Математический анализ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Математический анализ"

Транскрипт

1 Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент Кулагина Н.А. Новосибирск 013

2 Содержание модуля 4 1. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Правило Лопиталя 3. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции. Экономические приложения. 4. Выпуклость функции. Точки перегиба 5. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построение графика 6. Вопросы для самопроверки 7. Упражнения для самопроверки 1. Основные теоремы о дифференцируемых функциях Рассмотрим ряд теорем, имеющих большое теоретическое и практическое значение. Теорема Ферма. Если функция f () дифференцируема на отрезке [a; b] и во внутренней точке этого промежутка принимает наибольшее или наименьшее значение, то производная в этой точке равна нулю. Доказательство: Докажем теорему от противного. Предположим, что в точке c (a; b) производная f (c) 0. Но тогда в достаточно малой окрестности точки с функция либо монотонно возрастает (если f (c) > 0), либо монотонно убывает (если f (c) <0). В обоих случаях значение f (с) не может быть ни наибольшим, ни наименьшим. Теорема доказана. Теорема Ролля. Если функция f () непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема на интервале (а; b) и на концах отрезка принимает одинаковые значения f (a) f (b), то найдется хотя бы одна точка c (a; b), в которой производная f () обращается в нуль, то есть f (c) 0. Доказательство: Так как функция f () непрерывна на отрезке [a; b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений, соответственно М и m. Если М m, то функция f () постоянна на [a; b] и, следовательно, ее производная f () 0 в любой точке отрезка [a; b].

3 Если М m, то функция достигает хотя бы одного из значений М или m во внутренней точке с интервала (а; b), так как f (a) f (b). Пусть, например, функция принимает значение М в точке х с (a; b), то есть f (c) M. Тогда для всех х (a; b) выполняется соотношение f (c) f (). Найдем производную f () в точке х с: f ( c ) f ( c) f( c) lim. 0 В силу условия f (c) f () верно неравенство f ( ) f (c) 0. Если f ( c ) f ( c) 0 (то есть 0 справа от точки х с), то 0 и поэтому f ( c ) f ( c) f (c) 0. Если 0, то 0 и f (c) 0. Таким образом, f (c) 0. В случае, когда f (c) m, доказательство аналогичное. Геометрическая теорема Ролля означает, что на графике функции y f () найдется точка, в которой касательная к графику параллельна оси O (см. рис. 1, а, б). На рис. 1, в таких точек две. Рис. 1 Теорема Коши. Если функции f () и (х) непрерывны на отрезке [a; b], дифференцируемы на интервале (а; b), причем () 0 для х (а; b), то найдется хотя бы одна точка с (а; b) такая, что выполняется равенство f ( b) f ( a) f ( c). ( b) ( a) ( c)

4 Доказательство: Отметим, что (b) (a) 0, так как в противном случае по теореме Ролля нашлась бы точка с такая, что (с) 0, чего не может быть по условию теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию f ( b) f ( a) F( ) f ( f ( a) ( ) ( a). ( b) ( a) Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на интервале (а; b). Так как является линейной комбинацией функций f () и (х); на концах отрезка она принимает одинаковые значения F (a) F (b) 0. На основании теоремы Ролля найдется f ( b) f ( a) точка х с (а; b) такая, что F (c) 0. Но F( ) f ( ) ( ), ( b) ( a) f ( b) f ( a) следовательно, F( c) f ( c) ( c) 0. ( b) ( a) Отсюда следует f ( b) f ( a) f ( c) f ( b) f ( a) F( c) ( c) b. ( b) ( a) ( c) ( b) ( a) Теорема Лагранжа. Если функция f () непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема на интервале (а; b), то найдется хотя бы одна точка с (а; b) такая, что выполняется равенство: f (b) f (a) f (c)(b a). Доказательство: Теорему Лагранжа можно рассматривать как частный случай теоремы Коши. Действительно, положив (х) х, находим (b) (a) b a, () 1, f ( b) f ( a) f ( c) (c) 1. Подставляя эти значения в формулу, получаем ( b) ( a) ( c) f ( b) f ( a) f() c, или f (b) f (a) f (c)(b a). b a Полученную формулу называют формулой Лагранжа, или формулой о конечном приращении.

5 . Правило Лопиталя Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида который основан на применении производной. 0 0 и, Теорема (правило Лопиталя) Пусть функции f () и (х) непрерывны и дифференцируемы в точке 0 и обращаются в нуль в этой точке: f ( 0 ) ( 0 ) 0. Пусть (х) 0 в f( ) окрестности точки 0. Если существует предел lim a, то 0 ( ) f ( ) f ( ) lim lim a. 0 ( ) 0 ( ) Доказательство: Применим к функциям f () и (х) теорему Коши для отрезка [ ; ], 0 f ( ) f ( ) () лежащего в окрестности точки 0. Тогда 0 f c, где c лежит ( ) ( ) ( c) 0 f ( ) f ( c) между точками 0 и. Учитывая, что f ( 0 ) ( 0 ) 0, получаем. ( ) ( c) Так как c лежит между точками 0 и, то при величина с 0 f ( ) f ( c) стремится к 0 ; перейдем в равенстве к пределу, получим: ( ) ( c) f ( ) f ( c) f( ) f( ) lim lim. Так как предел lim a, то lim 0 ( ) c 0 ( c) 0 ( ) 0 ( a. ) Замечания: 1.Теорема справедлива, когда..теорема справедлива, когда lim f ( ) lim ( ) Если производные f( ) и ( ) удовлетворяют тем же условиям, что и функции f () и (х), теорему Лопиталя можно применить еще раз: f ( ) f ( ) f ( ) lim lim lim и т.д. 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 4. Правило Лопиталя позволяет раскрыть другие виды неопределенностей: ( - ), (0 ), (0 0 ), ( 0 ), (1 ). В каждом случае алгебраическими преобразованиями данное выражение нужно преобразовать

6 0 к неопределенности вида 0 или. Для раскрытия неопределенностей (0 0 ), ( 0 ), (1 ) следует воспользоваться тождеством u() v ( ) e v ( )ln u ( ), которое приводит указанные неопределенности в виду (0 ). Пример 1. 1 Найти lim. 1 ln Решение. Проверим, что можно применить правило Лопиталя, подставив точку 1 в числитель и знаменатель дроби: ( 1) lim lim lim 1. 1 ln 1ln ( ln ) 1 ln 1 ln Пример. Найти lim e. Решение. Проверим, что можно применить правило Лопиталя, подставив в числитель и знаменатель дроби: ( ) lim lim lim 0 e e ( e ) e e. Пример 3. 1sin e Найти lim. 0 Решение: Дважды применяя правило Лопиталя, получим: 1sin e 0 (1 sin e ) lim lim ( ) cos e 0 (cos e) sin e 1 lim lim lim ( ) 0.

7 Пример 4. 1 Найти lim ( ) 0 ctg. Решение: 1 cos 1 cos sin 0 lim ( ctg ) ( ) lim ( ) lim ( ) 0 0 sin 0 sin 0 ( cos sin ) cos sin cos sin 0 lim lim lim ( ) 0 ( sin ) 0 sin cos 0 sin cos 0 ( sin ) sin cos 0 lim lim 0. 0(sin cos ) 0cos cos sin 11 Пример 5. Найти lim ln 0. Решение: ln (ln ) lim ln (0 ) lim lim ( ) 1 lim lim ( ) Пример 6. Найти lim. 0 Решение: lim ln lim lim eln e0 e Здесь использовался результат примера Возрастание и убывание функции. Экстремум функции. Экономические приложения. Одним из приложений производной является ее применение к исследованию функций и построению графика функции.

8 Пусть функция y f () определена на множестве D. Если для любых значений аргумента 1,, (a; b) таких, что 1, выполняется неравенство f ( 1 ) f ( ), то функция называется возрастающей (рис.а), f ( 1 ) f ( ), то функция называется убывающей (рис.б). Рис. Возрастающая или убывающая функция называется монотонной. Теорема (необходимое условие возрастания - убывания). Если дифференцируемая на интервале (а; b) функция f () возрастает (убывает), то f () 0 (f () 0) для х (а; b). Доказательство: Пусть функция f( ) возрастает на интервале (а; b). Возьмем произвольные точки и на интервале (а; b) и рассмотрим отношение y f ( ) f ( ). Функция f( ) возрастает, поэтому если 0, то и f ( ) f ( ) ; если 0, то и y f ( ) f ( ) f ( ) f ( ). В обоих случаях 0, так как числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые знаки. По условию теоремы функция f( ) имеет производную в точке. Следовательно, y f ( ) f ( ) f( ) lim 0. 0 Аналогично рассматривается случай, когда функция f( ) убывает на интервале (а; b). Теорема доказана.

9 Геометрически необходимое условие возрастания означает, что касательная к графику возрастающей дифференцируемой функции образует острые углы с положительным направлением оси Ох или в некоторых точках параллельны оси Ох (рис.3.а). Если касательная к графику направлена под тупым углом к оси Ох, то функция убывает (рис.3.б). Рис.3 Теорема (достаточное условие возрастания-убывания). Если функция f () дифференцируема на интервале (а; b) и f () 0 (f () 0) для х (а; b), то эта функция возрастает (убывает) на интервале (а; b). Доказательство: Пусть f () 0. Возьмем точки 1 и из интервала (а; b), причем 1. Применим к отрезку [ 1; ] теорему Лагранжа: f ( ) f ( 1 ) f ( c)( 1 ), где c ( 1; ). По условию f( c) 0, 1 0. Следовательно, f ( ) f ( 1 ) f ( c)( 1 ) 0 или f ( ) f ( ), т.е. функция f () возрастает на интервале (а; b). 1 Рассмотренные теоремы упрощают исследование функции на монотонность. Пример 7. Исследовать функцию 3 f ( ) 3 4 на возрастание и убывание. Решение.

10 Функция определена на ( ; ). Найдем ее производную: f ( ) 3 3 3( 1)( 1). Тогда f( ) 0 при ( ; 1) (1; ) ; f( ) 0 при ( 1;1). Следовательно, функция f () возрастает на интервалах ( ; 1) и (1; ); и убывает на интервале ( 1;1). Рассмотрим график функции f (). Если слева от некоторого значения 0 функция y f () возрастает, а справа убывает, то значение 0 называют точкой максимума функции y f (). Если слева от точки 1 функция y f () убывает, а справа возрастает, то значение 1 называют точкой минимума функции y f () (Рис. 4). На рис. 4 0 точка максимума, 1, точки минимума функции f (). Замечание. Рис. 4 Функция может иметь либо только один максимум ( только один минимум ( ( y sin y y ), либо ), либо множество минимумов и максимумов 3 ), либо не иметь ни максимума, ни минимума ( y ). Дадим строгое определение точек минимума и максимума функции. Точка 0 называется точкой максимума функции y f (), если существует такая окрестность точки 0, что для всех 0 из этой окрестности выполняется неравенство f () f ( 0 ).

11 Точка 1 называется точкой минимума функции y f (), если существует такая окрестность точки 1, что для всех 1 из этой окрестности выполняется неравенство f () > f ( 1 ) (Рис.4). Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум (минимум) функции называется экстремумом функции. Теорема (необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция y f () имеет экстремум в точке 0, то ее производная в этой точке равна нулю: f ( 0 ) 0. Точки, в которых производная равна нулю или не называются критическими (или стационарными). Замечание. Критическая точка не обязательно является точкой экстремума. существует, Пример 8. Найти критические точки функции и убедиться в наличии или отсутствии экстремума в этих точках: а) y ; б) Решение. y 3 1; в) y 3 1. а) Найдем производную: y. Критическая точка определяется из равенства: y 0 0. Из Рис.5 видно, что в точке 0 функция y имеет экстремум (минимум). Рис. 5 График функции y

12 б) Функция y свойству степенной функции. Производная нулю: 3 1- возрастает на всей числовой прямой по y 3 в точке 0 равна y(0) 30 0, но экстремума в точке 0 нет (Рис. 6). Рис.6 3 в) Функция y 1 также возрастает на всей числовой прямой. Ее 1 производная y при 1 не существует: y(1), но 3 3 ( 1) экстремума в этой точке нет (Рис.7). Рис.7 Теорема (первое достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция y f () дифференцируема в некоторой окрестности точки 0 и при переходе через нее (слева направо) производная f () меняет знак с плюса на минус, то 0 есть точка максимума; если с минуса на плюс, то 0 точка минимума.

13 Алгоритм исследования функции на экстремум с помощью первой производной: 1. Найти производную f ( ) функции f ().. Найти критические точки функции f (), т.е. точки, в которых производная f( ) 0 или не существует. 3. Изобразить критические точки на числовой оси в прядке возрастания. в данных промежутках. Для этого выбирают в каждом промежутке произвольную точку,, определяют ее знак. 4. Исследовать знак производной f ( ) подставляют ее в производную f ( ) 5. Определяют поведение функции в каждом промежутке: если f () 0, то функция возрастает в данном промежутке, если f () 0, то функция убывает в данном промежутке. 6. Определяют точки минимума и максимума функции f (): если при переходе через критическую точку возрастание функции меняется на убывание, то это точка максимума, если же убывание меняется на возрастание, то это точка минимума. Если знак производной не меняется при переходе через критическую точку, то в данной точке экстремума нет. 7. Вычисляют значения функции в точках экстремума. Пример 9. Исследовать на экстремум функцию Решение. 1. Найдем производную:. Найти критические точки функции: y f ( ) f. ( ) ( ) 0 1 0, 3. Изобразим критические точки на числовой оси в порядке возрастания (Рис.8).

14 Рис.8 4. Исследуем знак производной f ( ) Возьмем значения 3, 1, 1: в каждом промежутке. f (3) 33 (3 ) 9 0, f (1) 31 (1 ) 3 0, f ( 1) 3 ( 1) ( 1 ) Определим поведение функции в каждом промежутке. Так как,то функция возрастает в данном f () 0 на интервале ( ;0) интервале; так как f () 0 на интервале (0;),то функция убывает в данном интервале; так как f () 0 на интервале (; ),то функция возрастает в данном интервале (Рис.9). Рис.9 6. Определим точки минимума и максимума функции f (). Так как при переходе через точку 1 0 возрастание функции меняется на убывание, то это точка максимума; так как при переходе через точку убывание функции меняется на возрастание, то это точка максимума. 7. Вычислим значения функции в точках экстремума: 3 3 yma f(0) , ymin Рис. 10

15 Теорема (второе достаточное условие экстремума). Если в точке 0 первая производная функции f () равна нулю (f ( 0 ) 0), а вторая производная в точке 0 существует и отлична от нуля (f ( 0 ) 0), то при f ( 0 ) 0 в точке 0 функция имеет максимум и при f ( 0 ) 0 минимум. Пример 10. Исследовать на экстремум с помощью второй производной функцию 3 y Решение. Находим производную: y Находим критические точки: y , 4. Находим вторую производную: y Определим знаки второй производной в этих точках: y() , т.е. в точке функция имеет максимум; y(4) , т.е. в точке 4 функция имеет минимум. Найдем значения функции в критических точках: 3 yma y() , 3 ymin y(4) Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке При решении прикладных задач важное значение имеют задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения (глобального максимума и глобального минимума) функции на отрезке [a; b]. Согласно теореме Вейерштрасса (Модуль ), если функция y f () непрерывна на отрезке [a; b], то она принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Наибольшее и наименьшее значения функции может достигаться как в критических точках, так и в концах отрезка [a; b]. Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке [a; b]: 1. Найти производную f ( ) функции f ().. Найти критические точки функции f (), т.е. точки, в которых производная f( ) 0.

16 3. Вычислить значения функции f () в критических точках, принадлежащих отрезку [a; b], и в точках a, b. 4. Выбрать среди найденных значений функции наибольшее и наименьшее значения. Пример 11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0; 3]. Решение. 1. Найдем производную: y 4.. Найдем критические точки: y 4 0,. y Так как точка принадлежит отрезку [0; 3], то вычислим значения функции в точках, 0, 3: y(0) , y() 4 3 1, y(3) Наименьшее значение функции равно ymin 1 и достигается во внутренней точке отрезка [0; 3]. Наибольшее значение функции равно yma 3 и достигается в крайней точке 0 отрезка [0; 3]. Применение производной в задачах с экономическим содержанием Функция издержек С() определяет затраты, необходимые для производства единиц данного продукта. Прибыль P( ) D( ) C( ), где D() доход от производства единиц продукта. Оптимальным значением выпуска для производителя является то значение единиц продукта, при котором прибыль P() оказывается наибольшей.

17 Пример 1. Функция издержек имеет вид C ( ) 100, а доход при производстве единиц товара определяется функцией D ( ) 4000, если 100, 4000( ), если 100. Определить оптимальное для производителя значение выпуска 0. Решение: Функция прибыли имеет вид: , если 100, P( ) D( ) C( ) , если 100. Найдем производную прибыли: ( ), если 100, 4000, если 100, ( ) P 000, если 100. ( ), если Очевидно, что при <100 P( ) , следовательно, на отрезке [0;100] функция P() возрастает, и наибольшее значение есть P(100)= Найдем наибольшее значение прибыли на интервале [100;+ ). Производная на 000 этом интервале P( ) 0. Имеем одну критическую точку = При этом P( ) 0 при и P( ) 0 при 00, т.е. =00 точка максимума функции P() на интервале [100;+ ). При этом, P(00)=419900, таким образом, опт 00. Пример 13. Определить оптимальное для производителя значение выпуска 0, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу p=14 усл. ден. ед. и известен вид функции издержек C( ) Решение:

18 Пусть количество единиц произведенного товара. Найдем прибыль по формуле P( ) D( ) C( ), где доход при постоянной цене p=14 на товар равен D( ) p 14. Следовательно, P( ) 14 (13 3) Условие максимума прибыли: P( ) ( ) критическая точка. При < P( ) 0, следовательно, на отрезке [0;] функция P() возрастает. При > P( ) 0, следовательно, на интервале [;+ ) функция P() убывает. Таким образом, 0 = точка максимума функции P(). Т.е. для производителя оптимально выпускать = единицы товара. Пример 14. Найти максимальную прибыль, которую может получить фирмапроизводитель, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу p=10,5 усл. ден. ед. и известен вид функции издержек C( ) 10 0,5 0,5. Решение: Пусть количество единиц произведенного товара. Найдем прибыль по формуле P( ) D( ) C( ), где доход при постоянной цене p=10,5 усл. ден. ед.: P( ) 10,5 (10 0,5 0,5 ) 0, Условие максимума прибыли: P( ) ( 0, ) 0, критическая точка. При <0 P( ) 0, следовательно, на отрезке [0;0] функция P() возрастает. При >0 P( ) 0, следовательно, на интервале [0;+ ) функция P() убывает. Таким образом, 0 =0 точка максимума функции P(). Т.е. для производителя оптимально выпускать 0 единицы товара. Поэтому максимальная прибыль равна P(0) 0, усл. ден. ед.

19 4. Выпуклость функции. Точки перегиба График дифференцируемой функции y f () называется выпуклым вниз на интервале (а; b), если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале. График функции y f () называется выпуклым вверх на интервале (а; b), если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале. Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции. Точка графика непрерывной функции y f (), отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба. На Рис. 11 кривая y f () выпукла вверх в интервале (а; с), выпукла вниз в интервале (с; b), точка М (с; f (c)) точка перегиба. Теорема (достаточное условие выпуклости-вогнутости функции). Если функция y f () во всех точках интервала (а; b) имеет отрицательную вторую производную, то есть f () 0, то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же f () 0 во всех точках х (а; b), то график выпуклый вниз. Теорема (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная f () дважды дифференцируемой функции при переходе через точку 0 меняет знак, то точка 0 есть точка перегиба ее графика. Рис. 11 К определению промежутков выпуклости Алгоритм исследования функции на выпуклость и точки перегиба: 1. Найти вторую производную y f ( ) ;. Найти точки, в которых вторая производная f( ) 0 или не существует. 3. Изобразить эти точки на числовой оси в порядке возрастания.

20 4. Исследовать знак второй производной f ( ) в данных промежутках. Для этого выбирают в каждом промежутке произвольную точку, подставляют ее в производную f ( ), определяют ее знак. 5. Определяют поведение графика функции в каждом промежутке: если f( ) 0, то график функции выпуклый вниз в данном промежутке, если f( ) 0, то график функции выпуклый вверх в данном промежутке. 6. Если при переходе через точку график функции меняет выпуклость на вогнутость, то это точка перегиба. 7. Находят значение функции в точках перегиба. Пример 15. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции y 5 5. Решение. 1. Находим y 5 4 1, y Вторая производная существует на всей числовой оси. y 0 при Изображаем точку 0 на числовой оси, изображаем полученные промежутки (Рис. 1). Рис Исследуем знак второй производной в каждом промежутке: y (1)=01 3 0; y (-1)=0(-1) 3 =-0 0 (Рис.13). Рис Следовательно, график функции y 5 5 в интервале (; 0) выпуклый вверх, в интервале (0; ) выпуклый вниз.

21 6. Точка 0 есть точка перегиба. 7. Найдем значение функции в точке 0: y (0) = Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построение графика Часто приходится исследовать форму кривой у f () при неограниченном возрастании (по модулю) абсциссы и ординаты переменной точки кривой или абсциссы и ординаты одновременно, при этом важным частным случаем является тот, когда исследуемая кривая при удалении ее переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние d от точки М кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки М от начала координат. Рис. 14 На Рис.14а изображена вертикальная асимптота, на Рис.14б горизонтальные асимптоты, на Рис.14в наклонная. Вертикальные асимптоты Если lim ( ) a 0 f или lim ( ) a 0 f, то прямая х а вертикальная асимптота кривой y f (); и обратно, если прямая х а асимптота, то выполняется одно или оба из написанных равенств. Вертикальные асимптоты, как правило, проходят через точки на оси абсцисс, в которых функция не определена. Это точки разрыва второго рода.

22 Пример 16. Кривая y 5 имеет вертикальную асимптоту 5, так как lim и lim Наклонные асимптоты Наклонная асимптота прямая линия, которая задана уравнением ( ) y k b, где k lim f, b lim f ( ) k. Горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k 0, то есть y b. Пример Найти асимптоты графика функции y. 1 Решение. Так как функция определена всюду, то вертикальных асимптот нет. Найдем наклонные асимптоты, применив для вычисления пределов правило Лопиталя: f ( ) 3 ( ) k lim lim lim lim 1, ( 1) b lim f ( ) k lim 1 lim 1 1. ( ) 1 1 lim lim lim 0. 1 ( 1) Следовательно, наклонная асимптота имеет уравнение y k b. Общая схема исследования функции и построение графика Исследование функции y f () целесообразно вести в определенной последовательности. 1. Найти область определения функции.

23 . Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида. 3. Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат. Точки пересечения графика с осью O определяются из уравнения f( ) 0. Точки пересечения графика с осью Oy определяются из уравнения y f(0). 4. Найти интервалы монотонности функции. 5. Найти экстремумы функции. 6. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции. 7. Найти асимптоты графика функции. 8. На основании проведенного исследования построить график функции. Пример Исследовать функцию y и построить ее график. 1 Решение. 1. Так как знаменатель дроби не может быть равен нулю: 1 0, 1, то область определения функции ( ; 1) ( 1;1) (1; ). 1 ( ) 1.Так как f ( ) f ( ), то функция четная. 1 ( ) 1 Следовательно ее график симметричен относительно оси Оy. 3. Точки пересечения графика функции с осями координат. 1 С осью O: Уравнение 0 корней не имеет, следовательно, с 1 осью O график функции точек пересечения не имеет. 1 0 С осью Oy: y f(0) 1. Следовательно, график функции 1 0 пересекает ось Oy в точке y Интервалы монотонности. Найдем первую производную: 1 (1 ) (1 )( ) 4 y, 1 (1 ) (1 )

24 y 0 0 и не существует при 1. Изобразим критические точки на числовой оси в прядке возрастания. Подставляя числа, 0,5, 0,5, в производную, определим ее знаки в данных интервалах: 4 ( ) 8 8 y( ) 0 (1 ( ) ) ( 3) 9 4 ( 0,5) y( 0,5) 0 (1 ( 0,5) ) (0,75) 4 (0,5) y(0,5) 0, (1 (0,5) ) (0,75) y() 0. (1 ) ( 3) 9 Таким образом, на интервалах ( ; 1) и ( 1;0) интервалах (0;1) и (1; ) - возрастает (Рис. 15).,, функция убывает, на Рис Так как при переходе через точку 0 производная меняет знак, то 0 - точка минимума. Вычислим минимум функции: y 1 0 y(0) min 6. Интервалы выпуклости и точки перегиба. Найдем вторую 4(1 ) 4 (1 )( ) 4(1 3 ) производную: y. Уравнение 4 3 (1 ) (1 ) y 0 корней не имеет, и y не существует при 1. Очевидно, что y 0 на интервале ( 1;1) и функция выпукла вниз на этом интервале, y 0 на интервалах ( ; 1) и (1; ), и на этих интервалах функция

25 выпукла вверх. Так как при 1 (Рис. 16). y не определена, то точек перегиба нет Рис Асимптоты графика функции. а) Вертикальные: Так как 1 1 (1 0) lim, (1 0) (1 0) lim, (1 0) то прямая 1 является вертикальной асимптотой. В силу симметрии графика (четности функции) прямая 1 также вертикальная асимптота. б) Наклонная асимптота y k b: Найдем f ( ) 1 (1 ) k lim lim lim lim (1 ) ((1 ) ) 1 3 ( ) lim lim 0, (1 3 ) 6 1 (1 ) b lim ( f ( ) k) lim ( 0 ) lim lim 1 1 (1 ), Следовательно, прямая y k b есть горизонтальная асимптота.

26 8. Строим график функции (Рис.17). Рис Вопросы для самопроверки 1. Сформулировать теоремы Ролля, Коши, Лагранжа, Лопиталя.. Какие функции называются возрастающими, убывающими? 3. Объяснить, как применяется производная для нахождения промежутков монотонности. 4. Можно ли утверждать, что если производная в данной точке равна нулю (или не существует), то эта точка является точкой максимума или минимума? Приведите пример. 5. Может ли функция иметь два локальных максимума? 6. Сколько экстремумов имеет функция y sin при 0? 7. Как находится наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке? 8. Какие точки графика функции называются точками перегиба? 9. Чему равна вторая производная в точке перегиба? 10. Приведите схему построения графика функции.

27 7. Упражнения для самопроверки 1. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя: ln( 3) а) lim ; б) lim ; в) lim ; e e 1 1 г) lim ; д) lim ; е) lim 1 ln 0 ; e 1 0 ж) lim ( ln ). Найти промежутки возрастания и убывания функции: а) y 6 ; б) y Найти точки экстремума функций: а) y 3 7 4; 3 e б) y ; в) y Исследовать на экстремум и точки перегиба кривую y, построить кривую Найти наибольшее и наименьшее значение функции промежутке [0;3]. 6. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке [0;5]. y 3 6 на y Найти точки перегиба и интервалы выпуклости кривых: 3 а) y 3 15; в) y ln. y 3 4; б) Найти асимптоты графиков функции: а) y ; б) y Определить оптимальное для производителя значение выпуска 0, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу 1 p=8 усл. ден. ед. и известен вид функции издержек C( ) 10. 3

28 10. Найти максимальную прибыль, которую может получить фирмапроизводитель, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу p=6,5 усл. ден. ед. и известен вид функции издержек C( ) 80,5 0, Найти максимальную прибыль, которую может получить фирмапроизводитель, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу p=40 усл. ден. ед. и известен вид функции издержек 1 C( ) e 0,5. 0 Ответы: 1. а) 1; б) -4; в) 4/7; г)3 ; д) 0; е) 1/; ж).. а) Возрастает при ( ;) (3; ), убывает при (;3). б) Возрастает при (1; ), убывает при ( ;1). 3. а) yma ( 1) 8, y (7 / 3) 84/ 7 ; б) экстремумов нет; min в) y (1) e. min 1 y 10 при 4, 3 4. ma 1 ymin при yma 9 при 3, ymin 3 при yma 3 при 0, ymin 6 при 3., точка перегиба 7. а) Выпукла вверх при ( ; 1), выпукла вниз при ( 1; ); =-1 точка перегиба; б) выпукла вверх при ( ;1/ ), выпукла вниз при (1/ ; ); =1/ точка перегиба; в) выпукла вверх при (0;1/ ), выпукла вниз при (1/ ; ); =1/ точка перегиба. 8. а) вертикальная, горизонтальная 5 б) наклонная y (ln150 1). 4 y ; 5

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных 1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

7. Общий план исследования функции и построение её графика

7. Общий план исследования функции и построение её графика 7 Общий план исследования функции и построение её графика Нижеследующий план-схема исследования функции обобщает результаты, изложенные в предыдущих параграфах Исследование функции по этому плану позволит

Подробнее

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине «Элементы высшей математики».

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине «Элементы высшей математики». МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ «ДОНСКОЙ БАНКОВСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Методические

Подробнее

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии Кафедра высшей математики Высшая математика ( семестр Разделы Функции. Пределы. Дифференцирование. Интегрирование. Основные формулы по темам

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО МАТЕМАТИКЕ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 11. Асимптоты. Общий план исследования функции

С.А. Лавренченко. Лекция 11. Асимптоты. Общий план исследования функции 1 С.А. Лавренченко Лекция 11 Асимптоты. Общий план исследования функции 1. Горизонтальные асимптоты Определение 1.1. Прямая или. зывается горизонтальной асимптотой, если Пример 1.2. Нетрудно йти, что.

Подробнее

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8.

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: 16x 10x + 2x = 8, 40x + 25x 5x = 20. Ответ: Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 1 2 + 5 8 x 1 8 x, x, x R; базисное

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр. (типовые задания С5)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр. (типовые задания С5) ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр (типовые задания С5) Прокофьев АА Корянов АГ Прокофьев АА доктор педагогических наук, заведующий кафедрой высшей математики НИУ МИЭТ, учитель математики ГОУ лицей

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

Лекция 14. Неопределенности и правило Лопиталя

Лекция 14. Неопределенности и правило Лопиталя СА Лавренченко 1 wwwlawrencenkoru Лекция 14 Неопределенности и правило Лопиталя Правило Лопитáля применяется при вычислении пределов для раскрытия неопределенностей типа или Раскрытие неопределенности

Подробнее

Конспект лекций по высшей математике

Конспект лекций по высшей математике Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра высшей математики Конспект лекций по высшей математике для студентов экономических

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) Кафедра "Прикладная математика-1" Ю.С.Семёнов Кафедра "Прикладная математика-1"

Подробнее

Т.Л. Сурин Ж.В. Иванова С.В. Шерегов Методические рекомендации и задания к контрольным работам 1 и 2 по математическому анализу

Т.Л. Сурин Ж.В. Иванова С.В. Шерегов Методические рекомендации и задания к контрольным работам 1 и 2 по математическому анализу Т.Л. Сурин Ж.В. Иванова С.В. Шерегов Методические рекомендации и задания к контрольным работам и по математическому анализу (для студентов I курса математического факультета заочного отделения ) Витебск

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Клюшина Л.В. зав. отделом практического обучения ГАОУ СПО АО АМК

Клюшина Л.В. зав. отделом практического обучения ГАОУ СПО АО АМК Министерство здравоохранения и социального развития Архангельской области Государственное автономное образовательное учреждение среднего профессионального образования Архангельской области «Архангельский

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Равномерная непрерывность функций одной переменной. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов, Н.Т. Левашова, Н.Е. Шапкина Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Подробнее

Презентация по материалам рабочей тетради «Задача В8» авторов И.В. Ященко, П.И. Захарова

Презентация по материалам рабочей тетради «Задача В8» авторов И.В. Ященко, П.И. Захарова Презентация по материалам рабочей тетради «Задача В8» авторов И.В. Ященко, П.И. Захарова ЕГЭ Математика Задача B8 Содержание (виды заданий В8) 1 2 3 4 5 Найдите значение производной функции в точке х 0

Подробнее

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1.

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1. 1 Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Специализированный учебно-научный центр ГОУ лицей 1580. Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, 2014-2015 учебный

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

РАЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Министерство образования Российской Федерации Московский физико-технический институт Кафедра высшей математики РАЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Методические указания и оптимальные

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

10. Определенный интеграл

10. Определенный интеграл 1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1 СЕМЕСТР)

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1 СЕМЕСТР) ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ( СЕМЕСТР) А. А. Пожарский Занятие. Принцип математической индукции. Задачи по []: 0. Задачи по [2]: 27. Занятие 2. Основные понятия комбинаторики: факториал,

Подробнее

3A = A = A = 1 7 A + B = A = c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj = a is b sj

3A = A = A = 1 7 A + B = A = c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj = a is b sj Высшая математика Лекции по курсу Список литературы [] Высшая математика для экономистов Под редакцией НШ Кремера [] СА Минюк, ЕА Ровба Высшая математика [] Сборник задач по высшей математике для экономистов

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Министерство образования Российской Федерации САРАПУЛЬСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ филиал Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «ИЖЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

УДК (072)(075.8)

УДК (072)(075.8) БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim Òåîðåìû î ïðåäåëàõ Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Основные теоремы о пределах. Предел числовой последовательности. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Экспонента. Натуральный логарифм.

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Задачи по высшей математике для биологов

Задачи по высшей математике для биологов МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ БИОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Бобров А.Н. Радославова Т.В. Задачи по высшей математике для биологов МОСКВА 03 УДК

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр. 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр. 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел множество целых чисел N = {0, 1, 2, 3,..., }, Z = {0, ±1, ±2, ±3,..., } множество рациональных чисел { m }

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Поверхности второго порядка. Определение функции х переменных. Геометрическая интерпретация. Частные приращения функции. Частные производные.

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

12. Определенный интеграл

12. Определенный интеграл 58 Определенный интеграл Пусть на промежутке [] задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке [] произвольные числа,, 3,, n-, удовлетворяющие условию:

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А.

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А. РЯДЫ ФУРЬЕ Автор-составитель: доцент каф ВМ Цапаева СА Великий Новгород ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ГАРМОНИК Определение Гармониками называются комплекснозначные функции вида iω ( ) e, где действительная переменная,

Подробнее

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012 Оценка снизу скорости блуждания решения линейного дифференциального уравнения третьего порядка через частоту нулей Тихомирова А.В. arxiv:11.6657v1 [math.ca] 9 Dec 1 В работе сравниваются две характеристики

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1 Введение В курсе математического анализа первого семестра одно из центральных мест занимает теорема Ролля. Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a,

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Предел. Непрерывность. Производная. Интеграл Утверждено Редакционно-издательским

Подробнее

«Сосновоборский политехнический колледж» Н. И. Запивахина Методическое пособие для выполнения практических работ по дисциплине «Математика»

«Сосновоборский политехнический колледж» Н. И. Запивахина Методическое пособие для выполнения практических работ по дисциплине «Математика» Государственное автономное образовательное учреждение среднего профессионального образования Ленинградской области «Сосновоборский политехнический колледж» Н. И. Запивахина Методическое пособие для выполнения

Подробнее

Лекции по математическому анализу

Лекции по математическому анализу В.Ф. Бутузов Лекции по математическому анализу Часть I Москва 2012 Б у т у з о в В. Ф. Лекции по математическому анализу. Часть I. Учебное пособие содержит первую часть курса лекций по математическому

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ТЕХНИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (на базе

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

Список задач. для итогового контроля знаний по математическому анализу Группа НМ-101 Семестр 2. x x dx;

Список задач. для итогового контроля знаний по математическому анализу Группа НМ-101 Семестр 2. x x dx; Список задач для итогового контроля знаний по математическому анализу Группа НМ-101 Семестр 2 I. Неопределённый интеграл. Вычислить интеграл: 1. 1 sin 2x (0 x π); 2. 3. x 2 + 1 x 4 + 1 ; 3 sin 2 x 8 sin

Подробнее

8. Определенный интеграл

8. Определенный интеграл 8. Определенный интеграл 8.. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x,..., x n, x n } [, b], что = x < x < < x n < x n =

Подробнее

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Математический анализ»

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Математический анализ» Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Математический анализ» Направление 080100 Экономика для подготовки студентов бакалавров

Подробнее

Практикум по дифференциальному исчислению

Практикум по дифференциальному исчислению Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Л.И. Магазинников А.Л. Магазинников Практикум по дифференциальному исчислению Учебное пособие

Подробнее

Теоретический материал.

Теоретический материал. 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

Программа по «Математике» (базовый уровень) Тема 1. Векторы и матрицы.

Программа по «Математике» (базовый уровень) Тема 1. Векторы и матрицы. Программа по «Математике» (базовый уровень) РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии Тема 1. Векторы и матрицы. N-мерные векторы. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость

Подробнее

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ. Вариант Инструкция по выполнению работы

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ. Вариант Инструкция по выполнению работы (1206-1 ) Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Вариант 1206 Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4 часа (240 минут). В работе 30 заданий. Они

Подробнее

Сазонов Д.О. Методические упражнения с решениями и теоремы с доказательством для курса средней школы «Функции и пределы»

Сазонов Д.О.   Методические упражнения с решениями и теоремы с доказательством для курса средней школы «Функции и пределы» Кафедра информатики и методики преподавания математики ВГПУ Сазонов Д.О. E-mail: imul@vspu.ac.ru Методические упражнения с решениями и теоремы с доказательством для курса средней школы «Функции и пределы»..

Подробнее

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия 35 Глава 2 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1 Основные понятия Пусть D некоторое множество чисел Если задан закон, по которому каждому числу из множества D ставится в

Подробнее

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Необходимые и достаточные условия второго порядка в простейшей вариационной задаче Необходимые

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (для поступающих на базе среднего общего образования)

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (для поступающих на базе среднего общего образования) ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ «ИНСТИТУТ МИРОВОЙ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (для поступающих на базе среднего общего образования)

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты:

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты: ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты: Содержание программы 1. Числа, корни и степени. Числовые последовательности Натуральные числа. Простые

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ 1. Числовые множества. Арифметические действия над числами. Натуральные числа (N).

Подробнее

Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу "Методы Оптимизации"

Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу Методы Оптимизации Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию Дальневосточный государственный университет Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу "Методы Оптимизации"

Подробнее

Составитель: преподаватель высшей квалификационной категории Курасова Л. А. Одобрена методической комиссией Протокол От 20 г

Составитель: преподаватель высшей квалификационной категории Курасова Л. А. Одобрена методической комиссией Протокол От 20 г Главное управление образования и молодёжной политики Алтайского края Краевое государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Тальменский технологический техникум»

Подробнее

Методические указания к решению задач на интегралы с параметром. Учебно-методическое пособие

Методические указания к решению задач на интегралы с параметром. Учебно-методическое пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского Методические указания к решению задач на интегралы с параметром Учебно-методическое пособие

Подробнее

К. В. Григорьева. Методические указания Тема 3. Методы решения задачи минимизации квадратичной функции. Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 2007 г.

К. В. Григорьева. Методические указания Тема 3. Методы решения задачи минимизации квадратичной функции. Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 2007 г. К. В. Григорьева Методические указания Тема. Методы решения задачи минимизации квадратичной функции Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 7 г. ОГЛАВЛЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ.... МЕТОДЫ СПУСКА

Подробнее

высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1

высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1 Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1 Линейная алгебра. Аналитическая

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ для студентов всех специальностей очной формы

Подробнее

Определенный интеграл. Несобственный интеграл.

Определенный интеграл. Несобственный интеграл. министерство образования и науки российской федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский

Подробнее

x a x 18. Вычисление пределов lim, lim, lim.

x a x 18. Вычисление пределов lim, lim, lim. Перечень экзаменационных вопросов: 1 семестр 1. Множества и операции над ними. 2. Декартово произведение множеств. 3. Предельные точки. 4. Предел последовательности. 5. Предел функции. 6. Бесконечно малые.

Подробнее

Тема 37 «Пределы функций»

Тема 37 «Пределы функций» Тема 37 «Пределы функций» «Математический анализ» - серьезный раздел высшей математики. «Анализируют» здесь довольно тонкие моменты: как ведет себя функция не только в целом, в своей области определения

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ НА ОБУЧЕНИЕ ПО ПРОГРАММАМ БАКАЛАВРИАТА И ПРОГРАММАМ СПЕЦИАЛИТЕТА

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ НА ОБУЧЕНИЕ ПО ПРОГРАММАМ БАКАЛАВРИАТА И ПРОГРАММАМ СПЕЦИАЛИТЕТА Минобрнауки России Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сыктывкарский государственный университет имени Питирима Сорокина» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ

Подробнее

Предел и непрерывность функций одной переменной

Предел и непрерывность функций одной переменной министерство образования и науки российской федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский

Подробнее

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2011

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2011 Chir of Mth. Anlysis, SPb. Stte University. A.V.Poteun, Исследование сходимости несобственных интегралов Методические указания для решения задач А. В. Потепун Как известно (см. [], глава III, 7), если

Подробнее

Цель: закрепить пройденный теоретический материал посредством рассмотрения I соответствующих примеров и решения задач.

Цель: закрепить пройденный теоретический материал посредством рассмотрения I соответствующих примеров и решения задач. Предмет: алгебра и начала анализа Класе: 11 Дата проведения урока: 21.12.2015 Учитель: С.М. Криштоп Тема урока: Касательная к графику функции (урок 2) Цель: закрепить пройденный теоретический материал

Подробнее

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ ФГБОУ ВПО «ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Персиановский

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный университет» А А Г О Л У Б Е В, Т А С П А С С К А Я ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

Подробнее

Кафедра высшей математики ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПО ФОРМУЛЕ НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Кафедра высшей математики ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПО ФОРМУЛЕ НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Учебная программа по дисциплине «Математический анализ» разработана для специальности «Прикладная информатика» шифр 1-31 03 07-03 высших учебных заведений. Целью изучения дисциплины

Подробнее

Практическое занятие 9. Несобственные интегралы

Практическое занятие 9. Несобственные интегралы СА Лавренченко wwwlwrncnkoru Практическое занятие 9 Несобственные интегралы Типовые расчеты, Несобственные интегралы -го рода Несобственный интеграл -го рода обозначается и определяется следующим образом:

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС Академия труда и социальных отношений Кафедра высшей и прикладной математики Геворкян Павел Самвелович «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС для подготовки бакалавров по направлению 080100

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования РФ Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) ЛН Романова ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Курс лекций Омск Издательство СибАДИ ЛН РОМАНОВА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ

Подробнее

Методические указания и контрольные задания по математике для обучающихся 2 курса СПО

Методические указания и контрольные задания по математике для обучающихся 2 курса СПО ГАОУ СПО ЛО Киришский политехнический техникум Методические указания и контрольные задания по математике для обучающихся курса СПО Методическая разработка по дисциплине «Математика» Разработала преподаватель

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств

МАТЕМАТИКА. Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического

Подробнее

Перевод на «язык равенств и неравенств»

Перевод на «язык равенств и неравенств» Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Перевод на «язык равенств и неравенств» Раздел электронного пособия «Элементарная математика» e-mail:

Подробнее

Программа вступительного экзамена по математике

Программа вступительного экзамена по математике Программа вступительного экзамена по математике Программа составлена на основе Федерального компонента государственного стандарта основного общего и среднего (полного) общего образования (приказ Минобразования

Подробнее

Т. В. Родина, Е. С. Трифанова ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ I

Т. В. Родина, Е. С. Трифанова ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ I Т В Родина, Е С Трифанова ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ I для напр «Прикладная математика и информатика» Учебное пособие под редакцией проф И Ю Попова Санкт Петербург 0 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

Подробнее

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101 ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Основная 1. Бугров Я. С., Никольский С.М. Высшая математика. Т.2. Дифференциальное

Подробнее

4.2 Отделимость выпуклых множеств

4.2 Отделимость выпуклых множеств 4.2 Отделимость выпуклых множеств При выводе необходимых условий экстремума (принципа Лагранжа) в выпуклых задачах и в задачах с равенствами и неравенствами мы будем использовать свойство отделимости непересекающихся

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА ГОУВПО КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА Учебно-методическое

Подробнее

Ю.Ж. Пчелкина. Курс лекций по математическому анализу

Ю.Ж. Пчелкина. Курс лекций по математическому анализу МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов

Сборник задач для самостоятельного решения по теме Предел функции Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов ББК В 65я73-4 С 3 УДК 57 Учебное издание Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: АН Максименко, АН Морозов Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел

Подробнее