ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Учебно-методическое пособие для студентов направления «Прикладная информатика» очной формы обучения

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Учебно-методическое пособие для студентов направления «Прикладная информатика» очной формы обучения"

Транскрипт

1 РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ Г. В. РУБЛЕВА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методическое пособие для студентов направления «Прикладная информатика» очной формы обучения Тюмень Тюменский государственный университет 014

2 УДК: 519. (075.8) ББК: В 17я73+В171я73 Р 84 Г. В. Рублева. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-методическое пособие для студентов направления «Прикладная информатика» очной формы обучения. Тюмень: Тюменский государственный университет, 014, 38 с. Представленный в пособии теоретический материал соответствует Федеральному Государственному образовательному стандарту по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов направления «Прикладная информатика». В учебно-методическом пособии в рамках программы односеместрового курса изучения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» содержится структурированный теоретический материал, большое количество разнообразных примеров и задачи для самостоятельного решения, сопровождающихся ответами. Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Теория вероятностей и математическая статистика [электронный ресурс] / Режим доступа: свободный. Рекомендовано к изданию кафедрой математического анализа и теории функций. Утверждено первым проректором Тюменского государственного университета. Ответственный редактор: зав. кафедрой МА и ТФ Хохлов А.Г. ФГБОУ ВПО Тюменский государственный университет, 014. Г.В.Рублева, 014.

3 Введение В окружающем нас мире каждому явлению присущи определенные закономерности и в то же время каждое явление зависит от множества случайностей. Иногда влияние случая настолько существенно, что без его исследования и количественной оценки невозможно изучение данного явления. Теория вероятностей математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. В теории вероятностей для изучаемого явления строится математическая модель, в которой описывается закон распределения исследуемой случайной величины, т.е. указывается, какие возможные значения может принимать случайная величина, с какими вероятностями, как вычислить ее основные числовые характеристики. В теории вероятностей мы не проводим сами эксперименты на практике, а лишь рассуждаем о них и получаем выводы о законе распределения априори. В математической статистике, наоборот, - исходными являются экспериментальные данные, и требуется получить выводы о природе рассматриваемого явления. Математическую статистику можно охарактеризовать как науку принятия разумных решений в условиях неопределенности. Задачи математической статистики состоят в разработке методов сбора, систематизации и обработки статистических данных для удобного их представления, интерпретации и формирования научных и практических выводов. 3

4 ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Глава 1. Случайные события 1.1. Элементы теории множеств и комбинаторики Под множеством понимается совокупность (набор, собрание) каких-либо элементов. Например, набор предметов в чайном сервизе, собрание книг на полке, совокупность натуральных чисел и т.д. Каждое множество А определяется принадлежащими ему элементами a,b,c,. Например, множество A четных чисел на гранях игральной кости состоит из трех элементов: A ={,4,6}. Каждое множество, которому принадлежит ровно один элемент, называется элементарным. Например, множество решений квадратного множеством - {3}. уравнения x -6x 9 0 является элементарным Множества A и B равны, если каждый элемент множества A принадлежит множеству B и каждый элемент множества B принадлежит множеству A. Объединением множеств A и B называется множество AUB, образованное всеми элементами, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B. Пересечением множеств A и B называется множество A B, образованное всеми элементами, которые принадлежат каждому из множеств A и B. Например, для множеств А={O, Δ, x, }, В={z,,, Δ, x, O} и С={1, 5, 7} получаем: AUB={O, Δ, x, z,,, } и A B={O, Δ, x}, A C=Ø. Произвольное множество A, каждый элемент которого принадлежит множеству B, называется частью множества B. Рассмотрим произвольное множество Ω и его часть А. Дополнение множества А до множества Ω обозначают A : 4

5 A ΩA. Теорема о дополнении. Для любого множества А справедливы следующие равенства: А A =Ø, А A Ω, A А. Рассмотрим произвольное множество Ω и его части А и В. Связь между объединением, пересечением и дополнением выражает: Теорема де Моргана. A и B. и В. A B A B, Множество A B A B - A B Множество A B A B. называется суммой множеств A B A B называется произведением множеств А Декартовым произведением множества А на множество В называется множество A B, образованное всеми упорядоченными парами, первые элементы которых принадлежат множеству А, а вторые множеству В. Если множества А и В различны, то A B B A. Раздел математики, в котором изучаются способы подсчета числа элементов различных конечных множеств, называется комбинаторикой. Теоретическое исследование вопросов комбинаторики предприняли в XVII веке французские учѐные Б.Паскаль и П. Ферма. Обозначим A - количество элементов множества А. Число элементов пустого множества равно нулю: Ø =0. Число элементов множества, образованного единственным элементом, равно единице: A =1. Важную роль в комбинаторике играют следующие правила: Правило сложения: Для любых конечных непересекающихся множеств А и В число A+B элементов суммы А+В равно сумме чисел A и B элементов этих множеств: A+B = A + B. 5

6 Правило умножения: Для любых конечных множеств А и В число A B элементов декартова произведения A и B элементов этих множеств: AB = A B. А В равно произведению чисел На практике это означает, что если первый элемент а выбирается из возможных, а второй элемент b упорядоченных пар вида (a,b) равно произведению k. - из k возможных, то число Правило вычитания: Для каждой части А конечного множества В верно: A-B = A - B. Правило объединения: Для любых конечных множеств А и В верно: A B = A + B - A B. Запишем правило объединения для трех множеств: A B C = A + B + C - A B - B C - A C + A B C. Пример 1.1 Заданы множества: A 1,, 3, 4, 5, a, b, c a, b c, C 1,, 3, 4, 5, D a, b, c B, B C ; в) A B ; г) A B ; д) B D ; е) С D ; ж) B D,. Найти: а) B C ; б) полученных множеств определить количество элементов. Решение: а) Ø =0; B C б) B C a, b, c,1,,3, 4, 5 A в) A B,,3, 4, 5 C. Для каждого из Ø, число элементов пустого множества равно нулю: 1, A-B = A - B =8-3=5;, B C = B + C - B C =3+5-0=8; г) A B A B - A B A - B C, A+B = C =5; д) так как B D, то B D B D - B D B - B Ø, Ø =0; е) для нахождения элементов множества С D составим таблицу: C D a (1,a) (,a) (3,a) (4,a) (5,a) b (1,b) (,b) (3,b) (4,b) (5,b) c (1,c) (,c) (3,c) (4,c) (5,c) 6

7 В таблице в скобках перечислены элементы множества С D - упорядоченные пары, первые элементы которых являются элементами множества C, а вторые элементами множества D. По правилу произведения количество элементов полученного множества равно C D = C D =5 3=15; ж) множества B и D равны, поэтому которого перечислены в таблице: В B D B B B a b c a (a,a) (b,a) (c,a) b (a,b) (b,b) (c,b) c (a,c) (b,c) (c,c) Число элементов в полученном множестве равно B =3 3=9. B, элементы Пример 1. На вершину горы ведут пять дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и спуститься с нее? То же самое при условии, что спуск и подъем происходят по разным путям. Решение: Для того чтобы подняться на гору у туриста имеется 5 вариантов, для спуска с горы тоже 5 способов. Следовательно, по правилу произведения получаем: 5 5=5. Если же подъем и спуск должны проходить по разным путям, то для спуска будет 4 варианта (один вариант уже использован при подъеме): 5 4=0. Пример 1.3 На экзамене по математике было предложено 3 задачи: по алгебре, геометрии и тригонометрии. Из 100 абитуриентов задачу по алгебре решили 80 человек, по геометрии 70, по тригонометрии 60. При этом задачи по алгебре и геометрии решили 60 абитуриентов; по алгебре и тригонометрии 50; по геометрии и тригонометрии 40; 30 7

8 человек решили все задачи. Сколько абитуриентов не решили ни одной задачи? Решение: Обозначим: Ω множество всех абитуриентов; A множество абитуриентов, решивших задачу по алгебре; T абитуриентов, решивших задачу по тригонометрии; Г тех, кто решил задачу по геометрии Их количество определяется по правилу объединения для трех множеств: A T Г = A + Т + Г - A Т - Т Г - A Г + A Т Г = = =90. Ω - А Т Г - множество абитуриентов, не решивших ни одной задачи. По правилу вычитания их количество равно: Ω-(А Т Г ) = Ω - А Т Г =100-90=10. Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок: сколькими способами можно переставить различных предметов, расположенных на различных местах? Пример 1.4 Сколькими способами можно разместить трех гостей, сидящих соответственно на трех местах 1,, 3? Решение: Перечислим варианты размещения гостей, обозначая в верхней строке номер места, а в нижней строке соответствующего гостя:,,,,,. АВС АС В В АС ВС А С АВ С В А Всего, таким образом, получается 3=6 способов. Перестановками из элементов называют всевозможные расстановки, каждая из которых содержит все эти элементы по одному разу и которые отличаются друг от друга лишь порядком элементов. Число перестановок обозначают через P. Чтобы узнать, сколько перестановок можно составить из элементов, надо 8

9 перемножить все натуральные числа от 1 до. Это произведение обозначают! (читается -факториал): P = ! В частности, если =0, то полагают 0!=1. Пример 1.5 Сколькими способами можно рассадить 5 человек вокруг круглого стола? (Способы считаются различными, если различается взаимное расположение людей). Решение: Если бы эти 5 человек стояли в ряд, то получилось бы 5!=10 способов. Но так как стол круглый, то важно их взаимное расположение. Поэтому мы должны исключить варианты, полученные путем вращения, значит, 10 надо разделить на 5. Таким образом, получается 10:5=4 способа. Пусть конечное множество А содержит элементов. Часть множества А, составленную из 9 m элементов, будем называть выборкой (без возвращения) m из элементов множества А. Число всех таких выборок определяется числами m, символом В и обозначается m C. Вместо слова выборка говорят также сочетание: m- сочетаниями из элементов называют всевозможные m- расстановки, составленные из этих элементов и отличающиеся друг от друга составом, но не порядком элементов. Число таких сочетаний вычисляется по формуле: 1) ) Числа m C m!. m! - m! m C обладают следующими свойствами: -m C C ; 0 1 C C C... C ; 3) для любого m, удовлетворяющего условию 1 m, справедливо равенство: C m m -1 m-1-1 C C.

10 Числа 0 1 коэффициентами. 4) C C -1 C, C,, C, C называют также биномиальными 1 C... C m -1 C 1 m. Пример 1.6 В коробке 7 шариков разного цвета. Сколькими способами можно выбрать 3 шарика? Решение: Выбор 3 шариков из коробки это выборка без возвращения из совокупности 7 шариков. Число всех таких выборок это число 3 - сочетаний из 7 элементов: 3 7! 7! 4! C ! 7-3! 3! 4! 1 3 4! Пример 1.7 Сколько существует вариантов опроса 0 студентов на одном занятии, если каждого из них спрашивают только по одному разу и на занятии может быть опрошено любое количество студентов, причем порядок опроса безразличен? Решение: Преподаватель может не спросить ни одного из 0 студентов, что является одним из вариантов. Этому случаю соответствует 0 C 0. Преподаватель может опросить только одного из студентов, таких вариантов С 1 0. Если преподаватель будет опрашивать двух студентов, то число вариантов опроса равно существует С 0. Для опроса трех студентов 3 С 0 и т.д. Наконец, могут быть опрошены все студенты. Число вариантов в этом случае равно С 0 0. Тогда по правилу сложения число всех возможных вариантов опроса равно: С С С... С. Можно было бы рассуждать иначе: для каждого из студентов существует две возможности либо он будет опрошен на данном 10

11 занятии, либо нет. Другими словами, каждую из 0 операций, заключающихся в том, что каждый студент будет либо опрошен, либо нет, можно выполнить по правилу умножения 0... способами. Пример 1.8 В ящике 6 белых, 4 красных и 8 зеленых шаров. Сколькими способами можно извлечь из ящика 6 шаров, из которых белых, красных и зеленых? Решение: Разобьем перебор на три этапа: на первом выбираем белых шара, на втором красных шара, на третьем зеленых. Всего шариков 18 штук. Выбрать белых шара значит выбрать - элементное подмножество из множества 6-ти шаров, т.е. сочетание из 6 по. Количество способов сделать это равно: C 6 6! 15.! 4! Классической задачей комбинаторики является также задача о числе размещений: сколько существует способов, чтобы выбрать m из различных элементов и разместить их по m различным местам? Число размещений m элементов из обозначается m A. Так как сначала мы выбираем m из элементов, а затем упорядочиваем их, то для определения числа размещений надо перемножить число сочетаний m C на число перестановок P m : m A m!! C Pm m!. m! - m! - m! Пример 1.9 Сколькими способами можно выбрать человек из 4 и разместить их по местам? Решение: Число способов выбрать элемента из 4 это число выборок объемом из совокупности, содержащей 4 элемента: С 4 ; число 11

12 способов упорядочить их это число размещений P ; следовательно, по правилу произведения получаем: 4! 4! A 4 C4 P 1. 4!! Если из конечного множества A, содержащего элементов, m раз выбирать по одному элементу, каждый раз возвращая его обратно, то получим множество из m элементов, которое называют выборкой с повторениями или размещением с повторениями. Число всех размещений с повторениями из элементов по m зависит, очевидно, только от и m (а не от природы множества A). Обозначим это число m A. Из правила произведения следует, что это число равно: m A... m раз m. Пример 1.10 Сколькими способами k пассажиров могут распределиться по вагонам, если для каждого пассажира существенным является только номер вагона, а не занимаемое им в вагоне место? Решение: Перенумеруем всех пассажиров (т.е. условимся, кого из них мы считаем первым, кого вторым и т.д.). Пусть x 1 - номер вагона, выбранного первым пассажиром, x - номер вагона второго пассажира и т.д. Строка x 1, x,..., x k полностью характеризует распределение пассажиров по вагонам. Каждое из чисел x 1, x,, x k может принимать любое целое значение от 1 до. Таким образом, различных распределений по вагонам будет столько, сколько строк длиной k можно составить из элементов множества X 1,,...,. Следовательно, их будет k A k. 1

13 Если в перестановках из общего числа элементов есть k различных элементов, при этом 1-й элемент повторяется 1 раз, -й элемент - раз, k-й элемент - k раз, причем 1... k, то такие перестановки называют перестановками с повторениями из элементов. Число перестановок с повторениями из элементов равно:! P.!!...! 1 k Пример 1.11 Даны различных предметов и k ящиков. Надо положить в первый ящик 1 предметов, во второй - предметов,, в k-й - предметов, где сделать такое распределение? 1... k. Сколькими способами можно Решение: Условие задачи можно переформулировать следующим образом: имеются элементы k различных типов; сколько перестановок можно сделать из 1 элементов первого типа, эле- ментов второго типа,, k элементов k-го типа? Если бы все элементы были различны, то число перестановок равнялось бы!. Но из-за того, что некоторые элементы совпадают, получится меньшее число перестановок. Элементы первого типа можно переставить друг с другом 1! способами. Но так как все эти элементы одинаковы, то такие перестановки ничего не меняют. Точно также ничего не меняют! перестановок элементов второго типа,, k! перестановок элементов k-го типа. Перестановки элементов первого типа, второго типа и т.д. можно делать независимо друг от друга. Поэтому (по правилу умножения) элементы можно переставлять друг с другом!!...! способами так, 13 1 k что она останется неизменной. То же самое верно и для любого другого расположения элементов. Поэтому множество всех! перестановок распадается на части, состоящие из!!...! одинаковых 1 k k

14 перестановок каждая. Значит, число различных перестановок с повторениями, которые можно сделать из данных элементов, равно:! P!!...!. 1 k Пусть множество A содержит m элементов, среди которых по m одинаковых элементов каждого из различных типов. Число способов выбрать m элементов из множества A называется выборкой с повторениями (или сочетаниями с повторениями) и вычисляется по формуле: m m 1! C. m! 1! Пример 1.1 «Индейское гадание»: имеется 1 лоскутков разного цвета (синий, красный, белый, жѐлтый, зелѐный и чѐрный по штуки каждого). Девушка, желающая узнать свою судьбу, наудачу извлекает лоскутка. В зависимости от сочетания цветов в полученной паре индейская гадалка даѐт различные предсказания. Сколько существует способов цветовых сочетаний)? Решение: извлечь лоскутка (т.е. сколько существует различных В данном случае количество различных типов предметов (количество цветовых окрасок у лоскутков) равно =6, число одинаковых предметов (число лоскутков одного цвета): m=. Число различных цветовых сочетаний для двух наудачу выбранных лоскутков это число выборок с повторениями: 6 1! 7! C 1. 6! 6 1!! 5! Вычислять биномиальные коэффициенты m C можно с помощью математической функции EXCEL ЧИСЛКОМБ(число, 14

15 выбранное число), которая возвращает количество комбинаций для заданного числа объектов. Аргументами данной функции являются: число (объем совокупности), выбранное число m (объем выборки). Для определения количества перестановок P! используют математическую функцию EXCEL ФАКТР(число), которая возвращает факториал числа, равный 1... число. равенство Определить число размещений m A P C m m соответствующих функций EXCEL. A m! можно, используя - m!, где сомножители вычисляются с помощью Число размещений с повторениями m A m можно вычислить с помощью математической функции СТЕПЕНЬ(число, степень числа), которая возвращает результат возведения в степень. Для нахождения числа перестановок с повторениями! P вычисляем сомножители знаменателя и числитель 1!!... k! отдельно с помощью математической функции ФАКТР(число). Задачи для самостоятельного решения: 1.1 Найти геометрическую интерпретацию следующих множеств: а) a, b c, d, где a, b и d a, b a, b; в) a, b a, b a, b 1. Найти а) 3 A 5 ; б) c, - отрезки действительной прямой R ; б). 4 C 7 ; в) 8 P ; г) 3 A ; д) 5 C Найти AUB, A B, A-B, B-A, A+B, AxB, BxA, если: а) A, 1,0,1,3,5, B 1,1,3 ; б) A 0;4, ;5 B. 15

16 1.4 Занятия по аэробике посещают 0 человек, в бассейн ходит 10 человек. Сколько человек посещают занятия по аэробике или по плаванию, если: а) эти занятия проходят в одно и то же время; б) занятия проходят в различное время и 8 человек посещают и бассейн и занятия по аэробике? 1.5 В спортивном магазине за месяц было продано 1000 пар лыж, 500 пар ботинок и 500 пар палок. При этом 400 пар лыж было куплено вместе с ботинками, 300 пар лыж вместе с палками, 00 пар ботинок вместе с палками, а 100 пар лыж вместе с ботинками и палками. Сколько было покупателей (тех, кто сделал покупки)? 1.6 Сколькими способами можно переставить буквы в слове: а) «учебник»; б)* «математика»? 1.7 Сколько существует вариантов выбора четырех букв из слова «учебник»? 1.8 Имеется 7 карточек, на которых написаны цифры: 1,, 4, 6, 7, 8, 9. Сколько из них можно составить трехзначных чисел? 1.9 Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 6 карт так, чтобы среди них были туза, дама, валет и шестерки? 1.10 На предприятии имеется 3 вакансии для мужчин, для женщин и 4 вакансии, которые могут быть заняты как мужчинами, так и женщинами. Сколькими способами могут выбрать место работы трое мужчин и две женщины? 1.11 Из пункта А в пункт В можно добраться самолетом, поездом, автобусом, а из него в пункт С пешком, на тракторе, на лошади, на лодке. Сколькими способами можно выбрать дорогу от пункта А до пункта С через В? 1.1 Пять авторов должны написать задачник по математике, состоящий из 14 глав. Два автора пишут по две главы, два других по 3 и еще один 4 главы книги. Сколькими способами может быть распределен материал между авторами? 16

17 1.13 Каждого из 6 студентов можно направить для прохождения практики на одно из трѐх предприятий. Сколькими различными способами это можно осуществить? 1.14 Сколько существует пятизначных чисел, состоящих из цифр 1, и 9, в которых цифра 1 повторяется 1 раз, а цифры и 9 по раза? 1.15 Сколько всего существует возможных результатов опыта с подбрасываниями: а) 10 раз монеты; б) 3 раза «кости»? Ответы: 1.1 а) прямоугольник; б) квадрат; в) куб. 1. а) 60; б) 35; в) 4030; г) 15; д) а) 30; б) а) 5040; б) 15100; Действия над событиями Каждая наука при изучении явлений материального мира оперирует теми или иными понятиями, среди которых обязательно имеются основополагающие. В теории вероятностей таковыми являются: Опыт действие, результат которого заранее неизвестен. Предполагается, что опыт можно неограниченное число раз повторять. Например, результат бросания монеты или игральной кости. Эксперимент один или несколько опытов. Например, бросание монеты 3 раза или стрельба по мишени 5 раз. Исход возможный результат опыта. Исход называется элементарным, если его нельзя разложить на более простые исходы. Например, при бросании монеты элементарными исходами будут: решка или герб. Событие один или несколько исходов эксперимента. События бывают: невозможные те, которые не могут произойти в результате данного опыта; 17

18 достоверные обязательно наступающие в результате данного испытания; случайные происходящие или не происходящие в результате данного опыта. Например, бросается монета один раз. В этом опыте нам неважно, какая монета: медная или серебряная, 5 рублей или 10 рублей, а важно лишь, что это диск, изготовленный из однородного материала, симметричный, у которого две стороны отличаются друг от друга. Заранее предугадать, как именно упадет монета, мы не можем. «Монета упала гербом вверх», «монета упала решкой вверх» - случайные события; «монета упала, полежала, а потом подпрыгнула» или «монета зависла в воздухе» - такие события невозможны; «монета выпала вверх гербом или решкой» - событие достоверное. События называются несовместными, если в результате данного испытания появление одного из них исключает появление другого. Например, при стрельбе по мишени события «попадание» и «непопадание» - несовместны. События называются совместными, если в результате данного испытания появление одного из них не исключает появления другого. Например, при подбрасывании игральной кости события «на верхней грани выпала 3» и «на верхней грани выпало нечетное число очков» - совместные события. События называются равновозможными, если в результате испытания по условиям симметрии ни одно из этих событий не является объективно более возможным. Несколько событий называются единственно возможными, когда в результате эксперимента должно произойти хотя бы одно из них. Несколько событий образуют полную группу, если они являются единственно возможными и несовместными результатами 18

19 эксперимента. Это означает, что в результате испытания обязательно должно произойти одно и только одно из этих событий. Два несовместных события, из которых одно обязательно должно произойти, называются противоположными. Случайное событие, противоположное к A, обозначается A. Результат действия над случайными событиями это тоже случайное событие. Пусть с некоторым опытом связаны события A и B. Их суммой называется третье событие A+B, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий. Если A и B совместные события, то их сумма A+B обозначает наступление или события A, или события B, или обоих событий вместе. Если A и B несовместные события, то их сумма A+B обозначает наступление или события A, или события B. Произведением событий A и B называется третье событие AB, состоящее в совместном наступлении этих событий. Если A и B совместные события, то их произведение AB означает наступление и события A, и события B. Если A и B несовместные события, то их произведение является невозможным событием. Формирование навыков работы со случайными событиями является необходимым условием для дальнейшего успешного решения задач по теории вероятностей, так как решение любой задачи на вычисление вероятности случайного события начинается с ответа на вопрос: «Что считать элементарным исходом в данном эксперименте, и как исследуемое событие может быть представлено с помощью элементарных исходов?» 19

20 Пример.1 Двое рабочих сделали по детали. Обозначим: 1 событие, состоящее в том, что первый рабочий изготовил годную деталь; бракованную деталь; второй рабочий изготовил годную деталь; бракованную деталь. Используя принятые обозначения, запишите с их помощью следующие события: А обе детали годные; В обе детали дефектные; С ровно одна деталь бракованная; Е годная только вторая деталь; D хотя бы одна деталь дефектна. Решение: А= 1 ; B 1 ; D _ C 1 1 ; E 1 ; _ 1 - Если событие A наступает всегда, когда наступает B, то говорят, что событие B влечет событие A (обозначают B A). Разностью двух событий A и B называется событие A-B (обозначается также A\B),которое состоится, если событие A произойдет, а событие B не произойдет. _ - Пример. Из таблицы случайных чисел наудачу взято одно число. Пусть событие А означает, что выбранное число кратно 5; событие В данное число оканчивается нулем. Что означают события: а) A-B; б) _ А B? Решение: а) Число кратно 5, если оно оканчивается цифрами 5 или 0. В данном случае событие В влечет событие А ( B A), следовательно, событие А-В означает, что выбранное случайным образом число оканчивается цифрой 5, но при этом не заканчивается нулем. 0

21 б) Событие B означает, что выбранное число не оканчивается нулем. Так как B A, то A - B B, следовательно, A B A A - B A - B. Пример.3 При каких событиях A и B возможно равенство: а) A B A; б) A B A? Решение: а) Сумма A B представляет собой событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий A и B. Если событие B влечет событие A ( B A). A B A, то б) Произведение событий A и B означает наступление обоих событий одновременно и, по условию, это есть событие A. Значит, событие A влечет событие B ( A B ). Пример.4 Пусть А событие, состоящее в том, что студент владеет английским языком, F французским, I итальянским. Что означают события: A, AFI, A F, A I? Решение: A - студент не знает английского языка; AFI - студент владеет тремя языками; AF французским языком; языков. Пример.5 Пусть - студент знает английский, но не владеет A I - владеет, по крайней мере, одним из двух Ai означает, что в серии из 5-ти бросков монеты на i- м броске выпал орѐл. Запишите следующие события: а) орѐл не выпал ни разу; б) орѐл выпал ровно один раз; в) орѐл выпал не менее одного раза; Решение: Событие A i означает, что орѐл при i-м броске не выпал. а) A 1 A A3 A4 A5 - орѐл не выпал ни разу; б) орѐл выпал ровно один раз: 1

22 A 1A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A НЕСОВМ ЕСТН ЫЕ СОБЫТИЯ в) орѐл выпал не менее одного раза: Ω A1 AA3 A4A5 ; Пример.6 Какие из тождеств верны: a) _ B A B ; б) A A Ø; в) A A Ω ; г) A B A B Ω ; A д) A B A Ø? Решение: Событие A B означает, что происходит либо A, либо B, либо оба события одновременно. Следовательно, событие A B означает, что не происходит событие A и не происходит событие B, т.е. наблюдается противоположное событие A B. Значит, a) верно. По определению _ A является несовместным с исходным, т.е. одновременно с ним наблюдаться не может. Поэтому б) верно. Справедливость тождества в) также следует из определения противоположных событий. Что касается тождества г), то оно не верно: левая часть описывает не все исходы эксперимента сюда надо еще добавить события тождество. _ A B A B _. д) ABAAABØ B=Ø верное Задачи для самостоятельного решения:.1 Что означают события: а) A A ; б) A A?. Эксперимент состоит в проверке трѐх приборов. Событие A «хотя бы один из проверяемых приборов бракованный», событие B «брака нет». Что означают события: а) A B ; б) A B?.3 Монета бросается четыре раза. Обозначим Ai - событие, состоящее в том, что «герб» появился I раз. Что означают события:

23 а) A0 A1 A ; б) A1 A A3 A4?.4 Бросается игральный кубик. Обозначим Ai - событие, состоящее в том, что выпало на верхней грани I очков. Выразите через следующие события: B «число выпавших очков меньше 4»; C «число выпавших очков больше»; D «число выпавших очков чѐтно»..5 Два шахматиста играют одну партию. Событие А «выиграет первый игрок», событие В «выиграет второй игрок». Какое событие следует добавить к указанной совокупности, чтобы получилась полная группа событий?.6 Банк выдал три кредита по 1 млн. руб. Обозначим Ai - событие, состоящее в том, что i-й заѐмщик своевременно вернѐт кредит. Выразите через A i следующие события: B «все вернут кредиты вовре-мя», C «вернут хоть что-нибудь», D «вернут не менее млн. руб.».7 Пять человек надевают шляпы. Обозначим Ai - событие, состоящее в том, что i-й человек надел свою шляпу. Выразите через следующие события: B «все одели свои шляпы», C «ни один не одел свою шляпу», D «хотя бы один надел свою шляпу»..8 Двое поочередно бросают монету, выигрывает тот, кто раньше выбросит герб. Опишите следующие события: «выигрывает первый», «выигрывает второй». Какое событие будет в данном случае невозможным?.9 Три студента независимо друг от друга решают одну и ту же задачу. Обозначим событие «первый студент решил задачу» через A 1, «второй студент решил задачу» - A, «третий студент решил задачу» - A. Выразить через события i 1,, 3 3 а) A «все студенты решили задачу»; A i следующие события: б) B «задачу решил только первый студент»; в) C «задачу решил хотя бы один студент»; г) D «задачу решил только один студент». A i A i 3

24 .10 Пусть A, B, C три произвольных события. Выразить через A, B, C и их отрицания следующие события: а) произошло только событие C; б) произошли все три события; в) произошло по крайней мере одно из этих событий; г) произошло по крайней мере два события; д) произошло только два события; е) ни одно событие не произошло; ж) произошло не более двух событий..11 Совместны ли события A и A B?.1 Являются ли несовместными следующие события: а) опыт бросание двух монет. События: A 1 - «появление двух гербов», A - «появление двух цифр»; б) опыт три выстрела по мишени. События: B 1 - «хотя бы одно попадание», B - «хотя бы один промах»; в) опыт бросание двух игральных костей. События: C 1 - «хотя бы на одной кости появилось три очка», C - «появление чѐтного числа очков на каждой кости»; г) опыт извлечение двух шаров из урны, содержащей белые и черные шары. События: D 1 - «взято два белых шара», D - «оба изв-лечѐнных шара одного цвета»; д) опыт покупка двух лотерейных билетов. События: E 1 - «выиграют два билета», E - «выиграет хотя бы один билет», E 3 - «выиграет только один лотерейный билет»?.13 Образуют ли полную группу следующие события: а) опыт два выстрела по мишени. События: A 1 - «два попадания в мишень», A - «хотя бы один промах по мишени»; 4

25 б) опыт бросание двух игральных костей. События: B 1 - «сумма очков на верхних гранях больше 3», B - «сумма очков на верхних гранях равна 3»; в) опыт выдано четыре кредита. События: C 1 - «возвращен один кредит», C - «возвращены два кредита»; C 3 - «возвращены три кредита», C 4 - «возвращены четыре кредита»; г) опыт покупатель посещает три магазина. События: D 1 - «поку- патель купит товар хотя бы в одном магазине», D - «покупатель не купит товар ни в одном магазине»?.14 В экзаменационном билете три вопроса. Рассматриваются события: A 1 - «дан правильный ответ на первый вопрос», A - «дан правильный ответ на второй вопрос», A 3 - «дан правильный ответ на третий вопрос». Что означают события: а) A1 A A3 ; б) A1 A A3 ; в) _ 1 A A3 A ; г) 1 A A3 A ; д) 1 A A3 A ; е) A1 A A3? Ответы:.1 а) А; б) А.. а) Ω; б) Ø..5 ничья..6 B A1 A A3, _ С A1 A A3, В A1 A A3 A1 A A3 A1 A A3 A1 A A3.8 «выигрывает первый»= Г Р Р Г Р Р Р Р Г Р Р Р Р Р Р Г...; «выигрывает второй»= = Р Г Р Р Р Г Р Р Р Р Р Г Р Р Р Р Р Р Р Г...; ничья..11 нет..1 а) да; б) нет; в) да; г) нет; д) нет..13 а) да; б) нет; в) нет; г) да.. 5

26 1.3. Аксиомы теории вероятностей. Вероятностные модели Теория вероятностей изучает математические модели случайных явлений, но не всех, а только таких, которые обладают свойством статистической устойчивости относительных частот. В любой вероятностной модели считаются известными все возможные неразложимые исходы эксперимента. Однако множество таких исходов может быть конечным или бесконечным. В зависимости от этого строят различные вероятностные модели. Пусть Ω - множество всех возможных исходов некоторого эксперимента. Каждый элемент ω множества Ω называют элементарным событием или элементарным исходом, а само множество Ω - пространством элементарных событий. Любое событие А рассматривается как некоторое подмножество (часть) множества Ω, т.е. A Ω. Под операциями над событиями понимаются операции над соответствующими множествами. Сформулируем аксиомы, задающие само понятие вероятности: А.1 Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное число P(А), называемое вероятностью события А: 6 PA 0. Так как любое событие есть множество, то вероятность события есть функция, заданная на множестве. А. Вероятность достоверного события равна 1: Ω 1 P. А.3 Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е. если P A i i 1 A i Aj = P i 1 A i. =Ø ( I j ), то Из аксиом А.1 А.3 следуют основные свойства вероятности: 1) Если Ø невозможное событие, то P (Ø)=0. ) PA 1- PA.

27 3) При B A справедливо неравенство: A P P B. 4) Для любых двух событий А и В: PA B PA PB - PA B. (это свойство называется расширенной формулой сложения). 5) Для любых событий A 1, A,, A : P A PA k k k i i 1 i 1 Теорема. Сумма вероятностей событий A 1, A,, полную группу, равна единице: P k i 1 A i 1. i k. A, образующих Классическое использование термина вероятность связано с экспериментами, в которых число равновозможных результатов конечно. Вероятностная схема таких опытов была описана французским математиком П. Лапласом. Множество всех равновозможных элементарных исходов эксперимента с конечным числом результатов обозначается Ω, а его элементы маленькими буквами ω : Ω ω ω,..., i 1, ω. Случайное событие А представляется в виде множества элементарных исходов. Возможность наступления какого-либо элементарного исхода оценивается числом p, которое называется элементарной вероятностью: ω Ω p pω. При этом: 1) 0 p ω 1; ) ω 1 ω p. Ω Мера реализуемости случайного события А называется A. Ω вероятностью события А: PA pω ω Эта формула дает классическое определение вероятности: вероятность случайного события А вычисляется как отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих появлению А, к общему числу возможных элементарных исходов. A 7

28 Обычная схема подсчета вероятности случайного события А для описанной выше модели выглядит так: 1) выбирается Ω (с обоснованием равновозможности элементарных исходов); ) подсчитывается количество элементов в Ω ; 3) подсчитывается количество элементов в А; 4) вычисляется вероятность A A P. Ω Именно около числа P(A) группируются относительные частоты события А. Заметим, что определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение относительной частоты предполагает, чтобы испытания были произведены фактически. Пример 3.1 Монета брошена 3 раза. Какова вероятность выпадения двух гербов и одной решки? Решение: Опишем множество всех возможных исходов: Ω={ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГ, РРГ, ГРР, РГР, РРР} => Ω =8. Случайное событие А два герба и одна решка описывается следующими исходами: А={ГГР, ГРГ, РГГ} => А =3. Таким образом, искомая 3 Р. 8 вероятность А 0, 375 Пример 3. Из колоды в 5 карты извлекают наудачу 3 карты. Вычислить вероятность того, что это будут «тройка, семерка, туз». Решение: Пространство возможных элементарных исходов Ω представляет собой множество троек карт, причем перечислять все его элементы не нужно их достаточно много. Эксперимент состоит в том, что из совокупности, содержащей 5 элемента, извлекается выборка (без возвращения) из 3-х элементов. Количество таких выборок равно числу сочетаний из 5 по 3. 8

29 Следовательно, общее число возможных элементарных исходов равно: 3 5! Ω C 5. 3! 49! Обозначим через А событие, состоящее в том, что три извлеченные наудачу карты будут «тройка, семерка, туз». Так как «троек» в колоде 4 штуки, то количество способов извлечь одну «тройку» из четырех равно 1 C 4. Такое же количество способов соответствует извлечению одной «семерки» из четырех «семерок», одного «туза» из четырех «тузов». Значит, по правилу произведения число исходов, благоприятствующих появлению события А равно: А C4 C4 C4. Тогда искомая вероятность: P A C4 C4 C 4 3 C 5 Пример ! 49! 0,009. 5! Будущих бухгалтеров учат проверять правильность накладной. В качестве проверки преподаватель предлагает студентам проверить 10 накладных, 4 из которых содержат ошибки. Он берет наугад накладные и просит проверить. Какова вероятность того, что они окажутся: а) обе ошибочные; б) одна ошибочная, а другая нет; в) обе правильные? Решение: Эксперимент состоит в случайном выборе элементов из имеющихся 10. Значит, количество элементарных исходов будет равно 10! числу сочетаний из 10 по : Ω C ! 8! а) Пусть событие А «обе накладные ошибочные». Число способов 4! извлечь накладные с ошибками из 4-х ошибочных равно C4 6!!. Следовательно, вероятность равна: 9

30 A 6 PA 0,133. Ω 45 б) Обозначим событие «одна ошибочная, другая нет» через В. Количество способов извлечь 1 неправильную накладную из 4 равно 4, количество способов взять 1 правильную накладную из 6-ти правильных равно 6. По правилу умножения число исходов, благоприятствующих появлению события В равно B 4 P 0,533. Ω 45. Значит, B в) Пусть событие С «обе правильные», тогда события А, В и С образуют полную группу они несовместны и в результате испытания может произойти только одно из них: A B C Ω. По теореме о сумме вероятностей событий, образующих полную группу: P A PB PC 1. Отсюда: P C 1-0,133-0,533 0,334. Пример 3.4 Магазин получает товар партиями по 100 штук. Если 5, взятых наугад, образцов соответствуют стандартам, партия товара поступает на реализацию. В очередной партии 8 единиц товара с дефектами. Какова вероятность того, что партия поступит на реализацию? Решение: Эксперимент состоит в извлечении 5 элементов из множества, содержащего 100 элементов, следовательно, число всех 5 возможных элементарных исходов равно: Ω C 100. В данной партии 8 единиц товара с дефектами, значит, 9 изделия качественных. Для того чтобы партия поступила на реализацию необходимо, чтобы среди проверяемых 5-ти образцов брака не было. Следовательно, число исходов, благоприятствующих появлению данного события равно: А C 8 C 9 C 9. Искомая вероятность равна: PA 0 5 A C 9! 5! 95! 8 C 9 0,653. Ω 5 C 5! 87! 100!

31 Пример 3.5 Определить вероятность того, что в группе из 0-ти человек имеются совпадающие дни рождения. Решение: Обозначим через А искомое событие, тогда противоположное ему событие A означает, что совпадающих дней рождения нет. Число всех элементарных исходов опыта равно благоприятствующих событию A, равно P A A A , а число исходов, Следовательно, 0,589. Тогда A 1- PA 1-0,589 0, 411 P. Одним из недостатков модели Лапласа (классического определения вероятности) является предположение о конечном числе возможных исходов испытания. Но часто встречаются такие испытания, для которых число возможных исходов бесконечно. В таких случаях строится геометрическая модель: рассматривается пространство Ω с бесконечным числом равновозможных исходов. Элементарные исходы интерпретируются как выбор наудачу точки из некоторого множества в m R. Предполагается, что множество имеет некоторую геометрическую форму, которую можно каким-либо образом измерить (определить длину в 1 R, либо вычислить площадь в R, объем в 3 R и т.п.). Событием называется следующее: выбранная точка принадлежит заданной части фигуры. Вероятность такого события определяется как отношение меры (обозначение mes) части фигуры фигуры Ω: mes A PA. mes Ω А к мере всей В описанной геометрической модели остаются в силе все аксиомы А.1 А.3, соответственно выполняются все свойства 1 5.

32 Пример 3.6 Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. Определить вероятность попадания точки, поставленной наугад, на отрезок l. Решение: В результате данного опыта (бросания наугад точки) возможно бесчисленное множество исходов: при этом нет оснований считать неравновозможными хотя бы два каких-либо исхода из всего множества исходов. Понятно, что брошенная точка может оказаться на отрезке l (l L), а может там и не оказаться. Поэтому возможно говорить о вероятности попадания точки на отрезок l. В данном случае мерой рассматриваемых множеств является длина: mes( l )=длина l, mes( L )=длина L. Тогда: PA l. L Пример 3.7 Перед окопами вдоль прямой линии через каждые 10 метров установлены противотанковые мины. Перпендикулярно этой линии движется танк, ширина которого 3 метра. Какова вероятность того, что танк пересечет линию установки мин невредимым? Решение: Ось симметрии танка может пересечь линию установки мин в любой ее точке, т.е. исходы испытания (пересечения линии) образуют бесконечное множество, поэтому здесь классическое определение вероятности неприменимо. Пусть отрезок прямой, расположенный между двумя соседними минами, изображен на рис.. Танк при своем движении может попасть на один из таких отрезков. 10м А 1,5м С D 1,5м В Рис. 3

33 Расстояние АВ 10 м, АС DB 1, 5 м. Если ось симметрии танка попадет на отрезок АС или DB, то произойдет взрыв, а если ось симметрии попадет на отрезок CD, то его не будет. Таким образом, областью, благоприятствующей наступлению события А, заключающегося в беспрепятственном пересечении линии установки мин, является отрезок CD, а множеству всех исходов соответствует отрезок АВ. Тогда вероятность благополучного продвижения танка CD 7 P. AB 10 через линию установки мин равна: A 0, 7 Пример 3.8 Пассажир может добраться до места на любом из двух автобусов, интервалы движения которых соответственно равны 5 и 10 мин. Определить вероятность того, что пассажиру, подошедшему в случайный момент времени на остановку, ждать придется не более мин. Решение: Пусть x время ожидания, например, первого автобуса; y время ожидания второго автобуса. Тогда пару чисел x; y можно рассматривать как координаты точки на плоскости. Все пространство возможных элементарных исходов можно описать как множество Ω={(x;y): 0 x 5, 0 y 10}, а искомое событие А как часть этого множества (на рис.3 прямоугольник изображает множество Ω, а заштрихованная фигура множество А): у 10 Ω А={(x;y): 0 x 5, 0 y 10, либо 0 x, либо 0 y }. В данном случае будет естественным связать вероятность с площадями фигур: mes Ω S Ω ; A mes S S - S A Ω A х рис. 3 P S S 6 50 A A 0, 5 Ω 33

34 Пример 3.9 Пассажир может добраться до места с пересадкой на двух автобусах, интервалы движения которых соответственно равны 5 и 10 мин. Вычислить вероятность того, что на ожидание автобусов пассажиру потребуется не более мин. Решение: Условие данной задачи отличается от предыдущей тем, что теперь пассажир должен ждать и первый автобус (на одной остановке), и второй автобус (на следующей остановке), т.е. речь идѐт уже о суммарном времени ожидания. Поэтому все множество элементарных исходов останется прежним, а множество, задающее искомое событие, будет другим: A={(x;y): 0 x 5, 0 y 10, 0 x+y }. y 10 На рис.4 фигура А это заштрихованный треугольник. Ω А 0 5 х рис.4 Следовательно, mes P 1 A S, поэтому: S S Δ 50 A Δ 0, 04 Ω Пример 3.10 (задача о встрече). Два лица (А и В) имеют одинаковую вероятность прийти к указанному месту в любой момент промежутка времени T. Определить вероятность того, что время ожидания одним другого будет не больше t. Решение: Обозначим моменты прихода к указанному месту лиц А и В соответственно через x и y. По условию 0 x T, 0 y T. Этим неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату со стороной, равной T. Событие А встреча двух лиц произойдет, если разность между x и y не будет превышать величины t, 34

35 т.е. будет выполняться неравенство x-y t. Этому неравенству удовлетворяют все точки, лежащие в полосе x-t y x+t, которая на рис. 5 заштрихована и является частью фигуры Ω. Тогда вероятность встречи в течение промежутка времени t равна: y P A S S A Ω T T - T - t. T А t Ω t T x рис. 5 Принцип практической уверенности: В статистике все события подразделяют на «маловероятные», «высоковероятные» и «типичные». Интуитивно понятно: если известно, что данное событие имеет вероятность, близкую к нулю, то, скорее всего, в единичном испытании оно не произойдет. Если же вероятность события близка к единице, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие наступит. Естественно возникает вопрос о значении порогового уровня для слишком малой и слишком большой вероятности. Экономисты традиционно в качестве порогового значения, отделяющего «малые» вероятности используют α 0, 05 (пятипроцентный уровень значимости). Для «больших» вероятностей такое значение равно 35

36 1 α 0,95. Соответственно, если вероятность случайного события А удовлетворяет условию:, 05 0 A P 0, 95, то такое событие считается «типичным», следовательно, его наступление в эксперименте можно объяснить случайностью. Если вероятность случайного события А меньше 0,05, но, тем не менее, событие произошло, то это можно считать подозрительным фактом; аналогично подозрительным будет и ненаступление «высоковероятного» события. Задачи для самостоятельного решения: 3.1 Имеются карточки, на каждой из которых цифра (от 0 до 9). Чему равна вероятность, извлекая наудачу 3 карточки, получить число 19? а) выборка без возвращения; б) с возвращением. 3. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера. Полученные кубики тщательно перемешаны. Определить вероятность того, что кубик, извлеченный наудачу, будет иметь: а) все грани неокрашенные; б) одну окрашенную грань; в) две окрашенные грани; г) три окрашенные грани; д) четыре окрашенные грани. 3.3 В коробке лежат одинаковые по внешнему виду конфеты: с орешками и с мармеладом. Возьмем наудачу конфетки. Вероятность какого из событий больше: того, что обе конфеты с одинаковой начинкой или что с разной? 3.4 Бросаются два игральных кубика. Какова вероятность того, что: а) сумма выпавших очков равна 7; б) сумма выпавших очков меньше 4; в) сумма равна 7, а произведение не превосходит 10? 3.5 Можно ли объяснить случайностью, что в наудачу составленной стопке из 10-ти дисков оказались рядом: а) два определенных диска; б) три определенных диска? 36

37 3.6 Можно ли объяснить случайностью, что в группе из 5 человек, у всех совпадают дни рождения? 3.7 Из колоды карт (5 шт.) вынимаются наудачу 4 карты. Какова вероятность того, что они: а) одной масти; б) одного значения; в) все разных значений; г) все разных мастей? 3.8 В ящике 5 красных и 8 белых шаров. Наудачу извлекается 3 шара. Какова вероятность того, что среди них: а) ровно 1 белый шар; б) ни одного белого; в) все шары белые; г) красных больше, чем белых? 3.9 Светофор горит 60 сек. зеленым светом и по 30 сек. красным и желтым. Какова вероятность того, что случайной машине: а) не придется ждать у светофора; б) придется ждать более 0 сек.? (ехать можно только на зеленый свет) Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода один час, а второго два часа Два приятеля договорились встретиться между 17 и 18 часами. Каждый приходит наугад и ждет 10 минут. Какова вероятность встречи? 3.1 Считают, что дневная выручка магазина X принимает значения от 0 тыс. руб. до 80 тыс. руб. Найти вероятности событий: А выручка магазина за один день больше 40 тыс. руб.; B выручка магазина за два дня больше 80 тыс. руб.; C выручка магазина за три дня больше 10 тыс. руб На дно колодца квадратного сечения поставим ведро, стенки которого касаются стенок колодца. Какова вероятность того, что, бросая наугад камешек, мы попадем в ведро? 3.14 В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможно в любой момент промежутка времени длительностью T. Моменты поступления сигналов независимы один от другого. Сигнализатор срабатывает, если разность 37

38 между моментами поступления сигналов меньше t (t<t). Найти вероятность того, что сигнализатор сработает за время T, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу Какова вероятность того, что сумма двух взятых наугад положительных чисел, каждое из которых меньше либо равно единицы, не превзойдѐт 1, а их произведение будет меньше либо равно? Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых не превышает двух. Найти вероятность того, что произведение xy будет не больше единицы, а частное x/y не больше двух Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых не превышает единицы. Найти вероятность того, что сумма x+y не превышает единицы, а произведение xy не меньше 0, Код домофона состоит из восьми цифр, которые могут повторяться. Какова вероятность того, что, случайно набирая цифры, можно угадать нужный код? 3.19 Двое друзей, Алексей и Вадим, стоят в очереди из 8 человек. Найти вероятность того, что: а) Алексей и Вадим стоят рядом; б) между Алексеем и Вадимом стоят два человека. 3.0 Из колоды в 36 карт извлекаются наудачу 4 карты. Какова вероятность событий: A все извлеченные карты пиковой масти, B среди этих четырех карт окажется хотя бы один король? 3.1 Из 40 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент знает 30. Найти вероятность того, что среди трѐх наугад выбранных вопросов студент знает: а) 3 вопроса; б) вопроса; в) 1 вопрос. 3. Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы с вероятностью 0,6 хотя бы один раз выпало 6 очков? 3.3 В лотерее разыгрывается 100 билетов. Выигрыши выпали на 0 билетов. Некто приобрел 5 билетов. Найти вероятности следующих событий: а) выигрыш выпадет на все 5 билетов; б) выигрыш выпадет хотя бы на один билет; в) выигрыш выпадет на два билета. 38

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 5. Тема: Комбинаторика, введение в теорию вероятностей 1 Тема: Комбинаторика Комбинаторика это раздел математики, изучающий

Подробнее

Кафедра высшей математики. Лекции по теории вероятностей и математической статистике

Кафедра высшей математики. Лекции по теории вероятностей и математической статистике Кафедра высшей математики Лекции по теории вероятностей и математической статистике Раздел. Теория вероятностей Предмет теории вероятностей изучение специфических закономерностей в массовых однородных

Подробнее

I. Определение вероятности и основные правила ее вычисления 1.1 Вероятностный эксперимент. Предмет теории вероятностей Результаты эксперимента

I. Определение вероятности и основные правила ее вычисления 1.1 Вероятностный эксперимент. Предмет теории вероятностей Результаты эксперимента I Определение вероятности и основные правила ее вычисления Вероятностный эксперимент Предмет теории вероятностей Результаты эксперимента зависят в той или иной степени от комплекса условий, при которых

Подробнее

Тема 49 «Формулы числа сочетаний. Бином Ньютона». Основные формулы комбинаторики.

Тема 49 «Формулы числа сочетаний. Бином Ньютона». Основные формулы комбинаторики. Тема 49 «Формулы числа сочетаний. Бином Ньютона». Основные формулы комбинаторики. Без повторений С повторениями A = n! n k! A = n Порядок важен P = A = n! P = A = n Pk, k,, k = (k + k + + k )! k! k! k!

Подробнее

{ξ < 1} независимыми в совокупности.

{ξ < 1} независимыми в совокупности. 1. Электричка состоит из 12 вагонов. Каждый из 7 пассажиров наудачу выбирает любой вагон. Найти вероятности следующих событий: A = {все пассажиры сели в первые три вагона}; B = {все пассажиры сели в разные

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе и экономическому развитию Д.А. Зубцов 29

Подробнее

A.В. Браилов С.А. Зададаев П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 1

A.В. Браилов С.А. Зададаев П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 1 Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНАКАДЕМИЯ). Кафедра «Теория вероятностей и математическая

Подробнее

Классическое определение вероятности

Классическое определение вероятности Классическое определение вероятности 1. Брошены 3 монеты. Найти вероятность того, что 1) A 1-я упала "гербом"вверх, 2) B выпало ровно 2 герба, 3) C выпало не больше 2 гербов. Ответ: P (A) = 1/2, P (B)

Подробнее

Тестовые задания по теории вероятностей и математической статистике

Тестовые задания по теории вероятностей и математической статистике ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет С. Г. Валеев С. В. Куркина Тестовые

Подробнее

УДК СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина. ОБСУЖДЕНО на заседании кафедры высшей математики

УДК СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина. ОБСУЖДЕНО на заседании кафедры высшей математики УДК 57. Теория вероятностей: программа учебной дисциплины и методические указания к выполнению контрольной работы / Сост. Л.В. Березина; РГАТУ имени П. А. Соловьева. Рыбинск, 0. 4 с. (Заочная форма обучения/

Подробнее

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Учебная дисциплина «Теория вероятностей математическая статистика» содержат математические основы и математические методы, формирующие у студентов - химиков профессиональную культуру

Подробнее

Комплект методических указаний по выполнению практических работ по дисциплине ЕН.02 Теория вероятности и математической статистики

Комплект методических указаний по выполнению практических работ по дисциплине ЕН.02 Теория вероятности и математической статистики Областное государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Иркутский авиационный техникум» УТВЕРЖДАЮ Директор ОГБОУ СПО «ИАТ» В.Г. Семенов Комплект методических

Подробнее

4. Комбинаторика. . Нетрудно видеть, что при n = m число

4. Комбинаторика. . Нетрудно видеть, что при n = m число 4 Комбинаторика Перестановка это упорядоченный набор чисел 1 обычно трактуемый как биекция на множестве { 1 } которая числу i ставит в соответствие i-й элемент из набора Число при этом называется порядком

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный технологический институт (Технический Университет)

Подробнее

КОМБИНАТОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

КОМБИНАТОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ КОМБИНАТОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ Тема 5 Перевод осуществлен при поддержке IT Akadeemia Содержание лекции 1 Введение 2 3 4 Следующий пункт 1 Введение 2 3 4 Проблема... Проблема... Проблема... ... и решение: Девочка

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ И СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ И СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА Одесская национальная академия связи им. А.С.Попова Кафедра высшей математики Ю.И. Бурименко, О.В. Синявский ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика Теория вероятностей и математическая статистика Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов «Страница» с методическими материалами http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Волгоградский филиал РАНХиГС

Подробнее

I. Пространство элементарных событий. События. Алгебра событий.

I. Пространство элементарных событий. События. Алгебра событий. I. Пространство элементарных событий. События. Алгебра событий. Множество ( w w w ) W= 1, 2,..., всех возможных исходов эксперимента образуют пространство элементарных событий. Примеры: 1. При социологическом

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Н.С. АРКАШОВ В.М. БОРОДИХИН А.П.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Н.С. АРКАШОВ В.М. БОРОДИХИН А.П. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Н.С. АРКАШОВ В.М. БОРОДИХИН А.П. КОВАЛЕВСКИЙ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Том 4.2: Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ. Схема независимых испытаний Бернулли

ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ. Схема независимых испытаний Бернулли ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ Схема независимых испытаний Бернулли До сих пор мы в основном разбирали задачи нахождения вероятности события в единичном испытании, т.е. когда эксперимент производится один раз. Теперь

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Механико-математический факультет Кафедра теории вероятностей и математической статистики Н. И. Чернова Теория вероятностей

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. I. Теория вероятностей

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. I. Теория вероятностей МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.Л. Крицкий, А.А.

Подробнее

ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ

ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ À. Ì. Ïîïîâ, Â. Í. Ñîòíèêîâ ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà äëÿ ýêîíîìèñòîâ Ó ÅÁÍÈÊ ÄËß ÁÀÊÀËÀÂÐÎÂ Ïîä ðåäàêöèåé À. Ì. Ïîïîâà Ðåêîìåíäîâàíî Ó åáíî-ìåòîäè åñêèì öåíòðîì

Подробнее

Основы теории вероятностей Лекция 2

Основы теории вероятностей Лекция 2 Основы теории вероятностей Лекция 2 Содержание 1. Условная вероятность 2. Вероятность произведения событий 3. Вероятность суммы событий 4. Формула полной вероятности Зависимые и независимые события Определение

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Министерство образования и науки Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный исследовательский Томский политехнический университет О.Л. Крицкий, А.А. Михальчук,

Подробнее

А. А. Ивашко Теория вероятностей и математическая статистика

А. А. Ивашко Теория вероятностей и математическая статистика Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ А. А. Ивашко Теория

Подробнее

Коломиец Э.И. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Коломиец Э.И. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Министерство Российской Федерации по связи и информатизации. Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики. Н. И.

Министерство Российской Федерации по связи и информатизации. Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики. Н. И. Министерство Российской Федерации по связи и информатизации Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики Н. И. Чернова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Учебное пособие Новосибирск 2009 УДК 59.2

Подробнее

Формула полной вероятности.

Формула полной вероятности. Формула полной вероятности. ) Качество изготовляемых деталей проверяется двумя контролёрами. Вероятность попадания детали к первому контролёру равна 0 ко второму 04. Вероятность считать деталь качественной

Подробнее

Е.Н. Гусева ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Е.Н. Гусева ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Магнитогорский государственный университет» Е.Н. Гусева ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебное пособие 5-е издание, стереотипное

Подробнее

Основные понятия теории вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Основные понятия теории вероятностей Предыдущие заметки (см. оглавление) были посвящены методам сбора данных, способам построения таблиц и диаграмм, а также исследованию описательных статистик. В настоящей

Подробнее

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов). 6. sin x. Ответ: 0,76. Решение. 1) Преобразуем, используя формулы тройного аргумента

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов). 6. sin x. Ответ: 0,76. Решение. 1) Преобразуем, используя формулы тройного аргумента 0 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов) Сумма трѐх чисел равна нулю Может ли сумма их попарных произведений быть положительной? Ответ: нет, не может Решение Пусть a + b + c = 0 Докажем, что

Подробнее

Ю. Е. Дудовская, О. В. Якубович, Ю. С. Боярович ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Ю. Е. Дудовская, О. В. Якубович, Ю. С. Боярович ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Ю. Е. Дудовская, О. В. Якубович, Ю. С. Боярович ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

«Теория вероятностей и математическая статистика»

«Теория вероятностей и математическая статистика» УПРАВЛЕНИЕ АЛТАЙСКОГО КРАЯ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И ДЕЛАМ МОЛОДЕЖИ Краевое государственное общеобразовательное учреждение «Бийский лицей Алтайского края» «Теория вероятностей и математическая статистика» Учебно-методический

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»

Подробнее

РГР 4 Группа 231 Вариант 7 1) На сборку поступают детали с трјх автоматов. Первый автомат дајт 0.3% брака, второй - 0.2%, третий - 0.4%. Найти вероятн

РГР 4 Группа 231 Вариант 7 1) На сборку поступают детали с трјх автоматов. Первый автомат дајт 0.3% брака, второй - 0.2%, третий - 0.4%. Найти вероятн РГР 4 Группа 231 Вариант 1 1) Студента допустят к экзамену по математике, если он защитит РГР. Вероятность защитить РГР- 0.7,а сдать экзамен- 0.5 (если допустят). Какова вероятность того, что студент не

Подробнее

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им Н И ЛОБАЧЕВСКОГО Факультет вычислительной математики и кибернетики Кафедра математической логики и высшей алгебры ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ (Пособие для студентов

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Федеральное агентство по образованию Московский государственный технический университет МАМИ Кафедра Прикладная и вычислительная математика Е.А. Коган ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика Министерство образования Российской Федерации Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Евразийский открытый институт Сведения об авторе В.П. Лисьев Теория вероятностей

Подробнее

В.Г. КРУПИН, А.Л. ПАВЛОВ, Л.Г. ПОПОВ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ

В.Г. КРУПИН, А.Л. ПАВЛОВ, Л.Г. ПОПОВ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МЭИ» В.Г. КРУПИН, А.Л. ПАВЛОВ, Л.Г. ПОПОВ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА,

Подробнее

ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ А.И. Луценко ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ для студентов курса специальности «экономическая

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ МИНОБРНАУКИ РОССИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Новосибирский государственный университет экономики и управления «НИНХ» (ФГБОУ ВО «НГУЭУ», НГУЭУ)

Подробнее

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Методические указания

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Методические указания Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

Задание 1 (Китаева А.В.)

Задание 1 (Китаева А.В.) Задание 1 (Китаева А.В.) 1. После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность, что разрыв произошел между 50-м и 55-м километрами линии?.

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Механико-математический факультет Д. А. КОРШУНОВ, С. Г. ФОСС СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИЗДАНИЕ

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ Случайные векторы. Закон распределения. Условные распределения случайных величин. Числовые характеристики случайных векторов. Условные математические

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1 Пусть проводится конечное число n последовательных испытаний, в каждом из которых некоторое событие A может либо наступить (такую ситуацию назовём успехом) либо не

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ. УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ. УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Кафедра высшей математики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА.

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯРОСЛАВА МУДРОГО. Л. Е.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯРОСЛАВА МУДРОГО. Л. Е. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯРОСЛАВА МУДРОГО Л Е Бритвина ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Учебно-методическое пособие Великий Новгород

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» Кафедра «Математика» Л.Ф. Кочнева, З.С. Липкина,

Подробнее

Методические рекомендации к практической подготовке для студентов заочного отделения по разделу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Методические рекомендации к практической подготовке для студентов заочного отделения по разделу «Теория вероятностей и математическая статистика» Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» Методические рекомендации к практической подготовке для студентов заочного отделения по разделу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Н.С. АРКАШОВ В.М. БОРОДИХИН А.П. КОВАЛЕВСКИЙ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Том 4.2: Теория вероятностей и

Подробнее

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1 Глава 1 Основы алгебры Числовые множества Рассмотрим основные числовые множества. Множество натуральных чисел N включает числа вида 1, 2, 3 и т. д., которые используются для счета предметов. Множество

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Планируемые результаты освоения учебного предмета, курса Арифметика Натуральные числа. Дроби Ученик научится: 1) понимать особенности десятичной

Планируемые результаты освоения учебного предмета, курса Арифметика Натуральные числа. Дроби Ученик научится: 1) понимать особенности десятичной Планируемые результаты освоения учебного предмета, курса Арифметика Натуральные числа. Дроби 1) понимать особенности десятичной системы счисления; 2) понимать и использовать термины и символы, связанные

Подробнее

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙCТВА И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра технической механики и материаловедения ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Сибирская академия финансов и банковского дела Б.П. Зеленцов ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Практикум 3-е издание, переработанное и дополненное Новосибирск 014 УДК 519. ББК.17 З-487 Рецензенты

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственноe образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Л.И. Лазарева,

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики

Подробнее

Комбинаторные формулы

Комбинаторные формулы Комбинаторные формулы Пусть имеется множество, состоящее из элементов. Обозначим его U. Перестановкой из элементов называется заданный порядок во множестве U. Примеры перестановок: )распределение различных

Подробнее

Л.С. Барковская, Л.В. Станишевская, Ю.Н. Черторицкий ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Л.С. Барковская, Л.В. Станишевская, Ю.Н. Черторицкий ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ЛС Барковская, ЛВ Станишевская, ЮН Черторицкий ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Практикум Издание третье, переработанное

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Архангельский государственный технический университет СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Министерство образования и науки Российской Федерации Архангельский государственный технический университет СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Архангельский государственный технический университет СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Методические указания к выполнению самостоятельной работы Архангельск 2010

Подробнее

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ, АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ МОЛДОВА И В БЕЛОУСОВ МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ учебное пособие по линейной алгебре Издание второе, исправленное и дополненное Кишинев: 2006 УДК 519612

Подробнее

Контрольное задание по курсу Теория вероятностей и математическая статистика для студентов заочного отделения экономического факультета.

Контрольное задание по курсу Теория вероятностей и математическая статистика для студентов заочного отделения экономического факультета. Контрольное задание по курсу Теория вероятностей и математическая статистика для студентов заочного отделения экономического факультета. 3 семестр Раздел I. 1. Какова вероятность того, что в написанном

Подробнее

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 6. Комбинаторика.

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 6. Комбинаторика. Доля П.Г. Харьковский Национальный Университет механико математический факультет кафедра геометрии им. А.В. Погорелова Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление 6. Комбинаторика. 6. Основные комбинаторные

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной математики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Контрольная работа 8 Теория вероятностей и математическая статистика

Контрольная работа 8 Теория вероятностей и математическая статистика Контрольная работа 8 Теория вероятностей и математическая статистика Выполнять контрольные задания следует в соответствии с вариантом, номер которого соответствует последним двум цифрам учебного шифра

Подробнее

Рабочая программа по математике 5-6 класс ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ В 5-6 КЛАССАХ

Рабочая программа по математике 5-6 класс ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ В 5-6 КЛАССАХ Рабочая программа по математике 5-6 класс ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ Рациональные числа Ученик научится: В 5-6 КЛАССАХ 1) понимать особенности десятичной системы счисления; 2) владеть понятиями,

Подробнее

Теория вероятностей СГУПС. Учебное пособие для студентов факультета бизнес-информатики. Составил доцент С.А.Аракчеев

Теория вероятностей СГУПС. Учебное пособие для студентов факультета бизнес-информатики. Составил доцент С.А.Аракчеев СГУПС Теория вероятностей Учебное пособие для студентов факультета бизнес-информатики Составил доцент С.А.Аракчеев Новосибирск 00 Часть I. Случайные события Введение Теория вероятностей изучает закономерности

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ Кафедра вычислительных методов и программирования А.В. Аксенчик,

Подробнее

ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ КУРСА МАТЕМАТИКИ В 6 КЛАССЕ

ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ КУРСА МАТЕМАТИКИ В 6 КЛАССЕ ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ КУРСА МАТЕМАТИКИ В 6 КЛАССЕ Арифметика понимать особенности десятичной системы счисления; использовать понятия, связанные с делимостью натуральных чисел; выражать

Подробнее

Национальный институт ВЫСШАЯ ШКОЛА УПРАВЛЕНИЯ. В. И. Соловьев МАТЕМАТИКА

Национальный институт ВЫСШАЯ ШКОЛА УПРАВЛЕНИЯ. В. И. Соловьев МАТЕМАТИКА Национальный институт ВЫСШАЯ ШКОЛА УПРАВЛЕНИЯ В. И. Соловьев МАТЕМАТИКА для специальностей «Государственное и муниципальное управление», «Менеджмент организации» Часть 3 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Е. В. Морозова, С. В. Мягкова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Часть I ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

Подробнее

Теория множеств и основы комбинаторики

Теория множеств и основы комбинаторики Теория множеств и основы комбинаторики План лекции П.. Определение множества и подмножества... П.. Множества и отношения... П.. Операции над множествами... П. 4. Свойства операций над множествами... 4

Подробнее

Трушин Б.В., 2015 г. Рис. 1:

Трушин Б.В., 2015 г. Рис. 1: Комбинаторика Часть первая. Введение Что такое комбинаторика? Комбинаторикой (или комбинаторным анализом) называется раздел математики, который решает задачи подсчета количества объектов, удовлетворяющих

Подробнее

17. a) А={5,6,10,11,13,15}, B={ 1,0,4,5,7,10}; b )A=(0,5], B=[ 2,8) 18. a) А={ 1,0,2,4,6,7,9}, B={0,3,4,7,10,11}; b) A=(-3,4], B=(-,2] 19.

17. a) А={5,6,10,11,13,15}, B={ 1,0,4,5,7,10}; b )A=(0,5], B=[ 2,8) 18. a) А={ 1,0,2,4,6,7,9}, B={0,3,4,7,10,11}; b) A=(-3,4], B=(-,2] 19. Задача. Даны два множества А и В. Определить A B, A B, A \ B, B \ A. В пунте b изобразить результаты действий на числовой оси.. а) А = {-,,, 6, 8, }; B = {,,,7,, } b) А = [-, ); B = (, ]. а) А = {--,,,,,9,};

Подробнее

ТЕСТ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ (ТТКУ)

ТЕСТ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ (ТТКУ) 34.6 «Информационные системы и ВАРИАНТ 1 1. Среди купленных семи билетов три билета в партер. Наудачу взято 4 билета. Найти вероятность того что среди них будет три билета в партер.. При первичной поломке

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ. Глава. 1. Составление рационального выражения. Примеры и комментарии

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ. Глава. 1. Составление рационального выражения. Примеры и комментарии 3 Глава 3 РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ Составление рационального выражения Для построения рационального выражения нам нужны числа, буквы и знаки действий Числа мы используем те, которые знаем, например, 0;,; 5 и

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Т А Матвеева В Б Светличная С А Зотова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Подробнее

Лекция 2: перечслительная комбинаторика

Лекция 2: перечслительная комбинаторика Лекция 2: перечслительная комбинаторика Дискретная математика, ВШЭ, факультет компьютерных наук (Осень 2014 весна 2015) Задачи перечислительной кмбинаторики имеют типовой вид: «сколько способов сделать

Подробнее

ФГБ ОУ ВПО «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)» Кафедра «Математика» М.В. Ишханян. Комбинаторика и теория вероятностей

ФГБ ОУ ВПО «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)» Кафедра «Математика» М.В. Ишханян. Комбинаторика и теория вероятностей ФГБ ОУ ВПО «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)» Кафедра «Математика» М.В. Ишханян Комбинаторика и теория вероятностей Методические указания к практическим занятиям Москва 2011

Подробнее

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ И СОЦИАЛЬНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ БГУ Кафедра управления финансами ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методическое

Подробнее

Кафедра «Высшая математика» Случайные величины СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Кафедра «Высшая математика» Случайные величины СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 19.3.2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Вариант 1 1. Дана непрерывная случайная величина Х: 0, х 0 F(х) = сх 3,0 < х 0,5 1, х > 0,5 Найти: а) коэффициент «с»; б) функцию плотности вероятности f(x); в) параметры распределения;

Подробнее

Программа вступительного экзамена по математике

Программа вступительного экзамена по математике Программа вступительного экзамена по математике Программа составлена на основе Федерального компонента государственного стандарта основного общего и среднего (полного) общего образования (приказ Минобразования

Подробнее

1. Результаты освоения курса математики в 6 классе (Личностные, метапредметные и предметные результаты освоения содержания курса)

1. Результаты освоения курса математики в 6 классе (Личностные, метапредметные и предметные результаты освоения содержания курса) 1 Пояснительная записка Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования, Примерной программы по учебным

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Методические указания к решению задач по теории вероятностей

Методические указания к решению задач по теории вероятностей Кыргызско-Российский Славянский Университет Кафедра Высшей математики Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова Методические указания к решению задач по теории вероятностей Бишкек 008 УДК 59. Давидюк Тамара Алексеевна

Подробнее

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа вступительного испытания. по математике

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа вступительного испытания. по математике Федеральное государственное автономное учреждение высшего профессионального образования Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа вступительного испытания по математике

Подробнее

Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных

Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных дробей; с требуемой точностью округлять данные числа и результаты

Подробнее

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ. Правила выполнения и оформления контрольных работ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ. Правила выполнения и оформления контрольных работ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ Правила выполнения и оформления контрольных работ При выполнении контрольных работ надо строго придерживаться указанных ниже правил. Работы,

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 1 ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет» Кафедра прикладной математики 115-2012 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к курсовой работе по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Подробнее

ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР. Задачи выбора в условиях неопределенности

ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР. Задачи выбора в условиях неопределенности ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР Задачи выбора в условиях неопределенности Имеется набор возможных исходов y Y, из которых один окажется совмещенным с выбранной альтернативой, но с какой именно в момент выбора неизвестно,

Подробнее

ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ГОРОДСКОГО ХОЗЯЙСТВА ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (Для студентов заочной формы

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика Минобрнауки России Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сыктывкарский государственный университет имени Питирима Сорокина» (ФГБОУ ВО «СГУ им. Питирима Сорокина»)

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Конспект лекций В.И. Лотова для студентов физического факультета НГУ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Конспект лекций В.И. Лотова для студентов физического факультета НГУ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Конспект лекций В.И. Лотова для студентов физического факультета НГУ 1 Содержание I. Теория вероятностей 4 1. Вероятностные пространства. Основные формулы

Подробнее

Лекция 1: Комплексные числа

Лекция 1: Комплексные числа Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В школьном курсе математики понятие числа постепенно расширяется.

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@lst.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее