ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова Е. В. Мартынова, И. П. Мурзина, Т. М. Степанюк, А. В. Фролов ТЕСТЫ Математика. Варианты, решения и ответы Методическое пособие для подготовки студентов к экзаменационному тестированию по курсу математики за первый семестр Барнаул 007

2 Мартынова Е. В. ТЕСТЫ. Варианты, решения и ответы: [методическое пособие] / Е. В. Мартынова, И. П. Мурзина, Т. М. Степанюк, А. В. Фролов; Методическое пособие для подготовки студентов к экзаменационному тестированию по курсу математики за первый семестр. - Барнаул: АлтГТУ им. И. И. Ползунова, 007 г. - 4 с. В пособии представлены образцы тестов, использованных при проведении экзаменационного тестирования в 006 году по курсу высшей математики за первый семестр, а также приведены решения некоторых из них. Тесты составлены в соответствии с требованиями образовательного стандарта высшего профессионального образования. Приведена структура тестов, даны ответы для всех представленных тестов. Настоящее пособие предназначено для самостоятельной подготовки студентов всех технических и экономических специальностей к экзаменационному тестированию, а также будет полезно преподавателям и методистам, активно использующих в своей работе тестовый способ контроля знаний. Рассмотрено и одобрено на заседании кафедры высшей математики и математического моделирования АлтГТУ Протокол 7 от Рецензенты: Г. Н. Леонов, профессор, д. ф.-м. н., АлтГТУ, г. Барнаул Д. В. Растягаев, доцент, к. ф.-м. н., Новый Российский Университет, г. Москва c Мартынова Е. В., Мурзина И. П., Степанюк Т. М., Фролов А. В. c Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова, 007

3 3 Содержание Введение 4 Общие положения 4 Структура теста 5 3 Вариант с решением 6 4 Вариант с решением 3 5 Вариант (для самостоятельного решения) 0 6 Вариант (для самостоятельного решения) 7 Вариант 3 (для самостоятельного решения) 8 Таблица ответов 3 Список использованных источников 3

4 4 Введение В настоящее время среди эффективных методов оценки образовательных достижений заметная роль отводится тестированию. Под тестированием понимается стандартизированная процедура объективного измерения образовательных достижений испытуемого или отдельных качеств его личности. Необходимость развития тестирования связана, вопервых, со сбором информации об образовании в целях мониторинга его качества, вовторых, с объективным оцениванием результатов обучения. Следует также отметить, что система тестирования не может полностью заменить сложившиеся методы контроля, она лишь способствует повышению объективности, обоснованности и сопоставимости результатов. В настоящее время тестирование становится полигоном внедрения современных методов педагогических измерений. Общие положения В соответствии с действующим образовательным стандартом высшего профессионального образования АлтГТУ СТП ТЕКУЩАЯ И ПРОМЕЖУТОЧНАЯ АТТЕСТАЦИЯ СТУДЕНТОВ одной из форм проведения экзамена по дисциплине является тестирование. Основной целью тестирования является получение объективной информации об образовательных достижениях. Эта информация может быть использована при аттестации обучающегося, оценке состояния и выявления тенденций развития системы образования, аттестации образовательного учреждения и принятии управленческих решений. Для достижения основной цели тестирования необходимо решить следующие задачи: разрабатывать научнообоснованный инструментарий тестирования; взаимодействовать с системами, проводящими мониторинг качества образования; внедрять методы объективного измерения в практику образования. Выполняя поставленные задачи, тестирование будет способствовать повышению качества образования, обеспечению объективности при аттестации обучающихся, а также для достижения других целей.

5 5 Структура теста Педагогический тест состоит из 0 тестовых заданий, на выполнение которых отводится 50 минут (включая заполнение специального бланка ответов). Вариант теста содержит тестовые задания закрытого (часть А) и открытого типов (часть Б). Для заданий закрытого типа характерно наличие одного правильно ответа из пяти предложенных, для заданий открытого типа ответами служат только целые числа. Задание Тема Предполагаемые знания и умения Сложность* А Линейная алгебра умение вычислять определители 0 А Линейная алгебра действия с матрицами, определители А3 Векторная алгебра операция умножения вектора на число, длина вектора 0 А4 Аналитическая геометрия уравнение прямой, положение прямой относительно плоскости А5 Предел функции предельные уравнения, неопределенности, понятие о бесконечно малых А6 Функции точки разрыва функции, значение функции 0 А7 Аналитическая геометрия уравнение прямой с угловым коэффициентом А8 Предел функции замена переменных в предельном переходе, замечательные пределы А9 Функции замена переменных в функциях А0 Векторная алгебра скалярное, векторное и смешанное произведение векторов А Предел функции основные теоремы о пределах А Аналитическая геометрия кривые второго порядка, уравнение прямой на плоскости А3 Векторная алгебра направление вектора, вычисление определителей третьего порядка Б Аналитическая геометрия кривые второго порядка, задачи с параметром Б Предел функции вычисление пределов рациональных дробей Б3 Векторная алгебра коллинеарность векторов 0 Б4 Векторная алгебра условие ортогальности векторов Б5 Предел функции замечательные пределы 0 Б6 Векторная алгебра задачи по планиметрии 0 Б7 Аналитическая геометрия симметричность объектов - здесь 0 - легкое задание, - задание средней сложности, - задача повышенной сложности.

6 6 3 Вариант с решением А) ОТМЕТЬТЕ НОМЕР ПРАВИЛЬНОГО ОТВЕТА В БЛАНКЕ ОТВЕТОВ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ A. Наибольшее целое K, при котором определитель K 7 K- принимает неотрицательные значения, равно ) ) 3) 0 4) 5) А. Если A 3 4!, B 5!, тогда определитель матрицы (A B) T равен ) 9 ) 3) 9 4) 5) А3. Если вектор p направлен противоположно вектору q (8; 4; 36) и p 6, то сумма коoрдинат вектора p ) 5 ) 7 3) 9 4) 5) 3 равна А4. Основанием перпендикуляра, опущенного из точки A(; ; 3) ) (; 5; ) ) (; ; 0) 3) (; ; ) на плоскость x y + 3z + 0, является тройка чисел 4) (; 3; ) 5) (0; ; 0) А5. Найдите сумму +, если параметры, удовлетворяют уравнению x + x + x ) 0 ) 0 ) 3) 4) 3 5) А6. Значение f(r 3), где R - число точек разрыва функции f(x) x x +, равно x 3x 5 ) 3 А7. Уравнение прямой, проходящей через точку пересечения ) x 5y ) x + y 4 0 прямых 7x 5y + 3 0, x + 3y 5 0, перпендикулярной 3) x 3y ) x y + 0 вектору N (; ), имеет вид 5) x y sin 6x ) 3 3) 3 А8. Результат вычисления предела x sin 3x равен ) ) 3) 4) А9. Если f(x) 4x + x 5, то f(x + ) f(x + 3) при x sin ) sin + ) cos cos приводится к виду 4) cos 5) sin cos А0. Объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c из общего начала, равен 44 см 3. Если a 6 см, a b 0 и ) 4 ) 43 3) 46 c a Ч b, тогда длина (в см) диагонали параллелепипеда равна 4) 4 5) 5 4x + 7 4) 5 6 5) 5 6 5) 3) sin cos 4x ) 0 ) 3) 6e 4) 8e 5) + А. Вычислите предел x + 3 А. Прямая, проходящая через фокус (с положительной абсциссой) ) y x 3 5 ) y x кривой 4x 8x + 9y + 36y параллельно прямой y x, 3) y x ) y x 3 5 имеет вид 5) y x А3. Если,, - косинусы углов вектора a (8; 8; 4) с осями координат, тогда значение определителя равно ) ) 3) 0 4) 5) Б) НАПИШИТЕ ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ В НИЖНЕЙ ЧАСТИ БЛАНКА ОТВЕТОВ Б. Укажите количество целых чисел К, при которых уравнение Ky K x + 8K x 6K + 8K задает эллипс Б. Если x стремится к, тогда число, к которому стремится выражение x4 + x 3 x 3x +, равно Б3. Даны векторы AB(6; ; 5) и AC(; 6; ). Если точки А, В, С лежат на одной прямой, то сумма + равна Б4. Найдите произведение всех чисел, при которых векторы p (; 3; 5) и q (; ; ) ортогональны e Б5. Вычислите предел 3x e 0x x 0 x Б6. Векторы AB(8; 8; 4) и AD(9; 6; 3) являются сторонами параллелограмма ABCD. Найдите сумму квадратов диагоналей параллелограмма Б7. Укажите значение параметра m, при котором точки (9; 5; 8) и (3; 7; ) симметричны относительно плоскости 6x y + 3z m

7 7 Задание А. Так как определитель принимает неотрицательные значения, тогда значение определителя удовлетворяет неравенству K 0. Раскрывая определитель в левой части неравенства, получим 7 K- K 7K 0 Решая последнее неравенство находим, что K. Отсюда заключаем, что наибольшее целое число K, 5 удовлетворяющее последнему условию равно -. Ответ: ) - Задание А. При решении данного задания, рекомендуется применять свойства матриц и определителей. Рассмотрим определитель матрицы (A B) T : (A B) T (A B) Это следует из того, что для любой квадратной матрицы С справедливо: C T C, где T -операция транспонирования. Далее, используя теорему об определителе произведения матриц, получим (A B) A B A B Для матриц A и B находим их определители A и B 9. Окончательно, имеем (A B) T A B 9 Ответ: 5) 9 Задание А3. Векторы p и q противоположно направлены, следовательно p q, причем < 0. Справедливо равенство p q, или p q Вычисляем длину вектора q p (8) + (4) + (36) 6 6. Подставляем в последнее равенство и получаем, что ( 6) (6 6) Откуда ± 6. Так как < 0, принимаем 6. Умножая координаты вектора q p (3; 4; 6). Подсчитываем сумму координат вектора p и выбираем Ответ: ) 7 на, получим Задание А4. Основанием перпендикуляра, опущенного из точки А на некоторую плоскость, является точка пересечения перпендикуляра и плоскости. Составляем уравнение перпендикуляра. Для этого понадобится точка A(; ; 3) и нормальный вектор N (; ; 3) плоскости x y + 3z + 0, являющийся направляющим вектором перпендикуляра: x y + z 3 t 3 Переходя к параметрическим уравнениям перпендикуляра, составляем систему уравнений 8 >< >: x y + 3z + 0, x t +, y t, z 3t + 3

8 8 Решая систему относительно x, y, z посредством вспомогательного параметра t, находим точку пересечения плоскости и перпендикуляра: (; ; 0). Ответ: ) (; ; 0) Задание А5. Рассмотрим предельное уравнение: (p x + x + x ) 0 Левая часть уравнения представляет собой неопределенность вида. Попытаемся избавиться от этой неопределенности умножив и поделив левую часть уравнения на выражение ( x + x + + x + ). Упрощая, получаем Приводя подобные, можно записать ( x + x + x )( x + x + + x + ) 0 x + x + + x + x + x + x x 0 x + x + + x + ( )x + ( )x + 0 x + x + + x + Левая часть уравнения в том случае равна нулю, когда 8 >< 0, 0, >: > 0 Последнее условие подчеркивает наличие имеющейся неопределенности. Решая систему уравнений, имеем:,. Окончательно, находим значение + и выбираем Ответ: 3) Задание А6. Рассмотрим функцию: f(x) x x + x 3x 5 Под точками разрыва функции следует понимать такие точки, в которых функция теряет свой смысл. Таким образом следует указать случаи: x + p x 3x 5 0, Решим уравнение: x + p x 3x 5 0, p x 3x 5 x, x 3x 5 x x +, x x 6 0, Находим корни этого уравнения: x, x 3. Теперь проверяем, удовлетворяют ли найденные корни исходному уравнению подставляя поочередно корни уравнения x x6 0 в уравнение x 3x 5 0,. На этом основании делаем вывод, что точкой разрыва функции является x 3, тогда R. Вычисляем значение функции f() () () + p () 3() Ответ: 5) 5 6

9 Задание А7. Уравнение прямой, проходящей через точку M 0(x 0; y 0) перпендикулярно вектору N (A; B) (; ), имеет вид 9 A(x x 0) + B(y y 0) 0 Точка M 0(x 0; y 0) является точкой пересечения прямых 7x 5y + 3 0, x + 3y 5 0. Составляем систему данных двух уравнений: ( 7x 5y + 3 0, x + 3y 5 0 Решив систему уравнений, получим M 0(; ). Записываем уравнение искомой прямой: Ответ: 5) x y Задание А8. Вычисляем предел (x ) (y ) 0, x y sin 6x x sin 3x Ответ: ) sin 6x sin 6(y + ) y x x0 sin 3x y 0 sin 3(y + ) y 0 sin 0 6y y 0 3y 6y sin 6y sin 3y y 0 3y sin 6y 6y sin 3y 3y Задание А9. Рассмотрим функцию f(x) 4x +. Упрощаем выражение: x 5 f(x + ) f(x + 3) 4(x + ) + 4(x + 3) + (x + ) 5 (x + 3) 5 4x + 9 4x + 3 (4x + 9)(x + ) (4x + 3)(x ) x x + 4x 4x Учитывая, что x sin, окончательно получим Ответ: 4) cos Задание А0. Объем параллелепипеда можно определить как смешанное произведение трех векторов a, b, c, то есть V a b c Условия a b 0, a Ч b c позволяют сделать вывод о том, что a b c, В силу этого, можно записать c a b sin a b V a b c c Откуда c см. Также находим, что b см. Длина диагонали параллелепипеда равна p a + b + c, то есть см. Ответ: 3) 46

10 0 Задание А. Вычислим предел Ответ: ) 0 4x 4x + 7 x + 3 4x + 7 (4x) x (4x) x C + 3 A 0 x Задание А. В задании требуется составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой y x, то есть уравнение надо искать в виде y y 0 k(x x 0) Учитывая параллельность прямых y x, y y 0 k(x x 0), найдем k. Точка, через которую проходит искомая прямая, является фокусом кривой, поэтому найдем координаты фокуса 4x 8x + 9y + 36y + 4 0, 4(x x + ) + 9(y + 4y + 4 4) + 4 0, 4(x ) + 9(y + ) 36, (x ) + 9 (y + ) 4 Искомый фокус является фокусом эллипса с центром в точке (; ) и полуосями равными a 3 и b. Найдем межфокусное полурасстояние эллипса c a b 5. Окончательно запишем координаты фокусов: ( 5; ), ( + 5; ). Поусловию задачи прямую нужно провести через фокус с положительной асциссой, то есть выбираем ( + 5; ). Окончательно, запишем уравнение прямой Ответ: ) y x 3 5 y + (x ( + 5)), y x 3 5 Задание А3. Вычислим определитель разложением по элементам первой строки + ( )()+() Значение определителя не зависит от направляющих косинусов, поэтому выбираем Ответ: ) - Задание Б. Приведем исходное уравнение к каноническому виду путем выделения полных квадратов Ky K x + 8K x 6K + 8K , Ky K (x 4x + 4 4) 6K + 8K , Ky K (x ) 8K + 8K , Ky K (x ) 8K 8K 48, K (x ) Ky K 8K, K (x ) K 8K + Ky K 8K,

11 Последнее уравнение тогда является каноническим уравнением эллипса, когда ( K 8K > 0, K < 0 Решая неравенство второй степени, находим, что < K < 3 Так как K < 0, находим единственное K, поэтому количество целых K равно. Ответ: Задание Б. Вычисляем предел x x 4 + x 3 x 3x + 0 (x 4 + x + ) 4 (x + ) 4 0 x x 3x + x x 3x + (x + 3)(x ) x (x )(x ) Ответ: -8 (x + 3)(x )(x + ) (x + 3)(x + ) 8 x (x )(x ) x (x ) 8 Задание Б3. По условию задачи известно, что точки A, B и С лежат на одной прямой, то есть векторы AB и AC коллинеарны. Из условия коллинеарности векторов следует пропорциональность их соответствующих координат, то есть Решая данные пропорции, получаем, что 8, 5; следовательно + 3. Ответ: -3 Задание Б4. Векторы p (; 3; 5) и q (; ; ) ортогональны тогда и только тогда, когда p q 0, то есть (; 3; 5) (; ; ) Корнями этого уравнения служат и -6, поэтому их произведение равно -6. Ответ: -6 Задание Б5. Вычисляем предел e 3x e 0x x 0 x Ответ: 3 0 e x 0 e 3x (e 0x ) x 3(e 3x ) 0(e 0x ) 3 x 0 3x x 0 0x Задание Б6. Необходимо вычислить сумму квадратов длин диагоналей параллелограмма, построенного на векторах AB(8; 8; 4), AD(9; 6; 3) как на сторонах. Поэтому находим векторы, на которых построены диагонали. Одна диагональ является суммой, а другая - разностью векторных сторон параллелограмма. Поэтому диагональ AC(7; 4; 7), BD(; ; ) Тогда сумма квадратов длин диагоналей равна Ответ: 540 AC + BD ( ) + ( + () + () ) 540

12 Задание Б7. Точки M, N симметричны относительно плоскости, если они отдалены от нее на одинаковом расстоянии и прямая MN ортогональна данной плоскости. Расстояние от точки M(9; 5; 8) до плоскости 6x y + 3z m равно d M Расстояние d N вычисляется аналогично d N m 73 m p 6 + () (3) m 9 + m p 6 + () Так как точки M, N предполагаются симметричными, то d M d N, 73 m 9 + m, Пусть m < 9, тогда 73 m (9 + m), 90, откуда следует, что модульное уравнение не имеет решений. Пусть 9 m < 73, тогда 73 m 9 + m, m54, откуда следует, что модульное уравнение имеет единственный корень, равный 7. Пусть m 73, тогда (73 m) 9 + m, -90, откуда следует, что модульное уравнение не имеет решений. Окончательно, записываем Ответ: 7

13 4 Вариант с решением А) ОТМЕТЬТЕ НОМЕР ПРАВИЛЬНОГО ОТВЕТА В БЛАНКЕ ОТВЕТОВ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ A. Сумма целых K, при которых значение определителя K- 3 по модулю не превосходит 5, равна ) ) 3) 0 4) 4 5) 6 А. Если A 3 4!, B 3 4 3!, тогда определитель матрицы (A B) равен ) ) 3) 4 4) 4 А3. Если вектор p направлен противоположно вектору q (4; 0; ) и p 30, то произведение коoрдинат вектора p равно ) -0 ) -5 3) - 4) 8 5) 0 А4. Основанием перпендикуляра, опущенного из точки A(; 3; 5) ) (4; ; ) ) (5; ; 5) 3) (6; 4; 9) на прямую x 4 y + z, является тройка чисел 4) (; 8; 3) 5) (3; 5; 8) 3 4 А5. Найдите сумму +, если параметры, удовлетворяют уравнению ( x + x + x ) 0 ) 0 ) 3) 4) 3 5) А6. Значение f(r + ), где R - число точек разрыва функции ) 7( + ) ) 9 5 ( 9 + 3) 3) 8 4x + f(x) x + x 3x 3 5) 4 5 ( 9 3), равно 4) 9 ( ) 5) 8( + ) А7. Уравнение прямой, проходящей через точки касания кривой ) x y 4 ) x y 3) x y 8 x + y 8x + 8y с осями координат, имеет вид 4) y x 4 5) y x cot x sin 8x равен ) ) 3) 4 4) 4 А8. Результат вычисления предела x 4 А9. Если f(x) x 3 x 4, то f(x ) f(x + ) при x cos ) cos 4 sin приводится к виду 4) 0 cos 4 sin ) 0 cos 4 sin 5) 3) 5( cos ) 4 sin 5) cos 4 sin А0. Объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c из общего начала, равен 00 см 3. Если a 4 см, a b 0 и c a Ч b, то площадь поверхности (в см ) параллелепипеда равна ) 30 ) 40 3) 50 4) 60 5) 00 5x x А. Вычислите предел ) 0 ) 3) 6e 4) 8e 5) + + 3x А. Прямая, проходящая через вершину параболы y x 4x 5, ) 3y x 7 ) y x 3) y + 3x 7 перпендикулярно прямой x 3y 6, имеет вид 4) y + 3x 5) 3y x 3 А3. Если,, - косинусы углов вектора a (; ; ) с осями координат, тогда значение определителя 0 равно ) 4 9 ) 9 3) 4) 5) 5 9 Б) НАПИШИТЕ ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ В НИЖНЕЙ ЧАСТИ БЛАНКА ОТВЕТОВ Б. Укажите сумму целых чисел К, при которых уравнение y + 3Kx 6Kx K K 0 задает пару ортогональных прямых Б. Если x стремится к, тогда число, к которому стремится выражение x4 + 3x 8 x 3x +, равно Б3. Даны векторы AB(; 0; ) и AC(3; ; 4). Если точки А, В, С лежат на одной прямой, то сумма + равна Б4. Найдите сумму всех чисел, при которых векторы p ( ; ; 4) и q (; ; + ) ортогональны ln(5 Б5. Вычислите предел 7x ) x 0 5 x Б6. Векторы AB(; ; ) и AD(0; 4; 3) являются сторонами параллелограмма ABCD. Найдите периметр параллелограмма Б7. Укажите значение параметра m, при котором точки (; 3; ) и (5; 7; 6) симметричны относительно плоскости x + 5y + z m

14 4 Задание А. Вычислим определитель K- 3 модулю не превосходит 5, то запишем модульное неравенство 3K 3 3K 5. Так как значение определителя по 3K 5 5 Решая это неравенство находим: 0 K 0. Отсюда заключаем, что сумма целых чисел K, удовлетворяющих 3 последнему условию равно Ответ: 5) 6 Задание А. При решении данного задания, рекомендуется применять свойства матриц и определителей. Рассмотрим определитель матрицы (A B) : (A B) (A B) (A B) ( A B ) A B A B Это следует из того, что для любой квадратной матрицы С справедливо: C C, где -операция обращения. Для матриц A и B находим их определители A 0 и B 5. Окончательно, имеем Ответ: 3) 4 (A B) A B Задание А3. Векторы p и q противоположно направлены, следовательно p q, причем < 0. Справедливо равенство p q, или p q Вычисляем квадрат длины вектора q (4) + (0) + () 0. Подставляем в последнее равенство и получаем: ( 30) 0 Откуда ± 4. Так как < 0, принимаем. Умножая координаты вектора q на, получим p (; 5; ). Подсчитываем произведение координат вектора p и выбираем Ответ: 5) 0 Задание А4. Основанием перпендикуляра, опущенного из точки А на некоторую прямую, является точка пересечения перпендикуляра и прямой. Составляем уравнение плоскости, проходящей через точку A(; 3; 5) ортогонально направляющему вектору прямой x 4 y + z : 3 4 (x ) + 3(y 3) + 4(z + 5) 0, x + 3y + 4z Теперь основанием перпендикуляра, опущенного из точки A(; 3; 5) на прямую x 4 y + 3 будет точка пересечения плоскости x + 3y + 4z и прямой x 4 y + 3 x 4 y + 3 z 4 z. 4 Переходя к параметрическим уравнениям прямой, составляем систему уравнений 8 >< >: x + 3y + 4z + 0 0, x t + 4, y 3t, z 4t + t z, 4

15 Решая систему относительно x, y, z посредством вспомогательного параметра t, находим точку пересечения плоскости и перпендикуляра: (6; 4; 9). Ответ: 3) (6; 4; 9) Задание А5. Рассмотрим предельное уравнение: (p x + x + x ) 0 Левая часть уравнения представляет собой неопределенность вида. Попытаемся избавиться от этой неопределенности умножив и поделив левую часть уравнения на выражение ( x + x + + x + ). Упрощая, получаем Или приводя подобные, можно записать ( x + x + x )( x + x + + x + ) 0 x + x + + x + Левая часть уравнения в том случае равна нулю, когда x + x + x x 0 x + x + + x + ( )x + ( )x + 0 x + x + + x + 8 >< >: 0, 0, > 0 Последнее условие подчеркивает наличие имеющейся неопределенности. Решая систему уравнений, имеем:,. Окончательно, находим значение + и выбираем Ответ: 3) Задание А6. Рассмотрим функцию: f(x) 4x + x + x 3x Под точками разрыва функции следует понимать такие точки, в которых функция теряет свой смысл. Несомненно, таким случаем будет: x + p x 3x 0, Решим уравнение: x + p x 3x 0, p x 3x x, 5 x 3x x x +, x x 0, Находим корни этого уравнения: x, x. Теперь проверяем, удовлетворяют ли найденные корни исходному уравнению, подставляя поочередно корни уравнения x x 0 в уравнение x 3x 0,. На этом основании делаем вывод, что точкой разрыва функции служит x, то есть R. Окончательно, находим Ответ: ) 7( + ) f(r + ) f(3) p (3) ( + )

16 6 Задание А7. Уравнение прямой, проходящей через точки A(a; 0), B(0; b), имеет вид x a + y b, где a, b - отрезки, отсекаемые прямой на осях абсцисс и ординат соответственно. Поочередно находим a, b: ( x + y 8x + 8y + 6 0, y 0 ( x 8x + 6 0, y 0 ( (x 4) 0, y 0 ( x 4, y 0 ( x + y 8x + 8y + 6 0, x 0 ( y + 8y + 6 0, x 0 ( (y + 4) 0, x 0 ( y 4, x 0 Так мы определили a 4, b 4 Окончательно, уравнение искомой прямой будет иметь вид: или, x 4 + y 4, x y 4. Ответ: ) x y 4 Задание А8. Вычисляем предел cos x x 4 sin 8x cos x y x 4 0 sin 8x x 4 0 cos (y + ) 4 y 0 sin 8(y + ) cos (y + ) y y 0 sin(8y + ) y 0 4 8y sin 0 y y 0 8y 4 sin y y sin 8y 8y Ответ: 4) 4 Задание А9. Рассмотрим функцию f(x) x 3. Упрощаем выражение: x 4 f(x ) f(x + ) x 3 x 4 Учитывая, что x cos, окончательно получим Ответ: 5) 5( cos) 4 sin (x + ) 3 (x + ) 4 x 3 (x )(x + ) x + (x ) (x 3) (x + )(x + ) x 4 5(x + ) x 4 Задание А0. Объем параллелепипеда можно определить как смешанное произведение трех векторов a, b, c, то есть V a b c Условия a b 0, a Ч b c позволяют сделать вывод о том, что a b c,

17 7 c a b sin a b В силу этого, можно записать Откуда c 0 см. Также находим b 5 V a b c c см. Площадь поверхности параллелепипеда равна S + S + S 3, где S - площадь основания, S, S 3 - площади боковых поверхностей параллелепипеда, то есть Ответ: 3) 50 см Задание А. Вычислим предел 5x + 3x Ответ: ) x 0 S a b 4 5 0, S a c , S 3 b c x ( x ) + 3x 5 x + 3 C A ( x ) Задание А. В задании требуется составить уравнение прямой, проходящей через вершину параболы y x 4x 5 перпендикулярно прямой x 3y 6, то есть уравнение надо искать в виде y y 0 k(x x 0) Учитывая перпендикулярность прямых x 3y 6, y y 0 k(x x 0), найдем k 3. Точка, через которую проходит искомая прямая, является вершиной параболы, поэтому найдем координаты этой вершины: y x 4x 5, y (x ) 9, y + 9 (x ). Искомый вершина имеет координаты (; 9). Окончательно, запишем уравнение прямой Ответ: 4) 3x + y + 0 y (x ), 3x + y + 0 Задание А3. Вычислим определитель разложением по элементам первой строки 0 Вычисляем направляющие косинусы: p () + () + () 3,

18 8 p () + () + () 3, Тогда, Ответ: 5) 5 9 Задание Б. Приведем исходное уравнение к каноническому виду путем выделения полных квадратов y + 3Kx 6Kx K K 0, y + 3K(x + ) 3K K K 0, y + 3K(x + ) K + 5K, Последнее уравнение тогда задает пару перпендикулярных прямых, когда ( K + 5K 0, K < 0 Решая полученную систему, находим: K 5 и K 0. Так как K < 0, находим единственное K 5, поэтому Ответ: -5 Задание Б. Вычисляем предел x x 4 + 3x 8 x 3x + 0 (x 4)(x + 7) (x )(x + )(x + 7) (x + )(x + 7) 0 x (x )(x ) x (x )(x ) x x Ответ: x Задание Б3. По условию задачи известно, что точки A, B и С лежат на одной прямой, то есть векторы AB и AC коллинеарны. Из условия коллинеарности векторов следует пропорциональность их соответствующих координат, то есть Решая данные пропорции, получаем, что 5, 0; следовательно Ответ: 35 Задание Б4. Векторы p (; 3; 5) и q (; ; ) ортогональны тогда и только тогда, когда p q 0, то есть ( ; ; 4) (; ; + ) 0 Корнями этого уравнения служат числа ± 3, поэтому их сумма равна. Ответ: Задание Б5. Вычисляем предел Ответ: 7 ln(5 7x ) x 0 5 x 7xln5 x 0 5 x 0 a lna 7ln5 x 0 5 x x 7ln5 ln5 7

19 Задание Б6. Для того чтобы посчитать периметр параллелограмма, необходимо знать длины всех сторон. Вычисляем поочередно: q AB + () + () 3 AD q0 + (4) Так как у параллелограмма попарно стороны равны, тогда его периметр равен ( AB + AD ) 6. Ответ: 6 Задание Б7. Точки M, N симметричны относительно плоскости, если они отдалены от нее на одинаковом расстоянии и прямая MN ортогональна данной плоскости. Расстояние от точки M(; 3; ) до плоскости x + 5y + z m равно d M Расстояние d N вычисляется аналогично d N + 5 (3) + m 9 + m m 57 + m Так как точки M, N предполагаются симметричными, то d M d N, 57 m 9 + m, Пусть m < 9, тогда 57 m (9 + m), 660, откуда следует, что модульное уравнение не имеет решений. Пусть 9 m < 57, тогда 57 m 9 + m, m48, откуда следует, что модульное уравнение имеет единственный корень, равный 4. Пусть m 57, тогда (57 m) 9 + m, 660, откуда следует, что модульное уравнение не имеет решений. Окончательно, записываем Ответ: 4 9

20 0 5 Вариант (для самостоятельного решения) А) ОТМЕТЬТЕ НОМЕР ПРАВИЛЬНОГО ОТВЕТА В БЛАНКЕ ОТВЕТОВ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ A. Наименьшее целое K, при котором сумма определителей K отрицательна, равно ) ) 3) 4) 3 5) 0 K 5 А. Если A 4 5!, B 5 7!, тогда определитель матрицы (A T B ) равен ) ) 3) 4 4) 5) А3. Если вектор p направлен одинаково с вектором q (; 0; 8) и p 07, то сумма коoрдинат вектора p равна ) ) 3 3) 5 4) 4 5) А4. Основанием перпендикуляра, опущенного из точки A(7; 6; ) ) (3; ; 4) ) (4; ; ) 3) (; 5; 6) на прямую x 3 y + z 4, является тройка чисел 4) (5; 4; 0) 5) (; 5; 8) 3 А5. Найдите сумму +, если параметры, удовлетворяют уравнению x + x + x ) 0 ) 0 ) 3) 4) 3 5) А6. Значение f(r), где R - число точек разрыва функции ) 5 36 ( ) ) (3 3 5) 3) 5 36 ( 37 5) 5 f(x) (x + ), равно 4) x 9x x 0 ( ) 5) 5 4 ( 3 + 5) А7. Уравнение прямой, проходящей через точку A(4; 7) ) y x ) y + x перпендикулярно биссектрисе четвертого координатного угла, 3) y x 5 4) y + x имеет вид 5) y 3x 9 cos 7x А8. Результат вычисления предела x cos 5x равен ) 7 5 А9. Если f(x) x 7 4, то f(x ) f(x ) при x 5 sin ) x cos приводится к виду 4) ) 3) 4) 7 5 ) 5 cos 3 sin cos 5) 40sin cos А0. Объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c из общего начала, равен 8 см 3. Если a 6 см, a b 0 и c a Ч b, тогда c (в см) равна ) 3 ) 6 3) 9 4) 5) 7 x 3 5) 5 7 3) 3 5 cos ) + ) e 3) e 4) 5) 0 А. Вычислите предел x x + 4 5x А. Прямая, проходящая через центр симметрии кривой ) y + x 0 ) y + x 4 x 0x + y + y + 0 перпендикулярно прямой, 3) y x 3 4) y x 6 y x имеет вид 5) y x + 6 А3. Если,, - косинусы углов вектора a (8; 0; 6) с осями координат, тогда значение определителя равно ) 0, 36 ), 8 3) 0, 7 4) 0, 64 5) 0 Б) НАПИШИТЕ ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ В НИЖНЕЙ ЧАСТИ БЛАНКА ОТВЕТОВ Б. Укажите количество целых чисел К, при которых уравнение Ky + K x K x + K + K 0 задает гиперболу c фокусами на оси абсцисс Б. Если x стремится к, тогда число, к которому стремится выражение x4 + x 0 x 5x + 6, равно Б3. Даны векторы AB(5; 3; ) и AC(; ; 4). Если точки А, В, С лежат на одной прямой, то сумма + равна Б4. Найдите сумму всех чисел, при которых векторы p (; 3; ) и q (; 5; 4) ортогональны ln( x Б5. Вычислите предел ) x 0 x Б6. Вектор AB(; ; ) является стороной ромба ABCD с диагональю AC 3. Найдите длину диагонали BD Б7. Укажите значение параметра m, при котором точки (5; 6; 3) и (7; ; 7) симметричны относительно плоскости 3x y + z m

21 6 Вариант (для самостоятельного решения) А) ОТМЕТЬТЕ НОМЕР ПРАВИЛЬНОГО ОТВЕТА В БЛАНКЕ ОТВЕТОВ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ A. Количество целых K, при которых определитель K - K принимает отрицательные значения, равно ) 4 ) 3) 3 4) 5 5) А. Если A 3 0!, B 3 5!, тогда определитель матрицы (B (A ) T ) равен ) ) 3) 4 4) 5) А3. Если вектор p направлен противоположно вектору q (4; 0; ) и p 30, то произведение коoрдинат вектора p равно ) -0 ) -5 3) - 4) 8 5) 0 А4. Основанием перпендикуляра, опущенного из точки A(7; 6; ) ) (4; 4; 3) ) (; 3; 3) 3) (4; 4; 5) на плоскость 3x + y z + 6 0, является тройка чисел 4) (0; ; 4) 5) (8; 3; 6) А5. Найдите сумму +, если параметры, удовлетворяют уравнению x + x + x ) 0 ) 0 ) 3) 4) 3 5) А6. Значение f(r + ), где R - число точек разрыва функции ) 0 ) 3 8 ( + ) 3) 84 ( + 4) x f(x) (x + 3), равно 4) 3 x x 4 4x 8 ( ) 5) 9 ( + ) А7. Уравнение прямой, проходящей через точку A(3; ) ) y 3x + 0 ) 4y + x 0 параллельно биссектрисе второго координатного угла, 3) y x + 7 4) y + x + 0 имеет вид 5) y x + 4 cos x tg 4x равен ) А8. Результат вычисления предела x 4 А9. Если f(x) x 3 x 4, то f(x ) f(x + ) при x cos ) cos + 4 sin приводится к виду 4) ) 3) 4) 0 cos + 4 sin ) 5) 0 cos + 0 cos + 5 3) 4 sin 4 sin 0 cos + 5 5) 4 sin А0. Объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c из общего начала, равен 44 см 3. Если a 6 см, a b 0 и c a Ч b, тогда b равен ) ) 6 3) 3 4) 5) 7x ) + ) e 3) e 4 4) 5) 0 А. Вычислите предел 5x 4x А. Прямая, проходящая через центр симметрии кривой ) y + x ) y x + x + 4x + y + y 4 0 перпендикулярно прямой, 3) y x 3 4) y 3x 7 y + x 0 имеет вид 5) x + y А3. Если,, - косинусы углов вектора a (0; 3; 4) с осями координат, тогда значение определителя равно ) ) 0 3) 4) 5) Б) НАПИШИТЕ ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ В НИЖНЕЙ ЧАСТИ БЛАНКА ОТВЕТОВ Б. Укажите сумму целых чисел К или целое К (если оно единственное), при которых уравнение 4Ky + x + 3Ky 6x K + 63K задает пару пересекающихся прямых Б. Если x стремится к, тогда число, к которому стремится выражение x4 3x 36, равно x 4 Б3. Даны векторы AB(; 0; 3) и AC(; ; ). Если точки А, В, С лежат на одной прямой, то сумма + равна Б4. Найдите произведение всех чисел, при которых векторы p (; 3; ) и q ( ; ; 3) ортогональны tg(6x) Б5. Вычислите предел x 0 e x Б6. Вектор AB(; ; 3) является стороной ромба ABCD с диагональю AC 8. Укажите сумму целых чисел, между которыми лежит численное значение длины диагонали BD Б7. Укажите значение параметра m, при котором точки (4; 5; ) и (8; 3; 7) симметричны относительно плоскости 3x y + z m

22 7 Вариант 3 (для самостоятельного решения) А) ОТМЕТЬТЕ НОМЕР ПРАВИЛЬНОГО ОТВЕТА В БЛАНКЕ ОТВЕТОВ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ A. Наибольшее целое K, при котором определитель 5 K-5 -K принимает неотрицательные значения, равно ) 4 ) 3) 3 4) 5 5) А. Если A 3 7 3!, B 7 4!, тогда определитель матрицы ((A T ) B T ) равен ) 5 ) 3) 5 4) 5) 5 5 А3. Если вектор p направлен одинаково с вектором q (0; 5; 9) и p 34, то сумма коoрдинат вектора p равнa ) - ) -3 3) 0 4) 5) - А4. Основанием перпендикуляра, опущенного из точки A(; 5; ) ) (4; ; 7) ) (3; 4; 8) 3) (; 6; 9) на прямую x 3 y 4 z + 8, является тройка чисел 4) (5; 0; 6) 5) (; 8; 0) А5. Найдите сумму +, если параметры, удовлетворяют уравнению ( x + x + x ) 0 ) 0 ) 3) 4) 3 5) А6. Значение f(r 5), где R - число точек разрыва функции ) 0 ) 6 3x f(x) x + x x 8, равно 4) 3 4 ( + ) 5) ( 5 + 5) 3) 3 4 ( ) А7. Уравнение прямой, проходящей через точку A(; 5) ) x + y ) y x 3 перпендикулярно биссектрисе третьего координатного угла, 3) x + y ) y x имеет вид 5) 3x + y + 0 А8. Результат вычисления предела x cos x sin 6x равен ) 6 ) 6 А9. Если f(x) 3x x +, то f(x + ) f(x ) при x 3 cos приводится к виду 3) ) cos 3 sin 6 3 sin 3) 6 4) 6 5) 0 ) cos 3 sin 4) 6 3 sin А0. Объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c из общего начала, равен 5 см 3. Если a 5 см, a b 0 и c a Ч b, тогда b равен ) 3 ) 3) 5 4) 0 5) 5 x + 5) 6 3 sin ) + ) e 3) e 4 4) 5) 0 А. Вычислите предел 3 4x 3x А. Прямая, проходящая через центр симметрии кривой ) y x + 4 ) x + y + 0 9x 4y 54x 8y параллельно прямой y x, 3) y x 4 4) y x 7 имеет вид 5) x + y А3. Если,, - косинусы углов вектора a (; ; 3) с осями координат, тогда значение определителя 0 равно ) 5 4 ) 0 3) 4 Б) НАПИШИТЕ ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ В НИЖНЕЙ ЧАСТИ БЛАНКА ОТВЕТОВ Б. Укажите сумму целых чисел К или целое К (если оно единственное), при которых уравнение x Ky 0x K задает точку Б. Если x стремится к, тогда число, к которому стремится выражение x4 + x 3 x + 6x 7, равно Б3. Даны векторы AB(4; ; ) и AC(; 3; 4). Если точки А, В, С лежат на одной прямой, то сумма + равна Б4. Найдите сумму всех чисел, при которых векторы p (; 0; ) и q (; ; ) ортогональны ln( 7x) Б5. Вычислите предел x 0 sin7x Б6. Вектор AB(3; ; ) является стороной ромба ABCD с диагональю AC 5. Укажите сумму целых чисел, между которыми лежит численное значение длины диагонали BD Б7. Укажите значение параметра m, при котором точки (3; ; 5) и (5; 0; 7) симметричны относительно плоскости x + y z m 4) 5 7 5) 3 4

23 3 8 Таблица ответов Вариант Вариант Вариант 3 Задание Ответ Задание Ответ Задание Ответ А 4 А 3 А 5 А 5 А 5 А 3 А3 3 А3 5 А3 5 А4 А4 А4 А5 3 А5 3 А5 3 А6 4 А6 А6 4 А7 А7 4 А7 А8 4 А8 А8 А9 А9 3 А9 4 А0 3 А0 4 А0 А 5 А 5 А 5 А А А 3 А3 3 А3 3 А3 Б 3 Б - Б - Б -36 Б -5 Б Б3 6 Б3-8 Б3 7 Б4 8 Б4 0 Б4 0 Б5 0 Б5-3 Б5 - Б6 Б6 3 Б6 5 Б7 4 Б7 0 Б7-9 Список использованных источников Отраслевой стандарт минобразования РФ: педагогические тесты, термины и определения, М., 00 г. Образовательный стандарт ВПО АлтГТУ СТП ТЕКУЩАЯ И ПРОМЕЖУТОЧНАЯ АТТЕСТАЦИЯ СТУДЕНТОВ, Барнаул: изд-во АлтГТУ, 007 г. 3


Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии.

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. y М(x, y) 0 x Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Оху называется уравнение, которому

Подробнее

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Приложение 5 Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Саратовский государственный аграрный университет

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю)

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения Кафедра Математики, физики и информационных технологий Направление подготовки Педагогическое

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

Глава I. Векторная алгебра.

Глава I. Векторная алгебра. Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости.

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости понимают способ,

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Учебно-методическое пособие

Учебно-методическое пособие САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИОРИТЕТНЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ "ОБРАЗОВАНИЕ" Проект «Инновационная образовательная среда в классическом университете» Пилотный проект «Разработка и внедрение

Подробнее

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства»

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства» Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления 676 (9) «Технология и дизайн упаковочного производства» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия

Подробнее

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения А. В. Мезенцев П. П. Скачков Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические рекомендации

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» И Н Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Екатеринбург

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий)

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных ВАРИАНТ 11 1 Точка M() является основанием перпендикуляра опущенного из точки N(1-1) на прямую l Написать уравнение прямой l; найти расстояние от точки N до прямой l Составить уравнения прямых проходящих

Подробнее

Содержание. Балльно - рейтинговая система

Содержание. Балльно - рейтинговая система 78 «Строительство» семестр Очная форма обучения Специалисты I курс, семестр Направление 78 «Строительство» Дисциплина - «Математика-» Содержание Содержание Балльно - рейтинговая система Контрольная работа

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса Московский государственный университет им М В Ломоносова Физический факультет Кафедра математики А В Овчинников Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов курса Москва Содержание Правила

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет им АД Сахарова» Факультет экологического мониторинга Кафедра физики и высшей

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ Балаковский инженерно-технологический институт - филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Подробнее

Уравнение прямой на плоскости.

Уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой на плоскости. Каноническое уравнение прямой. Пусть прямая параллельна вектору {, } и проходит через точку (, ) тогда уравнение этой прямой может быть записано в виде,. () Уравнение ()

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве Лекция Глава Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве OXYZ даны точка ) и ненулевой

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве. Аналитическая геометрия в пространстве Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию Прямоугольная система координат Охy в пространстве

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

Сборник тестовых заданий

Сборник тестовых заданий федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М. В. ИШХАНЯН, А.И.

Подробнее

Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, 1 семестр. Направление «Управление в технических системах» Дисциплина - «Математика».

Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, 1 семестр. Направление «Управление в технических системах» Дисциплина - «Математика». «Управление в технических системах» семестр Очная форма обучения Бакалавры I курс, семестр Направление «Управление в технических системах» Дисциплина - «Математика» Содержание Содержание Балльно - рейтинговая

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление Содержание Введение Линейная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения задач Задачи для самоподготовки Аналитическая геометрия и векторная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

Оценочные материалы Оценочные материалы по текущему контролю. Дисциплина «АЛГЕБРА»

Оценочные материалы Оценочные материалы по текущему контролю. Дисциплина «АЛГЕБРА» Оценочные материалы Контроль качества освоения дополнительной общеобразовательной программы включает в себя: текущий контроль и промежуточную аттестацию Для оценивания результатов обучения используется

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Балльно - рейтинговая система

Балльно - рейтинговая система Очная форма обучения Специалисты I курс, семестр Направление 99 «Наземные транспортно-технологические средства» Дисциплина - «Математика» Содержание Содержание Балльно - рейтинговая система Контрольная

Подробнее

Математика. Методические указания для подготовки к зачету и задания для контрольных работ

Математика. Методические указания для подготовки к зачету и задания для контрольных работ Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» Математика

Подробнее

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ Экзаменационный билет 1 по курсу: 1. Дать определение скалярного произведения векторов. Доказать свойства скалярного произведения. Вывести формулу скалярного произведения в ортонормированном базисе. Приложения

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ МИИГАиК) ОВИсакова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

Сборник задач по высшей математике

Сборник задач по высшей математике С. А. Логвенков П. А. Мышкис В. С. Самовол Сборник задач по высшей математике Учебное пособие для студентов социально-управленческих специальностей Москва Издательство МЦНМО 24 УДК 52 (75.8) ББК 22.43

Подробнее

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр План практических занятий по линейной алгебре1 семестр Занятие 1 Алгебра матриц 1 (±) 276 = 2 1 1 0 1 4, = 2 1 0 3 2 2 2 = 3 4, = 2 4 5 6 Найти A+B+AT +B T Найти 3A+2B 0 0 3 (±) =, = + 0 Доказать, что

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

. Найдите произведение. ; B) 2. Найти матрицы n - ой степени : B n ; B) 3.Решите уравнение: 0. x C) x D) x ; B) A) 5 B)9 C)4 D)2

. Найдите произведение. ; B) 2. Найти матрицы n - ой степени : B n ; B) 3.Решите уравнение: 0. x C) x D) x ; B) A) 5 B)9 C)4 D)2 и Найдите произведение A) 8 8 ; B) 8 C) 8 8 D) 8 8 Найти матрицы n - ой степени : α α α α B cos sin sin cos ; A) n n n n B n cos sin sin cos ; B) n n n n B n cos sin sin cos C) n n n n B n cos sin sin

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

1. Определители. 2. Действия над матрицами. Обратная матрица Определитель второго порядка задается равенством

1. Определители. 2. Действия над матрицами. Обратная матрица Определитель второго порядка задается равенством Определители Определитель второго порядка задается равенством Определитель третьего порядка задается равенством Свойства определителей Определитель равен нулю если он содержит две одинаковые или пропорциональные

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр Министерство образования и науки РФ Северный Арктический федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности 000. «Теплоэнергетика

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» Составители: Рыгзынова М.В. Елтошкина Е.В.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» Составители: Рыгзынова М.В. Елтошкина Е.В. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» (ГОУ ВПО «ВСГТУ»)

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее