ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ (6 СЕМЕСТР)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ (6 СЕМЕСТР)"

Транскрипт

1 ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6 СЕМЕСТР А. А. Пожарский Содержание,, 3 лекции. Обобщенные функции одной переменной 4.. Пространство обобщенных функций 4.. Регулярные обобщенные функции 5.3. Сингулярные обобщенные функции 6.4. Сложение обобщенных функций 7.5. Умножение обобщенной функции на бесконечно дифференцируемую функцию 8.6. Дифференцирование обобщенных функций 8.7. Решение дифференциальных уравнений вида y x = в D.8. Общий вид обобщенной функции.9. Решение уравнений вида x y = fx в D 3.. Замена переменных в обобщенных функциях 5.. Сходимость в пространстве обобщенных функций 6 4, 5 лекции. Обобщенные функции нескольких переменных 9.. Обобщенные функции нескольких переменных 9.. Прямое произведение обобщенных функций.3. Свертка обобщенных функций 6, 7 лекция 3. Обобщенные решения линейных дифференциальных уравнений Обобщенные решения линейных дифференциальных уравнений Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора с переменными коэффициентами Функция Грина задачи Штурма-Лиувилля 33 8, 9 лекции 4. Обобщенные функции медленного роста Пространство обобщенных функций медленного роста Преобразование Фурье на классе Шварца Преобразование Фурье на обобщенных функциях медленного роста Метод Фурье решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в S 4, лекции 5. Применение обобщенных функций к решению дифференциальных уравнений в частных производных 43 мая 5 г.

2 А. А. Пожарский 5.. Фундаментальные решения линейных дифференциальных операторов в частных производных во всем пространстве Фундаментальное решение оператора Лапласа Фундаментальное решение оператора теплопроводности Фундаментальное решение волнового оператора Фундаментальное решение оператора Шредингера 5, 3, 4, 5, 6 лекции 6. Введение в задачи математической физики Классификация дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка Формулы Грина Краевые задачи для оператора Лапласа Функция Грина внутренней задачи Дирихле для оператора Лапласа Функция Грина внутренней задачи Дирихле для оператора Лапласа в шаре метод отражений Конформная инвариантность оператора Лапласа в Задача Коши для оператора теплопроводности во всем пространстве Задача Коши для волнового уравнения во всем пространстве Задача Коши для уравнения Шредингера во всем пространстве Физическая интерпретация полученных результатов 7 7, 8, 9 лекции 7. Аналитическая теория дифференциальных уравнений Поведение решений дифференциального уравнения в области регулярности его коэффициентов Поведение решений линейного дифференциального уравнения в окрестности изолированной особой точки его коэффициентов Теорема Фукса Поведение решений линейного дифференциального уравнения второго порядка в окрестности бесконечности Метод Лапласа построения интегрального представления для решения линейного дифференциального уравнения с линейными коэффициентами Основные идеи исследования решений линейных дифференциальных уравнений с регулярными коэффициентами 86,,, 3, 4 лекции 8. Специальные функции Уравнение Лежандра Полиномы Лежандра Присоединенные функции Лежандра Сферические функции Функция Бесселя Функции Ханкеля и Неймана Сингулярная задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя 7 5, 6, 7, 8 лекции 9. Метод разделения переменных 9.. Основные идеи метода разделения переменных 9.. Некоторые сведения о пространствах Соболева 9.3. Уравнение Пуассона в прямоугольнике 5

3 9.4. Уравнение Пуассона в круге 9.5. Уравнение Пуассона в шаре в Уравнение теплопроводности в ограниченной области Волновое уравнение в ограниченной области 7 Литература. Список рекомендуемой литературы 3

4 4 А. А. Пожарский. Обобщенные функции одной переменной.. Пространство обобщенных функций. Определение. Носитель непрерывной функции. Носителем непрерывной функции называют множество supp = {x x }. Определение. Пространство основных функций. Пусть функция : C удовлетворяет условиям бесконечная дифференцируемость: C ; финитность носителя: существует > такое, что supp [, ]. Тогда функцию называют основной функцией. Множество всех основных функций называют пространством основных функций, которое обозначают D или, сокращенно, D. Теорема.3 Свойства основных функций. Справедливы следующие утверждения. a C, b C, D, D = a + b D; D = D. Доказательство. Очевидно. Определение.4 Сходимость в смысле D. Говорят, что последовательность основных функций { } = сходится при к функции в смысле D, и пишут D, если существует > такое, что для любого N верно, что supp [, ]; для любого p Z + последовательность функций { p } = сходится при к функции p равномерно на. Теорема.5 Существование гладкой срезки. Пусть < < a b < < +. Тогда существует функция такая, что C ; x x ; 3 x [a, b] x = ; 4 x \, x =. Доказательство. Без доказательства. Определение.6 Пространство обобщенных функций. Пусть отображение f : D f, C удовлетворяет условиям линейность: для любых, D и, C верно, что f, + = f, + f, ; непрерывность: для любой последовательности основных функций { } = что D верно, что lim f, =. такой,

5 ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6 СЕМЕСТР 5 Тогда отображение f называют обобщенной функцией. Множество всех обобщенных функций называют пространством обобщенных функций, которое обозначают D или, сокращенно, D... Регулярные обобщенные функции. Определение.7 Регулярные обобщенные функции. Обобщенную функцию f называют регулярной, если существует F L,loc такая, что D f, = F xx dx. При этом функцию F называют ядром регулярной обобщенной функции f. Теорема.8 Общий вид регулярной обобщенной функции. Пусть F L,loc, тогда отображение f : D f, = F xx dx C является регулярной обобщенной функцией. Доказательство. Проверим линейность отображения f. Для любых, D и, C верно, что f, + = F x x + x dx = = F x x dx + F x x dx = f, + f,. Проверим непрерывность отображения f. Пусть задана последовательность основных функций { } = такая, что D. Из определения сходимости в D следует, что найдется > такое, что носители всех функций из последовательности { } = принадлежат отрезку [, ]. Из условия F L,loc следует, что M def = F x dx <. Пусть теперь задано произвольное >. Из равномерной сходимости последовательности { } = следует, что найдется N N такое, что > N max x < x[,] M +. Следовательно, для любого > N верно, что f, = F x x dx = F x x dx F x x dx max x x[,] F x dx < M + M <.

6 6 А. А. Пожарский Определение.9 Нулевая обобщенная функция. Нулевой обобщенной функцией называют регулярную обобщенную функцию вида D, =. Определение. -функция. -функцией называют регулярную обобщенную функцию вида D, = + x dx..3. Сингулярные обобщенные функции. Определение. Сингулярные обобщенные функции. Обобщенная функция называется сингулярной, если она не является регулярной. Определение. -функция Дирака. -функцией Дирака называют отображение вида D, =. Теорема.3 Сингулярность -функции Дирака. -функция Дирака сингулярная обобщенная функция. Доказательство. Факт D легко следует из определения. Доказательство сингулярности -функции Дирака проведем от противного. Пусть существует F L,loc такая, что D, = F xx dx.. Из теоремы.5 следует, что найдется D такая, что x x ; x [, ] x = ; 3 x \, x =. Отсюда и из. следует, что F x x dx =, = =.. С другой стороны, из условия F L,loc следует, что F x x dx F x dx..3 Сравнивая. и.3 приходим к противоречию. Определение.4 x a. Пусть a, тогда Определение.5 P x. D D P x, x a, = a. = v.p. x x def dx = lim + x > x x dx.

7 ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6 СЕМЕСТР 7 Теорема.6 Сингулярность P x. P x сингулярная обобщенная функция. Идея доказательства: Включение P x D примем без доказательства. Доказательство сингулярности обобщенной функции P проведем от противного. Пусть существует F L,loc такая, что x D P x, = F xx dx. Для любой D верно, что xx D и, следовательно, F xxx dx = P x, x = lim x dx = + x > x dx..4 Учитывая, что произвольная основная функция, из.4 следует, что xf x = при по- чти всех x. Однако, функция F x = не является суммируемой в окрестности нуля и, x следовательно, не принадлежит L,loc. Определение.7 P x. N D P x, = v.p. x k= x k k! x k dx def = lim Теорема.8 Сингулярность P. При N отображение P x функция. Идея доказательства: Самостоятельно..4. Сложение обобщенных функций. + x > x x k= x k k! x k dx. сингулярная обобщенная Мотивировка.9 Сложение регулярных обобщенных функций. Пусть F и G ядра регулярных обобщенных функций f и g, соответственно. Для локально суммируемых функций F и G корректно определена операция сложения и, следовательно, суммой регулярных обобщенных функций f и g естественно считать обобщенную функцию с ядром F + G. Отсюда, D f + g, = F x + Gxx dx = F xx dx + Gxx dx = f, + g,. Определение. Сумма обобщенных функций. Суммой обобщенных функций f и g называют обобщенную функцию f + g, действующую по правилу f + g, = f, + g,. Теорема. Корректность определения суммы обобщенных функций. Пусть f D g D. Тогда f + g D. Доказательство. Самостоятельно. и Легко проверить, что f + g D.

8 8 А. А. Пожарский.5. Умножение обобщенной функции на бесконечно дифференцируемую функцию. Мотивировка. Умножение регулярной обобщенной функции на бесконечно дифференцируемую функцию. Пусть F ядро регулярной обобщенной функций f и h бесконечно дифференцируемая функция. Легко видеть, что произведения локально суммируемой функции F и бесконечно дифференцируемой функции h корректно определено, причем F h локально суммируемая функция. Следовательно, произведением f h естественно считать обобщенную функцию с ядром F h. Отсюда, D f h, = F xhxx dx = f, h. Здесь мы учли, что h D, см. теорему.3. Определение.3 Умножение обобщенной функции на бесконечно дифференцируемую функцию. Произведением обобщенной функций f и бесконечно дифференцируемой функции h называют обобщенную функцию f h, действующую по правилу f h, = f, h. Теорема.4 Корректность определения произведения обобщенной функции на бесконечно дифференцируемую функцию. Пусть f D и h C. Тогда f h D. Доказательство. Самостоятельно. Пример.5. Доказать, что xx =. Решение. Легко видеть, что D Пример.6. Доказать, что xp x =. Решение. Легко видеть, что D xp x, x = P x, xx = lim Пример.7. Доказать, что xp x = P x. D xx, x = x, xx =. + x > xp x, x = P x, xx = lim xx x + x > dx = lim + x > x dx = x dx. xx dx = P x x, x..6. Дифференцирование обобщенных функций. Мотивировка.8 Производная гладкой регулярной обобщенной функции. Пусть F ядро регулярной обобщенной функций f и F C. Ясно, что F локально суммируемая функция, которую естественно считать ядром производной обобщенной функции f. Следовательно, D f, = F xx dx = F x x dx = f,. Здесь мы учли, что D, см. теорему.3.

9 ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6 СЕМЕСТР 9 Определение.9 Производная обобщенной функции. Производной обобщенной функций f называют обобщенную функцию f, действующую по правилу D f, = f,. Теорема.3 Корректность определения производной обобщенной функции. Пусть f D. Тогда f D. Доказательство. Самостоятельно. Задача.3. Доказать, что x = x. Решение. Легко видеть, что D x, x = x, x = Пример.3. Доказать, что l x = P x. x = x = = x, x. Решение. Заметим, что l x регулярная обобщенная функция. Следовательно, D l x, x = l x, x = l x x dx = lim l x x dx = = lim + = lim + = lim + = lim l x x l x x dx + l + + x > x x dx = l x x dx = l x x dx l x x x > P x, x. x x Задача.33. Доказать, что P x = P x + при N. Пример.34. Упростить выражение e x x. + + x > + dx = lim O l + l x x dx = x > x x dx = Решение. Легко видеть, что D e x x, x = x, e x x = x, e x x = = x, e x x + e x x = = x, x x, x = = x, x + x, x = x x, x. Следовательно, e x x = x x. Пример.35. Доказать, что x x = x при N.

10 А. А. Пожарский Решение. Легко видеть, что D x x, x = x, xx = x, xx = = x, x + x x = x, x = x, x. Теорема.36 Дифференцирование скачков в смысле D. Пусть F ядро регулярной обобщенной функции f; F C, a C a,, где a ; существуют пределы F a + и F a. Тогда f x = f cl F x+ a+f a xa, где f cl x регулярная обобщенная функция с ядром F x, а F x классическая производная от функции F x. Доказательство. Используя определение производной в смысле D и интегрирование по частям, получим D f x, x = fx, x = a F x x dx F x x dx = = F a a + a a F xx dx + F a + a + F xx dx = = F xx dx + F a + F a a = a = f clx, x + F a + F a x a, x. Пример.37. Вычислить третью производную регулярной обобщенной функции f с ядром, x <, F x = x + 3, x [, ], x 3, x >. Решение. Из теоремы.36 следует, что, x <, f x = x 8x + x, x [, ],, x >,, x <, f x = x 8 x 3x +, x [, ],, x >, f x = x 8 x 3 x + x x..7. Решение дифференциальных уравнений вида y x = в D. Теорема.38 Общий вид решения уравнения y = в D. Общее решение уравнения y = в D имеет вид y = C, где C C.

11 ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6 СЕМЕСТР Доказательство. Рассмотрим основную функцию, удовлетворяющую условию x dx =. Пусть произвольная основная функция. Рассмотрим функцию вида x x x = t dt t dt t dt..5 Легко видеть, что D. Пусть теперь y решение уравнения y = в D. Отсюда и из.5 получим, что = y, = y, = y, + y, t dt. Следовательно, y, = y, t dt = C,,.6 где C = y, C. Учитывая, что равенство.6 справедливо для любой D, получим, что y = C для некоторой C C. Теорема.39 Общий вид решения уравнения y = в D. Общее решение уравнения y = в D при N имеет вид y = p x, где p произвольный полином степени. Доказательство. Из теоремы.36 следует, что любой полином степени удовлетворяет уравнению y = в D. Дальнейшее доказательство проведем по индукции. База индукции = доказана в теореме.38. Пусть утверждение настоящей теоремы верно при = s N. Пусть y решение уравнения y s+ = в D. Докажем, что y полином степени s. Для этого рассмотрим вспомогательную функцию z = y. Заметим, что z удовлетворяет уравнению z s =, откуда следует, что z полином степени s. Таким образом, y удовлетворяет уравнению y = z,.7 где z полином степени s. Обозначим через p s полином степени s такой, что p s = z. Решение уравнения.7 будем искать в виде y = p s + f..8 Подставляя.8 в.7 получим, что f =. Отсюда и из теоремы.36 следует, что f постоянная функция. Принимая во внимание.8, приходим к выводу, что y полином степени s..8. Общий вид обобщенной функции. Определение.4 Носитель обобщенной функции. Говорят, что обобщенная функция f обращается в ноль на интервале a, b, если для любой D такой, что supp a, b верно, что f, =. В этом случае пишут f a,b =. Носителем обобщенной функции f называют множество supp f = \ a, b. {a,b f a,b =}

12 А. А. Пожарский Теорема.4 Общий вид обобщенной функции. Пусть f D ; K ограниченная область в. Тогда существуют регулярная обобщенная функция g с непрерывным ядром G и N такие, что f K = g K. Другими словами, для любой D такой, что supp K справедливо равенство f, = Gx x dx. Доказательство. Без доказательства. Задача.4. Докажите, что для обобщенной функции fx = k x k не существует регулярной обобщенной функции g и N таких, что f = g. k= Теорема.43 Общий вид обобщенной функции с носителем сосредоточенным в точке. Пусть f D ; supp f = {a}, где a. Тогда существуют s Z + и постоянные c, c,..., c s такие, что f = s c k k x a. k= Доказательство. Из теоремы.4 следует, что найдутся N и регулярная обобщенная функция g с непрерывным ядром G такие, что f = g. На интервале, a функция f обращается в ноль, следовательно, g = на, a. Отсюда и из теоремы.39 следует, что на интервале, a обобщенная функция g совпадает с некоторым полиномом степени, который мы обозначим через p l. Аналогично, полу- чим, что на интервале a, + обобщенная функция g совпадает с полиномом степени, который мы обозначим через p r. Учитывая, что g регулярная обобщенная функция, получим gx = p l xa x + p r xx a. Из теоремы.36 следует, что [ ] g x = p lxa x + p rxx a + p r a + p l a x a, [ ] g x = p l xa x + p rxx a + p ra + p la x a + [ ] + p r a + p l a x a,... [ g x = p r ] [ ] a + p l a x a p r a + p l a x a.

13 ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6 СЕМЕСТР 3.9. Решение уравнений вида x y = fx в D. Теорема.44 Общее решение уравнения xy =. Общее решение уравнения xy = в D имеет вид yx = Cx, где C C. Доказательство. Для начала докажем, что носитель любого решения уравнения xy =.9 сосредоточен в нуле. Для этого достаточно показать, что для любой основной функции такой, что supp \ {} другими словами, обращающейся в ноль в некоторой окрестности точки ноль, верно, что y, =. Рассмотрим вспомогательную функцию x = x. Легко видеть, что D, откуда x y, = y, x = xy, =. Таким образом, supp y = {}. Из свойства supp y = {} и теоремы.43 следует, что существуют s Z + и постоянные c, c,..., c s такие, что s y = c k k x.. k= Подставляя. в уравнение.9 и, используя результат примера.35, получим, что s s s = xy = c k x k x = c xx + c k x k x = c k k k x. k= Другими словами, c x + c x sc s s x =.. Из получим, что c = c =... = c s =. Отсюда и из. следует, что общее решение уравнения.9 имеет вид y = c x. Теорема.45 Общее решение уравнения x y =. Общее решение уравнения x y = в D при N имеет вид k= yx = c k k x, k= где c, c,..., c произвольные постоянные. Доказательство. Самостоятельно. Доказательство проводится по индукции. Индукционный переход выполняется с помощью введения новой неизвестной функции zx = xyx. Теорема.46 Общее решение уравнения xy = f. Пусть f D, тогда уравнение xy = f разрешимо в D ; общее решение уравнения xy = f в D имеет вид y = y p + y o, где y p частное решение неоднородного уравнения xy = f, y o общее решение однородного уравнения xy = т. е. y o = C, где C C. k=

14 4 А. А. Пожарский Доказательство. Пусть h D такая, что hx = при x [, ]. Рассмотрим отображение вида D y p, = Легко видеть, что y p D. Вместе с этим, fx, D xy p x, x = y p x, xx = x hx.. x fx, Таким образом, y p решение уравнения xy = f. Пусть y решение уравнения xy = f. Выполняя подстановку где y p определена формулой., в уравнении xy = f, получим xx hx = f,. x y = y p + y o,.3 xy p + y o = f = xy }{{} p +xy o = f = xy o =. =f Что и требовалось доказать. Пример.47. Найти общее решение уравнения xy = fx в D, где f C. Решение. Решение проводим в несколько шагов. Шаг. Заметим, что частное решение неоднородного уравнения имеет вид xy = fx.4 y p x = fxp x. Действительно, D xy p x, x = y p x, xx = fxp x, xx = = P x, xfxx =, fxx = fx, x. Шаг. Из теоремы.44 следует, что общее решение однородного уравнения xy = имеет вид y o x = Cx, где C C. Шаг 3. Общее решение уравнения.4 в D имеет вид y = y p + y o. Ответ: y = fxp + Cx, C C. x Пример.48. Найти общее решение уравнения xy = x в D. Решение. Решение проводим в несколько шагов. Шаг. Заметим, что частное решение неоднородного уравнения имеет вид y p x = x. Действительно, из примера.35 следует, что xy = x.5 xy p x = x x = x.

15 ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6 СЕМЕСТР 5 Шаг. Из теоремы.44 следует, что общее решение однородного уравнения xy = имеет вид y o x = Cx, где C C. Шаг 3. Общее решение уравнения.4 в D имеет вид y = y p + y o. Ответ: y = x + Cx, C C. Теорема.49 Общее решение уравнения x y = f. Пусть f D и N, тогда уравнение x y = f разрешимо в D ; общее решение уравнения x y = f в D имеет вид y = y p + y o, где y p частное решение неоднородного уравнения x y = f, y o общее решение однородного уравнения x y = см. теорему.45. Доказательство. Самостоятельно. Пример.5. Найти общее решение уравнения x y = в D при N. Решение. Решение проводим в несколько шагов. Шаг. Заметим, что частное решение неоднородного уравнения x y =.6 имеет вид Действительно, D x y p x, x = y p x, x x = = v.p. x x k= x x k k! x k y p x = P x. P x, x x = dx = v.p. x x dx = x x dx =, x. Шаг. Из теоремы.45 следует, что общее решение однородного уравнения x y = имеет вид y o x = c k k x, где c, c,..., c произвольные постоянные. Шаг 3. Общее решение уравнения.6 в D имеет вид y = y p + y o. Ответ: y = P x + k= c k k x, где c C, c C,..., c C. k=.. Замена переменных в обобщенных функциях. Мотивировка.5 Замена переменных в регулярной обобщенной функции. Пусть F ядро регулярной обобщенной функций f, A диффеоморфизм класса C из в и B = A. Легко видеть, что D fax, x = F Axx dx = [t = Ax, x = Bt] = F tbt B t dt = = F t Bt A Bt dt = Bt ft,. A Bt

16 6 А. А. Пожарский Определение.5 Замена переменных в обобщенной функции. Пусть f D, A диффеоморфизм класса C из в и B = A. D fax, x = Bt ft,. A Bt Пример.53. Упростить выражение ax, где a \ {}. Решение. Из определения.5 следует, что ax = a x. Пример.54. Упростить выражение x + 4. Решение. Из определения.5 следует, что x + 4 = x + = x +... Сходимость в пространстве обобщенных функций. Определение.55 Сходимость в смысле D. Говорят, что последовательность обобщенных функций {f } = сходится при к обобщенной функции f в смысле D, и пишут если D f D f, lim f, = f,. Теорема.56 Предельный переход под знаком производной в D. D f f = f D f. Доказательство. Из определения.55 следует, что f D f D f, f, D f, f,. Для завершения доказательства осталось заметить, что f, f, в силу f D f. Пример.57. Заметим, что six D. Отсюда и из теоремы.56 следует, что cosx D. При этом в классическом смысле последовательность cosx не имеет предела при. Теорема.58 Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла. Пусть F L и F L при N; при почти всех x существует предел lim F x = F x; существование локально суммируемой мажоранты: существует G L такая, что для любого N и при почти всех x верно, что F x Gx.

17 Тогда ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6 СЕМЕСТР 7 lim F x dx = F x dx. Доказательство. Без доказательства. Теорема.59 Теорема Лебега о предельном переходе в D. Пусть f регулярная обобщенная функция с ядром F ; f регулярная обобщенная функция с ядром F, где N; при почти всех x существует предел lim F x = F x; существование локально суммируемой мажоранты: существует G L,loc такая, что для любого N и при почти всех x верно, что F x Gx. Тогда f D f. Доказательство. Следует из теоремы.58. Теорема.6 Отрицательный пример к теореме Лебега. Условие существования локально суммируемой мажоранты не может быть отброшено в теореме Лебега. Доказательство. Рассмотрим последовательность вида {, x, N F x =,, x,. Легко видеть, что F для любого x стремится к нулю при т. е. в теореме Лебега необходимо считать, что f =. Рассмотрим теперь основную функцию, которая равна единице на интервале,. Легко видеть, что Таким образом, lim f, = lim dx =. lim f, = = f,. Определение.6 -образная последовательность. Последовательность регулярных обобщенных функций {f } = называется -образной, если она сходится к -функции. Теорема.6 -образная последовательность достаточное условие. Пусть N f регулярная обобщенная функция с ядром F ; существует постоянная C > такая, что для любого интервала a, b верно, что b N F x dx C; для любого a, b такого, что a, b верно, что a b lim F x dx = ; a

18 8 А. А. Пожарский для любого [a, b] такого, что [a, b] верно, что b lim F x dx =. a Тогда {f } = -образная последовательность. Доказательство. Рассмотрим последовательность обобщенных функций {g } = с ядрами N G x = x F t dt. Заметим теперь, что последовательность {G } = равномерно ограничена на любом отрезке и при x верно, что lim G x = x. Отсюда и из теоремы Лебега.59 следует, что g x D x. Далее из теоремы.56 следует, что g x D x. Другими словами, f x D x. ядро регу- Теорема.63 Пример -образной последовательности. Пусть G x = e x лярной обобщенной функции g при >. Тогда g -образная последовательность при +. Доказательство. Следует из теоремы.6.

19 ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6 СЕМЕСТР 9. Обобщенные функции нескольких переменных.. Обобщенные функции нескольких переменных. Определение. Пространство основных функций D. Пусть функция : C, где N удовлетворяет условиям бесконечная дифференцируемость: C ; финитность носителя: существует шар B = {x x < } радиуса > такой, что supp B. Тогда функцию называют основной функцией. Множество всех основных функций называют пространством основных функций, которое обозначают D. Определение. Производная основной функции D. Пусть D, где N; =,,..., Z +. Производной порядка функции называют выражение вида где = D = x x... x Теорема.3 Существование гладкой срезки в. Пусть U открытое множество в, где N; K компакт ограниченное замкнутое множество в ; K U. Тогда существует функция : такая, что C ; x x ; 3 x K x = ; 4 x \ U x =. Доказательство. Без доказательства. Определение.4 Пространство обобщенных функций D. Пусть отображение f : D f, C удовлетворяет условиям линейность: для любых, D и, C верно, что f, + = f, + f, ; непрерывность: для любой последовательности основных функций { k } k= такой, что D k верно, что lim f, k =. k k Тогда отображение f называют обобщенной функцией. Множество всех обобщенных функций называют пространством обобщенных функций, которое обозначают D.,

20 А. А. Пожарский Определение.5 Производная обобщенной функции из D. Производной обобщенной функций f D порядка Z + называют обобщенную функцию D f, действующую по правилу D f, = f, D. Теорема.6 Общий вид обобщенной функции из D. Пусть f D ; K ограниченная область в. Тогда существуют регулярная обобщенная функция g с непрерывным ядром G и Z + такие, что f K = D g K. Другими словами, для любой D такой, что supp K справедливо равенство f, = GxD x dx. Доказательство. Без доказательства. Определение.7 -функция в D. -функцией в D, где N, называют регулярную обобщенную функцию вида D, = x, x,..., x dx dx... dx. Определение.8 -функция Дирака в D. -функцией Дирака в D, где N, называют отображение вида D, =. Пример.9. Доказать, что при N верно равенство x x... x x, x,..., x = x, x,..., x. Решение. Доказательство вполне аналогично одномерному случаю. Определение. -функция сосредоточенная на поверхности в 3. Пусть S гладкая поверхность в 3. Тогда -функцией сосредоточенной на поверхности S называют сингулярную обобщенную функцию вида D 3 S, = S x, x, x 3 ds. Определение. Замена переменных в обобщенной функции из D. Пусть f D и A диффеоморфизм класса C из в и B = A. D Bt fax, x = ft,. det A Bt Замечание.. Замена переменных обобщается на случай, когда A диффеоморфизм некоторой окрестности носителя обобщенной функции на образ.

21 ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6 СЕМЕСТР.. Прямое произведение обобщенных функций. Мотивировка.3 Прямое произведение регулярных обобщенных функций. Пусть F ядро регулярной обобщенной функций f D, где N и G ядро регулярной обобщенной функций g D m, где m N. Прямым произведением f и g естественно считать регулярную обобщенную функцию из D +m с ядром F xgy. Легко видеть, что, D +m fx gy, x, y = F xgyx, y dx dy = +m = F x Gyx, y dx dy = f, g,. m Определение.4 Прямое произведение обобщенных функций. Пусть f D, где N; g D m, где m N. Прямым произведением f g называют обобщенную функцию из D +m, действующую по правилу D +m fx gy, x, y = fx, gy, x, y. Теорема.5 Корректность определения прямого произведения обобщенных функций. Для любых f D и g D m, где N и m N верно, что f g D +m. Доказательство. Обратим внимание, что для доказательства теоремы необходимо проверить, что gy, x, y основная функция от переменной x, а f g непрерывное отображение. Без доказательства. Пример.6. Доказать, что x, y = x y. Решение. Легко видеть, что D x y, x, y = x, y, x, y = x, x, = =, = x, y, x, y. Теорема.7 Свойства прямого произведения обобщенных функций. Пусть f D, где N; g D m, где m N; h D k, где k N. Тогда fx gy = gy fx; D x fx gy = D x fx gy, где Z +; 3 fx gy hz = fx gy hz. Доказательство. Фиксируем произвольную основную функцию из D +m. Из финитности носителя следует, что найдется > такое, что supp [, ] +m. Из теоремы.6 следует, что найдутся регулярная обобщенная функция f с непрерывным ядром F и Z + такие, что f K = D f K, где K = [, ], а также регулярная обобщенная функция

22 А. А. Пожарский с непрерывным ядром и Zm + такие, что g Km = D Km, где K m = [, ] m. Отсюда следует, что fx gy, x, y = fx, gy, x, y = Dx fx Dy y, x, y = y, = + fx, D x D y x, y y, = + fx, D x Dy x, y = = + F x ydx Dy x, y dy dx = = + m y F xd x Dy x, y dx dy = gy fx, x, y. m m Легко видеть, что D +m Dx fx gy, x, y = fx gy, Dx x, y = = fx, gy, Dx x, y = fx, Dx gy, x, y = Dx fx, gy, x, y = Dx fx gy, x, y 3 Доказывается аналогично свойству..3. Свертка обобщенных функций. Определение.8 Свертка классических функций. Сверткой классических функций F : и G : называют функцию вида F Gx = F ygx y dy, при условии, что последний интеграл сходится при почти всех x. Мотивировка.9 Свертка регулярных обобщенных функций. Пусть непрерывные функции F и G с финитными носителями являются ядрами регулярных обобщенных функций f D и g D, соответственно. В этом случае корректно определена свертка F G. Сверткой обобщенных функций f и g естественно считать регулярную обобщенную функцию из D с ядром F G. Легко видеть, что, D f gx, x = F Gxx dx =. = F ygx y dy x dx = = F y Gx yx dx dy = [x = z + y] = F y Gzz + y dz dy = = [z = x] = F y Gxx + y dx dy = fx, gy, x + y.

23 ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6 СЕМЕСТР 3 Определение. Свертка обобщенных функций в D. Сверткой обобщенных функций f D и g D называют отображение вида D f gx, x = fx, gy, x + y,. при условии, что формула. корректно определяет обобщенную функцию из D. Теорема. Существование свертки обобщенных функций в D. Пусть f D, g D и выполнено одно из следующих условий. > : supp f, ; > : supp g, ; 3 : supp f, + и supp g, +; 4 : supp f, и supp g,. Тогда корректно определена свертка f g D. Доказательство. Пусть выполнено условие. Из теоремы.5 следует, что существует срезка такая, что C ; x [, ] x = ; x [ +, + ] x =. Из условия следует, что f = f. Таким образом, формулу. можно переписать в виде D f gx, x = fx, gy, x + y = xfx, gy, x + y = = fx, gy, xx + y = fx gy, xx + y. Заметим теперь, что xx + y бесконечно дифференцируемая функция с финитным носителем, т. е. xx + y D отметим, что функция x + y, вообще говоря, имеет неограниченный носитель. Далее, легко видеть, что из x D следует, что x x + y D. Отсюда и из корректности определения прямого произведения следует, что f g D. Доказательство аналогично. 3 Из теоремы.5 можно получить, что существует такая, что C ; x [, + x = ; x, ] x =. Из условия 3 следует, что f = f и g = g. Таким образом, формулу. можно переписать в виде D f gx, x = fx, gy, x + y = xfx, ygy, x + y = = fx, gy, xyx + y = fx gy, xyx + y. Заметим теперь, что xyx + y бесконечно дифференцируемая функция с финитным носителем, т. е. xyx + y D отметим, что функции x + y, xx + y и yx + y, вообще говоря, имеют неограниченные носители.

24 4 А. А. Пожарский Далее, легко видеть, что из x D следует, что xy x + y D. Отсюда и из корректности определения прямого произведения следует, что f g D. 4 Доказательство аналогично 3. Теорема. Свойства свертки обобщенных функций. Пусть f D, g D и выполнено одно из условий 4 теоремы.. Тогда f g = g f; f g = f g = f g. Доказательство. Доказательство проведем для случая, когда выполнено условие теоремы.. Остальные случаи рассматриваются аналогично. Пусть срезка такая, что C ; x [, ] x = ; x [ +, + ] x =. Используя результат теоремы.7, и те же приемы, что и при доказательстве теоремы. получим, что D f gx, x = fx gy, xx + y = = gy fx, xx + y = g fx, x. Аналогично, используя теорему.7, получим D f g x, x = f gx, x = fx gy, x x + y fx gy, x xx + y + fx gy, xx + y = = x fx gy, xx + y + xfx gy, x + y = = f x gy, xx + y = f gx, x, fx gy, y xx + y = y fx gy, xx + y = = fx g y, xx + y = f g x, x. Здесь мы учли, что xfx = это следует из того, что носители x и fx располагаются на не пересекающихся промежутках. Пример.3. Упростить выражение x a fx, где a и f D. Решение. Легко видеть, что D x a fx, = x a, fy, x + y = fy, y + a = fx a, x. Ответ: x a fx = fx a.

25 ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6 СЕМЕСТР 5 Пример.4. Упростить выражение. Решение. Легко видеть, что D, = x, y, x + y = dx dy x + y = [y = z x] = = dx dz z = dz z dy z = zz dz = zz, z. x Ответ: x = xx. Теорема.5 Свойства свертки обобщенной и гладкой функций. Пусть f D, G D и g регулярная обобщенная функция с ядром G. Тогда f gx регулярная обобщенная функция с ядром fy, Gx y ; fy, G y C. Доказательство. Пусть носитель G принадлежит отрезку [, ] при некотором >. Пусть произвольная основная функция из класса D и носитель принадлежит отрезку [r, r] при некотором r >. Из теоремы.4 следует, что существуют регулярная обобщенная функция h с непрерывным ядром H и N такие, что f K = h K, где K = [ r, + r]. Отсюда и из теоремы Фубини получим, что f g, = h g, = h g, = hx, g y, x + y = = Hx G yx + y dy dx = Hx G y xy dy dx = = HxG y x dx y dy = HyG x y dy x dx. Следовательно, f g регулярная обобщенная функция с ядром HyG x y dy = hy, G x y = h y, Gx y = fy, Gx y.. Гладкость ядра fy, G y следует из формулы. и классических свойств свертки.

26 6 А. А. Пожарский 3. Обобщенные решения линейных дифференциальных уравнений 3.. Обобщенные решения линейных дифференциальных уравнений. Теорема 3. Общий вид решения линейного дифференциального уравнения в D. Пусть p k C при k =,,...,, где N; f D. Тогда справедливы следующие утверждения. Дифференциальное уравнение y + p y p y + p y = f 3. разрешимо в D. Общее решение уравнения 3. в D имеет вид y = y p + y o, где y p частное решение неоднородного уравнения 3. в D, y o общее решение однородного уравнения y + p y p y + p y = 3. в D. 3 Любое решение однородного уравнения 3. в D является регулярной обобщенной функцией, ядро которой удовлетворяет уравнению 3. в классическом смысле. 4 Пространство решений однородного уравнения 3. в D образует -мерное линейное пространство. Доказательство. Доказательство проведем для случая =. Общее решение классического однородного уравнения u + p u = имеет вид ux = C exp x p t dt, C C. Решение уравнения y + p y = f, y D 3.3 будем искать в виде y = uz, 3.4 где z D. Подставляя представление 3.4 в уравнение 3.3, найдем, что uz + p uz = f u z + uz + p uz = f u + p uz + uz = f uz = f. Учитывая, что u C и u C, получим Найдем решение уравнения 3.5. Пусть D такая, что x dx =. z = f. 3.5 u

27 ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6 СЕМЕСТР 7 Легко видеть, что D x t dt t dt x t dt D. 3.6 Из 3.6 следует, что корректно определено отображение D z p, = x u f, t dt t dt x t dt. Несложно показать, что y p D. Вычислим теперь y p D z p, = z p, = x u f, t dt t dt Таким образом, z p обобщенное решение уравнения 3.5. Пусть y решение уравнения 3.. Выполняя подстановку y = y p + y o, где y p частное решение уравнения 3., в уравнении 3., получим x t dt = y p + y o + p y p + y o p y p + y o + p y p + y o = f = y p + p y p p y p + p y p }{{} =f y o +y o u f,. + p y o p y o + p y o = f = + p y o p y o + p y o =. Что и требовалось доказать. 3 Доказательство проведем для случая =. Пусть y обобщенное решение уравнения Рассмотрим классическое решение уравнения вида ux = exp y + p y =. 3.7 u + p u = x p t dt, C C. Из условий u C и u C, следует, что корректно определена обобщенная функция вида Легко видеть, что z = y. 3.8 u z = u y u u y = u y + p u u y = u y + p y =. Отсюда и из теоремы.38 следует, что найдется постоянная C C такая, что z C. Таким образом, из 3.8 вытекает, что y = Cu регулярная обобщенная функция с гладким ядром. 4 Следует из пункта 3 настоящей теоремы и классической теории дифференциальных уравнений.

28 8 А. А. Пожарский Пример 3.. Найти общее решение уравнения y = P x в D Решение. Решение проводим в несколько шагов. Шаг. Найдем частное решение неоднородного уравнения y = P x. 3.9 Из примера.3 следует, что y p = l x частное решение уравнения 3.9 в D. Шаг. Найдем общее решение однородного уравнения y =. 3. Общее решение однородного уравнения 3. в D имеет вид y o = C, где C C. Шаг 3. Из теоремы 3. следует, что общее решение уравнения 3.9 в D имеет вид y = y p +y o. Ответ: y = l x + C, C C. Теорема 3.3 Связь между классическими и обобщенными решениями линейного дифференциального уравнения. Пусть p k C при k =,,...,, где N; f - регулярная обобщенная функция с непрерывным ядром F. Тогда справедливы следующие утверждения. Если Y классическое решение уравнения Y + p Y p Y + p Y = F, 3. то регулярная обобщенная функция y с ядром Y удовлетворяет уравнению 3.. Любое решение уравнения 3. в D является регулярной обобщенной функцией, ядро которой удовлетворяет уравнению 3. в классическом смысле. Доказательство. Из того, что Y классическое решение уравнения 3. вытекает, что Y C. Следовательно, D y + p y p y, = y, + p p = = Y x x + p xx p xx dx = интегрирование по частям возможно в силу условия Y C = Y x + p xy x p xy x x dx = fxx dx = f,. Из теоремы 3. следует, что общее решение уравнения 3. имеет вид y = y p + y o, причем y o регулярная обобщенная функция, ядро которой удовлетворяет уравнению 3. в класси- ческом смысле. В силу непрерывности F, из классического анализа следует, что существует классическое решение Y p уравнения 3.. Отсюда и из пункта настоящей теоремы следует, что регулярная обобщенная функция y p с ядром Y p является обобщенным решением уравнения 3.. Таким образом, общее решение уравнения 3. является регулярным функционалом, ядро которого удовлетворяет уравнению 3..

29 ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6 СЕМЕСТР Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. Определение 3.4 Фундаментальное решение дифференциального оператора с постоянными коэффициентами в D. Пусть a k C при k =,,...,, где N; y D Ly = y + a y a y + a y. Фундаментальным решением оператора L называют всякую обобщенную функцию E, удовлетворяющую уравнению LEx = x. Теорема 3.5 Фундаментальное решение дифференциального оператора с постоянными коэффициентами в D. Пусть a k C при k =,,...,, где N; y D Ly = y + a y a y + a y; ядро Z регулярной обобщенной функции z является классическим решением задачи Коши { Z + a Z a Z + a Z =, Z =, Z =, Z 3 =,..., Z =. Тогда Ex = zxx фундаментальное решение оператора L. Доказательство. Из теоремы.36 следует, что Следовательно, E x = z xx + Zx = z xx, E x = z xx + Z x = z xx,..., E x = z xx + Z x = z xx, E x = z xx + Z x = z xx + x. LEx = L zxx = L zx x + x = x. Пример 3.6. Найти фундаментальное решение оператора Ly = y + 4y. Решение. Легко видеть, что решение классической задачи Коши Z + 4Z =, Z =, Z = имеет вид Zx = si x. Отсюда и из теоремы 3.5 следует, что Ex = sixx фунда- ментальное решение оператора L. Ответ: Ex = sixx. Теорема 3.7 Частное решение неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в D. Пусть a k C при k =,,...,, где N; y D Ly = y + a y a y + a y E фундаментальное решение оператора L; f D ; корректно определена свертка E f в D.

30 3 А. А. Пожарский Тогда обобщенная функция y = E f является решением уравнения Ly = f; решение уравнения Ly = f единственно в классе обобщенных функций, для которых корректно определена свертка E y в D. Доказательство. Из теоремы. следует, что Ly = LE f = LE f = f = f. Пусть Ly = f, Ly = f и корректно определены свертки E y и E y. Тогда y y = y y = y y LE = Ly Ly E = f f E =. Пример 3.8. Найти общее классическое решение уравнения y = e x. 3. Решение. Легко видеть, что фундаментальное решение оператора Ly = y имеет вид Ex = xx. Далее, из теоремы 3.7 следует, что частное решение уравнения 3. имеет вид y p x = E fx = y ye xy dy = ye xy dy = e x. Отсюда, учитывая, что общее решение однородного уравнения y = имеет вид найдем общее решение уравнения 3. y o x = ax + b, a C, b C, yx = y p x + y o x = e x + ax + b, a C, b C. Пример 3.9. Найти общее классическое решение уравнения где f L. y + y = f, 3.3 Решение. Легко видеть, что фундаментальное решение оператора Ly = y + y имеет вид Ex = si x x. Далее, из теоремы 3.7 следует, что частное решение уравнения 3.3 имеет вид y p x = E fx = si y yfx y dy = si yfx y dy = [y = x t] = Отсюда, учитывая, что общее решение однородного уравнения y + y = имеет вид найдем общее решение уравнения 3.3 y o x = a si x + b cos x, a C, b C, x six tft dt. yx = y p x + y o x = x six tft dt + a si x + b cos x, a C, b C.

31 ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6 СЕМЕСТР Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора с переменными коэффициентами. Определение 3. Фундаментальное решение дифференциального оператора с переменными коэффициентами в D. Пусть p k C при k =,,...,, где N; y D Ly = y + p y p y + p y. Фундаментальным решением оператора L называют всякую обобщенную функцию Ex, t, удовлетворяющую уравнению LEx, t = x t для любого t предполагается, что оператор L действует по переменной x. Теорема 3. Фундаментальное решение дифференциального оператора с переменными коэффициентами в D. Пусть p k C при k =,,...,, где N; y D Ly = y + p y p y + p y; для любого t ядро Zx, t регулярной обобщенной функции zx, t является класси- ческим решением задачи Коши { Z + p Z p Z + p Z =, Z t, t =, Z t, t =, Z 3 t, t =,..., Zt, t =, где все производные берутся по переменной x. Тогда Ex, t = zx, tx t фундаментальное решение оператора L. Доказательство. Доказывается так же как и теорема 3.5. Пример 3.. Найти фундаментальное решение оператора Ly = y xy. Решение. Легко видеть, что решение классической задачи Коши Z xz =, Zt =, t, имеет вид Zx = e x t. Отсюда и из теоремы 3. следует, что Ex, t = e x t x t фундаментальное решение оператора L. Ответ: Ex, t = e x t x t. Теорема 3.3 Частное решение неоднородного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами в D. Пусть p k C при k =,,...,, где N; y D Ly = y + p y p y + p y; E фундаментальное решение оператора L; f D ; корректно определена обобщенная функция D y p, = ft, Ex, t, x. Тогда обобщенная функция y p является решением уравнения Ly = f.

32 3 А. А. Пожарский Доказательство. Легко видеть, что D Ly p, = y p, L = ft, Ex, t, L x = ft, LEx, t, x = = ft, x t, x = ft, t = f,, где формально сопряженный оператор L определен равенством D L = + p p + p. Следовательно, Ly p = f. Теорема 3.4 Частное решение неоднородного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами и регулярной правой частью в. Пусть p k C при k =,,...,, где N; y D Ly = y + p y p y + p y; E ядро фундаментального решения E оператора L вида Ex, t = Zx, tx t; f регулярная обобщенная функция с непрерывным ядром F, имеющим финитный носитель. Тогда функция Y p x = Ex, tf t dt является классическим решением уравнения LY = F. Доказательство. Из теоремы 3.3 следует, что обобщенная функция D y p, = ft, Ex, t, x является решением уравнения Ly = f. Из теоремы Фубини следует, что D y p, = F t Ex, tx dx dt = F tex, t dt x dx. Таким образом, y p регулярная обобщенная функция с ядром Y p. Отсюда и из теоремы 3.3 следует, что Y p классическое решение уравнения LY = F. Пример 3.5. Найти частное классическое решение уравнения где f L. y xy = f, 3.4 Решение. Фундаментальное решение оператора Ly = y xy найдено в задаче 3. Ex, t = e x t x t. Далее, из теоремы 3.3 следует, что частное решение уравнения 3.4 может быть записано в виде x y p x = e x t x tft dt = e x e t ft dt.

33 ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6 СЕМЕСТР Функция Грина задачи Штурма-Лиувилля. Определение 3.6 Оператор Штурма-Лиувилля. Пусть < a < b < +;,, и вещественные параметры; k + k при k =, ; p C [a, b] и q C[a, b]; x [a, b] px. Оператором Штурма-Лиувилля на отрезке [a, b] называется оператор Lux = pxu x + qxux с областью определения вида { } DomL = u u C [a, b], ua + u a =, ub + u b =. Определение 3.7 Функция Грина оператора Штурма-Лиувилля. Пусть L оператор Штурма-Лиувилля на отрезке [a, b]; g, y регулярная обобщенная функция, зависящая от параметра y [a, b]; y a, b x a, b L x gx, y = x y; Gx, y ядро регулярной обобщенной функции gx, y; y a, b G, y C [a, y C y, b]; y a, b Gx, y + G xx, y x=a =, Gx, y + G xx, y x=b =. Тогда g называют функцией Грина оператора Штурма-Лиувилля L. Теорема 3.8 Достаточное условие существования функции Грина оператора Штурма-Лиувилля. Пусть L оператор Штурма-Лиувилля на отрезке [a, b]; = не является собственным значением оператора Штурма-Лиувилля, т.е. задача Lu =, имеет только трививальное решение u ; u DomL Тогда существует функция Грина g оператора Штурма-Лиувилля L; ядро G функции Грина g имеет вид Gx, y = { u xu y, a x y b, k u yu x, a y x b. Здесь u произвольное нетривиальное решение задачи Lu =, u a + u a = ; u произвольное нетривиальное решение задачи Lu =, u b + u b = ; k = pxu xu x u xu x, причем k нетривиальная постоянная.

34 34 А. А. Пожарский Доказательство. Утверждение о том, что k постоянная оставим без доказательства доказано на -ом курсе. Из того, что = не является собственным числом оператора L, следует, что u и u линейно независимые решения уравнения Lu =. Отсюда следует нетривиальность постоянной k. Далее, необходимо вычислить выражение L x Gx, y и доказать, что оно равно x y. Из того, что u x и u x решения уравнения L x u = следует, что L x Gx, y = при x y как в классическом, так и в обобщенном смысле. Таким образом, достаточно остановиться на вычислении выражения L x Gx, y в окрестности точки x = y. Функция Gx, y непрерывна при x = y, следовательно G xx, y = { u xu y, a x y b, k u xu y, a y x b. Функция pxg xx, y имеет скачок при x = y, следовательно pxg xx, y x = { } pxu x u y, a x y b, k pxu x + u y, a y x b + pxu xu x pxu xu x x y = k = { } pxu x u y, a x y b, k pxu x x y. u y, a y x b Отсюда получим, что L x Gx, y = { } Lu x u y, a x y b, + x y = x y. k Lu x u y, a y x b Теорема 3.9 Обратный оператор к оператору Штурма-Лиувилля. Пусть L оператор Штурма-Лиувилля на отрезке [a, b]; = не является собственным значением оператора Штурма-Лиувилля. Тогда существует обратный оператор L : C[a, b] DomL; обратный оператор L может быть записан в виде L fx = b a Gx, yfy dy, где G ядро функции Грина оператора Штурма-Лиувилля L. Доказательство. Для доказательство необходимо показать, что для любого f C[a, b] существует единственное решение уравнения Lu = f такое, что u DomL. Существование решения будет доказано в пункте. Докажем, что решение уравнения Lu = f единственно. Пусть Lu = f, Lu = f, u DomL, u DomL. Отсюда получим, что Lu u =, u u DomL. Учитывая, что = не является собственный значением оператора L, получим, что u = u. Для доказательства необходимо показать, что для любого f C[a, b] функция ux = b a Gx, yfy dy

35 ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6 СЕМЕСТР 35 принадлежит области определения оператора L и является решением уравнения Lux = fx. Ядро Gx, y имеет скачок производной при x = y, поэтому удобно переписать функцию u в виде ux = x a Gx, yfy dy + b x Gx, yfy dy. 3.5 Отсюда легко следует, что u C [a, b] отметим, что G, y C [a, b] ни при каком y [a, b]. Учитывая, что Gx, y удовлетворяет граничным условиям, из 3.5 легко следует, что u также удовлетворяет необходимым граничным условиям и, следовательно, u DomL. Докажем теперь, что Lux = fx с помощью следующей нестрогой выкладки b Lux = L x Gx, yfy dy = a b a L x Gx, yfy dy = b a x yfy dy = fx. Данное нестрогое доказательство весьма наглядно, хотя и содержит грубую ошибку интегрирование обобщенной -функции. Более строгое доказательство практически полностью повторяет доказательство теорем 3.3 и 3.4. Приведем основные его моменты. Для начала, докажем, что обобщенная функция u, = fy, gx, y, x, определенная основных функциях с носителями сосредоточенными на интервале a, b, является решением уравнения Lux = fx в обобщенном смысле. Легко видеть, что Lu, = u, L = fy, gx, y, Lx = fy, L x gx, y, x = = fy, x y, x = fy, y = f,. Здесь мы учли, что L формально самосопряженный оператор L = L. Таким образом, Lu = f в смысле обобщенных функций. Наконец, так как u и f регулярные обобщенные функции с непрерывными ядрами, то также как и при доказательстве теоремы 3.4 отсюда следует, что u и f классические решения уравнения Lu = f. Справедливости ради, отметим, что здесь также нужно предположить, что p и q бесконечно дифференцируемые функции.

36 36 А. А. Пожарский 4. Обобщенные функции медленного роста 4.. Пространство обобщенных функций медленного роста. Определение 4. Класс Шварца S. Классом Шварца S сокращенно, S называют пространство функций вида : C, удовлетворяющих следующим условиям C ; Z + p Z + lim x± x p x =. Определение 4. Сходимость в смысле S. Говорят, что последовательность функций { } S = сходится при к функции в смысле S, и пишут, если N S; S; для любых k Z + и p Z + последовательность функций { x k p x } сходится при = к функции x k p x равномерно на. Определение 4.3 Пространство обобщенных функций медленного роста. Пусть отображение f : S f, C удовлетворяет условиям линейность: для любых, S и, C верно, что f, + = f, + f, ; непрерывность: для любой последовательности функций { } = такой, что S верно, что lim f, =. Тогда отображение f называют обобщенной функцией медленного роста. Пространство обобщенных функций медленного роста обозначают S или, сокращенно, S. Теорема 4.4 Связь между D и S и D и S. Справедливы следующие вложения D S; S D ; Доказательство. Следует из определений.4 и 4.. Следует из и определений.6 и 4.3. Пример 4.5. Справедливы следующие утверждения x S ; P x S ; 3 e x S, e x D. Решение. Самостоятельно. Теорема 4.6 Достаточное условие принадлежности регулярной обобщенной функции из D классу S. Пусть f D ; f регулярная обобщенная функция с ядром F ;

37 ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6 СЕМЕСТР 37 3 C > : x F x C + x. Тогда f S. Доказательство. Проверим, что отображение S f, = F xx dx 4. задано корректно. Пусть S. Из определения класса S следует, что x убывает при x ± быстрее любой степени x. Таким образом, найдется постоянная M > такая, что M x x + x. + Отсюда получим, что F xx dx F x x dx C + x M CM dx = dx <. + x + + x Следовательно, для любого S корректно определено число f, т.е. отображение 4. определено корректно. Линейность отображения 4. следует из того, что f D. Докажем непрерывность отображения 4.. Пусть задана последовательность { k } k= такая, S что k. Из равномерной сходимости k {x+ k x } на при k следует, что k= при k. Таким образом, f, k F x k x dx при k. k C k = max x + x + k x + x dx + x + F x + x + x + x + + x + k x dx 4.. Преобразование Фурье на классе Шварца. Определение 4.7 Преобразование Фурье на S. Преобразованием Фурье функции S называют функцию F []k = xe ikx dx. Замечание 4.8. Иногда преобразование фурье F []k мы будем обозначать через k. Теорема 4.9 Основные свойства преобразования Фурье на S. Пусть S и S. Тогда p N F [x p x]k = i p dp F [x]k; dk p p N F [ d p x ] k = ik p F [x]k; dx p 3 a F [x a]k = e ika F [x] k; 4 a F [xe iax ]k = F [x] k + a;

Основы функционального анализа и теории функций

Основы функционального анализа и теории функций Основы функционального анализа и теории функций Лектор Сергей Андреевич Тресков 3 семестр. Ряды Фурье. Постановка задачи о разложении периодической функции по простейшим гармоникам. Коэффициенты Фурье

Подробнее

grikurov

grikurov ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ Конспект лекций для студентов 3-го курса физического факультета СПбГУ, 2 Данный конспект посвящен основам теории обобщенных функций и их приложениям и охватывает

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

Список задач. для итогового контроля знаний по математическому анализу Группа НМ-101 Семестр 2. x x dx;

Список задач. для итогового контроля знаний по математическому анализу Группа НМ-101 Семестр 2. x x dx; Список задач для итогового контроля знаний по математическому анализу Группа НМ-101 Семестр 2 I. Неопределённый интеграл. Вычислить интеграл: 1. 1 sin 2x (0 x π); 2. 3. x 2 + 1 x 4 + 1 ; 3 sin 2 x 8 sin

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Тема 5. Оценка интегралов от быстро меняющихся и быстро осциллирующих функций

Тема 5. Оценка интегралов от быстро меняющихся и быстро осциллирующих функций Тема 5. Оценка интегралов от быстро меняющихся и быстро осциллирующих функций На этом занятии рассматривается вычисление интегралов от быстро меняющихся и быстро осциллирующих функций. Обсуждаются случаи

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Федеральное агентство по образованию Уральский государственный университет им. А. М. Горького Ю. Д. Панов, Р. Ф. Егоров МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Допущено УМО по классическому университетскому

Подробнее

2 Дифференцируемость функций многих переменных. точке. Достаточные условия дифференцируемости

2 Дифференцируемость функций многих переменных. точке. Достаточные условия дифференцируемости В.В. Жук, А.М. Камачкин Дифференцируемость функций многих переменных. Дифференцируемость функции в точке. Достаточные условия дифференцируемости в терминах частных производных. Дифференцирование сложной

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы.

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ I О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение Преобразованием Фурье функции из L называется функция определяемая равенством d Оператор F : называется

Подробнее

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1 Введение В курсе математического анализа первого семестра одно из центральных мест занимает теорема Ролля. Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a,

Подробнее

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению.

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению. ТЕМА 7 Задача Штурма-Лиувилля Собственные значения и собственные функции Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению Основные определения и теоремы Оператором Штурма-Лиувилля называется дифференциальный

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2004. Т. 45, N- 2 5 УДК 517.91 ГРУППОВАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВИДА y = f(x, y) Л. В. Овсянников Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР)

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР) ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР) А.В.СТЕПАНОВ Введение Эти заметки не заменяют курс лекций, но для сильных студентов могут

Подробнее

С. А. Бутерин. обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения

С. А. Бутерин. обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения С А Бутерин обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения МАТЕМАТИКА УДК 517984 ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ВОЛЬТЕРРОВА ОПЕРАТОРА

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ Таврический национальный университет им. В. И. Вернадского ОПЕРАТОРНЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ Таврический национальный университет им. В. И. Вернадского ОПЕРАТОРНЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ Таврический национальный университет им. В. И. Вернадского Н.Д. КОПАЧЕВСКИЙ ОПЕРАТОРНЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Специальный курс лекций для студентов специальностей

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ 5 СЕМЕСТР

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ 5 СЕМЕСТР МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ 5 СЕМЕСТР А. А. Пожарский Содержание Предисловие 2 занятие. Комплексные числа. 4 2. Регулярные функции комплексного переменного. 8 2 занятие 3. Восстановление регулярной функции по

Подробнее

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы Лекция 3: Однородные и неоднородные системы линейных уравнений Система линейных уравнений Определение Линейным уравнением (или уравнением первого порядка) с n неизвестными x 1, x 2,..., x n называется

Подробнее

Задачи по высшей математике для биологов

Задачи по высшей математике для биологов МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ БИОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Бобров А.Н. Радославова Т.В. Задачи по высшей математике для биологов МОСКВА 03 УДК

Подробнее

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. Уравнения математической физики «Прикладные математика и физика» базовая часть 4 зач. ед.

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. Уравнения математической физики «Прикладные математика и физика» базовая часть 4 зач. ед. УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе и экономическому развитию Д.А. Зубцов 29 января 2016 г. ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ по дисциплине: по направлению подготовки факультет: кафедра: курс: Уравнения математической

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

ВВЕДЕНИЕ В КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный химико-технологический университет»

Подробнее

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье.

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье. Лекция 4. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда..4. Равенство Парсеваля Пусть система вещественных функций g( ), g( ),..., g ( ),... ортогональна и

Подробнее

Оглавление. Введение в функциональный анализ: учебное пособие. А. А. Илларионов. 26 декабря 2008 г.

Оглавление. Введение в функциональный анализ: учебное пособие. А. А. Илларионов. 26 декабря 2008 г. Оглавление Введение в функциональный анализ: учебное пособие А. А. Илларионов 26 декабря 2008 г. Г л а в а I. Пространства 3 џ 1 Линейные пространства................... 3 џ 2 Нормированные пространства................

Подробнее

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 27. Том 48, 6 УДК 517.53/.57 НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Аннотация. Рассмотрена

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Необходимые и достаточные условия второго порядка в простейшей вариационной задаче Необходимые

Подробнее

3 Решение задачи Коши для операторно-дифференциальных уравнений методом полугрупп

3 Решение задачи Коши для операторно-дифференциальных уравнений методом полугрупп 3 Решение задачи Коши для операторно-дифференциальных уравнений методом полугрупп Пусть A линейный оператор, действующий в банаховом пространстве X, рассмотрим задачу du dt Au + f ( < t < T ), () u() ϕ,

Подробнее

Дифференциальные уравнения: конспект лекций

Дифференциальные уравнения: конспект лекций [DEshrt.te, 09.01.09] Дифференциальные уравнения: конспект лекций В 006 году студент -го курса Д.В. Кальянов набрал в LaTeX'е конспект моих лекций по курсу "Дифференциальные уравнения". Я переписал его

Подробнее

ОБ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В НЕЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ Т. Ш. Кальменов, Н. Е.

ОБ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В НЕЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ Т. Ш. Кальменов, Н. Е. Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 213. Том 54, 6 УДК 517.95 ОБ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В НЕЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ Т. Ш. Кальменов, Н.

Подробнее

15 Степень отображения. Определение Говорят, что на многообразии М n задана ориентация, если оно разбито на области действия локальных координат

15 Степень отображения. Определение Говорят, что на многообразии М n задана ориентация, если оно разбито на области действия локальных координат 87 Теорема Фундаментальная группа окружности S является бесконечной циклической группой с образующей α, где α - гомотопический класс петли l: I S, где l () t = ( os πt,sin π t ), t [ 0 ; ] 5 Степень отображения

Подробнее

НЕЛОКАЛЬНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИКО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

НЕЛОКАЛЬНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИКО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Современная математика и ее приложения. Том 68 (211). С. 4 5 УДК 517.95 НЕЛОКАЛЬНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИКО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА c 211 г. К. Б. САБИТОВ, Н. В. МАРТЕМЬЯНОВА АННОТАЦИЯ. Доказывается

Подробнее

dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений

dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений dx d ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 2, 2004 Электронный журнал, рег. N П23275 от 07.03.97 hp://www.neva.ru/journal e-mail: diff@osipenko.su.neva.ru Теория обыкновенных дифференциальных

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

16. Криволинейные координаты. Замена переменных в дифференциальных выражениях

16. Криволинейные координаты. Замена переменных в дифференциальных выражениях 16. Криволинейные координаты. Замена переменных в дифференциальных выражениях 16.1. Математическое описание какого-либо процесса нередко сопровождается выделением набора числовых его характеристик и заданием

Подробнее

Численный анализ. Содержание. А.М. Мацокин, ВКИ НГУ, 1994/95 учебный год (конспект лекций)

Численный анализ. Содержание. А.М. Мацокин, ВКИ НГУ, 1994/95 учебный год (конспект лекций) Численный анализ А.М. Мацокин, ВКИ НГУ, 1994/95 учебный год (конспект лекций) Содержание 1. Алгебраические методы интерполирования................ 3 1.1. Интерполяционный полином в форме Лагранжа..........

Подробнее

f(x 1,..., x k + h,..., x n ) f(x 1,..., x k,..., x n ),

f(x 1,..., x k + h,..., x n ) f(x 1,..., x k,..., x n ), 13. Дифференцирование функций многих переменных 13.1. Одним из самых распространенных средств локального изучения функций многих переменных является характеристика ее поведения вдоль координатных прямых

Подробнее

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова. 8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,

Подробнее

24-е занятие. Эйлеровы интегралы (функции Γ и B) Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

24-е занятие. Эйлеровы интегралы (функции Γ и B) Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр 24-е занятие Эйлеровы интегралы (функции Γ и B) Матем анализ, прикл матем, 3-й семестр Определения гамма-функции и бета-функции: Γ(x) = t x 1 e t dt B(x, y) = t x 1 (1 t) y 1 dt Д 3841 Доказать, что функция

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) А. Е. Умнов, Е. А. Умнов ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Пусть X множество, -алгебра подмножеств множества X и на задана -аддитивная полная

Подробнее

Лекция 17: Евклидово пространство

Лекция 17: Евклидово пространство Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания При решении многих задач возникает необходимость иметь числовые

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

10. Определенный интеграл

10. Определенный интеграл 1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Определенный интеграл. Несобственный интеграл.

Определенный интеграл. Несобственный интеграл. министерство образования и науки российской федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

+ z A1A 2. z A1A 4 A 1 A 2 A 1 A = 9

+ z A1A 2. z A1A 4 A 1 A 2 A 1 A = 9 Математика. Задание 1. По координатам вершин пирамиды A 1 A A 3 A 4 найти: 1. Длины рјбер A 1 A и A 1 A 3 ;. Угол между рјбрами A 1 A и A 1 A 3 ; 3. площадь грани A 1 A A 3 ; 4. объјм пирамиды; 5. уравнения

Подробнее

«ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА»

«ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА» Программа междисциплинарного экзамена для проведения вступительного испытания в магистратуру Российского университета дружбы народов по направлению «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА» специализация «Математическое

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

ПРЕДЕЛ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРЕДЕЛ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ПРЕДЕЛ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Н. В. Чашников nik239@list.ru 13 марта 21 г. Пусть натуральное число, отличное от единицы. Определим периодический B-сплайн первого

Подробнее

Математика и механика шифр

Математика и механика шифр ПРОГРАММА вступительного испытания по специальной дисциплине, соответствующей направленности программы аспирантуры 01.06.01 Математика и механика шифр наименование направления подготовки, утвержденное

Подробнее

Тригонометрические ряды Фурье

Тригонометрические ряды Фурье Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

С.М.Никольский КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТОМ 2 Учебник для студентов физических и механико-математических специальностей вузов.

С.М.Никольский КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТОМ 2 Учебник для студентов физических и механико-математических специальностей вузов. С.М.Никольский КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТОМ 2 Учебник для студентов физических и механико-математических специальностей вузов. Написан на основе курса лекций, читаемого автором в Московском физико-техническом

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

2. Запишите с помощью { логических символов утверждение: последовательность x n не имеет предела. a cos x, для x <

2. Запишите с помощью { логических символов утверждение: последовательность x n не имеет предела. a cos x, для x < Вычислите предел lim ИМИТиФ, Аттестационная работа, 6 год Прикладная математика и информатика, Второй курс, Вариант первый +si xcos x x si x+cos x Запишите с помощью { логических символов утверждение:

Подробнее

4 Основные свойства определенного интеграла

4 Основные свойства определенного интеграла 178 4 Основные свойства определенного интеграла Рассмотрим основные свойства определенного интеграла. 1) Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (=), то интеграл равен нулю f ( ) d = 0 Данное

Подробнее

множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B).

множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B). ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ТЕОРЕМА ФУБИНИ. ПРОСТРАНСТВА Lp, I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Определение. Пусть и Y множества, и Y меры, заданные на полукольцах S и S Y подмножеств множеств и

Подробнее

Бондаренко Н.П., Федосеев А.Е. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Бондаренко Н.П., Федосеев А.Е. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Бондаренко Н.П., Федосеев А.Е. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ УДК 517.968.2 Бондаренко Н.П., Федосеев А.Е. Методы решения интегральных уравнений: Учеб. пособие для студ. матем. спец. Саратов, 214.

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

Лекция 2. Степенные ряды

Лекция 2. Степенные ряды С А Лавренченко wwwlwreekoru Лекция Степенные ряды Понятие степенного ряда Степенной ряд можно рассматривать как многочлен с бесконечным числом членов Определение (степенного ряда) Степенным рядом называется

Подробнее

8. Определенный интеграл

8. Определенный интеграл 8. Определенный интеграл 8.. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x,..., x n, x n } [, b], что = x < x < < x n < x n =

Подробнее

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ Опорный конспект лекций

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ Опорный конспект лекций Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет математики и информатики ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ

Подробнее

1. Основные уравнения математической физики

1. Основные уравнения математической физики 1. Основные уравнения математической физики В математической физике возникают самые разнообразные дифференциальные уравнения, описывающие различные физические процессы. Целью нашего курса является изучение

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

Задачи Штурма-Лиувилля в простейшем случае

Задачи Штурма-Лиувилля в простейшем случае Задачи Штурма-Лиувилля в простейшем случае 1 I рода слева I рода справа Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевыми условиями I-го рода: { X x + Xx, X X 11 Общее решение уравнения X x + Xx имеет вид Xx c

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ УДК 589 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ ВВ ОСТАПЕНКО ИЛ РЫЖКОВА Рассмотрены линейные дифференциальные игры с интегральными ограничениями на управления игроков

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Ряды и интегралы Фурье

Ряды и интегралы Фурье Ряды и интегралы Фурье А.М.Будылин budylin@mph.phys.spbu.ru 26 марта 22 г. Страница 1 из 127 Часть I Тригонометрические ряды История вопроса Экскурс в теорию комплексных чисел Определения Случай равномерной

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания и варианты заданий к контрольной

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ С ОДНОРОДНЫМИ ЯДРАМИ

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ С ОДНОРОДНЫМИ ЯДРАМИ МИНОБРНАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Авсянкин О. Г. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ С ОДНОРОДНЫМИ

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА)

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Постановка задачи. Рассматривается задача о вычислении однократного интеграла J(F ) = F (x) dx. ()

Подробнее

МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ

МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А. И. ГЕРЦЕНА кафедра математического анализа В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ Учебное издание Санкт-Петербург

Подробнее

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ: ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ: ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Е.

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Часть 1

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Часть 1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ А.М. ДЕНИСОВ, А.В. РАЗГУЛИН ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Часть 1 МОСКВА 2009 г. Пособие

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Московский физико-технический институт (государственный университет) О.В. Бесов ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть 2 Москва, 2005 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Методические указания по математическому

Подробнее

Блинова И.В., Попов И.Ю. Простейшие уравнения математической физики Учебное пособие

Блинова И.В., Попов И.Ю. Простейшие уравнения математической физики Учебное пособие Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ Блинова И.В., Попов

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных

Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных Рассмотрим задачу на нахождение условного экстремума для случае функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Пусть имеется

Подробнее

Д. Г. Орловский. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРАКТИКУМ Часть 1

Д. Г. Орловский. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРАКТИКУМ Часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ Д. Г. Орловский ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРАКТИКУМ Часть Рекомендовано УМО Ядерные физика и технологии

Подробнее

Конспект курса «Обыкновенные дифференциальные уравнения»

Конспект курса «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Конспект курса «Обыкновенные дифференциальные уравнения» А. И. Буфетов, Н. Б. Гончарук, Ю. С. Ильяшенко 8 апреля 2015 г. 2 Оглавление 1 Первый семестр 7 1.1 Дифференциальные уравнения в механике..........................

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы 1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. 1.1 Теорема о промежуточных значениях Теорема 1. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) f(b). Тогда для любого числа C, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка γ (a, b), что f(γ) = C. Доказательство. Пусть, например, f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на [a, b]. Кроме того, g(a) < 0, g(b) > 0. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка γ (a, b), что g(γ) = 0. Разделим отрезок [a, b] точкой x 0 на два равных по длине отрезка, тогда либо g(x 0 ) = 0 и, значит, искомая точка γ = x 0 найдена, либо g(x 0 ) 0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g принимает значения разных знаков, точнее, на левом конце значение меньше нуля, на правом - больше. Обозначим этот отрезок [a 1, b 1 ] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке γ, в которой g(γ) = 0, либо получим последовательность вложенных отрезков [a n, b n ] по длине стремящихся к нулю и таких, что g(a n ) < 0 < g(b n ) (1) Пусть γ - общая точка всех отрезков [a n, b n ], n = 1, 2,... Тогда γ = lim a n = lim b n. Поэтому, в силу непрерывности функции g Из (1) находим, что g(γ) = lim g(a n ) = lim g(b n ) (2) Из (2) и (3) следует, что g(γ) = 0. lim g(a n ) 0 lim g(b n ) (3) Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. 1.2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β = sup E f (α = inf E f), если существует такая точка x 0 E, что f(x 0 ) = β (f(x 0 ) = α). 1

Подробнее

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012 Оценка снизу скорости блуждания решения линейного дифференциального уравнения третьего порядка через частоту нулей Тихомирова А.В. arxiv:11.6657v1 [math.ca] 9 Dec 1 В работе сравниваются две характеристики

Подробнее

Комментарии к теме Распределения случайных векторов

Комментарии к теме Распределения случайных векторов Комментарии к теме Распределения случайных векторов Практические занятия по теории вероятностей, 322 гр., СМ В. В. Некруткин, 2012 1 Случайные вектора и их распределения Многие свойства случайных векторов

Подробнее

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана Лекция 6 Определенный интеграл Римана Аннотация: Отмечается что кроме интеграла Римана существуют и другие интегралы Рассматриваются свойства определенного интеграла Понятие определенного интеграла настолько

Подробнее

11. Аксиомы отделимости

11. Аксиомы отделимости 48 11 Аксиомы отделимости Понятие топологического пространства было введено в самом общем виде Рассмотрим ограничения, накладываемые на топологические пространства Определение Говорят, что топологическое

Подробнее

Научно исследовательская работа. Применение определенного интеграла для обоснования и получения числовых неравенств

Научно исследовательская работа. Применение определенного интеграла для обоснования и получения числовых неравенств Научно исследовательская работа Применение определенного интеграла для обоснования и получения числовых неравенств Выполнил: Носальский Никита Олегович, учащийся 10 класса муниципального бюджетного общеобразовательного

Подробнее

BASES IN EUCLIDEAN SPACES AND FOURIER SERIES. Ç. Ä. àãúàç åóòíó ÒÍËÈ ÓÒÛ appleòú ÂÌÌ È ÛÌË ÂappleÒËÚÂÚ ËÏ. å.ç. ãóïóìóòó V. A.

BASES IN EUCLIDEAN SPACES AND FOURIER SERIES. Ç. Ä. àãúàç åóòíó ÒÍËÈ ÓÒÛ appleòú ÂÌÌ È ÛÌË ÂappleÒËÚÂÚ ËÏ. å.ç. ãóïóìóòó V. A. àî ËÌ ÇÄ, 1998 BASES IN EUCLIDEAN SPACES AND FOURIER SERIES V A IL'IN A ide of costructig bsis, with respect to which oe c expd y vector of fiitedimesiol (eg, threedimesiol) spce, is pplied i the cse of

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Т А Матвеева В Б Светличная С А Зотова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.И. Лобачевского. Национальный исследовательский университет

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.И. Лобачевского. Национальный исследовательский университет НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.И. Лобачевского Национальный исследовательский университет Учебно-научный и инновационный комплекс "Модели, методы и программные средства" Механико-математический

Подробнее

Курс лекций по функциональному анализу

Курс лекций по функциональному анализу МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет Курс лекций по функциональному анализу Лектор Анатолий Михайлович Стёпин III курс, 6 семестр, поток математиков

Подробнее

Методические указания к решению задач на интегралы с параметром. Учебно-методическое пособие

Методические указания к решению задач на интегралы с параметром. Учебно-методическое пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского Методические указания к решению задач на интегралы с параметром Учебно-методическое пособие

Подробнее

3 Операция деления комплексных чисел. Как связаны модуль и аргумент частного с модулями и аргументами делимого и делителя?

3 Операция деления комплексных чисел. Как связаны модуль и аргумент частного с модулями и аргументами делимого и делителя? Экзаменационные вопросы по ТФКП. Вопрос 1. Элементарные операции с комплексными числами. Элементарные функции комплексной переменной. 1 Операция сложения комплексных чисел. Ее геометрическая интерпретация.

Подробнее

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра.

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Глава. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Определенный интеграл f ( d ) в главе был введен для случая ко нечного промежутка [, ] и ограниченной функции f (). Теперь это понятие

Подробнее