Министерство образования и науки Российской Федерации. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Министерство образования и науки Российской Федерации. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА Г.Г. Литова, Д.Ю. Ханукаева ПРЕДЕЛЫ Пособие для студентов, обучающихся по специальности «Прикладная математика» Москва 0

2 УДК 57.9 Л Литова Г.Г., Ханукаева Д.Ю. Л Пределы. Пособие для студентов, обучающихся по специальности «Прикладная математика». М.: РГУ нефти и газа имени И.М. Губкина, 0. 5с. Пособие предназначено для студентов, изучающих методы вычисления пределов в курсе высшей математики. В нем детально изложены различные приемы вычисления пределов, подробно разобраны многочисленные примеры, даны задачи для самостоятельного решения. Наряду с типовыми приемами вычисления пределов функции в точке разобраны также методы, использующие понятие производной функции и подразумевающие владение техникой дифференцирования. Знакомиться с этими методами следует после изучения темы «Производная функции одной переменной». Пособие может использоваться студентами всех специальностей, изучающими курс математического анализа. Для студентов, обучающихся по специальности «Прикладная математика», в данное пособие включены дополнительные примеры. Ряд тонкостей вычисления пределов функций изложен более подробно. Издание подготовлено на кафедре высшей математики РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина. Рецензенты: Ведущий научный сотрудник кафедры высшей геометрии и топологии МГУ им. М.В. Ломоносова, профессор А.В. Зарелуа Профессор кафедры высшей математики РГУ нефти и газа имени И.М. Губкина В.В. Сильвестров Учебное издание Редактор: В.В. Калинин Компьютерная верстка: Д.Ю. Ханукаева Литова Г.Г., Ханукаева Д.Ю., 0 Издательский центр РГУ нефти и газа имени И.М. Губкина, 0

3 Оглавление Предисловие Рекомендуемая литература 6. Некоторые определения и соотношения 7. Предел последовательности. Тактика вычисления пределов 7. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Применение к вычислению пределов 5. Односторонние пределы 6. Непрерывность функции. Точки разрыва. Классификация точек разрыва 7. Правило Лопиталя 8. Вычисление пределов с использованием локальной формулы Тейлора Ответы к задачам для самостоятельного решения Типовые варианты рейтинговых работ по теме «Пределы»

4 Предисловие В связи с введением новых федеральных государственных образовательных стандартов программы многих дисциплин подверглись существенному изменению и сокращению. Именно так обстоит дело с курсом математического анализа, который является одним из базовых курсов для специалистов в области технических и естественных наук. В результате студентам все большую долю работы по освоению учебного материала приходится выполнять самостоятельно. В помощь к этому процессу и создано данное пособие. Кроме того, современное состояние науки и техники постоянно требует инновационных решений, т.е. постановки новых инженерных, технологических или научных задач и поиск путей их наиболее рационального решения. Поэтому важна способность каждого специалиста к самообразованию, к освоению нового, не заложенного в рамки стандартных учебных программ. Эта компетенция одно из наиболее ценных качеств современного специалиста наряду с его профессиональной подготовкой. Поэтому студент обязательно должен научиться работать самостоятельно, чтобы стать широко образованным, думающим специалистом, умеющим работать с литературой, способным увидеть инженерную задачу, грамотно ее поставить и найти способ решения. Высшая математика в этом контексте важна не только как аппарат для решения задач в самых разных областях естествознания, но также является общепризнанным инструментом для развития логического мышления и вырабатывает навыки поиска решения не только чисто научных, но и практических задач. Она развивает способность видеть проблему и внутри, и извне, анализировать ее в разных аспектах и находить наиболее оптимальные пути решения. Данное пособие посвящено основным методам вычисления пределов различных функций в точке. В начале каждого раздела приводятся краткие

5 теоретические сведения, затем разбирается довольно большое количество примеров, после которых предлагаются задачи для самостоятельного решения. В конце пособия приведены ответы к этим задачам. Кроме того, авторы сочли разумным привести примерные варианты рейтинговых работ по материалу, изложенному в пособии. Решение многих примеров в данном пособии изложено очень подробно. Авторы надеются, что это поможет разобраться в материале, который недостаточно был усвоен на лекциях или практических занятиях. Кроме того, наряду с простыми примерами разбираются и более сложные. Они могут оказаться полезными для студентов, обучающихся по специальности «Прикладная математика», а также для всех тех, кто не хочет ограничиваться рамками минимальных знаний по данному разделу курса высшей математики. Предлагаемое пособие может быть полезно не только студентам, начинающим знакомство с вычислением пределов, но также и магистрантам, аспирантам и инженерам, желающим восстановить свои знания в этой области. Преподаватели, ведущие занятия по данному разделу курса высшей математики, также могут найти здесь примеры для решения на семинарах. Разумеется, изложенный в пособии материал не исчерпывает всего разнообразия приемов нахождения пределов функций. Представлены только самые основные методы и наиболее распространенные типовые задачи. Теория пределов функций глубоко изложена в учебниках [-5], а большое количество примеров для решения имеется в [6-7]. 5

6 Рекомендуемая литература. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Т.. М.: Айрис-пресс, 00. 5c.. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для ВТУЗов. СПб.: Лань, c.. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике; учебное пособие. М.: Наука, c.. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика; учебник для ВУЗов. Т.. М.: Дрофа, c. 5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления; учебное пособие для ВУЗов. Т.. М.: Физматлит, c. 6. Демидович Б.П. (ред.). Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов. М.: АСТ, c. 7. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. СПб.: Профессия, 00. c. Материалы, связанные с данным изданием, можно найти на сайте кафедры высшей математики РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина: 6

7 . НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ Напомним, что каждое действительное число изображается точкой на координатной оси; будем называть эту точку собственной. Удобно считать, что есть еще две несобственные точки, бесконечно удаленные от начала координат, соответственно, в положительном и отрицательном направлениях: + и. Определение. Интервал (а; b) это множество действительных чисел, удовлетворяющих неравенству а < < b, где а, b фиксированные числа. Определение. Отрезок [а; b] это множество действительных чисел, удовлетворяющих неравенству a b, где а, b фиксированные числа. Определение. Полуинтервалы [а; b), (а; b] множества действительных чисел, удовлетворяющих, соответственно, неравенствам a b и a b, где а, b фиксированные числа. Общее название для всех определенных понятий промежуток. Определение. ε - окрестность точки а множество действительных чисел, удовлетворяющих неравенству а ε < < а + ε, т.е. интервал (а ε, а + ε) (рис.). a a a+ Рис.. Определение. Проколотая окрестность точки а множество действительных чисел, удовлетворяющих неравенству 0 a, т.е. интервал (а ε, а + ε) с выколотой точкой а. 7

8 М - окрестность несобственной точки + множество действительных чисел, удовлетворяющих неравенству х > М, т.е. интервал (М; + ) (рис.). М - окрестность несобственной точки множество действительных чисел, удовлетворяющих неравенству х < М, т.е. интервал ( ; M ) (рис.). > M < M М М Рис.. Рис.. Определение. Модуль действительного числа а: a a, если а 0, а, если а 0. Полезные соотношения (рис.): a a, a a a, a a или a. < а a < < а > а х = a х = a Рис.. На практике часто приходится иметь дело со сложной функцией или функцией от функции. Она получается, когда в некоторую функцию вместо аргумента подставляют другую функцию от другого аргумента. Например, если y cos z, а z, то получится сложная функция 8 y cos z ( ) называют внутренней функцией, а yz () внешней функцией.. Иногда функцию Определение. Элементарными функциями называют класс функций, состоящий из степенных функций, многочленов, рациональных,

9 показательных, логарифмических, тригонометрических, обратных тригонометрических, гиперболических, обратных гиперболических функций, а также функций, получающихся из перечисленных выше с помощью четырех арифметических действий и операции взятия сложной функции, применяемых конечное число раз. 9

10 . ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ТАКТИКА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ Определение. Последовательностью будем называть пронумерованное бесконечное множество чисел:,,,, Определение. Число а называется пределом последовательности при п и записывается a, если для любого числа ε > 0 существует число N = N(ε) такое, что для всех > N выполняется неравенство a. Говорят, что, если для любого числа М > 0 существует такое число N = N(М), что для всех > N выполняется неравенство M. Замечание. Определения и аналогично. Сформулируйте их самостоятельно. вводятся Определение. Если 0 называется бесконечно малой., то последовательность Определение. Если, или то последовательность называется бесконечно большой., или Определение. Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся. Свойства пределов сходящихся последовательностей. c c, c cost ; и y 0

11 . ( y ) y ;. ( y ) y, в частности, а. ( c ) c ;. y при условии, что y 0. y Обратимся к геометрическому толкованию предела последовательности. Пусть задана некоторая последовательность,,,, и пусть a. Члены этой последовательности и число а изображены на координатной оси (рис.5). a 6 a 7 5 a+ Рис. 5. Зададим любое ε и построим ε - окрестность точки а, т.е. интервал ( a; a ). Существование a, или, что то же, a для N a означает выполнение неравенства. В частности, для последовательности, изображенной на рис.5, все члены, начиная с пятого (т.е. для этого примера N ), попадают в ε - окрестность точки а и, следовательно, отличаются от а не больше, чем на ε. Если бы мы выбрали ε меньше, то номер N(ε) был бы уже бóльшим. Чем больше номер члена последовательности, тем ближе этот член располагается к точке а и тем меньше отличается от а. Поскольку ε выбирается произвольно, оно может быть малым (сколь угодно малым!), и потому мало (сколь угодно мало!) отличаются от предела а члены

12 последовательности, оказавшиеся в ε - окрестности точки а, а их бесконечное множество, т.е. сколько угодно членов последовательности сколь угодно мало отличаются от а. На рис.5 для выбранного ε число N =, т.к. при > выполняется неравенство a. Если выбрать другое значение ε, то, очевидно, получим другое N, т.е. N зависит от ε: N = N(ε). Замечание. В любой окрестности точки а (предела последовательности) находится бесчисленное множество членов последовательности (все ее члены, начиная с некоторого), вне ее конечное число их. Замечание. Члены последовательности могут «приближаться» к своему пределу а) и слева, и справа; б) только справа; в) только слева. Придумайте соответствующие примеры-рисунки и покажите на них, как для каждого ε подбирается свое значение N. ПРИМЕР. Дана последовательность ; / ; 5/ ; 9/8;. а) Написать одно из возможных выражений для общего члена. б) Написать 5, 6,,,, i i i i k. в) Выбрав подходящий масштаб, изобразить на координатной оси первые шесть членов. г) Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что. д) Начиная с какого п выполняется неравенство 0, (ε = 0,)? Чему равно N для этого случая? Результат проиллюстрировать на координатной оси изображением ε -окрестности точки х =.

13 е) Найти ε -окрестность точки х =, если ε = 0,0. Найти число точек, лежащих вне ε -окрестности точки х = ; сравнить это количество с числом точек, лежащих вне ε -окрестности точки х =. Решение. а) Заметив, что, 0 5, 9, 8 8, получаем (п =,,,...). () б) Подставляя в формулу () вместо п номера соответствующих членов последовательности, имеем: 7 6 ; 5 ; 6 5 ; i i ; i i i k ik. в) Первые шесть членов заданной последовательности изображены на рис Рис. 6. г) В соответствии с определением предела, надо показать, что для любого наперед заданного числа ε > 0 можно отыскать такое натуральное число N = N(ε), что для всех > N будет выполняться неравенство. Решая неравенство, получаем

14 ,,, log, log. Выбирая в качестве N целую часть числа log, N E( log ), получаем, что для произвольно выбранного ε > 0 найдено такое число N N( ) E( log ) 0, что для всех > N выполняется неравенство Т.к.. Это и означает, что. д) Повторяя рассуждения пункта г), решаем неравенство 0, : 0,, 5, log 5, log 5. log 5 log, то log 5 и требуемое неравенство выполняется, начиная с п =, а потому N E( log 5). Для точки х = ε -окрестность (ε = 0,) это интервал ( 0, ; 0, ) (0,8;, ). На рис.7 видно, что все члены последовательности, начиная с четвертого, лежат в ε -окрестности точки х =. Вне этой окрестности находятся три точки. 0, х 5 х х х х 0, , Рис. 7. е) Для точки х = ε -окрестность (ε = 0,0) находим, решая неравенство 0,0: 0,99 < <,. Вне этого интервала остаются члены последовательности, удовлетворяющие неравенству 0,0. 0,0, 00, log 00, log 00.

15 Т.к. 7 log 00 log 7, то 8. Значит, вне окрестности находятся семь членов последовательности. Начиная же с восьмого члена все они попадают в ε -окрестность точки х =. Сравнивая случаи ε = 0, и ε = 0,0, делаем вывод: чем меньше ε, тем большее число членов последовательности остается вне окрестности точки х =. Но (и это главное!) в любом случае все остальные члены лежат в соответствующей ε-окрестности точки х =, если число является пределом этой последовательности. ПРИМЕР. Объяснить, почему последовательность, 0,, 0,... не имеет предела. Решение. Все бесконечное множество членов этой последовательности располагается в двух точках координатной оси: х = 0 и х =. Для того чтобы некоторое число а было пределом последовательности, надо, чтобы в любой ε- окрестности этой точки находились все члены данной последовательности, начиная с некоторого (см. Замечание ). Пусть а произвольное действительное число. Тогда всегда можно подобрать такое малое ε, чтобы в ε- окрестность этой точки не попали члены последовательности, либо выражаемые числом, либо выражаемые числом 0. Таким образом, вне этой окрестности будет находиться бесчисленное множество членов последовательности, и, значит, утверждение, что все члены последовательности, начиная с некоторого, будут лежать в ε-окрестности точки а, не справедливо. Следовательно, число а не будет пределом последовательности. Т.к. а произвольно, то нет такого числа, которое являлось бы пределом заданной последовательности. Черным квадратиком здесь и далее обозначается, что рассмотрение примера завершено. 5

16 ПРИМЕР. Доказать, что последовательность с общим членом имеет своим пределом число /. Решение. Покажем, что для любого ε > 0 можно подобрать такое число N = N(ε) > 0, что из неравенства > N будет следовать неравенство. Решим последнее неравенство. Т.к. ( ) 9, то Пусть, 9 9, 9. N E, тогда при > N и произвольном выборе ε > 0 будет 9 выполняться неравенство. Это и означает, что. ПРИМЕР. Показать, что последовательность с общим членом является бесконечно малой при п. Решение. Согласно определению бесконечно малой последовательности надо доказать, что 0, т.е. для любого ε > 0 можно указать такое число N = N(ε) > 0, что из неравенства > N будет следовать неравенство Пусть 0. Т.к. неравенство, 0, то получим, 6. N ( ) E, тогда для всех > N будет выполняться, что и доказывает факт: 0.

17 Замечание. Аналогично можно доказать, что последовательности с общими членами вида p при п.,, и другие последовательности с общим членом, где р любое положительное число, являются бесконечно малыми ПРИМЕР 5. Найти, если а) ; б) 5 ; в).... Решение. При решении каждого из данных примеров применяется один и тот же прием: в числителе и знаменателе выносятся члены со старшей степенью п, которые затем сокращаются. Более подробное обсуждение этого приводится в Замечании из. а) Высшей степенью с основанием п и в числителе, и в знаменателе является п, его выносим за скобки и сокращаем: 5 5 по свойству пределов последовательностей последнее выражение можно представить в виде дроби от деления двух пределов, затем в числителе и в знаменателе предел суммы можно по свойству заменить на сумму пределов. Далее, опираясь на решение примера и Замечание, получаем: б) В данном примере высшей степенью п является п /. ; 7

18 в) Числитель представляет собой сумму п членов арифметической прогрессии с первым членом а =, разностью d =. Используя формулу суммы п членов арифметической прогрессии, получаем Тогда a a... S. ( ). ( ) Вынося за скобки в числителе, в знаменателе, получаем ( ) ( ) 0 Задачи для самостоятельного решения. Написать несколько первых членов последовательности, а также х 00, х т, х т+, если задан общий член последовательности: а) ; б) ; в) si[ ( ) ].. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что: а) ; 8

19 начиная с какого номера п выполняется неравенство? 00 б) ; сколько членов последовательности лежит в интервале ; 00 00?. Показать, что последовательность,,,,,,... не имеет предела.. Дана последовательность,,,,... Написать выражение для ее общего 5 7 члена. Доказать, что эта последовательность является бесконечно малой. 5. Привести примеры бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей. 6. Найти, если а) ; б) (5)() ; 5 в) () () ( ) 5 ; г).... l e 9

20 . ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ И БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ Определение. Точка а действительной оси называется предельной точкой множества Х, если в любой окрестности точки а содержатся точки из множества Х, отличные от а. Точка а может быть как собственной точкой множества Х (т.е. a X ), так и несобственной (a X ). Определение (по Коши). Пусть точка а является предельной точкой области определения X D( f ) функции f (). Число А называется пределом функции f () в точке а (записывается A f ( ) ), если для любой a окрестности V точки А существует такая проколотая окрестность U точки а, что для всех X, лежащих в U, соответствующие значения f ( ) V. Число А может быть как конечным, так и бесконечным. Для случая конечных а и А имеет место Определение (на языке «ε - δ»). Число А называется пределом функции f () в точке а, если для любого числа ε > 0 существует такое число δ = δ(ε) > 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 a и входящих в область определения функции f (), выполняется неравенство f ( ) A. В случаях бесконечных а или А имеем Определение (на языке «ε - М»). Число А называется пределом функции f () при х + ( A f ( ) ), если для любого числа ε > 0 существует такое число М = М(ε) > 0, что для всех х > М и входящих в область определения функции f (), выполняется неравенство f ( ) A. 0

21 Запись f ( ) означает, что f ( ). a a Предлагаем самостоятельно дать определения пределов для случаев: а =, А =, А = + и т.д. Геометрическая иллюстрация «ε - δ» определения для случая конечных а и А выглядит следующим образом. Пусть дан график функции у = f () (рис.8) и пусть f ( ) A. a A+ f () В A A- С М N 0 а- а а+ х Рис. 8. Покажем, как по произвольно заданному ε > 0 можно подобрать такое δ = δ(ε), что для всех х (из области определения f ()), удовлетворяющих неравенству 0 a, т.е. взятых из проколотой δ - окрестности точки а: a a, a соответствующие значения f () удовлетворяли бы неравенству f ( ) A, т.е. попали бы в ε - окрестность точки А: А ε < f () < А + ε. Выберем произвольно число ε; возьмем отрезок длины ε:

22 На оси Оу строим ε - окрестность точки А, откладывая отрезки длины ε вверх и вниз от точки А; при этом получатся точки А + ε и А ε. Значениям f (), попавшим в ε - окрестность точки А (она на рисунке выделена линией (выделены линией ), соответствуют значения х на отрезке MN оси Ох ). Из двух отрезков Mа и аn выбираем меньший (на рис.8 это отрезок Ма); в качестве величины δ можно взять любую длину, не превышающую длины отрезка Ма. Отложив отрезок длины δ и влево, и вправо от а, имеем δ - окрестность точки а (отмечена линией ). И тогда любым х из полученной δ - окрестности точки а, будут соответствовать значения f () из промежутка (С, В), лежащего внутри ε - окрестности точки А, т.е. эти значения будут удовлетворять неравенству f ( ) A. Итак, показано, что по произвольно выбранному ε подобрано такое δ, что из неравенства 0 a (проколотая δ - окрестность точки а) следует неравенство f ( ) A.., a c c c cost ; Правила вычисления пределов функций Если пределы f ( ), g( ) справедливы равенства: a a. ( f ( ) g( )) f ( ) g( ) ; a a a. ( f ( ) g( )) f ( ) g( ), в частности, a a a а. ( c f ( )) c f ( ) ;. a a f( ) f( ) a, g ( ) 0. g ( ) g ( ) a a a существуют и конечны, то

23 Замечание. Правило вычисления предела произведения двух функций справедливо и в том случае, если предел только одной из них конечен... 0 Часто применяются следующие пределы: si (первый замечательный предел); ( ) e,78 (второй замечательный предел). 0 Определение. Функция ( ) называется бесконечно малой функцией при х а, если ( ) 0. a Определение. Функция β(х) называется бесконечно большой функцией при х а, если ( ), или ( ), a a или ( ), т.е. ( ) a a. Аналогично определяются бесконечно малая и бесконечно большая функции при х. Замечание. Если при х а ( ) бесконечно большая функция, то ( ) является бесконечно малой функцией; если ( ) бесконечно малая функция, то ( ) бесконечно большая функция. ПРИМЕР. Пользуясь ε - δ, ε - М и другими определениями предела функции в точке, показать, что а) ( 5) ; б) ; в). ( ) Решение. а) Надо показать, что для любого ε > 0 существует такое δ = δ(ε) > 0, что для всех х (область определения функции f ( ) 5 вся

24 числовая ось), удовлетворяющих неравенству 0, будет выполняться неравенство f( ). Принимая Последнее неравенство равносильно неравенствам: 5 ; 8 ; ;., получаем, что из неравенства следует неравенство ( 5), следовательно, ( 5). б) Надо показать, что для любого ε > 0 можно указать такое число М = М(ε) > 0, что для всех неравенство., для которых M, будет выполняться Действительно, преобразуя последнее неравенство, имеем ; ( ) ( ) ; 9 ; 9, после чего принимаем M. Тогда при любом ε > 0 существует 9 M 9 такое, что из неравенства M следует неравенство, что и означает:. в) Надо показать, что для любого М > 0 можно найти такое δ = δ(м) > 0, что из неравенства 0 будет следовать неравенство ( ) M.

25 Т.к. ( ) ( ) M, то 0 ( ), откуда M 0 и M 0. Если принять, то для любого М > 0 из неравенства M M 0 следует неравенство M ( ). ( ) M, что и означает Обратимся к тактике вычисления пределов, которую продемонстрируем на примерах. I. Непосредственное вычисление пределов ПРИМЕР. Вычислить. Решение. Т.к. при х пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя отличен от нуля, то можно пользоваться свойством предела частного: ( ) ; ( ) далее пользуемся свойствами предела суммы и вынесения константы за знак предела: ( ). ( ) В дальнейшем изложенные только что подробные выкладки будут опускаться. 5

26 ПРИМЕР. Показать, что функция f( ) малой при х 0. Решение. Действительно, 0 является бесконечно 0 0, откуда и следует, что по определению данная функция является бесконечно малой при х 0. Обратите внимание: данная функция не является бесконечно малой при х (см. Пример ). ПРИМЕР. Показать, что функция f( ), уже разобранная в примерах и, является бесконечно большой при. Решение. Преобразуем дробь. Функция 0 является бесконечно малой при, т.к. 0. Тогда исходную функцию можно рассматривать как «обратную» к функции при. Следовательно, в соответствии с Замечанием, функция f () является бесконечно большой при. II. Раскрытие неопределенностей вида при х Как было показано в предыдущем пункте, вычисление любого предела от элементарной функции при вместо х значения а. a следует начинать с подстановки в функцию В некоторых случаях при этом получается выражение вида называемое неопределенностью по той причине, что результат его нельзя 6,

27 вычислить, надо находить предел, который может быть равен, нулю, любому другому числу или не существовать, т.е. не определен заранее. Рассмотрим произвольную функцию f () и точку х 0. «Процессом» будем называть изменение значения функции f () при приближении ее аргумента к х 0. Пусть в окрестности некоторой точки какая-либо функция является бесконечно большой. Тогда ее бесконечное возрастание можно трактовать как происходящий при 0 «процесс», в котором функция неограниченно увеличивается. Та же функция при стремлении аргумента к другой точке может быть бесконечно малой, т.е. ее бесконечное убывание может трактоваться как «процесс», при котором функция уменьшается, приближаясь к значению нуль. Тогда в неопределенности имеется два «процесса»: неограниченно увеличивается и числитель, и знаменатель. Очевидно, результат зависит от взаимосоотношения этих процессов. Об этом будет сказано ниже. А пока для выяснения неопределенности можно предложить следующее: вынести за скобки в числителе и знаменателе высшую степень х каждого из них, а затем воспользоваться свойствами пределов функций, аналогично тому, как это делалось при вычислении пределов последовательностей. ПРИМЕР 5. Вычислить пределы: а) ; б) 5 5 ; в). 5 Решение. а) Высшие степени х в числителе и знаменателе соответственно х и х. Выносим их за скобки, затем сокращаем дробь на х и пользуемся правилами вычисления пределов с учетом Замечания : 7

28 5 5 5 т.к. при х дроби,, , стремятся к нулю, то б) Аналогично в) В этом примере высшие степени числителя и знаменателя соответственно х и х (выносим их за скобки): Замечание. Сравним высшие степени х числителей и знаменателей в дробях примера 5 и обратим внимание на зависимость полученных ответов от этих степеней: а) высшая степень числителя х, знаменателя х, т.е. в числителе степень выше, при этом предел дроби равен ; б) высшие степени х в числителе и знаменателе одинаковы (х ), при этом предел дроби равен /5, т.е. отношению коэффициентов при высших степенях х числителя и знаменателя; в) высшая степень числителя х, знаменателя х, т.е. в знаменателе степень выше, при этом предел равен 0. 8

29 Выводы. Сравнивая высшие степени х числителя и знаменателя в неопределенностях вида, получаем:., если степень выше в числителе;. 0, если степень выше в знаменателе;. отношение коэффициентов при высших степенях числителя и знаменателя, если они равны. В простейших случаях будем пользоваться этими выводами. ПРИМЕР 6. Вычислить пределы а) ; б) 5 5 ; в) 5 (два предела) и 5. Решение. а) Делим числитель и знаменатель на х, подводя х под корни второй, третьей и четвертой степени: 0. 0 Конечно, можно было воспользоваться Выводами Замечания, а именно: высшая степень и числителя, и знаменателя, т.е. х, поэтому в ответе будет стоять отношение коэффициентов перед ними:. 9

30 б) , т.к. высшие степени числителя и знаменателя совпадают, отношение коэффициентов при них равно. Здесь не дается обоснование перехода от предела показательной функции к пределу ее показателя. Правомерность подобного перехода для этой и других непрерывных функций будет рассмотрена в 6. в) В подкоренном выражении выносим х за скобки и извлекаем корень, в знаменателе выносим за скобку х: при 5 5 5, при 5 ( ). Обозначим 5 f( ). 5 f( ) означает по определению предела, что для любого ε > 0 можно найти такое М = М (ε ) > 0, что для всех х > М и входящих в область определения функции f (), выполняется неравенство 5 f( ). Другими словами, для значений х, достаточно удаленных вправо по оси Ох, значение f (х) мало отличается от числа 5. Аналогично, из того, что 5 f( ) следует, что для любого ε > 0 можно найти такое М = М (ε ), что для всех х < М и входящих в 0

31 область определения функции f (), будет f( ) 5. Т.е. для значений х, достаточно удаленных влево по оси Ох, значение f (х) мало отличается от числа 5. Существование предела f ( ) A означало бы, что для любого ε > 0 можно было бы найти такое М = М(ε) > 0, что для всех х из области определения функции f (), удовлетворяющих неравенству M, было бы f ( ) A. Т.е. должно существовать такое число А, чтобы для всех х, достаточно удаленных и влево и вправо по оси Ох, значение f (х) мало отличалось бы от числа А. В силу изложенного такого числа просто нет, а потому f( ) не существует. III. Раскрытие неопределенностей вида 0 0 при х a В разделе II изменение функции при стремлении ее аргумента к некоторому значению рассматривалось как «процесс». В выражении вида 0 0 стоящий в числителе 0 означает, что в этом «процессе» числитель уменьшается, при этом дробь тоже уменьшается, стоящий же в знаменателе 0 указывает, что в том же «процессе» знаменатель уменьшается, при этом дробь увеличивается. Каков же будет результат? Это требует выяснения. Напомним, что вычисление любого предела начинается с подстановки в функцию вместо независимой переменной того значения, к которому она стремится. Если получается неопределенность вида 0, то для ее раскрытия в 0

32 некоторых случаях используются известные из курса элементарной математики теорема Безу и следствия из нее, а именно:. Если число а является корнем многочлена относительно х, то этот многочлен делится без остатка на разность х а.. Если число а является корнем многочлена относительно х, то этот многочлен может быть представлен в виде произведения двух множителей: разности х а и некоторого многочлена. Из этих утверждений следует, что многочлены, стоящие в числителе и знаменателе рассматриваемой дроби, имеют общий множитель, на который дробь можно сократить. После этого неопределенность может исчезнуть, в противном случае надо повторить процедуру. В частных случаях для разложения на множители можно использовать другие методы (формулы сокращенного умножения, вынесение общего множителя за скобки и т.п.). ПРИМЕР 7. Вычислить пределы: а) ; б) 0 ; в) ( ) и 0 ( ). Решение. В трех из этих примеров после подстановки в функцию вместо переменной х значений, к которым она стремится (; ; 0 соответственно), получаем 0 0. а) Числитель и знаменатель должны иметь общий множитель (х ). Действительно, вынося в числителе за скобки общий множитель х и используя формулу разности квадратов, а в знаменателе применяя формулу квадрата разности, получим этот множитель (х ), на который и сократим дробь:

33 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0. Несмотря на то, что запись дроби с нулем в знаменателе не является вполне корректной, мы будем позволять себе ее и в дальнейшем. Строго надо было бы использовать Замечание, согласно которому функция, обратная к бесконечно малой функции, стоящей в данном случае в знаменателе, является бесконечно большой: ( ) ( ). Заметим, что правило вычисления предела произведения двух функций использовано здесь правомерно в силу Замечания. б) Для разложения числителя на множители используем формулу: a b c a( )( ), где х, х корни трехчлена, которые находятся по формуле, b b ac. Трехчлен a 0 имеет корни х =, х = 5/, и раскладывается на множители следующим образом: 5 0 ( )( ) ( )( 5). Знаменатель, согласно теореме Безу, делится без остатка на разность х ( ) = х +. Напомним эту операцию, не забыв делимое и делитель расположить по убывающим степеням х: ) первый член делимого х делим на первый член делителя х и результат х записываем в частном; ) х умножаем на делитель и записываем под делимым; ) вычитаем из делимого выражение, стоящее под ним, записывая результат по убывающим степеням х;

34 ) снова повторяем процедуру с выражением, получившимся в результате вычитания, пока не получим в остатке Теперь, используя следствие из теоремы Безу, получим: ( )( 6 ). В результате имеем: 0 ( )( 5) ( )( 6 ) в) Судя по условию предела α х, переменной здесь является α, х играет роль параметра. Если 0, то подставляя вместо α значение х, получим: ( ) ( ) 7. 0 Если же 0, то исходно имеем: (0 ) Во втором из этих двух примеров при подстановке вместо α числа 0 имеем неопределенность вида 0. Применяя в числителе формулу разности 0

35 кубов a b ( a b)( a ab b ), а в знаменателе вынося α за скобки, получим: ( ) ( )(( ) ( ) ) 0 0 ( ) (( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) 0 0. Заметим, что найденное значение предела верно при любом х, в том числе и при 0. IV. Вычисление пределов, содержащих иррациональности Иногда при наличии неопределенности вида 0 0 (или, которая будет разбираться ниже) функция содержит в числителе или знаменателе иррациональные выражения типа a b, a b и т.п. Вспоминая формулы сокращенного умножения ( a b)( a b) a b, ( a b)( a ab b ) a b, будем домножать числитель и знаменатель дроби на сопряженные выражения, в результате чего функции, составляющие неопределенность, превратятся в рациональные. ПРИМЕР 8. Вычислить пределы: а) 5 ; б) ; в) 0. Решение. Во всех трех примерах имеем неопределенность вида

36 а) Умножая числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, и раскладывая квадратный трехчлен на множители (корни х =, х = проверьте!), получим: ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ). ( )( ) Фигурной скобкой выделено выражение, имеющее конечный предел, в данном случае равный. Таким же обозначением будем пользоваться и в дальнейшем. б) Для числителя сопряженным будет выражение, при умножении на которое получим формулу разности кубов; сопряженным для знаменателя будет выражение, при умножении на которое получим формулу разности квадратов. Итак, умножаем числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, и так же числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю: ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ). в) Выражение, сопряженное числителю, есть 0, сопряженным для знаменателя будет выражение. Поступая так же, как в предыдущем примере, имеем: 6

37 ( 0 )( 0 )( ) ( )( )( 0 ) ( 0) ( ) 0 6 ( ). 6 ПРИМЕР 9. Вычислить log. Решение. Подставляя вместо х число, убеждаемся в том, что под знаком логарифма имеем неопределенность вида 0. Умножаем числитель и 0 знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю: ( )( ) log log ( )( ) log log log ( ). Примененный в ходе решения переход от предела логарифмической функции к пределу ее аргумента возможен в силу ее непрерывности. Правомерность такого перехода обсуждается в 6. IV. Принципы применения первого замечательного предела Напомним, что первый замечательный предел имеет вид: Очевидно, что предел не зависит от обозначения переменной, т.е. si. 0 si t. t t0 7

38 Рассмотрим предел si. Обозначим х = t, тогда при х 0 будет 0 t 0, и получим первый замечательный предел Или в пределе si sit t. 0 t0 si( ) ( ) получим первый замечательный предел: Вообще, ( ) 0 si( ) si t. ( ) t t0 обозначим х = t, если х, t 0, и снова si ( ), т.е. ) если аргумент синуса и знаменатель ( ) представляют собой одну и ту же функцию и ) она стремится к нулю, то имеет место конструкция первого замечательного предела и этот предел равен единице. ПРИМЕР 0. Вычислить пределы: а) б) si ; si( ) ; si ; si( ) ; si ; 0 si( ). Решение. а) Подставляя предельное значение х, в первом примере имеем: si si 0 0. / NB! Здесь нет неопределенности, поэтому сразу получен ответ. 8

39 В следующем примере представим дробь в виде si si. Здесь функция si х при х предела вообще не имеет, но является ограниченной ( si ), а множитель при х является бесконечно малой функцией. Вопреки избранному принципу изложения материала в данном пособии (сначала сведения из теории, затем примеры, иллюстрирующие их) воспользуемся Свойством бесконечно малых функций, приведенным далее в : произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть бесконечно малая функция, предел которой равен нулю. Получаем si 0. В последнем примере из группы а) после подстановки нуля вместо х получается неопределенность вида 0. Проделаем следующие операции: 0 si 0 si si б) В первом примере: ) аргумент синуса и знаменатель дроби совпадают, они равны х, но ) при х имеем х, а не к нулю, т.е. второе условие конструкции первого замечательного предела не выполнено. Поэтому первого замечательного предела здесь нет, более того, здесь нет и неопределенности. Подставляя, получим ответ: si( ) si( ) si si. А во втором примере оба условия, входящие в конструкцию первого замечательного предела выполнены: ) аргумент синуса и знаменатель дроби совпадают: х и ) при х разность х 0, следовательно, si( ). В третьем примере группы б) нет неопределенности. Сразу получаем: 9

40 si( ) si( ) si 0 0. ПРИМЕР. Вычислить пределы: а) cos5 ; б) 0 si( ) si ; 0 в) д) a cos a cos cos ( ). ; г) a si ; 6 6 Решение. а) Используя тригонометрическую формулу cos si ( ) и конструкцию первого замечательного предела, получим: cos5 si (5 ) si(5 ) ; «достраиваем» выражение в скобке до первого замечательного предела, умножая знаменатель и числитель на 5/, получим si si Подробные преобразования, проделанные в этом примере, конечно, не обязательны, и в дальнейшем будут опускаться. б) Неопределенность 0 0 (проверьте!). Применяем тригонометрическую формулу si si si cos, в знаменателе выносим х за скобки: 0

41 si cos si( ) si ( ) cos( ) учитывая, что при х 0 si cos cos cos( ) cos, 0 ( ), получим 0 cos si( ) cos si( ) 0 0 ( ) cos si( ) cos 0 ( ), т.к. второй множитель представляет собой первый замечательный предел. в) Неопределенность 0 0 (проверьте!). В числителе стоит выражение, содержащее иррациональности; в соответствии с приемом, изложенным выше, домножаем его (и знаменатель) на сопряженное выражение a. Знаменатель раскладываем на множители по формуле разности квадратов. ( a)( a) ; a(cos cos a )(cos cos a )( a ) в числителе получилась формула разности квадратов, в знаменателе при a cos cos a cos a, a a ; к выражению cos cos a применим формулу разности косинусов: ( a)( a) a a (cos cos a)(cos cos a)( a) cos a a a a a si si Числитель полученного выражения разделим и умножим на, а также учтем, a a si что при a имеем A, поэтому, кроме того, a a si A a si si a при a. Итак,

42 a a cos a a a a a si si acos asi a a a si. a si a a si a 0 г) Неопределенность 0. При будет 0, поэтому в 6 6 знаменателе выносим 6 за скобки, в числителе выносим за скобки и представляем si : 6 si si si si si 6 cos 6 si si si cos ; 6 6 / 6 cos cos при, в знаменателе выносим знак за 6 6 скобки, делим и умножаем на, «выстраивая» первый замечательный предел: 6 6 si si д) Неопределенность 0. Умножаем числитель и знаменатель на 0 сопряженное выражение cos ; квадратный трехчлен раскладываем на множители, найдя предварительно его корни: ( ) 0, по теореме Виета,, или по обычной формуле b D корней квадратного уравнения, ; a

43 D b ac ( ) ( ) ; Тогда ;. cos ( cos )( cos ) ; ( ) ( cos )( )( ) в числителе формула разности квадратов, в знаменателе cos, при х ; получаем: cos ; ( ) в числителе выносим знак за скобки и применяем формулу cos si : cos si замена t, ( ) ( ) тогда t 0 при t0 si ( t) по формуле приведения t si ( t) si( t) si t si t si t si t t t t0 t0 t0 si t при t t. ПРИМЕР. Показать, что: а) в) Чему равен arccos? 0 tg ; б) 0 arcsi. 0 0 Решение. а) Неопределенность. Представляем функцию в виде 0 tg si cos si. Получим: cos

44 tg si cos б) Неопределенность 0. Обозначаем arcsi = t, отсюда = si t 0 t, причем, если х 0, то t = arcsi 0. Тогда arcsi t. si t si t t 0 t0 t0 в) В данном случае неопределенности нет, т.к. arccos arccos Замечание. В дальнейшем будем считать, что нам известны пределы: а) tg ; б) 0 arcsi ; в) 0 arctg (покажите!). 0 V. Принципы применения второго замечательного предела Напоминаем, что второй замечательный предел имеет вид: или e () ( ) e. () 0 Замечание 5. Обратим внимание на следующие факты: ) при подстановке в равенства () и () предельных значений х ( или 0 соответственно) получаем в обоих случаях неопределенность. ) Оба равенства () и () по сути выражают одну математическую модель:

45 ( ) ( ( )) e при ( ) 0. () В формуле () в основании степени стоит единица плюс бесконечно малая функция, а показатель степени является величиной в точности обратной к этой бесконечно малой функции (т.е. бесконечно большой функцией). Действительно, в равенстве () функция 0 при, т.е. является некоторой бесконечно малой функцией при х, а х, стоящий в показателе степени есть функция, обратная для, и при х она является бесконечно большой функцией. В равенстве () функция х, стоящая в скобке, стремится к нулю при х 0, а показатель тоже функция, обратная для х, и при 0, т.е. является бесконечно большой функцией. ) a, если a ; a 0, если 0 a. a 0, если a ; a, если 0 a. Если же а, то выражение а представляет собой неопределенность, которую будем записывать в виде, а раскрывать при помощи второго замечательного предела. ПРИМЕР. Вычислить: а) 5 ; б) 0 5 ; в) Решение. а) При подстановке бесконечности вместо х получим: Будем формировать модель (): неопределенность. 5 в скобке должно быть ( ), 5 ( ) 0 при ; 5

46 5 здесь ( ) 0 при. Для получения соотношения () в показателе степени надо иметь выражение, обратное для разделим на него показатель степени: 5() 5 ( ) , т.е. ( 5). Домножим и 5() 5 0 здесь использовано 5 e m m правило а ( а ) т.к. в квадратных скобках имеем модель (), а выражение х (см. Выводы в Замечании ). 0 5( ) 0 при б) Подставляя 0, получим неопределенность вида : ( 0) 7 7 формировать модель ():, следовательно, опять можно e в) Подставляя 0, убеждаемся в том, что в данном случае нет неопределенности, и сразу приходим к ответу: ( 0). 7 Замечание 6. Пример в) показывает, как важна предварительная подстановка условия предела: не имея неопределенности того или иного вида, сразу получаем ответ..,

47 ПРИМЕР. Вычислить пределы: а) 5 ; б) 5 0 ; в) 5. Решение. а) Неопределенность вида : при х + 5х и (т.к. числитель и знаменатель имеют одинаковые высшие степени (х ), предел дроби равен отношению коэффициентов при х). Формируем модель (); сначала выделяем в скобке единицу: проверка: при 0. Чтобы завершить «построение» числа е, в показателе степени надо иметь выражение, обратное для, т.е.. Продолжая преобразования последнего предела, домножим показатель степени на две указанные дроби: ( 5 ) (5 ) 0 / e ( 5 ) 5 0 т.к. при х. б) Неопределенности нет, т.к.: , ; 7

48 в) Неопределенности нет, ответ: 5 0. (См. пункт ) Замечания 5). ПРИМЕР 5. Вычислить пределы: а) в) 0. ; б) 0 ; Решение. а) При х имеем, в Замечании ), то неопределенности здесь нет, и б) (см. Выводы в) Неопределенность вида (проверьте!), поэтому займемся «формированием» числа е (модель ()) так же, как это делали в примере а). Чтобы выделить единицу, надо иметь в числителе такое же выражение, как в знаменателе. Заметим, что два слагаемых знаменателя (х ) уже есть в числителе, поэтому прибавим в нем (и вычтем) недостающее слагаемое х. После этого получаем: 8

49 Проверка: при х «Достраиваем» показатель: e 0.. ПРИМЕР 6. Вычислить пределы,. Решение. В обоих пределах нет неопределенности ни при х +, ни при х. ; 0. (См. пункт ) в Замечании 5). ПРИМЕР 7. Вычислить пределы: ctg tg а) si ; б) si ; в) cos 0. Решение. а) Неопределенность вида (проверьте!), «формируем» число е: tg 0 0 si si tg si ( si )

50 т.к. е >. б) Неопределенности нет: si cos т.к. si tg si e 0, cos при 0 si 0 ctg ctg 0 0 si ( 0). 0 в) Неопределенность вида, «строим» число е: 0 0 проверка: при х 0 cos ( cos ) cos 0 cos cos cos ( cos ) e0 0 si si 0 т.к. cos si, то e si 0 0 si( ) при 0 e e. VI. Неопределенности вида и 0 Когда возникают неопределенности вида и 0, обычно достаточно теми или иными способами преобразовать заданное выражение в дробь, после чего получаются уже разобранные выше неопределенности 0 0,, (или неопределенности вообще не будет). Проиллюстрируем это примерами. 50

51 ПРИМЕР 7. Вычислить пределы: а) ; б). Решение. а) Подставляя вместо х, получаем неопределенность вида : при х и Приводим дроби к общему знаменателю: (см. Выводы в Замечании ). ( )( ) ( ) ( )( ), (полученная неопределенность была раскрыта на основании Выводов в Замечании ). б) Имеем неопределенность вида : при х и 0. Снова приводим к общему знаменателю, что уже было 0 выполнено в а), и получаем:. Имеем неопределенность 0 0 (проверьте!). Алгоритм ее раскрытия дан в разделе III. В соответствии с ним разложим числитель и знаменатель на множители. Один из них известен, это (х ). Другой множитель числителя найдем при помощи «деления углом»: 5

52 0 Тогда ( )( ), в знаменателе вынесем х за скобки и применим формулу разности квадратов; в результате получим: ( )( ) ( )( ) ( ) и, следовательно, при х имеем:. ( ) ( ) ПРИМЕР 8. Вычислить пределы: а) и ; б). и Решение. а) И при х +, и при х имеем неопределенность вида. В соответствии с изложенным выше методом нахождения пределов от выражений, содержащих иррациональности, выражение, стоящее под знаком предела, умножаем и делим на сопряженное к нему. В результате получаем дробь:. 5

53 Получили неопределенность вида. Сравнивая высшие степени числителя и знаменателя, убеждаемся в том, что они равны, следовательно, предел равен отношению коэффициентов при них. Но числитель положителен при х + и отрицателен при х, знаменатель же положителен как при х +, так и при х. Имеем: Вычисляем ;. б) Подставляя + вместо х, имеем неопределенность вида. 0. При неопределенности нет, и сразу получаем ответ. ПРИМЕР 9. Вычислить пределы: а) ctg 0 ; б) l si 0 si. Решение. а) При подстановке 0 получаем неопределенность вида 0. Представляя далее данное произведение в виде дроби, получим: cos( ) ctg si( ) ; 0 0 при х0 cos( ), а оставшееся выражение приводим к первому замечательному пределу: 5

54 , т.к. si( ) 0 si( ) при х 0. Следовательно, ctg. 0 б) Подстановка 0 дает: l si 0 l 0 0 неопределенность. si 0 0 Используем правило log b log b a a, тогда 0 0 si l si l si. si Под знаком логарифма при х 0 имеем неопределенность 0 ( 0). Раскрываем ее с помощью второго замечательного предела: si si l si l si l e. 0 0 Заметим, что при вычислении предела использовалась непрерывность логарифмической функции. Задачи для самостоятельного решения 7. Пользуясь ε - δ и ε - М определениями предела функции в точке, показать, что: а) ( 5 ) ; б) ; в) Вычислить пределы: а) ( ) 9 ; б) ; в) ( ) 9. ( ) 5

55 9. Показать, что функция f( ) является бесконечно большой при х 0 и бесконечно малой при х. В задачах 0- вычислить пределы: 0. а) г) 5 ; б) ( ) () ; в) ;. а) ; б) 5 ; в) 5 ; г) 5 0 ; д) а) г) 0 ; д) 5 е) существует ли предел. а) г) ; б) ; б) 9 ; д) 6? 5 5 ; 5 0 ; в) ( ) ; е) ; в) e ; ; ( 6 9).. а) ; б) ; в) 6 6 ; г) a0 a a a ; д) 0 ; е). 55

56 5. а) в) 0 l (0 ) ; б) e ; г) 6. а) г) ж) 0 0 ; 0 si 7 ; б) si( ) ; д) cos (0 ) e. 0 si 7 ; в) si( ) ; е) cos ; 0 cos cos a ; a a a (указание: воспользоваться формулой приведения cos si ); з) tg( ) ; и) 0 si 6 6 tg. 7. а) 8. а) si arcsi 0 arctg 0 9 ; б) arctg arcsi( ) ; в). 0 arctg 0 si ; б) si( ) 0 ; в) si( ) e ; г) si( ). 9. а) г) ж) ( ) ; б) ( ) 0 ; в) ( ) ; 7 7 ; д) ; е) ; з) 0 5 ; и) ; ; 56

57 к) 5 0. а) в) 0 ; л) si tg si (si ) tg ; м) si ; ; б) ctg (указание: воспользоваться формулой. si cos ); г) l( a ) l a 0 ; д) arcsi arctg ( ). 0. а) ( ) ; б) 0 ; в) ; г) 8 6 ; д) ctg 0 si cos.. а) ; б) в) ; г) ;.. а) г) 0 ( ) tg 6 ctg8; б) ; д) 0 si ; в) 0 arctg ctg ; е) si ; 0. tg tg. а) г) l( 7 ) ; б) 0 l. l( 7 ) ; в) 0 l( tg ) ; arcsi 0 57

58 . СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ФУНКЦИЙ. ПРИМЕНЕНИЕ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ПРЕДЕЛОВ Пусть (х) и β(х) бесконечно малые функции при х а (см. ). Определение. Если ( ) A cost, A 0, A, то функции ( ) a (х) и β(х) называются бесконечно малыми функциями одного порядка малости при х а (записывается: (х) = О(β(х)) при х а; символ О читается как «О-большое»). В частности, если ( ), то функции (х) и β(х) называются ( ) a эквивалентными функциями при х а (записывается: (х) ~ β(х) при х а). Определение. Если ( ) 0, то функция β(х) называется ( ) a бесконечно малой функцией более низкого порядка малости, чем α(х), при х а, а функция (х) бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем β(х), при х а. Записывается: (х) = о(β(х)) при х а, символ о читается как «о-малое» и означает, что (х) << β(х); знак << читается как «много меньше». Определение. Если ( ), 0, a( ( )) A cost A A, то функция (х) называется бесконечно малой функцией порядка п в сравнении с функцией β(х) при х а. Определение. Если ( ) ( ) a вообще не существует, то функции (х) и β(х) называются не сравнимыми при х а. 58

59 Аналогично сравниваются бесконечно большие функции. Свойства бесконечно малых функций при х а. Сумма любого конечного числа бесконечно малых функций также является бесконечно малой функцией.. Произведение любого конечного числа бесконечно малых функций также является бесконечно малой функцией (высшего порядка в сравнении с каждой из них).. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция.. Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция более высокого порядка малости в сравнении с каждой из них. 5. Если (х) и β(х) бесконечно малые функции, и если (х) ~ (х), ( ) β(х) ~ β (х) при х а, то ( ). Можно заменять на ( ) ( ) a a эквивалентную как обе функции, так и одну из них, любую. 6. Если f ( ) A, 0 A и (х) бесконечно малая функция при a х а, то f ( ) ( ) ~ A ( ) при х а. Приведем таблицу эквивалентных бесконечно малых функций при х 0:. si ~ ;. tg ~ ;. arcsi ~ ;. arctg ~ ; 5. cos ~ ; 6. a ~ l a, a > 0, a, в частности, е ~ ; 7. l( + ) ~ ; 8. ( + ) m ~ m, в частности, ~. 59

60 ПРИМЕР. Показать, что функции а) e ) 0, f( ) ; ) ; б) 99 ), f ( ) ( ) cos ; ) 0; являются бесконечно малыми функциями при условии ) и не являются таковыми при условии ). Решение. а) ) 0 0 e e 0 0. Следовательно, данная 0 функция при х 0 является бесконечно малой по определению. ) Имеем e e e 0, откуда следует, что данная функция при х не является бесконечно малой по определению. б) В случае ) функция при при х ; т.к. 99 ( ) 0 и потому является бесконечно малой cos при всех х, то множитель cos 99 есть функция ограниченная, тогда по свойству бесконечно малых функций произведение ограниченной функции и бесконечно малой есть бесконечно малая функция. В случае ) имеем ( ) cos cos ( ) cos 0, следовательно, данная функция не является бесконечно малой при х 0. функции: ПРИМЕР. Сравнить между собой бесконечно малые при х 0,,,, ( 0). Решение. Имеем: 0, следовательно, х бесконечно 0 0 малая функция более высокого порядка, чем х, х 0 (х << х при х 0 или х = о(х )). 60

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА ГОУВПО КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА Учебно-методическое

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) Кафедра "Прикладная математика-1" Ю.С.Семёнов Кафедра "Прикладная математика-1"

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов

Сборник задач для самостоятельного решения по теме Предел функции Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов ББК В 65я73-4 С 3 УДК 57 Учебное издание Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: АН Максименко, АН Морозов Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел

Подробнее

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова Высшая математика IV САМОУЧИТЕЛЬ

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ Т Ю Альпин, А И Егоров, П Е Кашаргин, С В Сушков ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть I: Комплексные числа Предел функции Казань 013 Печатается

Подробнее

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

Методические рекомендации по решению задач на тему «пределы функции» для студентов специальности «Производство летательных аппаратов»

Методические рекомендации по решению задач на тему «пределы функции» для студентов специальности «Производство летательных аппаратов» Государственное бюджетное профессиональное учреждение Московской области «Авиационный техникум имени В.А. Казакова» Рассмотрено на заседании предметной цикловой комиссии «Общеобразовательных, математических

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

Теория пределов: упражнения и примеры

Теория пределов: упражнения и примеры Теория пределов: упражнения и примеры Методическое пособие для факультетов менеджмента, политологии и социологии П.А.Панов Государственный Университет Высшая школа экономики Январь 00 Что такое предел

Подробнее

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия 35 Глава 2 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1 Основные понятия Пусть D некоторое множество чисел Если задан закон, по которому каждому числу из множества D ставится в

Подробнее

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim Òåîðåìû î ïðåäåëàõ Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Основные теоремы о пределах. Предел числовой последовательности. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Экспонента. Натуральный логарифм.

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии Кафедра высшей математики Высшая математика ( семестр Разделы Функции. Пределы. Дифференцирование. Интегрирование. Основные формулы по темам

Подробнее

Типовые задачи c решениями.

Типовые задачи c решениями. Типовые задачи c решениями. Формальное суммирование рядов. Формула рекурсии k a k a + a k k Формула умножения λ a k λa k Формула сложения k k k a k + b k a k + k b k k Пример Геометрическая прогрессия.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Предел. Непрерывность. Производная. Интеграл Утверждено Редакционно-издательским

Подробнее

Конспект лекций по высшей математике

Конспект лекций по высшей математике Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра высшей математики Конспект лекций по высшей математике для студентов экономических

Подробнее

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения И. В. Яковлев, А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта http://www.ege-study.ru Тригонометрические уравнения В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный университет» А А Г О Л У Б Е В, Т А С П А С С К А Я ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

Подробнее

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине «Элементы высшей математики».

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине «Элементы высшей математики». МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ «ДОНСКОЙ БАНКОВСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Методические

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Программа дополнительного образования «Программа подготовки в ВУЗ»

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Программа дополнительного образования «Программа подготовки в ВУЗ» Автономная некоммерческая организация дополнительного образования Учебный Центр при МГТУ им. Н. Э. Баумана «Ориентир» «УТВЕРЖДАЮ» Директор АНО ДО Учебный Центр при МГТУ им. Н.Э.Баумана «Ориентир» ПАНФИЛОВА

Подробнее

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1.

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1. 1 Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Специализированный учебно-научный центр ГОУ лицей 1580. Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, 2014-2015 учебный

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ 1. Числовые множества. Арифметические действия над числами. Натуральные числа (N).

Подробнее

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1 Глава 1 Основы алгебры Числовые множества Рассмотрим основные числовые множества. Множество натуральных чисел N включает числа вида 1, 2, 3 и т. д., которые используются для счета предметов. Множество

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

С.А. Лавренченко. Доказательство: Повести самостоятельно. Указание: Применить произведения, взяв

С.А. Лавренченко. Доказательство: Повести самостоятельно. Указание: Применить произведения, взяв Лекция 4 1 СА Лавренченко Вычисление пределов 1 Правила вычисления пределов Пусть действительная константа и целое положительное число При условии, что существуют оба предела и, имеют место следующие десять

Подробнее

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ТЕХНИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (на базе

Подробнее

Тригонометрические ряды Фурье

Тригонометрические ряды Фурье Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература...

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература... ОГЛАВЛЕНИЕ Введение................................................ 3 Глава. Неопределенный интеграл.......................... 6.. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла........................

Подробнее

Лекция 1 Вещественные числа.

Лекция 1 Вещественные числа. Лекция 1 Вещественные числа. 1. Рациональные числа. Простейшими числами являются целые положительные числа 1, 2,..., используемые при счете. Они называются натуральными числами, и люди их знали так много

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

Планируемые результаты освоения алгебры в 7 классе Алгебраические выражения. Уравнения

Планируемые результаты освоения алгебры в 7 классе Алгебраические выражения. Уравнения Программа по алгебре для 7 класса общеобразовательного учреждения. Пояснительная записка Структура программы Программа включает три раздела: 1.Планируемые результаты усвоения алгебры в 7 классе 2.Содержание

Подробнее

Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов ПРЕДЕЛЫ

Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов ПРЕДЕЛЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Лекция 1.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними

Лекция 1.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними Лекция.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними Аннотация: В лекции указывается на необходимость обобщения понятия числа от натурального до комплексного. Вводятся алгебраическая,

Подробнее

Тема 37 «Пределы функций»

Тема 37 «Пределы функций» Тема 37 «Пределы функций» «Математический анализ» - серьезный раздел высшей математики. «Анализируют» здесь довольно тонкие моменты: как ведет себя функция не только в целом, в своей области определения

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

Предмет математика модуль «алгебра», 7 класс. Учитель Анастасия Васильевна Рыбалкина

Предмет математика модуль «алгебра», 7 класс. Учитель Анастасия Васильевна Рыбалкина Предмет математика модуль «алгебра», 7 класс Учитель Анастасия Васильевна Рыбалкина Что предстоит «узнать» = изучить, освоить на уроках математике модуль «алгебра» в 7 классе. 1) ТЕМЫ (по программе) I.

Подробнее

Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Равномерная непрерывность функций одной переменной. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов, Н.Т. Левашова, Н.Е. Шапкина Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Подробнее

Методические указания

Методические указания Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана Методические указания В.Я. Томашпольский, М.Н. Шевченко, И.О. Янов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана Московский государственный

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ. Кафедра, обеспечивающая подготовку программы: «Высшая математика»

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ. Кафедра, обеспечивающая подготовку программы: «Высшая математика» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ Кафедра, обеспечивающая подготовку программы: «Высшая математика» Настоящая программа состоит из трех разделов. В первом разделе перечислены основные математические

Подробнее

2011 год. Высшая математика для чайников. Предел функции. Виосагмир И.А. Предел функции.

2011 год. Высшая математика для чайников. Предел функции. Виосагмир И.А. Предел функции. 20 год Высшая математика для чайников. Предел функции. Виосагмир И.А. Предел функции viosagmir@gmail.com Предел функции Введение Ну что же Я приветствую Вас в своей первой книге, посвященной пределам функции.

Подробнее

Теоретический материал.

Теоретический материал. 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных 1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА 10 класс (профильный уровень)

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА 10 класс (профильный уровень) РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА 0 класс (профильный уровень) п/п РАЗДЕЛ / ТЕМА Колво час. Планируемые результаты Примечание ПОВТОРЕНИЕ КУРСА 9 КЛАССА 4 Упрощение рациональных выражений Решение

Подробнее

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ ФГБОУ ВПО «ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Персиановский

Подробнее

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент.

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

П Р О Г Р А М М А ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ

П Р О Г Р А М М А ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Лекция 17: Евклидово пространство

Лекция 17: Евклидово пространство Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания При решении многих задач возникает необходимость иметь числовые

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты:

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты: ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты: Содержание программы 1. Числа, корни и степени. Числовые последовательности Натуральные числа. Простые

Подробнее

Лекция 2: Многочлены

Лекция 2: Многочлены Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Понятие многочлена Определения Многочленом от одной переменной называется выражение вида

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет»

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО РАЗДЕЛУ «РЯДЫ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

Лекции по математическому анализу

Лекции по математическому анализу В.Ф. Бутузов Лекции по математическому анализу Часть I Москва 2012 Б у т у з о в В. Ф. Лекции по математическому анализу. Часть I. Учебное пособие содержит первую часть курса лекций по математическому

Подробнее

Аннотация к рабочей программе

Аннотация к рабочей программе Аннотация к рабочей программе 8 класс, алгебра ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа по алгебре для основной общеобразовательной школы 8 класса составлена на основе: Федерального компонента государственного

Подробнее

Оформление решения рационального неравенства следующее: xx x x x x. Итак: план решения рационального неравенства:

Оформление решения рационального неравенства следующее: xx x x x x. Итак: план решения рационального неравенства: РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ. I) х - 5> линейное неравенство. Решаем методом переноса: х>5, т.е. х>5, и т.д. II) х > можно решить перебором чисел. III) Более сложные неравенства (квадратные, дробные,

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А.

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А. РЯДЫ ФУРЬЕ Автор-составитель: доцент каф ВМ Цапаева СА Великий Новгород ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ГАРМОНИК Определение Гармониками называются комплекснозначные функции вида iω ( ) e, где действительная переменная,

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

x 2 10x > x 2 10x = x(x 10) > x2 x x 2 /2 = 2 x. x 2 10x < x+ x 2 10x = 0. x 0. > 0k N : 0 < x k < и f(x k ) A = A > 0,

x 2 10x > x 2 10x = x(x 10) > x2 x x 2 /2 = 2 x. x 2 10x < x+ x 2 10x = 0. x 0. > 0k N : 0 < x k < и f(x k ) A = A > 0, Пределы Предел функции Определение предела Пусть a точка числовой прямой, a b c) Пусть функция f) опре- делена на множестве E : { b c)\{a}} Число a называется пределом функции f) при, стремящемся к a обо-

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1 СЕМЕСТР)

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1 СЕМЕСТР) ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ( СЕМЕСТР) А. А. Пожарский Занятие. Принцип математической индукции. Задачи по []: 0. Задачи по [2]: 27. Занятие 2. Основные понятия комбинаторики: факториал,

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Обыкновенные дроби. m или ( m ) < n. или ( m) n. Всякую неправильную дробь можно представить в виде

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Обыкновенные дроби. m или ( m ) < n. или ( m) n. Всякую неправильную дробь можно представить в виде РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Обыкновенные дроби Определение Дроби вида, называются обыкновенными дробями Обыкновенные дроби, правильные и неправильные Определение Дробь, правильной, если < при, где Z, N Z, N Z,

Подробнее

Лекция 1: Комплексные числа

Лекция 1: Комплексные числа Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В школьном курсе математики понятие числа постепенно расширяется.

Подробнее

Лекция 14. Неопределенности и правило Лопиталя

Лекция 14. Неопределенности и правило Лопиталя СА Лавренченко 1 wwwlawrencenkoru Лекция 14 Неопределенности и правило Лопиталя Правило Лопитáля применяется при вычислении пределов для раскрытия неопределенностей типа или Раскрытие неопределенности

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ. ТОЧНЫЕ ГРАНИЦЫ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ. ТОЧНЫЕ ГРАНИЦЫ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Утверждено научно-методическим советом математического

Подробнее

1. Результаты освоения курса математики в 6 классе (Личностные, метапредметные и предметные результаты освоения содержания курса)

1. Результаты освоения курса математики в 6 классе (Личностные, метапредметные и предметные результаты освоения содержания курса) 1 Пояснительная записка Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования, Примерной программы по учебным

Подробнее

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2011

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2011 Chir of Mth. Anlysis, SPb. Stte University. A.V.Poteun, Исследование сходимости несобственных интегралов Методические указания для решения задач А. В. Потепун Как известно (см. [], глава III, 7), если

Подробнее

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101 ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Основная 1. Бугров Я. С., Никольский С.М. Высшая математика. Т.2. Дифференциальное

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

Лекция 1. Алгебраическое доказательство. Пусть это не так, т.е.

Лекция 1. Алгебраическое доказательство. Пусть это не так, т.е. Лекция Почему мы не можем обойтись целыми и рациональными числами? Потому что в самых естественных ситуациях нам встречаются числа, не являющиеся ни целыми, ни рациональными. Рассмотрим единичный квадрат.

Подробнее

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Математический анализ»

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Математический анализ» Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Математический анализ» Направление 080100 Экономика для подготовки студентов бакалавров

Подробнее

Сазонов Д.О. Методические упражнения с решениями и теоремы с доказательством для курса средней школы «Функции и пределы»

Сазонов Д.О.   Методические упражнения с решениями и теоремы с доказательством для курса средней школы «Функции и пределы» Кафедра информатики и методики преподавания математики ВГПУ Сазонов Д.О. E-mail: imul@vspu.ac.ru Методические упражнения с решениями и теоремы с доказательством для курса средней школы «Функции и пределы»..

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ МИНОБРНАУКИ РОССИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Новосибирский государственный университет экономики и управления «НИНХ» (ФГБОУ ВО «НГУЭУ», НГУЭУ)

Подробнее

Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных

Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных дробей; с требуемой точностью округлять данные числа и результаты

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

Дата проведения урока Тема Примечание

Дата проведения урока Тема Примечание урока Дата проведения урока Тема Примечание 1 четверть (32 ч) 1 Повторение.Числовые и алгебраические выражения. Графики функций 2 Повторение. Линейные уравнения и системы. 3 Срезовая контрольная работа

Подробнее

Спецификация к семестровой работе по математике в 10 классе Множества, операции над множествами Числовые множества Функция: Нахождение области

Спецификация к семестровой работе по математике в 10 классе Множества, операции над множествами Числовые множества Функция: Нахождение области Спецификация к семестровой работе по математике в 10 классе Множества, операции над множествами Числовые множества Функция: Нахождение области определения Нахождение множества значений Исследование на

Подробнее

3A = A = A = 1 7 A + B = A = c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj = a is b sj

3A = A = A = 1 7 A + B = A = c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj = a is b sj Высшая математика Лекции по курсу Список литературы [] Высшая математика для экономистов Под редакцией НШ Кремера [] СА Минюк, ЕА Ровба Высшая математика [] Сборник задач по высшей математике для экономистов

Подробнее

Тема 1: Системы линейных уравнений

Тема 1: Системы линейных уравнений Тема 1: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Задачи по высшей математике для биологов

Задачи по высшей математике для биологов МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ БИОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Бобров А.Н. Радославова Т.В. Задачи по высшей математике для биологов МОСКВА 03 УДК

Подробнее

МБОШИ «Кадетская школа-интернат» 2010 г г.

МБОШИ «Кадетская школа-интернат» 2010 г г. МБОШИ «Кадетская школа-интернат» Согласовано Руководитель МО учителей математики /Булатова Ф.А. Утверждаю Директор МБОШИ КШИ /Таипова А.Р. 2010 г. 2010 г. Рабочая программа по алгебре и началам анализа

Подробнее

Характеристики учебных занятий

Характеристики учебных занятий «Шестимесячные очные подготовительные курсы по математике» Раздел 1. Характеристики учебных занятий 1.1. Цели и задачи учебных занятий Подготовка слушателей к успешной сдаче ЕГЭ (единого государственного

Подробнее

овладение обобщенными способами мыслительной, творческой деятельностей;

овладение обобщенными способами мыслительной, творческой деятельностей; ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Настоящая рабочая программа по алгебре разработана на основе программы «Математика. 5-6 классы. Алгебра. 7-9 классы. Алгебра и начала анализа.10-11» - Москва: Просвещение, 011 г.,

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

УСРЕДНЕНИЕ ТРЁХМЕРНОГО ПОЛЯ НАПРАВЛЕНИЙ

УСРЕДНЕНИЕ ТРЁХМЕРНОГО ПОЛЯ НАПРАВЛЕНИЙ 9 Компьютерная оптика том УСРЕДНЕНИЕ ТРЁХМЕРНОГО ПОЛЯ НАПРАВЛЕНИЙ АВ Устинов Учреждение Российской академии наук Институт систем обработки изображений РАН Аннотация В данной статье описан метод усреднения

Подробнее

2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Учебная программа по дисциплине «Математический анализ» разработана для специальности «Прикладная информатика» шифр 1-31 03 07-03 высших учебных заведений. Целью изучения дисциплины

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

Т. В. Родина, Е. С. Трифанова ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ I

Т. В. Родина, Е. С. Трифанова ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ I Т В Родина, Е С Трифанова ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ I для напр «Прикладная математика и информатика» Учебное пособие под редакцией проф И Ю Попова Санкт Петербург 0 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

Подробнее

П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е

П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е Санкт-Петербургский государственный университет А. В. О С И П О В К О Н С П Е К Т Л Е К Ц И Й П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е Часть II (-й курс, -й семестр) Санкт-Петеpбуpг 0 0 Конспект лекций по высшей

Подробнее