"Спецфункции". Лекция 9. Гипергеометрическая функция. ) n. (1 + 1 )(1 + b 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download ""Спецфункции". Лекция 9. Гипергеометрическая функция. ) n. (1 + 1 )(1 + b 1"

Транскрипт

1 "Спецфункции". Лекция 9. Гипергеометрическая функция 1. Гипергеометрический ряд F p,q a 1,..., a p ; b 1,..., b q ; z определяется как степенной ряд вида F p,q a 1,..., a p ; b 1,..., b q ; z = 1 + a 1 n a p n z n n 1 b 1 n b q n n!, где Γa + n a n = aa+1 a+n 1 =, a 0 = 1 - символ Похгаммера. Найдем область Γa сходимости гипергеометрического ряда. Предел отношения двух последовательных членов ряда равен lim z a 1 + n a p + n n n + 1b 1 + n b q + n = lim n znp q a1 n 1 + a p n b 1 n n 1 + b q = lim n n znp q 1. Это говорит о том, что при p < q + 1 гипергеометрический ряд сходится при любом z, при p < q + 1 гипергеометрический ряд всюду расходится, а при p = q + 1 сходится при z < 1 и расходится при z > 1. Пусть теперь p = q + 1. Исследуем сходимость гипергеометрического ряда на границе области сходимости z = 1. Для этого потребуется более точная оценка коэффициента F n = a 1 n a p n гипергеометрического ряда при z n. Утверждается, что при n n!b 1 n b q n F n i Γb i Γa n a i b i 1 p = q Для доказательства представим коэффициент F n в виде произведения F n = i Γb i Γa Γa + n Γn + 1 i Γb i + n и для оценки второго сомножителя применим формулу Стирлинга log Γx = x + 1 log x x + 1 log π + o1. Тогда при p = q + 1 постоянные 1 log π в этом случае сокращаются log Γa + n Γn + 1 i Γb + o1 = a + n + 1 i + n b i + n + 1 logb i + n b i + n i a + n + 1 loga + n a i n + 1 log1 + n 1 = a 3 i loga + n a + n n + 3 log1 + n 1 n = b i + n + 1 logb i + n b i b i 1 log n + o1. 1

2 Последнюю малую величину составляют стремящиеся к нулю слагаемые a + n + 1 log1 + a a n, b i + n + 1 log1 + b i b n i и n + 3 log n Оценка 1 немедленно влечет за собой следующие утверждения все при p = q + 1: а при Re b i a i > 0 гипергеометрический ряд абсолютно сходится при всех z, z = 1 т.е., на всем замыкании круга сходимости б при Re b i a i < 1 гипергеометрический ряд расходится для любого z, z = 1. Более того, можно показать, что в при 1 < Re b i a i < 0 гипергеометрический ряд сходится условно при всех z, z = 1, z 1.. Наиболее используема гипергеометрическая функция F a, b; c; z F,1 a, b; c; z, определяемая как аналитическое продолжение соответствующего ряда. Для нее имеет место интегральное представление Гаусса F a, b; c; z = Γc ΓbΓc b 0 t b 1 1 t c b 1 1 tz a dt, Re c > Re b > 0. Переменная z считается отличной от положительного вещественного числа, большего 1 либо принадлежащей комплексной плоскости с разрезом вдоль луча 1, +, а все степени понимаются в смысле своих основных значений, т.е., t b 1 = e b 1 log t, 1 t c b 1 = e c b 1 log1 t, 1 tz a = e alog 1 tz +i arg1 tz, π < arg1 tz < π. Условие Re c > Re b > 0 гарантирует сходимость интеграла вообще говоря, он несобственный. Для доказательства предположим вначале, что z < 1 и разложим подинтегральную функцию в ряд. Воспользовавшись вычислением эйлерова интеграла, получим требуемое соотношение: 0 n 0 a n n! t b 1 1 t c b 1 1 tz a dt = n 0 a n n Γb + nγc b z n! Γc + n = z n t b+n 1 1 t c b 1 dt = 0 ΓbΓc b Γc n 0 a n b n c n n! zn Далее заметим, что подинтегральное выражение и сам интеграл допускают аналитическое продолжение в разрезанную плоскость. Значит, и гипергеометрическая функция допускает такое же аналитическое продолжение. Интегральное представление Гаусса позволяет вычислить значение гипергеометрической функции при z = 1. А именно, F a, b; c; 1 = n 0 a n b n n!c n = ΓcΓc a b, Rec a b > 0. Γc aγc b Действительно, подставляя в равенство 1 значение z = 1, и вновь вычисляя эйлеров интеграл, получаем Γc F a, b; c; 1 = ΓbΓc b 0 Γc ΓbΓc b a ΓbΓc b Γc a t b 1 1 t c b a 1 dt = = ΓcΓc a b Γc aγc b.

3 Рассуждения заведомо верны при Re c > Re b > 0, Rec a b > 0, однако конечный результат справедлив в области параметров Rec a b > 0 и поэтому верен во всей этой области в силу принципа аналитического продолжения. 3. Обозначим через δ дифференциальный оператор первого порядка δ = z d dz. Нетрудно видеть, что δf p,q a 1,..., a p ; b 1,..., b q ; z = n 0 δ + a 1 F p,q a 1,..., a p ; b 1,..., b q ; z = n 0 δ + b 1 1F p,q a 1,..., a p ; b 1,..., b q ; z = n 0 так что имеет место тождество n a 1 n a p n z n b 1 n b q n n!, a 1 n+1 a n a p n z n b 1 n b q n n!, a 1 n a p n z n b 1 n 1 b n b q n n!, {zδ + a 1 δ + a p δδ + c 1 1 δ + c q 1} F p,q a 1,..., a p ; b 1,..., b q ; z = 0 представляющее собой линейное дифференциальное уравнение порядка maxp, q + 1. В частном случае классической гипергеометрической функции получаем гипергеометрическое уравнение Гаусса второго порядка на функцию y = F a, b; c; z. z1 z d y dy + c a + b + 1z aby = 0 3 dz dz 4. Гипергеометрическое уравнение является линейным дифференциальным уравнением с тремя регулярными особыми точками. Напомним определение. Пусть имеется линейное дифференциальное уравнение или система линейных дифференциальных уравнений ȳ = fzȳ на комплекснозначные функции ȳ = {y i z} комплексного переменного z c аналитическими коэффициентами, имеющими изолированные особые точки. Особая точка z 0 такой системы называется регулярной, если в окрестности этой точки всякое решение системы записывается в виде комбинаций z z 0 λ log k z z 0, λ C k N произведений степенных и логарифмических функций иными словами, допускается многозначность решения, но не допускается существенная особенность. Например, линейное дифференциальное уравнение первого порядка dy dz = λ y z k при k = 1 имеет в нуле регулярную особенность, в то время как при k =, 3,... эта особенность нерегулярна. В самом деле, в первом случае решения имеют допустимый вид y = Cz λ, в то время как при k > 1 решения y = Ce k 1z k 1 имеют в нуле существенную особенность. Уравнение y = y имеет единственную нерегулярную особенность в бесконечности: после замены переменной z = w 1 d, = dz w d, переводящей точку z = в dw точку w = 0 уравнение переписывается в виде dy = y, имеющее в нуле иррегулярную особенность. В свою очередь и решение y = Ce λz имеет существенную особенность в dw w бесконечности. 3 λ

4 Линейное уравнение первого порядка обязано иметь особенности в расширенной комплексной плоскости; если эти особенности регулярные, то их как минимум две; всякое уравнение с двумя особыми точками в 0 и бесконечности имеет вид y = λ y z. Система линейных дифференциальных уравнений y = Azy имеет в точке z 0 регулярную особенность, если матричнозначная функция Az имеет в этой точке полюс первого порядка, т.е., представима в виде Az = Bz z z 0, где Bz регулярна в точке z 0. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка y + azy + bzy = 0 имеет в точке z = z 0 регулярную особенность, если функция az имеет в точке z = z 0 полюс не выше первого порядка, а функция bz - полюс порядка не выше второго. В самом деле дифференциальное уравнение эквивалентно системе { y 1 = y, y = azy bzy 1 Сделаем замену ỹ = z z 0 y. Уравнения примут вид ỹ y 1 =, z z 0 1 ỹ = az ỹ z z 0 bzy 1 z z 0 Эта система имеет регулярную особенность, если az имеет полюс первого порядка, bz - полюс второго порядка в точке z = z 0. Рассмотрим уравнение y + pz y + qz y = 0, где pz и qz - регулярны в точке z z 0 z z 0 z = z 0. Поскольку оно имеет регулярную особенность в этой точке, решения в окрестности точки z = z 0 могут иметь вид y = z z 0 λ uz, где uz - регулярная в точке z = z 0 функция. Будем поэтому искать решение в виде ряда с неопределенными коэффициентами y = z z 0 λ + a 1 z z 0 λ+1 + a z z 0 λ+ +. Подставляя ряд в исходное дифференциальное уравнения и приравнивая нулю коэффициенты при наименьшей степени z z 0 λ, получаем квадратичное соотношение λλ 1 + p 0 α + q 0 = 0, p 0 = pz 0, q 0 = qz 0, 4 необходимое для существования такого решения. Корни λ 1 и λ этого уравнения называются экспонентами, или показателями особой точки. В стандартных учебниках см. например, Уитеккер, Ватсон, т.1 гл.10, доказывается, что если λ 1 и λ не различаются на целое число, то каждому из этих корней соответствует свое решение дифференциального уравнения, коэффициенты соответствующего ряда находятся реккурентно, получившийся ряд имеет непустую область сходимости. Если же разность λ 1 λ целочислена, то это утверждение верно для корня с наибольшей вещественной частью; для построения второго решения необходимо добавлять логарифмический член. 4

5 Применим эти рассуждения к гипергеометрическому уравнению 3. Его особые точки - 0, 1 и. В окрестности нуля уравнение имеет вид y + c +... y + z ab +... y = 0, z где многоточие означает слагаемые, обращающиеся в 0 при z = 0. Поэтому коэффициент p 0 = c q 0 = 0, уравнение 4 на показатели имеет вид λλ 1 + cλ = 0 c корнями λ 1 = 0 и λ = 1 c. Решение, соответствующее первому корню - собственно гипергеометрический ряд; точный вид второго еще предстоит найти. В окрестности особой точки z = 1 уравнение принимает вид y + a + b + 1 c +... y ab z 1 z 1 y = 0, где многоточие означает слагаемые, обращающиеся в 0 при z = 1. так что p 0 = a+b+1 c, q 0 = 0, а уравнение 4 на показатели имеет вид λλ 1 + a + b + 1 cλ = 0 c корнями λ 1 = 0 и λ = c a b, так что имеется одно решение гипергеометрического уравнения, регулярное в точке z = 1, и решение вида y = z 1 c a b uz, где uz аналитична в 1 при условии, что c a b -не целое число. Для исследования в окрестности бесконечно удаленной точки сделаем замену переменной z = w 1, dy dy = w, d y = w 4 d y + w 3 dy, переведя бесконечность в 0, так что dz dw dz dw dw w w 1 d y dw + w c + a + b 1w dy aby = 0. dw В этом уравнении рассматриваем регулярную особую точку 0, экспоненты в которой находятся из уравнения λλ 1 a + b 1λ + ab = 0, корни которого λ 1 = a, λ = b; соответствующие решения представимы в виде рядов y 1 z = z a + a 1 z a 1 +, y z = z b + b 1 z b 1 +, сходящихся в окрестности бесконечно удаленной точки. 5. Дробно-линейными преобразованиями переменной z можно получить из гипергеометрического уравнения линейное дифференциальное уравнение второго порядка с тремя заданными регулярными особыми точками α, β, γ на расширенной комплексной плоскости уравнение Римана. Более того, имеет место следующая Tеорема Папперица. Существует единственное линейное дифференциальное уравнение порядка с тремя заданными различными регулярными особыми точками α, β, γ на расширенной комплексной плоскости и показателями a 1, a, b 1, b, c 1, c. Для доказательства предположим, что точки α, β, γ - конечные, а уравнение имеет вид d y dz + pzdy + qzy = 0. dz 5

6 При замене z = w 1 уравнение принимает вид d y dw + w 1 1 w p w dy dw + 1 w 4 q 1 y = 0, w так что отсутствие у уравнения особенности в бесконечности означает аналитичность в бесконечности функций z pz z и z 4 qz, в частности, существование у этих выражений конечных пределов при z. Условия регулярности в точках α, β и γ говорят, в частности, что функция pz имеет в этих точках полюсы первого порядка и, следовательно, представима в виде pz = A z α + B z β + C z γ + uz, где A, B, C - некоторые постоянные, а uz - функция, аналитическая в конечной плоскости. При больших z z pz z = z A z1 α/z + B z1 β/z + B z1 γ/z + uz z = A z z + αa z + + B z + βb z + + C z + γc z + + uz z = za + B + C + z uz + αa + βb + γc + o z 1, так что существование конечного предела z pz z эквивалентно соотношениям uz 0 и A + B + C =. Аналогичными рассуждениями можно показать, что 1 D qz = z αz βz γ z α + E z β + F z γ для некоторых постоянных D, E, F. Характеристическое уравнение на показатели в точке z = α имеет вид D λλ 1 + λa + α βα γ = 0 D откуда по теореме Виета a a = 1 A, a 1 a =, так что A = 1 a α βα γ 1 a, D = α βα γ. Аналогично находятся и остальные постоянные B, C, E, F, а искомое уравнение выглядит так: d y 1 dz + a1 a + 1 b 1 b + 1 c 1 c dy z α z β z γ dz + α βα γa1 a z α + β αβ γb 1b z β + γ αγ βc 1c z γ y z αz βz γ = 0 6

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

12. Определенный интеграл

12. Определенный интеграл 58 Определенный интеграл Пусть на промежутке [] задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке [] произвольные числа,, 3,, n-, удовлетворяющие условию:

Подробнее

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы.

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ I О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение Преобразованием Фурье функции из L называется функция определяемая равенством d Оператор F : называется

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ] 8 Барроу Исаак (Brrow Is) -77 английский математик, филолог, богослов. Профессор Кембриджского университета. Автор труда лекции по оптике и геометрии (9-7). Из теоремы следует, что определенный интеграл

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ 5 СЕМЕСТР

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ 5 СЕМЕСТР МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ 5 СЕМЕСТР А. А. Пожарский Содержание Предисловие 2 занятие. Комплексные числа. 4 2. Регулярные функции комплексного переменного. 8 2 занятие 3. Восстановление регулярной функции по

Подробнее

3 Операция деления комплексных чисел. Как связаны модуль и аргумент частного с модулями и аргументами делимого и делителя?

3 Операция деления комплексных чисел. Как связаны модуль и аргумент частного с модулями и аргументами делимого и делителя? Экзаменационные вопросы по ТФКП. Вопрос 1. Элементарные операции с комплексными числами. Элементарные функции комплексной переменной. 1 Операция сложения комплексных чисел. Ее геометрическая интерпретация.

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

О ВОЗМОЖНОСТИ ОБОБЩЕННО АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ В ОБЛАСТЬ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА КУСКЕ ЕЕ ГРАНИЦЫ Т. Ишанкулов

О ВОЗМОЖНОСТИ ОБОБЩЕННО АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ В ОБЛАСТЬ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА КУСКЕ ЕЕ ГРАНИЦЫ Т. Ишанкулов Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 2000. Том 4, 6 УДК 57.5 О ВОЗМОЖНОСТИ ОБОБЩЕННО АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ В ОБЛАСТЬ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА КУСКЕ ЕЕ ГРАНИЦЫ Т. Ишанкулов Аннотация: Рассматривается

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра.

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Глава. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Определенный интеграл f ( d ) в главе был введен для случая ко нечного промежутка [, ] и ограниченной функции f (). Теперь это понятие

Подробнее

Ю. В. Сидоров МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Ю. В. Сидоров МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Ю. В. Сидоров МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Ю. В. Сидоров. Лекции по теории функций комплексного переменного. Многозначные аналитические функции. Настоящее учебное пособие предназначено для студентов

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2011

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2011 Chir of Mth. Anlysis, SPb. Stte University. A.V.Poteun, Исследование сходимости несобственных интегралов Методические указания для решения задач А. В. Потепун Как известно (см. [], глава III, 7), если

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

Основы функционального анализа и теории функций

Основы функционального анализа и теории функций Основы функционального анализа и теории функций Лектор Сергей Андреевич Тресков 3 семестр. Ряды Фурье. Постановка задачи о разложении периодической функции по простейшим гармоникам. Коэффициенты Фурье

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению.

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению. ТЕМА 7 Задача Штурма-Лиувилля Собственные значения и собственные функции Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению Основные определения и теоремы Оператором Штурма-Лиувилля называется дифференциальный

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН ИННОВАЦИОННЫЙ ЕВРАЗИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Е.С.Ткачева

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН ИННОВАЦИОННЫЙ ЕВРАЗИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Е.С.Ткачева МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН ИННОВАЦИОННЫЙ ЕВРАЗИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ На правах рукописи ЕСТкачева K АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СУММЫ ЧИСЕЛ ИЗ ОЙ СТЕПЕНИ (АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского Л В Борисова, В В Новиков, С В Тышкевич, А В Шаталина ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Учебное пособие для студентов механико-математического,

Подробнее

24-е занятие. Эйлеровы интегралы (функции Γ и B) Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

24-е занятие. Эйлеровы интегралы (функции Γ и B) Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр 24-е занятие Эйлеровы интегралы (функции Γ и B) Матем анализ, прикл матем, 3-й семестр Определения гамма-функции и бета-функции: Γ(x) = t x 1 e t dt B(x, y) = t x 1 (1 t) y 1 dt Д 3841 Доказать, что функция

Подробнее

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье.

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье. Лекция 4. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда..4. Равенство Парсеваля Пусть система вещественных функций g( ), g( ),..., g ( ),... ортогональна и

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания и варианты заданий к контрольной

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (СПЕЦГЛАВЫ) ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНИКОВ НАПРАВЛЕНИЯ , ,

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (СПЕЦГЛАВЫ) ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНИКОВ НАПРАВЛЕНИЯ , , МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (СПЕЦГЛАВЫ) ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНИКОВ НАПРАВЛЕНИЯ 7, 7, СПБ ГУТ Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А.

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А. РЯДЫ ФУРЬЕ Автор-составитель: доцент каф ВМ Цапаева СА Великий Новгород ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ГАРМОНИК Определение Гармониками называются комплекснозначные функции вида iω ( ) e, где действительная переменная,

Подробнее

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 27. Том 48, 6 УДК 517.53/.57 НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Аннотация. Рассмотрена

Подробнее

Дифференциальные уравнения: конспект лекций

Дифференциальные уравнения: конспект лекций [DEshrt.te, 09.01.09] Дифференциальные уравнения: конспект лекций В 006 году студент -го курса Д.В. Кальянов набрал в LaTeX'е конспект моих лекций по курсу "Дифференциальные уравнения". Я переписал его

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

8. Определенный интеграл

8. Определенный интеграл 8. Определенный интеграл 8.. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x,..., x n, x n } [, b], что = x < x < < x n < x n =

Подробнее

множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B).

множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B). ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ТЕОРЕМА ФУБИНИ. ПРОСТРАНСТВА Lp, I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Определение. Пусть и Y множества, и Y меры, заданные на полукольцах S и S Y подмножеств множеств и

Подробнее

П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е

П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е Санкт-Петербургский государственный университет А. В. О С И П О В К О Н С П Е К Т Л Е К Ц И Й П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е Часть II (-й курс, -й семестр) Санкт-Петеpбуpг 0 0 Конспект лекций по высшей

Подробнее

1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены

1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены Глава III. Теория устойчивости 1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены III.1.1. Устойчивые решения линейных ОДУ Существенную роль в исследовании различных процессов, поведение которых описывается

Подробнее

Лекция 14. Неопределенности и правило Лопиталя

Лекция 14. Неопределенности и правило Лопиталя СА Лавренченко 1 wwwlawrencenkoru Лекция 14 Неопределенности и правило Лопиталя Правило Лопитáля применяется при вычислении пределов для раскрытия неопределенностей типа или Раскрытие неопределенности

Подробнее

0(z z c ) 2 /2 +..., также для удобства разделим уравнение Орра-Зоммерфельда на u 0: d 4 w 2. d (z z dz 2 α2 u 0. ((z z c ) + u 0

0(z z c ) 2 /2 +..., также для удобства разделим уравнение Орра-Зоммерфельда на u 0: d 4 w 2. d (z z dz 2 α2 u 0. ((z z c ) + u 0 На прошлой лекции было показано, что при больших R два решения уравнения Орра-Зоммерфельда близки к решениям уравнения Рэлея, два других являются ВКБ-решениями. С последними имеются две проблемы. Во-первых,

Подробнее

Тема6. «Определенный интеграл»

Тема6. «Определенный интеграл» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема6. «Определенный интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б.Дуниной

Подробнее

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии Кафедра высшей математики Высшая математика ( семестр Разделы Функции. Пределы. Дифференцирование. Интегрирование. Основные формулы по темам

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

С.А. Лавренченко. Доказательство: Повести самостоятельно. Указание: Применить произведения, взяв

С.А. Лавренченко. Доказательство: Повести самостоятельно. Указание: Применить произведения, взяв Лекция 4 1 СА Лавренченко Вычисление пределов 1 Правила вычисления пределов Пусть действительная константа и целое положительное число При условии, что существуют оба предела и, имеют место следующие десять

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

2 Дифференцируемость функций многих переменных. точке. Достаточные условия дифференцируемости

2 Дифференцируемость функций многих переменных. точке. Достаточные условия дифференцируемости В.В. Жук, А.М. Камачкин Дифференцируемость функций многих переменных. Дифференцируемость функции в точке. Достаточные условия дифференцируемости в терминах частных производных. Дифференцирование сложной

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

Старков В.Н. Материалы к установочной лекции Вопрос 9. Разложение аналитических функций в степенные ряды Определение. Функциональный ряд вида ( ( (... (..., где комплексные постоянные (коэффициенты ряда

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

24 4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций Универсальная тригонометрическая подстановка

24 4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций Универсальная тригонометрическая подстановка СОДЕРЖАНИЕ Глава Неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла Свойства неопределённого интеграла Таблица основных неопределённых

Подробнее

= z k. z(z 1) 1 + (λ k )

= z k. z(z 1) 1 + (λ k ) Владикавказский математический журнал 03, Том 5, Выпуск, С. 3 9 УДК 5 ОБ ОДНОМ КРИТЕРИИ СПРАВЕДЛИВОСТИ ГИПОТЕЗЫ РИМАНА О НУЛЯХ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ Ю. Ф. Коробейник Дорогому Анатолию Георгиевичу в знак искреннего

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Министерство образования Российской Федерации САРАПУЛЬСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ филиал Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «ИЖЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ Т Ю Альпин, А И Егоров, П Е Кашаргин, С В Сушков ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть I: Комплексные числа Предел функции Казань 013 Печатается

Подробнее

АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ В ЗАДАЧЕ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ СО СЛУЧАЙНЫМИ ОШИБКАМИ В КОЭФФИЦИЕНТАХ Ю. Ю. Линке, А. И.

АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ В ЗАДАЧЕ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ СО СЛУЧАЙНЫМИ ОШИБКАМИ В КОЭФФИЦИЕНТАХ Ю. Ю. Линке, А. И. Сибирский математический журнал Январь февраль, 010. Том 51, 1 УДК 519.33.5 АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ В ЗАДАЧЕ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ СО СЛУЧАЙНЫМИ ОШИБКАМИ В КОЭФФИЦИЕНТАХ Ю. Ю. Линке, А. И. Саханенко

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

12. Числовые ряды. 12.1. Пусть дана числовая последовательность x n. Если эту последовательность

12. Числовые ряды. 12.1. Пусть дана числовая последовательность x n. Если эту последовательность . Числовые ряды.. Пусть дана числовая последовательность x. Если эту последовательность рассматривают с точки зрения нахождения «суммы» всех ее членов, то говорят, что рассматривают числовой ряд x, а члены

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

ГЛАВА: Введение в численные методы. Лекция 3: Численное интегрирование (15 слайдов)

ГЛАВА: Введение в численные методы. Лекция 3: Численное интегрирование (15 слайдов) ГЛАВА: Введение в численные методы. Лекция 3: Численное интегрирование (15 слайдов) Слайд 1: Методы численного интегрирования. Требуется вычислить определенный интеграл: Методы решения такой задачи: 1.

Подробнее

Типовые задачи c решениями.

Типовые задачи c решениями. Типовые задачи c решениями. Формальное суммирование рядов. Формула рекурсии k a k a + a k k Формула умножения λ a k λa k Формула сложения k k k a k + b k a k + k b k k Пример Геометрическая прогрессия.

Подробнее

4 Основные свойства определенного интеграла

4 Основные свойства определенного интеграла 178 4 Основные свойства определенного интеграла Рассмотрим основные свойства определенного интеграла. 1) Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (=), то интеграл равен нулю f ( ) d = 0 Данное

Подробнее

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической

Подробнее

1. Уравнения Гамильтона. 2. Интегрируемые гамильтоновы системы. 3. Теория возмущений интегрируемых гамильтоновых систем.

1. Уравнения Гамильтона. 2. Интегрируемые гамильтоновы системы. 3. Теория возмущений интегрируемых гамильтоновых систем. Лекция 4. Гамильтоновы системы 1. Уравнения Гамильтона. 2. Интегрируемые гамильтоновы системы. 3. Теория возмущений интегрируемых гамильтоновых систем. 1. Уравнения Гамильтона. 1.1 Основные свойства Будем

Подробнее

Тема 4. Определенные интегралы, зависящие от параметра

Тема 4. Определенные интегралы, зависящие от параметра Тема 4. Определенные интегралы, зависящие от параметра На этом занятии рассматриваются различные примеры вычисления интегралов с помощью метода дифференцирования и интегрирования по параметру, от которого

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

Тема 4. Операторный метод решения линейных дифференциальных уравнений и систем. + e pt f(t)dt. (4.1) f(t) = = lim. = lim p

Тема 4. Операторный метод решения линейных дифференциальных уравнений и систем. + e pt f(t)dt. (4.1) f(t) = = lim. = lim p 1 Тема 4. Операторный метод решения линейных дифференциальных уравнений и систем 4.1 Преобразование Лапласа Оригиналом называется любая функция f(t) действительного переменного t, удовлетворяющая следующим

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

+ z A1A 2. z A1A 4 A 1 A 2 A 1 A = 9

+ z A1A 2. z A1A 4 A 1 A 2 A 1 A = 9 Математика. Задание 1. По координатам вершин пирамиды A 1 A A 3 A 4 найти: 1. Длины рјбер A 1 A и A 1 A 3 ;. Угол между рјбрами A 1 A и A 1 A 3 ; 3. площадь грани A 1 A A 3 ; 4. объјм пирамиды; 5. уравнения

Подробнее

x a x 18. Вычисление пределов lim, lim, lim.

x a x 18. Вычисление пределов lim, lim, lim. Перечень экзаменационных вопросов: 1 семестр 1. Множества и операции над ними. 2. Декартово произведение множеств. 3. Предельные точки. 4. Предел последовательности. 5. Предел функции. 6. Бесконечно малые.

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ УДК 589 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ ВВ ОСТАПЕНКО ИЛ РЫЖКОВА Рассмотрены линейные дифференциальные игры с интегральными ограничениями на управления игроков

Подробнее

УДК (072)(075.8)

УДК (072)(075.8) БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА ГОУВПО КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА Учебно-методическое

Подробнее

Программа курса ММФ1 (4 семестр, Тютюнник Д.) (Calculus. Complex variables.) 1 Модуль. Введение и общая теория (20 баллов).

Программа курса ММФ1 (4 семестр, Тютюнник Д.) (Calculus. Complex variables.) 1 Модуль. Введение и общая теория (20 баллов). Программа курса ММФ1 (4 семестр, Тютюнник Д.) (Calculus. Complex variables.) Список литературы в порядке «убывания» «употребимости» при изучении курса: I. Фукс, Шабат. Функции комплексного переменного

Подробнее

Контрольная работа 1.

Контрольная работа 1. Контрольная работа...4. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения. Сделать проверку. 4 y y y y y y 4 y y y 4 4 Это уравнение Бернулли. Сделаем замену: y y y 4 4 4 z y ; z y y Тогда

Подробнее

Конспект лекций по высшей математике

Конспект лекций по высшей математике Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра высшей математики Конспект лекций по высшей математике для студентов экономических

Подробнее

"ВВЕДЕНИЕ В АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ"

ВВЕДЕНИЕ В АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ТАВРИЧЕСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.И. Вернадского Кафедра математического анализа Н.Д. КОПАЧЕВСКИЙ, В.П. СМОЛИЧ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО СПЕЦИАЛЬНОМУ КУРСУ "ВВЕДЕНИЕ

Подробнее

Старков ВН Материалы к установочной лекции Вопрос 17 1 Аналитические функции Условия аналитичности Понятие аналитической функции [3,4] является основным понятием теории функций комплексного переменного

Подробнее

Тригонометрические ряды Фурье

Тригонометрические ряды Фурье Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Программа комплексного экзамена по специальности 6М Математика

Программа комплексного экзамена по специальности 6М Математика Программа комплексного экзамена по специальности 6М060100-Математика Билеты для вступительного экзамена в магистратуру по специальности 6М060100 «Математика» составлены по основным математическим дисциплинам

Подробнее

Методические указания

Методические указания Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана Методические указания В.Я. Томашпольский, М.Н. Шевченко, И.О. Янов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана Московский государственный

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

А. П. Г О Р Я Ч Е В СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА. Функциональные ряды. М о с к в а

А. П. Г О Р Я Ч Е В СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА. Функциональные ряды. М о с к в а А. П. Г О Р Я Ч Е В СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА Функциональные ряды М о с к в а 2 0 1 3 Министерство образования и науки Российской Федерации Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Лекция 2. Степенные ряды

Лекция 2. Степенные ряды С А Лавренченко wwwlwreekoru Лекция Степенные ряды Понятие степенного ряда Степенной ряд можно рассматривать как многочлен с бесконечным числом членов Определение (степенного ряда) Степенным рядом называется

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

УДК Мирсалимов М. В. ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ. (Тульский государственный университет)

УДК Мирсалимов М. В. ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ. (Тульский государственный университет) ВЕСТНИК ЧГПУ им И Я ЯКОВЛЕВА МЕХАНИКА ПРЕДЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ 7 УДК 5975 Мирсалимов М В ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ (Тульский государственный университет) Рассматривается задача механики

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Т А Матвеева В Б Светличная С А Зотова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

вид 1, 1/2, 1/3,..., 1/n,... ).

вид 1, 1/2, 1/3,..., 1/n,... ). Казанское математическое общество В.Б. Живетин Вводные лекции по курсу Высшая математика Г Р А Ф Казань 998 3 УДК 57 ББК.6 Ж 66 Вводные лекции по курсу Высшая математика /В.Б.Живетин; Казанское математическое

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных исследований

Подробнее

Факультативно. Ковариантная форма физических законов.

Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Ковариантность и контравариантность. Слово "ковариантный" означает "преобразуется так же, как что-то", а слово "контравариантный" означает "преобразуется

Подробнее

Комплексная алгебраическая геометрия,

Комплексная алгебраическая геометрия, Комплексная алгебраическая геометрия, лекция 13: ростки многообразий НМУ/ВШЭ, Москва 23 мая 2014 1 Кольцо ростков комплексно-аналитических функций УПРАЖНЕНИЕ: Пусть U U открытые, связные подмножества комплексного

Подробнее

5. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ)

5. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ) 5 ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 5 Программа курса «Ряды и обыкновенные дифференциальные уравнения» Аннотация: Изучаются числовые и степенные ряды а также

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Необходимые и достаточные условия второго порядка в простейшей вариационной задаче Необходимые

Подробнее

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова. 8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,

Подробнее

Теоретический материал.

Теоретический материал. 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее