3, то каждой точке M(x, y, z) P (x, y, z) сопоставляется трёхмерный вектор a(x, y, z) = Q(x, y, z). R(x, y, z)

17 6 Введение в математический анализ Получаем пространственное векторное поле. Если в точку M(x 0, y 0, z 0 ) поместить некоторую массу, то она порождает поле тяготения. Каждая массивная точка будет испытывать силу тяготения этой точки, которую можно определить с помощью известной формулы Ньютона. Пусть n =, m = 3. Каждой точке плоскости (x, y) сопоставляется некоторый вектор в трёхмерном пространстве, т.е. плоскость по каким-то законам порождает в пространстве векторное поле. Этот закон и описывается функцией P (x, y) f(x, y) = Q(x, y). R(x, y) Как видим, функции f : X R n Y R m можно применять для описания векторных полей различного строения, а также для описания законов движения точки в многомерных пространствах. Изучение векторных функций, т.е. функций третьего и четвёртого типов, сводится к изучению функций первых двух типов их координатных функций. Графиком функции f : X R n Y R m называют множество точек (x, f(x)) в (n + m)-мерном пространстве. В частности, при n = m = имеем некоторое множество точек (x, y) на плоскости. При n =, m = 3 графиком будет некоторая пространственная кривая, а при n =, m = графиком является поверхность. При n =, m = графиком является множество точек (x, x, f (x, x ), f (x, x )) четырёхмерного пространства. Четырёхмерное пространство не допускает наглядного изображения, поэтому договорились брать два экземпляра плоскостей: (O, x, x ) и (O, y, y ). В первой из них строят область определения X функции, а во второй область Y значений функции f. В этом случае говорят, что функция f отображает область X в области Y. Более подробно этой проблемы мы коснёмся в интегральном исчислении функций многих переменных, где будут приведены многочисленные примеры отображения областей.

18 . Функции. Простейшие свойства функций 7.. Пусть f(x + 3) = x + 4x + 5. Найдите f(x). Решение. Преобразуем выражение A = x + 4x + 5. Можем записать: A = (x + 3) 6x 9 + 4x + 5 = (x + 3) x 4 = = (x + 3) (x + 3) = (x + 3) (x + 3) +. Отсюда следует, что f(x) = x x +. (.. Дано, f = x x) + 4. Найдите f(x). Решение. Обозначим x = u. Тогда x = u, f(u) = u + 4 = 4u + u. Обозначая аргумент через x, получим f(x) = 4x + x..3. Даны функции f(x) = x x + 3, ϕ(x) = x +. Найдите f[f(x)], ϕ[ϕ(x)], f[ϕ(x)], ϕ[f(x)]. Решение: ( x ) x + 3 f[f(x)] = ( x ) x = (x + ) x 4 + 4x + 7 ; ϕ[ϕ(x)] = = (x ) (x + 3) (x ) + 3(x + 3) = x + + = ( ) x + (x + ) f[ϕ(x)] = = (x + ) (x + ) ; ϕ[f(x)] = x = x + 3 x x +. x + + x ;

19 8 Введение в математический анализ.4. Даны функции f(x) = x, ϕ(x) = sin x. Найдите f[f(x)], ϕ[ϕ(x)], f[ϕ(x)], ϕ[f(x)]. Решение. f[f(x)] = x = 4 x; ϕ[ϕ(x)] = sin(sin x); f[ϕ(x)] = sin x; ϕ[f(x)] = sin( x)..5. Найдите область определения следующих функций: а) f(x) = x x + ; 3 + x x 5x x б) f(x) = lg. 4 Решение: а) область определения данной функции состоит из тех значений x, для которых оба слагаемых принимают действительные значения. Должны выполняться два условия: { (x x ) 0, (3 + x x ) > 0. Корнями квадратного уравнения x x = 0 являются числа и, a уравнения 3 + x x = 0 числа и 3. Поэтому данная система эквивалентна системе { (x + )(x ) 0, (x + )(x 3) < 0. Используя метод интервалов, находим, что первое неравенство выполняется на лучах ( ; ] и [; + ), а второе в интервале ( ;3). Общей частью этих трёх множеств является множество [;3), которое и есть область определения данной функции; 5x x б) функция f(x) = lg принимает действительные значения, если lg 0, т.е. если, или 4 5x x 5x x 4 4 x 5x + 4 = (x )(x 4) 0. Решая последнее неравенство, находим, что областью определения является отрезок [;4].

20 . Функции. Простейшие свойства функций 9.6. Найдите область определения и постройте её для следующих функций f : X R Y R: а) f(x, y) = 4 x y + x + y ; б) f(x, y) = arcsin x + y ; в) f(x, y) = + (x y) ; г) f(x, y) = y. x Предлагается решить самостоятельно..7. Найдите область определения следующих векторных функций скалярного аргумента: x x + 4 x а) f(x) = ; б) ϕ(x) = lg arccos x +. x + 4 Решение. Чтобы найти область определения векторной функции, нужно найти области определения каждой координатной функции и взять их общую часть. В случае а) имеем: f (x) = x, f (x) = lg x +. Функция f (x) определена на всей числовой оси ( ; + ), а функция f (x) определена при >0, т.е. при x > или в интервале ( ; + ). Этот луч x + и является областью определения функции f(x). В случае б) f (x) = x + 4 x. Эта функция определена на отрезке [;4], функция f (x) = arccos x + определена 4 при x + 4, т.е. x + 4 или 4 x + 4. Получаем отрезок [ 5;3]. Этот отрезок с отрезком [;4] имеет общую часть [;3]. Отрезок [;3] является областью определения функции ϕ(x)..8. Найдите область определения векторной функции векторного аргумента f : X R Y R : [ ] x + arcsin y f(x, y) =. y + arcsin x

21 0 Введение в математический анализ Решение. Область определения этой функции является пересечением областей определения координатных функций f (x, y) = x + arcsin y и f (x, y) = y + arcsin x. Первая из них определена в полосе y, а вторая в полосе x. Эти полосы пересекаются по замкнутому квадрату со сторонами x = ± и y = ±, который и является областью определения данной функции..9. Функция f(x) определена на отрезке [;4]. Какова область определения функций: а) f(8x ); б) f(x 3). Решение: а) функция f(8x ) является композицией функций u = 8x и f(u). Область значений функции u = 8x должна входить в область определения функции f(u), поэтому 8x 4, т.е. /4 x /. Отсюда следует, что множество [ / ; /] [/;/ ] является областью определения функции f(8x ); б) функция f(x 3) определена при всех x, удовлетворяющих неравенству x 3 4, т.е. на отрезке [5;7]..0. Докажите, что функция f (x) = lg x + x является нечётной, f (x) = x 3x + 3 x чётной, а функция f 3(x) = x 3 x + общего вида (не является ни чётной, ни нечётной). Решение: f ( x) = lg + x ( ) x x = lg = lg x + x + x = f (x); f ( x) = x 3 x + 3 x = x/3x + /3 x = x3x + 3 x = = x 3x + 3 x = f (x), т.е. функция f (x) нечётна, а f (x) чётна; f 3 ( x) = x 3 + x +. Видим, что f 3 (x) f 3 ( x) и f 3 ( x) f 3 (x), т.е. функция f 3 (x) общего вида.

22 . Функции. Простейшие свойства функций.. Докажите, что если f(x) периодическая функция с периодом T, то функция f(ax) также периодическая с периодом T/a. Решение. Действительно, f[a(x + T/a)] = f(ax + T ) = f(ax), т.е. T/a один из периодов функции f(ax)... Найдите период функции f(x) = cos x. Решение. Можем записать: cos + cos x x =. Видим, что период функции cos x совпадает с периодом функции cos x. Так как период функции cos x равен π, то согласно задаче. период функции cos x равен π..3. Найдите период функций: а) f(x) = sin πx; б) f(x) = cos x. Ответ: а) T = ; б) T = π. Задачи для самостоятельного решения.4. Пусть f(x) = x и ϕ(x) = x. Найдите: а) f[ϕ(x)], б) ϕ[f(x)]..5. Найдите f(x + ), если f(x ) = x..6. Дана функция f(x) = x. Найдите ϕ(x) = f{f[f(x)]}..7. Дана функция f(x) = 3x 4x. Докажите, что функция f(x + ) может быть представлена в виде f(x+) = = Ax + Bx + C. Найдите значения констант A, B, C..8. Даны две линейные функции f (x) = 5x + 4 и f (x) = 3x. Докажите, что функция f(x) = f [f (x)] также линейна, т. е. имеет вид f(x) = Ax + B. Найдите значения констант A и B..9. Даны две функции f (x) = 3x + 7 5x + 6 и f (x) = 5x + 4 x 8, называемые дробно-линейными. Докажите, что функция f(x) = f [f (x)] также дробно-линейна, т. е. имеет вид f(x) = Ax + B. Укажите значения констант A, B, C, D. Cx + D

23 Введение в математический анализ.0. Для некоторой функции f : X R Y R известно, что f(3x + 5) = 45x x + 3. Докажите, что функция f(x) может быть представлена в виде f(x) = Ax + Bx + C. Найдите значения констант A, B, C... Найдите область определения следующих функций: а) f(x) = x + ; б) f(x) = lg + x x ; в) f(x) = + x x ; г) f(x) = arcsin(log x); д) f(x) = cos(sin x) + arcsin + x x... Найдите область определения следующих функций: а) f(x) = x + 33x + 70; б) f(x) = x + 6x + 68 ; в) f(x) = lg[( + x)( x)]; г) f(x) = arcsin x + x 6 ; д) f(x) = (x + 9)(x + 8)(x 4); 5 е) f(x) = arcsin x ; ж) f(x) = x + 3x arcsin x Постройте область определения следующих функций: а) f(x, y) = log (x + y); б) f(x, y) = x y ; в) f(x, y) = arcsin x + y ; 4 г) f(x, y) = xy..4. Найдите область определения следующих функций: lg x 3 x arcsin а) f(x) = ; б) f(x) = 5. x 4x 3 x

24 . Функции. Простейшие свойства функций 3.5. Найдите и постройте область определения следующих функций: [ ] 4x y а) f(x, y) = lg( x y ; ) [ x + x + y б) f(x, y) = ]. x x + y.6. Докажите, что функции а) f (x) = x, f (x) = x + x, f 3 (x) = x + + x чётные; б) ϕ (x) = x x, ϕ (x) = 3x + 3 x, ϕ 3 (x) = lg + x x нечётные; в) ψ (x) = sin x cos x, ψ (x) = x x, ψ 3 (x) = x 3 + x общего вида..7. Даны функции: а) y = sin x; б) y = sin x ; в) y = + tg x; г) y = sin x. Какие из них являются периодическими?.8. Докажите, что функция y = x имеет обратную, + x и найдите её..9. Докажите, что функция y = x x имеет две обратных: y = + x + и y = x Докажите, что следующие функции ограничены снизу: а) f (x) = x 6 6x 4 + x ; б) f (x) = x 4 8x 3 + x..3. Докажите, что следующие функции ограничены сверху: а) f (x) = 4x 6x + 36 ; б) f 5 (x) = 5x 0x + 55.

25 4 Введение в математический анализ.3. Найдите наименьшее и наибольшее значения следующих функций: а) f (x) = 3 sin x + 4 cos x; б) f (x) = 5 sin x + cos x..33. Охарактеризуйте вид графика следующих функций: а) z = x y ; б) z = x + y ; в) z = x + y ; г) z = x y..34. Начертите линии уровня данных функций, придавая z значения от 3 до +3 через : а) z = xy; б) z = y(x + )..35. Постройте график функции y = 3(x + ) 0,5 с помощью преобразования графика функции y = x..36. Постройте график функции y = 3 sin(x 4) с помощью преобразования графика функции y = sin x..37. Применяя элементарное исследование функций (без использования производной), постройте графики следующих функций: а) y = x + ; б) y = x x + ; в) y = x 4 x + 5; г) y = x + 4x + 5 ; д) y = x 5 x 3 ; е) y = x + 6x Постройте графики следующих функций: x, если < x < ; а) f(x) = x +, если x 3; 4, если 3 < x < + ; б) f(x) = x + x + 3 ; в) f(x) = x x + ; г) f(x) = sin x + sin x, если 0 x 3π; д) f(x) = arccos(cos x); [ t + 5 е) f(t) = t 7 ] ; ж) f(t) = [ t + t + t + ].

26 3. Предел функции 5 3. Предел функции Рекомендуется по учебному пособию [6] изучить подразделы.4 и.5. Следует обратить особое внимание на подраздел.4 и знать все типы окрестностей, их обозначения и формы записи в виде неравенств. Утверждение lim f(x) = A означает: для любой окрестности U(A) (в частности, сколь угодно малой) элемента A най- x x 0 дётся проколотая окрестность V (x 0 ) элемента x 0 такая, что из условия x V (x 0 ) X следует, f(x) U(A), где X область определения функции f(x), а x 0 предельная точка множества X. Часто вместо произвольной окрестности U(A) рассматривают симметричную окрестность U ε (A). При этом окрестность V (x 0 ) может получиться как симметричной, так и несимметричной, но из всякой несимметричной окрестности можно выделить симметричную V δ (x 0 ). Поскольку окрестность V (x 0 ) проколотая, т.е. не содержит точку x 0, то x x 0, и в точке x 0 функция f(x) может быть не определена. Чтобы доказать, что lim f(x) = A, достаточно найти x x 0 множество {x} тех значений x, для которых справедливо включение f(x) U(A) для любой окрестности U(A). Если найденное множество {x} является окрестностью x 0, то утверждение lim f(x) = A справедливо, в противном случае оно x x 0 неверно. В частности, если функция f(x) в точке x 0 определена и lim f(x) = f(x 0 ), то множество {x} будет содержать и x x 0 точку x 0. Приведённое определение предела применимо для любого класса функций. В этом разделе мы будем в основном заниматься числовыми функциями одного числового аргумента. 3.. Исходя из определения предела, доказать: а) lim x = x 0 ; б) lim x x 0 x x = ; в) lim x + x = lim x x = lim x x = 0;

27 6 Введение в математический анализ г) lim = + ; д) lim x 0+0 x x 0 0 x = ; е) lim x x ; ж) lim x x = 4. Решение: а) утверждение lim x = x 0 непосредственно x x 0 следует из определения предела. Если окрестность U ε (x 0 ) ( x x 0 < ε) дана, то в качестве окрестности V δ (x 0 ) можно принять x x 0 < δ = ε, т.е. положить δ = ε; б) докажем, что lim x =. По определению предела мы( должны ) доказать, что для любой заданной окрестности U ε, ε > 0 существует окрестность V () такая, что если x V (), то x < ε, т.е. ( x U ε, что равносильно следующим двум ) неравенствам: Рис. 3. x ε < x < +ε или ε < x < + ε. Так как при достаточно малом ε все части этого неравенства положительны, то + ε < x < ε. Очевидно, + ε <, ε >, следовательно, множество ( ) + ε, ε является окрестностью точки x 0 = (несимметричной). Существование требуемой окрестности V () доказано (рис. 3.).

28 3. Предел функции 7 Можно для наглядности эту окрестность записать в виде ( 4ε + ε, + 4ε ) и считать ε V () = V δ,δ (), где δ = в) докажем, что lim x + x = 0. По определению мы должны доказать, что для любой окрестности U ε (0) точки y = 0 существует окрестность V (+ ) элемента + такая, что если x V (+ ), то x < ε, или x < ε. Так как x +, то можно считать, что x > 0, поэтому знак модуля можно опустить 4ε + ε, δ = 4ε ε. Рис. 3. и записать x < ε или x > ε = M. Множество x > M есть V M (+ ) согласно определению окрестности элемента +. Существование окрестности V (+ ), удовлетворяющей соответствующим условиям, доказано. Тем самым доказано, что lim x + = 0 (рис. 3.). x lim x x = 0 предо- Доказательство равенств ставляем читателю. lim x x = 0 и

29 8 Введение в математический анализ Подчеркнём, что равенство равенствам: U M (+ ) lim x x = 0 и } {{ } V + /M (0) Рис. 3.3 lim x x = 0 равносильно двум lim x + x = 0; г) докажем ра- венство lim x 0+0 x = +. Нужно доказать, что для любой окрестности U M (+ ) существует правая полуокрестность V δ + (0) (0 < x < δ) такая, что если x V δ + (0), то x U M(+ ). Последнее означает, что x > M. Так как x > 0, M > 0, то 0 < x <. Если поло- M жить δ = M +, то требуемая окрестность V δ (0) найдена и равенство lim = 0 доказано (рис. 3.3). x 0+0 x Аналогично можно доказать, что lim = (предлага- x 0 0 x ем проделать это самостоятельно); е) докажем, что lim. Предположим противное, т.е. x x что lim равен двум. Это означало бы: для любой окрестности U ε () существует окрестность V () такая, что если x x x V (), то x U ε(), т.е. x < ε, или ε < x < ε +.

30 3. Предел функции 9 Так как все части неравенства можно считать положительными, то + ε < x <. Только для этих значений x выпол- ε няется x < ε. Но точка x = в найденную окрестность ( ) + ε ; при малом ε не входит, т.е. данное множество ε не является окрестностью точки. Таким образом, требуемая окрестность V () не существует, а потому lim не может равняться двум; x x ж) докажем, что lim x x = 4. Требуется показать, что для любой достаточно малой окрестности U ε (4) существует окрестность V () точки такая, что если x V (), то x U ε (4), т.е. x 4 < ε, или ε < x 4 < ε, 4 ε < x < 4 + ε. Так как x, то можно считать, что x > 0, при x > 0 функция y = x монотонно возрастает, поэтому 4 ε < x < 4 + ε. Поскольку x > 0, то знак модуля можно опустить и записать 4 ε < x < 4 + ε. Точка x = принадлежит интервалу ( 4 ε; 4 + ε), т.е. этот интервал является окрестностью точки, удовлетворяющей требуемому условию, которую и принимаем в качестве V (). Существование V () доказано, а этим доказано, что lim x x = Докажите самостоятельно, что lim = +, x x 0 +0 x x 0 lim x x 0 0 x x 0 =. Указание: сделать замену x x 0 = t и применить задачу Используя теоремы о пределе произведения суммы и частного, докажите, что: а) lim x x 0 x n = x n 0 ; б) lim x x 0 P n (x) = lim x x 0 (a 0 x n + a x n a n x + a n ) = = a 0 x n 0 + a x n a n x 0 + a n ;

31 30 Введение в математический анализ в) lim x x 0 P n (x) Q m (x) = lim x x 0 a 0 x n + a x n a n x + a n b 0 x m + b x m b m x + b m = = a 0x n 0 + a x n a n x 0 + a n b 0 x m 0 + b x m, b m x 0 + b m где n и m натуральные числа, a i и b i константы, b 0 x m 0 + b x m b m x 0 + b m 0, x 0 конечно. Решение: а) можем записать: lim x n = lim (x x x). x x 0 x x 0 Так как lim x = x 0, то по теореме о пределе произведения x x 0 lim x n = lim x lim x x x 0 x x 0 x x 0 lim x = x n x x 0 ; 0 б) функция P n (x) представляет собой сумму ( + n) слагаемых, каждое из которых имеет конечный предел, например, lim a 0x n = lim a 0 lim x n = a 0 x n n x x 0 x x 0. Поэтому б) следует из теоремы о пределе суммы; 0 в) следует из теоремы о пределе частного, суммы и произведения. Функцию P n (x) в задаче 3.3 называют многочленом или полиномом порядка n (если a 0 0) Вычислите следующие пределы: а) lim x (x + 3x + 4); б) lim x 3 x + x 3 x + 4x 5. Решение. На основе доказанного в задаче 3.3, п. б) можем записать: lim(x + 3x + 4) = = 4; x x + x 3 lim x 3 x + 4x 5 = = Найдите A = lim x 5x 0x + 5 3x 5x +. Решение. В данном случае применить теорему о пределе частного невозможно, так как знаменатель обращается при x 0 = в нуль. Заметим, что и числитель при x 0 = также обращается в нуль. Получаем неопределённое выражение типа 0/0. Мы уже подчёркивали, что в определении предела при x x 0

32 3. Предел функции 3 величина x никогда не принимает значение x 0. В нашем примере x, а потому x 0. Разлагая на множители числитель и знаменатель, получаем 5x 0x + 5 A = lim x 3x 5x + = lim 5(x )(x 3) x 3(x )(x 4). Поделим числитель и знаменатель на величину x, отличную от нуля. Получим A = lim = 5(x 3) 5( 3) x 3(x 4) 3( 4) = 0 9. x 3 + 5x + 3x Найдите A = lim x 3 x 3 3x 45x 8. Решение. Убеждаемся, что числитель и знаменатель в точке x 0 = 3 обращаются в нуль. По теореме Безу многочлены в числителе и знаменателе делятся на x + 3. Выполняя это деление, получаем A = lim x 3 (x + 3)(x + x 3) (x + 3)(x 6x 7) = lim x 3 (x + x 3) (x 6x 7) (числитель и знаменатель разделили на x + 3 0). Замечаем, что числитель и знаменатель опять обращаются в нуль при x 0 = 3. Находим (x + 3)(x ) A = lim x 3 (x + 3)(x 9) = lim (x ) x 3 (x 9) = = 4 = 3. x Найдите A = lim x 3x + 5. чим A = Решение. Поделим числитель и знаменатель на x. Полу- + 4/x lim. Применяя теорему о пределе частно- x 3 + 5/x го и суммы и учитывая, что lim x + 4/x A = lim x 3 + 5/x = = 0, lim = 0, находим x x x

33 3 Введение в математический анализ 7x 4 + x Найдите A = lim x 5x 4 + x 3 + x. Решение. Поделив числитель и знаменатель на x 4, получим 7 + /x 4/x 4 A = lim x 5 + /x + /x /x 4. Затем применяем теоремы о пределе суммы, произведения и частного. Учитывая, что lim x x = 0; получаем, A = 7 5. lim 4 x x 4 = 0; lim x x = lim x x = lim x x 4 = 0, + /x + /x 4 x 4 + x Найдите A = lim x x 3 + 4x +. Решение. Поделим числитель и знаменатель на x 4. Получим A = lim x /x + 4/x 3 =, поскольку числитель + /x4 стремится к единице, а знаменатель к нулю. В некоторых случаях, встречающихся довольно часто, функция f(x) может быть определена во всей окрестности V (x 0 ), включая и x 0. Если при этом окажется, что lim f(x) x x 0 существует и равен f(x 0 ), т.е. lim x x 0 f(x) = f(x 0 ), то функция называется непрерывной в точке x 0. В задаче 3.3 мы доказали непрерывность многочлена. Доказаны следующие теоремы, которые мы будем применять при отыскании пределов. Теорема. Элементарные функции y = x a, y = a x, y = = log a x, y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x непрерывны в каждой внутренней точке их области определения. В граничных точках возможна односторонняя непрерывность. Эти точки подлежат дополнительному исследованию. Теорема. Если функция ϕ(x) непрерывна в точке x 0, а функция f(y) непрерывна в точке y 0 = ϕ(x 0 ), то функция z = f[ϕ(x)] непрерывна в точке x 0.

34 3. Предел функции 33 lim x x 0 Для непрерывных функций в точке x 0 справедливы равенства: lim f(x) = f( lim x) = f(x 0 ), x x 0 x x 0 lim f[ϕ(x)] = f[ lim ϕ(x)] = f[ϕ( lim x)] = f[ϕ(x 0 )], x x 0 x x 0 x x 0 т.е. символы f и для непрерывных функций перестановочны. Этим свойством мы будем широко пользоваться при отыскании пределов, например lim x 4 + 3x + 0 = lim(x 4 + 3x + 0) = x 3 x 3 = = 0. Использованы непрерывность функции y = u и теорема о пределе суммы. x + 9x 3.0. Найдите lim +. x x Решение. x + ( ) 9x lim + 9x = lim + + = x x x x 9x = lim ( + x x = lim 9 + x ) x = = lim (9 + ) x x = 3 =. Напомним, что a { a b = b, если a > 0; a b, если a < 0. 9x По этой причине + 9x + = x x, поскольку x, а потому x < 0. x + 9x 3.. Докажите самостоятельно: lim + = 4. x + x не су- Из задач 3.0 и 3. следует, что lim ществует. x x + 9x + x

35 34 Введение в математический анализ x + 8 8x Найдите A = lim. x 5 x 7x 3 Решение. Замечаем, что числитель и знаменатель при x стремятся к нулю, т.е. имеем неопределённость типа 0/0. Умножим числитель и знаменатель на множители, сопряжённые соответствующим выражениям: ( x + 8 8x + )( x x + ) A = lim x ( 5 x 7x 3)( 5 x + 7x 3) 5 x + 7x 3 = x x + (x + 8 8x )( 5 x + 7x 3) = lim x (5 x 7x + 3)( x x + ) = = lim x 7( x) 8( x) 5 x + 7x 3 x x + = = 7. Мы воспользовались непрерывностью функции x и теоремой о пределе частного и суммы. 3 x 3 3x 3.3. Найдите lim. x x Решение. Применим формулу a 3 b 3 = (a b)(a + ab + +b ). Полагая a = 3 x, b = 3 3x, умножим числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы чисел a и b. Получим x 3x + lim ( x 3 (x ) (x ) + 3 (x )(3x ) + 3 ) = (3x ) (x ) = lim ( x 3 (x ) (x ) + 3 (x )(3x ) + 3 ) = (3x ) = lim x 3 (x ) + 3 (x )(3x ) + 3 (3x ) = 3. (Применили теоремы о пределе частного, суммы и произведения, а также непрерывность функций u и 3 u.)

36 3. Предел функции Найдите lim x 0+0 3/x, lim x 0 0 3/x. Решение. Сделаем замену t = /x. Если x 0 + 0, то t +, если x 0 0, то t (см. задачу 3.). По свойству показательной функции y = a x при a > получаем lim x 0+0 3/x = lim t + 3t = +, lim x 0 0 3/x = lim t 3t = lim t + 3 t = 0. Как видим, предел lim x 0 3 /x не существует Найдите lim x 0 5 /x 7 /x. Решение. Найдём правый и левый пределы: 5 /x lim x /x. Сделаем замену t = x. Тогда 5 /x lim x /x, 5 /x lim x /x = lim 5 t t + 7 t = lim (5/7) t /7 t t + /7 t = 0. Мы воспользовались свойством показательной функции y = = a x : при a < справедливо lim x + ax = 0, при a > lim x + ax = +, а также теоремой о пределе частного. Аналогично получаем 5 /x lim x /x = lim t 5 t 7 t =. (По свойству показательной функции при a > следует, что lim x at = 0.) Мы показали, что существуют конечные правый и левый пределы, но они не равны. Следовательно, предел не существует. В математическом анализе важное значение имеют два класса функций: бесконечно малые и бесконечно большие. Функция f(x) называется бесконечно малой при x x 0, если lim x x 0 f(x) = 0. Функция f(x) называется бесконечно большой при x x 0, если lim x x 0 f(x) =, +,.

37 36 Введение в математический анализ Доказаны следующие теоремы. Теорема 3. Если функция f(x) бесконечно малая при x x 0, то функция ϕ(x) = бесконечно большая при f(x) x x 0. Если функция f(x) бесконечно большая при x x 0, то функция ϕ(x) = f(x) бесконечно малая при x x 0. Теорема 4. Произведение бесконечно малой функции при x x 0 на ограниченную в окрестности точки x 0 функцию есть функция бесконечно малая при x x 0. Теорема 5. Произведение функции, имеющей конечный предел, отличный от нуля при x x 0, на бесконечно большую функцию при x x 0 есть функция бесконечно большая. Все определения и теоремы переносятся на случай x ±,. Более подробно бесконечно малые и бесконечно большие функции будут рассмотрены в разделе Найдите lim x sin x 0 x cos x. Решение. Функция f (x) = x бесконечно малая при x 0. Для функции f (x) = sin x cos x имеем f (x) = sin x, т.е. функция f (x) ограничена. Следовательно, имеем произведение бесконечно малой при x 0 функции на ограниченную, а потому (по теореме 4) lim x sin x 0 x cos x = 0. Заметим, что применить теорему о пределе произведения в данном случае невозможно, так как lim f (x) не существует, x 0 что будет доказано позже Найдите lim x +0 x x + x + 3. Решение. Функция f (x) = бесконечно большая при x x + 0, так как функция u = x бесконечно малая, lim = x + x +0 x + 3 = 3. Имеем произведение бесконечно большой 4 функции на функцию с конечным пределом при x + 0. По

38 3. Предел функции 37 x + теореме 5 функция бесконечно большая. А так как x x > 0 и lim = +, то x +0 x lim x + x +0 x x + 3 = +. Итак, мы познакомились с понятием предела функции f(x). Если функция в точке x 0 непрерывна, то отыскание предела lim f(x) не представляет труда. Он равен f(x 0 ). Если же свойство непрерывности нарушено, то могут возникнуть неопреде- x x 0 лённости вида 0/0, /, 0,, 0, 0 0,. C первыми двумя типами неопределённостей мы уже встретились. Другие рассмотрим позднее. Мы пока привели примеры отыскания пределов функций f : X R Y R. Пределы функций f : X R n Y R будут рассмотрены в разделе 0. Задачи для самостоятельного решения 3.8. Исходя из определения предела, докажите: а) lim x x + = 3 ; б) lim x 0 x = ; в) lim x +0 x = + ; г) lim x x + = lim x + x + = lim x x + = 0; д) lim arcsin x = π ; е) lim ; ж) lim x 0 x x + x x3 = Найдите: а) lim x (x 3 + 4x 5); в) lim x x + 8 x + ; 4x 4 8x + 8 б) lim x 3 x 3 ; + x г) lim x 4 x 4, обосновывая ссылками на соответствующие теоремы каждую операцию.

39 38 Введение в математический анализ 3.0. Найдите следующие пределы: x 6x + 5 а) lim x x 3x + ; в) lim x x 3 3x + 4 x 3 x 4x + 8 ; x 3 7 б) lim x 3 x 3 ; г) lim x 6 x 3 + 6x 45x 6 д) lim x 9 x 3 + 5x + 04x ; x 3 + x + 40x + 00 е) lim x 0 x 3 + 3x + 60x ; x 3 x 44x 96 ж) lim x 8 x. 7x Найдите следующие пределы: 4 x а) lim x 6 x ; б) lim x x + 0x + 4 x + 9x + 8 ; 3 x 4 8x 5 ; в) lim x x 3 4x. Указание. В примере а) сделать замену x = t, в примере б) x = t 5. Использовать формулу a m b m = (a b)(a m + +a m b ab m + b m ). 3.. Найдите следующие пределы: а) lim x 3x 4 7x + 4x + 6x 4 + 5x 3 ; б) lim x x + 4x + в) lim x x 3 + x + 5 ; г) lim x 5 x д) lim x + 3 x x x x + 7 x ; 3 е) lim x + ж) lim x + ( x ) 3 3x + x ; + x 3 + 4x + x x + 8x + 3 0x + 4x 3 3 ; x 6 4 x 4 (6x 5)x 56x 3.

40 3. Предел функции Найдите пределы: x 3 + 6x а) lim x 3 + 6x x x 3 ; б) lim x + x 3 ; в) lim x г) lim x + 4x 7 x 5x 7 ; x x + 6 x x + 8 ; x x + 0 x д) lim 4x + 0. x x 3.4. Найдите пределы: + x а) lim ; б) lim x x x +0 в) lim x д) lim x x x x + x ; 3.5. Найдите пределы: ; г) lim x а) lim x + x( x + x); 9 + 5x + 4x 3 ; x 3 x 3 3x ; 4x 3 x x е) lim. x 0 x б) lim x ± ( x + x + x x + ); в) lim x + ( 3 x 3 + 3x x x). г) lim x + x( x + x); д) lim x( x + x); x ( x x x 7x + 3). е) lim x ± Указание. В примере в) прибавить и вычесть x Найдите пределы: а) lim x 3 ; б) x 3+0 lim x 3 ; в) x x + lim. x +0 4 x +

41 40 Введение в математический анализ 4. Числовые и векторные последовательности Последовательность это функция натурального аргумента f(n) = y n : N X. Если X R, имеем числовую последовательность, если X R n, то получаем векторную последовательность, если X некоторое множество функций, то получаем функциональную последовательность, и т.д. В этом разделе мы будем изучать числовые и векторные последовательности. После изучения теории вы легко сможете привести любое число примеров числовых и векторных последовательностей, например: = { } { n n +, 3, 3 } 4,..., n n +,... числовая последовательность; { n + n ; } векторная последовательность: y = (;), y = n ( ( 3 4 ) ;, y 3 = 3 3) ;,... Вы заметили, что задание векторной последовательности y n = {y n () ; y n () ;... ; y n (k) } сводится к заданию k различных числовых последовательностей {y n (i) }, i =,,..., k, называемых координатными. Множество натуральных чисел имеет единственную предельную точку +, т.е. может быть только случай n +. Обычно знак «+» опускают и пишут n. Определение предела последовательности дословно повторяет определение предела функции при x +. Напомним, что V M (+ )- окрестность элемента + во множестве натуральных чисел является множеством всех натуральных чисел, больших M. Число A называют пределом числовой последовательности {y n }, если для любой ε-окрестности U ε (A) числа A найдётся V M (+ )-окрестность символа + такая, что для любого n V M (+ ), т.е. для всех n > M, выполняется условие y n U ε (A), т.е. y n A < ε. Пишут A = lim y n. n Аналогично определяется предел векторной последовательности. Очень важна для дальнейшего теорема о существовании предела векторной последовательности, из которой следует, что для отыскания предела векторной последовательности

42 4. Числовые и векторные последовательности 4 нужно найти пределы её координатных числовых последовательностей [6, с. 9, теорема ]. 4.. Исходя из определения предела последовательности, докажите, что lim n n = 0. Решение. Пусть U ε (0) любая ε-окрестность точки 0. Требуется согласно определению предела последовательности найти окрестность символа + такую, что если n V M (+ ), т.е. n > M, то должно выполняться n 0 < ε, т.е. n < ε или n > ε. Видим, что можно принять M =. Если выполнено ε n > ε, то n < ε. Это и означает, что lim n n = 0. Теоремы о пределе суммы, произведения и частного, сформулированные для функций непрерывного аргумента, переносятся и на последовательности. Применяя результаты решения задачи 4. и теорему о пределе произведения последовательностей, легко находим, что lim n n = lim n n lim n n = 0. Учитывая непрерывность функции f(x) = x λ, λ > 0, и применяя теорему о пределе частного, получаем lim n n λ = = 0 при λ > 0. lim nλ n 4.. Найдите пределы следующих последовательностей: n + 5n + 4 n n + 3 а) lim n n ; б) lim + 7 n n 3 + 5n + 4 ; n 3 ( + 4n + n 4 в) lim n n + n + 5 ; + n 3 ) + 3 г) lim n n 4 + 3n. + Решение. Подобные пределы находят теми же методами, что и пределы lim f(x). x + В примерах а), б), в) делим числитель и знаменатель на старшую степень величины n.

43 4 Введение в математический анализ Получаем: n ( + 5n /n + 4/n а) lim n n = = lim + 7 ) n + 7/n = (применили теорему о пределе частного, суммы и то, что lim n 5 n = lim n б) lim n 4 n = lim n 7 n = 0); ) n n + 3 n 3 + 5n + 4 = ( n 3 + 4n + в) lim n n + n + 5 = lim = lim n n ( + 4 n + n 3 ) /n /n + 3/n 3 = lim n + 5/n + 4/n 3 = 0; + 4/n + /n 3 /n + /n + 5/n 3 = /n + /n + 5/n 3 = как предел произведения последовательности, имеющей конечный предел, на бесконечно большую последовательность. Второй сомножитель есть бесконечно { большая последовательность, так как последовательность n + n + 5 } n 3 бесконечно малая (теорема 3); г) учитывая непрерывность функции y = x, получаем ( n 4 + n 3 ) ( ( + 3 n lim n n 4 + 3n = = lim + ) 4 + n 3 ) + 3 n n 4 + 3n = + ( + /n + 3/n 4 ) ( ) = lim n + 3/n + /n 4 = = Найдите следующие пределы: 3 8n а) lim 3 + n ; б) lim n n + 3 n Решение: 3 8n а) lim 3 + n ( = = n n + 3 ) = 3 (8n 3 + n )/n 3 (n + 3)/n = lim n 4 n 3 + n. (n + 3) /n /n 3 + 3/n =

44 4. Числовые и векторные последовательности 43 (поделили числитель и знаменатель на n, величину n подвели под знак корня, применили теорему о пределе частного, использовали непрерывность функции 3 u, применили теорему о пределе суммы); 4 n б) lim 3 + n ( ( = = lim n (n + 3) ) 4 n 3 + n)/n = n (n + )/n 4 n = lim 3 /n 4 + n/n 4 4 /n + /n 3 = lim = 0 n + /n n + /n (обоснование всех операций сделать самостоятельно) Найдите следующие пределы: а) lim ( n + 6n + 8 n); б) lim ( 3 n n 3 + 4). n n Решение этих примеров основано на применении формул (a b)(a + b) = a b и a 3 b 3 = (a b)(a + ab + b ). а) lim ( n + 6n + 8 n) = ( ) = n ( n = lim + 6n + 8 n)( n + 6n n) n n + 6n n = lim n = lim n n + 6n + 8 n n + 6n n = lim n 6 + 8/n + 6/n + 8/n + = 6 + = 3; = (6n + 8)/n ( n + 6n n)/n = б) lim ( 3 n n 3 + 4) = n ( ) 3 3 ( n n 3 + 4) = lim n 3 (n 3 + ) + 3 (n 3 + )(n 3 + 4) + 3 (n 3 + 4) = n 3 + n 3 4 = lim n 3 (n 3 + ) + 3 (n 3 + )(n 3 + 4) + 3 (n 3 + 4) = 0. В приведённых примерах мы имели неопределённость вида. При этом может получиться предел конечный, отличный от нуля, равный нулю или бесконечный. Приведём примеры отыскания пределов, используя теоремы о переходе к пределу в неравенствах и о существовании предела монотонных ограниченных последовательностей [6, п. 3.5., теорема ].


Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л. И. Магазинников, А. Л. Магазинников ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Дифференциальное

Подробнее

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (РГГУ) Филиал в г Домодедово

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы Вариант 5 Найти область определения функции lg5 Область определения данной функции определяется неравенством 5 > Корнями уравнения 5+ являются числа, Так как ветви параболы + 5 направлены вниз, то неравенство

Подробнее

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx Ответы к заданию приращения аргумента Δ Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки Δ, U ( : δ приращения f Δ (

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры. Математический анализ, 27/28 Группы БПМ7 75 Промежуточный экзамен, модули 2 На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ Расскажите о числах: натуральных,

Подробнее

Настоящий курс лекций предназначен для всех категорий студентов вузов, изучающих в том или ином объеме высшую математику. Первая часть содержит

Настоящий курс лекций предназначен для всех категорий студентов вузов, изучающих в том или ином объеме высшую математику. Первая часть содержит Настоящий курс лекций предназначен для всех категорий студентов вузов, изучающих в том или ином объеме высшую математику. Первая часть содержит необходимый материал по 9-ти разделам курса высшей математики,

Подробнее

, где k любое целое число. В таком случае автоматически выполняется и неравенство x 0. Ответ: x [4k. x

, где k любое целое число. В таком случае автоматически выполняется и неравенство x 0. Ответ: x [4k. x Вариант 8 Найти область определения функции : y sin Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и sin Из второго неравенства следует, что должно выполняться неравенство k π k+

Подробнее

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию:

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию: Вариант 7 Найти область определения функции : y + / lg Область определения данной функции определяется следующими условиями:, >, те > / Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или Объединяя результаты,

Подробнее

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами:

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: Вариант 7 Найти область определения функции : y Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и > Второе неравенство выполняется при всех значениях Корнями уравнения являются числа

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2 Вариант Найти область определения функции : y + Область определения данной функции определяется неравенством Кроме того знаменатель не должен обращаться в нуль Найдём корни знаменателя: Объединяя результаты

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Вариант y =. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: > 0. Данная функция определена на всей числовой оси, Точки

Вариант y =. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: > 0. Данная функция определена на всей числовой оси, Точки Вариант Найти область определения функции : y lg Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: > и lg или Достаточно рассмотреть второе неравенство так как первое неравенство перекрывается

Подробнее

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0.

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0. Вариант Найти область определения функции : lg 5 + Область определения данной функции определяется неравенством > 5+ Найдём корни знаменателя:, Так как ветви параболы 5+ направлены вверх, то 5+ 6< при

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством x 3x 2. 0 являются числа x =, x 4. Так как ветви

Область определения данной функции определяется неравенством x 3x 2. 0 являются числа x =, x 4. Так как ветви Вариант Найти область определения функции Область определения данной функции определяется неравенством > Корнями уравнения являются числа Так как ветви параболы направлены вверх то неравенство > выполняется

Подробнее

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми.

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми. Контрольная работа Тема Пределы и производные функций Найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя) а) б) в) г) Пример а) Решение Определяем вид неопределенности При формальных

Подробнее

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и Вариант 5 Найти область определения функции : y arcsin + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и или Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ''Оренбургский государственный

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x :

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x : СОДЕРЖАНИЕ ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Дифференцирование неявных функций Логарифмическое дифференцирование Производные высших порядков Дифференцирование функции, заданной параметрически 6 Уравнение

Подробнее

I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Предисловие Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы 1.1. Основные понятия 1.2. Действия наді матрицами 2. Определители 2.1. Основные понятия 2.2. Свойства определителей 3. Невырожденные матрицы 3.1.

Подробнее

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен: уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций находить производные

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная, и её приложения. Издание третье. / x

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная, и её приложения. Издание третье. / x ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский политехнический университет Т В Тарбокова, В М Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ

Подробнее

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y +

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y + Вариант Найти область определения функции : y + + lg(5 Область определения данной функции определяется следующими неравенствами: + те 5 > те < 5 Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg( 5 или

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к экзамену по курсу 1- модулей 1. Расскажите о числах: натуральных, целых, рациональных и иррациональных. Расскажите о числовой прямой

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВ Богатова, КВ Бухенский, ИП Карасев, ГС Лукьянова ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD Практикум Рязань Предисловие Общий

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

Примеры: 1. Площадь треугольника. M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ):

Примеры: 1. Площадь треугольника. M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ): Функции нескольких переменных Во многих вопросах геометрии естествознания и пр дисциплин приходится иметь дело с функциями двух трех и более переменных Примеры: Площадь треугольника S a h где a основание

Подробнее

Введение в математический анализ. Теория пределов

Введение в математический анализ. Теория пределов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. Контрольная работа для студентов заочной формы обучения

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. Контрольная работа для студентов заочной формы обучения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее

Материалы для подготовки к экзамену Содержание

Материалы для подготовки к экзамену Содержание Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, семестр. Направление 7 «Строительство». Дисциплина - «Математика-» Материалы для подготовки к экзамену Содержание Материалы для подготовки к экзамену... Содержание...

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Программа экзамена по математике для студентов специальности «Финансы и кредит» (заочная форма обучения) 1 Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Понятие функции Определение функции,

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ВАСИЛЬЕВ ВВ, ЛАНОВАЯ АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Подробнее

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

Подробнее

5. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Функции нескольких переменных

5. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Функции нескольких переменных Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Функции нескольких переменных Величина называется функцией переменных величин n если каждой точке М n принадлежащей некоторому множеству X поставлено

Подробнее

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале Вариант + Найти область определения функции: y lg Область определения данной функции определяется неравенством + те Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg или ± Кроме того аргумент логарифма

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и Студент должен знать: определение предела функции; свойства пределов; понятие бесконечно малых функций; понятие ограниченных и бесконечно больших функций; определение непрерывности функции в точке; сравнение

Подробнее

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (,

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (, Вариант 9 Найти область определения функции : y + lg Область определения данной функции определяется следующим неравенством: >, те > Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или ± Объединяя результаты,

Подробнее

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр Образцы базовых задач и вопросов по МА за семестр Предел последовательности Простейшие Вычислите предел последовательности l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Вычислите предел последовательности

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления»

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления» 4 Методические указания к выполнению контрольной работы «Производная и ее приложения Приложения дифференциального исчисления» Производная Приложения дифференциального исчисления Производной функции f (

Подробнее

1. Производная функции в точке

1. Производная функции в точке приращения аргумента Δ приращения Δ функции f производной функции точке f в Основные правила дифференцирования функций функции в точке Приращением аргумента Δ функции f называется разность между значением

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

(1 x) ctg(2x). 4. Метод хорд графического интегрирования (пример). 5. Обоснование правила Крамера.

(1 x) ctg(2x). 4. Метод хорд графического интегрирования (пример). 5. Обоснование правила Крамера. Билет.. Определение матрицы (с примерами квадратной и прямоугольной матриц).. Геометрический смысл многочлена Тейлора первого порядка (формулировка, пример, рисунок). ( x) ctg(x). 4. Метод хорд графического

Подробнее

Ответы к заданию

Ответы к заданию Ответы к заданию.. понятия одного аргумента.. Основные элементарные.. элементарных функций.4. предела f в точке. х Х Если каждому элементу х из множества Х поставлен в соответствие определенный элемент

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Пусть на множестве X задана функция f Фиксируем точку X и задаем приращение аргумента Тогда точка соответствует f и f f называется приращением функции Если существует

Подробнее

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2 Вариант Найти область определения функции : y arcsi + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами и Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства

Подробнее

1. Определители. 2. Действия над матрицами. Обратная матрица Определитель второго порядка задается равенством

1. Определители. 2. Действия над матрицами. Обратная матрица Определитель второго порядка задается равенством Определители Определитель второго порядка задается равенством Определитель третьего порядка задается равенством Свойства определителей Определитель равен нулю если он содержит две одинаковые или пропорциональные

Подробнее

Вариант 2. Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3

Вариант 2. Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3 Вариант Найти область определения функции : y arccos Область определения данной функции определяется неравенством Умножим неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства находим или

Подробнее

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2 Вариант Найти область определения функции : arccos Область определения данной функции определяется неравенством Освободимся от знака модуля: Если то Из левого неравенства находим или / Из правого неравенства

Подробнее

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Пусть имеем функцию определенную на множестве X и пусть точка X - внутренняя точка те точка для которой существует окрестность X Возьмем любую точку и обозначим через называется

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА ( курс,, и 9 гр) специальности 6, 6 семестр Теоретическая часть часть Матрицы Действия с ними Определители квадратных матриц Свойства Миноры и алгебраические

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

16.2.Н. Производная.

16.2.Н. Производная. 6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО ОВ Сильванович, ГВ Тимофеева ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ (МОДУЛЬ ) ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Подробнее

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» семестр Очная форма обучения. Специалисты. I курс, семестр. Направление 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» Дисциплина - «Математика» Материалы

Подробнее

МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В.Н.Думачев С.А.Телкова МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие Воронеж - 06 ББК. Д8 Рассмотрено и одобрен на заседании кафедры математики и моделирования систем. Протокол от.09.06. Рассмотрен

Подробнее

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,...

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,... Предел функции. Предел числовой последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто числовой последовательностью называется функция f f (, определенная на множестве всех

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ ІІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ ІІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ПРИАЗОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А. М. Холькин ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ ІІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Мариуполь 2009 УДК 517.2

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Предел. Непрерывность.

Предел. Непрерывность. Функция. 1 1. Какие числа образуют множество действительных чисел? 2. Что называется числовой осью? 3. Что называется интервалом? 4. Определить понятие окрестности точки. 5. Что называется абсолютной величиной?

Подробнее

Вариант 16. ]. При k = 0 получим x [ 0, π ]. При других значениях k неравенства не имеют общих рещений.

Вариант 16. ]. При k = 0 получим x [ 0, π ]. При других значениях k неравенства не имеют общих рещений. Вариант Найти область определения функции : si + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и si Из второго неравенства следует, что должно выполняться неравенство k π (k+ π,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 3

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 3 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие......................................... 3 Глава1 Элементы линейной алгебры............................ 5 1.1. Матрицы и определители........................... 5 1.2. Линейные пространства............................

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Министерство образования и науки Российской Федерации Курганский государственный университет Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2.

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

Подробнее

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 7 Производная функции Правила и формулы дифференцирования П л а н Задачи, приводящие к понятию производной Понятие производной Основные

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция. Понятие множества. Определение функции основные свойства. Основные элементарные функции СОДЕРЖАНИЕ: Элементы теории множеств Множество вещественных чисел Числовая

Подробнее

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ Найти область определения D и множество значений Е функции y Р е ш е н и е Функция y определена если те если Поэтому областью определения функции является множество f ; D R Поскольку

Подробнее

l : y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ). n : y y 0 = 1 f (x 0 ) (x x 0). y (n) = y (n 1)) dx n.

l : y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ). n : y y 0 = 1 f (x 0 ) (x x 0). y (n) = y (n 1)) dx n. Занятие 4 Вычисление производных-1 4.1 Определение производной Производной функции y = f(x) в точке x 0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинников Дифференциальное исчисление Учебное пособие

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ Глава Множества Последовательности Функции Элементы теории множеств Понятие множества является в математике неопределяемым Интуитивно, множество это совокупность объектов любой природы,

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики АВ Капусто Минск 016 016 Кафедра высшей

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл Задачи, приводящие к понятию производной Определение Касательной S к линии y f (x) в точке A x ; f (

Подробнее

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Q и действительные R числа Натуральные и целые числа

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3

Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3 Вариант Найти область определения функции : arcsi Область определения данной функции определяется неравенством Умножим неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства находим или Из

Подробнее

1., 2., 3., где а, d постоянные числа.

1., 2., 3., где а, d постоянные числа. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

Подробнее