Методические указания к решению задач на интегралы с параметром. Учебно-методическое пособие

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Методические указания к решению задач на интегралы с параметром. Учебно-методическое пособие"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского Методические указания к решению задач на интегралы с параметром Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией ИИТММ для студентов ННГУ, обучающихся по направлению подготовки «Прикладная математика и информатика» Нижний Новгород 6

2 УДК (77) ББК В6р М-5 М-5 Методические указания для решения задач на интегралы с параметром Составители: Калашников АЛ, Потёмин ГВ, Филиппов ВН Учебно-методическое пособие Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 6 5 с Рецензент: кф-мн, доцент Галкин ОЕ В пособии приведены методические указания для решения задач по курсу "Математический анализ" и теме Интегралы от параметра На примерах продемонстрированы различные приёмы вычисления собственных и несобственных интегралов, зависящих от параметра Представлены способы вычисления и исследования сходимости этих интегралов Пособие будет полезно при проведении практических занятий, коллоквиумов по математическому анализу и для самостоятельной работы студентов ИИТММ ННГУ УДК (77) ББК В6р

3 ОГЛАВЛЕНИЕ стр ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ С ПАРАМЕТРОМ5 Существование и непрерывность 5 Дифференцируемость собственного интеграла с параметром6 Интегрирование собственного интеграла по параметру8 Собственный интеграл с пределами от параметра 9 ГЛАВА НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА С ПАРАМЕТРОМ Равномерная сходимость несобственных интегралов -го рода с параметром Непрерывность несобственного интеграла -го рода с параметром9 Дифференцируемость несобственного интеграла -го рода с параметром Интегрируемость несобственного интеграла -го рода с параметром ГЛАВА НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА С ПАРАМЕТРОМ Равномерная сходимость несобственного интеграла -го рода с параметром Непрерывность несобственного интеграла -го рода с параметром Дифференцируемость несобственного интеграла -го рода с параметром Интегрируемость несобственного интеграла -го рода с параметром ГЛАВА ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ6 Бета-функция 6 Гамма-функция8 ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ЛИТЕРАТУРА 5

4 ВВЕДЕНИЕ Пособие составлено на основе опыта проведения практических занятий и лекций по математическому анализу на ИИТММ ННГУ и посвящено теме Интегралы, зависящие от параметра Материал разбит на четыре главы Глава посвящена собственным интегралам, зависящим от параметра, и их свойствам В главе приведено основное понятие для изучения несобственных интегралов, зависящих от параметра понятие равномерной сходимости На его основе приведены условия непрерывности, дифференцируемости, интегрируемости несобственных интегралов -го рода, зависящих от параметра В главе рассмотрены аналогичные условия для несобственных интегралов -го рода Глава посвящена двум важным для анализа интегралам, зависящим от параметра эйлеровым интегралам -го и -го рода Эти две специальные функции носят название: гамма-функция Эйлера и бета-функция Эйлера В конце пособия приведены задачи для самостоятельного решения по разобранным темам предыдущих глав и список литературы Во всех главах имеются необходимые теоретические сведения и примеры с решениями Учебно-методическое пособие будет полезно при проведении практических занятий, коллоквиумов по математическому анализу и для самостоятельной работы студентов ИИТММ ННГУ

5 ГЛАВА СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ С ПАРАМЕТРОМ Пусть в прямоугольнике P [, c, определена функция f (, интегрируемая на [, ] для всех [ c,, то есть существует интеграл f (, d Тогда функция I ( f (, d называется интегралом от параметра Отметим, что отрезок [ c, может быть и неограниченным, а f (, может быть задана и на P( [ (, ( c,, где (, ( ( есть некоторые функции, определенные на [ c, Тогда I ( f (, d ( Существование и непрерывность Теорема (существование I ( ) Если f (, непрерывна на P ( по переменной, то существует 5 ( I ( f (, d ( Следствие Если f (, непрерывна на [, c,, то существует I ( f (, d Определение Пусть f (, определена на [, c,, [ c, и ) существует функция p( ) lim f (, при всех [, ] ) для, ( ), что для [, ] и f (, p( ) Тогда говорят, что f (, p( ) при равномерно по [, ], а p () равномерный предел для f (, на [, ] Теорема Для равномерной сходимости f (, при к предельной функции p () необходимо и достаточно, чтобы для n последовательность fn ( ) f (, n) p( ) на [, ] равномерно Замечание Здесь в теореме сформулировано определение равномерной сходимости f (, к p () по Гейне, а в определении по Коши Теорема ( достаточные условия) Если f (, непрерывна на [, c,, то при на [, ] имеем: f (, f (, ) p( )

6 Теорема Если f (, p( ) при на [, ] и существу- ют Следствие Если f (, непрерывна на [, c,, то по непрерывен f (, d и p ( ) d, то существует lim f (, d p( ) d I ( f (, d, что означает существование lim I( lim f (, d f (, ) d Пример Исследовать на непрерывность, где (, [,,] I ( d при Решение Здесь f ( ) непрерывна на [,,] Тогда по следствию существует и непрерывен I ( Отсюда lim I( lim d d d =I() d Пример Найти lim Решение Здесь параметр и f (, и всюду непре- рывна Поэтому d I ( существует и по следствию имеем lim I( lim d d rctg Дифференцируемость собственного интеграла с параметром Теорема 5 (правило Лейбница) Пусть ) f (, определена и непрерывна в [, c, ) существует f (, непрерывная в [, c, Тогда на [ c, существует непрерывная I ( f (, d 6

7 d Пример Исследовать I ( на дифференцируемость Решение Так как f (, определена и непрерывна везде, то интеграл I ( будет непрерывен для всех Производная f (, тоже непрерывна для всех, ( ) и по теореме 5 d I ( d ( ) При замене t I (, получаем значение dt t t Пример Вычислить ) lnsin cos Решение Очевидно I ( d при sin cos I( ) ln d lnd cos и f (, ) непрерывны для sin cos, и Тогда по правилу Лейбница существует Здесь f (, ) lnsin cos Используя замену cos d I ( ) sin cos t tg находим для t I ( ) dt dt t t t rctg rctg t t 7

8 Отсюда I( ) d ln( ) c Поскольку I () непрерывна для и I ( ), то имеем: I( ) ln( ) c Отсюда число c ln Окончательно получаем I ( ) ln ln Пример 5 С помощью дифференцирования по параметру интеграла d d I ( ), вычислить Решение Очевидно, здесь выполнены все условия непрерывности и дифференцируемости интеграла по параметру, так как f (, ) и f (, ) непрерывны для и [,] Тогда rctg d I ( ) rctg Здесь d Тогда получаем I() d c rctg Производная, как легко проверить, равна rctg rctg I ( ) α α rctg I ( ) d Интегрирование собственного интеграла по параметру Теорема 6 (интегрирование по параметру) Для f (, непрерывной в d c [, c, существует d f (, d I( d d f (, d, что означает перестановку порядка интегрирования в повторных интегралах d c d c 8

9 Пример 6 Вычислить d I ln c d при c d Решение Рассмотрим функцию f (, Эта функция непрерывна в прямоугольнике [, c, В этом случае возможно применить смену порядка интегрирования по теореме 6 (интегрирование по параметру) Тогда d d d d c dd d d I, поскольку d Но интеграл c c ln c d Поэтому Отсюда d d d d d d d ln( ) ln c c c c d I ln (теорема 6 помогает вычислить интеграл от параметра) c Собственный интеграл с пределами от параметра Рассмотрим ( I ( f (, d с (, ( от [ c, ( Теорема 7 (о непрерывности I ( Пусть f (, определена и непрерывна в [, c,, а функции (, ( непрерывны в [ c, и при всех [ c, значения (, ( [, ] Тогда I ( непрерывен на [ c, : ( ( lim f (, d f (, ) d I( ) ( для всех [ c, Пример 7 Используя непрерывность интеграла от параметра, найти ( 9 ) ) lim d Решение Здесь f (,, а (, ( непрерывны по, везде Тогда из непрерывности I ( (по теореме 7), получаем существование lim d d d (см пример )

10 Пример 8 Найти предел Решение Здесь f (, не- прерывны для всех lim lim (, d ( и, Тогда по теореме 7 получаем d d rctg Теорема 8 (дифференцируемость I ( ) Пусть ) f (, определена и непрерывна в [, c, ) существует f (, непрерывная в [, c, rctg rctg rctg ) функции (, ( определены и непрерывно дифференцируемы в [ c, и (, ( [, ] Тогда существует I ( непрерывная в [ c, и I( ( (, f f (, d ( f, Пример 9 Найти I (, если I( d Решение Здесь все условия теоремы 8 выполнены Тогда по формуле дифференцирования при f d I(, (,, а ( ), ( ), (, ( Пример Найти I (, если I( sh( d sin cos Решение Здесь условия теоремы 8 выполнены и по формуле дифференцирования получаем Здесь I( cos sh ) sin sin sin sh cos cos ch( ) d ( cos, ( sin и f (, sh( ), (, ch( ) f

11 ГЛАВА НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА С ПАРАМЕТРОМ Рассмотрим интегралы с параметром на бесконечном отрезке интегрирования: несобственные интегралы от параметра -го рода Определение Пусть на [, c, определена функция f (, и для всех [ c, существует I ( f (, d Тогда I ( называется несобственным интегралом от параметра -го рода При этом говорят, что I ( сходится на [ c, Замечание Отрезок [ c, может быть и неограниченным, а пределы интегрирования могут быть В исследовании сходимости I ( используем признаки сходимости для несобственного интеграла -го рода без параметра, а для непрерывности, дифференцируемости, интегрируемости интеграла от параметра вводится равномерная сходимость I ( Равномерная сходимость несобственных интегралов -го рода с параметром Определение I ( f (, d называется равномерно сходящимся на [ c,, если ) I ( сходится на [ c, ) для всякого где существует, что для всех [ c, верно неравенство f (, f (, d Последнее неравенство эквивалентно следующим: R ( A,, I ( F( A,, A A A A и всех R ( A, f (, d, F ( A, f (, d Здесь R ( A, остаток интеграла I ( В этом случае равномерная сходимость I ( означает равномерную сходимость R ( A,, F( A, I( при A для всех [ c, Понятие равномерной сходимости здесь аналогично как и для собственного интеграла от параметра (см определение )

12 d Пример Исследовать I( на равномерную сходимость, где [,] Решение Рассмотрим остаток R ( A, Очевидно d d R( A, rctg rctga A A A Таким образом, для всех A и всех [,] верно неравенство R( A, rctga Тогда для при rctga получаем R ( A, Здесь при rctga и для A m(, tg ) выполнено определения равномерной сходимости I ( Замечание Сходимость R ( A, при A является необходимым и достаточным условием равномерной сходимости I ( Теорема 9 Для равномерной сходимости сходящегося I ( на [ c, необходимо и достаточно, чтобы P ( A) при A, где P( A) sup R( A, по [ c, Тогда R ( A, при A Теорема Для равномерной сходимости сходящегося I ( достаточно, чтобы существовала функция C( A) R( A, для всех A и [ c, для которой lim C( A) A Замечание Отметим, что теоремы 9 и и определения, легко переформулировать и для f (, d, а также f (, d Пример Исследовать e d I( на равномерную сходимость на а) E [ q, ], где q, б) E (, ) Решение Очевидно, остаток A Aq e e e R ( A, e d C(A) q A A и C ( A) при A Тогда по теореме получаем в случае а) равномерную сходимость I ( на E [ q, ] Если же E (, ), то P( A) sup [, ) R( A, sup [, ) e A

13 для любого числа A Следовательно, P (A) не стремится к при A и в случае б) I ( сходится неравномерно на E (, ) Замечание 5 Отрицание равномерной сходимости I ( означает: такое, что для [, ) существуют [ c, и Q [, ) f, d ( I ( сходится неравномерно на [ c, ) такие, что Q Пример Исследовать на равномерную сходимость I( e d при Решение Применим отрицание равномерной сходимости Очевидно, I ( ) и I ( сходится для всех, что легко проверить При замене t остаток t A R ( A, e d e dt e Тогда для всех существует A A f d, для которого, e e R, при, 5 e Отсюда на основе замечания 5 интеграл I ( сходится неравномерно Приведём критерий Коши равномерной сходимости Теорема Для равномерной сходимости I ( f (, d необходимо и достаточно, чтобы для всякого что для всех существовало A, и всех [ c, будет f (, d A такое, Пример Исследовать по критерию Коши интеграл примера Решение Здесь I( e d Рассмотрим случай а), когда множество E [ q, ] Тогда [ q, ), где q и A e e e d для A

14 A, Очевидно, e e e d для A Выби- q рая A q A e q из неравенства q, получаем Например, ( ) m(, q ln q ) q =p(ε) p Тогда e d e q A при выполнен критерий Коши, по которому I ( сходится равномерно В случае б) при (, ) имеем всякого, полагая A, и при e A d e A e d e, получаем e e A A, и Тогда для e e Следовательно, при получаем отрицание крите- рия Коши, а значит неравномерную сходимость e d при Приведем достаточные условия равномерной сходимости I ( Теорема (признак Вейерштрасса) Пусть f (, определена в [,, c, и A ) существует f (, d для всех A и [ c, ) f (, p( ) для всех (, [,, c, ) Тогда p ( ) d сходится f (, d сходится абсолютно и равномерно на [ c, Пример 5 Интеграл равномерную сходимость sin I ( ) d при исследовать на

15 Решение Поскольку для,, а ин- d теграл sin, что означает его сходимость, то при p ( ) применяем признак Вейерштрасса Тогда по этому признаку интеграл I ( равномерно сходится для Пример 6 Исследовать на равномерную сходимость ln I ( ) d при [,] ln Решение Поскольку верна оценка d ln ln и интеграл сходится по предельному признаку (ибо для ln f и f ( ) ln d g( ) имеем lim lim, а g( ) сходится, то сходится и ln f ( ) d ) Полагая p( ), получаем по признаку Вейерштрасса равномерную сходимость I () при [,] Теорема (признак Дирихле) Пусть функции f (,, g (, определены на [,, c, и выполнены условия: ) f (,, g (, непрерывны на [,, c, ) F (, f (, d равномерно ограничена для всех и всех [ c, (существует число C, для которого F(, C ) ) функция g(, для всех [ c, монотонна по и g (, равномерно при и [ c, Тогда интеграл f (, g(, d сходится равномерно на [ c, Замечание 6 Условие ) в частности проверяется по знаку g (, Так если g (,, то g (, убывает по, а при g (, функция g (, возрастает по Равномерная сходимость g (, при и [ c, проверяется аналогично как и равномерная сходимость остатка 5

16 R ( A, (см замечание ) В частности g (, при, если g(, P( ) для всех, [ c, и p ( ) при Следствие Пусть f (,, g (, определены на [,, c, и ) f (,, g (, непрерывны на [,, c, ) g (, непрерывна и знакоопределена ) f (, d C для некоторой C и всех и [ c, ) g (, при и [ c, Тогда интеграл f (, g(, d равномерно сходится на [ c, sin Пример 7 Исследовать I ( d на равномерную сходимость при [, ], где Решение Введем функции f (, sin( и g( ) Очевидно g ( ) при и g ( ) Кроме того, для функции cos F(, ) sin d Верна оценка: F(, Тогда по следствию получаем равномерную сходимость для всех [, ] интеграла sin d f (, g(, d Пример 8 Исследовать на равномерную сходимость интеграл cos d при (, ] Решение Применим здесь признак Дирихле Для этого введем функции f (, cos( и g(, Проверим выполнение условий теоремы Очевидно, функция g (, монотонна по (убывает по ) при каждом [, ] В частности, это легко проверить по знаку g (, рав- 6

17 ной (, g Кроме того, g(, при [, ) и (, ) Действительно, поскольку, то для имеем Функция при Поэтому по замечанию 6 получаем g (, при и всех (, ) Далее cos d sin sin при (, ) и Итак, здесь выполнены условия признака Дирихле и, таким образом, интеграл d сходится равномерно cos Теорема (признак Абеля) Пусть функции f (,, g (, определены и непрерывны на [,, c, и ) f (, d сходится равномерно по [ c, ) функция g (, ограничена на [,, c, и монотонна по для любого [ c, Тогда f (, g(, d сходится равномерно по [ c, Замечание 7 Вместо отрезка [ c, можно рассматривать любое числовое множество E, а монотонность g (, по для всех [ c, при существования g (, можно проверить по ее знаку Так, если производная g (,, то g (, ) возрастает, а при g (, убывает по cos Пример 9 Показать, что rctg( d сходится равномерно на [,] Решение Здесь удобнее применить признак Абеля Действительно, rctg( если положить f (, cos, а g(,, то неравенство f (, d cos d 7

18 верно для всех [,] и Но монотонность g (, по не очевидна: поскольку числитель и знаменатель при растут с ростом Поэтому проще использовать признак Абеля, чем Дирихле Для этого переобозначим cos функции под интегралом Введем f (,, а g(, rctg( Функция g (,, очевидно, монотонна по при всех [,], что легко проверить, например, по знаку g (, Здесь g (, и, тем самым, функция g(, возрастает по Рассмотрим f (, d и исследуем его на равномерную сходимость по на [,] Для этого предста- вим cos f (, f( ) g(,, где f( ) cos, а g (, ) Очевидно f (, d cos d для всех и при [,] g (, Здесь при Тогда по замечанию 6 g (, равномерно при для всех [,] Очевидно, g, (, Тем самым g (, ) монотонна по для любого фиксированного [,] Таким образом, выполнены для этот интеграл равномерно сходится Поэтому для f (, d условия признака Дирихле и f (, g(, d выполнены условия признака Абеля и исходный интеграл равномерно сходится 8

19 Непрерывность несобственного интеграла -го рода с параметром Теорема 5 (непрерывность интеграла) Пусть ) f (, определена и непрерывна на [,, c, ) Тогда f (, d сходится равномерно на [ c, I ( f (, d непрерывен на [ c, cos Пример Доказать, что I ( d непрерывен на, cos Решение Поскольку верна оценка, для всех, а d сходится, то по признаку Вейерштрасса I ( сходится равномерно cos Так как f (, непрерывна по, везде, то по теореме 5 получаем непрерывность I ( на, Для исследования на непрерывность часто сужают область параметра, где возможно применить равномерную сходимость и, расширяя ее, получают непрерывность уже во всей области Приведем такие примеры Пример Исследовать интеграл при, I( ) d на непрерывность Решение Здесь непосредственно применить признаки равномерной сходимости затруднительно, хотя подинтегральная функция непрерывна и несложная Пусть q Тогда I () для q будет уже равномерно сходиться по признаку Вейерштрасса, поскольку p( ) q, d а p ( ) d сходится при q (что легко установить по предельному признаку, ибо при и показатель q ) q q q 9

20 Тогда, с учетом непрерывности f (, ), получаем по теореме 5 непрерывность I () для всех q Возьмем любое число Полагая q, получаем q, и, по доказанному, непрерывность для всех q Но q Тогда I () будет непрерывна и в точке Таким образом для всех функция I () непрерывна Отсюда интеграл I () непрерывен для всех cos Пример Исследовать I( d на непрерывность при, Решение Здесь признак Вейерштрасса неприменим, поэтому используем другие признаки, так как исходный интеграл сходится, но не абсолютно (что легко установить по признаку Дирихле при фиксированном ) Пусть cos Представим f (, f( ) g(,, где f ( ) cos, а g(, при Тогда cos sin sin d, а g(,, где при Следовательно, g (, по, и g (, убывает по при фиксированном Отсюда по признаку Дирихле получаем равномерную сходимость интеграла cos cos d, а с учетом непрерывности f (, для,, и непрерывность I ( в области для всех > Рассуждая как в примере, получаем непрерывность I ( во всей области Дифференцируемость несобственного интеграла -го рода с параметром Правило Лейбница о дифференцируемости интеграла по параметру Теорема 6 Пусть f (, и f (, непрерывны в [,, c, и ) I ( f (, d сходится

21 ) f (, d равномерно сходится для всех [ c, Тогда для всех [ c, существует I ( f (, d sin Пример Исследовать на дифференцируемость I( d при Решение Проверим выполнение условий теоремы 6 Очевидно sin sin f (,, f (, ) ( ) непрерывны на [,,] Проверим выполнение остальных условий теоремы 6 Поскольку для [,] имеем, [, ), а sin d сходится, то по признаку Вейерштрасса для несобственного интеграла sin -го рода интеграл d при [,] будет абсолютно сходиться, а значит и сходиться Для производной f (, имеем очевидную оценку: sin d для [,] и [, ) Но сходится Тогда по признаку Вейерштрасса для несобственного интеграла -го рода от параметра получаем равномер- sin ную сходимость d для [,] Отсюда по правилу Лейб- ( ) sin ница существует I( d Поскольку f (, непрерывна и I ( равномерно сходится, то получаем и непрерывность I ( по тео- ( ) реме о непрерывности несобственного интеграла от параметра -го рода Замечание 8 Условия теоремы 6 о дифференцируемости интеграла от параметра (правило Лейбница) с применением теоремы о непрерывности интеграла от параметра устанавливают и непрерывность I (, поскольку

22 в теореме 6 I ( равномерно сходится, а производная f (, непрерывна для,,, c, d Пример Доказать, что при, e e I, d ln Решение Покажем сходимость интеграла для всех, Действительно, у функции f,, на, нет особых точек, ибо при будет f,, Поэтому имеем здесь несобственный интеграл первого рода для любых фиксированных, Пусть Тогда I и интеграл ( ) ( e ) e ( e ), e d Поскольку lim e ( ) e d, то есть сходится, то по предельному признаку сравне- ния для несобственного интеграла -го рода, получаем сходимость I, при Если же, то, рассуждая аналогично, получаем сходимость I, Если же, то, очевидно, I, Итак, I, сходится при всех, Покажем законность дифференцирования по параметру (правило Лейбница) для несобственного интеграла Интегралы I, f,, d, f,, d e d I e d сходятся равномерно при, по признаку Вейерштрасса, так как e e и e e, а e d сходится Тогда условия тео- То- ремы 6 при, d гда I, ln, I, d ln Найдем функции, При получаем I, I, ln и ln Отсюда для, имеем I, ln ln ln выполнены Но I, и I,

23 Интегрируемость несобственного интеграла -го рода с параметром Теорема 7 Пусть функция (, f непрерывна в, c, d, и I ( f (, d равномерно сходится для всех [ c, Тогда верна формула: d c d I ( d d f (, d d f (, d Пример 5 Вычислить c sin I( ) e d d c, Решение Очевидно, I( ) e cos( t) dt d, поскольку sin e e cos( t) dt Очевидно, f непрерывна на Покажем, что f, t, e cos( t) удовлетворяет условиям теоремы 7 и, следовательно, I() f (, t, ) dt d f (, t, ) d dt e cos( t) d dt,t,,,, где фиксируем, а t параметр Так как для любого интеграл f (, t,) e, t [,], то по признаку Вейерштрасса e e d сходится и cos( t) d сходится равномерно на [,] Интегрируя по частям, получаем e cos( t) d t Отсюда sin dt I( ) e d e costd dt t rctg

24 ГЛАВА НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА С ПАРАМЕТРОМ Здесь рассмотрены интегралы вида I ( f (, d при E, где E некоторое числовое множество, а точка или особые Далее, для определенности, множество E [ c, и особая точка Область сходимости I ( определяются на основе признаков сходимости для несобственного интеграла -го рода без параметра, при этом параметр фиксируется Далее рассмотрим непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость I ( f (, d Здесь важна, как и прежде, равномерная сходимость интеграла Равномерная сходимость несобственного интеграла -го рода с параметром Случай особой точки (опр ) и особой (опр ) Определение I ( f (, d называется равномерно сходящимся для, [, ) [ c, если ) для всякого [ c, существует I ( ) для всякого существует ( ), что для всех, и всех [ c, имеем (A): I ( f (, d Определение I ( f (, d называется равномерно сходящимся для (, ] и [ c,, если ) для всех [ c, существует I ( ) для всякого существует ( ), что для всех при и всех [ c, верно (): I ( f (, d

25 Замечание 9 Неравенство (A) эквивалентно R,, где R, f (, d остаток несобственного интеграла I ( При замене t мы переходим от интеграла -го рода к несобственному интегралу -го рода Тогда I ( f (, d f *( t, dt, где c f *( t, f,, а c и вся теория несобственного интеграла -го рода от параметра может быть применена для исследования ин- t t теграла -го рода Как и в несобственном интеграле -го рода от параметра здесь также имеется критерий Коши равномерной сходимости Теорема 8 (критерий Коши) Пусть f (, интегрируема по на любом отрезке [, ] [, ) в собственном смысле и всех [ c, Тогда для равномерной сходимости интеграла I ( f (, d для всех [ c, необходимо и достаточно, чтобы для всякого числа существовало ( ) с,, и всех [ c, было выполнено неравенство, что для всех f (, d Критерий Коши чаще удобно использовать при доказательстве отсутствия равномерной сходимости В этом случае существует, что для всех с существуют,, и [ c, для которых f (, ) d Пример 6 Исследовать по определению на равномерную сходимость I ( для всех (,) d Решение Очевидно в этой области I ( существует Используем определение равномерной сходимости Пусть, и Тогда I( d для (,) Поскольку lim, то 5

26 какое бы ни подбирали, при имеем I( d c для любого c и не меньше c / Тогда для (,) нет равномерной сходимости Пример 7 Покажем отсутствие равномерной сходимости по критерию Коши для I ( примера 6 Имеем для (,) и,,, равенство: d z Пусть Но lim ln Отсюда lim ln и z z lim Тогда lim ln для любого числа d с, При имеем и будет больше любого Отсюда I ( сходится неравномерно для (,) Теорема 9 Для равномерной сходимости сходящегося I ( на [ c, необходимо и достаточно: остаток R, при равномерно по [ c, Здесь R, означает, что для, ( ), при котором для всех и всех [ c, имеем R, Теорема Для равномерной сходимости сходящегося интеграла I ( f (, d на [ c, необходимо и достаточно, чтобы для функции P sup R, [ c, d ] существовал lim P ( ) d Пример 8 Исследуем I ( при E (,) на равномерную сходимость, используя теорему R, равенство Решение Имеем для остатка 6

27 R, d Тогда P sup для всех (), E () и P () не стремится к Таким образом, здесь нет равномерной сходимости для I ( Следствие Если интеграл I ( сходится на [ c, и P sup R, q( ) [ c, d ] и lim q ( ), то I ( f (, d равномерно сходится на [ c, Пример 9 Используя следствие, доказать равномерную сходимость sin I( d на E [ ] Решение Здесь для R, sin sin / d d / / E, а P sup R, При E d / q( ) имеем q ( ) с и, тем самым, I ( равномерно сходится по следствию Теорема (признак Вейерштрасса) Пусть ) f (, непрерывна на [ ) [ c ) для всех, [, ) [ c, имеем f (, p( ) для некоторой функции p () определенной на [ ) ) Тогда p ( ) d сходится (в собственном или несобственном смысле) f (, d абсолютно и равномерно сходится на [ c, Пример Исследовать по признаку Вейерштрасса равномерную sin( сходимость I( d на [ ] Решение Для функции f (, имеем оценку: 7

28 f (, sin 8 sin d для, Нетрудно установить, что сходится Тогда, вводя p( ), получаем, что I ( абсолютно и равномерно сходится для, по теореме (признак Вейерштрасса) В случаях, когда I ( сходится условно, для исследования на равномерную сходимость применяются признаки Абеля и Дирихле Теорема (признак Дирихле) Пусть ) функции f (,, g (, непрерывны на [ ) [ c ) функция F, f (, d при равномерно ограничена на [ ) [ c ) для любого [ c, функция g (, монотонна по на [ ) и g (, при и [ c, Тогда интеграл f (, g(, d сходится равномерно на [ c, Замечание Равномерная сходимость g (, при и [ c, означает следующее: для всякого числа существует ( ), такое, что при всех и всех [ c, модуль g (, В частности для установления равномерной сходимости g (, можно использовать теоремы, аналогичные теореме и следствию На практике возможны варианты Так, например, если g(, g( ), то есть зависит только от, и в условии ) g ( ) при Монотонность g (, можно проверить, при условии существования g (, по ее знаку Так, если g (, при [, ) и [ c,, то функция g (, убывает по, а при g (, возрастает по На практике так и следует осуществлять эту проверку Пример Исследовать по признаку Дирихле равномерную сходимость ( ) I d при cos( sin,

29 Решение Здесь особая точка, а функция cos( sin P(, знакопеременна Введем f (, sin, g(, cos( Тогда F, sin d sin d cos cos cos для всех, и всех Очевидно, F, cos cos Тем самым F, равномерно ограничена для всех, и и условие признака Дирихле здесь выполнены Условие ) признака Дирихле здесь тоже выполнено, поскольку f (, и g (, непрерывны на,, Проверим выполнение условия ) признака Дирихле для функции g(, cos( Поскольку g(, cos( cos(, то при будет g (, по,, согласно определению (равномерной сходимости функции), что нетрудно проверить, ибо g (, имеет мажоранту : g(, Покажем монотонность функции g (, по Поскольку g (, cos( cos( sin(, то достаточно установить знак производной для монотонности g (, Рассмотрим функцию p( z) cos z z sin z, где аргумент z, Представим ее в виде: p( z) (cos z)( ztgz) Так как z, то tgz Тогда z tgz и z tgz Но cos z для z, Отсюда p ( z) на, Для z при (,) и, имеем, Тогда и g (, возрастает по так как p( cos( sin( g (,, и по признаку Дирихле I ( равномерно сходится на, 9

30 Теорема (признак Абеля) Пусть ) функции f (, и g (, непрерывны на [ ) [ c ) f (, d равномерно сходится на [ c ) g (, ограничена на [ ) [ c и при всех [ c, монотонна по на [ ) Тогда I ( f (, g(, d сходится равномерно на [ c Замечание Так, если f (, f( ) и f ( ) d сходится, то выполнено условие ) Если же g(, g( ) и g ( ) монотонна по и ограничена, то выполнено условие ) При дифференцируемости g (, монотонность g (, можно проверить по знаку производной Так при g (, функция g (, убывает, а при g (, возрастает по при любом [ c, cos cos Пример Исследовать I ( d на равномерную сходимость для [,] Решение Здесь особая точка, а подинтегральная функция cos cos cos (, Введем f (, и g(, cos( Так cos как f (, d, а сходится, то по признаку Вейерштрасса cos (теорема ) получаем равномерную сходимость d Очевидно, g(, cos cos при [,] по [,] и g (, убывает по, поскольку g (, sin на ( ] [ ] Кроме того, (, непрерывна на ( ] [ ] и условия с ) по ) в теореме выполнены Тогда I ( равномерно сходится на [ ]

31 Непрерывность несобственного интеграла -го рода с параметром Теорема (непрерывность I ( ) Пусть ) f (, определена и непрерывна на [ ) [ c ) I ( f (, d равномерно сходится Тогда I ( непрерывен на [ c Пример Показать непрерывность sin d Решение Для любого отрезка [ c функция sin f (, непре- sin рывна на [ ) [ c Исследуем I( d на равномерную сходимость Применим здесь признак Вейерштрасса Очевидно sin sin f (, для, d Но сходится Тогда по теорема I ( сходится абсолютно и равномерно на [ c и по теореме (о непрерывности) получаем непрерыв- ность I ( на [ c, а значит в любой точке, Отсюда I ( будет непрерывен на, sin Пример Исследовать d на непрерывность при, sin Решение Здесь I( d абсолютно сходится по мажорантному признаку для несобственного интеграла -го рода, ибо для sin sin f d (, ) будет f (, Но сходится для всех, Рассмотрим любой отрезок [ c, (,) Отсюда c d и для (, [) [ c получаем

32 Так как d, то d d f (, d сходится Тогда по признаку Вейерштрасса (тео- рема ) с учетом мажоранты p( ) d получаем равномерную сходимость I ( на [ c и по теореме (о непрерывности) I ( будет непрерывен на [ c, (,) Поскольку [ c любой, то получаем непрерывность I ( в любой внутренней точке или непрерывность на, cos sin Пример 5 Исследовать ( ) I d при на непрерывность Решение Здесь функция cos sin f (, для (,] и Точка особая, но f (, непрерывна на ( ] и I ( равномерно сходится по признаку Дирихле (см пример ) Тогда по теореме (о непрерывности) получаем непрерывность I ( на cos cos Пример 6 Исследовать I ( d при [ ] на не- прерывность Решение На основе примера получаем равномерную сходимость интеграла I ( по признаку Абеля Но функция cos cos f (, непрерывна на ( ], где особая точка Тогда по теореме (о непрерывности) ( I непрерывен на

33 Дифференцируемость несобственного интеграла -го рода с параметром Теорема 5 (правило Лейбница) Пусть ) f (, определена и непрерывна в [ ) [ c ) производная f (, непрерывна в [ ) [ c ) I ( f (, d сходится на [ c ) f (, d сходится равномерно на [ c Тогда существует непрерывная I ( f (, d rctg( ) Пример 7 Вычислить I ( ) d rctg( ) Решение Здесь f (, ) и производная f (, ) [ ), Поскольку непрерывны на d и f (, ) сходится, то по признаку Вейерштрасса (теорема ) получаем равномерную сходимость f (, ) d на, и d I f (, ) d по теореме 5 (правило Лейбница) Сделаем в последнем интеграле замену sin t Тогда u ctgt d dt Осуществляя замену sin t, получаем в интеграле, после несложных преобразований, что

34 dt du, sin t u dt ибо du и, а sin t Но du du u rctg, u u где d Отсюда I ( ) и I( ) c Вычисляя I (), получаем, что I( ) ln c Но I ( ) Тогда ln c Отсюда c Окончательно, rctg( ) I ( ) d ln Интегрируемость несобственного интеграла -го рода с параметром Теорема 5 (об интегрируемости) Пусть ) f (, определена и непрерывна в [ ) [ c ) существует I ( f (, d и равномерно сходится Тогда существует Пример 8 Вычислить Решение При замене d c d I ( d d f (, d d f (, d c rctgd I u t имеем d rctg = dt t c для всех и dt I d Покажем, что f (, t) t t удовлетворяет условиям теоремы 5 и можно менять порядок интегрирования, которое имеет вид:

35 rctgd f (, t) dt d Здесь f (, t) непрерывна на [ ) [ ] Интеграл f (, t) d dt d J ( t) t для t [,] сходится равномерно по признаку Вейерштрасса, ибо имеется оценка сходится При t sin z в J (t), имеем d t а при u ctgz, получаем Таким образом d для [,), t [,] и dz t sin, z dz du t sin z t u t J ( t) С учетом равенств t rctgd d dt I dt t t и значения интеграла dt lnt t ln t получаем, что I ln Таким образом, применяя интегрирование по параметру можно вычислять несобственные интегралы без параметра 5

36 ГЛАВА ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ Бета-функция Интеграл (, ) ( ) d называется бета-функцией Область сходимости здесь,, где (, ) непрерывна Свойства бета-функции: А) Симметрия: (, ) (, ) А) Понижение: а) (, ) (, ), для, б) (, ) (, ), (, ) (, ) ( n )! ( n )!( m )! А) (, n) и ( m, n) ( n )( n ) ( m n )! А) (, ) для и,, (,) sin d А5) (, ),, и (, ) d sin Пример 9 Вычислить Решение При 6 I( m, n) sin cos d t sin для m, n получаем m m n I( m, n) t t dt, 5 В частности I,,, который вычисляется на основе следующего примера Пример Вычислить n m d 5 Решение Здесь интеграл n d 5, Тогда на основе

37 7 свойства А) получаем,,, 5 5, 5 6, 6, 8, 8 Пример Вычислить tg d I p Решение При t tg имеем, p p dt t t I p cos sin p p, где p и p Отсюда область сходимости p Пример Вычислить через бета-функцию p n m d I, где, и, n m Решение Положим n t Тогда n m p n m n t t n d p p p p n m n m n m n m, С учетом положительности аргументов для ), ( интеграл сходится при значениях n m p,, удовлетворяющих n m p или p n m

38 Гамма-функция Интеграл ( ) e d называется гамма-функцией Ее область сходимости, непрерывности и бесконечной дифференцируемости и производная k ) ln ( e d Свойства гамма-функции: В) ( ) ( ), В) ( n) ( n )( n )( n ) ( ) а) ( n ) n!, б) ( ) n!! В) n n В) ( ) ( ) формула дополнения, где sin ( ) ( ) В5) Связь бета и гамма функций: (, ) ( ) В6) Формула Лежандра: ( ) ( ) при Пример Вычислить, применяя эйлеровы интегралы, интеграл Эйлера-Пуассона I e Решение Заменим d из теории вероятностей t k t Тогда t, а t t Отсюда e d t e dt t e dt Но найдём используя формулу дополнения: sin Откуда или Следовательно, I dt d и, t 8

39 t ln в равен- ( ) ln d стве Но Замечание () как интеграл -го рода заменой t ( ) t e dt преобразуется в d Пример Вычислить I Решение Заменим t при d dt Тогда получаем I d t dt t t dt t t t dt,, Следовательно, sin d Пример 5 Вычислить I Решение Имеем I d ( t) t dt, I ( t ) t dt,, sin Здесь сделана замена t, чтобы, а Нетрудно, показать, что, и t, а d dt и ( t), t Используя производные, можно находить различные интегралы p ln d Пример 6 Вычислить I( p) Решение Очевидно, I ( p) является производной от бета-функции p d I( p) d dp d dp d cos p p, p, p dp sin p sin p 9

40 Пример 7 Вычислить ln I d Решение Полагая t, получаем, что cos t I ln tdt 9 t 9 sin 7 с использованием предыдущего примера, где p ln Пример 8 Вычислить I d Решение Заменим t t Полученный интеграл I 6 является второй производной от бета-функции: t p ln t p d dt t d d t dt p, p dp t dp dp при p Тогда имеем sin p ln t t dt I 6 d dp Пример 9 Вычислить d 6 p, p I 6 dp sin p p p p d ( p) ( )ln Решение Нетрудно видеть, что I p) p, pdp c Отсюда ( p, p) (, где p d sin p I( p) dp c Осуществляя замену t tg p, получаем sin p dt p dp t c c p ln ln tg sin t

41 и c p p I ln tg ) (, где p Полагая, p имеем c I ln или I c Отсюда ln tg ) ( I p p I Пример 5 Вычислить d I при Решение При замене t, t имеем, ) ( dt t t I! Но!! Отсюда 6 d Пример 5 Вычислить ) ( d I Решение Интеграл d I выражается через бета-функцию 5 5, 5 d Тогда получаем: ,!

42 Здесь использована связь бета и гамма функций, а также p p p и p p p sin ) ( при p Итак, I Пример 5 Найти площадь области ограниченной кривой 6 Решение Так как, входят в уравнение в четной степени, то кривая симметрична относительно координатных осей и достаточно найти ее площадь в -ом квадранте:, Введем замену: cos, sin Тогда уравнение в полярных координатах будет: 6 sin cos или 6 sin cos, где Как известно, площадь d S Так как sin cos, то 6 5, 6 7, sin cos d S sin Здесь использован для вычисления S пример 9 при m и n Используя симметрию кривой относительно координатных осей, получаем, что общая площадь в примере 5 будет равна 6 S Пример 5 показывает возможность применения эйлеровых интегралов при вычислении площадей плоских фигур

43 ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ f ( ) Исследовать на непрерывность функцию F( d, где функция f () непрерывна и положительна на [ ] Найти F (), если Ответ: ln( ) ) F( ) e d ) F( ) d ) ) 5 F( ) e d e e ln( ) F ( ) rctg( tg) Вычислить J ( ) d, применяя дифференцирование tg по параметру Ответ: J ( ) sign( ) ln( ), R Вычислить J (, ) ln( sin cos ) d,,, применяя дифференцирование по параметру Ответ: ln 5 Вычислить при, используя Ответ: J ln ln d, J sin(ln ) d, ln d J ln, J rctg( ) rctg( )

44 6 Вычислить J cos(ln ) d,, ln Ответ: J ln 7 Доказать, что интеграл J () сходится равномерно на множестве E : d ) J ( ), E [, ) ( ) d ) J ( ), E (, ) cos( ) ln ) J ( ) d, E [, ), ) J e cos ) d (, E [, ) 8 Доказать, что интеграл J () сходится равномерно на множестве E и сходится неравномерно на множестве E : ( ) ) J ( ) e d, E [], E [, ) ln ) J ( ) sin d, E [], E [, ) 9 Доказать, что функция F () непрерывна на множестве E : e ) F( ) d sin, E () sin ) F( ) d, E () ( ) Вычислить, используя дифференцирование интегралов по параметру: e e ) e e d ) cos md rctg( ) k ) d ) e d cos( )

45 Ответ: ) () () ln ( ) ( ),, ) ln m m,, ) (sign)( ) k ) e, k k С помощью эйлеровых интегралов вычислить интеграл: n ) J (ln ) d, ) J e d, где n целое n положительное число p ) J d ) J e ln d,, p ( ) n d ( p ) Ответ: ) ( ) n! ) n! ) ) 7 dp p Доказать равномерную сходимость интегралов при E d E [ ) d E [ ) ln ln 5 e d E ln( )rctg [ ) d E [ ] 5 7 e ln (ln )sin cos d E [ ) 6 E [ ), ( ) d d E ( ) 8 E ( ) 6 ( ) 5

46 9 8 ln d E [ ), e d E [] cos d E ( ) rctg d E [] ( ) d E ( ) ( ) ( ) cos d E [ ), cos 5 e d E [ ) 6 cos ln d E [ ) sin 7 d E ( ) 8 d E [ ) ( ) ( ) ln 9 sin cos d E [ ) e 6 d E [ ) Исследовать на непрерывность интеграл от параметра при E ( ) e cos d, E, d, E ( ) sin( ) d, E d, E sin 5 d, E d sin 6 sin ln, ( ) d E 7, E 8 e d, E sin

47 ln, ( ) 9 d, E, E cos d d, E, d, E sin sin d, E,, E ( ) 5 e d, E 6 d, E sin 8 sin d sin 7 e d, E 8 e sin d, E 9 ln ( ) d, E d, E sin e Найти производную несобственного интеграла от параметра : sin cos d,, ( ) d e cos cos d, d, 5 sin d, 6 e d, ( ) 7 sin, d 8 e d, 7

48 cos sin 9 e d, e d, rctg, d ln( ) d, ( ) rctg ln( ) d, d, 5 e d, 6 sin d, ( ) ln( ) 7 d, 8 sin d, sin 9 e cos d, e d, 5 Используя интегралы Эйлера, вычислить интегралы: d ( ) ( )( ) d d (( ) 5 ( ) ( ) d d 5 ( ) d 6 ( ) ( ) ( ) 7 d 8 ( ) ( ) d 8

49 e 9 e d d, ln d ln d ( ) ln ln d d, ln ln 5 d 6 ( ) d 7 sin 6 cos d 8 sin d, p cos p 9 tg d, tg d (sin cos) 6 Выразить через интегралы Эйлера: d ( ) d, ( ) d d 5 d 6 d ( ) d 7 ( ) 8 9 d

50 d 9 ( ) d ( ) rctg d d ln( ) d ln( ) d 5 sin d 6 cos d 7 tg d 8 e d 9 ln ln d d 5

51 ЛИТЕРАТУРА Кудрявцев ЛД Курс математического анализа: в т М: Высшая школа, 98 Т 58 с Кудрявцев ЛД Курс математического анализа: в т М: Высшая школа, 98 Т 687 с Ильин ВА, Садовничий ВА, Сендов БХ Математический анализ Начальный курс М: Изд-во МГУ, с Ильин ВА, Садовничий ВА, Сендов БХ Математический анализ Продолжение курса М: Изд-во МГУ, с 5

52 Методические указания к решению задач на интегралы с параметром Составители: Александр Львович Калашников Геннадий Владимирович Потёмин Викторий Николаевич Филиппов Учебно-методическое пособие

УДК (072)(075.8)

УДК (072)(075.8) БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики

Подробнее

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра.

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Глава. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Определенный интеграл f ( d ) в главе был введен для случая ко нечного промежутка [, ] и ограниченной функции f (). Теперь это понятие

Подробнее

8. Определенный интеграл

8. Определенный интеграл 8. Определенный интеграл 8.. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x,..., x n, x n } [, b], что = x < x < < x n < x n =

Подробнее

24-е занятие. Эйлеровы интегралы (функции Γ и B) Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

24-е занятие. Эйлеровы интегралы (функции Γ и B) Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр 24-е занятие Эйлеровы интегралы (функции Γ и B) Матем анализ, прикл матем, 3-й семестр Определения гамма-функции и бета-функции: Γ(x) = t x 1 e t dt B(x, y) = t x 1 (1 t) y 1 dt Д 3841 Доказать, что функция

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

10. Определенный интеграл

10. Определенный интеграл 1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент.

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новгородский государственный университет имени

Подробнее

Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Равномерная непрерывность функций одной переменной. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов, Н.Т. Левашова, Н.Е. Шапкина Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет»

Подробнее

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2011

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2011 Chir of Mth. Anlysis, SPb. Stte University. A.V.Poteun, Исследование сходимости несобственных интегралов Методические указания для решения задач А. В. Потепун Как известно (см. [], глава III, 7), если

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

Глава 7. Определенный интеграл

Глава 7. Определенный интеграл 68 Глава 7 Определенный интеграл 7 Определение и свойства К понятию определенного интеграла приводят разнообразные задачи вычисления площадей, объемов, работы, объема производства, денежных потоков и тп

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ для студентов всех специальностей очной формы

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ] 8 Барроу Исаак (Brrow Is) -77 английский математик, филолог, богослов. Профессор Кембриджского университета. Автор труда лекции по оптике и геометрии (9-7). Из теоремы следует, что определенный интеграл

Подробнее

12. Определенный интеграл

12. Определенный интеграл 58 Определенный интеграл Пусть на промежутке [] задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке [] произвольные числа,, 3,, n-, удовлетворяющие условию:

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы.

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ I О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение Преобразованием Фурье функции из L называется функция определяемая равенством d Оператор F : называется

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А.

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А. РЯДЫ ФУРЬЕ Автор-составитель: доцент каф ВМ Цапаева СА Великий Новгород ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ГАРМОНИК Определение Гармониками называются комплекснозначные функции вида iω ( ) e, где действительная переменная,

Подробнее

Тема6. «Определенный интеграл»

Тема6. «Определенный интеграл» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема6. «Определенный интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б.Дуниной

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Министерство образования Республики Беларусь КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования Республики Беларусь "Высший государственный колледж связи" Кафедра Математики и физики КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть Минск 5 г РАЗДЕЛ 4 Функции нескольких переменных

Подробнее

2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Учебная программа по дисциплине «Математический анализ» разработана для специальности «Прикладная информатика» шифр 1-31 03 07-03 высших учебных заведений. Целью изучения дисциплины

Подробнее

Список задач. для итогового контроля знаний по математическому анализу Группа НМ-101 Семестр 2. x x dx;

Список задач. для итогового контроля знаний по математическому анализу Группа НМ-101 Семестр 2. x x dx; Список задач для итогового контроля знаний по математическому анализу Группа НМ-101 Семестр 2 I. Неопределённый интеграл. Вычислить интеграл: 1. 1 sin 2x (0 x π); 2. 3. x 2 + 1 x 4 + 1 ; 3 sin 2 x 8 sin

Подробнее

Методические указания

Методические указания Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана Методические указания В.Я. Томашпольский, М.Н. Шевченко, И.О. Янов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана Московский государственный

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

5. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ)

5. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ) 5 ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 5 Программа курса «Ряды и обыкновенные дифференциальные уравнения» Аннотация: Изучаются числовые и степенные ряды а также

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана Лекция 6 Определенный интеграл Римана Аннотация: Отмечается что кроме интеграла Римана существуют и другие интегралы Рассматриваются свойства определенного интеграла Понятие определенного интеграла настолько

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

РАЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Министерство образования Российской Федерации Московский физико-технический институт Кафедра высшей математики РАЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Методические указания и оптимальные

Подробнее

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии Кафедра высшей математики Высшая математика ( семестр Разделы Функции. Пределы. Дифференцирование. Интегрирование. Основные формулы по темам

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1 СЕМЕСТР)

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1 СЕМЕСТР) ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ( СЕМЕСТР) А. А. Пожарский Занятие. Принцип математической индукции. Задачи по []: 0. Задачи по [2]: 27. Занятие 2. Основные понятия комбинаторики: факториал,

Подробнее

4 Основные свойства определенного интеграла

4 Основные свойства определенного интеграла 178 4 Основные свойства определенного интеграла Рассмотрим основные свойства определенного интеграла. 1) Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (=), то интеграл равен нулю f ( ) d = 0 Данное

Подробнее

Лекции по математическому анализу

Лекции по математическому анализу В.Ф. Бутузов Лекции по математическому анализу Часть I Москва 2012 Б у т у з о в В. Ф. Лекции по математическому анализу. Часть I. Учебное пособие содержит первую часть курса лекций по математическому

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу "ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ" 2 семестр группы АК1,2,4-11 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2 семестр группы АК1,2,4-11 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу "ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ" 2 семестр группы АК,2,4- ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Неопределенный интеграл. Первообразная функции. Таблица первообразных.

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Необходимые и достаточные условия второго порядка в простейшей вариационной задаче Необходимые

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы Международный консорциум «Электронный университет» Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Евразийский открытый институт КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ АН Малахов Неопределенный

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Д. Г. Орловский. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРАКТИКУМ Часть 1

Д. Г. Орловский. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРАКТИКУМ Часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ Д. Г. Орловский ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРАКТИКУМ Часть Рекомендовано УМО Ядерные физика и технологии

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания и варианты заданий к контрольной

Подробнее

Задачи по высшей математике для биологов

Задачи по высшей математике для биологов МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ БИОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Бобров А.Н. Радославова Т.В. Задачи по высшей математике для биологов МОСКВА 03 УДК

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Пусть X множество, -алгебра подмножеств множества X и на задана -аддитивная полная

Подробнее

Практическое занятие 9. Несобственные интегралы

Практическое занятие 9. Несобственные интегралы СА Лавренченко wwwlwrncnkoru Практическое занятие 9 Несобственные интегралы Типовые расчеты, Несобственные интегралы -го рода Несобственный интеграл -го рода обозначается и определяется следующим образом:

Подробнее

4 Определенный интеграл Римана. Определение,

4 Определенный интеграл Римана. Определение, 4 Определенный интеграл Римана. Определение, обобщенная теорема о среднем значении, интеграл с переменным верхним пределом, формула замены переменной, интегрирование по частям, некоторые неравенства. 4.1

Подробнее

Основы функционального анализа и теории функций

Основы функционального анализа и теории функций Основы функционального анализа и теории функций Лектор Сергей Андреевич Тресков 3 семестр. Ряды Фурье. Постановка задачи о разложении периодической функции по простейшим гармоникам. Коэффициенты Фурье

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр. 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр. 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел множество целых чисел N = {0, 1, 2, 3,..., }, Z = {0, ±1, ±2, ±3,..., } множество рациональных чисел { m }

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

Кафедра высшей математики ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПО ФОРМУЛЕ НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Кафедра высшей математики ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПО ФОРМУЛЕ НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет»

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО РАЗДЕЛУ «РЯДЫ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ

Подробнее

Интегралы, зависящие от параметров

Интегралы, зависящие от параметров МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ Интегралы, зависящие

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Т А Матвеева В Б Светличная С А Зотова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Подробнее

Определенный интеграл

Определенный интеграл Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е

П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е Санкт-Петербургский государственный университет А. В. О С И П О В К О Н С П Е К Т Л Е К Ц И Й П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е Часть II (-й курс, -й семестр) Санкт-Петеpбуpг 0 0 Конспект лекций по высшей

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Министерство образования Российской Федерации САРАПУЛЬСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ филиал Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «ИЖЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Интеграл Римана Лекция k1-s1-21. Определенный интеграл... 17

Интеграл Римана Лекция k1-s1-21. Определенный интеграл... 17 Физический факультет, кафедра математики, А.А.Быков boombook@yande.ru Московский государственный университет Физический факультет Кафедра математики План лекций по курсу «Математический анализ» Версия

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) Кафедра "Прикладная математика-1" Ю.С.Семёнов Кафедра "Прикладная математика-1"

Подробнее

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине «Элементы высшей математики».

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине «Элементы высшей математики». МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ «ДОНСКОЙ БАНКОВСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Методические

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература...

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература... ОГЛАВЛЕНИЕ Введение................................................ 3 Глава. Неопределенный интеграл.......................... 6.. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла........................

Подробнее

3 Операция деления комплексных чисел. Как связаны модуль и аргумент частного с модулями и аргументами делимого и делителя?

3 Операция деления комплексных чисел. Как связаны модуль и аргумент частного с модулями и аргументами делимого и делителя? Экзаменационные вопросы по ТФКП. Вопрос 1. Элементарные операции с комплексными числами. Элементарные функции комплексной переменной. 1 Операция сложения комплексных чисел. Ее геометрическая интерпретация.

Подробнее

Учебно-методический комплекс

Учебно-методический комплекс СТЕРЛИТАМАКСКИЙ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬ- НОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра Математического анализа

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет Л Е МОРОЗОВА, В Б СМИРНОВА ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебное пособие Санкт-Петербург

Подробнее

Определенный интеграл. Несобственный интеграл.

Определенный интеграл. Несобственный интеграл. министерство образования и науки российской федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ Т Ю Альпин, А И Егоров, П Е Кашаргин, С В Сушков ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть I: Комплексные числа Предел функции Казань 013 Печатается

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

VII. Определенный интеграл и его приложения. 1. Некоторые задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

VII. Определенный интеграл и его приложения. 1. Некоторые задачи, приводящие к понятию определенного интеграла VII Определенный интеграл и его приложения Некоторые задачи приводящие к понятию определенного интеграла Задача Вычисление пройденного пути при неравномерном движении Пусть точка движется по прямолинейной

Подробнее

Тригонометрические ряды Фурье

Тригонометрические ряды Фурье Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Т.Л. Сурин Ж.В. Иванова С.В. Шерегов Методические рекомендации и задания к контрольным работам 1 и 2 по математическому анализу

Т.Л. Сурин Ж.В. Иванова С.В. Шерегов Методические рекомендации и задания к контрольным работам 1 и 2 по математическому анализу Т.Л. Сурин Ж.В. Иванова С.В. Шерегов Методические рекомендации и задания к контрольным работам и по математическому анализу (для студентов I курса математического факультета заочного отделения ) Витебск

Подробнее

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Математический анализ»

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Математический анализ» Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Математический анализ» Направление 080100 Экономика для подготовки студентов бакалавров

Подробнее

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы 1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. 1.1 Теорема о промежуточных значениях Теорема 1. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) f(b). Тогда для любого числа C, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка γ (a, b), что f(γ) = C. Доказательство. Пусть, например, f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на [a, b]. Кроме того, g(a) < 0, g(b) > 0. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка γ (a, b), что g(γ) = 0. Разделим отрезок [a, b] точкой x 0 на два равных по длине отрезка, тогда либо g(x 0 ) = 0 и, значит, искомая точка γ = x 0 найдена, либо g(x 0 ) 0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g принимает значения разных знаков, точнее, на левом конце значение меньше нуля, на правом - больше. Обозначим этот отрезок [a 1, b 1 ] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке γ, в которой g(γ) = 0, либо получим последовательность вложенных отрезков [a n, b n ] по длине стремящихся к нулю и таких, что g(a n ) < 0 < g(b n ) (1) Пусть γ - общая точка всех отрезков [a n, b n ], n = 1, 2,... Тогда γ = lim a n = lim b n. Поэтому, в силу непрерывности функции g Из (1) находим, что g(γ) = lim g(a n ) = lim g(b n ) (2) Из (2) и (3) следует, что g(γ) = 0. lim g(a n ) 0 lim g(b n ) (3) Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. 1.2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β = sup E f (α = inf E f), если существует такая точка x 0 E, что f(x 0 ) = β (f(x 0 ) = α). 1

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

С.М.Никольский КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТОМ 2 Учебник для студентов физических и механико-математических специальностей вузов.

С.М.Никольский КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТОМ 2 Учебник для студентов физических и механико-математических специальностей вузов. С.М.Никольский КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТОМ 2 Учебник для студентов физических и механико-математических специальностей вузов. Написан на основе курса лекций, читаемого автором в Московском физико-техническом

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет имени НИЛобачевского СЮ Галкина, ОЕ Галкин ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ Курс лекций Рекомендовано

Подробнее

Лекция 2. Степенные ряды

Лекция 2. Степенные ряды С А Лавренченко wwwlwreekoru Лекция Степенные ряды Понятие степенного ряда Степенной ряд можно рассматривать как многочлен с бесконечным числом членов Определение (степенного ряда) Степенным рядом называется

Подробнее

Программа дисциплины

Программа дисциплины МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное учреждение высшего профессионального образования "Казанский (Приволжский) федеральный университет" Институт

Подробнее

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101 ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Основная 1. Бугров Я. С., Никольский С.М. Высшая математика. Т.2. Дифференциальное

Подробнее

Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов

Сборник задач для самостоятельного решения по теме Предел функции Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов ББК В 65я73-4 С 3 УДК 57 Учебное издание Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: АН Максименко, АН Морозов Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией

Подробнее

ПРОГРАММЫ ЛЕКЦИОННЫХ И ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

ПРОГРАММЫ ЛЕКЦИОННЫХ И ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ПРОГРАММЫ ЛЕКЦИОННЫХ И ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Казань Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский)

Подробнее

А. П. Г О Р Я Ч Е В СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА. Функциональные ряды. М о с к в а

А. П. Г О Р Я Ч Е В СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА. Функциональные ряды. М о с к в а А. П. Г О Р Я Ч Е В СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА Функциональные ряды М о с к в а 2 0 1 3 Министерство образования и науки Российской Федерации Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

непрерывной на отрезке a; b и вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y 0, Эту фигуру будем называть криволинейной трапец ией.

непрерывной на отрезке a; b и вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y 0, Эту фигуру будем называть криволинейной трапец ией. Лекция: Определенный интеграл. Введение. Рассмотрим график функции y f () непрерывной на отрезке ; и вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y 0, y f ( ),,. Эту фигуру будем называть криволинейной

Подробнее

Геометрические приложения определенного интеграла

Геометрические приложения определенного интеграла Геометрические приложения определенного интеграла Кривая L на плоскости задается своей параметризацией x = x(t), y = y(t), t [t, T ]. (1) Заметим, что изменяется единственный параметр t. Часто говорят,

Подробнее

Интегрирование. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл и его применение.

Интегрирование. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл и его применение. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Механико-математический факультет Кафедра теории функций

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Механико-математический факультет Кафедра теории функций Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского Механико-математический факультет Кафедра теории функций Михаил Александрович Солдатов Светлана Серафимовна Круглова Евгений Валентинович Круглов

Подробнее

Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин

Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин Казань, 213 УДК 519.6, 517.97 ББК Печатается по решению методической комиссии Института математики и механики им. Н.И.

Подробнее