Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim"

Транскрипт

1 Òåîðåìû î ïðåäåëàõ Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Основные теоремы о пределах. Предел числовой последовательности. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Экспонента. Натуральный логарифм. Сравнение бесконечно малых, применение эквивалентных бесконечно малых к вычислению пределов. Продолжение вычисления пределов в системе Mathematica. 6 апреля 202 г. Мы продолжим изучение теории пределов, начатое на прошлой лекции. Для этого сформулируем и докажем несколько теорем, имеющих основополагающее значение. Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ Теорема. Предел постоянной величины равен ей самой: 0 C = C. Доказательство. Очевидно, что число 0 б. м. Пусть C постоянная. Так как C = C + 0, то по теореме 3, доказанной на лекции «Предел функции», получаем требуемое. Рассмотрим конечные пределы двух функций f ) = A R, 0 g ) = B R. 0 Теорема 2. Предел суммы двух функций равен сумме их пределов, если эти пределы конечны: 0 [f ) + g )] = 0 f ) + 0 g ).

2 Ëåêöèÿ "Òåîðåìû î ïðåäåëàõ" 2 Доказательство. Из уже упомянутой теоремы 3, доказанной на лекции «Предел функции», следует представление функций в виде f ) = A+α ), g ) = = B + ), где α ), ) б. м. Найдем их сумму f ) + g ) = A + B + α ) + ). }{{} б. м. Мы видим, что сумма функций равна сумме их пределов плюс б. м. Из этого и следует требуемое. Теорема 3. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов, если эти пределы конечны: Доказательство. В данном случае f ) g ) = f ) g ) f ) g ) = [A + α )] + [B + )] = AB + Bα ) + A ) + α ) ). }{{} б. м. Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: 0 Cf ) = C 0 f ), C = const Теорема 4. Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если эти пределы конечны и предел делителя не равен нулю: f ) 0 g ) = 0 f ) 0 g ), g ) 0. 0 Доказательство. Запишем отношение функций так: f ) g ) = A + α) B + ) = A B + Bα ) A ) B B + )). Второе слагаемое есть произведение б. м. числителя) на ограниченную функцию / [B B + ))] с учетом того, что B 0. Следовательно, второе слагаемое б. м. Используя доказанные теоремы, рассмотренные ранее примеры и замечание, сделанное на лекции «Предел функции», получаем: arctg = arctg ) = arctg ) = π 2, arcctg = arcctg ) = = π arcctg = π 0 = π, π arcctg ) =

3 Ëåêöèÿ "Òåîðåìû î ïðåäåëàõ" 3 log log /a a = log /a a = log /a =, 0 < a <, 0+0 log log /a a = log /a a = log /a =, 0 < a <. Теорема 5. Если функция возрастает и ограничена сверху на промежутке S или убывает и ограничена снизу на нем, то она имеет конечный предел при a, где a = sup S. Если функция возрастает и ограничена снизу на промежутке S или убывает и ограничена сверху на нем, то она имеет конечный предел при b, где b = inf S. Доказательство приведено в Приложении ). Эта теорема применима, например, к функции = arctg. Арктангенс возрастает на всей числовой оси и ограничен снизу числом π/2, а сверху числом π/2. Эти числа и являются, как мы видели, его пределами при, соответственно, и. Теорема 6 о пределе сложной функции). Если существуют пределы 0 ϕ ) = a и u a f u) = A, то 0 f ϕ )) = A. Доказательство приведено в Приложении 2). Например, arcctg 2 = 0, так как 2 =, arcctg = 0. Теорема 7 о переходе к пределу в неравенстве). Если функции f ) и g ) имеют конечные пределы при 0 и f ) g ) или f ) < g ), то 0 f ) 0 g ). Доказательство приведено в Приложении 3). Замечание. Теорема остается справедливой, если B =, а A = или A R; а также, если A =, а B = или B R. Теорема 8. Если функции f ) и h ) имеют одинаковые конечные пределы при 0 и f ) g ) h ), то функция g ) имеет тот же предел при 0. Доказательство приведено в Приложении 4).

4 Ëåêöèÿ "Òåîðåìû î ïðåäåëàõ" 4 2 Ïðåäåë èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Рассмотрим последовательность, которую мы будем обозначать { n }, а n будем называть n-м членом последовательности. Так как последовательность является разновидностью функции, n = f n), n N, то для нее понятие предела тоже имеет смысл, но только для неограниченно увеличивающегося аргумента n. Из определения предела лекция «Предел функции») при δ = N получаем определение предела последовательности. Именно, число A R называется пределом последовательности { n } при n, если или ε > 0) N > 0) n) n U, N) = n U A, ε), ε > 0) N > 0) n) n > N = n U A, ε). Тот факт, что A является пределом последовательности { n } при n записывают как n n = A. Для предела последовательности справедливы все соответствующие теоремы о пределах. Докажем еще одно утверждение, которое пригодится нам в дальнейшем. Лемма о вложенных отрезках). Пусть задана бесконечная последовательность отрезков [a n, b n ], i =, 2,..., вложенных друг в друга: [a, b ] [a 2, b 2 ]... [a n, b n ]..., причем длина n-го отрезка стремится к нулю: n b n a n ) = 0. Тогда существует единственная точка c, принадлежащая всем отрезкам, и такая, что n a n = c, n b n = c. Доказательство приведено в Приложении 5). 3 Ïåðâûé çàìå àòåëüíûé ïðåäåë Докажем, что sin 0 =. Эта формула часто используется в математике и приложениях и называется первым замечательным пределом. Мы видим здесь предел частного,

5 Ëåêöèÿ "Òåîðåìû î ïðåäåëàõ" 5 O Рис.. График функции = sin. но теоремой о пределе частного пользоваться нельзя, так как предел знаменателя равен нулю. Интересно также то, что сама функция = sin в нуле не существует рис. ). Сначала докажем с помощью рис. 2 одно вспомогательное неравенство. На рис. изображена четверть окружности единичного радиуса; перпендикуляр NA, опущенный на ось O в точку пересечения окружности с этой осью; луч ON, выходящий из начала координат под углом в радианной мере) и пересекающий перпендикуляр в точке N) и окружность в точке M); перпендикуляр MB, опущенный на ось абсцисс; отрезок MA. Из рис. видно, что выполняется двойное неравенство: O M B Рис. 2. N A S OAM < S сектора OAM < S OAN. Вычисляя площади геометрических фигур, получаем 2 sin < 2 < tg. ) 2 Разделим на sin и обернем неравенство: cos < sin <. 2) Теперь докажем, что 0 cos =, т. е., что справедливо утверждение ε 2 /2 ) δ > 0) : 0) < δ = cos < ε2 2. Для этого заметим, что из неравенства ) следует, что sin 2 < 2. И это неравенство, и неравенство 2) были получены для 0; π/2), но они остаются

6 Ëåêöèÿ "Òåîðåìû î ïðåäåëàõ" 6 справедливыми и при π/2; 0) в силу четности входящих в них функций. Далее видим, что cos = 2 sin 2 2 < 2 2 < ε2 2 выполнится при δ ε) = min ε 2 /2, π/2 ). Это и означает стремление cos к при 0. Остается применить теорему 8 к неравенству 2), чтобы завершить доказательство первого замечательного предела. 4 Âòîðîé çàìå àòåëüíûé ïðåäåë Еще большее значение имеет предел + = e, ) где e 2, 7828 иррациональное число. График функции = + ) показан на рис = e 3 2 O 2 3 Рис. 3. График функции = + ). Этот предел называется вторым замечательным пределом. Число e является основанием показательной функции = e = ep ), называемой экспоненциальной, или просто экспонентой, а также основанием так называемых натуральных логарифмов: ln = log e. И экспонента, и натуральные логарифмы широко используются как в высшей математике, так

7 Ëåêöèÿ "Òåîðåìû î ïðåäåëàõ" 7 и во многих приложениях. Доказательство второго замечательного предела приведено в Приложении 6). 5 Ñðàâíåíèå áåñêîíå íî ìàëûõ Теперь вернемся к бесконечно малым, так как теоретические положения, изученные нами, позволяют эффективно использовать такие функции при вычислении пределов. Рассмотрим две бесконечно малых α ) и ) при a R. Если предел отношения a α конечен и не равен нулю, то бесконечно малые α и называются бесконечно малыми одного порядка. Если же a α = 0, то называется бесконечно малой высшего порядка, чем α; а α называется бесконечно малой низшего порядка, чем. При этом пишут = o α). Бесконечно малая называется бесконечно малой k-го порядка относительно бесконечно малой α, если и α k бесконечно малые одного порядка, т. е., если a = A, A 0, A ±. α k Если a α =, то бесконечно малые α и называются эквивалентными бесконечно малыми и пишут α. Если предел a α не существует, то бесконечно малые α и называются несравнимыми. Например, sin 2 и б.м. одного порядка при 0, потому что Так как sin 2 0 то sin 2 = o) при 0. sin 2 0 = sin 2 2 = 2. sin = 0 sin = 0 = 0, 0 Функция tg 3 есть б.м. третьего порядка по отношению к, так как tg 3 ) 3 ) 3 sin = = =, cos В силу arcsin 0 = = sin = 0 при 0 справедлива эквивалентность arcsin. sin =

8 Ëåêöèÿ "Òåîðåìû î ïðåäåëàõ" 8 Бесконечно малые sin и arcsin несравнимы при 0, так как следующий предел не существует: 0 sin arcsin = 0 arcsin 0 sin = 0 sin = = / = sin. Теорема 9. Предел отношения двух бесконечно малых не изменится, если хотя бы одну из них заменить эквивалентной бесконечно малой. Доказательство. Пусть α α, при a R. Тогда ) a α = a α α = α a α a α = a α a α, т. е. a α = a α. Так как α и эквивалентны сами себе, то из доказанного равенства следует, что a α = = a α a α. Теорема 0. Разность двух эквивалентных бесконечно малых есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них: α = = α = o α) α = o ). Доказательство. Следует из того, что α a α = a α = = 0. Теорема. Если разность двух бесконечно малых есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них, то эти бесконечно малые эквивалентны: α = o α) α = o ) = α. Доказательство. Пусть Так как то из чего и выводим, что α. 0 = a α α a α =, = a α,

9 Ëåêöèÿ "Òåîðåìû î ïðåäåëàõ" 9 Для бесконечно больших величин могут быть введены те же понятия и проведена такая же классификация, как и для бесконечно малых. Например, если a α =, то бесконечно большие α и называются эквивалентными и пишут α. Для эквивалентных бесконечно больших справедлива теорема 9. Заменяя при вычислении пределов бесконечно малые бесконечно большие) эквивалентными им функциями, можно значительно упростить процесс вычисления пределов. Следующая теорема дает для этого подходящий набор эквивалентностей. Теорема 2. При 0 имеют место следующие эквивалентности: ) sin, 2) tg, 3) arcsin, 4) arcctg, 5) ln + ), 6) e, 7) a + ) k a k ka k, 8) k a k + a k a k. При справедлива эквивалентность 9) a 0 n + a n a n a 0 n. Доказательство приведено в Приложении 7). Ïðèìåð. Вычислить предел Решение. На основании 9-й эквивалентности теоремы Ïðèìåð 2. Найти предел = = = 2. arcsin Решение. Используем 3-ю эквивалентность: arcsin = = Ïðèìåð 3. Найти предел. 0 2)/2

10 Ëåêöèÿ "Òåîðåìû î ïðåäåëàõ" 0 Решение. Применяя 5-ю эквивалентность, имеем 0 2)/2 = e 2 ln 2) = e 2 2) = e 2/ = Ïðèìåð 4. Найти предел Решение. Применяя 6-ю эквивалентность, получаем = 0 e ln 2 e ln 3 e ln 2 e ln 3 = ln 2 ln 3 0 ln 2 0 ln 3 Ïðèìåð 5. Найти предел ln cos. 0 2 Решение. Используем 5-ю и -ю эквивалентности: = 0 e ln 2 e ln 3 ) = = ln 2 ln 3 = ln 2 3. ln cos 0 2 = 0 ln[ + cos ] 2 = 0 cos 2 2 sin 2 2 = = = В Приложении приведено два примера, показывающие применение пределов в задачах, имеющих отношение к вашей специальности 8). Продолжение демонстрации возможностей системы Математика в вычислении пределов также см. в Приложении 9).

11 Ëåêöèÿ "Òåîðåìû î ïðåäåëàõ" Ïðèëîæåíèå ) Доказательство теоремы 5. Пусть функция f ) возрастает и ограничена сверху на промежутке S. Тогда множество ее значений E тоже ограничено и, следовательно, имеет конечную верхнюю грань A см. лекцию «Числа»). Покажем, что число A и будет пределом функции при a. По определению верхней грани справедливо утверждение: или ε > 0) E) A ε <, ε > 0) < a) A ε < f ), где = f ). Но тогда и для всякого, a >, в силу возрастания функции f ) выполнится f ) f ) > A ε. С другой стороны, из ограниченности функции следует, что f ) A < A + ε. Таким образом, получается, что f ) A < ε. В результате приходим к справедливости высказывания ε > 0) δ > 0) a) U a, δ) = f ) A < ε, где δ = a, если a R, и δ = ma, 0), если a =. Из этого высказывания и следует, что a f ) = A. Остальные утверждения теоремы доказываются аналогично. 2) Доказательство теоремы 6. В силу существования указанных в условии теоремы пределов имеем следующие истинные высказывания: ε > 0) δ > 0) : 0 ) U 0, δ ) = ϕ ) U a, ε ), ε > 0) δ 2 > 0) u a) U a, δ 2 ) = f u) U A, ε). Возьмем произвольное ε > 0 и найдем такое δ 2, что выполнится второе утверждение. Для первого утверждения возьмем ε = δ 2 и для него найдем такое δ, что выполнится : 0 ) U 0, δ ) = ϕ ) U a, δ 2 ). Но тогда из второго утверждения получаем, что ϕ) a ϕ ) U a, δ 2 ) = f ϕ )) U A, ε). 3) Доказательство теоремы 7. Обозначим A = 0 f ), B = 0 g ). По определению предела имеем ε > 0) δ > 0) : 0 ) U 0, δ ) = A ε < f ) < A + ε, ε > 0) δ 2 > 0) : 0 ) U 0, δ 2 ) = B ε < g ) < B + ε. Предположим противное: B < A. Возьмем 0 < ε < A B)/2 и δ = min δ, δ 2 ), если 0 R, и δ = ma δ, δ 2 ), если 0 = ±. Тогда из определений пределов следует, что при U 0, δ) 0 f ) > A ε > A A B)/2 = A + B) /2 = B + A B)/2 > B + ε > g ). Получили, что f ) > g ), что противоречит условию теоремы. Следовательно, A B. 4) Доказательство теоремы 8. Пусть 0 f ) = 0 h ) = A R. Тогда для любого ε > 0 существуют две окрестности U 0, δ ) и U 0, δ 2 ), в одной из которых выполняется неравенство ε < f ) A < ε,

12 Ëåêöèÿ "Òåîðåìû î ïðåäåëàõ" 2 а в другой неравенство ε < h ) A < ε. Примем δ = min δ, δ 2 ), если 0 R, и δ = ma δ, δ 2 ), если 0 = ±, чтобы выполнялись оба неравенства. Из неравенства в условии теоремы следует, что f ) A g ) A h ) A. С учетом предыдущих двух неравенств из последнего неравенства получаем неравенство ε < g ) A < ε, которое и означает, что число A является пределом функции g ) при 0. 5) Доказательство леммы. Прежде всего отметим, что для любых двух отрезков [a m, b m ], [a n, b n ] последовательности a m b n. Действительно, в противном случае выполняется a n b n < a m b m, и, значит, отрезки не имеют общих точек, что противоречит их вложенности. Итак, a m b n и тогда в силу свойства полноты действительных чисел лекция «Числа») найдется число c такое, что a m c b n, в частности, для любого n выполнится a n c b n. Это означает, что точка c принадлежит всем отрезкам последовательности. Предположим, что таких точек две: c и c 2 и пусть c < c 2. Тогда a n c < c 2 b n и поэтому 0 < c 2 c < b n a n. Так как n b n a n ) = 0, то по теореме 8 функция c 2 c должна иметь пределом 0. Но это невозможно: c 2 c > 0. Полученное противоречие доказывает единственность точки c. Далее, последовательность {a n } возрастает и ограничена сверху числом c, которое, как нетрудно видеть, является верхней гранью этой последовательности. Поэтому, как следует из доказательства теоремы 5, это число и будет пределом данной последовательности: n a n = c. Аналогично доказывается, что n b n = c. 6) Доказательство второго замечательного предела. Рассмотрим последовательность { { n } = + ) n }, n =, 2,.... n Так как C k n = n! k! n k)! то по формуле бинома Ньютона n a + b) n = Cna k k b n k = b n + k=0 Возьмем в этой формуле a = /n, b = : + n) n n = + n n )... n k + ) =, k =, 2,..., k! k= n k= n n )... n k + ) a k b n k. k! n n )... n k + ) k! и разделим в правой части числитель первой дроби на знаменатель второй: + n) n n = 2 + k! )... k ). П) n n k=2 Из этой формулы следует, что в правой части все числа в скобках вида k/n положительны и возрастают с увеличением n; значит, и все слагаемые в правой части формулы также n k,

13 Ëåêöèÿ "Òåîðåìû î ïðåäåëàõ" 3 положительны и возрастают. С увеличением n увеличивается и количество слагаемых, так что последовательность { n } как функция n возрастает и при этом + /n) n > 2. Покажем, что последовательность { n } ограничена также и сверху. Заменим в правой части формулы П) каждую пару скобок единицей: + n) n < 2 + n k= k, а затем все множители в 3... k заменим двойкой и применим формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии: Итак, + n) n < < n n k=2 /2 = 2 + 2k /2 = 3. + n) n < 3. По теореме 5 последовательность { n } имеет предел. Обозначим этот предел + n) n = e, где e уже упоминавшееся иррациональное число. Теперь докажем, что + = e, R. П2) ) Каждое действительное число заключено между двумя целыми числами: n < n +, где n наибольшее целое число, не большее. Тогда n + < n, + n + < + + n, или + ) n < + + n + ) n) n+. П3) Но + ) n = n+ n + + n+ = n n) n + n+ n+ + n) n n n+ + n+ ) n+ + n Из этих пределов, неравенства П3) и теоремы 8 получаем П2). 7) Доказательство теоремы 2. ) следует из первого замечательного предела. 2) 3) tg 0 arcsin 0 ) = e = e, = sin 0 cos = =. 0 = = sin = 0 sin =. ) = e = e.

14 Ëåêöèÿ "Òåîðåìû î ïðåäåëàõ" 4 4) На основании ) arcctg 0 = = tg = 0 tg =. 5) На основании второго замечательного предела и теоремы о пределе сложной функции получаем ln + ) = ln + ) / = ln + ) / = ln e = ) На основании 5) e 0 7) На основании бинома Ньютона 8) На основании 7) 0 a + ) k a k 0 ka k k ak + a k a k e ln+) = = ln + ) = 0 ln + ) = 0 ln + ) =. = 0 = a = k a k + ka k + k )k k 2 = 0 ka k ) k k = =. 0 2ak ka k a k + = + a) k + a a = ] 0 [ + a) k a k ] = [ + a) k a k 0 k a k ka k k a k =. k a k = 9) a 0 n + a n a n a 0 n = + a a a ) n =. a 0 n 8) Применение теории пределов можно рассмотреть на примере анализа поведения электрических контуров. Например, если предположить, что в электрический контур, состоящий из резистора R, конденсатора C и индуктивности L на очень короткое время t 0 подается постоянное напряжение E, то, начиная с момента t = 0, в контуре действует ток it) = Et 0 ωl e αt [ω cos ωt α sin ωt], α = 2RC, ω = LC α2. Если нас интересует, как ведет себя ток, когда время неограниченно увеличивается, надо в приведенной формуле перейти к пределу при t. Мы видим, что α > 0, а t e αt = 0. При этом остальные множители ограниченные функции. Следовательно, с течением времени ток стремится к нулю. Если контур не содержит индуктивности и в него в начальный момент времени начинает подаваться постоянное напряжение U, напряжение на конденсаторе станет изменяться по формуле: ut) = U e t), = RC.

15 Ëåêöèÿ "Òåîðåìû î ïðåäåëàõ" 5 И в этом случае экспонента стремится к нулю, и в результате напряжение на конденсаторе стремится к напряжению на входе в контур. 9) Mathematica вычисляет замечательные пределы, пределы, вычисляемые на их основе, и прочие хитроумные пределы без затруднений и неприятных неожиданностей. Убедимся в этом, решив с ее помощью примеры, рассмотренные на лекции. [ Sin[] ] Limit, 0 [ Limit + ) ], e [ ] Limit 2 4, -2 [ ArcSin[3] 3 ] Limit 3, 0 27 [ ] Limit 2) /2, 0 0 [ 2 3 ] Limit, 0 [ 3 Log 2] [ Log[Cos[]] ] Limit 2, 0 2 Литература [] Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 984, с [2] Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. М.: Рольф, Ч.. с

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Лекция МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Монотонные последовательности Теорема Вейерштрасса Число e Принцип выбора 4 Фундаментальные последовательности Критерий Коши Теорема о вложенных отрезках Определение

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии. ЛЕКЦИЯ Числовые последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Основные свойства бесконечно малых последовательностей Числовые последовательности Если каждому из множества

Подробнее

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ВАСИЛЬЕВ ВВ, ЛАНОВАЯ АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

11. Производная (продолжение); непрерывные функции

11. Производная (продолжение); непрерывные функции 11. Производная (продолжение); непрерывные функции На прошлой лекции мы вывели правило дифференцирования произведения функций; сейчас мы разберемся и с дифференцированием частного. Заметим для начала,

Подробнее

( ) ( ( ) ) ( ) 0. ( x) M. α. Тогда. α называется. ϕ ограничена в ( ) Лекция 7.БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ

( ) ( ( ) ) ( ) 0. ( x) M. α. Тогда. α называется. ϕ ограничена в ( ) Лекция 7.БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ Лекция 7БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ Определение и свойства бесконечно малых функций Основные теоремы о пределах Замечательные пределы 4 Сравнение асимптотического поведения функций Определение

Подробнее

13. Экспонента и логарифм

13. Экспонента и логарифм 13. Экспонента и логарифм Для завершения доказательства предложения 12.8 нам остается дать одно определение и доказать одно предложение. Определение 13.1. Ряд a i называется абсолютно сходящимся, если

Подробнее

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций Лекция 5 Производные основных элементарных функций Аннотация: Даются физическая и геометрическая интерпретации производной функции одной переменной Рассматриваются примеры дифференцирования функции и правила

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики ФУНКЦИЯ И ЕЕ

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва Лекция 4 Непрерывность функции Классификация точек разрыва Аннотация: Рассматриваются свойства функции, непрерывной на отрезке Приводится пример использования этих свойств при решении нелинейных уравнений

Подробнее

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие Российский Университет Дружбы Народов Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды Учебно-методическое пособие Москва 205 Аннотация Учебное пособие знакомит студентов с основными понятиями, методами доказательств

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

Подробнее

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Подробнее

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 7 Предел функции СОДЕРЖАНИЕ: Предел функции в точке Предел функции на бесконечности Основные теоремы о пределах функций Бесконечно

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

Â. Ë. Ôàéíøìèäò. Ñàíêò-Ïåòåðáóðã. «ÁÕÂ-Ïåòåðáóðã»

Â. Ë. Ôàéíøìèäò. Ñàíêò-Ïåòåðáóðã. «ÁÕÂ-Ïåòåðáóðã» Â. Ë. Ôàéíøìèäò Рекомендовано Научно-методическим cоветом по математике вузов Северо-Запада РФ в качестве учебника для студентов инженерных специальностей технических вузов Ñàíêò-Ïåòåðáóðã «ÁÕÂ-Ïåòåðáóðã»

Подробнее

4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3

4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3 MA ksm-n4a-непрерывные функции 4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3 4.. Непрерывные функции одной переменной. 3 4... Непрерывность функции в точке. 3 4... Точки разрыва, устранимые 9

Подробнее

Лекция 1 Вещественные числа.

Лекция 1 Вещественные числа. Лекция 1 Вещественные числа. 1. Рациональные числа. Простейшими числами являются целые положительные числа 1, 2,..., используемые при счете. Они называются натуральными числами, и люди их знали так много

Подробнее

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия 35 Глава 2 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1 Основные понятия Пусть D некоторое множество чисел Если задан закон, по которому каждому числу из множества D ставится в

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция. Понятие множества. Определение функции основные свойства. Основные элементарные функции СОДЕРЖАНИЕ: Элементы теории множеств Множество вещественных чисел Числовая

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Семинар 1 Введение в анализ. Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 3. Функции чётные и нечётные; периодические функции.

Семинар 1 Введение в анализ. Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 3. Функции чётные и нечётные; периодические функции. Семинар 1 Введение в анализ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Функция, области определения, способ задания. 2. Понятие сложной и обратной функции. 3. Функции чётные и нечётные; периодические

Подробнее

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx Ответы к заданию приращения аргумента Δ Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки Δ, U ( : δ приращения f Δ (

Подробнее

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства Вопрос. Неравенства, система линейных неравенств Рассмотрим выражения, которые содержат знак неравенства и переменную:. >, - +х -это линейные неравенств с одной переменной х.. 0 - квадратное неравенство.

Подробнее

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

Подробнее

Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè

Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Знакочередующийся ряд. Признак сходимости Лейбница. Знакопеременный ряд. Абсолютная и условная сходимости. Общий комплексный ряд. Теорема

Подробнее

1. Понятие числовой последовательности

1. Понятие числовой последовательности Понятие числовой последовательности В курсе математического анализа изучаются переменные величины и зависимость между ними Простейшими переменными величинами являются числовые последовательности Определение

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x :

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x : СОДЕРЖАНИЕ ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Дифференцирование неявных функций Логарифмическое дифференцирование Производные высших порядков Дифференцирование функции, заданной параметрически 6 Уравнение

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

Введение в математический анализ. Теория пределов

Введение в математический анализ. Теория пределов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения.

Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения. Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения Цель: сформировать умение находить производные функций, заданных в явном, логарифмическом и параметрическом

Подробнее

Глава 2. Пределы функций одной переменной.

Глава 2. Пределы функций одной переменной. Глава Пределы функций одной переменной Предел переменной величины Определение Постоянное число а называется пределом переменной величины х, если для каждого наперед заданного числа ε > можно указать такое

Подробнее

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

Подробнее

Летняя школа МФТИ Лекции по математике. Курс Николаева Ю.П. 1. Гиперболический логарифм.

Летняя школа МФТИ Лекции по математике. Курс Николаева Ю.П. 1. Гиперболический логарифм. Летняя школа МФТИ 04. Лекции по математике. Курс Николаева Ю.П.. Гиперболический логарифм. Умножение чисел существенно более трудоемкая операция, чем сложение. Логарифмы позволяют свести умножение к сложению.

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические

Подробнее

x 2 10x > x 2 10x = x(x 10) > x2 x x 2 /2 = 2 x. x 2 10x < x+ x 2 10x = 0. x 0. > 0k N : 0 < x k < и f(x k ) A = A > 0,

x 2 10x > x 2 10x = x(x 10) > x2 x x 2 /2 = 2 x. x 2 10x < x+ x 2 10x = 0. x 0. > 0k N : 0 < x k < и f(x k ) A = A > 0, Пределы Предел функции Определение предела Пусть a точка числовой прямой, a b c) Пусть функция f) опре- делена на множестве E : { b c)\{a}} Число a называется пределом функции f) при, стремящемся к a обо-

Подробнее

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ Найти область определения D и множество значений Е функции y Р е ш е н и е Функция y определена если те если Поэтому областью определения функции является множество f ; D R Поскольку

Подробнее

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Приложение 1 1. Определение производной Пусть x 1 и x 2 значения аргумента, а y f ) и y f ) - соответствующие значения функции y f (x)

Приложение 1 1. Определение производной Пусть x 1 и x 2 значения аргумента, а y f ) и y f ) - соответствующие значения функции y f (x) Приложение Определение производной Пусть и значения аргумента, а f ) и f ) - ( ( соответствующие значения функции f () Разность называется приращением аргумента, а разность - приращением функции на отрезке,

Подробнее

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v 6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Подробнее

ПОДГОТОВКА К ТЕСТИРОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПОДГОТОВКА К ТЕСТИРОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ РОСЖЕЛДОР Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Ростовский государственный университет путей сообщения» ФГБОУ ВО РГУПС ЕВ Пиневич, ВА Липович, ИС Стасюк

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 16. Эквивалентные бесконечно малые. Первый и второй замечательные пределы.

ЛЕКЦИЯ 16. Эквивалентные бесконечно малые. Первый и второй замечательные пределы. ЛЕКЦИЯ Эквивалентные бесконечно малые Первый и второй замечательные пределы Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых функций Функция f ( ) называется бесконечно малой в точке a (при a ), если (

Подробнее

{ предел последовательности - число e - оценка предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы первый и

{ предел последовательности - число e - оценка предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы первый и { предел последовательности - число e - оценка предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы первый и второй бесконечно малые величины и их свойства - сравнение

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

ограниченные последовательности сходящиеся последовательности ательнос

ограниченные последовательности сходящиеся последовательности ательнос ограниченные последовательности Вычисление пределов числовых последовательностей Рассмотренные нами вопросы о числовых последовательностях содержат основные понятия и некоторые сведения о структуре множества

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л. И. Магазинников, А. Л. Магазинников ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Дифференциальное

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Q и действительные R числа Натуральные и целые числа

Подробнее

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу ( )

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу ( ) Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу (2013 2014) 29 августа 2013 г. Тема I. Вещественные числа 1. Определения 1.1. Сформулируйте правило сравнения вещественных чисел. Сформулируйте определение:

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Предел. Непрерывность. Производная. Интеграл Утверждено Редакционно-издательским

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 6 Предел числовой последовательности СОДЕРЖАНИЕ: Предельный переход в неравенствах Подпоследовательности Фундаментальные последовательности

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

Непрерывность функции. Замечательные пределы. Лекция 2

Непрерывность функции. Замечательные пределы. Лекция 2 Непрерывность функции. Замечательные пределы Лекция 2 1 Определение непрерывности. Теорема о непрерывности суммы, произведения и частного функций Функция y f ( ) называется непрерывной в точке, если она

Подробнее

Дифференциальные уравнения Т С

Дифференциальные уравнения Т С Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35. 6. С.784-792. УДК 517.957 ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ Ю. В. Жерновый 1. Введение. Постановка задачи. Наиболее

Подробнее

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН... Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена

Подробнее

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1 Тройной интеграл Волченко Ю.М. Содержание лекции Понятие тройного интеграла. Условия его существования. Теорема о среднем. Вычисление тройного интеграла в декартовых и криволинейных координатах. Тройной

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

5. Еще о пределах; ряды

5. Еще о пределах; ряды 5. Еще о пределах; ряды Докажем сначала предложение, на которое нам не хватило времени на прошлой лекции. Предложение 5.. Для всякого b > 0 имеем lim n (ln n=n b ) = 0. (Переход к произвольному основанию

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Математический анализ Лекция 5. Математический анализ, Лекция 5 1 / 16

Математический анализ Лекция 5. Математический анализ, Лекция 5 1 / 16 Математический анализ Лекция 5 Математический анализ, Лекция 5 1 / 16 Общие свойства пределов Математический анализ, Лекция 5 2 / 16 Общие свойства пределов Теорема (локальная ограниченность функции) Математический

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Пусть на множестве X задана функция f Фиксируем точку X и задаем приращение аргумента Тогда точка соответствует f и f f называется приращением функции Если существует

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Министерство образования и науки Российской Федерации Курганский государственный университет Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Подробнее

Математический анализ Раздел: Введение в анализ. Предел функции

Математический анализ Раздел: Введение в анализ. Предел функции Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Предел функции односторонние пределы, замечательные пределы, сравнение бесконечно малых и бесконечно больших Лектор Пахомова Е.Г. 22 г. 4. Односторонние

Подробнее

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 7 Производная функции Правила и формулы дифференцирования П л а н Задачи, приводящие к понятию производной Понятие производной Основные

Подробнее

Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013

Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013 Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013 1 Определения Сформулируйте определение: 2 ноября 2013 г. 1. ограниченного

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2007 год демонстрационная версия. Часть 1

Единый государственный экзамен по математике, 2007 год демонстрационная версия. Часть 1 Единый государственный экзамен по математике, 7 год демонстрационная версия Часть A Найдите значение выражения 6p p при p = Решение Используем свойство степени: Подставим в полученное выражение Правильный

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Дифференциальное исчисление функций одной переменной Дифференциальное исчисление функций одной переменной Тема: Производная функции Лекция Правила нахождения производной Производная основных элементарных функций СОДЕРЖАНИЕ: Правила дифференцирования Производная

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 5-6

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 5-6 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекции 5-6 Определенный

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры. Математический анализ, 27/28 Группы БПМ7 75 Промежуточный экзамен, модули 2 На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ Расскажите о числах: натуральных,

Подробнее

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и Студент должен знать: определение предела функции; свойства пределов; понятие бесконечно малых функций; понятие ограниченных и бесконечно больших функций; определение непрерывности функции в точке; сравнение

Подробнее

16.2.Н. Производная.

16.2.Н. Производная. 6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее