ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА"

Транскрипт

1 ГОУВПО КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА Учебно-методическое пособие Издательство Кыргызско-Российского Славянского университета Бишкек 009

2 УДК 57 Лелевкина Л.Г., Гончарова И.В., Комарцов Н.М. ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА: Учебно-методическое пособие. Бишкек: Издательство КРСУ, с. Данное методическое пособие положено в основу компьютерной контрольно обучающей программы тестирования. Методическое пособие содержит краткие теоретические основы одного из основных разделов математического анализа «Теория пределов». Приведены многочисленные примеры с методическими рекомендациями по их решению. Для выполнения студентами индивидуальных типовых расчетов, а также для проведения контрольных работ пособие содержит 0 задач в тестовой форме, разбитых на 0 вариантов, заложенных в компьютерную контрольнообучающую программу тестирования. Задачи охватывают основной материал данного раздела, стимулируют его усвоение и проверяют уровень подготовленности студентов. Такая структура методического пособия направлена на развитие у студентов навыков самостоятельного решения задач и позволяет до начала экзаменационной сессии проверить уровень усвоения материала путем прохождения компьютерного тестирования и способствуют развитию самоконтроля. Учебно-методическое пособие предназначено для студентов естественнотехнического, экономического и архитектурно-строительного факультетов дневной и заочной форм обучения. Рецензенты: д.ф.-м.н., проф. д.ф.-м.н., проф. Т.М. Иманалиев А.А. Чекеев Печатается по решению кафедры высшей математики и РИСО КРСУ КРСУ, 009 г. Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов

3 Оглавление Глава. Пределы числовых последовательностей. 4. Основные определения, свойства, операции над пределами последовательностей... Неопределенности различного вида 6. Неопределенность вида Неопределенность вида в случае арифметической, геометрической прогрессий и факториалов 5. Неопределенность вида [ ].. Глава. Пределы функций одной переменной Основные определения, свойства пределов функций одной переменной..... Понятие неопределенностей Раскрытие неопределенностей вида Первый замечательный предел Второй замечательный предел Одновременное использование первого и второго замечательных пределов.. Варианты контрольных заданий Список использованной литературы Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов

4 Глава. Пределы числовых последовательностей. Основные определения, свойства, операции над пределами последовательностей Основные определения Если по некоторому закону каждому натуральному числу поставлено в соответствие определенное число a, то говорят, что задана числовая последовательность { a }. Число а называется пределом последовательности { }, если для любого наперед заданного сколь угодно малого числа ε > 0 существует номер N такой, что все члены последовательности с номерами >N удовлетворяют неравенству a < ε. Предел последовательности { } обозначают = a (Lim - от латинского слова es, или французского ite, что означает ограничение, предел, грань). Последовательность, имеющая предел называется сходящейся, иначе она называется расходящейся. Иногда удобно использовать геометрическое определение предела последовательности. Число а называют пределом последовательности { } если в любой окрестности а находятся все члены последовательности, начиная с некоторого номера. Эта окрестность называется ε - окрестностью. Если последовательность { } обладает следующим свойством: какое бы большое постоянное положительное число А ни взять, все достаточно далекие значения окажутся большими, чем А > A то говорят, что { } стремится к плюс бесконечности или имеет своим пределом плюс бесконечность, и пишут = +., Аналогично, числовая последовательность { } стремиться к минус бесконечности, если при произвольном A > 0 все последующие значения, начиная с некоторого будут удовлетворять неравенству < A. Свойства пределов последовательностей. Числовая последовательность может иметь только один предел.. Если последовательность имеет предел, то она ограничена. Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов 4

5 . Если для двух последовательностей и y всегда выполняется неравенство y, причем каждая из них имеет конечный предел = a, y = b, то a b. Замечание. Если последовательности удовлетворяют строгому неравенству > y, то для их пределов может получиться и знак равенства a b. 4. Если для последовательностей, y, z всегда выполняются неравенства y z, причем и z стремятся к общему пределу а: = z = a, то и последовательность y имеет тот же предел y = a. Операции над пределами последовательностей. Предел суммы (разности) двух сходящихся последовательностей равен сумме (соответственно, разности) их пределов: = a, y = b ( ± y) = a± b.. Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению их пределов: = a, y = b ( y) = a b. В частности: постоянный множитель можно выносить за знак предела: = a, C R ( C ) = C a ; предел натуральной степени от сходящейся последовательности равен этой степени от ее предела: k = a ( ) k k ( ) = = a, k =,,,.... Предел частного двух сходящихся последовательностей равен частному их пределов: = a, y = b ( b 0, y 0 ) a =. y b 4. Предел корня к й степени от сходящейся последовательности равен корню этой же степени от предела последовательности: k = a, k =,,4,... k = a. Отметим, что пределы переменных, стоящие в левых частях операций () (), могут существовать без того, чтобы существовали отдельно пределы и y. Например, если ( ) =, y ( ) + =, то и y не имеют пределов, в то Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов 5

6 + ( ) время как ( y ) ( ) ( ) ( ) ( ) + y = =. + = + = 0, Операции над пределами во многих случаях дают возможность узнать, имеет ли числовая последовательность предел и чему он равен, если она есть результат конечного числа арифметических действий над несколькими другими последовательностями, существование и величина пределов которых известны.. Неопределенности различного вида Пусть даны две последовательности { }, { } y ( y ) y и = = 0 0. Рассмотрим отношение этих последовательностей. О пределе этого отношения последовательностей заранее ничего определенного сказать нельзя, так как в зависимости от самих последовательностей предел их отношения может принимать различные значения. Например: если =, если =, a если =, ( ) y y y =, то = = ; y =, то = = 0 ; y =, то = a= a; y если =, y =, то = ( ), а этот предел не существует. y Таким образом, для нахождения предела последовательности y недостаточно знать, что = 0, y = 0. Нужны еще дополнительные сведения о характере изменения { } Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов 6 и { y }. Для нахождения этого предела в каждом конкретном случае требуются специальные приемы. Возникают неопределенности различного вида. Если = 0, y = 0, то говорят, что выражение представляет y 0 собой неопределенность вида 0. Если =, y =, то выражение также представляет собой y неопределенность и ее называют неопределенностью вида.

7 Если = 0, y неопределенность вида [ ] Если =, то для выражения y получаем 0. = +, y =, то выражение + y представляет собой. Раскрыть соответствующую неопределенность это значит найти предел (если он существует) соответствующего выражения. неопределенность вида [ ]. Неопределенность вида Правило. Чтобы раскрыть неопределенность вида надо числитель и знаменатель почленно разделить на переменную величину в наибольшей степени. Пример. Вычислить предел числовой последовательности ( ) + + ( ). ( + ) + ( ) Решение. Дробь - есть отношение двух бесконечно больших величин, о котором без исследования ничего определенного сказать нельзя неопределенность вида. Здесь также нельзя применить теорему о пределе частного, так как в условии этой теоремы предполагается, что пределы числителя и знаменателя существуют, а в нашем случае при ( ) ( ) + +,. В этом случае поступают так: числитель и знаменатель дроби делят на наивысшую степень,встречающуюся в членах дроби (в данном случае на ). ( + ) + ( ) ( + ) ( ) ( + ) + ( + ) = = = = = = = =. Здесь 0, 0 при. Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов 7

8 Ответ: ( ) + + ( ) =. Пример. Вычислить предел числовой последовательности ( ) Решение. Здесь неопределенность вида. Разделим числитель и знаменатель дроби на наивысшую степень, встречающуюся в дроби, т.е. на : = = = ( + ) = = = = Здесь 0, 0, 0 при 8. Ответ: =. ( + ) Пример. Вычислить предел si Решение. При + +, +, т.е. возникает неопределенность вида. Последовательность si ограничена ( si ). Разделим числитель и знаменатель дроби на = = si si + + Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов 8

9 = si + =,. т.к. бесконечно малая последовательность при и произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая последовательность, поэтому si 0 при. Ответ: =. + si 4. Неопределенность вида в случае арифметической, геометрической прогрессий и факториалов Правило. Чтобы раскрыть неопределенность вида в случае арифметической прогрессии надо воспользоваться формулой суммы первых a + a членов арифметической прогрессии: S =. Пример. Вычислить предел числовой последовательности Решение. В знаменателе стоит сумма членов арифметической прогрессии. Воспользуемся формулой суммы первых членов арифметической прогрессии. + В нашем случае a =, a =, тогда S =. Получаем, + + = = = 6 = = = = Ответ: = Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов 9

10 Правило. Чтобы раскрыть неопределенность вида в случае геометрической прогрессии надо воспользоваться формулой суммы первых b ( q ) членов геометрической прогрессии: S =. q Пример. Вычислить предел числовой последовательности Решение. Данная последовательность представляет собой сумму двух геометрических прогрессий: = Применим формулу суммы первых членов геометрической прогрессии. Для 4 4 первой прогрессии b =, q=, для второй прогрессии b =, q= Имеем, = = + 4 = + = = 4 = ( 0 ) 4( 0 ) = + 4 =, 5 5 т.к. если число A <, то A 0 при Ответ: = Правило. Чтобы раскрыть неопределенность вида в случае факториалов надо выразить все факториалы последовательности через наименьший и сократить на него. Пример. Вычислить предел числовой последовательности ( +! )!. +! ( )( ) Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов 0

11 Решение. По определению! =...,!! = , ( ) ( )!! 5... ( ) + = +. Поэтому, числитель и знаменатель стремятся к, т.е. мы имеем неопределенность вида. Выберем наименьший факториал и выразим через!. Тогда него все остальные. В нашем примере наименьшим будет ( )! = ( )!, ( +! ) = (! ) ( + ). Имеем ( ) ( + ) ( ) ( )( ) (! ) ( + )!! = = +! +! ( )( ) == = = = =. ( + ) ( + 0) + + Здесь 0 при.!! Ответ: =.! ( + ) ( + )( ) 5. Неопределенность вида [ ] Правило. Неопределенность вида [ ], получающаяся в результате алгебраической суммы иррациональных выражений, устраняется или приводится к типу путем домножения и деления на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. В случае квадратных корней последовательность домножается на сопряженное a b = a b a+ b. В случае выражение и применяется формула ( )( ) кубических корней последовательность домножается на неполный квадрат суммы или разности и применяется формула a ± b = ( a± b)( a ab+ b ). Пример. Вычислить предел числовой последовательности ( 9+ 4 ). Решение. При вычислении данного предела мы не мажем применить теорему о пределе разности двух переменных, ибо эта теорема верна только в том случае, Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов

12 когда обе переменные имеют предел. В нашем случае при 9+, 4, и мы имеем дело с разностью двух положительных бесконечно больших величин. Без специального исследования этой разности ничего определенного сказать нельзя, т.е. имеем неопределенность [ ]. Данная неопределенность раскрывается путем избавления от иррациональности. Вспоминая формулу a b = ( a b)( a+ b), умножим и разделим выражение 9+ 4 на сопряженное ( 9+ 4 )( ) ( 9+ 4 ) = = ( ) 9+ (4 ) 5+ = ( ) ( ) После преобразований получили дробь, у которой числитель и знаменатель бесконечно большие последовательности (5 +, 9 +, 4, а следовательно, и ). Возникает неопределенность, которая раскрывается путем деления числителя и знаменателя на в наибольшей степени, в нашем случае на = = = ( ) = = = так как при предел числителя равен 5, а знаменатель есть величина бесконечно малая, как сумма двух бесконечно малых величин. Т.е. мы имеем дело с величиной, которая обратна бесконечно малой, а такая величина есть бесконечно большая. Ответ: ( 9+ 4 ) =. Пример. Вычислить предел числовой последовательности Решение. При неопределенностью вида [ ] ( 5 ) +. 5,, поэтому имеем дело с. Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов

13 Для раскрытия неопределенности применим формулу ( a± b)( a ab+ b ) = a ± b. Положим a= 5, b=, а затем умножим и разделим на неполный квадрат разности выражения 5. Имеем, ( 5 + )(( 5 ) 5 + ) ( 5 + ) = = ( 5 ) = = ( 5 ) 5 + ( 5 ) = = = = 0, ( 5 ) 5 + ( ) ( ) т.к. знаменатель дроби при есть сумма трех положительных бесконечно больших величин, а поэтому есть величина бесконечно большая. Величина же, обратная бесконечно большой, есть величина бесконечно малая, предел которой равен нулю. Ответ: ( 5 + ) = 0. Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов

14 Глава. Пределы функций одной переменной. Основные определения, свойства пределов функций одной переменной Основные определения Понятие предела функции является одним из основных в математическом анализе. Определения производной, интеграла, непрерывности и т.д. основаны на использовании предела. Число b называют пределом функции y= f( ) при a, если для любого числа ε > 0 найдется такое число δ > 0, что при всех х, удовлетворяющих условию a < δ, выполняется неравенство f( ) b < ε. Предел функции f() при, стремящемся к а, обозначают ( ) f ( ) b при a. a f = b либо Дадим геометрическую y интерпретацию понятия предела функции в точке. На рисунке изображен график функции y = f ( ) y= f( ). Предположим, что b + ε функция имеет при a b пределом число b. Возьмем b ε произвольное сколь угодно малое число ε > 0. Окружим число b ε - окрестностью ( b ε, b+ ε ). Найдем на оси O такую окрестность точки a: O a δ a a + δ ( a δ, a+ δ ), при попадании в которую значений аргумента соответствующие значения функции попадут в ε -окрестность числа b. При b ε, b+ ε будет стягиваться к числу b. уменьшении числа ε интервал ( ) Соответствующий ему интервал ( a δ, a δ ) и доказывает, что f ( ) = b. a + будет стягиваться к числу a. Это Число b называют пределом функции y= f( ) при или, если для любого числа ε > 0 можно указать положительное число N, такое, что при всех х, удовлетворяющих условию > N, выполняется неравенство f( ) b < ε. Свойства предела функции. Функция f ( ) при a имеет единственный предел.. Предел постоянной равен самой постоянной: = ( C cost) C C a =. Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов 4

15 . Постоянную можно выносить за знак предела C f ( ) C f ( ) =. a a 4. Предел суммы или разности конечного числа функций равен сумме или f ± g = f ± g. разности пределов этих функций ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a a 5. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих f g = f g. функций ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a a 6. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций f ( ) f ( ) a = при условии, что ( ) 0 a g g g. a ( ) a ( ) ( ) ( ) 7. Если f ( ) 0 f ( ) 0, то f ( ) 0 f ( ) 0. a a 8. Пусть функции связаны соотношением f ( ) g( ) h( ) f ( ) = h( ) = A, тогда и g( ) = A. a a 9. ( ) a ( ) g( ) a ( ) g f = f. a a Следствие. f ( ) f ( ) a a 0. f ( ϕ( ) ) = f( ϕ ( ) ). a a =., причем Замечание. Все свойства пределов распространяются и на случай, когда.. Понятие неопределенностей В практике отыскания пределов наиболее часто применяются свойства - 6 об арифметических действиях над пределами. Однако их непосредственное применение бывает невозможно в особых случаях, называемых неопределенностями, которые возникают при нарушении их 0 условий. Виды неопределенностей 0,, [ ], [ 0 ]. Кроме этих неопределенностей, связанных с арифметическими действиями над пределами, существуют неопределенности, 0 0, 0. Чтобы найти пределы при наличии неопределенности, надо эту неопределенность устранить, открыв тем самым возможность использования того или иного свойства пределов. Это достигается, с одной стороны, применением алгебраических и тригонометрических преобразований (разложение функции на множители или на слагаемые, приведение дробей к общему знаменателю, добавление и вычитание некоторого выражения, умножение и деление на некоторую функцию, вынесение множителя за скобку и т.п.) заменой переменной, использованием эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших, а с другой стороны, использование так называемых замечательных пределов. Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов 5

16 Таблица раскрытия различных видов неопределенностей Тип неопределенности Правило раскрытия... Чтобы раскрыть неопределенность вида, заданную отношением двух многочленов, надо и числитель и знаменатель почленно разделить на переменную величину в наибольшей степени... Для раскрытия неопределенности вида, заданную отношением иррациональных функций, надо и числитель и знаменатель почленно разделить на переменную величину в наибольшей степени с учетом степеней корней Для того, чтобы определить предел дробнорациональной функции в случае, когда при a числитель и знаменатель дроби имеют пределы, равные нулю, надо числитель и знаменатель дроби разделить на a и перейти к пределу. Если и после этого числитель и знаменатель новой дроби имеют пределы, равные нулю при a, то надо произвести повторное деление на a. 0.. Чтобы раскрыть неопределенность вида 0, в которой числитель или знаменатель иррациональны, следует надлежащим образом избавиться от иррациональности, умножив и числитель и знаменатель дроби на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. Неопределенность устраняется после сокращения дроби. В случае квадратных корней и числитель и знаменатель дроби умножаются на сопряженное выражение тому, которое содержит иррациональность и применяется формула a b = ( a b)( a+ b). В случае кубических корней и числитель и знаменатель дроби умножаются на неполный квадрат суммы или разности и применяется формула ( )( ) a ± b = a± b a ab+ b. Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов 6

17 . [ ]. Замечательные пределы.. Неопределенность вида [ ], получающаяся в результате алгебраической суммы иррациональных выражений, устраняется или приводится к типу путем домножения и деления на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. В случае квадратных корней разность домножается на сопряженное выражение и применяется формула a b = ( a b)( a+ b). В случае кубических корней функция домножается на неполный квадрат суммы или разности и применяется формула a ± b = ( a± b)( a ab+ b )... Неопределенность вида [ ], получающаяся в результате алгебраической суммы двух дробей, 0 устраняется или сводится к типу 0 путем приведения дробей к общему знаменателю. f g =. Пусть ( ) =, ( ) a a ( ) = [ ] = = a a f ( ) g( ) g( ) f ( ) 0 = =. a 0 f g Тогда f ( ) g( ) ( ) ( ) 4.. Первый замечательный предел 0 (неопределенность 0 ). В случае, когда под знаком предела стоят тригонометрические функции, дающие неопределенность, используется первый замечательный предел: si =. 0 Его различные формы: =, 0 si tg =, =, 0 0 tg arcsi =, =, 0 0 arcsi arctg =, =. 0 0 arctg Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов 7

18 4.. Второй замечательный предел (неопределенность ): + = e. + = e, Его различные формы: ( ) 0 0 ( ) l + 0 = = 0, a 0 = l a 0 = 0, e 0 = 0 = 0, 0 ( ) p + 0 = p = [ 0 ] 5.. Неопределенность типа [ 0 ] сводится либо к неопределенности типа, либо к неопределенности 0 типа 0 путем перемещения в знаменатель одного из f 0 g =. сомножителей. Пусть ( ) =, ( ) a Тогда ( ) ( ) [ 0 ] a a ( ) f 0 =, a 0 g( ) f g = = или g( ) =. a f ( ) 6. 0, Неопределенности вида 0, 0 0 неопределенности типа 5 [ ] логарифмирования. сводятся к 0 путем Замечание. Применение замечательных пределов требует понимания и запоминания структуры каждого из них и при необходимости ее si воспроизведения. Так, для предела = характерно отношение синуса 0 Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов 8

19 бесконечно малого угла к самому углу. Поэтому всякий предел вида si f ( ) равен, если f ( ) = 0. Например, каждый из пределов a f a ( ) ( ) si si( π ) si,, есть, в сущности, первый 0 π π замечательный предел и потому равен, чего нельзя сказать ни об одном из si si si пределов,,. 0 0 Для предела ( + ) = e (е - иррациональное число е=,7888 ) 0 характерно, что сумма, равная единице плюс бесконечно малая, возводится в f = 0, степень, обратную этой бесконечно малой. Следовательно, если ( ) ( ) то и ( ) 0 a a f ( ) + f = e. Такова структура каждого из пределов ( + ), ( cos ) cos π, ( ) + +, и поэтому все они равны e, но структура пределов ( + ), ( ) cos cos, ( ) + π 0 отлична от структуры второго замечательного предела. Подобные рассуждения справедливы и для других форм замечательных пределов.. Раскрытие неопределенностей вида Пример. Вычислить предел функции Решение. Знаменатель дроби обращается в нуль при =, а потому функция f( ) = при = не существует. Теорему о 9+ 9 пределе дроби применить нельзя, так как предел знаменателя равен нулю. Но определение предела функции содержит существенную оговорку: при отыскании предела функции f ( ) при a значение функции f ( a ) при = a может не рассматриваться. Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов 9

20 Т.к. при числитель и знаменатель дроби бесконечно малые функции ( + ) = 0 и ( 9+ 9) = 0, то имеем 0 неопределенность вида 0. Для решения задачи используем правило. (см. таблицу). Разделим числитель и знаменатель на ( ). Мы имеем право это сделать, потому что значение = не рассматривается, и, значит 0. ( )( + 4) = = =. ( )( ) ( ) Ответ: + 7 = Пример. Вычислить предел функции Решение. Имеем неопределенность 0. По правилу. разделим числитель и знаменатель на Тогда ( + )( + ) ( + ) 0 = = ( + )( 6 7) ( 6 7) 0. Еще раз разделим числитель и знаменатель на + : ( + )( ) ( ) 4 = = =. ( + )( 9) ( 9) Ответ: = Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов 0

21 + 6 4 Пример. Вычислить предел функции Решение. Имеем неопределенность 0. По правилу. умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю и применим формулу ( a b)( a+ b) = a b : ( + 6 4)( ) ( + 6) 4 = = = ( + )( ) 0( + )( ) = = = = 0( + )( ) 0 ( + )( ) (0 + )( ) = = (4+ 4) 6 Ответ: =. + 6 Пример 4. Вычислить предел функции Решение. Т.к. здесь неопределенность 0 и знаменатель содержит иррациональность, то, используя правило., умножим числитель и знаменатель дроби на неполный квадрат (т.к. корень кубический) и применим формулу ( a b)( a + ab+ b ) = a b. Имеем ( )(( + 8) ) = = + 8 ( + 8 )(( + 8) ) ( )(( + 8) ) = = ( + 8) 8 0 ( )(( + 8) ) = = ( )(( + 8) ) = = Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов

22 ( )(( + 8) ) (( 8) ) = = = 0 0 ( ) 6 = = = 0 0 Ответ: 0 =. + 8 Пример 5. Вычислить предел + si + 4 cos. 0 Решение. Т.к функция у= непрерывна при всех,то, переходя к пределу под знаком непрерывной функции, получаем + si + 4cos = si 4cos Т.к бесконечно малая функция в точке =0, а функция y = + si - ограниченная в окрестности точки = 0, то + si -бесконечно малая функция в точке = 0 (произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция), т.е. + si = 0. 0 Т.к. функция y= cos непрерывна в точке = 0, то cos =. Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов 0 Используя основные теоремы о пределе функции в точке, получим + si + 4cos = + si + 4 cos = Ответ: + si + 4cos = Первый замечательный предел si Пример. Вычислить предел функции. 0 cos Решение. Выражение под знаком предела является отношением двух 0 бесконечно малых величин, имеем неопределенность вида 0.Учитывая, что cos = si,

23 имеем, si si 0 = 0. si si Воспользуемся по правилу 4. первым замечательным пределом si 0 =. Для этого умножим и числитель, и знаменатель на 4 : si si 4 si 4 = = si si =4 = 4. si 4 4 si Ответ: = 4. 0 cos cos cos Пример. Вычислить предел. π tg 0 Решение. Имеем неопределенность вида 0. Сделаем замену переменной π = t, при π t 0, и воспользуемся формулами тригонометрии cos(π + t) = cos t,cos( π + t) = cos t, tg(π + t) = tg t, α + β α β cosα cos β = si si. cos( π + t) cos( π + t) cost cost si tsi( t) = =. t tg ( π + t) t tg t t tg t Заменим бесконечно малые функции эквивалентными при t 0 : si t ~ t, si( t) ~( t), tgt ~ t, тогда t ( t) 4t t 0 = 0 =. ( t) t 4t cos cos Ответ: =. π tg Пример. Вычислить предел функции 5. Второй замечательный предел ( + ) ( ). l l l( + ) l( + ) l 5 l 5 l( ) l( ) l 0 Решение. = = () = () =. Преобразуем выражение под знаком предела так, чтобы можно было использовать второй замечательный предел, правило 4., Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов

24 l( + ) l( + ) l( ) l + = +. При 0. Сформируем степень, учтем, что e + = l( + ( ) ) =. Получим, l( + ) l( + ) l(+ ) l( + ( )) l + = е ( + ( ) ) =е l( + ( )) = ( ) l 5 l( ( )) e + = e l 5 =-5. и l( + ) l( ) Ответ: = 5. Пример. Вычислить предел числовой последовательности Решение. При п выражение под знаком предела представляет собой степень, основание которой стремится к единице: =, а показатель к бесконечности ( ) + =. Таким образом, мы имеем дело с неопределенностью вида. Преобразуем выражение под знаком предела так, чтобы по правилу 4. использовать второй замечательный предел ( + ) + = е: = + = + = ( + + 4) e e = = (т.к. при, + + 4, то e = ) Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов 4

25 Ответ: = e Пример. Вычислить предел функции Решение. Поскольку ( ) = 0 и l. l =0,то выражение под знаком предела является отношением двух бесконечно малых функций при 0 (неопределенность вида 0 ). Воспользуемся правилом 4.. Сделаем замену переменной = t, при, t 0 = t ( )( + + ) t(( t+ ) + ( t+ ) + ) = = = l t 0 t 0 l( + t) = + t t = ( t + t+ ) = ( t + t+ ) =, t 0l( + t) t 0 l( + t) t 0 t 0 t l( + t) (где = - одна из форм второго замечательного предела) t 0 t Ответ: =. l Пример 4. Вычислить предел функции [ ] ( + ) l( ) l( + ). Решение. Здесь имеет место неопределенность [ ]. Воспользуемся b k свойствами логарифмов logab logac= loga и klogab= logab, а также c вторым замечательным пределом, правило 4.: Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов 5 + ( + ) [ l( ) l( + ) ] = ( + )l = l = = l = = l + = = l + = +

26 5 5 + ( + ) = l + = l + = l e = Ответ: [ ] ( + ) l( ) l( + ) = Одновременное использование первого и второго замечательных пределов l( + si ) Пример. Вычислить предел функции. 0 si 0 Решение. Имеем неопределенность 0. Воспользовавшись правилом 4., умножим числитель и знаменатель на si. При 0 si 0, поэтому l( + t) воспользуемся одной из форм второго замечательного предела =. t 0 t l( + si ) si l( + si ) si = =. 0 si 0si 0 si 0 0si si Использовали правило 4.. При 0 0 =, 0 si 0 =. 0 l( + si ) Ответ: =. 0 si 5 Пример. Вычислить предел функции. 0 si 7 0 Решение. Имеем неопределенность 0. В числителе добавим и вычтем : 5 5 ( ) =. 0si 7 0 si 7 Затем поделим числитель и знаменатель дроби на и воспользуемся si свойствами пределов, первым замечательным пределом = 0 a (правило 4.) и одной из форм второго замечательного предела: = l a 0 (правило 4.). Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов 6

27 0 5 ( ) ( ) l l = = = l si 7 7si Ответ: 5 = l si Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов 7

28 . Найти предел Варианты контрольных заданий Вариант ( + ) ) ; ) 0; ) ; 4) -.. Найти предел 0 9+ ) ; ) ; ) ; 4) 6.. Найти предел [ ] ( + ) l( ) l( + ) ) 4; ) ; ) - ; 4) Найти предел ) 4; ) ; ) -; 4). 5. Найти предел ) 5 ; ) 0; ) ; 4). 6. Найти предел 0 cos si ) ; ) 9 ; ) 0; 4) -. 4 Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов 8

29 Вариант. Найти предел ) 0 ) 4 ; 5 ) ; 4).. Найти предел si 0 cos cos ) ; ) ; ) ; 4) 0.. Найти предел ) ; ) -; ) ; 4) Найти предел ( + + ) ) ; ) ; ) ; 4) Найти предел 0 ) ; ) 0; ) ( + si ) ctg 9 e ; 4) 9 e ; 6. Найти предел ) 0; ) ; ) ; 4) 8. Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов 9

30 Вариант. Найти предел 4 ) ; ) ; ) ; 4).. Найти предел si π π ) 0; π ) ; π ) ; 4) π.. Найти предел ) e ; ) 4. Найти предел e ; ) ; 4) + 6 e. ) ; ) 0; ) 5 ; 4). 5. Найти предел ( + ) ) ; ) ; ) ; 4) Найти предел ) ; ) 0; ) ; 4). 5 Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов 0

31 Вариант 4. Найти предел 0 + ) ; ) 0; ) ; 4).. Найти предел ) 0; ) ; ). Найти предел + ( + ) + ; 4) -. ( + 7 ) ) 0; ) ; ) 7 ; 4). 4. Найти предел ) ; ) ; ) 9 7 ; 4) Найти предел ) ; ) 6. Найти предел π ( ) tg π ; ) -; 4) 0. ( + si ) 0 cos ec ) e; ) ; ) e ; 4) e. Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов

32 Вариант 5. Найти предел ) e ; ) 0 e ; ) e ; 4).. Найти предел + ( + ) ) 0; ) ; ) ; 4) -.. Найти предел ( 5 ) ) 0; ) -; ) ; 4). 4. Найти предел 4 8 ) ; ) ; ) 7 ; 4) Найти предел si 0 sec ) ; ) ; ) 4; 4) Найти предел 0 4+ ) ; ) -; ) 0; 4) 4. Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов

33 . Найти предел Вариант ) -; ) ; ) ; 4).. Найти предел ) 4 4 ; ) 0; ) ; 4).. Найти предел + + ) ; ) 0; ) ; 4) 8; 4. Найти предел + ) ; ) 0; ) ; 4). 5. Найти предел ctg ctg( π ) 0 ) 0; ) ; ) 6. Найти предел ; 4). ( 5+ 6 ) ) ; ) ; ) 5 5 ; 4). Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов

34 . Найти предел ) π ; ). Найти предел Вариант 7 siπ π ; ) π ; 4) π. ( ) ) ; ) 0; ) ; 4).. Найти предел [ ] ( 4) l( ) l(5 ) ) -; ) e ; ) e ; 4). 4. Найти предел + + ) -; ) ; ) ; 4) Найти предел ( 4 + ) 0 ) ; ) -; ) 0; 4). 6. Найти предел + 0 ) ; ) ; ) -; 4) -. Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов 4

35 . Найти предел Вариант ) -4; ) 4; ) 4 ; 4). 4. Найти предел ) ; ) ; ) ( + tg) 0 ctg e ; 4) e.. Найти предел ) ; ) 7 4. Найти предел ; ) 5 ; 4) 4 5. ( + a ) ) 0; ) -; ) a ; 4). 5. Найти предел ) ; ) ; ) 4 ; 4) Найти предел 0 cos ) ; ) ; ) ; 4) 4. Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов 5

36 . Найти предел Вариант ) 4 ; ) 4 ; ) ; 4). 5. Найти предел 0 + ) 0; ) ; ) ; 4) -.. Найти предел ( + ) ) 0; ) ; ) ; 4). 4. Найти предел ) ; ) ; ) 0; 4). 5. Найти предел ) ; ) 6. Найти предел 0 cos ; ) 0; 4). + ) e ; ) ; ) ; 4) 0. e Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов 6

37 Вариант 0. Найти предел ) ; ) ; ) ; 4) 0.. Найти предел ( + ) ) ; ) ; ) 0; 4) -.. Найти предел ) 0; ) ; ) ; 4) Найти предел + p p 0 + q q q ) p ; ) p ; ) ; 4) p. q 5. Найти предел z ( ztg ) z ) ; π ) ; ) π ; 4) Найти предел { [ l( + ) l ] } ) e ; ) ; ) ; 4). Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов 7

38 Вариант. Найти предел ) -; ) ; ) ; 4) 0.. Найти предел ) ; ) -5; ) ; 4) 0.. Найти предел ) 4 + ; ) ; ) ; 4) Найти предел Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов ) 0; ) ; ) ; 4) Найти предел ) 6. Найти предел cos si( ) π π ; ) 0; ) ; 4). ) ; ) e ; ) + + e ; 4) e.

39 Вариант. Найти предел ) ; ) ; ) ; 4) Найти предел ) 5 ; ) ; ) 5 ; 4) 5.. Найти предел ) ; ) ; ) 0; 4) Найти предел a+ a 0 si( ) si( ) ) ; ) 0; ) cosa ; 4). 5. Найти предел ( ) ) ; ) ; ) -; 4) Найти предел ) e ; ) ( + cos ) π e ; ) sec e ; 4). Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов 9

40 . Найти предел Вариант u ) ; ) ; ). Найти предел u + 4u + 4u u u 6 ; 4) 0. + ) 0; ) -; ) ; 4).. Найти предел ) -; ) 0; ) ; 4). 4. Найти предел ) 0; ) tg si 0 ; ) ; 4). 5. Найти предел ) l( a + ) 0 a e ; ) а; ) a ; 4) a. 6. Найти предел ( + 5 ) ) 5 ; ) ; ) -5; 4) 5. Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов 40

41 Вариант 4. Найти предел ) ; ) 0 ( a+ ) a a ; ) 0; 4).. Найти предел ) 0; ) -; ) ; 4).. Найти предел ) ; ) -; ) е; 4). 4. Найти предел ) ; ) ; ) -; 4) Найти предел ) 0; ) si cos cos π 4 ; ) ; 4). 6. Найти предел ) ( ) ; ) 0; ) ; 4) -. Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов 4

42 Вариант 5. Найти предел ) ; ) ; ) 0; 4) -.. Найти предел + + ) ; ) ; ) ; 4) 0.. Найти предел ) 0; ) 0 + ; ) -; 4). 4. Найти предел + ) е; ) 0; ) ; 4). 5. Найти предел π ( tg ) cos π ) ; ) -; ) ; 4) Найти предел ( ) ) ; ) -,75; ) 0; 4),75. Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов 4

43 Вариант 6. Найти предел ( 4+ )si( ) ( ) ) ; ) 0; ) -; 4).. Найти предел + 5+ ) ; ) 4; ) 0; 4).. Найти предел (+ ) + + ) ; ) ; ) ; 4). 4. Найти предел ) ; ) ; ) 0; 4) Найти предел ) ; ) + e ; ) ; 4) e. 6. Найти предел ( + ) ) ; ) ; ) 0; 4) -. Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов 4

44 . Найти предел ) ; ) 0; ). Найти предел 7 ) ; ) ; 4) 60 Вариант ; ) 4 7 ; 4) 7.. Найти предел 5 ) e 9 ; ) ) 0 ctg ( + si 5 ) 50 9 e ; 4) e Найти предел ( ) ) ; ) - ; ) 0; 4) Найти предел ) ; ) 0; ) ; 4) Найти предел 0 arcsi cos4 ) ; ) 4 ; ) 0; 4) 9 8 Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов 44

45 . Найти предел ) 0; ). Найти предел Вариант 8 + ; ) ; 4) ) 6 5 ; ) ; ) 5 6 ; 4) 0. Найти предел 4 ) e 5 ; ) ; ) e ; 4) 4 e 5 4. Найти предел ) ( 4+ 4 ) ; ) 0; ) 4 4 ; 4) 5. Найти предел ) 0; ) 4 ; ) ; 4) Найти предел arctg ( ) 0 l( + 4 ) ) 0; ) 0,5; ) ; 4) - Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов 45

46 Вариант 9. Найти предел ) ; ) ; ) 0; 4). Найти предел ( ) + ( + ) ( ) ( + ) ) 0; ) -; ) ; 4) 9. Найти предел ) 4 ; ) 4; ) ; 4) Найти предел ( ) ) ; ) -; ) 0; 4) 5. Найти предел si 0 cos ) 4; ) ; ) 0,5 ; 4) 6. Найти предел ) е; ) e ; ) e ; ) + Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов 46

47 . Найти предел ) -5; ) Вариант ; ) ; 4) 0. Найти предел (+ )! + (+ )! ( + )! ) ; ) ; ) 0; 4). Найти предел ) ; ) 0; ) e ; 0 4) е Найти предел ) ; ) 0; ) -; 4) Найти предел l( + ) 0 + ) -; ) 0; ) ; 4) 4 6. Найти предел 4 4 ( + ) ) 0; ) ; ) 5; 4) Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов 47

48 Список использованной литературы. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. 4-е изд., стереотипное СПб.: Издательство «Лань», с.. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. -е изд., испр. М.: Наука. Гл. ред. физ.- мат. лит., с.. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. часть. 5-е изд. М.: Айрис-пресс, с. 4. Задачник-практикум по высшей математике: Множества. Функции. Предел. Непрерывность. Производная. Учеб. пособие / Под ред. В.А. Волкова. Л.: Издательство Ленинградского университета, с. 5. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. 4-е изд. М.: Высшая школа, с. Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов 48

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Тема ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Число А называется пределом функции у=f), при х стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого числа ε>, найдется такое положительное числоs, что при всех >S, выполняется

Подробнее

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и Студент должен знать: определение предела функции; свойства пределов; понятие бесконечно малых функций; понятие ограниченных и бесконечно больших функций; определение непрерывности функции в точке; сравнение

Подробнее

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики ФУНКЦИЯ И ЕЕ

Подробнее

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ВАСИЛЬЕВ ВВ, ЛАНОВАЯ АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ Методическое пособие для студентов вузов

ПРЕДЕЛЫ Методическое пособие для студентов вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики и кибернетики Кафедра теории вероятностей и математической статистики ПРЕДЕЛЫ Методическое

Подробнее

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

Подробнее

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли . Предел функции. Актуальность изучения темы Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе, позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении аргумента. С помощью

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии. ЛЕКЦИЯ Числовые последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Основные свойства бесконечно малых последовательностей Числовые последовательности Если каждому из множества

Подробнее

ограниченные последовательности сходящиеся последовательности ательнос

ограниченные последовательности сходящиеся последовательности ательнос ограниченные последовательности Вычисление пределов числовых последовательностей Рассмотренные нами вопросы о числовых последовательностях содержат основные понятия и некоторые сведения о структуре множества

Подробнее

ПОДГОТОВКА К ТЕСТИРОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПОДГОТОВКА К ТЕСТИРОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ РОСЖЕЛДОР Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Ростовский государственный университет путей сообщения» ФГБОУ ВО РГУПС ЕВ Пиневич, ВА Липович, ИС Стасюк

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

ПРАКТИКА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ

ПРАКТИКА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство сельского хозяйства Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанская государственная академия ветеринарной

Подробнее

Тема: Пределы. Краткие теоретические сведения. Непосредственное вычисление пределов.

Тема: Пределы. Краткие теоретические сведения. Непосредственное вычисление пределов. Тема: Пределы Краткие теоретические сведения Непосредственное вычисление пределов si Первый замечательный предел: Второй замечательный предел: ( ) 5 5 5 9 si si cos cos si si 5 5 9 6 6 6 8 8 si si 5 5

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ 09.03.2013 Предел функции Математический анализ (лекция 4) 09.03.2013 2 / 49 Предел функции Определение Число A называется пределом функции y = f (x) при x, стремящемся к бесконечности,

Подробнее

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА

Министерство образования и науки Российской Федерации. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА Г.Г. Литова, Д.Ю. Ханукаева ПРЕДЕЛЫ Пособие для студентов, обучающихся по специальности

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Ответы к заданию

Ответы к заданию Ответы к заданию.. понятия одного аргумента.. Основные элементарные.. элементарных функций.4. предела f в точке. х Х Если каждому элементу х из множества Х поставлен в соответствие определенный элемент

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов

Сборник задач для самостоятельного решения по теме Предел функции Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов ББК В 65я73-4 С 3 УДК 57 Учебное издание Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: АН Максименко, АН Морозов Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Предел и непрерывность функции одной переменной

Предел и непрерывность функции одной переменной Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии МЕЧанга Предел и непрерывность функции одной переменной Рекомендовано учебно-методическим

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»

Федеральное агентство по образованию. Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Методы вычисления пределов Методические указания к решению задач Санкт-Петербург Издательство

Подробнее

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 7 Предел функции СОДЕРЖАНИЕ: Предел функции в точке Предел функции на бесконечности Основные теоремы о пределах функций Бесконечно

Подробнее

Методические рекомендации по решению задач на тему «пределы функции» для студентов специальности «Производство летательных аппаратов»

Методические рекомендации по решению задач на тему «пределы функции» для студентов специальности «Производство летательных аппаратов» Государственное бюджетное профессиональное учреждение Московской области «Авиационный техникум имени В.А. Казакова» Рассмотрено на заседании предметной цикловой комиссии «Общеобразовательных, математических

Подробнее

Введение в математический анализ. Теория пределов

Введение в математический анализ. Теория пределов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007 I вариант 8В класс, 4 октября 007 1 Вставьте пропущенные слова: Определение 1 Арифметическим квадратным корнем из число, которого равен a из числа a (a 0) обозначается так: выражением Действие нахождения

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

Повторение Алгебра 7 8. Вопросы. 1. Раскрытие скобок 2. Умножение многочленов. 3. График линейной функции. 4. Разложение многочлена на множители. 5.

Повторение Алгебра 7 8. Вопросы. 1. Раскрытие скобок 2. Умножение многочленов. 3. График линейной функции. 4. Разложение многочлена на множители. 5. Повторение Алгебра 7 8. Вопросы.. Раскрытие скобок. Умножение многочленов.. График линейной функции. 4. Разложение многочлена на множители. 5. Свойство степени с натуральным показателем. 6. Формулы сокращенного

Подробнее

Тема: Предел функции. Свойства пределов 1. Предел функции

Тема: Предел функции. Свойства пределов 1. Предел функции Тема: Предел функции. Свойства пределов 1. Предел функции Пусть f(x) функция, определенная на множестве Х; А и а числа. Опр. Число А называется пределом функции f(x) при xa, если >0 такая -окрестность

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ СПО «ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Практическое пособие по изучению раздела

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ СПО «ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Практическое пособие по изучению раздела ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ СПО «ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Практическое пособие по изучению раздела Теория пределов Составила: Миргородская Ирина Николаевна,

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ Найти область определения D и множество значений Е функции y Р е ш е н и е Функция y определена если те если Поэтому областью определения функции является множество f ; D R Поскольку

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Пензенский государственный университет Физико-математический факультет «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение уравнений. Треугольники Задание 1 для

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В.Н.Думачев С.А.Телкова МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие Воронеж - 06 ББК. Д8 Рассмотрено и одобрен на заседании кафедры математики и моделирования систем. Протокол от.09.06. Рассмотрен

Подробнее

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim Òåîðåìû î ïðåäåëàõ Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Основные теоремы о пределах. Предел числовой последовательности. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Экспонента. Натуральный логарифм.

Подробнее

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова, В.М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ

Подробнее

Образовательный портал «Физ/Мат класс» МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ

Образовательный портал «Физ/Мат класс» МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ wwwfmclassru МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ Анализ величин, использование формул а) Сравните числа 6 6 и 5 7 5 4 8 6 б) Сравните числа ( + )( + )( + )( + )( + ) и 999 999 999 в) Сравните числа si0 cos0 и si 40

Подробнее

Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè

Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Знакочередующийся ряд. Признак сходимости Лейбница. Знакопеременный ряд. Абсолютная и условная сходимости. Общий комплексный ряд. Теорема

Подробнее

Пределы. Решение контрольной работы

Пределы. Решение контрольной работы Пределы. Решение контрольной работы Нахождение предела по определению Задача. Доказать, что a a 5 + 5, 5 a a (указать N(ε)) Нужно показать, что для любого ε > найдется такое N ( ε ), что для всех a > N

Подробнее

Глава 2. Пределы функций одной переменной.

Глава 2. Пределы функций одной переменной. Глава Пределы функций одной переменной Предел переменной величины Определение Постоянное число а называется пределом переменной величины х, если для каждого наперед заданного числа ε > можно указать такое

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов ПРЕДЕЛЫ

Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов ПРЕДЕЛЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература...

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература... ОГЛАВЛЕНИЕ Введение................................................ 3 Глава. Неопределенный интеграл.......................... 6.. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла........................

Подробнее

Математика 8 класс Многочлены

Математика 8 класс Многочлены МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Подробнее

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова Высшая математика IV САМОУЧИТЕЛЬ

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Министерство образования и науки Российской Федерации Курганский государственный университет Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Подробнее

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Действия с дробями: Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Домашнее задание. «Преобразования степенны и иррациональны выражений. Вычисление значений числовы выражений» Формулы

Подробнее

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел 1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел (1) следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого задается как функция

Подробнее

Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения. Метод прямого перебора Пример. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 8 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение.

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции»

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции» МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Подробнее

Лекция 1.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними

Лекция 1.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними Лекция.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними Аннотация: В лекции указывается на необходимость обобщения понятия числа от натурального до комплексного. Вводятся алгебраическая,

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАШИНОСТРОЕНИЯ ИИ Поспелов,

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л. И. Магазинников, А. Л. Магазинников ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Дифференциальное

Подробнее

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие 57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов Методические указания к изучению темы «Неопределенный интеграл» (для студентов

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия 35 Глава 2 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1 Основные понятия Пусть D некоторое множество чисел Если задан закон, по которому каждому числу из множества D ставится в

Подробнее

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция. Понятие множества. Определение функции основные свойства. Основные элементарные функции СОДЕРЖАНИЕ: Элементы теории множеств Множество вещественных чисел Числовая

Подробнее

Экзаменационный билет 2

Экзаменационный билет 2 Экзаменационный билет 1 1. Преобразование обычных дробей в десятичные и наоборот. Действия с дробями. 2. Определение функции. Способы задания, область определения, область значений функции. 2 x 1 x x 1

Подробнее

Теория пределов: упражнения и примеры

Теория пределов: упражнения и примеры Теория пределов: упражнения и примеры Методическое пособие для факультетов менеджмента, политологии и социологии П.А.Панов Государственный Университет Высшая школа экономики Январь 00 Что такое предел

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

1.4. Предел функции Нахождение предела функции с использованием замечательных

1.4. Предел функции Нахождение предела функции с использованием замечательных 1.4. Предел функции 4.1. Нахождение предела функции с использованием замечательных пределов. ТЕОРИЯ Определение предельной точки. Точку p R называют предельной точкой (или точкой сгущения) множества X

Подробнее

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва Лекция 4 Непрерывность функции Классификация точек разрыва Аннотация: Рассматриваются свойства функции, непрерывной на отрезке Приводится пример использования этих свойств при решении нелинейных уравнений

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Методические указания для студентов заочной формы обучения. Составители М.В. Зголич

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Методические указания для студентов заочной формы обучения. Составители М.В. Зголич Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

Рецензенты Доктор ф.-м. наук, профессор Т.Г. Сукачёва Канд. ф.-м. наук, доцент А.В. Ласунский

Рецензенты Доктор ф.-м. наук, профессор Т.Г. Сукачёва Канд. ф.-м. наук, доцент А.В. Ласунский Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

5. Предел функции. ( ε > 0 δ > 0 x (a δ, a + δ), x a) f(x) l < ε. или так:

5. Предел функции. ( ε > 0 δ > 0 x (a δ, a + δ), x a) f(x) l < ε. или так: 5. Предел функции Определение. Точку p R называют предельной точкой (или точкой сгущения) множества X R, для любого r > 0 существует отличная от p точка x X такая, что x p < r. Говорят, что + (соответственно

Подробнее