ТЕОРИЯ ИГР ТЕОРИЯ ИГР И.В. ПИВОВАРОВА. Пивоварова Ирина Викторовна. Министерство образования и науки Российской Федерации

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ТЕОРИЯ ИГР ТЕОРИЯ ИГР И.В. ПИВОВАРОВА. Пивоварова Ирина Викторовна. Министерство образования и науки Российской Федерации"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Владивостокский государственный университет экономики и сервиса Учебное издание Пивоварова Ирина Викторовна ТЕОРИЯ ИГР Практикум ИВ ПИВОВАРОВА ТЕОРИЯ ИГР Практикум В авторской редакции Компьютерная верстка МА Портновой Лицензия на издательскую деятельность ИД от Подписано в печать Формат / Бумага писчая Печать офсетная Усл печ л Уч-изд л Тираж экз Заказ Издательство Владивостокского государственного университета экономики и сервиса Владивосток ул Гоголя Отпечатано в типографии ВГУЭС Владивосток ул Державина Владивосток Издательство ВГУЭС

2 ББК П Рецензент: НЮ Голодная доцент каф ММ Пивоварова ИВ П ТЕОРИЯ ИГР: Практикум Владивосток: Изд-во ВГУЭС с Практикум содержит основные понятия теории матричных игр примеры их решения задачи для самостоятельного решения Предназначен студентам специальности «Математические методы в экономике» СОДЕРЖАНИЕ Введение Основные понятия теории матричных игр ( ) игры и игры Доминирование стратегий Множество решений матричной игры Сведение матричной игры к двойственной задаче линейного программирования Приближенное решение матричных игр Вопросы для самопроверки Список литературы ББК Издательство Владивостокского государственного университета экономики и сервиса

3 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Петросян ЛА Зенкевич НА Семина ЕА Теория игр М Воробьев НН Теория игр для экономистов-кибернетиков М: Наука Дюбин ГН Суздаль ВГ Введение в прикладную теорию игр М: Наука ВВЕДЕНИЕ Практикум по теории игр предназначен студентам курса специальности «Математические методы в экономике» В пособие включены основные определения и теоремы курса «Теория игр» разобраны методы решения матричных игр приведены решения типовых задач даны задачи для самостоятельного решения В конце пособия приведены вопросы для самопроверки которые могут быть использованы при подготовке к экзамену Цель пособия активизировать самостоятельную работу студентов

4 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР Теория игр это совокупность математических методов анализа и оценки конфликтных ситуаций Содержание теории игр: установление принципов оптимального поведения в условиях неопределенности (конфликта) доказательство существования решений удовлетворяющих этим принципам указание алгоритмов нахождения решений их реализация Моделями теории игр можно описать экономические правовые классовые военные конфликты взаимодействие человека с природой Все такие модели в теории игр принято называть играми Игры можно классифицировать по различным признакам: стратегические и чисто случайные бескоалиционные и коалиционные игры лиц (по числу игроков) конечные и бесконечные (по числу стратегий) игры в нормальной форме и динамические с нулевой суммой («антагонистические») и с ненулевой суммой Рассмотрим простейшую модель игру в которой участвуют два игрока множество стратегий каждого игрока конечно а выигрыш одного игрока равен проигрышу другого (бескоалиционная конечная антагонистическая игра двух лиц) Такую игру (Г) называют матричной Она определяется тройкой Г=(XYK) где Х множество стратегий -го игрока Y множество стратегий -го игрока K=K() функция выигрыша (выигрыш -го игрока и соответственно проигрыш -го при условии что -й игрок выбрал стратегию X а -й стратегию Y ) Пару () называют ситуацией в игре Г Пусть -й игрок имеет всего стратегий а -й стратегий: Х=М={ } Y=N={ } Тогда игра Г полностью определяется заданием матрицы A где =K() выигрыш -го игрока при условии что он выбрал стратегию (те строку) а -й игрок стратегию (те столбец) (эти стратегии называют чистыми) Матрица А называется матрицей игры или платежной матрицей Пусть матрица игры А Цель каждого игрока получить как можно больший выигрыш Но -му игроку нет смысла выбирать стратегию = в надежде выиграть ед так как -й игрок действуя разумно не станет выбирать стратегию = чтобы не проиграть максимальную сумму ед Игрокам удобнее выбрать «осторожные» стратегии Пусть A платежная матрица игры Г Если -й игрок выбрал стратегию то в худшем случае он выиграет Поэтому он Вопросы для самопроверки Дайте определение матричной игры Что представляют собой элементы платежной матрицы? Как определяются верхняя и нижняя цены игры (соответственно минимаксная и максиминная стратегии игроков) как они связаны между собой? Как найти седловую точку в платежной матрице? Сформулируйте необходимое и достаточное условие существования седловой точки Сформулируйте лемму о масштабе Где она применяется? Как определяются смешанные стратегии игроков? Как определяются цена игры оптимальные стратегии игроков (чистые и смешанные) решение игры? Сформулируйте свойства оптимальных стратегий Сформулируйте основную теорему теории матричных игр Как можно решить ( )-игру? В чем заключается графоаналитический метод решения для каких матричных игр он применяется? Дайте определения доминируемых стратегий для -го и -го игроков Сформулируйте теорему о доминируемых стратегиях Сколько решений может иметь матричная игра? Как найти множество всех решений? Как свести матричную игру к двойственной задаче линейного программирования? Приведите примеры применения матричных игр в экономике

5 А А А А А А А А всегда может гарантировать себе выигрыш обозначим его нижняя цена игры или максимин соответствующая стратегия -го игрока называется максиминной Второй игрок выбрав стратегию в худшем случае проиграет а значит может гарантировать себе проигрыш обозначим его верхняя цена игры или минимакс соответствующая стратегия -го игрока называется минимаксной Схема: А Ответы Например А Соответствующие стратегии: = (максиминная) = (минимаксная) Справедливо неравенство: В игре Г естественно считать оптимальной такую ситуацию () от которой ни одному из игроков невыгодно отклоняться Ситуация ( ) называется ситуацией равновесия или седловой точкой если для любых М N выполняется неравенство Соответствующие стратегии называются оптимальными чистыми стратегиями -го и -го игроков а число называется ценой игры Элемент является одновременно минимумом в своей строке и максимумом в своем столбце Ситуация равновесия существует тогда и только тогда когда (это значение и является ценой игры )

6 А Например ()-ситуация равновесия = цена игры = = оптимальные стратегии -го и -го игроков Выбрав их -й игрок обеспечит себе выигрыш не менее ед а -й игрок проиграет не более ед при любом выборе другого игрока Наряду с чистыми стратегиями игроков рассматривают также смешанные стратегии Смешанной стратегией для -го игрока называется упорядоченная система действительных чисел =( ) которые можно рассматривать как относительные частоты (вероятности) с которыми -й игрок выбирает чистые стратегии = Аналогично определяется смешанная стратегия для -го игрока: =( ) Множества всех смешанных стратегий -го и -го игроков будем обозначать соответственно S и S Чистые стратегии можно рассматривать как частный случай смешанных стратегий Например чистую стратегию = можно рассматривать как смешанную =( ) чистую стратегию = как смешанную =( ) Пару смешанных стратегий () называют ситуацией в смешанных стратегиях Функция выигрыша K() в ситуации () определяется как математическое ожидание выигрыша -го игрока при условии что -й и -й игроки выбрали соответственно стратегии =( ) и =( ): K( ) Если для некоторых S и S и для всех S и S выполняется неравенство K ( ) K( ) K( ) то называются оптимальными смешанными стратегиями игроков число K ( ) называется ценой игры пара ( ) стратегической седловой точкой а тройка решением игры партии k Выбор -го игрока Выбор -го игрока Суммарный выигрыш -го игрока при выборе стратегии Суммарный проигрыш -го игрока при выборе стратегии b c α β α b β b β c β c β c β c β c c c Замечание Если максимальные значения суммарного выигрыша или минимальные значения суммарного проигрыша при выборе различных стратегий в некоторой партии совпадают (например во -ой партии для -го игрока) то игрок может выбрать любую из стратегий Задачи для самостоятельного решения Найдите приближенное решение игры заданной матрицей А А А А k k k k

7 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ИГР Для матриц большой размерности применение методов линейного программирования приводит к громоздким вычислениям поэтому удобнее использовать приближенные методы решения Одним из таких методов является итеративный метод Брауна-Робинсона или метод фиктивного разыгрывания Идея метода многократное фиктивное разыгрывание игры В первой партии каждый игрок выбирает произвольную чистую стратегию в k-ой партии каждый выбирает ту стратегию которая принесла максимальный суммарный выигрыш (для первого игрока) или минимальный суммарный проигрыш (для второго игрока) в (k-)-ой партии k k Можно доказать что где цена игры k k k k k номер партии k максимальное значение суммарного выигрыша -го игрока в k-ой партии при выборе различных стратегий k минимальное значение суммарного проигрыша -го игрока в k-ой партии при выборе различных стратегий За приближенные оптимальные стратегии игроков принимают векторы координатами которых являются относительные частоты выбора соответствующих чистых стратегий Преимущество метода его простота недостаток малая скорость сходимости вследствие немонотонности последовательностей k и k Пример Найти приближенное решение игры заданной матрицей А b c Решение Обозначим чистые стратегии -го игрока b c -го игрока α Пусть в первой партии игроки выбрали стратегии и α k k k k k k Приближенное решение игры за партий: = Основная теорема теории матричных игр или теорема о минимаксе Если A матрица игры Г и для всех S и S K( ) то величины K( ) и K( ) S S S S существуют и равны между собой (эта величина и является ценой игры ) Из теоремы следует что всякая матричная игра имеет цену игрок в матричной игре всегда имеет оптимальную стратегию Свойства оптимальных стратегий Пусть K() математическое ожидание выигрыша в игре Г А с ценой Тогда для того чтобы элемент был оптимальной стратегией -го игрока необходимо и достаточно чтобы для каждого элемента выполнялось неравенство K ( ) Аналогично для того чтобы S S был оптимальной стратегией -го игрока необходимо и достаточно чтобы для каждого S S выполнялось неравенство K ( ) Пусть K() математическое ожидание выигрыша в игре Г А действительное число S S Тогда для того чтобы было ценой игры а и были оптимальными стратегиями соответственно - го и -го игроков необходимо и достаточно чтобы для любых М и N выполнялось неравенство K ( ) K( ) Пусть K() математическое ожидание выигрыша в игре Г А с ценой Тогда для того чтобы элемент был оптимальной стратегией -го игрока необходимо и достаточно чтобы для каждого N выполнялось неравенство K ( ) Аналогично для того чтобы S был оптимальной стратегией -го игрока необходимо и достаточно чтобы для каждого М выполнялось неравенство K ( ) Если решение -игры Г А то K( ) K( ) Пусть Г А Тогда для любого М при котором K ( ) выполняется неравенство = а для любого ется неравенство = S решение игры N при котором K ( ) выполня-

8 (Лемма о масштабе) Если Г А игра с матрицей Г А игра с матрицей A где A а где α =cost α> то множества оптимальных стратегий игроков в играх Г А и совпадают а А A Иначе говоря две игры отличающиеся лишь началом отсчета выигрышей и масштабом их измерения стратегически эквивалентны Для игры Г А Задачи для самостоятельного решения () () Найдите и в игре Г А : а) А б) Г А А найдите K() для ситуаций () А в) А Найдите седловую точку матрицы и решение соответствующей игры: а) А б) А в) А г) А Могут ли указанные векторы определять смешанные стратегии в матричной игре: а) б) в) г)?

9 Для игры Г А с платежной матрицей А найдите значение K() в данной ситуации (): а) А б) А в) А Проверьте является ли тройка решением игры Г А : а) А б) А = в) А г) А Ответы а) б) в) а) () б) () в)() г) () () () () аб) да вг) нет а) б) в) авг) да б) нет Решение исходной игры: Задачи для самостоятельного решения Найдите решение матричной игры сведя ее к двойственной задаче линейного программирования: Ответы

10 -я итерация -я итерация -я итерация Пусть ( ) ИГРЫ А платежная матрица игры Г Если она не имеет седловой точки то единственное решение игры Г можно найти ) решив две системы: ) по формулам: (или ) (или ) ) в матричном виде: T JA T A J A T T T JA J JA J JA J где А определитель матрицы А А присоединенная к А матрица J J T и T транспонированные матрицы J и Найдем например решение игры с платежной матрицей А которая не имеет седловой точки ) Составим системы: Решив системы получим: решение игры то есть Получаем решение двойственной задачи: Тогда решение игры с матрицей A :

11 -я итерация Решив задачу симплексным методом и вернувшись к переменным получим решение матричной игры Пример Найти решение игры с матрицей А Решение Перейдем к положительной матрице прибавив ко всем элементам матрицы А: А Составим двойственную задачу линейного программирования: Решим задачу симплексным методом Базис С P ) Найдем решение по формулам: ) Найдем решение в матричном виде: А А JА T JА J Результаты совпадают T А J T Задачи для самостоятельного решения Найдите решения ( )-игр с заданными платежными матрицами сделайте проверку найденных решений:

12 И ИГРЫ Рассмотрим игру с платежной матрицей Если -й игрок применит смешанную стратегию A а -й игрок чистую стратегию то K () Аналогично при выборе -м игроком чистых стратегий K K () () K () K Рис A () () () () Построим прямые () () () () по двум точкам придавая значения и (рис) Оптимальная стратегия -го игрока его максиминная стратегия которая соответствует самой высокой точке A выделенной на рис нижней границы Абсцисса этой точки искомое значение ордината этой точки значение Точка A является точкой пересечения прямых () и () поэтому решение исходной игры можно найти решив игру A СВЕДЕНИЕ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ К ДВОЙСТВЕННОЙ ЗАДАЧЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Пусть матрица игры имеет вид функция выигрыша R S S Тогда по свойству оптимальных стратегий для любых N должно выполняться условие K ( ) K( ) то есть А K=K() М Разделив все уравнения и неравенства обеих систем на обозначим Заметим что цена игры при этом должна быть положительна в противном случае нужно предварительно к матрице А приме- нить лемму о масштабе Учитывая что цель -го игрока максимизировать а цель -го минимизировать величину приходим к двойственной задаче линейного программирования с целевой функцией : По формулам решения игры получим:

13 стратегий () где цена игры = Задачи для самостоятельного решения Найдите множество всех решений игр с заданными платежными матрицами: Ответы () ( ) ( ) Тогда решение исходной игры имеет вид (номерам столбцов не вошедших в матрицу A соответствуют нулевые координаты вектора ) Аналогично решаются - игры Пусть например A смешанная стратегия -го игрока -й игрок выбирает чистые стратегии = K () K () K () Построим прямые ()()() по двум точкам придавая значения и (рис ) Оптимальная стратегия -го игрока его минимаксная стратегия которая соответствует самой низкой точке B выделенной на рис верхней границы Абсцисса этой точки искомой значение ордината точки значение Точка B является точкой пересечения прямых () и () Най- K дем решение игры A Рис B Тогда решение исходной игры: () () ()

14 A Рассмотрим еще один пример Пусть платежная матрица игры Построим соответствующие прямые () () () (рис) На выделенной нижней границе есть горизонтальный участок AB все точки которого имеют одну и ту же (максимальную) ординату K A точка пересечения прямых () и () ее абсциссу найдем () решая игру A A B () B точка пересечения прямых () и () ее абсциссу найдем решая игру () A Рис Решение исходной игры: где то есть -й игрок имеет множество оптимальных стратегий -й игрок единственную оптимальную стратегию это чистая стратегия = (только она участвует в образовании отрезка AB) цена игры ордината точек отрезка AB Значения и можно было получить также используя формулы решения игр для матрицы A или A (проверьте!) Найдите решения матрицами: Задачи для самостоятельного решения и игр с заданными платежными МНОЖЕСТВО РЕШЕНИЙ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ Можно доказать что множества оптимальных стратегий -го и -го игроков (Т и Т ) непустые ограниченные выпуклые и замкнутые подмножества соответственно -мерного и -мерного пространств Из выпуклости следует что если Т (Т ) имеет более одного элемента то оно имеет бесконечное число элементов то есть матричная игра имеет либо только одно либо бесконечное множество решений Чтобы найти множество всех решений игры с платежной матрицей А нужно рассмотреть все квадратные подматрицы матрицы А Найдя решения игр заданных подматрицами нужно составить их расширения на соответствующих местах и проверить являются ли полученные стратегии оптимальными для игры Г А Множество всех решений каждого игрока является выпуклой линейной комбинацией найденных решений Решение игры заданной квадратной подматрицей В можно найти B T JB T B J в матричном виде по формулам T T T JB J JB J JB J Найдем например множество всех решений игры Г А с платежной матрицей А Подматрицы ( ) не дадут решений так как матрица А не имеет седловых точек Рассмотрим подматрицы ( ) : В С D Для В: B B B () A A A ( ) является решением игры Г А (убеждаемся в этом проверкой) Для С: C C C A A A является решением игры Г А Для D получим такое же решение как для В Таким образом в игре Г А -й игрок имеет единственную оптимальную стратегию -й игрок имеет множество оптимальных

15 Ответы () ) ( () ) ( () ) ( ) ( () ) ( () ) ( () Ответы

16 ДОМИНИРОВАНИЕ СТРАТЕГИЙ Иногда на основании простого рассмотрения матрицы игры можно сказать что некоторые чистые стратегии могут войти в оптимальную смешанную стратегию лишь с нулевой вероятностью Например в игре с платежной матрицей А -му игроку не стоит выбирать стратегию = лучше выбрать = (какую бы стратегию ни выбрал -й игрок) а -ому игроку не стоит выбирать = лучше выбрать = (почему?) В результате вместо игры Г А с матрицей А можно рассмотреть игру Легко найти решение игры Г А : А Г А с матрицей А А A Можно пред- положить что решение игры Г А будет иметь вид: А k k k А A Говорят что -я стратегия -го игрока доминирует его k-ю стратегию если k для всех N и хотя бы для одного k В этом случае говорят также что -я стратегия (или строка) доминирующая k-я доминируемая Говорят что -я стратегия -го игрока доминирует его l-ю стратегию если для всех M l и хотя бы для одного l В этом случае -ю стратегию (столбец) называют доминирующей l-ю доминируемой В предыдущем примере -я стратегия -го игрока доминирует его -ю стратегию -я стратегия -го игрока доминирует его -ю стратегию Доминируемые стратегии исключаются из матрицы игры Стратегия может доминироваться также выпуклой линейной комбинацией других стратегий Так -я стратегия -го игрока доминируется выпуклой линейной комбинацией остальных стратегий если -я стратегия -го игрока доминируется выпуклой линейной комбинацией остальных стратегий если l l l Например в матрице А -я строка строго доминируется выпуклой линейной комбинацией -ой и -ой строк с коэффициентами и : (проверьте!) поэтому вместо игры Г А можно рассмотреть игру Г А А Найдя ее решение получим реше- ние игры Г А : = Если k Sk некоторая смешанная стратегия то ее расширением на -ом месте будем называть стратегию вида k Sk Справедлива теорема: пусть Г А ( ) игра в которой -я строка доминируема Г А игра с матрицей А полученной из А вычеркиванием -ой строки Тогда ) A А ) всякая оптимальная стратегия -го игрока в игре Г А является оптимальной и в игре Г А ) если оптимальная стратегия -го игрока в игре Г А то его оптимальная стратегия в игре Г А Аналогичная теорема имеет место для доминируемого столбца Задачи для самостоятельного решения Найдите решения матричных игр исключив доминируемые стратегии:


Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию РФ

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию РФ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию РФ Владивостокский государственный университет экономики и сервиса И.В. ПИВОВАРОВА ТЕОРИЯ ИГР Учебная программа

Подробнее

5. Элементы теории матричных игр

5. Элементы теории матричных игр 5 Элементы теории матричных игр a m В теории игр исследуются модели и методы принятия решений в конфликтных ситуациях В рамках теории игр рассматриваются парные игры (с двумя сторонами) или игры многих

Подробнее

Лекции КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР.

Лекции КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР. Лекции 5-6 КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР. Классификацию игр можно проводить: по количеству игроков, количеству стратегий, характеру взаимодействия игроков, характеру выигрыша, количеству ходов, состоянию информации

Подробнее

Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР

Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР В теории игр исследуется процесс принятия решений в конфликтных ситуациях, т. е. в случаях, когда существует несколько сторон с разными интересами. Различают игры

Подробнее

Теория принятия решений

Теория принятия решений Теория принятия решений Литература О.И. Ларичев «Теория и методы принятия решений» А.И. Орлов «Теория принятия решений» А.Т. Зуб «Принятие управленческих решений» А.Г. Мадера «Моделирование и принятие

Подробнее

ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР. Задачи выбора в условиях неопределенности

ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР. Задачи выбора в условиях неопределенности ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР Задачи выбора в условиях неопределенности Имеется набор возможных исходов y Y, из которых один окажется совмещенным с выбранной альтернативой, но с какой именно в момент выбора неизвестно,

Подробнее

Тема 11. Матричные игры

Тема 11. Матричные игры Тема 11. Матричные игры Цель: познакомить читателя с основными понятиями теории матричных игр: принципом максимина и минимакса, ситуациями равновесия, смешанным расширением игры, выяснить взаимосвязь между

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР В ЗАДАЧАХ

ТЕОРИЯ ИГР В ЗАДАЧАХ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) М.Л. ОВЕРЧУК ТЕОРИЯ ИГР В ЗАДАЧАХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Специальность: Социология. Дисциплина: КПВ: Теория игр и методы принятия решений, 5 курс, 9 семестр. Примерные зачетные тестовые задания.

Специальность: Социология. Дисциплина: КПВ: Теория игр и методы принятия решений, 5 курс, 9 семестр. Примерные зачетные тестовые задания. Специальность: Социология. Дисциплина: КПВ: Теория игр и методы принятия решений, 5 курс, 9 семестр. Примерные зачетные тестовые задания. 1. Матричная игра с матрицей Вариант 1. 1 1 0 А = 0 0 2 имеет седловую

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ТЕОРИЯ ИГР ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

Γ обозначение игры, N = { 1,

Γ обозначение игры, N = { 1, Равновесие по Нэшу. Существование равновесия для конечных игр в нормальной форме.. Понятие игры в нормальной форме... Игры в нормальной форме. Введем понятие игры в нормальной (стратегической) форме. Как

Подробнее

Контрольная работа Теория игр. Оглавление. Задание Задание Задание Задание Задание

Контрольная работа Теория игр. Оглавление. Задание Задание Задание Задание Задание Контрольная работа Теория игр Оглавление Задание Задание 9 Задание 3 4 Задание 4 9 Задание 5 3 Задание Сельскохозяйственное предприятие планирует посеять на площади 000 га одну или две (в равной пропорции)

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ТЕОРИИ ИГР

ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ТЕОРИИ ИГР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной

Подробнее

К теме Теория игр. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая:

К теме Теория игр. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая: К теме Теория игр На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределенности, т.е. возникают ситуации, в которых две (или более) стороны преследуют

Подробнее

К. В. Григорьева. Методические указания Часть 1. Бескоалиционные игры в нормальной форме. Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 2007 г.

К. В. Григорьева. Методические указания Часть 1. Бескоалиционные игры в нормальной форме. Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 2007 г. К В Григорьева Методические указания Часть Бескоалиционные игры в нормальной форме Факультет ПМ-ПУ СПбГУ г ОГЛАВЛЕНИЕ ЗАНЯТИЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРИИ ИГР КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР ИГРА В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ РАВНОВЕСИЕ

Подробнее

Лекция 2. Антагонистические игры.

Лекция 2. Антагонистические игры. Лекция 2. Антагонистические игры. 11.09.2014 1 2.1 Определение антагонистической игры 2.2 Понятие матричной игры 2.3 Выбор оптимальной стратегии в матричной игре 2.4 Ситуация равновесия в матричной игре

Подробнее

Матричные игры. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова. Кичмаренко О.Д.

Матричные игры. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова. Кичмаренко О.Д. цена. Матричные. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Кичмаренко О.Д. Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова цена. Определение. Матричная игра - это бескоалиционная

Подробнее

ν = sup inf gu (, u) 2.3. Антагонистические игры. Седловые точки

ν = sup inf gu (, u) 2.3. Антагонистические игры. Седловые точки .3. Антагонистические игры. Седловые точки Антагонистическая игра. Она представляет собой частный случай игры в нормальной форме Г, когда имеется два игрока (n = ) и сумма функций выигрыша этих игроков

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР

МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР К Л Самаров, 009 ООО «Резольвента», 009 ООО «Резольвента»,

Подробнее

ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ИГР С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ

ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ИГР С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая и прикладная математика» П. С. Гончарь Л. Э. Гончарь Д. С. Завалищин ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ

Подробнее

Л.И. Сантылова, А.Б. Зинченко

Л.И. Сантылова, А.Б. Зинченко Федеральное агентство по образованию Российской Федерации ГОУВПО «Ростовский государственный университет» ЛИ Сантылова, АБ Зинченко ИГРОВЫЕ МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ (методические указания для студентов

Подробнее

Часть II Модели оптимального управления в экономике. 7. Теория игр и игровое моделирование в экономике

Часть II Модели оптимального управления в экономике. 7. Теория игр и игровое моделирование в экономике Часть II Модели оптимального управления в экономике К содержанию 7 Теория игр и игровое моделирование в экономике 7 Основные понятия теории игр Теория игр это раздел математики, в котором исследуются математические

Подробнее

Введение в матричные игры

Введение в матричные игры Введение в матричные игры Предметом исследований в теории игр являются модели и методы принятия решений в ситуациях, где участвуют несколько сторон (игроков). Цели игроков различны, часто противоположны.

Подробнее

2.2. Смешанные стратегии

2.2. Смешанные стратегии 1 2.2. Смешанные стратегии Если в игре нет седловой точки в чистых стратегиях, то можно найти нижнюю и верхнюю чистые цены этой игры, которые указывают, что игрок 1 не должен надеяться на выигрыш больший,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы.

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. Основные результаты Лекции 4. 1) Любое подпространство V k F n 2 размерности k задается некоторой системой из n k

Подробнее

Методы оптимальных решений Контрольная с решением

Методы оптимальных решений Контрольная с решением Методы оптимальных решений Контрольная с решением Задача 1 Составить математическую модель задачи и решить ее двумя способами: симплексметодом и графически. Для полученной задачи составить двойственную,

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Некоторые специальные экстремальные задачи Дискретная транспортная задача (задача Монжа-Канторовича)

Подробнее

Задание 1. Найти оптимальные стратегии игры (с седловой точкой): Решение

Задание 1. Найти оптимальные стратегии игры (с седловой точкой): Решение Сделаем ваши задания на отлично. htts://www.matburo.ru/sub_subect.h?ti Теория игр Матричные игры. Игры с природой Задание Найти оптимальные стратегии игры (с седловой точкой): Решение ma min a i } min

Подробнее

Математические модели в экономике Теория игр Контрольная работа

Математические модели в экономике Теория игр Контрольная работа Математические модели в экономике Теория игр Контрольная работа Задача. Используя теорию игр проанализировать ситуацию и принять решение. Рассмотреть ситуацию, как антогонистическую игру и игру с природой.

Подробнее

Лекция 3. Решение игр в смешанных стратегиях.

Лекция 3. Решение игр в смешанных стратегиях. Лекция 3. Решение игр в смешанных стратегиях. 18.09.2014 1 3.1 Нахождение смешанных стратегий в играх 2 2 3.2 Упрощение матричных игр 3.3 Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2xn и mx2 2 Аналитический

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4. Решение и геометрическая интерпретация игровых моделей размера 2 x 2, 2 x n, m x 2

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4. Решение и геометрическая интерпретация игровых моделей размера 2 x 2, 2 x n, m x 2 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА Решение и геометрическая интерпретация игровых моделей размера x x n m x В решении игр используется следующая теорема: если один из игроков применяет свою оптимальную смешанную стратегию

Подробнее

Âåñòíèê Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêîíîìè åñêîãî óíèâåðñèòåòà ¹ 1 (63)

Âåñòíèê Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêîíîìè åñêîãî óíèâåðñèòåòà ¹ 1 (63) УДК 0 Âåñòíèê Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêîíîìè åñêîãî óíèâåðñèòåòà 00 ¹ (6) ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ РЕШЕНИЙ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ И ПРИНЦИПА ДОМИНИРОВАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 00 АИ Чегодаев Ключевые слова:

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ МАТРИЧНЫХ ИГР, ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К ПЛАНИРОВАНИЮ ВОЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ МАТРИЧНЫХ ИГР, ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К ПЛАНИРОВАНИЮ ВОЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ Ýêîíîìèêà УДК 5985 ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ МАТРИЧНЫХ ИГР ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К ПЛАНИРОВАНИЮ ВОЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 00 АИ Чегодаев* Ключевые слова: чистые

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР. Вопросы для самостоятельного изучения дисциплины

ТЕОРИЯ ИГР. Вопросы для самостоятельного изучения дисциплины Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет» Институт экономики и управления Кафедра Информационных технологий и моделирования

Подробнее

Г.Л. Нохрина. ТЕОРИЯ ИГР Контрольные материалы для специальности по всем формам обучения

Г.Л. Нохрина. ТЕОРИЯ ИГР Контрольные материалы для специальности по всем формам обучения Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет» Институт экономики и управления Кафедра Информационных технологий и моделирования

Подробнее

БЕСКОАЛИЦИОННЫЕ ИГРЫ В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ

БЕСКОАЛИЦИОННЫЕ ИГРЫ В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет К В ГРИГОРЬЕВА БЕСКОАЛИЦИОННЫЕ ИГРЫ В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ Часть Учебное пособие Санкт-Петербург

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

Основные и самые популярные методы решения матричных игр ограничены в возможностях и применимы только для игр с матрицей выигрышей размерности

Основные и самые популярные методы решения матричных игр ограничены в возможностях и применимы только для игр с матрицей выигрышей размерности РЕШЕНИЕ ИГРЫ m х n МЕТОДОМ ШЕПЛИ-СНОУ Мардашкина А.А. Финансовый университет при Правительстве РФ г. Москва Научный руководитель к.ф-м.н., проф. Лабскер Л. Г. На практике часто приходится сталкиваться

Подробнее

Пример из лекции. Торговец на сумму 250 у.е. может закупить зонтики по цене 0,5 у.е. за штуку и солнечные очки по цене 0,2 у.е. за штуку.

Пример из лекции. Торговец на сумму 250 у.е. может закупить зонтики по цене 0,5 у.е. за штуку и солнечные очки по цене 0,2 у.е. за штуку. торговец Пример из лекции Торговец на сумму у.е. может закупить зонтики по цене у.е. за штуку и солнечные очки по цене у.е. за штуку. Он продает зонтики по у.е. за штуку очки по у.е. за штуку. Если идет

Подробнее

Инвестиционная политика

Инвестиционная политика УДК 336.051 ФОРМИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ СТРАТЕГИЙ ИНВЕСТОРА НА РОССИЙСКОМ ФОНДОВОМ РЫНКЕ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ИГР Н. А. КЛИТИНА, ассистент кафедры фундаментальной и прикладной математики E-mal: kltnanna@yandex.

Подробнее

Метод возможных направлений в задачах нелинейного программирования для биматричных игр

Метод возможных направлений в задачах нелинейного программирования для биматричных игр КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ 202 Т. 4 3 С. 475 482 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ УДК: 59.833 Метод возможных направлений в задачах нелинейного программирования для

Подробнее

Бесконечные антагонистические игры Равновесие по Нэшу

Бесконечные антагонистические игры Равновесие по Нэшу Бесконечные антагонистические игры Равновесие по Нэшу Илья Кацев 1 1 Санкт-Петербургский экономико-математический институт РАН 2015 Конечное число стратегий Конечное число стратегий оптимальные стратегии

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 «ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В СРЕДЕ SCILAB»

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 «ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В СРЕДЕ SCILAB» ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА «ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В СРЕДЕ SCILAB». Введение Sclb - это система компьютерной математики, которая предназначена выполнения инженерных и научных вычислений, включающих в себя задачи принятия

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФИЛИАЛ ФГБОУ ВО «ВЛАДИВОСТОКСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА» В Г. НАХОДКЕ КАФЕДРА МЕНЕДЖМЕНТА И ЭКОНОМИКИ ТЕОРИЯ ИГР Рабочая

Подробнее

Методы теории игр в задачах принятия решений

Методы теории игр в задачах принятия решений «Оптимизация и математические методы принятия решений» ст. преп. каф. СС и ПД Владимиров Сергей Александрович Лекция 11 Методы теории игр в задачах принятия решений Введение Учебные вопросы: С О Д Е Р

Подробнее

определяется матрицей A.

определяется матрицей A. Задание.Мебельная фабрика планирует выпуск двух видов продукции А и Б. Спрос на продукцию не определен, однако можно предполагать, что он может принимать одно из трех состояний (I, II и III). В зависимости

Подробнее

Симплекс-метод решения задачи линейного программирования

Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Симплекс-метод решения задачи линейного программирования. Эквивалентные формулировки задачи линейного программирования. Формулировка задачи линейного программирования. Напомним, что математически задача

Подробнее

Двойственность в линейном программировании

Двойственность в линейном программировании Двойственность в линейном программировании Двойственными называются пары следующих задач: z b b, k k,, r r, w, k k, b, r r, Принципы составления двойственных задач: Если исходная задача на максимум, то

Подробнее

Тест по дисциплине «Исследование операций и методы оптимизаций» Шарина М.В.

Тест по дисциплине «Исследование операций и методы оптимизаций» Шарина М.В. Тест по дисциплине «Исследование операций и методы оптимизаций» 2013-2014 Шарина М.В. 1. Если платежные матрицы двух игр с одинаковым числом ходов для каждого игрока инвариантны относительно линейного

Подробнее

РЕШЕНИЕ ИГРЫ МЕТОДОМ ШЕПЛИ-СНОУ Галеев Р.Р. Финансовый университет при Правительстве РФ Москва, Россия

РЕШЕНИЕ ИГРЫ МЕТОДОМ ШЕПЛИ-СНОУ Галеев Р.Р. Финансовый университет при Правительстве РФ Москва, Россия РЕШЕНИЕ ИГРЫ МЕТОДОМ ШЕПЛИ-СНОУ Галеев Р.Р. Финансовый университет при Правительстве РФ Москва, Россия SOLUTION OF THE GAME BY SHAPLEY-SNOW Gleev R.R. Fcl uversty by The Govermet of the Russ Federto Moscow,

Подробнее

ИГРЫ С ПРИРОДОЙ Учебно-методическое пособие для студентов экономических специальностей

ИГРЫ С ПРИРОДОЙ Учебно-методическое пособие для студентов экономических специальностей Министерство сельского хозяйства РФ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мичуринский государственный аграрный университет» Кафедра математического

Подробнее

Решенная контрольная работа по МОР

Решенная контрольная работа по МОР Решенная контрольная работа по МОР. Построить симплексную таблицу ЗЛП Q = x 3x x 3 max при ограничениях: 3x + x x3 3 x 3x + x3 = x + x + 3x3 x 0; x 0; x 0. Решение Приводим задачу к каноническому виду.

Подробнее

ОБУЧАЮЩИЙ ТЕСТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

ОБУЧАЮЩИЙ ТЕСТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Т.А. Капитонова ОБУЧАЮЩИЙ ТЕСТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» для студентов, обучающихся по специальности 64 Таможенное дело очной формы обучения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное

Подробнее

2.4. Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2х2

2.4. Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2х2 2.4. Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2х2 1 Аналитический метод Графический метод Аналитический метод решения игры 2х2 2 A 1) оптимальное решение в смешанных стратегиях: S A = p 1, p 2 и S

Подробнее

Антагонистические игры. Решение конфликта: кто кого победит? Смешанное расширение бескоалиционных игр

Антагонистические игры. Решение конфликта: кто кого победит? Смешанное расширение бескоалиционных игр ы. е. ах Антагонистические ы. Решение конфликта: кто кого победит? Смешанное расширение Кичмаренко О.Д. Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова ы. Определение ы. е. ах Игра Γ =< I, {X i

Подробнее

или A (3) x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + +x 4 + x 5 = 0 x 5 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0

или A (3) x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + +x 4 + x 5 = 0 x 5 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 ЛЕКЦИЯ 6. Метод ГАУССА и ДВОЙСТВЕННЫЙ БАЗИС. В этой лекции мы опишем алгоритм решения систем линейных уравнений, позволяющий найти и двойственный базис для любого базиса пространства F n 2. В Лекциях 7

Подробнее

Кафедра автоматизации обработки информации (АОИ)

Кафедра автоматизации обработки информации (АОИ) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ

Подробнее

МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. В. Н. Малозёмов. 14 апреля 2016 г.

МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. В. Н. Малозёмов. 14 апреля 2016 г. МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 14 апреля 2016 г. Аннотация. В докладе матричные игры анализируются с точки зрения линейного программирования. Приведены два

Подробнее

Портфолио arcadynovosyolov: игры и решения

Портфолио arcadynovosyolov: игры и решения Портфолио arcadynovosyolov: игры и решения ОГЛАВЛЕНИЕ Типовые задачи... 2 Игры и решения... 2 Матричные игры... 2 Более сложные задачи... 7 Игры и решения... 7 Парето-оптимальное решение... 7 ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ

Подробнее

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ ИТЕРАТИВНЫЙ МЕТОД ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИММЕТРИЧНЫХ МАТРИЧНЫХ ИГР

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ ИТЕРАТИВНЫЙ МЕТОД ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИММЕТРИЧНЫХ МАТРИЧНЫХ ИГР МОДИФИЦИРОВАННЫЙ ИТЕРАТИВНЫЙ МЕТОД ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИММЕТРИЧНЫХ МАТРИЧНЫХ ИГР А.В. Баркалов, Е.С. Гвоздева Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского Матричные игры Игрой называется математическая

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 1 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок Распространенность в

Подробнее

U+V. Для любых u U и v V существуют a 1,..., a k, b 1,..., b m F 2 такие, что

U+V. Для любых u U и v V существуют a 1,..., a k, b 1,..., b m F 2 такие, что ЛЕКЦИЯ 2. Операции с подпространствами, число базисов число базисов и число подпространств размерности k. Основные результаты Лекции 2. 1) U V, U + V, dim(u + V ). 2) Подсчет числа плоскостей в F 4 2.

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Рыбинская государственная авиационная технологическая академия имени П.А.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Рыбинская государственная авиационная технологическая академия имени П.А. Министерство образования и науки Российской Федерации Рыбинская государственная авиационная технологическая академия имени П.А. Соловьева Кафедра МПО ЭВС УТВЕРЖДАЮ Декан факультета РЭИ А.И.Дворсон РАБОЧАЯ

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА В ВОЕННОМ ДЕЛЕ Попкович А. С. руководитель: Шевелева И. В. к.ф.-м.н., доцент СФУ МАОУ Лицей 6 "Перспектива"

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА В ВОЕННОМ ДЕЛЕ Попкович А. С. руководитель: Шевелева И. В. к.ф.-м.н., доцент СФУ МАОУ Лицей 6 Перспектива УДК 519.8 ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА В ВОЕННОМ ДЕЛЕ Попкович А. С. руководитель: Шевелева И. В. к.ф.-м.н., доцент СФУ МАОУ Лицей 6 "Перспектива" Введение Война является ярчайшем проявлением одного из наиболее

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ По выполнению контрольных работ По дисциплине «Теория игр» Для студентов заочного отделения специальности «Прикладная информатика в экономике» Хабаровск Задачи теории игр Если имеется

Подробнее

«Юго-Западный государственный университет» (ЮЗГУ) Кафедра конструирования и технологии электронновычислительных

«Юго-Западный государственный университет» (ЮЗГУ) Кафедра конструирования и технологии электронновычислительных «Юго-Западный государственный университет» ЮЗГУ) Кафедра конструирования и технологии электронновычислительных средств МЕТОДЫ УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ Методические указания по выполнению лабораторной работы

Подробнее

Методы принятия управленческих решений в условиях конфликта

Методы принятия управленческих решений в условиях конфликта Лекция Методы принятия управленческих решений в условиях конфликта ЮТИ ТПУ Кафедра информационных систем Направление 09.04.03 Прикладная информатика 2016 1 Основные понятия Пусть соперником при ПР является

Подробнее

Лекция 17 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ.

Лекция 17 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ. Лекция 7 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ.. ОПРЕДЕЛЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОЙ АНТАГОНИСТИЧЕСКОЙ ИГРЫ Естественным обобщением матричных игр являются бесконечные антагонистические игры (БАИ), в которых хотя бы один

Подробнее

12.1. Игра в форме характеристической функции

12.1. Игра в форме характеристической функции Тема 12. Кооперативное поведение Цель: познакомить читателя с понятием кооперативной игры, дать определение основных элементов игры в форме характеристической функции, дать представление об основных принципах

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи. Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок. Распространенность в

Подробнее

Программа дисциплины

Программа дисциплины МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное учреждение высшего профессионального образования "Казанский (Приволжский) федеральный университет" Высшая школа

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР. Федеральное агентство по образованию. Рыбинская государственная авиационная. технологическая академия им. П. А.

ТЕОРИЯ ИГР. Федеральное агентство по образованию. Рыбинская государственная авиационная. технологическая академия им. П. А. Федеральное агентство по образованию Рыбинская государственная авиационная технологическая академия им. П. А. Соловьева ЗАОЧНАЯ ФОРМА ОБУЧЕНИЯ ТЕОРИЯ ИГР Программа учебной дисциплины и методические указания

Подробнее

Министерство Образования Российской Федерации ЮЖНО-РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА (ЮРГУЭС) Саакян Г.Р.

Министерство Образования Российской Федерации ЮЖНО-РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА (ЮРГУЭС) Саакян Г.Р. Министерство Образования Российской Федерации ЮЖНО-РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА (ЮРГУЭС) Саакян ГР ЛЕКЦИИ ТЕОРИЯ ИГР для студентов экономических специальностей очной заочной

Подробнее

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных).

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных). Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных. Зададим некоторое начальное приближение [,b] и линеаризуем функцию f( в окрестности с помощью отрезка ряда Тейлора f( = f( + f '( ( -. (5 Вместо уравнения ( решим

Подробнее

Ширшова Е., Лыкова Н.П. ГОУ ВПО «Российский государственный гуманитарный университет» ТЕОРИЯ ИГР КАК ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД

Ширшова Е., Лыкова Н.П. ГОУ ВПО «Российский государственный гуманитарный университет» ТЕОРИЯ ИГР КАК ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД Ширшова Е., Лыкова Н.П. ГОУ ВПО «Российский государственный гуманитарный университет» Филиал в г. Самаре ТЕОРИЯ ИГР КАК ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД Теория игр (theory of games), раздел математики, изучающий

Подробнее

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j Симплекс метод Рассмотрим следующую задачу линейного программирования: Задача 1. max(c, x), Ax = b, (1) x Здесь линейный оператор A действует из R n в R m, c R n, b R m. Считаем что m < n, и ранг матрицы

Подробнее

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Исследование операций Определение Операция - мероприятие, направленное на достижение некоторой цели, допускающее несколько возможностей и их управление Определение Исследование операций совокупность математических

Подробнее

Ýêîíîìèêà О МОДЕЛИРОВАНИИ КОНФЛИКТА МАТРИЧНОЙ ИГРОЙ И ПРИМЕНЕНИИ СВОЙСТВ ЕЕ РЕШЕНИЙ К ПРИКЛАДНЫМ ЗАДАЧАМ ЭКОНОМИКИ И ВОЕННОГО ДЕЛА

Ýêîíîìèêà О МОДЕЛИРОВАНИИ КОНФЛИКТА МАТРИЧНОЙ ИГРОЙ И ПРИМЕНЕНИИ СВОЙСТВ ЕЕ РЕШЕНИЙ К ПРИКЛАДНЫМ ЗАДАЧАМ ЭКОНОМИКИ И ВОЕННОГО ДЕЛА Ýêîíîìèêà УДК 0 О МОДЕЛИРОВАНИИ КОНФЛИКТА МАТРИЧНОЙ ИГРОЙ И ПРИМЕНЕНИИ СВОЙСТВ ЕЕ РЕШЕНИЙ К ПРИКЛАДНЫМ ЗАДАЧАМ ЭКОНОМИКИ И ВОЕННОГО ДЕЛА 009 АИ Чегодаев Ключевые слова: антагонистическая игра множество

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Издательство ТГТУ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Издательство ТГТУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Издательство ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО "Тамбовский государственный технический университет" ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов

Подробнее

Тема 1. Определители. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

Тема 1. Определители. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера Тема. Определители. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера При умножении определителя на число на это число умножаются все элементы определителя первые две строки все элементы какой-нибудь

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

5. Дележи в кооперативных играх

5. Дележи в кооперативных играх 1 5. Дележи в кооперативных играх 1. Связь стратегических и кооперативных игр. Напомним, что стратегическая игра представляет собой тройку N, {S i }, {u i : S N } ), где N множество игроков, S i множество

Подробнее

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ИГР И ИССЛЕДОВАНИЮ ОПЕРАЦИЙ

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ИГР И ИССЛЕДОВАНИЮ ОПЕРАЦИЙ Саратовский государственный университет им. Н.Г.Чернышевского И.А. Кузнецова, Н.В. Сергеева РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ИГР И ИССЛЕДОВАНИЮ ОПЕРАЦИЙ Учебно-методическое пособие для студентов механико-математического

Подробнее

Введение. 1. Задача линейного программирования. Основные понятия

Введение. 1. Задача линейного программирования. Основные понятия Введение Данные методические указания адресованы студентам заочной формы обучения всех специальностей, которые будут выполнять контрольную работу т 4 по высшей математике, и охватывают раздел математического

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ГОУВПО «МАРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Институт экономики, управления и финансов Т.Н.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ГОУВПО «МАРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Институт экономики, управления и финансов Т.Н. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ГОУВПО «МАРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Институт экономики, управления и финансов Н.С. САДОВИН Т.Н. САДОВИНА ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИГР Допущено Советом Учебно-методического

Подробнее

Блочная задача линейного программирования. Метод декомпозиции Данцинга-Вульфа Орлов Г.В. Научный руководитель: Турундаевский В.Б.

Блочная задача линейного программирования. Метод декомпозиции Данцинга-Вульфа Орлов Г.В. Научный руководитель: Турундаевский В.Б. Блочная задача линейного программирования. Метод декомпозиции Данцинга-Вульфа Орлов Г.В. Научный руководитель: Турундаевский В.Б. Block linear programming problem. Decomposition method Dantsinga-Wolf Orlov

Подробнее

5, 4 1, 1 0, 0 4, 5. Лекция 14. Матричные игры -1- стратегии второго игрока (жена) футбол. стратегии первого игрока (мужа) театр

5, 4 1, 1 0, 0 4, 5. Лекция 14. Матричные игры -1- стратегии второго игрока (жена) футбол. стратегии первого игрока (мужа) театр Введение в матричные игры «Семейный спор» Муж и жена решают куда пойти в субботу вечером на футбол или в театр. Им небезразлично куда пойдет другой но всё-таки каждому больше хотелось бы пойти на что-то

Подробнее

Игровая задача распределения ресурсов

Игровая задача распределения ресурсов Игровая задача распределения ресурсов Славнова Алена Вячеславовна Аннотация В основе данной работы лежит непрерывная задача, предложенная в одной из работ Э.Г. Давыдова, исследуется и решается ее дискретный

Подробнее

И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Бесконечные антагонистические игры / 20

И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Бесконечные антагонистические игры / 20 Домашнее задание 2 Оптимальные стратегии (x, y ) называются вполне смешанными, если x i > 0, y j > 0 для всех i, j Игра, у которой любые оптимальные стратегии игроков вполне смешанные, называется вполне

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Тема: Системы линейных уравнений Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого

Подробнее

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных)

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две системы называются эквивалентными (равносильными) если их решения совпадают. К эквивалентной системе можно перейти с помощью элементарных преобразований

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР. Курс лекций

ТЕОРИЯ ИГР. Курс лекций Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет» Институт экономики и управления Кафедра Информационных технологий и моделирования

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Лабораторная работа 2. Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции

Лабораторная работа 2. Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции Лабораторная работа Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции Постановка задачи: Требуется найти безусловный минимум функции одной переменной (

Подробнее