Математический анализ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Математический анализ"

Транскрипт

1 Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент Кулагина Н.А. Новосибирск 013

2 Содержание модуля 4 1. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Правило Лопиталя 3. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции. Экономические приложения. 4. Выпуклость функции. Точки перегиба 5. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построение графика 6. Вопросы для самопроверки 7. Упражнения для самопроверки 1. Основные теоремы о дифференцируемых функциях Рассмотрим ряд теорем, имеющих большое теоретическое и практическое значение. Теорема Ферма. Если функция f () дифференцируема на отрезке [a; b] и во внутренней точке этого промежутка принимает наибольшее или наименьшее значение, то производная в этой точке равна нулю. Доказательство: Докажем теорему от противного. Предположим, что в точке c (a; b) производная f (c) 0. Но тогда в достаточно малой окрестности точки с функция либо монотонно возрастает (если f (c) > 0), либо монотонно убывает (если f (c) <0). В обоих случаях значение f (с) не может быть ни наибольшим, ни наименьшим. Теорема доказана. Теорема Ролля. Если функция f () непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема на интервале (а; b) и на концах отрезка принимает одинаковые значения f (a) f (b), то найдется хотя бы одна точка c (a; b), в которой производная f () обращается в нуль, то есть f (c) 0. Доказательство: Так как функция f () непрерывна на отрезке [a; b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений, соответственно М и m. Если М m, то функция f () постоянна на [a; b] и, следовательно, ее производная f () 0 в любой точке отрезка [a; b].

3 Если М m, то функция достигает хотя бы одного из значений М или m во внутренней точке с интервала (а; b), так как f (a) f (b). Пусть, например, функция принимает значение М в точке х с (a; b), то есть f (c) M. Тогда для всех х (a; b) выполняется соотношение f (c) f (). Найдем производную f () в точке х с: f ( c ) f ( c) f( c) lim. 0 В силу условия f (c) f () верно неравенство f ( ) f (c) 0. Если f ( c ) f ( c) 0 (то есть 0 справа от точки х с), то 0 и поэтому f ( c ) f ( c) f (c) 0. Если 0, то 0 и f (c) 0. Таким образом, f (c) 0. В случае, когда f (c) m, доказательство аналогичное. Геометрическая теорема Ролля означает, что на графике функции y f () найдется точка, в которой касательная к графику параллельна оси O (см. рис. 1, а, б). На рис. 1, в таких точек две. Рис. 1 Теорема Коши. Если функции f () и (х) непрерывны на отрезке [a; b], дифференцируемы на интервале (а; b), причем () 0 для х (а; b), то найдется хотя бы одна точка с (а; b) такая, что выполняется равенство f ( b) f ( a) f ( c). ( b) ( a) ( c)

4 Доказательство: Отметим, что (b) (a) 0, так как в противном случае по теореме Ролля нашлась бы точка с такая, что (с) 0, чего не может быть по условию теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию f ( b) f ( a) F( ) f ( f ( a) ( ) ( a). ( b) ( a) Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на интервале (а; b). Так как является линейной комбинацией функций f () и (х); на концах отрезка она принимает одинаковые значения F (a) F (b) 0. На основании теоремы Ролля найдется f ( b) f ( a) точка х с (а; b) такая, что F (c) 0. Но F( ) f ( ) ( ), ( b) ( a) f ( b) f ( a) следовательно, F( c) f ( c) ( c) 0. ( b) ( a) Отсюда следует f ( b) f ( a) f ( c) f ( b) f ( a) F( c) ( c) b. ( b) ( a) ( c) ( b) ( a) Теорема Лагранжа. Если функция f () непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема на интервале (а; b), то найдется хотя бы одна точка с (а; b) такая, что выполняется равенство: f (b) f (a) f (c)(b a). Доказательство: Теорему Лагранжа можно рассматривать как частный случай теоремы Коши. Действительно, положив (х) х, находим (b) (a) b a, () 1, f ( b) f ( a) f ( c) (c) 1. Подставляя эти значения в формулу, получаем ( b) ( a) ( c) f ( b) f ( a) f() c, или f (b) f (a) f (c)(b a). b a Полученную формулу называют формулой Лагранжа, или формулой о конечном приращении.

5 . Правило Лопиталя Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида который основан на применении производной. 0 0 и, Теорема (правило Лопиталя) Пусть функции f () и (х) непрерывны и дифференцируемы в точке 0 и обращаются в нуль в этой точке: f ( 0 ) ( 0 ) 0. Пусть (х) 0 в f( ) окрестности точки 0. Если существует предел lim a, то 0 ( ) f ( ) f ( ) lim lim a. 0 ( ) 0 ( ) Доказательство: Применим к функциям f () и (х) теорему Коши для отрезка [ ; ], 0 f ( ) f ( ) () лежащего в окрестности точки 0. Тогда 0 f c, где c лежит ( ) ( ) ( c) 0 f ( ) f ( c) между точками 0 и. Учитывая, что f ( 0 ) ( 0 ) 0, получаем. ( ) ( c) Так как c лежит между точками 0 и, то при величина с 0 f ( ) f ( c) стремится к 0 ; перейдем в равенстве к пределу, получим: ( ) ( c) f ( ) f ( c) f( ) f( ) lim lim. Так как предел lim a, то lim 0 ( ) c 0 ( c) 0 ( ) 0 ( a. ) Замечания: 1.Теорема справедлива, когда..теорема справедлива, когда lim f ( ) lim ( ) Если производные f( ) и ( ) удовлетворяют тем же условиям, что и функции f () и (х), теорему Лопиталя можно применить еще раз: f ( ) f ( ) f ( ) lim lim lim и т.д. 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 4. Правило Лопиталя позволяет раскрыть другие виды неопределенностей: ( - ), (0 ), (0 0 ), ( 0 ), (1 ). В каждом случае алгебраическими преобразованиями данное выражение нужно преобразовать

6 0 к неопределенности вида 0 или. Для раскрытия неопределенностей (0 0 ), ( 0 ), (1 ) следует воспользоваться тождеством u() v ( ) e v ( )ln u ( ), которое приводит указанные неопределенности в виду (0 ). Пример 1. 1 Найти lim. 1 ln Решение. Проверим, что можно применить правило Лопиталя, подставив точку 1 в числитель и знаменатель дроби: ( 1) lim lim lim 1. 1 ln 1ln ( ln ) 1 ln 1 ln Пример. Найти lim e. Решение. Проверим, что можно применить правило Лопиталя, подставив в числитель и знаменатель дроби: ( ) lim lim lim 0 e e ( e ) e e. Пример 3. 1sin e Найти lim. 0 Решение: Дважды применяя правило Лопиталя, получим: 1sin e 0 (1 sin e ) lim lim ( ) cos e 0 (cos e) sin e 1 lim lim lim ( ) 0.

7 Пример 4. 1 Найти lim ( ) 0 ctg. Решение: 1 cos 1 cos sin 0 lim ( ctg ) ( ) lim ( ) lim ( ) 0 0 sin 0 sin 0 ( cos sin ) cos sin cos sin 0 lim lim lim ( ) 0 ( sin ) 0 sin cos 0 sin cos 0 ( sin ) sin cos 0 lim lim 0. 0(sin cos ) 0cos cos sin 11 Пример 5. Найти lim ln 0. Решение: ln (ln ) lim ln (0 ) lim lim ( ) 1 lim lim ( ) Пример 6. Найти lim. 0 Решение: lim ln lim lim eln e0 e Здесь использовался результат примера Возрастание и убывание функции. Экстремум функции. Экономические приложения. Одним из приложений производной является ее применение к исследованию функций и построению графика функции.

8 Пусть функция y f () определена на множестве D. Если для любых значений аргумента 1,, (a; b) таких, что 1, выполняется неравенство f ( 1 ) f ( ), то функция называется возрастающей (рис.а), f ( 1 ) f ( ), то функция называется убывающей (рис.б). Рис. Возрастающая или убывающая функция называется монотонной. Теорема (необходимое условие возрастания - убывания). Если дифференцируемая на интервале (а; b) функция f () возрастает (убывает), то f () 0 (f () 0) для х (а; b). Доказательство: Пусть функция f( ) возрастает на интервале (а; b). Возьмем произвольные точки и на интервале (а; b) и рассмотрим отношение y f ( ) f ( ). Функция f( ) возрастает, поэтому если 0, то и f ( ) f ( ) ; если 0, то и y f ( ) f ( ) f ( ) f ( ). В обоих случаях 0, так как числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые знаки. По условию теоремы функция f( ) имеет производную в точке. Следовательно, y f ( ) f ( ) f( ) lim 0. 0 Аналогично рассматривается случай, когда функция f( ) убывает на интервале (а; b). Теорема доказана.

9 Геометрически необходимое условие возрастания означает, что касательная к графику возрастающей дифференцируемой функции образует острые углы с положительным направлением оси Ох или в некоторых точках параллельны оси Ох (рис.3.а). Если касательная к графику направлена под тупым углом к оси Ох, то функция убывает (рис.3.б). Рис.3 Теорема (достаточное условие возрастания-убывания). Если функция f () дифференцируема на интервале (а; b) и f () 0 (f () 0) для х (а; b), то эта функция возрастает (убывает) на интервале (а; b). Доказательство: Пусть f () 0. Возьмем точки 1 и из интервала (а; b), причем 1. Применим к отрезку [ 1; ] теорему Лагранжа: f ( ) f ( 1 ) f ( c)( 1 ), где c ( 1; ). По условию f( c) 0, 1 0. Следовательно, f ( ) f ( 1 ) f ( c)( 1 ) 0 или f ( ) f ( ), т.е. функция f () возрастает на интервале (а; b). 1 Рассмотренные теоремы упрощают исследование функции на монотонность. Пример 7. Исследовать функцию 3 f ( ) 3 4 на возрастание и убывание. Решение.

10 Функция определена на ( ; ). Найдем ее производную: f ( ) 3 3 3( 1)( 1). Тогда f( ) 0 при ( ; 1) (1; ) ; f( ) 0 при ( 1;1). Следовательно, функция f () возрастает на интервалах ( ; 1) и (1; ); и убывает на интервале ( 1;1). Рассмотрим график функции f (). Если слева от некоторого значения 0 функция y f () возрастает, а справа убывает, то значение 0 называют точкой максимума функции y f (). Если слева от точки 1 функция y f () убывает, а справа возрастает, то значение 1 называют точкой минимума функции y f () (Рис. 4). На рис. 4 0 точка максимума, 1, точки минимума функции f (). Замечание. Рис. 4 Функция может иметь либо только один максимум ( только один минимум ( ( y sin y y ), либо ), либо множество минимумов и максимумов 3 ), либо не иметь ни максимума, ни минимума ( y ). Дадим строгое определение точек минимума и максимума функции. Точка 0 называется точкой максимума функции y f (), если существует такая окрестность точки 0, что для всех 0 из этой окрестности выполняется неравенство f () f ( 0 ).

11 Точка 1 называется точкой минимума функции y f (), если существует такая окрестность точки 1, что для всех 1 из этой окрестности выполняется неравенство f () > f ( 1 ) (Рис.4). Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум (минимум) функции называется экстремумом функции. Теорема (необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция y f () имеет экстремум в точке 0, то ее производная в этой точке равна нулю: f ( 0 ) 0. Точки, в которых производная равна нулю или не называются критическими (или стационарными). Замечание. Критическая точка не обязательно является точкой экстремума. существует, Пример 8. Найти критические точки функции и убедиться в наличии или отсутствии экстремума в этих точках: а) y ; б) Решение. y 3 1; в) y 3 1. а) Найдем производную: y. Критическая точка определяется из равенства: y 0 0. Из Рис.5 видно, что в точке 0 функция y имеет экстремум (минимум). Рис. 5 График функции y

12 б) Функция y свойству степенной функции. Производная нулю: 3 1- возрастает на всей числовой прямой по y 3 в точке 0 равна y(0) 30 0, но экстремума в точке 0 нет (Рис. 6). Рис.6 3 в) Функция y 1 также возрастает на всей числовой прямой. Ее 1 производная y при 1 не существует: y(1), но 3 3 ( 1) экстремума в этой точке нет (Рис.7). Рис.7 Теорема (первое достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция y f () дифференцируема в некоторой окрестности точки 0 и при переходе через нее (слева направо) производная f () меняет знак с плюса на минус, то 0 есть точка максимума; если с минуса на плюс, то 0 точка минимума.

13 Алгоритм исследования функции на экстремум с помощью первой производной: 1. Найти производную f ( ) функции f ().. Найти критические точки функции f (), т.е. точки, в которых производная f( ) 0 или не существует. 3. Изобразить критические точки на числовой оси в прядке возрастания. в данных промежутках. Для этого выбирают в каждом промежутке произвольную точку,, определяют ее знак. 4. Исследовать знак производной f ( ) подставляют ее в производную f ( ) 5. Определяют поведение функции в каждом промежутке: если f () 0, то функция возрастает в данном промежутке, если f () 0, то функция убывает в данном промежутке. 6. Определяют точки минимума и максимума функции f (): если при переходе через критическую точку возрастание функции меняется на убывание, то это точка максимума, если же убывание меняется на возрастание, то это точка минимума. Если знак производной не меняется при переходе через критическую точку, то в данной точке экстремума нет. 7. Вычисляют значения функции в точках экстремума. Пример 9. Исследовать на экстремум функцию Решение. 1. Найдем производную:. Найти критические точки функции: y f ( ) f. ( ) ( ) 0 1 0, 3. Изобразим критические точки на числовой оси в порядке возрастания (Рис.8).

14 Рис.8 4. Исследуем знак производной f ( ) Возьмем значения 3, 1, 1: в каждом промежутке. f (3) 33 (3 ) 9 0, f (1) 31 (1 ) 3 0, f ( 1) 3 ( 1) ( 1 ) Определим поведение функции в каждом промежутке. Так как,то функция возрастает в данном f () 0 на интервале ( ;0) интервале; так как f () 0 на интервале (0;),то функция убывает в данном интервале; так как f () 0 на интервале (; ),то функция возрастает в данном интервале (Рис.9). Рис.9 6. Определим точки минимума и максимума функции f (). Так как при переходе через точку 1 0 возрастание функции меняется на убывание, то это точка максимума; так как при переходе через точку убывание функции меняется на возрастание, то это точка максимума. 7. Вычислим значения функции в точках экстремума: 3 3 yma f(0) , ymin Рис. 10

15 Теорема (второе достаточное условие экстремума). Если в точке 0 первая производная функции f () равна нулю (f ( 0 ) 0), а вторая производная в точке 0 существует и отлична от нуля (f ( 0 ) 0), то при f ( 0 ) 0 в точке 0 функция имеет максимум и при f ( 0 ) 0 минимум. Пример 10. Исследовать на экстремум с помощью второй производной функцию 3 y Решение. Находим производную: y Находим критические точки: y , 4. Находим вторую производную: y Определим знаки второй производной в этих точках: y() , т.е. в точке функция имеет максимум; y(4) , т.е. в точке 4 функция имеет минимум. Найдем значения функции в критических точках: 3 yma y() , 3 ymin y(4) Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке При решении прикладных задач важное значение имеют задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения (глобального максимума и глобального минимума) функции на отрезке [a; b]. Согласно теореме Вейерштрасса (Модуль ), если функция y f () непрерывна на отрезке [a; b], то она принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Наибольшее и наименьшее значения функции может достигаться как в критических точках, так и в концах отрезка [a; b]. Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке [a; b]: 1. Найти производную f ( ) функции f ().. Найти критические точки функции f (), т.е. точки, в которых производная f( ) 0.

16 3. Вычислить значения функции f () в критических точках, принадлежащих отрезку [a; b], и в точках a, b. 4. Выбрать среди найденных значений функции наибольшее и наименьшее значения. Пример 11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0; 3]. Решение. 1. Найдем производную: y 4.. Найдем критические точки: y 4 0,. y Так как точка принадлежит отрезку [0; 3], то вычислим значения функции в точках, 0, 3: y(0) , y() 4 3 1, y(3) Наименьшее значение функции равно ymin 1 и достигается во внутренней точке отрезка [0; 3]. Наибольшее значение функции равно yma 3 и достигается в крайней точке 0 отрезка [0; 3]. Применение производной в задачах с экономическим содержанием Функция издержек С() определяет затраты, необходимые для производства единиц данного продукта. Прибыль P( ) D( ) C( ), где D() доход от производства единиц продукта. Оптимальным значением выпуска для производителя является то значение единиц продукта, при котором прибыль P() оказывается наибольшей.

17 Пример 1. Функция издержек имеет вид C ( ) 100, а доход при производстве единиц товара определяется функцией D ( ) 4000, если 100, 4000( ), если 100. Определить оптимальное для производителя значение выпуска 0. Решение: Функция прибыли имеет вид: , если 100, P( ) D( ) C( ) , если 100. Найдем производную прибыли: ( ), если 100, 4000, если 100, ( ) P 000, если 100. ( ), если Очевидно, что при <100 P( ) , следовательно, на отрезке [0;100] функция P() возрастает, и наибольшее значение есть P(100)= Найдем наибольшее значение прибыли на интервале [100;+ ). Производная на 000 этом интервале P( ) 0. Имеем одну критическую точку = При этом P( ) 0 при и P( ) 0 при 00, т.е. =00 точка максимума функции P() на интервале [100;+ ). При этом, P(00)=419900, таким образом, опт 00. Пример 13. Определить оптимальное для производителя значение выпуска 0, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу p=14 усл. ден. ед. и известен вид функции издержек C( ) Решение:

18 Пусть количество единиц произведенного товара. Найдем прибыль по формуле P( ) D( ) C( ), где доход при постоянной цене p=14 на товар равен D( ) p 14. Следовательно, P( ) 14 (13 3) Условие максимума прибыли: P( ) ( ) критическая точка. При < P( ) 0, следовательно, на отрезке [0;] функция P() возрастает. При > P( ) 0, следовательно, на интервале [;+ ) функция P() убывает. Таким образом, 0 = точка максимума функции P(). Т.е. для производителя оптимально выпускать = единицы товара. Пример 14. Найти максимальную прибыль, которую может получить фирмапроизводитель, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу p=10,5 усл. ден. ед. и известен вид функции издержек C( ) 10 0,5 0,5. Решение: Пусть количество единиц произведенного товара. Найдем прибыль по формуле P( ) D( ) C( ), где доход при постоянной цене p=10,5 усл. ден. ед.: P( ) 10,5 (10 0,5 0,5 ) 0, Условие максимума прибыли: P( ) ( 0, ) 0, критическая точка. При <0 P( ) 0, следовательно, на отрезке [0;0] функция P() возрастает. При >0 P( ) 0, следовательно, на интервале [0;+ ) функция P() убывает. Таким образом, 0 =0 точка максимума функции P(). Т.е. для производителя оптимально выпускать 0 единицы товара. Поэтому максимальная прибыль равна P(0) 0, усл. ден. ед.

19 4. Выпуклость функции. Точки перегиба График дифференцируемой функции y f () называется выпуклым вниз на интервале (а; b), если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале. График функции y f () называется выпуклым вверх на интервале (а; b), если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале. Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции. Точка графика непрерывной функции y f (), отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба. На Рис. 11 кривая y f () выпукла вверх в интервале (а; с), выпукла вниз в интервале (с; b), точка М (с; f (c)) точка перегиба. Теорема (достаточное условие выпуклости-вогнутости функции). Если функция y f () во всех точках интервала (а; b) имеет отрицательную вторую производную, то есть f () 0, то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же f () 0 во всех точках х (а; b), то график выпуклый вниз. Теорема (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная f () дважды дифференцируемой функции при переходе через точку 0 меняет знак, то точка 0 есть точка перегиба ее графика. Рис. 11 К определению промежутков выпуклости Алгоритм исследования функции на выпуклость и точки перегиба: 1. Найти вторую производную y f ( ) ;. Найти точки, в которых вторая производная f( ) 0 или не существует. 3. Изобразить эти точки на числовой оси в порядке возрастания.

20 4. Исследовать знак второй производной f ( ) в данных промежутках. Для этого выбирают в каждом промежутке произвольную точку, подставляют ее в производную f ( ), определяют ее знак. 5. Определяют поведение графика функции в каждом промежутке: если f( ) 0, то график функции выпуклый вниз в данном промежутке, если f( ) 0, то график функции выпуклый вверх в данном промежутке. 6. Если при переходе через точку график функции меняет выпуклость на вогнутость, то это точка перегиба. 7. Находят значение функции в точках перегиба. Пример 15. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции y 5 5. Решение. 1. Находим y 5 4 1, y Вторая производная существует на всей числовой оси. y 0 при Изображаем точку 0 на числовой оси, изображаем полученные промежутки (Рис. 1). Рис Исследуем знак второй производной в каждом промежутке: y (1)=01 3 0; y (-1)=0(-1) 3 =-0 0 (Рис.13). Рис Следовательно, график функции y 5 5 в интервале (; 0) выпуклый вверх, в интервале (0; ) выпуклый вниз.

21 6. Точка 0 есть точка перегиба. 7. Найдем значение функции в точке 0: y (0) = Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построение графика Часто приходится исследовать форму кривой у f () при неограниченном возрастании (по модулю) абсциссы и ординаты переменной точки кривой или абсциссы и ординаты одновременно, при этом важным частным случаем является тот, когда исследуемая кривая при удалении ее переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние d от точки М кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки М от начала координат. Рис. 14 На Рис.14а изображена вертикальная асимптота, на Рис.14б горизонтальные асимптоты, на Рис.14в наклонная. Вертикальные асимптоты Если lim ( ) a 0 f или lim ( ) a 0 f, то прямая х а вертикальная асимптота кривой y f (); и обратно, если прямая х а асимптота, то выполняется одно или оба из написанных равенств. Вертикальные асимптоты, как правило, проходят через точки на оси абсцисс, в которых функция не определена. Это точки разрыва второго рода.

22 Пример 16. Кривая y 5 имеет вертикальную асимптоту 5, так как lim и lim Наклонные асимптоты Наклонная асимптота прямая линия, которая задана уравнением ( ) y k b, где k lim f, b lim f ( ) k. Горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k 0, то есть y b. Пример Найти асимптоты графика функции y. 1 Решение. Так как функция определена всюду, то вертикальных асимптот нет. Найдем наклонные асимптоты, применив для вычисления пределов правило Лопиталя: f ( ) 3 ( ) k lim lim lim lim 1, ( 1) b lim f ( ) k lim 1 lim 1 1. ( ) 1 1 lim lim lim 0. 1 ( 1) Следовательно, наклонная асимптота имеет уравнение y k b. Общая схема исследования функции и построение графика Исследование функции y f () целесообразно вести в определенной последовательности. 1. Найти область определения функции.

23 . Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида. 3. Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат. Точки пересечения графика с осью O определяются из уравнения f( ) 0. Точки пересечения графика с осью Oy определяются из уравнения y f(0). 4. Найти интервалы монотонности функции. 5. Найти экстремумы функции. 6. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции. 7. Найти асимптоты графика функции. 8. На основании проведенного исследования построить график функции. Пример Исследовать функцию y и построить ее график. 1 Решение. 1. Так как знаменатель дроби не может быть равен нулю: 1 0, 1, то область определения функции ( ; 1) ( 1;1) (1; ). 1 ( ) 1.Так как f ( ) f ( ), то функция четная. 1 ( ) 1 Следовательно ее график симметричен относительно оси Оy. 3. Точки пересечения графика функции с осями координат. 1 С осью O: Уравнение 0 корней не имеет, следовательно, с 1 осью O график функции точек пересечения не имеет. 1 0 С осью Oy: y f(0) 1. Следовательно, график функции 1 0 пересекает ось Oy в точке y Интервалы монотонности. Найдем первую производную: 1 (1 ) (1 )( ) 4 y, 1 (1 ) (1 )

24 y 0 0 и не существует при 1. Изобразим критические точки на числовой оси в прядке возрастания. Подставляя числа, 0,5, 0,5, в производную, определим ее знаки в данных интервалах: 4 ( ) 8 8 y( ) 0 (1 ( ) ) ( 3) 9 4 ( 0,5) y( 0,5) 0 (1 ( 0,5) ) (0,75) 4 (0,5) y(0,5) 0, (1 (0,5) ) (0,75) y() 0. (1 ) ( 3) 9 Таким образом, на интервалах ( ; 1) и ( 1;0) интервалах (0;1) и (1; ) - возрастает (Рис. 15).,, функция убывает, на Рис Так как при переходе через точку 0 производная меняет знак, то 0 - точка минимума. Вычислим минимум функции: y 1 0 y(0) min 6. Интервалы выпуклости и точки перегиба. Найдем вторую 4(1 ) 4 (1 )( ) 4(1 3 ) производную: y. Уравнение 4 3 (1 ) (1 ) y 0 корней не имеет, и y не существует при 1. Очевидно, что y 0 на интервале ( 1;1) и функция выпукла вниз на этом интервале, y 0 на интервалах ( ; 1) и (1; ), и на этих интервалах функция

25 выпукла вверх. Так как при 1 (Рис. 16). y не определена, то точек перегиба нет Рис Асимптоты графика функции. а) Вертикальные: Так как 1 1 (1 0) lim, (1 0) (1 0) lim, (1 0) то прямая 1 является вертикальной асимптотой. В силу симметрии графика (четности функции) прямая 1 также вертикальная асимптота. б) Наклонная асимптота y k b: Найдем f ( ) 1 (1 ) k lim lim lim lim (1 ) ((1 ) ) 1 3 ( ) lim lim 0, (1 3 ) 6 1 (1 ) b lim ( f ( ) k) lim ( 0 ) lim lim 1 1 (1 ), Следовательно, прямая y k b есть горизонтальная асимптота.

26 8. Строим график функции (Рис.17). Рис Вопросы для самопроверки 1. Сформулировать теоремы Ролля, Коши, Лагранжа, Лопиталя.. Какие функции называются возрастающими, убывающими? 3. Объяснить, как применяется производная для нахождения промежутков монотонности. 4. Можно ли утверждать, что если производная в данной точке равна нулю (или не существует), то эта точка является точкой максимума или минимума? Приведите пример. 5. Может ли функция иметь два локальных максимума? 6. Сколько экстремумов имеет функция y sin при 0? 7. Как находится наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке? 8. Какие точки графика функции называются точками перегиба? 9. Чему равна вторая производная в точке перегиба? 10. Приведите схему построения графика функции.

27 7. Упражнения для самопроверки 1. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя: ln( 3) а) lim ; б) lim ; в) lim ; e e 1 1 г) lim ; д) lim ; е) lim 1 ln 0 ; e 1 0 ж) lim ( ln ). Найти промежутки возрастания и убывания функции: а) y 6 ; б) y Найти точки экстремума функций: а) y 3 7 4; 3 e б) y ; в) y Исследовать на экстремум и точки перегиба кривую y, построить кривую Найти наибольшее и наименьшее значение функции промежутке [0;3]. 6. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке [0;5]. y 3 6 на y Найти точки перегиба и интервалы выпуклости кривых: 3 а) y 3 15; в) y ln. y 3 4; б) Найти асимптоты графиков функции: а) y ; б) y Определить оптимальное для производителя значение выпуска 0, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу 1 p=8 усл. ден. ед. и известен вид функции издержек C( ) 10. 3

28 10. Найти максимальную прибыль, которую может получить фирмапроизводитель, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу p=6,5 усл. ден. ед. и известен вид функции издержек C( ) 80,5 0, Найти максимальную прибыль, которую может получить фирмапроизводитель, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу p=40 усл. ден. ед. и известен вид функции издержек 1 C( ) e 0,5. 0 Ответы: 1. а) 1; б) -4; в) 4/7; г)3 ; д) 0; е) 1/; ж).. а) Возрастает при ( ;) (3; ), убывает при (;3). б) Возрастает при (1; ), убывает при ( ;1). 3. а) yma ( 1) 8, y (7 / 3) 84/ 7 ; б) экстремумов нет; min в) y (1) e. min 1 y 10 при 4, 3 4. ma 1 ymin при yma 9 при 3, ymin 3 при yma 3 при 0, ymin 6 при 3., точка перегиба 7. а) Выпукла вверх при ( ; 1), выпукла вниз при ( 1; ); =-1 точка перегиба; б) выпукла вверх при ( ;1/ ), выпукла вниз при (1/ ; ); =1/ точка перегиба; в) выпукла вверх при (0;1/ ), выпукла вниз при (1/ ; ); =1/ точка перегиба. 8. а) вертикальная, горизонтальная 5 б) наклонная y (ln150 1). 4 y ; 5


Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. Достаточные условия возрастания и убывания функции:

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. Достаточные условия возрастания и убывания функции: ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Достаточные условия возрастания и убывания функции: Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возрастает на этом промежутке Если

Подробнее

Лекция Исследование функции и построение ее графика

Лекция Исследование функции и построение ее графика Лекция Исследование функции и построение ее графика Аннотация: Функция исследуется на монотонность, экстремум, выпуклость-вогнутость, на существование асимптот Приводится пример исследования функции, строится

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ М и н и с т е р с т в о о б р а з о в а н и я и н а у к и Р о с с и й с к о й Ф е д е р а ц и и Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный

Подробнее

) и, следовательно, функция на этом множестве возрастает и f (x) 0 для x (1;3 ), где функция убывает.

) и, следовательно, функция на этом множестве возрастает и f (x) 0 для x (1;3 ), где функция убывает. Лекции 7-9 Глава 7 Исследование функции 7 Возрастание и убывание функции Теорема о монотонности функции Если f ( на промежутке ( a ; b, то на этом промежутке функция f ( возрастает Если f ( на промежутке

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x :

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x : СОДЕРЖАНИЕ ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Дифференцирование неявных функций Логарифмическое дифференцирование Производные высших порядков Дифференцирование функции, заданной параметрически 6 Уравнение

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. a, монотонно

Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. a, монотонно Функция Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. f на интервале b не убывает, если f f ; не возрастает, если f f ; a, монотонно строго возрастает, если f f

Подробнее

Построение графиков функций с помощью производной

Построение графиков функций с помощью производной Построение графиков функций с помощью производной Способ построения графика функции по точкам несовершенен. Даже вычисление ординат большого числа точек может не дать точное представление о графике, а,

Подробнее

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Пусть имеем функцию определенную на множестве X и пусть точка X - внутренняя точка те точка для которой существует окрестность X Возьмем любую точку и обозначим через называется

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Пусть на множестве X задана функция f Фиксируем точку X и задаем приращение аргумента Тогда точка соответствует f и f f называется приращением функции Если существует

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных 1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Основные понятия и формулы Определение 1 Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

1.Областью определения функции является интервал x ( ;0) 3.Рассмотрим поведение функции в окрестностях точек разрыва. Точка x 0

1.Областью определения функции является интервал x ( ;0) 3.Рассмотрим поведение функции в окрестностях точек разрыва. Точка x 0 Построить график функции y Областью определения функции является интервал ( ;0) (0; ) Функция y является четной, тк y( ) y( ), а ( ) график функции симметричен относительно оси OY 3Рассмотрим поведение

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Построение графиков функций

Построение графиков функций Построение графиков функций 1. План исследования функции при построении графика 1. Найти область определения функции. Часто полезно учесть множество значений функции. Исследовать специальные свойства функции:

Подробнее

Практическая работа 6. Тема: «Полное исследование функций. Построение графиков»

Практическая работа 6. Тема: «Полное исследование функций. Построение графиков» Практическая работа 6 Тема: «Полное исследование функций. Построение графиков» Цель работы: научиться исследовать функции по общей схеме и строить графики. В результате выполнения работы студент должен:

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления»

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления» 4 Методические указания к выполнению контрольной работы «Производная и ее приложения Приложения дифференциального исчисления» Производная Приложения дифференциального исчисления Производной функции f (

Подробнее

23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА

23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА Лекция 23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ТОЧКИ ПЕРЕГИБА График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале График

Подробнее

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ» Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

По этим результатам можно схематично изобразить график функции: Терема 4 (второй достаточный признак существования экстремума).

По этим результатам можно схематично изобразить график функции: Терема 4 (второй достаточный признак существования экстремума). 6 По этим результатам можно схематично изобразить график функции: Терема 4 (второй достаточный признак существования экстремума) Стационарная точка функции f( ), дважды дифференцируемой в Oδ ( ), является

Подробнее

В.И. Иванов С.И. Васин

В.И. Иванов С.И. Васин Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ. Исследование поведения функции с помощью производных

ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ. Исследование поведения функции с помощью производных ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ Исследование поведения функции с помощью производных Интервалы монотонности. Экстремумы Определение. Промежутки, на которых функция f (x) возрастает (убывает),

Подробнее

10. Исследование функций Основные формулы и определения для решения задач

10. Исследование функций Основные формулы и определения для решения задач 0. Исследование функций 0.. Основные формулы и определения для решения задач Правилом Лопиталя называют теоремы, сводящие вычисление предела отношения двух функций в случае неопределённости 00 или к вычислению

Подробнее

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми.

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми. Контрольная работа Тема Пределы и производные функций Найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя) а) б) в) г) Пример а) Решение Определяем вид неопределенности При формальных

Подробнее

16.2.Н. Производная.

16.2.Н. Производная. 6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора.

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора. Глава 5 Исследование функций с помощью формулы Тейлора Локальный экстремум функции Определение Функция = f ( достигает в точке с локального максимума (минимума), если можно указать такое δ >, что ее приращение

Подробнее

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр Образцы базовых задач и вопросов по МА за семестр Предел последовательности Простейшие Вычислите предел последовательности l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Вычислите предел последовательности

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ (для

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

Кафедра Высшая и вычислительная математика. О.А.Платонова МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЧАСТЬ 3 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ

Кафедра Высшая и вычислительная математика. О.А.Платонова МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЧАСТЬ 3 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Российский университет транспорта (МИИТ)» Кафедра Высшая и вычислительная

Подробнее

Приложение производных к исследованию функций

Приложение производных к исследованию функций Приложение производных к исследованию функций Лекции 1 6 Л.И. Терехина, И.И. Фикс Курс: Высшая математика Семестр 1, 2009 год portal.tpu.ru Теорема 1 (Ферма) Если функция y = f (x): 1) непрерывна в замкнутом

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР

Решение типового варианта заданий по теме. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Решение типового варианта заданий по теме "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание Задание

Подробнее

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx Ответы к заданию приращения аргумента Δ Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки Δ, U ( : δ приращения f Δ (

Подробнее

~ 1 ~ «Признаки монотонности функции»

~ 1 ~ «Признаки монотонности функции» ~ 1 ~ «Признаки монотонности функции» Теорема: Для того чтобы функция f(x), дифференцируемая на a,b возрастала (убывала) на a,b необходимо и достаточно, чтобы x a,b выполнялось неравенство f (x) 0 (f (x)

Подробнее

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции 10 Исследование функций и построение графиков 10 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1 Возрастание и убывание функции 1 x ( 1 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция y = f (x) называется возрастающей (неубывающей)

Подробнее

присутствие функций арксинуса вида arcsin f x

присутствие функций арксинуса вида arcsin f x Практическая работа Полное исследование функции и построение графика Цель: закрепить навыки исследования функций и построения графиков Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): методические

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВ Богатова, КВ Бухенский, ИП Карасев, ГС Лукьянова ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD Практикум Рязань Предисловие Общий

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Министерство образования и науки Российской Федерации Курганский государственный университет Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

Построение кривых... 1.План исследования и построения кривых...

Построение кривых... 1.План исследования и построения кривых... Содержание Построение графиков функций............. План исследования функции при построении графика... Основные понятия и этапы исследования функции..... Область определения функции D f и множество значений

Подробнее

Контрольная работа с решением Исследование функции с помощью производной

Контрольная работа с решением Исследование функции с помощью производной Еще готовые работы: https://www.matburo.ru/sub_appear.php?pissl Контрольная работа с решением Исследование функции с помощью производной Задача. Найдите наклонные или горизонтальные асимптоты графика функции:

Подробнее

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 7 Производная функции Правила и формулы дифференцирования П л а н Задачи, приводящие к понятию производной Понятие производной Основные

Подробнее

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (РГГУ) Филиал в г Домодедово

Подробнее

Примерные практические задания:

Примерные практические задания: Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА 11 класс (база) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

{ интервалы монотонного возрастания и убывания функции - выпуклость функции на промежутке - точки перегиба - асимптоты - построение графика функции }

{ интервалы монотонного возрастания и убывания функции - выпуклость функции на промежутке - точки перегиба - асимптоты - построение графика функции } { интервалы монотонного возрастания и убывания функции - выпуклость функции на промежутке - точки перегиба - асимптоты - построение графика функции } Интервалы монотонного возрастания и убывания функции

Подробнее

3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба

3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба 3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть l кривая, M 0 точка кривой, причем в M 0 существует невертикальная касательная к l. Кривую l называют выпуклой в точке M 0, если в некоторой

Подробнее

Примеры решения задач, аналогичных задачам 1-10 Необходимо найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя).

Примеры решения задач, аналогичных задачам 1-10 Необходимо найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя). Контрольная работа 2 (КР-2) Тема 3. Пределы и производные функций Примеры решения задач, аналогичных задачам 1-10 Необходимо найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя).

Подробнее

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Подробнее

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен: уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций находить производные

Подробнее

возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие 1. Возрастание и убывание функции. Для того чтобы дифференцируемая на интервале ( ab, ) функция f была возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Аналогично, условие

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Подробнее

8. Свойства дифференцируемых функций

8. Свойства дифференцируемых функций 8. Свойства дифференцируемых функций 8.. Производная функции в данной точке отражает локальные свойства функции, т. е. свойства, присущие функции в некоторой окрестности данной точки. Вместе с тем есть

Подробнее

3. Производная функции

3. Производная функции . Производная функции Актуальность темы Понятие производной одно из основных понятий математического анализа. В настоящее время понятия производной находит большое применение в различных областях науки

Подробнее

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n Решения типовых задач Задача Доказать по определению предела числовой последовательности что n li n n Решение По определению число является пределом числовой последовательности n n n N если найдется натуральное

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРИНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРИНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ для модуля ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРИНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Харьков

Подробнее

Примерные практические задания:

Примерные практические задания: Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА класс (профиль) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения

Подробнее

СХЕМА ПОЛНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ ПРИМЕРЫ

СХЕМА ПОЛНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ ПРИМЕРЫ СХЕМА ПОЛНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ Найти область определения функции Исследовать четность и периодичность функции Исследовать точки разрыва найти вертикальные асимптоты 4 Найти наклонные асимптоты (если

Подробнее

Математика (БкПл-100, БкК-100)

Математика (БкПл-100, БкК-100) Математика (БкПл-100, БкК-100) М.П. Харламов 2009/2010 учебный год, 2-й семестр Лекция 5. Исследование функций с помощью производных 1 1. Понятие о производных высших порядков Опр. Пусть дана функция f(x)

Подробнее

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию:

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию: Вариант 7 Найти область определения функции : y + / lg Область определения данной функции определяется следующими условиями:, >, те > / Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или Объединяя результаты,

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление ФГОУ СПО ЛТК МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ Дифференциальное исчисление Ст Ленинградская 00г Предисловие Настоящее пособие написано в соответствии с программой по математике для студентов средни профессиональны

Подробнее

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 9 ФУНКЦИЯ -ОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ГРАФИКИ. ОПР Величина называется переменной, если в рамках данной задачи она принимает различные числовые значения. ОПР Величина С называется

Подробнее

Рабочая тетрадь по математике Тема «Производная»

Рабочая тетрадь по математике Тема «Производная» ГОУ СПО «Осинниковский политехнический техникум» Рабочая тетрадь по математике Тема «Производная» Составители: Глазунова Т.С., преподаватель ГОУ СПО «Осинниковский политехнический техникум» Новикова Н.П.,

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

, где k любое целое число. В таком случае автоматически выполняется и неравенство x 0. Ответ: x [4k. x

, где k любое целое число. В таком случае автоматически выполняется и неравенство x 0. Ответ: x [4k. x Вариант 8 Найти область определения функции : y sin Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и sin Из второго неравенства следует, что должно выполняться неравенство k π k+

Подробнее

Контрольная работа с решением Исследование функции и построение графика. 6) Экстремумы и монотонность. Вычисляем первую производную: '

Контрольная работа с решением Исследование функции и построение графика. 6) Экстремумы и монотонность. Вычисляем первую производную: ' Контрольная работа с решением Исследование функции и построение графика Задача 1. Заданную функцию исследовать методами дифференциального исчисления. Построить график функции. ( 1) 3 y = Решение. 1) Область

Подробнее

Дифференциал функции y = f(x) зависит от х и является главной частью приращения х. Также можно воспользоваться формулой:

Дифференциал функции y = f(x) зависит от х и является главной частью приращения х. Также можно воспользоваться формулой: 2.2.7. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Дифференциал функции y = зависит от х и является главной частью приращения х. Также можно воспользоваться формулой: dy d Тогда абсолютная погрешность:

Подробнее

1. Производная функции в точке

1. Производная функции в точке приращения аргумента Δ приращения Δ функции f производной функции точке f в Основные правила дифференцирования функций функции в точке Приращением аргумента Δ функции f называется разность между значением

Подробнее

1. Производная Рассмотрим график непрерывной функции секущая графика. будем называть касательной. в точке x

1. Производная Рассмотрим график непрерывной функции секущая графика. будем называть касательной. в точке x Лекция: Основы дифференциального исчисления Конспект лекции. Производная Рассмотрим график непрерывной функции на отрезке b M M секущая графика. Тогда тангенс угла наклона секущей. Предельное положение

Подробнее

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и Вариант 5 Найти область определения функции : y arcsin + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и или Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого

Подробнее

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y +

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y + Вариант Найти область определения функции : y + + lg(5 Область определения данной функции определяется следующими неравенствами: + те 5 > те < 5 Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg( 5 или

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ МОиАИС 1-Й СЕМЕСТР ГРАЖДАНЦЕВА Е.Ю.

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ МОиАИС 1-Й СЕМЕСТР ГРАЖДАНЦЕВА Е.Ю. ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ МОиАИС 1-Й СЕМЕСТР ГРАЖДАНЦЕВА Е.Ю. Глава 1 Исследование функции одной переменной 1.1 Признаки возрастания и убывания. Определение. Функция f(x), определенная

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО ОВ Сильванович, ГВ Тимофеева ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ (МОДУЛЬ ) ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Подробнее

x y ) Графический - функция задается в виде графика:

x y ) Графический - функция задается в виде графика: ФУНКЦИИ. Понятие функции. Допустим, скорость движения человека составляет 5 км/ч. Если принять время в пути за x часов, а пройденный путь за y км, то зависимость пройденного пути от времени в пути можно

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им К Э Циолковского Кафедра

Подробнее

ЧАСТЬ 2. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ПОЛИТИЧЕСКОЙ НАУКЕ.

ЧАСТЬ 2. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ПОЛИТИЧЕСКОЙ НАУКЕ. ЧАСТЬ. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ПОЛИТИЧЕСКОЙ НАУКЕ. Тема 4. Производная и дифференциал. Непрерывность функции. Точки разрыва. В реальной жизни, в том числе и в политической, большинство

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции. Производная функции Понятие производной является одним из основных математических понятий Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики и других наук, в особенности при

Подробнее

Вариант 16. ]. При k = 0 получим x [ 0, π ]. При других значениях k неравенства не имеют общих рещений.

Вариант 16. ]. При k = 0 получим x [ 0, π ]. При других значениях k неравенства не имеют общих рещений. Вариант Найти область определения функции : si + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и si Из второго неравенства следует, что должно выполняться неравенство k π (k+ π,

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

ЗАДАЧА 1. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя в пунктах а) г); с использованием правила Лапиталя в пункте д). 2.

ЗАДАЧА 1. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя в пунктах а) г); с использованием правила Лапиталя в пункте д). 2. ЗАДАЧА Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя в пунктах а) г); с использованием правила Лапиталя в пункте д) х + х х + + 6х а) lim ; б) lim ; х х + х х х ( + х ) + х в) lim ; х х + Решение

Подробнее

Тема 39. «Производные функций»

Тема 39. «Производные функций» Тема 39. «Производные функций» Функция Производной функции в точке х 0 называется предел отношения приращения функции к приращению переменной, то есть = lim = lim + ( ) Таблица производных: Производная

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Методические

Подробнее

Контрольная работа T=3. Задание 1. [1, стр. 2]

Контрольная работа T=3. Задание 1. [1, стр. 2] Дана матрица Контрольная работа A 0 T= Задание [, стр ] Определите ее размерность Выпишите характеристики этой матрицы: прямоугольная, квадратная, симметричная, единичная, нулевая, треугольная, диагональная,

Подробнее

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная, и её приложения. Издание третье. / x

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная, и её приложения. Издание третье. / x ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский политехнический университет Т В Тарбокова, В М Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ

Подробнее

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами:

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: Вариант 7 Найти область определения функции : y Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и > Второе неравенство выполняется при всех значениях Корнями уравнения являются числа

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 10 класс ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Новосибирск Для проверки

Подробнее

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Лекция 8 Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Аннотация: Доказываются все названные теоремы и приводятся примеры раскрытия неопределенностей по правилу Лопиталя Определение Функция y=f() достигает

Подробнее

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ / степенные функции. показательно степенные функции. = x( модуль функции. u u = 0, 18. u ; ) (сигнум u). показательные функции

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ / степенные функции. показательно степенные функции. = x( модуль функции. u u = 0, 18. u ; ) (сигнум u). показательные функции ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ. сos) степенные функции. ) a. b. ) c. ) e. ) ) показательные функции. a ) a l a a. e ) e логарифмические функции 4. loga ) l a 4a. l ) a l l a l b l a l a ) b тригонометрические функции

Подробнее

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ / степенные функции. показательно степенные функции. = x( модуль функции. u u = 0, 18. u. 1, u < 0; функция знак u (сигнум u).

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ / степенные функции. показательно степенные функции. = x( модуль функции. u u = 0, 18. u. 1, u < 0; функция знак u (сигнум u). ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ. сos ) степенные. ). ) b. ) c. ) e. ) ) показательные. ) l. e ) e логарифмические. log ) l. l ) l l l b l l ) b тригонометрические. si ) cos 6. cos) si 7. g ) cos 8. cg ) si обратные

Подробнее

Урок на тему: Построение графиков.

Урок на тему: Построение графиков. Урок на тему: Построение графиков. Ребята, мы с вами строили уже не мало графиков функций, например параболы, гиперболы, тригонометрических функций и другие. Давайте вспомним, как мы это делали? Мы выбирали

Подробнее

Тема 1. Предел и непрерывность функции

Тема 1. Предел и непрерывность функции Уметь: Тема 1. Предел и непрерывность функции Вычислять пределы функций и числовых последовательностей, используя различные приемы, в том числе, замечательные пределы, проводить сравнение бесконечно малых

Подробнее

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1)

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1) 1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения (2006-2007, сем.1 1. Сформулируйте определение ограниченного множества вещественных чисел. 2. Сформулируйте определение

Подробнее

Модуль и производная В.В. Сильвестров

Модуль и производная В.В. Сильвестров Модуль и производная В.В. Сильвестров При решении некоторых задач приходится находить производную функции, содержащей один или несколько модулей. Такие задачи возможны и на едином государственном экзамене

Подробнее