ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР. Задачи выбора в условиях неопределенности

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР. Задачи выбора в условиях неопределенности"

Транскрипт

1 ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР Задачи выбора в условиях неопределенности Имеется набор возможных исходов y Y, из которых один окажется совмещенным с выбранной альтернативой, но с какой именно в момент выбора неизвестно, но станет ясно только тогда, когда выбор уже сделан, и ничего изменить нельзя. Хотя с разной альтернативой x X связано одно и то же множество исходов Y, для разных альтернатив разные исходы имеют неодинаковое значение. Задание неопределенности с помощью матрицы В случае дискретного набора альтернатив и исходов описанную выше ситуацию можно представить в виде матрицы X, Y y 1 y 2 y 3 y y m x 1 a 11 a 12 a 13 a 1 a 1m x 2 a 21 a 22 a 23 a 2 a 2m x a 1 a 2 a 3 a a m x a 1 a 2 a 3 a a m Вектор y = (y 1,. y m ) это все возможные исходы. Числа a выражают оценку ситуации, когда сделан выбор альтернативы х и реализовался исход y. В разных случаях числа a могут иметь различный смысл ( выигрыш, потери, платеж ). Возможны два варианта: 1) все строки a = (a 1,. a m ) (т.е. мы видим, это тоже вектор) одинаковы и проблемы выбора между альтернативами нет; 2) строки различны, следовательно, возникает проблема выбора альтернативы. В случае непрерывных множеств X и Y ситуация описывается аналогично с помощью задаваемых на этих множествах функциях a (x,y), x X, y Y. 1

2 Основные определения и теоремы теории игр Теория игр относится к разделу прикладной математики исследующей математические модели принятия решений в условиях конфликта, противоречий и неопределенности. Задачей теории игр является нахождение оптимальной стратегии поведения в условиях конфликта, неопределенности или противодействия какой то стороны в этой ситуации независимо от того сознательно или неосознанно это происходит. Конфликт - это противоречие, вызванное противоположными интересами сторон. Конфликтная ситуация - ситуация в которой участвуют стороны интересы которых полностью или частично противоположны. Игра - это действительный или формальный конфликт, в котором имеется по крайней мере два участника, каждый из которых стремится к достижению собственных целей Правилами игры называют допустимые действия каждого из игроков, направленные на достижение некоторой цели. Платежом называется количественная оценка результатов игры. Парная игра игра, в которой участвуют только две стороны (два игрока). Игра с нулевой суммой или антагонистическая - парная игра, при которой сумма платежа равна нулю, т. е. если проигрыш одного игрока, равен выигрышу другого. В этом случае для полного задания игры достаточно указать одну из величин. Если, например, a выигрыш одного из игроков, b - выигрыш другого, то для игры с нулевой суммой b = -a, поэтому достаточно рассматривать, например, a. Мы будем рассматривать парные игры с нулевой суммой. Выбор и осуществление одного из действий, предусмотренных правилами, называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными. Личный ход это сознательный выбор игроком одного из возможных действий (например, ход в шахматной игре). Случайный ход это случайно выбранное действие (например, выбор карты из перетасованной колоды). В дальнейшем мы будем рассматривать только личные ходы игроков. Стратегия игрока - это однозначный выбор игрока в каждой из возможных ситуаций, когда этот игрок должен сделать личный ход. 2

3 Оптимальная стратегия - это такая стратегия игрока, которая при многократном повторении игры обеспечивает ему максимально возможный средний выигрыш или минимально возможный средний проигрыш. Таким образом, предмет теории игр составляют методы отыскания оптимальных стратегий игроков. При выборе оптимальной стратегии естественно предполагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов. Важнейшее ограничение теории игр - единственность выигрыша как показателя эффективности, в то время как в большинстве реальных задач имеется более одного показателя эффективности. Кроме того, как правило, имеют место задачи, в которых интересы партнеров не обязательно антагонистические. Однако решение игр при наличии многих участников, имеющих непротиворечивые интересы, - это гораздо более сложная задача. Пусть мы имеем парную игру с нулевой суммой, один игрок может выбрать при данном ходе -ю стратегию из m своих возможных (=1..m), а второй, не зная выбора первого -ю стратегию из своих возможных стратегий (=1..). В результате первый игрок выигрывает величину a, а второй проигрывает эту величину. Из этих величин составим матрицу A. A ( a ) a11 a12 a1 a21 a22 a2 a a a m1 m2 m Платежная матрица полученная матрица A или, иначе, матрица игры. Платежную матрицу также часто представляют в виде таблицы. Таблица. Общий вид платежной матрицы B1 B2... B A1 a11 a12... A1 A2 a21 a22... A Am am am... Am 1 2 Строки матрицы А соответствуют стратегиям первого игрока, а столбцы стратегиям второго. 3

4 Эти стратегии называются чистыми. Конечной игрой размерности (m ) называется игра, определенная матрицей А, имеющей m строк и столбцов. Максимином или нижней ценой игры назовем число max(m a ), а соответствующая ему стратегия (строка) максиминной. Минимаксом или верхней ценой игры назовем число m(max a ), а соответствующая ему стратегия (столбец) минимаксной. Теорема 1. Нижняя цена игры всегда не превосходит верхнюю цену игры. Игрой с седловой точкой называется игра для которой. Ценой игры называется величина, если. В случае игры с седловой точкой, игрокам выгодно придерживаться максиминной и минимаксной стратегий и не выгодно отклонятся от них. В таких случаях про игру говорят, что в ней имеет место равновесие в чистых стратегиях. Возможна игра и с несколькими седловыми точками. Тогда игра имеет несколько оптимальных решений, но с одинаковой ценой игры. Чаще встречаются матричные игры без седловой точки, когда и тогда для нахождения её решения используются смешанные стратегии. Смешанной стратегией игрока называется вектор, каждая из компонент которого показывает относительную частоту использования игроком соответствующей чистой стратегии. Теорема 2. Основная теорема теории матричных игр. Всякая матричная игра с нулевой суммой имеет решение в смешанных стратегиях. Теорема 3. Если один из игроков применяет оптимальную смешанную стратегию, то его выигрыш равен цене игры в не зависимости от того, с какими частотами будет применять второй игрок свои стратегии (в том числе и чистые стратегии). 4

5 Примеры решения задач при парной игре с нулевой суммой Пример. Найти решение игры, заданной матрицей А 2 4 А= 3 6. Решение. Прежде всего проверим наличие седловой точки в данной матрице. Для этого найдем нижнюю и верхнюю цену игры. Минимальные элементы по строкам равны (2 и 3) тогда нижняя цена игры = max (2; 3) = 3. Максимальные элементы по столбцам равны (3 и 6) тогда верхняя цена игры = m (3; 6) = 3. Отсюда видно, что = =3 и мы имеем седловую точку a 21.= 3, т.е. задача имеет решение в чистых стратегиях. Оптимальные чистые стратегии для первого и второго игроков равны соответственно U = (0; 1), Z = (1; 0), а цена игры = 3. Пример. Найти решение игры, заданной матрицей А 4 2 А= 3 6. Решение. Прежде всего проверим наличие седловой точки в данной матрице. Для этого найдем нижнюю и верхнюю цену игры. Минимальные элементы по строкам равны (2 и 3) тогда нижняя цена игры = max (2; 3) = 3. Максимальные элементы по столбцам равны (4 и 6) тогда верхняя цена игры = m (4; 6) = 4. Отсюда видно, что и мы имеем игру, которая имеет решение в смешанных стратегиях, а цена игры. Предположим, что для первого игрока смешанная стратегия задается вектором U = (u 1 ; u 2 ). Первый игрок, если придерживается своей оптимальной стратегии, независимо от стратегии второго игрока получает цену игры, т.е. 4u 1 + 3u 2 = (1) 2u 1 + 6u 2 =. Кроме этого относительные частоты связаны условием: 5

6 u 1 + u 2 = 1. Решаем полученную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Получим оптимальную стратегию первого игрока и цену игры: U = ( u 1 ; u 2 ) = (3/5; 2/5), = 18/5. Составим уравнения для нахождения оптимальной стратегии второго игрока, если при любой чистой стратегии первого, второй проигрывает цену игры: 4z 1 + 2z 2 = = 18/5 (2) 3z 1 + 6z 2 = = 18/5. Решаем полученную систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Получим оптимальную стратегию второго игрока: Z = ( z 1 ; z 2 ) = (4/5; 1/5). Рассмотрим геометрическую интерпретацию этой задачи в смешанных стратегиях. Для этого в плоскости введем систему координат и на горизонтальной оси Ou отложим вероятность применения первым игроком его двух стратегий, сумма этих вероятностей равна 1, поэтому весь график расположится на отрезке единичной длины. В точках 0 стратегия (1; 0), а в 1 стратегия (0; 1). 6 4 M 3 2 u 2 = 1-u 1 u 1 0 2/5 1 6

7 Рисунок 1. По оси ординат в точке 0 отложим выигрыши первого игрока по первой его стратегии при обеих стратегиях второго, а в точке 1 при второй стратегии первого игрока. Соединим эти платежи по столбцам, тогда пересечение прямых дадут решение системы уравнений (1), а ордината этой точки цену игры. Аналогично можно построить график для нахождения оптимальной стратегии второго игрока. Понятие об игре с «природой» Неопределенность в ситуации принятия решения далеко не всегда связана с сознательным противодействием партнера. Часто бывает, что мы не располагаем точной информацией о поведение партнера и это вызывает неопределенность в игре с ним. В таких случаях данная матричная игра называется игрой с природой. В этих условиях игроку (лицу принимающему решение) казалось бы легче найти решение, но даже в условиях отсутствия активного противодействия, его выбор должен быть обоснован. В матричной игре с «природой» ставится задача поиска оптимальной стратегии в условиях риска. Введем четкое математическое определение риска в матричной игре с «природой». Риском r игрока при выборе стратегии А в условиях H называется разность r = b - a, где b - максимальный элемент в - м столбце. Другими словами риск при выборе стратегии А это проигрыш по сравнению с тем случаем, когда игрок знал бы условие при котором он может получить выигрыш b. Пример: Найдем матрицу риска R для следующей матрицы игры А. A= ; R= Рассмотрим наиболее распространенные критерии выбора стратегии при условии неопределенности в матричной игре с «природой». 7

8 Критерий максимального математического ожидания выигрыша. Предположим, что неопределенность состояний природы (доброкачественная ), то есть вероятности состояний P известны, вычислим математическое ожидание выигрыша первого игрока, то есть выбрать стратегию удовлетворяющую условию a = 1 P a max. Следует отметить, что точно та же стратегия соответствует минимальному математическому ожиданию риска r = 1 P r m. Пример: Пусть распределение вероятности состояний природы в последней задаче равны: P(H 1 )=2/5; P(H 2 )=1/5; P(H 3 )=1/5; P(H 4 )=1/5; Тогда a 1 = 13/5; a 2 = 69/5; a 3 = 13; a = max (13/5, 69/5, 13) = 69/5 = 13,8. Следовательно оптимальной по этому критерию является стратегия А 3. Далее рассмотрим критерий минимального математического ожидания риска r 1 = 78/5; r 2 = 22/5; r 3 = 26/5; r = m (78/5, 22/5, 26/5) = 22/5 = 4,4. Критерий Вальда (максиминный). Критерий Вальда совпадает с крайне осторожной максиминной стратегией max(m a ). Критерий минимального риска Севиджа. Критерий рекомендует выбирать стратегию, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной сетуации S m(max r ) Игрок, применяющий критерий Севиджа, также придерживается позиции пессимизма, ориентирующийся на минимально возможный риск 8

9 Критерий Гурвица. Критерий Гурвица соответствует всем промежуточным стратегиям между пессимизмом и крайним оптимизмом. Выигрыш рассчитывается по формуле: T max[ m a ( 1 )max a ], 0 1, J где - коэффициент пессимизма ; чем больше игрок хочет подстраховаться тем большее значение он выбирает. При = 1 критерий Гурвица соответствует критерию крайнего пессимизма, критерию Вальда. 9


Лекции КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР.

Лекции КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР. Лекции 5-6 КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР. Классификацию игр можно проводить: по количеству игроков, количеству стратегий, характеру взаимодействия игроков, характеру выигрыша, количеству ходов, состоянию информации

Подробнее

К теме Теория игр. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая:

К теме Теория игр. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая: К теме Теория игр На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределенности, т.е. возникают ситуации, в которых две (или более) стороны преследуют

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4. Решение и геометрическая интерпретация игровых моделей размера 2 x 2, 2 x n, m x 2

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4. Решение и геометрическая интерпретация игровых моделей размера 2 x 2, 2 x n, m x 2 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА Решение и геометрическая интерпретация игровых моделей размера x x n m x В решении игр используется следующая теорема: если один из игроков применяет свою оптимальную смешанную стратегию

Подробнее

5. Элементы теории матричных игр

5. Элементы теории матричных игр 5 Элементы теории матричных игр a m В теории игр исследуются модели и методы принятия решений в конфликтных ситуациях В рамках теории игр рассматриваются парные игры (с двумя сторонами) или игры многих

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР

МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР К Л Самаров, 009 ООО «Резольвента», 009 ООО «Резольвента»,

Подробнее

Методы принятия управленческих решений в условиях конфликта

Методы принятия управленческих решений в условиях конфликта Лекция Методы принятия управленческих решений в условиях конфликта ЮТИ ТПУ Кафедра информационных систем Направление 09.04.03 Прикладная информатика 2016 1 Основные понятия Пусть соперником при ПР является

Подробнее

Математические модели в экономике Теория игр Контрольная работа

Математические модели в экономике Теория игр Контрольная работа Математические модели в экономике Теория игр Контрольная работа Задача. Используя теорию игр проанализировать ситуацию и принять решение. Рассмотреть ситуацию, как антогонистическую игру и игру с природой.

Подробнее

Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР

Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР В теории игр исследуется процесс принятия решений в конфликтных ситуациях, т. е. в случаях, когда существует несколько сторон с разными интересами. Различают игры

Подробнее

Контрольная работа Теория игр. Оглавление. Задание Задание Задание Задание Задание

Контрольная работа Теория игр. Оглавление. Задание Задание Задание Задание Задание Контрольная работа Теория игр Оглавление Задание Задание 9 Задание 3 4 Задание 4 9 Задание 5 3 Задание Сельскохозяйственное предприятие планирует посеять на площади 000 га одну или две (в равной пропорции)

Подробнее

2.2. Смешанные стратегии

2.2. Смешанные стратегии 1 2.2. Смешанные стратегии Если в игре нет седловой точки в чистых стратегиях, то можно найти нижнюю и верхнюю чистые цены этой игры, которые указывают, что игрок 1 не должен надеяться на выигрыш больший,

Подробнее

2.4. Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2х2

2.4. Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2х2 2.4. Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2х2 1 Аналитический метод Графический метод Аналитический метод решения игры 2х2 2 A 1) оптимальное решение в смешанных стратегиях: S A = p 1, p 2 и S

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР В ЗАДАЧАХ

ТЕОРИЯ ИГР В ЗАДАЧАХ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) М.Л. ОВЕРЧУК ТЕОРИЯ ИГР В ЗАДАЧАХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Лекция 3. Решение игр в смешанных стратегиях.

Лекция 3. Решение игр в смешанных стратегиях. Лекция 3. Решение игр в смешанных стратегиях. 18.09.2014 1 3.1 Нахождение смешанных стратегий в играх 2 2 3.2 Упрощение матричных игр 3.3 Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2xn и mx2 2 Аналитический

Подробнее

Лекция 2. Антагонистические игры.

Лекция 2. Антагонистические игры. Лекция 2. Антагонистические игры. 11.09.2014 1 2.1 Определение антагонистической игры 2.2 Понятие матричной игры 2.3 Выбор оптимальной стратегии в матричной игре 2.4 Ситуация равновесия в матричной игре

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ТЕОРИЯ ИГР ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

Инвестиционная политика

Инвестиционная политика УДК 336.051 ФОРМИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ СТРАТЕГИЙ ИНВЕСТОРА НА РОССИЙСКОМ ФОНДОВОМ РЫНКЕ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ИГР Н. А. КЛИТИНА, ассистент кафедры фундаментальной и прикладной математики E-mal: kltnanna@yandex.

Подробнее

) называется матрицей последствий (возможных решений, выигрышей).

) называется матрицей последствий (возможных решений, выигрышей). Тема 2. Количественные характеристики и схемы оценки рисков в условиях неопределенности Лекция 1 (2 часа) 1. Матрицы последствий и матрицы рисков. 2. Анализ связанной группы решений в условиях полной неопределенности

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР. Вопросы для самостоятельного изучения дисциплины

ТЕОРИЯ ИГР. Вопросы для самостоятельного изучения дисциплины Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет» Институт экономики и управления Кафедра Информационных технологий и моделирования

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 «ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В СРЕДЕ SCILAB»

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 «ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В СРЕДЕ SCILAB» ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА «ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В СРЕДЕ SCILAB». Введение Sclb - это система компьютерной математики, которая предназначена выполнения инженерных и научных вычислений, включающих в себя задачи принятия

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР ТЕОРИЯ ИГР И.В. ПИВОВАРОВА. Пивоварова Ирина Викторовна. Министерство образования и науки Российской Федерации

ТЕОРИЯ ИГР ТЕОРИЯ ИГР И.В. ПИВОВАРОВА. Пивоварова Ирина Викторовна. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Владивостокский государственный университет экономики и сервиса Учебное издание Пивоварова Ирина Викторовна ТЕОРИЯ ИГР Практикум ИВ ПИВОВАРОВА ТЕОРИЯ

Подробнее

Г.Л. Нохрина. ТЕОРИЯ ИГР Контрольные материалы для специальности по всем формам обучения

Г.Л. Нохрина. ТЕОРИЯ ИГР Контрольные материалы для специальности по всем формам обучения Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет» Институт экономики и управления Кафедра Информационных технологий и моделирования

Подробнее

Теория принятия решений

Теория принятия решений Теория принятия решений Литература О.И. Ларичев «Теория и методы принятия решений» А.И. Орлов «Теория принятия решений» А.Т. Зуб «Принятие управленческих решений» А.Г. Мадера «Моделирование и принятие

Подробнее

Задание 1. Найти оптимальные стратегии игры (с седловой точкой): Решение

Задание 1. Найти оптимальные стратегии игры (с седловой точкой): Решение Сделаем ваши задания на отлично. htts://www.matburo.ru/sub_subect.h?ti Теория игр Матричные игры. Игры с природой Задание Найти оптимальные стратегии игры (с седловой точкой): Решение ma min a i } min

Подробнее

О СТРУКТУРЕ МНОЖЕСТВА СМЕШАННЫХ СТРАТЕГИЙ, ОПТИМАЛЬНЫХ ПО КРИТЕРИЮ ПЕССИМИЗМА-ОПТИМИЗМА ГУРВИЦА. Введение

О СТРУКТУРЕ МНОЖЕСТВА СМЕШАННЫХ СТРАТЕГИЙ, ОПТИМАЛЬНЫХ ПО КРИТЕРИЮ ПЕССИМИЗМА-ОПТИМИЗМА ГУРВИЦА. Введение О СТРУКТУРЕ МНОЖЕСТВА СМЕШАННЫХ СТРАТЕГИЙ, ОПТИМАЛЬНЫХ ПО КРИТЕРИЮ ПЕССИМИЗМА-ОПТИМИЗМА ГУРВИЦА Шкуридина Ю.И. Финансовый университет при Правительстве РФ г. Москва Научный руководитель к.ф.-м.н., проф.

Подробнее

Теория игр Решение контрольной работы

Теория игр Решение контрольной работы Теория игр Решение контрольной работы Задача Решить задачу графическим методом Решение Очевидно, матрица не имеет седловой точки, поэтому будем искать решение в смешанных стратегиях Решим задачу графическим

Подробнее

Тема 11. Матричные игры

Тема 11. Матричные игры Тема 11. Матричные игры Цель: познакомить читателя с основными понятиями теории матричных игр: принципом максимина и минимакса, ситуациями равновесия, смешанным расширением игры, выяснить взаимосвязь между

Подробнее

Γ обозначение игры, N = { 1,

Γ обозначение игры, N = { 1, Равновесие по Нэшу. Существование равновесия для конечных игр в нормальной форме.. Понятие игры в нормальной форме... Игры в нормальной форме. Введем понятие игры в нормальной (стратегической) форме. Как

Подробнее

ν = sup inf gu (, u) 2.3. Антагонистические игры. Седловые точки

ν = sup inf gu (, u) 2.3. Антагонистические игры. Седловые точки .3. Антагонистические игры. Седловые точки Антагонистическая игра. Она представляет собой частный случай игры в нормальной форме Г, когда имеется два игрока (n = ) и сумма функций выигрыша этих игроков

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ТЕОРИИ ИГР

ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ТЕОРИИ ИГР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной

Подробнее

ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ИГР С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ

ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ИГР С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая и прикладная математика» П. С. Гончарь Л. Э. Гончарь Д. С. Завалищин ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ

Подробнее

Данный файл получен на сайте

Данный файл получен на сайте Добавить вопрос МАТЕМАТИКА 1 Суммой (объединением) нескольких событий называется 2 Произведением (пересечением) двух событий А и В называется 3 Сколько существует различных пятизначных номеров, в которых

Подробнее

Решенная контрольная работа по МОР

Решенная контрольная работа по МОР Решенная контрольная работа по МОР. Построить симплексную таблицу ЗЛП Q = x 3x x 3 max при ограничениях: 3x + x x3 3 x 3x + x3 = x + x + 3x3 x 0; x 0; x 0. Решение Приводим задачу к каноническому виду.

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР. Федеральное агентство по образованию. Рыбинская государственная авиационная. технологическая академия им. П. А.

ТЕОРИЯ ИГР. Федеральное агентство по образованию. Рыбинская государственная авиационная. технологическая академия им. П. А. Федеральное агентство по образованию Рыбинская государственная авиационная технологическая академия им. П. А. Соловьева ЗАОЧНАЯ ФОРМА ОБУЧЕНИЯ ТЕОРИЯ ИГР Программа учебной дисциплины и методические указания

Подробнее

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения. Кафедра Математики и математических методов в экономике. Направление подготовки 8.0.0

Подробнее

Конечная игра, в которой игрок A имеет m стратегий, а игрок B имеет n стратегий, называется игрой m на n и обозначается.

Конечная игра, в которой игрок A имеет m стратегий, а игрок B имеет n стратегий, называется игрой m на n и обозначается. ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ИГР В ЭКОНОМИКЕ Натёсова А.А., Фирсова Е.В. Коломенский институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Московский политехнический

Подробнее

ПОВЕДЕНИЕ АГЕНТОВ В ОБЛАКЕ ИНТЕРНЕТ-ОБРАЗОВАНИЯ

ПОВЕДЕНИЕ АГЕНТОВ В ОБЛАКЕ ИНТЕРНЕТ-ОБРАЗОВАНИЯ ПОВЕДЕНИЕ АГЕНТОВ В ОБЛАКЕ ИНТЕРНЕТ-ОБРАЗОВАНИЯ Г.С. Курганская Иркутский государственный университет, Облачные технологии стали уже общепринятым инструментом работы в Интернет. В основном, это относится

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Некоторые специальные экстремальные задачи Дискретная транспортная задача (задача Монжа-Канторовича)

Подробнее

Лекция 5. Игры с природой

Лекция 5. Игры с природой Лекция 5. Игры с природой 09.10.2014 1 5.1. Понятие игры с природой 5.2. Принятие решений в условиях неопределенности 2 Как вы думаете, что такое неопределенность и риск в экономике? 3 Неопределенность

Подробнее

Ширшова Е., Лыкова Н.П. ГОУ ВПО «Российский государственный гуманитарный университет» ТЕОРИЯ ИГР КАК ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД

Ширшова Е., Лыкова Н.П. ГОУ ВПО «Российский государственный гуманитарный университет» ТЕОРИЯ ИГР КАК ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД Ширшова Е., Лыкова Н.П. ГОУ ВПО «Российский государственный гуманитарный университет» Филиал в г. Самаре ТЕОРИЯ ИГР КАК ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД Теория игр (theory of games), раздел математики, изучающий

Подробнее

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ ИТЕРАТИВНЫЙ МЕТОД ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИММЕТРИЧНЫХ МАТРИЧНЫХ ИГР

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ ИТЕРАТИВНЫЙ МЕТОД ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИММЕТРИЧНЫХ МАТРИЧНЫХ ИГР МОДИФИЦИРОВАННЫЙ ИТЕРАТИВНЫЙ МЕТОД ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИММЕТРИЧНЫХ МАТРИЧНЫХ ИГР А.В. Баркалов, Е.С. Гвоздева Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского Матричные игры Игрой называется математическая

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ МАТРИЧНЫХ ИГР, ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К ПЛАНИРОВАНИЮ ВОЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ МАТРИЧНЫХ ИГР, ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К ПЛАНИРОВАНИЮ ВОЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ Ýêîíîìèêà УДК 5985 ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ МАТРИЧНЫХ ИГР ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К ПЛАНИРОВАНИЮ ВОЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 00 АИ Чегодаев* Ключевые слова: чистые

Подробнее

АВТОРЕФЕРАТ БАКАЛАВРСКОЙ РАБОТЫ

АВТОРЕФЕРАТ БАКАЛАВРСКОЙ РАБОТЫ Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САРАТОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ По выполнению контрольных работ По дисциплине «Теория игр» Для студентов заочного отделения специальности «Прикладная информатика в экономике» Хабаровск Задачи теории игр Если имеется

Подробнее

Л.И. Сантылова, А.Б. Зинченко

Л.И. Сантылова, А.Б. Зинченко Федеральное агентство по образованию Российской Федерации ГОУВПО «Ростовский государственный университет» ЛИ Сантылова, АБ Зинченко ИГРОВЫЕ МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ (методические указания для студентов

Подробнее

Матричные игры. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова. Кичмаренко О.Д.

Матричные игры. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова. Кичмаренко О.Д. цена. Матричные. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Кичмаренко О.Д. Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова цена. Определение. Матричная игра - это бескоалиционная

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА В ВОЕННОМ ДЕЛЕ Попкович А. С. руководитель: Шевелева И. В. к.ф.-м.н., доцент СФУ МАОУ Лицей 6 "Перспектива"

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА В ВОЕННОМ ДЕЛЕ Попкович А. С. руководитель: Шевелева И. В. к.ф.-м.н., доцент СФУ МАОУ Лицей 6 Перспектива УДК 519.8 ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА В ВОЕННОМ ДЕЛЕ Попкович А. С. руководитель: Шевелева И. В. к.ф.-м.н., доцент СФУ МАОУ Лицей 6 "Перспектива" Введение Война является ярчайшем проявлением одного из наиболее

Подробнее

3.1. Понятие игры с природой 3.2. Принятие решений в условиях неопределенности 3.3. Принятие решений в условиях риска

3.1. Понятие игры с природой 3.2. Принятие решений в условиях неопределенности 3.3. Принятие решений в условиях риска ИГРЫ С ПРИРОДОЙ 1 2 Тема 3: Игры с природой 3.1. Понятие игры с природой 3.2. Принятие решений в условиях неопределенности 3.3. Принятие решений в условиях риска 3.1. Понятие игры с природой 3 Неопределенность

Подробнее

Пермский национальный исследовательский политехнический университет Кафедра математического моделирования систем и процессов Матричные игры

Пермский национальный исследовательский политехнический университет Кафедра математического моделирования систем и процессов Матричные игры Пермский национальный исследовательский политехнический университет Кафедра математического моделирования систем и процессов Матричные игры к.ф.-м.н., доц. Павел Сергеевич Волегов Матричные игры Рассмотрим

Подробнее

Часть II Модели оптимального управления в экономике. 7. Теория игр и игровое моделирование в экономике

Часть II Модели оптимального управления в экономике. 7. Теория игр и игровое моделирование в экономике Часть II Модели оптимального управления в экономике К содержанию 7 Теория игр и игровое моделирование в экономике 7 Основные понятия теории игр Теория игр это раздел математики, в котором исследуются математические

Подробнее

Портфолио arcadynovosyolov: игры и решения

Портфолио arcadynovosyolov: игры и решения Портфолио arcadynovosyolov: игры и решения ОГЛАВЛЕНИЕ Типовые задачи... 2 Игры и решения... 2 Матричные игры... 2 Более сложные задачи... 7 Игры и решения... 7 Парето-оптимальное решение... 7 ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ

Подробнее

ИГРЫ С ПРИРОДОЙ Учебно-методическое пособие для студентов экономических специальностей

ИГРЫ С ПРИРОДОЙ Учебно-методическое пособие для студентов экономических специальностей Министерство сельского хозяйства РФ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мичуринский государственный аграрный университет» Кафедра математического

Подробнее

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство. 79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x)

Подробнее

Введение в матричные игры

Введение в матричные игры Введение в матричные игры Предметом исследований в теории игр являются модели и методы принятия решений в ситуациях, где участвуют несколько сторон (игроков). Цели игроков различны, часто противоположны.

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР 1.1 МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ

ТЕОРИЯ ИГР 1.1 МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ ТЕОРИЯ ИГР 1.1 МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ В экономике и управлении часто встречаются ситуации, в которых сталкиваются две или более стороны, преследующие различные цели, причем результат, полученный каждой из сторон

Подробнее

Методы теории игр в задачах принятия решений

Методы теории игр в задачах принятия решений «Оптимизация и математические методы принятия решений» ст. преп. каф. СС и ПД Владимиров Сергей Александрович Лекция 11 Методы теории игр в задачах принятия решений Введение Учебные вопросы: С О Д Е Р

Подробнее

Министерство Образования Российской Федерации ЮЖНО-РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА (ЮРГУЭС) Саакян Г.Р.

Министерство Образования Российской Федерации ЮЖНО-РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА (ЮРГУЭС) Саакян Г.Р. Министерство Образования Российской Федерации ЮЖНО-РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА (ЮРГУЭС) Саакян ГР ЛЕКЦИИ ТЕОРИЯ ИГР для студентов экономических специальностей очной заочной

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

1. ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ИГР. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

1. ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ИГР. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ . ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ИГР. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ При решении ряда практических задач приходится анализировать ситуации, где налицо две (или более) враждующие стороны, преследующие противоположные цели, причем результат

Подробнее

Âåñòíèê Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêîíîìè åñêîãî óíèâåðñèòåòà ¹ 1 (63)

Âåñòíèê Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêîíîìè åñêîãî óíèâåðñèòåòà ¹ 1 (63) УДК 0 Âåñòíèê Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêîíîìè åñêîãî óíèâåðñèòåòà 00 ¹ (6) ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ РЕШЕНИЙ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ И ПРИНЦИПА ДОМИНИРОВАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 00 АИ Чегодаев Ключевые слова:

Подробнее

5, 4 1, 1 0, 0 4, 5. Лекция 14. Матричные игры -1- стратегии второго игрока (жена) футбол. стратегии первого игрока (мужа) театр

5, 4 1, 1 0, 0 4, 5. Лекция 14. Матричные игры -1- стратегии второго игрока (жена) футбол. стратегии первого игрока (мужа) театр Введение в матричные игры «Семейный спор» Муж и жена решают куда пойти в субботу вечером на футбол или в театр. Им небезразлично куда пойдет другой но всё-таки каждому больше хотелось бы пойти на что-то

Подробнее

Методы оптимальных решений Контрольная с решением

Методы оптимальных решений Контрольная с решением Методы оптимальных решений Контрольная с решением Задача 1 Составить математическую модель задачи и решить ее двумя способами: симплексметодом и графически. Для полученной задачи составить двойственную,

Подробнее

Кафедра математики. Карякина С.В. ТЕОРИЯ ИГР

Кафедра математики. Карякина С.В. ТЕОРИЯ ИГР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР. А.В. Григорьев. Учебное пособие. Томск Издательство ТГАСУ

ТЕОРИЯ ИГР. А.В. Григорьев. Учебное пособие. Томск Издательство ТГАСУ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

Исследование применимости критерия Гермейера относительно рисков в отношении решения вопроса оптимального инвестирования

Исследование применимости критерия Гермейера относительно рисков в отношении решения вопроса оптимального инвестирования Исследование применимости критерия Гермейера относительно рисков в отношении решения вопроса оптимального инвестирования Семяшкин Ефим Григорьевич, студент 4-го курса Финансового университета при правительстве

Подробнее

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Указатель терминов. Абсолютная пропускная способность - это среднее число заявок, обслуживаемых

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Указатель терминов. Абсолютная пропускная способность - это среднее число заявок, обслуживаемых 113 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Искусство экономико-математического моделирования состоит в выполнении двух противоречивых между собой требований: с одной стороны, заменить сложный экономический объект его математической

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ГОУВПО «МАРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Институт экономики, управления и финансов Т.Н.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ГОУВПО «МАРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Институт экономики, управления и финансов Т.Н. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ГОУВПО «МАРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Институт экономики, управления и финансов Н.С. САДОВИН Т.Н. САДОВИНА ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИГР Допущено Советом Учебно-методического

Подробнее

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой в пространстве Уравнение прямой в пространстве 1 Прямая как пересечение двух плоскостей. Система двух линейных уравнений с тремя неизвестными. Прямую в пространстве можно задать как пересечение двух плоскостей. Пусть

Подробнее

ОБУЧАЮЩИЙ ТЕСТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

ОБУЧАЮЩИЙ ТЕСТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Т.А. Капитонова ОБУЧАЮЩИЙ ТЕСТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» для студентов, обучающихся по специальности 64 Таможенное дело очной формы обучения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. Г. Д. Гефан ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. Г. Д. Гефан ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Г. Д. Гефан ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР Учебное пособие для студентов заочного отделения специальностей Б,

Подробнее

А.В. Костромин ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА. Учебно-практическое пособие.

А.В. Костромин ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА. Учебно-практическое пособие. ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА А.В. Костромин Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА Учебно-практическое пособие IV семестр Рекомендовано экспертным советом по дистанционному образованию Института

Подробнее

Теорема об ожидаемой полезности и антагонистические игры. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры / 31

Теорема об ожидаемой полезности и антагонистические игры. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры / 31 Теорема об ожидаемой полезности и антагонистические игры ИВКацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры 2013 1 / 31 Пример Рассмотрим игру, похожую на покер В данный момент есть две возможности

Подробнее

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Лекция 6: Система координат. Координаты точки Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

определяется матрицей A.

определяется матрицей A. Задание.Мебельная фабрика планирует выпуск двух видов продукции А и Б. Спрос на продукцию не определен, однако можно предполагать, что он может принимать одно из трех состояний (I, II и III). В зависимости

Подробнее

2. Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин

2. Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет». Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

1 ТЕМА 6: ТЕОРИЯ ИГР

1 ТЕМА 6: ТЕОРИЯ ИГР 1 ТЕМА 6: ТЕОРИЯ ИГР 2 Рекомендуемая литература: 1. Петросян Л. А. Теория игр. 2-е изд. СПб. : БХВ- Петербург, 2012. 424 с. 2. Колесник Г. В. Теория игр. 3-е изд. М. : Либроком, 2012. 152 с. 3. Лабскер

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 1.1

Линейная алгебра. Лекция 1.1 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы

Подробнее

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН -МЕРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить числовые характеристики системы двух случайных величин: начальные и центральные моменты ковариацию

Подробнее

1 ТЕМА 6: ТЕОРИЯ ИГР

1 ТЕМА 6: ТЕОРИЯ ИГР 1 ТЕМА 6: ТЕОРИЯ ИГР 2 Рекомендуемая литература: 1. Петросян Л. А. Теория игр. 2-е изд. СПб. : БХВ- Петербург, 2012. 424 с. 2. Колесник Г. В. Теория игр. 3-е изд. М. : Либроком, 2012. 152 с. 3. Лабскер

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1 Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1 Аннотация Вещественное линейное пространство, аксиомы и примеры. Линейно зависимые и

Подробнее

Пермский национальный исследовательский политехнический университет Кафедра математического моделирования систем и процессов Теория игр

Пермский национальный исследовательский политехнический университет Кафедра математического моделирования систем и процессов Теория игр Пермский национальный исследовательский политехнический университет Кафедра математического моделирования систем и процессов Теория игр к.ф.-м.н., доц. Павел Сергеевич Волегов Основные понятия и определения

Подробнее

Специальность: Социология. Дисциплина: КПВ: Теория игр и методы принятия решений, 5 курс, 9 семестр. Примерные зачетные тестовые задания.

Специальность: Социология. Дисциплина: КПВ: Теория игр и методы принятия решений, 5 курс, 9 семестр. Примерные зачетные тестовые задания. Специальность: Социология. Дисциплина: КПВ: Теория игр и методы принятия решений, 5 курс, 9 семестр. Примерные зачетные тестовые задания. 1. Матричная игра с матрицей Вариант 1. 1 1 0 А = 0 0 2 имеет седловую

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ)

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) Общие сведения. Кафедра Математики, физики и информационных технологий. Направление подготовки 8.0.0 Экономика,

Подробнее

5. ТЕОРИЯ ИГР И СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ Матричная игра с нулевой суммой

5. ТЕОРИЯ ИГР И СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ Матричная игра с нулевой суммой 9 5 ТЕОРИЯ ИГР И СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ 5 Матричная игра с нулевой суммой Экономико-математическое моделирование осуществляется в условиях: - определенности; - риска; - неопределенности Моделирование в

Подробнее

Биматричные игры. Решение игр 2 2

Биматричные игры. Решение игр 2 2 Биматричные игры Решение игр 2 2 Будем рассматривать 2 2 биматричную игру с матрицами выигрышей a a A = 2 b b, B = 2 a 2 a 22 b 2 b 22 Матрица A описывает выигрыши первого игрока, B, соответственно, второго

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы.

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. Основные результаты Лекции 4. 1) Любое подпространство V k F n 2 размерности k задается некоторой системой из n k

Подробнее

6.4. Системы случайных величин

6.4. Системы случайных величин Лекция 4.9. Системы случайных величин. Функция распределения системы двух случайных величин (СДСВ). Свойства функции 6.4. Системы случайных величин В практике часто встречаются задачи которые описываются

Подробнее

Пример из лекции. Торговец на сумму 250 у.е. может закупить зонтики по цене 0,5 у.е. за штуку и солнечные очки по цене 0,2 у.е. за штуку.

Пример из лекции. Торговец на сумму 250 у.е. может закупить зонтики по цене 0,5 у.е. за штуку и солнечные очки по цене 0,2 у.е. за штуку. торговец Пример из лекции Торговец на сумму у.е. может закупить зонтики по цене у.е. за штуку и солнечные очки по цене у.е. за штуку. Он продает зонтики по у.е. за штуку очки по у.е. за штуку. Если идет

Подробнее

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А 8 Методические рекомендации по выполнению контрольны работ, курсовы работ К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А Д и с ц и п л и н а «М а т е м а т и к а» ) Решить систему линейны уравнений методом Гаусса 7

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР В МЕДИЦИНЕ Мадунц К.А. Финансовый Университет при Правительстве РФ Москва, Россия.

ТЕОРИЯ ИГР В МЕДИЦИНЕ Мадунц К.А. Финансовый Университет при Правительстве РФ Москва, Россия. ТЕОРИЯ ИГР В МЕДИЦИНЕ Мадунц К.А. Финансовый Университет при Правительстве РФ Москва, Россия. THE THEORY OF GAMES IN THE MEDICINE Madunts K.A. The Financial University under the Government of the Russian

Подробнее

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР. Курс лекций

ТЕОРИЯ ИГР. Курс лекций Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет» Институт экономики и управления Кафедра Информационных технологий и моделирования

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

THEORY OF GAMES IN MEDICINE Ozova A.A. The Financial University under the Government of RF Moscow, Russia

THEORY OF GAMES IN MEDICINE Ozova A.A. The Financial University under the Government of RF Moscow, Russia ТЕОРИЯ ИГР В МЕДИЦИНЕ Озова А.А. Финансовый университет при равительстве РФ Москва, Россия THEORY OF GMES IN MEDICINE Ozova.. The Facal Uversty uder the Govermet of RF Moscow, Russa Введение Когда имеется

Подробнее

Лекция 14: Линейный оператор

Лекция 14: Линейный оператор Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к рассмотрению функций из векторного

Подробнее