b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3"

Транскрипт

1 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число A называется пределом функции f() при, стремящемся к 0, f() A, если для каждого ε > 0 существует такое δ, зависящее от ε, δ δ(ε), что при 0 < 0 < δ Как показывает практика, освоение точного определения предела представляет для большинства студентов существенные трудности. В принципе в дальнейшем при вычислении пределов достаточно интуитивного понятия предела. 3

2 выполняется неравенство f() A < ε. В частности, если f() определена в точке 0 и A f( 0 ), т.е. f() f( 0 ), то f() называется непрерывной в точке 0. Доказательство утверждения о том, что предел существует и равен некоторому числу A, f() A, непосредственно опирающееся на определение предела, должно начинаться словами: Пусть дано ε > 0. Затем по этому ε нужно найти δ δ(ε), зависящее от ε, о котором идет речь в определении. Это δ не обязательно максимальное из всех возможных. Поэтому обычно неравенство f() A < ε сначала анализируется, точнее проводится оценка сверху разности f() A в терминах разности 0. Затем δ выбирается из более грубого условия, использующего полученную оценку для ε. Задача.. Пользуясь определением предела показать, что a) (4 + 3) ; c) ; b) ( 4 + 8) 4; d) (+) 4. 3 a) Пусть ε > 0. Требуется по этому ε найти такое δ > 0, чтобы из условия 0 < 0 < δ, т.е. из 0 < + < δ вытекало бы неравенство f() A < ε, т.е ( ) < ε. Последнее неравенство приводится к виду 4( + ) < ε, т.е. + < 4 ε. Отсюда следует, что если взять δ ε 4, то неравенство 0 < + < δ будет автоматически влечь за собой неравенство ( ) < ε. По определению это и означает, что (4 + 3). c) Пусть ε > 0. Имеем f() A ( + ) 4

3 < < ε 5 (если <, то + < 5, а + > всегда; если числитель дроби увеличить, а знаменатель уменьшить, то дробь увеличится). Ищем δ из последнего условия < ε, т.е. < ε δ. Возьмем δ ε (или δ < ε, например, δ 3 ε). Тогда, если < δ, то < < δ ε. Это и означает, что Число A называется пределом функции f() при, стремящемся к бесконечности, f() A (соответственно, f() A, соответственно, f() A), если для каждого ε > 0 существует такое N, зависящее от ε, N N(ε), что при > N (соответственно, > N, соответственно, < N) выполняется неравенство f() A < ε. В частности, если n N принимает лишь натуральные значения, получаем определение предела последовательности. Число A называется пределом числовой последовательности a n, A, если для каждого ε > 0 существует такой n a n номер N N(ε), зависящий от ε, что при n > N выполняется неравенство a n A < ε. Задача.. Пользуясь определением предела показать, что: 3n + 4 a) n n + 3 3n + ; b) n n + 3. Для каждого ε найти такой номер N, что для всех n > N выполняется неравенство a n A < ε. Какое можно взять N, если ) ε ; ) ε 0, ; 3) ε 0, 05?

4 a) Пусть дано ε > 0. Имеем a n A 3n + 4 n + 3 (3n + 4) 3(n + ) (n + ) 5 (n + ), и неравенство a n 3 < ε будет выполняться, если 5 (n+) < ε, т.е. n + > 5 ε или n > 5 4ε. Если в качестве N взять целую часть числа 5 4ε (или любое целое число большее этого числа), то при n > N будет выполняться неравенство 3n+4 < ε. n+ 3 Если ε, то можно взять N 3; если ε 0,, то N 8; если ε 0, 05, то N 8. Таким образом, по каждому ε мы можем найти номер, начиная с которого будет выполняться требуемое 3n+4 неравенство. Это и означает, что n n+ 3. Задача.3. Пользуясь определением предела показать, что +3. Каково должно быть N, чтобы при > N вы- полнялось неравенство +3 < ε? Пусть дано ε > 0. Имеем < ε, т.е. > 4 ε 3. Возьмем N ε. Тогда при > N имеем > N 4 ε > 4 ε 3 и, следовательно, < ε. Задача.4. Доказать, что последовательность a n + ( ) n не имеет предела. Если α() 0 (где 0 число или ), то функция α() называется бесконечно малой (сокращенно б.м.) в точке 0. Из определения следует, что функция, имеющая предел это функция, отличающаяся от константы на бесконечно малую, f() A f() A + α(), где α() б.м. в точке 0. 6

5 Несобственные пределы. Предел функции f() равен при, стремящемся к 0, f(), если для каждого M > 0 существует δ δ(m) > 0 такое, что 0 < 0 < δ f() > M. В этом случае функция f() называется бесконечно большой (сокращенно б.б.) в точке 0. Различают также более специальные понятия: f() + (соответственно, f() ), если для каждого M > 0 существует δ δ(m) > 0 такое, что 0 < 0 < δ f() > M (соответственно f() < M). Теорема. f() есть б.б. в точке 0 α() f() есть б.м. в точке 0. Символически это обозначают так: 0 или 0. Задача.5. Сформулировать с помощью неравенств определение f(). +. Пределы и арифметические операции. Элементарные функции Теорема. Если f() A, или, то:. [f() + g()] A + B ;. f() g() A B ; и в частности, Cg() C g() ; 3. если B 0, то f() g() A B. 7 g() B, где 0 число

6 Отсюда следует, что если функции f() и g() непрерывны в точке 0, то их сумма, произведение и частное (если g() 0) также непрерывны. Кроме того, если функция y f() непрерывна в точке 0, то обратная функция f (y) непрерывна в точке y 0, где y 0 f( 0 ). Если функция t ϕ() непрерывна в точке 0, функция y f(t) непрерывна в точке t 0 ϕ( 0 ), то сложная функция y f(ϕ()) y() непрерывна в точке 0. Функции, которые получаются из констант, y C, и функций y, y e, y sin с помощью операций сложения, умножения и деления, а также операций взятия обратной функции и образования сложных функций, называются элементарными. Элементарные функции включают в себя все известные из школы функции: y ln обратная к y e ; y α e α ln степенная функция; y a e ln a показательная функция; все тригонометрические функции: y cos sin ( π ), y tg sin cos и т.д.; обратные тригонометрические функции arcsin и т.д. Из сказанного выше следует, что элементарные функции непрерывны всюду, где они определены. Вычисление предела непрерывной функции f() в точке 0 (и, в частности, элементарной функции там, где она определена) очень просто, f() f( 0 ), т.е. все сводится к подстановке и вычислению f( 0 ) значения функции f() в точке 0. Задача.6. Найти предел: a) ; b) Ответ: a) 9; b) Таким образом, задача о вычислении пределов элементарных функций интересна (и представляет некоторую трудность) лишь 8

7 в точках, где эти функции (первоначально) не определены, например в точках, где знаменатель дроби обращается в нуль. В этом случае говорят об устранении или раскрытии неопределенности. Основные виды неопределенностей это [ [ 0 0], ], [ ], [ ], [ 0 0], [ 0]. Например, неопределенность вида [ ] это предел функции f() g(), где g(). f(), а.3 Неопределенности вида [ 0 0] случай отношения двух многочленов Неопределенность вида [ 0 0] это предел β(), где α() и β() б.м. в точке 0. Наличие неопределенности в таких пределах связана, как правило, с тем, что функции α() и β() имеют общий множитель, обращающийся в нуль в точке 0. Устранение неопределенности сводится к нахождению и сокращению такого множителя. В данном пункте α() и β() являются многочленами, т.е. функциями вида α() α() a 0 m + a m + + a m, β() b 0 n + b n + + b n. Так как α() и β() непрерывные функции, то α( 0 ) 0, β( 0 ) 0, т.е. 0 является корнем многочленов α() и β(). Нахождение общего множителя особенно просто, если 0 0: 5 Задача.7. Найти [ 0 0] (5 ) ( + 7) Случай произвольного 0 можно свести к случаю 0 0 заменой t 0 или t + 0 (см.пункт.5 ниже). Можно использовать также теорему о делении многочленов. Из школы известна следующая теорема. 9

8 Теорема. Если, корни уравнения a + b + c 0, то a + b + c a( )( ). Замечание. Если мы один корень уравнения знаем, то для нахождения не надо решать квадратное уравнение, а просто воспользоваться теоремой Виета: c a (и + b a ). Задача.8. Найти предел: a) ; b) a) Подставляем в числитель и знаменатель и убеждаемся, что имеем неопределенность вида [ 0 0]. По теореме Виета (устно) находим вторые корни; для числителя:, 6 3; для знаменателя:,. Получаем [ 0 0] ( )( 3) ( )( + ) Ответ: a) 3 ; b) 3. Задача.9. Найти предел: a) ; b) Подставляем 3 и убеждаемся, что 3 является корнем числителя и знаменателя. Делим на 3: ,

9 Получаем [ 0 0] 3 ( 3)( 6) ( 3)( 3) [ 0 0] 3 ( 3)( + ) ( 3)( + ) 5 4. Заметим, что после первого сокращения на ( 3) неопределенность [ 0 0] не исчезла, и нам пришлось продолжить выделение общего множителя (корень 3 кратный). Ответ: a) 5 4 ; b) Неопределенности вида [ 0 0] случай иррациональностей Иррациональностями в данном случае называются корни (радикалы). Для выделения общего множителя в числителе и знаменателе дроби можно воспользоваться формулами разности квадратов (в случае квадратных корней) и разности или суммы кубов (в случае кубических корней), записанными в виде a b ( a b)( a+ b), a b ( 3 a 3 b)( 3 a ± 3 ab+ 3 b ). Множители в правой части этих формул называются сопряженными. Чтобы избавиться от корней, числитель и знаменатель умножают на сопряженное выражение (дробь при этом не изменяется). Задача.0. Найти предел: a), b). 3 a)

10 + [ 0 0] + ( ) ( ++ ) ( ++ ). Ответ: a) ; b) 3. Задача.. Найти предел: a) ; b) a) 9+ 5 [ 0 0] (9+ 5)( ) 8 ( 9++5)( 8) 3 ( 8)( ) 8 ( 9++5)( 8) 0 5. Ответ: a) 5 ; b)..5 Метод замены переменной Схему применения этого метода можно описать так. Пусть требуется найти f(). Пусть мы делаем замену переменной, обычно обратимую, ϕ(t) или t ϕ (), и при этом 0 t t 0. Пусть после замены получается функция F (t) f(ϕ(t)) (сложная функция), пусть существует предел F (t) A. Тогда t t 0 f() F (t) A. t t0 Теоретическое обоснование этого метода сводится к теоремам о пределе сложной и обратной функции и к непрерывности элементарных функций. Рассмотрим применение этого метода к уже встречавшимся ранее типам пределов. В дальнейшем мы будем пользоваться им и для нахождения других типов пределов.

11 Предел отношения двух многочленов (см. пункт.3). Как мы видели, особенно просто предел находится в случае, когда 0 и 0 0 корень числителя и знаменателя. Тогда c k k + c k+ k+ + + c m m [ 0 0] c k + c k+ + d k k + d k+ k+ + + d n n d k + d k+ + c k. d k Замечания.. Для простоты мы рассмотрели только случай, когда 0 0 корень числителя и знаменателя одной и той же кратности.. В дальнейшем мы будем говорить, что c k k и d k k главные члены бесконечно малых, а следующие за ними слагаемые являются б.м. более высокого порядка малости и их отбрасывание приводит к эквивалентным б.м. Случай, когда 0 и 0 произвольное число, заменой 0 t сводится к случаю 0 0. Задача.. (см. задачу.9.a) ). Найти предел Делаем замену 3 t, t + 3. Тогда при 3 переменная t 0. Сделаем общее замечание по поводу вычислений. Нам нет нужды вычислять все члены многочлена, который получится после замены: во-первых, так как t 0 является корнем полученных многочленов, то их свободные члены равны 0; во-вторых, нам достаточно знать самые младшие (они же главные) ненулевые члены. Поэтому мы вычисляем коэффициент при первой степени t и если этот коэффициент не равен нулю на этом останавливаемся. Если коэффициент при t равен нулю, вычисляем коэффициент при t и т.д. t [ 0 0] ( 3 4+7)t+( 4+9)t + (3 30+7)t+( 5+9)t (t+3) 3 4(t+3) 3(t+3)+8 t 0 (t+3) 3 5(t+3) +3(t+3)+9 Случай иррациональностей. 3 Задача.3. Найти предел. Чтобы извлекались оба корня сделаем замену t 6, t 6. 3

12 Получим 3 [ 0 0] t t t 3 [ 0 0] t (t )(t + ) (t )(t + t + ) 3..6 Неопределенности вида [ ] Рассмотрим сначала неопределенности вида [ ] в случае отношения многочленов. Пусть R() P () Q(), где P () a 0 n +a n + +a n, Q() b 0 m + b m + + b m многочлены степеней n и m (a 0 0, b 0 0). Требуется найти R(). Во-первых, заметим, что P () и Q() есть б.б. при. Действительно, ( P () n a 0 + a + + a ) n n и выражение в скобках стремится к a 0 при,так как a k 0. Поэтому P (). Для раскрытия неопределенности P () Q() k при нужно числитель и знаменатель разделить на старшую степень, т.е. на n или m (или, другими словами, нужно n вынести за скобку и затем сократить). Пусть m n. Получаем P () Q() [ ] a 0 + a + + an n b 0 + b a bn b n 0 Аналогично показывается, что P () Q(), если n > m. Задача.4. Найти предел: P () Q() 0, если n < m, и a) ; b)

13 a) Делим числитель и знаменатель на : 3 +4 [ ] Ответ: a) 3 5 ; b) 0. Ответ в этой задаче можно, конечно, запомнить в общем виде. А можно запомнить сам прием деления на старшую степень. Этот же прием при раскрытии неопределенности [ ] применяется в немного модифицированных задачах, когда, например, появляются иррациональности. ( 3) Задача.5. Найти предел 30 (3+) 0. (7+) 50 Делим числитель и знаменатель на 50 : ( 3) 30 (3+) 0 [ ] ( 3 (7+) 50 )30 (3+ ) (7+ ) Задача.6. Найти предел: a) ; b) a) Рассуждения здесь таковы. В многочлене главным членом (на бесконечности) является его старший член. Например, в при константой можно пренебречь по сравнению с,, а Делим числитель и знаменатель на старшую степень, т.е. на ( больше чем 3 и 4 5 ). Получаем: Ответ: a) ; b). [ ]

14 .7 Неопределенности вида [0 ] и [ ] Во втором случае встречаются две б.б. и поэтому более правильно писать. Не возможно дать рецепт на все случаи жизни. Однако общее указание такое. С помощью следующих манипуляций: ( ) или 0 ;, нужно попытаться свести неопределенность к случаю 0 0 или, для которых дальше будет разработана эффективная техника раскрытия неопределенностей. Сейчас мы ограничимся частными примерами, в которых встречаются иррациональности. Для них применяется техника домножения на сопряженное выражение, аналогичная пункту.4. Задача.7. Найти предел: a) ( + a ); b) a) ( + + 3). + ( + a ) [ ] + a a + a + 0. Ответ: a) 0; b). Контрольные вопросы. Дайте определение предела функции в точке (по Коши).. Что такое бесконечно малая? Как формулируется определение предела с помощью понятия б.м.? 3. Что такое предел числовой последовательности? 4. Что такое бесконечно большая? Как б.б. связаны с б.м.? 5. Как связано понятие предела с арифметическими операциями? 6. Что такое непределенности вида [ 0 0] и [ ]? Дополнительные вопросы и задачи D. Доказать, что: 6

15 a) n n a ; n b) n n 0. a) При a утверждение очевидно. Пусть a >. Тогда n a > и a [ + ( n a ) ] n + n( n a ) + > n( n a ), где при возведении в степень n, т.е. при перемножении n скобок, выписаны только два слагаемых (в каждой скобке берем первое слагаемое получаем n, и в одной из скобок берем ( n a ), а в остальных получаем n( n a )), а остальные (положительные!) слагаемые обозначены многоточием. Получаем неравенство 0 < n a < a n. Если теперь дано ε > 0 и мы возьмем n так, что a n < ε, т.е. n > [ ] a ε + N N(ε), то мы получим, что при n > N выполняется неравенство n a < ε. По определению это и значит, что n a. n Если 0 < a <, то a тогда n > и, по доказанному, n n a n n a n n a n a. Но (по теореме о пределе частного). D. Доказать равносильность определений предела функции по Коши и по Гейне (см. Лекции [K], Гл.6, 3, стр.0). D3. Доказать что не существует предела sin. 7

16 Занятие Вычисление пределов - : первый и второй замечательные пределы. Первый замечательный предел Так называется предел sin α α 0 α [ 0 0]. На нем основано вычисление всех пределов, связанных с тригонометрией. Напомним три формулы тригонометрии, которые нам потребуются в дальнейшем. Во-первых, это формула cos sin, а во-вторых, формулы sin α sin β sin α β cos α + β, cos α cos β sin α β Вычисление следующих пределов основано на "выделении"(или "формировании") из неопределенности первого замечательного предела. При этом множители числителя и знаменателя, которые не стремятся к 0 ("не существенные"множители) могут 8 sin α + β.

17 быть заменены их значениями в точке 0 на основании теоремы о пределе произведения и частного. Задача.. Найти пределы: tg a) ; b) ctg 3; c) e) ; f) cos cos 0 0 tg 7 tg 4 tg 5 sin m π sin n h) m) q) arcsin 3 a) tg cos. c) tg sin 5 ; k) tg sin sin 5 ; d) 3 sin sin 0 0 cos tg sin ; l) ; 3 sin ; sin 5 sin 3 ; g) sin 7 ; ( π ) tg ; p) arctg ; ; n) π ; r) + sin cos ; s) [ 0 0] sin cos [ 0 0] tg 5 sin e) (производная косинуса) sin 0 sin 5 sin 3 g) sin 7 sin tg 3., так как cos 0 и поэтому [ 0 0] 0 cos cos 0 sin 0 0 [ ] sin sin 7 sin 7 7 cos 4 7. cos [ 0 0] k) sin cos 5+3 sin 7 ( sin m) Делаем замену π t, t + π. sin m π sin n [ 0 0] sin (mt+mπ) t 0 sin (nt+nπ) ( ) m n sin mt nt t 0 mt sin nt m sin + 0 sin 0. ). t 0 ( ) m sin mt ( ) n sin nt n ( )m n m n. Мы воспользовались формулой для sin (α + β) и тем, что sin mπ 0, cos mπ ( ) m. 9

18 p) Делаем замену arctg t, tg t, 0 t 0. arctg [ 0 0] t t 0 tg t. t 0 r) [ 0 0] + sin cos ( + sin + cos ) + sin cos ( cos )+ sin cos [см. зад..k] + sin Ответ: a) ; b) 3 ; c) 5 ; d) 9 4 ; e) sin 0; f) cos 0 ; g) 7 ; h) 3 5 ; k) ; l) ; m) ( )m n m n ; n) ; p) ; q) 3; r) 4 3 ; s) 6. tg t t. Второй замечательный предел. Неопределенности вида [ ] Число Эйлера e определяется как предел (монотонно возрастающей и ограниченной) числовой последовательности: ( e + n. n n) Доказывается, что этот предел сохраняется и в случае, когда n принимает не только (дискретные) натуральные значения, n N, а меняется непрерывно, n R, ( + ) e. Это и есть второй замечательный предел. Он представляет из себя неопределенность вида [ ]. Замена t, t позволяет переписать этот предел в виде ( + t) t e, или же более t 0 общим образом в виде: 30

19 ( + α()) α() [ ] e, где α() есть б.м. в точке 0. Второй замечательный предел применяется для раскрытия неопределенностей вида [ ], т.е. для нахождения пределов f() g(), где f(), а g(). Сведение неопределенности вида [ ] ко второму замечательному пределу производится с помощью следующих манипуляций:. Выделяем в основании чистую единицу, т.е. представляем f() в виде f() + α(), где α() б.м. в точке 0. Для этого можно использовать равенство f() + (f() ) и положить α() f().. Конструируем второй замечательный предел, а именно записываем в показателе α() величину обратную α(), и подправляем показатель так, чтобы ничего не изменилось умножаем на α(): f() g() ( + α()) α() α()g() [( + α()) α() ] α()g(). Последнее равенство написано на основании правила ( a b) c a bc. 3. Вычисляем предел α()g() A и тогда искомый предел есть e A : f() g() [ ] [ + (f() )] f() (f() )g() e A. [ Последнее равенство написано на основании утверждения: u() v() a b, где u() a > 0 и v() b (это непрерывность показательно-степенной функции). Таким образом, раскрытие неопределенности [ ] свелось к неопределенности [0 ] или же к неопределенностям [ 0 ] 0] либо, что (формально) получается с помощью следующих преобразований: , либо

20 Задача.. Найти пределы: ( 3+4 ( + a) c) e) ( 3 ) 5; b) 4+) ; d) ) ; g) ( +tg +sin ) sin 3 ; ( ) + +3 ; ( ) ; f) (cos ) h) (cos ) 3. sin ; (Напомним, что вычисление предела начинается всегда с определения типа неопределенности, которую надо раскрыть.) ( ) 5 a) 3+4 [ ( ) 3 ] ( 5) e A, 6( 5) где A c) ( + 4+ ( + где A ( e) ) ( g) +tg +sin e A, 3 4. ) [ ] 4+ ( ) ) 4+ ( ) 4+ e A, ( ) 4+. [ ] ( + ) ( sin 3 [ ] + ) e. ) +sin tg sin tg sin +sin tg sin sin 3 (+sin ) tg sin где A sin 3 cos sin cos sin cos cos sin. При вычислении A мы отбросили не существенные множители + sin, так как ( + sin ), и cos, так как cos, также воспользовались первым замечательным пределом и результатом ранее решенной задачи. k). Ответ: a) e 4 ; b) e ; c) e ; d) e ; e) e; f) e ; g) e; h) e 3. 3

21 Замечание о неопределенностях вида [ ], [ 0] и [ 0 0]. Раскрытие таких неопределенностей сводится к неопределенностям [ 0 ] [ 0 или ] с помощью основного логарифмического тождества b e ln b. Действительно, u() v() e ln(u()v() ) e v() ln u() e A, где A v() ln u(). Мы отложим решение задач на пределы такого типа до лучших времен, до тех пор, когда мы изучим производные и познакомимся с правилом Лопиталя, позволяющего очень эффективно вычислять пределы типа [ [ 0 0] и ], к которым сводится предел v() ln u(). Контрольные вопросы. Что такое первый замечательный предел? Какой тип неопределенности представляет этот предел?. Что такое число Эйлера e? 3. Что такое второй замечательный предел? Какой тип неопределенности представляет этот предел? Дополнительные вопросы и задачи sin D. Найти предел. ln(a+) ln a D. Найти предел. 33

22 Занятие 3 Вычисление пределов - 3: cравнение бесконечно малых; применение эквивалентных б.м. для вычисления пределов 3. Сравнение бесконечно малых Сравнение б.м. основано на рассмотрении предела их отношения. Пусть α и β б.м. в точке 0. β() Если α() C, где C const и C 0, то б.м. α и β называются бесконечно малыми одного порядка малости. В частности, если C, т.е. β() α(), то α и β называются эквивалентными бесконечно малыми и это 34

23 записывают в виде: α β. Если же C 0, т.е. β() α() 0, то б.м. β называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем α. Это записывают так: β o(α) и читают: бэта β() есть o малое от α (здесь o это буква, Оля ). Если α() не существует, то α() и β() называются несравнимыми. Задача 3.. Доказать, что o(α) + o(α) o(α), т.е. если β o(α), β o(α), то β + β o(α). Шкала бесконечно малых. Фиксируем одну ("масштабную") б.м. α() в точке 0. Б.м. β() называется бесконечно малой порядка k (по отношению к α()), если β() и α() k б.м. одного порядка малости. Легко видеть, что если k > (соответственно, k < ), то β() есть б.м. более высокого (соответственно, низкого) порядка малости, чем α(). Обычно за "масштабную"б.м. в точке 0 берут α() 0. Порядок б.м. β() мы будем обозначать v(β). Если б.м. β() в точке 0 имеет ( порядок k относительно б.м. 0, т.е. β() C( 0 ) k + o ( 0 ) k), где C const 0, то C( 0 ) k называется главной частью б.м. β() в точке 0. Примеры сравнения б.м. в точке 0 0: sin. sin, так как и есть б.м. одного порядка, так как есть б.м. более высокого порядка малости, чем (и чем ), o(), так как ( ) 0. Более точно, есть б.м. порядка 3 (относительно ), так как есть б.м. порядка k sin относительно б.м. sin, так как 35

24 Задача 3.. Сравнить б.м. в точке 0 0: a) α() 3 + 5, β() 5 3 ; b) α() sin, β() tg 3. a) α и β б.м. одного порядка малости, так как b) β o(α), так как β() α() 5 3 [ 0 0] β() α() tg 3 sin sin sin cos 3 0. Задача 3.3. Определить порядок малости следующих б.м. β() в точке 0 0 относительно α() : a) β() sin ; b) β() tg sin. a) v(β) 3 sin, так как 3 b) tg sin 3 v(tg sin ) 3. sin sin cos cos.. Это значит, что Теорема (принцип отбрасывания бесконечно малых). Две б.м. α() и β() в точке 0 эквивалентны тогда и только, когда их разность есть б.м. более высокого порядка малости, чем каждая из них, Или, по-другому, α β β α γ o(α) (и γ o(β) ). α β β α + o(α). Таким образом, все б.м., эквивалентные α(), получаются так: нужно к α() прибавить или вычесть (отбросить) бесконечно малую более высокого порядка, чем α. Например: + 3 в точке

25 Задача 3.4. Доказать, что если α() a k k + a k+ k a n n, a k 0, есть многочлен, то порядок α (относительно б.м. ) совпадает с младшей степенью: v(α) k. Можно проверить, что имеются следующие свойства порядков б.м.: если б.м. β () и β () в точке 0 0 имеют порядки k и l (относительно б.м. ), то: i) β ()β () имеет порядок k + l, т.е. ii) v(β ) + v(β ) имеет порядок А если v(β ) v(β ), то v(β β ) v(β ) + v(β ). v(β + β ) min(v(β ), v(β )). v(β + β ) min(v(β ), v(β )); iii) Если α β и v(α) k, то v(β) k. 3. Техника эквивалентных бесконечно малых Теорема. Если α α и β β эквивалентные б.м. в точке 0, то α() [ 0 0] α () β() β (), т.е. при вычислении предела отношения двух б.м. числитель и знаменатель можно заменять на эквивалентные б.м. Таблица эквивалентных б.м. 37

26 Следующие пары б.м. эквивалентны в точке 0 0:. sin, 6. ln ( + ),. tg, 7. a ln a, 3. cos, 7 0. e, 4. arcsin, 8. ( + ) k k, 5. arctg, Формулы этой таблицы можно переписать в виде. sin α α + o(α), 5. arctg α α + o(α),. tg α α + o(α), 6. ln ( + α) α + o(α), 3. cos α α + o(α ), 7. e α + α + o(α), 4. arcsin α α + o(α), 8. ( + α) k + kα + o(α). Техника эквивалентных б.м. при вычислении пределов основана на теореме и приведенной таблице эквивалентных б.м. Эта техника позволяет свести вычисление пределов в основном к алгебраическим преобразованиям. Задача 3.5. Найти пределы, заменяя бесконечно малые эквивалентными: sin 5 a) tg ; c) e) 7 e ln ( 4) ; sin g) sin ; 3 k) ln(+ b) ) d) 4 +9 ; f) h) ln ( ) ln ( ) ; ln cos ln (+ ) ; cos cos m) p) tg 8 ; +sin sin tg ; ; tg 3 arcsin 3+ ; sin arctg 3 ; sin (e ) ln ; e cos. l) n) ; q) sin 5 a) tg 5 5 ; 38

27 c) e) 7 e ln ( 4) t 3(+ 9 ) 3(+ t 7 ) 3 t 0 (+ t 4 3 t t 0 4 ; ] [ 7t 7+t 6 9 +o(t) 3 t 7 +o(t) 4 t 6 3 t 0 3 t 0 9+t 3 7+t 4 t 0 6+t [ (+ t 9 ) ] [ (+ t 6 ) 4 8 t 8 t 64 t ( 9 ) sin g) 3 sin 3 sin 3 3 ; ln (+ 3 k) + 3 ) ln ( ) ( )( ) ( )( 3) ; ln cos m) ln (+ ) ln (+(cos )) ln (+ ) ; n) sin (e ) ln p) 7 ; (+ t 7 ) cos ] [ ] t sin (e t+ t ) e t 0 ln (+t) t t o t ; cos cos ( +o( ))( () +o( )) ( +o( ))(+ ( +o( ))+o( )) ( +o( 3 )) 3. Ответ: a) 5 ; b) 64 ; c) ; d) ; e) 7 ; f) 8 5 ; g) 3 ; h) 3 ; k) ; l) 3 ln ; m) ; n) ; p) ; q) 3. Контрольные вопросы. Что такое б.м. более высокого порядка чем некоторая б.м. α в точке 0?. Что такое эквивалентные б.м. в точке 0? 3. Что такое порядок бесконечно малой (относительно некоторой б.м. α)? 39

28 4. Как получаются друг из друга эквивалентные б.м. (принцип отбрасывания бесконечно малых)? 5. Как применяются эквивалентные б.м. для раскрытия неопределенностей типа [ 0 0]? 6. Выпишите эквивалентности для элементарных функций из таблицы эквивалентных б.м.? Дополнительные вопросы и задачи D. Докажите свойства порядков бесконечно малых, сформулированные выше после задачи 3.4. D. Привести пример б.м. β () и β (), для которых v(β + β ) > min(v(β ), v(β )), т.е. пример, показывающий, что в сумме (или разности) главный член может "уничтожаться". D3. Докажите, что для раскрытия неопределенности вида [0 ] бесконечно малую можно заменять на эквивалентную. Формулы из таблицы эквивалентных б.м. являются лишь первыми приближениями функций многочленами в окрестности точки. Позже мы познакомимся с разложением функций в ряд Тейлора. Для следующих элементарных функций эти формулы выглядят так: e + +! + 3 3! + 4 4! +... ; ln ( + ) ; cos! + 4 4! +... ; sin 3 3! + 5 5!... ; ( + ) k + k! + k(k )! + k(k )(k ) 3! Обрывая эти формулы в некотором месте, мы можем получить более точные формулы (формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано). Например, формулу для sin можно записать в виде sin + o(), а если оставить два первых члена, то более точная формула имеет вид: sin o(3 ). sin D4. Найти предел. Ответ: 3 6. D5. Технику эквивалентных б.м. можно почти дословно перенести на случай бесконечно больших. Разработайте эту теорию. 40

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) Кафедра "Прикладная математика-1" Ю.С.Семёнов Кафедра "Прикладная математика-1"

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ Т Ю Альпин, А И Егоров, П Е Кашаргин, С В Сушков ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть I: Комплексные числа Предел функции Казань 013 Печатается

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА ГОУВПО КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА Учебно-методическое

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения И. В. Яковлев, А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта http://www.ege-study.ru Тригонометрические уравнения В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА

Министерство образования и науки Российской Федерации. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА Г.Г. Литова, Д.Ю. Ханукаева ПРЕДЕЛЫ Пособие для студентов, обучающихся по специальности

Подробнее

С.А. Лавренченко. Доказательство: Повести самостоятельно. Указание: Применить произведения, взяв

С.А. Лавренченко. Доказательство: Повести самостоятельно. Указание: Применить произведения, взяв Лекция 4 1 СА Лавренченко Вычисление пределов 1 Правила вычисления пределов Пусть действительная константа и целое положительное число При условии, что существуют оба предела и, имеют место следующие десять

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный университет» А А Г О Л У Б Е В, Т А С П А С С К А Я ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

Планируемые результаты освоения алгебры в 7 классе Алгебраические выражения. Уравнения

Планируемые результаты освоения алгебры в 7 классе Алгебраические выражения. Уравнения Программа по алгебре для 7 класса общеобразовательного учреждения. Пояснительная записка Структура программы Программа включает три раздела: 1.Планируемые результаты усвоения алгебры в 7 классе 2.Содержание

Подробнее

x 2 10x > x 2 10x = x(x 10) > x2 x x 2 /2 = 2 x. x 2 10x < x+ x 2 10x = 0. x 0. > 0k N : 0 < x k < и f(x k ) A = A > 0,

x 2 10x > x 2 10x = x(x 10) > x2 x x 2 /2 = 2 x. x 2 10x < x+ x 2 10x = 0. x 0. > 0k N : 0 < x k < и f(x k ) A = A > 0, Пределы Предел функции Определение предела Пусть a точка числовой прямой, a b c) Пусть функция f) опре- делена на множестве E : { b c)\{a}} Число a называется пределом функции f) при, стремящемся к a обо-

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова Высшая математика IV САМОУЧИТЕЛЬ

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

Типовые задачи c решениями.

Типовые задачи c решениями. Типовые задачи c решениями. Формальное суммирование рядов. Формула рекурсии k a k a + a k k Формула умножения λ a k λa k Формула сложения k k k a k + b k a k + k b k k Пример Геометрическая прогрессия.

Подробнее

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии Кафедра высшей математики Высшая математика ( семестр Разделы Функции. Пределы. Дифференцирование. Интегрирование. Основные формулы по темам

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2011

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2011 Chir of Mth. Anlysis, SPb. Stte University. A.V.Poteun, Исследование сходимости несобственных интегралов Методические указания для решения задач А. В. Потепун Как известно (см. [], глава III, 7), если

Подробнее

Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов

Сборник задач для самостоятельного решения по теме Предел функции Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов ББК В 65я73-4 С 3 УДК 57 Учебное издание Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: АН Максименко, АН Морозов Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

2011 год. Высшая математика для чайников. Предел функции. Виосагмир И.А. Предел функции.

2011 год. Высшая математика для чайников. Предел функции. Виосагмир И.А. Предел функции. 20 год Высшая математика для чайников. Предел функции. Виосагмир И.А. Предел функции viosagmir@gmail.com Предел функции Введение Ну что же Я приветствую Вас в своей первой книге, посвященной пределам функции.

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim Òåîðåìû î ïðåäåëàõ Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Основные теоремы о пределах. Предел числовой последовательности. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Экспонента. Натуральный логарифм.

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Программа дополнительного образования «Программа подготовки в ВУЗ»

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Программа дополнительного образования «Программа подготовки в ВУЗ» Автономная некоммерческая организация дополнительного образования Учебный Центр при МГТУ им. Н. Э. Баумана «Ориентир» «УТВЕРЖДАЮ» Директор АНО ДО Учебный Центр при МГТУ им. Н.Э.Баумана «Ориентир» ПАНФИЛОВА

Подробнее

Тема 37 «Пределы функций»

Тема 37 «Пределы функций» Тема 37 «Пределы функций» «Математический анализ» - серьезный раздел высшей математики. «Анализируют» здесь довольно тонкие моменты: как ведет себя функция не только в целом, в своей области определения

Подробнее

УСРЕДНЕНИЕ ТРЁХМЕРНОГО ПОЛЯ НАПРАВЛЕНИЙ

УСРЕДНЕНИЕ ТРЁХМЕРНОГО ПОЛЯ НАПРАВЛЕНИЙ 9 Компьютерная оптика том УСРЕДНЕНИЕ ТРЁХМЕРНОГО ПОЛЯ НАПРАВЛЕНИЙ АВ Устинов Учреждение Российской академии наук Институт систем обработки изображений РАН Аннотация В данной статье описан метод усреднения

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

Теория пределов: упражнения и примеры

Теория пределов: упражнения и примеры Теория пределов: упражнения и примеры Методическое пособие для факультетов менеджмента, политологии и социологии П.А.Панов Государственный Университет Высшая школа экономики Январь 00 Что такое предел

Подробнее

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ТЕХНИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (на базе

Подробнее

Методические рекомендации по решению задач на тему «пределы функции» для студентов специальности «Производство летательных аппаратов»

Методические рекомендации по решению задач на тему «пределы функции» для студентов специальности «Производство летательных аппаратов» Государственное бюджетное профессиональное учреждение Московской области «Авиационный техникум имени В.А. Казакова» Рассмотрено на заседании предметной цикловой комиссии «Общеобразовательных, математических

Подробнее

20. Неприводимые многочлены над числовыми полями

20. Неприводимые многочлены над числовыми полями 20. Неприводимые многочлены над основными числовыми полями Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Основная теорема алгебры В

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

Лекция 1 Вещественные числа.

Лекция 1 Вещественные числа. Лекция 1 Вещественные числа. 1. Рациональные числа. Простейшими числами являются целые положительные числа 1, 2,..., используемые при счете. Они называются натуральными числами, и люди их знали так много

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

РАЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Министерство образования Российской Федерации Московский физико-технический институт Кафедра высшей математики РАЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Методические указания и оптимальные

Подробнее

П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е

П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е Санкт-Петербургский государственный университет А. В. О С И П О В К О Н С П Е К Т Л Е К Ц И Й П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е Часть II (-й курс, -й семестр) Санкт-Петеpбуpг 0 0 Конспект лекций по высшей

Подробнее

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1 Глава 1 Основы алгебры Числовые множества Рассмотрим основные числовые множества. Множество натуральных чисел N включает числа вида 1, 2, 3 и т. д., которые используются для счета предметов. Множество

Подробнее

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1.

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1. 1 Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Специализированный учебно-научный центр ГОУ лицей 1580. Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, 2014-2015 учебный

Подробнее

( C x A) x C (1) (соответственно

( C x A) x C (1) (соответственно 3. Ограниченность и точные границы 3.. Ограниченные и неограниченные множества. Cимволом R обозначают множество вещественных чисел, а через R расширенную числовую прямую, т. е. R = R {,+ }; для краткости,

Подробнее

Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов ПРЕДЕЛЫ

Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов ПРЕДЕЛЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература...

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература... ОГЛАВЛЕНИЕ Введение................................................ 3 Глава. Неопределенный интеграл.......................... 6.. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла........................

Подробнее

Предел и непрерывность функций одной переменной

Предел и непрерывность функций одной переменной министерство образования и науки российской федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский

Подробнее

Лекция 2: Многочлены

Лекция 2: Многочлены Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Понятие многочлена Определения Многочленом от одной переменной называется выражение вида

Подробнее

Конспект лекций по высшей математике

Конспект лекций по высшей математике Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра высшей математики Конспект лекций по высшей математике для студентов экономических

Подробнее

Лекция 14. Неопределенности и правило Лопиталя

Лекция 14. Неопределенности и правило Лопиталя СА Лавренченко 1 wwwlawrencenkoru Лекция 14 Неопределенности и правило Лопиталя Правило Лопитáля применяется при вычислении пределов для раскрытия неопределенностей типа или Раскрытие неопределенности

Подробнее

Лекция 17: Евклидово пространство

Лекция 17: Евклидово пространство Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания При решении многих задач возникает необходимость иметь числовые

Подробнее

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине «Элементы высшей математики».

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине «Элементы высшей математики». МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ «ДОНСКОЙ БАНКОВСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Методические

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ 1. Числовые множества. Арифметические действия над числами. Натуральные числа (N).

Подробнее

Теоретический материал.

Теоретический материал. 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Предел. Непрерывность. Производная. Интеграл Утверждено Редакционно-издательским

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств

МАТЕМАТИКА. Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического

Подробнее

Программа курса математики для двухгодичного потока СУНЦ НГУ. Лекции. I семестр

Программа курса математики для двухгодичного потока СУНЦ НГУ. Лекции. I семестр Программа курса математики для двухгодичного потока СУНЦ НГУ 2004-2006 уч. гг. Лектор: к.ф.-м.н. А. В. Васильев Лекции I семестр 1. Метод математической индукции (2 часа). Описание метода. Примеры применения:

Подробнее

1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены

1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены Глава III. Теория устойчивости 1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены III.1.1. Устойчивые решения линейных ОДУ Существенную роль в исследовании различных процессов, поведение которых описывается

Подробнее

Предмет математика модуль «алгебра», 7 класс. Учитель Анастасия Васильевна Рыбалкина

Предмет математика модуль «алгебра», 7 класс. Учитель Анастасия Васильевна Рыбалкина Предмет математика модуль «алгебра», 7 класс Учитель Анастасия Васильевна Рыбалкина Что предстоит «узнать» = изучить, освоить на уроках математике модуль «алгебра» в 7 классе. 1) ТЕМЫ (по программе) I.

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Системы тригонометрических уравнений

Системы тригонометрических уравнений И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Системы тригонометрических уравнений В данной статье мы рассматриваем тригонометрические системы двух уравнений с двумя неизвестными. Методы решения таких

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ

ЛЕКЦИЯ 3 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ ЛЕКЦИЯ 3 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ Возьмем натуральное целое число m, которое будем называть модулем. Определение. Целые числа a и b называются сравнимыми по модулю m, если разность (a b) делится на m (m a

Подробнее

Лекция 1.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними

Лекция 1.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними Лекция.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними Аннотация: В лекции указывается на необходимость обобщения понятия числа от натурального до комплексного. Вводятся алгебраическая,

Подробнее

Методические указания

Методические указания Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана Методические указания В.Я. Томашпольский, М.Н. Шевченко, И.О. Янов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана Московский государственный

Подробнее

Лекция 1: Комплексные числа

Лекция 1: Комплексные числа Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В школьном курсе математики понятие числа постепенно расширяется.

Подробнее

"Спецфункции". Лекция 9. Гипергеометрическая функция. ) n. (1 + 1 )(1 + b 1

Спецфункции. Лекция 9. Гипергеометрическая функция. ) n. (1 + 1 )(1 + b 1 "Спецфункции". Лекция 9. Гипергеометрическая функция 1. Гипергеометрический ряд F p,q a 1,..., a p ; b 1,..., b q ; z определяется как степенной ряд вида F p,q a 1,..., a p ; b 1,..., b q ; z = 1 + a 1

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Обыкновенные дроби. m или ( m ) < n. или ( m) n. Всякую неправильную дробь можно представить в виде

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Обыкновенные дроби. m или ( m ) < n. или ( m) n. Всякую неправильную дробь можно представить в виде РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Обыкновенные дроби Определение Дроби вида, называются обыкновенными дробями Обыкновенные дроби, правильные и неправильные Определение Дробь, правильной, если < при, где Z, N Z, N Z,

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

Оформление решения рационального неравенства следующее: xx x x x x. Итак: план решения рационального неравенства:

Оформление решения рационального неравенства следующее: xx x x x x. Итак: план решения рационального неравенства: РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ. I) х - 5> линейное неравенство. Решаем методом переноса: х>5, т.е. х>5, и т.д. II) х > можно решить перебором чисел. III) Более сложные неравенства (квадратные, дробные,

Подробнее

1 Семинар 1. Формальное суммирование (8 сентября)

1 Семинар 1. Формальное суммирование (8 сентября) Семинар. Формальное суммирование (8 сентября). Формально суммировать 0 + 0 + 0 +... 2. 2 3 + 22 3 2 + 23 3 3 + 22 3 2 +... 3. 2 + 2 2 2 3 +... 4. + + + +... 5. Суммировать + 2 + + 2 +... 6. Найти 2 + 3

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

Лекция 11: Обратная матрица

Лекция 11: Обратная матрица Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение обратной матрицы Определение Пусть A произвольная матрица. Матрица B называется

Подробнее

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА)

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Постановка задачи. Рассматривается задача о вычислении однократного интеграла J(F ) = F (x) dx. ()

Подробнее

Характеристики учебных занятий

Характеристики учебных занятий «Шестимесячные очные подготовительные курсы по математике» Раздел 1. Характеристики учебных занятий 1.1. Цели и задачи учебных занятий Подготовка слушателей к успешной сдаче ЕГЭ (единого государственного

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты:

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты: ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты: Содержание программы 1. Числа, корни и степени. Числовые последовательности Натуральные числа. Простые

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

овладение обобщенными способами мыслительной, творческой деятельностей;

овладение обобщенными способами мыслительной, творческой деятельностей; ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Настоящая рабочая программа по алгебре разработана на основе программы «Математика. 5-6 классы. Алгебра. 7-9 классы. Алгебра и начала анализа.10-11» - Москва: Просвещение, 011 г.,

Подробнее

ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ КУРСА МАТЕМАТИКИ В 6 КЛАССЕ

ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ КУРСА МАТЕМАТИКИ В 6 КЛАССЕ ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ КУРСА МАТЕМАТИКИ В 6 КЛАССЕ Арифметика понимать особенности десятичной системы счисления; использовать понятия, связанные с делимостью натуральных чисел; выражать

Подробнее

Аннотация к рабочей программе

Аннотация к рабочей программе Аннотация к рабочей программе 8 класс, алгебра ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа по алгебре для основной общеобразовательной школы 8 класса составлена на основе: Федерального компонента государственного

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА 10 класс (профильный уровень)

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА 10 класс (профильный уровень) РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА 0 класс (профильный уровень) п/п РАЗДЕЛ / ТЕМА Колво час. Планируемые результаты Примечание ПОВТОРЕНИЕ КУРСА 9 КЛАССА 4 Упрощение рациональных выражений Решение

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье.

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье. Лекция 4. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда..4. Равенство Парсеваля Пусть система вещественных функций g( ), g( ),..., g ( ),... ортогональна и

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

24 4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций Универсальная тригонометрическая подстановка

24 4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций Универсальная тригонометрическая подстановка СОДЕРЖАНИЕ Глава Неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла Свойства неопределённого интеграла Таблица основных неопределённых

Подробнее

Тема 1: Системы линейных уравнений

Тема 1: Системы линейных уравнений Тема 1: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

С помощью операторов символьного преобразования (используя палитру инструментов Символы).

С помощью операторов символьного преобразования (используя палитру инструментов Символы). Лабораторная работа. Символьные вычисления Системы компьютерной алгебры снабжаются специальным процессором для выполнения аналитических (символьных) вычислений. Его основой является ядро, хранящее всю

Подробнее

ВОЗМОЖНОСТИ ПРОГРАММЫ MATHEMATICOS. Можно убедиться в правильности или ошибочности своих действий на любом шаге решения

ВОЗМОЖНОСТИ ПРОГРАММЫ MATHEMATICOS. Можно убедиться в правильности или ошибочности своих действий на любом шаге решения ВОЗМОЖНОСТИ ПРОГРАММЫ MATHEMATICOS Можно убедиться в правильности или ошибочности своих действий на любом шаге решения через вызов «ПРОВЕРКИ». Программа проводит экспертный анализ и выдает свой вердикт.

Подробнее

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра.

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Глава. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Определенный интеграл f ( d ) в главе был введен для случая ко нечного промежутка [, ] и ограниченной функции f (). Теперь это понятие

Подробнее

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1 Введение В курсе математического анализа первого семестра одно из центральных мест занимает теорема Ролля. Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a,

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической

Подробнее

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РА- БОТА

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РА- БОТА В И МАТЯШ РЯДЫ КУРС ЛЕКЦИЙ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РА- БОТА Учебное пособие Издание третье, исправленное и дополненное МОСКВА Кафедра «Высшая математика» МГТУ «МАМИ» Автор и составитель Матяш ВИ В школе нас

Подробнее

ГФ Первый курс Осень Глава 3. Теоремы о пределах. (Раздел 1. Функции, пределы, непрерывность.) 3 45 мин. Печать

ГФ Первый курс Осень Глава 3. Теоремы о пределах. (Раздел 1. Функции, пределы, непрерывность.) 3 45 мин. Печать Лектор Лисеев И.А. Кафедра высшей математики МИИГАиК. ГФ Первый курс Осень 0 3 45 мин. Печать -09-0 Редактирование -09-0 Глава 3. Теоремы о пределах (Раздел. Функции, пределы, непрерывность.) Глава 3.

Подробнее

by Heine, E. in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, (page(s) ) Berlin; 1872, Bd LXXIV Heft 2.

by Heine, E. in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, (page(s) ) Berlin; 1872, Bd LXXIV Heft 2. Die Elemete der Fuctioelehre. by Heie, E. i: Joural für die reie ud agewadte Mathematik, (page(s) 172-188) Berli; 1872, Bd LXXIV Heft 2. Гейне Эдвард Генрих. Элементы учения о функциях. Журнал чистой и

Подробнее