b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3"

Транскрипт

1 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число A называется пределом функции f() при, стремящемся к 0, f() A, если для каждого ε > 0 существует такое δ, зависящее от ε, δ δ(ε), что при 0 < 0 < δ Как показывает практика, освоение точного определения предела представляет для большинства студентов существенные трудности. В принципе в дальнейшем при вычислении пределов достаточно интуитивного понятия предела. 3

2 выполняется неравенство f() A < ε. В частности, если f() определена в точке 0 и A f( 0 ), т.е. f() f( 0 ), то f() называется непрерывной в точке 0. Доказательство утверждения о том, что предел существует и равен некоторому числу A, f() A, непосредственно опирающееся на определение предела, должно начинаться словами: Пусть дано ε > 0. Затем по этому ε нужно найти δ δ(ε), зависящее от ε, о котором идет речь в определении. Это δ не обязательно максимальное из всех возможных. Поэтому обычно неравенство f() A < ε сначала анализируется, точнее проводится оценка сверху разности f() A в терминах разности 0. Затем δ выбирается из более грубого условия, использующего полученную оценку для ε. Задача.. Пользуясь определением предела показать, что a) (4 + 3) ; c) ; b) ( 4 + 8) 4; d) (+) 4. 3 a) Пусть ε > 0. Требуется по этому ε найти такое δ > 0, чтобы из условия 0 < 0 < δ, т.е. из 0 < + < δ вытекало бы неравенство f() A < ε, т.е ( ) < ε. Последнее неравенство приводится к виду 4( + ) < ε, т.е. + < 4 ε. Отсюда следует, что если взять δ ε 4, то неравенство 0 < + < δ будет автоматически влечь за собой неравенство ( ) < ε. По определению это и означает, что (4 + 3). c) Пусть ε > 0. Имеем f() A ( + ) 4

3 < < ε 5 (если <, то + < 5, а + > всегда; если числитель дроби увеличить, а знаменатель уменьшить, то дробь увеличится). Ищем δ из последнего условия < ε, т.е. < ε δ. Возьмем δ ε (или δ < ε, например, δ 3 ε). Тогда, если < δ, то < < δ ε. Это и означает, что Число A называется пределом функции f() при, стремящемся к бесконечности, f() A (соответственно, f() A, соответственно, f() A), если для каждого ε > 0 существует такое N, зависящее от ε, N N(ε), что при > N (соответственно, > N, соответственно, < N) выполняется неравенство f() A < ε. В частности, если n N принимает лишь натуральные значения, получаем определение предела последовательности. Число A называется пределом числовой последовательности a n, A, если для каждого ε > 0 существует такой n a n номер N N(ε), зависящий от ε, что при n > N выполняется неравенство a n A < ε. Задача.. Пользуясь определением предела показать, что: 3n + 4 a) n n + 3 3n + ; b) n n + 3. Для каждого ε найти такой номер N, что для всех n > N выполняется неравенство a n A < ε. Какое можно взять N, если ) ε ; ) ε 0, ; 3) ε 0, 05?

4 a) Пусть дано ε > 0. Имеем a n A 3n + 4 n + 3 (3n + 4) 3(n + ) (n + ) 5 (n + ), и неравенство a n 3 < ε будет выполняться, если 5 (n+) < ε, т.е. n + > 5 ε или n > 5 4ε. Если в качестве N взять целую часть числа 5 4ε (или любое целое число большее этого числа), то при n > N будет выполняться неравенство 3n+4 < ε. n+ 3 Если ε, то можно взять N 3; если ε 0,, то N 8; если ε 0, 05, то N 8. Таким образом, по каждому ε мы можем найти номер, начиная с которого будет выполняться требуемое 3n+4 неравенство. Это и означает, что n n+ 3. Задача.3. Пользуясь определением предела показать, что +3. Каково должно быть N, чтобы при > N вы- полнялось неравенство +3 < ε? Пусть дано ε > 0. Имеем < ε, т.е. > 4 ε 3. Возьмем N ε. Тогда при > N имеем > N 4 ε > 4 ε 3 и, следовательно, < ε. Задача.4. Доказать, что последовательность a n + ( ) n не имеет предела. Если α() 0 (где 0 число или ), то функция α() называется бесконечно малой (сокращенно б.м.) в точке 0. Из определения следует, что функция, имеющая предел это функция, отличающаяся от константы на бесконечно малую, f() A f() A + α(), где α() б.м. в точке 0. 6

5 Несобственные пределы. Предел функции f() равен при, стремящемся к 0, f(), если для каждого M > 0 существует δ δ(m) > 0 такое, что 0 < 0 < δ f() > M. В этом случае функция f() называется бесконечно большой (сокращенно б.б.) в точке 0. Различают также более специальные понятия: f() + (соответственно, f() ), если для каждого M > 0 существует δ δ(m) > 0 такое, что 0 < 0 < δ f() > M (соответственно f() < M). Теорема. f() есть б.б. в точке 0 α() f() есть б.м. в точке 0. Символически это обозначают так: 0 или 0. Задача.5. Сформулировать с помощью неравенств определение f(). +. Пределы и арифметические операции. Элементарные функции Теорема. Если f() A, или, то:. [f() + g()] A + B ;. f() g() A B ; и в частности, Cg() C g() ; 3. если B 0, то f() g() A B. 7 g() B, где 0 число

6 Отсюда следует, что если функции f() и g() непрерывны в точке 0, то их сумма, произведение и частное (если g() 0) также непрерывны. Кроме того, если функция y f() непрерывна в точке 0, то обратная функция f (y) непрерывна в точке y 0, где y 0 f( 0 ). Если функция t ϕ() непрерывна в точке 0, функция y f(t) непрерывна в точке t 0 ϕ( 0 ), то сложная функция y f(ϕ()) y() непрерывна в точке 0. Функции, которые получаются из констант, y C, и функций y, y e, y sin с помощью операций сложения, умножения и деления, а также операций взятия обратной функции и образования сложных функций, называются элементарными. Элементарные функции включают в себя все известные из школы функции: y ln обратная к y e ; y α e α ln степенная функция; y a e ln a показательная функция; все тригонометрические функции: y cos sin ( π ), y tg sin cos и т.д.; обратные тригонометрические функции arcsin и т.д. Из сказанного выше следует, что элементарные функции непрерывны всюду, где они определены. Вычисление предела непрерывной функции f() в точке 0 (и, в частности, элементарной функции там, где она определена) очень просто, f() f( 0 ), т.е. все сводится к подстановке и вычислению f( 0 ) значения функции f() в точке 0. Задача.6. Найти предел: a) ; b) Ответ: a) 9; b) Таким образом, задача о вычислении пределов элементарных функций интересна (и представляет некоторую трудность) лишь 8

7 в точках, где эти функции (первоначально) не определены, например в точках, где знаменатель дроби обращается в нуль. В этом случае говорят об устранении или раскрытии неопределенности. Основные виды неопределенностей это [ [ 0 0], ], [ ], [ ], [ 0 0], [ 0]. Например, неопределенность вида [ ] это предел функции f() g(), где g(). f(), а.3 Неопределенности вида [ 0 0] случай отношения двух многочленов Неопределенность вида [ 0 0] это предел β(), где α() и β() б.м. в точке 0. Наличие неопределенности в таких пределах связана, как правило, с тем, что функции α() и β() имеют общий множитель, обращающийся в нуль в точке 0. Устранение неопределенности сводится к нахождению и сокращению такого множителя. В данном пункте α() и β() являются многочленами, т.е. функциями вида α() α() a 0 m + a m + + a m, β() b 0 n + b n + + b n. Так как α() и β() непрерывные функции, то α( 0 ) 0, β( 0 ) 0, т.е. 0 является корнем многочленов α() и β(). Нахождение общего множителя особенно просто, если 0 0: 5 Задача.7. Найти [ 0 0] (5 ) ( + 7) Случай произвольного 0 можно свести к случаю 0 0 заменой t 0 или t + 0 (см.пункт.5 ниже). Можно использовать также теорему о делении многочленов. Из школы известна следующая теорема. 9

8 Теорема. Если, корни уравнения a + b + c 0, то a + b + c a( )( ). Замечание. Если мы один корень уравнения знаем, то для нахождения не надо решать квадратное уравнение, а просто воспользоваться теоремой Виета: c a (и + b a ). Задача.8. Найти предел: a) ; b) a) Подставляем в числитель и знаменатель и убеждаемся, что имеем неопределенность вида [ 0 0]. По теореме Виета (устно) находим вторые корни; для числителя:, 6 3; для знаменателя:,. Получаем [ 0 0] ( )( 3) ( )( + ) Ответ: a) 3 ; b) 3. Задача.9. Найти предел: a) ; b) Подставляем 3 и убеждаемся, что 3 является корнем числителя и знаменателя. Делим на 3: ,

9 Получаем [ 0 0] 3 ( 3)( 6) ( 3)( 3) [ 0 0] 3 ( 3)( + ) ( 3)( + ) 5 4. Заметим, что после первого сокращения на ( 3) неопределенность [ 0 0] не исчезла, и нам пришлось продолжить выделение общего множителя (корень 3 кратный). Ответ: a) 5 4 ; b) Неопределенности вида [ 0 0] случай иррациональностей Иррациональностями в данном случае называются корни (радикалы). Для выделения общего множителя в числителе и знаменателе дроби можно воспользоваться формулами разности квадратов (в случае квадратных корней) и разности или суммы кубов (в случае кубических корней), записанными в виде a b ( a b)( a+ b), a b ( 3 a 3 b)( 3 a ± 3 ab+ 3 b ). Множители в правой части этих формул называются сопряженными. Чтобы избавиться от корней, числитель и знаменатель умножают на сопряженное выражение (дробь при этом не изменяется). Задача.0. Найти предел: a), b). 3 a)

10 + [ 0 0] + ( ) ( ++ ) ( ++ ). Ответ: a) ; b) 3. Задача.. Найти предел: a) ; b) a) 9+ 5 [ 0 0] (9+ 5)( ) 8 ( 9++5)( 8) 3 ( 8)( ) 8 ( 9++5)( 8) 0 5. Ответ: a) 5 ; b)..5 Метод замены переменной Схему применения этого метода можно описать так. Пусть требуется найти f(). Пусть мы делаем замену переменной, обычно обратимую, ϕ(t) или t ϕ (), и при этом 0 t t 0. Пусть после замены получается функция F (t) f(ϕ(t)) (сложная функция), пусть существует предел F (t) A. Тогда t t 0 f() F (t) A. t t0 Теоретическое обоснование этого метода сводится к теоремам о пределе сложной и обратной функции и к непрерывности элементарных функций. Рассмотрим применение этого метода к уже встречавшимся ранее типам пределов. В дальнейшем мы будем пользоваться им и для нахождения других типов пределов.

11 Предел отношения двух многочленов (см. пункт.3). Как мы видели, особенно просто предел находится в случае, когда 0 и 0 0 корень числителя и знаменателя. Тогда c k k + c k+ k+ + + c m m [ 0 0] c k + c k+ + d k k + d k+ k+ + + d n n d k + d k+ + c k. d k Замечания.. Для простоты мы рассмотрели только случай, когда 0 0 корень числителя и знаменателя одной и той же кратности.. В дальнейшем мы будем говорить, что c k k и d k k главные члены бесконечно малых, а следующие за ними слагаемые являются б.м. более высокого порядка малости и их отбрасывание приводит к эквивалентным б.м. Случай, когда 0 и 0 произвольное число, заменой 0 t сводится к случаю 0 0. Задача.. (см. задачу.9.a) ). Найти предел Делаем замену 3 t, t + 3. Тогда при 3 переменная t 0. Сделаем общее замечание по поводу вычислений. Нам нет нужды вычислять все члены многочлена, который получится после замены: во-первых, так как t 0 является корнем полученных многочленов, то их свободные члены равны 0; во-вторых, нам достаточно знать самые младшие (они же главные) ненулевые члены. Поэтому мы вычисляем коэффициент при первой степени t и если этот коэффициент не равен нулю на этом останавливаемся. Если коэффициент при t равен нулю, вычисляем коэффициент при t и т.д. t [ 0 0] ( 3 4+7)t+( 4+9)t + (3 30+7)t+( 5+9)t (t+3) 3 4(t+3) 3(t+3)+8 t 0 (t+3) 3 5(t+3) +3(t+3)+9 Случай иррациональностей. 3 Задача.3. Найти предел. Чтобы извлекались оба корня сделаем замену t 6, t 6. 3

12 Получим 3 [ 0 0] t t t 3 [ 0 0] t (t )(t + ) (t )(t + t + ) 3..6 Неопределенности вида [ ] Рассмотрим сначала неопределенности вида [ ] в случае отношения многочленов. Пусть R() P () Q(), где P () a 0 n +a n + +a n, Q() b 0 m + b m + + b m многочлены степеней n и m (a 0 0, b 0 0). Требуется найти R(). Во-первых, заметим, что P () и Q() есть б.б. при. Действительно, ( P () n a 0 + a + + a ) n n и выражение в скобках стремится к a 0 при,так как a k 0. Поэтому P (). Для раскрытия неопределенности P () Q() k при нужно числитель и знаменатель разделить на старшую степень, т.е. на n или m (или, другими словами, нужно n вынести за скобку и затем сократить). Пусть m n. Получаем P () Q() [ ] a 0 + a + + an n b 0 + b a bn b n 0 Аналогично показывается, что P () Q(), если n > m. Задача.4. Найти предел: P () Q() 0, если n < m, и a) ; b)

13 a) Делим числитель и знаменатель на : 3 +4 [ ] Ответ: a) 3 5 ; b) 0. Ответ в этой задаче можно, конечно, запомнить в общем виде. А можно запомнить сам прием деления на старшую степень. Этот же прием при раскрытии неопределенности [ ] применяется в немного модифицированных задачах, когда, например, появляются иррациональности. ( 3) Задача.5. Найти предел 30 (3+) 0. (7+) 50 Делим числитель и знаменатель на 50 : ( 3) 30 (3+) 0 [ ] ( 3 (7+) 50 )30 (3+ ) (7+ ) Задача.6. Найти предел: a) ; b) a) Рассуждения здесь таковы. В многочлене главным членом (на бесконечности) является его старший член. Например, в при константой можно пренебречь по сравнению с,, а Делим числитель и знаменатель на старшую степень, т.е. на ( больше чем 3 и 4 5 ). Получаем: Ответ: a) ; b). [ ]

14 .7 Неопределенности вида [0 ] и [ ] Во втором случае встречаются две б.б. и поэтому более правильно писать. Не возможно дать рецепт на все случаи жизни. Однако общее указание такое. С помощью следующих манипуляций: ( ) или 0 ;, нужно попытаться свести неопределенность к случаю 0 0 или, для которых дальше будет разработана эффективная техника раскрытия неопределенностей. Сейчас мы ограничимся частными примерами, в которых встречаются иррациональности. Для них применяется техника домножения на сопряженное выражение, аналогичная пункту.4. Задача.7. Найти предел: a) ( + a ); b) a) ( + + 3). + ( + a ) [ ] + a a + a + 0. Ответ: a) 0; b). Контрольные вопросы. Дайте определение предела функции в точке (по Коши).. Что такое бесконечно малая? Как формулируется определение предела с помощью понятия б.м.? 3. Что такое предел числовой последовательности? 4. Что такое бесконечно большая? Как б.б. связаны с б.м.? 5. Как связано понятие предела с арифметическими операциями? 6. Что такое непределенности вида [ 0 0] и [ ]? Дополнительные вопросы и задачи D. Доказать, что: 6

15 a) n n a ; n b) n n 0. a) При a утверждение очевидно. Пусть a >. Тогда n a > и a [ + ( n a ) ] n + n( n a ) + > n( n a ), где при возведении в степень n, т.е. при перемножении n скобок, выписаны только два слагаемых (в каждой скобке берем первое слагаемое получаем n, и в одной из скобок берем ( n a ), а в остальных получаем n( n a )), а остальные (положительные!) слагаемые обозначены многоточием. Получаем неравенство 0 < n a < a n. Если теперь дано ε > 0 и мы возьмем n так, что a n < ε, т.е. n > [ ] a ε + N N(ε), то мы получим, что при n > N выполняется неравенство n a < ε. По определению это и значит, что n a. n Если 0 < a <, то a тогда n > и, по доказанному, n n a n n a n n a n a. Но (по теореме о пределе частного). D. Доказать равносильность определений предела функции по Коши и по Гейне (см. Лекции [K], Гл.6, 3, стр.0). D3. Доказать что не существует предела sin. 7

16 Занятие Вычисление пределов - : первый и второй замечательные пределы. Первый замечательный предел Так называется предел sin α α 0 α [ 0 0]. На нем основано вычисление всех пределов, связанных с тригонометрией. Напомним три формулы тригонометрии, которые нам потребуются в дальнейшем. Во-первых, это формула cos sin, а во-вторых, формулы sin α sin β sin α β cos α + β, cos α cos β sin α β Вычисление следующих пределов основано на "выделении"(или "формировании") из неопределенности первого замечательного предела. При этом множители числителя и знаменателя, которые не стремятся к 0 ("не существенные"множители) могут 8 sin α + β.

17 быть заменены их значениями в точке 0 на основании теоремы о пределе произведения и частного. Задача.. Найти пределы: tg a) ; b) ctg 3; c) e) ; f) cos cos 0 0 tg 7 tg 4 tg 5 sin m π sin n h) m) q) arcsin 3 a) tg cos. c) tg sin 5 ; k) tg sin sin 5 ; d) 3 sin sin 0 0 cos tg sin ; l) ; 3 sin ; sin 5 sin 3 ; g) sin 7 ; ( π ) tg ; p) arctg ; ; n) π ; r) + sin cos ; s) [ 0 0] sin cos [ 0 0] tg 5 sin e) (производная косинуса) sin 0 sin 5 sin 3 g) sin 7 sin tg 3., так как cos 0 и поэтому [ 0 0] 0 cos cos 0 sin 0 0 [ ] sin sin 7 sin 7 7 cos 4 7. cos [ 0 0] k) sin cos 5+3 sin 7 ( sin m) Делаем замену π t, t + π. sin m π sin n [ 0 0] sin (mt+mπ) t 0 sin (nt+nπ) ( ) m n sin mt nt t 0 mt sin nt m sin + 0 sin 0. ). t 0 ( ) m sin mt ( ) n sin nt n ( )m n m n. Мы воспользовались формулой для sin (α + β) и тем, что sin mπ 0, cos mπ ( ) m. 9

18 p) Делаем замену arctg t, tg t, 0 t 0. arctg [ 0 0] t t 0 tg t. t 0 r) [ 0 0] + sin cos ( + sin + cos ) + sin cos ( cos )+ sin cos [см. зад..k] + sin Ответ: a) ; b) 3 ; c) 5 ; d) 9 4 ; e) sin 0; f) cos 0 ; g) 7 ; h) 3 5 ; k) ; l) ; m) ( )m n m n ; n) ; p) ; q) 3; r) 4 3 ; s) 6. tg t t. Второй замечательный предел. Неопределенности вида [ ] Число Эйлера e определяется как предел (монотонно возрастающей и ограниченной) числовой последовательности: ( e + n. n n) Доказывается, что этот предел сохраняется и в случае, когда n принимает не только (дискретные) натуральные значения, n N, а меняется непрерывно, n R, ( + ) e. Это и есть второй замечательный предел. Он представляет из себя неопределенность вида [ ]. Замена t, t позволяет переписать этот предел в виде ( + t) t e, или же более t 0 общим образом в виде: 30

19 ( + α()) α() [ ] e, где α() есть б.м. в точке 0. Второй замечательный предел применяется для раскрытия неопределенностей вида [ ], т.е. для нахождения пределов f() g(), где f(), а g(). Сведение неопределенности вида [ ] ко второму замечательному пределу производится с помощью следующих манипуляций:. Выделяем в основании чистую единицу, т.е. представляем f() в виде f() + α(), где α() б.м. в точке 0. Для этого можно использовать равенство f() + (f() ) и положить α() f().. Конструируем второй замечательный предел, а именно записываем в показателе α() величину обратную α(), и подправляем показатель так, чтобы ничего не изменилось умножаем на α(): f() g() ( + α()) α() α()g() [( + α()) α() ] α()g(). Последнее равенство написано на основании правила ( a b) c a bc. 3. Вычисляем предел α()g() A и тогда искомый предел есть e A : f() g() [ ] [ + (f() )] f() (f() )g() e A. [ Последнее равенство написано на основании утверждения: u() v() a b, где u() a > 0 и v() b (это непрерывность показательно-степенной функции). Таким образом, раскрытие неопределенности [ ] свелось к неопределенности [0 ] или же к неопределенностям [ 0 ] 0] либо, что (формально) получается с помощью следующих преобразований: , либо

20 Задача.. Найти пределы: ( 3+4 ( + a) c) e) ( 3 ) 5; b) 4+) ; d) ) ; g) ( +tg +sin ) sin 3 ; ( ) + +3 ; ( ) ; f) (cos ) h) (cos ) 3. sin ; (Напомним, что вычисление предела начинается всегда с определения типа неопределенности, которую надо раскрыть.) ( ) 5 a) 3+4 [ ( ) 3 ] ( 5) e A, 6( 5) где A c) ( + 4+ ( + где A ( e) ) ( g) +tg +sin e A, 3 4. ) [ ] 4+ ( ) ) 4+ ( ) 4+ e A, ( ) 4+. [ ] ( + ) ( sin 3 [ ] + ) e. ) +sin tg sin tg sin +sin tg sin sin 3 (+sin ) tg sin где A sin 3 cos sin cos sin cos cos sin. При вычислении A мы отбросили не существенные множители + sin, так как ( + sin ), и cos, так как cos, также воспользовались первым замечательным пределом и результатом ранее решенной задачи. k). Ответ: a) e 4 ; b) e ; c) e ; d) e ; e) e; f) e ; g) e; h) e 3. 3

21 Замечание о неопределенностях вида [ ], [ 0] и [ 0 0]. Раскрытие таких неопределенностей сводится к неопределенностям [ 0 ] [ 0 или ] с помощью основного логарифмического тождества b e ln b. Действительно, u() v() e ln(u()v() ) e v() ln u() e A, где A v() ln u(). Мы отложим решение задач на пределы такого типа до лучших времен, до тех пор, когда мы изучим производные и познакомимся с правилом Лопиталя, позволяющего очень эффективно вычислять пределы типа [ [ 0 0] и ], к которым сводится предел v() ln u(). Контрольные вопросы. Что такое первый замечательный предел? Какой тип неопределенности представляет этот предел?. Что такое число Эйлера e? 3. Что такое второй замечательный предел? Какой тип неопределенности представляет этот предел? Дополнительные вопросы и задачи sin D. Найти предел. ln(a+) ln a D. Найти предел. 33

22 Занятие 3 Вычисление пределов - 3: cравнение бесконечно малых; применение эквивалентных б.м. для вычисления пределов 3. Сравнение бесконечно малых Сравнение б.м. основано на рассмотрении предела их отношения. Пусть α и β б.м. в точке 0. β() Если α() C, где C const и C 0, то б.м. α и β называются бесконечно малыми одного порядка малости. В частности, если C, т.е. β() α(), то α и β называются эквивалентными бесконечно малыми и это 34

23 записывают в виде: α β. Если же C 0, т.е. β() α() 0, то б.м. β называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем α. Это записывают так: β o(α) и читают: бэта β() есть o малое от α (здесь o это буква, Оля ). Если α() не существует, то α() и β() называются несравнимыми. Задача 3.. Доказать, что o(α) + o(α) o(α), т.е. если β o(α), β o(α), то β + β o(α). Шкала бесконечно малых. Фиксируем одну ("масштабную") б.м. α() в точке 0. Б.м. β() называется бесконечно малой порядка k (по отношению к α()), если β() и α() k б.м. одного порядка малости. Легко видеть, что если k > (соответственно, k < ), то β() есть б.м. более высокого (соответственно, низкого) порядка малости, чем α(). Обычно за "масштабную"б.м. в точке 0 берут α() 0. Порядок б.м. β() мы будем обозначать v(β). Если б.м. β() в точке 0 имеет ( порядок k относительно б.м. 0, т.е. β() C( 0 ) k + o ( 0 ) k), где C const 0, то C( 0 ) k называется главной частью б.м. β() в точке 0. Примеры сравнения б.м. в точке 0 0: sin. sin, так как и есть б.м. одного порядка, так как есть б.м. более высокого порядка малости, чем (и чем ), o(), так как ( ) 0. Более точно, есть б.м. порядка 3 (относительно ), так как есть б.м. порядка k sin относительно б.м. sin, так как 35

24 Задача 3.. Сравнить б.м. в точке 0 0: a) α() 3 + 5, β() 5 3 ; b) α() sin, β() tg 3. a) α и β б.м. одного порядка малости, так как b) β o(α), так как β() α() 5 3 [ 0 0] β() α() tg 3 sin sin sin cos 3 0. Задача 3.3. Определить порядок малости следующих б.м. β() в точке 0 0 относительно α() : a) β() sin ; b) β() tg sin. a) v(β) 3 sin, так как 3 b) tg sin 3 v(tg sin ) 3. sin sin cos cos.. Это значит, что Теорема (принцип отбрасывания бесконечно малых). Две б.м. α() и β() в точке 0 эквивалентны тогда и только, когда их разность есть б.м. более высокого порядка малости, чем каждая из них, Или, по-другому, α β β α γ o(α) (и γ o(β) ). α β β α + o(α). Таким образом, все б.м., эквивалентные α(), получаются так: нужно к α() прибавить или вычесть (отбросить) бесконечно малую более высокого порядка, чем α. Например: + 3 в точке

25 Задача 3.4. Доказать, что если α() a k k + a k+ k a n n, a k 0, есть многочлен, то порядок α (относительно б.м. ) совпадает с младшей степенью: v(α) k. Можно проверить, что имеются следующие свойства порядков б.м.: если б.м. β () и β () в точке 0 0 имеют порядки k и l (относительно б.м. ), то: i) β ()β () имеет порядок k + l, т.е. ii) v(β ) + v(β ) имеет порядок А если v(β ) v(β ), то v(β β ) v(β ) + v(β ). v(β + β ) min(v(β ), v(β )). v(β + β ) min(v(β ), v(β )); iii) Если α β и v(α) k, то v(β) k. 3. Техника эквивалентных бесконечно малых Теорема. Если α α и β β эквивалентные б.м. в точке 0, то α() [ 0 0] α () β() β (), т.е. при вычислении предела отношения двух б.м. числитель и знаменатель можно заменять на эквивалентные б.м. Таблица эквивалентных б.м. 37

26 Следующие пары б.м. эквивалентны в точке 0 0:. sin, 6. ln ( + ),. tg, 7. a ln a, 3. cos, 7 0. e, 4. arcsin, 8. ( + ) k k, 5. arctg, Формулы этой таблицы можно переписать в виде. sin α α + o(α), 5. arctg α α + o(α),. tg α α + o(α), 6. ln ( + α) α + o(α), 3. cos α α + o(α ), 7. e α + α + o(α), 4. arcsin α α + o(α), 8. ( + α) k + kα + o(α). Техника эквивалентных б.м. при вычислении пределов основана на теореме и приведенной таблице эквивалентных б.м. Эта техника позволяет свести вычисление пределов в основном к алгебраическим преобразованиям. Задача 3.5. Найти пределы, заменяя бесконечно малые эквивалентными: sin 5 a) tg ; c) e) 7 e ln ( 4) ; sin g) sin ; 3 k) ln(+ b) ) d) 4 +9 ; f) h) ln ( ) ln ( ) ; ln cos ln (+ ) ; cos cos m) p) tg 8 ; +sin sin tg ; ; tg 3 arcsin 3+ ; sin arctg 3 ; sin (e ) ln ; e cos. l) n) ; q) sin 5 a) tg 5 5 ; 38

27 c) e) 7 e ln ( 4) t 3(+ 9 ) 3(+ t 7 ) 3 t 0 (+ t 4 3 t t 0 4 ; ] [ 7t 7+t 6 9 +o(t) 3 t 7 +o(t) 4 t 6 3 t 0 3 t 0 9+t 3 7+t 4 t 0 6+t [ (+ t 9 ) ] [ (+ t 6 ) 4 8 t 8 t 64 t ( 9 ) sin g) 3 sin 3 sin 3 3 ; ln (+ 3 k) + 3 ) ln ( ) ( )( ) ( )( 3) ; ln cos m) ln (+ ) ln (+(cos )) ln (+ ) ; n) sin (e ) ln p) 7 ; (+ t 7 ) cos ] [ ] t sin (e t+ t ) e t 0 ln (+t) t t o t ; cos cos ( +o( ))( () +o( )) ( +o( ))(+ ( +o( ))+o( )) ( +o( 3 )) 3. Ответ: a) 5 ; b) 64 ; c) ; d) ; e) 7 ; f) 8 5 ; g) 3 ; h) 3 ; k) ; l) 3 ln ; m) ; n) ; p) ; q) 3. Контрольные вопросы. Что такое б.м. более высокого порядка чем некоторая б.м. α в точке 0?. Что такое эквивалентные б.м. в точке 0? 3. Что такое порядок бесконечно малой (относительно некоторой б.м. α)? 39

28 4. Как получаются друг из друга эквивалентные б.м. (принцип отбрасывания бесконечно малых)? 5. Как применяются эквивалентные б.м. для раскрытия неопределенностей типа [ 0 0]? 6. Выпишите эквивалентности для элементарных функций из таблицы эквивалентных б.м.? Дополнительные вопросы и задачи D. Докажите свойства порядков бесконечно малых, сформулированные выше после задачи 3.4. D. Привести пример б.м. β () и β (), для которых v(β + β ) > min(v(β ), v(β )), т.е. пример, показывающий, что в сумме (или разности) главный член может "уничтожаться". D3. Докажите, что для раскрытия неопределенности вида [0 ] бесконечно малую можно заменять на эквивалентную. Формулы из таблицы эквивалентных б.м. являются лишь первыми приближениями функций многочленами в окрестности точки. Позже мы познакомимся с разложением функций в ряд Тейлора. Для следующих элементарных функций эти формулы выглядят так: e + +! + 3 3! + 4 4! +... ; ln ( + ) ; cos! + 4 4! +... ; sin 3 3! + 5 5!... ; ( + ) k + k! + k(k )! + k(k )(k ) 3! Обрывая эти формулы в некотором месте, мы можем получить более точные формулы (формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано). Например, формулу для sin можно записать в виде sin + o(), а если оставить два первых члена, то более точная формула имеет вид: sin o(3 ). sin D4. Найти предел. Ответ: 3 6. D5. Технику эквивалентных б.м. можно почти дословно перенести на случай бесконечно больших. Разработайте эту теорию. 40


Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Тема ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Число А называется пределом функции у=f), при х стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого числа ε>, найдется такое положительное числоs, что при всех >S, выполняется

Подробнее

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и Студент должен знать: определение предела функции; свойства пределов; понятие бесконечно малых функций; понятие ограниченных и бесконечно больших функций; определение непрерывности функции в точке; сравнение

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики ФУНКЦИЯ И ЕЕ

Подробнее

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические

Подробнее

Ответы к заданию

Ответы к заданию Ответы к заданию.. понятия одного аргумента.. Основные элементарные.. элементарных функций.4. предела f в точке. х Х Если каждому элементу х из множества Х поставлен в соответствие определенный элемент

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

5. Предел функции. ( ε > 0 δ > 0 x (a δ, a + δ), x a) f(x) l < ε. или так:

5. Предел функции. ( ε > 0 δ > 0 x (a δ, a + δ), x a) f(x) l < ε. или так: 5. Предел функции Определение. Точку p R называют предельной точкой (или точкой сгущения) множества X R, для любого r > 0 существует отличная от p точка x X такая, что x p < r. Говорят, что + (соответственно

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

16. Формула Тейлора (продолжение)

16. Формула Тейлора (продолжение) 6. Формула Тейлора (продолжение Докажем единственность представления из теоремы 5.7. Предложение 6.. Пусть f : (p; q R функция класса C n, и пусть a (p; q. Предположим, что f(x = c 0 + c (x a + : : : +

Подробнее

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,...

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,... Предел функции. Предел числовой последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто числовой последовательностью называется функция f f (, определенная на множестве всех

Подробнее

7. Предел. x x. lim 1. 1 lim 1. Сравнение бесконечно малых функций. являются бесконечно малыми при х а.

7. Предел. x x. lim 1. 1 lim 1. Сравнение бесконечно малых функций. являются бесконечно малыми при х а. 7. Предел 6. 1. Основные формулы для решения задач Первый замечательный предел sin 1. Второй замечательный предел 1 1 e. Следствия замечательных пределов 1.. 3. 4. 5. 6. arcsin 1. loga 1 1 loga e. ln a

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Предел и непрерывность функции одной переменной

Предел и непрерывность функции одной переменной Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии МЕЧанга Предел и непрерывность функции одной переменной Рекомендовано учебно-методическим

Подробнее

1.4. Предел функции Нахождение предела функции с использованием замечательных

1.4. Предел функции Нахождение предела функции с использованием замечательных 1.4. Предел функции 4.1. Нахождение предела функции с использованием замечательных пределов. ТЕОРИЯ Определение предельной точки. Точку p R называют предельной точкой (или точкой сгущения) множества X

Подробнее

А.Н. Филиппов, В.В. Калинин, Т.С. Филиппова

А.Н. Филиппов, В.В. Калинин, Т.С. Филиппова Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПИЩЕВЫХ ПРОИЗВОДСТВ» Кафедра «Высшая и прикладная математика»

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»

Федеральное агентство по образованию. Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Методы вычисления пределов Методические указания к решению задач Санкт-Петербург Издательство

Подробнее

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6).

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6). 3.. Методы решения рациональных неравенств 3..1. Числовые неравенства Сначала определим, что мы понимаем под утверждением a > b. Определение 3..1. Число a больше числа b, если разность между ними положительна.

Подробнее

Математика 8 класс Многочлены

Математика 8 класс Многочлены МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Подробнее

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва Лекция 4 Непрерывность функции Классификация точек разрыва Аннотация: Рассматриваются свойства функции, непрерывной на отрезке Приводится пример использования этих свойств при решении нелинейных уравнений

Подробнее

, где k любое целое число. В таком случае автоматически выполняется и неравенство x 0. Ответ: x [4k. x

, где k любое целое число. В таком случае автоматически выполняется и неравенство x 0. Ответ: x [4k. x Вариант 8 Найти область определения функции : y sin Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и sin Из второго неравенства следует, что должно выполняться неравенство k π k+

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ Методическое пособие для студентов вузов

ПРЕДЕЛЫ Методическое пособие для студентов вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики и кибернетики Кафедра теории вероятностей и математической статистики ПРЕДЕЛЫ Методическое

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ВАСИЛЬЕВ ВВ, ЛАНОВАЯ АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

ISBN К 22.14я721 ISBN

ISBN К 22.14я721 ISBN ДК 373:512 К 22.14721 49 49 аа, аьяа Маа.. 7 9 /.М.. М : Э, 2018. 128. (. ). ISBN 978-5-04-093533-8, 7 9-. П ё -. П,. П 7 9-,, -. ДК 373:512 К 22.14я721 ISBN 978-5-04-093533-8 аа.м., 2018 О. ООО «Иаь «Э»,

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ Т Ю Альпин, А И Егоров, П Е Кашаргин, С В Сушков ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть I: Комплексные числа Предел функции Казань 013 Печатается

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) Кафедра "Прикладная математика-1" Ю.С.Семёнов Кафедра "Прикладная математика-1"

Подробнее

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Предел и непрерывность функции. Методическое пособие

Предел и непрерывность функции. Методическое пособие Санкт-Петербургский государственный университет Т.А. Ефимова Предел и непрерывность функции Методическое пособие Санкт-Петербург 8 Предисловие Методическое пособие предназначено для студентов нематематических

Подробнее

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА ГОУВПО КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА Учебно-методическое

Подробнее

lim lim arctg x~ 1 cos x ~ (1 x) ~1 m Лекция ( ) Предел функции (продолжение) lim f(x) = b, то f(x) = b +

lim lim arctg x~ 1 cos x ~ (1 x) ~1 m Лекция ( ) Предел функции (продолжение) lim f(x) = b, то f(x) = b + Предел функции (продолжение) Лекция (..) Теорема (о связи функции, ее предела и бесконечно малой). Если, где б.м. при a. Доказательство. Пусть б.м. при +. f( = b, то f( = b + f ( = b. Рассмотрим функцию

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции»

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции» МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Подробнее

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения И. В. Яковлев, А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта http://www.ege-study.ru Тригонометрические уравнения В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений

Подробнее

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова, В.М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Тождественные преобразования алгебраических выражений Тождественные преобразования алгебраических выражений Алгебраические выражения выражения, содержащие числа и буквы, связанные алгебраическими действиями: сложением, вычитанием, умножением, делением и возведением

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ 09.03.2013 Предел функции Математический анализ (лекция 4) 09.03.2013 2 / 49 Предел функции Определение Число A называется пределом функции y = f (x) при x, стремящемся к бесконечности,

Подробнее

Предел функции. Математический анализ (лекция 4) / 49

Предел функции. Математический анализ (лекция 4) / 49 Предел функции Математический анализ (лекция 4) 09.03.2013 2 / 49 Предел функции Определение Число A называется пределом функции y = f (x) при x, стремящемся к бесконечности, если для любого сколь угодно

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Автор - проф. Филиппов А.Н.

Автор - проф. Филиппов А.Н. Пять лекций по неопределенному интегралу Лекция Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и ее свойства Действие, обратное дифференцированию, называется интегрированием f д и ф ф е р и н т

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли . Предел функции. Актуальность изучения темы Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе, позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении аргумента. С помощью

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л. И. Магазинников, А. Л. Магазинников ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Дифференциальное

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ С.Н. Зиненко Математический анализ Предел и непрерывность функций одной переменной (теория к задачам) 4 Предел функции f( ), при, a нестрого означает, что становится почти равной (стремится, приближается

Подробнее

Непрерывность функции. Замечательные пределы. Лекция 2

Непрерывность функции. Замечательные пределы. Лекция 2 Непрерывность функции. Замечательные пределы Лекция 2 1 Определение непрерывности. Теорема о непрерывности суммы, произведения и частного функций Функция y f ( ) называется непрерывной в точке, если она

Подробнее

Типовой расчёт 1 Пределы числовых последовательностей и функций.

Типовой расчёт 1 Пределы числовых последовательностей и функций. Типовой расчёт Пределы числовых последовательностей и функций Образец выполнения типового расчѐта Задание Найти пределы числовых последовательностей, или установить их ( ) ( a ) : ; ; ; ; ; ; 8 Данную

Подробнее

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число АРИФМЕТИКА Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. Порядок действий ) Если нет скобок, то сначала выполняются действия -й степени (возведение в натуральную степень), затем -й степени (умножение

Подробнее

ограниченные последовательности сходящиеся последовательности ательнос

ограниченные последовательности сходящиеся последовательности ательнос ограниченные последовательности Вычисление пределов числовых последовательностей Рассмотренные нами вопросы о числовых последовательностях содержат основные понятия и некоторые сведения о структуре множества

Подробнее

Введение в математический анализ. Теория пределов

Введение в математический анализ. Теория пределов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2 Вариант Найти область определения функции : y + Область определения данной функции определяется неравенством Кроме того знаменатель не должен обращаться в нуль Найдём корни знаменателя: Объединяя результаты

Подробнее

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию:

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию: Вариант 7 Найти область определения функции : y + / lg Область определения данной функции определяется следующими условиями:, >, те > / Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или Объединяя результаты,

Подробнее

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и Вариант 5 Найти область определения функции : y arcsin + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и или Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Пределы. Решение контрольной работы

Пределы. Решение контрольной работы Пределы. Решение контрольной работы Нахождение предела по определению Задача. Доказать, что a a 5 + 5, 5 a a (указать N(ε)) Нужно показать, что для любого ε > найдется такое N ( ε ), что для всех a > N

Подробнее

Тригонометрические уравнения. 1

Тригонометрические уравнения. 1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические уравнения. 1 В данной статье рассматриваются самые простые виды тригонометрических уравнений. Методы решения таких уравнений стандартны

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством x 3x 2. 0 являются числа x =, x 4. Так как ветви

Область определения данной функции определяется неравенством x 3x 2. 0 являются числа x =, x 4. Так как ветви Вариант Найти область определения функции Область определения данной функции определяется неравенством > Корнями уравнения являются числа Так как ветви параболы направлены вверх то неравенство > выполняется

Подробнее

С.А. Лавренченко. Доказательство: Повести самостоятельно. Указание: Применить произведения, взяв

С.А. Лавренченко. Доказательство: Повести самостоятельно. Указание: Применить произведения, взяв Лекция 4 1 СА Лавренченко Вычисление пределов 1 Правила вычисления пределов Пусть действительная константа и целое положительное число При условии, что существуют оба предела и, имеют место следующие десять

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) 10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида и найдите его

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

Глава 6. Неопределенный интеграл

Глава 6. Неопределенный интеграл Глава Неопределенный интеграл Непосредственное интегрирование Функцию F() называют первообразной для функции f(), если выполняется равенство F'() f() Совокупность всех первообразных данной функции f()

Подробнее

Тема: Пределы. Краткие теоретические сведения. Непосредственное вычисление пределов.

Тема: Пределы. Краткие теоретические сведения. Непосредственное вычисление пределов. Тема: Пределы Краткие теоретические сведения Непосредственное вычисление пределов si Первый замечательный предел: Второй замечательный предел: ( ) 5 5 5 9 si si cos cos si si 5 5 9 6 6 6 8 8 si si 5 5

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 16. Эквивалентные бесконечно малые. Первый и второй замечательные пределы.

ЛЕКЦИЯ 16. Эквивалентные бесконечно малые. Первый и второй замечательные пределы. ЛЕКЦИЯ Эквивалентные бесконечно малые Первый и второй замечательные пределы Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых функций Функция f ( ) называется бесконечно малой в точке a (при a ), если (

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ Ю.Л.Калиновский Введение Решение квадратных уравнений Решение квадратных уравнений c помощью разложения на множители. Решение квадратных уравнений c помощью дополнения до полного

Подробнее

Пределы функций. Теория пределов это один из разделов математического анализа. Что такое предел.

Пределы функций. Теория пределов это один из разделов математического анализа. Что такое предел. Пределы функций. Теория пределов это один из разделов математического анализа. Что такое предел. Любой предел состоит из трех частей: 1) Всем известного значка предела. 2) Записи под значком предела,.

Подробнее

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0.

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0. Вариант Найти область определения функции : lg 5 + Область определения данной функции определяется неравенством > 5+ Найдём корни знаменателя:, Так как ветви параболы 5+ направлены вверх, то 5+ 6< при

Подробнее

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН... Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N6. Правило Бернулли-Лопиталя. Формула Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N6. Правило Бернулли-Лопиталя. Формула Тейлора. ЛЕКЦИЯ N6 Правило Бернулли-Лопиталя Формула Тейлора Правило Бернулли-Лопиталя раскрытия неопределенностей Формула Тейлора Правило Бернулли-Лопиталя раскрытия неопределенностей Раскрытием неопределенностей

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

Лекция 3, 4. Будем считать, что область задания функции f (x) } значений аргумента функции f ( x n ) значений функции сходится к b.

Лекция 3, 4. Будем считать, что область задания функции f (x) } значений аргумента функции f ( x n ) значений функции сходится к b. Лекция 3, 4 Предельное значение функции при, + и Будем считать, что область задания функции f ( имеет хотя бы один элемент, лежащий вне отрезка [ A, A], для любого положительного числа A. Определение (по

Подробнее

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (РГГУ) Филиал в г Домодедово

Подробнее

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x http://vk.ucoz.et/ Операции над многочленами k a k Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида a, где переменная, a - числовые коэффициенты (=,.k), и. Любое ненулевое число можно рассматривать

Подробнее

1.4. Предел функции. ( ε > 0 δ > 0 x (a δ, a + δ), x a) f(x) l < ε, x a

1.4. Предел функции. ( ε > 0 δ > 0 x (a δ, a + δ), x a) f(x) l < ε, x a 1.4. Предел функции Нахождение предела функций с использованием замечательных пределов. ТЕОРИЯ Определение окрестности точки. Возьмем точку p в расширенной числовой прямой R и определим понятие окрестности

Подробнее

URSS. Содержание. От автора... 4 Раздел 1. Метод функциональной подстановки... 5 Раздел 2. Метод тригонометрической подстановки...

URSS. Содержание. От автора... 4 Раздел 1. Метод функциональной подстановки... 5 Раздел 2. Метод тригонометрической подстановки... Содержание От автора... Раздел. Метод функциональной подстановки... 5 Раздел. Метод тригонометрической подстановки... Раздел. Методы, основанные на использовании численных неравенств... 6 Раздел. Методы,

Подробнее

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (,

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (, Вариант 9 Найти область определения функции : y + lg Область определения данной функции определяется следующим неравенством: >, те > Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или ± Объединяя результаты,

Подробнее

Дробно-рациональные выражения

Дробно-рациональные выражения Дробно-рациональные выражения Выражения содержащие деление на выражение с переменными называются дробными (дробно-рациональными) выражениями Дробные выражения при некоторых значениях переменных не имеют

Подробнее

Основные методы решения тригонометрических уравнений

Основные методы решения тригонометрических уравнений Тишин В И Основные методы решения тригонометрических уравнений г Тишин В И Математика для учителей и учащихся Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем года Тишин В И Основные

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме),

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме), типового варианта «Комплексные числа Многочлены и рациональные дроби» Задание Даны два комплексных числа и cos sn Найдите и результат запишите в алгебраической форме результат запишите в тригонометрической

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

2. Действия над комплексными числами

2. Действия над комплексными числами Действия над комплексными числами Словарь: произведение комплексных чисел комплексная плоскость радиус-вектор формула Муавра Обратите внимание: Действия (над чем? над числами Извлечение (чего? корня Действия

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения. Метод прямого перебора Пример. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 8 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение.

Подробнее

3x x 2 + x = 0.

3x x 2 + x = 0. 4.. Метод замены переменной при решении алгебраических уравнений. В предыдущем пункте метод замены переменной был использован для разложения многочлена на множители. Данный метод широко применяется для

Подробнее