МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции."

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть Предел числовой последовательности Предел функции Непрерывность функции Основные положения теории, методические указания Москва

2 Приведены краткие теоретические сведения по теории пределов и дифференциальному исчислению функций одной и нескольких переменных Изложение материала сопровождается подробным разбором решений типовых задач Для самостоятельного решения приведены варианты расчетнографических работ Методические указания предназначены для студентов всех специальностей очной и очно-заочной форм обучения Авторы выражают благодарность сотрудникам каф «Высшая математика» МГТУ «МАМИ» доц Н Н Пустовойтову, доц БЮ Кудрявцеву, доц ЛК Кийко, за полезные замечания при подготовке настоящего издания Числовая последовательность и ее предел Определение Пусть каждому натуральному числу (те,,, ) по некоторому закону поставлено в соответствие действительное число a Тогда говорят, что задана числовая последовательность: a, a,, a,, обозначаемая a Числа a, a,, a,, называются членами последовательности: a первым членом последовательности, a вторым, Последовательность может быть задана с помощью формулы вида последовательности через его номер, например Такую формулу называют формулой общего члена последовательности a -м или общим членом последовательности a, a si Пример Написать первые четыре члена последовательности a a, выражающей -й член, если: a Решение Последовательность задана формулой ее общего члена, чтобы получить член последовательности с конкретным номером, надо подставить его в формулу вместо произвольного номера Получим a ; a ; a ; a Пример Зная несколько первых членов последовательности a ; ; ; ; 8 8, написать формулу ее общего члена Решение Числитель каждого из заданных членов последовательности равен квадрату номера этого члена плюс, те Знаменатели же образуют арифметическую прогрессию, 8,, 8, с первым членом и разностью 5, следовательно, знаменатель -й дроби будет a 5 Предел последовательности 5 5 Поэтому Определение Число A называется пределом последовательности a, если для любого положительного числа можно подобрать такой номер N члена последовательности, зависящий от, что для всех членов последовательности с номерами N будет выполнено неравенство a A

3 Если обозначают это так: a A, или a a имеет своим пределом число A, то говорят, что a сходится (или стремится) к A и A Если последовательность a не имеет предела, то говорят, что она расходится Используя свойства модуля, неравенство a A можно записать так: a A или A a A Интервал A ; A называется -окрестностью числа A Тогда можно сформулировать понятие предела последовательности следующим образом: Определение Число A называется пределом последовательности a, если для каждой - окрестности числа A найдется номер члена последовательности, начиная с которого все члены последовательности будут находиться в этой окрестности Иначе говоря, для любой сколь угодно малой - окрестности числа A вне ее находится лишь конечное число членов последовательности (в частности, вне ее может вообще не быть членов последовательности) Пример 6 Используя определение предела последовательности, доказать, что Решение Зададим произвольно и рассмотрим разность a 7 7 Надо подобрать такое натуральное число N, чтобы для всякого натурального N выполнялось нера- 7 венство Решая относительно это неравенство, мы и найдем номер N Проще, однако, использовать следующее очевидное замечание Чтобы доказать равенство a A, мы по произвольному должны указать номер N такой, что неравенство a A выполняется, как только N, но при этом вовсе не обязательно находить наименьшее возможное значение этого номера Мы можем указать любой номер N, который гарантирует выполнение неравенства a A при N Этот простой и очевидный факт позволяет решить эту задачу проще Поскольку 7 7 ;, то неравенство 7 Теперь уже легко завершить доказательство Возьмем произвольное и решим Отсюда 7 и в качестве искомого номера N возьмем выполняется неравенство 7 7 7, а поскольку a 7 N Тогда при N, то при N будет выполнятся и неравенство a Это по определению означает, что a Пусть, например,, Тогда N 7 7, и все члены последовательности, начиная с номера 7 будут находиться в интервале,;,, те в окрестности точки A (,, A )

4 Пример 7 Доказать, что последовательность a расходится, те не имеет предела Решение Если четное число, то a, если нечетное число, то a Поэтому в любой окрестности точек и содержится бесконечно много членов последовательности, следовательно, числа и не могут быть пределами последовательности (исходя из геометрического смысла предела) Из него же следует, что любое число A и A также не может быть пределом данной последовательности так как в силу произвольности числа, фигурирующего в определении, его можно подобрать так, чтобы интервал A ; A не содержал бы точек, а тогда в нем вообще не будет членов последовательности, тем более их бесконечного числа Итак, последовательность но, очевидно, ограничена: a ) Свойства, выражаемые равенствами M, где M любое число, больше Правила предельного перехода a не имеет предела, а) Пусть существует предел последовательности a, равный числу a, и предел последовательности b, равный числу b Тогда существуют конечные пределы последовательностей a b, a b a b a и выполняются равенства: b, a b a b a b () a b a b a b () a a a b, b () b b b b b a a a a, () б) Если все члены последовательности a и число a принадлежат области определения непрерывной функции, (определение непрерывной функции будет дано ниже), то a a (5) в) Пусть существует предел последовательности a, равный a, тогда последовательность k a также имеет предел, равный a : a k a, (6) здесь k любое неотрицательное число, в частности, k Бесконечно малые (бм) и бесконечно большие (бб) последовательности, Определение Последовательность a называется бесконечно малой, если a, те для любого найдется номер N N такой, что при всех N будет a Иначе, в любом интервале

5 ; находится бесконечно много членов этой последовательности, а вне ее находится лишь конечное число членов Свойства бм последовательностей: ) Сумма, разность и произведение двух бм последовательностей является бм, те если,, то, (8) ) Произведение ограниченной последовательности на бм является бм, те, если существует такое M, что для всех номеров a M и, то a (9) В частности, если c cost, то c Определение 5 Последовательность a называется расходящейся к плюс бесконечности (или положительной бесконечно большой), если для любого числа A найдется номер N N A, такой что при всех N выполняется неравенство a A Иначе говоря, начиная с номера N все члены последовательности, an, an,, лежат в интервале, A, а вне его может находиться лишь конечное число (не более N ) членов последовательности Такая последовательность называется также стремящейся к, что записывается так: a Аналогично, определяется a Определение 6 Последовательность a называется бесконечно большой (бб), если a Иначе говоря, для любого числа A найдется номер N N A такой, что все члены последовательности с номерами N находятся вне отрезка A; A, а внутри его лежит лишь конечное число членов последовательности При этом пишут: a Связь между бб и бм последовательностями Пусть бм, а бб последовательности, все члены которых отличны от нуля, тогда последовательность будет бб, а последовательность бм 5 -й замечательный предел Рассмотрим последовательность a Можно показать, что a a и a, те эта последовательность возрастает и ограничена, тогда по теореме Вейерштрасса она имеет конечный предел, обозначаемый e : e e число иррациональное, e,788 () 5

6 Равенство () называется вторым замечательным пределом Можно показать, что e Справедливы более общие утверждения: k где k e ; k ; e e ; k и k, () e соответственно положительные бесконечно большая и бесконечно малая последовательности, те k, 6 Основные способы нахождения пределов последовательностей Нахождение предела последовательности a основывается на свойствах пределов, приведенных выше При этом необходимо отметить, что правила предельного перехода () (5) применимы в случае конечных пределов последовательностей В противном случае мы приходим к пределам вида k k, если ;, если и необходимости раскрыть, как говорят, неопреде- ленные выражения:,,,,,, При раскрытии неопределенностей используется следующие важные пределы: a a, a! log a, =,, a a,, () а также различные тождественные преобразования, позволяющие перейти от неопределенных выражений к таким, для которых уже можно применить свойства пределов () (5) и равенства () a Пусть требуется найти b Раскрытие неопределенностей вида, причем a и b В этом случае равенство () неприменимо, получаем неопределенное выражение Следует отметить, что это символ, а не число, поэтому выражение необходимо понимать так, что при безграничном возрастании числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают Основной прием здесь заключается в том, чтобы выделить в числителе и знаменателе главные части То есть те слагаемые, которые возрастают вместе с и 6

7 быстрее остальных слагаемых Например, пусть a При больших a будет почти равно, иначе говоря a так же, как и само Это обозначается так: a Для a, 5 при первое слагаемое также будет определять поведение всей суммы так как растет быстрее, чем и Поэтому можно записать:, 5, при Пример 8 Найти пределы ) si L ; ) 7 L Решение Идея решения всех этих задач выделение главной части ) 5 5 5, ; 9 7 9, следовательно, числитель и знамена- тель возрастают одинаково, как Поэтому выносим за скобки в числителе и знаменателе и упрощаем дробь: L 5 5 si si si Поскольку,, и si как произведение бесконечно малой на ограни- ченную si si, то L ) Решение примера будет более кратким А именно: заменим числитель и знаменатель дроби на их главные части 5 9 ; ;,, 7 Поэтому L 6 6 При раскрытии неопределенностей в случае, когда в числителе и в знаменателе содержатся сте- пенные слагаемые, используются свойства степеней и пределы: q Пример 9 Найти предел, q ; q, q L 7 Решение Предварительно упростим дробь, используя свойства степеней: 7 7 Поскольку, вынесем за скобки в числителе и знаменателе : 7

8 L, поскольку, то L 7 5 В некоторых случаях необходимо применить формулы, выражающие суммы первых членов арифметической и геометрической прогрессий: a a d a S для арифметической прогрессии; S b q q Пример Найти пределы ) L Решение для геометрической прогрессии 5 ; ) L 9 ) Здесь a, a, число членов Используя формулу для S (прогрессия арифметическая), получим: L ) Используя формулу для S (прогрессия геометрическая), получим: Раскрытие неопределенностей вида ; ; ; L Обычно при раскрытии этих неопределенностей используются различные тождественные преобразования, позволяющие свести их к уже известной задаче раскрытии неопределенностей вида или получить задачу, в которой нет неопределенностей Рассмотрим некоторые типичные примеры Пример Найти пределы ) L ; ) L Решение, Здесь имеем неопределенность вида При решении этих задач используем формулы сокращенного умножения 8

9 a b a b a b ; ) ) a b a ab b a b L L Пример Найти предел L ; Решение Чтобы понять, какая здесь неопределенность, выполним действие в скобках L Пример Найти предел L Здесь имеем неопределенность вида Используем формулы сокращенного умножения Решение L Раскрытие неопределенностей В этом случае используется -й замечательный предел, формулы (9) () и свойство () Пример Найти пределы ) L ; ) L 9

10 Во всех этих задачах неопределенность Для использования -го замечательного предела предварительно выделим целую часть дроби Решение ) L l e, где l ; L e ) l L e, где l ; L e Пример 5 Найти Разные примеры на нахождение пределов числовых L arccos 8 5 последовательностей Решение Найдем сначала предел аргумента арккосинуса: Теперь используем свойство (5): Пример 6 Найти L arccos si L arcsi cos Решение Здесь используем теорему: произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая Последовательность si cos ограничена: тк si, cos 5, то si Последовательность 5 cos arcsi бесконечно малая, тк аргумент арксинуса бесконечно малый:, следовательно, по свойству (5) arcsi определена в некоторой окрестности точки, кроме, может быть, самой точки Пусть функция Поэтому L 7 Предел функции в точке

11 Определение (Коши) Число A называется пределом функции в точке, если для любого числа существует число такое, что для всех, и удовлетворяющих условию, верно неравенство Обозначение: A или A A при Определение (Гейне) Число A называется пределом функции в точке, если для любой последовательности значений аргумента, последовательность значений функции те если функция, сходящейся к точке, соответствующая сходится к числу A Оба определения эквивалентны, имеет предел A в смысле определения Ι, то она имеет тот же предел A в смысле определения ΙΙ, и наоборот В определении Ι число, вообще говоря, зависит от числа В определениях предела функции в точке сама точка из рассмотрения исключается Следовательно, значение функции в точке не влияет на значение предела При этом функция может быть вообще не определена в точке Отсюда следует, что две функции, равные для всех из окрестности точки, за исключением самой точки, имеют при один и тот же предел A или не имеют предела Пример 7 Доказать, используя определение Ι, что ) 9 Решение Надо показать, что, выбрав произвольно, можно по нему подобрать такое, что для каждого, удовлетворяющего условию, будет выполняться неравенство 9 Пусть, которое пока не определено Тогда И если положить 6, то из неравенства будет следовать неравенство 9 Это и означает, что 9 Оста- лось решить уравнение 6 и отобрать его положительный корень: 9 Пример 8 Доказать, используя определение ΙΙ, что 6 ) ; ) si не имеет предела в точке Решение) Будем рассматривать данную функцию в некоторой окрестности точки, например, на интервале ;5 Возьмем какую либо последовательность ;5 такую, что и Тогда на основании теорем о пределах последовательностей имеем 6

12 В силу произвольности выбранной последовательности согласно определению ΙΙ, полу- 6 чаем, что ) Возьмем две последовательности и, сходящиеся к точке Рассмотрим соответствующие последовательности и si, то si не существует значений функции Так как si 8 Теоремы о пределах, а ) Единственность предела Если функция имеет в точке предел, то этот предел единственный ) Ограниченность функции, имеющей предел Определение 7 Функция называется ограниченной в -окрестности точки, если существует число M такое, что для всех из -окрестности точки, те для всех удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство M Если A, то найдется -окрестность точки, в которой функция ограничена ) Предел постоянной равен самой постоянной ) Арифметические операции над пределами функций Если и g A B, то: а) g g A B ; () б) g g A B ; () в частности, если c константа, то в) c c c A, (5) A если B (6) g g B 5) Переход к пределу в неравенствах: если g (или g ) для всех из некоторой окрестности точки, кроме, может быть, самой точки, и каждая из функций и g имеет в точке предел, то g (7) 6) Предел промежуточной функции

13 Если для всех из некоторой окрестности точки, кроме, быть может, самой точки, и функции и точке предел, также равный A имеют в точке предел, равный A, то функция имеет в 7) Предел сложной функции Пусть y u, где u g и существуют g A и u ; тогда в точке существует предел сложной функции u A g, причем: g u (8) Эта теорема обосновывает метод замены переменной при нахождении пределов функции 8) Для всех основных элементарных функций в любой точке их области определения имеет место ua равенство: (9) Определение 8 Пусть функция 9 Предел функции в бесконечности определена на промежутке ; + a, те для всех a, a некоторое число Число A называется пределом функции при, если для любого числа найдется такое число M, что для каждого, удовлетворяющего условию M, справедливо неравенство A ; обозначение: Определение 9 Аналогично, определяется Определение Пусть функция A A конечного отрезка a; b, те для всех a или b определена на всей числовой оси, за исключением, может быть, Число A называется пределом функции при, если для любого числа найдется такое число M, что для всех, удовлетворяющих неравенству M, справедливо неравенство A ; обозначение: A Теоремы о пределах при остаются справедливыми также при,, Пример 9 Доказать, что a, если a Решение Пусть произвольное выбрано Решаем неравенство lg a : a lg a lg Так как все преобразования равносильны, то мы показали: lg a для любого M выполняется неравенство a, где M lg, если, и M любое, если lg a Следовательно, согласно определению, a при a Определение Функция Бесконечно малые (бм) и бесконечно большие (бб) функции называется бесконечно малой при a, если может быть либо конечным числом, либо,, Здесь a a

14 Определение Если для любого числа M существует такое число, что для всех и удовлетворяющих условию, выполняется неравенство M, то функцию называют бесконечно большой при что записывается так: неравенство M получим определения положительной бб и отрицательной бб функций; обозначения:, или говорят, что Заменяя неравенство имеет бесконечный предел при, M на неравенство M или на ) Если и или бм функции при также есть бм функция при ) Если функция то произведение является бм при Свойства бм и бб функций, то их сумма и произведение, а есть бм функция при ограничена в некоторой окрестности точки, В частности произведение на постоянную c также бм ) Если бм при функции, а функция бм при имеет в точке конечный предел, A, то ) Связь между функцией, имеющей предел, с ее пределом и бм функцией чтобы Для того чтобы функция можно было представить в виде суммы при имела предел, равный A, необходимо и достаточно, где бм функция при A, () 5) Функция, определенная и не равная нулю в некоторой окрестности точки, кроме, может быть, самой точки, является бм при тогда и только тогда, когда функция при ( связь между бм и бб) является бб Сумма (разность) и частное бб не обязательно являются бб функциями; частное двух бм функций не обязательно является бм В этих случаях теоремы о пределе суммы, разности и частного неприменимы; принято говорить, что имеют место неопределенности вида ; ; Аналогично произведение бм на бб являет- ся неопределенностью вида Нахождение пределов в таких случаях называется раскрытием неопределенностей

15 Техника нахождения пределов Нахождение пределов функции основывается на применении свойств пределов () (7) и различных способов раскрытия неопределенностей Другие способы нахождения пределов функции будут рассмотрены ниже Пример Найти предел L Решение Имеем неопределенность вида Для ее раскрытия выделяем в числителе и знаменателе те множители, которые стремятся к нулю, после чего используем свойства пределов Разделим числитель на и найдем корни квадратного трехчлена в знаменателе Тогда получим L 5 Пример Найти предел L Решение Здесь для раскрытия неопределенностей используем формулы сокращенного умножения L Пример Найти пределы ) L 6 ; ) 6cos cos L / cos 5cos Решение В этих задачах для раскрытия неопределенностей применяем замену переменной ) Пусть z Тогда z и при z 6 6 Получим: z z L z z z z z z z ) Пусть cos z, тогда 6 z z 6 7 z cos / при / L z/ 9 z z 7 7 Нахождение пределов функции при во многом аналогично нахождению пределов последовательностей Пример Найти пределы 5

16 ) L ; ) L Решение Во всех задачах имеем неопределенность вида ) L 9 ) При нахождении В данном случае t t t t удобно ввести новую переменную t ; тогда t, t при t t L t t t t t t t t 7 7 t t t t t t t t t t t t Во многих случаях при раскрытии неопределенностей вида используется -й замечатель- si ный предел, те равенство или si На практике используется более общая форма записи -го замечательного предела: si или a a si Пример Найти пределы, где cos cos cos9 ) L ; ) L si tg 7 при a Решение Во всех этих задачах преобразуем функцию таким образом, чтобы можно было применить -й замечательный предел, при этом учитывается, что cos при ) Используем формулу cos si : L si si si si 6 ) Здесь используем формулу для разности косинусов cos cos si si si 6si si 6 si L cos 7 tg 7 si 7 si 7 В некоторых случаях для использования -го замечательного предела необходима замена переменной si Пример 5 Найти предел L 6

17 Решение Сделаем замену y, тогда y, и если, то y Тогда si y si y si y si y L y y y y y y y y y y y y При нахождении пределов вида C a следует иметь в виду, что: ) Если существуют конечные пределы A и ) Если A и a ) Если и a, то имеем неопределенность вида Используем -й замечательный предел: представим a a a a B B, то C A, то предел C находится непосредственно в виде, где a a C e e a На практике эту формулу лучше не запоминать, а каждый раз проделывать необходимые преобразования при a и, следовательно, Пример 6 Найти пределы ) Решение ) ), L si si L, при ; Пример 7 Найти пределы: ) L ; ) L 9 () L при, следовательно, на основании свойств показательной функции, L cos ; ) Решение Во всех этих задачах необходимо раскрывать неопределенность вида Используем преобразование () ) l L e, где l, L e ) si si l L cos si si e, где si si l, L / e e 7

18 Пусть и являются бесконечно малыми при a Если существует конечный отличный от нуля предел их отношения Сравнение бесконечно малых Применение к нахождению пределов a малыми одного порядка Если c, то функции называются эквивалентными; обозначение: c, то функции и и называются бесконечно Например, из -го замечательного предела следует, что при si Если c, то функция называется бесконечно малой высшего порядка по сравнению с записывается так: o, а бесконечно малой низшего порядка по отношению к Если a называется бесконечно малой -го порядка по отношению к c, где c Имеют место следующие утверждения: ) Если функции и, то a a, то функция являются бесконечно малыми при a ) Если k, k, то k a, что и если, Это равенство называется принципом замены эквивалентных бм ) Если и, то ) Для того чтобы две бм были эквивалентными необходимо и достаточно, чтобы их разность была бм более высокого порядка по сравнению с каждой из них 5) Сумма двух бм разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка (так как переход от бм к ей эквивалентной равносилен отбрасыванию бм высшего порядка) Таблица эквивалентных бм При : si arcsi a l a tg arctg l cos e loga m m, m R l a Пример 8 Заменить каждую из следующих бм ей эквивалентной при ) si 5 ; ) 5 cos Решение ) si имеет порядок малости относительно, (тк si ), 5 порядок малости ; значит, 8

19 si 5 si ) 5 5 cos si Низший порядок имеет слагаемое 5 cos , поэтому Нахождение пределов функций во многих случаях существенно упрощается, если использовать свойства эквивалентных бм и таблицу эквивалентных бм 7 arctg Пример 9 Найти пределы ) L e ;) l L ; ) L e e ) L Решение ) Поскольку arctg, e, то L 8 si arcsi arctg ; l l l l e e ) L e Так как при e, то, используя фор- e e e e e e e мулу l, получим: e e L e e e e e e ) Используем таблицу эквивалентностей: si, arctg Следовательно, ) si arcsi arctg arcsi, Теперь имеем: L L u При нахождении пределов выражений вида v u, где, v при a, удобно пользоваться формулой Пример Найти пределы ) ctg v l a u e v u a () L ; ) L l l Решение Используем формулу () и таблицу эквивалентностей ) L l e, где l l ctg l, L e tg ) Сделаем замену: t при, t Тогда 9

20 t L t t t l5t lt l l 5 t t e, где l l t l t t l 5 t t l 5 t l l 5, L t l t t t t t Пусть область определения функции Число a называется пределом слева функции в точке 5 l 5 e Непрерывность функции Односторонние пределы содержит интервал, (или при ), если для любого числа существует такое число, что для всех, удовлетворяющих неравенствам, выполняется неравенство a Предел слева функции в точке обозначают Если, то пишут или или Аналогично, в случае, когда область определения функции вводится понятие предела справа, который обозначают так: или или определяются и односторонние бесконечные пределы: Например, запись или содержит интервал или,,, если, и, если По аналогии с конечными односторонними пределами ; означает, что для каждого числа M существует такое число, что для всех, удовлетворяющих неравенствам, выполняется неравенство M Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда существуют пределы слева и справа в этой точке и они равны; при этом Для односторонних пределов справедливы теоремы о пределе суммы (разности), произведения, частного и о пределе композиции функций Пример Найти односторонние пределы функций, если, при 5, если ) Решение ) Пусть предел слева Если, cos, при ; ) Тогда Следовательно, то 5 ; следовательно, 5 предел справа ) cos si si По определению модуля si si, если, (с si, если - точностью до периода T ) Следовательно, si,

21 si Определение I Функция Непрерывность функции в точке называется непрерывной в точке, если: ) она определена в точке и некоторой ее окрестности; ) она имеет предел в точке ; ) этот предел равен значению функции, те: Так как в точке (), то равенству () можно придать следующую форму: Следовательно, для непрерывной функции символы и можно переставить Разность называют приращением аргумента и обозначают, а разность называют приращением функции, соответствующим данному приращению аргумента, и обозначают y, те, y В этих обозначениях можно дать следующее эквивалентное определение: Определение II Функция, определенная в некоторой окрестности точки, называется непрерывной в точке, если y () Операции над непрерывными функциями ) Пусть функции и g непрерывны в точке Тогда функции g, g, g также непрерывны в точке g ) Переход к пределу под знаком непрерывной функции Если функция то сложная функция u в точке имеет предел A, а функция в точке имеет предел, равный (5) ) Непрерывность сложной функции u Если функция u непрерывна в точке, а функция, то сложная функция y непрерывна в точке, те (6) u непрерывна в точке u A, иными словами: A, y u непрерывна в точке

22 ) Основные элементарные функции a,, log, si, a cos, tg, ctg, arcsi, arccos, arctg, arcctg непрерывны во все точках, где они определены Любая функция, образованная конечным числом алгебраических действий и взятий суперпозиций из основных элементарных функций, будет непрерывной во всех точках, в которых определены все составляющие ее элементарные функции, за исключением нулей знаменателей Пусть функция разрыва функции Точки разрыва функции определена в некоторой окрестности точки Точку называют точкой в следующих случаях: ) функция не определена в точке ; ) функция определена в точке, но: а) не существует б) существует, но Если существует ;, но не определена в точке или, то, то называют точкой разрыва типа называют точкой устранимого разрыва Если в точке разрыва существуют не равные между собой односторонние пределы, скачок, а разность скачком функции в точке Устранимый разрыв и скачок называются разрывами -го рода Если в точке разрыва не существует хотя бы один из односторонних пределов, то называют точкой разрыва -го рода Функцию на промежутке ; ;, определенную a b, называют непрерывной слева в точке (непрерывной справа в точке ), если Примеры решения задач Исследовать функцию на непрерывность означает: ) найти все точки разрыва и указать их вид, ) в случае устранимого разрыва доопределить функцию до непрерывности, ) построить эскиз графика функции в окрестности точек разрыва Пример Исследовать на непрерывность функции ), если 6, если 5 ; ) Решение ) Функция не определена в точке и поэтому в ней разрывна Кроме того, точкой возможного разрыва является точка, тк слева и справа от нее функция задается различными формулами Исследуем эти точки Для этого находим односторонние пределы в этих точках:

23 , так как, 5, 5 при ;, так как 5, 5, при 5 Следовательно, имеет разрыв -го рода скачок: скачок в точке, в точке функция равен 5 6 6,, Следовательно, графика около точки разрыва дан на рис , в точке функция непрерывна Эскиз ) Функция определена и непрерывна во всех точках, кроме,, в которых знаменатель обращается в ноль Исследуем эти точки Для : Следовательно,, но не существует в точке В точке устранимый разрыв Чтобы доопределить функцию до непрерывности в этой точке, полагаем Для : тк, и ;, тк, и Следовательно, в точке разрыв -го рода Эскиз графика около точек разрыва дан на рис y y - Рис Рис

24 СОДЕРЖАНИЕ Числовая последовательность и ее предел Предел последовательности Правила предельного перехода Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности 5 -й замечательный предел 5 6 Основные способы нахождения пределов последовательностей 6 7 Предел функции в точке 8 Теоремы о пределах 9 Предел функции в бесконечности Бесконечно малые и бесконечно большие функции Техника нахождения пределов Сравнение бесконечно малых Применение к нахождению пределов 7 Непрерывность функции

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА ГОУВПО КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА Учебно-методическое

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА

Министерство образования и науки Российской Федерации. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА Г.Г. Литова, Д.Ю. Ханукаева ПРЕДЕЛЫ Пособие для студентов, обучающихся по специальности

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Предел. Непрерывность. Производная. Интеграл Утверждено Редакционно-издательским

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ Т Ю Альпин, А И Егоров, П Е Кашаргин, С В Сушков ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть I: Комплексные числа Предел функции Казань 013 Печатается

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) Кафедра "Прикладная математика-1" Ю.С.Семёнов Кафедра "Прикладная математика-1"

Подробнее

Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов

Сборник задач для самостоятельного решения по теме Предел функции Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов ББК В 65я73-4 С 3 УДК 57 Учебное издание Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: АН Максименко, АН Морозов Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Лекция 1 Вещественные числа.

Лекция 1 Вещественные числа. Лекция 1 Вещественные числа. 1. Рациональные числа. Простейшими числами являются целые положительные числа 1, 2,..., используемые при счете. Они называются натуральными числами, и люди их знали так много

Подробнее

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim Òåîðåìû î ïðåäåëàõ Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Основные теоремы о пределах. Предел числовой последовательности. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Экспонента. Натуральный логарифм.

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

Методические указания

Методические указания Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана Методические указания В.Я. Томашпольский, М.Н. Шевченко, И.О. Янов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана Московский государственный

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия 35 Глава 2 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1 Основные понятия Пусть D некоторое множество чисел Если задан закон, по которому каждому числу из множества D ставится в

Подробнее

x 2 10x > x 2 10x = x(x 10) > x2 x x 2 /2 = 2 x. x 2 10x < x+ x 2 10x = 0. x 0. > 0k N : 0 < x k < и f(x k ) A = A > 0,

x 2 10x > x 2 10x = x(x 10) > x2 x x 2 /2 = 2 x. x 2 10x < x+ x 2 10x = 0. x 0. > 0k N : 0 < x k < и f(x k ) A = A > 0, Пределы Предел функции Определение предела Пусть a точка числовой прямой, a b c) Пусть функция f) опре- делена на множестве E : { b c)\{a}} Число a называется пределом функции f) при, стремящемся к a обо-

Подробнее

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1 Глава 1 Основы алгебры Числовые множества Рассмотрим основные числовые множества. Множество натуральных чисел N включает числа вида 1, 2, 3 и т. д., которые используются для счета предметов. Множество

Подробнее

Конспект лекций по высшей математике

Конспект лекций по высшей математике Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра высшей математики Конспект лекций по высшей математике для студентов экономических

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент.

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

2011 год. Высшая математика для чайников. Предел функции. Виосагмир И.А. Предел функции.

2011 год. Высшая математика для чайников. Предел функции. Виосагмир И.А. Предел функции. 20 год Высшая математика для чайников. Предел функции. Виосагмир И.А. Предел функции viosagmir@gmail.com Предел функции Введение Ну что же Я приветствую Вас в своей первой книге, посвященной пределам функции.

Подробнее

Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов ПРЕДЕЛЫ

Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов ПРЕДЕЛЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Теоретический материал.

Теоретический материал. 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

Теория пределов: упражнения и примеры

Теория пределов: упражнения и примеры Теория пределов: упражнения и примеры Методическое пособие для факультетов менеджмента, политологии и социологии П.А.Панов Государственный Университет Высшая школа экономики Январь 00 Что такое предел

Подробнее

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии Кафедра высшей математики Высшая математика ( семестр Разделы Функции. Пределы. Дифференцирование. Интегрирование. Основные формулы по темам

Подробнее

Типовые задачи c решениями.

Типовые задачи c решениями. Типовые задачи c решениями. Формальное суммирование рядов. Формула рекурсии k a k a + a k k Формула умножения λ a k λa k Формула сложения k k k a k + b k a k + k b k k Пример Геометрическая прогрессия.

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

Задачи по высшей математике для биологов

Задачи по высшей математике для биологов МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ БИОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Бобров А.Н. Радославова Т.В. Задачи по высшей математике для биологов МОСКВА 03 УДК

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1.

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1. 1 Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Специализированный учебно-научный центр ГОУ лицей 1580. Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, 2014-2015 учебный

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ 1. Числовые множества. Арифметические действия над числами. Натуральные числа (N).

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А.

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А. РЯДЫ ФУРЬЕ Автор-составитель: доцент каф ВМ Цапаева СА Великий Новгород ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ГАРМОНИК Определение Гармониками называются комплекснозначные функции вида iω ( ) e, где действительная переменная,

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

С.А. Лавренченко. Доказательство: Повести самостоятельно. Указание: Применить произведения, взяв

С.А. Лавренченко. Доказательство: Повести самостоятельно. Указание: Применить произведения, взяв Лекция 4 1 СА Лавренченко Вычисление пределов 1 Правила вычисления пределов Пусть действительная константа и целое положительное число При условии, что существуют оба предела и, имеют место следующие десять

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

Баллы 0-4 5 6-7 8-9 Оценка «2» «3» «4» «5»

Баллы 0-4 5 6-7 8-9 Оценка «2» «3» «4» «5» МАТЕМАТИКА, класс Ответы и критерии, Ноябрь 0 Вариант/ задания ОТВЕТЫ В В В В В В В7 С 90, 0 0 0,8 0, arcsi 7, 00 0-0, +, +, ( + +, 0-0, 0, 9 Отрезку принадлежат корни 78,8 79 700 9, - 0, 0, arccos 8 7,

Подробнее

Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ. , если выполняются следующие три условия :

Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ. , если выполняются следующие три условия : 57 Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ Определение 1 Функция = f ( ) называется непрерывной в точке, если выполняются следующие три условия : 1) функция = f (

Подробнее

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова Высшая математика IV САМОУЧИТЕЛЬ

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

Т.Л. Сурин Ж.В. Иванова С.В. Шерегов Методические рекомендации и задания к контрольным работам 1 и 2 по математическому анализу

Т.Л. Сурин Ж.В. Иванова С.В. Шерегов Методические рекомендации и задания к контрольным работам 1 и 2 по математическому анализу Т.Л. Сурин Ж.В. Иванова С.В. Шерегов Методические рекомендации и задания к контрольным работам и по математическому анализу (для студентов I курса математического факультета заочного отделения ) Витебск

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный университет» А А Г О Л У Б Е В, Т А С П А С С К А Я ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

Подробнее

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине «Элементы высшей математики».

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине «Элементы высшей математики». МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ «ДОНСКОЙ БАНКОВСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Методические

Подробнее

МАТЕМАТИКА Часть II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИКА Часть II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Российский государственный педагогический университет им АИ Герцена МАТЕМАТИКА Часть II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное пособие Под редакцией доктора педагогических наук Хамова

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА 10 класс (профильный уровень)

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА 10 класс (профильный уровень) РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА 0 класс (профильный уровень) п/п РАЗДЕЛ / ТЕМА Колво час. Планируемые результаты Примечание ПОВТОРЕНИЕ КУРСА 9 КЛАССА 4 Упрощение рациональных выражений Решение

Подробнее

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ТЕХНИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (на базе

Подробнее

by Heine, E. in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, (page(s) ) Berlin; 1872, Bd LXXIV Heft 2.

by Heine, E. in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, (page(s) ) Berlin; 1872, Bd LXXIV Heft 2. Die Elemete der Fuctioelehre. by Heie, E. i: Joural für die reie ud agewadte Mathematik, (page(s) 172-188) Berli; 1872, Bd LXXIV Heft 2. Гейне Эдвард Генрих. Элементы учения о функциях. Журнал чистой и

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

Лекции по математическому анализу

Лекции по математическому анализу В.Ф. Бутузов Лекции по математическому анализу Часть I Москва 2012 Б у т у з о в В. Ф. Лекции по математическому анализу. Часть I. Учебное пособие содержит первую часть курса лекций по математическому

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Программа дополнительного образования «Программа подготовки в ВУЗ»

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Программа дополнительного образования «Программа подготовки в ВУЗ» Автономная некоммерческая организация дополнительного образования Учебный Центр при МГТУ им. Н. Э. Баумана «Ориентир» «УТВЕРЖДАЮ» Директор АНО ДО Учебный Центр при МГТУ им. Н.Э.Баумана «Ориентир» ПАНФИЛОВА

Подробнее

Практикум по дифференциальному исчислению

Практикум по дифференциальному исчислению Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Л.И. Магазинников А.Л. Магазинников Практикум по дифференциальному исчислению Учебное пособие

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО МАТЕМАТИКЕ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

Планируемые результаты освоения алгебры в 7 классе Алгебраические выражения. Уравнения

Планируемые результаты освоения алгебры в 7 классе Алгебраические выражения. Уравнения Программа по алгебре для 7 класса общеобразовательного учреждения. Пояснительная записка Структура программы Программа включает три раздела: 1.Планируемые результаты усвоения алгебры в 7 классе 2.Содержание

Подробнее

Т. В. Родина, Е. С. Трифанова ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ I

Т. В. Родина, Е. С. Трифанова ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ I Т В Родина, Е С Трифанова ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ I для напр «Прикладная математика и информатика» Учебное пособие под редакцией проф И Ю Попова Санкт Петербург 0 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств

МАТЕМАТИКА. Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического

Подробнее

Оформление решения рационального неравенства следующее: xx x x x x. Итак: план решения рационального неравенства:

Оформление решения рационального неравенства следующее: xx x x x x. Итак: план решения рационального неравенства: РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ. I) х - 5> линейное неравенство. Решаем методом переноса: х>5, т.е. х>5, и т.д. II) х > можно решить перебором чисел. III) Более сложные неравенства (квадратные, дробные,

Подробнее

Предел и непрерывность функций одной переменной

Предел и непрерывность функций одной переменной министерство образования и науки российской федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский

Подробнее

Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Равномерная непрерывность функций одной переменной. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов, Н.Т. Левашова, Н.Е. Шапкина Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет»

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО РАЗДЕЛУ «РЯДЫ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования РФ Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) ЛН Романова ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Курс лекций Омск Издательство СибАДИ ЛН РОМАНОВА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2012 Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней (типовые задания С1)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2012 Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней (типовые задания С1) Корянов АГ, Прокофьев АА Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней (типовые задания С) Прокофьев АА, Корянов

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных 1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

Лекция 2. Степенные ряды

Лекция 2. Степенные ряды С А Лавренченко wwwlwreekoru Лекция Степенные ряды Понятие степенного ряда Степенной ряд можно рассматривать как многочлен с бесконечным числом членов Определение (степенного ряда) Степенным рядом называется

Подробнее

Сазонов Д.О. Методические упражнения с решениями и теоремы с доказательством для курса средней школы «Функции и пределы»

Сазонов Д.О.   Методические упражнения с решениями и теоремы с доказательством для курса средней школы «Функции и пределы» Кафедра информатики и методики преподавания математики ВГПУ Сазонов Д.О. E-mail: imul@vspu.ac.ru Методические упражнения с решениями и теоремы с доказательством для курса средней школы «Функции и пределы»..

Подробнее

12. Определенный интеграл

12. Определенный интеграл 58 Определенный интеграл Пусть на промежутке [] задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке [] произвольные числа,, 3,, n-, удовлетворяющие условию:

Подробнее

Лекция 17: Евклидово пространство

Лекция 17: Евклидово пространство Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания При решении многих задач возникает необходимость иметь числовые

Подробнее

3A = A = A = 1 7 A + B = A = c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj = a is b sj

3A = A = A = 1 7 A + B = A = c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj = a is b sj Высшая математика Лекции по курсу Список литературы [] Высшая математика для экономистов Под редакцией НШ Кремера [] СА Минюк, ЕА Ровба Высшая математика [] Сборник задач по высшей математике для экономистов

Подробнее

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения И. В. Яковлев, А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта http://www.ege-study.ru Тригонометрические уравнения В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных исследований

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

Методические рекомендации по решению задач на тему «пределы функции» для студентов специальности «Производство летательных аппаратов»

Методические рекомендации по решению задач на тему «пределы функции» для студентов специальности «Производство летательных аппаратов» Государственное бюджетное профессиональное учреждение Московской области «Авиационный техникум имени В.А. Казакова» Рассмотрено на заседании предметной цикловой комиссии «Общеобразовательных, математических

Подробнее

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РА- БОТА

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РА- БОТА В И МАТЯШ РЯДЫ КУРС ЛЕКЦИЙ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РА- БОТА Учебное пособие Издание третье, исправленное и дополненное МОСКВА Кафедра «Высшая математика» МГТУ «МАМИ» Автор и составитель Матяш ВИ В школе нас

Подробнее

Лекция 1: Комплексные числа

Лекция 1: Комплексные числа Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В школьном курсе математики понятие числа постепенно расширяется.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

( C x A) x C (1) (соответственно

( C x A) x C (1) (соответственно 3. Ограниченность и точные границы 3.. Ограниченные и неограниченные множества. Cимволом R обозначают множество вещественных чисел, а через R расширенную числовую прямую, т. е. R = R {,+ }; для краткости,

Подробнее

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8.

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: 16x 10x + 2x = 8, 40x + 25x 5x = 20. Ответ: Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 1 2 + 5 8 x 1 8 x, x, x R; базисное

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Московский физико-технический институт (государственный университет) О.В. Бесов ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть 1 Москва, 2004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Методические указания по математическому

Подробнее

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012 Оценка снизу скорости блуждания решения линейного дифференциального уравнения третьего порядка через частоту нулей Тихомирова А.В. arxiv:11.6657v1 [math.ca] 9 Dec 1 В работе сравниваются две характеристики

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

ГФ Первый курс Осень Глава 3. Теоремы о пределах. (Раздел 1. Функции, пределы, непрерывность.) 3 45 мин. Печать

ГФ Первый курс Осень Глава 3. Теоремы о пределах. (Раздел 1. Функции, пределы, непрерывность.) 3 45 мин. Печать Лектор Лисеев И.А. Кафедра высшей математики МИИГАиК. ГФ Первый курс Осень 0 3 45 мин. Печать -09-0 Редактирование -09-0 Глава 3. Теоремы о пределах (Раздел. Функции, пределы, непрерывность.) Глава 3.

Подробнее

П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е

П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е Санкт-Петербургский государственный университет А. В. О С И П О В К О Н С П Е К Т Л Е К Ц И Й П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е Часть II (-й курс, -й семестр) Санкт-Петеpбуpг 0 0 Конспект лекций по высшей

Подробнее

Предмет математика модуль «алгебра», 7 класс. Учитель Анастасия Васильевна Рыбалкина

Предмет математика модуль «алгебра», 7 класс. Учитель Анастасия Васильевна Рыбалкина Предмет математика модуль «алгебра», 7 класс Учитель Анастасия Васильевна Рыбалкина Что предстоит «узнать» = изучить, освоить на уроках математике модуль «алгебра» в 7 классе. 1) ТЕМЫ (по программе) I.

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр. 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр. 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел множество целых чисел N = {0, 1, 2, 3,..., }, Z = {0, ±1, ±2, ±3,..., } множество рациональных чисел { m }

Подробнее

Задачи Штурма-Лиувилля в простейшем случае

Задачи Штурма-Лиувилля в простейшем случае Задачи Штурма-Лиувилля в простейшем случае 1 I рода слева I рода справа Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевыми условиями I-го рода: { X x + Xx, X X 11 Общее решение уравнения X x + Xx имеет вид Xx c

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Обыкновенные дроби. m или ( m ) < n. или ( m) n. Всякую неправильную дробь можно представить в виде

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Обыкновенные дроби. m или ( m ) < n. или ( m) n. Всякую неправильную дробь можно представить в виде РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Обыкновенные дроби Определение Дроби вида, называются обыкновенными дробями Обыкновенные дроби, правильные и неправильные Определение Дробь, правильной, если < при, где Z, N Z, N Z,

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ. ТОЧНЫЕ ГРАНИЦЫ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ. ТОЧНЫЕ ГРАНИЦЫ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Утверждено научно-методическим советом математического

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Московский физико-технический институт (государственный университет) О.В. Бесов КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Москва, 2004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Методические указания по математическому

Подробнее

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье.

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье. Лекция 4. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда..4. Равенство Парсеваля Пусть система вещественных функций g( ), g( ),..., g ( ),... ортогональна и

Подробнее