ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова Е. В. Мартынова, И. П. Мурзина, Т. М. Степанюк, А. В. Фролов ТЕСТЫ Математика. Варианты, решения и ответы Методическое пособие для подготовки студентов к экзаменационному тестированию по курсу математики за первый семестр Барнаул 007

2 Мартынова Е. В. ТЕСТЫ. Варианты, решения и ответы: [методическое пособие] / Е. В. Мартынова, И. П. Мурзина, Т. М. Степанюк, А. В. Фролов; Методическое пособие для подготовки студентов к экзаменационному тестированию по курсу математики за первый семестр. - Барнаул: АлтГТУ им. И. И. Ползунова, 007 г. - 4 с. В пособии представлены образцы тестов, использованных при проведении экзаменационного тестирования в 006 году по курсу высшей математики за первый семестр, а также приведены решения некоторых из них. Тесты составлены в соответствии с требованиями образовательного стандарта высшего профессионального образования. Приведена структура тестов, даны ответы для всех представленных тестов. Настоящее пособие предназначено для самостоятельной подготовки студентов всех технических и экономических специальностей к экзаменационному тестированию, а также будет полезно преподавателям и методистам, активно использующих в своей работе тестовый способ контроля знаний. Рассмотрено и одобрено на заседании кафедры высшей математики и математического моделирования АлтГТУ Протокол 7 от Рецензенты: Г. Н. Леонов, профессор, д. ф.-м. н., АлтГТУ, г. Барнаул Д. В. Растягаев, доцент, к. ф.-м. н., Новый Российский Университет, г. Москва c Мартынова Е. В., Мурзина И. П., Степанюк Т. М., Фролов А. В. c Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова, 007

3 3 Содержание Введение 4 Общие положения 4 Структура теста 5 3 Вариант с решением 6 4 Вариант с решением 3 5 Вариант (для самостоятельного решения) 0 6 Вариант (для самостоятельного решения) 7 Вариант 3 (для самостоятельного решения) 8 Таблица ответов 3 Список использованных источников 3

4 4 Введение В настоящее время среди эффективных методов оценки образовательных достижений заметная роль отводится тестированию. Под тестированием понимается стандартизированная процедура объективного измерения образовательных достижений испытуемого или отдельных качеств его личности. Необходимость развития тестирования связана, вопервых, со сбором информации об образовании в целях мониторинга его качества, вовторых, с объективным оцениванием результатов обучения. Следует также отметить, что система тестирования не может полностью заменить сложившиеся методы контроля, она лишь способствует повышению объективности, обоснованности и сопоставимости результатов. В настоящее время тестирование становится полигоном внедрения современных методов педагогических измерений. Общие положения В соответствии с действующим образовательным стандартом высшего профессионального образования АлтГТУ СТП ТЕКУЩАЯ И ПРОМЕЖУТОЧНАЯ АТТЕСТАЦИЯ СТУДЕНТОВ одной из форм проведения экзамена по дисциплине является тестирование. Основной целью тестирования является получение объективной информации об образовательных достижениях. Эта информация может быть использована при аттестации обучающегося, оценке состояния и выявления тенденций развития системы образования, аттестации образовательного учреждения и принятии управленческих решений. Для достижения основной цели тестирования необходимо решить следующие задачи: разрабатывать научнообоснованный инструментарий тестирования; взаимодействовать с системами, проводящими мониторинг качества образования; внедрять методы объективного измерения в практику образования. Выполняя поставленные задачи, тестирование будет способствовать повышению качества образования, обеспечению объективности при аттестации обучающихся, а также для достижения других целей.

5 5 Структура теста Педагогический тест состоит из 0 тестовых заданий, на выполнение которых отводится 50 минут (включая заполнение специального бланка ответов). Вариант теста содержит тестовые задания закрытого (часть А) и открытого типов (часть Б). Для заданий закрытого типа характерно наличие одного правильно ответа из пяти предложенных, для заданий открытого типа ответами служат только целые числа. Задание Тема Предполагаемые знания и умения Сложность* А Линейная алгебра умение вычислять определители 0 А Линейная алгебра действия с матрицами, определители А3 Векторная алгебра операция умножения вектора на число, длина вектора 0 А4 Аналитическая геометрия уравнение прямой, положение прямой относительно плоскости А5 Предел функции предельные уравнения, неопределенности, понятие о бесконечно малых А6 Функции точки разрыва функции, значение функции 0 А7 Аналитическая геометрия уравнение прямой с угловым коэффициентом А8 Предел функции замена переменных в предельном переходе, замечательные пределы А9 Функции замена переменных в функциях А0 Векторная алгебра скалярное, векторное и смешанное произведение векторов А Предел функции основные теоремы о пределах А Аналитическая геометрия кривые второго порядка, уравнение прямой на плоскости А3 Векторная алгебра направление вектора, вычисление определителей третьего порядка Б Аналитическая геометрия кривые второго порядка, задачи с параметром Б Предел функции вычисление пределов рациональных дробей Б3 Векторная алгебра коллинеарность векторов 0 Б4 Векторная алгебра условие ортогальности векторов Б5 Предел функции замечательные пределы 0 Б6 Векторная алгебра задачи по планиметрии 0 Б7 Аналитическая геометрия симметричность объектов - здесь 0 - легкое задание, - задание средней сложности, - задача повышенной сложности.

6 6 3 Вариант с решением А) ОТМЕТЬТЕ НОМЕР ПРАВИЛЬНОГО ОТВЕТА В БЛАНКЕ ОТВЕТОВ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ A. Наибольшее целое K, при котором определитель K 7 K- принимает неотрицательные значения, равно ) ) 3) 0 4) 5) А. Если A 3 4!, B 5!, тогда определитель матрицы (A B) T равен ) 9 ) 3) 9 4) 5) А3. Если вектор p направлен противоположно вектору q (8; 4; 36) и p 6, то сумма коoрдинат вектора p ) 5 ) 7 3) 9 4) 5) 3 равна А4. Основанием перпендикуляра, опущенного из точки A(; ; 3) ) (; 5; ) ) (; ; 0) 3) (; ; ) на плоскость x y + 3z + 0, является тройка чисел 4) (; 3; ) 5) (0; ; 0) А5. Найдите сумму +, если параметры, удовлетворяют уравнению x + x + x ) 0 ) 0 ) 3) 4) 3 5) А6. Значение f(r 3), где R - число точек разрыва функции f(x) x x +, равно x 3x 5 ) 3 А7. Уравнение прямой, проходящей через точку пересечения ) x 5y ) x + y 4 0 прямых 7x 5y + 3 0, x + 3y 5 0, перпендикулярной 3) x 3y ) x y + 0 вектору N (; ), имеет вид 5) x y sin 6x ) 3 3) 3 А8. Результат вычисления предела x sin 3x равен ) ) 3) 4) А9. Если f(x) 4x + x 5, то f(x + ) f(x + 3) при x sin ) sin + ) cos cos приводится к виду 4) cos 5) sin cos А0. Объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c из общего начала, равен 44 см 3. Если a 6 см, a b 0 и ) 4 ) 43 3) 46 c a Ч b, тогда длина (в см) диагонали параллелепипеда равна 4) 4 5) 5 4x + 7 4) 5 6 5) 5 6 5) 3) sin cos 4x ) 0 ) 3) 6e 4) 8e 5) + А. Вычислите предел x + 3 А. Прямая, проходящая через фокус (с положительной абсциссой) ) y x 3 5 ) y x кривой 4x 8x + 9y + 36y параллельно прямой y x, 3) y x ) y x 3 5 имеет вид 5) y x А3. Если,, - косинусы углов вектора a (8; 8; 4) с осями координат, тогда значение определителя равно ) ) 3) 0 4) 5) Б) НАПИШИТЕ ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ В НИЖНЕЙ ЧАСТИ БЛАНКА ОТВЕТОВ Б. Укажите количество целых чисел К, при которых уравнение Ky K x + 8K x 6K + 8K задает эллипс Б. Если x стремится к, тогда число, к которому стремится выражение x4 + x 3 x 3x +, равно Б3. Даны векторы AB(6; ; 5) и AC(; 6; ). Если точки А, В, С лежат на одной прямой, то сумма + равна Б4. Найдите произведение всех чисел, при которых векторы p (; 3; 5) и q (; ; ) ортогональны e Б5. Вычислите предел 3x e 0x x 0 x Б6. Векторы AB(8; 8; 4) и AD(9; 6; 3) являются сторонами параллелограмма ABCD. Найдите сумму квадратов диагоналей параллелограмма Б7. Укажите значение параметра m, при котором точки (9; 5; 8) и (3; 7; ) симметричны относительно плоскости 6x y + 3z m

7 7 Задание А. Так как определитель принимает неотрицательные значения, тогда значение определителя удовлетворяет неравенству K 0. Раскрывая определитель в левой части неравенства, получим 7 K- K 7K 0 Решая последнее неравенство находим, что K. Отсюда заключаем, что наибольшее целое число K, 5 удовлетворяющее последнему условию равно -. Ответ: ) - Задание А. При решении данного задания, рекомендуется применять свойства матриц и определителей. Рассмотрим определитель матрицы (A B) T : (A B) T (A B) Это следует из того, что для любой квадратной матрицы С справедливо: C T C, где T -операция транспонирования. Далее, используя теорему об определителе произведения матриц, получим (A B) A B A B Для матриц A и B находим их определители A и B 9. Окончательно, имеем (A B) T A B 9 Ответ: 5) 9 Задание А3. Векторы p и q противоположно направлены, следовательно p q, причем < 0. Справедливо равенство p q, или p q Вычисляем длину вектора q p (8) + (4) + (36) 6 6. Подставляем в последнее равенство и получаем, что ( 6) (6 6) Откуда ± 6. Так как < 0, принимаем 6. Умножая координаты вектора q p (3; 4; 6). Подсчитываем сумму координат вектора p и выбираем Ответ: ) 7 на, получим Задание А4. Основанием перпендикуляра, опущенного из точки А на некоторую плоскость, является точка пересечения перпендикуляра и плоскости. Составляем уравнение перпендикуляра. Для этого понадобится точка A(; ; 3) и нормальный вектор N (; ; 3) плоскости x y + 3z + 0, являющийся направляющим вектором перпендикуляра: x y + z 3 t 3 Переходя к параметрическим уравнениям перпендикуляра, составляем систему уравнений 8 >< >: x y + 3z + 0, x t +, y t, z 3t + 3

8 8 Решая систему относительно x, y, z посредством вспомогательного параметра t, находим точку пересечения плоскости и перпендикуляра: (; ; 0). Ответ: ) (; ; 0) Задание А5. Рассмотрим предельное уравнение: (p x + x + x ) 0 Левая часть уравнения представляет собой неопределенность вида. Попытаемся избавиться от этой неопределенности умножив и поделив левую часть уравнения на выражение ( x + x + + x + ). Упрощая, получаем Приводя подобные, можно записать ( x + x + x )( x + x + + x + ) 0 x + x + + x + x + x + x x 0 x + x + + x + ( )x + ( )x + 0 x + x + + x + Левая часть уравнения в том случае равна нулю, когда 8 >< 0, 0, >: > 0 Последнее условие подчеркивает наличие имеющейся неопределенности. Решая систему уравнений, имеем:,. Окончательно, находим значение + и выбираем Ответ: 3) Задание А6. Рассмотрим функцию: f(x) x x + x 3x 5 Под точками разрыва функции следует понимать такие точки, в которых функция теряет свой смысл. Таким образом следует указать случаи: x + p x 3x 5 0, Решим уравнение: x + p x 3x 5 0, p x 3x 5 x, x 3x 5 x x +, x x 6 0, Находим корни этого уравнения: x, x 3. Теперь проверяем, удовлетворяют ли найденные корни исходному уравнению подставляя поочередно корни уравнения x x6 0 в уравнение x 3x 5 0,. На этом основании делаем вывод, что точкой разрыва функции является x 3, тогда R. Вычисляем значение функции f() () () + p () 3() Ответ: 5) 5 6

9 Задание А7. Уравнение прямой, проходящей через точку M 0(x 0; y 0) перпендикулярно вектору N (A; B) (; ), имеет вид 9 A(x x 0) + B(y y 0) 0 Точка M 0(x 0; y 0) является точкой пересечения прямых 7x 5y + 3 0, x + 3y 5 0. Составляем систему данных двух уравнений: ( 7x 5y + 3 0, x + 3y 5 0 Решив систему уравнений, получим M 0(; ). Записываем уравнение искомой прямой: Ответ: 5) x y Задание А8. Вычисляем предел (x ) (y ) 0, x y sin 6x x sin 3x Ответ: ) sin 6x sin 6(y + ) y x x0 sin 3x y 0 sin 3(y + ) y 0 sin 0 6y y 0 3y 6y sin 6y sin 3y y 0 3y sin 6y 6y sin 3y 3y Задание А9. Рассмотрим функцию f(x) 4x +. Упрощаем выражение: x 5 f(x + ) f(x + 3) 4(x + ) + 4(x + 3) + (x + ) 5 (x + 3) 5 4x + 9 4x + 3 (4x + 9)(x + ) (4x + 3)(x ) x x + 4x 4x Учитывая, что x sin, окончательно получим Ответ: 4) cos Задание А0. Объем параллелепипеда можно определить как смешанное произведение трех векторов a, b, c, то есть V a b c Условия a b 0, a Ч b c позволяют сделать вывод о том, что a b c, В силу этого, можно записать c a b sin a b V a b c c Откуда c см. Также находим, что b см. Длина диагонали параллелепипеда равна p a + b + c, то есть см. Ответ: 3) 46

10 0 Задание А. Вычислим предел Ответ: ) 0 4x 4x + 7 x + 3 4x + 7 (4x) x (4x) x C + 3 A 0 x Задание А. В задании требуется составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой y x, то есть уравнение надо искать в виде y y 0 k(x x 0) Учитывая параллельность прямых y x, y y 0 k(x x 0), найдем k. Точка, через которую проходит искомая прямая, является фокусом кривой, поэтому найдем координаты фокуса 4x 8x + 9y + 36y + 4 0, 4(x x + ) + 9(y + 4y + 4 4) + 4 0, 4(x ) + 9(y + ) 36, (x ) + 9 (y + ) 4 Искомый фокус является фокусом эллипса с центром в точке (; ) и полуосями равными a 3 и b. Найдем межфокусное полурасстояние эллипса c a b 5. Окончательно запишем координаты фокусов: ( 5; ), ( + 5; ). Поусловию задачи прямую нужно провести через фокус с положительной асциссой, то есть выбираем ( + 5; ). Окончательно, запишем уравнение прямой Ответ: ) y x 3 5 y + (x ( + 5)), y x 3 5 Задание А3. Вычислим определитель разложением по элементам первой строки + ( )()+() Значение определителя не зависит от направляющих косинусов, поэтому выбираем Ответ: ) - Задание Б. Приведем исходное уравнение к каноническому виду путем выделения полных квадратов Ky K x + 8K x 6K + 8K , Ky K (x 4x + 4 4) 6K + 8K , Ky K (x ) 8K + 8K , Ky K (x ) 8K 8K 48, K (x ) Ky K 8K, K (x ) K 8K + Ky K 8K,

11 Последнее уравнение тогда является каноническим уравнением эллипса, когда ( K 8K > 0, K < 0 Решая неравенство второй степени, находим, что < K < 3 Так как K < 0, находим единственное K, поэтому количество целых K равно. Ответ: Задание Б. Вычисляем предел x x 4 + x 3 x 3x + 0 (x 4 + x + ) 4 (x + ) 4 0 x x 3x + x x 3x + (x + 3)(x ) x (x )(x ) Ответ: -8 (x + 3)(x )(x + ) (x + 3)(x + ) 8 x (x )(x ) x (x ) 8 Задание Б3. По условию задачи известно, что точки A, B и С лежат на одной прямой, то есть векторы AB и AC коллинеарны. Из условия коллинеарности векторов следует пропорциональность их соответствующих координат, то есть Решая данные пропорции, получаем, что 8, 5; следовательно + 3. Ответ: -3 Задание Б4. Векторы p (; 3; 5) и q (; ; ) ортогональны тогда и только тогда, когда p q 0, то есть (; 3; 5) (; ; ) Корнями этого уравнения служат и -6, поэтому их произведение равно -6. Ответ: -6 Задание Б5. Вычисляем предел e 3x e 0x x 0 x Ответ: 3 0 e x 0 e 3x (e 0x ) x 3(e 3x ) 0(e 0x ) 3 x 0 3x x 0 0x Задание Б6. Необходимо вычислить сумму квадратов длин диагоналей параллелограмма, построенного на векторах AB(8; 8; 4), AD(9; 6; 3) как на сторонах. Поэтому находим векторы, на которых построены диагонали. Одна диагональ является суммой, а другая - разностью векторных сторон параллелограмма. Поэтому диагональ AC(7; 4; 7), BD(; ; ) Тогда сумма квадратов длин диагоналей равна Ответ: 540 AC + BD ( ) + ( + () + () ) 540

12 Задание Б7. Точки M, N симметричны относительно плоскости, если они отдалены от нее на одинаковом расстоянии и прямая MN ортогональна данной плоскости. Расстояние от точки M(9; 5; 8) до плоскости 6x y + 3z m равно d M Расстояние d N вычисляется аналогично d N m 73 m p 6 + () (3) m 9 + m p 6 + () Так как точки M, N предполагаются симметричными, то d M d N, 73 m 9 + m, Пусть m < 9, тогда 73 m (9 + m), 90, откуда следует, что модульное уравнение не имеет решений. Пусть 9 m < 73, тогда 73 m 9 + m, m54, откуда следует, что модульное уравнение имеет единственный корень, равный 7. Пусть m 73, тогда (73 m) 9 + m, -90, откуда следует, что модульное уравнение не имеет решений. Окончательно, записываем Ответ: 7

13 4 Вариант с решением А) ОТМЕТЬТЕ НОМЕР ПРАВИЛЬНОГО ОТВЕТА В БЛАНКЕ ОТВЕТОВ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ A. Сумма целых K, при которых значение определителя K- 3 по модулю не превосходит 5, равна ) ) 3) 0 4) 4 5) 6 А. Если A 3 4!, B 3 4 3!, тогда определитель матрицы (A B) равен ) ) 3) 4 4) 4 А3. Если вектор p направлен противоположно вектору q (4; 0; ) и p 30, то произведение коoрдинат вектора p равно ) -0 ) -5 3) - 4) 8 5) 0 А4. Основанием перпендикуляра, опущенного из точки A(; 3; 5) ) (4; ; ) ) (5; ; 5) 3) (6; 4; 9) на прямую x 4 y + z, является тройка чисел 4) (; 8; 3) 5) (3; 5; 8) 3 4 А5. Найдите сумму +, если параметры, удовлетворяют уравнению ( x + x + x ) 0 ) 0 ) 3) 4) 3 5) А6. Значение f(r + ), где R - число точек разрыва функции ) 7( + ) ) 9 5 ( 9 + 3) 3) 8 4x + f(x) x + x 3x 3 5) 4 5 ( 9 3), равно 4) 9 ( ) 5) 8( + ) А7. Уравнение прямой, проходящей через точки касания кривой ) x y 4 ) x y 3) x y 8 x + y 8x + 8y с осями координат, имеет вид 4) y x 4 5) y x cot x sin 8x равен ) ) 3) 4 4) 4 А8. Результат вычисления предела x 4 А9. Если f(x) x 3 x 4, то f(x ) f(x + ) при x cos ) cos 4 sin приводится к виду 4) 0 cos 4 sin ) 0 cos 4 sin 5) 3) 5( cos ) 4 sin 5) cos 4 sin А0. Объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c из общего начала, равен 00 см 3. Если a 4 см, a b 0 и c a Ч b, то площадь поверхности (в см ) параллелепипеда равна ) 30 ) 40 3) 50 4) 60 5) 00 5x x А. Вычислите предел ) 0 ) 3) 6e 4) 8e 5) + + 3x А. Прямая, проходящая через вершину параболы y x 4x 5, ) 3y x 7 ) y x 3) y + 3x 7 перпендикулярно прямой x 3y 6, имеет вид 4) y + 3x 5) 3y x 3 А3. Если,, - косинусы углов вектора a (; ; ) с осями координат, тогда значение определителя 0 равно ) 4 9 ) 9 3) 4) 5) 5 9 Б) НАПИШИТЕ ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ В НИЖНЕЙ ЧАСТИ БЛАНКА ОТВЕТОВ Б. Укажите сумму целых чисел К, при которых уравнение y + 3Kx 6Kx K K 0 задает пару ортогональных прямых Б. Если x стремится к, тогда число, к которому стремится выражение x4 + 3x 8 x 3x +, равно Б3. Даны векторы AB(; 0; ) и AC(3; ; 4). Если точки А, В, С лежат на одной прямой, то сумма + равна Б4. Найдите сумму всех чисел, при которых векторы p ( ; ; 4) и q (; ; + ) ортогональны ln(5 Б5. Вычислите предел 7x ) x 0 5 x Б6. Векторы AB(; ; ) и AD(0; 4; 3) являются сторонами параллелограмма ABCD. Найдите периметр параллелограмма Б7. Укажите значение параметра m, при котором точки (; 3; ) и (5; 7; 6) симметричны относительно плоскости x + 5y + z m

14 4 Задание А. Вычислим определитель K- 3 модулю не превосходит 5, то запишем модульное неравенство 3K 3 3K 5. Так как значение определителя по 3K 5 5 Решая это неравенство находим: 0 K 0. Отсюда заключаем, что сумма целых чисел K, удовлетворяющих 3 последнему условию равно Ответ: 5) 6 Задание А. При решении данного задания, рекомендуется применять свойства матриц и определителей. Рассмотрим определитель матрицы (A B) : (A B) (A B) (A B) ( A B ) A B A B Это следует из того, что для любой квадратной матрицы С справедливо: C C, где -операция обращения. Для матриц A и B находим их определители A 0 и B 5. Окончательно, имеем Ответ: 3) 4 (A B) A B Задание А3. Векторы p и q противоположно направлены, следовательно p q, причем < 0. Справедливо равенство p q, или p q Вычисляем квадрат длины вектора q (4) + (0) + () 0. Подставляем в последнее равенство и получаем: ( 30) 0 Откуда ± 4. Так как < 0, принимаем. Умножая координаты вектора q на, получим p (; 5; ). Подсчитываем произведение координат вектора p и выбираем Ответ: 5) 0 Задание А4. Основанием перпендикуляра, опущенного из точки А на некоторую прямую, является точка пересечения перпендикуляра и прямой. Составляем уравнение плоскости, проходящей через точку A(; 3; 5) ортогонально направляющему вектору прямой x 4 y + z : 3 4 (x ) + 3(y 3) + 4(z + 5) 0, x + 3y + 4z Теперь основанием перпендикуляра, опущенного из точки A(; 3; 5) на прямую x 4 y + 3 будет точка пересечения плоскости x + 3y + 4z и прямой x 4 y + 3 x 4 y + 3 z 4 z. 4 Переходя к параметрическим уравнениям прямой, составляем систему уравнений 8 >< >: x + 3y + 4z + 0 0, x t + 4, y 3t, z 4t + t z, 4

15 Решая систему относительно x, y, z посредством вспомогательного параметра t, находим точку пересечения плоскости и перпендикуляра: (6; 4; 9). Ответ: 3) (6; 4; 9) Задание А5. Рассмотрим предельное уравнение: (p x + x + x ) 0 Левая часть уравнения представляет собой неопределенность вида. Попытаемся избавиться от этой неопределенности умножив и поделив левую часть уравнения на выражение ( x + x + + x + ). Упрощая, получаем Или приводя подобные, можно записать ( x + x + x )( x + x + + x + ) 0 x + x + + x + Левая часть уравнения в том случае равна нулю, когда x + x + x x 0 x + x + + x + ( )x + ( )x + 0 x + x + + x + 8 >< >: 0, 0, > 0 Последнее условие подчеркивает наличие имеющейся неопределенности. Решая систему уравнений, имеем:,. Окончательно, находим значение + и выбираем Ответ: 3) Задание А6. Рассмотрим функцию: f(x) 4x + x + x 3x Под точками разрыва функции следует понимать такие точки, в которых функция теряет свой смысл. Несомненно, таким случаем будет: x + p x 3x 0, Решим уравнение: x + p x 3x 0, p x 3x x, 5 x 3x x x +, x x 0, Находим корни этого уравнения: x, x. Теперь проверяем, удовлетворяют ли найденные корни исходному уравнению, подставляя поочередно корни уравнения x x 0 в уравнение x 3x 0,. На этом основании делаем вывод, что точкой разрыва функции служит x, то есть R. Окончательно, находим Ответ: ) 7( + ) f(r + ) f(3) p (3) ( + )

16 6 Задание А7. Уравнение прямой, проходящей через точки A(a; 0), B(0; b), имеет вид x a + y b, где a, b - отрезки, отсекаемые прямой на осях абсцисс и ординат соответственно. Поочередно находим a, b: ( x + y 8x + 8y + 6 0, y 0 ( x 8x + 6 0, y 0 ( (x 4) 0, y 0 ( x 4, y 0 ( x + y 8x + 8y + 6 0, x 0 ( y + 8y + 6 0, x 0 ( (y + 4) 0, x 0 ( y 4, x 0 Так мы определили a 4, b 4 Окончательно, уравнение искомой прямой будет иметь вид: или, x 4 + y 4, x y 4. Ответ: ) x y 4 Задание А8. Вычисляем предел cos x x 4 sin 8x cos x y x 4 0 sin 8x x 4 0 cos (y + ) 4 y 0 sin 8(y + ) cos (y + ) y y 0 sin(8y + ) y 0 4 8y sin 0 y y 0 8y 4 sin y y sin 8y 8y Ответ: 4) 4 Задание А9. Рассмотрим функцию f(x) x 3. Упрощаем выражение: x 4 f(x ) f(x + ) x 3 x 4 Учитывая, что x cos, окончательно получим Ответ: 5) 5( cos) 4 sin (x + ) 3 (x + ) 4 x 3 (x )(x + ) x + (x ) (x 3) (x + )(x + ) x 4 5(x + ) x 4 Задание А0. Объем параллелепипеда можно определить как смешанное произведение трех векторов a, b, c, то есть V a b c Условия a b 0, a Ч b c позволяют сделать вывод о том, что a b c,

17 7 c a b sin a b В силу этого, можно записать Откуда c 0 см. Также находим b 5 V a b c c см. Площадь поверхности параллелепипеда равна S + S + S 3, где S - площадь основания, S, S 3 - площади боковых поверхностей параллелепипеда, то есть Ответ: 3) 50 см Задание А. Вычислим предел 5x + 3x Ответ: ) x 0 S a b 4 5 0, S a c , S 3 b c x ( x ) + 3x 5 x + 3 C A ( x ) Задание А. В задании требуется составить уравнение прямой, проходящей через вершину параболы y x 4x 5 перпендикулярно прямой x 3y 6, то есть уравнение надо искать в виде y y 0 k(x x 0) Учитывая перпендикулярность прямых x 3y 6, y y 0 k(x x 0), найдем k 3. Точка, через которую проходит искомая прямая, является вершиной параболы, поэтому найдем координаты этой вершины: y x 4x 5, y (x ) 9, y + 9 (x ). Искомый вершина имеет координаты (; 9). Окончательно, запишем уравнение прямой Ответ: 4) 3x + y + 0 y (x ), 3x + y + 0 Задание А3. Вычислим определитель разложением по элементам первой строки 0 Вычисляем направляющие косинусы: p () + () + () 3,

18 8 p () + () + () 3, Тогда, Ответ: 5) 5 9 Задание Б. Приведем исходное уравнение к каноническому виду путем выделения полных квадратов y + 3Kx 6Kx K K 0, y + 3K(x + ) 3K K K 0, y + 3K(x + ) K + 5K, Последнее уравнение тогда задает пару перпендикулярных прямых, когда ( K + 5K 0, K < 0 Решая полученную систему, находим: K 5 и K 0. Так как K < 0, находим единственное K 5, поэтому Ответ: -5 Задание Б. Вычисляем предел x x 4 + 3x 8 x 3x + 0 (x 4)(x + 7) (x )(x + )(x + 7) (x + )(x + 7) 0 x (x )(x ) x (x )(x ) x x Ответ: x Задание Б3. По условию задачи известно, что точки A, B и С лежат на одной прямой, то есть векторы AB и AC коллинеарны. Из условия коллинеарности векторов следует пропорциональность их соответствующих координат, то есть Решая данные пропорции, получаем, что 5, 0; следовательно Ответ: 35 Задание Б4. Векторы p (; 3; 5) и q (; ; ) ортогональны тогда и только тогда, когда p q 0, то есть ( ; ; 4) (; ; + ) 0 Корнями этого уравнения служат числа ± 3, поэтому их сумма равна. Ответ: Задание Б5. Вычисляем предел Ответ: 7 ln(5 7x ) x 0 5 x 7xln5 x 0 5 x 0 a lna 7ln5 x 0 5 x x 7ln5 ln5 7

19 Задание Б6. Для того чтобы посчитать периметр параллелограмма, необходимо знать длины всех сторон. Вычисляем поочередно: q AB + () + () 3 AD q0 + (4) Так как у параллелограмма попарно стороны равны, тогда его периметр равен ( AB + AD ) 6. Ответ: 6 Задание Б7. Точки M, N симметричны относительно плоскости, если они отдалены от нее на одинаковом расстоянии и прямая MN ортогональна данной плоскости. Расстояние от точки M(; 3; ) до плоскости x + 5y + z m равно d M Расстояние d N вычисляется аналогично d N + 5 (3) + m 9 + m m 57 + m Так как точки M, N предполагаются симметричными, то d M d N, 57 m 9 + m, Пусть m < 9, тогда 57 m (9 + m), 660, откуда следует, что модульное уравнение не имеет решений. Пусть 9 m < 57, тогда 57 m 9 + m, m48, откуда следует, что модульное уравнение имеет единственный корень, равный 4. Пусть m 57, тогда (57 m) 9 + m, 660, откуда следует, что модульное уравнение не имеет решений. Окончательно, записываем Ответ: 4 9

20 0 5 Вариант (для самостоятельного решения) А) ОТМЕТЬТЕ НОМЕР ПРАВИЛЬНОГО ОТВЕТА В БЛАНКЕ ОТВЕТОВ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ A. Наименьшее целое K, при котором сумма определителей K отрицательна, равно ) ) 3) 4) 3 5) 0 K 5 А. Если A 4 5!, B 5 7!, тогда определитель матрицы (A T B ) равен ) ) 3) 4 4) 5) А3. Если вектор p направлен одинаково с вектором q (; 0; 8) и p 07, то сумма коoрдинат вектора p равна ) ) 3 3) 5 4) 4 5) А4. Основанием перпендикуляра, опущенного из точки A(7; 6; ) ) (3; ; 4) ) (4; ; ) 3) (; 5; 6) на прямую x 3 y + z 4, является тройка чисел 4) (5; 4; 0) 5) (; 5; 8) 3 А5. Найдите сумму +, если параметры, удовлетворяют уравнению x + x + x ) 0 ) 0 ) 3) 4) 3 5) А6. Значение f(r), где R - число точек разрыва функции ) 5 36 ( ) ) (3 3 5) 3) 5 36 ( 37 5) 5 f(x) (x + ), равно 4) x 9x x 0 ( ) 5) 5 4 ( 3 + 5) А7. Уравнение прямой, проходящей через точку A(4; 7) ) y x ) y + x перпендикулярно биссектрисе четвертого координатного угла, 3) y x 5 4) y + x имеет вид 5) y 3x 9 cos 7x А8. Результат вычисления предела x cos 5x равен ) 7 5 А9. Если f(x) x 7 4, то f(x ) f(x ) при x 5 sin ) x cos приводится к виду 4) ) 3) 4) 7 5 ) 5 cos 3 sin cos 5) 40sin cos А0. Объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c из общего начала, равен 8 см 3. Если a 6 см, a b 0 и c a Ч b, тогда c (в см) равна ) 3 ) 6 3) 9 4) 5) 7 x 3 5) 5 7 3) 3 5 cos ) + ) e 3) e 4) 5) 0 А. Вычислите предел x x + 4 5x А. Прямая, проходящая через центр симметрии кривой ) y + x 0 ) y + x 4 x 0x + y + y + 0 перпендикулярно прямой, 3) y x 3 4) y x 6 y x имеет вид 5) y x + 6 А3. Если,, - косинусы углов вектора a (8; 0; 6) с осями координат, тогда значение определителя равно ) 0, 36 ), 8 3) 0, 7 4) 0, 64 5) 0 Б) НАПИШИТЕ ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ В НИЖНЕЙ ЧАСТИ БЛАНКА ОТВЕТОВ Б. Укажите количество целых чисел К, при которых уравнение Ky + K x K x + K + K 0 задает гиперболу c фокусами на оси абсцисс Б. Если x стремится к, тогда число, к которому стремится выражение x4 + x 0 x 5x + 6, равно Б3. Даны векторы AB(5; 3; ) и AC(; ; 4). Если точки А, В, С лежат на одной прямой, то сумма + равна Б4. Найдите сумму всех чисел, при которых векторы p (; 3; ) и q (; 5; 4) ортогональны ln( x Б5. Вычислите предел ) x 0 x Б6. Вектор AB(; ; ) является стороной ромба ABCD с диагональю AC 3. Найдите длину диагонали BD Б7. Укажите значение параметра m, при котором точки (5; 6; 3) и (7; ; 7) симметричны относительно плоскости 3x y + z m

21 6 Вариант (для самостоятельного решения) А) ОТМЕТЬТЕ НОМЕР ПРАВИЛЬНОГО ОТВЕТА В БЛАНКЕ ОТВЕТОВ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ A. Количество целых K, при которых определитель K - K принимает отрицательные значения, равно ) 4 ) 3) 3 4) 5 5) А. Если A 3 0!, B 3 5!, тогда определитель матрицы (B (A ) T ) равен ) ) 3) 4 4) 5) А3. Если вектор p направлен противоположно вектору q (4; 0; ) и p 30, то произведение коoрдинат вектора p равно ) -0 ) -5 3) - 4) 8 5) 0 А4. Основанием перпендикуляра, опущенного из точки A(7; 6; ) ) (4; 4; 3) ) (; 3; 3) 3) (4; 4; 5) на плоскость 3x + y z + 6 0, является тройка чисел 4) (0; ; 4) 5) (8; 3; 6) А5. Найдите сумму +, если параметры, удовлетворяют уравнению x + x + x ) 0 ) 0 ) 3) 4) 3 5) А6. Значение f(r + ), где R - число точек разрыва функции ) 0 ) 3 8 ( + ) 3) 84 ( + 4) x f(x) (x + 3), равно 4) 3 x x 4 4x 8 ( ) 5) 9 ( + ) А7. Уравнение прямой, проходящей через точку A(3; ) ) y 3x + 0 ) 4y + x 0 параллельно биссектрисе второго координатного угла, 3) y x + 7 4) y + x + 0 имеет вид 5) y x + 4 cos x tg 4x равен ) А8. Результат вычисления предела x 4 А9. Если f(x) x 3 x 4, то f(x ) f(x + ) при x cos ) cos + 4 sin приводится к виду 4) ) 3) 4) 0 cos + 4 sin ) 5) 0 cos + 0 cos + 5 3) 4 sin 4 sin 0 cos + 5 5) 4 sin А0. Объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c из общего начала, равен 44 см 3. Если a 6 см, a b 0 и c a Ч b, тогда b равен ) ) 6 3) 3 4) 5) 7x ) + ) e 3) e 4 4) 5) 0 А. Вычислите предел 5x 4x А. Прямая, проходящая через центр симметрии кривой ) y + x ) y x + x + 4x + y + y 4 0 перпендикулярно прямой, 3) y x 3 4) y 3x 7 y + x 0 имеет вид 5) x + y А3. Если,, - косинусы углов вектора a (0; 3; 4) с осями координат, тогда значение определителя равно ) ) 0 3) 4) 5) Б) НАПИШИТЕ ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ В НИЖНЕЙ ЧАСТИ БЛАНКА ОТВЕТОВ Б. Укажите сумму целых чисел К или целое К (если оно единственное), при которых уравнение 4Ky + x + 3Ky 6x K + 63K задает пару пересекающихся прямых Б. Если x стремится к, тогда число, к которому стремится выражение x4 3x 36, равно x 4 Б3. Даны векторы AB(; 0; 3) и AC(; ; ). Если точки А, В, С лежат на одной прямой, то сумма + равна Б4. Найдите произведение всех чисел, при которых векторы p (; 3; ) и q ( ; ; 3) ортогональны tg(6x) Б5. Вычислите предел x 0 e x Б6. Вектор AB(; ; 3) является стороной ромба ABCD с диагональю AC 8. Укажите сумму целых чисел, между которыми лежит численное значение длины диагонали BD Б7. Укажите значение параметра m, при котором точки (4; 5; ) и (8; 3; 7) симметричны относительно плоскости 3x y + z m

22 7 Вариант 3 (для самостоятельного решения) А) ОТМЕТЬТЕ НОМЕР ПРАВИЛЬНОГО ОТВЕТА В БЛАНКЕ ОТВЕТОВ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ A. Наибольшее целое K, при котором определитель 5 K-5 -K принимает неотрицательные значения, равно ) 4 ) 3) 3 4) 5 5) А. Если A 3 7 3!, B 7 4!, тогда определитель матрицы ((A T ) B T ) равен ) 5 ) 3) 5 4) 5) 5 5 А3. Если вектор p направлен одинаково с вектором q (0; 5; 9) и p 34, то сумма коoрдинат вектора p равнa ) - ) -3 3) 0 4) 5) - А4. Основанием перпендикуляра, опущенного из точки A(; 5; ) ) (4; ; 7) ) (3; 4; 8) 3) (; 6; 9) на прямую x 3 y 4 z + 8, является тройка чисел 4) (5; 0; 6) 5) (; 8; 0) А5. Найдите сумму +, если параметры, удовлетворяют уравнению ( x + x + x ) 0 ) 0 ) 3) 4) 3 5) А6. Значение f(r 5), где R - число точек разрыва функции ) 0 ) 6 3x f(x) x + x x 8, равно 4) 3 4 ( + ) 5) ( 5 + 5) 3) 3 4 ( ) А7. Уравнение прямой, проходящей через точку A(; 5) ) x + y ) y x 3 перпендикулярно биссектрисе третьего координатного угла, 3) x + y ) y x имеет вид 5) 3x + y + 0 А8. Результат вычисления предела x cos x sin 6x равен ) 6 ) 6 А9. Если f(x) 3x x +, то f(x + ) f(x ) при x 3 cos приводится к виду 3) ) cos 3 sin 6 3 sin 3) 6 4) 6 5) 0 ) cos 3 sin 4) 6 3 sin А0. Объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c из общего начала, равен 5 см 3. Если a 5 см, a b 0 и c a Ч b, тогда b равен ) 3 ) 3) 5 4) 0 5) 5 x + 5) 6 3 sin ) + ) e 3) e 4 4) 5) 0 А. Вычислите предел 3 4x 3x А. Прямая, проходящая через центр симметрии кривой ) y x + 4 ) x + y + 0 9x 4y 54x 8y параллельно прямой y x, 3) y x 4 4) y x 7 имеет вид 5) x + y А3. Если,, - косинусы углов вектора a (; ; 3) с осями координат, тогда значение определителя 0 равно ) 5 4 ) 0 3) 4 Б) НАПИШИТЕ ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ В НИЖНЕЙ ЧАСТИ БЛАНКА ОТВЕТОВ Б. Укажите сумму целых чисел К или целое К (если оно единственное), при которых уравнение x Ky 0x K задает точку Б. Если x стремится к, тогда число, к которому стремится выражение x4 + x 3 x + 6x 7, равно Б3. Даны векторы AB(4; ; ) и AC(; 3; 4). Если точки А, В, С лежат на одной прямой, то сумма + равна Б4. Найдите сумму всех чисел, при которых векторы p (; 0; ) и q (; ; ) ортогональны ln( 7x) Б5. Вычислите предел x 0 sin7x Б6. Вектор AB(3; ; ) является стороной ромба ABCD с диагональю AC 5. Укажите сумму целых чисел, между которыми лежит численное значение длины диагонали BD Б7. Укажите значение параметра m, при котором точки (3; ; 5) и (5; 0; 7) симметричны относительно плоскости x + y z m 4) 5 7 5) 3 4

23 3 8 Таблица ответов Вариант Вариант Вариант 3 Задание Ответ Задание Ответ Задание Ответ А 4 А 3 А 5 А 5 А 5 А 3 А3 3 А3 5 А3 5 А4 А4 А4 А5 3 А5 3 А5 3 А6 4 А6 А6 4 А7 А7 4 А7 А8 4 А8 А8 А9 А9 3 А9 4 А0 3 А0 4 А0 А 5 А 5 А 5 А А А 3 А3 3 А3 3 А3 Б 3 Б - Б - Б -36 Б -5 Б Б3 6 Б3-8 Б3 7 Б4 8 Б4 0 Б4 0 Б5 0 Б5-3 Б5 - Б6 Б6 3 Б6 5 Б7 4 Б7 0 Б7-9 Список использованных источников Отраслевой стандарт минобразования РФ: педагогические тесты, термины и определения, М., 00 г. Образовательный стандарт ВПО АлтГТУ СТП ТЕКУЩАЯ И ПРОМЕЖУТОЧНАЯ АТТЕСТАЦИЯ СТУДЕНТОВ, Барнаул: изд-во АлтГТУ, 007 г. 3


Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

«ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ»

«ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 3. Аналитическая геометрия на плоскости 1. Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(4; 1) a) параллельно прямой

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Гущин Д. Д. ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Проверяемые элементы содержания и виды деятельности: владение понятиями треугольник, четырехугольник,

Подробнее

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ ФГБОУ ВПО «ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Персиановский

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ (СОБЕСЕДОВАНИЕ)

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ (СОБЕСЕДОВАНИЕ) Министерство образования и науки Российской Федерации НОУ ВО "Институт экономики и правоведения (г. Назрань)" ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ (СОБЕСЕДОВАНИЕ) Назрань 2015 1 1. Арифметика,

Подробнее

Векторы в пространстве и метод координат. Задача C2

Векторы в пространстве и метод координат. Задача C2 А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru Векторы в пространстве и метод координат. Задача C Существует два способа решения задач по стереометрии. Первый классический

Подробнее

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ТЕХНИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (на базе

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Т.Е. Воронцова И.Н. Демидова Н.К. Пешкова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Поверхности второго порядка. Определение функции х переменных. Геометрическая интерпретация. Частные приращения функции. Частные производные.

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет Факультет городского строительства и жилищно-коммунального хозяйства Кафедра

Подробнее

Программа вступительного экзамена по математике

Программа вступительного экзамена по математике Программа вступительного экзамена по математике Программа составлена на основе Федерального компонента государственного стандарта основного общего и среднего (полного) общего образования (приказ Минобразования

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки РФ Российский государственный университет нефти и газа имени И М Губкина Кафедра высшей математики СИ ВАСИН, ВИ ИВАНОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебно-методическое пособие

Подробнее

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ВНУТРЕННИХ ДЕЛ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ВНУТРЕННИХ ДЕЛ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ВНУТРЕННИХ ДЕЛ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ КАЗЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МВД РОССИИ ИМЕНИ В.Я. КИКОТЯ» УТВЕРЖДАЮ Начальник

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Программа дополнительного образования «Программа подготовки в ВУЗ»

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Программа дополнительного образования «Программа подготовки в ВУЗ» Автономная некоммерческая организация дополнительного образования Учебный Центр при МГТУ им. Н. Э. Баумана «Ориентир» «УТВЕРЖДАЮ» Директор АНО ДО Учебный Центр при МГТУ им. Н.Э.Баумана «Ориентир» ПАНФИЛОВА

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ 1. Числовые множества. Арифметические действия над числами. Натуральные числа (N).

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

С.р.2 углов. Изображать с помощью чертёжных инструментов геометрические фигуры: 4 Смежные и

С.р.2 углов. Изображать с помощью чертёжных инструментов геометрические фигуры: 4 Смежные и Название темы Колво часов Приложение к рабочей программе по геометрии Учебно-тематический план Геометрия 7 класс ( часа в неделю, всего 70 часов) Характеристика деятельности обучающихся Глава. Простейшие

Подробнее

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1.

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1. 1 Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Специализированный учебно-научный центр ГОУ лицей 1580. Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, 2014-2015 учебный

Подробнее

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов План лекции Ориентация векторного базиса в пространстве Определение векторного произведения двух векторов Свойства векторного произведения 4 Вычисление векторного

Подробнее

Тест 1. Пересечение фигур. Пересечением двух квадратов может быть: 1. точка; 2. отрезок; 3. квадрат; 4. треугольник; 5. что-либо иное.

Тест 1. Пересечение фигур. Пересечением двух квадратов может быть: 1. точка; 2. отрезок; 3. квадрат; 4. треугольник; 5. что-либо иное. Тест 1. Пересечение фигур. Пересечением двух квадратов может быть: 1. точка; 2. отрезок; 3. квадрат; 4. треугольник; 5. что-либо иное. Тест 2. Объединение фигур Объединением двух треугольников может быть:

Подробнее

Программа вступительного испытания по математике для поступающих в ННГАСУ

Программа вступительного испытания по математике для поступающих в ННГАСУ МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет» (ННГАСУ)

Подробнее

Кафедра высшей математики ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ МАТЕМАТИКА. Модуль Алгебра и геометрия. Направление подготовки Программная инженерия

Кафедра высшей математики ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ МАТЕМАТИКА. Модуль Алгебра и геометрия. Направление подготовки Программная инженерия Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и человека «Дубна» (университет «Дубна») Кафедра высшей

Подробнее

Программа к вступительному испытанию по общеобразовательному предмету «Математика» при поступлении в Сыктывкарский лесной институт в 2016 году

Программа к вступительному испытанию по общеобразовательному предмету «Математика» при поступлении в Сыктывкарский лесной институт в 2016 году Программа к вступительному испытанию по общеобразовательному предмету «Математика» при поступлении в Сыктывкарский лесной институт в 2016 году Программа предназначена для подготовки к массовой письменной

Подробнее

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРЫ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРЫ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРЫ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Гомель, 2007 Содержание Тема 1. Векторы и линейные операции над ними 5 1.1 Предмет,

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ НА ОБУЧЕНИЕ ПО ПРОГРАММАМ БАКАЛАВРИАТА И ПРОГРАММАМ СПЕЦИАЛИТЕТА

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ НА ОБУЧЕНИЕ ПО ПРОГРАММАМ БАКАЛАВРИАТА И ПРОГРАММАМ СПЕЦИАЛИТЕТА Минобрнауки России Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сыктывкарский государственный университет имени Питирима Сорокина» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ

Подробнее

Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных

Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных дробей; с требуемой точностью округлять данные числа и результаты

Подробнее

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа вступительного испытания. по математике

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа вступительного испытания. по математике Федеральное государственное автономное учреждение высшего профессионального образования Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа вступительного испытания по математике

Подробнее

Перевод на «язык равенств и неравенств»

Перевод на «язык равенств и неравенств» Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Перевод на «язык равенств и неравенств» Раздел электронного пособия «Элементарная математика» e-mail:

Подробнее

РЕГИОНАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ. 11 класс

РЕГИОНАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ. 11 класс Санкт Петербургский государственный университет 5 6 учебный год, январь Вариант 1 1 Сравните числа ( 6 5 + 4) 1 и ( 8 + 7 6) 1 + 1 Решите уравнение + + + 1= log log Решите неравенство + 6 4 Изобразите

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Министерство образования и науки Российской Федерации. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет» МАТЕМАТИКА Методические

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

1.5. Виды контроля: текущий - выполнение самостоятельных работ промежуточный выполнение контрольных работ, коллоквиумы итоговый зачет

1.5. Виды контроля: текущий - выполнение самостоятельных работ промежуточный выполнение контрольных работ, коллоквиумы итоговый зачет . Пояснительная записка.. Требования к студентам Студент должен обладать следующими исходными компетенциями: базовыми положениями математических и естественных наук владеть навыками самостоятельной ы самостоятельно

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II Министерство образования и науки Российской Федерации Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского А.Т. Козинова Н.Н. Ошарина ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II Учебное пособие Рекомендовано

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты:

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты: ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты: Содержание программы 1. Числа, корни и степени. Числовые последовательности Натуральные числа. Простые

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ. Кафедра, обеспечивающая подготовку программы: «Высшая математика»

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ. Кафедра, обеспечивающая подготовку программы: «Высшая математика» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ Кафедра, обеспечивающая подготовку программы: «Высшая математика» Настоящая программа состоит из трех разделов. В первом разделе перечислены основные математические

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ МИНОБРНАУКИ РОССИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Новосибирский государственный университет экономики и управления «НИНХ» (ФГБОУ ВО «НГУЭУ», НГУЭУ)

Подробнее

Решение задач (по выбору учителя) Контрольная работа (МИЭТ) по разделу БДЗ по разделу (по выбору) Числовые функции.

Решение задач (по выбору учителя) Контрольная работа (МИЭТ) по разделу БДЗ по разделу (по выбору) Числовые функции. Приложение 2.5.2. Примерное планирование курса «Алгебра и начала математического анализа» Учебник. 1. А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. Алгебра и начала математического анализа (профильный уровень). 10 класс

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по учебному предмету: «Геометрия» на учебный год

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по учебному предмету: «Геометрия» на учебный год Муниципальное общеобразовательное автономное учреждение г. Бузулука «Средняя общеобразовательная школа 8» РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по учебному предмету: «Геометрия» на 206-207 учебный год Класс : 0- Количество

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ (АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ) ЧАСТЬ ПЕРВАЯ Составил

Подробнее

Конспект лекций по высшей математике

Конспект лекций по высшей математике Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра высшей математики Конспект лекций по высшей математике для студентов экономических

Подробнее

10 класс Повторение планиметрии

10 класс Повторение планиметрии Учебное пособие по геометрии 10 класс Повторение планиметрии (задачи в картинках) Для учащихся Лицея 1502 при МЭИ І полугодие Краткое содержание 1. Программа коллоквиума по «Планиметрии». 2. Содержание

Подробнее

Гольдман М.Л. Сивкова Е.О.

Гольдман М.Л. Сивкова Е.О. Аналитическая геометрия М. Л. Гольдман Е. О. Сивкова Москва 014 ББК М УДК Рецензенты: Научный редактор: Гольдман М. Л., Сивкова Е. О. Аналитическая геометрия. Учебное пособие/ Федеральное государственное

Подробнее

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ для поступающих в Российский университет дружбы народов

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ для поступающих в Российский университет дружбы народов ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ для поступающих в Российский университет дружбы народов Программа подготовлена на основе Федерального компонента государственного стандарта основного общего и среднего (полного)

Подробнее

высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1

высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1 Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1 Линейная алгебра. Аналитическая

Подробнее

Рабочая программа по геометрии

Рабочая программа по геометрии Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 3 города Пудожа Рассмотрено на заседании МО математики и информатики Протокол 1 от 29.08.2016 Руководитель МО Купцова

Подробнее

ПОСОБИЕ ПО АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ (для физических специальностей педагогических вузов)

ПОСОБИЕ ПО АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ (для физических специальностей педагогических вузов) ПОСОБИЕ ПО АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ (для физических специальностей педагогических вузов) вопросы и задачи по алгебре и геометрии применение методов алгебры и геометрии при решении задач физического содержания

Подробнее

x a x 18. Вычисление пределов lim, lim, lim.

x a x 18. Вычисление пределов lim, lim, lim. Перечень экзаменационных вопросов: 1 семестр 1. Множества и операции над ними. 2. Декартово произведение множеств. 3. Предельные точки. 4. Предел последовательности. 5. Предел функции. 6. Бесконечно малые.

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С2) Многогранники: виды задач и методы их решения

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С2) Многогранники: виды задач и методы их решения Корянов АГ Прокофьев АА Многогранники: виды задач и методы их решения ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 (типовые задания С) Многогранники: виды задач и методы их решения Корянов Анатолий Георгиевич методист по математике

Подробнее

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ. Вариант Инструкция по выполнению работы

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ. Вариант Инструкция по выполнению работы (1206-1 ) Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Вариант 1206 Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4 часа (240 минут). В работе 30 заданий. Они

Подробнее

r = (x, y) r 1 = (x 1,,y 1 ) M 1 (x 1,,y 1 ) L M(x, y) L D = Ax 1 By 1 ; M 1 (x 1, y 1 ) L; N=(A,B) L y=0 x=a x=0 y=b a = ; A

r = (x, y) r 1 = (x 1,,y 1 ) M 1 (x 1,,y 1 ) L M(x, y) L D = Ax 1 By 1 ; M 1 (x 1, y 1 ) L; N=(A,B) L y=0 x=a x=0 y=b a = ; A ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ТАБЛИЦАХ Уравнения прямой на плоскости в R - - Уравнение прямой проходящей через точку перпендикулярно вектору Общее уравнение прямой b Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Подробнее

МГТУ им. Н.Э.Баумана Олимпиада школьников «Шаг в будущее», 2 тур, 8 класс, 15 февраля 2015 года

МГТУ им. Н.Э.Баумана Олимпиада школьников «Шаг в будущее», 2 тур, 8 класс, 15 февраля 2015 года МГТУ им. Н.Э.Баумана Олимпиада школьников «Шаг в будущее», тур, 8 класс, 15 февраля 015 года ВАРИАНТ 1 3 1580 1. Докажите, что выражение 7 + 7 + 7 +... + 7 делится на 400.. В одном из областных центров

Подробнее

Содержание: Линейная алгебра. Основные определения. Основные действия над матрицами. Транспонированная матрица. Определители. Дополнительный минор.

Содержание: Линейная алгебра. Основные определения. Основные действия над матрицами. Транспонированная матрица. Определители. Дополнительный минор. Содержание: Линейная алгебра. Основные определения. Основные действия над матрицами. Транспонированная матрица. Определители. Дополнительный минор. Элементарные преобразования. Миноры. Алгебраические дополнения.

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (для поступающих на базе среднего общего образования)

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (для поступающих на базе среднего общего образования) ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ «ИНСТИТУТ МИРОВОЙ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (для поступающих на базе среднего общего образования)

Подробнее

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛГОРОДСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КООПЕРАЦИИ, ЭКОНОМИКИ И ПРАВА»

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛГОРОДСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КООПЕРАЦИИ, ЭКОНОМИКИ И ПРАВА» АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛГОРОДСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КООПЕРАЦИИ, ЭКОНОМИКИ И ПРАВА» Программа и правила проведения вступительного испытания по «Математике»

Подробнее

ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ИНСТИТУТ ГОСУДАРСТВЕННОГО АДМИНИСТРИРОВАНИЯ»

ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ИНСТИТУТ ГОСУДАРСТВЕННОГО АДМИНИСТРИРОВАНИЯ» ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ИНСТИТУТ ГОСУДАРСТВЕННОГО АДМИНИСТРИРОВАНИЯ» Утверждаю Ректор ЧУ ВО «ИГА» А.В. Тараканов «12» 11 20_15_г. Программа подготовки к вступительным испытаниям по математике

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации. Ухтинский государственный технический университет. З.А. Васильева, Ю.Л. Баскакова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Министерство образования Российской Федерации. Ухтинский государственный технический университет. З.А. Васильева, Ю.Л. Баскакова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Министерство образования Российской Федерации Ухтинский государственный технический университет З.А. Васильева, Ю.Л. Баскакова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Программа, вопросы теории, контрольные задания Учебное пособие

Подробнее

Лекция 17: Евклидово пространство

Лекция 17: Евклидово пространство Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания При решении многих задач возникает необходимость иметь числовые

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

П Р О Г Р А М М А ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ

П Р О Г Р А М М А ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Математика. Программа вступительного испытания

Математика. Программа вступительного испытания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВПО «СОЧИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» «Университетский экономико-технологический колледж» Математика Программа вступительного испытания

Подробнее

Единый государственный экзамен

Единый государственный экзамен Единый государственный экзамен МАТЕМАТИКА. Профильный уровень 1 / 4 Вариант 107 Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Профильный уровень Инструкция по выполнению работы Экзаменационная работа состоит

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СВЕРДЛОВСКОЙ ОБЛАСТИ ГАОУ СПО СО «ОБЛАСТНОЙ ТЕХНИКУМ ДИЗАЙНА И СЕРВИСА» МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ для изучения учебной дисциплины ЕН.0 ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ

Подробнее

Характеристики учебных занятий

Характеристики учебных занятий «Шестимесячные очные подготовительные курсы по математике» Раздел 1. Характеристики учебных занятий 1.1. Цели и задачи учебных занятий Подготовка слушателей к успешной сдаче ЕГЭ (единого государственного

Подробнее

«Смоленский промышленно-экономический колледж»

«Смоленский промышленно-экономический колледж» «Смоленский промышленно-экономический колледж» Планы семинарских занятий Дисциплина Математика Курс: 5 Семестр: 1 Специальность: 151001 Технология машиностроения и все специальности технического профиля

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 2. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 2. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 2. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Гомель, 2007 Содержание Тема 1. Эллипс 4 1.1 Эллипс и его каноническое уравнение............

Подробнее

О. А. Иванов, Т. Ю. Иванова, К. М. Столбов. Алгебра в 9 классе Уроки обобщающего повторения

О. А. Иванов, Т. Ю. Иванова, К. М. Столбов. Алгебра в 9 классе Уроки обобщающего повторения О. А. Иванов, Т. Ю. Иванова, К. М. Столбов Алгебра в 9 классе Уроки обобщающего повторения Санкт-Петербург 03 УДК ББК 5(xxx) XX.xxXX X?? Иванов О. А., Иванова Т. Ю., Столбов К. М. X?? Алгебра в 9 классе.

Подробнее

Время на ответ 1 минута для каждой команды.

Время на ответ 1 минута для каждой команды. Математическая игра «Счастливый случай» (10-11-й классы) Цель игры: Расширение знаний, разностороннее учащихся. Игра состоит из четырѐх геймов: 1-й гейм: «Дальше, дальше»; 2-й гейм: «Заморочки из бочки»;

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

МАТЕМАТИКА ДЕМОНСТРАЦИОННЫЕ ТЕСТЫ К ВСТУПИТЕЛЬНЫМ ЭКЗАМЕНАМ В НГТУ 2005 ГОДА. Пособие для поступающих

МАТЕМАТИКА ДЕМОНСТРАЦИОННЫЕ ТЕСТЫ К ВСТУПИТЕЛЬНЫМ ЭКЗАМЕНАМ В НГТУ 2005 ГОДА. Пособие для поступающих МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МАТЕМАТИКА ДЕМОНСТРАЦИОННЫЕ ТЕСТЫ К ВСТУПИТЕЛЬНЫМ ЭКЗАМЕНАМ В НГТУ 2005 ГОДА Пособие для поступающих

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МА- ТЕМАТИКЕ

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МА- ТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ МСХ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов). 6. sin x. Ответ: 0,76. Решение. 1) Преобразуем, используя формулы тройного аргумента

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов). 6. sin x. Ответ: 0,76. Решение. 1) Преобразуем, используя формулы тройного аргумента 0 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов) Сумма трѐх чисел равна нулю Может ли сумма их попарных произведений быть положительной? Ответ: нет, не может Решение Пусть a + b + c = 0 Докажем, что

Подробнее

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов). 2.1. Функция f(x) определена для всех x, кроме 1, и удовлетворяет равенству: x

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов). 2.1. Функция f(x) определена для всех x, кроме 1, и удовлетворяет равенству: x 10 класс Первый тур (10 минут; каждая задача 6 баллов). 1.1. Известно. что разность кубов корней квадратного уравнения ax + bx + c = 0 равна 011. Сколько корней имеет уравнение ax + bx + 4c = 0? Ответ:

Подробнее

А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru. Степенная функция

А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru. Степенная функция А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru Степенная функция Степенн ыми называют функции вида x α, где α может быть целым, дробным, положительным или отрицательным. К

Подробнее

3A = A = A = 1 7 A + B = A = c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj = a is b sj

3A = A = A = 1 7 A + B = A = c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj = a is b sj Высшая математика Лекции по курсу Список литературы [] Высшая математика для экономистов Под редакцией НШ Кремера [] СА Минюк, ЕА Ровба Высшая математика [] Сборник задач по высшей математике для экономистов

Подробнее

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1 Введение В курсе математического анализа первого семестра одно из центральных мест занимает теорема Ролля. Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a,

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины А. В. БУЗЛАНОВ, С. Ф. КАМОРНИКОВ, В. С. МОНАХОВ АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ.

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ Т Ю Альпин, А И Егоров, П Е Кашаргин, С В Сушков ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть I: Комплексные числа Предел функции Казань 013 Печатается

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Тренировочная работа 1 по МАТЕМАТИКЕ

Тренировочная работа 1 по МАТЕМАТИКЕ Тренировочная работа по МАТЕМАТИКЕ класс Вариант Математика класс Вариант 2 Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4 часа (24 мин) Работа состоит из двух

Подробнее

УДК :51 Крашенинникова Ю. В. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ТЕСТИРОВАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

УДК :51 Крашенинникова Ю. В. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ТЕСТИРОВАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ УДК 7846:5 Крашенинникова Ю В СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ТЕСТИРОВАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Тестирование является одним из мощных инструментов контроля знаний учащихся Автор разработал и успешно

Подробнее

Пояснительная записка Предлагаемая программа по геометрии составлена на основе методических материалов, представленных в сборнике Примерное планирован

Пояснительная записка Предлагаемая программа по геометрии составлена на основе методических материалов, представленных в сборнике Примерное планирован Московский Институт открытого образования Средняя школа 179 МИОО Разработано и согласовано Председатель МОМИ школы 179 МИОО /Константинов Н.Н./ Учебная программа по предмету Геометрия для классов с углубленным

Подробнее

Рабочая программа среднего (полного) общего образования по математике (геометрии) в МБОУ СОШ 30 г. Пензы (10 класс)

Рабочая программа среднего (полного) общего образования по математике (геометрии) в МБОУ СОШ 30 г. Пензы (10 класс) Рабочая программа среднего (полного) общего образования по математике (геометрии) в МБОУ СОШ 30 г. Пензы (10 класс) Пояснительная записка Статус документа Рабочая программа среднего (полного) общего образования

Подробнее

Рабочая программа дисциплины (с аннотацией) Направление подготовки «ПРОДУКТЫ ПИТАНИЯ ИЗ РАСТИТЕЛЬНОГО СЫРЬЯ» Профиль подготовки

Рабочая программа дисциплины (с аннотацией) Направление подготовки «ПРОДУКТЫ ПИТАНИЯ ИЗ РАСТИТЕЛЬНОГО СЫРЬЯ» Профиль подготовки Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВО «Тверской государственный университет» Утверждаю: Руководитель ООП: Г.П. Лапина «12» 03 2015 г. Рабочая программа дисциплины (с аннотацией)

Подробнее

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ, АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ МОЛДОВА И В БЕЛОУСОВ МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ учебное пособие по линейной алгебре Издание второе, исправленное и дополненное Кишинев: 2006 УДК 519612

Подробнее

Глава 5 ПЛОЩАДИ, УГЛЫ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 5.1. ПЛОЩАДИ

Глава 5 ПЛОЩАДИ, УГЛЫ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 5.1. ПЛОЩАДИ Глава 5 ПЛОЩАДИ, УГЛЫ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 5.. ПЛОЩАДИ 5... Понятие площади. Площади подобных фигур. Площадь треугольника (выражение через основание и высоту и формула Герона) и трапеции. Важным геометрическим

Подробнее

Летняя школа специализированного учебно-научного центра. Методическое пособие

Летняя школа специализированного учебно-научного центра. Методическое пособие Летняя школа специализированного учебно-научного центра Методическое пособие Екатеринбург 2014 ЛЕТНЯЯ ШКОЛА (2014г) П р о г р а м м а Алгебра 1. Метод интервалов на прямой. 2. Метод областей на плоскости.

Подробнее

Введение. 1. Задача линейного программирования. Основные понятия

Введение. 1. Задача линейного программирования. Основные понятия Введение Данные методические указания адресованы студентам заочной формы обучения всех специальностей, которые будут выполнять контрольную работу т 4 по высшей математике, и охватывают раздел математического

Подробнее

Задачи группы С2. Задача 1

Задачи группы С2. Задача 1 Как научить выпускников решать задачи C2 из ЕГЭ по математике? Существует три основных метода решения задач C2. Условно назовем их «методом построений», «векторно-координатным методом» и «методом объемов».

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр. (типовые задания С5)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр. (типовые задания С5) ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр (типовые задания С5) Прокофьев АА Корянов АГ Прокофьев АА доктор педагогических наук, заведующий кафедрой высшей математики НИУ МИЭТ, учитель математики ГОУ лицей

Подробнее

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ЕН.Ф.01 «МАТЕМАТИКА»

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ЕН.Ф.01 «МАТЕМАТИКА» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» (ТГПУ) ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ЕН.Ф.01

Подробнее