Практикум по теме 1 "Множества и отношения"

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Практикум по теме 1 "Множества и отношения""

Транскрипт

1 Практикум по теме 1 "Множества и отношения" Методические указания по выполнению практикума Целью практикума является более глубокое усвоение темы 1, а также развитие следующих навыков: построение прямого (декартова) произведения множеств; нахождение матрицы смежности бинарного отношения; исследование свойств рефлексивности, симметричности, транзитивности бинарного отношения; определение классов эквивалентности и индекса разбиения множества по заданному отношению эквивалентности; исследование бинарного отношения на соответствие его отношению порядка, классификация типа порядка. Перед решением заданий практикума рекомендуется внимательно изу- чить тему 1 и подробно разобрать решения приведенных ниже типовых задач. Решение типовых задач ТЗ 1.1. Даны два множества A = {0, 1} и B = {2, 3, 4}. Найти следующие прямые (декартовы) произведения множеств: A Ч B, A 2. Решение. Из определения прямого произведения множеств, приведенного в џ 1.1 контента темы 1, получаем, что множество A Ч B состоит из следующих пар чисел: (0, 2), (0, 3), (0, 4), (1, 2), (1, 3), (1, 4), а множество A 2 = A Ч A содержит следующие пары: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1). ТЗ 1.2. Составить матрицу смежности бинарного отношения R "иметь одинаковый знак", заданного на множестве X = {2, 1, 3}. Решение. Бинарное отношение R "иметь одинаковый знак", рассматриваемое на множестве X, т. е. R = {(x, y) : xy > 0; x, y X}, состоит из следующих пар: (2, 2), (2, 1), (1, 1), (1, 2), (3, 3). Тогда в соответствии с определением матрицы смежности из џ1.2 контента темы 1, получим матрицу смежности этого отношения, представленную на рис

2 R Рис. 1.1 ТЗ 1.3. Исследовать, обладают ли заданные бинарные отношения свойствами рефлексивности, антирефлексивности, симметричности, транзитивности: а) R 1 "быть делителем", заданное на множестве M 1 = {2, 3, 6, 8}; б) R 2 "пересекаться с", заданное на булеане универсального множества M 2 = {1, 2}; в) R 3 "иметь один и тот же остаток от деления на 3", заданное на множестве натуральных чисел N. Решение. а) Из определения отношения R 1 следует, что пара чисел (x, y) удовлетворяет R 1, т. е. xr 1 y, если число y делится на число x без остатка. Тогда отношению R 1 удовлетворяют следующие пары из M 2 1 : (2, 2), (2, 6), (2, 8), (3, 3), (3, 6), (6, 6), (8, 8). Исследуем свойства этого отношения. Очевидно, что для любого x M 1 пара (x, x) удовлетворяет отношению R 1, т. к. x : x = 1, поэтому R 1 рефлексивное отношение (определения рефлексивного, симметричного и транзитивного отношений приведены в џ 1.3 контента темы 1). Отношение R 1 не является симметричным отношением, для доказательства этого достаточно построить контрпример, т. е. найти такую пару (x, y), где x, y M 1, для которой выполняется xr 1 y, но неверно yr 1 x, т. е. пара (x, y) R 1, а пара (y, x) / R 1. В качестве такой пары можно взять, например, (2, 6). Для доказательства транзитивности отношения R 1 возьмем произвольную тройку чисел x, y, z из M 1, для которых справедливо xr 1 y и yr 1 z, т. е. x есть делитель y и y есть делитель z. Убедимся, что для таких x, y, z справедливо утверждение: x делитель z, т. е. xr 1 z. Тогда отношение R 1 будет обладать свойством транзитивности. 2

3 Доказательство этого факта можно провести перебором всех троек x, y, z M 1, которые удовлетворяют xr 1 y и yr 1 z, либо аналитически. В первом случае перебираем все пары элементов, составляющих отношение R 1, и убеждаемся, что среди них не существует таких, что (x, y) R 1, (y, z) R 1, но (x, z) / R. Тогда делаем вывод: отношение R 1 транзитивно. Если бы нашлась хотя бы одна тройка, удовлетворяющая (x, y) R 1, (y, z) R 1, (x, z) / R 1, то отношение было бы не транзитивным. Этот метод справедлив только тогда, когда отношение задано на конечном множестве. В случае аналитического доказательства транзитивности рассмотрим пары (x, y) R 1 и (y, z) R 1 и проанализируем содержание этих условий: число x является делителем y и число y является делителем z, т. е. найдутся такие целые числа k и m, что y = xk, z = ym. Подставив y из первого равенства во второе, получим z = xkm, т. е. z x = km. Следовательно, x является делителем z, и пара (x, z) R 1, что означает транзитивность R 1. б) Рассмотрим булеан B(M 2 ) универсального множества M 2 = {1, 2}, т. е. построим множество всех подмножеств M 2 : B(M 2 ) = {, {1}, {2}, {1, 2} }. Отношению R 2 удовлетворяет пара подмножеств A, B из B(M 2 ), если их пересечение не пусто, т. е. Исследуем свойства отношения R 2. R 2 = {(A, B) : A B, A, B B(M 2 )}. Очевидно, что отношение R 2 не рефлексивно, т. к. при A = B(M 2 ) пара (A, A) / R 2, поскольку =. R 2 является симметричным отношением, т. к. если подмножество A имеет непустое пересечение с подмножеством B, то верно, что B имеет непустое пересечение с A. Таким образом, для любых A, B B(M 2 ) из AR 2 B вытекает BR 2 A, откуда следует симметричность отношения R 2. R 2 не транзитивно, поскольку можно указать следующие элементы из B(M 2 ) : A = {1}, B = {1, 2}, C = {2}, для которых справедливо, что (A, B) R 2, (B, C) R 2, но пара (A, C) / R 2. 3

4 в) Отношению R 3 удовлетворяет пара (x, y) натуральных чисел, если остаток от деления x на число 3 совпадает с остатком от деления y на число 3. Например, (7, 10) R 3, (2, 14) R 3, но (4, 8) / R 3. Очевидно, что отношение R 3 рефлексивно, симметрично и транзитивно из определения этого отношения. Следовательно, R 3 является отношением эквивалентности. Тогда, в соответствии с замечанием из џ1.3 контента темы 1, отношение R 3 делит множество всех натуральных чисел, на котором оно задано, на три класса эквивалентности. В первый класс входят все натуральные числа, которые при делении на число 3 дают остаток 0, во второй класс остаток 1, в третий класс остаток 2. Других остатков при делении натурального числа на 3 не бывает. Таким образом, индекс разбиения множества натуральных чисел по отношению R 3 "иметь одинаковый остаток при делении на 3" равен трем, каждый класс эквивалентности является счетным множеством. ТЗ 1.4. Какими признаками характеризуется матрица смежности отношения R, заданного на конечном множестве, если R соответственно: рефлексивно, антирефлексивно, симметрично, антисимметрично. Решение. 1) Бинарное отношение, заданное на конечном множестве, рефлексивно в том и только в том случае, когда все элементы главной диагонали его матрицы смежности равны единице. Действительно, пусть бинарное отношение R задано на конечном множестве X = {x 1, x 2,..., x n }, и пусть S матрица смежности отношения R. Отношение R рефлексивно, если для всех x i из X выполняется x i Rx i, но это условие означает, что диагональный элемент s ii матрицы смежности S равен единице. 2) Аналогично доказывается, что отношение R антирефлексивно в том и только в том случае, когда все элементы главной диагонали его матрицы смежности равны нулю. 3) Бинарное отношение R, заданное на конечном множестве, является симметричным тогда и только тогда, когда его матрица смежности симметрична относительно главной диагонали. Действительно, если отношение R задано на множестве X = {x 1, x 2,..., x n }, то элемент s ij его матрицы смежности равен единице только, если выполняется x i Rx j. В силу симметричности отношения R из последнего утверждения вытекает x j Rx i, что означает s ji = 1. Таким образом, симмет- 4

5 ричность отношения R равносильна равенству s ij = s ji, i j, для элементов матрицы смежности отношения. 4) Аналогично можно доказать, что антисимметричность отношения R означает отсутствие в матрице смежности этого отношения двух единиц, симметричных относительно главной диагонали. ТЗ 1.5. Доказать, что следующие отношения задают порядок на множестве. Определить, какой это порядок: строгий или нестрогий, полный или частичный: а) отношение включения на булеане множества X = {2, 3}; б) на множестве V, состоящем из векторов v 1 = (1, 2, 3, 4), v 2 = (1, 4, 5, 1), v 3 = (0, 1, 2, 3), v 4 = (0, 0, 1, 0) рассматривается отношение "v i < v j ", которое выполнено, если сумма всех координат вектора v i меньше суммы всех координат вектора v j ; в) отношение подчиненности на множестве сотрудников предприятия. Решение. a) Булеан множества X = {2, 3} содержит четыре подмножества: {}, {2}, {3}, {2, 3}. Отношение включения множеств A B означает, что все элементы множества A являются элементами множества B. Это отношение является антисимметричным (определение антисимметричности отношения приведено в џ1.4 контента темы 1), т. к. если A B и B A, то по определению равенства множеств полу- чим A = B. Отношение включения транзитивно, т. к. если A B и B C, то A C в силу определения включения множеств. Вывод: отношение включения, заданное на булеане универсального множества X, является отношением порядка. Поскольку отношение включения есть рефлексивное отношение, т. к. A A для любого множества A, то порядок будет нестрогим. И порядок будет частичным в силу существования двух несравнимых подмножеств {2} и {3} из булеана множества X. Элементы булеана B(X) упорядочены следующим образом: {2} {2, 3}; {3} {2, 3}. Отметим, что отношение включения задает нестрогий частичный порядок на булеане любого множества X, содержащего не менее двух элементов. 5

6 б) Отношение "v i < v j " есть отношение порядка на множестве X, поскольку оно антисимметрично, т. к. одновременно не могут выполняться неравенства v i < v j и v j < v i, и, очевидно, что отношение транзитивно. Этот порядок является строгим и полным. Элементы множества V упорядочены следующим образом: v 4 < v 3 < v 1 < v 2. в) Отношение подчиненности на множестве сотрудников предприятия является отношением строгого частичного порядка, т. к. сотрудники различных отделов предприятия не сравнимы между собой по отношению подчиненности. Задания практикума В заданиях даны множества A и B. Найдите следующие прямые (декартовы) произведения множеств: A Ч B, B Ч A, A 2, A A = {0, 1}, B = {2, 3, 4} A = {a, b}, B = {c, d, e} A = {3, 2}, B = {x, y, z}. В заданиях найдите множество всех пар, составляющих указанное отношение, и постройте матрицу смежности этого отношения. Исследуйте, обладает ли заданное отношение свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности R 1 "иметь общий делитель, отличный от единицы", заданное на множестве X = {2, 3, 12, 8} R 2 "разность двух чисел не больше (1)", заданное на множестве X = {0, 1, 2, 3}, т. е. R 2 = {(x, y) : x y 1; x, y X} R 3 "абсолютная величина разности двух чисел не меньше 2", заданное на множестве X = {3, 2, 0, 2}, т. е. R 3 = {(x, y) : x y 2; x, y X} R 4 "находиться на одинаковом расстоянии от начала координат", заданное на множестве точек плоскости X = {(3, 4), (0, 5), (2, 3), (4, 3), (6, 1)}. 6

7 В заданиях исследуйте, обладают ли указанные отношения свойствами рефлексивности, антирефлексивности, симметричности и транзитивности R 5 "отличаться по росту не более чем на 3 см", заданное на множестве людей R 6 "отличаться менее чем на две буквы", заданное на множестве всех слов русского языка R 7 "совпадение с универсальным множеством объединения двух его подмножеств", заданное на булеане универсального множества. В заданиях докажите, что заданное отношение является отношением эквивалентности, найдите индекс разбиения и мощности классов эквивалентности по этому отношению R 8 "иметь одинаковый знак", заданное на множестве всех целых чисел, из которого исключено число ноль R 9 "иметь одинаковые оценки на экзамене", заданное на множестве всех студентов учебной группы R 10 "иметь одинаковую длину", заданное на множестве всех трехмерных векторов с целыми координатами R 11 "начинаться с одинаковой буквы", заданное на множестве всех слов русского языка. В заданиях проверьте, что указанное отношение является отношением порядка. Определите, какой это порядок: строгий или нестрогий, полный или частичный R 12 "быть делителем", заданное на множестве X = {2, 5, 10, 20} R 13 "быть меньше", заданное на множестве действительных чисел R 14 "быть не выше", заданное на множестве людей R 15 "быть прямым потомком", заданное на множестве людей R 16 "отношение предпочтения", заданное на множестве V, состоящем из векторов v 1 = (3, 0, 1, 4), v 2 = (4, 1, 3, 6), v 3 = (5, 3, 4, 10), v 4 = (2, 0, 2, 5). Отношение R 16 считает, что вектор v i предпочтительнее вектора v j, если все координаты вектора v i больше соответствующих координат вектора v j. 7

8 1.20. R 17 "отношение предпочтения", заданное на множестве V, состоящем из векторов v 1 = (1, 0, 2, 0), v 2 = (3, 1, 3, 2), v 3 = (4, 2, 4, 3), v 4 = (0, 2, 2, 1). Отношение R 17 считает, что вектор v i предпочтительнее вектора v j, если сумма всех координат вектора v i не меньше суммы всех координат вектора v j. В заданиях приведены матрицы смежности бинарных отношений. Проверьте, являются ли эти отношения отношениями порядка. Если являются, то какой порядок они задают: строгий или нестрогий, полный или частичный S = S = S = S =

џ 1.1. Множества и операции над ними. Мощность множества

џ 1.1. Множества и операции над ними. Мощность множества TЕМА 1. Множества и отношения Цель и задачи Цель контента темы 1 ввести понятие отношения между множествами и рассмотреть различные свойства отношений. Задачи контента темы 1: дать определение прямого

Подробнее

Тема 1-3: Соответствия и отношения

Тема 1-3: Соответствия и отношения Тема 1-3: Соответствия и отношения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1

Подробнее

e-mail: melnikov@k66.ru, melnikov@r66.ru сайты: http://melnikov.k66.ru, http://melnikov.web.ur.ru

e-mail: melnikov@k66.ru, melnikov@r66.ru сайты: http://melnikov.k66.ru, http://melnikov.web.ur.ru Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Отношения и предикаты Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп.

Подробнее

Упорядоченные множества

Упорядоченные множества Лекция 10 Упорядоченные множества 10.1 Отношения порядка «Коля бутее, чем Вася, а Вася бутее, чем Таня. Кто бутее всех?» такую задачу предлагал дошкольникам А. К. Звонкин на математическом кружке. 1 И

Подробнее

Бинарные отношения и их свойства. Систематизация свойств.

Бинарные отношения и их свойства. Систематизация свойств. Бинарные отношения и их свойства. Систематизация свойств. Каждое бинарное (двухместное) отношение характеризуется свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Полное или частичное отсутствие

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Частично упорядоченные множества (ЧУМ). Диаграмма ЧУМ. Максимальные, минимальные, наибольший и наименьший элементы. Цепи и антицепи, длина и ширина конечных ЧУМ. Теорема о разбиении ЧУМ на антицепи.

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция 10. Подгруппы, смежные классы, индекс подгруппы в группе. Теорема Лагранжа о порядке конечной группы. Нормальные подгруппы, фактор-группа. Орбита и стабилизатор элемента, теорема о порядке стабилизатора

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

Лекция 17: Евклидово пространство

Лекция 17: Евклидово пространство Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания При решении многих задач возникает необходимость иметь числовые

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ В пособии не излагается теория чисел а дан минимальный инструментарий из этой теории который в дальнейшем потребуется для изучения криптографических систем используемых

Подробнее

18. Отображения, отношения и лемма Цорна

18. Отображения, отношения и лемма Цорна 18. Отображения, отношения и лемма Цорна Вернемся еще раз к теории множеств будем надеяться, что последний раз в курсе анализа. Вы уже знакомы с понятием отображения множеств. Именно, отображение f : X

Подробнее

Теория множеств и основы комбинаторики

Теория множеств и основы комбинаторики Теория множеств и основы комбинаторики План лекции П.. Определение множества и подмножества... П.. Множества и отношения... П.. Операции над множествами... П. 4. Свойства операций над множествами... 4

Подробнее

Тема 2-1: Линейные пространства

Тема 2-1: Линейные пространства Тема 2-1: Линейные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ С.Ф.ЛУКОМСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВВЕДЕНИЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ САРАТОВ 2012 УДК 517 ББК 22.19; Л84 Лукомский С.Ф. Математический анализ. Введение. Дифференциальное исчисление Саратов, 2012,

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ

ЛЕКЦИЯ 3 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ ЛЕКЦИЯ 3 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ Возьмем натуральное целое число m, которое будем называть модулем. Определение. Целые числа a и b называются сравнимыми по модулю m, если разность (a b) делится на m (m a

Подробнее

Теория решеток для интеллектуального анализа данных

Теория решеток для интеллектуального анализа данных Теория решеток для интеллектуального анализа данных С.О. Кузнецов Тема 2. Порядки и графы ТРИАД 2 p. 1 Квазипорядки Квазипорядок - рефлексивное и транзитивное бинарное отношение. Квазипорядок задает отношение,

Подробнее

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ НАПРАВЛЕНИЯ «ИНФОРМАТИКА И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА»

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ НАПРАВЛЕНИЯ «ИНФОРМАТИКА И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА» Министерство образования и науки Российской Федерации Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского Факультет компьютерных наук Кафедра информационной безопасности С.В. Усов ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

Подробнее

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ С. В. СУДОПЛАТОВ, Е. В. ОВЧИННИКОВА ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА УЧЕБНИК для дистанционного образования

Подробнее

Геометрия Александрова.

Геометрия Александрова. Тема 5 Геометрия Александрова. В этой лекции мы определим пространства Александрова и обсудим некоторые их свойства. 5.1 Треугольники и углы сравнения Пусть (X, d) произвольное метрическое пространство.

Подробнее

Нильпотентные полугруппы, основа графа Кэли которых является деревом

Нильпотентные полугруппы, основа графа Кэли которых является деревом А.Л. Макарьев Омский государственный педагогический университет Электронный научный журнал «Вестник Омского государственного педагогического университета» Выпуск 006 www.os.edu Нильпотентные полугруппы,

Подробнее

ПОСОБИЕ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОБЩЕГО ПОТОКА ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР

ПОСОБИЕ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОБЩЕГО ПОТОКА ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им МВ ЛОМОНОСОВА ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ ПОСОБИЕ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОБЩЕГО ПОТОКА ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР ЛЕКТОР ПРОФ ЧИРСКИЙ

Подробнее

4.2 Отделимость выпуклых множеств

4.2 Отделимость выпуклых множеств 4.2 Отделимость выпуклых множеств При выводе необходимых условий экстремума (принципа Лагранжа) в выпуклых задачах и в задачах с равенствами и неравенствами мы будем использовать свойство отделимости непересекающихся

Подробнее

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ, АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ МОЛДОВА И В БЕЛОУСОВ МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ учебное пособие по линейной алгебре Издание второе, исправленное и дополненное Кишинев: 2006 УДК 519612

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Дискретная математика в примерах и задачах. СПб.: БХВ- Петербург, 2008. 352 с.: ил. (Учебная литература для вузов) Группа подготовки издания:

Дискретная математика в примерах и задачах. СПб.: БХВ- Петербург, 2008. 352 с.: ил. (Учебная литература для вузов) Группа подготовки издания: В. В. Тишин Допущено учебно-методическим советом по прикладной математике и информатике УМО по классическому университетскому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,

Подробнее

(A \ B) \ C = (A \ C) \ (B \ C).

(A \ B) \ C = (A \ C) \ (B \ C). Семинары по Дискретной математике Алексей Федосеев Версия 1.0, июнь 2006 г. Этот текст распространяется под лицензией GNU Free Documentation License (FDL) версии 1.2. Подробную информацию об этой лицензии

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

Теория алгоритмов Полный конспект лекций по курсу 1 Доцент кафедры ДМИ, к. ф.-м. н. С. Ю. Подзоров НГУ,

Теория алгоритмов Полный конспект лекций по курсу 1 Доцент кафедры ДМИ, к. ф.-м. н. С. Ю. Подзоров НГУ, Теория алгоритмов Полный конспект лекций по курсу 1 Доцент кафедры ДМИ, к. ф.-м. н. С. Ю. Подзоров НГУ, 2003 2004. 1 Введение Слово алгоритм возникло довольно поздно (оно образовано от имени арабского

Подробнее

ОТНОШЕНИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЯ И ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ

ОТНОШЕНИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЯ И ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ Губко М.В., Новиков Д.А. ОТНОШЕНИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЯ И ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ В настоящем приложении рассматривается аппарат описания предпочтений участников организационных систем отношения предпочтения и функции

Подробнее

Лекция 14: Линейный оператор

Лекция 14: Линейный оператор Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к рассмотрению функций из векторного

Подробнее

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы Лекция 3: Однородные и неоднородные системы линейных уравнений Система линейных уравнений Определение Линейным уравнением (или уравнением первого порядка) с n неизвестными x 1, x 2,..., x n называется

Подробнее

Т.А.Спасская. Сравнения первой степени

Т.А.Спасская. Сравнения первой степени ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный университет» Математический факультет Кафедра алгебры

Подробнее

Приложение 1. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ

Приложение 1. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ Приложение 1 ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ Для криптографии алгебра является одним из основных инструментов в теоретических исследованиях и практических построениях криптографических преобразований Поэтому в этом

Подробнее

Лекция 2. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ

Лекция 2. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ Лекция 2. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ Цель лекции: изучить основы теории множеств, необходимые для введения фундаментального понятия "отношение", на котором строится дальнейшее изучение реляционной модели данных.

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им Н И ЛОБАЧЕВСКОГО Факультет вычислительной математики и кибернетики Кафедра математической логики и высшей алгебры ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ (Пособие для студентов

Подробнее

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПЕРВЫЙ МОСКОВСКИЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ КОМПЛЕКС

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПЕРВЫЙ МОСКОВСКИЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ КОМПЛЕКС ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПЕРВЫЙ МОСКОВСКИЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ КОМПЛЕКС ЭЛЕМЕНТЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ (Учебное пособие) Москва

Подробнее

ÂÛÑØÅÅ ÏÐÎÔÅÑÑÈÎÍÀËÜÍÎÅ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ Ã.Ì. ÀÌÀÒÎÂÀ, Ì. À.ÀÌÀÒÎÂ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ Â ÄÂÓÕ ÊÍÈÃÀÕ. Êíèãà 2

ÂÛÑØÅÅ ÏÐÎÔÅÑÑÈÎÍÀËÜÍÎÅ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ Ã.Ì. ÀÌÀÒÎÂÀ, Ì. À.ÀÌÀÒÎÂ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ Â ÄÂÓÕ ÊÍÈÃÀÕ. Êíèãà 2 ÂÛÑØÅÅ ÏÐÎÔÅÑÑÈÎÍÀËÜÍÎÅ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ Ã.Ì. ÀÌÀÒÎÂÀ, Ì. À.ÀÌÀÒÎÂ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ Â ÄÂÓÕ ÊÍÈÃÀÕ Êíèãà 2 Рекомендовано Учебно-методическим объединением по специальностям педагогического образования в качестве учебного

Подробнее

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Ткачев С.Б. каф. Математического моделирования МГТУ им. Н.Э. Баумана ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ИУ5 4 семестр, 2015 г. Лекция 10. АЛГЕБРЫ: ПОЛУКОЛЬЦА Определение 10.1. Полукольцо это алгебра с двумя бинарными

Подробнее

Тема 1: Системы линейных уравнений

Тема 1: Системы линейных уравнений Тема 1: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

5. Линейные коды (продолжение)

5. Линейные коды (продолжение) 17 5. Линейные коды (продолжение) Проверочная матрица кода. Другой способ задания линейного подпространства C F n размерности k состоит в указании n k линейных уравнений, которым удовлетворяют координаты

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Летняя школа специализированного учебно-научного центра. Методическое пособие

Летняя школа специализированного учебно-научного центра. Методическое пособие Летняя школа специализированного учебно-научного центра Методическое пособие Екатеринбург 2014 ЛЕТНЯЯ ШКОЛА (2014г) П р о г р а м м а Алгебра 1. Метод интервалов на прямой. 2. Метод областей на плоскости.

Подробнее

Лекция 2: Многочлены

Лекция 2: Многочлены Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Понятие многочлена Определения Многочленом от одной переменной называется выражение вида

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

ПОРЯДОК ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ПОДГРУП- ПЫ. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА И СЛЕДСТВИЯ ЦЕНТР И ЦЕНТРАЛИЗАТОР

ПОРЯДОК ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ПОДГРУП- ПЫ. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА И СЛЕДСТВИЯ ЦЕНТР И ЦЕНТРАЛИЗАТОР ЛЕКЦИЯ 2 ПОРЯДОК ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ. ПОДГРУППЫ ГРУППЫ. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ПОДГРУП- ПЫ. СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА И СЛЕДСТВИЯ ЦЕНТР И ЦЕНТРАЛИЗАТОР 1 ПОРЯДОК ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ЭЛЕМЕНТОВ ГРУППЫ

Подробнее

Принятие решений при многих критериях

Принятие решений при многих критериях ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ- ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ФИЛИАЛ В.Д. Ногин Принятие решений при многих критериях Учебно-методическое пособие Санкт-Петербург 2007 УДК 658.012.41 В.Д. Ногин.

Подробнее

Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Данная

Подробнее

Булевы алгебры Учебное пособие по спецкурсу 1 к. ф.-м. н. С. Ю. Подзоров НГУ,

Булевы алгебры Учебное пособие по спецкурсу 1 к. ф.-м. н. С. Ю. Подзоров НГУ, Булевы алгебры Учебное пособие по спецкурсу 1 к. ф.-м. н. С. Ю. Подзоров НГУ, 2003 2004. 1 Основные определения. Пусть L = L, частично упорядоченное множество. L называется верхней полурешеткой, если для

Подробнее

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

Т. В. Родина, Е. С. Трифанова

Т. В. Родина, Е. С. Трифанова Т В Родина, Е С Трифанова КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ I для напр «Прикладная математика и информатика» Учебное пособие под редакцией проф И Ю Попова Санкт Петербург МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

Подробнее

Перевод на «язык равенств и неравенств»

Перевод на «язык равенств и неравенств» Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Перевод на «язык равенств и неравенств» Раздел электронного пособия «Элементарная математика» e-mail:

Подробнее

Лекция 1: Комплексные числа

Лекция 1: Комплексные числа Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В школьном курсе математики понятие числа постепенно расширяется.

Подробнее

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов). 6. sin x. Ответ: 0,76. Решение. 1) Преобразуем, используя формулы тройного аргумента

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов). 6. sin x. Ответ: 0,76. Решение. 1) Преобразуем, используя формулы тройного аргумента 0 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов) Сумма трѐх чисел равна нулю Может ли сумма их попарных произведений быть положительной? Ответ: нет, не может Решение Пусть a + b + c = 0 Докажем, что

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 9 Считается, что классический функциональный анализ стоит на «трех китах» на трех фундаментальных теоремах. Это теорема Хана Банаха, теорема Банаха об обратном

Подробнее

3 Понятие топологического пространства. Примеры

3 Понятие топологического пространства. Примеры 3 Понятие топологического пространства. Примеры В теории метрических пространств отрытые множества, окрестности предельные точки и другие понятия определяются с использованием понятия метрики. Возможен

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Конспект курса: Основы дискретной математики

Конспект курса: Основы дискретной математики Конспект курса: Основы дискретной математики Е.В. Просолупов. 29th May 2009 Содержание 1 Элементы теории множеств. Комбинаторика. 5 1.1 Введение............................. 5 1.2 Примеры задач..........................

Подробнее

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Лекция 12: Ранг матрицы

Лекция 12: Ранг матрицы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы

Подробнее

Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств

Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 5 сентября 2012 г. Введение Функция Дирихле не интегрируема

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова Е. В. Мартынова, И. П. Мурзина, Т. М. Степанюк,

Подробнее

Преобразуем уравнение. Обозначим Тогда

Преобразуем уравнение. Обозначим Тогда Задача 1 Решения задач по математике «Плехановской олимпиады школьников» (очный тур 11 класс) Если двухзначное число разделить на некоторое целое число, то в частном получится 3 и в остатке 8 Если в делимом

Подробнее

О РАЗЛОЖИМЫХ ВПОЛНЕ ТРАНЗИТИВНЫХ ГРУППАХ БЕЗ КРУЧЕНИЯ А. Р. Чехлов

О РАЗЛОЖИМЫХ ВПОЛНЕ ТРАНЗИТИВНЫХ ГРУППАХ БЕЗ КРУЧЕНИЯ А. Р. Чехлов Сибирский математический журнал Май июнь, 2001. Том 42, 3 УДК 512.541 О РАЗЛОЖИМЫХ ВПОЛНЕ ТРАНЗИТИВНЫХ ГРУППАХ БЕЗ КРУЧЕНИЯ А. Р. Чехлов Аннотация: Установлен ряд свойств вполне транзитивных групп без

Подробнее

Векторы в пространстве и метод координат. Задача C2

Векторы в пространстве и метод координат. Задача C2 А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru Векторы в пространстве и метод координат. Задача C Существует два способа решения задач по стереометрии. Первый классический

Подробнее

15. Гильбертовы пространства

15. Гильбертовы пространства 5 Гильбертовы пространства Гильбертово пространство линейное нормированное пространство, со скалярным произведением из или, полное относительно нормы, порожденным скалярным произведением Рассмотрим случай

Подробнее

Целые, рациональные и вещественные числа

Целые, рациональные и вещественные числа Глава 2 Целые, рациональные и вещественные числа 2.. Целые числа Числа, 2, 3,... называются натуральными. Множество всех натуральных чисел обозначается N, т.е. N = {,2,3,...}. Числа..., 3, 2,,0,,2,3,...

Подробнее

7. Подпространства линейного пространства Линейные оболочки Ранг матрицы и размерность линейной оболочки ее столбцов.

7. Подпространства линейного пространства Линейные оболочки Ранг матрицы и размерность линейной оболочки ее столбцов. Содержание Гл.. Основные понятия. 3. Что такое линейная алгебра?...................... 3 2. Числовые поля.............................. 3 3. Линейная зависимость столбцов и строк................ 4 4. Ранг

Подробнее

1.2. В равнобокой трапеции AВСD основания AD и ВС равны 12 и 6 соответственно, а высота равна 4. Сравните углы ВАС и САD.

1.2. В равнобокой трапеции AВСD основания AD и ВС равны 12 и 6 соответственно, а высота равна 4. Сравните углы ВАС и САD. 9 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов)... На координатной плоскости изображен график функции y = ax + c (см. рисунок). В каких точках график функции y = cx + a пересекает оси координат? Ответ:

Подробнее

базисы в то эти базисы называются гомотетичными. Отношение гомотетичности базисов будем обозначать

базисы в то эти базисы называются гомотетичными. Отношение гомотетичности базисов будем обозначать Лекция 2 Тема: Понятие проективного репера и проективных координат точки Построение точки по ее координатам на модели проективной прямой и плоскости Преобразование проективных координат План лекции 1 Понятие

Подробнее

Наборы прямых на плоскости

Наборы прямых на плоскости Наборы прямых на плоскости Решения задач до промежуточного финиша Задача 1. Ответ: n + 1 f n(n+1) + 1. Оба неравенства доказываются индукцией по n, база n = 1, f =. Если добавляемая прямая пересекает предыдущие

Подробнее

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

Лекция апреля 2009

Лекция апреля 2009 Действительный анализ. Лекция 10. 15 апреля 009 1 Действительный анализ. IV семестр. 009 год. Лектор Скворцов В. А. Об ошибках писать на july.tih@gmil.com Лекция 10 15 апреля 009 Продолжим доказательство

Подробнее

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений 28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Размерность

Подробнее

Целью практикума является более глубокое усвоение материала контента темы 6, а также развитие следующих умений и навыков:

Целью практикума является более глубокое усвоение материала контента темы 6, а также развитие следующих умений и навыков: Практикум по теме 6 Целью практикума является более глубокое усвоение материала контента темы 6 а также развитие следующих умений и навыков: построение функций реакции в модели дуополии по Курно (в слу-

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Поверхности второго порядка. Определение функции х переменных. Геометрическая интерпретация. Частные приращения функции. Частные производные.

Подробнее

Предложение 1. Предложение 2.

Предложение 1. Предложение 2. 2. ПРЯМОЕ ВВЕДЕНИЕ ПОРЯДКА В СИСТЕМЕ ПЕАНО В конце XIX века было завершено построение содержательных аксиоматических теорий двух важнейших областей математики - арифметики и евклидовой геометрии (Гильберт).

Подробнее

Лекция 18: Ортонормированный базис

Лекция 18: Ортонормированный базис Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Ортогональные и ортонормированные наборы векторов Из определения угла между векторами

Подробнее

Решения задач по математике «Плехановской олимпиады школьников» (очный тур 10 класс)

Решения задач по математике «Плехановской олимпиады школьников» (очный тур 10 класс) Задача 1 Решения задач по математике «Плехановской олимпиады школьников» (очный тур 10 класс) Найдите все простые числа p и q такие, что выражение целого числа является квадратом 1 Очевидно, что при q

Подробнее

Министерство Российской Федерации по связи и информации. Санкт Петербургский Государственный Университет

Министерство Российской Федерации по связи и информации. Санкт Петербургский Государственный Университет Министерство Российской Федерации по связи и информации Санкт Петербургский Государственный Университет телекоммуникаций им.проф. М. А. Бонч Бруевича Факультет заочного обучения О.М. Дмитриева И.С. Перфилова

Подробнее

24. p-адические числа

24. p-адические числа 24. p-адические числа На этой лекции мы разберем важные примеры пространств, свойства которых в некотором отношении противоположны свойствам R и прочих связных пространств. Определение 24.1. Топологическое

Подробнее

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов План лекции Ориентация векторного базиса в пространстве Определение векторного произведения двух векторов Свойства векторного произведения 4 Вычисление векторного

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского Национальный исследовательский университет Учебно-научный и инновационный комплекс "Модели методы и программные средства" Основная образовательная

Подробнее

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1 Глава 1 Основы алгебры Числовые множества Рассмотрим основные числовые множества. Множество натуральных чисел N включает числа вида 1, 2, 3 и т. д., которые используются для счета предметов. Множество

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР ТЕОРИЯ ИГР И.В. ПИВОВАРОВА. Пивоварова Ирина Викторовна. Министерство образования и науки Российской Федерации

ТЕОРИЯ ИГР ТЕОРИЯ ИГР И.В. ПИВОВАРОВА. Пивоварова Ирина Викторовна. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Владивостокский государственный университет экономики и сервиса Учебное издание Пивоварова Ирина Викторовна ТЕОРИЯ ИГР Практикум ИВ ПИВОВАРОВА ТЕОРИЯ

Подробнее

1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены

1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены Глава III. Теория устойчивости 1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены III.1.1. Устойчивые решения линейных ОДУ Существенную роль в исследовании различных процессов, поведение которых описывается

Подробнее

Введение в теорию обобщенных функций

Введение в теорию обобщенных функций Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук Лекционные курсы НОЦ Выпуск 5 Издание выходит с 2006 года Ю. Н. Дрожжинов, Б. И. Завьялов Введение в теорию обобщенных функций Москва

Подробнее

Лекция 5: Определители

Лекция 5: Определители Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии уже говорилось об определителях

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра компьютерной топологии и алгебры АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра компьютерной топологии и алгебры АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра компьютерной топологии и алгебры АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА Методические указания для практических занятий по "Теории

Подробнее

Факультативно. Ковариантная форма физических законов.

Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Ковариантность и контравариантность. Слово "ковариантный" означает "преобразуется так же, как что-то", а слово "контравариантный" означает "преобразуется

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины А. В. БУЗЛАНОВ, С. Ф. КАМОРНИКОВ, В. С. МОНАХОВ АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ.

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

Рабочая программа по математике 5-6 класс ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ В 5-6 КЛАССАХ

Рабочая программа по математике 5-6 класс ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ В 5-6 КЛАССАХ Рабочая программа по математике 5-6 класс ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ Рациональные числа Ученик научится: В 5-6 КЛАССАХ 1) понимать особенности десятичной системы счисления; 2) владеть понятиями,

Подробнее