ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ (6 СЕМЕСТР)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ (6 СЕМЕСТР)"

Транскрипт

1 ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6 СЕМЕСТР А. А. Пожарский Содержание,, 3 лекции. Обобщенные функции одной переменной 4.. Пространство обобщенных функций 4.. Регулярные обобщенные функции 5.3. Сингулярные обобщенные функции 6.4. Сложение обобщенных функций 7.5. Умножение обобщенной функции на бесконечно дифференцируемую функцию 8.6. Дифференцирование обобщенных функций 8.7. Решение дифференциальных уравнений вида y x = в D.8. Общий вид обобщенной функции.9. Решение уравнений вида x y = fx в D 3.. Замена переменных в обобщенных функциях 5.. Сходимость в пространстве обобщенных функций 6 4, 5 лекции. Обобщенные функции нескольких переменных 9.. Обобщенные функции нескольких переменных 9.. Прямое произведение обобщенных функций.3. Свертка обобщенных функций 6, 7 лекция 3. Обобщенные решения линейных дифференциальных уравнений Обобщенные решения линейных дифференциальных уравнений Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора с переменными коэффициентами Функция Грина задачи Штурма-Лиувилля 33 8, 9 лекции 4. Обобщенные функции медленного роста Пространство обобщенных функций медленного роста Преобразование Фурье на классе Шварца Преобразование Фурье на обобщенных функциях медленного роста Метод Фурье решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в S 4, лекции 5. Применение обобщенных функций к решению дифференциальных уравнений в частных производных 43 мая 5 г.

2 А. А. Пожарский 5.. Фундаментальные решения линейных дифференциальных операторов в частных производных во всем пространстве Фундаментальное решение оператора Лапласа Фундаментальное решение оператора теплопроводности Фундаментальное решение волнового оператора Фундаментальное решение оператора Шредингера 5, 3, 4, 5, 6 лекции 6. Введение в задачи математической физики Классификация дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка Формулы Грина Краевые задачи для оператора Лапласа Функция Грина внутренней задачи Дирихле для оператора Лапласа Функция Грина внутренней задачи Дирихле для оператора Лапласа в шаре метод отражений Конформная инвариантность оператора Лапласа в Задача Коши для оператора теплопроводности во всем пространстве Задача Коши для волнового уравнения во всем пространстве Задача Коши для уравнения Шредингера во всем пространстве Физическая интерпретация полученных результатов 7 7, 8, 9 лекции 7. Аналитическая теория дифференциальных уравнений Поведение решений дифференциального уравнения в области регулярности его коэффициентов Поведение решений линейного дифференциального уравнения в окрестности изолированной особой точки его коэффициентов Теорема Фукса Поведение решений линейного дифференциального уравнения второго порядка в окрестности бесконечности Метод Лапласа построения интегрального представления для решения линейного дифференциального уравнения с линейными коэффициентами Основные идеи исследования решений линейных дифференциальных уравнений с регулярными коэффициентами 86,,, 3, 4 лекции 8. Специальные функции Уравнение Лежандра Полиномы Лежандра Присоединенные функции Лежандра Сферические функции Функция Бесселя Функции Ханкеля и Неймана Сингулярная задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя 7 5, 6, 7, 8 лекции 9. Метод разделения переменных 9.. Основные идеи метода разделения переменных 9.. Некоторые сведения о пространствах Соболева 9.3. Уравнение Пуассона в прямоугольнике 5

3 9.4. Уравнение Пуассона в круге 9.5. Уравнение Пуассона в шаре в Уравнение теплопроводности в ограниченной области Волновое уравнение в ограниченной области 7 Литература. Список рекомендуемой литературы 3

4 4 А. А. Пожарский. Обобщенные функции одной переменной.. Пространство обобщенных функций. Определение. Носитель непрерывной функции. Носителем непрерывной функции называют множество supp = {x x }. Определение. Пространство основных функций. Пусть функция : C удовлетворяет условиям бесконечная дифференцируемость: C ; финитность носителя: существует > такое, что supp [, ]. Тогда функцию называют основной функцией. Множество всех основных функций называют пространством основных функций, которое обозначают D или, сокращенно, D. Теорема.3 Свойства основных функций. Справедливы следующие утверждения. a C, b C, D, D = a + b D; D = D. Доказательство. Очевидно. Определение.4 Сходимость в смысле D. Говорят, что последовательность основных функций { } = сходится при к функции в смысле D, и пишут D, если существует > такое, что для любого N верно, что supp [, ]; для любого p Z + последовательность функций { p } = сходится при к функции p равномерно на. Теорема.5 Существование гладкой срезки. Пусть < < a b < < +. Тогда существует функция такая, что C ; x x ; 3 x [a, b] x = ; 4 x \, x =. Доказательство. Без доказательства. Определение.6 Пространство обобщенных функций. Пусть отображение f : D f, C удовлетворяет условиям линейность: для любых, D и, C верно, что f, + = f, + f, ; непрерывность: для любой последовательности основных функций { } = что D верно, что lim f, =. такой,

5 ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6 СЕМЕСТР 5 Тогда отображение f называют обобщенной функцией. Множество всех обобщенных функций называют пространством обобщенных функций, которое обозначают D или, сокращенно, D... Регулярные обобщенные функции. Определение.7 Регулярные обобщенные функции. Обобщенную функцию f называют регулярной, если существует F L,loc такая, что D f, = F xx dx. При этом функцию F называют ядром регулярной обобщенной функции f. Теорема.8 Общий вид регулярной обобщенной функции. Пусть F L,loc, тогда отображение f : D f, = F xx dx C является регулярной обобщенной функцией. Доказательство. Проверим линейность отображения f. Для любых, D и, C верно, что f, + = F x x + x dx = = F x x dx + F x x dx = f, + f,. Проверим непрерывность отображения f. Пусть задана последовательность основных функций { } = такая, что D. Из определения сходимости в D следует, что найдется > такое, что носители всех функций из последовательности { } = принадлежат отрезку [, ]. Из условия F L,loc следует, что M def = F x dx <. Пусть теперь задано произвольное >. Из равномерной сходимости последовательности { } = следует, что найдется N N такое, что > N max x < x[,] M +. Следовательно, для любого > N верно, что f, = F x x dx = F x x dx F x x dx max x x[,] F x dx < M + M <.

6 6 А. А. Пожарский Определение.9 Нулевая обобщенная функция. Нулевой обобщенной функцией называют регулярную обобщенную функцию вида D, =. Определение. -функция. -функцией называют регулярную обобщенную функцию вида D, = + x dx..3. Сингулярные обобщенные функции. Определение. Сингулярные обобщенные функции. Обобщенная функция называется сингулярной, если она не является регулярной. Определение. -функция Дирака. -функцией Дирака называют отображение вида D, =. Теорема.3 Сингулярность -функции Дирака. -функция Дирака сингулярная обобщенная функция. Доказательство. Факт D легко следует из определения. Доказательство сингулярности -функции Дирака проведем от противного. Пусть существует F L,loc такая, что D, = F xx dx.. Из теоремы.5 следует, что найдется D такая, что x x ; x [, ] x = ; 3 x \, x =. Отсюда и из. следует, что F x x dx =, = =.. С другой стороны, из условия F L,loc следует, что F x x dx F x dx..3 Сравнивая. и.3 приходим к противоречию. Определение.4 x a. Пусть a, тогда Определение.5 P x. D D P x, x a, = a. = v.p. x x def dx = lim + x > x x dx.

7 ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6 СЕМЕСТР 7 Теорема.6 Сингулярность P x. P x сингулярная обобщенная функция. Идея доказательства: Включение P x D примем без доказательства. Доказательство сингулярности обобщенной функции P проведем от противного. Пусть существует F L,loc такая, что x D P x, = F xx dx. Для любой D верно, что xx D и, следовательно, F xxx dx = P x, x = lim x dx = + x > x dx..4 Учитывая, что произвольная основная функция, из.4 следует, что xf x = при по- чти всех x. Однако, функция F x = не является суммируемой в окрестности нуля и, x следовательно, не принадлежит L,loc. Определение.7 P x. N D P x, = v.p. x k= x k k! x k dx def = lim Теорема.8 Сингулярность P. При N отображение P x функция. Идея доказательства: Самостоятельно..4. Сложение обобщенных функций. + x > x x k= x k k! x k dx. сингулярная обобщенная Мотивировка.9 Сложение регулярных обобщенных функций. Пусть F и G ядра регулярных обобщенных функций f и g, соответственно. Для локально суммируемых функций F и G корректно определена операция сложения и, следовательно, суммой регулярных обобщенных функций f и g естественно считать обобщенную функцию с ядром F + G. Отсюда, D f + g, = F x + Gxx dx = F xx dx + Gxx dx = f, + g,. Определение. Сумма обобщенных функций. Суммой обобщенных функций f и g называют обобщенную функцию f + g, действующую по правилу f + g, = f, + g,. Теорема. Корректность определения суммы обобщенных функций. Пусть f D g D. Тогда f + g D. Доказательство. Самостоятельно. и Легко проверить, что f + g D.

8 8 А. А. Пожарский.5. Умножение обобщенной функции на бесконечно дифференцируемую функцию. Мотивировка. Умножение регулярной обобщенной функции на бесконечно дифференцируемую функцию. Пусть F ядро регулярной обобщенной функций f и h бесконечно дифференцируемая функция. Легко видеть, что произведения локально суммируемой функции F и бесконечно дифференцируемой функции h корректно определено, причем F h локально суммируемая функция. Следовательно, произведением f h естественно считать обобщенную функцию с ядром F h. Отсюда, D f h, = F xhxx dx = f, h. Здесь мы учли, что h D, см. теорему.3. Определение.3 Умножение обобщенной функции на бесконечно дифференцируемую функцию. Произведением обобщенной функций f и бесконечно дифференцируемой функции h называют обобщенную функцию f h, действующую по правилу f h, = f, h. Теорема.4 Корректность определения произведения обобщенной функции на бесконечно дифференцируемую функцию. Пусть f D и h C. Тогда f h D. Доказательство. Самостоятельно. Пример.5. Доказать, что xx =. Решение. Легко видеть, что D Пример.6. Доказать, что xp x =. Решение. Легко видеть, что D xp x, x = P x, xx = lim Пример.7. Доказать, что xp x = P x. D xx, x = x, xx =. + x > xp x, x = P x, xx = lim xx x + x > dx = lim + x > x dx = x dx. xx dx = P x x, x..6. Дифференцирование обобщенных функций. Мотивировка.8 Производная гладкой регулярной обобщенной функции. Пусть F ядро регулярной обобщенной функций f и F C. Ясно, что F локально суммируемая функция, которую естественно считать ядром производной обобщенной функции f. Следовательно, D f, = F xx dx = F x x dx = f,. Здесь мы учли, что D, см. теорему.3.

9 ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6 СЕМЕСТР 9 Определение.9 Производная обобщенной функции. Производной обобщенной функций f называют обобщенную функцию f, действующую по правилу D f, = f,. Теорема.3 Корректность определения производной обобщенной функции. Пусть f D. Тогда f D. Доказательство. Самостоятельно. Задача.3. Доказать, что x = x. Решение. Легко видеть, что D x, x = x, x = Пример.3. Доказать, что l x = P x. x = x = = x, x. Решение. Заметим, что l x регулярная обобщенная функция. Следовательно, D l x, x = l x, x = l x x dx = lim l x x dx = = lim + = lim + = lim + = lim l x x l x x dx + l + + x > x x dx = l x x dx = l x x dx l x x x > P x, x. x x Задача.33. Доказать, что P x = P x + при N. Пример.34. Упростить выражение e x x. + + x > + dx = lim O l + l x x dx = x > x x dx = Решение. Легко видеть, что D e x x, x = x, e x x = x, e x x = = x, e x x + e x x = = x, x x, x = = x, x + x, x = x x, x. Следовательно, e x x = x x. Пример.35. Доказать, что x x = x при N.

10 А. А. Пожарский Решение. Легко видеть, что D x x, x = x, xx = x, xx = = x, x + x x = x, x = x, x. Теорема.36 Дифференцирование скачков в смысле D. Пусть F ядро регулярной обобщенной функции f; F C, a C a,, где a ; существуют пределы F a + и F a. Тогда f x = f cl F x+ a+f a xa, где f cl x регулярная обобщенная функция с ядром F x, а F x классическая производная от функции F x. Доказательство. Используя определение производной в смысле D и интегрирование по частям, получим D f x, x = fx, x = a F x x dx F x x dx = = F a a + a a F xx dx + F a + a + F xx dx = = F xx dx + F a + F a a = a = f clx, x + F a + F a x a, x. Пример.37. Вычислить третью производную регулярной обобщенной функции f с ядром, x <, F x = x + 3, x [, ], x 3, x >. Решение. Из теоремы.36 следует, что, x <, f x = x 8x + x, x [, ],, x >,, x <, f x = x 8 x 3x +, x [, ],, x >, f x = x 8 x 3 x + x x..7. Решение дифференциальных уравнений вида y x = в D. Теорема.38 Общий вид решения уравнения y = в D. Общее решение уравнения y = в D имеет вид y = C, где C C.

11 ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6 СЕМЕСТР Доказательство. Рассмотрим основную функцию, удовлетворяющую условию x dx =. Пусть произвольная основная функция. Рассмотрим функцию вида x x x = t dt t dt t dt..5 Легко видеть, что D. Пусть теперь y решение уравнения y = в D. Отсюда и из.5 получим, что = y, = y, = y, + y, t dt. Следовательно, y, = y, t dt = C,,.6 где C = y, C. Учитывая, что равенство.6 справедливо для любой D, получим, что y = C для некоторой C C. Теорема.39 Общий вид решения уравнения y = в D. Общее решение уравнения y = в D при N имеет вид y = p x, где p произвольный полином степени. Доказательство. Из теоремы.36 следует, что любой полином степени удовлетворяет уравнению y = в D. Дальнейшее доказательство проведем по индукции. База индукции = доказана в теореме.38. Пусть утверждение настоящей теоремы верно при = s N. Пусть y решение уравнения y s+ = в D. Докажем, что y полином степени s. Для этого рассмотрим вспомогательную функцию z = y. Заметим, что z удовлетворяет уравнению z s =, откуда следует, что z полином степени s. Таким образом, y удовлетворяет уравнению y = z,.7 где z полином степени s. Обозначим через p s полином степени s такой, что p s = z. Решение уравнения.7 будем искать в виде y = p s + f..8 Подставляя.8 в.7 получим, что f =. Отсюда и из теоремы.36 следует, что f постоянная функция. Принимая во внимание.8, приходим к выводу, что y полином степени s..8. Общий вид обобщенной функции. Определение.4 Носитель обобщенной функции. Говорят, что обобщенная функция f обращается в ноль на интервале a, b, если для любой D такой, что supp a, b верно, что f, =. В этом случае пишут f a,b =. Носителем обобщенной функции f называют множество supp f = \ a, b. {a,b f a,b =}

12 А. А. Пожарский Теорема.4 Общий вид обобщенной функции. Пусть f D ; K ограниченная область в. Тогда существуют регулярная обобщенная функция g с непрерывным ядром G и N такие, что f K = g K. Другими словами, для любой D такой, что supp K справедливо равенство f, = Gx x dx. Доказательство. Без доказательства. Задача.4. Докажите, что для обобщенной функции fx = k x k не существует регулярной обобщенной функции g и N таких, что f = g. k= Теорема.43 Общий вид обобщенной функции с носителем сосредоточенным в точке. Пусть f D ; supp f = {a}, где a. Тогда существуют s Z + и постоянные c, c,..., c s такие, что f = s c k k x a. k= Доказательство. Из теоремы.4 следует, что найдутся N и регулярная обобщенная функция g с непрерывным ядром G такие, что f = g. На интервале, a функция f обращается в ноль, следовательно, g = на, a. Отсюда и из теоремы.39 следует, что на интервале, a обобщенная функция g совпадает с некоторым полиномом степени, который мы обозначим через p l. Аналогично, полу- чим, что на интервале a, + обобщенная функция g совпадает с полиномом степени, который мы обозначим через p r. Учитывая, что g регулярная обобщенная функция, получим gx = p l xa x + p r xx a. Из теоремы.36 следует, что [ ] g x = p lxa x + p rxx a + p r a + p l a x a, [ ] g x = p l xa x + p rxx a + p ra + p la x a + [ ] + p r a + p l a x a,... [ g x = p r ] [ ] a + p l a x a p r a + p l a x a.

13 ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6 СЕМЕСТР 3.9. Решение уравнений вида x y = fx в D. Теорема.44 Общее решение уравнения xy =. Общее решение уравнения xy = в D имеет вид yx = Cx, где C C. Доказательство. Для начала докажем, что носитель любого решения уравнения xy =.9 сосредоточен в нуле. Для этого достаточно показать, что для любой основной функции такой, что supp \ {} другими словами, обращающейся в ноль в некоторой окрестности точки ноль, верно, что y, =. Рассмотрим вспомогательную функцию x = x. Легко видеть, что D, откуда x y, = y, x = xy, =. Таким образом, supp y = {}. Из свойства supp y = {} и теоремы.43 следует, что существуют s Z + и постоянные c, c,..., c s такие, что s y = c k k x.. k= Подставляя. в уравнение.9 и, используя результат примера.35, получим, что s s s = xy = c k x k x = c xx + c k x k x = c k k k x. k= Другими словами, c x + c x sc s s x =.. Из получим, что c = c =... = c s =. Отсюда и из. следует, что общее решение уравнения.9 имеет вид y = c x. Теорема.45 Общее решение уравнения x y =. Общее решение уравнения x y = в D при N имеет вид k= yx = c k k x, k= где c, c,..., c произвольные постоянные. Доказательство. Самостоятельно. Доказательство проводится по индукции. Индукционный переход выполняется с помощью введения новой неизвестной функции zx = xyx. Теорема.46 Общее решение уравнения xy = f. Пусть f D, тогда уравнение xy = f разрешимо в D ; общее решение уравнения xy = f в D имеет вид y = y p + y o, где y p частное решение неоднородного уравнения xy = f, y o общее решение однородного уравнения xy = т. е. y o = C, где C C. k=

14 4 А. А. Пожарский Доказательство. Пусть h D такая, что hx = при x [, ]. Рассмотрим отображение вида D y p, = Легко видеть, что y p D. Вместе с этим, fx, D xy p x, x = y p x, xx = x hx.. x fx, Таким образом, y p решение уравнения xy = f. Пусть y решение уравнения xy = f. Выполняя подстановку где y p определена формулой., в уравнении xy = f, получим xx hx = f,. x y = y p + y o,.3 xy p + y o = f = xy }{{} p +xy o = f = xy o =. =f Что и требовалось доказать. Пример.47. Найти общее решение уравнения xy = fx в D, где f C. Решение. Решение проводим в несколько шагов. Шаг. Заметим, что частное решение неоднородного уравнения имеет вид xy = fx.4 y p x = fxp x. Действительно, D xy p x, x = y p x, xx = fxp x, xx = = P x, xfxx =, fxx = fx, x. Шаг. Из теоремы.44 следует, что общее решение однородного уравнения xy = имеет вид y o x = Cx, где C C. Шаг 3. Общее решение уравнения.4 в D имеет вид y = y p + y o. Ответ: y = fxp + Cx, C C. x Пример.48. Найти общее решение уравнения xy = x в D. Решение. Решение проводим в несколько шагов. Шаг. Заметим, что частное решение неоднородного уравнения имеет вид y p x = x. Действительно, из примера.35 следует, что xy = x.5 xy p x = x x = x.

15 ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6 СЕМЕСТР 5 Шаг. Из теоремы.44 следует, что общее решение однородного уравнения xy = имеет вид y o x = Cx, где C C. Шаг 3. Общее решение уравнения.4 в D имеет вид y = y p + y o. Ответ: y = x + Cx, C C. Теорема.49 Общее решение уравнения x y = f. Пусть f D и N, тогда уравнение x y = f разрешимо в D ; общее решение уравнения x y = f в D имеет вид y = y p + y o, где y p частное решение неоднородного уравнения x y = f, y o общее решение однородного уравнения x y = см. теорему.45. Доказательство. Самостоятельно. Пример.5. Найти общее решение уравнения x y = в D при N. Решение. Решение проводим в несколько шагов. Шаг. Заметим, что частное решение неоднородного уравнения x y =.6 имеет вид Действительно, D x y p x, x = y p x, x x = = v.p. x x k= x x k k! x k y p x = P x. P x, x x = dx = v.p. x x dx = x x dx =, x. Шаг. Из теоремы.45 следует, что общее решение однородного уравнения x y = имеет вид y o x = c k k x, где c, c,..., c произвольные постоянные. Шаг 3. Общее решение уравнения.6 в D имеет вид y = y p + y o. Ответ: y = P x + k= c k k x, где c C, c C,..., c C. k=.. Замена переменных в обобщенных функциях. Мотивировка.5 Замена переменных в регулярной обобщенной функции. Пусть F ядро регулярной обобщенной функций f, A диффеоморфизм класса C из в и B = A. Легко видеть, что D fax, x = F Axx dx = [t = Ax, x = Bt] = F tbt B t dt = = F t Bt A Bt dt = Bt ft,. A Bt

16 6 А. А. Пожарский Определение.5 Замена переменных в обобщенной функции. Пусть f D, A диффеоморфизм класса C из в и B = A. D fax, x = Bt ft,. A Bt Пример.53. Упростить выражение ax, где a \ {}. Решение. Из определения.5 следует, что ax = a x. Пример.54. Упростить выражение x + 4. Решение. Из определения.5 следует, что x + 4 = x + = x +... Сходимость в пространстве обобщенных функций. Определение.55 Сходимость в смысле D. Говорят, что последовательность обобщенных функций {f } = сходится при к обобщенной функции f в смысле D, и пишут если D f D f, lim f, = f,. Теорема.56 Предельный переход под знаком производной в D. D f f = f D f. Доказательство. Из определения.55 следует, что f D f D f, f, D f, f,. Для завершения доказательства осталось заметить, что f, f, в силу f D f. Пример.57. Заметим, что six D. Отсюда и из теоремы.56 следует, что cosx D. При этом в классическом смысле последовательность cosx не имеет предела при. Теорема.58 Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла. Пусть F L и F L при N; при почти всех x существует предел lim F x = F x; существование локально суммируемой мажоранты: существует G L такая, что для любого N и при почти всех x верно, что F x Gx.

17 Тогда ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6 СЕМЕСТР 7 lim F x dx = F x dx. Доказательство. Без доказательства. Теорема.59 Теорема Лебега о предельном переходе в D. Пусть f регулярная обобщенная функция с ядром F ; f регулярная обобщенная функция с ядром F, где N; при почти всех x существует предел lim F x = F x; существование локально суммируемой мажоранты: существует G L,loc такая, что для любого N и при почти всех x верно, что F x Gx. Тогда f D f. Доказательство. Следует из теоремы.58. Теорема.6 Отрицательный пример к теореме Лебега. Условие существования локально суммируемой мажоранты не может быть отброшено в теореме Лебега. Доказательство. Рассмотрим последовательность вида {, x, N F x =,, x,. Легко видеть, что F для любого x стремится к нулю при т. е. в теореме Лебега необходимо считать, что f =. Рассмотрим теперь основную функцию, которая равна единице на интервале,. Легко видеть, что Таким образом, lim f, = lim dx =. lim f, = = f,. Определение.6 -образная последовательность. Последовательность регулярных обобщенных функций {f } = называется -образной, если она сходится к -функции. Теорема.6 -образная последовательность достаточное условие. Пусть N f регулярная обобщенная функция с ядром F ; существует постоянная C > такая, что для любого интервала a, b верно, что b N F x dx C; для любого a, b такого, что a, b верно, что a b lim F x dx = ; a

18 8 А. А. Пожарский для любого [a, b] такого, что [a, b] верно, что b lim F x dx =. a Тогда {f } = -образная последовательность. Доказательство. Рассмотрим последовательность обобщенных функций {g } = с ядрами N G x = x F t dt. Заметим теперь, что последовательность {G } = равномерно ограничена на любом отрезке и при x верно, что lim G x = x. Отсюда и из теоремы Лебега.59 следует, что g x D x. Далее из теоремы.56 следует, что g x D x. Другими словами, f x D x. ядро регу- Теорема.63 Пример -образной последовательности. Пусть G x = e x лярной обобщенной функции g при >. Тогда g -образная последовательность при +. Доказательство. Следует из теоремы.6.

19 ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6 СЕМЕСТР 9. Обобщенные функции нескольких переменных.. Обобщенные функции нескольких переменных. Определение. Пространство основных функций D. Пусть функция : C, где N удовлетворяет условиям бесконечная дифференцируемость: C ; финитность носителя: существует шар B = {x x < } радиуса > такой, что supp B. Тогда функцию называют основной функцией. Множество всех основных функций называют пространством основных функций, которое обозначают D. Определение. Производная основной функции D. Пусть D, где N; =,,..., Z +. Производной порядка функции называют выражение вида где = D = x x... x Теорема.3 Существование гладкой срезки в. Пусть U открытое множество в, где N; K компакт ограниченное замкнутое множество в ; K U. Тогда существует функция : такая, что C ; x x ; 3 x K x = ; 4 x \ U x =. Доказательство. Без доказательства. Определение.4 Пространство обобщенных функций D. Пусть отображение f : D f, C удовлетворяет условиям линейность: для любых, D и, C верно, что f, + = f, + f, ; непрерывность: для любой последовательности основных функций { k } k= такой, что D k верно, что lim f, k =. k k Тогда отображение f называют обобщенной функцией. Множество всех обобщенных функций называют пространством обобщенных функций, которое обозначают D.,

20 А. А. Пожарский Определение.5 Производная обобщенной функции из D. Производной обобщенной функций f D порядка Z + называют обобщенную функцию D f, действующую по правилу D f, = f, D. Теорема.6 Общий вид обобщенной функции из D. Пусть f D ; K ограниченная область в. Тогда существуют регулярная обобщенная функция g с непрерывным ядром G и Z + такие, что f K = D g K. Другими словами, для любой D такой, что supp K справедливо равенство f, = GxD x dx. Доказательство. Без доказательства. Определение.7 -функция в D. -функцией в D, где N, называют регулярную обобщенную функцию вида D, = x, x,..., x dx dx... dx. Определение.8 -функция Дирака в D. -функцией Дирака в D, где N, называют отображение вида D, =. Пример.9. Доказать, что при N верно равенство x x... x x, x,..., x = x, x,..., x. Решение. Доказательство вполне аналогично одномерному случаю. Определение. -функция сосредоточенная на поверхности в 3. Пусть S гладкая поверхность в 3. Тогда -функцией сосредоточенной на поверхности S называют сингулярную обобщенную функцию вида D 3 S, = S x, x, x 3 ds. Определение. Замена переменных в обобщенной функции из D. Пусть f D и A диффеоморфизм класса C из в и B = A. D Bt fax, x = ft,. det A Bt Замечание.. Замена переменных обобщается на случай, когда A диффеоморфизм некоторой окрестности носителя обобщенной функции на образ.

21 ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6 СЕМЕСТР.. Прямое произведение обобщенных функций. Мотивировка.3 Прямое произведение регулярных обобщенных функций. Пусть F ядро регулярной обобщенной функций f D, где N и G ядро регулярной обобщенной функций g D m, где m N. Прямым произведением f и g естественно считать регулярную обобщенную функцию из D +m с ядром F xgy. Легко видеть, что, D +m fx gy, x, y = F xgyx, y dx dy = +m = F x Gyx, y dx dy = f, g,. m Определение.4 Прямое произведение обобщенных функций. Пусть f D, где N; g D m, где m N. Прямым произведением f g называют обобщенную функцию из D +m, действующую по правилу D +m fx gy, x, y = fx, gy, x, y. Теорема.5 Корректность определения прямого произведения обобщенных функций. Для любых f D и g D m, где N и m N верно, что f g D +m. Доказательство. Обратим внимание, что для доказательства теоремы необходимо проверить, что gy, x, y основная функция от переменной x, а f g непрерывное отображение. Без доказательства. Пример.6. Доказать, что x, y = x y. Решение. Легко видеть, что D x y, x, y = x, y, x, y = x, x, = =, = x, y, x, y. Теорема.7 Свойства прямого произведения обобщенных функций. Пусть f D, где N; g D m, где m N; h D k, где k N. Тогда fx gy = gy fx; D x fx gy = D x fx gy, где Z +; 3 fx gy hz = fx gy hz. Доказательство. Фиксируем произвольную основную функцию из D +m. Из финитности носителя следует, что найдется > такое, что supp [, ] +m. Из теоремы.6 следует, что найдутся регулярная обобщенная функция f с непрерывным ядром F и Z + такие, что f K = D f K, где K = [, ], а также регулярная обобщенная функция

22 А. А. Пожарский с непрерывным ядром и Zm + такие, что g Km = D Km, где K m = [, ] m. Отсюда следует, что fx gy, x, y = fx, gy, x, y = Dx fx Dy y, x, y = y, = + fx, D x D y x, y y, = + fx, D x Dy x, y = = + F x ydx Dy x, y dy dx = = + m y F xd x Dy x, y dx dy = gy fx, x, y. m m Легко видеть, что D +m Dx fx gy, x, y = fx gy, Dx x, y = = fx, gy, Dx x, y = fx, Dx gy, x, y = Dx fx, gy, x, y = Dx fx gy, x, y 3 Доказывается аналогично свойству..3. Свертка обобщенных функций. Определение.8 Свертка классических функций. Сверткой классических функций F : и G : называют функцию вида F Gx = F ygx y dy, при условии, что последний интеграл сходится при почти всех x. Мотивировка.9 Свертка регулярных обобщенных функций. Пусть непрерывные функции F и G с финитными носителями являются ядрами регулярных обобщенных функций f D и g D, соответственно. В этом случае корректно определена свертка F G. Сверткой обобщенных функций f и g естественно считать регулярную обобщенную функцию из D с ядром F G. Легко видеть, что, D f gx, x = F Gxx dx =. = F ygx y dy x dx = = F y Gx yx dx dy = [x = z + y] = F y Gzz + y dz dy = = [z = x] = F y Gxx + y dx dy = fx, gy, x + y.

23 ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6 СЕМЕСТР 3 Определение. Свертка обобщенных функций в D. Сверткой обобщенных функций f D и g D называют отображение вида D f gx, x = fx, gy, x + y,. при условии, что формула. корректно определяет обобщенную функцию из D. Теорема. Существование свертки обобщенных функций в D. Пусть f D, g D и выполнено одно из следующих условий. > : supp f, ; > : supp g, ; 3 : supp f, + и supp g, +; 4 : supp f, и supp g,. Тогда корректно определена свертка f g D. Доказательство. Пусть выполнено условие. Из теоремы.5 следует, что существует срезка такая, что C ; x [, ] x = ; x [ +, + ] x =. Из условия следует, что f = f. Таким образом, формулу. можно переписать в виде D f gx, x = fx, gy, x + y = xfx, gy, x + y = = fx, gy, xx + y = fx gy, xx + y. Заметим теперь, что xx + y бесконечно дифференцируемая функция с финитным носителем, т. е. xx + y D отметим, что функция x + y, вообще говоря, имеет неограниченный носитель. Далее, легко видеть, что из x D следует, что x x + y D. Отсюда и из корректности определения прямого произведения следует, что f g D. Доказательство аналогично. 3 Из теоремы.5 можно получить, что существует такая, что C ; x [, + x = ; x, ] x =. Из условия 3 следует, что f = f и g = g. Таким образом, формулу. можно переписать в виде D f gx, x = fx, gy, x + y = xfx, ygy, x + y = = fx, gy, xyx + y = fx gy, xyx + y. Заметим теперь, что xyx + y бесконечно дифференцируемая функция с финитным носителем, т. е. xyx + y D отметим, что функции x + y, xx + y и yx + y, вообще говоря, имеют неограниченные носители.

24 4 А. А. Пожарский Далее, легко видеть, что из x D следует, что xy x + y D. Отсюда и из корректности определения прямого произведения следует, что f g D. 4 Доказательство аналогично 3. Теорема. Свойства свертки обобщенных функций. Пусть f D, g D и выполнено одно из условий 4 теоремы.. Тогда f g = g f; f g = f g = f g. Доказательство. Доказательство проведем для случая, когда выполнено условие теоремы.. Остальные случаи рассматриваются аналогично. Пусть срезка такая, что C ; x [, ] x = ; x [ +, + ] x =. Используя результат теоремы.7, и те же приемы, что и при доказательстве теоремы. получим, что D f gx, x = fx gy, xx + y = = gy fx, xx + y = g fx, x. Аналогично, используя теорему.7, получим D f g x, x = f gx, x = fx gy, x x + y fx gy, x xx + y + fx gy, xx + y = = x fx gy, xx + y + xfx gy, x + y = = f x gy, xx + y = f gx, x, fx gy, y xx + y = y fx gy, xx + y = = fx g y, xx + y = f g x, x. Здесь мы учли, что xfx = это следует из того, что носители x и fx располагаются на не пересекающихся промежутках. Пример.3. Упростить выражение x a fx, где a и f D. Решение. Легко видеть, что D x a fx, = x a, fy, x + y = fy, y + a = fx a, x. Ответ: x a fx = fx a.

25 ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6 СЕМЕСТР 5 Пример.4. Упростить выражение. Решение. Легко видеть, что D, = x, y, x + y = dx dy x + y = [y = z x] = = dx dz z = dz z dy z = zz dz = zz, z. x Ответ: x = xx. Теорема.5 Свойства свертки обобщенной и гладкой функций. Пусть f D, G D и g регулярная обобщенная функция с ядром G. Тогда f gx регулярная обобщенная функция с ядром fy, Gx y ; fy, G y C. Доказательство. Пусть носитель G принадлежит отрезку [, ] при некотором >. Пусть произвольная основная функция из класса D и носитель принадлежит отрезку [r, r] при некотором r >. Из теоремы.4 следует, что существуют регулярная обобщенная функция h с непрерывным ядром H и N такие, что f K = h K, где K = [ r, + r]. Отсюда и из теоремы Фубини получим, что f g, = h g, = h g, = hx, g y, x + y = = Hx G yx + y dy dx = Hx G y xy dy dx = = HxG y x dx y dy = HyG x y dy x dx. Следовательно, f g регулярная обобщенная функция с ядром HyG x y dy = hy, G x y = h y, Gx y = fy, Gx y.. Гладкость ядра fy, G y следует из формулы. и классических свойств свертки.

26 6 А. А. Пожарский 3. Обобщенные решения линейных дифференциальных уравнений 3.. Обобщенные решения линейных дифференциальных уравнений. Теорема 3. Общий вид решения линейного дифференциального уравнения в D. Пусть p k C при k =,,...,, где N; f D. Тогда справедливы следующие утверждения. Дифференциальное уравнение y + p y p y + p y = f 3. разрешимо в D. Общее решение уравнения 3. в D имеет вид y = y p + y o, где y p частное решение неоднородного уравнения 3. в D, y o общее решение однородного уравнения y + p y p y + p y = 3. в D. 3 Любое решение однородного уравнения 3. в D является регулярной обобщенной функцией, ядро которой удовлетворяет уравнению 3. в классическом смысле. 4 Пространство решений однородного уравнения 3. в D образует -мерное линейное пространство. Доказательство. Доказательство проведем для случая =. Общее решение классического однородного уравнения u + p u = имеет вид ux = C exp x p t dt, C C. Решение уравнения y + p y = f, y D 3.3 будем искать в виде y = uz, 3.4 где z D. Подставляя представление 3.4 в уравнение 3.3, найдем, что uz + p uz = f u z + uz + p uz = f u + p uz + uz = f uz = f. Учитывая, что u C и u C, получим Найдем решение уравнения 3.5. Пусть D такая, что x dx =. z = f. 3.5 u

27 ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6 СЕМЕСТР 7 Легко видеть, что D x t dt t dt x t dt D. 3.6 Из 3.6 следует, что корректно определено отображение D z p, = x u f, t dt t dt x t dt. Несложно показать, что y p D. Вычислим теперь y p D z p, = z p, = x u f, t dt t dt Таким образом, z p обобщенное решение уравнения 3.5. Пусть y решение уравнения 3.. Выполняя подстановку y = y p + y o, где y p частное решение уравнения 3., в уравнении 3., получим x t dt = y p + y o + p y p + y o p y p + y o + p y p + y o = f = y p + p y p p y p + p y p }{{} =f y o +y o u f,. + p y o p y o + p y o = f = + p y o p y o + p y o =. Что и требовалось доказать. 3 Доказательство проведем для случая =. Пусть y обобщенное решение уравнения Рассмотрим классическое решение уравнения вида ux = exp y + p y =. 3.7 u + p u = x p t dt, C C. Из условий u C и u C, следует, что корректно определена обобщенная функция вида Легко видеть, что z = y. 3.8 u z = u y u u y = u y + p u u y = u y + p y =. Отсюда и из теоремы.38 следует, что найдется постоянная C C такая, что z C. Таким образом, из 3.8 вытекает, что y = Cu регулярная обобщенная функция с гладким ядром. 4 Следует из пункта 3 настоящей теоремы и классической теории дифференциальных уравнений.

28 8 А. А. Пожарский Пример 3.. Найти общее решение уравнения y = P x в D Решение. Решение проводим в несколько шагов. Шаг. Найдем частное решение неоднородного уравнения y = P x. 3.9 Из примера.3 следует, что y p = l x частное решение уравнения 3.9 в D. Шаг. Найдем общее решение однородного уравнения y =. 3. Общее решение однородного уравнения 3. в D имеет вид y o = C, где C C. Шаг 3. Из теоремы 3. следует, что общее решение уравнения 3.9 в D имеет вид y = y p +y o. Ответ: y = l x + C, C C. Теорема 3.3 Связь между классическими и обобщенными решениями линейного дифференциального уравнения. Пусть p k C при k =,,...,, где N; f - регулярная обобщенная функция с непрерывным ядром F. Тогда справедливы следующие утверждения. Если Y классическое решение уравнения Y + p Y p Y + p Y = F, 3. то регулярная обобщенная функция y с ядром Y удовлетворяет уравнению 3.. Любое решение уравнения 3. в D является регулярной обобщенной функцией, ядро которой удовлетворяет уравнению 3. в классическом смысле. Доказательство. Из того, что Y классическое решение уравнения 3. вытекает, что Y C. Следовательно, D y + p y p y, = y, + p p = = Y x x + p xx p xx dx = интегрирование по частям возможно в силу условия Y C = Y x + p xy x p xy x x dx = fxx dx = f,. Из теоремы 3. следует, что общее решение уравнения 3. имеет вид y = y p + y o, причем y o регулярная обобщенная функция, ядро которой удовлетворяет уравнению 3. в класси- ческом смысле. В силу непрерывности F, из классического анализа следует, что существует классическое решение Y p уравнения 3.. Отсюда и из пункта настоящей теоремы следует, что регулярная обобщенная функция y p с ядром Y p является обобщенным решением уравнения 3.. Таким образом, общее решение уравнения 3. является регулярным функционалом, ядро которого удовлетворяет уравнению 3..

29 ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6 СЕМЕСТР Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. Определение 3.4 Фундаментальное решение дифференциального оператора с постоянными коэффициентами в D. Пусть a k C при k =,,...,, где N; y D Ly = y + a y a y + a y. Фундаментальным решением оператора L называют всякую обобщенную функцию E, удовлетворяющую уравнению LEx = x. Теорема 3.5 Фундаментальное решение дифференциального оператора с постоянными коэффициентами в D. Пусть a k C при k =,,...,, где N; y D Ly = y + a y a y + a y; ядро Z регулярной обобщенной функции z является классическим решением задачи Коши { Z + a Z a Z + a Z =, Z =, Z =, Z 3 =,..., Z =. Тогда Ex = zxx фундаментальное решение оператора L. Доказательство. Из теоремы.36 следует, что Следовательно, E x = z xx + Zx = z xx, E x = z xx + Z x = z xx,..., E x = z xx + Z x = z xx, E x = z xx + Z x = z xx + x. LEx = L zxx = L zx x + x = x. Пример 3.6. Найти фундаментальное решение оператора Ly = y + 4y. Решение. Легко видеть, что решение классической задачи Коши Z + 4Z =, Z =, Z = имеет вид Zx = si x. Отсюда и из теоремы 3.5 следует, что Ex = sixx фунда- ментальное решение оператора L. Ответ: Ex = sixx. Теорема 3.7 Частное решение неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в D. Пусть a k C при k =,,...,, где N; y D Ly = y + a y a y + a y E фундаментальное решение оператора L; f D ; корректно определена свертка E f в D.

30 3 А. А. Пожарский Тогда обобщенная функция y = E f является решением уравнения Ly = f; решение уравнения Ly = f единственно в классе обобщенных функций, для которых корректно определена свертка E y в D. Доказательство. Из теоремы. следует, что Ly = LE f = LE f = f = f. Пусть Ly = f, Ly = f и корректно определены свертки E y и E y. Тогда y y = y y = y y LE = Ly Ly E = f f E =. Пример 3.8. Найти общее классическое решение уравнения y = e x. 3. Решение. Легко видеть, что фундаментальное решение оператора Ly = y имеет вид Ex = xx. Далее, из теоремы 3.7 следует, что частное решение уравнения 3. имеет вид y p x = E fx = y ye xy dy = ye xy dy = e x. Отсюда, учитывая, что общее решение однородного уравнения y = имеет вид найдем общее решение уравнения 3. y o x = ax + b, a C, b C, yx = y p x + y o x = e x + ax + b, a C, b C. Пример 3.9. Найти общее классическое решение уравнения где f L. y + y = f, 3.3 Решение. Легко видеть, что фундаментальное решение оператора Ly = y + y имеет вид Ex = si x x. Далее, из теоремы 3.7 следует, что частное решение уравнения 3.3 имеет вид y p x = E fx = si y yfx y dy = si yfx y dy = [y = x t] = Отсюда, учитывая, что общее решение однородного уравнения y + y = имеет вид найдем общее решение уравнения 3.3 y o x = a si x + b cos x, a C, b C, x six tft dt. yx = y p x + y o x = x six tft dt + a si x + b cos x, a C, b C.

31 ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6 СЕМЕСТР Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора с переменными коэффициентами. Определение 3. Фундаментальное решение дифференциального оператора с переменными коэффициентами в D. Пусть p k C при k =,,...,, где N; y D Ly = y + p y p y + p y. Фундаментальным решением оператора L называют всякую обобщенную функцию Ex, t, удовлетворяющую уравнению LEx, t = x t для любого t предполагается, что оператор L действует по переменной x. Теорема 3. Фундаментальное решение дифференциального оператора с переменными коэффициентами в D. Пусть p k C при k =,,...,, где N; y D Ly = y + p y p y + p y; для любого t ядро Zx, t регулярной обобщенной функции zx, t является класси- ческим решением задачи Коши { Z + p Z p Z + p Z =, Z t, t =, Z t, t =, Z 3 t, t =,..., Zt, t =, где все производные берутся по переменной x. Тогда Ex, t = zx, tx t фундаментальное решение оператора L. Доказательство. Доказывается так же как и теорема 3.5. Пример 3.. Найти фундаментальное решение оператора Ly = y xy. Решение. Легко видеть, что решение классической задачи Коши Z xz =, Zt =, t, имеет вид Zx = e x t. Отсюда и из теоремы 3. следует, что Ex, t = e x t x t фундаментальное решение оператора L. Ответ: Ex, t = e x t x t. Теорема 3.3 Частное решение неоднородного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами в D. Пусть p k C при k =,,...,, где N; y D Ly = y + p y p y + p y; E фундаментальное решение оператора L; f D ; корректно определена обобщенная функция D y p, = ft, Ex, t, x. Тогда обобщенная функция y p является решением уравнения Ly = f.

32 3 А. А. Пожарский Доказательство. Легко видеть, что D Ly p, = y p, L = ft, Ex, t, L x = ft, LEx, t, x = = ft, x t, x = ft, t = f,, где формально сопряженный оператор L определен равенством D L = + p p + p. Следовательно, Ly p = f. Теорема 3.4 Частное решение неоднородного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами и регулярной правой частью в. Пусть p k C при k =,,...,, где N; y D Ly = y + p y p y + p y; E ядро фундаментального решения E оператора L вида Ex, t = Zx, tx t; f регулярная обобщенная функция с непрерывным ядром F, имеющим финитный носитель. Тогда функция Y p x = Ex, tf t dt является классическим решением уравнения LY = F. Доказательство. Из теоремы 3.3 следует, что обобщенная функция D y p, = ft, Ex, t, x является решением уравнения Ly = f. Из теоремы Фубини следует, что D y p, = F t Ex, tx dx dt = F tex, t dt x dx. Таким образом, y p регулярная обобщенная функция с ядром Y p. Отсюда и из теоремы 3.3 следует, что Y p классическое решение уравнения LY = F. Пример 3.5. Найти частное классическое решение уравнения где f L. y xy = f, 3.4 Решение. Фундаментальное решение оператора Ly = y xy найдено в задаче 3. Ex, t = e x t x t. Далее, из теоремы 3.3 следует, что частное решение уравнения 3.4 может быть записано в виде x y p x = e x t x tft dt = e x e t ft dt.

33 ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6 СЕМЕСТР Функция Грина задачи Штурма-Лиувилля. Определение 3.6 Оператор Штурма-Лиувилля. Пусть < a < b < +;,, и вещественные параметры; k + k при k =, ; p C [a, b] и q C[a, b]; x [a, b] px. Оператором Штурма-Лиувилля на отрезке [a, b] называется оператор Lux = pxu x + qxux с областью определения вида { } DomL = u u C [a, b], ua + u a =, ub + u b =. Определение 3.7 Функция Грина оператора Штурма-Лиувилля. Пусть L оператор Штурма-Лиувилля на отрезке [a, b]; g, y регулярная обобщенная функция, зависящая от параметра y [a, b]; y a, b x a, b L x gx, y = x y; Gx, y ядро регулярной обобщенной функции gx, y; y a, b G, y C [a, y C y, b]; y a, b Gx, y + G xx, y x=a =, Gx, y + G xx, y x=b =. Тогда g называют функцией Грина оператора Штурма-Лиувилля L. Теорема 3.8 Достаточное условие существования функции Грина оператора Штурма-Лиувилля. Пусть L оператор Штурма-Лиувилля на отрезке [a, b]; = не является собственным значением оператора Штурма-Лиувилля, т.е. задача Lu =, имеет только трививальное решение u ; u DomL Тогда существует функция Грина g оператора Штурма-Лиувилля L; ядро G функции Грина g имеет вид Gx, y = { u xu y, a x y b, k u yu x, a y x b. Здесь u произвольное нетривиальное решение задачи Lu =, u a + u a = ; u произвольное нетривиальное решение задачи Lu =, u b + u b = ; k = pxu xu x u xu x, причем k нетривиальная постоянная.

34 34 А. А. Пожарский Доказательство. Утверждение о том, что k постоянная оставим без доказательства доказано на -ом курсе. Из того, что = не является собственным числом оператора L, следует, что u и u линейно независимые решения уравнения Lu =. Отсюда следует нетривиальность постоянной k. Далее, необходимо вычислить выражение L x Gx, y и доказать, что оно равно x y. Из того, что u x и u x решения уравнения L x u = следует, что L x Gx, y = при x y как в классическом, так и в обобщенном смысле. Таким образом, достаточно остановиться на вычислении выражения L x Gx, y в окрестности точки x = y. Функция Gx, y непрерывна при x = y, следовательно G xx, y = { u xu y, a x y b, k u xu y, a y x b. Функция pxg xx, y имеет скачок при x = y, следовательно pxg xx, y x = { } pxu x u y, a x y b, k pxu x + u y, a y x b + pxu xu x pxu xu x x y = k = { } pxu x u y, a x y b, k pxu x x y. u y, a y x b Отсюда получим, что L x Gx, y = { } Lu x u y, a x y b, + x y = x y. k Lu x u y, a y x b Теорема 3.9 Обратный оператор к оператору Штурма-Лиувилля. Пусть L оператор Штурма-Лиувилля на отрезке [a, b]; = не является собственным значением оператора Штурма-Лиувилля. Тогда существует обратный оператор L : C[a, b] DomL; обратный оператор L может быть записан в виде L fx = b a Gx, yfy dy, где G ядро функции Грина оператора Штурма-Лиувилля L. Доказательство. Для доказательство необходимо показать, что для любого f C[a, b] существует единственное решение уравнения Lu = f такое, что u DomL. Существование решения будет доказано в пункте. Докажем, что решение уравнения Lu = f единственно. Пусть Lu = f, Lu = f, u DomL, u DomL. Отсюда получим, что Lu u =, u u DomL. Учитывая, что = не является собственный значением оператора L, получим, что u = u. Для доказательства необходимо показать, что для любого f C[a, b] функция ux = b a Gx, yfy dy

35 ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6 СЕМЕСТР 35 принадлежит области определения оператора L и является решением уравнения Lux = fx. Ядро Gx, y имеет скачок производной при x = y, поэтому удобно переписать функцию u в виде ux = x a Gx, yfy dy + b x Gx, yfy dy. 3.5 Отсюда легко следует, что u C [a, b] отметим, что G, y C [a, b] ни при каком y [a, b]. Учитывая, что Gx, y удовлетворяет граничным условиям, из 3.5 легко следует, что u также удовлетворяет необходимым граничным условиям и, следовательно, u DomL. Докажем теперь, что Lux = fx с помощью следующей нестрогой выкладки b Lux = L x Gx, yfy dy = a b a L x Gx, yfy dy = b a x yfy dy = fx. Данное нестрогое доказательство весьма наглядно, хотя и содержит грубую ошибку интегрирование обобщенной -функции. Более строгое доказательство практически полностью повторяет доказательство теорем 3.3 и 3.4. Приведем основные его моменты. Для начала, докажем, что обобщенная функция u, = fy, gx, y, x, определенная основных функциях с носителями сосредоточенными на интервале a, b, является решением уравнения Lux = fx в обобщенном смысле. Легко видеть, что Lu, = u, L = fy, gx, y, Lx = fy, L x gx, y, x = = fy, x y, x = fy, y = f,. Здесь мы учли, что L формально самосопряженный оператор L = L. Таким образом, Lu = f в смысле обобщенных функций. Наконец, так как u и f регулярные обобщенные функции с непрерывными ядрами, то также как и при доказательстве теоремы 3.4 отсюда следует, что u и f классические решения уравнения Lu = f. Справедливости ради, отметим, что здесь также нужно предположить, что p и q бесконечно дифференцируемые функции.

36 36 А. А. Пожарский 4. Обобщенные функции медленного роста 4.. Пространство обобщенных функций медленного роста. Определение 4. Класс Шварца S. Классом Шварца S сокращенно, S называют пространство функций вида : C, удовлетворяющих следующим условиям C ; Z + p Z + lim x± x p x =. Определение 4. Сходимость в смысле S. Говорят, что последовательность функций { } S = сходится при к функции в смысле S, и пишут, если N S; S; для любых k Z + и p Z + последовательность функций { x k p x } сходится при = к функции x k p x равномерно на. Определение 4.3 Пространство обобщенных функций медленного роста. Пусть отображение f : S f, C удовлетворяет условиям линейность: для любых, S и, C верно, что f, + = f, + f, ; непрерывность: для любой последовательности функций { } = такой, что S верно, что lim f, =. Тогда отображение f называют обобщенной функцией медленного роста. Пространство обобщенных функций медленного роста обозначают S или, сокращенно, S. Теорема 4.4 Связь между D и S и D и S. Справедливы следующие вложения D S; S D ; Доказательство. Следует из определений.4 и 4.. Следует из и определений.6 и 4.3. Пример 4.5. Справедливы следующие утверждения x S ; P x S ; 3 e x S, e x D. Решение. Самостоятельно. Теорема 4.6 Достаточное условие принадлежности регулярной обобщенной функции из D классу S. Пусть f D ; f регулярная обобщенная функция с ядром F ;

37 ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6 СЕМЕСТР 37 3 C > : x F x C + x. Тогда f S. Доказательство. Проверим, что отображение S f, = F xx dx 4. задано корректно. Пусть S. Из определения класса S следует, что x убывает при x ± быстрее любой степени x. Таким образом, найдется постоянная M > такая, что M x x + x. + Отсюда получим, что F xx dx F x x dx C + x M CM dx = dx <. + x + + x Следовательно, для любого S корректно определено число f, т.е. отображение 4. определено корректно. Линейность отображения 4. следует из того, что f D. Докажем непрерывность отображения 4.. Пусть задана последовательность { k } k= такая, S что k. Из равномерной сходимости k {x+ k x } на при k следует, что k= при k. Таким образом, f, k F x k x dx при k. k C k = max x + x + k x + x dx + x + F x + x + x + x + + x + k x dx 4.. Преобразование Фурье на классе Шварца. Определение 4.7 Преобразование Фурье на S. Преобразованием Фурье функции S называют функцию F []k = xe ikx dx. Замечание 4.8. Иногда преобразование фурье F []k мы будем обозначать через k. Теорема 4.9 Основные свойства преобразования Фурье на S. Пусть S и S. Тогда p N F [x p x]k = i p dp F [x]k; dk p p N F [ d p x ] k = ik p F [x]k; dx p 3 a F [x a]k = e ika F [x] k; 4 a F [xe iax ]k = F [x] k + a;


ЛЕКЦИЯ 11А Фундаментальные решения в пространстве D. 1. Фундаментальные решения линейного дифференциального оператора

ЛЕКЦИЯ 11А Фундаментальные решения в пространстве D. 1. Фундаментальные решения линейного дифференциального оператора ЛЕКЦИЯ 11А Фундаментальные решения в пространстве D 1. Фундаментальные решения линейного дифференциального оператора Определение 1. Линейным дифференциальным оператором с постоянными коэффициентами порядка

Подробнее

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 28.1. Пространства D, D основных и обобщенных функций Понятие обобщенной функции обобщает классическое понятие функции и дает возможность выразить в математической форме такие

Подробнее

14. Задача Штурма-Лиувилля.

14. Задача Штурма-Лиувилля. Лекция 8 4 Задача Штурма-Лиувилля Рассмотрим начально-краевую задачу для дифференциального уравнения в частных производных второго порядка описывающего малые поперечные колебания струны Струна рассматривается

Подробнее

оператор, U: H H унитарный оператор.

оператор, U: H H унитарный оператор. Содержание лекций по УМФ на ФОПФ в весеннем семестре. Без доказательства в курсе используются следующие теоремы: а) Теорема Лебега об ограниченной сходимости и теорема Фубини; б) Теорема Планшереля; в)

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 7 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Обозначим через D множество всех бесконечно дифференцируемых финитных функций действительного переменного. Это

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K)

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K) Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 1. Пространство функций D(K) Символом α будем обозначать длину мультииндекса α: α α 1 + α 2 + + α N, α Z N + Z + Z }{{ +. } N Символом α k k обозначаем

Подробнее

К ВОПРОСУ ОБ ОБОБЩЕННОМ РЕШЕНИИ АЛГЕБРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ А. А. Щеглова

К ВОПРОСУ ОБ ОБОБЩЕННОМ РЕШЕНИИ АЛГЕБРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ А. А. Щеглова Сибирский математический журнал Июль август, 22. Том 43, 4 УДК 517.518 К ВОПРОСУ ОБ ОБОБЩЕННОМ РЕШЕНИИ АЛГЕБРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ А. А. Щеглова Аннотация: Исследуется возможность построения обобщенного

Подробнее

ЛЕКЦИИ 8А 9А Пространство D, продолжение. 5. Линейная замена переменной

ЛЕКЦИИ 8А 9А Пространство D, продолжение. 5. Линейная замена переменной ЛЕКЦИИ 8А 9А Пространство D, продолжение 5 Линейная замена переменной Для введения операции линейной (точнее, аффинной замены переменной, как и прежде, воспользуемся принципом продолжения с множества регулярных

Подробнее

ТЕМА 1. Метрические, нормированные и евклидовы пространства.

ТЕМА 1. Метрические, нормированные и евклидовы пространства. ТЕМА Метрические, нормированные и евклидовы пространства. Основные определения и теоремы Множество L называется (вещественным) линейным пространством, если для любых двух его элементов x, y определен элемент

Подробнее

7. Преобразование Фурье.

7. Преобразование Фурье. 7. Преобразование Фурье. Преобразование Фурье занимает важнейшее место в теории распределений, теории дифференциальных уравнений и математике вообще. Хорошо известно, что преобразование Фурье интегрируемой

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ Лектор д.ф.-м.н. В.В.Чепыжов * Факультет математики ВШЭ, 2017 г. 2 семестр Лекция 15 (21 марта 2017) 1. Интеграл Фурье. Основная теорема На прошлых лекциях были установлены условия,

Подробнее

7. Теорема Гильберта-Шмидта.

7. Теорема Гильберта-Шмидта. Лекция 5 7 Теорема Гильберта-Шмидта Будем рассматривать интегральный оператор A, ядро которого K( удовлетворяет следующим условиям: K( s ) симметрическое, непрерывное по совокупности переменных на [, ]

Подробнее

= u. u(x) dx и u(x) dx, u ρρ (1, θ) dθ. u(x) = 0, x := (x 1, x 2 ) B1(0);

= u. u(x) dx и u(x) dx, u ρρ (1, θ) dθ. u(x) = 0, x := (x 1, x 2 ) B1(0); Самостоятельная работа 2 Задание 1. Гармонические функции. 1. Найти все гармонические в R 2 функции u(x, y), для которых u y (x, y) = 3xy 2 x 3. 2. Найти все гармонические в R n функции, принадлежащие

Подробнее

Лекция 2 ПРИНЦИП МАКСИМУМА

Лекция 2 ПРИНЦИП МАКСИМУМА Лекция 2 ПРИНЦИП МАКСИМУМА 0. План лекции 1. Сильный принцип максимума для гармонических функций. 2. Принцип максимума модуля гармонической функции. 3. Единственность классического решения задачи Дирихле.

Подробнее

Лекция 14. Пространства Соболева и решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа. 1 Гладкость ньютоновского потенциала.

Лекция 14. Пространства Соболева и решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа. 1 Гладкость ньютоновского потенциала. Лекция 14. Пространства Соболева и решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа. 1 Гладкость ньютоновского потенциала. Докажем, что ньютоновский потенциал гладок в тех точках, где гладка плотность. Положим:

Подробнее

Лекция 3 ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ. 1. Гладкость гармонических функций

Лекция 3 ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ. 1. Гладкость гармонических функций Лекция 3 ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ. Гладкость гармонических функций Справедлива следующая важная теорема: Теорема. Если u(x) C(U) обладает свойством (??): u(x) = u(y) ds ω N r N y = α N r N u(y) dy B(x,r) B(x,r)

Подробнее

Основы функционального анализа и теории функций

Основы функционального анализа и теории функций Основы функционального анализа и теории функций Лектор Сергей Андреевич Тресков 3 семестр. Ряды Фурье. Постановка задачи о разложении периодической функции по простейшим гармоникам. Коэффициенты Фурье

Подробнее

GENERALIZED FUNCTIONS. å. à. Çàòàä åóòíó ÒÍËÈ ÓÒÛ appleòú ÂÌÌ È ÛÌË ÂappleÒËÚÂÚ ËÏ. å.ç. ãóïóìóòó M. I. VISHIK. The article is an introduction

GENERALIZED FUNCTIONS. å. à. Çàòàä åóòíó ÒÍËÈ ÓÒÛ appleòú ÂÌÌ È ÛÌË ÂappleÒËÚÂÚ ËÏ. å.ç. ãóïóìóòó M. I. VISHIK. The article is an introduction ÇË ËÍ å.à., 997 GENERALIZED FUNCTIONS M. I. VISHIK The article is an introduction to the theory of generalized functions. The strict definition of a generalized function is given. The main attention is

Подробнее

Глава 1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава 1 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Лекция 1 1 Введение Уравнение называется интегральным, если неизвестная функция входит в уравнение под знаком интеграла Разумеется, мы не будем рассматривать интегральные

Подробнее

4. Дифференцируемость функции многих переменных

4. Дифференцируемость функции многих переменных 4. Дифференцируемость функции многих переменных 4.1. Линейное нормированное пространство Пусть E линейное пространство над полем вещественных чисел, то есть E множество, на котором определены операция

Подробнее

ФОРМУЛА ДЛЯ ФУНКЦИЙ, РЕАЛИЗУЮЩИХ ФУНКЦИОНАЛЫ В. И. Половинкин

ФОРМУЛА ДЛЯ ФУНКЦИЙ, РЕАЛИЗУЮЩИХ ФУНКЦИОНАЛЫ В. И. Половинкин Сибирский математический журнал Июль август, 2001. Том 42, 4 УДК 517.98.23 ФОРМУЛА ДЛЯ ФУНКЦИЙ, РЕАЛИЗУЮЩИХ ФУНКЦИОНАЛЫ В. И. Половинкин Аннотация: Выводится формула для функций u, реализующих функционалы

Подробнее

Методические указания по курсу «Интегральные уравнения»

Методические указания по курсу «Интегральные уравнения» Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» Волгодонский инженерно-технический институт

Подробнее

Лекция 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. пространство

Лекция 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. пространство Лекция 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. Пространство P Напомним, что топология τ пространства Фреше P, τ) порождена следующим счетным семейством полунорм: def f n p n f) max sup + x 2) n fx)..) n x Определение.

Подробнее

Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций.

Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций. Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 27 марта 2012 г. Обозначения Символом α будем

Подробнее

Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ. 1. Слабая производная

Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ. 1. Слабая производная Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ 1. Слабая производная Определение 1. Функция v(x) L p loc () называется слабой производной x α функции u(x) L p loc () и пишем v(x) = α u(x), если для всякой функции

Подробнее

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ИЗ КЛАССОВ L p И W 1 p ПРИ p 1. В.А.Ильин, А.А.Кулешов

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ИЗ КЛАССОВ L p И W 1 p ПРИ p 1. В.А.Ильин, А.А.Кулешов О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ИЗ КЛАССОВ L p И W 1 p ПРИ p 1. В.А.Ильин, А.А.Кулешов В этой работе мы сначала устанавливаем в явном аналитическом виде существование в прямоугольнике

Подробнее

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ М. К. Дауылбаев

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ М. К. Дауылбаев Сибирский математический журнал Январь февраль, 2. Том 41, 1 УДК 517.948 АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ М. К. Дауылбаев Аннотация: Рассмотрено сингулярно

Подробнее

Лекция 7 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение и примеры

Лекция 7 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение и примеры Лекция 7 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА 1. Определение и примеры Определение 1. Нормой называется неотрицательная вещественная функция на линейном пространстве L над полем K (где K = R или K = C), удовлетворяющая

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики

Подробнее

1. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности. Метод Фурье. Построение классического решения

1. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности. Метод Фурье. Построение классического решения Лекция 1 1. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности. Метод Фурье. Построение классического решения Пусть u(x, t) температура в точке x Ω в момент времени t. Здесь Ω область в R n, n = 1, 2,

Подробнее

1. Определение пространства абсолютно непрерывных функций

1. Определение пространства абсолютно непрерывных функций Лекция 2 ПРОСТРАНСТВО AC И ПРОСТРАНСТВА ГЕЛЬДЕРА. 1. Определение пространства абсолютно непрерывных функций Определение 1. Будем говорить, что функция f(x) AC[,b], если для любого ε > 0 найдется такое

Подробнее

Лекция 10 ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА. ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЙ. 1. Теорема вложений С. Л. Соболева

Лекция 10 ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА. ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЙ. 1. Теорема вложений С. Л. Соболева Лекция ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА. ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЙ.. Теорема вложений С. Л. Соболева Теорема. Имеют место непрерывные вложения: W,p () L p () при N > p, p = Np N p, W,p () C ( ) при N < p. В частности,

Подробнее

Лекция 1 ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА. 1. Фундаментальное решение

Лекция 1 ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА. 1. Фундаментальное решение Лекция ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА В этой лекции мы рассмотрим основные свойства решений уравнения Лапласа и уравнения Пуассона в гладких областях. Многие результаты известны из курса лекций ММФ для третьего курса.

Подробнее

Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Измеримые по Лебегу функции.

Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Измеримые по Лебегу функции. Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. Интеграл Лебега, конечно, строиться не для всех функций, а только для так называемых измеримых. В дальнейшем для удобства вместо тройки (, µ,µ ) мы будем

Подробнее

ГЛАВА II Элементы теории полугрупп

ГЛАВА II Элементы теории полугрупп ГЛАВА II Элементы теории полугрупп ЛЕКЦИЯ 7 Неограниченные линейные операторы Хотя методами главы I нам удалось исследовать многие задачи математической физики, некоторые вполне классические задачи не

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

Лекция 8. Слабая и сильная производные

Лекция 8. Слабая и сильная производные Лекция 8. Слабая и сильная производные Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 9 апреля 2012 г. Определение слабой производной Определение

Подробнее

ТЕМА 2. Элементы теории линейных операторов. Обратный оператор. Вполне непрерывный оператор.

ТЕМА 2. Элементы теории линейных операторов. Обратный оператор. Вполне непрерывный оператор. ТЕМА Элементы теории линейных операторов Обратный оператор Вполне непрерывный оператор Основные определения и теоремы Оператор A, действующий из линейного пространства L в линейное пространство L, называется

Подробнее

Общее решение дифференциального уравнения y = 0 имеет вид

Общее решение дифференциального уравнения y = 0 имеет вид Задача 1.1. Найти в указанной области отличные от тождественного нуля решения y = y(x) дифференциального уравнения, удовлетворяющие заданным краевым условиям (задача Штурма-Лиувилля) Решение: Рассмотрим

Подробнее

Нормированным преобразованием Фурье функции f называется функция. ˆf = 1. f(x) = 1 R. 2. Убывание преобразования Фурье финитной гладкой функции.

Нормированным преобразованием Фурье функции f называется функция. ˆf = 1. f(x) = 1 R. 2. Убывание преобразования Фурье финитной гладкой функции. Лекция 5. Преобразование Фурье.. Определение и основные результаты. Пусть f L 2 (R). Преобразованием Фурье функции f называется функция f(α) = f(x)t iαx dx () Нормированным преобразованием Фурье функции

Подробнее

Дельта-функция. Определение дельта-функции

Дельта-функция. Определение дельта-функции Дельта-функция Определение дельта-функции Пусть финитная бесконечно дифференцируемая функция (т. е. основная функция),. Будем писать:. О. Дельта-функцией Дирака называется линейный непрерывный функционал

Подробнее

Лекция 1 ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА

Лекция 1 ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА Лекция ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА В этой лекции мы рассмотрим основные свойства решений уравнения Лапласа и уравнения Пуассона в гладких областях. Многие результаты известны из курса лекций ММФ для третьего курса.

Подробнее

5. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ. определена и непрерывна в замкнутом ( m + 1)

5. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ. определена и непрерывна в замкнутом ( m + 1) Лекция 5 5 Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ Постановка задачи Задача Коши для нормальной системы ОДУ x = f (, x), () состоит в отыскании решения x =

Подробнее

Лекция 7. Преобразование Фурье

Лекция 7. Преобразование Фурье Лекция 7. Преобразование Фурье Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 2 апреля 2012 г. Пространство P Напомним, что топология τ пространства

Подробнее

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 29 сентября 2011 г. Измеримые функции Интеграл Лебега,

Подробнее

ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭЙЛЕРА-ДАРБУ

ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭЙЛЕРА-ДАРБУ ISSN 074-1863 Уфимский математический журнал. Том 6. 4 (014). С. 63-70. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭЙЛЕРА-ДАРБУ И.В. ВЕРЕВКИН УДК 517.95 Аннотация. Введено преобразование Эйлера-Дарбу для неоднородных

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Список задач. для итогового контроля знаний по математическому анализу Группа НМ-101 Семестр 2. x x dx;

Список задач. для итогового контроля знаний по математическому анализу Группа НМ-101 Семестр 2. x x dx; Список задач для итогового контроля знаний по математическому анализу Группа НМ-101 Семестр 2 I. Неопределённый интеграл. Вычислить интеграл: 1. 1 sin 2x (0 x π); 2. 3. x 2 + 1 x 4 + 1 ; 3 sin 2 x 8 sin

Подробнее

Лекция 2. Пространство абсолютно непрерывных функций и пространства Гельдера.

Лекция 2. Пространство абсолютно непрерывных функций и пространства Гельдера. Лекция 2. Пространство абсолютно непрерывных функций и пространства Гельдера. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 28 февраля 2012 г. Введение

Подробнее

М.М.Деркач, А.М.Филимонов, Д.А.Филимонов ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

М.М.Деркач, А.М.Филимонов, Д.А.Филимонов ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» Кафедра «Прикладная математика-» М.М.Деркач,

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2

ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2 ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств. Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна по совокупности аргументов.

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

Лекция 5 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение топологического пространства

Лекция 5 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение топологического пространства Лекция 5 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 1. Определение топологического пространства Определение 1. Произвольное множество X с выделенной системой подмножеств τ множества X называется топологическим пространством

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Вопросы к первой части экзамена по курсу Методы математической физики ( учебный год) 1. Сформулируйте лемму о поведении решений уравнения

Вопросы к первой части экзамена по курсу Методы математической физики ( учебный год) 1. Сформулируйте лемму о поведении решений уравнения Вопросы к первой части экзамена по курсу Методы математической физики (2010-2011 учебный год) 1. Сформулируйте лемму о поведении решений уравнения ( k( x) u'( x))' q( x) u= 0, x ( a, b), где k( x) = (

Подробнее

Предварительные сведения теории разностных схем

Предварительные сведения теории разностных схем Предварительные сведения теории разностных схем 1 Формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина для сеточных функций Получим ряд соотношений, которые в дальнейшем будем использовать при исследовании

Подробнее

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Лекция 7 В. Н. Задорожный, В. Ф. Зальмеж, А. Ю. Трифонов, А. В. Шаповалов Курс: Дифференциальные уравнения Семестр 3, 2009 год portal.tpu.ru Линейным дифференциальным

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

3. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных условий.

3. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных условий. Лекция 4 3 Непрерывная зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных условий Постановка задачи Простейшим примером параметра, от которого зависит решение задачи Коши = f ( xy, ), yx ( ) = y

Подробнее

ТРЕХМЕРНЫЙ АНАЛОГ ИНТЕГРАЛА ТИПА КОШИ

ТРЕХМЕРНЫЙ АНАЛОГ ИНТЕГРАЛА ТИПА КОШИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2011, том 47, 3, с. 366 375 УДК 517.956 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ТРЕХМЕРНЫЙ АНАЛОГ ИНТЕГРАЛА ТИПА КОШИ c 2011 г. В. А. Полунин, А. П. Солдатов На гладкой замкнутой

Подробнее

Лекция 5 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Лекция 5 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ Лекция 5 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ В этой лекции мы рассмотрим некоторые результаты об операторах со слабой особенностью и теорию поверхностей Ляпунова. 0. План лекции. Свойства a), b) и c). 2. Теорема

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5А Пространства Лебега. 1. Полнота пространств Лебега

ЛЕКЦИЯ 5А Пространства Лебега. 1. Полнота пространств Лебега ЛЕКЦИЯ 5А Пространства Лебега 1. Полнота пространств Лебега Мы рассматриваем пространства L p (), где есть некоторое измеримое пространство (конечной или бесконечной, но σ-конечной меры), p [1; + ]. Теорема.

Подробнее

9.1 Классические ортогональные полиномы Определение классических ортогональных полиномов. τ(x) = Ax + B, (9.3)

9.1 Классические ортогональные полиномы Определение классических ортогональных полиномов. τ(x) = Ax + B, (9.3) Классические ортогональные полиномы Определение классических ортогональных полиномов Основные свойства классических ортогональных полиномов 9 Лекция 9.1 Классические ортогональные полиномы 9.1.1 Определение

Подробнее

Лекция Теорема существования и единственности решения стационарного уравнения Навье Стокса.

Лекция Теорема существования и единственности решения стационарного уравнения Навье Стокса. Лекция 9-10. Теорема существования и единственности решения стационарного уравнения Навье Стокса. Мы докажем теорему существования и единственности обобщенного решения системы уравнений Навье Стокса с

Подробнее

Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Операторно-разностные схемы 1.1 Введение Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области G R m, и пусть u(t) абстрактная

Подробнее

ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Санкт-Петербургский государственный университет Физический факультет

ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Санкт-Петербургский государственный университет Физический факультет ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Санкт-Петербургский государственный университет Физический факультет Регистрационный номер рабочей программы учебной дисциплины: 10 / ФЗ / 107.2 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ

Подробнее

Краевые задачи. ни разу, все функции комплекснозначные. , такое, что (2) верно. (0,0,0) задача имеет хоть одно решение, а именно ) ~ (

Краевые задачи. ни разу, все функции комплекснозначные. , такое, что (2) верно. (0,0,0) задача имеет хоть одно решение, а именно ) ~ ( Краевые задачи L ни разу все функции комплекснозначные Определение: - задачей называют задачу найти такое что верно задача имеет хоть одно решение а именно Предложение : - линейный оператор L и - линейные

Подробнее

Следствие Функция f на римановой поверхности X является гармонической тогда и только тогда, когда d( df) = 0.

Следствие Функция f на римановой поверхности X является гармонической тогда и только тогда, когда d( df) = 0. 13. Лемма Г. Вейля Начнем с того, что дадим еще одно определение гармонических функций на римановых поверхностях. Пусть X риманова поверхность и p X. Тогда касательное пространство T p X является не просто

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3 Дифференциальные уравнения высших порядков Лекции 2-3 Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида F( x, y, y,..., y() n ) 0, () в котором обязательно наличие n-ой производной. Будем

Подробнее

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы.

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ I О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение Преобразованием Фурье функции из L называется функция определяемая равенством d Оператор F : называется

Подробнее

Лекция 5 Решение волнового уравнения. 1. Решение Даламбера 2. Формула Даламбера 3. Решение 1-й начально краевой задачи для волнового уравнения

Лекция 5 Решение волнового уравнения. 1. Решение Даламбера 2. Формула Даламбера 3. Решение 1-й начально краевой задачи для волнового уравнения Лекция 5 Решение волнового уравнения 1. Решение Даламбера 3. Решение 1-й начально краевой задачи для волнового уравнения 1.Решение Даламбера Рассмотрим уравнение колебаний однородной струны 2 u t 2 = 2

Подробнее

С. С. Платонов. Элементы гармонического анализа Часть I. Ряды Фурье. c n e inx

С. С. Платонов. Элементы гармонического анализа Часть I. Ряды Фурье. c n e inx С. С. Платонов Элементы гармонического анализа Часть I. Ряды Фурье f(x) = n= c n e inx Петрозаводск 2010 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального

Подробнее

2. Пространства Соболева

2. Пространства Соболева 2. Пространства Соболева В теории дифференциальных уравнений в основном имеют дело с измеримыми функциями. Пусть область в R d. Функция u : R называется измеримой, если она является поточечным пределом

Подробнее

Лекция 9 СЛАБЫЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА. 1. Слабый принцип максимума в случае ограниченного решения

Лекция 9 СЛАБЫЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА. 1. Слабый принцип максимума в случае ограниченного решения Лекция 9 СЛАБЫЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА 1. Слабый принцип максимума в случае ограниченного решения Рассмотрим эллиптическое уравнение с переменными коэффициентами следующего вида: Lu(x) def a ij (x)u xi x j

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 20-21 Линейные

Подробнее

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Будем рассматривать уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной: F (x, y, y ) = 0, (1) где F заданная функция своих

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

ТЕМА 4. Принцип сжимающих отображений. Метод последовательных приближений для уравнения Фредгольма 2-рода с "малым" λ.

ТЕМА 4. Принцип сжимающих отображений. Метод последовательных приближений для уравнения Фредгольма 2-рода с малым λ. ТЕМА 4 Принцип сжимающих отображений Метод последовательных приближений для уравнения Фредгольма -рода с "малым" λ Основные определения и теоремы Пусть D оператор вообще говоря нелинейный действующий D:

Подробнее

6.1 Определения, предварительные сведения

6.1 Определения, предварительные сведения 6. Неявные функции 6.1 Определения, предварительные сведения Зависимость одной переменной от другой (или от других) не обязательно может быть выражена при помощи так называемого явного представления, когда

Подробнее

Ответы к экзамену по курсу дифференциальные уравнения

Ответы к экзамену по курсу дифференциальные уравнения МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА Физический факультет Ответы к экзамену по курсу дифференциальные уравнения Июль 215 1) Сформулируйте теорему существования решения задачи Коши

Подробнее

Уравнение Лапласа в декартовой системе координат.

Уравнение Лапласа в декартовой системе координат. Линейные и нелинейные уравнения физики Уравнение Лапласа в декартовой системе координат. Старший преподаватель кафедры ВММФ Левченко Евгений Анатольевич 25. Разделение переменных в уравнении Лапласа 511

Подробнее

Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА

Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА В этой лекции мы введём альтернативы Фредгольма и докажем с их помощью существование классических решений задач Дирихле и Неймана в ограниченных и неограниченных

Подробнее

Вопросы к первой части экзамена по курсу «Методы математической физики» ( учебный год) 1. Сформулируйте лемму о поведении решений уравнения

Вопросы к первой части экзамена по курсу «Методы математической физики» ( учебный год) 1. Сформулируйте лемму о поведении решений уравнения Вопросы к первой части экзамена по курсу «Методы математической физики» (2013-2014 учебный год) 1. Сформулируйте лемму о поведении решений уравнения ( k( x) u'( x))' q( x) u 0, x ( a, b), где k( x) ( x

Подробнее

Тематическая лекция 7 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА ГЕЛЬДЕРА И С. Л. СОБОЛЕВА. 1. Параболические пространства Гельдера

Тематическая лекция 7 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА ГЕЛЬДЕРА И С. Л. СОБОЛЕВА. 1. Параболические пространства Гельдера Тематическая лекция 7 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА ГЕЛЬДЕРА И С. Л. СОБОЛЕВА В этой лекции мы 1. Параболические пространства Гельдера Пусть D = Ω (,T), Ω R N это область с гладкой границей Ω. Далее символом

Подробнее

Антонов А. Ю. 18.XI.2017 Лекция 9

Антонов А. Ю. 18.XI.2017 Лекция 9 Антонов А. Ю. 18.XI.2017 Лекция 9 Итерации функций Рассмотрим функции ϕ(r) и K(r,r ), где r,r R n. Определение 4.1. Интегральное преобразование Kϕ = Kϕ(r) = K(r,r )ϕ(r )dr (4.1) называется итерацией функции

Подробнее

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ПО ШИЛОВУ УРАВНЕНИЙ В. А. Литовченко

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ПО ШИЛОВУ УРАВНЕНИЙ В. А. Литовченко Сибирский математический журнал Июль август, 4. Том 45, 4 УДК 57.55 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ПО ШИЛОВУ УРАВНЕНИЙ В. А. Литовченко Аннотация: Установлена корректная разрешимость задачи Коши для параболических

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

Дифференциальные уравнения Т С

Дифференциальные уравнения Т С Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35. 6. С.784-792. УДК 517.957 ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ Ю. В. Жерновый 1. Введение. Постановка задачи. Наиболее

Подробнее

Лекция 2. Последовательности

Лекция 2. Последовательности Лекция 2 Последовательности Определение. Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число x, то множество занумерованных чисел x, x2,..., x,...

Подробнее