СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Ярославль 005

2 5 Рис 8 Синусоида = si = f симметрия относительно оси абсцисс; = af умножение каждой ординаты на a, где a > 0; = fa деление каждой абсциссы на a, где a > 0 5 График функции = f получается из графика функции = f симметричным относительно оси абсцисс отображением той части графика = f, которая лежит ниже этой оси; при этом часть графика, лежащая выше оси, остается без изменений см рис 3 Рис 9 Косинусоида = cos 3 = f = f + 3,5 = f +,5 3 = f = f Рис 0 Тангенсоида = tg Рис Экспонента = e e Рис Котангенсоида = ctg e Рис 3 Логарифмическая кривая = l = 3f = f = f Рис Простые геометрические операции с графиком функции = f Решение формулируемых далее задач существенно упрощается, если при построении графиков функций применять указанные геометрические преобразования к графикам основных элементарных функций см приложение I Построить графики линейных функций прямые линии: = k, для k = 0,,,, = + b, для b = 0,,, 3 а = + 3; б = 0, ; в =

3 8 3 Предел функции Найти пределы: 95 [l + l + ] [l + l] lg+0 0 l + lcos e a 0 e si a > e a e b sh ch e + 35 Задачи для повторения Найти пределы: arcsi l+3 l ctg 3 33 arcctg ctg si arcsi + l+3 l+ 34 arcctg si si 34 si 0 36 l cos / si 5 si 3 0 si cos 3 l cos 0 si 39 cos + si 0 + Последовательность Предел последовательности Определение предела Основные свойства Числовой последовательностью или просто последовательностью называется бесконечный упорядоченный набор чисел Последовательность обозначают,,,, { } или, N Говорят, что последовательность, N, имеет своим пределом число a короче, сходится к a, т е = a, если для любого ε > 0 найдется число N такое, что для всех N выполнено a < ε Графически сходимость последовательности к числу a означает стабилизацию значений этой последовательности около прямой = a см рис Рис 3 Графическое изображение последовательности = 3 В частности, последовательность называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю Последовательность может иметь только один предел Пример Доказать, исходя из определения, что число является пределом последовательности =, =,, + Рассмотрим модуль разности = + = +

4 4 3 Предел функции Арифметические свойства сходящихся последовательностей 3 и cos 3 cos 7 Пример 6 Найти 0 Так как cos3 cos 7 = si 5 si si 5 si = 5, 0 0 то по теореме о пределе произведения находим cos 3 cos 7 = 0 0 =, arctg Пример 7 Найти 0 Перейдем к новой переменной = arctg, тогда получим arctg = 0 0 tg = 0 cos si Так как cos =, и, согласно формуле 3, 0 о пределе частного получаем cos = 0 si cos 0 si 0 = si 0 =, то по теореме Пример 8 Найти ctg ctg/4 /4 Данная функция является произведением бесконечно малой при /4 функции ctg на бесконечно большую функцию ctg/4 В таких случаях говорят, что имеет место неопределенность вида 0 Для вычисления предела перейдем к новой переменной = /4 Получим ctg ctg /4 4 = 0 ctg si cos Так как =, а =, то 0 si 0 cos si 0 si Найти пределы: si 59 6 si 5 0 si cos cos = si 0 si 0 si ctg = 0 si cos cos si cos cos = si 5 Пример 4 Найти Из четырех слагаемых 5 3, 3, 3, быстрее всего растет 5 3, поэтому разделим числитель и знаменатель на 3 константу 5 можно не учитывать: = Учитывая, что {/} и / 3 бесконечно малые последовательности, и, используя свойства сходящихся последовательностей, получаем Найти пределы: = = 5 = Вычислить, если: 3+0,5 0, = 0, }{{ } = 0,4, = 0,45, 3 = 0,454, 4 = 0,4545, Предложение Пусть = 0 и для всех ; пусть p натуральное число Тогда p + =

5 0 3 Предел функции 4 Разные задачи 7 Предел слева и предел справа называются односторонними пределами функции 4 Предел функции в точке Если односторонние пределы равны f = f = a, то число a называется просто пределом функции f в точке 0 и обозначается f = a 0 Если же односторонние пределы различны f f, или хотя бы один из них не существует, то не существует и предел функции в точке 0 Найти односторонние пределы: а f; б 0+0 f; и ре- 0 0 шить вопрос о существовании общего предела 0 f; если: 4 f =, 0 = 0 5 f =, 0 = 0 6 f =, 0 = 0 7 f =, 0 = 8 f =, 0 = 9 f = arccos, 0 = 30 f = e, 0 = 0 3 f =, +e 0 = 0 3 Свойства пределов Вообще говоря, пределы функций обладают теми же свойствами, что и пределы последовательностей Но строгие формулировки имеют некоторые отличия Функция α называется бесконечно малой при 0 или при, если ее предел равен нулю Функция f называется ограниченной на a, b, если существуют такие числа m и M, что для любого a,b выполнено m f M Свойства бесконечно малых: Функция f имеет предел 0 f = b тогда и только тогда, когда f = b + α, где α бесконечно малая функция при 0 Пусть функция g ограничена в некоторой окрестности точки 0, т е найдется такое δ > 0, что g ограничена на 0 δ, 0+δ И пусть α бесконечно малая при 0 Тогда их произведение g α есть бесконечно малая при 0 Доказать, что последовательность { } имеет предел, и найти его: 7 = 6, = 6 + 6,, = = 3, + = + 74 = 5, + = 5 Найти, если равно:, k где k N Разные задачи Найти, если равно: si , ! 9! !! !! 95 l + l l! lg + cos + +3, + +lg Привести примеры последовательностей { } и { } таких, что = = 0 и: 0 04 = 0; = + ; = ; не существует

6 6 Последовательность Предел последовательности 3 Свойства пределов Теорема Вейерштрасса Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел Теорема Последовательность = +, N строго возрастает т е < + и ограничена: < 3 Следовательно, по теореме Вейерштрасса, эта последовательность сходится Ее предел, обозначаемый e, + = e есть иррациональное число e =, Пример 8 Найти, если =, = +,, = Очевидно < + Далее заметим, что = корней + = + < +, + Теорема о трех функциях Пусть три функции g, f, h определены в некоторой окрестности точки 0 Тогда, если для любого из этой окрестности выполняются неравенства g f h и функции g и h имеют одинаковые пределы g = h = a, 0 0 то функция f имеет тот же предел f = a 0 Арифметические свойства Пусть существуют f и g, тогда 0 0 сумма, разность, произведение и частное если g 0 этих функций 0 также имеют пределы, причем f ± g = f ± g, f g = f g, f 0 g = f 0 g 0 или корней < 0 Несложно убедиться, что последнее неравенство выполнено при, Таким образом, возрастает, ограничена и, следовательно, имеет предел Пусть = a Тогда выполнено a = = + = + = + a Квадратное уравнение a = + a имеет один положительный корень a = Таким образом, = Доказать, что последовательность { } сходится, если равно: Пример Найти 4 Применяя теоремы о пределе разности и произведения, находим предел знаменателя: = = Предел знаменателя не равен нулю, поэтому по теореме о пределе частного получаем 4 4 = = 3 = 3 Если P и Q целые многочлены и Pa = Qa = 0, то для нахождения предела P a Q рациональную дробь P Q рекомендуется сократить один или несколько раз на бином a

7 Последовательность Предел последовательности 34 Второй замечательный предел 5 Пример 3 Доказать, что 5 / = 0 Для всех 0 верно неравенство 5/ /, поэтому 0 < 5/ / при 0 Здесь слева и справа стоят члены последовательностей, имеющих пределом нуль Значит, по теореме о трех последовательностях, 5/ = 0 Пользуясь теоремой о трех последовательностях, найти: si + Показать, что есть произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную, если: 98 = 99 = = si 0 = si + Арифметические свойства сходящихся последовательностей Число a является пределом последовательности, N, тогда, и только тогда, когда можно представить в виде суммы = a + α, где {α } бесконечно малая последовательность Предположим, что существуют и, тогда: Для любого числа b существует b и b = b 3 ± = ± 4 = 5 =, если 0 si 63 si 3 64 si cos si si a a a cos cos a a tg + tg cos cos arcsi si si 3 79 cos 8 + si a /4 si cos tg 7 0 ctg ctg si + si Второй замечательный предел tg si 0 3 arctg 0 si 3 si cos 0 Одним из основных пределов, используемых при вычислении пределов от сложных показательных функций, является 0 + = где e =, При нахождении пределов вида можно выделить три случая: Если + f g 0 f = и 0 = e, g =, 0 то при вычислении используется указанный выше замечательный предел А именно, обычно f представляют в виде суммы f = + α, где 0 α = 0, и, следовательно, Если f g = + α α 0 0 = e 0 αg = = e 0 f g 0 f = 0 или 0 f = + αg =

8 8 Графическое изображение функции 46 f = tg, [, ] 47 f = ctg, [0, ] 48 = e 49 =, 0 50 = 3 4 Сложная функция Пусть заданы функции = f и z = F такие, что область значений функции f содержится в области определения функции F Функцию z = Ff, Df, называют сложной функцией, или композицией функций f и F Применяя правило сложения графиков, построить графики следующих функций: 5 = + 5 = + 53 = + e 54 = + трезубец Ньютона 55 = sh, где sh = e e синус гиперболический 56 = ch, где ch = e +e косинус гиперболический Построить в одной системе координат графики функций f и /f, если: 57 f = 3 58 f = + 59 f = 60 f = + 6 f = tg 6 f = si Построить в одной системе координат графики функций f и f/, если: 63 f = cos 64 f = arcsi 65 f = 66 f = arcctg 67 f = Построить графики функций: 68 = ± 69 = 70 = 3 + cos 7 = 5 si 3 7 = + 73 = + si 74 = + arcctg 75 = 0 + локон Аньези 76 = 77 = + серпантин Ньютона 78 = si 79 = cos 80 = cos 8 = th, где th = sh ch 8 = e 83 = 84 = lg 85 = log ОТВЕТЫ 9 да e 76 e 77 e 78 e 79 e e 99 e 00 e 0 e а ; б 7 а 0; б 8 а + ; б 0 9 а 0; б 0 а ; б а ; б 0 а ; б 3 а ; б + 4 а + ; б 5 а + ; б + 6 а 0; б 7 а ; б 8 а + ; б не существует 9 а не существует; б 0 30 а 0; б 0 3 а 0; б a 38 3a 39 3a a a a si cosa 67 sia e 90 e 9 e 4 9 e e 95 l la 30 a b e не существует 309 l 3 l e не существует

9 Графическое изображение функции Понятие числовой функции Пусть дано числовое множество X R, и пусть каждому X поставлено в соответствие число R; тогда говорят, что на множестве X определена числовая функция Правило, устанавливающее соответствие, обозначают некоторым символом, например f, и пишут = f, X В этой записи называют аргументом или независимой переменной; числа из множества X называют значениями аргумента; множество X называют областью определения функции, его обозначают также Df Число 0, соответствующее значению аргумента 0, называют значением функции при = 0 или значением функции в точке 0 Множество всех значений функции f обозначается Ef Свойства и графики функций Графиком функции = f, Df, в прямоугольной системе координат называют множество всех точек плоскости с координатами, f, Df Четные и нечетные функции Функцию = f, определенную на симметричном относительно нуля множестве X, называют: четной, если для любого X верно равенство = ch = sh Графики гиперболических и обратных тригонометрических функций Рис 4 = ch = e +e и = sh = e e Рис 5 = th = e e e +e и = cth = e +e e e = cth = cth = th f = f; нечетной, если для любого X верно равенство f = f График четной функции симметричен относительно оси ординат График нечетной функции симметричен относительно начала координат 3 Периодические функции Число T 0 называют периодом функции f, если для любого Df выполнено + T Df, T Df и f + T = f Такую функцию называют периодической График периодической функции с периодом T состоит из повторяющихся кусков При этом для повторения может быть взята часть графика над любым отрезком [a, b] таким, что b a = T 4 Исходя из графика функции = f, с помощью простых геометрических построений см рис можно получить графики следующих функций: Рис 6 = arcsi Рис 8 = arctg = f + c сдвиг вдоль оси ординат на c; = f c сдвиг вдоль оси абсцисс на c; = f симметрия относительно оси ординат; Рис 7 = arccos Рис 9 = arcctg


1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов

Сборник задач для самостоятельного решения по теме Предел функции Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов ББК В 65я73-4 С 3 УДК 57 Учебное издание Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: АН Максименко, АН Морозов Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

Введение в математический анализ. Теория пределов

Введение в математический анализ. Теория пределов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Ответы к заданию

Ответы к заданию Ответы к заданию.. понятия одного аргумента.. Основные элементарные.. элементарных функций.4. предела f в точке. х Х Если каждому элементу х из множества Х поставлен в соответствие определенный элемент

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

Лабораторная работа 1 Предел последовательности: определение, свойства

Лабораторная работа 1 Предел последовательности: определение, свойства Лабораторная работа Предел последовательности: определение, свойства Необходимые понятия и теоремы: определение числовой последовательности, ограниченные и неограниченные последовательности, монотонные

Подробнее

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ Найти область определения D и множество значений Е функции y Р е ш е н и е Функция y определена если те если Поэтому областью определения функции является множество f ; D R Поскольку

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

1. Производная функции в точке

1. Производная функции в точке приращения аргумента Δ приращения Δ функции f производной функции точке f в Основные правила дифференцирования функций функции в точке Приращением аргумента Δ функции f называется разность между значением

Подробнее

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства Лекция Глава Множества и операции над ними Понятие множества Понятие множество относится к наиболее первичным понятиям математики не определяемым через более простые Под множеством понимают совокупность

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция. Понятие множества. Определение функции основные свойства. Основные элементарные функции СОДЕРЖАНИЕ: Элементы теории множеств Множество вещественных чисел Числовая

Подробнее

Математический анализ Лекция 1.2

Математический анализ Лекция 1.2 Московский Государственный Технический Университет им. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Математический анализ Лекция 1.2 к.ф.-м.н. Семакин А.Н. Математический анализ, Лекция

Подробнее

Функции одной переменной

Функции одной переменной Функции одной переменной. Действительные числа В нашем курсе мы постоянно будем иметь дело с действительными числами. Напомним основные сведения о действительных числах, известные и школьного курса математики.

Подробнее

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

Подробнее

Математический анализ Модуль 1. Элементарные функции и пределы числовых последовательностей Лекция 1.2

Математический анализ Модуль 1. Элементарные функции и пределы числовых последовательностей Лекция 1.2 Математический анализ Модуль 1. Элементарные функции и пределы числовых последовательностей Лекция 1.2 Аннотация Принцип вложенных отрезков. Числовая функция. Основные элементарные функции. Элементарная

Подробнее

Кафедра Высшая и вычислительная математика. О.А.Платонова МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Кафедра Высшая и вычислительная математика. О.А.Платонова МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Российский университет транспорта МИИТ» Кафедра Высшая и вычислительная

Подробнее

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,...

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,... Предел функции. Предел числовой последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто числовой последовательностью называется функция f f (, определенная на множестве всех

Подробнее

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и Студент должен знать: определение предела функции; свойства пределов; понятие бесконечно малых функций; понятие ограниченных и бесконечно больших функций; определение непрерывности функции в точке; сравнение

Подробнее

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к экзамену по курсу 1- модулей 1. Расскажите о числах: натуральных, целых, рациональных и иррациональных. Расскажите о числовой прямой

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры. Математический анализ, 27/28 Группы БПМ7 75 Промежуточный экзамен, модули 2 На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ Расскажите о числах: натуральных,

Подробнее

Математический анализ. Лекция 1.2

Математический анализ. Лекция 1.2 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Математический анализ Модуль 1. Элементарные функции и пределы числовых последовательностей

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

Экзаменационный билет 2

Экзаменационный билет 2 Экзаменационный билет 1 1. Преобразование обычных дробей в десятичные и наоборот. Действия с дробями. 2. Определение функции. Способы задания, область определения, область значений функции. 2 x 1 x x 1

Подробнее

Лабораторная работа 6 Предел и неравенства

Лабораторная работа 6 Предел и неравенства Лабораторная работа 6 Предел и неравенства Необходимые понятия и теоремы: фундаментальная последовательность, критерий Коши, теорема о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности,

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л. И. Магазинников, А. Л. Магазинников ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Дифференциальное

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 16. Эквивалентные бесконечно малые. Первый и второй замечательные пределы.

ЛЕКЦИЯ 16. Эквивалентные бесконечно малые. Первый и второй замечательные пределы. ЛЕКЦИЯ Эквивалентные бесконечно малые Первый и второй замечательные пределы Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых функций Функция f ( ) называется бесконечно малой в точке a (при a ), если (

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

I. ПРЕДЕЛЫ. lim 1. = a, то lim a n. = a. Вытекает ли из существования. lim

I. ПРЕДЕЛЫ. lim 1. = a, то lim a n. = a. Вытекает ли из существования. lim I ПРЕДЕЛЫ Теоретические вопросы Понятие числовой последовательности и ее предела Теорема об ограниченности сходящейся последовательности Понятие предела функции в точке Понятие функции, ограниченной в

Подробнее

2 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Множество. Числовые множества.

2 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Множество. Числовые множества. 1 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Множество Числовые множества Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые Под множеством понимается совокупность (набор) некоторых

Подробнее

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v 6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Ж Н КУЛЬБАКОВА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ по разделам «ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ» для студентов курса заочного факультета специальности - - «Математика научнопедагогическая

Подробнее

функция f. Множество D называется областью определения функции, а множество -множеством значений функции. f( x)

функция f. Множество D называется областью определения функции, а множество -множеством значений функции. f( x) 6 2. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ДЕСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО. Понятие функции. Способы задания Пусть D - произвольное подмножество действительных чисел ( D ). Если каждому числу D поставлено в соответствие

Подробнее

Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла.

Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. 2. Задача интегрального исчисления. Свойства первообразных. Свойства неопределённого интеграла.

Подробнее

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций Лекция 5 Производные основных элементарных функций Аннотация: Даются физическая и геометрическая интерпретации производной функции одной переменной Рассматриваются примеры дифференцирования функции и правила

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Первообразная функция и неопределённый интеграл первообразной Функция F() называется первообразной для функции f() на промежутке X, если F / () = f() X.

Подробнее

Предел и непрерывность функции. Методическое пособие

Предел и непрерывность функции. Методическое пособие Санкт-Петербургский государственный университет Т.А. Ефимова Предел и непрерывность функции Методическое пособие Санкт-Петербург 8 Предисловие Методическое пособие предназначено для студентов нематематических

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

Подробнее

Непрерывность функции. Замечательные пределы. Лекция 2

Непрерывность функции. Замечательные пределы. Лекция 2 Непрерывность функции. Замечательные пределы Лекция 2 1 Определение непрерывности. Теорема о непрерывности суммы, произведения и частного функций Функция y f ( ) называется непрерывной в точке, если она

Подробнее

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва Лекция 4 Непрерывность функции Классификация точек разрыва Аннотация: Рассматриваются свойства функции, непрерывной на отрезке Приводится пример использования этих свойств при решении нелинейных уравнений

Подробнее

lim lim arctg x~ 1 cos x ~ (1 x) ~1 m Лекция ( ) Предел функции (продолжение) lim f(x) = b, то f(x) = b +

lim lim arctg x~ 1 cos x ~ (1 x) ~1 m Лекция ( ) Предел функции (продолжение) lim f(x) = b, то f(x) = b + Предел функции (продолжение) Лекция (..) Теорема (о связи функции, ее предела и бесконечно малой). Если, где б.м. при a. Доказательство. Пусть б.м. при +. f( = b, то f( = b + f ( = b. Рассмотрим функцию

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное исчисление раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применение к исследованию функций 5 Производная

Подробнее

ФУНКЦИЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА

ФУНКЦИЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА понятия, которые можно описать, но нельзя строго определить, так как любая попытка дать строгое определение неизбежно сведётся к замене определяемого понятия ему

Подробнее

Замечание. Понятие множества, как и другие основополагающие понятия математики, вводится без определения.

Замечание. Понятие множества, как и другие основополагающие понятия математики, вводится без определения. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция 3 Множества Операции с множествами Отображения множеств Множество действительных чисел Числовые множества Функция Область ее определения Сложные и обратные функции График функции

Подробнее

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности Математический анализ (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности 1 Предварительные сведения о действительных (вещественных) числах Рациональное число m Q, m, -целые числа.

Подробнее

МАТЕМАТИКА Введение в математический анализ

МАТЕМАТИКА Введение в математический анализ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Иркутский государственный технический университет Заочно-вечерний факультет Кафедра общеобразовательных дисциплин

Подробнее

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме),

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме), типового варианта «Комплексные числа Многочлены и рациональные дроби» Задание Даны два комплексных числа и cos sn Найдите и результат запишите в алгебраической форме результат запишите в тригонометрической

Подробнее

Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания.

Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания. ГЛАВА 3. Предел и непрерывность отображения 1. Предельные точки, открытые и замкнутые множества в метрических пространствах Опр. 3.1.1. Пусть (X, ) метрическое пространство, x X, >. Проколотой - окрестностью

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

Числовые функции и числовые последовательности

Числовые функции и числовые последовательности Числовые функции и числовые последовательности Д. В. Лыткина АЭС, I семестр Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 1 / 35 Содержание 1 Числовая функция Понятие функции Числовые функции.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл Задачи, приводящие к понятию производной Определение Касательной S к линии y f (x) в точке A x ; f (

Подробнее

ПЛУЖНИКОВА Елена Леонидовна РАЗУМЕЙКО Борис Григорьевич ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПЛУЖНИКОВА Елена Леонидовна РАЗУМЕЙКО Борис Григорьевич ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ПЛУЖНИКОВА Елена Леонидовна РАЗУМЕЙКО Борис Григорьевич ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Учебно-методическое пособие для студентов всех специальностей Рецензент проф ЕА Калашников Редактор

Подробнее

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Q и действительные R числа Натуральные и целые числа

Подробнее

Глава 1. Теория пределов

Глава 1. Теория пределов Глава. Теория пределов.. Числовые последовательности Пусть дано некоторое множество Х. Сопоставим каждому натуральному числу какой-либо определенный элемент X. Получится функция = f: X. () Такая функция

Подробнее

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1 Глава 1 Основы алгебры Числовые множества Рассмотрим основные числовые множества. Множество натуральных чисел N включает числа вида 1, 2, 3 и т. д., которые используются для счета предметов. Множество

Подробнее

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии. ЛЕКЦИЯ Числовые последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Основные свойства бесконечно малых последовательностей Числовые последовательности Если каждому из множества

Подробнее

4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3

4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3 MA ksm-n4a-непрерывные функции 4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3 4.. Непрерывные функции одной переменной. 3 4... Непрерывность функции в точке. 3 4... Точки разрыва, устранимые 9

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N1. 1.Частично упорядоченные множества.

ЛЕКЦИЯ N1. 1.Частично упорядоченные множества. ЛЕКЦИЯ N1 Числовые множества Числовые последовательности Пределы, свойства Теорема Больцано-Вейерштрасса Функции Способы задания Элементарные функции Предел функции в точке 1Частично упорядоченные множества

Подробнее

Математический анализ I семестр. Ю. Л. Калиновский

Математический анализ I семестр. Ю. Л. Калиновский Математический анализ I семестр Ю. Л. Калиновский Справочные материалы Графики основных элементарных функций Парабола y = ax 2 + bx + c Функция y = x α α > 0 4 α < 0 Функция y = a x Функция y = log a

Подробнее

ФУНКЦИЯ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ

ФУНКЦИЯ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ ФУНКЦИЯ ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ Одним из основных математических понятий является понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пусть даны два непустых множества

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Министерство образования и науки Российской Федерации Курганский государственный университет Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА НА Кулагина МВ Черепанова ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ -е издание, исправленное Новосибирск 04 УДК 5 ББК К90 Рецензенты БП Зеленцов д-р техн наук, профессор

Подробнее

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Тема ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Число А называется пределом функции у=f), при х стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого числа ε>, найдется такое положительное числоs, что при всех >S, выполняется

Подробнее

Тема 6. Дифференцирование функций. производная логарифмической функции. На предыдущем занятии по четырехступенчатому правилу нами была найдена

Тема 6. Дифференцирование функций. производная логарифмической функции. На предыдущем занятии по четырехступенчатому правилу нами была найдена Тема 6 Дифференцирование функций log Производная логарифмической функции a На предыдущем занятии по четырехступенчатому правилу нами была найдена производная логарифмической функции ( loga ) (7) l a в

Подробнее

Математический минимум. Часть 1. Теоретическая.

Математический минимум. Часть 1. Теоретическая. Сергей А Беляев стр 1 Математический минимум Часть 1 Теоретическая 1 Верно ли определение Наименьшим общим кратным двух целых чисел называется наименьшее число, которое делится на каждое из заданных чисел

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. Геометрической прогрессией называется числовая последовательность b

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. Геометрической прогрессией называется числовая последовательность b ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ Геометрической прогрессией называется числовая последовательность b, первый член которой отличен от нуля, а каждый последующий член, начиная со второго,

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

10 класс, Математика (профиль) уч.год Тема модуля 1 «Корни, степени, логарифмы»

10 класс, Математика (профиль) уч.год Тема модуля 1 «Корни, степени, логарифмы» 0 класс, Математика (профиль) 0-08 учгод Тема модуля «Корни, степени, логарифмы» Знать Понятия действительного числа, множества чисел, свойства действительных чисел, делимость целых чисел****, свойства

Подробнее

МАТЕМАТИКА 1 LOGO. Тема: Предел функции. Преподаватель доцент ОМИ ШБИП ТПУ, к.ф.-м.н. Бер Людмила Михайловна.

МАТЕМАТИКА 1 LOGO. Тема: Предел функции. Преподаватель доцент ОМИ ШБИП ТПУ, к.ф.-м.н. Бер Людмила Михайловна. LOGO МАТЕМАТИКА 1 Тема: Предел функции Преподаватель доцент ОМИ ШБИП ТПУ, к.ф.-м.н. Бер Людмила Михайловна http://portal.tpu.ru/shared/b/berlm 1 Функции Определение. Если каждому элементу х из множества

Подробнее

lim 1 lim 6. Первый замечательный предел

lim 1 lim 6. Первый замечательный предел I ПРЕДЕЛЫ Теоретические вопросы Понятие числовой последовательности и ее предела Теорема об ограниченности сходящейся последовательности Понятие предела функции в точке Понятие функции, ограниченной в

Подробнее

Основные тригонометрические функции. Рис.1. y sin x и y cos x. Число, равное ординате конца единичного радиуса, соответствующего углу

Основные тригонометрические функции. Рис.1. y sin x и y cos x. Число, равное ординате конца единичного радиуса, соответствующего углу Основные тригонометрические функции Чтобы дать определение тригонометрических функций, рассматривают окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Эту окружность называют тригонометрическим кругом.

Подробнее

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная, и её приложения. Издание третье. / x

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная, и её приложения. Издание третье. / x ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский политехнический университет Т В Тарбокова, В М Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ

Подробнее

9. Первообразная и неопределенный интеграл

9. Первообразная и неопределенный интеграл 9. Первообразная и неопределенный интеграл 9.. Пусть на промежутке I R задана функция f(). Функцию F () называют первообразной функции f() на промежутке I, если F () = f() для любого I, и первообразной

Подробнее

Лабораторная работа 5 Предел последовательности: определение, свойства

Лабораторная работа 5 Предел последовательности: определение, свойства Лабораторная работа 5 Предел последовательности: определение, свойства Необходимые понятия и теоремы: определение числовой последовательности, ограниченные и неограниченные последовательности, монотонные

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Первый замечательный предел. Тригонометрические неопределенности. S (1).

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Первый замечательный предел. Тригонометрические неопределенности. S (1). Первый замечательный предел. Тригонометрические неопределенности. При вычислении пределов функций, которые содержат тригонометрические выражения часто используют предел: Это первый замечательный предел.

Подробнее

Лекция 3, 4. Будем считать, что область задания функции f (x) } значений аргумента функции f ( x n ) значений функции сходится к b.

Лекция 3, 4. Будем считать, что область задания функции f (x) } значений аргумента функции f ( x n ) значений функции сходится к b. Лекция 3, 4 Предельное значение функции при, + и Будем считать, что область задания функции f ( имеет хотя бы один элемент, лежащий вне отрезка [ A, A], для любого положительного числа A. Определение (по

Подробнее

Тема 2. Числовая функция, ее свойства и график

Тема 2. Числовая функция, ее свойства и график Тема Числовая функция, ее свойства и график Понятие числовой функции Область определения и множество значений функции Пусть задано числовое множество X Правило, сопоставляющее каждому числу X единственное

Подробнее

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx Ответы к заданию приращения аргумента Δ Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки Δ, U ( : δ приращения f Δ (

Подробнее

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 7 Предел функции СОДЕРЖАНИЕ: Предел функции в точке Предел функции на бесконечности Основные теоремы о пределах функций Бесконечно

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Подробнее

Функции одной переменной

Функции одной переменной Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им К Э Циолковского Кафедра

Подробнее

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Пусть имеем функцию определенную на множестве X и пусть точка X - внутренняя точка те точка для которой существует окрестность X Возьмем любую точку и обозначим через называется

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 10. Комплексные числа. Действия над ними. Неопределенный интеграл. Методы интегрирования: табличный, подстановкой.

ЛЕКЦИЯ N 10. Комплексные числа. Действия над ними. Неопределенный интеграл. Методы интегрирования: табличный, подстановкой. ЛЕКЦИЯ N 0. Комплексные числа. Действия над ними. Неопределенный интеграл. Методы интегрирования: табличный, подстановкой..комплексные числа и действия над ними.....неопределенный интеграл, свойства, таблица

Подробнее