ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ"

Транскрипт

1 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных исследований и инженерных расчетах. В зависимости от свойств функции f() уравнение y = f() = 0 может иметь конечное или бесконечное число решений. Уравнение вида y = f() называется нелинейным, если отсутствует линейная связь переменной и значения функции y. Например: 1 tg или a b c Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые и итерационные. Прямые методы позволяют записать корни уравнения в виде точных аналитических формул. Для некоторых типов нелинейных уравнений прямые методы решения известны (например, для алгебраических уравнений не выше 4-й степени, для частных случаев тригонометрических и логарифмических уравнений и др.). Однако для большинства нелинейных уравнений найти решение в явном виде невозможно. Для их решения используются итерационные методы, т.е. методы последовательного приближения к точному решению *. Итерационный процесс решения уравнения f() = 0 состоит в последовательном уточнении некоторого начального приближения 0. В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня: 1,,,. Если эти значения с увеличением числа итераций приближаются к точному значению корня *(т.е. lim ), то говорят, что итерационный процесс решения сходится, в k k противном случае расходится.

2 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -- Определение 1. Дано уравнение 0 1. Отделение корней f, (1) где f определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале a b. 0 Всякое значение *, обращающее функцию f, называется корнем уравнения (1) или нулем функции f в нуль, то есть такое, что f. Приближенное нахождение корней уравнения (1) обычно складывается из двух этапов: 1. Отделение корней, то есть поиск интервалов a, i b i, называемых также отрезками локализации корней, в которых содержится один корень уравнения (1).. Уточнение приближенных корней, то есть доведение их до заданной точности. 0 f() Для отделения корней полезна следующая теорема: a b Теорема 1. Если непрерывная функция f принимает значения разных знаков на концах отрезка [ a, b], то есть f a f b 0, то внутри этого отрезка содержится, по меньшей мере, один корень уравнения f 0, то есть найдется хотя бы одно число a, b, такое, что 0 f. f существует и сохраняет постоян- Корень заведомо единственный, если ный знак внутри интервала [a, b].

3 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -- СПОСОБЫ ОТДЕЛЕНИЯ КОРНЕЙ. 1. Табличный способ отделения корней. В заданном интервале [a, b] задается сетка a 1... b и вычисляют значения функции f i (достаточно определить лишь знаки в узлах i ). Если окажется, что f i f i1 0, то в силу теоремы 1 в интервале i, i 1 имеется корень уравнения. Пример. Определить корни уравнения 6 0 f. (*) Решение: Составляем таблицу f() Следовательно, уравнение (*) имеет три действительных корня лежащих в интервалах (-,-1), (0,1) и (1,).. Графический способ отделения корней. Пример. lg 1. Решение: Преобразуем уравнение к виду 1 lg, И построим графика как на рисунке. Искомый интервал [a, b] = [, ].. Отделение корней путем исследования функции f() методами математического анализа. 4. Отделение корней путем использования современных систем компьютерной алгебры. Итак, мы выделили интервалы, в которых содержится единственный корень. Рассмотрим теперь методы уточнения корней.

4 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -4-. Метод половинного деления (дихотомии, бисекции) Пусть требуется найти корень уравнения (1) с заданной точностью > 0. Отрезок локализации [a, b], содержащий только один корень, будем считать заданным. Предположим, что f() непрерывна на [a, b] и f()f() < 0. Разделим отрезок [a, b] пополам точкой с = (a + b)/. Если f(c) 0, то возможны два случая: 1) функция f() меняет знак на отрезке [a, c]; ) функция f() меняет знак на отрезке [c, b]. Выбирая в каждом случае тот отрезок, на котором функция меняет знак, и продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения. На практике процесс прекращается, когда длина отрезка L = (b a), полученная на очередной итерации, становится меньше заданной погрешности : L В качестве корня берется величина b a. Положительные стороны метода: всегда сходится («абсолютно застрахован от неудачи»). Отрицательные стороны метода: довольно медленный; не обобщается на системы уравнений.

5 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -5- Пример 1. Решение в пакете MATLAB методом половинного деления уравнения с точностью 10 5 на отрезке [-1, 4 1]. Для решения данной задачи в первую очередь создадим рабочий каталог lab_1. В этом каталоге необходимо создать файла: 1. М файл функция f.m, содержащий описание функции f. fuctio z=f() % функция f() z=.^4-11*.^+.^++0.1;. М файл функция div.m, содержащий описание функции, возвращающей f методом половинного деления значение корня уравнения 0 fuctio z=div(f,a,b,eps) % f - имя m-файла, содержащего описание функции f % a - левая граница отрезка, на котором ищется % решение уравнения % b - правая граница отрезка, на котором ищется % решение уравнения % eps - точность решения L=b-a; while L > eps c=(a+b)/; if f(c)*f(a)<0 b=c; else a=c; ed; L=b-a; ed; z=(a+b)/;. М файл сценарий task1.m. Это основная программа, из которой вызываются М файлы функции.

6 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -6- Данный файл будем создавать по частям. на первом этапе построим график функции на отрезке [-1,1]. % Решение уравнения методом половинного деления % График функции на отрезке [1, ] =-1:10^-:1; plot(,f()); grid o 15 График функции 10 5 f() На втором этапе проведем отделение корней графически. В результате получим отрезок [0., 0.5]. Зададим границы отрезка и построим график на данном отрезке локализации. % Задание отрезка локализации корня a=0.; b=0.5; % График функции на отрезке локализации корня [0., 0.5] figure % Создание второго графика =a:10^-:b; plot(,f()); grid o

7 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ График на отрезке локализации f() Убедимся, что корень локализован верно. На третьем этапе вычислим корень уравнения % Решение уравнения format log e % Проверка format short e e=f() = В командном окне получим e-001 e =.7715e-006

8 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -8- Пример. Решение в пакете MATLAB уравнения с точностью 10 5 на отрезке [-1, 1] с использованием функции fzero. Функция fzero() имеет множество форматов, мы рассмотрим следующий: fzero('f(х)', [a, b]) fzero('f(х)', [a, b], tol ) Здесь 'f(х)' решаемое уравнение, взятое в одиночные кавычки; [a, b] область локализации корня; tol заданная погрешность вычисления корня; в случае отсутствия берется значение tol по умолчанию Для решения данной задачи в первую очередь создадим рабочий каталог lab_. В этом каталоге необходимо создать файла: 1. М файл функция f.m, содержащий описание функции f. Его мы копируем в проводнике из папки lab_1. 4. М файл сценарий task.m. Это основная программа, из которой вызываются М файлы функции. Мы копируем из папки lab_1 файл task1.m и переименовываем его в файл task.m. В этом файле оставляем строки, полученные на первом и втором этапе предыдущего примера построение графиков, локализация корня и задание отрезка локализации. На третьем этапе вычислим корень уравнения % Решение уравнения format log e =fzero('f()',[a,b],10^-5) % Проверка format short e e=f() В командном окне получим

9 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -9- = e-001 e = e-017 Функция fzero вычисляет корень уравнения в два этапа, на первом из которых происходит сужение отрезка локализации методом половинного деления. На втором этапе используется модификация метода Ньютона, рассматриваемая в следующем разделе. Заметим, что оба варианта использования функции f() в качестве и 'f(х)' дают одинаковый результат.

10 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод Ньютона (касательных) Предположим, отделение корней произведено и на отрезке [a, b] расположен один корень, который необходимо уточнить с точностью. Ньютона: Пусть задано начальное приближение a, b Если f 0. Расчетная формула метода 1. () f 1, () то значение 1 считается приближенным значением корня уравнения (1). Выражение для метода Ньютона получается из разложения функции f() в ряд Тейлора в окрестности точки. Ограничиваясь двумя членами ряда, получим f и решая полученное уравнение относительно, получим f f f. Отсюда, полагая 0 f. f Выражение (4) получается при замене на +1. f() Геометрическая иллюстрация {, f()} * + +1

11 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -11- Уравнение касательной к кривой в точке f y f f., : Полагая y,, получаем (). 0 1 Теорема. Если f a f b 0, причем f и f отличны от нуля и не меняют знак на отрезке [ a, b], то при любом начальном приближении 0 [ a, b], удовлетворяющему условию f 0 f, 0 0 (т.е. знаки функции и второй производной в точке х 0 совпадают на интервале [a, b]) итерационный процесс () сходится к корню уравнения f 0с любой заданной точностью. Замечание 1. Формула () справедлива и для комплексных корней. Замечание. Скорость сходимости выше, чем у других методов. Замечание. В общем случае критерий окончания итерационного процесса () не гарантирует, что с той же точностью совпадет и *. Поэтому целесообразно f. дополнительно проверять также условие f

12 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод секущих Если итерации и 1 расположены достаточно близко друг к другу, то производную f в алгоритме Ньютона можно заменить ее приближенным значением 1 f f f 1. Таким образом, из формулы метода Ньютона получим формулу секущих f. f f 1 Геометрический смысл такого изменения алгоритма Ньютона состоит в том, что от аппроксимации f касательной мы переходим к секущей прямой, проходящей через точки. f() * Замечание 1. Здесь в начале итерационного процесса задаются две точки 0 и Замечание. Условия сходимости метода и критерий окончания итерационного процесса те же, что и в методе Ньютона.

13 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- Замечание. Метод секущих также уступает методу Ньютона в скорости сходимости, однако не требует вычисления производной. Пример. Решение в пакете MATLAB уравнения с точностью 10 5 на отрезке [-1, 1] с использованием функции fzero. Здесь мы рассмотрим следующие форматы функции fzero(): fzero('f(х)', х) fzero('f(х)', х, tol) Здесь 'f(х)' решаемое уравнение, взятое в одиночные кавычки; х начальное приближение (значение) искомого корня; [a, b] область локализации корня; tol заданная погрешность вычисления корня; в случае отсутствия берется значение tol по умолчанию Для решения данной задачи в первую очередь создадим рабочий каталог lab_. В этом каталоге необходимо создать файла: 1. М файл функция f.m, содержащий описание функции f. Его мы копируем в проводнике из папки lab_1. 4. М файл сценарий task.m. Это основная программа, из которой вызываются М файлы функции. Мы копируем из папки lab_1 файл task1.m и переименовываем его в файл task.m. Затем меняем только алгоритм вычисления корня. % Решение уравнения format log e =fzero('f()', 0., 10^-5) % Проверка format short e e=f() В командном окне получим

14 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -14- = e-001 e =.7756e-017 Функция fzero вычисляет корень уравнения в два этапа, на первом из которых происходит сужение отрезка локализации методом золотого сечения. На втором этапе используется метод секущих.

15 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод простых итераций Одним из наиболее эффективных способов численного решения уравнений является метод итерации. Сущность этого метода заключается в следующем. Пусть дано уравнение (1) 0 f. Заменим его равносильным уравнением. (4) Пример. l( ) 0 l( ). Выберем начальное приближение корня 0 и подставим его в правую часть уравнения (4). Тогда получим некоторое число 1 0. Подставляя теперь в правую часть (4) вместо 0 число 1 получим число. Повторяя этот процесс, будем иметь последовательность чисел 1 1, 1,,.... (5) k Если эта последовательность сходящаяся, то есть существует предел lim, то данный предел является корнем уравнения (4) и может быть вычислен по формуле (5) с любой степенью точности. [, b] Сформулируем достаточные условия сходимости метода итерации. Теорема. Пусть функция () определена и дифференцируема на отрезке [ a, b и пусть a, причем все ее значения ] q 1 a, Тогда при [ b]. (6) 1) процесс итерации (5) сходится независимо от начального приближения [ a, ]; 0 b ) предельное значение на отрезке [ a, b]. lim является единственным корнем уравнения Пример. Дано уравнение f ( ) 1. Данное уравнение имеет корень 1,, т.к. f(1) = -1 < 0, f() = 5 > 0.

16 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -16- Корень единственный, т.к. f ( ) 1 > 0 на отрезке [1, ]. Уравнение можно записать в виде на отрезке [1, ]. Следовательно, условия сходимости итерационного процесса 1 1 не выполнены. итерационный процесс расходится. Если исходное уравнение записать в виде то 1 1 На отрезке [1, ] ma Следовательно, итерационный процесс где 0 1, 1 1, = 1,,,, сходится к корню исходного уравнения. 6. Сходимость метода простых итераций Геометрический смысл метода простых итераций а) 0 1 б) 1 0

17 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -17- На последнем рисунке 1 в) 1 и процесс итерации расходится. Теорема 4. Пусть выполняются условия теоремы. Тогда критерием окончания итерационного процесса (5) является условие 1 q 1, (7) q где - заданная точность вычисления корня уравнения. В качестве корня берется величина. Замечание. Скорость сходимости итерационного процесса тем быстрее, чем меньше величина q. Это непосредственно следует из теоремы 4. Доказательство следует из выражения (7) и того факта, что величина 1 q q принимает значения Пример. Рассмотрим случаи 1 q 1) q = 0.1 < ½ = 9 q q 1 q ) q = 0.9 > ½ = /9. q q q

18 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Алгоритм представление уравнения f () = 0 в форме = (). Заменим уравнение 0 Тогда f эквивалентным ему уравнением f. (8) f. Нам необходимо подобрать параметр таким образом, чтобы на отрезке [a, b] выполнялось неравенство 1 f q 1 0. (9) Поскольку нам известна функция f() и соответственно производная данной функции, то нам известны величины m и M, такие, что на отрезке [a, b] выполняется неравенство 0 m f M. Отсюда с учетом (11) можно записать 0 1 M 1 m q. Выбирая, например, получим 1, M m q 1 1. M Очевидно, что при таком выборе неравенство (9) заведомо выполняется. Примечание 1. Отрезок [a, b] выбирается таким, чтобы производная меняла знак на данном отрезке. Примечание. Если вычисление точного значения M f не ma f затрудне- a, b но, его можно заменить произвольным значением M 1 > M. Однако при большом M 1 m величина q 1 ближе к единице и итерационный процесс будет сходиться мед- M леннее. 1

19 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -19- Пример 4. Привести уравнение f ( ) 1 к виду, пригодному для его решения методом простых итераций на отрезке [1, ] и определить условие окончания итерационного процесса. Решить данное уравнение в пакете MATLAB методом простых итераций 10 5 на отрезке [1, ]. Решение. В примере раздела.5 мы уже показали, что данное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [1, ]. Представим уравнение в форме Найдем Тогда 1. Т.е. 1 1) f ( ) 1 > 0 на отрезке [1, ]; ) ) M ma f 1, m mi f 1, 1 1 ; M 11 f 11 f 1 m 9 q 1 1 ; M q q Т.о., получаем , ;

20 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -0- Решение в MATLAB. Для решения данной задачи создадим рабочий каталог lab_4. В этом каталоге необходимо создать 4 файла: 1. М файл функция f.m, содержащий описание функции fuctio z=f() % функция f() z=.^--1; f ( ) 1.. М файл функция fi.m, содержащий описание функции fuctio z=fi() % функция f() lambda=1/11; 1. z=-lambda*(.^--1);. М файл функция iter.m, содержащий описание функции, возвращающей f методом половинного деления значение корня уравнения 0 fuctio z=iter(fi,0,q,eps) % Решение уравнения =fi() методом итераций % f - имя m-файла, содержащего описание функции % - начальное приближение корня % eps - точность решения p=(1-q)*eps/q 1=fi(0); while abs(1-0) > p; 0=1; 1=fi(0); ed; z=1; 4. М файл сценарий task4.m. Это основная программа, из которой вызываются М файлы функции. Данный файл также будем создавать по частям. на первом этапе построим график функции на отрезке [1, ].

21 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- % Решение уравнения методом итераций % График функции на отрезке [1, ] =1:10^-:; plot(,f()); grid o 5 График функции 4 fi() На втором этапе проведем отделение корней графически. В результате получим отрезок [0., 0.5]. Зададим границы отрезка и построим график на данном отрезке локализации. % Задание отрезка локализации корня a=1.; b=1.4; % График функции на отрезке локализации корня [0., 0.5] figure % Создание второго графика =a:10^-:b; plot(,f()); grid o

22 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ График на отрезке локализации f() Убедимся, что корень локализован верно. На третьем этапе вычислим корень уравнения % Решение уравнения q=9/11; eps=10^-5; format log e % Проверка format short e e=f() = e = В командном окне получим e e-005


Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4.0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных) уравнений f = ) заключается в нахождении значений,

Подробнее

2. Решение нелинейных уравнений.

2. Решение нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений Не всегда алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть решены точно Понятие точности решения подразумевает: ) возможность написания «точной формулы», а точнее говоря

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

Численное решение нелинейных уравнений

Численное решение нелинейных уравнений Постановка задачи Метод половинного деления Метод хорд (метод пропорциональных частей 4 Метод Ньютона (метод касательных 5 Метод итераций (метод последовательных приближений Постановка задачи Пусть дано

Подробнее

Методы решения нелинейных уравнений

Методы решения нелинейных уравнений Лекция стр. Лекция Методы решения нелинейных уравнений Постановка задачи Дано: нелинейное уравнение f () =, где f () функция определенная и непрерывная на некотором промежутке. Требуется найти корни уравнения,

Подробнее

Лекция 2. Решение нелинейных уравнений. Постановка задачи: Найти коэффициент погрешности прибора σ при проведении геодезических измерений из

Лекция 2. Решение нелинейных уравнений. Постановка задачи: Найти коэффициент погрешности прибора σ при проведении геодезических измерений из Лекция 2. Решение нелинейных уравнений. Постановка задачи: Найти коэффициент погрешности прибора σ при проведении геодезических измерений из уравнения: δ cos σ υ σ 2 + η = 0 Значения δ = 0,186, υ = 4,18,

Подробнее

Лекция 9 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Лекция 9 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Лекция 9 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Пусть дано нелинейное уравнение ( 0, (3.1 где ( функция, определенная и непрерывная на некотором промежутке. В некоторых случаях

Подробнее

Математическое моделирование объектов теплоэнергетики

Математическое моделирование объектов теплоэнергетики Математическое моделирование объектов теплоэнергетики Лекция 1 Нелинейные алгебраические и трансцендентные уравнения. Термины и понятия 2 Моделирование это исследование объекта или системы объектов путем

Подробнее

Лабораторная работа по теме «Тема 1.2. Методы решения нелинейных уравнений»

Лабораторная работа по теме «Тема 1.2. Методы решения нелинейных уравнений» Лабораторная работа по теме «Тема.. Методы решения нелинейных уравнений» Перейти к Теме. Теме. Огл.... Вопросы, подлежащие изучению. Постановка задачи численного решения нелинейных уравнений.. Этапы численного

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ» Методические указания к лабораторной работе «Вычисления корней трансцендентных уравнений»

Подробнее

Кафедра «Математический анализ» ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Кафедра «Математический анализ» ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ - --1 1.57.5-5-.5 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Задание: Найти решение уравнения с точностью 0. 0001 следующими методами: дихотомии; пропорциональных частей (хорд); касательных (Ньютона); модифицированным

Подробнее

Решение уравнений в системах компьютерной математики. Сачкова Ю.С.

Решение уравнений в системах компьютерной математики. Сачкова Ю.С. Решение уравнений в системах компьютерной математики. Сачкова Ю.С. Математические пакеты играют важную роль и широко распространились в университетах, исследовательских центрах и компаниях развитых стран.

Подробнее

Корень Итераций Корень Итераций. -- вывод о качестве методов после их сравнения по количеству выполненных итераций для достижения заданной точности.

Корень Итераций Корень Итераций. -- вывод о качестве методов после их сравнения по количеству выполненных итераций для достижения заданной точности. Methods.doc Методы приближенных вычислений Стр.1 из 6 Общее условие задачи: Двумя заданными численными методами вычислить приближенное значение корня 1 функционального уравнения вида f()=0 для N значений

Подробнее

Занятие 11. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Занятие 11. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Занятие 11 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Пусть дано нелинейное уравнение f ( = 0, (* где f ( функция, определенная и непрерывная на некотором промежутке Этапы решения

Подробнее

Занятие 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Занятие 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Занятие 5 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматривается проблема решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), записываемых в виде a a b A b или,

Подробнее

1. Метод итераций. ( x ) x = ϕ. (5.1) Метод отыскания приближенных значений корня уравнения (5.1) с помощью формулы xn

1. Метод итераций. ( x ) x = ϕ. (5.1) Метод отыскания приближенных значений корня уравнения (5.1) с помощью формулы xn Метод итераций Пусть дано уравнение с одной неизвестной ( (5 Метод отыскания приближенных значений корня уравнения (5 с помощью формулы ( называют просто методом итерации При решении таких уравнений возникает

Подробнее

1. Численные методы решения уравнений

1. Численные методы решения уравнений 1. Численные методы решения уравнений 1. Системы линейных уравнений. 1.1. Прямые методы. 1.2. Итерационные методы. 2. Нелинейные уравнения. 2.1. Уравнения с одним неизвестным. 2.2. Системы уравнений. 1.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11 МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ

ЛЕКЦИЯ 11 МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ ЛЕКЦИЯ 11 МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ На прошлой лекции были рассмотрены методы решения нелинейных уравнений Были рассмотрены двухточечные методы, которые используют локализацию корня,

Подробнее

Расчетно-графическая работа по курсу «Теория оптимизации и численные методы». Выполнил студент группы Иванов И.И. Вариант 1.

Расчетно-графическая работа по курсу «Теория оптимизации и численные методы». Выполнил студент группы Иванов И.И. Вариант 1. Задание: Вариант #1 x 11x + 36x 36 = 0 Расчетно-графическая работа по курсу «Теория оптимизации и численные методы». Выполнил студент группы 04-06 Иванов И.И. Вариант 1 Этап 5. Тема: Методы решения алгебраических

Подробнее

ОБОБЩЕННЫЙ ОПЕРАТОР ЦИКЛА 4.6. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ. Синтаксис оператора:

ОБОБЩЕННЫЙ ОПЕРАТОР ЦИКЛА 4.6. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ. Синтаксис оператора: Синтаксис оператора: ОБОБЩЕННЫЙ ОПЕРАТОР ЦИКЛА DO [{ WHILE UNTIL } ] [] []... [] LOOP [{ WHILE UNTIL } ] где ключевые слова переводятся следующим

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ. F(x) = F'(x) =... = F (k - 1) (x) = 0.

ВВЕДЕНИЕ. F(x) = F'(x) =... = F (k - 1) (x) = 0. Задача отделения корней. Уточнение корней методом половинного деления (метод дихотомии). Бондаренко В.Ю., Китайчик В.Ю. Донской Государственный Технический Университет (ДГТУ) Ростов-на-Дону, Россия The

Подробнее

Лектор Ст. преподаватель Купо А.Н.

Лектор Ст. преподаватель Купо А.Н. Лекция 2 Решение линейных и нелинейных уравнений в средах MS Excel и Mthcd Лектор Ст. преподаватель Купо А.Н. 1.Решение уравнений с одним неизвестным. Дихотомия. 2.Метод хорд. Метод касательных. Метод

Подробнее

Численные методы линейной и нелинейной алгебры

Численные методы линейной и нелинейной алгебры ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского» А.И. Зинина В.И. Копнина Численные методы линейной и нелинейной алгебры Учебное пособие Саратов

Подробнее

Лабораторная работа 2. Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции

Лабораторная работа 2. Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции Лабораторная работа Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции Постановка задачи: Требуется найти безусловный минимум функции одной переменной (

Подробнее

Pascal 13. Решение нелинейных уравнений.

Pascal 13. Решение нелинейных уравнений. Pascal 13. Решение нелинейных уравнений. Нелинейные уравнения можно разделить на 2 класса - алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические

Подробнее

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных).

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных). Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных. Зададим некоторое начальное приближение [,b] и линеаризуем функцию f( в окрестности с помощью отрезка ряда Тейлора f( = f( + f '( ( -. (5 Вместо уравнения ( решим

Подробнее

Эта система эквивалентна векторной (матричной) записи системы, - вектор столбец неизвестных, - вектор столбец свободных членов.

Эта система эквивалентна векторной (матричной) записи системы, - вектор столбец неизвестных, - вектор столбец свободных членов. Лекция 4. Решение систем линейных уравнений методом простых итераций. Если система имеет большую размерность ( 6 уравнений) или матрица системы разрежена, более эффективны для решения непрямые итерационные

Подробнее

2 Численные методы решения уравнений.

2 Численные методы решения уравнений. 2 Численные методы решения уравнений. 2.1 Классификация уравнений, их систем и методов решения. Уравнения и системы уравнений делятся на: 1) алгебраические: уравнение называется алгебраическим, если над

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

(электронный ресурс)

(электронный ресурс) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Владимирский государственный университет имени

Подробнее

НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ Г Л А В А НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Понятия и определения. Постановка задачи. Решение нелинейных уравнений с одним неизвестным является одной из важных математических задач, возникающих в различных разделах

Подробнее

А. П. Иванов. Методические указания. Тема 4: Метод Ньютона решения нелинейных уравнений и систем уравнений. факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г.

А. П. Иванов. Методические указания. Тема 4: Метод Ньютона решения нелинейных уравнений и систем уравнений. факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г. А. П. Иванов Методические указания Тема 4: Метод Ньютона решения нелинейных уравнений и систем уравнений факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г. Оглавление 1. Решение скалярных уравнений...........................

Подробнее

А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МЕТОД НЬЮТОНА

А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МЕТОД НЬЮТОНА САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МЕТОД НЬЮТОНА Методические указания Санкт-Петербург 2013

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Спец. Разделы основ ИТ и программирования Лабораторная работа 1 ТЕМА: ЭЛЕКТРОННАЯ ТАБЛИЦА EXCEL. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Спец. Разделы основ ИТ и программирования Лабораторная работа 1 ТЕМА: ЭЛЕКТРОННАЯ ТАБЛИЦА EXCEL. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ТЕМА: ЭЛЕКТРОННАЯ ТАБЛИЦА EXCEL. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: научиться решать нелинейные уравнения средствами EXCEL методом половинного деления; с помощью инструмента «Подбор

Подробнее

Лабораторная работа 2

Лабораторная работа 2 Лабораторная работа Цель работы: Закрепление навыков работы с основными синтаксическими конструкциями языка Си и умения организовывать циклы и выполнять вычисления.. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.. Методы решения

Подробнее

МП: Итерации Ньютона

МП: Итерации Ньютона Последовательность вида МП: Итерации Ньютона x + = x f x f = 0. x используют для приближенного решения уравнения f(x) = 0 и называют итерационной последовательностью Ньютона. В таком виде метод Ньютона

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Ф И Л И А Л «С Е В М А Ш В Т У З» Г О С У Д А Р С Т В Е Н Н О Г О О Б Р А З О В А Т Е Л Ь Н О Г О У Ч Р Е Ж Д Е Н И Я В Ы С Ш Е Г О П Р О Ф Е С С И О Н А Л Ь Н О Г

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Решение уравнения с одним неизвестным

Решение уравнения с одним неизвестным 1 Решение уравнения с одним неизвестным Дано уравнение в виде f(x)=0, где f(x) некоторая функция переменной x. Число x * называется корнем или решением данного уравнения, если при подстановке x=x * в уравнение

Подробнее

Практическая работа. Приближенное решение уравнений

Практическая работа. Приближенное решение уравнений Актуализация темы Практическая работа Приближенное решение уравнений Мы прекрасно решаем квадратные и биквадратные уравнения, наипростейшие тригонометрические и степенные. Еще водятся "мастодонты", знающие

Подробнее

Тема 1. Элементы теории погрешностей

Тема 1. Элементы теории погрешностей - 1 - Тема 1 Элементы теории погрешностей 11 Источники и классификация погрешностей Численное решение любой задачи, как правило, осуществляется приближенно, те с некоторой точностью Это может быть обусловлено

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЯ УРАВНЕНИЯ. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД. ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ В СРЕДЕ ПАКЕТА ПАСКАЛЬ-ABC.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЯ УРАВНЕНИЯ. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД. ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ В СРЕДЕ ПАКЕТА ПАСКАЛЬ-ABC. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЯ УРАВНЕНИЯ. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД. ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ В СРЕДЕ ПАКЕТА ПАСКАЛЬ-ABC. Машкова Е.Г., Покришка О.И. Донской Государственный Технический Университет (ДГТУ) Ростов-на-Дону,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 10 ПОСТРОЕНИЕ СПЛАЙНОВ

ЛЕКЦИЯ 10 ПОСТРОЕНИЕ СПЛАЙНОВ ЛЕКЦИЯ 10 ПОСТРОЕНИЕ СПЛАЙНОВ На прошлой лекции было доказано, что интерполяционные многочлены в форме Лагранжа и Ньютона эквивалентны. Были введены функция Лебега и константа Лебега. Было показано, что

Подробнее

Ассистент кафедры ХТТиХК, к.т.н. Белинская Наталия Сергеевна

Ассистент кафедры ХТТиХК, к.т.н. Белинская Наталия Сергеевна Дисциплина «Углубленный курс информатики» Лекция 2 Приближенные методы решения нелинейных уравнений Ассистент кафедры ХТТиХК, к.т.н. Белинская Наталия Сергеевна 2016 План лекции Нелинейные уравнения Определение

Подробнее

Математическое и физическое моделирование

Математическое и физическое моделирование Математическое и физическое моделирование Вычислительные методы и их применение Место вычислительного алгоритма в задачах математического моделирования. Алгоритм решения нелинейного уравнения. Реализация

Подробнее

Некоторые численные методы решения. алгебраических и трансцендентных уравнений

Некоторые численные методы решения. алгебраических и трансцендентных уравнений С.В. Овчинников, В.Н. Шевцов Некоторые численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений Методическое пособие по учебной дисциплине «Вычислительные методы» для студентов физического факультета

Подробнее

Министерство образования и науки РФ. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК)

Министерство образования и науки РФ. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) Министерство образования и науки РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) Факультет дистанционных форм обучения Заочное отделение ГПЕмгушева, МДУлымжиев ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ

Подробнее

Нелинейные алгебраические уравнения Системы алгебраических уравнений. Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван

Нелинейные алгебраические уравнения Системы алгебраических уравнений. Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван Системы алгебраических уравнений Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван Скалярные уравнения Постановка задачи Дана функция f (x). Найти решение уравнения f (x) = 0 В отличие от случая линейного уравнения,

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ После изучения данной темы вы сможете: проводить численное решение задач линейной алгебры. К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи, решение

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды Числовые и функциональные ряды Основные понятия Знакочередующиеся ряды Функциональные ряды Степенные ряды и разложение функций в степенной ряд Применение степенных рядов Ряды Фурье Основные понятия Пусть

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика» 2 ОГЛАВЛЕНИЕ 1 Решение нелинейного уравнения 4 1.1 Общие сведения о решении нелинейного уравнения 4 1.2 Отделение

Подробнее

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n)

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n) Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( ( ) ) - обыкновенное (зависимость только от ) Общий интеграл - зависимость между независимой переменной зависимой

Подробнее

Численные методы Тема 2. Интерполяция

Численные методы Тема 2. Интерполяция Численные методы Тема 2 Интерполяция В И Великодный 2011 2012 уч год 1 Понятие интерполяции Интерполяция это способ приближенного или точного нахождения какой-либо величины по известным отдельным значениям

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 1 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Отделение корней

ЗАНЯТИЕ 1 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Отделение корней ЗАНЯТИЕ ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Отделение корней Пусть дано уравнение f () 0, () где функция f ( ) C[ a; Определение Число называется корнем уравнения () или нулем функции f (), если

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

1. Рекуррентный способ Выпишите первые десять членов последовательности, заданной рекуррентно. 10) а 1 = 2, 7) а 1 = 1, a = a + 1

1. Рекуррентный способ Выпишите первые десять членов последовательности, заданной рекуррентно. 10) а 1 = 2, 7) а 1 = 1, a = a + 1 Глава 0 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Алгоритмы А- Задание числовых последовательностей А- Арифметическая прогрессия А- Геометрическая прогрессия А- Суммирование А-5 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

Этап 4 Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Этап 4 Методы решения систем линейных алгебраических уравнений стр. Этап Методы решения систем линейных алгебраических уравнений Дано: + - + = - - 5 + = -5 5 - + - = - 0 + - + = а) Найти решение системы методом простых итераций (точность счёта ε = 0. 0) Алгоритм решения

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Численное решение задач оптимизации

Численное решение задач оптимизации Цель работы: получение практических навыков построения алгоритмов решения задач оптимизации, их программной реализации на компьютере, оценки погрешности решения, сравнение эффективности различных методов

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Лекция 2. Последовательности

Лекция 2. Последовательности Лекция 2 Последовательности Определение. Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число x, то множество занумерованных чисел x, x2,..., x,...

Подробнее

Этап 5 Тема: Методы отыскания корней алгебраического уравнения. = 0. Стационарные точки. < 0, то. а) Отделить корни алгебраического уравнения

Этап 5 Тема: Методы отыскания корней алгебраического уравнения. = 0. Стационарные точки. < 0, то. а) Отделить корни алгебраического уравнения р. Этап 5 Тема: Методы отыскания корней алгебраического уравнения Дано: + 6 6 = а) Отделить корни алгебраического уравнения Алгоритм отделения проых корней с помощью исследования функций и пороения графиков.

Подробнее

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства Вопрос. Неравенства, система линейных неравенств Рассмотрим выражения, которые содержат знак неравенства и переменную:. >, - +х -это линейные неравенств с одной переменной х.. 0 - квадратное неравенство.

Подробнее

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,...

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,... Предел функции. Предел числовой последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто числовой последовательностью называется функция f f (, определенная на множестве всех

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

Численное решение нелинейного уравнения Для простейших уравнений вида f ( x) Рис. 3.1.

Численное решение нелинейного уравнения Для простейших уравнений вида f ( x) Рис. 3.1. Лабораторная работа Решение уравнений средствами Mthcd Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ Занятие НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА Постановка задачи Дана дважды непрерывно дифференцируемая функция f ( ), определенная на множестве X R Требуется исследовать

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Решение нелинейного уравнения. Если уравнение представлено в виде f1(x)=f2(x), то его всегда можно преобразовать к виду f(x)=0, где f(x)=f1(x)-f2(x).

Решение нелинейного уравнения. Если уравнение представлено в виде f1(x)=f2(x), то его всегда можно преобразовать к виду f(x)=0, где f(x)=f1(x)-f2(x). Решение нелинейного уравнения Общий вид уравнения с одним неизвестным имеет вид f(x)=0. Если уравнение представлено в виде f1(x)=f2(x), то его всегда можно преобразовать к виду f(x)=0, где f(x)=f1(x)-f2(x).

Подробнее

А.П.Попов. Методы оптимальных решений. Пособие для студентов экономических специальностей вузов

А.П.Попов. Методы оптимальных решений. Пособие для студентов экономических специальностей вузов А.П.Попов Методы оптимальных решений Пособие для студентов экономических специальностей вузов Ростов-на-Дону 01 1 Введение В прикладной математике имеется несколько направления, нацеленных в первую очередь

Подробнее

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход.

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход. Метод Ритца Выделяют два основных типа методов решения вариационных задач. К первому типу относятся методы, сводящие исходную задачу к решению дифференциальных уравнений. Эти методы очень хорошо развиты

Подробнее

Расчетно-графическая работа по информатике

Расчетно-графическая работа по информатике Министерство образования Российской Федерации ФГБОУ ВПО «ЮжноУральский государственный университет» (НИУ) Филиал ФГБОУ ВПО ЮУрГУ (НИУ) в г. УстьКатаве Кафедра Машиноведение Расчетнографическая работа по

Подробнее

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Пусть имеем функцию определенную на множестве X и пусть точка X - внутренняя точка те точка для которой существует окрестность X Возьмем любую точку и обозначим через называется

Подробнее

Глава 2. Пределы функций одной переменной.

Глава 2. Пределы функций одной переменной. Глава Пределы функций одной переменной Предел переменной величины Определение Постоянное число а называется пределом переменной величины х, если для каждого наперед заданного числа ε > можно указать такое

Подробнее

x i Определение. Задача нахождения значения интерполяционной функции F x в точке не совпадающей ни с одной абсциссой интерполяционных узлов x,

x i Определение. Задача нахождения значения интерполяционной функции F x в точке не совпадающей ни с одной абсциссой интерполяционных узлов x, ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Дано: точки наблюдения y (их количество + ) a b ; ; y y y y y Найти функцию : F F : y Определение Точки y называются узлами интерполяции Графическая интерпретация

Подробнее

Вергазова Ольга Бухтияровна

Вергазова Ольга Бухтияровна УДК по дисциплине «Методы оптимизации» (160403) (519.677 Решения задач математического анализа и прикладных задач) для специальности 1604030065. Рецензенты: Фурсов Андрей Серафимович - кандидат физикоматематических

Подробнее

Численные методы решения алгебраических уравнений и систем уравнений

Численные методы решения алгебраических уравнений и систем уравнений Краевой конкурс учебно-исследовательских и проектных работ учащихся «Прикладные вопросы математики» Алгебра Численные методы решения алгебраических уравнений и систем уравнений Булычев Сергей, МОУ «Лицей

Подробнее

5. Определение коррекно поставленной задачи. Является ли решение уравнения x 2 3x+

5. Определение коррекно поставленной задачи. Является ли решение уравнения x 2 3x+ 0.1 Погрешность, устойчивость, числа с плавающей запятой 1. Абсолютная и относительная погрешности. Дано уравнение 0,134x+2,824 = 0. С какой погрешностью можно вычислить его корень? 2. Абсолютная и относительная

Подробнее

Глава 7. Понятие об асимптотических методах

Глава 7. Понятие об асимптотических методах Глава 7 Понятие об асимптотических методах Лекция Регулярно и сингулярно возмущенные задачи При построении математических моделей физических объектов, характеризующихся различными масштабами по пространству,

Подробнее

Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений Постановка задачи Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение сокращенно ОДУ первого порядка f,, [,b ] 6 с начальным условием

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Раздел II. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Раздел II. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Лекция 7 Раздел II ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматривается проблема решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Подробнее