МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции."

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть Предел числовой последовательности Предел функции Непрерывность функции Основные положения теории, методические указания Москва

2 Приведены краткие теоретические сведения по теории пределов и дифференциальному исчислению функций одной и нескольких переменных Изложение материала сопровождается подробным разбором решений типовых задач Для самостоятельного решения приведены варианты расчетнографических работ Методические указания предназначены для студентов всех специальностей очной и очно-заочной форм обучения Авторы выражают благодарность сотрудникам каф «Высшая математика» МГТУ «МАМИ» доц Н Н Пустовойтову, доц БЮ Кудрявцеву, доц ЛК Кийко, за полезные замечания при подготовке настоящего издания Числовая последовательность и ее предел Определение Пусть каждому натуральному числу (те,,, ) по некоторому закону поставлено в соответствие действительное число a Тогда говорят, что задана числовая последовательность: a, a,, a,, обозначаемая a Числа a, a,, a,, называются членами последовательности: a первым членом последовательности, a вторым, Последовательность может быть задана с помощью формулы вида последовательности через его номер, например Такую формулу называют формулой общего члена последовательности a -м или общим членом последовательности a, a si Пример Написать первые четыре члена последовательности a a, выражающей -й член, если: a Решение Последовательность задана формулой ее общего члена, чтобы получить член последовательности с конкретным номером, надо подставить его в формулу вместо произвольного номера Получим a ; a ; a ; a Пример Зная несколько первых членов последовательности a ; ; ; ; 8 8, написать формулу ее общего члена Решение Числитель каждого из заданных членов последовательности равен квадрату номера этого члена плюс, те Знаменатели же образуют арифметическую прогрессию, 8,, 8, с первым членом и разностью 5, следовательно, знаменатель -й дроби будет a 5 Предел последовательности 5 5 Поэтому Определение Число A называется пределом последовательности a, если для любого положительного числа можно подобрать такой номер N члена последовательности, зависящий от, что для всех членов последовательности с номерами N будет выполнено неравенство a A

3 Если обозначают это так: a A, или a a имеет своим пределом число A, то говорят, что a сходится (или стремится) к A и A Если последовательность a не имеет предела, то говорят, что она расходится Используя свойства модуля, неравенство a A можно записать так: a A или A a A Интервал A ; A называется -окрестностью числа A Тогда можно сформулировать понятие предела последовательности следующим образом: Определение Число A называется пределом последовательности a, если для каждой - окрестности числа A найдется номер члена последовательности, начиная с которого все члены последовательности будут находиться в этой окрестности Иначе говоря, для любой сколь угодно малой - окрестности числа A вне ее находится лишь конечное число членов последовательности (в частности, вне ее может вообще не быть членов последовательности) Пример 6 Используя определение предела последовательности, доказать, что Решение Зададим произвольно и рассмотрим разность a 7 7 Надо подобрать такое натуральное число N, чтобы для всякого натурального N выполнялось нера- 7 венство Решая относительно это неравенство, мы и найдем номер N Проще, однако, использовать следующее очевидное замечание Чтобы доказать равенство a A, мы по произвольному должны указать номер N такой, что неравенство a A выполняется, как только N, но при этом вовсе не обязательно находить наименьшее возможное значение этого номера Мы можем указать любой номер N, который гарантирует выполнение неравенства a A при N Этот простой и очевидный факт позволяет решить эту задачу проще Поскольку 7 7 ;, то неравенство 7 Теперь уже легко завершить доказательство Возьмем произвольное и решим Отсюда 7 и в качестве искомого номера N возьмем выполняется неравенство 7 7 7, а поскольку a 7 N Тогда при N, то при N будет выполнятся и неравенство a Это по определению означает, что a Пусть, например,, Тогда N 7 7, и все члены последовательности, начиная с номера 7 будут находиться в интервале,;,, те в окрестности точки A (,, A )

4 Пример 7 Доказать, что последовательность a расходится, те не имеет предела Решение Если четное число, то a, если нечетное число, то a Поэтому в любой окрестности точек и содержится бесконечно много членов последовательности, следовательно, числа и не могут быть пределами последовательности (исходя из геометрического смысла предела) Из него же следует, что любое число A и A также не может быть пределом данной последовательности так как в силу произвольности числа, фигурирующего в определении, его можно подобрать так, чтобы интервал A ; A не содержал бы точек, а тогда в нем вообще не будет членов последовательности, тем более их бесконечного числа Итак, последовательность но, очевидно, ограничена: a ) Свойства, выражаемые равенствами M, где M любое число, больше Правила предельного перехода a не имеет предела, а) Пусть существует предел последовательности a, равный числу a, и предел последовательности b, равный числу b Тогда существуют конечные пределы последовательностей a b, a b a b a и выполняются равенства: b, a b a b a b () a b a b a b () a a a b, b () b b b b b a a a a, () б) Если все члены последовательности a и число a принадлежат области определения непрерывной функции, (определение непрерывной функции будет дано ниже), то a a (5) в) Пусть существует предел последовательности a, равный a, тогда последовательность k a также имеет предел, равный a : a k a, (6) здесь k любое неотрицательное число, в частности, k Бесконечно малые (бм) и бесконечно большие (бб) последовательности, Определение Последовательность a называется бесконечно малой, если a, те для любого найдется номер N N такой, что при всех N будет a Иначе, в любом интервале

5 ; находится бесконечно много членов этой последовательности, а вне ее находится лишь конечное число членов Свойства бм последовательностей: ) Сумма, разность и произведение двух бм последовательностей является бм, те если,, то, (8) ) Произведение ограниченной последовательности на бм является бм, те, если существует такое M, что для всех номеров a M и, то a (9) В частности, если c cost, то c Определение 5 Последовательность a называется расходящейся к плюс бесконечности (или положительной бесконечно большой), если для любого числа A найдется номер N N A, такой что при всех N выполняется неравенство a A Иначе говоря, начиная с номера N все члены последовательности, an, an,, лежат в интервале, A, а вне его может находиться лишь конечное число (не более N ) членов последовательности Такая последовательность называется также стремящейся к, что записывается так: a Аналогично, определяется a Определение 6 Последовательность a называется бесконечно большой (бб), если a Иначе говоря, для любого числа A найдется номер N N A такой, что все члены последовательности с номерами N находятся вне отрезка A; A, а внутри его лежит лишь конечное число членов последовательности При этом пишут: a Связь между бб и бм последовательностями Пусть бм, а бб последовательности, все члены которых отличны от нуля, тогда последовательность будет бб, а последовательность бм 5 -й замечательный предел Рассмотрим последовательность a Можно показать, что a a и a, те эта последовательность возрастает и ограничена, тогда по теореме Вейерштрасса она имеет конечный предел, обозначаемый e : e e число иррациональное, e,788 () 5

6 Равенство () называется вторым замечательным пределом Можно показать, что e Справедливы более общие утверждения: k где k e ; k ; e e ; k и k, () e соответственно положительные бесконечно большая и бесконечно малая последовательности, те k, 6 Основные способы нахождения пределов последовательностей Нахождение предела последовательности a основывается на свойствах пределов, приведенных выше При этом необходимо отметить, что правила предельного перехода () (5) применимы в случае конечных пределов последовательностей В противном случае мы приходим к пределам вида k k, если ;, если и необходимости раскрыть, как говорят, неопреде- ленные выражения:,,,,,, При раскрытии неопределенностей используется следующие важные пределы: a a, a! log a, =,, a a,, () а также различные тождественные преобразования, позволяющие перейти от неопределенных выражений к таким, для которых уже можно применить свойства пределов () (5) и равенства () a Пусть требуется найти b Раскрытие неопределенностей вида, причем a и b В этом случае равенство () неприменимо, получаем неопределенное выражение Следует отметить, что это символ, а не число, поэтому выражение необходимо понимать так, что при безграничном возрастании числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают Основной прием здесь заключается в том, чтобы выделить в числителе и знаменателе главные части То есть те слагаемые, которые возрастают вместе с и 6

7 быстрее остальных слагаемых Например, пусть a При больших a будет почти равно, иначе говоря a так же, как и само Это обозначается так: a Для a, 5 при первое слагаемое также будет определять поведение всей суммы так как растет быстрее, чем и Поэтому можно записать:, 5, при Пример 8 Найти пределы ) si L ; ) 7 L Решение Идея решения всех этих задач выделение главной части ) 5 5 5, ; 9 7 9, следовательно, числитель и знамена- тель возрастают одинаково, как Поэтому выносим за скобки в числителе и знаменателе и упрощаем дробь: L 5 5 si si si Поскольку,, и si как произведение бесконечно малой на ограни- ченную si si, то L ) Решение примера будет более кратким А именно: заменим числитель и знаменатель дроби на их главные части 5 9 ; ;,, 7 Поэтому L 6 6 При раскрытии неопределенностей в случае, когда в числителе и в знаменателе содержатся сте- пенные слагаемые, используются свойства степеней и пределы: q Пример 9 Найти предел, q ; q, q L 7 Решение Предварительно упростим дробь, используя свойства степеней: 7 7 Поскольку, вынесем за скобки в числителе и знаменателе : 7

8 L, поскольку, то L 7 5 В некоторых случаях необходимо применить формулы, выражающие суммы первых членов арифметической и геометрической прогрессий: a a d a S для арифметической прогрессии; S b q q Пример Найти пределы ) L Решение для геометрической прогрессии 5 ; ) L 9 ) Здесь a, a, число членов Используя формулу для S (прогрессия арифметическая), получим: L ) Используя формулу для S (прогрессия геометрическая), получим: Раскрытие неопределенностей вида ; ; ; L Обычно при раскрытии этих неопределенностей используются различные тождественные преобразования, позволяющие свести их к уже известной задаче раскрытии неопределенностей вида или получить задачу, в которой нет неопределенностей Рассмотрим некоторые типичные примеры Пример Найти пределы ) L ; ) L Решение, Здесь имеем неопределенность вида При решении этих задач используем формулы сокращенного умножения 8

9 a b a b a b ; ) ) a b a ab b a b L L Пример Найти предел L ; Решение Чтобы понять, какая здесь неопределенность, выполним действие в скобках L Пример Найти предел L Здесь имеем неопределенность вида Используем формулы сокращенного умножения Решение L Раскрытие неопределенностей В этом случае используется -й замечательный предел, формулы (9) () и свойство () Пример Найти пределы ) L ; ) L 9

10 Во всех этих задачах неопределенность Для использования -го замечательного предела предварительно выделим целую часть дроби Решение ) L l e, где l ; L e ) l L e, где l ; L e Пример 5 Найти Разные примеры на нахождение пределов числовых L arccos 8 5 последовательностей Решение Найдем сначала предел аргумента арккосинуса: Теперь используем свойство (5): Пример 6 Найти L arccos si L arcsi cos Решение Здесь используем теорему: произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая Последовательность si cos ограничена: тк si, cos 5, то si Последовательность 5 cos arcsi бесконечно малая, тк аргумент арксинуса бесконечно малый:, следовательно, по свойству (5) arcsi определена в некоторой окрестности точки, кроме, может быть, самой точки Пусть функция Поэтому L 7 Предел функции в точке

11 Определение (Коши) Число A называется пределом функции в точке, если для любого числа существует число такое, что для всех, и удовлетворяющих условию, верно неравенство Обозначение: A или A A при Определение (Гейне) Число A называется пределом функции в точке, если для любой последовательности значений аргумента, последовательность значений функции те если функция, сходящейся к точке, соответствующая сходится к числу A Оба определения эквивалентны, имеет предел A в смысле определения Ι, то она имеет тот же предел A в смысле определения ΙΙ, и наоборот В определении Ι число, вообще говоря, зависит от числа В определениях предела функции в точке сама точка из рассмотрения исключается Следовательно, значение функции в точке не влияет на значение предела При этом функция может быть вообще не определена в точке Отсюда следует, что две функции, равные для всех из окрестности точки, за исключением самой точки, имеют при один и тот же предел A или не имеют предела Пример 7 Доказать, используя определение Ι, что ) 9 Решение Надо показать, что, выбрав произвольно, можно по нему подобрать такое, что для каждого, удовлетворяющего условию, будет выполняться неравенство 9 Пусть, которое пока не определено Тогда И если положить 6, то из неравенства будет следовать неравенство 9 Это и означает, что 9 Оста- лось решить уравнение 6 и отобрать его положительный корень: 9 Пример 8 Доказать, используя определение ΙΙ, что 6 ) ; ) si не имеет предела в точке Решение) Будем рассматривать данную функцию в некоторой окрестности точки, например, на интервале ;5 Возьмем какую либо последовательность ;5 такую, что и Тогда на основании теорем о пределах последовательностей имеем 6

12 В силу произвольности выбранной последовательности согласно определению ΙΙ, полу- 6 чаем, что ) Возьмем две последовательности и, сходящиеся к точке Рассмотрим соответствующие последовательности и si, то si не существует значений функции Так как si 8 Теоремы о пределах, а ) Единственность предела Если функция имеет в точке предел, то этот предел единственный ) Ограниченность функции, имеющей предел Определение 7 Функция называется ограниченной в -окрестности точки, если существует число M такое, что для всех из -окрестности точки, те для всех удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство M Если A, то найдется -окрестность точки, в которой функция ограничена ) Предел постоянной равен самой постоянной ) Арифметические операции над пределами функций Если и g A B, то: а) g g A B ; () б) g g A B ; () в частности, если c константа, то в) c c c A, (5) A если B (6) g g B 5) Переход к пределу в неравенствах: если g (или g ) для всех из некоторой окрестности точки, кроме, может быть, самой точки, и каждая из функций и g имеет в точке предел, то g (7) 6) Предел промежуточной функции

13 Если для всех из некоторой окрестности точки, кроме, быть может, самой точки, и функции и точке предел, также равный A имеют в точке предел, равный A, то функция имеет в 7) Предел сложной функции Пусть y u, где u g и существуют g A и u ; тогда в точке существует предел сложной функции u A g, причем: g u (8) Эта теорема обосновывает метод замены переменной при нахождении пределов функции 8) Для всех основных элементарных функций в любой точке их области определения имеет место ua равенство: (9) Определение 8 Пусть функция 9 Предел функции в бесконечности определена на промежутке ; + a, те для всех a, a некоторое число Число A называется пределом функции при, если для любого числа найдется такое число M, что для каждого, удовлетворяющего условию M, справедливо неравенство A ; обозначение: Определение 9 Аналогично, определяется Определение Пусть функция A A конечного отрезка a; b, те для всех a или b определена на всей числовой оси, за исключением, может быть, Число A называется пределом функции при, если для любого числа найдется такое число M, что для всех, удовлетворяющих неравенству M, справедливо неравенство A ; обозначение: A Теоремы о пределах при остаются справедливыми также при,, Пример 9 Доказать, что a, если a Решение Пусть произвольное выбрано Решаем неравенство lg a : a lg a lg Так как все преобразования равносильны, то мы показали: lg a для любого M выполняется неравенство a, где M lg, если, и M любое, если lg a Следовательно, согласно определению, a при a Определение Функция Бесконечно малые (бм) и бесконечно большие (бб) функции называется бесконечно малой при a, если может быть либо конечным числом, либо,, Здесь a a

14 Определение Если для любого числа M существует такое число, что для всех и удовлетворяющих условию, выполняется неравенство M, то функцию называют бесконечно большой при что записывается так: неравенство M получим определения положительной бб и отрицательной бб функций; обозначения:, или говорят, что Заменяя неравенство имеет бесконечный предел при, M на неравенство M или на ) Если и или бм функции при также есть бм функция при ) Если функция то произведение является бм при Свойства бм и бб функций, то их сумма и произведение, а есть бм функция при ограничена в некоторой окрестности точки, В частности произведение на постоянную c также бм ) Если бм при функции, а функция бм при имеет в точке конечный предел, A, то ) Связь между функцией, имеющей предел, с ее пределом и бм функцией чтобы Для того чтобы функция можно было представить в виде суммы при имела предел, равный A, необходимо и достаточно, где бм функция при A, () 5) Функция, определенная и не равная нулю в некоторой окрестности точки, кроме, может быть, самой точки, является бм при тогда и только тогда, когда функция при ( связь между бм и бб) является бб Сумма (разность) и частное бб не обязательно являются бб функциями; частное двух бм функций не обязательно является бм В этих случаях теоремы о пределе суммы, разности и частного неприменимы; принято говорить, что имеют место неопределенности вида ; ; Аналогично произведение бм на бб являет- ся неопределенностью вида Нахождение пределов в таких случаях называется раскрытием неопределенностей

15 Техника нахождения пределов Нахождение пределов функции основывается на применении свойств пределов () (7) и различных способов раскрытия неопределенностей Другие способы нахождения пределов функции будут рассмотрены ниже Пример Найти предел L Решение Имеем неопределенность вида Для ее раскрытия выделяем в числителе и знаменателе те множители, которые стремятся к нулю, после чего используем свойства пределов Разделим числитель на и найдем корни квадратного трехчлена в знаменателе Тогда получим L 5 Пример Найти предел L Решение Здесь для раскрытия неопределенностей используем формулы сокращенного умножения L Пример Найти пределы ) L 6 ; ) 6cos cos L / cos 5cos Решение В этих задачах для раскрытия неопределенностей применяем замену переменной ) Пусть z Тогда z и при z 6 6 Получим: z z L z z z z z z z ) Пусть cos z, тогда 6 z z 6 7 z cos / при / L z/ 9 z z 7 7 Нахождение пределов функции при во многом аналогично нахождению пределов последовательностей Пример Найти пределы 5

16 ) L ; ) L Решение Во всех задачах имеем неопределенность вида ) L 9 ) При нахождении В данном случае t t t t удобно ввести новую переменную t ; тогда t, t при t t L t t t t t t t t 7 7 t t t t t t t t t t t t Во многих случаях при раскрытии неопределенностей вида используется -й замечатель- si ный предел, те равенство или si На практике используется более общая форма записи -го замечательного предела: si или a a si Пример Найти пределы, где cos cos cos9 ) L ; ) L si tg 7 при a Решение Во всех этих задачах преобразуем функцию таким образом, чтобы можно было применить -й замечательный предел, при этом учитывается, что cos при ) Используем формулу cos si : L si si si si 6 ) Здесь используем формулу для разности косинусов cos cos si si si 6si si 6 si L cos 7 tg 7 si 7 si 7 В некоторых случаях для использования -го замечательного предела необходима замена переменной si Пример 5 Найти предел L 6

17 Решение Сделаем замену y, тогда y, и если, то y Тогда si y si y si y si y L y y y y y y y y y y y y При нахождении пределов вида C a следует иметь в виду, что: ) Если существуют конечные пределы A и ) Если A и a ) Если и a, то имеем неопределенность вида Используем -й замечательный предел: представим a a a a B B, то C A, то предел C находится непосредственно в виде, где a a C e e a На практике эту формулу лучше не запоминать, а каждый раз проделывать необходимые преобразования при a и, следовательно, Пример 6 Найти пределы ) Решение ) ), L si si L, при ; Пример 7 Найти пределы: ) L ; ) L 9 () L при, следовательно, на основании свойств показательной функции, L cos ; ) Решение Во всех этих задачах необходимо раскрывать неопределенность вида Используем преобразование () ) l L e, где l, L e ) si si l L cos si si e, где si si l, L / e e 7

18 Пусть и являются бесконечно малыми при a Если существует конечный отличный от нуля предел их отношения Сравнение бесконечно малых Применение к нахождению пределов a малыми одного порядка Если c, то функции называются эквивалентными; обозначение: c, то функции и и называются бесконечно Например, из -го замечательного предела следует, что при si Если c, то функция называется бесконечно малой высшего порядка по сравнению с записывается так: o, а бесконечно малой низшего порядка по отношению к Если a называется бесконечно малой -го порядка по отношению к c, где c Имеют место следующие утверждения: ) Если функции и, то a a, то функция являются бесконечно малыми при a ) Если k, k, то k a, что и если, Это равенство называется принципом замены эквивалентных бм ) Если и, то ) Для того чтобы две бм были эквивалентными необходимо и достаточно, чтобы их разность была бм более высокого порядка по сравнению с каждой из них 5) Сумма двух бм разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка (так как переход от бм к ей эквивалентной равносилен отбрасыванию бм высшего порядка) Таблица эквивалентных бм При : si arcsi a l a tg arctg l cos e loga m m, m R l a Пример 8 Заменить каждую из следующих бм ей эквивалентной при ) si 5 ; ) 5 cos Решение ) si имеет порядок малости относительно, (тк si ), 5 порядок малости ; значит, 8

19 si 5 si ) 5 5 cos si Низший порядок имеет слагаемое 5 cos , поэтому Нахождение пределов функций во многих случаях существенно упрощается, если использовать свойства эквивалентных бм и таблицу эквивалентных бм 7 arctg Пример 9 Найти пределы ) L e ;) l L ; ) L e e ) L Решение ) Поскольку arctg, e, то L 8 si arcsi arctg ; l l l l e e ) L e Так как при e, то, используя фор- e e e e e e e мулу l, получим: e e L e e e e e e ) Используем таблицу эквивалентностей: si, arctg Следовательно, ) si arcsi arctg arcsi, Теперь имеем: L L u При нахождении пределов выражений вида v u, где, v при a, удобно пользоваться формулой Пример Найти пределы ) ctg v l a u e v u a () L ; ) L l l Решение Используем формулу () и таблицу эквивалентностей ) L l e, где l l ctg l, L e tg ) Сделаем замену: t при, t Тогда 9

20 t L t t t l5t lt l l 5 t t e, где l l t l t t l 5 t t l 5 t l l 5, L t l t t t t t Пусть область определения функции Число a называется пределом слева функции в точке 5 l 5 e Непрерывность функции Односторонние пределы содержит интервал, (или при ), если для любого числа существует такое число, что для всех, удовлетворяющих неравенствам, выполняется неравенство a Предел слева функции в точке обозначают Если, то пишут или или Аналогично, в случае, когда область определения функции вводится понятие предела справа, который обозначают так: или или определяются и односторонние бесконечные пределы: Например, запись или содержит интервал или,,, если, и, если По аналогии с конечными односторонними пределами ; означает, что для каждого числа M существует такое число, что для всех, удовлетворяющих неравенствам, выполняется неравенство M Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда существуют пределы слева и справа в этой точке и они равны; при этом Для односторонних пределов справедливы теоремы о пределе суммы (разности), произведения, частного и о пределе композиции функций Пример Найти односторонние пределы функций, если, при 5, если ) Решение ) Пусть предел слева Если, cos, при ; ) Тогда Следовательно, то 5 ; следовательно, 5 предел справа ) cos si si По определению модуля si si, если, (с si, если - точностью до периода T ) Следовательно, si,

21 si Определение I Функция Непрерывность функции в точке называется непрерывной в точке, если: ) она определена в точке и некоторой ее окрестности; ) она имеет предел в точке ; ) этот предел равен значению функции, те: Так как в точке (), то равенству () можно придать следующую форму: Следовательно, для непрерывной функции символы и можно переставить Разность называют приращением аргумента и обозначают, а разность называют приращением функции, соответствующим данному приращению аргумента, и обозначают y, те, y В этих обозначениях можно дать следующее эквивалентное определение: Определение II Функция, определенная в некоторой окрестности точки, называется непрерывной в точке, если y () Операции над непрерывными функциями ) Пусть функции и g непрерывны в точке Тогда функции g, g, g также непрерывны в точке g ) Переход к пределу под знаком непрерывной функции Если функция то сложная функция u в точке имеет предел A, а функция в точке имеет предел, равный (5) ) Непрерывность сложной функции u Если функция u непрерывна в точке, а функция, то сложная функция y непрерывна в точке, те (6) u непрерывна в точке u A, иными словами: A, y u непрерывна в точке

22 ) Основные элементарные функции a,, log, si, a cos, tg, ctg, arcsi, arccos, arctg, arcctg непрерывны во все точках, где они определены Любая функция, образованная конечным числом алгебраических действий и взятий суперпозиций из основных элементарных функций, будет непрерывной во всех точках, в которых определены все составляющие ее элементарные функции, за исключением нулей знаменателей Пусть функция разрыва функции Точки разрыва функции определена в некоторой окрестности точки Точку называют точкой в следующих случаях: ) функция не определена в точке ; ) функция определена в точке, но: а) не существует б) существует, но Если существует ;, но не определена в точке или, то, то называют точкой разрыва типа называют точкой устранимого разрыва Если в точке разрыва существуют не равные между собой односторонние пределы, скачок, а разность скачком функции в точке Устранимый разрыв и скачок называются разрывами -го рода Если в точке разрыва не существует хотя бы один из односторонних пределов, то называют точкой разрыва -го рода Функцию на промежутке ; ;, определенную a b, называют непрерывной слева в точке (непрерывной справа в точке ), если Примеры решения задач Исследовать функцию на непрерывность означает: ) найти все точки разрыва и указать их вид, ) в случае устранимого разрыва доопределить функцию до непрерывности, ) построить эскиз графика функции в окрестности точек разрыва Пример Исследовать на непрерывность функции ), если 6, если 5 ; ) Решение ) Функция не определена в точке и поэтому в ней разрывна Кроме того, точкой возможного разрыва является точка, тк слева и справа от нее функция задается различными формулами Исследуем эти точки Для этого находим односторонние пределы в этих точках:

23 , так как, 5, 5 при ;, так как 5, 5, при 5 Следовательно, имеет разрыв -го рода скачок: скачок в точке, в точке функция равен 5 6 6,, Следовательно, графика около точки разрыва дан на рис , в точке функция непрерывна Эскиз ) Функция определена и непрерывна во всех точках, кроме,, в которых знаменатель обращается в ноль Исследуем эти точки Для : Следовательно,, но не существует в точке В точке устранимый разрыв Чтобы доопределить функцию до непрерывности в этой точке, полагаем Для : тк, и ;, тк, и Следовательно, в точке разрыв -го рода Эскиз графика около точек разрыва дан на рис y y - Рис Рис

24 СОДЕРЖАНИЕ Числовая последовательность и ее предел Предел последовательности Правила предельного перехода Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности 5 -й замечательный предел 5 6 Основные способы нахождения пределов последовательностей 6 7 Предел функции в точке 8 Теоремы о пределах 9 Предел функции в бесконечности Бесконечно малые и бесконечно большие функции Техника нахождения пределов Сравнение бесконечно малых Применение к нахождению пределов 7 Непрерывность функции


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,...

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,... Предел функции. Предел числовой последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто числовой последовательностью называется функция f f (, определенная на множестве всех

Подробнее

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ Найти область определения D и множество значений Е функции y Р е ш е н и е Функция y определена если те если Поэтому областью определения функции является множество f ; D R Поскольку

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных - - Раздел Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных Функция действительного аргумента Действительные числа Целые положительные числа называются натуральными Добавим к натуральным

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

Подробнее

Предел и непрерывность функции. Методическое пособие

Предел и непрерывность функции. Методическое пособие Санкт-Петербургский государственный университет Т.А. Ефимова Предел и непрерывность функции Методическое пособие Санкт-Петербург 8 Предисловие Методическое пособие предназначено для студентов нематематических

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики ФУНКЦИЯ И ЕЕ

Подробнее

Введение в математический анализ. Теория пределов

Введение в математический анализ. Теория пределов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ВАСИЛЬЕВ ВВ, ЛАНОВАЯ АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и Студент должен знать: определение предела функции; свойства пределов; понятие бесконечно малых функций; понятие ограниченных и бесконечно больших функций; определение непрерывности функции в точке; сравнение

Подробнее

lim lim arctg x~ 1 cos x ~ (1 x) ~1 m Лекция ( ) Предел функции (продолжение) lim f(x) = b, то f(x) = b +

lim lim arctg x~ 1 cos x ~ (1 x) ~1 m Лекция ( ) Предел функции (продолжение) lim f(x) = b, то f(x) = b + Предел функции (продолжение) Лекция (..) Теорема (о связи функции, ее предела и бесконечно малой). Если, где б.м. при a. Доказательство. Пусть б.м. при +. f( = b, то f( = b + f ( = b. Рассмотрим функцию

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

ФУНКЦИЯ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ

ФУНКЦИЯ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ ФУНКЦИЯ ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ Одним из основных математических понятий является понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пусть даны два непустых множества

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Лекция 3, 4. Будем считать, что область задания функции f (x) } значений аргумента функции f ( x n ) значений функции сходится к b.

Лекция 3, 4. Будем считать, что область задания функции f (x) } значений аргумента функции f ( x n ) значений функции сходится к b. Лекция 3, 4 Предельное значение функции при, + и Будем считать, что область задания функции f ( имеет хотя бы один элемент, лежащий вне отрезка [ A, A], для любого положительного числа A. Определение (по

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

6 Лекция Второй замечательный предел. показано, что предел числовой последовательности 1 n xn = 1 + , n N, имеет предел, равный e. = e. (6.

6 Лекция Второй замечательный предел. показано, что предел числовой последовательности 1 n xn = 1 + , n N, имеет предел, равный e. = e. (6. Второй замечательный предел Непрерывность функции Непрерывность функции в точке Непрерывность функции в интервале и на отрезке Точки разрыва функции и их классификация Свойства непрерывных функций 6 Лекция

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 7 Предел функции СОДЕРЖАНИЕ: Предел функции в точке Предел функции на бесконечности Основные теоремы о пределах функций Бесконечно

Подробнее

Тема: Пределы. Краткие теоретические сведения. Непосредственное вычисление пределов.

Тема: Пределы. Краткие теоретические сведения. Непосредственное вычисление пределов. Тема: Пределы Краткие теоретические сведения Непосредственное вычисление пределов si Первый замечательный предел: Второй замечательный предел: ( ) 5 5 5 9 si si cos cos si si 5 5 9 6 6 6 8 8 si si 5 5

Подробнее

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва Лекция 4 Непрерывность функции Классификация точек разрыва Аннотация: Рассматриваются свойства функции, непрерывной на отрезке Приводится пример использования этих свойств при решении нелинейных уравнений

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

2 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Множество. Числовые множества.

2 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Множество. Числовые множества. 1 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Множество Числовые множества Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые Под множеством понимается совокупность (набор) некоторых

Подробнее

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

Лекция 2. Последовательности

Лекция 2. Последовательности Лекция 2 Последовательности Определение. Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число x, то множество занумерованных чисел x, x2,..., x,...

Подробнее

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел 1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел (1) следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого задается как функция

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Первый замечательный предел. Тригонометрические неопределенности. S (1).

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Первый замечательный предел. Тригонометрические неопределенности. S (1). Первый замечательный предел. Тригонометрические неопределенности. При вычислении пределов функций, которые содержат тригонометрические выражения часто используют предел: Это первый замечательный предел.

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Тема ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Число А называется пределом функции у=f), при х стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого числа ε>, найдется такое положительное числоs, что при всех >S, выполняется

Подробнее

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Лабораторная работа 1 Предел последовательности: определение, свойства

Лабораторная работа 1 Предел последовательности: определение, свойства Лабораторная работа Предел последовательности: определение, свойства Необходимые понятия и теоремы: определение числовой последовательности, ограниченные и неограниченные последовательности, монотонные

Подробнее

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Подробнее

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли . Предел функции. Актуальность изучения темы Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе, позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении аргумента. С помощью

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ Методическое пособие для студентов вузов

ПРЕДЕЛЫ Методическое пособие для студентов вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики и кибернетики Кафедра теории вероятностей и математической статистики ПРЕДЕЛЫ Методическое

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры. Математический анализ, 27/28 Группы БПМ7 75 Промежуточный экзамен, модули 2 На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ Расскажите о числах: натуральных,

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

Типовой расчёт 1 Пределы числовых последовательностей и функций.

Типовой расчёт 1 Пределы числовых последовательностей и функций. Типовой расчёт Пределы числовых последовательностей и функций Образец выполнения типового расчѐта Задание Найти пределы числовых последовательностей, или установить их ( ) ( a ) : ; ; ; ; ; ; 8 Данную

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

Ответы к заданию

Ответы к заданию Ответы к заданию.. понятия одного аргумента.. Основные элементарные.. элементарных функций.4. предела f в точке. х Х Если каждому элементу х из множества Х поставлен в соответствие определенный элемент

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim Òåîðåìû î ïðåäåëàõ Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Основные теоремы о пределах. Предел числовой последовательности. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Экспонента. Натуральный логарифм.

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Пределы. Решение контрольной работы

Пределы. Решение контрольной работы Пределы. Решение контрольной работы Нахождение предела по определению Задача. Доказать, что a a 5 + 5, 5 a a (указать N(ε)) Нужно показать, что для любого ε > найдется такое N ( ε ), что для всех a > N

Подробнее

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (РГГУ) Филиал в г Домодедово

Подробнее

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии. ЛЕКЦИЯ Числовые последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Основные свойства бесконечно малых последовательностей Числовые последовательности Если каждому из множества

Подробнее

1.4. Предел функции Нахождение предела функции с использованием замечательных

1.4. Предел функции Нахождение предела функции с использованием замечательных 1.4. Предел функции 4.1. Нахождение предела функции с использованием замечательных пределов. ТЕОРИЯ Определение предельной точки. Точку p R называют предельной точкой (или точкой сгущения) множества X

Подробнее

5. Предел функции. ( ε > 0 δ > 0 x (a δ, a + δ), x a) f(x) l < ε. или так:

5. Предел функции. ( ε > 0 δ > 0 x (a δ, a + δ), x a) f(x) l < ε. или так: 5. Предел функции Определение. Точку p R называют предельной точкой (или точкой сгущения) множества X R, для любого r > 0 существует отличная от p точка x X такая, что x p < r. Говорят, что + (соответственно

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ Глава Множества Последовательности Функции Элементы теории множеств Понятие множества является в математике неопределяемым Интуитивно, множество это совокупность объектов любой природы,

Подробнее

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к экзамену по курсу 1- модулей 1. Расскажите о числах: натуральных, целых, рациональных и иррациональных. Расскажите о числовой прямой

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания.

Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания. ГЛАВА 3. Предел и непрерывность отображения 1. Предельные точки, открытые и замкнутые множества в метрических пространствах Опр. 3.1.1. Пусть (X, ) метрическое пространство, x X, >. Проколотой - окрестностью

Подробнее

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Глава ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Функция, определенная на множестве натуральных чисел N и принимающая числовые значения, называется числовой последовательностью или просто последовательностью

Подробнее

ограниченные последовательности сходящиеся последовательности ательнос

ограниченные последовательности сходящиеся последовательности ательнос ограниченные последовательности Вычисление пределов числовых последовательностей Рассмотренные нами вопросы о числовых последовательностях содержат основные понятия и некоторые сведения о структуре множества

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста)

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет путей сообщения»

Подробнее

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН... Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена

Подробнее

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 16. Эквивалентные бесконечно малые. Первый и второй замечательные пределы.

ЛЕКЦИЯ 16. Эквивалентные бесконечно малые. Первый и второй замечательные пределы. ЛЕКЦИЯ Эквивалентные бесконечно малые Первый и второй замечательные пределы Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых функций Функция f ( ) называется бесконечно малой в точке a (при a ), если (

Подробнее

Образовательный портал «Физ/Мат класс» МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ

Образовательный портал «Физ/Мат класс» МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ wwwfmclassru МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ Анализ величин, использование формул а) Сравните числа 6 6 и 5 7 5 4 8 6 б) Сравните числа ( + )( + )( + )( + )( + ) и 999 999 999 в) Сравните числа si0 cos0 и si 40

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Q и действительные R числа Натуральные и целые числа

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л. И. Магазинников, А. Л. Магазинников ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Дифференциальное

Подробнее

lim f x f x используя обозначения приращений. 0 (2).

lim f x f x используя обозначения приращений. 0 (2). Лекция подготовлена доц Мусиной МВ Непрерывность функции Пусть функция y = f(x) определена в точке x и в некоторой окрестности этой точки Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x, если существует

Подробнее

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические

Подробнее

Â. Ë. Ôàéíøìèäò. Ñàíêò-Ïåòåðáóðã. «ÁÕÂ-Ïåòåðáóðã»

Â. Ë. Ôàéíøìèäò. Ñàíêò-Ïåòåðáóðã. «ÁÕÂ-Ïåòåðáóðã» Â. Ë. Ôàéíøìèäò Рекомендовано Научно-методическим cоветом по математике вузов Северо-Запада РФ в качестве учебника для студентов инженерных специальностей технических вузов Ñàíêò-Ïåòåðáóðã «ÁÕÂ-Ïåòåðáóðã»

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»

Федеральное агентство по образованию. Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Методы вычисления пределов Методические указания к решению задач Санкт-Петербург Издательство

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши Лекция. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши.. Некоторые сведения о последовательностях Пусть каждому значению N поставлено в соответствие

Подробнее

1., 2., 3., где а, d постоянные числа.

1., 2., 3., где а, d постоянные числа. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

Подробнее

Пределы. 1. Предел переменной величины. 1. Понятие о числовой последовательности. Рассмотрим функциональную

Пределы. 1. Предел переменной величины. 1. Понятие о числовой последовательности. Рассмотрим функциональную Пределы 1. Предел переменной величины 1. Понятие о числовой последовательности. Рассмотрим функциональную зависимость y x : x 1 3 4 5 y 1 4 8 16 5 Здесь значениями аргумента x являются натуральные числа,

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Математический анализ Лекция 1.2

Математический анализ Лекция 1.2 Московский Государственный Технический Университет им. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Математический анализ Лекция 1.2 к.ф.-м.н. Семакин А.Н. Математический анализ, Лекция

Подробнее

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Содержание Предисловие 4 Тема Предел последовательности 5 Ответы к тестовым заданиям по теме «Предел последовательности» 7 Тема Предел функции 8 Ответы к тестовым заданиям по теме «Предел функции» Тема

Подробнее

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции»

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции» МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Подробнее