МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР"

Транскрипт

1 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР К Л Самаров, 009 ООО «Резольвента», 009 ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)

2 СОДЕРЖАНИЕ Теория игр 3 Матричные игры с нулевой суммой Платежная матрица игры 3 Нижняя и верхняя цена игры Принцип минимакса 5 3 Игры с седловой точкой 7 4 Игры без седловой точки 8 5 Игры, повторяемые многократно Смешанные стратегии 9 6 Аналитический метод решения игры типа 7 Графический метод решения игр типа n и m 5 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 9 ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ЛИТЕРАТУРА 3 ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)

3 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР Матричные игры с нулевой суммой Платежная матрица игры Во многих практических задачах возникают ситуации, когда требуется принять решение, не имея достаточной информации Неизвестными могут быть как условия осуществления какой-либо операции, так и сознательные действия лиц, от которых зависит успех этой операции Ситуации, в которых сталкиваются интересы двух сторон и результат любой операции, осуществляемой одной из сторон, зависит от действий другой стороны, называются конфликтными Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой, а математическая теория, помогающая принимать рациональные решения в конфликтной ситуации, теорией игр Конфликтующие стороны называются игроками, а действия, которые могут выполнять игроки, стратегиями От реальной ситуации игра отличается тем, что в игре противники действуют по строго определенным правилам Матричной игрой называется игра, осуществляемая по следующим правилам: В игре участвуют два игрока; Каждый из игроков обладает конечным набором стратегий; 3 Игра заключается в том, что каждый из игроков, не имея информации о действиях противника, делает один ход (выбирает одну из своих стратегий) Результатом выбора игроками стратегий является выигрыш и проигрыш в игре 4 И выигрыш, и проигрыш выражаются числами Матричная игра называется игрой с нулевой суммой, если в этой игре выигрыш одного игрока равняется проигрышу другого игрока ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)

4 Каждая матричная игра с нулевой суммой имеет платежную матрицу Для того чтобы построить эту матрицу, обозначим одного из игроков символом, а другого символом, и предположим, что которые может применять игрок, а,, K n стратегии, которые может применять игрок,,,, K m стратегии, Матричная игра, в которой у игрока имеется m стратегий, а у игрока n стратегий, называется игрой типа m n Рассмотрим матрицу у которой элементы ij C n m m mn n =, ( i,,, m; j,,, n) = = равны выигрышам игрока (и проигрышам игрока ) при применении игроками стратегий i и j соответственно Матрица C называется платежной матрицей игры Пример Игра, называемая «Открывание пальцев», заключается в следующем Два игрока одновременно из сжатого кулака правой руки открывают по нескольку пальцев Общее количество открытых пальцев является суммой выигрыша, причем, если общее количество открытых пальцев четно, то выигрывает первый игрок, если же общее количество открытых пальцев нечетно, то выигрывает второй игрок Составить платежную матрицу игры Решение Поскольку каждый из игроков может открыть,, 3, 4 или 5 пальцев, то у каждого из них имеется по 5 соответствующих стратегий: стратегии,, 3, 4, 5 у первого игрока, и,, 3, 4, 5 у второго Таким образом, рассматриваемая игра является матричной игрой типа 5 5, и можно составить таблицу выигрышей, в зависимости от стратегий, применяемых игроками (Таблица ): ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)

5 Т а б л и ц а Из таблицы следует, что платежная матрица игры имеет вид C = Нижняя и верхняя цена игры Принцип минимакса Рассмотрим матричную игру типа m nс платежной матрицей Если игрок выберет стратегию n n m m mn C = i, то все его возможные выигрыши будут элементами i - й строки матрицы C В наихудшем для игрока случае, когда игрок применяет стратегию, соответствующую минимальному элементу этой строки, выигрыш игрока будет равен числу min ij j n Следовательно, для получения наибольшего выигрыша, игроку нужно выбирать ту из стратегий, для которой число min Число α =max min ij i m j n ij j n максимально ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)

6 называется нижней ценой игры, а стратегия игрока, соответствующая наибольшему из чисел min ij j n, называется максиминной Таким образом, если игрок будет придерживаться максиминной стратегии, то ему гарантирован выигрыш, не меньший, чем α, при любом поведении игрока В Проанализируем теперь платежную матрицу с точки зрения игрока, заинтересованного в том, чтобы игрок выиграл, как можно меньше Если игрок выберет стратегию j, то все возможные выигрыши игрока будут элементами j - го столбца платежной матрицы С В наихудшем для игрока случае, когда игрок применяет стратегию, соответствующую максимальному элементу этого столбца, выигрыш игрока будет равен числу max ij i m Следовательно, игроку нужно выбрать такую стратегию, для которой число max ij i m Число минимально β = min max ij i m j n называется верхней ценой игры, а стратегия игрока, соответствующая наименьшему из чисел max ij i m, называется минимаксной Таким образом, если игрок применяет минимаксную стратегию, то игрок не может выиграть больше, чем β Принцип осторожности, заставляющий игроков придерживаться максиминной и минимаксной стратегий соответственно, называют «Принципом минимакса», а минимаксную стратегию и максиминную стратегию называют общим термином «Минимаксные стратегии» Пример Найти нижнюю и верхнюю цены игры с платежной матрицей ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)

7 C = Решение В каждой строке платежной матрицы найдем наименьший элемент, и запишем его справа от матрицы В каждом столбце платежной матрицы найдем наибольший элемент, и запишем его снизу от матрицы В результате получим таблицу Нижняя цена игры Верхняя цена игры α = max{, 3, -} = 3 β = min{ 0, 4, 3,0} = 3 3 Игры с седловой точкой Игра называется игрой с седловой точкой, если ее нижняя и верхняя цены совпадают, то есть выполняется равенство Для игры с седловой точкой общее значение нижней и верхней цены игры α =max min = min max = β ij i m j n i m j n называется ценой игры V = α = β Замечание В Примере нижняя и верхняя цены игры совпадают и равны 3, те рассмотренная игра является игрой с седловой точкой Замечание Максиминной стратегией в Примере является стратегия, минимаксной стратегией является стратегия 3 ij ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)

8 Рассмотрим теперь для игры с седловой точкой такой элемент платежной матрицы i j 0 0, который соответствует минимаксным стратегиям i и 0 j Этот элемент является одновременно минимальным в своей строке и 0 максимальным в своем столбце, и выполняются неравенства V = α =max = min =β Следовательно, выполняется равенство Элемент платежной матрицы ij i j i m 0 j m 0 i j 0 0 = V i j называется седловой точкой 0 0 Замечание 3 В Примере седловой точкой является элемент 3 платежной матрицы Этот элемент равен 3 и, конечно же, совпадает с ценой игры 4 Игры без седловой точки Пример 4 Найти нижнюю и верхнюю цены игры с платежной матрицей Рассмотрим следующий C = Решение Действуя аналогично Примеру, получаем Нижняя цена игры Верхняя цена игры α = max{ -,, -,} = ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)

9 β = min{ 5, 4, 5} = 4 Замечание В Примере 4 нижняя цена игры отличается от верхней цены игры, следовательно, игра является игрой без седловой точки Максиминной стратегией является стратегия Минимаксной стратегией является стратегия Замечание Для любой игры без седловой точки выполнено неравенство α <β 5 Игры, повторяемые многократно Смешанные стратегии Если партнеры играют только один раз, то игрокам целесообразно придерживаться принципа минимакса, как в игре с седловой точкой, так и в игре без седловой точки В случае многократного повторения игры с седловой точкой игрокам также целесообразно придерживаться принципа минимакса Если же многократно повторяется игра без седловой точки, то постоянное использование минимаксных стратегий становится невыгодным i j 0 0 Действительно, в игре без седловой точки элемент платежной матрицы, соответствующий минимаксной стратегии игрока, не обязан быть минимальным в своей строке Следовательно, игрок, зная о том, что игрок в следующей игре будет использовать минимаксную стратегию i, может 0 выбрать стратегию, отвечающую минимальному элементу строки i 0 В результате выигрыш игрока уменьшится от величины i j до величины α 0 0 Аналогично может поступить и игрок, неожиданно применив против игрока стратегию, соответствующую максимальному элементу столбца j 0 Более того, доказано, что при многократно повторяемой игре без седловой точки игроку, для обеспечения среднего выигрыша, большего, чем α, следует чередовать свои стратегии,,, m Игроку для улучшения результата также целесообразно чередовать свои стратегии,,, n ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)

10 По этой причине для многократно повторяемых игр без седловой точки вводится следующее определение В играх, которые повторяются многократно, каждая из стратегий,,, m называется чистой стратегией Стратегия игрока, обозначаемая S K m = p K pm и состоящая в том, чтобы применять чистые стратегии,,, m, чередуя их по случайному закону с частотами p, K, pm, называется смешанной стратегией Частоты p, K, pm удовлетворяют соотношению p + p + K + p m = Чистые и смешанные стратегии игрока определяются аналогично Замечание Каждая чистая стратегия является частным случаем смешанной стратегии, когда одна из стратегий применяется с частотой, а все остальные с частотой 0 Смешанные стратегии, избранные игроками, называются оптимальными, если одностороннее отклонение любым игроком от своей оптимальной стратегии может изменить средний выигрыш только в сторону, невыгодную для этого игрока Совокупность, состоящая из оптимальной стратегии одного игрока и оптимальной стратегии другого игрока, называется решением игры Средний выигрыш V при применении обоими игроками оптимальных стратегий называется ценой игры Стратегии, входящие с ненулевыми частотами в оптимальную стратегию игрока, называются полезными ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)

11 В 98 году фон Нейманом была доказана основная теорема теории игр, утверждающая, что каждая игра имеет, по крайней мере, одно решение, возможно, в области смешанных стратегий Поскольку все чистые стратегии являются частными случаями смешанных стратегий, то из основной теоремы теории игр можно получить Следствие Любая игра имеет цену Следствие Цена игры удовлетворяет неравенству α V β Следствие 3 Средний выигрыш остается равным цене игры, если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, а другой игрок применяет свои полезные стратегии с любыми частотами 6 Аналитический метод решения игры типа x Рассмотрим игру без седловой точки типа x с платежной матрицей C = и найдем оптимальную стратегию S = p p игрока Согласно следствию 3 из основной теоремы теории игр эта стратегия обеспечивает игроку выигрыш, равный цене игры V, даже если игрок не выходит за пределы своих полезных стратегий В данной игре обе чистые стратегии игрока являются полезными, поскольку в противном случае игра имела бы решение в области чистых стратегий, те была бы игрой с седловой точкой Отсюда вытекает, что неизвестные p, p, V удовлетворяют следующей системе из трех линейных уравнений p + p = V, p + p = V, p + p =, ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)

12 решение которой имеет вид p = p + V =, +, = + Аналогичным образом можно найти оптимальную стратегию S = q q игрока В этом случае неизвестные q, q, V удовлетворяют системе уравнений решение которой имеет вид q + q = V, q + q = V, q + q =,, +, q = q = + V = + Применим теперь полученные формулы к карточной игре типа "веришь - не веришь" Пример 6 Имеются две карты: туз и двойка Игрок А наугад берет одну из них Если А взял туза, то он заявляет: "У меня туз" и требует у противника рубль Если же А взял двойку, то он может либо сказать: "У меня туз" и потребовать рубль, либо признаться, что у него двойка и заплатить рубль Игрок В, если ему предлагают рубль, берет его Однако, если у него требуют рубль, то В может либо поверить, что у А туз, и заплатить рубль, либо не верить и потребовать проверки Если в результате проверки окажется, ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)

13 что у А действительно туз, то В платит рубля Если же выяснится, что у А была двойка, то А платит рубля Найти оптимальные стратегии для каждого из игроков Решение У игрока есть стратегии: обманывать, не обманывать У игрока В тоже есть стратегии: верить, не верить Это позволяет найти все элементы платежной матрицы игры, вычислив средний выигрыш для каждой комбинации стратегий Комбинация (А обманывает, В верит) Если А берет туза (вероятностью этого 0,5), то он требует рубль В верит ему и платит Если А берет двойку (вероятность этого также 0,5), то он обманывает и тоже требует рубль В верит ему и платит Средний выигрыш А равен = 0,5+ 0,5 = Комбинация (А обманывает, В не верит) Если А берет туза, то он требует рубль, а В не верит и после проверки платит рубля Если же А взял двойку, то он обманывает и тоже требует рубль В не верит ему, и в результате А платит рубля Средний выигрыш А равен = 0,5+ ( ) 0,5 = 0 3 Комбинация (А не обманывает, В верит) Если А берет туза, то он требует рубль, В платит рубль Если А берет двойку, то он сообщает об этом и платит рубль Средний выигрыш А равен = 0,5+ ( ) 0,5 = 0 4 Комбинация (А не обманывает, В не верит) Если А берет туза, то он требует рубль, В проверяет и платит рубля Если А берет двойку, то он сообщает об этом и платит рубль Средний выигрыш А равен = 0,5+ ( ) 0,5 = 0,5 Отсюда вытекает, что платежная матрица имеет вид 0 C =, = 0 0,5 ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)

14 и можно найти нижнюю и верхнюю цены игры: α =max min = 0, i j β =min max = 0,5 i j Следовательно, игра не имеет седловой точки, и ее решение нужно искать в области смешанных стратегий Для этого воспользуемся формулами, полученными выше: 0,5, p = = = +,5 3 p, = = = +,5 3 V 0,5 = + = =,5 3 Следовательно, смешанная стратегия игрока имеет вид Далее получаем S = ij ij 3 3 0,5, q = = = +,5 3 q =, + = =,5 3 S = 3 3 Таким образом, оптимальным для А будет в одной трети случаев обманывать, а в двух третях случаев не обманывать Такая тактика обеспечит ему средний выигрыш, равный V = /3 Если бы А стал пользоваться своей максиминной стратегией, то его выигрыш был бы равен α = 0 Для В оптимальная стратегия это в одной трети случаев верить А и платить ему рубль, а в остальных случаях требовать проверки В этой ситуа- ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)

15 ции его средний проигрыш составит /3, тогда как при применении минимаксной стратегии он будет проигрывать в среднем β = 0,5 Значение V = /3 показывает, что рассмотренная игра выгодна для А и невыгодна для В, поскольку, пользуясь своей оптимальной стратегией, всегда может обеспечить себе положительный средний выигрыш 7 Графический метод решения игр типа n и m Рассмотрим игру типа n с платежной матрицей a C = a a a K K a a n n, и проведем через точку (; 0) координатной плоскости Oxy прямую l, перпендикулярную оси абсцисс После этого для каждой из стратегий ( i,,, n) = проведем прямую ( ) : + ( ) b y a a a x i = i i i, соединяющую точку 0; a ) на оси Оу с точкой 0; a ) на прямой l Ось Оу ( i ( i отвечает за стратегию, а прямая l за стратегию i y l y l b i M b i a i b 3 b b n b M V N b b b b n 3 a i p p p p O ( ) ( ) x O ( ) ( ) x Если игрок А применяет смешанную стратегию S = p p ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495) ,

16 то его выигрыш в случае, если противник применяет чистую стратегию равен a i p ai p = ai p ) + + ( a p, и этому выигрышу соответствует точка М на прямой b i с абсциссой x = p Ломаная b MNb3, отмеченная на чертеже жирной линией, позволяет определить минимальный выигрыш игрока А при любом поведении игрока В Точка N, в которой эта ломаная достигает максимума, определяет решение и цену игры Ордината точки N равна цене игры V, а ее абсцисса p частоте применения стратегии в оптимальной смешанной стратегии игрока А Далее непосредственно по чертежу находим пару "полезных" стратегий игрока В, пересекающихся в точке N (если в точке N пересекается более двух стратегий, то выберем любые две из них) Пусть это будут стратегии i и j Поскольку выигрыш игрока А, если он придерживается оптимальной стратегии, не зависит от того, в каких пропорциях игрок В применяет эти стратегии, то неизвестные p, p, V определяются из системы уравнений i i, a i p + a i p = V, a j p + a j p = V, p + p = Частоты q, qв оптимальной стратегии S 0 = 0 K K q i i K K q j j K K 0 0 игрока В определяются из соотношения a q + a ( q ) = V ; ( q = q ) i i j i j i Замечание Иногда точка N не является пересечением двух стратегий, а попадает на одну из прямых х = 0 или х = В этом случае решением игры будут соответствующие чистые стратегии ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)

17 Для игры m решение находится совершенно аналогично Действительно, поскольку выигрыш игрока А одновременно является проигрышем игрока В, то для решения задачи нужно построить ломаную, соответствующую верхней границе выигрыша игрока А, а затем найти на ней точку с минимальной ординатой Пример 7 Пусть игра задана матрицей C = Найти оптимальные стратегии игроков и определить цену игры O Решение y b b 4 b b 3 ( ) N M 4/7 3/7 x 0 y 0 7 / 7, получаем оптимальную стратегию игрока А S = Проведем прямые b i, и построим ломаную линию b NM b3, соответствующую нижней границе выигрыша Точка N, в которой эта ломаная достигает максимума, является пересечением прямых ( ) = + и ( ) b : y 5x b : y = 5 x Вычислив координаты точки N: x 0 = 4/ 7, y0 = и цену V = 7/7 Так как точка N является пересечением прямых b и b, то полезными стратегиями игрока В будут стратегии и Найдем частоты их применения q и q, зная, что выигрыш равен цене игры, если игрок В применяет оптимальную стратегию, а игрок А - любую из своих полезных стратегий, например, стратегию : q + ( q ) = = 7 / 7 q = / 7, q = q 5/ 7 5 V l ( ) x = ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)

18 3 4 Ответ S = ; S = ; V = 7/ 7 4/ 7 3/ 7 / 7 5/ Пример 7 Пусть игра задана матрицей 9 6 C = Найти оптимальные стратегии игроков и определить цену игры 9 6 O Решение a a a 3 a 4 y P Воспользовавшись тем, что игрок располагает двумя чистыми стратегиями, построим прямые a i, соответствующие выигрышам игрока А при чистых стратегиях i, и ломаную линию a PNMa 4, огибающую график сверху Эта ломаная достигает минимума в ( 0 точке N x 0, y ), которая является пересечением прямых ( ) a : y 9 3x = и ( ) a 3 : y = 6+ x Следовательно, x0 = 0,6; V = 7,, и оптимальной стратегией игрока В является стратегия x 0 N y 0 M 3/5 /5 S = 0,4 0,6 Цена игры V = 7, Полезными стратегиями игрока А являются стратегии и 3 Найдем их частоты p и p 3 : 9 = l x p + 6( p ) = 36/5 : p /5 ; p = p 3/ 5 ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495) = 3 4 Ответ S = ; S = ; V = 36/ 5 0 /5 3/5 0 /5 3/5

19 Что называется игрой? ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ Что называется матричной игрой? 3 Что называется матричной игрой типа m n? 4 Какая игра называется игрой с нулевой суммой? 5 Что называется чистой стратегией? 6 Что называется нижней ценой игры? 7 Что называется верхней ценой игры? 8 Что называется ценой игры? 9 В чем состоит принцип минимакса? 0 Какая игра называется игрой с седловой точкой? Что называется седловой точкой? Что называется смешанной стратегией? 3 Что называется решением игры в смешанных стратегиях? 4 Что называется полезной стратегией? 5 Что утверждает основная теорема теории игр? 6 В чем состоит схема аналитического решения игры типа? 7 В чем состоит схема графического решения игры типа n? 8 В чем состоит схема графического решения игры типа m? ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)

20 ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ При помощи аналитического метода найти решение игры, заданной платежной матрицей При помощи графического метода найти решение игры, заданной платежной матрицей При помощи графического метода найти решение игры, заданной платежной матрицей ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)

21 ЛИТЕРАТУРА Основная: Вентцель ЕС Исследование операций: Задачи, принципы, методология Учебное пособие - М: Дрофа, 004 Гнеденко БВ, Коваленко ИН Введение в теорию массового обслуживания М: КомКнига, Колемаев ВА, Калинина ВН Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник М: ИНФРА-М, 00 4 Оуэн Г Теория игр М: Вузовская книга, 004 Дополнительная: 5 Афанасьев МЮ, Багриновский КА, Матюшок ВМ Прикладные задачи исследования операций Учебное пособие М: ИНФРА-М, Ивницкий ВА Теория сетей массового обслуживания М: Физматлит, Кремер НШ Теория вероятностей и математическая статистика Учебник М: ЮНИТИ-ДАНА, 00 8 Протасов ИД Теория игр и исследование операций Учебное пособие М: Гелиос АРВ, Таха ХА Введение в исследование операций М: ВИЛЬЯМС, 007 ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)


МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 59-28-1 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по

Подробнее

ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР. Задачи выбора в условиях неопределенности

ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР. Задачи выбора в условиях неопределенности ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР Задачи выбора в условиях неопределенности Имеется набор возможных исходов y Y, из которых один окажется совмещенным с выбранной альтернативой, но с какой именно в момент выбора неизвестно,

Подробнее

2.4. Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2х2

2.4. Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2х2 2.4. Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2х2 1 Аналитический метод Графический метод Аналитический метод решения игры 2х2 2 A 1) оптимальное решение в смешанных стратегиях: S A = p 1, p 2 и S

Подробнее

Лекция 3. Решение игр в смешанных стратегиях.

Лекция 3. Решение игр в смешанных стратегиях. Лекция 3. Решение игр в смешанных стратегиях. 18.09.2014 1 3.1 Нахождение смешанных стратегий в играх 2 2 3.2 Упрощение матричных игр 3.3 Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2xn и mx2 2 Аналитический

Подробнее

Лекции КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР.

Лекции КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР. Лекции 5-6 КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР. Классификацию игр можно проводить: по количеству игроков, количеству стратегий, характеру взаимодействия игроков, характеру выигрыша, количеству ходов, состоянию информации

Подробнее

Лекция 2. Антагонистические игры.

Лекция 2. Антагонистические игры. Лекция 2. Антагонистические игры. 11.09.2014 1 2.1 Определение антагонистической игры 2.2 Понятие матричной игры 2.3 Выбор оптимальной стратегии в матричной игре 2.4 Ситуация равновесия в матричной игре

Подробнее

К теме Теория игр. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая:

К теме Теория игр. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая: К теме Теория игр На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределенности, т.е. возникают ситуации, в которых две (или более) стороны преследуют

Подробнее

5. Элементы теории матричных игр

5. Элементы теории матричных игр 5 Элементы теории матричных игр a m В теории игр исследуются модели и методы принятия решений в конфликтных ситуациях В рамках теории игр рассматриваются парные игры (с двумя сторонами) или игры многих

Подробнее

Учебный центр «Резольвента» МАТЕМАТИКА

Учебный центр «Резольвента» МАТЕМАТИКА Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ По выполнению контрольных работ По дисциплине «Теория игр» Для студентов заочного отделения специальности «Прикладная информатика в экономике» Хабаровск Задачи теории игр Если имеется

Подробнее

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой в пространстве Уравнение прямой в пространстве 1 Прямая как пересечение двух плоскостей. Система двух линейных уравнений с тремя неизвестными. Прямую в пространстве можно задать как пересечение двух плоскостей. Пусть

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4. Решение и геометрическая интерпретация игровых моделей размера 2 x 2, 2 x n, m x 2

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4. Решение и геометрическая интерпретация игровых моделей размера 2 x 2, 2 x n, m x 2 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА Решение и геометрическая интерпретация игровых моделей размера x x n m x В решении игр используется следующая теорема: если один из игроков применяет свою оптимальную смешанную стратегию

Подробнее

2.2. Смешанные стратегии

2.2. Смешанные стратегии 1 2.2. Смешанные стратегии Если в игре нет седловой точки в чистых стратегиях, то можно найти нижнюю и верхнюю чистые цены этой игры, которые указывают, что игрок 1 не должен надеяться на выигрыш больший,

Подробнее

Тема 11. Матричные игры

Тема 11. Матричные игры Тема 11. Матричные игры Цель: познакомить читателя с основными понятиями теории матричных игр: принципом максимина и минимакса, ситуациями равновесия, смешанным расширением игры, выяснить взаимосвязь между

Подробнее

Пермский национальный исследовательский политехнический университет Кафедра математического моделирования систем и процессов Матричные игры

Пермский национальный исследовательский политехнический университет Кафедра математического моделирования систем и процессов Матричные игры Пермский национальный исследовательский политехнический университет Кафедра математического моделирования систем и процессов Матричные игры к.ф.-м.н., доц. Павел Сергеевич Волегов Матричные игры Рассмотрим

Подробнее

Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР

Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР В теории игр исследуется процесс принятия решений в конфликтных ситуациях, т. е. в случаях, когда существует несколько сторон с разными интересами. Различают игры

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Некоторые специальные экстремальные задачи Дискретная транспортная задача (задача Монжа-Канторовича)

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ТЕОРИЯ ИГР ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР В ЗАДАЧАХ

ТЕОРИЯ ИГР В ЗАДАЧАХ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) М.Л. ОВЕРЧУК ТЕОРИЯ ИГР В ЗАДАЧАХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

Подробнее

ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ИГР С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ

ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ИГР С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая и прикладная математика» П. С. Гончарь Л. Э. Гончарь Д. С. Завалищин ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА В ВОЕННОМ ДЕЛЕ Попкович А. С. руководитель: Шевелева И. В. к.ф.-м.н., доцент СФУ МАОУ Лицей 6 "Перспектива"

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА В ВОЕННОМ ДЕЛЕ Попкович А. С. руководитель: Шевелева И. В. к.ф.-м.н., доцент СФУ МАОУ Лицей 6 Перспектива УДК 519.8 ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА В ВОЕННОМ ДЕЛЕ Попкович А. С. руководитель: Шевелева И. В. к.ф.-м.н., доцент СФУ МАОУ Лицей 6 "Перспектива" Введение Война является ярчайшем проявлением одного из наиболее

Подробнее

1. ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ИГР. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

1. ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ИГР. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ . ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ИГР. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ При решении ряда практических задач приходится анализировать ситуации, где налицо две (или более) враждующие стороны, преследующие противоположные цели, причем результат

Подробнее

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@lst.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Теория игр Решение контрольной работы

Теория игр Решение контрольной работы Теория игр Решение контрольной работы Задача Решить задачу графическим методом Решение Очевидно, матрица не имеет седловой точки, поэтому будем искать решение в смешанных стратегиях Решим задачу графическим

Подробнее

МАТЕМАТИКА ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА

МАТЕМАТИКА ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по

Подробнее

Инвестиционная политика

Инвестиционная политика УДК 336.051 ФОРМИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ СТРАТЕГИЙ ИНВЕСТОРА НА РОССИЙСКОМ ФОНДОВОМ РЫНКЕ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ИГР Н. А. КЛИТИНА, ассистент кафедры фундаментальной и прикладной математики E-mal: kltnanna@yandex.

Подробнее

Методы принятия управленческих решений в условиях конфликта

Методы принятия управленческих решений в условиях конфликта Лекция Методы принятия управленческих решений в условиях конфликта ЮТИ ТПУ Кафедра информационных систем Направление 09.04.03 Прикладная информатика 2016 1 Основные понятия Пусть соперником при ПР является

Подробнее

Задание 1. Найти оптимальные стратегии игры (с седловой точкой): Решение

Задание 1. Найти оптимальные стратегии игры (с седловой точкой): Решение Сделаем ваши задания на отлично. htts://www.matburo.ru/sub_subect.h?ti Теория игр Матричные игры. Игры с природой Задание Найти оптимальные стратегии игры (с седловой точкой): Решение ma min a i } min

Подробнее

Решенная контрольная работа по МОР

Решенная контрольная работа по МОР Решенная контрольная работа по МОР. Построить симплексную таблицу ЗЛП Q = x 3x x 3 max при ограничениях: 3x + x x3 3 x 3x + x3 = x + x + 3x3 x 0; x 0; x 0. Решение Приводим задачу к каноническому виду.

Подробнее

МАТЕМАТИКА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

МАТЕМАТИКА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ООО «Резольвента» www.resolventa.ru resolventa@list.ru (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Елена Вентцель. Элементы теории игр

Елена Вентцель. Элементы теории игр Елена Вентцель. Элементы теории игр Хотя я и закончил физико-технический факультет, в вузе мне не читали теорию игр. Но, поскольку я в студенческие годы много играл сначала в преферанс, а затем в бридж,

Подробнее

5, 4 1, 1 0, 0 4, 5. Лекция 14. Матричные игры -1- стратегии второго игрока (жена) футбол. стратегии первого игрока (мужа) театр

5, 4 1, 1 0, 0 4, 5. Лекция 14. Матричные игры -1- стратегии второго игрока (жена) футбол. стратегии первого игрока (мужа) театр Введение в матричные игры «Семейный спор» Муж и жена решают куда пойти в субботу вечером на футбол или в театр. Им небезразлично куда пойдет другой но всё-таки каждому больше хотелось бы пойти на что-то

Подробнее

ν = sup inf gu (, u) 2.3. Антагонистические игры. Седловые точки

ν = sup inf gu (, u) 2.3. Антагонистические игры. Седловые точки .3. Антагонистические игры. Седловые точки Антагонистическая игра. Она представляет собой частный случай игры в нормальной форме Г, когда имеется два игрока (n = ) и сумма функций выигрыша этих игроков

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-10 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ Учебно-методическое

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР ТЕОРИЯ ИГР И.В. ПИВОВАРОВА. Пивоварова Ирина Викторовна. Министерство образования и науки Российской Федерации

ТЕОРИЯ ИГР ТЕОРИЯ ИГР И.В. ПИВОВАРОВА. Пивоварова Ирина Викторовна. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Владивостокский государственный университет экономики и сервиса Учебное издание Пивоварова Ирина Викторовна ТЕОРИЯ ИГР Практикум ИВ ПИВОВАРОВА ТЕОРИЯ

Подробнее

Теория вероятности. Теория игр

Теория вероятности. Теория игр Краевой конкурс учебно-исследовательских и проектных работ учащихся «Прикладные вопросы математики» Теория вероятности Теория игр Стволова Софья Сергеевна, Землянухин Александр Дмитриевич МОУ «Лицей 1»

Подробнее

Конечная игра, в которой игрок A имеет m стратегий, а игрок B имеет n стратегий, называется игрой m на n и обозначается.

Конечная игра, в которой игрок A имеет m стратегий, а игрок B имеет n стратегий, называется игрой m на n и обозначается. ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ИГР В ЭКОНОМИКЕ Натёсова А.А., Фирсова Е.В. Коломенский институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Московский политехнический

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 «ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В СРЕДЕ SCILAB»

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 «ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В СРЕДЕ SCILAB» ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА «ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В СРЕДЕ SCILAB». Введение Sclb - это система компьютерной математики, которая предназначена выполнения инженерных и научных вычислений, включающих в себя задачи принятия

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-10 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ Учебное

Подробнее

Министерство Образования Российской Федерации ЮЖНО-РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА (ЮРГУЭС) Саакян Г.Р.

Министерство Образования Российской Федерации ЮЖНО-РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА (ЮРГУЭС) Саакян Г.Р. Министерство Образования Российской Федерации ЮЖНО-РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА (ЮРГУЭС) Саакян ГР ЛЕКЦИИ ТЕОРИЯ ИГР для студентов экономических специальностей очной заочной

Подробнее

Математические модели в экономике Теория игр Контрольная работа

Математические модели в экономике Теория игр Контрольная работа Математические модели в экономике Теория игр Контрольная работа Задача. Используя теорию игр проанализировать ситуацию и принять решение. Рассмотреть ситуацию, как антогонистическую игру и игру с природой.

Подробнее

Теория принятия решений

Теория принятия решений Теория принятия решений Литература О.И. Ларичев «Теория и методы принятия решений» А.И. Орлов «Теория принятия решений» А.Т. Зуб «Принятие управленческих решений» А.Г. Мадера «Моделирование и принятие

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН Учебно-методическое пособие

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ТЕОРИИ ИГР

ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ТЕОРИИ ИГР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной

Подробнее

МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. В. Н. Малозёмов. 14 апреля 2016 г.

МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. В. Н. Малозёмов. 14 апреля 2016 г. МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 14 апреля 2016 г. Аннотация. В докладе матричные игры анализируются с точки зрения линейного программирования. Приведены два

Подробнее

Введение в матричные игры

Введение в матричные игры Введение в матричные игры Предметом исследований в теории игр являются модели и методы принятия решений в ситуациях, где участвуют несколько сторон (игроков). Цели игроков различны, часто противоположны.

Подробнее

Контрольная работа Теория игр. Оглавление. Задание Задание Задание Задание Задание

Контрольная работа Теория игр. Оглавление. Задание Задание Задание Задание Задание Контрольная работа Теория игр Оглавление Задание Задание 9 Задание 3 4 Задание 4 9 Задание 5 3 Задание Сельскохозяйственное предприятие планирует посеять на площади 000 га одну или две (в равной пропорции)

Подробнее

Учебный центр «Резольвента» К. Л. САМАРОВ РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ. Учебно-методическое пособие для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике

Учебный центр «Резольвента» К. Л. САМАРОВ РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ. Учебно-методическое пособие для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-10 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ Учебно-методическое

Подробнее

Специальность: Социология. Дисциплина: КПВ: Теория игр и методы принятия решений, 5 курс, 9 семестр. Примерные зачетные тестовые задания.

Специальность: Социология. Дисциплина: КПВ: Теория игр и методы принятия решений, 5 курс, 9 семестр. Примерные зачетные тестовые задания. Специальность: Социология. Дисциплина: КПВ: Теория игр и методы принятия решений, 5 курс, 9 семестр. Примерные зачетные тестовые задания. 1. Матричная игра с матрицей Вариант 1. 1 1 0 А = 0 0 2 имеет седловую

Подробнее

Методы оптимальных решений Контрольная с решением

Методы оптимальных решений Контрольная с решением Методы оптимальных решений Контрольная с решением Задача 1 Составить математическую модель задачи и решить ее двумя способами: симплексметодом и графически. Для полученной задачи составить двойственную,

Подробнее

Данный файл получен на сайте

Данный файл получен на сайте Добавить вопрос МАТЕМАТИКА 1 Суммой (объединением) нескольких событий называется 2 Произведением (пересечением) двух событий А и В называется 3 Сколько существует различных пятизначных номеров, в которых

Подробнее

Матричные игры. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова. Кичмаренко О.Д.

Матричные игры. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова. Кичмаренко О.Д. цена. Матричные. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Кичмаренко О.Д. Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова цена. Определение. Матричная игра - это бескоалиционная

Подробнее

определяется матрицей A.

определяется матрицей A. Задание.Мебельная фабрика планирует выпуск двух видов продукции А и Б. Спрос на продукцию не определен, однако можно предполагать, что он может принимать одно из трех состояний (I, II и III). В зависимости

Подробнее

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Лекция 6: Система координат. Координаты точки Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (9) 09-8-0 Учебный центр «Резольвента» Кандидат физико-математических наук, доцент С. С. САМАРОВА РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебно-методическое

Подробнее

Л.И. Сантылова, А.Б. Зинченко

Л.И. Сантылова, А.Б. Зинченко Федеральное агентство по образованию Российской Федерации ГОУВПО «Ростовский государственный университет» ЛИ Сантылова, АБ Зинченко ИГРОВЫЕ МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ (методические указания для студентов

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР. Федеральное агентство по образованию. Рыбинская государственная авиационная. технологическая академия им. П. А.

ТЕОРИЯ ИГР. Федеральное агентство по образованию. Рыбинская государственная авиационная. технологическая академия им. П. А. Федеральное агентство по образованию Рыбинская государственная авиационная технологическая академия им. П. А. Соловьева ЗАОЧНАЯ ФОРМА ОБУЧЕНИЯ ТЕОРИЯ ИГР Программа учебной дисциплины и методические указания

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Кандидат физико-математических наук, доцент С С САМАРОВА МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ Учебно-методическое

Подробнее

О СТРУКТУРЕ МНОЖЕСТВА СМЕШАННЫХ СТРАТЕГИЙ, ОПТИМАЛЬНЫХ ПО КРИТЕРИЮ ПЕССИМИЗМА-ОПТИМИЗМА ГУРВИЦА. Введение

О СТРУКТУРЕ МНОЖЕСТВА СМЕШАННЫХ СТРАТЕГИЙ, ОПТИМАЛЬНЫХ ПО КРИТЕРИЮ ПЕССИМИЗМА-ОПТИМИЗМА ГУРВИЦА. Введение О СТРУКТУРЕ МНОЖЕСТВА СМЕШАННЫХ СТРАТЕГИЙ, ОПТИМАЛЬНЫХ ПО КРИТЕРИЮ ПЕССИМИЗМА-ОПТИМИЗМА ГУРВИЦА Шкуридина Ю.И. Финансовый университет при Правительстве РФ г. Москва Научный руководитель к.ф.-м.н., проф.

Подробнее

Пример из лекции. Торговец на сумму 250 у.е. может закупить зонтики по цене 0,5 у.е. за штуку и солнечные очки по цене 0,2 у.е. за штуку.

Пример из лекции. Торговец на сумму 250 у.е. может закупить зонтики по цене 0,5 у.е. за штуку и солнечные очки по цене 0,2 у.е. за штуку. торговец Пример из лекции Торговец на сумму у.е. может закупить зонтики по цене у.е. за штуку и солнечные очки по цене у.е. за штуку. Он продает зонтики по у.е. за штуку очки по у.е. за штуку. Если идет

Подробнее

1 ТЕМА 6: ТЕОРИЯ ИГР

1 ТЕМА 6: ТЕОРИЯ ИГР 1 ТЕМА 6: ТЕОРИЯ ИГР 2 Рекомендуемая литература: 1. Петросян Л. А. Теория игр. 2-е изд. СПб. : БХВ- Петербург, 2012. 424 с. 2. Колесник Г. В. Теория игр. 3-е изд. М. : Либроком, 2012. 152 с. 3. Лабскер

Подробнее

Лекция 17 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ.

Лекция 17 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ. Лекция 7 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ.. ОПРЕДЕЛЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОЙ АНТАГОНИСТИЧЕСКОЙ ИГРЫ Естественным обобщением матричных игр являются бесконечные антагонистические игры (БАИ), в которых хотя бы один

Подробнее

Портфолио arcadynovosyolov: игры и решения

Портфолио arcadynovosyolov: игры и решения Портфолио arcadynovosyolov: игры и решения ОГЛАВЛЕНИЕ Типовые задачи... 2 Игры и решения... 2 Матричные игры... 2 Более сложные задачи... 7 Игры и решения... 7 Парето-оптимальное решение... 7 ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ К. Л. Самаров 009 ООО «Резольвента» 009

Подробнее

Введение. 1. Задача линейного программирования. Основные понятия

Введение. 1. Задача линейного программирования. Основные понятия Введение Данные методические указания адресованы студентам заочной формы обучения всех специальностей, которые будут выполнять контрольную работу т 4 по высшей математике, и охватывают раздел математического

Подробнее

Построение графиков функций с помощью производной

Построение графиков функций с помощью производной Построение графиков функций с помощью производной Способ построения графика функции по точкам несовершенен. Даже вычисление ординат большого числа точек может не дать точное представление о графике, а,

Подробнее

Кафедра «Математические методы в экономике» Гереева Тату Рашидовна. Учебное пособие по дисциплине «Теория игр и методы принятия решений»

Кафедра «Математические методы в экономике» Гереева Тату Рашидовна. Учебное пособие по дисциплине «Теория игр и методы принятия решений» ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА» Кафедра «Математические методы в экономике» Гереева

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

1 ТЕМА 6: ТЕОРИЯ ИГР

1 ТЕМА 6: ТЕОРИЯ ИГР 1 ТЕМА 6: ТЕОРИЯ ИГР 2 Рекомендуемая литература: 1. Петросян Л. А. Теория игр. 2-е изд. СПб. : БХВ- Петербург, 2012. 424 с. 2. Колесник Г. В. Теория игр. 3-е изд. М. : Либроком, 2012. 152 с. 3. Лабскер

Подробнее

Âåñòíèê Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêîíîìè åñêîãî óíèâåðñèòåòà ¹ 1 (63)

Âåñòíèê Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêîíîìè åñêîãî óíèâåðñèòåòà ¹ 1 (63) УДК 0 Âåñòíèê Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêîíîìè åñêîãî óíèâåðñèòåòà 00 ¹ (6) ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ РЕШЕНИЙ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ И ПРИНЦИПА ДОМИНИРОВАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 00 АИ Чегодаев Ключевые слова:

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Консультационный тренинговый центр «Резольвента»

Консультационный тренинговый центр «Резольвента» ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (95) 509-8-0 Консультационный тренинговый центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое

Подробнее

Кафедра математики. Карякина С.В. ТЕОРИЯ ИГР

Кафедра математики. Карякина С.В. ТЕОРИЯ ИГР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ

Подробнее

) называется матрицей последствий (возможных решений, выигрышей).

) называется матрицей последствий (возможных решений, выигрышей). Тема 2. Количественные характеристики и схемы оценки рисков в условиях неопределенности Лекция 1 (2 часа) 1. Матрицы последствий и матрицы рисков. 2. Анализ связанной группы решений в условиях полной неопределенности

Подробнее

Г.Л. Нохрина. ТЕОРИЯ ИГР Контрольные материалы для специальности по всем формам обучения

Г.Л. Нохрина. ТЕОРИЯ ИГР Контрольные материалы для специальности по всем формам обучения Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет» Институт экономики и управления Кафедра Информационных технологий и моделирования

Подробнее

Методы теории игр в задачах принятия решений

Методы теории игр в задачах принятия решений «Оптимизация и математические методы принятия решений» ст. преп. каф. СС и ПД Владимиров Сергей Александрович Лекция 11 Методы теории игр в задачах принятия решений Введение Учебные вопросы: С О Д Е Р

Подробнее

5. Линейные коды (продолжение)

5. Линейные коды (продолжение) 17 5. Линейные коды (продолжение) Проверочная матрица кода. Другой способ задания линейного подпространства C F n размерности k состоит в указании n k линейных уравнений, которым удовлетворяют координаты

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Кандидат физико-математических наук, доцент С. С. САМАРОВА РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ Учебно-методическое

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» Учебный центр «Резольвента» Кандидат физико-математических наук, доцент С. С. САМАРОВА ФИГУРЫ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ, ЗАДАННЫЕ НЕРАВЕНСТВАМИ Учебно-методическое пособие для подготовки к ЕГЭ и ГИА по

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 1 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок Распространенность в

Подробнее

4 Лекция Функция

4 Лекция Функция Функция Понятие функции Способы задания функции Характеристики функции Обратная функция Предел функции Предел функции в точке Односторонние пределы Предел функции при x Бесконечно большая функция 4 Лекция

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

Тема 12 «Системы двух уравнений с двумя неизвестными».

Тема 12 «Системы двух уравнений с двумя неизвестными». Тема 1 «Системы двух уравнений с двумя неизвестными». Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, которые должны выполняться одновременно. Решением системы уравнений с двумя переменными

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ ИТЕРАТИВНЫЙ МЕТОД ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИММЕТРИЧНЫХ МАТРИЧНЫХ ИГР

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ ИТЕРАТИВНЫЙ МЕТОД ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИММЕТРИЧНЫХ МАТРИЧНЫХ ИГР МОДИФИЦИРОВАННЫЙ ИТЕРАТИВНЫЙ МЕТОД ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИММЕТРИЧНЫХ МАТРИЧНЫХ ИГР А.В. Баркалов, Е.С. Гвоздева Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского Матричные игры Игрой называется математическая

Подробнее

Теорема об ожидаемой полезности и антагонистические игры. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры / 31

Теорема об ожидаемой полезности и антагонистические игры. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры / 31 Теорема об ожидаемой полезности и антагонистические игры ИВКацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры 2013 1 / 31 Пример Рассмотрим игру, похожую на покер В данный момент есть две возможности

Подробнее

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным 1. КОНЕЧНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА Рассмотрим последовательность случайных величин ξ n, n 0, 1,..., каждая из коорых распределена дискретно и принимает значения из одного и того же множества {x 1,...,

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВПО "Сыктывкарский государственный университет"

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВПО Сыктывкарский государственный университет МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВПО "Сыктывкарский государственный университет" ИНСТИТУТ ТОЧНЫХ НАУК И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ УТВЕРЖДАЮ 0Г.

Подробнее

ТЕМА 10. Статистическое оценивание Точечные и интервальные оценки параметров распределения

ТЕМА 10. Статистическое оценивание Точечные и интервальные оценки параметров распределения ТЕМА 10. Статистическое оценивание. Цель контента темы 10 изучить практически необходимые методы нахождения точечных и интервальных оценок неизвестных параметров распределения. Задачи контента темы 10:

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР. Вопросы для самостоятельного изучения дисциплины

ТЕОРИЯ ИГР. Вопросы для самостоятельного изучения дисциплины Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет» Институт экономики и управления Кафедра Информационных технологий и моделирования

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее